01.冲刺串讲1-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:57:43

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，提供护肤音好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。那么，从今天开始啊，我们将会进入到我们这，应该是我们最后一个片段的课程，叫做冲刺救命班的课程，那么这个课程呢？里面当中其实包括了三个板块内容。

那么现在而言呢，我们进行的是这个第一个阶段的课程，叫做冲刺大串讲，那当然在这个冲刺大串讲的过程当中啊，我们还会进行了这个呃，我们三九六的话，同学的这个最后的这个大模考。所以一会儿过程当中，我会专门把这个课程设置的问题啊来跟同学们去讲，讲好了，那么接下来我们就正式开始，那么首先在正式上课之前呢，还是有必要跟同学们进行去。讲解一下，我们三九六精宗数学的考纲要求，

以及在这里面当中啊的一些考点分布，所以像这些问题啊呃，我觉得还是需要进行去了解一下。当然，如果你是一直跟着我们课程走的一些同学，你可能对这些东西都非常熟悉，那么今天的时候你再来听一下，你可能就会有一些新的感受。那么，首先第一件事，我们先来看看这个三九六数学，或者我们三九六的话，这个现在叫经济类综合能力啊。啊，这个考试那么以前的话叫做三九六啊，

经济类的话，这个联考现在不叫联考，叫做经济类综合能力。那么，这样的一个课程的话，里面当中是其实包括了三个板块，构成我们现在正在学习的是这个数学板块内容。那么，这个板块考什么东西呢？那么在这里面当中，其实总共考察35个题，每个题是两分，那总共是70分。那么，这样的一个70分总共是35个题，

其实题量非常大。你自己去计算一下，35个题，然后我们做题的这个时间呢，一般情况下其实就是一点五个小时。啊，一点五小时就是一个小时30分钟，那么一个小时20分钟到30分钟的，这样的一个时间你就要把它做完。所以说，对于很多同学而言的话，这个做题啊，其实要求是比较高的，你不光是对这个考点，你要会，

而且你要对这个考点一定要非常的熟悉。所以说对于我们而言的话，其实这个数学啊，提出了一些非常高的要求，所以在座的同学啊，有些同学可能以前呢，是考这个数学三同学。那么，现在进行去考这个三九六的这个数据啊，你可能你会觉得从考点的角度上而言，你觉得是降维打击。但是其实从考试的角度上而言，并不是降维打击，所以在这里面当中，你还需要进行去掌握一些像我们三九六考情的这些选择题，

怎么进行处理？所以我们在这个冲刺救命班的这个课程当中，都会跟同学们进行去渗透好了，这是第一个事情，所以对于我们而言的话，这个做题啊，要求是比较高的。不光是要会，而且你的速度方面你的做题的这个水平上面一定要有非常好的一个保证，但是从这个大纲要求的部分内容当中。其实不是说特别多，那么高等数学部分，我们其实就是重点学习四章内容，一章内容啊，其实在这个人的前面。

有一个东西叫做函数极限与连续，然后这个第二章部分内容叫做一元函数的微分学，其实在这个大纲的这个部分当中啊，他其实把这个一元函数微分学和。和这个第一章都想说啊，这个东西叫一元还是微分学，但是我们说详细一点，那么在这里面当中的第一个部分其实就是函数极限与连续。然后第二个部分是一元函数的微分学，就是导数了，微分了，还有这个导数应用部分内容，然后紧接着是一元函数的积分学，包括不定积分。和定积分内容，

然后紧接着是多元函数，你看这两个东西啊，其实算一章部分内容啊，就是多元函数微分学部分内容。什么偏导数了，对吧？什么微全微分了，还有在这里面当中多元函数求极值问题，所以在这里面当中的东西啊，高等数学部分核心重点就学这四章内容。然后这里面当中总共出21个题，那21个题的话，每个题是两分，总共考察42分，那这个量其实是非常大的。

然后紧接着是线性代数，那么线性代数我们核心重点是考察这个四章部分内容，那么一章是我们的行列式，还有一章是矩阵。然后紧接着是方程组，还有这个向量，总共是这个四章内容，我们编排角度上也应该是行列式矩阵向量方程组。然后总共考七个题，每个题是两分，然后这种当中是14分。那最后一个事情是概率论部分，那概率论部分的话，其实考察三章部分内容。那第一章部分呢，

它就叫随机事件及其概率啊，这个点呢，前面有一章部分内容，然后紧接着去学习这个分布和分布函数的概念。然后包括这个常见分布，这都是第二章，然后最后一个事情是期望和方差。所以大家一定注意啊，有些同学可能这个之前呢，你要注意你的学习的这个质量是非常重要的。那么，在座同学的话，很多同学其实都了解，因为今年我们开的这个全程班呢呃，很多同学这个水平点还是很高的，

所以我觉得这个你在最后这个阶段呢。时间还来不及呢，我觉得是非常来得及的，你作为一个三九六同学，我们在最后的这三个月的时间内，把这个数学进行去能力铺垫上来。这个水平点，这个速度方便的话，我觉得还是可以的。完全没有任何的问题，但是如果的话，这个。是数一数二数三同学，那最后哈还有这么点时间，如果你是从零基础开始复习啊，

那压力就非常大了。或者你只有一点基础啊，然后想考到一个非常高的成绩啊，这个压力也非常大，但是这里面当中对于我们三九六同学，我觉得时间还是非常来得及的。就算你最后的这个要求还是非常高，我觉得也是可以的，那么在这个冲刺救命班呢，接下来我要重点来说一下我们这个课程的一些设置。我们这个课程呢，其实包括三个板块的内容啊，这里面当中啊，我简单跟同学们去讲一下，我先说一下这个课程的设置。

然后再给你讲一下这个课程复习的一些建议，然后我们就正式开始，所以这一轮的课程呢，应该是非常短平快的一次课程。那基本上上课的这个时间呢呃，接近20个课时啊，其实就是20节课，所以我觉得这个速度方面应该是非常快的，而且从你的这个接受角度上而言也是非常好的。到了这个冲刺阶段，我其实很喜欢上这个阶段的课程，为什么呢？因为很多同学都比较焦虑，他的这个注意力是非常非常的集中的。所以说你这个如果注意力非常的集中，

我觉得你这个听课的效率肯定会非常的高，你不像这个原来我们去讲这个基础班。讲这个强化班，我相信很多同学都感同身受，我上课刚说的一句话，转过头来五六秒钟，六七秒钟之后有同学说啊，为什么？怎么回事？或者说我刚才讲了一个题，我先铺垫知识点，然后马上讲的题他都不会。就是这样的一个情况，所以说这个最后这个阶段呢，我觉得这个课程对很多同学而言，

为什么提高度非常高呢？一个事情，我们这轮课程确实是非常凝练的一个部分课程。另一个方面就是这个最后阶段，你想想很多同学的这个复习状态是非常非常高的，好了，那么接下来我先说一下我们这个阶段的课程。那么，其实总共包括这个三个板块内容，第一个东西啊，叫做冲刺大串讲。当然，这个部分的课程呢呃，非常的关键，它是核心部分的课程，

我们是按照这个考点部分内容，一个考点一个考点的讲。所以我们就会把这个所有部分的核心考点，然后通过总结方法，带着同学们进行去练习，然后把这个东西给渗透完。所以我们使用的这个讲义啊，就是这把讲义啊，大部分同学应该都收到了吧？我觉得这个。今天是。今天是周四，我记得应该是。啊，今天是周四，

我记得是应该是上个周的，这个周日，然后进行寄送的啊，这边讲义，然后的话，我们所有的这个东西啊，用的就是这边讲义。啊，这个冲刺大串讲就是我们这里面当中的第一个片段的课程，那这个部分的课程呢？还是比较重要，因为它的方法的东西，它的考点的部分东西都在这个里面。好，这是我想说的，

这个第一个事情，然后这里面当中的第二个阶段，其实就是我们的全真大模考。啊，那全真大模考作为三九六同学，你是一定要进行去模考的。如果作为一个三九六同学，我原来说过了，如果你连模考都不进行，对吧？考试都没有进行，你直接进行去参加今年的考研，你是非常的勇。因为其实不是说你这个东西，你会不会不是说这个东西你做的好不好，

而是你发现你不尽心去考，你对很多东西就是陌生的。这种感觉其实就没有，所以说这个东西啊，必须进行。然后今年呢，我们在这里面当中也给同学们做了一些调整，我们基本上从这个周之后啊，这个11啊，我们看看这个安排。好吧，11看安排或者是11过后也是可以的，反正这两天过程当中我们都是有课，两天一次课程。然后等你11之后啊，

我们的每个周的这个周末都会有一次模考，然后从这个十月底开始。十月底开始，每个周有两次啊，这个全真大模考，所以希望同学们好好进行，对吧？你该进行的这个模考的东西啊，你还是要进行。因为这样准时准点的进行去考，非常能考量出很多同学的这个水平。好了，这是我们的第二个部分，然后最后个第三个阶段的课程，那就是最后一个阶段。

最后一个阶段叫做考前点睛课程。那这个课程在干嘛呢？这个课程我们就会把这一年我们所学习的所有的核心考点，所有的重点内容带着同学们再梳理两遍。那么，在这里面当中花费的这个时间就是两次课程，基本上就是四个小时，然后这四个小时我们就把所有的东西啊，带着同学们去梳理一遍。好了，这其实就是我们最最后的这样的一个阶段的课程，这70分呢，我相信对很多同学的这个复习是非常关键的。而且重要的有些同学可能是从头到尾的话，一直跟着这个学习，

但是有些同学你发现这个到了这个阶段呢，有些同学的水平点非常非常的好。啊，不乏有大多数你发现这个每一次的话进行考试，因为这两天我收到的私信比较多，有些同学可能做了一些模考考卷。啊，说做这个卷子啊，无论说有些同学觉得说非常难的，他做的也非常的顺手，所以今年的话，我相信我们班的很多同学应该是能取得非常非常好的一个成绩。但是有些同学的话，这个上了这么久的课程，但是你发现他的这个整体的部分的作战能力啊，

还是没有所提高。那这里面当中的问题点在何处呢？我觉得是非常重要的一个事情，就是你这些考点，你只是跟着这个学习完了。但是这个东西的复盘有没有做到位呢？我觉得这个事儿是非常非常关键的。你有没有把这个东西的复盘做到位，所以接下来我想好好进行去针，对于这个阶段的课程呢，给同学们提出几点复习建议？我希望大家听进去，你一定要听进去，这就是我们在这个接下来过程当中，我们要做的事情，

其实时间呢，还非常够。啊，作为三九六同学，我们这个数学的课程的学习，我觉得时间还是非常够，但是这里面当中有一个问题。你如果在接下来的课程当中，就是接下来这个阶段当中，你再走一个弯路，我觉得时间就来不及了。你现在还有三个月，三个月的时间是完全可以的，我只要通过一个月，我就能把这个东西啊，

完全的核心部分的内容掌握清楚，而且梳理到位。然后进去就模考问题，点一点都不大，但是你发现如果你再走一个弯路，你再进行去错过一个月的时间。那这个事就不好办了。那如果今天的话，只有两个月啊，我觉得这个。我觉得这个数学啊，也不用救命班了啊，因为的话不是说两个月的话能不能复习起来，两个月也能复习起来，但是两个月你还有别的课程呢？

你还有什么逻辑，还有什么写作，还有专业课，还有这个英语和政治，你还有这么多的课程呢？所以我觉得这个三个月时间是完全可以的，但是如果今天而言是两个月的时间，我觉得这个冲刺就明白，我也不会叫这个名字了。所以接下来我来重点来说一下，我们接下来的这样的一个复习，那首先的话就是我们考纲啊，对我们三九六同学的一个至高的要求。那这个要求是什么呢？就是每一个考点，

你不光要会，而且要极其的熟练。所以我觉得到了这个阶段呢，对于很多同学而言，你一定要进行去抓大头。什么意思呢？就是核心重点的部分的东西，你必须要把它突破了。我给你举个例子，我给你罗列一下每年大纲的过程当中都会出的题，你自己好好梳理一下。比如说从这个第一章开始。第一章开始的话，每年都会出这个极限题，每年都会出无穷小量的比阶的题，

这是必出的题。连续和间断都不一定会出，就是必出题，然后高频重点的话，其实就是函数极限的定义，那个定义需要进行去理解的。那上一次考试，二零二一年出了一个题，对吧？对这个东西的理解。然后的话，紧接着而言的话，连续和间断，你看我刚才说了，比如说第一个部分极限计算题一定会出。

无穷小比阶的题一定会出，然后剩下两个部分连续和间断的问题。还有这里面当中，我们刚才讲的这个呃，还有这个函数极限的这个理解这个东西叫核心重点未必是b出题，你听懂我的意思啊，不一定说是b出题。然后到了下涨导数定义的东西，必出题微分的定义啊，从大概率事角度上而言，一定会出题。然后紧接着导数计算，导数计算来复合函数求导，然后是隐函数求导，你没有发现吗？

基本上每年的过程当中都会出这种问题。对吧，都会出这种题，然后紧接着而言是分段函数，分段函数都不是说必出，它应该是个次重点，然后剩下的一些呢，比如说什么反函数求导，什么高阶导数计算。什么参数方程求导，像这些东西我把它罗列到这儿，这个东西叫啊叫高频，重点叫做次重点。他未必说是b出题，你要听清楚啊，

我们这个板块的内容叫b出题，然后紧接着再往后面走，再往后面走，有没有发现每年都会出一道切线方程和法线方程的题？你去观察一下三九六同学的试卷啊，因为有些同学呢，可能之前的话一直是复习数学三，你不了解这个情况，你像这些点，你必须要踩中的。一定会出切线方程和法线方程的题，然后到了下面，然后就是个极值的问题。还有这个拐点的问题。像极值单调区间的求法拐点的这个问题，

你像这个点的话也是个比较重要，然后接下来有没有发现基本上每年都会出一个题，就是那个方程根和零点的问题啊。好了，你看这些题。所以说我在这个出这个模拟卷的过程当中，我们也会进行去注意这些点，你当然一些次重点你肯定出题量就会少一点，你像这种核心重点基本上每套卷子都有这些题。所以你自己要是有个审判的标准，然后继续到下面，然后是不定积分的计算会一道题不定积分的定义会一道题。定积分的这个定义或者性质，他肯定会有题，然后紧接着是定积分的这个计算，

然后就是我们的这个定积分应用当中的求面积，旋转t体积，你去看看我刚才说的这些点。绝对是重点，不是重点，应该叫必考点。我们这35个题的话，其实考很多内容的，然后继续走多元微分学，那就是连续可导可微的这个定义。对吧，这个内容一定会出一道题，有的时候会出两道题，偏导数定义出一道，连续可导可未的判定出一道，

偏导数计算一定会出一道题。然后是二元隐函数的偏导数计算，也会出一道题无条件机制，可以出一道题，所以一般情况下多元微分，学会出五道题，你去数一下吧，这就是我们高等数学，我们所考察的21个题。你抓住了这些核心重点，你就把这些核心重点打到死，你这个分数就立即上来了。能理解这个方向吗？所以说都到了这个最后一个阶段了，你要注意一个事情，

有些同学又要全。我觉得应该是这样进行去，全应该是先把核心重点的东西拿下来。然后再进行修修补补，边角知识点。这样进行去复习，我觉得才是一个非常好的策略。你先把这些东西的必考点的东西，你先拿下分，然后走到这个呃，我们的线性代数那线性代数行列式的这个定义。一般情况下，要不是行列式的计算题，要不然是我们的代数，余子式的线性和问题，

对吧？要不是抽象函数的计算，这个什么抽象啊？这个呃，这个矩阵。对吧，抽象矩阵的它的行列式的计算问题，或者而言的话，到了后面矩阵的运算。然后是一个线性相关性的题，一般会出一道方程组的解的一个判定性问题，会出一道。所以你就会发现你这些点的话，你把它扣重点，所以我们今天先谈高等数学，

那后面我们讲到这个线性代数，我再给你重点谈这个人。然后到了这个概率论，你看吧，每年都会有一道这个什么东西呢，这个概率的这个计算问题就是利用概率公式求概率。有的时候还会出一道这个古典概型的题，有的时候这个第一章会出两道题，然后是分布函数概率密度函数那块一般会出一到两个题。然后紧接着常见分布，一般会出一到两个题，然后是二维离散性随机变量的分布，一般会出一道题，期望一道题，方差一道题，

你看吧。所以我就觉得你在这里面当中，你要抓住这个重点，你要知道哪个东西是重点，你不要小看我刚才说那句话，那句话就是我们在就是不是那句话，就是我刚才说的这些问题。这就是我们在这一年学习三九六数学的核心中的核心，你去看看吧。学了一年了，你要抓住重点，不要再去像我们的这个呃基础班或者强化班的复习，这是不一样的这种打法。那基础班我们时间非常的长，我们强化班时间也非常的长，

所以我们走的是既全面，然后每个点的话一定要渗透到位，那是我们那个时候的这种考法。到了这个今天，这就是我们的冲刺班的一种上法，就是你要知道哪个板块的东西是核心中的核心重点。你要把这些点给我拿下来。好了，这些问题啊，我们就说到这可以吧，所以第一个考点内容就是你要知道这个核心重点的内容，一定要多练习。你就要养成定时思维能力，有些同学的话，见到一些题你会慌。

我跟你讲一个事情，你不要怕对吧？每一种题都不要怕。所以说我们在这个三九六的这个数学的学习啊，我们应该是提出一个非常高的要求，不是说我们这个考到这个50分。对吧，我们考到这个60分。我相信很多同学的话，在这个要求是非常高的，对吧？对自己提高提出的这个要求是很高的，我希望的话，我们这个分数能考的更高一点。所以说在这个阶段呢，

你可以这样办，我上课讲哪些东西，然后你就朝着这些核心考点，然后进行刻意练习。我再强调一遍，怎么去学习？你从今天开始啊，你都能调整过来，有些同学可能说自己最近的话进行去。呃，做一些题啊，你错的量非常的大，你可以利用我这个方法，比如说我今天讲的这些核心考点。比如说我们今天讲了无穷小量的比尖好，

上课的过程当中，周老师讲的这些方法，哎，脑子里面都在脑子里面无穷小量的笔尖，怎么做无穷小量的笔尖，如何进行处理？有哪些方法，然后这些知识点都在脑子里面。都记在脑子里面，然后怎么办呢？下去你不是有很多练习题吗？有些同学我之前跟你说，我说轻装上阵。有些同学把一些这个练习题给扔了，或者是有些同学不想扔，

实在是舍不得。就觉得那个练习题里面当中一定会有今年的话，这个考试题。如果你舍不得扔，你可以这样办，你就今天讲这个部分内容，你就把那个练习题里面当中的对应部分。比如说我们讲无穷小量比极，你就把那个无穷小量的比极当做成练习题，刻意的练习，你能理解吗？就是你把这个点给我打偷，就是每一个点把它打偷，这就非常棒了。所以说我就觉得这个这个阶段呢，

到了这个阶段不要再跟我谈什么练习题比较好，适可而止啊。你想想我们今天的话，时间还是够的，我觉得还是能调整过来的，不要等到这个今年的话，考完了之后的话，你恍然大悟，知道怎么去学习了，这都没有什么用。所以同学们注意时间还是够的，你看这一年很多同学做了大量的练习，为什么还是不会做题啊？人家有些同学就也没有说做那么那么多的题啊，买了好几本练习题，

然后失眠的过程当中，这有1000多道，那有1000多道，也没有做那么多道，但是你发现人家做模考卷做的非常的好啊。所以我就觉得同学们，你一定要听进去，不是说这个量变大，一定要会做题，就是有了方法进行去刻意练习，你会提高的，非常快的。所以记住今年这个点，把这东西打好好了，不多说了，

我们今天还有正课内容，然后另外一件事情，我们就说今天还要说的点。那就是这里面当中啊，你要注意多动手。你要如果到了这个阶段，你还是抱着一个手，然后进行去做练习，那就废完了。你要这样都都时间的话，你再坚持一个月，那真的废完了。纯纯的废法呢，所以一定要多动手，而且每一个题你要注意一个事，

就是这种精选的题。呃，接下来的话，这个国庆呐，我们不是有七天嘛，对吧啊？这国庆七天乐，有些同学的话，你可以做这个。做这个冲刺救命班的，这个第二天有一个二零二一年之后的优质真题，你可以做164道对吧？国庆七天乐。你要想做，你可以提前做啊，

当然有些同学的话，这个基础复习的不是特别好，你可以跟着做，对吧？我讲一个部分，你做一个部分都是可以的。所以要敢算，一定要把它给我算到最后，这是个非常重要，一定要敢算，你怕什么呢？有些同学说我害怕概念题，你这种回答是非常不负责任的，表现什么概念题啊？你到了这个今天的话，

你还跟我说，我害怕概念题，我害怕计算题，什么计算题，什么概念题，哪一个板块的概念题？是高等数学还是线性代数还是概率统计？对吧，是高等数学当中哪一章是高等数学的哪个部分？你没有这个章法吧？你如果的话，每个概念题都有问题，那我觉得你就没有学呗。我觉得不可能说每一个概念题都有问题，所以说到了这个，

今天还有这种回答问题的方式，我觉得你这是对前期而言非常不负责任的一个表现。所以要注意知道自己的哪块东西的痛点。然后另外事情你要赶酸，一定要进行稀换酸。这个数学你要不喜欢算，那也费完了。你一定要喜欢算，所以到了这个今天呢，每一个题一定要认认真真的把它算到最后啊，这个非常重要。好了，这个事情我们就说到这点到为止啊，我相信提醒了很多同学好了，这是第一个事情。

然后第二个事情就是这个错题，还有没有思路的题，一定要好好进行整理。如果是这个讲义上的题啊，你就在讲义的前面做好这个标注就行，然后进行去二刷。一定要进行二刷，有些错题是要进行经常去看的，不要到了这个最后一个阶段，还是要进行去啊广做题广撒网，这不是一个很好的方法。所以做一道稳一道，而且做一道错的那个题呢，一定要把它做精，你下次的时候你见到这个题一定要会做。

然后第三个事情的话，就是一些经常遗忘的公式和知识点，你要开始背了。你要开始记的，那么当然这个月的十月底。十月底的时候，我们今年有个考前21计，就是把所有要记的要背的东西啊，我都给你总结成了21天。然后你在这个21天的这个时间内啊，把这些东西给我记完，把它给我背完。能理解吧，所以说这其实就是我们今年的话，提前先发放的，

但是你要注意，从今天开始，我们每当我们自己要遗忘的知识点。你要会进行总结，你比如说你就进行去整理一张大白纸。你经常遗忘的知识点，你就要把这个东西写到这，你经常错的这个知识点，你要把它写到这，你经常遗忘的这个东西的做题方法。你也要把它写到这，你比如说举个例子，有些同学的一些无穷小量的等价无效公式都你没记住，有些同学的话，比如说我们经常每年都会考的无条件机制，

那个ABC那个判别法。你说这个东西都记不住，你要把这东西你要背呀，谁说数学不要背的，你脑子里面没有货，你怎么能想得起来？你要在考场当中想半天，说我把这个东西推出来，完了你不适合考三九六。对吧，你经常会碰到一些同学，哎呀，我记它干嘛呢？我只要给你总结的，你需要背有些东西的话，

我让你进去去干这个，这个怎么进行处理，你就跟这个课程来就行。很多人说那我上课的过程当中，我考场当中现推你现推时间就费完了。因为我们在考研的过程当中，不光这个，你会不会做时间方面也是个非常重要的一个元素，所以你就不要听，有些他就根本不了解我们三九六同学的考情。有的时候啊，我们比如说我们总结了一些非常重要的等价无效公式，你去看了一些，总有网上说哎呀，这个东西还需要背吗？

对吧，我现场一推就出来了，我有现场推那个时间考试时间早都过去了。所以你就不要听这些人，对吧？有些的话你发现他根本就不了解我们这个考情，或者有的时候你发现发一道这个三九六的题。所以有一些同学说。这么简单的题，你让他做，你让他两到三分钟，你看他能不能做完，所以我就觉得这个你就有的时候你碰到这种同学，你就随他去吧，对吧？

哎，图一个嘴快别理这种人。好了，这是这个事吧，我们就讲到这，所以遗忘的知识点呢，你要整理出来，每天的上午啊，你在背政治的时候能不能稍微的给出个十分钟的时间？去把这些数学公式啊，也把它记一下。行不行可以吧？你在记政治，你都给政治了，那么多时间，

你给英语作文那么多时间。你能不能还有专业课那么多时间，你能不能把那个数学公式挑出个十分钟的时间，把它记记好不好？就十分钟，你把这东西啊，该记的东西啊，把它记记。然后第四个点呢，我们就不说了，然后另外一件事情，我们三九六同学有的时候啊，你要注意有些曲线救国的一些方法，你也会。那么像这种我们考试的题啊，

所有都是选择题，有些题啊，未必都是要硬着进行去纲它。所以像这种做选择题的一些做题方法，做题的意识啊，一定要进行培养，你像这个做题的选择题的做题，你看我写的什么字？我说的是做题意识，不是做题方法。我没有学做题方法，我说的是意识，为什么我不说它是方法呢？因为一谈到这个东西，所有同学都会。

比如说我们在讲一个题的时候，你看这个评论区有人说哎，可以举例子哦，你看哦，可以举例子，你想到了。但是你自己做的时候，你为什么想不到呢？这就是其实你发现平时过程当中没有培养出来。你没有意识，你平时的过程当中没有意识，你考场当中到自然而然就想不出来啊，所以有些做选择题的这种意识啊，一定要在这个阶段好好培养。那我相信在这个强化的上课过程当中啊，

很多同学已经培养出来了。对吧，做一些题，比如说举个例子，我们来看几个题。那么，在这里面当中啊，我们来呃来了几个题，你看看这个题。你比如说这里面当中，它说这个gs 2阶连续可导，然后告诉g0是1g撇零是负一，然后告诉了这样的一个分段函数。你注意啊，我不讲这个题啊，

我不严格的讲这个题，我们今天讲讲这个意识的问题，你能听懂我的意思吗？当然，这个题的话有很多种方法。那么，在这里面当中，他说，这个函数在这个点处连不连续，它在这个点处连续可不可导，然后这个导函数存在导函数连不连续。诶，你去看看，要进行去做，那你就要进行去判断，

连续性就要求极限。对吧，你求一下这个极限，等不等于函数值你或者而言的话，在这里面当中呃，还有这个求判断这个可导性得用导数定义。但是这个题你像这种方法，我们把它称之为叫做直接性的方法，对吧？叫做严格的推演法。能理解吧，推演法那这里面当中我们有没有更好的方法呢？哎，我再来看你想想，这是一道选择题。

他说这个gs是不是一个抽象函数啊？它只要二阶连续可导，它在零处等于一，它在零处的导函数等于负一，那我能不能举个例子呢？你在这里面当中，你可以取什么，你看我就直接取这个gs为e的负s不就行了吗？你举出这个例子了之后的话，你看在零处是一七撇零就是负一满足了这个条件，而且链二阶连续可导，处处可导。那所以说这个时候的话，你看这个fs就变成多少，那这个时候代进去的话就是零减零，

这是不为零，然后这是零。对吧，所以说这个fs这个结果就永远是零，那你想想这个函数永远都是零，那这个函数连不连续？那这个函数当然连续了。如果这地方当中，再求个导处处可导，导函数也是零，那导函数是一个零，是个常数，那当然也连续啊。所以这个时候你发现波克岛部队。你说这个可导不连续也不对，

那只能选几只能选d。因为我举出了一个例子，它就是一个这种情况，那说明无法判断是不对的呀。所以这个题啊，立即出来了。你再来看看一个题，比如说我们来看看这个题。那这个题它告诉我们什么呢？它说这一点当中告诉我们在一处的这个结果，它等于一一处的导函数等于二。然后让我们进去去求出这个人的极限。那求这个极限的话，我可以怎么做呢？我当然可以用导数定义的方法做像这个题啊，

我们到后续过程当中，我们再来讲。对吧，你可以直接做那这类目当中有没有更好的方法呢？我再来看诶，这是一个抽象函数。我只要能举出一个什么东西呢？它在一处等于几啊？它一处等于一一处的导函数等于二的例子不就行了？所以说这个时候我怎么办？我就直接举哎，我就举个s方。我取个x方的话，这个时候的话，马上这个题就出来了，

当x趋向一的时候的话，这是x- 1。然后这个时候你发现ffs是什么呀？那就用x方进去去套它，这是不是四次方，然后的话，这是fs的话，这是不是平方？你看这个事情，然后这个题的话，我们就做成这样，然后一判断诶，这是个零比零型未定式，你可以怎么办？我可以在这里面当中洛必达法则一下。

一落的话，这个结果是多少四倍s三次方这一落是二倍的s这个，然后这个一带进去的话，这个第一个人是四，这人是二，然后这是二，你看是不是除了？所以像这个选择题的这个做题方法，你要注意一下它的操作形式，我未必说我是一定要直接做啊，我可以在这里面当中举出一个特例，我也能处理这种方式啊。所以你要建立出来，这种意识这个非常重要。当然这个题啊，

你要注意啊。如果你在这个题当中的这一步就进行洛必达法则，说明你这个学习啊，是不过关的，我相信你应该理解啊。大部分同学都能理解，那么这里面当中，我们到时候我们再讲好了，这是这件事情，然后接下来我们再来看。啊，这个点我就举了两个，那我们就说到这。所以像这种做选择题的这种意识啊，希望同学们一定要好好进行去培养。

对吧，这是一种意识。就是我们做这个题的时候，你经常而言的话，不是说我们这种题不会是有的时候的话，我们这种题我们就不会往上面去想。你想这个方法就出来了。好吧，同学们，那行吧，我们这个复习建议啊，我们就讲到这点到为止，那么今天呢，我们冲刺救命班的课程呢，我们就正式开始。

所以我相信这个阶段的课程呢，要比强化班的课程呢，要快很多。不是说速度上面快，是应该是这个整体部分的这个课程呢，哎，它的这个短平快。所以我觉得从这个整体的这个角度上而言，应该是不会占领你们大量的这个时间，那么就说接下来这个月我们差不多这个时间呢。嗯，十这应该是15到20天吧，这个样子。那么，接下来我们就正式开始吧，

我们来看看今天的重点内容，我们从这个考点一啊，我们正式开始。那么，在考点一的过程当中，我们的核心重点，我们要讲的部分内容叫做函数的性质和复合函数，那这个考点呢？它算一个冷门考点。那也算一个预测性考点，尤其而言是函数性质这个板块内容，那么像这个考点在我们的真题当中没有怎么出现过。所以说这件事情呢，我觉得是一个预测性考点，那么接下来我们就正式开始吧，

我们先来看看第一个点内容叫做定义域的。求解性问题，那这个点呢？二一年之前的真题啊，就是我们三九六同学，二一年之前的真题是出过这种题的。但是二一年之后的这些题都没怎么出过这种了。那所以说我们先来看看这个第一个问题，函数定义域的求解，我们在这里面当中啊，重点进行去突破那种抽象型的那种定义域的求解问题就行。那首先我们必须要知道第一个事。定义域指的是什么？定义域一定指的是这个函数自变量的取值范围。你要想清楚，

是次变量。不是中间变量，中间变量的这个人的范围，它不是这个人的地域。所以接下来我们来看看这个事，比如说我们来写两个人。我就问你一个事情，这个人的自变量是谁呀？这个自变量。那么，像这种情况，我们教过一种树形分状图的方法，或者叫树形图。如果这个函数是这样，你发现这个y可以到x方加一。

然后这个东西可以到s。我们说如果树形图，它的起点叫因变量，它的终点叫自变量，然后这个东西叫中间变量。所以因此你要注意这个问题，对吧？这个东西呢？它叫中间变量，它的自变量是x。所以像这种问题啊，不管不管是你写的是这个人还是这个人，它的自变量都是x。好了，这是第一件事情，

然后这里面当中啊，你还要了解第二个问题，就是同一个对应法则的括号内，它的范围是一样。什么意思呢？就是你要了解这个f是同一个对应法则，这个人的范围跟这个人的范围是不一样。你告诉我这两个x一样吗？不一样，但是你一定要听清楚你这个括号内的这个部分的东西，跟这个括号内的东西地位是等同的。范围是一样的。能想清楚吧，虽然两个x不一样，但是你要注意括号内的这个范围，

它是一样的，好了，那么接下来我们速速来破一个题。来看这个题。好，先看第一个式。他说这个人的定义域是五到十。那同学们告诉我这个人的定义域是不是指的是他的自变量，它的自变量就是x说明x这个范围是五到十。对吧，这个x的范围是五到十。而我们都知道这个x的范围，其实跟这一坨的地位是不等同的。跟这一坨的地位等同，就说明第二个范围当中的这个人，

其实是五道士。好这个人，然后接下来让我们去求解这个函数的定义域。这个函数的定义域指的是它的自变量的范围，它的自变量是谁呢？它的自变量是这个x。所以我要把这个s解出来，那这个人其实就大于几大于四小于九，那平方大于四小于九，那这个人就是这个范围，答案选几选一。对吧，你可以画一个图呗啊，这个情况。这一段和这一段啊，

对应下去就可以了。好了，这是这个题，非常的简单，我觉得难度系数不是说特别大。那这种题啊，我们就相当于做一个预测点。啊，如果考研当中啊，它有可能会出这种题，对吧？作为第一道选择题，它是可以出的。好了，那么接下来我们就继续开始吧，

我们再来看看这里面当中的第二个问题，那第二个问题啊，其实就是涉及到变现函数的问题。那变现函数啊，是我们每年过程当中考研必考的部分内容。一定会出题的点。100%会出题。那么所以说接下来我们首先第一件事，我们先来复习一下变现函数的这个求导问题。呃，这个笔记都会发啊，所以你上课的过程当中记重点就行，好不好啊？记重点那么接下来我们来看看这个变现函数。把变线函数的求导我们稍微来复习一下。

那首先对于变线函数这个人呢？对于变线函数，只要见到这个东西，立即想求导。那变线函数的话，首先我们写一个人。你看这个人，这是一个函数。那这个函数的自变量很明显是s。它的下限呢？你下限这个东西是个s函数上限，这个东西呢？是个s函数，然后这个部分的话，你看写了个ftd t。

同学们告诉我。这个函数的自变量是谁呀？自变量是x。然后积分变量是t。对吧，积分变量试题。那这个变现函数如果进行去求导的时候，我们是这样做的。我们说把上限移到积分变量里。然后上限再求导。然后再减去把下限移到积分变量里。然后下限再求导。对吧，上限移进去，上限球下限移进去，

下限球，但是同学们真的这个东西一定会成立吗？不是的吧，注意这件事情不是100%成立的。人家这里面当中有一个非常大的一个要求，人家这样讲的说，如果这个被积分函数怎么办？连续的时候。要注意被积分函数连续变现，函数一定可导，这是一个非常重要的性质。被积分函数连续变现，函数一定可导。所以说这件事情的话，要想进行求导，

被积分函数必须连续，然后第二件事情，而且这个被积分函数当中没有自变量。它绝对不能有自变量x。如果你有自变量，这个东西就叫非标准性能。没有自变量，就叫做标准型。所以啊，一个变写函数进行求导，这个规则它有一个非常重要的要求，第一个事情它必须是被积分函数连续，第二事情它必须是标准型。哎，这两个条件缺一不可。

所以将来我们见到哦被积分函数当中没有自变量。而且的话，这个人被积分函数是连续，我就可以这样做。如果这个背刑完书有自辩的叫非标准刑，它的处理呢？能提出去提出去提不出去换出去，我相信你还记得。好了，这个事我们就说到这，因为后面我们会重点来讲变现函数的求导的，所以这个知识点铺垫完了之后啊，我们接下来就来看看。下面一个问题，我们来讲讲变上线函数来看看这个人。

那么，对于这个变上限函数，我们先看第一个问题。呃，大家如果来不及记啊，你就重点听好不好？哎，把这个思路的东西啊，先听清楚。大家告诉我，如果这个被积分函数是连续。这个变现函数可不可导？当然，可导被积分函数连续变现，函数一定可导，

而且这个人是个标准型。那这个标准型的话，你想想它求导的时候一定是上限移进去上限求，那就结束了。所以说它的导函数就是谁呀？它的导函数其实就是fx。因此，你要记住，如果被积分函数连续这个变上限函数，一定是可导的，而且它的导函数啊，就是这个小fs。哎，大家想想。如果你的导函数是它这里面当中凸显出了一句什么话呀？

你的导函数是他呀哎，你的导函数是他，你就是他爹。你就是它的原函数是不是这个问题，所以说这个大fs就是它的一个原函数。哎，那这里面当中第二句话就出来了。因此，这里面当中你就知道，如果被积分函数连续这个人的导函数就是这个小fs，那这个变上限函数就是它的一个。原函数。记清楚了。所以这也是我们在接下来的过程当中，要重点用到的一个性质被积分函数连续。

这个变上线函数就是它的一个原函数。那大家想想有个事儿。这个a不同，原函数是不是就不同？是不是就跌就不同啊？你比如说你是从一开始的。你是不是一个圆函数？如果你这个人是从二开始的，你是不是又是一个原函数？你想想是不是？a的不同，其实原函数就不同。那么，在所有的原函数当中。所有的跌当中，

对吧？你这里面当中有无数的个原函数，你在所有的跌当中有一个跌是最牛逼的。是谁呀哎，大家注意这个d啊，就是从零开始的这个原函数，这个原函数也被我们称之为叫做牛逼吧。哎，这个事儿非常重要。也就说什么意思呢？就说被积分函数连续变上限函数就是它的原函数。对吧，就是比你高级的人，但是那个底端那个数的不同，原函数就不同。

而从零开始的这个人呢，是他最牛逼的一个爹叫做啊，这个叫做牛逼棒，那这个性质非常的重要，一会儿我们会重点讲。那么，接下来我们再来思考。你琢磨下。这个东西是不是叫全体原函数？当然第三条我们不会考的，你就听一下就行了。这是一个全体原函数。然后这个东西是一个原函数。一个原函数加c，是不是就是全体原函数？

所以这件事我们把这个事情我们就说清楚了，因此这个第三条它就来了。好，我们来看看第三条，第三条不会考的。但是得把它罗列到这。被积分函数连续，这是它的一个原函数。这个原函数加上c就是它的全体的原函数好了，这个事情我们就讲到这这里面当中，对于我们三九六同学。唯一比较重要的就是第二条。被积分函数连续变上限函数，就是它的一个原函数。而从零开始，

是它所有原函数当中最重要的一个原函数。把这个东西啊，叫做牛逼吧啊，要记住这个性质，那么接下来我们来看看这个牛逼吧，到底有哪些重点的性质呢？好，我们来看看这个事情非常的，关键来看看这个人吧。那变上限函数啊，我们来谈谈这个人的奇偶性和周期性的问题，好一起来看看这个人这条内容，我们可能会考。啊，这个东西算预测性考点来一起来看。

被积分函数连续变上限函数是它的原函数，而从零开始这个东西啊，是它最牛逼的一个原函数。那这个原函数有什么样的一个性质呢？我们先来看看第一条。这条信氏是如果你里面这个东西啊。如果里面这个人，他为奇函数。如果这个人为奇函数，那所以说这样一个变上限函数这个东西就是为偶函数。啊，为偶函数。什么意思呢？就说这个问题，你要琢磨清楚。

这是个直播课程，你上课要听注意力，你说这个现在听课有3000多个同学。为你一个人再把这个东西再讲一遍，你觉得好意思吗？对吧啊，你上课的话，这个注意力集中一点。好了，所以说我们接下来看看这个人。如果被积分函数啊，如果这个人是个奇函数从零开始的，这个人是个偶函数。那么，接下来我们再来看第二条。

如果这个人是个偶函数。如果这个东西为偶函数。那这个时候我们立即可以推出来，这个从零开始，这个东西啊，它为一个奇函数。好，这个东西啊，为一个奇函数。好了，这是这个事，比如说里面是藕，外面是鸡，里面是鸡，外面是藕，

哎，这是它比较优秀的点。就说如果从零开始的话，这个牛逼吧，它什么特点呢？你里面是奇函数哦，我是偶函数，里面是偶函数啊，我这个人是奇函数啊，这个点呢，其实就非常棒了。那还有在这个东西的证明呢？你想挣我也可以给你挣一个啊，我稍微给你挣一个，你自己好好听一下就行。

这一个好，我们来这一个。那这是什么呢？呃，证这里面当中，如果这里面为偶函数吧。可以吧，我们来证一下，证明一下这个东西的里面是一个偶函数，然后这个东西是个奇函数。好来证明一下这个人。那这里面当中的话，我们首先要证明这个人是个奇函数。我们需要看看这个f负s。那f负s的话，

这就是零到负s，然后这是ftgt。那接下来我们就要进行去研究一下这两个人之间的一个关系。然后这个关系，这是零到负s，然后这个东西是零到x。对吧，你这是零到负s，这是零到s研究这两个人的关系上下限，得保证一致吧。你这个上下限是零到s，我这是零到负s怎么办？所以我又要让这个上下限哎来一个负的就让这个t。等于负一哎，做一个换元，

如果这样的一个换元的话，我们就需要三换，先换上下限变成它。然后这个东西就变成了f负udt，就等于多少负的du？然后这个时候我们再来看看这个人，你看这个部分，它是一个偶函数，那偶函数的话f负s就等于fs。好，这个人再来一句话，积分与变量字母的选取无关，这太基础了。你得有点基础。所以说这个人就得到这个人，

哎，这不就是fs吗？所以说f负s等于负的fs，它不就是个奇函数吗？所以这个点呢，我们就讲清楚了。跟得上吧哎，把这个事啊，你想写清楚。所以这个内容它比较优秀的点，就是里面是鸡，外面是藕，里面是藕，外面是鸡，好了，

这是第一个点。那么，接下来我们再来看看第三条内容。那如果这个里面它为周期函数呢？哎，为周期函数。假设这个东西是以t为周期的周期函数。那这个时候。你这个大fs也是以t为周期的周期函数吗？我们来看看这个最后一条。一定吗？哎，这条内容不一定。这条内容不一定，因为你进行去看看。

你这里面当中的x+t，你想看看这个人是不是周期函数，你x+t的话就是零到x+tf td t。你就想看看这俩东西一样不一样。而这是零到s，这是零到s+t啊，你就把它写成零到x，因为这个积分线更长。然后再加上x导x+tf td t。然后这个时候你看看这个东西不就是fs吗？好，我们一起来看看这个人。如果这个里面这个人呢？里面这个人的话，以t为周期a到a+t跟a有没有关系啊？

没有关系。所以说这个东西啊，立即把它写成这样。好，这个人要注意啊，不是说所有的a到a+t都跟a没关系，必须要保证里面这个东西是以t为周期。所以这个人呐，跟这个起点没有关系，你要想这个人是周期函数，你是不是得保证这个东西啊，一个周期内的积分为零呐。所以这里面当中有严格的要求，必须要保证一个周期内的积分，它为零。

所以把这个事情把它想清楚，我们来琢磨一下。牛逼吧的特点是里面是奇，外面是偶，里面是偶，外面是奇，一个周期内的积分为零，那这个东西啊，仍然是一个周期函数。你想清楚了吗？好，这个点呢，我们就讲到这。那么，在考研的时候，

其实你发现就非常喜欢考这个人来，我们来操作一下，把这个冲刺二这个题啊，我们把它灭了。来看一下这个题。那这个题啊，他说那fs这个人是一个连续函数，然后下面这些东西一定是个偶函数的式。大家想想，从零开始，从零开始，从零开始，从零开始，这个东西是不是个牛逼霸呀？那考察这个东西是个偶函数，

只需要进行去判断里面是不是奇函数对不对？那这个时候我就进行去判断，里面是奇函数呗，大家告诉我怎么进行去判断一个人的奇偶性呢？你作为一个大学生，怎么进行去判断技术性？判断这个函数的奇偶性。就是给这个人送一个负s进去，如果这个东西纹丝不动。偶函数如果这个东西多了一个负号奇函数。所以你就给它扔一个负s进去，那就可以了，所以现在而言的话，我们先看第一个人，如果你把这个负t代进去。

那里面这个东西肯定不动啊，偶函数里面是偶。外面就是奇函数。再来看第二个人，那第二人呢？其实原来我们强化班是讲过这个题的，你再来看第二个人。第二呢，有些同学容易判错。你就告诉我，如果我把这个东西叫做gt，然后这是ft的平方。你回答我这个东西是个什么函数？不知道为什么，当你把这个负t扔进去了之后，

这个f负t这个人，你这个是个什么情况？你f负t跟ft什么关系啊？不知道。所以说这个人呢，无法判断。好了，这是这个人，然后接下来我们再来看看一些比较重点的这个呃奇偶性的一些情况，我们再来看看第三个人吧。把第三个人也判了。那这个人呢？如果你给它扔一个负t进去，它就变成多少，那就变成了负的t的三次方，

那跟这个人之间是什么关系啊？我也不知道。所以说这个人呐，也没办法进行判定，那既然没法判定呐，这个东西啊，当然不对。那么再来看看我们在这里面当中要总结的一些问题，把这个点呢记到笔记上。好，我们先来看看第一个问题。那么，第一个基本点呢？我们稍微复习吧啊，这个内容其实也比较简单了。

七函数乘奇函数什么函数？奇函数乘偶函数什么函数？偶函数乘偶函数，什么函数？注意判断方法。当你给它塞一个负s进去。第一个人多了一个符号，第二个人多了一个符号，俩人都多了一个符号，负负得正是没有动的。没有动，那这个人就是个偶函数。然后奇函数乘偶函数呢，扔一个负号进去，多一个符号不动，

整体多了一个符号奇函数。扔一个负的进去，不动不动，那这个整体就不动，那这人是个偶函数好出来了，所以说这个人呢？奇偶性的判定，你得会。好，这是第一件事，当然这里面当中你再来看奇函数加奇函数什么函数啊？你看这个人。你扔一个负s进去了之后。第一个人多一个符号，第二个人多一个符号提出来，

整体就多了一个符号，那就是个奇函数。然后再来看第二事情，如果是偶函数加偶函数什么函数？你塞一个负s进去不动不动，俩人都不动，那就不动，那这个人还是偶函数。但是如果是个奇函数，加上偶函数，这个是什么函数啊？那就不知道了。你想想你塞一个负s进去，你第一个人多了一个符号，你第二个人纹丝不动，

你这个东西你哪知道？所以说这件事情是未知的。好，这是个基本问题。然后第二点呢，我们再来看有一个著名的函数，就这个人。对吧，这个。一个fs+f负s这个函数。像这种函数。那这种函数是什么函数呢？呃，当然有个前提条件啊。你这个人的定义域得对称吧。

能听懂吗？定义域得对称，我就不说了啊，默认了。什么函数，然后再来看看这个人，如果是一个fs和f负s相减，什么函数？你来看第一个人。如果你扔一个负号进去，这是一个负的，然后这个东西又变成正的，那就没有动，没有动，这个人是个偶函数。

然后这个东西是个奇函数。所以你要知道fs和f负s相加是偶函数相减，是奇函数，所以我们就有一条非常重点的性质。任何一个函数都可以写成奇偶相加的形式，对吧？你就可以把它写成这样子，然后再是多少？再是一个fs-f负s。是不是啊？任何一个函数你都可以把它写成这个函数，是偶函数，这个函数是个奇函数的形式。那如果在这里面当中，我们给它进行去取对称区间的这个积分。

我们来看，如果取对称区间的积分奇函数是零，没有了偶函数是二倍，那二倍的话，跟这个二就约掉了，就是零到a，然后这是fs+f负s这个人。你还记得吗？这个非常关键。好，非常重要，所以你把这些东西啊，你都要梳理清楚。当然，这个公式的证明呢，

我们基础班其实讲的非常多啊，其实最后而言的话也不需要进行证明，你把它记住才是正途。对称区间下的定积分计算有用，这个奇偶性的也有用，这个性质的当奇偶性是我们重点考的。像这个性质啊，还没有怎么出过题，要稍微注意。好了，这些点呢，我们就讲到这，那当然的话，这里面当中还有一些非常重点的函数，一会我们再来讲。

好，继续吧，看看这个人。那这个时候就可以判断呀。你看这个人什么函数，你这个人是个奇函数。然后这个人是个奇函数，奇函数乘奇函数，这人是偶函数。那你想里面是偶函数从零开始就是个奇函数，不选。你再来看，那这个人是个奇函数。然后这个东西是个偶函数，奇函数，

乘偶函数，这是奇函数。对吧，这是个奇函数。那这个人是个奇函数，从零开始呢，这个人是个偶函数，所以说正确答案选几啊选一。好基本问题啊，把它想清楚。来再来看一个题，我们看看冲刺三这个题。你下去好好整理啊，上课的内容必须要装到脑子里面，再看这个题。

他说如果这个人是个奇函数。对吧，这个小fs这个人已经是个奇函数。那这里面当中还有一个重点的性质，我得把这个内容我们再讲讲。就说如果这里面当中要求的一个事情，就说如果你的导函数是这个人。那么这个时候你这个大fs和这个小fs之间的关系是什么？如果你是个奇函数，奇函数的导函数是偶函数吗？偶函数的导函数是奇函数吧？是不是啊？然后周期函数的导函数呢？也是周期函数。没问题吧，

注意求导方向。如果是从球道方向而言。求导方向是奇函数的，导函数是偶函数。偶函数的导函数是奇函数。周期函数的导函数一定还是以它为周期的周期函数，就说求导的方向，我们是不会发生啊，这个什么刚好发生改变。奇求导是偶，偶求导是奇。周期函数的求导还是周期？哎，那如果是反方向呢？对吧，

如果是反方向呢？我们从这个小fs。然后到这个人。大家想想。我们刚才琢磨了，我们说如果你是个奇函数。从零开始的这个原函数肯定是偶函数。能听懂吧，从零开始的这个人是偶函数。从零开始的这个人是偶函数，而全体原函数是加c啊。那你偶函数加个c，你上下平移是不是还是偶函数？哦，是偶函数。

明白了奇函数，所有的原函数都是偶函数。能听懂吧，然后再来看偶函数呢？偶函数从零开始的这个原函数肯定是奇函数。有一个原函数肯定是奇函数，但加个c呢？奇函数关于这个人对称，你稍微平移一下呢，这东西就不一定是了，所以大家注意这东西不一定是奇函数。哎，注意偶函数只有一个，原函数是奇函数。知道这个知识点吗？

啊，非常简单，求导方向就是奇变，偶偶变奇周期求导还是周期，但是原函数角度上呢？奇函数的所有原函数都是偶函数，偶函数只有一个，原函数是奇函数就是牛逼吧啊，注意这个问题。来看这个题吧。操作性那这个题的话，首先第一件事。你发现这个人什么函数啊？来塞一个负t进去。塞一个负t进去，

这块东西多了一个负号。但cos一个符号呢，又不动。所以这个东西是个偶函数。然后奇函数求导，是偶函数。那偶函数加偶函数是偶函数。里面是偶函数从零开始，是奇函数没有问题，本题结束答案选a。你看这个人出来的话，他就不对。然后我们再来看看后面这个人。那后面这个人，你判断这个人呢？

奇函数的导函数是偶函数。塞一个负t进去，这个偶函数就不动。cos也不动，所以说这是偶函数，然后这是奇函数，奇函数加偶函数什么都不知道，所以这两个东西不选。然后再来看看e选项。e选项这个人是偶函数。然后这个东西是偶函数。偶函数加上偶函数，那这个东西是偶函数。没有问题，但是这个东西是奇函数吗？

我们要注意一个问题，如果考研真题当中。考零到x，这是非常简单的。考零到x里面是鸡，外面是藕，里面是藕，外面是鸡，那如果这题考的是a到x呢？a到x我们可以写成零到x。然后再加上a道理。a到零定积分就是个数。对吧，它就是个数。那如果的话，

你看你这个人是个奇函数，你奇函数加个数呢？奇函数上下平移，就不一定是奇函数了。你偶函数加个数呢？你偶函数上下平移，还是对称，那你还是偶函数？所以这里面当中，你要想清楚，如果不是从零开始，就是从零开始要平移。那你想想现在里面是偶函数。那从零开始的这个东西就是个奇函数。奇函数要加上个数进行去平移，

它就不一定是奇函数了，它就不对。跟得上我的意思吗？除非这个a是零。好，这个事情啊，把它讲清楚。行吗？这个题啊，都听明白了，给我回复一啊，其实我觉得这个。你就算听了强化班同学的话，我觉得也能复习一些东西。啊，

如果这个今天的话，你上课的过程当中是这种感觉，就是提到这个知识点，我就知道提到这个东西，我就知道哎，我看到这个题，我能快速把这个东西做出来，我觉得也是一种提高。也非常棒了。好了，这个内容我们就讲到这。所以把这个思路点呢，把它顺清楚行吧，基本的问题点啊。好，

这是我们讲的这个啊，奇偶性的问题。那么，接下来我们在这里面当中，我们再来看一个题啊，我们看看这个题啊，你觉得怎么做？我们来出一个题。是这样的题。说如果这个人呢？它等于e的sins，加上e的负的sins。那么这个时候。我们在这里面当中。三阶导数二派等于多少？

你看这个题。嗯，想休息你就赶紧去休息就行了啊，好了，我们来看看这题题。都行。你看这个题。这个题啊，很有意思。你想想，如果这里面当中，我把这东西看成gs。那这个部分是不七负x？因为负s带进去了之后刚好是它。所以说fs这个函数啊，

它其实就是个偶函数。那偶函数导下这个人呢？导下这个人是个奇函数。再导下是偶函数。偶函数再导一下呢，再导一下不就是个奇函数吗？而我们都知道，奇函数在零处等于零。对吧，等于零。所以像这个题啊，你要是使劲的进行去怼了三下，这题就飞完了。它肯定是个奇函数，哎，

不对呀，人家要想进行求二派呀。我只知道零呐哎，没有关系，你就会发现人家这里面当中是不是出现了s in呐？哦，出现了腮印。出现了s in非常棒，我们一看那这人周期是多少呢？你可以这样办，你给它扔进去一个x+2派进去。你x+2派带进带进去了之后，你都知道sin x+2派不动，sin x+2派不动，那这个东西就纹丝不动。

那说明这个人的周期是二派嘛？如果你的周期是二派，求导了之后还是二派，求导之后还是二派，求导之后还是二派，那既然求导是二派。那说明你在二派处的值跟在零处的值不就是一样吗？它不就等于零吗？所以就出来了。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这，所以你就想清楚这样的一个点，它是怎么进行处理的？有点意思啊，

这样的一个题，所以核心重点其实就是求的零处的这个结果，把它小心一点就行。好，这个事儿我们就讲到这。哦，模考都有啊，一般模考完了之后都是在当天。哎，昨天晚上那个课是不是冲刺救命班的同学课表里面没有啊？是不是？哦，昨天晚上冲刺救命班的同学单报冲刺救命班的同学是不是没有啊？哦，有吗？

嗯。助教说给大家的这个福利课，你去看看，昨天晚上应该有一节啊。你去点一下，昨天那个日期里面的课表在昨天晚上，我昨天我昨天晚上把它讲了。我我昨天晚上刚好讲完这套卷子，这套卷子不难哦。这套卷子是我们的这个呃高等教育出版社的这个大纲。然后里面当中啊呃附了一套样卷，我们把这套样卷给讲了，你自己去看看就行。好了，这个事儿我们就讲到这儿。

可以了吧，那么接下来我们继续稍等一会儿，因为我们这个后续的这个时间比较重要。我再讲一个点，我们再休息好不好？来再来看看这个下一个问题，我们来看看变上线函数的。连续性和可导性。所以说今天怎么去复习呢？就是你晚上躺到床上的时候，你的脑子里面能浮现出来，今天周老师讲的第一个点哦，是判断定义域的问题。讲的第二个点被积分函数连续变上限函数是它的一个原函数从零开始是它最重要的原函数，你看这是核心框架就出来了。

然后接下来到了下面，我们又讲了这个，连这个什么这个奇偶性和周期性的问题，如果是牛逼吧，里面是鸡，外面是藕。里面是偶，外面是奇，里面是周期函数，一个周期内的积分为零，它是个周期函数。那奇函数求导是偶函数，偶函数求导是奇函数周期函数求导还是周期函数？但是从积分的角度上而言呢？奇函数的所有原函数都是偶函数，

你就这样想，奇函数肯定有一个原函数是偶函数，偶函数平移还是偶函数？偶函数有一个原函数是奇函数，但是平移了之后不一定是奇函数，脑子里面得有。好了，那么接下来我们再来看看下一个问题，那研究这种连续性和可导性的问题，我们怎么去处理呢？来再来看看。下面一个点啊，我们来看看冲刺四。好了，我们来看看这个冲刺四这个点一起来看看这个题。

那这个题啊，它给了一个事情。它给了一个分段函数。然后又给了一个变现函数。然后让我们去研究这个派是这个人的什么点。是这个人的跳跃间断点，还是这个人的可去间断点，还是这个人的可导点和不可导点，所以这个东西的研究其实非常简单。你可以怎么做呢？你看你可以这样处理。对吧，你可以这样来。就说我在这里面当中进行去把这个函数可以求出来。那怎么去求解这个函数呢？

来解一下。你看这个函数。这个函数就是从零开始积到这个人fttt。这是我们三九六同学，你必须要会的一种方法。因为这里面当中是到了我们这个呃，学习到这个概率论部分呢，一定会考察的点。那么，其实就是对ft进行去积分。拉条数轴线，把这条数轴线呢画成t。然后接下来把这个ft我们来标注出来。那ft的话，小于这个部分是sint，

大于这个部分是二。然后研究派呢，只需要知道派的左边和右边就行。那么，接下来我们来看看这个事。好，我们一起来看看。那所以说首先第一件事，我的积分起点是谁呀？从这。那如果我进行去积分，你看积积积到x诶，如果x比派进行小。我是不是一直都是对这个s in进行积分呐？那么，

接下来我们再来看。再看第二个点。如果这里面当中，你看我一只鸡，一只鸡，一只鸡，哎，如果这个s超过这个派。这一段的时候是对三级。然后这个时候一旦超过这个人呢，后面这一段就对谁急，后面这一段我就要对二进行记了。所以说这个时候我们就可以把这个人呢，我们给求出来。那第一个事情，

如果这个x是大于零。然后这个是小于派。那这个时候的fs是对谁集啊？其实一路上都是对这个sint进行积分。然后再来看第二事情，如果这个s是大于派。小于等于二派的时候。那这个人的积分又是什么呢？他是零到派的时候，然后对这个s in进行积分。然后继续派到多少呢x？那这个部分对谁积呢？我就对二进行积分。你看这个情况。所以说把这个方向性一下就梳理清楚了。

另外，事情那这个派这个点呢？无所谓的。你都知道你这个积分有没有积到这一个点是不影响的，积分是求解这个曲边梯形的绝对面积。那这是无所谓的。不一定左闭右开，没有关系，所以你这个东西随便挂就行。啊，没有任何关系，所以这个人的积分是负的cosine cosine零是一一减cosines。然后这个人呢？你像s in这个人的话，这个零到派。

这个面积是一，这个面积是一，这个知道吧？所以像这种东西就是口酸啊，这是二，然后这是二倍的x-y，你看这个函数出来了。那么，接下来我们就可以研究一下这个函数的连续性和可导性。好，先看第一个事情，先来研究下连续性。连续性这个人呢？你发现这个人的左极限是多少？cos派是负一一减负一，

这个人是二，所以左极限是二。右极限呢？右极限这是零，所以它是二，因此这个人连不连续啊？连续的好，这是第一个问题。然后第二件事情我们再来看看这个人的可导性。那这个可导性呢，我们就要进行分段函数，在分段点我们就来进行研究，我们来看看这个人的左导数。还有这个人的诱导数，我们用导数定义。

那么，用导数定义的话，你发现这是limit x趋向于派负。那派负的话，这个人的话其实是一减coss，这是fs。那fs这个人呢？你再减去f派。f派是多少呢？派往这一带，这是二，所以说这里面当中我要减个二比上s减派。然后这是limits趋向于派帧。派正式是fs是二倍的s减派加二你再啊减去二。然后再剪去根。

然后这里面当中啊，比上s减派。所以说这个时候你看你把这两个东西约一下。一减去它，那这人就是减一，那这两个东西啊，你就可以约掉了。所以说这个时候这个极限结果就是二，然后再看上面的。你上面这个极限，这是零。负负得正一减一是零零比零型的未定式，怎么做最简单？啊，其实不用折腾那么久啊，

一个洛比达就出来了，然后这个东西等于多少就等于s in这是零哎。这俩东西不相等哎。左右导数都存在，但不相等，那很明显不可导。因此这个人就出来了。它在这个点处是一个连续点，但在这个点处是一个不可导点，所以说这里面当中的AB都不对，正确答案选几？选c好了，这个问题啊，我们就讲到这，但是其实啊，

如果你这样进行操作，这个速度太慢了。那么，作为一个三九六同学进行去处理这个问题啊，我觉得基本上的时间应该是控制在30秒以内。你看你这样做的话，这个其实速度方面呢，其实就非常麻烦。那么，接下来我们来进行去看看这个事。到底是一个什么样的问题呢？我们进行去总结一下这种类型问题，它是这样做。就说如果这个被积分函数啊。他在这个一个区间。

对吧，我们如果这个被积分函数。它在这个区间上呃，这个除了这个点以外都是连续的，我们这些东西我们就不写了，行不行？好了，这里面当中一些前提条件，如果你想看的话。我也可以把这个东西啊，我给你粘过来啊，因为这个。我随便找一下，因为这个这个东西写的比较多。我把这个东西啊，

我给你粘过来。因为这里面当中啊，有一段话啊，前提条件。你就理解就行了。就什么样的话呢？他这样说。就说你这个被积分函数啊。除了这个点以外，都是连续的。但是我的重心其实是研究哪个人呢？我的重心是研究那个s0那个点，所以你就不用管了，你就知道哎，我这里面当中给了一个变现函数，

我想研究那个点。我想研究那个点的话，我怎么去研究呢？他这样说的，你上课记不齐，你就听啊。这是个变现函数，你比如说我要研究大fs在x0处，你就进行去研究里面，这个人在x0处。他这样说。如果里面这个人呢？你在这个点处。连续。好了，

同学们，刚才我们就讲过这个问题，如果里面是连续，外面是什么？它外面这个人一定会在这个点处是可导。没问题吧，一定是可导，而且你的导函数是它，那你导函数在这个点处的值肯定是它。这没有任何问题，这是刚才讲的。但是万一有一个问题，如果里面这个人在这个点处，他不。不连续怎么办呢？

哎，如果在这个点处。为第一类间断点。你就不用进去去管什么第二类监测点。如果为可去间断点或者跳跃间断点，请注意，如果里面在这个点是第一类间断点，外面在这个点。是连续点。这就是有些同学可能进去就看了一些书籍。写的非常的麻烦，没有给你整理出来，做题的思路，他说如果被积分函数是可积的，然后这个外面这个函数在这个点初始连续，

那就太麻烦。梳理清楚，就是这条。如果里面在这个点处是第一类间断点，外面这个人在这个点处一定是连续，而且还有一条非常重点的内容。这个时候外面在这个点处的左导数，它跟里面在这个点处的左极限是一样。然后外面在这个点处的诱导数。跟这个什么里面在这个点处的右极限是一样。你看这个人，所以说这个时候我们就分析的非常清楚了。如果里面在这个点处是连续外面在这个点处是可导。里面在这个点处是第一类间断点，外面在这个点处是连续点，

外面在这个点处的左右导数其实分别等于里面在这个点处的左右极限。如果你有了这种操作性思路，你再进行去完成这个题，那这个事情就非常非常棒了。呃，这个同学啊，其实你你这个基础打的不是特别好啊。你是不是把不定积分和定积分给混淆了呀？好了，这个人那所以说我们接下来看看这个问题，你去自己去复习一下定积分的可积性的必要条件是什么，你自己去看啊。好了，我们来看看这个问任啊，这个处理那么现在干嘛呢？

我们现在要研究你这个人在派出。那我怎么办呢？我就来研究这个人在排除。这个人在派出他的一个什么，他的左极限是几呢？左极限是零，右极限是二。对吧？左极限是零，右极限是二，所以说它在这个点处是什么？它在这个点处是跳跃间断点。那你想想一个事情，你这个东西在这个点处是跳跃间断点，你在这个点处呢，

你就是个连续点。啊，连续点连续点的话，我们继续看，而且你在外面的左导数就等于里面的左极限，左极限是几零？你在这个点处的诱导数，你在这个点处的右极限就是啊，这个诱导数就是二。所以说这种情况你看立即出来，跟刚才求的是一样，哎，你这个左右导数就不相等啊，当然不可导正确答案选几。选c马上结束。

那这种题就非常的简单，想研究外面，你就研究里面对于一个变现函数进行去研究一个点。想研究外面在这个点，你就研究里面在这个点，你外面在这个点怎么样受控于里面在这个点怎么样，所以速度就非常非常快。然后这里面当中另外一件事情留给同学们先思考一下。如果里面是跳跃间断点，左右极限不一样，外面左右导数不一样，当然不可导。那如果里面这个人在这个点处是可去间断点呢？外面是什么？可去间断点，

外面是什么？好了，我们可以稍微休息会儿，然后的话，课间休息过程当中，你把这个冲刺五。还有冲刺六啊，把它都做一下啊。这俩题哎是可导点。因为里面是可去间断点，两边的左右极限就一样。对吧，左右极限就一样，两边左右极限一样，外面的左右导数一样，

那这个人呢？肯定是一个可导点。注意了行吧，你课间休息啊，把这两个题给灭了是吧？这个冲刺五和冲刺六速速把它灭了，然后。然后这个第一个板块内容，我们就讲到这儿。然后再讲一个这个分段函数的复合函数，求解我们就正式来看看无穷小量的比阶的问题，可能很多同学非常喜欢的。求极限的问题，我们一会再看。好，

我们稍微休息会吧，一会我们继续。嗯，你要是刚强化呀。看你时间吧。就是如果你强化都听到很多了，你就把强化听完。如果你这个强化。你就听了一点儿，或者才开始你想听直播课，你就听冲刺就明白。你觉得自己一个人复习比较难受，你想听这个直播一起去学习，你听冲刺就明白。如果你觉得时间来不及了，

你就听冲刺九零班。啊，有歌是吧？行行行，我们是我们稍许一会，我们再说吧，好好一会再说。一会儿再说吧。

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