06.强化决胜300题精讲【6】概率论1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:55:19

接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试声音啊，能听到声音而去画面没问题啊，请过回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。呃，这样吧，我们先把这个答案没有发吗？这个我让一块儿这个助教信息去传一下，我先把这个所有的这个题目的这个答案呢，然后先给你写一下，然后你自己稍微的对一下。你针对自己不会的题啊，然后重点听就行了，

然后这个题啊，不需要所有题都听，对吧？所以说这个习题课。这个昨天我看到一个同学发了这个消息，说呃，虽然好长时间这个也不是说不不喜欢听我们的课程的原因，主要是这个。才把这个内容进行补完，然后发现又有课，你注意这个习题课啊，这个算额外进行增加的这个课程，这个非必须要听的。那好了，那么接下来我把这个答案给你们进行去对一下，

然后你自己可以进行对照这个答案呢，然后你修改一下啊。然后这个第一个呃概率部分呢？啊，注意啊，是概率部分，那概率部分呢？然后的话，这个是c。第二是a。第三个是c。第四个是b。第五个是c。然后第六个是b。第七个是一。

然后第八个是b。CA.然后是一。BA.db.然后这是b。CD.AB.啊，还有一个，最后一个是d。好了，这是这个啊，所以说你下去啊，把这个东西进去去做一下，

对吧？把这个上面的一些题目啊，然后进行去完成一下。好了，这是我们在这个这次呃发放的这个概率部分，然后下次过程当中，我们是把概率后面还有一点点。啊，比如说这个期望啦，还有这个方差的，这个求解运算部分内容，还有这里面当中二维离散性随机变量，我把这个部分呢，我们做一个重点的训练。把这个训练完了之后啊呃，

然后我们就进行去呃，这个下次过程当中，我们讲这个线性代数能理解吧？好了，那么接下来我们就正式开始吧，你们做的怎么样？这个这是21个题。我先问一下，三个以下的同学。对吧，给我回复个一呢。然后是。三到五个同学给我回复二。啊，包括这个三吧。

错了几个？错太多的话，我觉得觉得有点离谱了。啊，还可以还可以啊，还不错。呃，但是出错了也没关系。你出错了，把它改正过来，你下次过程当中会处理就行，所以我觉得这个怎么进行去面对一个事情呢，然后最后你又会达到一个不一样的一个效果。好了，那么接下来我们就正式开始吧，

我们先来看看这个第一个题，我估计啊，我预计一下，我估计很多同学出错的这个题啊，第二题比较多。然后这个第四题比较多。对吧，应该都是在第二题和第四题别的题啊，我觉得都还好，那么首先我们先来看看第一个事情吧，你发现这个b是属于a。而这个东西完全考虑一个随机事件之间的一个关系。如果这个避暑原因啊，你从这个图形角度上而言也非常简单。对吧，

比如说这是个全局空间。然后这里面当中的这个是a时间。然后这是个b事件。那这个b就属于原因啊，那很明显b发生a1定发生，所以说这个时候如果这个b属于原因。马上这里面当中的第一个充要条件就出来了。如果这里面当中的b你是发生的，那这个时候我一定会推出a1定怎么办？哎，一定是发生的。好了，这是第一个事情，所以b发生a1定发生，所以说你发现看这个人是对的啊，

这个不对诶。这个是必不发生，这个不对。然后我们再来看看这个东西的逆否命题，我们都知道一个东西的逆否命题一定正确，所以说这个人的逆否命题的话，你把它逆过来。那就是a，然后怎么办呢？它不发生。对吧，然后这个时候啊，一定会导致这个b它不发生。啊，这个基本问题，

所以说这个时候是a不发生b1定不发生，然后这个二是对的，所以说正确答案选几啊，你选c啊？好了，这个题啊，不是说特别难。做的怎么样？还可以吧，好了，这个第一个题那么接下来我们再来看看这个第二题哎，第二题我记得就是你了，不了解这里面当中有一个问题叫抽签时间。哎，抽签事件，

那抽签事件我们原来讲过这个事情，就是它跟这个东西的抽签顺序没有关系，我把这个事情我们再来讲一遍。你稍不尽心去理解一下啊，什么东西叫抽签时间？那什么叫抽签事件呢？它应该是这样的一个原理，我就以刚才这个题为例，我们现在这里面当中哎，它有没有说是几个？谁取得电影票，那说明只有一张电影票。是不是这个意思啊？哎，里面当中啊，

只有一张电影票好了，我们来看看，也就说我现在这里面当中啊，有五张签。有一张是重的。对吧，然后的话有四张是不中的好，这个情况那么现在我们依次来进行研究一下什么东西叫抽签事件呢？是一人取一招。取完了，不放回。能理解我的意思吗？哎，就说你发现看这个第一个人。你去取一下，

然后你取完了你就走了，然后第二任再去取一下，第二任取完了又走了。然后这是第三人取向。第四人取一下，第五人取一下，就是一人取一张，你取一张呢，然后这个事情是不放回的。那这里面当中，你要注意一个问题，我问一个点啊。第二人再进行去抽的时候，你知不知道第一个人抽中了，还是没有抽中啊？

你知不知道？你如果知道的话，你发现这个东西就不叫抽签事件了。能理解吗？你不知道你们是不知道这个第一个人到底重还是没重？所以说就是我要知道第一个人能中，那我肯定抢第一个人去抽啊。我要知道第一个人中不了，我肯定不会去，第一个人抽啊。所以你要知道概率这个问题啊，我们研究的是一个随机事件，研究的这件事情它还没有发生，我预计它的概率。所以第二个人抽的时候，

第一个人什么情况不知道，第三人抽的时候，第一个第二个人什么情况都不知道。是这样的一个问题，所以这里面当中啊，我们就来研究一下，你来看，请问第一个人抽中的概率多少？假设叫pae。概率是多少呢？那很明显，第一个人抽中的这个概率啊，那很明显就是总共是五张五分之一，然后我们再来看看第二个人。那第二任抽中的概率是多少呢？

我们来看看PA 2。那a2的话，这个人呢？他就要分成两种情况。你就要站立在第一个人的条件下，你才好求。所以同学们注意，我们去求解这个PA 2啊，它是不好求的，我们求解什么？在第一个人的条件下，求是好求的，你要注意这个事情。对吧，我知道第一个人什么情况，

我再去求第二个人，这是非常简单的。但是第一个人什么情况都不知道，我就求不不好做，所以我们喜欢这种条件概率，那怎么办呢？我用全概率公式。那就是第一个人中，然后在第一个人中的条件下，我第二人中，然后再加上第一个人不中。然后加上一个什么第一个人不中的条件下，我来种。好，这样的情况，

那么我就来算了，首先我们先看第一个人。第一个人中的概率是多少呢？是五分之一，然后在第一个人中的条件下，我再中呢，那这不可能。对吧，你想想第一个人已经中了，你第一个人中了之后呢，已经把那个中的抽走了，他就不可能再中。然后再看第一个事情，第二个事情你没有中，你没有中的概率是五分之四。

如果第一个人没有中，那总共的这个张数只有四张了，然后中的这个票数只有一你，所以说这就是四分之一，你看最后一算还是五分之一。然后你进行去计算一下这个第几个人呢？第三个人还有这里面当中的第四个人，还有这里面当中的第五个人。你发现他们这个东西的概率啊，它仍然都是谁啊？都是五分之一，都是五分之一，全部都是。好，这个所以说你会发现抽签事件是公平的，

它跟谁先进行去抽啊？它是没有关系的。你第一个人抽你，第二个人抽你，第三个人抽，这没有什么关系的，无所谓的，它跟这个抽签的这个顺序啊，没有关系。能理解吧，所以今天呢，你一定要细致的进行去理解一下什么叫抽签时间，那就是一个人抽一张走了抽一张走了问你。第几个人抽你的概率？能理解吧，

好了，这是这个问题，那么接下来我们来做一下这个题吧。来先看看那首先我们先来看看这个a选项，你看这个人。那这个人的话，共同发声好球吗？哎，不好求。你要注意啊，共同发生是不好求的。因为这个共同发生，我不喜欢，我喜欢的是什么？我喜欢是在你的条件下，

我来求这是简单的。所以你要注意啊，你喜欢做的是什么？你喜欢做的是在这个人的条件下你的情况。所以怎么做呢？我们可以通过这个乘法公式把它打开，因此这里面当中的这个什么，这是a1。然后这是a2，我用一下乘法公式，在你不重的条件下，然后怎么办呢？我来重的概率。好了，这个算非常好，

算好我们先来看看第一个人，那第一个人的话，你发现他不中的概率是多少？总共五张票。你不中的概率是五分之四。然后在你不中的条件下，我中的概率呢？那这中的概率是四分之一，所以说这个结果是五分之一，这不对正确答案选a。好了，这是这个题啊，非常的简单。对吧，你看他瞄准了两个问题，

所以说这里面当中啊，你就最好是用一下条件概率是好做的，你就这个事情会了，这个d选项你也会的。你看这个情况的话，是你不中我也不中，对吧？这个不好算，应该是条件概率好算，就是你的概率，然后在你的概率的条件下。啊，在你的条件下，我的情况，所以说这个时候你做。

那肯定全对呀。这是什么逻辑呢？那肯定对着呢。那我在讲题，那如果那要不然后面不讲了。那就选a了，那后面肯定全错呀啊，好了，我们来看看这个事情，第一个人他不中呢，这是五分之四。然后在第一个人不中，我也不中呢呃，四分之三，所以说这个结果五分之三，

这肯定对啊。好了，这是这个问题，那么接下来我们来看看这个bcd啊bce，那接下来你看看这个b选项，b选项只瞄准第几个人？我只看第三个人。对吧，我只看第三个人，只看第三个人跟只看第一个人是一样的。所以说这里面当中的话，只看第一个人，你就你就说第三个人，他不中，你总共几张票呢？

五张票。五张票一张中，然后四张不中，那这个概率是多少呢？那概率不就是五分之四吗？所以这个非常简单。然后我们再来看看这个第四个人，你只看第四个人，第四个人中的概率是一样的，五分之一倍。第一个人不中的概率五分之四倍，那非常简单，就说你只进行去瞄准一个人的时候。每个人都一样。你说第三个人重跟第一个人重是一样，

第三个人不重跟第一个人不重是一样，所以把这个方向性想清楚。那肯定不独立啊。那第一个人重对第二个人有没有影响啊？有影响，这个不太好，这个最近你还复盘呢。你复盘到这个位置的，不应该会出现这种情况。那肯定不独立了。这个东西跟独立是是是不可能的，你怎么可能不会影响你第一个人中了之后的话，对第二人肯定有影响。好了，这个第二题做清楚了吗？

一定要下去，过程当中好好看看啊，我们再来看第三个题呃，第三个题倒还好。他说一个事情，他说在往这个区间内啊，投掷一个p点，那这不就是一个均匀分布的问题吗？那或者而言的话，其实就是一个几何概型的问题。那这个长度是二，然后这是一。好，这样的一个图形。往这里面进行去投一个点批投石子。

然后这个p啊，落在这里面当中，每个位置是等可能性，然后这个p啊跟这个原点的连线跟x轴之间的夹角小于四分之派，就是小于45度。你小于45度的话，你看你这不就是45度线吗？你小于45度的话，应该是这些情况。对吧，这个题是非常简单的啊，你这出错了，有点不应该了。那所以说就进行去求解这个部分的概率，那这个部分概率不就是面积之比吗？

你总的面积是多少二乘以？然后的话，这个长度是一，所以说你就要用总的面积的话进行，把这个部分减一下，你总的面积是二乘一，你再减去这个是二分之一乘一乘一。所以说这是多少呢？这是二分之三，那这是多少四分之三？正确答案选几啊选c？好了，这个第三题这个很简单吧？所以很快就能把它处理清楚。呃，

但是你要注意一个问题，一定是面积之比。不是面积，有些同学可能在这里面当中算呢。但是没有答案，你运气也比较好。它不是面积，是面积之比，一定要听清楚啊，你要是算上面这个人的话，他的面积是二分之一，那有点崩溃了啊。好了，这是第三个题，我们再来看第四个题。

这个题啊，有些同学也做的不好啊，可能这个出错的题啊，我觉得大部分的这个题应该是在这两题，别的题都还好。所以我觉得这个概率论唯一控制不住的就是这种古典概型的问题了，摸球的问题了，就是永远是很多同学的一个痛点。慢慢分析，越是自己不擅长的点，越要慢慢分析好了，我们来看看这个第四题，他说这个甲乙丙呢？三个人依次在这个什么装，有什么东西呢？

你要注意这个盒子里面它有七个白球。三个红球。然后的话，他是随机的取出一个球，所以这这三个人的话就是我们去取第一个人取第二个人取第三个人取你三个人进行去取。已经知道丙这个人取到红球，则甲乙两个人取到不同球的这个颜色的概率。啊，不同求颜色的概念。那这种情况你怎么去做呢？我们这样吧呃，首先第一个事情，你把这个事件设计。你设一下这个a1。然后这是a2，

然后这是a3a1表示的这个甲摸到红球，然后这个表示的乙摸到红球。然后这个表示的丙摸到红球行不行？好了，这是他们摸到红球啊，这是这个三个情况。然后现在我们进行去求解的这个人呢，你先读一下他这句话什么意思呢？这是红球，然后说甲乙摸到不同颜色，我们把它设成b，所以说这个题的话，它考的这个点呢，它应该是这样。就是在丙摸到红球的条件下。

然后你怎么办？你是不同颜色的概率。所以说这个题应该是个条件概率，那条件概率的话就是这样，那就是你摸到这个红球，然后再怎么办呢？就是我们共同发生的情况。好了，这个人就是你摸到红球，然后我们两个人是不同颜色的情况，那同学们告诉我有几种情况？哎，我就问一下这个事情，上面这个人有几种情况？非常简单，

你想他要不然是什么呢？就是你摸到红球这俩人是不同颜色。那有可能是第一个人红球，第二个人不是红球，那也有可能是什么呢？也有可能是第一个人是红，不是红球，第二是红球。你是不是就这两种那所以非常好做啊？来我们来看看这个人，那你告诉我你下面这人怎么做？他说，第三个人摸到这个红球的概率。你管不管这个甲和乙啊，你这不就是抽了一个走了吗？

算不算抽签事件呢？那不就算抽签事件吗？你第一个人摸完了就走了呀。所以说这次这个答案当中啊，写的那个东西可能写的稍微的繁琐一点，你上课一定要听懂。那么，算出现事件，你抽一个走了，你抽一个走了，我只关注你，那你的概率不就是十分之三吗？哦，这个非常简单，然后再来看看上面这个人，

你摸到什么球啊？第一个人摸到的是红球，那就是十分之几呢？十分之三。第二人摸到红球，九分之二。然后第三个人摸到这个啊，另外一个球就是九分之几啊，八分之几八分之七。好了，这个人，然后我们再来算算这个人呢，你摸到这个人是十分之几三，然后这个人是九分之几七，然后再来是多少八分之几八分之二？

你这个人一算呢，一算最后的结果就出来了，正确答案选几啊选b。能理解吧好，这是这个题。所以说你像这样做，你是完全可以的，但是我觉得这个方法不是最好的。好了，听明白了给我回复一吧，我先看看同学们的几个情况啊，这个题。但是这个方法不是最快的。对，还有一个同学非常好，

我们可以怎么办呢？我可以缩小样本空间。对吧，一看的话就是好好复盘的。你想想一个事情，这件事情发生了，还是没发生，是不是已经发生了？好，我已经发生了，我已经发生了，我可以怎么办呢？我就不看这个人了。对吧，就相当于什么情况，

你现在相当于这个总共这个球里面当中有几个球啊？你总共里面当中有六个白球。呃，这个应该是七个白球。对吧，然后是两个红球，可不可以这样？所以我现在就当做总共这里面当中只有几个球，只有九个球，在这个九个球里面甲和乙摸到不同球的情况。是不是这个事情，所以说我们来算一下这概率，那这概率的话，总的情况有多少种，第一次摸有呃，

这个九种摸法。第二次摸有几种八种摸法。然后我们再来看，那有可能是这个呃甲这个人摸到什么白球乙，这个人摸到红球。也有可能是什么呢？乙这个人摸到白球甲，这个摸到红球那，所以说如果这个是你先摸到白球，我再摸到红球是这个人。然后的话，再是你摸到这个什么啊，这个红球我摸到白球是这个人，所以说最后一算的这是多少？你约一下四九，

你先约个二，你再约个二，这个是十八十八分之几七，那刚好正确答案选几选b，你这样做就非常简单了。对吧，缩小样工样本空间的方法一定注意啊，就说你这个东西你必须是已经发生。你不能说，我也不知道它怎么样情况，它已经发生了，我都知道它发生了诶，我可以缩小样本空间，我这个东西啊，我就不看了。

好了，学会了给我回复一啊这个题。怎么样？依次去那肯定不能啊。人家这个题是有顺序的。啊，有顺序的，你不能这样做呃，当然的话，你可以这样。就是。一次摸一个不放回。你可以当做成一次摸两个。一次摸两个的话，这就是九个里面取两个。

然后就是白球里面取一个，然后这里面取一个。所以说这就是九×8，然后这是二×1，然后上面是几七×2。好了，这个情况也对。你看拓展思维吧。一次摸一个不放回，对吧？你摸一个，我摸一个，不放回就相当于一次摸两个，你看这个方法也行，这就当做成第三个方法了。

能学会吧，哎，也是可以的，就是你摸一个不放回。你摸一个不放回，然后这个东西怎么一次性摸两个？哎，可以啊，对吧？那说明最近段时间我们这个提高度还是有的。对吧，你做题的这个敏感程度要高。好了，这是第四题，我们再来看第五个题，

第五题都还好了吧？你这个题很明显，就是往年我们讲的那个题啊，就是讲的往年真题当中的一个题，我改编了一下，你看我稍微的改一下，你做错了，有点不好意思啊。我们强化讲义上是有这个题的基础，讲过强化也讲过，他说有一批产品每一次取到一个次品。要注意取到这个次品的概率是多少？是p取到这个正品的概率是多少？一减p。在取到两个次品之前，

已经取到三个正品的概率。这什么意思啊？它就像我们原来做的那个什么，第四次是第二次打中，你还记得那个题吗？还记不记得？第四次是第二次命中啊，就是当时我们讲过一个打靶的问题，第四次是第二次命中。所以现在而言的话是什么情况呢说？我取到第二个次品，之前已经取到了三个正品，那说明什么情况？说明在前四次当中。对吧，

然后有一次是次品，三次是正品，而且最后一次必须要保证是次品。这两件事情必须要共同发生。所以接下来我们来算一下，你看这个人概率。那怎么做？你前四次当中。四次里面进行抽几次啊？抽一次，然后这个次品的概率是p。正品的概率是一减p三次方。那是做完了吗？没有做完，大家注意这件事情，

只能保证第一个事情保证什么事情呢？前四次当中是一个次次品，三个正品。但是你没有保证第五次一定是次品呐，你还得保证第二个事情，它必须是次品，而且这两个东西啊，是共同发生。那共同发生的话，你看你这两个东西沉起来。一乘的话，这个人就出来了，就是四倍的这个p方一减p的三次方。是不是这个题？你说这个题跟我们原来那个讲的那道那道题目有什么区别？

强化讲义上是有啊，有区别吗？没有什么区别啊，你就改一下嘛，你稍微调整一下，原来说这个。第四次是第二次命中一模一样的，我稍微改了一点点，你这种东西都不叫辨识题了。要学会它好第五个题。再来看第六题吧，那后面的题都简单了，我觉得有些同学听呐，就想重点听那个前几个题啊，后面几个题啊，

都非常简单。那我们来看看这个题。你像这个人呢？你见到什么就进行去用什么呗，你看这个人的话就是a的概率，然后加上b的概率，然后再减去多少AB的概率。然后这个结果呢，等于零点六。然后再看看这个人呢，你这个人算一下呗，那这个人算一下的话就是p多少呢a8，然后分之多少BA 8这个人。好了，然后接下来我们来写一下，

你看这个人是多少呢？是一减PA，然后上面这个结果呢，你就可以写成b减a就是b再减去多少，你再减去AB。没问题吧，你减法公式嘛，那减法公式现在我们要进行去求的是PA，那这就是一减PA。那然后剩下这个东西怎么赚呢？你看你可以这样摆，你直接把这个部分的东西啊，你做一个代换。你看吧，你这个部分的话，

它就是这个部分，那这个部分是多少？就是零点六再减去p0。是不是这个情况，你往这里面一代，它就出来了，一代完了之后啊，这个结果最后等于多少它最后结果等于零点二。那所以说我们来算一下，这是零点六，你再减去一个PA，它就等于多少零点二再减去零点二倍的PA？好了，这个结果，然后你把他送过来，

那这是零点四，然后这是多少零点八倍的平，所以说这个结果就等于二分之一啊，正确答案选b。能学会吧好这种题在考试当中不能丢分啊。就是你见到什么去写什么公式，见到什么就写什么，那个思维方式非常的精准，一两分钟内肯定能处理掉。好，这是第六题。那么，接下来我们再来看看第七题好，再看这个题。那这个题啊，

他说p这个人他是等于a pb这个人，他等于b两个事件之间相互独立标出来。好了，这俩人是独立的。然后这里面当中有一句非常重要的话，他说如果这个c事件发生注意了，你这个人发生。它怎么办？一定会导致这个b和a同时发生什么意思啊？你发生。一定会导致你发生，且我发生。那什么关系啊，很明显属于关系。是不是属于关系？

而我们又知道一个事情，你这个AB这个人，你又会属于a。你也会属于b。没问题吧，你既会属于a，也会属于b，因为我们都知道你交了之后会变小。那然后接下来我们去计算，他说这三个人都不发生概率，你不发生，我不发生，我也不发生。这不好算，所以我们用一下对偶律，

用完了之后的话就是这个人，然后并上这个人并上这个人。那这个结果就等于一减去多少a+b+c？好加法，所以这里面当中我们就用一下呗。那既然是加法，我用一下加法公式，我用一下这个加法公式，这个东西就出来了，它是p，然后加上PB，然后加上PC。你再减去这个pab，你再减去一个PAC。然后再减去PBC，

你再加上一个多少ABC？好了，这个人我做成这个情况，我一旦做成这个情况，把里面当中的一些东西啊，我们算一下就行。你看这里面。他这个第一个人是知道的，他告诉这个人是a，他告诉这个人是谁，这是b，然后。这个c这个东西啊，他倒没有告诉我。对吧，

这个c他没有告诉我，我们就写出来好了，这是PC，然后这个是AB呢AB这个人，他又等于PA×PB。不是我说的，是他说的，他说相互独立，那现在有一个问题就是a交c是多少？a交c啊，那我们都知道你这个c是比这个a小的越交越小，那这个人不就是PC吗？然后这个c又比比这个b小越交越小，这还不是PC吗？然后的话，

你看你这个c又比这个AB小。对吧，你c比AB小，你这一教呢，你这个人又会变小，好变成这个人，那所以说这些人呢，他就约掉了。那约掉之后，它它就简单了，一减去a加b，然后再减去a乘b。所以说这个题的最终结果啊，应该是选择e选项，这个结果你一沉呐，

这出出来了。能会吧，好了，掌握清楚给我回复一，这是第七题。所以我觉得这个对我们这个部分内容啊，是有所训练的，你把这个想清楚。你最近复盘完了吗？有复盘版吗？概率统计这个概率论复习到哪了？概率啊。好了，这是这个问题啊，很多说那画图也好做，

你画图a和b相互独立，怎么画的呀？啊，这个问题就在这，你你不要说画图也很快，你相互独立是怎么画的呀？你相互独立，就没法画图啊。那所以说这个部分的内容，你是怎么进行画呢？啊，你说画这个c发生一定会导致它两个且发生吗？那AB什么情况？好了，这是这个事情吧，

你怎么做都行，你能把它处理清楚就行。那么，接下来我们再来看看这个第八题好继续。他说，分布函数。那如果见到分布函数，你就进行去检验几条内容，你就要检验四条内容，那首先这里面当中的第一条。呃，后面我觉得是这样，你先把这个概率复盘完。然后再进行去复盘，那个你线性代数，

然后再复盘，这个高等数学，你这个嗯，是不是感觉会更好一点，因为高等数学的你花费的这个时间还是比较多的。我们看看这个时间啊，这个今天是11号，我应该差不多20号吧，我会做一次测试。要注意，我会做一次测试。你其实这么长时间，你早到高数现代概率全部复习完了。啊，你早就全部复习完了，

所以不着急啊，这个事。好了，那么接下来我们先来看看这个第八题。来，继续吧。什么测试啊？考试啊，就是考试，我到时候看情况吧，这个高等数学得考一下线性代数和概率论与数理统计，我们没有数理统计。我们只有概率论，我们也考一下。所以有两场考试，

这个考完之后我们去做二一年，二二年，二三年的真题，哎，考这三年的真题这。这三年真题考完了之后，我看看情况，我会再来一次综合性的大模考，然后我们就可以去做模拟卷了。所以我觉得这个时间呢，你基本上每每天都应该有事儿做，你如果这个觉得最近几天每天过程当中没有事情做，我觉得不太好。你应该是有这个有这个规划的吧？时间点的话，

我觉得数学啊，你只要前期复习的这个时间还做的非常到位，你后续花不了特别多时间的。而且你最近的这个九月份。一直到十月份。你一定要把这个数学部分内容你做到位，对吧？每天都在数学，我觉得不可能吧？你一天能花费多长时间啊？他有些同学每天复盘一两个小时就差不多了。啊，一两个小时就差不多，所以觉得这个到了后期啊，数学不会占领你特别特别多的时间。

你一天的话，这个数学你说七八个小时，我觉得不太可能啊。好了，所以说这个呃时间的话，我觉得你光复盘的而言呢，你去进行去把上课的部分的内容整理到位。对吧，把上课的东西做到位，然后那个错题啊，有人说那个老师我当天过程当中没有那么多错题，那你就。哎呀，这个。还不好，

这样这样来，因为总有同学钻钻这个钻这个空子，对吧？我说这个如果你当天的过程呢，只有七八个道呃，七八道错题，你就整理七八个就行。然后有些同学就七八个，然后有些同学就一发的话就发三四个，说我只有三四个错题，这个我就不能这样说了，行吧啊，你们自己做到位就行。反正学习这个事情，我觉得最重要问题就是你学会了就行了。

你是学会就行了，我一直跟你强调，但是有些人对那个日历那些东西有点执念，对吧啊，所以我觉得最重要问题就是。你做了就行了，这我觉得才是最重要的，所以我们每次过程当中给同学们组织这个活动啊，也不说你一定要进行参加。你只要进行完成就行。好了，我说一下这个事情，就是九月份和十月份呢，你这一段时间好好复盘，对吧？

一定要好好复盘，把这个复盘这个东西啊做到位。你做到位了，我差不多应该是20。呃，看一下这个日历吧，你看一下那个时间，因为我们这个今天的话还是有这个课程。20。呃，应该是22号吧？啊，这一天，然后这一天呢，我们就把这个。

这个主要。这我说的不算呢，对吧？你要他们他们说要送那那全真班同学都能送，那也行。嗯，然后的话，这个22号，然后我们考这个啊，考这个第一次的这个高数。好吧，这是22号，然后接下来呃过上个差不多五六天的时间，五六天的这个时间呢。我们差不多这个二十七八号这个样子吧，

27或者是28或者。嗯，或者啊，或者这个，然后这里面当中啊，我们去考察这个线性代数。好现代，然后的话，这个嗯，考察这个现代还有这个概率。啊光，现代肯定不够，现代和这个概率能理解吧？好了，这是这个，

然后接下来的话，我们就要进行去考这个二一年。二二年，二三年真题把这个考完了之后啊，我们再增加一套模拟卷。哎，我再增加一套模拟卷，最近出题出的非常的疯狂啊，当然有的时候。呃，出题其实挺头疼的。它远比上课了而言的话，你发现轻松太多了，我觉得这个出题真的太费脑了。呃，

你放心吧，都会讲的，你不用担心这个事情，你也不用担心后续说这个呃，我们的十套卷啦，或者我出的这个模拟题啦，我都会给你讲的。所以这件事情你不用担心这个问题啊，所以这个板块的东西啊就是。模拟题吧，我只要给你们考的，我都会在当天过程当中给你们进行讲。啊，基本上都在当天，如果当天排满了课了，

我们就会放到第二天。能理解吧啊，就是反正就是当天或者第二天。所以然后的话，我们考这个模拟卷，基本上而言其实就是到了这个国庆。节对吧？国庆节之后了，然后加上这套模拟题，国庆节之后你其实你一直都在做复习，你就不用进心去担心这个事儿。你也不用继续去担心别的同学，然后他们怎么做模拟题，我们也在做啊，我们也在复习呀，

所以每天都要有事情干。能想清楚吧，好了，每天都有干，等把这个东西做完了之后，我们就进行去做十套卷。啊，石头兵那上次考虑的事情啊，我也在考虑，然后的话，上次我跟那个高教社的那边。呃，高教室那边的话，跟他们在商量，因为嗯，

这里面当中会牵扯一些这个。啊，这个这个事儿你们应该能理解，这个事情因为里面当中我想出一个这个总体的这个卷子，里面当中有逻辑或者有写作，有些的话这个。不是说你然然后一块嗯，到时候我再说吧啊，看看这个情况，所以我觉得是够的。对吧，你这些东西已经够了，所以我觉得今年呢，我该做的东西啊，我觉得应该做的差不多了，

那剩下东西啊，就是你们了。对吧啊，剩下的就是你们来做好了这个事情，我们就说到这可以了吧？哎，这个点好，那我讲不了。那个逻辑和写作我肯定讲不了。好了，这是这个吧啊，我们来继续，我们再来看看第八题来继续。那这个题啊，它说下列函数当中可以作为分布函数的是。

那分布函数啊，你首先注意，如果这个人考到分布函数，那核心重点其实考了三个事情，第一个事情就是分布函数的定义。你这是哪个随机变量的分布函数？就是哪个随机变量小于等于这个人的概率好了，这是会考的第一个信息点。然后第二点呢，其实就是考了这个题，像这种题啊，说分布函数的判定方法按，这是第一个考点，第二个考点就是分布函数的判定，你检验四个性质吧。

第一个事情大于零小于一，第二个事情呢，正无穷是一负，无穷是零，然后第三个事情呢，又连续第四个事情呢，单调不减刑。如果它是个离散性随机变量，它的分布函数会是台阶桩。如果它是一个连续性随机变量的分布函数，它一定不光是右连续，而且是连续的。能理解吧，好了，这是这个问题，

那么接下来我们来看看吧，呃，曾经我讲过这个事情，你能画图啊，你画图会非常简单。你还记得吗？就是你画一个图，眼睛漂一下，这个东西就出来了。好，我们先来看看这个a选项。a选项这个人那a选项这个人呢？他考量的是什么呢？他考量的是林道派。哎，

这个范围零到派这个范围的话，首先我们先看第一个事情，你看它说小于零都数是零。然后这个灵道派他是个三音。啊，这个然后大于这个派的时候，它是一你这是不行。嗯，首先这个点我都不关注了，我管它什么情况，你挂在哪无所谓，它都不会是个单调的，它不单调，这个人肯定不行。你一会上一会下，

你这人肯定不对，那么接下来我们再来看看第二个人，那第二个人的话，我们再来判断一下b选项。那这个人的话，你进行去看看，你看你正无穷的极限是一。对吧，负无穷的极限是零啊，这都没有问题，然后这个人是不是单调这个什么单调递增啦？对吧？或者单调不减，或者单调递增，其实都差不多。

还是你你不要，你不要在那儿轴就行了，很多说啊，老师说单调不增这个什么单调递增跟单调不减差不多，那不就差不多吗？我说的差不多，我不是说一样。啊，我们不要泛轴啊，好，我们来看看。它说小于等于什么情况？小于零的话，你发现这个人呢？它这个大于零，

它是一。对吧，它是一。然后的话，他是一个什么情况，他说呃，我在邻处，我肯定也是乙。但是你会发现个事儿，你这个x越大呀。你这个人反而越小。对吧，你这个人是越小的，你s越大的话，你下面越大。

对吧，它就越小。但是你要注意它这个函数。他是这个情况。它理论上的话，它应该是一个单调递减函数就是零的时候，它是一，这是单调递减，但它是个偶函数，它应该是这个情况。所以说它这个图像应该是这样。你能理解我的意思吗？就是一+x^2。你零的时候是一你s越大，它就会越小。

你越想的话，这半边是偶函数，它就是这个情况。所以我们现在来看看你正无穷是一负，无穷是零。然后这个人单调不减，而且是连续，那这个人肯定可以啊b选项没问题，然后我们再看c选项，那c选项这个人的话，你得进行去看看。好，再看c那c这个人得保证这个右连续。优连续的话，你发现这个点处就不优连续。

他这个人应该写成左闭右开你的右极限是一，但是你该点值是二分之一。你这个人不是右连续，你这不对，你挂错了，你左闭右开肯定没问题。然后再来看看d选项d选项，有些同学这个。意识稍微强一点，或者你直接判断你发现当s如果进行趋向正无穷的时候。你这个二分之一e减e的负x，你这个结果呢？e的负数是零，这是二分之一，不是一啊。

你同理这个人也是一样，你当s进行去趋向正无穷的时候。你这是二分之一再减去e的负x，你e的负无穷，这是零这是二分之一不是一啊，你这不对。其实d选项和e选项非常好看。我们都知道这个东西，肯定想出这个指数函数。啊不不是指数函数想吃这个，只有指数分布。那么，这个出这个指数分布呢？如果你这个东西是一个指数分布，应该是一减去。

e的负lambdas前面没有二分之一，应该是一减去它，你这个东西不会是二分之一，所以这个东西也不对，所以正确答案选b。这种题啊，高频考点啊，一定要会都做对了嘛？好做错的同学给我回复个二呢。我们看看有没有同学做错啊？没事啊，对吧？你回复一下。有没有同学做错了？好做错的同学给我回复一下。

你还敢回复啊？啊，这什么没事啊，这有事啊，你下去好好进行复盘对吧？你下去好好复习。这能没事吗？你学到现在而言的话，你发现分步函数都不会判断啊。这肯定不行啊，你分布函数你至少会判断。你学到今天，我们连分布函数，它这个四个性质的判断，你不不能来。

下去自驱一点啊，好自驱好了，这是第八题，我们再来看第九题啊，这个题。呃，这个题啊，其实稍微的话，这个。注意一下这个这块儿得稍微修改一下，你放到这儿啊。好了，这个题啊，你得把它这样调。对吧，

写成左闭右开啊，这题是出题的问题，好，我们现在看看这个题，那给了一个分布函数，那很明显在这里面当中，我们去求解abcd呗。那首先先看第一个事情，那正无穷当x进行去趋向，正无穷时当x趋向，正无穷的话肯定是大于一那个部分。它就是d=1。然后再来看看s趋向负无穷，如果s趋向负无穷的话，其实就是a那a这个人，

结果等于零好，俩人都出来了。然后我们再来看看，那接下来还有诶，你这个人的话，只出来了俩人，对吧？你这俩人出来了，但是这两个人东西还没出来啊。我们用右连续第一个事情是s=1的时候。移的时候的话，这个右极限是多少？你发现这个右极限，这个人的话，我如果进行去求解一下，

你limits趋向于一帧，你是对这个BS倍的lns。你加上这个CS。然后再加上这个dd是几呢？一进行求极限。你这个求极限的话，这个结果。让我想想这个。不行啊，不行啊，这个题没出错。不然的话，这个题就没法做了，你叫我想想当时出这个题。一右极限如果挂在这儿的话，

这个题可以，它就出来了。如果挂在这的话，你这个极限肯定会等它。啊，这个等号应该挂在这儿。啊，它应该是这样。好了，把它调一下，修改一下，不然的话，这个题没法做了，你能理解我的意思就行，把这个人改成小于等，

不然这个题不好做了。对吧，因为你这个写成左闭右开，无论他怎么样，他肯定可以呀啊，然后接下来我们来看看你这个结果，它一定要等于什么？它等于一处值一处值是a。所以我们来算一下你这个结果是几啊，你这个结果是零，然后这个结果是c+1，它等于零。所以说这个c啊，它也出来了。然后我们再来看看当s等于几s=1的时候。

一的时候的话，你继续去求右极限，当x趋向多少一帧？然后异阵的话，你是对谁求极限呢？对这个地球极限。对吧，这个右极限右极限的话，求完了之后的话，这个d是几这是一它等于该点值，你得把e往这带。e往这儿带的话，这个就是b倍的这个e龙一是一，然后是c倍的这个一。然后再加上这个dd这个结果是一好了，

这几个情况我们都出来了，所以说这个a是几啊零？然后这个b是几呢？你得算一下，然后这个c是几啊负一，然后d是几呢d是这个一，然后你去把这个。呃，这两个东西一减是零，那就是b+c，它就等于零，那c就等于多少，你这个b就等于它负的它。那所以说这几个人的平方和这a方加上b方，加上c方，

加上d方，它这个结果就等于三正确答案选c。好，这个题啊，不难哦，这个题。就完全考了分布函数的四个性质。那正无穷的结果就是一负无穷，结果是零，然后是右连续右连续就是右极限等于函数值嘛？所以这个题不是说特别难的题，好再来看看第十题，那第十题这个人呢？他又给了一个分布函数。那给予分布函数的话，

我们来判断一下。那而且告诉我们在这个一处等于四分之一。那么，首先我们先来判断第一个人。不改做不了。不改的话。人家这个人已经又连续了。那就做不了了，你得调整一下。好了，我们来看看这个第十题。那第十题的这个人呢？你首先。中间求导。人家没有说这是一个连续性随机变量的分布函数啊。

不不不，你知识点出现混淆了。人家这个题没有说连续性，随机变量。这是分布函数。这不是概率密度函数，它不具有归一性。你怎怎么能胡来呢？啊，这是分布函数。它不一定是连续性随机变量的分布函数啊，你要注意一下这个问题，好，我们再来看看第十题，那给了一个分布函数，

然后告诉了这个人。那这时候你判断一下，你看首先第一个事情，我们知道正无穷，这个人是一负无穷，这个人是零。所以说正无穷是一负，无穷是零，我们一般都会用规范写和又连续嘛，所以这里面当中你只能进行去用一下，又连续了。那右连续的话，我们先看，你看你挂成了左闭右开这块肯定是右连续，我只有检验负一处，

那在负一处的话，这个人的话就进行去求。负一正，它这个极限负一正，这个极限是多少？是as+b那其实多少就是b-a？然后等于该点值的八分之一好这个情况，然后我们再来进行计算一下什么计算一下这个人。一处值用分布函数求概率就是该点之间取该点处的左极限，那该点值是多少呢？那该点值是一。对吧，然后该点处的左极限是多少？依附依附就是在这儿那，所以说就是a+b。

然后等于四分之一俩人一解就出来了。啊，这个题啊，正确答案你自己选一下就行，对吧？这个是b减a，这个人等于八分之一a加b，这个人等于四分之三。所以说这两个东西一加b这个人等于多少，这是八分之六八分之七八分之七就是十六分之七。对吧，然后这个人的话a这个结果他也出来了。所以把它一选，这就结束第十题来，我们再来看看第11题啊，

继续看他说这个人是随机变量的分布函数。那分布函数。它在零处等于八分之一。然后这个s这个人的概率密度函数，同学们告诉我，只要告诉了这个人，那说明s是什么随机变量？离散型还是连续型？连续性。这是它的标志，只要告诉了概率密度函数，它肯定是个连续性随机变量。然后告诉了概率密度函数，然后告诉这些人，那给了概率密度函数，

让我们去求参数，那同学们告诉我核心方法是什么？非负性归一性，所以这里面当中重点而言，其实就是负无穷到正无穷，然后对这个东西啊，采用归一性。那采用归一性的话，其实就是a倍的这个负无穷到正无穷，然后这是fesds。然后再加上必备的负无穷到正无穷f2 sds=1。那这时候我们稍微看看吧，它本来就是一个概率密度函数，你看你这个人就是概率密度函数，你这个人也是概率密度函数，

你本来就具有归一性，那就说a+b就是一样。因为你这个人就是概率密度函数，你这个人也是概率密度函数，你本来就具有会议性，得到第一个式子。所以这里面当中a+b它不是一的东西，肯定不选，结果一发现全都是。那就没办法了。所以你看我们选项的设置的问题，那这地方当中还有没有条件呢？哎，当然有，我还有一个什么，

我还有一个。f0。那同学们想你这是谁的分布函数？你这是x的分布函数。那就是x这个人小于等于零的概率。能理解吗？你是谁的分布函数就是谁？小于这个点的概率，那谁呢？x那x的这个概率只能通过x的概率密度函数进行求。那是负无穷，到几到零。然后对这个人的概率密度函数进行积分，要注意对象那，所以说就是a倍的这个负无穷到零。

然后这是fs ds+b倍的负无穷到0f多少？f2s，然后ds好，我们先看看第一个人，你第一个人是谁呢？你这个人是一个正态分布，你正态分布的概率密度函数曲线的话，它是这样。你从负无穷七到零呢，那刚好二分之一。然后再看看第二个人，第二人是什么呢？第二人是指数分布。那指数分布的话，它概率密度函数呢？

那概率密度函数小于零，你想想它是个指数分布，它只有在大于零的时候是拉姆达倍的一的负拉姆达s。s小于等于零的数是零呐，你对零积分，这是零呐，所以这个结果等于几啊，等于八分之一，所以a是四分之一。b是多少？四分之三。那所以说正确答案选几选一。好了，这是这个题啊，不是说特别难，

谁都分布函数就是谁小于这个点的概率。那求这个人的概率，这肯定是对他的概率密度函数进行积分的，把这个方向性，你要想清楚。好了，11题我们再来看看，12题来继续吧，看看这个题。这个题其实比较好做。因为他告诉了这个人的概率密度函数，一看这东西都是什么偶函数？所以你就在这里面当中，大致的画一个草图，什么东西都出来了。

好了，这是x这是零，然后这是y。你假设的话，你就画一个标准正态分布又怎么样呢？可以的呀，那么先来看看它说这个任意实数a假设a在这。然后的话，这个是fa，还有一个负a啊，负a在这儿。那么，先来看看这个负一。那傅威这个人。你f负a这个人的话，

他不就是小于等于负a的这个概率吗？所以它应该是这个部分概率。然后接下来我们再来看看fa呢？那fa这个人是小于等于a的概率。哎，小于等于。所以说现在而言，这个部分的概率等于多少呢？它应该等于这块，它是等于这个部分的概率。再减去这个部分概率。你可以这样写。那所以我们在写的过程当中，其实你可以是这样，你可以是fa这个人，

你再减去负a到a。fs ds.你可以这样，但是你发现没有答案呐。对吧，没有完全没有答案，你或者而言可以怎么写呢？这是第一种写法。第二种写法的话就是这个部分。那这个部分的话，就是用二分之一减去负a到零。你这个人几分？对吧，你负一到零。你这个部分也是可以，

你看fa那或者而言，你都知道这个部分跟什么跟零到a这个部分是一样，你这样答也行，哎，我一看有没有有答案选b？好，这个情况。那这题目当中还有没有答案呢？我们再看那还有你发现你这个部分跟这个部分是不一样的。而这个部分是多少？这是fa。所以说这半边的这个fa和这半边的f负a相加，刚好是一。所以它可以等于多少一减fa，但是你发现没有答案呢，

没有答案呢，没有答案不对，那只能选几只能选b。能听懂我的意思吗？你写这个人答案非常多，你可以按照第一种写法。你也可以按照第二种写法，第三种写法，你按照这种写法也是可以的，它可以等于一减fa好了，听明白了给我回复一。这个题不是说特别难，12题。那么再来看看13题好继续。给了一个概率密度函数，

让我们去求常数，那非负性和归一性，那核心重点不就是归一性吗？那负无穷到正无穷。然后这个fs ds啊，它具有归一性，那就算呗，一个事情是负一到0c，加上sds。那还有一个东西是零到一，然后是c-sds，这个结果等于。那一算就行了，你看第一个人的话，这就是c。

二分之一平方是零的平方，减去它的平方，那这是负一，然后这是c，你再减去一个二分之一，它等于一。所以说这个东西是2c，那2c的话，这个人是2c等于几啊c=1，所以正确答案选a。好，这个题非常简单。你这有什么好打点的，赶紧给我取消了。这破题还要打点。

这题没有难度啊，如果这个题不会你得。重学对吧？你得把那个部分重新学一下，那是积分问题吗？啊，知识点问题，知识点不能有问题，积分也不能有问题，好了13题。继续啊，看这个题。那这个题给了一个概率密度函数，说这个k啊，为这个区间内的一个实数，

说小于k和大于k的概率是一样。那你就算呗，但这里面当中你稍微注意一下。你计算概率啊。你肯定是要进行去积分。对吧，对概率密度函数积分，我就问你一个事情，同学们。你告诉我这个key，它会不会在这儿？他不会，为什么你这个时候小于这个点的概率的话，你发现你看如果在这个部分就是零，你大于这个部分呢，

你占了所有。那不可能，你可不能在这儿。也不可能因为这个时候你小于这个人的概率，这是一你大于他的概率，这是零不可能，他只能在中间。你中间哪个部分呢？那我不知道，所以我们要求嘛，所以你假设k在这那这时候的话，小于k好我们来看。小于k的概率呢，其实就是零到k3倍的s方积分，然后这是大于k呢，

你其实只有k到一，然后三倍的s方。ds，那所以说这是k的三次方，然后这是三次方的话，就是一减去个k的多少三次方？二倍的k的三次方等于一k的三次方等于二分之一，所以这题的正确答案选几啊选d？好，这是第14题。所以考的难度系数也不大，但是你要把这个基本问题啊，把它把握清楚，你去看看往年真题吧。其实你去看看那个，

即便是呃，你去看看二一二二年二三年这几年的真题，其实概率论都非常简单。概率都非常简单，都是三门课程当中考的最简单的。那所以说考的那几个选择题，你一定要把它拿下来啊，这个不能丢分啊，不然的话非常划不来。好了，我们来看看这个第15题，它又给了一个概率密度函数，说它的分布函数是这个人让我们去求f0。哎，同学们告诉我这个题的核心考点是什么？

考的是什么？考的不就是给的概率密度函数去求分布函数吗？那首先第一件事情，这个概率密度函数当中有。未知参数，我们先用一下归一性。你先用一下，归一性就是负无穷到正无穷，这个fs ds。它其实只有负一到一，然后对于a倍的根号下一减x方ds，你先积个分。那七个分了之后的话，这个是二倍的。然后这个积分是arc三一。

然后把零和一带进去，所以说这个人就是二倍的a，然后s in多少等于一呢二分之派，所以等于a派。它等于一所以a就出来了，等于派分之一。那这样出来之后，然后让我们去求分布函数。那求分布函数肯定用分步函数定义呗。那分布函数定义我们都知道，如果这个分布函数它其实就负无穷到s，然后对ft进行递积分。还记得怎么做吗？那非常简单，第一件事情拉条线，

然后把这东西改成ft，这是负一到一。然后这个a是多少呢？是派分之一，那派倍的根号下一减t方。是不是这个情况，然后两边都是零。你就从负无穷开始走。但是这个题人家明显只让我去求零处值。你只让我去求零处值，我需要说什么哎？如果这个s。它比这个负一小，我就从负无穷积到这块都是对零基因，如果超过一的话就积满了，

就是一那不用因为人家只让你去求分布函数在零处值。所以说这个时候怎么办呢？我就来进行算一下。对吧，你只用进行计算零，但是f0的话，其实就是多少，就是负无穷积到几，你积到零，然后这是f。fs ds都不用这个，算算多少？就是负一到零，然后等于多少呢？派倍的根号下一减s方ds，

同学们能理解我的意思吗？就这个题啊，考的还比较简单。就是没有说让你去把分布函数的全体求出来，你能理解吗？如果给的概率密度函数让你去求把分布函数的所有情况都求出来，那个稍微麻烦。我们都知道，先写分布函数定义拉条线，拉条线了之后的话，看看那个位置终点到哪，然后对。积分的情况是有多少种？但是这个题人家只让你去求f0，所以说你就没有必要，

你如果求这个不是做错了，是你就做麻烦了。大家能理解我的意思吗？你就做一个部分就行，所以我们来计算一下，那这几分呢？是派倍的，你是阿克塞因s。把负一和零带去。然后接下来的话，这是派分之一，那这是零，然后这个东西呢，你一算就行了，那这是多少负的二分之派？

那所以说这是派分之一，再乘上二分之派等于二分之一，正确答案选几啊？选b。好了，这是这个题吧，我们就讲到这啊，其实有些同学啊，这个题是我出的问题，我出的简单了。有些同学非常贼啊啊，也不不不是批评你意思啊，就是非常聪明。有些同学看的非常准。说你这个概率密度函数，

我求a干嘛呢？我管他呢，你这个概率密度函数，你不是对称的吗？你看你这块是零，你两边对称的呀。你两边对称的话，你小于零的概率不就是二分之一吗？选b呀，就不用做了啊。很聪明啊，好了，15题我们继续看16题。再来看这个。那这个题的话，

他说服从泊松分布。你服从泊松分布的话，你这个人的分布率就能写出来。s=k。然后就等于k的阶乘lambda k次方e的负lambda次方。然后这里面当中你的重点，你应该是把这个人求一下。你这个人在一处的这个概率是多少呢？你算一下一，然后你再算一下多少，你再算一下二，你把这两个东西都算你一的时候的话，这人刚好是兰姆达一次方一的弗兰达。然后等于二的时候的话，这是二的阶阶乘兰姆达的平方一德弗兰姆达。

然后你把它约一下，拉姆达肯定大于零泊松分布的，拉姆达这个参数是大于零的，这你知道吧，你把这东西约一下。你约一下了之后的话，这个留个兰姆达等于二好出来了，然后让我们去计算这个情况，你这个情况的话，其实就是is大于多少？负的根三，小于根三。那大于负的根三，小于根三有几种情况呢？你要注意。

你这是负根三，你倒根三，人家是从零，然后这是一，你这一点七三二，所以你的里面其实只有这两个点。因此，我们要计算这个概率啊。他只用机器去计算两个人。一个事情就是你这个人小于三，其实你只需要进行去计算零，还有这个一。我觉得这个题的核心重点，你要注意一个问题，就是泊松分部这个人呢？

要注意，它是从零开始的。对吧，它是从零开始的。要注意一下这个问题，所以说如果是零呢，我们把它算一下零的阶乘是一二的零次方，那这是e的负二次方。然后一呢一的阶乘是它，然后这个兰布达是二那，所以说是二的一次方一的负二次方三倍的一的负二次方正确答案选几啊选b。好了，16题啊，我们就出来了。所以你要注意，

你考察的这个东西啊，里面的这个情况的范围。好，16题我们再来看看，17题这个题就比较容易了。那这个题的话，其实就是减去这个缪啊，你小于三倍sigma，这是我给你讲的那个三个sigma那个准则。你还记得吗？啊3 sigma那这人怎么做呢？我见到这个东西啊，我立即想了，你不用想那个事情，不用想那个3 sigma，

你知道这是做。你见到这个东西，立即想标准这条花，所以说这个人呢，服从n礼仪。这个人服从案例一。你这个人服从n零一的话，我就可以给这个人呢，两边同时除一个sigma啊，sigma是大于零，你直接除过去，你加到绝对值里面。然后小于三，那么同学们想想这一点当中的这个问题就出来了，你这个人服从什么分布啊？

n零一你这个人服从标准正态分布你这个人的分布函数是谁呀？你这个人的分布函数是？是phi x。是一个固定的分布函数，那所以你这个人的话，如果你服从n零一，你的绝对值小于一个数，你的这个结果就等于二倍的分布函数，在这点处值减去一。那所以这个人呢？是稳定不变的答案，选c要注意啊，这个人是谁的分布函数是n零一的分布函数？好能学会吧，17题你再来看看18题那18题这个题啊，

它给了一个事情，他说这个I服从正态分布分布函数是它。然后这里面当中我们一看看到缪。缪所以这个人的话，他的分布函概率密度函数啊，肯定是关于什么关于这个缪对称。关于这个缪对称，我们来看看这个问题。x加没有？那就说我在这个缪这个人呢，我过来一个x长度，这是x加缪。我回去一个s长度，这是s减明。对吧，

这个这不是s减平，是缪减s。同学们能理解吗？那所以这个长度是s嘛，这是缪减s。所以你注意这两个点，这两个点是对称的。那这个时候我们来看哎，你这个人的分布函数就是你小于这个部分的概率。你这个部分概率跟这个部分概率是一样。所以我们首先看到的f缪减x。其实就是阴影部分。然后我们又看到了谁呢？我们看到的MU+x。小于这个点概率，

缪加s其实是这个部分。那么，同学们想你这两个东西一加是多少？你这两个东西一加刚好是一。所以这俩东西一加应该是。mu-s。和s加没有正确答案，选几选d，不要把它搞错了，对称轴是没有长度，是这个s往过移动往回移动。把这个想清楚好，18题。我们再来看看第19题呃，19题啊，

这个题不知道同学们做的怎么样？这个题其实也不是说特别难。但是你要理解这件事情到底在考什么？你发现他告诉了x这个人的概率密度函数是他。他服从这个分布，它的概率密度函数是它。然后它的分布函数是这个标准正态分布的分布函数呗。然后另这个随机变量是这个人，然后y的分布函数是谁？这就看你的知识迁移能力了。你题型的判定能力了，告诉我这题考了什么题型啊？我们概率论就那么多题型啊。而且你在考场的过程当中，你要反应的非常迅速，

考了什么题型？不可能看不懂的。什么题型？哪块考点？非常好，分布函数法。已经知道连续型随机变量，让我们去求它的函数的分布。不是离散型碎碎片哎呀，这个。你要注意，你看你这个y，你不是也是s函数吗？你s小于一的时候不负一吗？你s大于等于一的不是一吗？

对吧，所以说你要注意这个东西，就是知道一个连续性随机变量，你这个y还不是s函数嘛一样的。这又是什么呢？所以见到这个y啊，立即先写y的分布函数。那其实就是y这个人小于等于小y。那这个小y这个人的话，我们又可以知道他跟s之间的关系，那所以这个人跟x之间的关系，其实这个关系。没问题吧，所以我就要研究这条线啊，这个图在这个人下方的概率，

那这个人图在这个人下方的概率的话，我们接下来我们画一下。来画一个这个图。你画谁呢？你画这个大y和这个大S。所以现在而言，这就是大y，然后这是零，这是大S，它这个图像是多少？它说小一的时候是负一。好，我们来画一下这条线。小于一的时候是负一。大于一的数是一。

然后这个人挂在这儿。好，它们两者之间的关系，然后这个点是一，这是负一。那么，同学们告诉我，它的概率密度函数。它永远都是什么？它都在这个r上。对吧，永远都在这条横横线上都是一样的，因为你这个人的定义域，他的概率密度函数其实其实不用写啊。你写一下也行，

根号下二派一的负的二分之x次方，你这属于r的。告诉我分位点有几个？定点定出几个点？你负无穷到正无穷，概率密度函数没有分界点，那就没有，那就最大值和最小值呗。那就两个人。所以这里面当中，我们就写了第一个事情，如果这个小y大于等于一。你大于等于一的话，你发现诶，你这个人的下方呢，

你是占有所有的，你所有的话，你发现这个人就是一呀，你第二事情，你这个y小于负一的时候。你这个大y小y，你的下方有没有没有啊？那这就是零啊。所以我们现在我们真正要做的是什么y大于等于负一小于一的时候。那这个时候我们其实就是这条来条线，这是小y。这条线的下方是哪？这条线的下方就是这个部分。你这个部分对应上去就是一，其实这个时候。

它其实就是x小于等于一的概率x等于小于一的概率不就是x的分布函数，它在一处值吗？能理解吧，就是你s小于一的概率就是s分布函数s分布函数是这个人呐。你在一处值那，所以说这个题正确答案就出来了。然后小于负一是几呢？你看大于这个，你这人不对，这人不对，你这都不对，对吧？你这题答案选几选a？学会了吗？其实还比较简单的一个题就是关键点，

一个问题就是有些东西看不出来。你说我要写一个y=s^2，你能看出来y跟s之间是函数关系？我要写一个y跟x是四次方，你也知道是个函数关系，我要写个最大值最小值绝对值分段函数。有同学疯了。这不我上课说过了吗？你要是什么最大值什么最小值什么绝对值什么这种东西，它不也是一个函数关系吗？能理解吧。它还是个函数关系，把这个事情想清楚就行，好19题来继续吧，我们再看20题。

那这个20题啊啊，这个题啊，不是说特别难？因为你发现你这是一个正态分布。你这也是个正态分布。你这是两个不同的正态分布。两个不同的震态分布是没法比较的。因为分布不一样，比如说你是个连续性随机变量，你分布不一样，你的概率密度函数曲线是不一样的，所以我怎么办呢？我把它画成同一个。我让这个人减去缪一比上sigma 1。它就变成了n零一了。

然后这个y这个人我减去一个缪二，我比上一个sigma 2，它也变成了n零一了。你告诉我，现在这两个人的分布一样不一样。一样就是你这个人和这个人，他的概率密度函数曲线是一样的。然后现在给的这个人，你可以做一个恒等变形。你怎么恒等变形的话就是这个x减去这个缪一，你比上这个sigma一，然后它小于什么，你小于sigma分之一。然后这个时候两边同时除以一个sigma，这个人是不变的。

这是没有任何关系的，你再比上个sigma二，然后小于sigma二分之一。我有两种做题方法。第一种做题方法就是有些同学可以直接看。对吧，方法一。从理论角度上做，就是你现在这个人是服从什么？你这个人服从标准侦探分布，你也服从标准侦探分布。一个服从标准正态分布的随机变量，它的绝对值小于个数。就等于二倍的标准，正态分布的分布函数在这个点处值减个一。

等于二倍的这个人。它在这个点处减个一。好，我问一个事情，请问一个标准正态分布的分布函数，它是单调递增还是单调不减？你回答我这个事情。单调递增还是单调不减？严格单调例子。因为你想想一个事情，我这个人的概率密度函数是这样。对吧，我这个概率幂的函数这样。你在这这个负一数值，你是这么多，

你零这个什么负多少的数值，你是这么多，然后再再来，你越多越来越多。它不是不减，它是越来越大，严格单调递增。这怎么可能不减呢？就是学东西要学透它，你不要不要光卡住这个名字。让这个东西影响你的发挥。你想想它的概率密度函数曲线。它是这样，你在一处，它就是这么多。

你在二处，他就是接下来加上这么多，你明显比他多，我就明显比你多，这个部分不可能是零的。你越大越大，越大越来越大，越来越大，它这个情况你所以要想清楚好了，这是一种问题。你严格单调递增，你就比它大，然后这个东西就能推出来sigma 1，你就比这个人小好了，这是一种方法。

那还有方法吗有？就是我在这里面当中，你要注意你这个人和这个人，你这俩人都是服从n点一，你这俩人的概率密度函数曲线一样还是不一样？你这俩人的概率密度函数曲线都是这条。都是这条。那这个时候你发现你这个人小于他的概率。就是这个部分的概率。然后你这个人小于他的概率，我也不知道在哪，我现在随便画你你，你忘掉刚才那个人在里面还是外面好了，我现在问你一个事情。如果这里面当中，

我把这个人看成红色行。告诉我红色线这个点对应的是sigma一分之一还是sigma二分之一？你去看谁大呢？那很明显是sigma 2这个大啊，sigma 1这个大sigma 2这个小，那说明你这个sigma 2这个人的话要小一点。嗯sigma 1这个人要大一点，那所以说这个人看的非常清楚，你这个人就是要比他小。那所以说你这个人就是比他大，那所以正确答案选几啊，你二更大，你选b呗。能听懂我的意思吗？所以要注意这个方向，

把这个方向先想清楚。因为如果是不同的正态分布没法比较，我画成同一个正态分布，你可以从理论角度上而言。我这人服从n零一，我这个人绝对值小于这个数的概率，我就是二倍的，这个人减一。我也可以通过图像来画你这个人的图像是谁？你这个人图像谁也都可以好了，这是20题。可以了吧？好，再看21题这个题。啊，

最后一个。看一下这个人，那么这里面当中他给了一个事情，他说这个人的概率密度啊，他是这个人。然后在一处取得最大值。然后则它的这个。概率是多少？那么像这个题啊，我觉得诶没有a是不是啊？这个前面应该有个a哦。啊，有个a。好了，我们来看看这个人，

你像这个题的话，我们其实可以稍微操作一下。你看到意义什么东西，你会怎么想我？包括我看到这个答案，我都知道，我肯定会往正态分布上想。而且他在一处取最大值是他，所以说这个人呢，你就非常简单了。因为我们都知道这个。概率密度函数啊，就说如果你这个人服从正态分布。你这是music，马蜂。

如果你这个人服从正态分布。我的概率密度函数。是根号下二派sigma e的负的2倍的sigma方x-mu^2。然后这个人呢，他的有一些特性啊，当然的话，我们今天讲这个东西啊，你将来做模拟卷的第一套，你会碰到这。它对称轴是缪。然后当什么情况，当它缪的时候，它是最大。最大值是MU处，MU处最大是多少？

是等于根号下二派sigma。哎，是这个人。能理解吧，所以说这个时候我就知道诶。这个任务往上面凑一下，你看是不是它，如果是它，它就绝了，对吧？这个最大值是它，那这个这个是系数。然后这是多少呢？负的呃，然后这个是缪缪的话，

这是x减去多少一的这个平方？你下面这人我不知道，我看试一下呗。你在这补一个二。对吧，你可以在这补肝。补一个二的话，这个来一个根号二分之一，然后这是二倍的真人分之一。对吧，二倍根号这个分之一平方刚好是它。所以你就把它做一下，你一做的话，你发现诶是不是他呢？你把这个人的话，

你去乘一下，这是根号下二派这个人。e的负的x- 1^2，它刚好是它。它是能做出来的，所以这个题我觉得。嗯，也行吧，对吧，反正就做成这样，你做成这样的话，你要了解清楚这个问题点到底在考什么？所以说这个s就服从多少缪是几一sigma是它平方呢？是二分之一。所以就是x减去这个缪比上这个sigma是它。

然后这个人服从多少服从n零一。那因此我们来看看要求的这个概率，你怎么去求啊？你就把它进行去整理一下，把这个x- 1移过去。对吧，移过去。把这东西移过去了之后，两边再是同时乘上这个人。两边同时乘上这个人的话，这人就是负一，你这人就是一。所以说这个时候就变成了x- 1，比上这个人，他的绝对值小于一的概率。

一个服从标准正态分布的人。它的绝对值小于这个数，它就等于二倍的标准，正态分布的分布函数在这个点处只减一。好了，所以说这题的正确答案选几啊？就选b。啊，这个人好了，这是这个问题吧？哦，哪个？哪个是二啊？哦，厨艺堂。

嗯，减去个一。除以它哦，这是负二啊，不好意思。for这个人，所以正确答案选几选d？哈哈哈。好了，这是这个吧，你自己算啊，把它一算就行，所以这个坑啊，原本是坑你们的啊。结果把我给坑了。

好了，这是这个吧，所以说如果嗯，自己注意一下那个事情啊。好了，这是这个题吧，我们就讲到这儿啊，所以这是除啊，其实就是两边同时乘嘛，对不起。所以这个今天这个部分内容我们就讲到这，所以下去啊，你把这个相对应的这个问题点呢，你好好处理处理。行吧，

那么今天这个部分内容我们就讲到这，你这个还要吗？这个今天的话，这个答案一会也有，你可以自己进去去看，这个答案也行，我觉得这个写的也挺乱的啊，就就算了吧。这个好了，那么今天课程呢？我们就讲到这，所以你把这个还要啊。那行吧，一会我给你导一下吧，导出来之后啊，

你自己下去把它看看。第五题。取到两个次品前。你看吧，你去你说明的话，你那那说明你上课那个题的话。也没有掌握清楚。啊，你说明上课那个题没掌握清楚。你自己要注意这个事情，他说。啊，什么意思啊？哦，两个次品之前。

已经去到。不是啊，你你想想一个问题啊，你没有保证第五次是次品。你怎么保证这个东西是第二次，两次，次次品之前呢？不是，你一定要想清楚这个问题，没有问题的。你一定得保证最后这个必须是次品，你想想一个事情，你如果你自己好好品一下，这个事情就行了。你这个东西只算了什么？

你这个东西只算了。前四次当中是一个次品，两个正品，就说你没有最后一个你，你假设这个东西你不成。你也有感觉啊，那那那说明这个问题，那不不能这样，不能老是左右摇摆啊。你假设你不成这个不成这个人的意思就是我在四次当中摸到了一次次品，两次正品。能听懂我的意思吗？你要想清楚。第五次是正品，那也是两个次品线。

你在你在讲什么呀？啊，你这个人敢是正品吗？你这是个正品的话，你发现你怎么保证的话啊？这个我发现你这个那还是一个理解的问题啊。你如果第五次你是正品。你这个人敢是正品吗？你这是正品的话，你怎么保证这是第二两个次品？之前哪有两个次品？你比如说我第六次是次品。你这是两个次品，之前它不是两个，它不是什么？

它不是说我有三个正品，我是四个正品的呀。能能听得懂我的意思吗？注意，只有第五次是次品。然后你才能保证是什么呢？你保证然后的话，这个前面四次当中一个次品，三个正品，你猜是什么情况？你猜是两个次品之前是这个情况。你自己如果想不通，你就把这个东西你假设这个人是正品。你这是正品的第二次次品在哪？你假设第二次次品在后面。

你这第二次次品在这儿，第二次次品之前，它不可能是有。这个什么三个正品的，你这就有有问题了，对吧？好了，这是这个人。不不不，你这个有点咬文嚼字了。这跟第二个这个加个弟字，没有任何的关系。这个题出的是非常严谨的。啊，非常严谨的就是两个次品之前。

不不不，需要不需要不需要不需要加。那就是两个题了，没有歧，一点歧义都没有。你自己换一种说法吧，两个次品之前。和第二次取到次品，这是两句话，你是个中中文，因为它又不是写的英文。对吧，就是你要注意，这是两种说法嘛，你第一种说法就是第二次去到次品，

你这是一种说法，你还可以这样说，我说去。取到两个次品之前，这不是一样的吗？这有什么区别呢？语文能力啊。这不是数学能力啊。好好理解一下。好了，那么今天这个部分呢？我们就讲到这，你自己下去把这个相对问题啊，好好处理处理对吧？这个今天这个点呢，

我们上的这个概念。概率当中的这个第一个部分，你下次过程当中稍微注意一下，我们后面的话，那个还有一次概率，那个概率讲完之后，我们应该是。去讲这个线性代数，还是讲那个高等数学，你去看那个课表安排。好不好？好那么今天课程呢？我们就讲到这儿，刚好讲了一次这个习题课，注意啊，

这个习题课不是说一定要听。如果实在是嗯，没有时间呢，你还有很多东西没有进行处理，你就进行重点，听你自己有问题的题就行了。不是说这个习题课每一个题你都要需要进行听啊。好了，那么今天啊，我们就说到这可以吧？呃，这两天不好意思啊，然后因为嗯，这个这两天的话不是定那个稿子，定定稿子最后的话，

所以说这个一直我没有进行去校核一下。所所以说这个今天应该是昨天晚上才给你们发过去啊，所以说这个今天过程，你把这个内容做做清楚就行。好，那么今天课程呢？我们就讲到这，然后下次啊，我们是看那个线性代数对吧？还有那个线性代数。还有这个啊，概率论的后面部分，我觉得每天刚才我做的规划，你还记得吧？你应该是每天都有事情的，

你不能说我哪天没有什么事情，应该是每天我们都有自己的事情的，这两天就好好复盘。对吧，把每天该做的东西要做到位。你曾经如果有些忘掉的东西，把它捡回来。等你把这段时间修炼到位了之后，你下个阶段就可以做做这个套卷了。那行吧，那么今天我们就讲到这儿，然后最近应该是有四五次这个习题课啊，如果你有问题的话，你都可以过来听。好同学们好，

那么最近啊，好好加油吧，好我们今天课程呢，就讲到这儿下去好好进行，把相对问题啊，好好梳理梳理好，下节课见吧。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册