01.冲刺串讲1-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:57:57

机箱我们继续吧，做完了没有？有没有做完呢？来，我们来看看这个题啊，这题不难啊呃，刚才我们说了一些这个哦，我再把刚才那个就是那个放音乐之前的话，有些同学可能没有听清楚。我们再说一下，就是你如果的话，强化班你已经听到差不多，你就把它快听完啊，你把那块学完。但是你要注意到了这个阶段，

不是说听课是目的，听课是为了更快的总结方法，把这些核心考点学会你下去的时候一定要把它消化到位。如果在这里面，你如果。你都你才开始，你强化才开始，你觉得自己一个人复习这个节奏感不是特别好，或者自己一个人复习啊，这个状态不是特别好。那你就在这里面当中，你可以你想听直播课程，那你就跟冲刺救命班就行，能理解吧，如果你时间不够，

你就听冲刺救命班。因为这个课程呢，会非常的短平快啊，好了，那么接下来我们就继续吧，如果你刚听完基础班跟刚才这个同学是一样的。啊，看你自己是什么情况？那么，接下来我们一起来看看吧，这个冲刺舞。来一起来看，那么他说这个事情，他说这个人是个奇函数。他说除了零这个点之外啊，

然后外面都是连续，我想问一个事情。你来看这个点。这个点之外。那这个点之外，它都是连续。被积分函数都是连续。那你琢磨一下，如果里面是连续，那外面是可导，那所以说我们知道这些范围是什么，这些范围肯定是可导的呀。啊，这个人肯定是科导。然后再看你这个点是第一类间断点，

那这个点呢？你这个点肯定是连续点。所以综合下来而言，它肯定是连续啊，所以说这个肯定不对啊，这个是间断的肯定不对，这个不对，肯定是连续。然后再来看它是个奇函数诶，一看从零开始牛逼吧，里面是奇，外面是偶，正确答案选几选b。好吧，这题啊，

就出来了。能会做吧，好再来看下面一个题冲刺六。那冲刺六这个题啊，我们想研究这个人，我们就只需要研究里面这个人。里面这个人的这个左极限是几呢？左极限是负一，右极限是一，那很明显在这个点处是什么？在这个点处。是跳跃间断点。在这个点处是跳跃。在这个点处是跳跃间断点，那外面在这个点处啊，

它肯定是个连续点。但是呢，可不可导呢？不可导。因为你里面的左右极限不一样，你外面的左右导数就不一样。所以综合下来而言，它肯定是连续的，但是在这个点处，绝对不可能正确答案选几啊选b。那有人说老师这个人是从负无穷到正无穷，那还不好办。小于零的时候是连续，大于零的时候是连续，再零处是跳跃间断点，

你能理解吧，它是这样的一个情况。好了，这一段我们就讲完了，所以像这种题啊，不要在考场当中花费了大量的时间，我觉得刚才我们讲的这两个板块内容应该是作为今年考研真题的两个预测性的考点。一个事情是奇偶性的判定，一个事情是这种连续性和可导性的判定，那这是我们在这些年的真题当中卷子没有怎么去涉及的。好了，我们再来看一个点，然后接下来这个点呢，是我们在二一年之前的这种真题啊，它是考过的。

二一年之前，但是二一年之后啊，还没有怎么出过这种题，但是我们在模拟卷里面当中编过这种题。将来考试当中也是一种预测性的点，那么就是分段函数的复合函数，求解。什么意思呢？就说这样的意思，像这种问题，你只需要做好一个事儿，就是你知道这个人是谁就行了。这个人啥意思啊？这个人的意思其实就是把这个东西作为整体，然后进行去替换，

这里面当中的所有的x得到的。就可以了，你就知道诶，这个人怎么来的呢？这个人其实就是把这个gs作为一个整体。替换了这里面当中的所有的x得到的，那就可以了。所以接下来我们来拿一个题啊，我们来实践一下，看看这个题。所以像这种题啊，我觉得这个今年呃模拟卷里面当中，你肯定会见过这种题。这种很好处啊。你一个分段函数复合一个分段函数得到了一个分段函数，

这个分段函数我可以干嘛呢？我可以进行求导，我求它的不定积分，求它的定积分都是可以的。好，我们来看看这个题来解吧。它让我们求解的是什么？它让我们求解的是fgs。对吧，这个人那这个东西它怎么来的呢？那这个东西非常容易，这个东西其实就是把这个什么呢？把这个gs作为一个整体。然后替换了这里面的x等等。所以说这个时候逢s就要替换，

你就要替换你一替换的话，这是gs。然后这是gs这个人呢，小于一，然后这是gs这个人怎么办？大于等于一，那这人是a。那么，接下来干嘛呢？你看，这是第一步。第一步叫做一代入。啊代入进去，代入进去了之后，我们再看一个分段函数，

后面应该是知道的是x怎么样？对吧x怎么样？所以你就要知道什么时候这个gs小于一，什么时候这个gs会大于等于一，所以接下来第二件事情我们就要讨论这个gs。我怎么去讨论呢？我把这个gs这个人的图像啊，我们来画一下。对吧，画出这人的图像，我们继续去讨论一下，所以说就是两步走，第一步叫做一代入。二怎么办？二讨论。

那这人图像也非常容易，他说小于一的时候是大于等于一的这个b。啊，你要注意这个b是什么呢？这个b是大于等于一。好，这个部分。然后再来看，然后是这个x大于等于零的时候x+2 x+2，我把这个东西往下挪一点。好，这是b。然后x+2的话，这个人的结局是二，然后是这样。

好，这个点是取。那么，现在这个一在哪呢？你这个b也比这个一大呀。好，这个情况啊，这是一。好，我们现在要讨论。那什么时候这个gs比一小呢？我们来看看这个一这个分界线。一这个分界线，它其实在这儿。有没有比它小的？

这条线有可能跟它相等，但是不可能比它小。那什么时候比他大呢？什么时候比他大？所有人都比他大，因此这个时候我就知道哦，原来没有人会比你小啊。那这个人是空姐，什么时候比他大呢？所有人都比他大。那这时候就说明第一个情况是不可能的，只能是第二情况，那这人等于几啊等于a。像这种题啊，很有我们三九六同学的这种感觉。

就做来做去的话，最后一做哎呀，不会说这个东西，就像数一数二数三同学数一数二数三同学是一个高起点，也会在最后的这个落脚点当中也会显得复杂一点。但是我们这种题，有的时候你看起来这个起点很高，它落落落哎，落脚点的一个非常简单的一个内容啊。啊，这有可能是我们的这种考点，这种方式。所以这是这个人过去了，所以你要想清楚，我们这个就是你多做一点题呢，

我们那个那个题就是。有的时候看起来很很恶心，其实你发现也是呃，很基础很核心部分的内容，把它拿下去就行。好了，这个点我们就说到这。所以一个分段函数复合一个分段函数做题方式就两步，第一步把它给我套进去。然后第二步，然后再来进行去讨论它。就这两个事情，第一件事一套进去啊，一带入二讨论就行。好了，

这个第一个问题啊，我们就讲到这来，再来看看我们下一个考点内容，我们来看看考点二无穷小量的比阶级问题。你放心，这个考点呢，一定会出题。一般情况下。其实就是两到四分。要不然出一道，要不然出两道。出一道极限题，你要用它，然后再出一道无穷小量的比阶性的题也要用它。所以接下来我们来看看这种问题，

无穷小量怎么去比级这种点，你把它丢分了，我相信你肯定被大量的同学拉开差距了。这是最不应该丢分的。这也是我们所有同学都非常喜欢学的，所以我觉得在这一轮冲刺救命班的这个课程当中，我觉得是这样。应该是全程注意力要集中。对吧，全程注意力集中，杜绝一种现象就是前期过程当中，今天是第一次课程，有些同学信心满满，状态非常的好。然后随着这个学习的这个进行呢呃，

时间长了肯定会疲一点。这是不可避免的。你像学习这个东西啊，它本来就有点反人类的一种一件事情啊，这个不是反人类，这个叫反人性的一件事情。所以说在这个你学习时间长了，肯定会这个有点这种情况，但是你要注意我们学到这个高等数学的后面。它会更加的重要，我们学习的线性代数的，后面它会更加的重要，我们学习的概率论的，后面它会更加的重要。所以你要注意这个问题，

来我们一起来看看。那首先我们在这这里面当中啊，看看第一个点无穷小量的比级，那既然是无穷小量的比级，第一个问题点。那怎么进行去比较呢？我们可以用定义法进行比较。那么，像这种情况，通常而言。最好的适用于两个量之间。哎，两个量，比如说一个题目当中说一个事情，说我这个人是他的高阶无穷小，

我这个人是他的低阶无穷小，我这个人是他的等价无穷小。我这个人是他的同届物主角，我怎么办呢？我就这样办。那么，这里面当中我们这个人的这个极限结果是零，他在这个趋向下是无穷小，这个人的极限是零，他在这个趋向下是无穷小。我就把这两个无穷小作比求其先。如果比出来的极限结果是零，上面是下面的高级文学家来不及记听就行了。你你不要这个上课抢，因为我这里面当中很多东西啊呃，

为了保证这个节奏的连贯性，所以有些东西我就放在这上面了。然后第二件事情我们再看，如果知彼是无穷大呢？上面是下面的第一节，无穷小。如果这个之比是一个不为零的数呢，我们这个东西是同阶无穷小，但是在所有的同阶无穷小当中。一这个人就是等价无穷小，他是最特殊的。所以如果这个作品这个人结果是一，他们是等价无穷小。所以要想清楚，这是用定义法进行笔记。

然后在定义法进行笔记啊，它其实会出现这四种情况，我们来看看。如果在这个趋向下，俩人都是无穷小量，把它作比求极限。如果这个极限结果是零高减。如果的话，这个人结果是无穷大，那这人是第一节，如果是一是等价一个不为零的数是同减。那这里面当中，我问一个事情。你想想高阶比上低阶，结果是零这个极限存不存在？

零是存在的，你看这个极限是存在的，一也是存在的，波为零的数是存在的。就这个人讨厌这个极限是不存在的。所以说你要注意，尤其是我们在做极限的时候，比如说四则运算存在的时候，对吧？都存在才能拆。加减法当中，只要见到存在就拆开。是这种问题，因此你要想清楚，就说我这个人如果知彼是零是存在，

对吧？是一是存在。是这个什么哎，同阶无穷小也是存在，就是害怕这种低阶比高阶低阶比高阶啊，是不存在的。好了，掌握清楚，我们这个稍微的准一点，就碰到这种问题，你要知道怎么做，如果这个题啊，说我是你的高阶，我们知彼的极限是零。我们是你的第一阶，

我知彼极限是无穷大用，求极限的方式进行处理就行。但是有的时候啊，我们遇到多个量的时候，其实用刚才这个方法不太好用。你比如说一个题，我里面出现了五个人，那五个人当中，我们说哪个人是最高级的？对吧，你就像这种题。对吧，比如说这个题，这是三个人，比如说这个题说最低阶的是你要还是两两作比求极限，

这就非常麻烦了。这就非常恶心了，所以说这里面当中我们通常会怎么办？我们可以找等价去递进。怎么进行去找等价呢？你看这样办他的定理是这样说的，说如果在趋向零的时候，我把这个函数。等价岛把这东西称之为最简形式。好注意最简形式。如果这个东西等价的最简形式，对吧？a倍的sk次方，那这个k啊，其实就是我的阶数。

啊，这就是你的阶级，你在哪一个阶级啊？你是哪一个阶级的呀？好了，就是由这个k决定的。能想清楚吧，好了，就是由这个k进行决定的。阶级，你看这个中文之华美。这个词儿阶级，你是哪个阶级的啊？我们分成了好多个阶级，是哪个阶级的中文之画眉？

阴文之土鳖啊，好了，这个人所以说这个时候如果等价无穷a倍的sk次方。那这个时候我们就说这个东西是s的k阶无穷小。对吧，这个人k减。是不是这个事哎k解无穷小？好了，这是这个点，所以我们就把它等价过去。那么，尤其是我们，比如说我们举个例子。那你说如果x进行趋向零的时候。我们这个ln多少呢？

一+s的四次方，你看这个人。那这个人的话，当x趋向零的时候，四次方就趋向零。罗印一瞎框。立即等价无穷小框，所以说就等价无穷I四次方。所以这个人是个几阶呢？哎，这个人是个四阶无穷小，能听懂吧？好了，这是这个人四阶无穷小。好了，

这是我们讲的这个第一个事，所以我们通过这种情况，我可以进行去看到哦，这个无穷小量它的解数。所以因此如果碰到一个无穷小量比切的题啊，我通常有两种，我一种的话，我就是找到你这个无穷小的这个。等价我就能看出你的解说。或者而言呢，我两两作比求极限，我也能判断你两个人的这个接触谁更高，能听懂吧？就是这两板斧。把这两板斧用透就行。

要不然，用定义法作比求极限，要不然进行去找到等价，我就能看出你这个人的结束，用到这个方法。但其实第二种啊，用的更多一点。但是如果你要用第二种，你就得进行去找这个人的，等价无穷小，而我们在考研的时候经常还会出现这种题。说这个人的等价无穷小是多少？abcd当中，哪个人跟这个人是等价，是不像这种题啊，

我们也会出。所以我们经常还会出这种题哎，你谁跟这个人是等价找等价无穷小也是我们一种非常重点的题，所以接下来我们来看看第一个点。必考内容一。一定会考。100%会出题。啊，所以说这个事一定会出题，我们最近的话，这几年考研真题当中也会出现这种题。这一定会考的常见等价无穷公式。但一般情况下，这种题啊呃，就是出现在这个前几个题当中也比较简单的一个题。

其实也不是说这种题就简单。你想想极限的题真的那么简单吗？你说极限的东西多不多？极限的内容比一元函数微分学。一元函数积分学，还有这个多元函数的微分学的东西啊，都要懂，但是为什么这个东西学的好，我原来已经说了很多次了。那是因为你在这件事情当中花费的时间足够的长了。好了，我们一起来看看这个人吧。像这些公式啊，你都得把它记清楚。那首先第一个问题。

等我一下，我们先找一个东西，把它遮一下。这样吧，好，我们先看看这几个人的，这几个根本的。哎，完美啊。来看这几个人。我们先看这几个根本的，这八个都记不住，那真的是有点对不起自己了。对吧，你是实在是对不起自己了，

不要原谅自己，原谅不了你，没有拿出态度。你这怎么考啊？所以接下来我们一起来看看这几个人。当s趋向零的时候，那这个sins等价无穷s arcs in s等价无穷s等价无穷s等价无穷s等价无穷s。等价无穷s，然后这个东西等价无穷，二分之s次方一加s阿尔法次方立即等价无穷大。好了，这几个人那么同理而言的话，这个x趋向零呢，它其实有的时候还会喜欢考a的x- 1等价无穷x倍的lna。我们讲过吧，

其实你可以把这个东西啊，进行一下幂值转换，变成了e的x倍的lna就过来了。对吧，你看你这个东西写成e的x倍的lna，那这个部分不就是框吗？好，这是这个人，那么他们都能进行推广使用，如果这句话你都不知道，那这一年复习啊，是不合格的。你再基础的话，我也我觉得你应该知道好了，这是这个人那么，

然后还有当I趋向零的时候，你发现这个人。它是一加上x开个N次方减一，它等价无穷，是n分之x，你把这个东西啊，单独作为一个公式，你把它记住吧，就是阿尔法取n分之一的情况。对吧，这也是常考的，是贼喜欢考这个人，而且不喜欢考这个人，喜欢考这个符号是负号。这是正的，

这是正的，这是负的，后面是负的，把它记清楚。好了，这是第一步，然后接下来我们再来看看第二步。好，再来看第二个。然后第二步是什么呢？我我再把这个东西折上。来把这个遮住。这样注意力会集中一点嘛，来看看这几个人，这几个人呢，

把它给我记住。有的这个同学的话，在这个复习的时候啊说啊，这还要背我有太勒公式，脑子一推就出学的很好，对吧？把我这话学的很好。脑子一转啊，这个转出来，但是你要注意一个问题啊。你考场当中再进行一转呐，我觉得其实就有点麻烦了。那么，先来看看第一个人。x减去这个人呢，

立即等价无穷，小六分之s三次方。那这个部分呢？刚好跟它相反。所以同学们，你最喜欢背的是谁呢？你其实最喜欢背的是这个人。只要是稍微考研点的同学，你这个东西肯定是把它记清楚了。只要记住这个人，那像这个阿克塞，因这个东西就记清楚了。然后这个时候x减二x sin sin这个人是正的，而且tan这个这个人是负的三分之一，不要把它背反了，

那这是负的，这是正的。所以这几个人呢，就立即出来了。好，把它记清楚s减去ln呢，其实泰勒公式的第二项二分之一x方啊，这个。一s减一呢，你看这个t的公式减去一约掉，减去s约掉，留下第三项是二分之s三次方啊这个。平方二分之s方来证出来。好了，这几个人呢？

把它记清楚。另外一个方面。如果你到了现在。你还是那种同学。在网上找各种各样的顺口溜进行去备胎的公式，那我觉得。真是有点荒谬了，对吧？你这个东西你多记几遍，早都把它给我记清楚了。你还要进行去啊，这个进行去找一些顺口溜进行去背，那是真的是有意思，对吧？这个公式都没记住，

先给自己增加了一个顺口溜。所以你就会发现。呃，到了这个，每逢到了这个冲刺的时候，很多同学就明白了很多道理。但是明白这种道理了之后呢，你发现时间又变少了，这其实你发现这两件事情就无法得到平衡。你看多少同学在这个之前复习走了多少弯路？有有些同学的话听这些说啊，这个强化的话应该按照这个数学三复习，你看吃了大亏了吧？听了一堆自己补考的内容。没有吗？

我不信。一堆自己不考的内容，而自己考的东西呢，又没有重点的进行去练习，浪费了一堆的时间。然后在平时的复习的时候，然后东西也没消化到位，刷了一堆的题，最后啥都不会啊。还有一些同学的话，在这个复习的时候。呃，一开始的你有些东西的话，你稍微投入一点时间，你总会被一些这个啊，

一些东西的话影响来影响去啊，这个点。行吧，不多说了，好那么这个第一个点呢，我们就讲到这，这是第一个问题，所以说这个几个重点的公式啊，把这个该记的东西一定要把它记清楚。好了，这是我们讲的这个第一个问题，常见的等价无穷小公式好，这是第一个事，然后接下来我们再来看看第二个问题。很喜欢考这个地方。

这两个东西非常喜欢考。其实最喜欢考的是第一个人。你就记住，如果ling是一个无穷小。就是我录音一个东西是无穷小，里面肯定是趋向于一的。你想是吧？你里面肯定是虚像一的，但是louie我喜欢的是一加狂，我就加个一减个一。那这个时候你就会发现，你看这个人当这个人趋向一的时候，这就趋向零。所以说我就立即等价无穷，小于这个函数简易。

啊，不要墨迹，这个是最喜欢考的，其实第二个麻烦。对吧，看起来麻烦，但是考的也少。这个人特别喜欢考。l一个函数趋向于立即等价无穷小，这个函数减一。所以一定要会啊，那包括这里面当中，你像我们常见的。第一个人x趋向零的时候。这个ln x加上多少根号下一+x^2这个人？

这个函数叫什么呢？这个函数叫反双曲正弦函数。反双曲正弦函数。啊，就这个人。那么，双曲阵弦函数是谁呢？双曲正弦函数是这个人，它其实是这个函数的反函数。要注意啊，这个人是这个人的反函数，这个函数叫双曲正弦函数。所以像这个函数有三个重点的性质，这个函数是个奇函数。这个函数的导函数等于这个人分之一。

这个人在趋向零的时候等价无穷，小是x。好，这个基本问题啊，把它想清楚就行，你注意这个函数，这个函数是个奇函数。好，然后的话，它的导函数等于这个人分之一，然后在趋向零的时候等价无穷x好，这是第一个事情。然后第22我们再来看，当s趋向零的时候，然后这是ln cosine。

录一个函数趋向于一，立即等价无穷小，这个函数减一等价无穷，小负的二分之x方。好，这个人也要把它记清楚。然后第三个人。那还有x如果进行趋向零的时候。一减cos x这个东西，我们等会再讲。那么就是第二个人，第二人的话，如果这个人趋向于一等价无穷，小阿尔法倍的这个函数减一。你怎么做的呢？

其实就是把这个东西做了个个值转换。哎，把这个人转换一下。一转它配不上黑色吧，它配不上别的颜色，幂值转换了之后就变成它。好导x趋向1 ln 1是零。那一的框减一立即等价无穷小于框。录音一个函数趋向仪立即等价无穷，小于这个函数建议。好了，是这个人，所以你把这东西给记清楚就行，一个函数趋向于它的函数的阿尔法次方减一等价无穷，阿尔法倍的这个函数减一。

因为这个东西啊，没有第一个人考的多。我们到了，今天你先抓大头。很多说那第二人复杂，为什么不考？那考的就是少，那没办法，考勤角度上就喜欢考第一个人。好了，我们再来看看这个第三个公式，那第三个人的话就是你这个人等价多少呢？你等价无穷二分之x方。然后如果给这个东西开个N次方呢，你就等价无穷n分之一倍的它。

就是你开多少，我就乘上多少分之一，所以这个公式啊，怎么推的呢？就是通过这个推的，你想推啊，你自己进行去推一下就行。好了，这个人把他过去了，把这个人也擦了，这三个人。行吧，这一坨重点的故事，明天去背。啊，

你不光要记得住。你在做题的时候一定要有非常强大的敏感性，你见到这个东西你就要反映出来，你见到这个东西你就知道它。这是非常重要的。好了，这是那个内容？然后另外一件事情的话，就是你光记住了这些公式啊，有些同学未必做得好。所以说我们接下来我们就来看看这些东西怎么去用呢？其实吧，大家思考一下。我们学习极限，我们学习了好多方法，

比如说我们学习了无穷小的带宽。我们也讲了一些泰勒公式的求解这个极限的方法，我们讲过吧。我们也讲过的，这个四则运算讲了洛必达法则，讲了导数定义，我们也讲了拉格朗日中值定理，我也给你们讲了。虽然拉格朗日中止定理。还有这个泰勒公式，不是我们三九六同学特别要求高的这些方法，但是你会发现。综合下来，这些方法你就会发现哪个方法用的是最烂的。就是等价无穷小。

很多同学题目做错，能做错都是因为等价无效替换公式。胡来。都是因为这个东西，你就会发现越简单的东西。然后有些同学做的越不好。那这样的复习，那肯定是不行啊。所以你要你的复习策略应该是简单的东西，一定拿分中档的东西，一定要把它扣住。难一点东西再进去去够一够你就能考高分。很多同学说话简单题，他不想动手。中档题的话，

他就是在这走马观花的进行看，就喜欢进行去看难题，喜欢看难题，无论是考数一数二数三还是三九六，你只能考到。本套卷子的20%到30%的题。你注意，你只能考这些分。你像三九六同学，如果数一数二数三同学，也就只能考30多分。三九六的同学的话，二七一十四只能十十四到这个多少呢？三七二十一。不到20分，

你这怎么办呢？考试哎，又不是竞赛的嘛。那竞赛也不这样，所以接下来我们来看看，等价无穷小的替换原则。那等价无效替换原则讲了很多，我们来把这些所有的这个替换原则，我们用一张表，我来给你进行去整理出来。哎，都在这儿，所有的东西都在这儿。这张表只要你能把它拿下来，问题点一点都不大好，

我们一个一个的过。先来看看这里面当中的第一条，第一条忒简单。乘除法的因式。乘除法一定是可以使用等价无穷小替换，没有任何的问题。对吧，等价无穷，小一定可以。所以这个等价无穷小替换公式，这是一定可以用呃，这个今天下课的话，我会给你们导笔记的上上课，你要来不及抄啊。你下去就对着那个笔记去看就行了。

行不行？你回头的话，把这个笔记你打印出来，但是呃，这个阶段呢，你要光打印出来，这些上面的题啊，你要进行去做一做。行不行？或者你不打印的话，你就对着看也行啊，这都行。所以不要把大量的这个时间呢，浪费在这个抄笔记上。把更多的时间放在这个思考上。

那我们一起看，如果这个东西是乘除法。乘除法这个东西一定可以使用，等价无穷小替换公式。这是一定可以用的。然后再看第二事情，非零因子。这个内容我想重点讲讲。什么是非零因子啊？我们一直讲中文之华美。非零因子，非零因子第一个东西得非零吧。第二个东西是因斯吧。什么是因此啊？因此是乘除法。

所以说这个时候你要注意两件事情，你既要非零，你又是乘除法，就是乘除法中的非零项。你这个人怎么办？你可以在这个等价的过程当中把它先算出来，比如说我举个例子。如果这里面当然考了这个人，说s趋向零，我们随便写一个吧，比如说这个人。一+x^2，我再乘上个cos，你告诉我等价多少？你看这两个东西是乘除法吧，

第一个人等价无穷x。而cosine 0是几啊？cosine 0是一，你看这一项是一。非零乘除法中的非零项，可以把它淡化，所以说最后这个人就等价无穷小x。所以你看这个东西是没有用的，因此它是唯一可以先算的。乘除法中的非零项为零项，不行非零项，可以先算注意啊，乘除法中的非零项。然后接下来我们再看下一个事情无穷小，一定要有接的感觉。

你活在哪个阶级啊？你是哪个阶级的？无穷小那所以说这个人的阶级由什么决定呢？你看这个人。这等价的是一次方一解一解一解一解二解一解。然后这是三阶，三阶，三阶，三阶，这是二阶，这是二阶。所以你要知道它是哪一个阶级的无穷小哎，你们还记得一个事情吗？我记得我在呃强化班的时候，我给你们画了一张那个非常好的表，

等我一下啊。今天呢，我把这个东西我也给你画一下。PPT啊，是一个非常好的，你们到到时候的话，这个读研究生呢，做科研的时候你就知道。PPT画图是非常重要的一个东西。好，稍等一下，我来给你，我们来看看这个。然后呃。算了吧，

这个。我们来看看他是哪个阶级的？嗯，这什么玩意儿？好，我们来看看他是哪一个阶级的？别闹别闹，这是这啥？最近你们老老开玩笑啊，这个。我们来看看，就说你这个东西到底是活在哪个阶级的啊？你是哪个阶级的？无穷小，你到底是哪个阶级的？

所以我们在这里面当中，把它这个进行去啊，看一看，比如说我们这里面大致的进行看一下这个来。比如说这个，你是哪个阶级的？我们先看第一个事儿，比如说这个人是这是一阶的。啊，比如说这是二技能。啊，比如说这是三阶的。啊，然后的话，这个上面的话，

还有等等一系列的。哪一个阶级的你？比如说当x趋向零的时候。你看这个，比如说一的x- 1了。什么ln 1+s？什么这个sins了？什么这个arcs in s？什么这个tangent x什么arctangent x，你看这些东西都是一级的。对吧，都是一级的，然后到了这个二级的话，比如说你看这是一减cosine啊，比如说我们刚才讲的这个ln cosine啊。

你看这都是二级的，你什么这个e的s- 1，了什么s-ln你像这个s什么减三了？等等，那这些东西是三阶，你要注意它的这个阶级，你是哪个阶级的无穷小？而我们是知道这些人的阶级了之后啊，马上就会处理一个问题，我们有一个非常非常重要的一个原则。就说如果是有限个无穷小，这条非常关键，我们贼喜欢考。没发现吗？这个东西在我们的考场当中，

经常会喜欢用。就是会用的同学比那种不会用的同学水平点要高。就说有限个无穷，小相加减，如果你们是不同级的。就什么意思呢？就说如果这里面当中，比如说我们在这个趋向下。你这个人的极限是零，你是个无穷小，然后这个东西呢？哎，你是这些人的高阶无穷小。对吧，你这是高阶无穷小，

那这个时候的话，这个无穷小，然后再加上这些高阶无穷小。再加上这些高级文学校，我们就等价于最低级。能听懂吗？所以说这个时候你就想清楚，比如说这二阶无穷小和一阶无穷小相碰，最后等价的是一阶。什么三阶无穷小和二阶无穷小相加，那最后等价的是二阶，这个东西叫合取低阶原则。对吧，一定是往低阶进行考，何取低阶原则？

一定要注意啊，是有限个无穷，小量相加减。往下吸收，比如说我举个例子。你s趋向零，我在下面出一些题吧。比如说我们这个上一次考试是不是考过这个题？说埃斯趋向临阵的时候。然后这个时候的话，这个上面是多少呢？上面这是一加根号s，这是一+s，那这人等价多少呢？我们来看。

我们就可以把这东西写成一加根号s，然后再减去ln 1+s。来看一下这个人的基因。那这个人如果能等价是根号，所以说它是二分之一减，如果能等价是x，所以说这个人是一减谁的最高啊？后面最高。所以说这个时候啊，河曲DJ就是这个人，罗伊一加根号，所以等价无穷根号。你看这个题啊，是我们上次模考卷里面是不考察过这个题啊？所以注意不同阶的无穷小量相加减一定是何许低阶，

要学清楚把这个问题点梳理清楚。能琢磨吗？就不同阶的无穷小。那包括的话，这个如果我们在考试当中，你见过这个人，你像这个塞因，然后再加上一个洛因多少一+I次方，比如说我们出现在那个分母当中。那这个时候一看，你看这个人是一阶，然后这人是几阶，这是二阶，所以说这个时候就和取d阶，那不就取这个人嘛，

所以最终就等价无穷小x。是不是这个事情，所以要会做何取地精？呃，但是我还是记得一个事情，你说他是学习非常的荒谬，对吧？我曾经见过一位同学问我这个事情，说老师那河曲DJ。那如果你说x加上平方，加上三次方合取DJ是这个人？好，没有问题，那老师如果是一+x加上平方，那这个人等价多少？

等价格是多少？等价格鬼。啊，增加多少？这就不是无穷小了，还等价呢。你别在那胡扯，对吧？你就告诉我这个极限是几？在趋向于零的时候，这个极限是一，它是无穷小吗？它不是无穷小。你要注意，它连无穷小都不是，

你在那等什么鬼啊？所以不是这样子，别胡来哦。等价等价等价无穷小无穷小，一定注意无穷小的极限必须是零。哦，跟不跟跟一定是没关系。你看这些每个人的极限都是零无穷，小的极限是零，别胡来哦，千万别胡扯。然后接下来我们来看看下一个问题，第五个点这条内容也比较重要。这条内容是带有一定的技巧性的。其实你发现乘除法很少出错。

容易出错的人呢，都是在加减法上。所以这里面当中，我们谈细一点。比如说不同阶的无穷小量相加减呢？我们如果在s趋向零的时候看。你看的话，这是x。然后的话，这是sin x方。你这个时候的话，这是一阶，这是二阶，何取d阶是它？所以如果是不同阶无穷，

小量相加减，你就注意，如果这个人是不同阶，哎，我两个人接触不一样，你看这人是一阶，这人是二阶。不同阶的无穷小量相加减，我就何取递减？没问题吧，不同阶的无穷小量相加减，我就何去递进？那如果是童鞋呢？请注意这一条很重要。这一条我们也很喜欢考我们的真题，

里面非常喜欢出这些事情。如果是同阶无穷，小相加减。而且等价岛最简形式，这条内容必须要把它给我卡死。你要把它等价到什么呢？你要把它等价到a倍的xb次方的形式。这叫最简形式，如果等价的最简形式，它消不掉，我就可以直接等价。我就可以直接等驾。所以注意，如果好多个同阶无穷，小量相加减，

比如说我们练几个？首I次趋向零。那趋向零的话，比如说这是有个三。然后再加上一个t an ENT。来同学们看看，这是个几节一节，这是个几节一节，同阶无穷，小量相加减，你看。如果等价的最简形式，最简最简消得掉吗？哎，你发现这东西消不掉，

那消不掉，我这个人就等价无穷大。是不是这个事情，所以说你一定注意，等价到最简形式消不掉，它就可以，比如说我们再来。一，减cos。然后这个人再加上个ln 1+x^2。你看这个，那这个时候我一看诶，这个人是二阶，这是二阶同阶无穷小。同阶无穷小等价的最简形式是它等价的最简形式，

是它能不能消掉最简，最简消不掉。然后这个人就是二分之x三次方。但是同学们，你一定要听话。我说的是一定要把它等价到最简形式了。你如果等价的不是最简形式消不掉，那可不行，必须要把它等到最后消不掉，它就可以直接等价。一定要听清楚这个事很重要。能学清楚吧好，这是这个问题。同阶无穷小相加减，必须要等价的最简形式消不掉，

如果等价的最简形式消得掉呢？如果消得掉，一般是这样。一般的话就不要管了。就不要用这些方法了。那有可能我们作为三九六同学，是要化简。如果你要是学的是数一数二数三，我就跟你说的是一定进行太多。但是我们哪能考的那么那么的难。如果见到这个题消不掉，就选别的方法来做，比如说做比求极限，洛比达拉对吧？你要注意这个事情。

所以像这个问题啊，这个方法比前后作比的极限不是负一水平点更高，这是我们在强化的过程当中做了加强的。你要学会这个事情能听懂吧，所以我再说一下这个事情，就说如果在这个等价的最简洁时，你消不掉，你消不掉就直接等。如果能消掉哎，能消掉的话，你有两种手法，你其实作为我们三九六同学，你要把换方法。你换作弊求极限，洛必达或者你就化简，

或者你就直接泰勒了，如果你泰勒学得好，你就泰勒。所以这里面当中我觉得非常有必要，我再把这个东西啊，稍微的进行去复习一下啊，这个泰勒公式。你没发现吗？我这个标题是有点讲究的。你看上面这个内容，我写的是什么？我写的是。必考内容一。然后写的是必考内容二。然后到这个人呢，

我当时想写了解那种。我觉得这样的话提不出来，很多同学的这个信心。所以这里面当中啊，我写的是考点内容。啊，这个档次就比上面这个东西啊，要低很多。所以作为我们三九六同学这个泰勒公式啊，不是你非常首选的。所以这个东西跟我们数一数二数三同学做题的这种操作性是不一样的啊，它是不一样的。所以像这个它的公式啊，我们需要把它怎么办？我们了解啊，

记住就行了，当然你不会这些东西啊，你也会处理这种问题的。但是你最好知道好，我们先来看看第一个人。它的公式啊，其实就是一些公式。它们是趋向于零才能用。啊，趋向零才能用。那么像s in这个人呢？他的态的公式是x减去三的阶乘六分之一x三次方。作为我们三九六同学，你能背到这就差不多了。其实它真正的公式是三的阶乘三次方，

然后这是五的阶乘五次方减去七的阶乘分之一七次方。然后一直把它往下写。好这个，然后这个东西是没有什么规律的，你就背到这儿就可以了。好了，阿尔克塞因这个人就背到这儿，然后阿尔克tangent这个人他也没有规律，你就把他背到这儿。注意这两个东西啊，是没有规律的。啊，什么叫没有规律呢？就是不能按照这个规律往下写，然后阿尔克碳正体呢？

这人是有的，减去三分之一三次方。加上五分之一五次方减去七分之一，七次方好了这个人。当然在做有些题啊呃，如果你在这个东西啊，你会你这个东西可以做的非常的快一点啊，这个人。然后1s的话就是一+s，然后这是二的阶乘分之一平方，然后这是三的阶乘分之一三次方。你可以把它一直往后写，然后这个人呢？是x减去二分之一平方，然后加上三分之一三次方。

减四分之一，四次方可以把这个高阶无穷小继续往后面写。然后这个cos in就是就是一减去二的阶乘平方，然后这是四的阶乘四次方，然后这个人呢？你能记到这儿就可以了。然后最后一个人呢是一加上imax，然后是二分之m乘上m减一x平方。加上高阶无穷小。当然有些题啊，你能尝试着用泰勒公式的展开的方式啊，也是一个非常好的一个方式。但是这个东西啊，往往是我们的次要选择，不是主要选择听得懂吧？

不是首选，是次要选择。好了，这个内容啊，我们就讲到这，所以该捋的东西我们全部捋了，所以如果遇到无穷小量比节，如果两个人哎呀，说我是你的高阶咔的一做比。的确是零。那么，低阶之比是无穷大等价，是一同阶是不为零的数，或者直接把它等价的最简形式去看这个人的解数。所以找等加要利用等价无穷小公式怎么使用呢？

替换原则也讲了，所以这些内容我们怒拿四分。对吧，学习这些问题啊，怒拿四分也是直到总共就70分，你要是每次啊才才四分，怎么怎么样？你不要这样啊，它也是后面的一些习俗好，先看这个题。那这个题啊，给了一个无穷小，给了一个无穷小，给了一个无穷小说，趋向于零阵的时候。

说以下以上，三个无穷小。按照从第一节。到高阶的排列顺序。所以说在这里面当中就是我们要进行去确定每个无穷小量的接触。这多个人要做笔用定义法就非常麻烦，我直接找党家，所以我们先来看看第一个人。阿尔法一。那阿尔法一的话，你看你这个人跟这个人是乘法，你这是x你把这东西写成一减cos根号s配负号。那所以说这个人等价呢，你这是乘法呀。一减cos框立即等价无穷二分之一，

这个框的平方平方是x，所以等于负的二分之x方。两阶无穷小。然后再来看第二人阿尔法二阿尔法二是根号s罗引多少呢？一+x开三次方。那然后继续看当s趋向零的时候，这个部分就是零，那就是框，所以我们来看那前面这个东西乘上这个罗引一加框，立即等价无穷框。x的二分之一次方x三分之一次方x的六分之五次方六分之五减。然后我们再来看看第三个人，第三个人的话，其实是一加s的三分之一次方减一，或者你直接写一写你这开三次方，

其实就是多少？三分之s，这是一阶。那因此这个人就出来了，第一个人是二级，第二个人是三级，那这个什么六分之五级？然后这是一阶，那这个时候从最低阶呢？最低阶是阿尔法二，然后到多少阿尔法三，然后再到阿尔法一。正确答案选几选b。所以像这个题啊呃，非常的简单，

但是其实而言的话，这种题的话，我们出的还挺多。按照这种方式，如何进行去判定？好了，这个题啊，过去了再看下面一个题啊，冲刺九。好，继续看。那这个题的话，首先我们继续看，你先看a选项。那a选项就非常简单，

你这个人直接等价多少二分之s次方这是s，所以说这个人是个三阶无穷小。然后这个b选项呢？b选项你得这样看。b选项其实是一加上，然后这是负x加上三次方，然后它的二分之一次方减一。所以说这个东西就是个框。一加框的阿尔法次方减一等价无穷。阿尔法框负x+3次方。然后这是一阶三阶根据和取第一阶，我们取第一阶，那就是它，所以这个人呢，他是个一阶无穷小。

然后我们再来看看c选项，c选项还比较关键。c选项最重要问题是后面这个人。后面这个人呢？你要进行去看，我来重点讲讲，后面这个人。后面这个人是这个。louie，这个人。然后这个人的话，其实就是ln多少一+s，然后再减去ln1-s。好了，我们来看看你，

发现这俩人是不是同阶无穷小？这个同阶无穷小，第一个人等价是x，第二个人等价是负x，能不能相消啊？哎，消不了。那这个东西消不了，那这个人就直接等价了，直接等价无穷2s。能听懂吗？好了，这是第一种方法。然后第二件事情，你还有第二种方法，

我们再来看。我们都知道另一个函数趋向零的时候，这是一另一个函数趋向于一，立即等价无穷，小于这个函数减一。那这个函数减一的话，其实就是一减s上面减下面，这是二s。而当x趋向零的时候，这个部分是几啊一非零因子乘除法中的非零非零项，可以把它淡化了。淡化成这个人。非零因子可以淡化这种方式也行，所以说这个人等价前面是它，后面是2s，

所以这是几节二阶。然后这个东西呢，等价无穷，六分之x三次方，这是三解，然后这个人d选项d选项的做题啊，有多种方法。哎，这是e选项。好，最后一个选项。这个选项其实我们讲的非常多，有些同学过去都把它记住了。就是这个x趋向零，然后tan减去这个s in它等价多少？

他这个人的做题方法，你可以这样办，最快的方法。是第一种把这个tangent提出去，然后这人就是一减cos in。那所以说这个人就等价x，这是二分之x次方，所以说就等价无穷，二分之x三次方可以的，那还有没有方法呢？还有一个非常好的方法，你可以这样，你给这个东西减个x加个x。那这个时候你再看诶，这个人是个三阶，

这个人也是个三阶，两个三阶，你都把这个人给我等价到最简形式。第一个人等价的最简形式是它，第二个人等价的最简形式是它，哎，那这两个东西的话，你发现你看这两人能笑掉吗？消不掉，等价到最简形式消不掉，它就出来了。二分之一三次方，所以这个人呢？立即出来三请。那所以说对于这个题而言，

最低阶的是谁呀选b？好了，这是这个题，能想清楚吧，把这个问题点呢，把它想清楚。好了，这是我们讲的这个冲刺九。所以说这个问题点的这个方式啊，把它做清楚。好了，这是这个题，那么接下来我们再来看看这个第十题。稍等会儿，我把这个部分讲完了。

好，再来看一下这个题。那这个题啊，他说了一个事情，他说这两人呢，是等价无穷小。你可以这样做，第一种方法就是把这两个东西作比求极限。你或者就是直接进行去找等价都是可以的，你想想s趋向零你这个阿尔法x这个人的话，其实是kx方。你再加上三次跑。二阶和三阶，其实这个东西二阶就出来了。然后另外事情的话就是这个北大北大怎么做呢？

北大做题的方法非常多。那对于这个题而言，你想想。他这个人是两根号做差，两根号做差，这个东西是不是有理化？所以说既然是有理化的话，我们这个人就变成了根号下一，加上x倍的这个rxn，然后加上这个人。那然后上面这个东西呢，就变成了你的平方。然后再减去你的平方。好，做成这样。

那做成这样了之后，我们再来看那这个部分的极限是几啊？有理化通常进来的这个人是非邻乡。那这人是二。所以说这个人呢，我们就是等价等价乘多少一减cos in，然后再加上x倍的arcs in。你看这个人，所以接下来的时候你就要进行观察。然后一看诶，这个人是个二阶无穷小，这是个二阶无穷小，这两个二阶无穷小，通过我的眼力，我这个人等价是二分之x方。

这个等价式x方能不能够消掉？消不掉，那既然消不掉二分之啊，这个是二分之三四分之三倍的平方。所以说这个k就是多少k就是四分之三。你看这个题是不出来了，所以说正确答案选几选c。好了，这个题啊，我们这样做，它是一种方式。可以了吗？我们继续看，还有没有别的方法呢？其实这个题还有。

那么再来看看。看这个方盘。哎，方法二。那方法二的话，这个杯大。你这个人是根号下多少？一+x倍的阿克塞因。然后这是根号cos in。但是这里面当中啊，你就得进行去观察一下了。其实通常情况下。加一个g减个一是不行的。你加个一减个一是不行的。但是我知道这个人等价的是平方，

也就说明这个人等价k倍的x方。那我知道，如果这个人减个一等价的，应该是平方这个人减个一等价的是平方。而最终是平方肯定约不掉。这就是我在做这个题的时候，做了一定的预判，其实我们做过了很多题，像什么加个一减个一，其实都做不出来。基本上都做不了，因为加个一减个一了之后，最后等价的最简形式就约掉了。但是这个题我可以控制一下。因为这种当中我稍微进行去观察了一下，

它是这样。我加一个减一个。然后接下来去等价。你看看第一个人。那第一个人的话是。一+x倍的arcc。它的二分之一次方减一。那这个时候我们就继续，你再看。哼哎呀，你这种基础的话就有点厉害了。你别胡来哦。只有非磷因子才可以先算。你要那样做题啊。如果你有这个水平，

所有的极限题你都能把它做成多少呢？所有的极限题你都能把它做成零或者无穷大，你去试一下吧，好多题不应该是所有应该是好多题。那纯属胡来了，纯属胡做题了，那说明这个前面的话，做极限都没有什么章法啊，非零因子才可以先算。不是非零因子啊，不要先算好了，我们继续，我们再看。那这个人等价多少呢？当x趋向零的时候，

这个部分是零。那这是框。所以说这是阿尔法框s倍的阿尔克塞因。所以说就等价无穷，二分之x次方。然后接下来的话，这个是一减去根号cos in。它等价的是多少？二分之一x方前面乘二分之一吧，四分之x方。那所以说这个时候你看你二分之x方和这个四分之x方最简形式了吧，最没最简。必须要最简，我一再给你强调，我们学数学的话，

就是学规则，规则是这样说的，我们就这样用。所以说这个东西是最简最简的话，这个人刚好是四分之三倍的x方。所以k是多少k就是四分之三好这个题啊，我们就讲到这。但是注意啊，像这种加一减一这种方式啊，慎用。很少能用得出来，因为这种题的话，你得进行预判。那定式思维能力当然是两根号做差，有理化，

不用去想的。你见到根式游礼花，这是个非常重要的定式思维，能做不清楚吗？好像这个事儿我们就做到这儿。行吗？那么今天课程呢？我们就讲到这啊，这个今天呢？讲的东西也不是说特别多啊，今天的话更多的是。呃，开篇部分内容可能在那个开课的话，我们讲了半个小时，所以今天的话，

这个主要课程的内容啊，也是讲的这个。呃，两个小时啊，所以你下去把这个相对应的东西啊，好好去梳理梳理。那行吧，那么今天的话，这个是第一次课程。所以我觉得还是呃，在最近段时间呢，你稍微注意一下这个时间的安排啊，我们差不多是两天一次课程。两天一次课程的话，我们应该是讲15次到20次吧，

我大致的话，我们上次排了一下那个时间。所以说所有的这个时间呢，你自己去看那个课表，我们会把这个冲刺救命班的这个部分内容的第一个阶段的课程是最重要的。也是最核心的课程，所以你先把内容消化，脑子里面有货再去做题，脑子里面啥都没有，你怎么去做题啊？行吧，那么今天课程我们就讲到这儿，然后明天也是中秋节，也提前祝同学们啊，中秋节快乐，

然后的话大家的话不知道有没有回家啊，回家然后的话路上小心。我觉得国庆呢，还是一个非常对于考研同学非常重要的一个时间，那这个时间呢，也是比较重要的一个拉开差距的一个。呃，非常时间算比较长吧，因为今年的话，这个假期好像是七八天的这个时间吧，所以希望同学们好好进行去利用这个时间呢。把之前自己欠的一些东西啊，好好进行去补一补。好，那么今天课程我们就讲到这。

呃，冲刺救命班这个阶段，我们就讲到这。呃，冲刺救命班这个阶段呢，我们是没有什么作业的。啊不额外进行去布置作业，你之前的话缺什么你进去去补什么就行。就是你如果之前对吧你，比如说你买的有什么书？但不要太多，你要买了两三本，你先扔一本。呃，你手头里有什么书？

比如说我今天讲了无穷小量比节，我讲了这个部分内容，你就进行去对照着看那本书上的这个习题就行了。到这个阶段，我们就不额外再增加习题了，不然这个习题量你就会越来越大。这个习题的话，今年呃，我相信这个作为三九六同学的话，我们那个800题啊，还有暑期的话，这个题题量其实已经够了。你还有基础讲义，强化讲义，当然有些同学额外还做了一些题，

这些题量已经够了。你能把1000道题。非常熟练的把它掌握清楚，你做这些三九六的题，问题点一点都不大。但是关键点就是你那些题做完了之后，你敢保证你再次看到这个题你会做吗？有些人做做不到你做不到的话，我觉得这个水平点可能就没有达到。所以到了这个阶段呢，我们就不会额外的再增加题了，我们重点而言，我来上正课内容，你下去，然后针对于自己薄弱的点进行去加强。

好吧，那么今天课程呢？我们就讲到这啊。呃，基础的还有这个强化的啊，都是可以的，或者你自己买的这个习题也都行。就是你自己到了这个阶段，你一定要轻装上阵，你你手头有几本主攻的资料。然后剩下的这个东西是一个辅助的资料，就是你手头当中，你要知道哪个东西是核心，把这个核心的东西啊，你先放在这，

然后这些东西赋。如果做完了之后，你觉得还有学有余力，你再进去就攻克别的。一个一个的吃透。行吧呃，然后我们。一会儿这个上课的PDF的话，我们是会发到这个APP里面，应该的话。呃，冲刺救命班的话，我会发的快一点啊，基本上的话，这个只要助教的话，

有的时候助教的话，他可能在在学校。然后的话，因为他们也有点事儿啊，今年的话，助教大部分都是研三的同学了。所以有的时候学校有点事，只要他们没有事的话，就立即就传了啊，基本上都是30分钟以内好不好？行吧，我们今天就讲到这儿，然后那个21集啊，不要催这个东西。我以后再也不说这种话了。

是每次提前稍微说一个东西，然后下去你就开始催那个东西，我都说了是十月底发。你现在不要催这个东西了。然后我稍微一说的话，有的同学就开始催那种客服了，说这个21g21g是十月底的。你现在催也没有用。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这，以后的话，每个周的这个周末会测一次，然后到了这个十月底的话，是每个周测两次。

概率强化，没有听那现在一边听。可以啊，没有问题。没有一点问题。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，然后东西还是比较多的，所以希望同学们好好加油，我这三个月的这个时间能做很多很多的事情呢。我之前一直跟你们讲，你去想想三个月之前。三个月之前，我们的强化班一点都没有开课。

你如果把时间推到三个月，我相信你的一轮基础，一轮强化都完全的复习完了。你从一个零基础的小白，你都能复习的非常到位。所以希望大家还是稍微的有信心一点。呃，这个周的周末我们就不安排了。好不好啊？这个周的周末我们就不安排了，然后下次模考的话就是呃留到我们国庆节回来。然后我们再安排。好，那么今天课程呢？我们就讲到这，

然后后面的话，这个真题的答案呃，下次课程呢，我们给你们发一个部分。好不好？这个如果基础和强化复习的差不多，你就可以提前刷了。国庆七天乐啊，164个题。然后每天做个20多道，20多道，七天也不够啊，每天做个30道。啊30道，然后就可以了，

然后这个国庆的话，基本上就能刷完了，好那么今天课程呢，我们就讲到这好，加油啊，我觉得时间。对我们三九六同学平衡好数学这个方面，我觉得你还是能可以再进行往前面再冲一冲，尤其是前面。你自己知道你自己学习上的复习数学当中学习上的一些问题的同学，你好好调整，不要再走那个弯路了，你再走一次弯路，我觉得时间就非常的麻烦了。好，

那么今天课程呢？我们就讲到这，今天是第一次课程，也希望同学们好好调整一下自己的状态，然后定好自己的目标，然后这一个月。希望跟我们一起把这个部分内容再把它赶上来，好那么今天课程呢，我们就讲到这也提前祝同学们中秋节和国庆节双节快乐啊。好吧，同学们，我们下次课程我们再见。

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