09.强化决胜300题精讲【9】多元微分学

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:56:34

首先，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先，我们先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。呃，那么今天啊，应该是我们最后一次这个习题课程，我们会把这个决战300题的这个最后一点东西啊，我们全部讲完。那么最后一点其实就是我们的多元函数的微分学部分呃，

这个作业题啊，你应该是要提前进行去完成一下，然后量也不是说特别大，这应该是我们最近几次这个。作业当中比较少的意思，对吧？里面当中其实只有十几个题，那么接下来我们来看看吧呃，可能很多同学有问题的题啊，应该是在这前几个题。你像这个连续可导可微，那这个东西的判定问题，你像这个偏导数的这个计算呢，我相信很多同学应该做的还挺好。好了，

那么接下来我们一起来看看，首先我们先看看第一个题啊，这个题目。那么这个题啊。它让我们去求解的是，这个x偏导数在这个零零处的结果，还有这个y的偏导数在零零处结果。有些东西做这个题啊，他直接做了对吧？直接算你直接算我，比如说举个例子，你算一下这个I偏导数。拿x偏导数的话，它就等于根号下一一，加上这个是根号下x方，

加上y的四次方，然后这个东西分之一。然后这个中间变量再求导，中间变量再求导的话就是二倍的根号下x方加上y的四次方分之一。然后中间变量再求导，那这是2s。但同学们想想一个问题，有的就把这些带进去了，带进去之后说诶，这个部分是零零分之一是无穷大说，这个东西不存在，那这就错完了。你要注意啊，这个方向性肯定不对，为什么呢？

因为这个s偏导数在零零处是没有定义的。对吧，没有定义的，你不能往里面带，所以你直接算出来这个结果，它是不能带的，因此在这个题当中，它不能直接算，那不能直接算怎么办？我们只能用定义法。所以首先第一件事儿，我们先来看看s偏导数的定义，那s偏导数定义的话就是limits趋向零。然后把这个y=0带进去x0，然后再减去零零，

再比上x- 0，你注意这个题啊，在我们每年过程当中考这个偏导数的定义啊，一定会出题的。把这个内容一定要拿下来好了，我们再来看看当x趋向零的时候，你把它带进去，那这个部分你把y=0带进去了之后的话它。它其实就是ln 1+s的绝对值f零零刚好是零，那这个时候是ln 1加框立即等价无效多少？当架不小框是这个人。那这个极限呢？很明显是不存在的，因为如果趋向零帧，那这是s比它如果是趋向零负负s比它，

所以说这个极限呢？左右极限都存在，但不相等。不存在好了，这是第一个人，然后接下来我们再来看看这个y的偏导数，那y的偏导数其实就是limit y趋向零。然后这个部分是f0y，然后再减去f零零比上这个y- 0那所以说这个时候的话就是y趋向零。那继续做那把这个x=0带进去了之后，你发现这个部分是零，那其实是ln 1加上。这个四次方再开方呢？那还没显示平方，然后再减零这个。

那接着接下来我们再来操作一下，你可以这样做，你上面是二阶，你下面是一阶高阶比低阶，这个结果是零。你这样可以，你或者直接等价，上面等价无穷小就x方啊，这个y方，然后这东西一比啊，这个极限结果就是零。那所以说x偏导数不存在y的偏导数是存在，所以这个题的正确答案应该选择。c选项好，这是这个题，

那么再来看看这个第二题。呃，像这种题啊，考的非常常规。对吧，连续性可导性可微性的这个判定问题，那么首先我们先看第一个点极限存不存在？那这个极限的话，其实就是limits趋向0y趋向零，然后求解这个人的极限趋向于零零，又没有到零零。没有到零零就是对谁求极限呢？其实就是对上面这个人s in xy比上根号下x方，加上y方。那么，

操作这个极限当x趋向零，然后这个y趋向零。那上面就是零。那上面是零的话，三个框立即等价无效框，就这个部分。好，我们来看这个极限，那这个极限比较简单，因为眼睛一瞅你都知道，像这个部分。对吧，这里面当中的这个部分，它是个有界变量。无穷小乘又接无穷小，

所以说这个人的这个部分的极限，结果就是零，那既然是零，而且f零零也是零，所以就连续。因此啊，极限存在，而且连续a就不对。对吧，你说这个东西不连续，它也不对，连续的，然后接下来我们再来看看这个s偏导数，那s偏导数的话，把这个东西带进去。

那其实就是limits趋向零，然后是多少fx 0再减去f零零用定义吧s- 0。那这个时候就是x趋向零，你这是x。你这f零零这个结果刚好是零呢。你把这个y=0带进去。你y=0 x趋向零，没有到零不同时为零，所以你得把y=0往这带。y等于零往这一带，那这个结果就是零零减零，那这个结果就是零。而且这个里面当中啊xy做调换了之后，它不对啊，这个什么不动？

啊，那不动的话，它就具有对称性，那说明y的偏导数也是零，所以这个c选项它也不对。s偏导数和y的偏导数都存在，那第三个事情我们再来看可微性，那可微性的话，我们就用定义法呗，做差式定义s趋向零。y趋向零，然后这是fx y，你再减去一个f零零好这个人。然后再减去呢，你再减去x偏导数。

对吧x偏导数乘上x- 0，然后再加上y的偏导数乘上y- 0，比上一个根号下x- 0^2 y- 0^2。那这个时候f零零也是零，那这后面是零，所以就是f sy啊，比上这个人那f sy刚好是上面这个人。所以说最后结果的话就做成了x趋向0y趋向零，然后这是s in xy这个人那根号下去，然后这个部分就是x方加上y方。上面这东西啊，有等价无穷小于这个人，而这个东西是同比次方数同比次方，你可以取y=ks很明显不存在。好，

这个题啊，非常的简单，因此这个东西不存在不为零啊，这个是不为零肯定不可为。不是说不存在不可为，是不为零。你就算这个结果等于一，它也不可为，我必须要等于几等于零，上面必须是下面的高阶无穷小，所以这题的正确答案选几选d啊？好，第二题我们再来看看第三题。那这个题啊，还是这个题，

那第一件事儿让我们去判断这个极限的存在性，当x趋向零，然后这个y趋向零。你求解这个函数的极限，你注意一个问题，你看后面这个写法。x方加上y方等于零，那其实就是x=0，而且呢，这个y也等于零。啊，这个情况，如果这个东西不为零呢，其实就是sy不同时为零。哎，

不同时为零，那趋向于零零，没有到零零，其实我们就是对上面这东西进行求极限x方，加上y方，然后这个东西是三。这个部分那你想你前面这个东西是无穷小，你后面这个东西是有界无穷小乘有界无穷小无穷小极限是零。而且这个f零零也是零，那说明什么？说明它极限存在，而且呢，这个东西是连续的，因此这个人他不对他。它不对，

好了，我们再来看看s偏导数，那s偏导数的话，我们继续用定义分段函数在分段点上，我们得用定义。那就是limit x趋向零，然后继续写fx 0，然后再减去f零零，比上个x- 0，那我们就来带。当x趋向零的时候，你把这个y=0呢，你带到这里面带到这个里面当中的话就是x方，然后是三。根号下x方分之1f零零是零是这个人，

那所以说这个结果就变成了x趋向0x倍的这个人。你发现无穷小乘，有界无穷小无穷，小的极限实力。而且这个sy做对调了之后啊，它不动具有对称性y的偏导数也是零，那所以说这两个偏导数都是存在的，而且都是零。因此啊，这个东西啊，它也不对，那么接下来我们再来看看可不可为呢？我们得用做差式定义好，我们先把定义写出来。s趋向0y趋向零，

然后这是fx y再减去f零零。然后这个时候再减去多少呢？x偏导数乘上x- 0y的偏导数乘上y- 0比上根号这个人。看看这个极限呢，到底为不为零？而你发现这个部分是零，这个部分是零，那其实就是我们上面这个部分呢，你再除以这个结果。那除以这个结果，我们往下一除就行了，然后我们除一除这个结果就是根号下x方，加上y方s in这个人。好继续，那么前面这个极限是零无穷小乘，

有界无穷小无穷小的极限是零，那所以说这个东西就出来了。因此这个题啊，哎，这个东西是零，那么它是可为的正确答案，选几选一。好，这是我们讲的这个第三题。再来看看这里面当中的第四题啊，这个题啊，我们就不重点讲了，你稍微注意一个问题，这个东西是不会带角标的。能理解吧，

这是单中间变量状态，算了吧，我们求一下吧，你像这个偏z偏s这个人呢？你y就是个常数，我们就是先对这个中间变量求导。你当然可以把这个东西缩写成这样。这是可以的，对吧？就是f撇f撇，就是这个东西的缩写，然后中间变量再求导，然后这时候偏z偏y这个人呢？你发现前倒后不倒。是这个部分，

然后再加上前面不倒，后面来倒。那后面来导的话，就是先对中间变量求导，中间变量再对y，那就是负2y。好这个人，所以像这几个东西啊，它一定是没有下角标的，因为它是个单中间变量，你把这个东西求出来之后往里面一带，这题就出来了。好像这个内容我觉得还是比较重要，你自己稍微注意一下，每年过程当中啊，

肯定会出这种偏导数的计算题，这都比较基础。好，我们再来看看这个第五题。他说这个二元函数啊，由这个方程决定那二元隐函数，那最好做的方法当然是公式法呀。因为求一阶偏导数嘛，公式法，大家注意，这就是那个三元函数，还记得吗？方程一边摆零，一边摆三元函数，所以说这个时候的偏z偏s就等于多少负的这个三元函数对s。

那三元函数对s的话，就是对第一个中间变量求导，这是一。然后再对zf对第一个中间变量求导，中间变量求导是负2f对第二，中间变量求导，中间变量求导是负三。所以说这个时候啊，是二倍的f1撇儿，加上三倍的f2撇儿，然后这是f1撇儿。那么，接下来继续我们再来看看偏z偏y。pn z偏y等于负的，然后对z进行求导，

这个结果它是不变的好这个人。那继续，然后是对y那对y的话，只有对第二个部分求导，那这个人才有，所以说这个结果的话是二倍的f1撇。三倍的f2撇，然后这东西是f2撇。好了，这个结果那这个结果的话，两个相加相等于一，你观察一下分母，那分母这个东西是两倍，这东西是三倍，所以这个东西一定要乘上几倍两倍。

这东西一定要乘上三倍，两个加才是一，所以二倍的偏s，三倍的偏y1加是一，正确答案选b。好，这是第五题。那么再来看看这里面当中的第六题，那第六题就是狂算呗，给了这样的一个二元函数，然后让我们去求解这样的一个二阶偏导式的问题，你就算呗。你算一下这个偏z偏s注意，这都是单中间变量，你先对这个中间变量求导。

对吧，这是x+y中间变量，再对s是它，然后这个东西对中间变量求导，中间变量求导是一。然后这个时候你再算一下这个偏z偏y，也就是说先对这个中间变量求导，对y求导是一，然后这个东西对中间变量求导，中间变量再求导是负一。好，这个人那么这个时候我们再进行去算一下x这个人的两极，那继续啊，你再对中间变量求导使它。中间变量对s求导是一，

你这个东西再对中间变量求导，中间变量再对s求导是一，你再来看看后面这个人。后面这个东西再对y进行求，那就是我们这个东西是先对第一个中间变量求导。对吧哎，没有第一个中间变量，先对中间变量，求导中间变量对y求导呢，那还是一，然后这个东西啊，你再对中间变量，求导中间变量，再来一个负号负负得正。你看这俩东西相等，

所以你这俩东西一减呢，你就等于零答案选d好比较基础的题。好，我们再来看看第七个题。这个题应该做对了吧？你这个题做错了，你就有点不好意思了。这是我们上课讲过的原模原样的题。这上课讲过的原题啊，好这个题我就不讲了。那呃讲义这个答案当中啊，给了一种方法，其实原来上课的时候我还讲过一种方法。那么说这个东西是一个复合函数。我能不能把这个原来函数找到呢？

注意啊，答案当中是方法一，你看不懂的话就进行去看课。这是上课讲过的原模原样的题啊，那么这里面当中还有第二种方法。你想这不是复合函数吗？那复合函数我可以把原来函数找到你的这个部分是s+1，你这是es，你可以怎么办呢？你把这个s写成ln多少es？然后这是x+1的方，那这个时候你就把这东西写成u，这写成v，那这个东西不就是l NV，然后这东西是u方吗？

那这些东西到底对不对呢？你可以用第二个人进行检验，你第二人检验的话，把这个x和x方带进去，那其实就是。这是ln多少呢？x方，然后这是x方。你看这刚好是两倍的，把这个二写到前面去，二倍的lnss方，那这是对的。所以这其实就是我们的函数。那这个函数出来之后的话，你就写偏f偏u，

那这人是二倍的ulnv，然后再是偏f偏v偏v的话，这个人是v分之一，然后这是u方。你再把这个一一带进去，这是零，然后这是一。那所以这个结果就出来了，那应该是零倍的，这个什么ds你加上多少一倍的dy？好了，这题啊，正确答案选几选d？注意这个题。呃，

这是我们上课讲过的原模原样的题啊，问题点应该不大好，再来看看第八题。呃，这个题就是纯算呗。对吧，这是一个单中间变量的人，然后去把x偏导数算一下，把y的偏导数算一下，然后往里面带这题出来了。好，这个题啊，我不讲了，因为前面有一道相似的题啊，摆在那。

这跟前面那个题是一样的，单中间不一样好，再看这个题。那这个题啊，还是一个二元函数，由方程确定二元一函数，然后让我们去求解全微分二元一函数去求一阶偏导数公式法是最简单的。那所以首先第一步先找三元函数，你到了这个今天呢？呃，其实你猜都能猜得到你像多元函数微分学这一章一定会涉及这几个题。第一个事情偏导数的第一，有可能会单独的出一个题，比如说去年。第二件事情连续可导可维，

一定会出一道题，就是可微信的那个判定可微的定义，一定会出一道题。所以有的时候啊，这两个东西会出一道题，有的时候这两个东西会出两道题，这是你要小心的，你看这个点，然后第二件事情就是偏导数的计算。尤其是单中间变量多，中间变量这种复合函数的偏导数计算一定会出题二元，隐函数的偏导数计算一定会出题。还有无条件截止一定会出题，所以像这五个点呢，你一定要把它拿下来。

这就是你明显能看得到的点，就这几个人，这一定会出题的内容，你无论是二一年二二年二三年，乃至我们今年的二四年，你猜都能猜到这几个点，一定要出题。你像这个二元隐函数到了，今天你还不会做题，那学了这个基础班强化班，我觉得这个意义不大吧，你学了这么久，连这个破玩意儿都求不出来。那不可能来，我们来看看，

那就是一边摆灵。e的sc，然后这个值。那这个时候我们操作的时候就是一边摆零一边摆这个三元函数，然后把这个写出来之后啊，然后接下来我们去算一下偏z偏s。等于负的对x偏的话，这是y，然后这是z倍的e的xz，然后对z偏对z偏的话，这是负的lny。然后这是e的xz，然后再是x。那然后接下来我们再来看看这个偏z偏y，你看对z这个东西不变啊，

还是这个结果e的SZ，然后再乘s。那么，再对y对y的话，这个前面是x，然后这是多少y分之z好，这个结果我们把这个一一带进去，一一带进去的话，我们先看。当x=1，y=1的时候，往里面带，往里面带的话，你发现这个前面是一，然后再加上e的z，

它等于二。那很明显，这个z呢，减过去e的零才是一，它是零，所以把这个结果带到这里面当中就出来了。你是零呃，你是一，你是一，你是零，往这里面带本题结束。所以非常简单。呃，这种方法跟两边同时求偏导，这是不一样的。

这种方法我再强调一遍，我们找的是三元函数，对s求和y和z都是常数。但是两边同时求偏导的时候，对s求y是一个常数，但z中是有x的，你这是要小心的第九个点。好，继续再看第十题。这个题啊，非常简单。但是很多同学做的不好。啊，其实做的不是说特别好。那么，

首先我们先看看这个人，你发现他说这是一个二元函数。然后这个二元函数，如果把这个y代成x方，它是一。对吧，它是一，然后y=x^2的时候，这个u对这个x求导你要注意啊。人家说的是这个函数。我对这个x求导，其实这样不好看呢。因为你对这个x求导，一会儿我们如果这个中间变量变了。对吧，

你其实你发现求来求去，这就非常麻烦，它其实这个题告诉了这个信息，当什么情况当？y=x^2的时候。对吧，这个时候你这个函数。你会等几呢？你会等一。而这个东西一会儿中间变量变了，你别管它怎么变，你中间变量变的话，到自变量的话，这个情况可能会不一样。但是你这个中间变量这个看成整体肯定是一样，

其实告诉了对第一个中间变量求导的这个结果是x。然后让我们去求的是对这个y，其实求的是对第二个中间变量这个结构。你能理解我的意思吗？其实就是我们这个函数，你看我给了一个这个函数。你y=s^2的时候，我让你去求对这个s，其实就是对第一个中间变量求导你对y进行求导呢，其实就是对第二个中间变量求导。你无论这个中间变量怎么变，把你看成整体的时候，你就是u和v就这么简单。就是你这个s一会儿被一坨替换y，被一坨替换，

别管你被谁替换，但是同学们当你把这个第一个部分看成整体的时候，你就是第一个中间变量。你第二人就是第二中间变量，所以你掌握清楚，这个点你就非常简单了，那所以我们就得到那也就说这个东西代进去，它是一。对吧，你代进去一的话，怎么才能出现中间变量？两边同时对s求导，那就是u对第一个中间变量求导。对吧，然后中间变量求导是1u在对第二个中间变量求导。

中间变量求导是2s，然后这个一求导是零。而y=x^2的时候就是这个人等于x方，这个人等于x方的时候让我们求它是多少，那这个时候它已经告诉这是x。然后这是u对第二个中间变量进行求导，然后这是二s这等于零，那不就等于负二分之一吗？所以正确答案选几选b。所以这个题啊，我觉得有些人不是不会做。是读题能力。有没有把题读懂？就这个题到底在说什么？你把这题读懂了，

这题就简单好了，这是第十题。我们再来看11题。呃，11题啊，这种是我们每年过程当中都会出题的点啊，这种非常简单，操作性也不是说特别难。那么，首先他给了一个二元函数，说在这个注点处，你看你都不用求注点了，你就在这要打点。这有什么打点的？这个题不会做。

这个板块的内容得重学。啊，能理解吧。你这题不会做，你得重学。就是这个。多元函数的这个极值的问题，你得重学。因为你这不是一个问题，这这这个课题没有什么难度的，你做错了，大部分同学不是大部分90%同学都能做对。呃，只要你是冲击好一点的，这个学校你的目标分数还是稍微会高一点的，

然后这个部分是四倍的I三次方。减去2s，然后减去2y。然后接下来我们再来看看这个对y的偏导数。啊，其实没有换。这个我把这个分辨率调了一下。一调的话，这个用PPT的话，这个刚好上面就能对齐啊，这个舒服一点，然后这是四倍的y的三次方。然后再减去这个什么，你再减去诶。再减去一个，

这个是对y，然后这是2s，然后再减去2y。好了，这个那么，然后接下来我们进行去求这个注点，不用求啊，为什么他让我们去检验这两个点？对吧，检验这两个点，那这两个点你往里面带它就是个点。啊，就是重点那，然后进行求ABC倍求s的两极，然后这是12倍的s平方，

你减去二。然后这是xy啊，这个这个人等于负二，然后再是对这个y的这个两节y的两节是12倍的y方，你再减二。那么然后你把这个带进去，这是a这是b这是c，然后判定一下就行了，我不带了，你这个时候带到这里面。ABC出来b方减AC，然后把这个带进去b方减AC哦，这种题啊，每年都都会考的题。对吧，

像这种点考研一定会出题的点，所以把它想清楚，这第11题好，我们再来看看这个题。那这个题更简单了，那么这个函数你发现微分已经出来了。全微分出来了，说明这个函数是可微分的。你既然可为，可为一定连续啊，你这不对的。那其实就是s这个偏导数，它等于2s，然后这个y的这个偏导数，它等于8y，

那这里是注点。那再进行求一下x的两阶，那这是二，然后再求一下xy的混合，那这是零，然后再求一下这个y的这两阶，这是八。把这个带进去a是二，然后b是零，然后c是八，那这个时候的b方减AC这个人呢？小于0a这个人大于零，你极小值。所以说这个题的正确答案选几就选a。看清楚吗？

好，这是这个题，不是说特别难的12题，再看这个题。这个题啊，跟刚才那个题啊，其实差不多，对吧？方向性是一样，你首先你要辨认清楚，这是一个二元函数。那二元函数在这个点处取，其大值什么都不说，求极值啊，求极值啊，

无条件极值。那就说明在这个点处取柱点，然后这个b方减AC小于零，然后这个a呢a是小于零就极大值。所以我们来进行求一下，你求一下这个x的偏导数，那这是f撇s，然后这是lnf y。那么，再来进行求解一下，对y的偏导数，那这是fx，然后这个东西是多少？是fy分之一，然后再来fy一撇。

你把这个零带进去。你把这个零零带进去了之后啊，这个部分是零零零带进去了之后啊，这是零说明什么？说明这个零零为重点。这个题啊，有些同学做得好。有些人做的非常慢。云南很快就做完了。那么，然后接下来我们要判断的是什么？不就是要保证这个b方减AC小于零，而且这个a小于零吗？那这个时候球偏倒了，在这里面当中就有点技巧性了，

我们来看看这个。我们首先进行求一下s这个人的了结。你看这个人，你求的时候啊，你稍微注意一下，我们原来在这个强化班的时候经常给你讲这种技巧性，就是你在求导的时候，你要盯住一会儿，我们要进行带职的这种人的特殊性。有可能会简化这种东西的运算。你比如说这个题一画f撇零是零，那你算呗，你前导是多少？你前导是两极导好了这个人。留下来，

然后是前面不倒你，前面不倒就是它一会儿把零带去是零，你算它干嘛？反正这项是零不算了。好了，我们再来算一下这个xy的，这个混合xy混合的话，这个f撇s啊，这个东西不动，后面求导。但是一会儿把零代去是零，所以这一项我也不算了。然后我们再来看看，算一下这个YY两撇。YY两撇这个fs这个东西啊，

是一个常数，然后继续那这个人求导了之后，这个人后面不导，一会儿把零带去零这个不算了。然后是前面这东西不导，后面来导的话是两极导，你看这个结果。那所以往这里面当中一代啊，它这个a就是二阶导数0 lnf 0，然后这个b是几呢b是零？然后这c是多少f零f零分之一f撇撇零哎，这就是这个。那然后接下来你看。这个题要求的是b方减AC小于零，而b又是什么等于零？

那就是负的AC要小于零。其实就要求AC要大于零，而且这个a要小于零，所以综合起来而言的话就是a小于零，然后这个c怎么办也要小于零，就是这个东西小于零。这东西小于零。那来看吧，二阶导数在零处是小于零啊，这个大于零的不对，你这个大于零不对，然后再来看你这个部分小于零，你这整体小于零，这个部分大于零，你大于零就要大于一。

所以这题的正确答案选几选b。行吧，那这个决胜300题啊呃，这个习题部分内容我们全部讲完了，你自己下去把这个相对的问题啊，好好处理处理，里面当中有些点。我觉得有些同学可能这个高等数学还可以。然后这个线性代数，尤其是这个呃方程组那一章，尤其是那个向量那一章方程组和向量是很多同学的痛点。然后另外一个点呢，其实就是我们的概率论，那概率论当中有些同学可能这个问题点比较多的，还是在那个古典概型当中。

对吧，第一章第一章这个随机事件及其概率那个板块内容，你该记的概率公式，你该进行去掌握的概率模型。你这是必须要掌握清楚的。所以像这个高数啊，有些同学的话，这个觉得还可以。但是你要注意考研的最后的难点在高数。线性代数和概率统计啊啊，我们只有概率论，虽然我们在这个学的过程当中有些同学可能有些点呢，还是反应的，不是说特别的快。反应的不是特别快的，

主要原因是什么呢？不熟练。还是不熟练，所以把那个东西啊，你好好进行再复盘，复盘好了，这个内容我们就讲到这。那行吧，那么今天呢，我们就讲到这儿，一会儿应该是十点多钟。你们就可以进行去填那个冲刺救命班，那个收货地址了，然后我们把这个冲刺救命班呢，应该是。

这个周应该是周几啊？应该是第八题，需要刊物吗？第八题。啊，我回去让他们检查一下吧，这个。呃，然后的话是下周应该是周日吧，周日或者是下周一我们会寄送这本儿讲义啊，到时候的话我们都会收到这本儿冲刺救命班的讲义。那如果你强化班，你觉得复习的比较好，你不想听那个冲刺救命班的大川讲的课程，那没有关系，

你可以把那个。这题错了吗？叫我看看啊。你对这个s你这个y就是个常数，你先对这个中间变量求导，然后中间变量再求导的话，这个y是个常数。然后e的这个人。哦，你说题目是吧？啊，这个题目这个东西是这是偏y啊，把它修改一下题目这个第二个部分是偏y，这下面没问题吧？好，

然后呃，这个周日或者是下周一我们会寄送这个冲刺救命班的讲义。如果前面这个呃，我们这次的冲刺居民班讲义的话，里面当中会有四个板块啊，四个板块，然后这个四个板块。你前面部分当中的话，这个。如果你不想进行去看这个第一个部分。对吧，这个大川讲的部分你不想听，但是第二个部分对吧，有真题，一个事情是二一年之前的真题的一个筛选。

啊，这个部分呢？你需要用。对吧，这个东西需要用，然后第二个部分的话，其实就是我们的二一二二二三年的这个真题，你需要用。那还有最后啊，我们附录了一套模拟卷，那这套模拟卷的话是去年的话，我们在那个。对吧呃，是我们在去年的话，这个大纲啊呃，

就是那个大纲后面的话，附录了一本，对吧？附录了一套这个真题。然后的话，这个今年的话应该是明天明天中午的话，会出这个新大纲啊，预计是这个时间呃说的话，现在他们。他们也没法说的这么的准确，反正的话，这个今年的大纲说时间呢，说的含含糊糊的，如果明天的话出的话呃，我基本上的话应该是在明天12点之前的话，

我就能拿到这个大纲。他只要明天出那拿到这个呃，回头的话，我就会把那个后面的话附录的一套真题啊，我再来给你进行啊，这应该是模拟题，我再给你扫描一下。你扫描了之后的话，等我们今年的过程当中，我们再把它进行模考一下。这不是我们上课讲的问题吗？列满制。这上课讲过的题啊。我来说一下这个人。就是如果你碰到AB=0。

对吧，你a的这个东西你列满值，比如说你a这个人是一个m×n。你是个劣蛮者。我怎么进行去推出这个东西等于零，为什么它具有消去率？这个非常简单。你想证明b=0，你就证明它的质等于零，你怎么证呢？你其实就非常容易a的值，然后加上b的值，你现在是不是小于等于n呢？而你这个a的质就是n那a的质是n的话b的质不就小于等于零吗？质怎么会小于等于零呢？

至最小都是零，至永远大于等于。你见过的字有复数吗？没有。最小都是零零。一二三四这些人那所以我们就立即可以推出来这个b的质是零，那b的质是0b不就是零吗？哎，所以这个非常简单，你看如果这个东西列满值。列满制的话，它就具有林荫子女。那么，接下来我们再来看，如果这里面当中是AB=AC，

而且这个东西讲我们又告诉你。a假设是m×n，它的质啊，还是n我们说这个东西啊，它具不具有？消去率呢。我看你触类旁通能力怎么样？具不具有具有的，你可以模仿一下刚才那个人把这个东西移过去，不就做成这样吗？根据刚才那个点。如果这个东西具有列满制，那这个东西就具有林荫子，那现在这个东西列满制，我就可以把它消掉了那。

那说明b-c=0，那不就说明b不就等于c吗？能理解吗？所以说你要注意啊。那就是几个点呢？比如说这是b。左臣的列满之不变之。如果左边是列满制，它具有零因子律，左边是列满制，它具有消去率好这个问题。如果的话，你发现是又乘又乘行，满值不变值，如果这话这个东西是行满值这个东西等于零，

它具有零因子律。如果右边的行满制，它这个东西啊，而且还具有消去率。你像这个问题。有点超过我们的考研难度系数。对吧，我们学这个线性代数还是把控住主标点，你像行列式的定义啊，行列式的性质啊，行列式的展开定理，特殊的行列式的计算。范德蒙行列式等等，这种东西，然后第二章矩阵的运算。

初等变换矩阵的，值把常规的这个矩阵的值啊，把它掌握清楚，然后下一章的话，其实就是线性相关性的判定，现在线性相关性想定义，想知其实我们都是想知。对吧，它的判定方法，然后紧接着的话就是七大无关组的求解，其次线性方程组求解，非线性方程组求解，然后的话这个解的判定。基础解析的个数的求解，这都非常重要，

然后是方程组的通解和公共解，这个才是我们的核心。对吧，把这些点呢掌握清楚。那行吧，那么今天的话，我们这个习题部分内容我们就全部讲完了，你所以下去把这个该进行去好好进行复盘的内容，把它好好复盘复盘。行吧，同学们，那这是我们今天呢最后一次的话，这个绝症300题的这个习题课程，你下去把相对的这个错题你好好再看看。你哪块东西是薄弱的，

你要重点看哪个部分？你不要是哪个东西，你觉得你复习的好，你就疯狂的做哪个东西复习的不好啊，你使劲的就根本不看你，这也不行。行吧，那么这个板块内容我们就说到这，如果明天出大纲，明天晚上我们应该会有这个大纲解析课程。那个部分的课程呢？一定要重点来听一下啊，那么所以说每年的话，这个大纲解析课程呢？还是比较重要那。

其实一般情况下，我们会按照这个大纲的这个时间呢进行去划分啊，大纲之前大纲之后那后大纲时间我们是怎么进行去安排的？所以如果明天中午出了，那明天晚上一定会有这个解析课程，所以明天的话，我们呃，这个如果出了之后啊，明天晚上我们会系统的进行去聊。一个事情是大纲的要求点。第二，事情重难点的点拨，然后第三个事情就是备考需要进行去注意的问题，还有你自己的复习规划的问题。所以这个这两天呢，

你们还能进行去好好进行去复盘一下，如果这个周五的大纲出来，明天晚上会有大纲解析课程。大纲解析课程呢，我会给你预告一下，我们接下来会做一次这个系统性的这个模考啊，这个问题。咳咳呃，这个习题呀，如果做的不好，你稍微的话进行去好好进行去调整一下，因为有些。呃，有些题的话你不能报以这样的一个这个情况，你自己去做一下这个这两年的考研真题，

你就知道我们其实考的不是说特别难。但也不是说。呃，至少应该比那个期末考试。不相上下吧，跟有些学校的期末考试，要不然的话比这个好一点的话，这个学校的话考的稍微的话比较难一点的，这种期末考试。差不多，要不然就比它难。所以在这个复习方向上，如果出现问题，你好好调整一下就行，对吧？

你比如说哪些题呃，我还是这样的一个事情，就是如果这个题出错了。那进行去刻意练习法，你先找到这个题啊，所涉及的知识点，你看是不是这块知识点就有问题？如果知识点含含糊糊，一点都记不清楚，把这东西啊装到脑子里面，一定要记清楚，有的时候反应慢，其实是不熟练的，一个非常重要的一个表现。所以你就把这个知识点呢，

你先消化到位，知识点消化到位了之后再找上两三个相对应的题，你再把它再做一做可以吗？刻意练习法。好吧，那么这个部分呢？我们就说到这注意啊，这个。今天讲的这个多元函数的微分学的题啊，我们的考研的难度系数，要不然跟这个差不多，要不然绝对比这个难。这是你要注意的，就是我们今天上午讲的这个习题课，这完完全全的话，

这基本上考研就是这个难度。要不然比这个东西还要难。所以稍微注意不要如果这个板块内容你没有处理的很好，你得下去好好进行补一补了，这都是常规问题，都是基本的偏导数计算问题。好吧，那么今天课程呢？我们就讲到这，自己下去好好复习吧，习题课程就是这样，你自己有问题的来听，没有问题你就不听。啊，所以说我们每次的话，

这个之前呢，有这样的一句话啊，这个习题课不是必须要听的，你就重点进行听，自己有问题的题目就行。哪些题目有问题，你就听哪些题。好吧，同学们好，那么今天课程呢？我们就讲到这，自己把这个呃习题部分东西好好整理整理，还是几个事情？基础讲义。对吧，

强化交易。然后是我们的习题，把这几个东西吃透了，然后接下来就做模拟卷就行。这个水平点都消化到位了，考一个这个。整张试卷吧，错一到两个题，这是啊，这个我觉得还是很轻松的。顶多错一到两个题，要不然就不错，顶多错一个或者错两个，不要错太多了。好吧，

对自己的这个要求啊，平时的这个练习还是要高一点，毕竟我们是考这个经济学，你其实你们都懂。但是我觉得。呃，不想在这些事情上多说，但是你自己都明白一个事情啊，还是比较卷的，所以你把这个相对的这个要求啊，还是要拔高一点点。好吧，好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，

今天好好复习吧，然后这个这个周还能好好进行再复盘，你下周其实也能复盘。然后下周啊，我会安排一次这个正式的模考。然后这个模考结束了之后啊，你们就可以进行去刷那个呃，二一年之前的优质真题，等我们下周的话，这个就。救命班的这个讲义收到之后，然后紧接着我就会安排二一年，二二年，二三年的这个真题的模考，然后紧接着我还会再安排两次这个模考。

好吧哎，这是这个内容。嗯，想了想，这个高数，要不然考考全部吧这个。光高速的话，其实。考的没有什么感觉，对吧？呃，就按照正常的模拟卷进行去考吧。行不行？我觉得一次性的你控制不好，这个时间等我们下次这个模考前，

我一定要会重点给你提示一下的。你控制不好时间，你多练几次，你其实就明白了。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这习题课嘛啊，讲完了之后啊，我们就速战速决，也不影响的话，这个不耽误大家的时间，把这个相对的东西啊，好好处理处理。行，那么今天课程呢？

我们就讲到这好吧，同学们，如果明天大纲上市，然后明天的大纲解析啊，我们就再见好不？同学们好，下节课见吧。

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