01.396经综数学强化通关大模考解析

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:57:11

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。呃，这个今天晚上我们就针对于这个今天上午啊，我们做的这次大模考的这个试卷，然后做一个这个主题的讲评。因为这个明天呢，我们就开始正式的这个冲刺救命班的课程了，

所以说这个时间只能安排到这个今天晚上，所以今天晚上我们就重点来讲评一下这个试卷。呃，综合起来角度上而言啊，这套试卷难度系数不是说特别大，这套试卷的来源呢？其实就是这本大纲。然后每年的话，这个大纲后面会附录了一套样题啊，总体来说啊，这套难度系数非常的简单。啊，应该是不是简单，应该是非常简单，我相信很多同学做这个呃，

速度啊，还是比较快的，有些同学可能做了这个一个多一点儿。啊，有些同学可能这个做的时间稍微的长一点也没关系，但是我觉得综合起来而言，这套试卷难度系数不是说特别大。啊，其实就是这个大纲后面的卷子啊。我原来想的说把这个卷子啊，放到后面，我们再进行去考，但是我觉得这个提前先考了吧，考了之后的话，这套比较简单，

这个卷子我们就过去了。那后续啊，我们再进行去我们的模考卷，所以说这个是第一次的，这个强化通关测试卷，所以下去把自己相对应的这个问题啊，你好好进行去梳理一下。啊，这样吧，我们看看大家的这个做题的情况。你们基本上错了多少个？你把你错的这个数据给我回复一下吧，我来看看这个效果啊。嗯，五个就有点多了，

对吧啊？六个也有点多了。综合起来，这套卷子不是说特别难的啊。啊，不能错的太多。好吧，那么接下来我们就正式开始吧啊，错题的时间呢？应该没有超过一个半小时吧。我觉得这套试卷呢，综合下来，中间尤其是中间的一些题啊，难度系数不是说特别大，而且做起来非常的简单。

好了，那么接下来我们就正式开始吧，我们来看看这套卷子，所以说通过这种考试啊，你自己要发现自己的问题，你好好进行去调整一下。我觉得考得好，我们后续过程当中啊，继续保持，如果这套试卷你自己出现了大量的问题，你需要把这些问题啊，一定要把它进行去解决掉。就是每一次考试不能把它说哎，我这个比如说今天我错了两个。我就过去了，

我错了三个，我就过去了，这个考试这个试卷呢，你比如说这个题出错了，你就要找到这个题所涉及的考点是什么问题呢？是这个知识点不熟练，还是这个知识点根本就没有想到，所以像这些事儿你都非常重要，好了，那么接下来我们就直接开始吧，我们来看看这套试卷。先来看看这里面当中的第一个题。可能我们猜想。很多同学做错了这些题啊，有可能就是这个第一个题。

或者是这个第三个题。然后再是这个后面的这个。第十个题。啊，第十个题。然后再看看啊。我觉得高数不可能再出错了。然后这个线代啊，这次的线性代数的题太简单了。有些同学可能这个27题出错了。人家这个题啊，说的是解向量组的值。不是进行去考察这个a的值。有些同学可能这个题啊，你出错了啊，

这27题，然后再看啊。概率应该没有错的吧？行吧，好了，那么接下来我们就看看这套试卷吧，因为别的题啊，我觉得难度系数不是说特别大啊。来一起来看看，先看第一个题吧。他说，在这个趋向临阵的时候，能够跟这个人等价的无穷小量有多少个？那首先看第一个人，那第一个人考的这个公式啊，

其实就考了这个人当s趋向零的时候，然后这是一+s的阿尔法次方减一。等价无穷，阿尔法x。所以说第一个人非常简单，如果这个s趋向零帧，你发现这个fs这个人呢？他其实是一加上根号s这个人的二分之一次方减一。所以等价无穷小，应该是二分之一这个人。所以第一个人呢，他不对，因为人家说要跟这个人等价，然后再来看看这个gs，你再看这个人啊，

这个人更简单。你怎么做呢？我们做题方法比较多样一点。你这个人的话，你见到这个人的除法，你可以把这个人变成什么，变成这个人减法l1加根号s。然后再减去这个人。然后我们稍微看看这个第一个人是几节，这是二分之一节，然后这个人是几节一节，根据河曲DJ原则，我们都知道这个上面这个人呢？立即等价无穷，小的这个人lu in 1加框，

立即等价无穷框，所以这个人呢，立即出来了好了，这是一个方法。当然，这个题的话，你还有别的方法，你比如说这个方法二。你还能怎么做呢？这是ln，然后它是一加根号s，然后这个东西是一减s。你还可以这样做，当s进行去趋向零的时候，你发现这个部分就是一录一个函数，

趋向一立即等价无穷，小于这个函数再减一。有没有问题？然后这个时候的话，它就变成这个了，那其实就是上面减下面就是根号s再减s。然后再来进心瞅瞅这个人，你看这个部分。那这个部分是一啊，所以说非零因子就可以淡化，就变成了这个人，然后这个人是二分之一解，这是一解合取递阶根号s。好了，这两种方法都行，

所以总的来说，这个第二个人呢，他是可以的，好，我们再来看看第三个人，那第三个人就照猫画虎呗。你看这个hs那hs这个东西，你就可以写成多少，你就可以写成ln 1，加上根号s，然后再减去ln多少一+s。好了，这个时候你再看，那这人是二分之一减，然后这是一减合取第一阶的话，

这个人的话立即出来了，所以说这个人就等价无效根号s。好这个人呢，也是可以的，非常简单，你当然也可以用第二种方法来做好，我们再来看看这个第三个人，第三个人的话，这个ws。然后它的下面是多少？下面这东西是根号s，上面这东西是es- 1，那这时候就可以等价了，乘法等价无穷，小S然后这东西一除不是根号s。

所以这个题啊，这个人也对，因此这里面当中正确答案的话，应该有几个有三个正确答案选d。所以这个题不是说特别难，对吧？呃，应该是我们在上课的过程当中讲的非常基础的题，而且你把我们上课讲的这些无穷小量的这个找取的方法，把它掌握清楚了之后做这些题啊。难度系数一点都不大。好了，像这个题啊，我们就讲到这好，这是第一个题，

继续我们再看第二题。那第二题考察什么呢？它就是个极限，已知极限，求解其中的待定参数，已知极限，求解其中待定参数的题啊。还是求极限的题，拿到极限先定型一的零是一，这是零，这是零，所以说这是一一的无穷大为零是。那既然是一的无穷大未定式原式，就等于多少一亿的这个极限符号照抄，然后这个头顶部分照写。

然后再来d- 1 as方，加上BS你再来减一。所以这是这样的一个内容，然后这个结果等于一的平方。那综合下来而言的话，这个题不就变成了当x趋向零，然后这是x方e的x+ax^2加上bx- 1=2。那这个题啊，不光会做，我们有N多种方法来做。那么，首先我们先来看看这里面当中的第一种方法。第一种方法可以怎么办？你发现有些同学可能在这里面当中，利用泰勒展开了。

但是泰勒展开啊，都不是我们的核心方法，我们的核心方法是洛必达法则当s趋向零的时候，这是零，这是零。然后e的零是一一减一是零，所以说这里面当中啊，你就直接落一下，一落的话，这是二s，然后这是e的s，加上二as加上b。然后这个东西啊，也等于二。好，

这个部分那这个时候你再来看你下面的极限是零，那上面极限呢，你看下面部分是零，上面是一+b，那它肯定也是零，所以b就是负一。那因此，这里面当中，我们再来落一下当x趋向零的时候，这是二，然后这是es+2 a，然后等于二。那这时候我们就推一下，那所以下面是二，然后这是一加二a等于二，

所以这个时候啊a也出来了a这个结果的话，这个人是四，那所以说这个结果是二分之三。因此，一个是二分之三，一个是负一二分之三，负一正确答案选a。你看这个，所以这是一种方法，那还有没有方法呢？当然有，我们再看。眼睛稍微的漂一下，你就会发现这个人是童杰，那既然这两个东西是童杰，

我就把这个东西给抛出去了。当x趋向零的时候，这是x方，然后这是es，加上bs- 1。因为这个同阶之比是存在加减法当中，见到存在就拆开，把这个a拆出去等于二，所以说这个极限就等于多少就等于二减a。那既然等于二减a，你下面这人是几阶？你下面这人是二阶，那上面这个东西呢？应该也是二阶，但是我们都知道，

当s趋向零。e的s减一减s才是二阶，而且等价无穷，二分之x次方，你还记得吗？所以说这个时候这个b马上出来就等于负一，那等于负一的话，它就等价无穷，二分之x方，所以说这个二减a立即就等于二分之一。所以这个题啊，立即结束。所以这个题你不光会做，而且你做题的这个速度，还有这个操作性必须要摆的强。

当然，有些同学可能把这个东西啊，进行泰勒公式的展开了，这在我们的这个操作方法当中不是最好的。你要注意，我们三九六同学的这个考情当然到了这个今天呢，我们也可以讲，讲好了我们再来看看第三种方法。你还可以怎么做？当s趋向零。你发现这是s方，然后这个部分的圆。那你可以把这个es进行态度公式的展开啊，那你就展呗，展到一加上s加上二分之x方，

然后再加上平方的高阶无穷小好就展到二阶。然后后面是as方，然后再加上BS，你再来减一。好了，你就可以展展到这儿的时候，我们继续看，所以说这个极限就变成了limits趋向零继续，这是s方。然后上面这个s整理的话就是一加b倍的s，然后这是二分之一加上a倍的s方，然后再加上平方的高阶无穷小，然后这个人等于二。是不这个人呐好，我们继续来看。

那下面是二阶，那上面知彼是一个数嘛，你上面肯定也是二阶。那上面是二阶的话，这个一阶这个部分就一定系数为零。你想想，如果这个系数不为零，一阶二阶比二阶高和取低阶取到一阶了。所以说这个b啊，它一定是负一。所以这一项就没有了。那二阶加上比他高，那核心重点是这个人，这两东西之比是二，所以说这个东西就是二，

因此这个a呀等于。这是多少？二分之三。好出来了，好这个题我觉得应该出错率不是特别高，而且你要做的非常的快。你做的要非常的准好，这是第二题。那么再来看看这个第三题，第三题啊，按理说吧。你听过这个强化课程同学，你这题肯定是秒了呀。我教过你经验呢。对吧，

我讲过这个事情，我们把这个东西啊，我们再来复习一下。那么，首先第一个事就是极限部分内容。第二部分就是连续部分内容。第三个东西就是可导部分内容。那这个里面当中，我教过你这个人，那其实就是极限是存在加减，存在是存在。存在加减不存在时不存在。然后第三个事情是不存在加减，不存在是未知。是吧，

未知，然后我们再来看。还有这个惩罚。乘法是存在乘存在时存在。存在乘以不存，在时未知。然后最后一个人是不存在诚意，不存在真实位置。所以说这几个事情呢，你必须要把它梳理清楚。然后这个连续呢，连续这个东西是用极限来定义的。导数也是用极限来定义的，所以说他们走的这个方向跟这个前面是一样，比如说我们来看第一个人连续加减连续，

那当然是连续。啊，这是连续，然后是连续加减，不连续什么叫不连续，不连续就是尖端，所以说这个东西啊，一定是不连续，不连续就是尖端。然后第三个事情间断加减间断就是不连续加减，不连续，这是不一致的。然后你后面的这些东西啊，都是一样，这些东西都一样，

那可导加减，可导可导加减，不可导不可导加减不可导，这都是一样的。所以这是我们在这里面当中讲的这个第一波知识点。而且这个题啊，出题量啊，应该是出题点比较温柔，为什么呢？你想想这个人是连续这个人是间断两个人相加呢？对吧，连续加减不连续一定不连续，那这个题答案就选c呀，所以秒选了呀。然后这个乘法呢，

那就是连续乘上不连续这东西是未知啊，这个不对。所以这个题温柔的点在何处呢？就是这个题最好做的就是直接法。对吧，直接法。我也不用进行去看看这个a选项b选项e选项怎么样，我就直接进行选出这个答案，你选c。当这里面当中，我们上过这个强化课程的时候啊，我相信你的理解会更深刻，我在强化的时候是不是还跟你讲过？像复合函数的一些情况。我们说过，

只有连续复合，连续是连续剩下的东西都是不知道。什么连续函数符合间断函数？什么间断函数符合这个？什么符合这个连续函数？什么间断函数符合间断函数都不知道？一律都不知道，比如说这里面当中，我们来看看这个a选项。这人是连续，然后这人是尖端。对吧，然后这个时候的话，用这个间断进行去附和这个人，他一定是有间断点。

那这里面当中，我可以举例子。我举的最好的这个间断点的例子怎么办？你再来看e选项。e选项其实就是用gs这个人。进行去复合了x方里面的x，然后是不是就得到了gs方？其实你发现a选项和e选项是一样的。a选项是间断复合连续，然后e选项是gs复合s方也是间断复合连续，这是一样的。那你想想一个间断的东西怎么样？让它平方了之后不间断呢？哎，我有一个非常好的例子，

平方有非常好的特点，就是你无论是正的还是负的平方以下都是正的。对吧，如果你这个人是这样。好比说这样。那这个时候的话，这个gs是多少呢？你比如说这是一，然后这是负一，然后s大于等于零，是它s小于零，是它。那这个时候你进行去平方下，你看你间断，你间断了平方下去，

永远是一我是不是连续了，你看你不对。那你这个时候的话，你可以取这什么，比如我举例子，我举fs就是平方。那你这个人就是gs方gs方的话，连续你看你又不对我举例子。然后再来看看b选项，用这个连续函数进行去复合这个尖端。那你想想我进行取这个fs。我知道你大于零的时候是一小于零的时候是这个负一，那我如果能取一个函数，它永远都是大于等于零呢？比如说我就取s方。

我取x方的话之后，你发现我用这个x方进去去复合你。而x方这个人，他永远都是正的呀。那x方永远都是正的，它只能往这儿。所以说你永远等于一，你不就连续的吗？你也不对。好了，这是这个题，我们就讲到这，所以说这个第三题的正确答案选几选c啊？啊，这是这个题。

呃，冲刺讲义的这个第一篇是没有答案的。那些题我都是上课的过程当中会讲的，所以没有答案。然后那个第二篇的题就是那个二一年之前的这个真题啊，那个是有答案的，那个答案的话，我们等到呃后天吧，我会给你发一个部分。啊，这两天的话已经让他们进行整理了，好了，这是我们讲的这个第三题来继续，我们再来看看下面的题。你看这个题目。

所以这个题我觉得应该是做的比较快的，因为选项的设置是比较简单，我两下就看出答案，我就算abd不会，我也能选出来。好，这是这样来继续再看第四题好，接下来就开始放水了这些题。所以说这套样卷难度系数真的不大好，我们再来看看，开始放水了。说这个人在零处连续什么叫连续？连续就是极限等函数值。那极限导入函数值的话，而且这个人呢，

比零大比零小，这是不一样的，所以说这个题要分。一个是零帧的话，这个人就是as，然后这是一减cos根号s。那当s进行去趋向零正的时候，这是as，然后上面这个人刚好等价无穷，小二分之一，它的平方，所以这等于二a分之一。那接下来的话，这个部分等于BB的话，等于b那，

所以说这个左极限和右极限相等，该点函数值也是b，所以立即可以推出来AB等于多少二分之一？选几啊？选一。你要是真考它。那我就觉得就没有什么差距了。那是真的拉不开分了。就是就算学的一般的同学跟你学的，你学的再好跟你也是差不多的。那说实话就没有什么区分度了啊。其实对呃，像我们如果准备的非常好的同学，尤其是我们今年的这个备考，我觉得在这里面就有点吃亏了。

因为你都知道，如果这个东西简单了，我们的这个经济类的线肯定会往上涨。涨了之后的话，其实有的时候也不是一件好事，最后而言的话，其实就没有什么区分度了啊。好了，这个第四题。那么，接下来我们再来看看这个第五题，你看又开始放水了。如此之简单。说这个人斜率为负二，那斜率的话，

你进行求导，那这人是负2 x=- 2，那这个时候的x肯定等于几啊s=1。那这个切线方程的话，此时的y等于多少呢？y=12-1就11，所以说就是y=11，再加上导函数负二。再乘以x- 1。那所以说。y就等于。负2s，然后这个部分加二，那这是13。所以说就是2 x+1个y再减去13=0。

2 x+y- 13啊，等于零选a。好了，我们继续，我们再来看看下面一题。你不不要有这种感觉啊，你就稳扎稳打的做，再看这个题。第六题。呃，这个题啊，我觉得到了我们现在的考研的这个难度系数而言，考这个题的几率不是说特别大？因为如果考的话，肯定会考二阶，

你去看看二零二三年的考研真题，已经考到二阶了。如果考察这个一级啊，应该这里面当中涉及一些变现函数，可能就会好一点。啊，所以说接下来我们来看看这个第六题，那怎么办？由方程确定隐含数两边同时求导呗，然后这个人。先对这个中间变量求导，然后这个中间变量再求导前导后不导，然后是前面不导后面来导。那么，继续我们再来看。

把这个什么东西呢？x=0带进去，等于零带进去了之后的话，这个y就等于e的啊，这个是零次方，那就等于一。所以说当这个什么x=0，然后这个y=1的时候把它带进去，带进去就是y撇减一。一的零的话，你看这个部分的话就是零，然后这个部分呢也是零，所以就等于零，所以y撇这个在零处的话就等于一正确答案选d。好了，

这是这个事情，来，我们继续吧，我们再来看看这个第七题，第七题也非常简单啊，就完全直接考了这个什么。考了这个复合函数的这个权威分那，所以说我们先进行求导呗gs这个导函数就等于先对中间变量求导。s in这个2s，然后中间变量再求导就是cos 2s，中间变量再求导是二，所以接下来我们就把这个零带进去，零带进去的话，这是f撇零。cosine 011这是二，

然后这n是一，它就等于二，正确答案等于多少，所以说这个全微分等于两倍的ds答案选几选d啊？呃，这是第七题，我们再来看看这个第八题。这几个题啊。跟去年的考研难度系数相距甚远。啊，所以不是说特别难，你尤其。呃，做的过程当中稍微的细心一点啊，而且在考场的时候啊，

你自己把这个方向性还是要摆清楚一些。好了，我们再来看看这个第八题，那第八题的话，让我们去求解这个极值的问题，那就求导呗，你一求导的话，这个人。那去判断极值，先进行求导，找注点和不可导点是四倍的I三次方减去三八二十四，然后这个部分的平方。那这个时候把这个四倍的x方提出来，提出来之后的话，这是x，

然后再进行减六。那这人的触点是多少呢？呃四提出去对吧？这个是三次方，然后这个嗯三次方提出去。哎，这是三四求导，三四一十二倍的I三次方提出去，然后提出一个12倍的I三次方。啊提出去然呃平方提出去，然后这个部分是减二。所以现在而言的话，我们进行找重点的话，一个人是几呢？一个人是零，

一个人是二，好，这个情况那么这个题怎么去判断呢？那判断的时候，你怎么判都行，你发现零的这两边零的这两边肯定不变号，然后这个东西的两边肯定变号。对吧，那这个非常的简单，所以这是这样，你用第一充分条件判可以用第二充分条件判也可以。你发现这个零的这两边对吧？零这两边的话，这个部分永远是真的，而这个部分是x- 2。

那x- 2的话，在二。那所以说零的左半边是负的，零的右半边还是负的，然后这个二的左半边是负的，右半边是正的，先减后增极小值啊，这个方法可以。或者而言的话，你再进行求导，你再求导的话，这是36倍的，这个s平方再减去多少48倍的s？你把零带进去的话，二级导数也零第二，

充分条件就失效了，然后你把这个二带进去呢，你二带进去的话是36乘上个四。减去个48，再乘上二，你把这东西一算，所以这个题啊，二处这个东西啊，应该是极小值，所以答案选c。这个题非常简单。你这高中都不考的题。如果说实话，考这个题啊，会是难度系数，

倒不是说特别大，所以我们这次考，我觉得先把这套卷子啊给考了吧？因为难度系数，说实话，稍微的低一点点，你在做的过程当中嗯，不然的话，后面你老是会想我说我们这个大纲，后面还有一套样卷，什么时候考啊？啊，把这东西我们就考完了。好，我们再来看第九题，

第九题秒了吧？那这题我们强化的时候讲的非常多哎，这个导函数和它相碰，爹跟儿子相碰。你已经把它变成什么二分之一平方得导函数？然后这人大于零。那所以说平方这人导函数大于零，那这人单调递增，那这人单调递增的话，它在一处的值就比零处的值大。那所以说不是说这个人比他大，是这个人的绝对值，比这个人大，所以f1的绝对值比f0大，所以选c。

好了，这是第九题，我们再来看第十题，第十题啊，有些同学可能出错率比较高一点。好，先看第一个事情。他说这个人在这个人的邻域内严格的单调递增，在这个点处的导函数就大于零吗？我讲过这个事情。如果在这个邻域内单调递增，在这个邻域当中的话，应该是导函数什么零在一个区间内单调递增，导函数是大于等于零。还记得吗？

如果导函数大于零，肯定单调递增，但是单调递增是大于等于零，你比如说举个例子x三次方。那x三次方的话，在这个零的这个邻域内单调递增啊，但是你发现它在零处的这个导函数，它是等于零，你这不对的。然后再来看看b选项，一点导数正负性，决不决定邻域单调性呢，不决定这上课取得有利子。然后再看，如果这个是极值导函数，

在两侧就异号吗？不对，两侧异号推极值极值可推不回来。为什么这是一个充分条件？不是个充要条件。一定注意，这是一个充分条件，不是一个充要条件，跟导函数连续没有关系，不要胡来哦。跟导函数连续没有关系，说如果这个函数连续。人家都告诉可导了，肯定连续啊。不不不，

是的，你看这有些同学的话，这个。学的非常的不好。你说的是哪个东西啊？你说b选项吗？来，我给你举个例子吧。呃，这个问题点呢？可能这个大家有些同学的这个基本功打的还是不扎实啊。你这么长时间的这个复习啊，我们先看看b选项。说这个导函数大于零一点，导数正负心。

居然有些同学还在问b选项为什么错？这就是我教出来的学生啊。我们来看看强化过程当中的一些笔记。好，我们来看看这个事。啊疑点导，数正负心。不决定邻域内的单调性，除非导函数在这个点处连续。对吧，除非导函数在这个点处连续。所以你发现我们这个是基础班型。强化班讲，我实在不知道你这段时间在干嘛？啊，

你这个你你一而再再而三，那你说明你曾经花费的这个时间是无效时间呗。没有作用啊，你当时花费这个时间，你还不如去玩儿啊，一点影响都不大。所以当时我们讲过一点导数的正负性，不决定领域内的单调性，除非导函数在这个点处连续。导函数在这个点处连续。所以现在人家只告诉了可导。还会出现这些问题吗？你比如说我们下面举的这个例子。这个例子就处处可导。波为零的时候可导，

零处也可导。但是这个点处导函数大于零附近，是时增时减时增时减呐，这我是不是讲过？所以像这种东西，你居然看到的话，你没有把它秒选，我觉得做的也不到位。你可以进行去复习一下那个事情好了，有人说那老师我强化没有复习完，那看基础。基础我也讲过好，我们来找到基础。我们来找找基础版。来看一下这个点。

那这里面当中，我们是不是讲过一个点导数的正负性，不决定邻域内的单调性，除非导函数在这个点处。连续我觉得这个东西啊，不是别的事情，是你复习意识的问题。啊，你这个复习意识稍微的话，这很有问题啊，这个部分。所以这是我们讲的这个第一个事，然后接下来我们再来看看这个第二个问题，所以那个第二条内容啊，不行我再讲一句话。

如果到了这个，今天你还是这个水平呢？我觉得你还是稍微的稳一点。你只是把东西啊，我觉得还是做的不扎实，你学过的东西的话，最后还是不在脑子里面，那最近这一个月啊，我们整整的经历了我一个月，这一个月在干嘛呢？但是我们觉得时间还是够。但是你如果再走一次弯路，时间就完全就没有了。现在还有三个月的时间，其实还是够的。

我觉得差不多一个月的这个水平点，马上就拉上来，但是你如果再走一次弯路，我就时间根本就没有了。如果你在只有两个月的时候，因为作为我们三九六的同学，有什么逻辑写作，还有专业课，还有政治和英语，东西特别多的，那废了。那真来不及了，所以我们现在还是够的，我相信啊呃，大量的同学应该是做的很好的啊。

好了，我们再来看看这个事情。你看这个人，人家这个题说的是什么？人家说的是这个函数可导。这个函数可导，只能推出什么？这个函数在这个区间内连续。能不能推出导函数连续啊？一定推不出来导函数连续。所以说这个时候只能推出函数连续，如果告诉导函数在这个点连续就可以了。你看还是这样的问题，按理说这种题就是秒选的，你见到这个东西直接选了好，

我们再来看c选项。c选项我先讲讲，我们作为三九六同学，怎么进行去把这个东西啊？给解决掉。对吧，我们作为三九六的同学，我们怎么样才能把这个东西给上课的话，就是做题的时候直接一秒破题了。很多说老师什么是疫苗，确实是疫苗。因为我们讲过，如果什么东西呢？如果这个函数连续你看，现在这个函数确实是连续可倒闭连续嘛。

原来的这个函数连续。如果它的导函数在领域呃，应该是去心领域内一号。如果导函数在这个点两侧一号，那这个时候一定取极值，这个方向有没有问题啊？没有问题吧，你看这个方向绝对没问题，就说如果这个函数是连续的导函数，在这个点两侧是一号的。那这个时候一定会取，但是如果取极值的时候，它一定异号吗？这个方向不对，为什么我们讲的是第一什么条件？

第一，充分条件不是充要条件。那么，接下来我给你举个例子，那这个例子啊，我们可能作为数一数呃，这个数一数二数三同学的话讲，我们三九六同学的话，在这个点呢。没有把这个东西啊，深入的进去讲这个问题。因为这个点你只要了解到这个内容就行，这个例子可以不会举啊。我不要求你会举好，我来给你举个例子。

就这个人好，我们来看看这个例子。我们三九六同学，你可以不会举这个例子，这没有任何关系好，我们先看这个人。先来判断一下这个导函数，在这个点的邻域内是不是异号，我们先求导吧。来先求导。你发现如果不为零的时候，那前导是2s，后面这个人不导。啊前倒，后面不倒。

然后再加上前面不倒。后面来到coss分之一s，方分之负一，所以说就是减去一个多少coss分之一不为零。好同学们告诉我，不为零的时候，这个东西可导吗？可导不为零的数是可导的。然后再来看看，在零处可导嘛，零处的这个人的导数定义就是limit x趋向零，然后用fx。然后再减去f0比上x- 0，所以说这个时候就变成了x趋向零，然后这个部分呢？

是x倍的多少二加sin x分之一？那这是无穷小，这是有界无穷小乘，有界无穷小无穷小极限是零，那这是零好。我问你个事情，这个函数可不可导？这个函数当然可导。那这个函数波为零的时候，导函数是存在的，等于零的时候，导函数是存在的，当然是可导的呀。那么，接下来我们来看看。

这个函数在这个点两侧有没有异号呢？你想判断这个函数在零的这个什么去心领域内是否单调？是否单调的这个情况，他说的什么问题呢？他说如果导函数在这两侧是异号的。呃，我们来看看这个人吧啊，那么现在的话。如果异号，它肯定取取值，一定异号，我们现在看这个人。现在看这个人的话，你就会发现我们就看这个趋向于零的，这个时候这个部分是不是x趋向零？

当s趋向零的时候，这个导函数的这个情况是二x倍的不为零嘛，二加上sins分之一，你再减去个coss分之一。而你会发现，像这样的一个部分的东西，它是一定趋向零的。而这个部分的东西，它是在负一到一当中震荡的。所以大家告诉我一件事情，你就会发现这个导函数在这附近，是不是一会儿正一会儿负，一会儿正一会儿负，一会儿正一会儿负，一会儿正一会儿负？

是不是这个情况，导函数在这个附近是震荡的？因为在不为零的时候，这个导函数一会正一会负一会正一会负是正当的，那么接下来我们看看这个函数取不取极值呢？你看这两侧，这两侧也没有异号啊，因为在这个领域当中，一块儿正一块儿负一块儿正一块儿负，有正的也有负的。你在这块儿当中，一会儿正一会儿负，一会儿正一会儿负，一会儿正一会儿负。那么，

接下来我们看看取不取呢？取不取这个题非常好看。什么叫极致？极致是一个领域的概念。像这个题判断题，只只能这样做，只能走定义法。你来看这个人，这个人在零处是不等于零。但是接下来我们来看看这个人的附近呢？你想想在这个人的附近，也就说当x趋向于零，就这个范围。这是s不为零当s不为零，这个部分是大于零。

这个塞印是介于负一到一之间。二加上这个部分永远是大于零。所以我知道了哦，在两边的时候。两边的时候的函数值是大于零，这个点处的函数值是等于零，所以说这个点告诉我件事情是什么值啊？是不是一个极小值啊？啊，告诉我是不是啊？定义法呀，如果这个点是极大值这个点处的函数值就比邻域当中的函数值要。要大，如果这个点处比邻域当中的函数值要小，它就是个极小值，

所以说它就是个极值，来你来看看。这个函数在这个点处取极值了吗？取了它的导函数在两侧异号吗？没有吧，你这半边它一会正一会负一会正一会负。你这半边也一会儿正一会儿负一会儿正一会儿负，你这两边异号了吗？没有啊，不对。这个例子也告诉你。说如果两边一号你肯定取，但是取了两边不一定一号，所以说这个例子就是非常好的说明了。第一，

充分条件是第一，充分条件不是充要条件。所以按理说我们在考场上做这个题啊，其实非常简单，你看函数连续了吧，如果两侧一号肯定取积值，取积值两侧一号吗？那不一定，所以赶紧不选。所以这题的方向性好，我们再来看看d选项，如果导函数在这个点两侧一号，它是极值，那这个题肯定秒选啊。这个函数在这个区间可导，

这个函数在这个区间连续连续导函数在这个领域异号，它不就取极值吗？这原话内容啊。选d这多简单。你再来看d选项，如果导函数在这个区间内单调增加，你想想如果导函数在这个点。两侧就没有鞭炮。这个东西严格的单调增加啊，是导函数增加。他说这个人是极小值。哎，这个情况是什么样子呢？你你注意啊，这个这个题有些东西可能会选e选项。

你稍微注意一下。导函数在这个区间内增加。那就说明二阶导数什么情况？二阶导数是不是大于等于零？能理解吗？啊，你自己思考一下，不不不，是这样。你这想清想的不对啊不对，因为你想想一个事情。你导函数单调增加，你有没有可能是这样的单调增加？你这样单调增加的话，这个x0不是一个注点啊。

而且的话处处可导，既不是驻点，也不是不可导点，那肯定不取啊。如果是这样单调增加呢？如果是这样单调增加的话，这个x0这个点也不是注点，也不是可导点，也不是不可导点。他只有这种情况的话，他才可以，所以说这人不对。能学清楚吗？你单照增加吗？你单调增加的话，

你看看这个点，反正它在这个点处肯定是可导点。能取极值的人有两个，一个是注点，一个是不可导点，你如果是这样增加，你看你这个点都不是注点，你是这样增加，你都不是注点。你只有这样增加，你是个注点。而且两侧一号它才可以，所以e选项还是比较简单，我觉得这个题。这个题总的来说还是一个简单题。

因为出题人太温柔了啊，所以我觉得这套卷子应该不是命题组命的。这套卷子反正就挺挺糊弄的啊。说确子出的奇差。说实话，这质量基本上是没用。质量极差，我就说一个现象，你就知道。你说哪个卷子能考两个？这个无条件起止呢，你看这个纸。是不是你说哪个卷子能出两个无条件起止呢？这是这就叫什么？这叫败笔，

对吧啊？你说是不是？出的有点糊弄。好了，这是这个吧呃，但是啊，它是大纲后面附录的一套卷子，我们还是把它做一下啊。把这东西做一下。所以说这个这个这个卷子啊，不是特别难啊。所以下次我们出的题的时候，你就好好做，对吧？我觉得这个既然考了，

因为它是一套样卷。你就把这个题好好进行处理处理。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看看下一个题11题。sheet.啊，这是ds。那么，11题这个题啊，我们就继续看，所以也给很多同学提了一个醒啊，幸好第一套卷子啊，考的是这个。也给很多同学提了个醒，

有些部分的东西啊，你自己做的不好的点，你一定要好好进行自取一下。对吧，我不知道这个这一个月的话，你们是在干什么事情？有些同学早都不复盘了，然后疯狂刷题，你看最后刷。你把多少题做完算一个数呢？你你想想是不是你说你做多少题？你才叫我们做做做这个题量做够了呢。所以我觉得这个这个问题点就在这儿。呃，到时候的话，

你进行去做那个。我给你继续去看看这个石头去。啊，你到时候做我们那个卷子，你就看。你看里面当中有极限题吧。对吧，有无穷小量的问题吧？然后有连续性。嗯，关键点的话，你看切线方程，这是每年必出的点，所以到时候你继续去做我们这个这个卷子的时候，你自己就可以看出来这个出题人，

他就是这样。就是这几个重点，他一定会出。函数极限计算题无穷小比接的问题，还有我们后面的什么复合函数求导分段函数求导。切线和法线方程，你这些东西肯定得出，然后另外你看这个复合函数求导，然后到了这个里面当中的这个呃。像隐函数求导，这也是一定会出题的，然后到了这个极值的这个问题啊，这是第一套卷子，然后这个零点的问题，你看这个题，

这个题很有去年那个出题的这种感觉。啊，这是第一套，第一套会温柔一点，所以我们后面我们再看吧，还有像这种问题啊。行吧，我们就不多说了，然后的话，这个题题目的话，我们到时候做我们再说，所以我觉得这个今天的时候你要稍微的进行去。呃，第一次考试对吧？第一次考试也是给很多同学提了一个醒。

你要如果你接下来这一个月，你再走一次弯路，我觉得时间完全不够了，我没有跟你开玩笑。现在时间其实还是够的啊。然后接下来我们就继续，我们再来看看这个下一个问题，你再看这个题，那这个题也不是说特别难。那么，接下来我们先看这个人，他说这个人是原函数，那原函数的话，这是第一倍，那就是这个人的导函数就是这个人。

那这导函数的是前导后不导，前面不导，后来导。然后的话，这个人是x倍的，这个人导函数这个ds。那这时候怎么办？把这东西凑到后面去，凑到后面去分步积分法，然后是两项相乘，然后再减去两项调换位置。然后这个部分的话，其实就是你把这个东西算一下，这是lns+1，然后这个人的原函数是谁？

这个原函数不就是它吗？它就是它原函数加上c。所以说这个题啊，就是这个结果，你可以把这个什么把这个。把这两个东西整理一下，那这是二倍的。对吧，这是二倍的，然后这个题你叫我看看。它这个结果的话，你把它算一下，算一下这这两个东西约掉是吧x+c？不是选b。好了，

这是这个人吧，我们就继续，我们再来看看下一个题啊，12题那这个题其实出的比较简单啊，这个题。温柔了一点，因为这个题的话，考的是这个是e的这个三音。然后这是两倍的，这个s in，然后这是cos。你就直接把这个cos塞到后面去，这是两倍的，然后这是e的，这个s in，

然后这是s in，然后你把这个东西凑到后面去，这是s in。如果你想做的话，这个人其实就是e的t，然后这是t，然后dt，然后再来分布积分法一下分布积分法一下的话，这是t倍的de的t。然后接下来的话，这个人是两两项相乘，再减去两项调换位置积分还是一的t2倍的，加上c。然后把它带回去就行，带回去的话，

其实就是二倍的，这个s in，然后这个是减去个几呢二倍sine的s in。然后再减去二倍的e的，这个s in+c。好了，这是这个结果，所以把这个人呢进行去提出去一定是两倍的，两倍的e的s in，然后s in- 1答案选几选一。好，这个题。可以了吧，这是这个题目。好，

这是我们讲的12题，继续吧，再看下面一题。13题13题的话，这个题考了一个对称区间，那对称区间肯定考这个呃，先进行去试奇偶性怎么判断奇偶性呢？来给它一个负x多了一个符号不动。奇函数既然第一项奇函数等于零三一个负x不动偶函数，偶函数二倍，第一项等于零，第二人的话是二倍一减x方。然后接下来又考什么？这东西不就考圆吗？那就是根号下a方减x方从零积到a，

这个人不就是圆吗？那这个东西y等于它其实就是x方，加上y方等于它啊，圆心在原点半径为a的圆零到a，这个积分是四分之一的，这个圆的面积啊。所以说是四分之一派一的平方，这个人等于二分之派。好了，这是我们讲的这个，这个人答案选几选a来继续吧，再来看14题。那这个题啊，考到这三个人的max，那三个人max其实就是个分段函数，

但这个分段函数非常简单，你可以把这个人的图像把它给我画出来。那这个人是y等于多少呢？x方。好这个人，然后这是y=s，然后这是这是等于一，所以说对于这个函数而言，最大值的话其实是这个部分。然后这个部分，然后是这个部分，然后这个部分的焦点是一你现在而言的话，我们是从负一记到二那负一在这儿。然后积到二二在这儿那，因此负一积到二的话就是负一积到二，

这一段是对一级，然后这一段是对几几x方积。所以说这个负一到一是对谁几对一进行几分，然后再来是一到二对谁几分对x方进行几分。所以说这个结果等于二，然后这个结果呢？等于三分之一的这个人三次方三次方的话，这是八，这是七，所以这是三分之七。三分之七，这是三分之十三答案选a。好了，这14题我们再来看看这个第15题15题啊，放水题那这个题就考了一个变现函数的求导，

而且像考这么。菜的一个题，你把它做错了，你不能原谅自己。这是不能原谅自己的，你像这个题的话，而且考的标准性，你就直接来呗，来上线移进去，这是l上线修道。然后再减去下限，移进去下限再求导，这是二好了这个题，所以这是s分之一ln一加ln。啊，

这种肯定不对，这种肯定不对，这是两倍的，然后减去两倍的ln多少呢啊？这是选b啊？那么再来看看这个下面一个题啊，这个题也非常的容易。秒了吗？这个题。有没有秒了？这题怎么做？这题怎么办呢？怎么处理的？这题考了一个基本不等式吧。所以说这个题的话，

你发现他就完全很喜欢考这个。哎，我这个鼠标怎么回事？好，那然后的话，这个人的话就是考了这样的一幅图。这谁呢？这是e的x- 1，然后这是x，然后这是ln多少一+x？好，这个人那这是这个情况，那这这里面当中的这个k这个人怎么进行处理呢？还记得吗？这个题搞得。

es- 1，然后大于多少呢？s大于多少ln 1+s？那这个一这个人考的是什么呢？我其实跟你讲过啊。你s大于零的时候，这个ln一加s分之一，这个人你就小于s分之一，而大于多少x加一分之一，你还记得吗？所以说这个时候的话，你把它摇身一变，你把这个一加s分之一当做成s就小于s，而大于多少呢？那这其实的话x的话被s分之一进行替换。

与上下同时乘上，那这就是x加一分之x。你看这个人，所以说这是一加s分之s，所以我觉得这个题考什么就考鸡。你的记忆水平怎么样？那把它给我记住了，就结束了，所以你比他大，那这时候他的积分是I，他的积分是。这是诶，你的积分是谁j？你的积分是I？你的积分是谁？

k ji k。jak答案选。几选c？这不就是我们上课总结的那个五星级重点不等式吗？你可千万不要觉得说哎呀，原来我们上课讲的时候，老师心里讲的啊，这不会考吧，怎么可能我们我们怎么可能会考到这么恶心的，这个不等式应该不会考。你可千万不要只等到这个题，真正考的时候你就觉得哦，这个题原来我们也会出啊。你在你自己没有这种经验的时候，你一定要把我们上课讲的这个东西，

你好好消化。你可千万不要在这个自我的这个世界当中沉溺。你如果今年的你像这种模考卷，我觉得都罢了，它可以帮着你进行查漏补缺，要是真的，今年的考研真题你看。如果这个题就是今年的考研真题。有些同学脑子里面当中就没有记这个后半拍的这个公式。人家记得的同学就把他秒了。然后你没有记住这个题，你就废了，你说这是多么亏的一件现象啊。难也不难，等我们今年二零二四年的话，

今年12月24号考完了之后，中午的12，11点31分问了一个同学，哎，你那个题怎么做那么这上课讲的这个不等式，你把它记住不就行了。哦，原来是那个，那都晚矣。那是真的是晚了，所以把这些东西啊，你都好好进行去记忆清楚，这是不是上课讲的五星级重点的不等式？好了，这是我们讲的16题，

我们再来看看第17题啊，这个题啊，您简单的不得了啊，这个题这题怎么办？继续看，那就是上限两边同时求导上限移进去上限求，然后这东西是2s。所以说这个东西啊，就约掉了，给这个s带多少带二分之一二分之一的话是一，所以这题答案选一。来再来看看第18题。好，再看这个题，那这个题啊，

也不用什么先带后求了，直接导吧。导完了之后再说偏z偏s这个人其实就是先对这个中间变量求导。然后对s的话，这是y啊，这个中间变量还要再求导中间变量对s进行求导的话，这是负的coss。然后这人再求导，然后是偏z偏y这个人来，先对中间变量进行求导。然后中间变量再对y进行求导的话，只是cosine y，然后再加上多少再加上s。把零和二分之派带进去，零和二分之派二派带进去，

那二派的话，我们来看看嗯s in这个二派是0s in 0是零，这块都是零。所以说这个cos 2派呢？cos 2派的话，这个人刚好是一。一的话，其实就是负的f撇零，然后这时二拍。好，这个结果。然后再看这个人，那这个cosine。诶，这是cosines。

对吧啊，这是cosines，然后再来看看这个cosine多少呢？y cosine y的话，这是二派cosine 2派的话，这人也是一。然后这个部分呢，这是零，所以说这是f撇零一加的话，这是二拍选一。好，这题也不难，你就往里面带呗，而且这个题出的忒温柔了。你像塞和扩散这两人。

你把零和二派带进去不就一样的吗？好，这题好，18题。再来看看19题啊，我们继续做。这题有什么打点呢？你赶紧给我去消。这一题也打点，那你就你就把这块内容重学。这其实就是一个非常简单的一个偏导数计算，你就直接刚它就行，没有任何难度，好了，我们再来看看这个题。

隐函数二元，隐函数一个，函数由方程确定二元，隐函数怎么办公式法吧y yds对吧？那所以说这个人的话就是s in xyz，然后再加上ln多少x方加上y方再加上z。一边摆零一边摆它，然后这是偏z偏y，注意一个事情，你看这个答案选项，它有一就有负一，有二就有负二。所以你要注意这个公式法，前面当中是有一个什么有一个负号的，你不要把这个东西给丢了。

然后先来对y呃syz对y的话，这是xz，然后这个部分的话就是x方，加上y方，再加上z。然后再对这个y的话，这是2y。然后继续对z coss yz，然后对z的话，这是sy，然后这是x方，加上y方加上z方，再对z试试一。然后往里面待。来看看当x等于几呢零，

然后这个y=1的时候，你往里面带的话，这个前面是零，前面是零的话。这个人。呃，这个结果的话，这是零，然后这I次方那这是一+z=0。然后的话ln 1=0，所以这里面当中等于一，所以说z肯定等于零。那也是说x=0 y=1，然后z等于几啊等于零，来往里面带一带的话，

这个板块是这是零。对吧，你这是零，然后这个x方加上y方加上z方的话，这个人刚好是加上z呢，那这个部分是一，所以下面是一。然后这个时候的话，这个2y这是二下面是一，那这是二，所以这个结果等于负二答案选一。那么，接下来继续我们再来看看下一个问题啊，再看20题。先带后求。

学混了吧啊，这个。你说是什么现代后球啊？这是公式法啊嗯，你说如果说在做题的时候要注意是注意这一点，技巧性就是你要注意这个将来我们要带的s是零的话。那这一项就不算了，这项就不算了。啊，这样是可以的，好了，这19题我们再看20题。那20题这个人呢？其实就ABC判别法呗，你现在继续去求s偏导数s偏导数，

这是2 x- 6 xy。然后对y进行求偏导数，那这个部分是负s呃三倍的x方，加上三倍的这个y方。好了，这个人，然后接下面去检验一下零零零带进去的话是注点，然后这是三分之一的话，这是。三分之二对吧？三分之一代进去的话，这是三分之二，三分之二的话，这是嗯。六乘上一个多少九分之一九分之一的话，

约掉一个三的话，这还是三分之二。是不是这个人，然后的话，这个部分的话是x方方的话，这是负的多少呢？呃，这个人也是零，所以说三分之一三分之一是注点。然后再看负三分之一，负三分之一的话，这是负的三分之二，然后这个部分的话就是加加上六乘上三分之一，乘上三分之一。所以说这个东西其实就是多少三分之二，

所以这几个人都是注点，那么接下来我们就要进行去求ABC就行了呃，我先说一下。如果方法都不知道，你这复习非常的不到位啊。所以把这个内容啊，你好好进行去看看，那么接下来我们就要进行去求一下对s，那是二，然后这是6y，然后再看是xy xy的话，这个人其实就是多少？呃，对y的话，这是负6x，

然后再来对y，你再对y的话，这人是6y。那这个时候的话，我们就要进行去求啊，所以说你把这个人带到这里面。好，我们先来看看零零点零零点的话，你先把它往里面带，你带到第一个人当中求出了a，然后带到第二人当中求出了b。然后在第三个人当中求出c，那这个时候的话，这个b方减AC这个人什么等于零？对吧，

你这个等于零的时候你就会哦求助点。呵呵呵。哎呀，行行行啊，好好的这题嗯。呵呵呵。哎呀。a啊。不错，后面自己判吧，把这个ABC求出来啊。哎，行行行，好。然后再来看看吧，

再看这个题。这个题。那这里面当中，我们就要进行去求啊，这个ABC，然后最后用b方减AC进行去判断。然后这个时候的话，这个把这个人进行一求的话，这是八倍的s七次方，然后再减去一个多少呢？再减去一个四倍的。x+y啊这个人，然后接下来我们对这个y的进行去求，那这是八倍的，这个y的七次方，

其实你都知道这是有对称性的。啊，四倍的s+y，这是有对称性的，有对称性的话，你把这个零零点带进去是注点，然后你把这个一呢，你看这是八。然后这是八一点，也是主点负一呢，负一的话，这是。负一，这是负八负一的话，这是负二。

负二的话，这是八，它也是，所以说这个时候我们还要继续去求一下s的这个两节s两节的话，七八五十六。x的六次方，然后再减去四，然后再是xy的这个混合xy的混合的话，这是呃再对y的话，这人没有了，这人就是等于负四。然后这个YY这个人呢？你去算一个就行了，你不需要算两个。对吧，

不需要算两个，所以说这个时候的话，其实就是七八五十六，然后y的六次方，然后再减去几减去四，你算一个就行。那这个时候我们进行去判断一下，这个零零点零零点的话，带到第一个人当中是负四带到第二人是负四。带的第三个人是多少是负四，所以说这个时候b方减AC这个人呢？你来看看那这个人的b方是16，然后这是16，这b方减AC=0，那这时候ABC判别法就失效了。

所以现在目前而言，这个选项我们是待定的，我也不知道，我只能去判断别人，那这时候我们再来看看这个一一。一这个点的话，带到第一个人当中是多少是52带到第二个人当中是负四带到第三个人当中是52。啊，所以说，然后接下来的话，这后b方减去AC这个人肯定是小于零，而且a是大于零，那说明这个点是极小值，所以这个题的正确答案选几选c？好了，

这是21题，这个题啊，你下去好好琢磨琢磨这个题。怎么处理的？你把这个事情，所以这套。这道题啊，它是难道这个选项是为了掩饰这种尴尬吗？想说啊，你看我这个题不是考了这个无条件极值，我这个题考的是注点。啊，我这个题的话就是为了让你进行去求导了，之后的话，你看我这个题考的是重点啊，

所以说我这两个题啊不是重复的啊。行了，那么这是这个题目，我们就讲到这来，再来看看22题。你看这个人。那这个人的话，这是。a1，a一二，a一三啊，a1，a一二，a一三。这不顺吗？

这么说，你其实就这就太简单了。你这有公因子提出去。然后这是二这又公因子提出去。这是负二。这个公因子提出去，这是二。然后这个时候的话，只是把什么a二一和a一三这两个东西调换一下，你在前面再加个符号，所以说这么多倍的它。应该等于八倍的m。啊，八杯。所以这题的正确答案选几选一。

可以吧，你要注意这块还要调换一下，哎，稍微注意。来接下来我们继续，我们再来看看23题这个题啊。有点骗子，那所以说我我觉得这个你在做题的时候，你要稍微的。嗯，注意一点点。就这个题。就这个题的话。你你自己一定要看清楚我们一般的话，这个m代表什么？

一般m呀。m代表的是余子式。但是人家这个题说的是说这个东西代表的这个第三行的。人家说的是代数余子式。那你说就你说呗，那你牛啊，所以这个题你要当成余子式做这题就废了它，其实是个代数余子式。那他说的吗？一般的话，这个m指的是余子式a表示的这个代数，余子式那他就说这个东西是代数，余子式那怎么办呢？那就是代数余子式。所以现在而言的话，

我们去求这个人。你去发现这个fs这个人呢？他是第三行的第一个，第三行的第二个。第三行的第三个的话，这个前面配零。然后最后一个事情是第三行的第四个。那其实就是第三行这个人的代数，余子式线性格。第三行的代数余子式线性和就把第三行换成它的系数幺幺零幺，然后这是1s。然后这是二负一，然后这二负s，这是零，这是s，

然后这是s，这是零零负s。好，这个人那么现在我们就来进行去看看，那这人是负一，他要求负一的话，你就把他带进去，就是负一。然后这是零零多少一，然后这是一负一，这是二负一，然后这是幺幺，这是零幺，然后这二这是一，这是零负一。

啊，这个人那么再来看看我们，就把这个人的这一列加过来，你加过来的话，这是零。你加过来，这是零。下过来，这是二。加过来，这是一。对吧，这个很简单，然后再来看看，按照这个东西进行展开，

那就是负一倍的，那负一倍的这个部分。对吧，就这个部分。那这个部分的话，我再按照这个展。注意，这个二是代数余子式，你还要再乘上一个负一，然后剩下的是这两个东西的情况，那这是一减去二，这又是负一。那所以说整体结果的话，应该是负二，那正确答案选几选a？

好这题啊，不是特别难。你只要某一行，某一列出现只有一个人不为零的时候就可以展开。要不然的话，就用高斯消元法画成上三角来做。你高斯效用法画上三角的话就稳稳当当做。那这里面当中，如果我们某一行某一列出现的只有一个非零项，那我就可以展开了。来再看吧，看一下下面的题。24题。那这个题啊，他说。

这个第二行是多少？第二行是多少？你去试一下不就行。它第二行。就说你这个人。这是负二三负一，这是二。那这个最后的话是多少呢？是三乘几啊？所以说这个东西的话，你就进去就是。你可不要解方程组。解方程组就麻烦了。你就直接试一下不就行了。你把这个零一带进去。

啊零一。那就是第二行第一列，那就是负一。第二行的第二点。这是二。那负一二那负一二的话，这人不是所以不对。然后再来看一零。然后的话，第二行的话，这个一乘它负二，然后是三，你也不对。然后接下来我们就进行去看看这个负一二。然后第二行的话，

这是二，然后减去它，这是零。那所以说这个人也不对。然后再来看最后一个人，这是负一一。那就是二减去它，这是一。然后这是负三，再加上它。负三加上这也不对。所以说这个人只能是多少负二三。负二三的话，这个人是四减它，这是一。

然后这是负六，然后加上六，这是零。他很讨厌，对吧？就专门的话，这个把这个选项放在这儿啊。可以，你想射也射可以。这比较简单的题，可能说我把这个人设成s1，这设成s2可以，那第二行的话负二倍s1减去。s2这个人等于几呢？那这人等于一，

然后再是多少三倍的这个s1+2倍的s2，它等于几呢？它等于那个零？可以啊，就是对应的这是一这是零嘛。然后的话，你把这个解一下就行。啊，还放了e选项，你无论是这个硬着带也行，你或者设出来之后的话，两个方程把它解一下就行好了，这24题这不是特别难的。再来看看25题。那这个题啊，

给了一个a。你要把逆矩阵求出来就麻烦了啊。你把这个逆矩阵求出来的话，把它算出来。行行行，也可以。好，这个题我们不约束大家，因因为一个二阶的逆矩阵也很好，求行行行都可以啊。那再来看看这25题吧。25题，然后给了一个a，给了一个b，说这个c=BA一。

啊，这个人，然后说c中的这个位于第三行第二列的元素是多少？那这个人那这个人怎么做？那这个题的话，其实你就是直接乘呗，那这个题的c。b是多少呢？这是一一零一二二零一三，然后这个a逆呢？就是对角线元素的逆。就这个人，你一沉就行了，好了，这个题啊，

过去了，我不讲了啊，这题有答案，你自己对吧？把它乘一下，然后让我们继续去看算了。第几行，第三行，第二列。第三行第二列不要全算哦。所以这个结果等于多少等于二分之一。所以选d。然后接下来我们再看，你不要把九个数算出来说啊，这个第二行，

这个是第三行，第二列等于二分之一慢。你是不是啊？他没有让你算别的，你算它干嘛？它第三行第二列的话就是第三行第二列，你算出来就行好了，这是25题，你再来看看26题。再看这个题。那这个题告诉他们是线性无关，然后这个向量组线性相关，那么k等于多少？我们这个题的话，其实就非常容易了，

你这是阿尔法加上二倍的，然后这是二倍大加上k伽马。然后阿尔法加上三倍的伽马，这是不是定式思维啊？它一定能由这三个人进行表示，立即写成矩阵相乘一二零。然后这是零二k，然后这是多少一零三这个？一个向量组能由一个线性无关的向量组表示，那这个时候前面的线性相关性完全依赖于这个人的行列式。那既然前面是线性相关，不用去想这个行列式，肯定等于零一二零零二k一零三。然后这个时候消掉两个零就行，一零一减去上面减去上面减去上面啊，

应该是减去二倍。减去二倍零，减去二倍，这是负二，然后这是0k三，然后用这个人进行展开。六+2 k=0 k=- 3答案选a。好了，这是我们讲的26题，再来看看27题，27题啊，有的同学很遗憾啊，这个。遗憾的点在何处呢？就可能有些东西就错了一个，

错了一个就错到这个题上了。人家说的是解向量组的值。你一定要分析清楚as=0。这个人的智角a。它有好多节。对吧，它有好多解向量。这个解向量的极大无关组叫做基础解析。基础解析当中的个数，其实就是叫做我们的这个什么s。所以它说的是什么解向量组的质，其实说的是这个s。s等于多少呢？所以这个题啊，人家要求的是n- 2a。

不要求反了。所以现在而言的话，我们去求一下这个AA进行去变换一下这一负二二，然后二倍加下来。二倍加下来，二二倍加下来的话，这是a加四减去三倍零减去三倍的话，这是六。然后减去三倍的话，这是呃负三。然后减去三倍知识点。减去三倍，这是零的话，然后继续这是负12-3倍，这3a-12。

所以说这个里面当中就是负3a，减去24。如果这个a=- 8的时候。r是等于几等于2 s=1。a不等于负八的时候r=3 s=0。所以说这个时候如果它等于负八=-8的时候，这个s应该是等于几s是等于一选。选a有些同学可能选了b了。这是这个题容易出错的点。好了，这是27题。那么再来看看下面一个题，28题好继续看。啊，你在说什么呀？

那你就没有打住这个东西的重点呢？这块是不是学的有点乱呢？人家只让你去求知，你解出来它干嘛呀？解出来去数它有几个吗？这s不就代表了它有几个吗？这块还是乱啊。好了，那么接下来我们再来看看28题。28题，如果这个东西由它能表示。把这个人记作成a，就是as等于北大这个人有解。有解的话，它的充要条件其实就是a的值a的值是多少？

哎呀，居然到了这个，今天还有这这样的一个情况。你说这个如何处理呢？这很难想象，那所以说像这样，我觉得冲刺啊，你还是得好好听一听，还是好好进行学习。因为我觉得太乱了啊。那这段时间你在干嘛呀？那么，这是as=0？那么，接下来我们一起来看看这个事儿。

那这个东西的话，你发现这个x。那x的话，你发现你可能写出哎呀，写出了一个向量，写出好多个向量。啊，好多个向量。解出了个好多向量，然后怎么办呢？我们要在这里面当中找代表。对吧，我们找多少个呢？哎，我在这里面当中找了s个。

这个数是s根。这s个人。而且这s个线性无关的人就能表示这个所有的解，我们把它称之为基础解析。能理解吧。这个基础解析。其实就是这所有解的极大无关组。没有问题吧，那这所有解的这个人的值。不就是等于它的极大无关组当中的向量个数吗？还记得吗？向量组的质就是极大无关组当中的向量个数。那极大无关组当中有多少个人呢？不就是s个人吗？好这个人，

所以把这个方向性呢，你要想清楚，就是我这个目当中有无数多个姐。啊，这个好多个解那这好多个解怎么办？我要在这里面当中找到一些代表，然后进行去表示他们。我们把这些人呢，叫做基础解析，这个基础解析就是所有解当中的极大无关组。找多少个人呢？哎，四个人找线性无关的，找它的解就能作为基础解析，所以基础解析。

是我所有姐的代表。那基础解析当中的向量个数不就是我所有解的一个？校长组的职吗？就是这样理解，所以下去好好想想哎，这个问题，但是一切都来得及，没有任何关系，我们还有三个月的时间。完全可以把这些事情呢处理的更好，但是注意一个问题，不要再走弯路了啊。而且的话，这个不是特别难。然后再来看，

如果这个东西由它来表示，就是这个方程组无解，那其实就是系数矩阵的值。要等于增广矩阵的值。是不是这个人，所以现在而言的话，我们就来进行去看看，这是阿尔法一阿尔法二阿尔法三，这是贝塔。把它摆出来二幺幺。4k二。然后这是六三k，然后最后的话是2k二零好这个题。那么，现在我们进行去讨论这个问题。

那么其实这里面当中啊呃，我们最好是走这个能用智用智对吧？你要用不了智用行列式也行，那么接下来我们进行去变换吧。你看这个变换的话，很明显是一二k零，它比较简单的放上面去，1k三二放到这儿，然后这是二四。六这是2k，你放到这。那或者而言的话，你就一个一个进行去试，你都行。行吧，

我们来看看这个人。那么，接下来我们去进行变换一二k零，你减去上面，这是k减二减去上面，这话这是三减k，你这是二。然后减去二倍，减去二倍，减去二倍的话，这是六减二k，然后这是二k，你们看得出来这个出题人的温柔吗？我给你讲一个事情，就是如果这个二和四啊，

你看这个人啊。你这个二攻击一四攻击二刚刚好，攻击完出现两个零，那万一怎么办呢？就是万一的话，你看我二能把你给减完，我四并不能把这个东西减完，就是这个数据的处理，它出的还是很温柔的。你万一这个东西它不是零，你不是零的话，你就要用这个东西去干掉这个k- 2，这个运算量就会稍微的会大一点点吧。她温柔，她极其的温柔。

好了，这是这个情况。所以说这个点呢，我们就做成这样。对吧，然后的话，这个人是k，然后这个约掉一下，这是三。那么，接下来我们继续。所以这里面当中目之所及的地方要讨论。那么，现在而言的话，他说北大可以由他来表示。

啊，那就说明这两个东西的质相等呗。当然，你如果当什么东西呢？你k不等于二。下去，然后再来当k怎么办？而且还不等于三。下去这个时候系数矩阵的值肯定等于增广矩阵的值，那肯定有解，所以我就在这种当中挑下。有没有不为二也不为三的？哎，可以有他。标识。

k怎么怎么那么那么奇怪呢这？嗯，这个。啊，你们当时做是什么情况？他他难道这个题出出出问题了他？这样看二幺幺。4k二六三k。2k二零。他也没有答案，主要你看他这个。也就是一个这个一个选项，他也没有答案。这大纲还能出错吗？这个。

好了，这是这个人吧？好了，这是这个人啊，唯一解。可以，然后接下来我们再来看看第20题，如果这个k=20。等于二的时候的话，这个人的痣是二。对吧呃，这个人是零，那这个人是零的话，这是一二二零零零。一，

二零零一。这是多少二这个人也行哎。对吧，然后当这个k=3的时候。你继续看一二。三零。零一零二，然后这是零零零，这是几三，所以说只有这个三不行，这个时候系数矩阵的知识二，你的三这个人不行。所以只有这个三不行，对吧？这个abcd都是可以的。

我估计一个问题啊。他这个题他最后答案选多少？再看28题。选d。应该这里面当中啊，改成可由这个人无穷多表出。啊，无穷。看看这边大纲。哦，这个我一会跟那个跟那个编辑说一下啊。还有点问题。因为这个这个大纲这个编辑跟我就是我们那个图书那个编辑是一样的。无穷多啊。估计这这这个也好久没有没有改了这个。

行吧，这是这是这个题。来，继续吧。好，28题。那么再来看看这个下一个题啊。再来看29题，你们当时选的什么呀？这个题你告诉我你你们选的多少？28题选多少？选e。为啥选e呀？啊，那为为啥为啥选e呢啊？

那么看着这个出错了，我觉得也还挺好啊。行吧啊，这个变换。嗯，这个同学啊，我再说一下那个一二行成比就是那种成比例的东西，你一定要慎用慎用。老是容易出错。就那个成比例东西。一定要慎用啊。好了，那么接下来我们来看看这个概率的吧啊，概率部分。我们就不休息了吧，

还有几个题了，把它讲完。那概率部分的话，我们先看看这个人。他说，概率密度函数是它。然后y啊表示了出现的次数。什么次数呢？对这个s进行三次独立重复的观测，你这个事件出现。的次数，所以说这个次数啊，它是服从二项分布进行了三次，每一次出现的概率是多少？每一次出现的概率其实是x小于等于二分之一。

x小于等于二分之一，其实是零积到二分之一，对二s进行积分，所以这里是四分之一。那等于二的这个概率呢？等于二的概率的话，是三个里面取两个。四分之一的二次方，然后再是四分之三的一次方。那这时候的话，它就是三，然后这是十六分之一，然后这是四分之三六十四分之九。啊，答案选b。

好，我们继续，我们再看这个题，这个题就非常容易了。他说这个人是服从正态分布。那正态分布比这个人大，比这人小，那你都知道正态分布它的概率密度函数曲线就是关于这个人对称的。只有二大二小，它才是一样，所以这个题选b。来，我们先来看看这个下一个题。然后说这两个东西啊，它相互独立非常重要。

相互独立。然后这个z啊是最大值。这是几个人的事情，两个人的事情，两个人的事情要看联合，所以说这是x还有这个y。那这个s的取值啊，它有俩人，一个是零，一个是一，一个是零，一个是一好这俩人。零点五啊，其实是。二分之一二分之一二分之一二分之一，

然后最大值是一，我们来看看这个位置不行。这个位置的最大值是一。这个位置的最大值是一这个位置的最大值是一。对吧，这几个位置的最大值都是。那我就可以反算这个人概率是多少，这概率是四分之一。那所以说就是四分之三。四分之一是零点二五，那四分之三的话选d。好，这边就看最大值呗。好了，这是31题，

你再看这个题。那见到什么东西去写什么嘛？你见到加法的话，你就知道写加法公式a的概率，加上b的概率，你再减去AB的概率。然后这里面当中东西啊，用一下这个乘法公式a的概率乘上a发生的条件下b的概率。然后就等于b的概率乘以多少呢？b发生的条件下a的概率它们都会等于AB的概率。然后这个时候的话，它是四分之一，然后这时候是三分之一，然后这是二分之一，那这个东西的话，

其实就是六分之一。六分之一，这是十二分之一，所以说这个a这个人是四分之一，然后这是六分之一，然后这是十二分之一。所以说这个结果的话，前面一加的话是12分之。呃，十二分之三十二分之二十二分之五十二分之五的话，一减是十二分之四十二分之四的话是三分之一选b。好了，这是32题。那么再来看看这个下一个题啊，这个题。

已经知道他是服从均匀分布，让我们去求解这个人期望。这个区域分布的话，你要知道它的概率密度函数。它的概率密度函数就是s大于负的二分之派，小于二分之派的时候等于长度派分之一。然后其余是零。好这个人，然后y是这个人，然后我们去求解es es就是负无穷到正无穷。你发现这个人是一个什么？你这个人是两边对称的，这是偶函数吧？然后用s进行去乘上它的概率密度函数，这奇函数，

这偶函数，这是零。对吧，奇函数偶函数之奇函数对称区间积分是零，然后再算一下这个什么ey这个人，那其实负无穷到正无穷。y这个人是s in塔那s in塔的话，这人就变成了s in，然后的话再乘上概率密度函数积分，偶函数奇函数奇函数乘偶函数。你或者是直接把它带进去都行，负无穷到正无穷，然后其实的话，这个有效段只有多少负二分之派到二分之派。然后这是s in再乘上派分之1 ds这个奇函数也是零。

好了，是这个结果，所以说这俩人都是零，那这俩人都都是零的话，你发现这人不选。这不行，然后我们还要算一下这个es yes y的话，其实就是负无穷到正无穷。那xy是这个sin x，然后再乘上概率密度函数的积分，那其实就是负二分之派到二分之派。然后是s再乘上这个三，你再乘上一个多少，再乘上这个人是派分之一，然后ds。

那把这个东西算一下就行了，然后派分之一出去奇函数乘奇函数偶函数二倍的零到二分之派。s乘上这个s in ds，所以说这是派分之二，那把这个东西凑到后面去负的零到二分之派。x倍的d cos。那其实就负的派分之二，然后是两项相乘，把零和二分之派带进去都是零。然后再减去零到二分之派，这个cosine ds。那所以说这是负的派分之二，然后这是零，你再减去那这个部分是一，因为我们都知道你像s in的话，

这个公式一这是一。然后cos的话，这个人也是一那，所以说这个人是2%。所以这个x×y的话，这个人是派分之二，答案选d。好，这是33题，那么再来看34题，这个题。那这个题的话，它里面当中告诉了个信息，什么信息呢？说这个一加s和这个一减s是一样。

一加s和一减s是一样的，那这个图形怎么了？你看这个人就是我从一这个人，我过来一个s跟回去一个s是一样。那这个东西不就是关于一对称吗？是不是啊？你看这是一我过来一个x长度是x我回去个长度是x这是一减x，结果这两点函数值是一样。那不就关于一一对称吗？你关于这个一一对称的话，我们接下来就可以画一下这个人。啊，这是一。那这是一的话，然后告诉我们零到二的这个呃是零点六，

那说明这是零点三，这是零点三。然后这是零点二，然后这是零点二。那所以说小于零的话是零点二选c。没问题吧，来再来看最后一个题。那最后一个题的话，告诉我们这个东西的分布。说这个x是服从什么？服从这个是负二，然后这是一这是三呃，这是二分之一的概率。然后这是a，这是b。

那然后这个时候告诉我们，其实a加b的话，我们根据归一性的话，这两个东西加起来可能二分之一，然后再来看看es es对应相乘，这是负一，然后这是a。然后这是3b，它就等于零。那也就说我们这里面当中a+3 b，这个人等于一。那两个一减两个，一减之后二b，这是二分之一，所以b就等于多少四分之一a就等于多少？

那么看a这个东西是不是还是四分之一？俩人都是四分之一，然后这个是期望，那你还要算平方的期望，你才能进行算方差，那第一个平方是多少？第一平方是四四一乘的话，这是二，然后第一个平方的话，这是它那a是多少呢？a是四分之一。然后这人平方是九你九的话，这个部分再是四分之一，所以这个人一算。那这个部分就是四分之几，

四分之十，四分之十的话是二分之五，二分之五的话，这就是呃。二分之九二分之九的话，这个ds就等于平方的期望，减去期望的平方，所以这个结果就等于二分之九答案选几选？好，这套卷子我们就讲到这。呃，这是今天上午我们刚好测试的这套卷子，那按理说吧，一般情况下我讲一套这个。三九六同学的话，

我们这套卷子一般讲一套卷子其实需要呃，一般的话需要两个小时。啊，其实讲卷子因为有些点的话，我得给你进行拓展，也不是我去做，你做的话，可能你这个速度就会快一点。一般的话讲一套卷子呃，数学方面的话，35个题，35个题的话。光做的话，两到三分钟的话就得一个半点，然后讲这个题的时候有些有些部分得拓展光讲内容，

如果直接做题肯定是差不多。那一般嗯，是需要这个差不多两个小时讲套卷子，所以这道题啊，中间有些题的话，这个难度系数说实话，不是说特别的高。啊，所以说在这个做的过程当中可能会更快一点。尤其是我就是从这个第四题开始，第四题，第五题，第六题，第七题，第八题，

第九题。你看这几个题，那速度就会快一点。行吧，我们就针对这套卷子，我们就讲到这啊。呃，这套卷子我们就说到这。难度啊，不是说特别大。这个我一点都不困，同学。你这个最近。什么叫概率分布啊？什么叫概率分布啊？

离散型的概率分布指的是分布率。连续性的概率分布指的是概率密度函数。如果是一个离散型的随机变量，它说概率分布说的就是分布率。如果它是个连续性随机变量，它说概率分布就说的是概率密度函数，要注意这个事儿啊。还是得好好复盘吧，对吧？一些内容的点呢，还是得把它做清楚。呃，总的来说的话，我觉得如果真考这样一套卷子的话，其实难度系数是比较比较低的啊。

好了，其实这个我们就说到这呃，今天的话是27号，然后明天的话刚好是这个冲刺救命班的，这个第一次课程。如果有个别的东西啊，你自己有问题的话，你自己就就准备开始了。这个复盘呢，没有什么复盘计划。老是忘的话，我觉得重复的遍数还是不够高。重复的话，你可以通过做题来进行重复。你也可以通过进行去复盘，

你曾经做过的一些这个讲义的做过的一些题，然后包括我们上课讲的知识点，然后来重复。这就是他老师会忘你经常得投入一点时间进去去复习，你得去看看你，不要过了一段时间的话，这个东西就不记得了。过一段时间这个东西就不记得了，那可不行啊。好了，这是这个。呃，下次的话，我们进行去。模考的话，

你们多关注一下那个时间的安排。呃，后面的话，这个模考我们都会安排在这个周日。啊，都会安排在周日。然后冲刺救命班那个讲义啊，你可以提前做。是没有问题的，可以提前做。是呃，做模拟卷，只要你复盘好了，你都可以开始了，所以这个数学你可以往前面进行去推一推。

十套卷是那个纸质版的，十套卷的话，估计得十月底啊。然后中间还有二一年，二二年，二三年三套卷子，这三套卷子，然后还要加上两次的话，我们的那个。线上的那个模考，所以你不要着急这个事情啊，国庆得模考。国庆得磨，所以下次磨啊嗯，我们中间还有一套。

呃，十套卷不需要买啊，你们是这个班级同学的话，我们都会给你们配备，你们不需要进行去看这个资料。好了，下次的话模考会提前通知的，然后那个模考题也会提前一到两天给你们传过去，所以说你这个你就不用继续催那个事情了。好不好？呃，国庆放假，你这个怎么好意思说的出口的啊？11这一天的话，我们就不考了，

我们看看国庆节中间看哪一天来考？考研同学，你给我来个国庆节放假啊。这还有多少天了？都复习的很好了。一个假期过去八天没了。八天没了，回来之后只有70多天了。行吧，我们这里面我们就说到这，所以下去把这个东西好好处理处理。我觉得你会算一笔账。你要考上了，明年的大半年都是假期。你要是如果这个在这个准备的不是特别的充分问题出现了，

那明年的话，你怎么办呢？所以我觉得你要会算这笔账，这八天的假期是多珍贵的时间，好好复习。你到了这个，如果这个明年的话，你进行去复试，三月多份基本上就没有了，三月份到九月份长达六个月的假期，比你曾经的话，这个。高考完了之后的那个假期还要长。那个假期的时间，原来的话，

你高考完了之后也就是。呃，两三个月吧，两三个月你都会觉得这个时间非常的长，非常啊，长的一个假期，那你到了这个明年三月份结束了之后，你学校里面。基本上也就是个毕业设计，或者是个毕业论文，然后结束了之后很长一段时间，你基本上事儿都没有特别多。行吧，我们就不说了，那么今天的话，

我们也是专门呃，对这个上午这套卷子啊，我们做一个讲评，因为比较简单，我讲的也比较快一点啊。那后面的话，如果难一点的卷子啊，我们还是要慢慢进行去讲，里面当中的东西，我觉得出错是没有关系的。你就说这个点的话，如果出错的话，也没有什么关系。其实有些同学可能这场考试啊呃，每一次考试都能给很多同学提这个醒你，

其实你要注意我们。比拼的同学的话，相对而言的话，我觉得这个今年的话，大部分同学还是比较强的。所以你把这些东西啊，你还是好好进行去处理处理这个事儿，然后明天的话是我们冲刺救命班啊。所以如果你个别的内容点呢，你处理的不太好，你得进行去提前进去去完成，你缺哪个板块儿，然后进去去补哪个板块儿？所以不要呃，这个20多天的时间了，

这么长的时间，有些同学可能。也不知道这个复盘的做的怎么样，你每天的话，有些同学可能好久没有看这个数学了，最近可能是因为这个逻辑也上来了。然后的话，这个有些人可能在复习这个写作或这个专业课。啊，这个这个内容的点呢？其实你发现很多同学可能。呃，这个做的做的这个东西啊，你这么长时间的话，你不看很多东西你都会忘的。

所以相对而言，其实我今天的话，考完了之后，我收到了好多这个模考的一些同学的一些私信。所以我觉得这个每次考试都这样，你不要沉溺于自己的世界里面，到了这个最后一个阶段，缺哪个板块儿就补哪个板块儿。你比如说今天的话，这个考试里面当中哪些点出现了问题，你要知道是知识点的问题，你还是哪些东西的问题？好不好？我们就讲到这。行吧，

那么今天课程呢？我们就说到这，把这个下面的东西好好处理处理，这是今天呢考的一次试啊。然后也是给很多同学的话进行去提了个醒啊，如何的话进行去好好把这个后面的东西好好进行备考。那明天是这个冲刺救命班的第一次课程，如果你想了解一下这个冲刺救命班的一些内容，你明天可以过来。继续去听一下第一次课啊，这个第一次课程的部分东西你可以进行去听一听，然后呃，如果你觉得这个部分的东西你都会的，不要简单了，你就可以进行去好好进行复盘。

然后的话，把这些知识点我说一个问题。你每天你上午是不是在记这个英语啊？背这个政治啊，你每天哪怕抽出十分钟的时间呢？能不能进行去记一些这个公式啊？因为有些同学实在是这个问题，点非常大。你每次做这个卷子的时候，你为什么考试这个卷子做半天都想不到你还是不熟练？你记这个东西，你还是得进行记一记。你有一些重点的公式，就是你自己好好进行去整理整理。你不是所有的公式都容易忘，

你过第一遍的时候。你就把你经常遗忘的共识。写到你的那个书的那个后面或者用一些活页纸把它插进去。就是这个公式，老是容易忘，老是容易忘，包括我们刚才讲的，比如说无条件机制的话，那个ABC那个判别法。对吧，像这些东西，如果你忘了，你就经常把这个东西放在这上面。然后进行去记一记。好不好？

好这个事情我们就讲到这。出个带背荒唐，怎么可能呢？我不相信你大量的公式，到了这个阶段你都记不住，好了，我们最后啊，会有一个这个考前21计啊。我们最后会有一个考前21季，在十月底的时候会给你们发放，每天的话需要记的东西啊，你要多进行看看。这是数学学学多少钱？真真是的啊。你现在数学这个东西也要开始带背了啊。

好了，那么今天课程呢？我们就说到这吧，所以说这个今天的这个问题点，我们秋季的课程呢都呃全面的这个开始了。然后这个今天的话也是这个数一数二数三的，这个真题班的第一次课程，然后晚上的话我们得讲一下这个卷子，不然的话留到明天讲明天的话那个。呃，冲刺训练班就开班了。所以明天的话，我们就继续开始。哪一个呀？16题的公式写反了。

你那就说明你你原来的话，你就没有记住呗啊。那其实就原来的东西就没有记住呗。你以为是两边同这个什么翻了一下没有翻，我是用这个x分之一，这个x分之一被s替换了。那就说明你原来就没有记住嘛，那这场考试对你而言还是很重要的。你至少把这个知识点捡起来了。你不然的话，你这一直以来那说明的话，你之前那考试之前你说明这个公式，你都不知道啊啊。好了，那么今天课程呢？

我们就讲到这，然后明天的话，这个呃冲刺救命班的开班，我们再继续，然后再聊一聊的话，这个。冲刺阶段呢，我们的这个数学的一些复习，然后另外一方面的话，如果你没有事情，你就多进行去啊，这个把自己尤其是薄弱的点。到了这个最后阶段，哪个东西出现问题要重点看。我明天的话，

我今天可以大致给你说一下，对吧？几个重点方向？你从第一章的话，这个无穷小量对吧？找等价的问题函数，极限计算的问题，这都是必考的内容。然后紧接着的话，就是经常会出的已知极限，求解其中待定参数，然后到了后面的话，这个数列极限当中啊呃，其实考的稍微少。啊，

这些年都没怎么出那数列极限的话，你要注意这个定积分定义就行，然后紧接着就连续和间断问题，导数定义必出题。复合函数求导隐，函数求导分段函数这三大函数的求导，这是一定会出题的。然后就是切线方程和法线方程，每年一刀，然后的话是这个微分的定义。微分的这个几何意义一定会出题。但但不是说每年的话，每年都会出，但是它绝对是大概率事件，然后紧接着是我们到了后，

后面的话有个导数应用。对吧，导出应用。导出应用里面当中的这个极值。拐点单调性，还有这里面当中的方程根零点的问题，你像这几个内容的话是非常重要。然后到了这个后面的话，是不定积分的定义，不定积分计算，我们就不讲了，然后是定积分的定义，定积分的性质，定积分计算，定积分计算，

有的时候经常会出一个题或两个题。然后到了后面就是我们的定积分应用，定积分应用必出题，求面积，还有这个旋转体体积，这两个部分内容，二者选其一必会出题。或者有一年的时候，这两个题会出两道，然后是弧长的问题。包括今年的话，你也要稍微注意一下这个旋转表面积。啊，旋转表面积公式，然后再到后面，

你看这套卷子。这套卷子失败的点，还有一个东西连续可倒可危的判定没有出。你没发现吗？那后面的话，我们进行去考这个十套卷呢，我里面当中的每一套卷子里面当中都有这个题。你看像这种题。啊，还有这里面当中呃像。这种题熟悉吧。仿真题啊。啊，我的每一套卷子里面当中都有这种。像这里面当中还有这种题。

你看非常像这个仿真题啊，这个这种情况。你不要最讨厌。你一讨厌啊，这个注意啊，这个很多同学的这个契机就来了。所以你不能讨厌这个东西，你一定要喜欢他，你学了一年了，你要对得起你学了一年了。你不然这一年你学的这个东西都白费。那最后而言的话，我们不就是为了出这个做做出这一道题，你这一年的基础班强化班做了那么多道题，就是为了这两分。

你得对得起这两分啊。好了，这是这个。然后是复合函数求导必出题二元，隐函数求导必出题，然后是无条件机制，所以我们的更多的方向是无条件机制。其实有条件及时和必须最迟这个出题的几率基本上没有。啊，这是基本没有的。所以像这个卷子，然后的话，你到了这个第三套，基本上每一套卷子里面当中都出的有。啊，

其实都有这种题，你看这个。是吧，这种仿真漆的这种。基本上每一套题里面当中都有这种。行吧，我们就讲到这，这个今天的这个卷子啊，我们就说到这，自己下去把这个相对问题好好处理处理啊。那么下周呃。我们看看吧，这个国庆节我们定到哪一天，然后进行去考试，不好意思。

从这个这周开始啊，基本上以后呃，除了这个国庆节吧，我们看看安排，反正国庆节之后。每一周至少有一次考试，然后十月底之后，然后是每个周至少有两次考试。十月底的时候，冲刺救命班的这个第一个阶段的课程也结束了。所以那个时候我们基本上是每个周都会有两次考试。所以我相信的话，这个这些部分呢？考太容易了，做一套卷子太容易了，

有没有把这些东西都吃透呢？然后再来考试，准备万全再来考。好，那么今天课程呢？我们就讲到这吧，然后明天的话，那个开班课程呢？我们再继续好，明天见吧。

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