05.强化决胜300题精讲【5】

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:54:40

好同学们，行，那么接下来我们就准备开始吧，那么今天我们就继续针对这个昨天晚上没有讲完的这个题啊，我们把这个后面的几个题啊，我们再。重点跟同学们做一个主题的精讲啊。好，可以听到声音吗？可以听到声音给我回复个一啊。刚下课，然后这个连贯性还挺强啊，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个昨天的这个剩下几个题。我们昨天刚好讲到这个87题，

对吧？讲到这个题，那么接下来我们来看看这个题目的内容啊。那这里面当中啊，它给给了一个什么情况呢？给了一个分段函数。然后这里面当中给了一个变现函数。然后问这个东西的连续性和可导性啊，这个非常简单，你研究这个人在这个什么？研究这个人在这个零处。其实你只需要在研究什么，只需要研究这个里面在临床。那里面这个在零处什么情况？你的左极限是负一，

右极限是一，很明显是个跳跃间断点。所以如果里面这个人在这个点处是跳跃间断点，第一类间断点，你外面这个人呢？在这个点处是连续点。而且它的左导数等于左极限，右导数等于右极限，你左右极限不相等，左右导数不相等，很明显不可导。因此这个题啊，正确答案选几啊，连续但不可导选b啊。那么，

接下来我们再来看看下一个问题，88题呃，这种题其实我们考的还挺多。给了一个变形函数，立即会想到什么求导呗，那么所以说这里面当中方程两边同时求导，那这边求导的话就是。上限移进去就是s方，然后再加上s三次方。然后上限再求导的话就是2 s+3倍的s方，然后这半边呢就是三倍的s方。然后接下来让我们去求二那求二的话，你直接令这个s等于几一一的话，这就是二，然后这是多少这是五。

然后这个结果是几是三，所以说这个结果五分之三选c。可以吧，来再看下面的题。那这个题啊，可能有些同学做的没有做那么的好。呃，这个题啊，它其实明显的还是挺明显的。因为你这个上下限当中跟派有关，那这个人的周期就跟派有关。你想想这个s in 2s这个人的周期是多少？它的最小正周期是派，当然派是周期二派，三派也都是周期，

你coss绝对值这个人呢，他的最小正周期啊也是个派。那么所以说你这俩人的最小正周期都是几啊，都是排。因为你可以扔一个s加派进去看看。你扔进去了之后，第一个人不动。然后第二也不懂你，所以说这个人的周期就是牌。那既然周期是派的话，我们来看看这个事情来坐下。那么，现在看这个上下限长度，这个上下限长度刚好是二排。所以说我们来可以写了负的二分之派到二分之三派，

这个上下限的长度是两个周期。对吧，上下限的长度是两个周期。那所以说这个两个周期刚好是二拍。那因此，我们在等于什么东西呢？我也会等于零到二排，那这个上下限长度也是两个周期，二排它们相等吗？只要上下限的长度啊，它等于什么这个周期的长度是一样的，它就行，然后零到二倍的周期又等于二倍的1倍的周期。好了，现在这个上下限的长度是周期。

然后再来看看里面这个人，他也是具有奇偶性吧，你既然具有奇偶性呢，你再把它变成对称区间负的二分之派。到二分之派，这也是一个周期。那所以说这个结果它就变成了一乘上coss的绝对值，然后再加上s in 2s，你再乘上coss的绝对值。好了，做成这样，那做成这样就简单了，你发现这个人是个什么区间对称区间，你对称区间，这是个奇函数。

那奇函数等于零，因此这个人是偶函数就等于二倍四倍的一半，然后这个coss绝对值。ds，而这个零到二分之派的时候cos in这个绝对值啊，它是正的，就是这个人，我讲过这事儿吧，这个部分的面积是一。所以这个结果就是四正确答案选c啊。呃，这个题啊，你一定要做的好，完全考到周期性。只要上下限的长度等于被积分函数的周期，

它们都相等。当然的话，如果你上下限的长度，你等于的这个周期的倍数是一样，你们也会相等好这个点呢，非常重要89。那么再来看看90题，这个题啊，这个题就比较简单了。你见到什么cos in和一相同我们讲过吧，只要cos in和一相同，只要cos in和一相同，二倍角公式干掉这个一。只要s in和一相同，把一写成平方和把这个人写成二倍角，

完全写呃，这个写成完全平方式。那所以这个cos 2 s+1呢，你就可以把这东西啊写成什么写成二倍的coss方？减个一加个一，这就没了。那所以这个人呢，立即做成这样。那么做成这样了之后的话，你继续看那么剩下的这个部分呢？其实就做成了你这个人的话，不就是零到四分之派。然后这是x。这个人分之一的话，刚好是二分之一，

然后这是second平方ds。对吧second平方ds。那这个second方的话，这个人可以凑到后面去变成tangent。对吧，你这个东西一凑变成tangent，然后就可以分步积分法了，所以这个题不是说特别难，往后你别凑，然后进行分步积分法就出来了。好，这个题是个常规题啊，你应该能处理的清楚好，我们再来看看91题。呃，

这个题啊，有些同学可能做的不是说特别好，我们先来看看里面这个人，里面这个人是s- 1x在怎么？加个一那这个人是个什么情况呢？你其实你发现你画一下这个人图像。它其实可以穿针引线法。然后的话，这个部分它是零，然后这是负一，然后这是一。对吧，这是这个情况，那么这个人画图的话，你发现他其实就是这样的一个板块儿。

我们现在只看哪儿？只看这个零到二。零到二的话，这一段它是负的，这一段它是正的。你所以说这个积分呢，你要进行去绝对值，你就要把它写成多少零到二，那这个部分的话就要写成。零到一，然后再加上多少一到二？零到一的时候，这个人是负的，所以说就等于相反数那相反数的话就是s倍的一减x方添个负号呗。然后这个部分呢，

它是正的，那就是自己的本身x方再减一倍，你把这个分一一就出来了。这个积分不难吧，都是非常简单的分。啊，你想清楚这个东西要分段，那就可以了。好了，我们再来看看92题，这个题跟刚才的一样啊，重复了再看这个题。那这个题啊，其实考了一个什么事情呢？就考了你这下面这东西是什么？

你下面这东西是as方加上BS+d，你是二次。你上面这东西呢，是个一字，你就要把上面这个东西啊写成下面的导函数。结果我发现下面这东西的导函数是多少呢？你这个东西的导函数刚好就是2 x+2那完美。那说明上面这个人刚刚好，所以说这个结果就是负一到一，你配个二分之一，他刚好是二s加二。然后这是is方加上2 x+2，你上面这东西是它的导函数，你把这个导函数凑到后面去，其实就是is方加上2 x+2。

好，这个人呢？变成他因此这个结果是二分之一ln多少x方加上二x加个二。然后这个人呢，把负一和一带进去，那一代的话，这个结果就出来了。来，我们来看看。那么，这个人的话，你发现把一带进去，一带进去的话，刚好是ling 5。然后再把负一带去。

负一带进去的话，刚好是一ln一是零，所以说这个结果等于二分之一倍的ln五答案选a好，这个题还是比较简单的。来再来看这个题啊，这个题可能很多同学做的，不是说特别好。我们看看这个题。那这个题的话，给了一个什么？给了一个复合函数的导函数。你在这里面当中，你可以把什么把这个原来的这个人呢？求出来，你就先把这个导函数求出来。

导函数求出来之后啊，然后再给这个人进行积个分，不就这个人出来了吗？那这个人出来，你再求这个定积分就非常简单了。所以我们这个做题方式啊，是这样做的。那么，先来看第一个事情，已知复合函数怎么去求原来函数呢？你就换原把这个换一下，那换了之后的话，这个s是多少？s是e的t。那么所以说这个人一是1s是一的体，

但是后面的范围呢？我们来看看这个事情。这里面当中知道x的范围，我们去求谁呀？我们去求这个t的范围。好了，这个t啊，它跟x之间呢是ln的关系。好，这是一个x这个人，那么他们之间是一个ln关系，我们现在看。现在这个里面当中的这个第一端。第一段的话就说这个x是从负零到一。你零到一的话，

这个人其实就从多少从负无穷到零，你所以说这个人呢t这个人怎么办？就小于等于零。如果你这个人是一到正无穷，我就是零到正无穷，我t这个人就大于零。好，这个人那分段函数求原函数也非常简单，分段点y直接集啊这个，然后你再把它换成x。你再换成s，那换成s的话，这个人的话就把他变成了f撇s，大家能理解吧，就是多跳了一步啊，

这个结果就做成这样。那做成这样了，之后的话，你发现我们继续看，那这样就是加上c1s这个人呢，小于零，然后这个东西啊，你换成s。一亿的s，这个人加上c2，然后这个s是大于零，你而且还要连续。连续的话，这个人的话，我们看看左极限，

这个人是c1右极限，这个人是多少右极限，这个人是。一+c二。而且这个f0是几呢？你看这个人其实就是左极限右极限，它要等于函数值。那函数值是几是一连续嘛？那所以说这个人呢？马上出来，那说明c1=1。c2等于几零？那因此这个fs这个函数啊，它就出来了，它等于s+1，

然后这是s小于零。然后这是e的s，那这是s大于等于零。好了，求出这个点。那求出这个人怎么去求上面这个人呢？比如说那我把s- 1求出来太麻烦，你要注意啊，对于定积分而言，具有超强的换元能力。你就仅需要在这里面当中把s- 1换成t1换，这就是负一到一，这是ftd t，然后这东西就是负一到一。这是fs ds就出来了，

然后这个人是负一到零是小于零，你小于零的话是x+1，这个人积分。然后这是零到一，这个人是大于零，对这种积分一记住出来了。好了，这个题啊，就结束了，跟得上吗？所以说这个题你把它一算，本题就结束好94题，这个题我们就讲到这来，再来看看下面的题95题。呃，

这个题比较简单。它有一个原函数是它，所以说这个东西啊，它就等于原函数的导函数乙酸。然后这个题的话，遇到抽象函数导函数，你就把它凑到后面去分步计分法，所以第一件事情把这种导函数算出来。然后第二件事情呢，你把这东西先凑到后面去，分步及分法，你看你这个东西就是两个人相乘呗。然后这个东西呢，其实就是fs的积分fs积分是多少？其实就是这个人。

这个能看懂吧？应该想清楚啊，就说你这个前面这个部分的话，它有一个原函数是它导函数就是它。对吧，导函数这个结果。然后接下来这个抽象函数导函数啊啊，这个撇儿打错了，打在这儿。你把这东西凑到后面去，两人相乘呢，你代入进来，然后这个人积分就是原函数。啊，一做就出来再看这个题。

那这个题考的什么呢？那这个题就考的是被积分函数，你发现这个人考的是这个人。被积分函数这个人是个变现函数的定积分计算，我们都知道是使用分布积分法。使用分布积分法，但是我们都知道，如果直接分布积分法，你这两个人都跑到后面去求导了，不行我先把这人补到这儿。这题没做出来，你得非常好的自驱一下，这跟上课讲那个题没什么差别啊，那么这个时候的话，我们来看看，

这是二倍的零到一。然后这是fsd I根号s。然后这个结果就是两项相乘。再把零和一带去减去两项调换位置根号s，然后只是dfs。好，我们继续看。那这个时候的话，你把它带进去零带去零，然后看1f一是多少？一的话，这是一上下线相等，这是零。所以说这个前面结果是零，那因此等于负二倍的零到一根号s在这儿，

然后就是这个人进行求导。那求导的话就是上限移进去，那就是平方的话就是s上限求导二倍的根号s分之一ds。你看这个东西和这个东西，这个东西约掉了，所以说最后结果那就是e的负s把零和e代就出来了。好，这个题非常非常简单啊，我觉得应该能做的很好。对吧，这样的一个基本题啊，你注意被积分函数是变现函数的定积分计算问题。96题过去了，可以吗？来再看下面一题97。

那97题这个题啊，他考了一个事情，他说这个里面当中是个分段函数，而且告诉他是在这点可导。导函数不知道连续性，然后让我去求解分段函数，在分段点处的导数，你就用导数定义呗，然后s趋向零。然后这是gs-g零比上s- 0，那这个g0是零啊？所以说这个时候就是I趋向零。然后用这个部分。它就带到这里面。然后是这个部分就是零到s是t倍的fttt，

你这个东西要除以三次方。所以说这个人呢，我们就可以怎么办？使用一下洛必达法则一落，这是3x方，这是x倍的fx。那这个人的话，他就是三分之一limits趋向零，然后这是x分之fs。然后f零是零，你在这减一下，你在这减个零不是三分之一倍的f撇零吗？好这个人呢，他就出来了，所以正确答案选b，

但这个题做的不快。如果你做这种抽象题啊，你做的非常有感觉，你就直接来呗。你就练一下。你只要能举出一个在零处可导，而且f0是零的例子就行，你举多少？不要举零，你举零的话，你最后的话，你发现这个abcd啊aeb选项是排除不了的。你就取多少，你就取x。就取s了之后的话，

这个他这个人是多少？你举零的话，肯定不好嘞，对吧？这个人的话，他就变成了我们来试一下。这是x平方。然后这是t乘TT乘t就是三分之一t，就是s三次方s不为零s等于零的话就是零。哎，你发现这个结果不就是三分之s吗？你三分之x的话，不为零是它，你等于零是零刚刚好，然后这个人的话，

我们就知道在零处的导函数等于多少。三分之一哦，在零处的导函数等于三分之一。而你在零处的导函数等于一，所以说等于多少三分之一倍的f撇零，你看这个东西就不对，这个东西不对不对不对，答案选几选？选b好了，这是这个事情。其实这个选项也排除不了，因为你你你还不好排这个。对吧，你这这个选项还不好排。你还得再换一个，

你再换一个，你再做一下，它就出来了。能听懂我的意思吗？就是你选择一下啊，这个这个选项比较刁钻的，一个点的话，这块有个三分之一，你这刚好是一，你刚好三分之一。对吧，老师做也行。这个选项不好排，你得再换一个。啊，

注意一下这个事情，97题来再来看看98题。呃，这个题不难。一个函数由方程确定，隐函数呗，隐函数求导先给这个方程两边同时对s求导一。呃，这是t啊，这是打错了，你把它给我改过来。啊，这打错了，然后先把上限移进去。不然的话，

这个题就没啥可做的，负的多少呢？x+y的这个人的平方。上限再来进行求导，上限求导呢？一加上多少？一加上这个y导它等于零。然后这个东西两边再求导，所以说你先两边同时求一下，两边再同时求一下，就有二级导。然后把这个东西啊带回去就行。能听懂吧，你再求呗，那这人求的话，

前面求都没了，然后这里就是先对这个中间变量求导。然后这个中间变量再求导呢，那就是负负得正，然后的话是二倍的多少？x+y。然后中间变量是一+y导，后面这东西不导。然后再加上前面这东西不倒。后面来导y的两极导等于零。然后接下来就是带你往回带就行，那么首先第一件事情，你先把这个s=0带到这儿，这是零。然后这是负的，

一到ye的负t方dt=0。你只有上下限相等，那所以说x等于几0y等于几一往这儿带往这儿带了之后的话就是多少，你再往上。是一减去e得多少？那这个东西是负一次方。然后这个是再乘上一加上多少y导它等于零。那所以说这个人是一+y到这个人等于多少？你把这东西乘过去，就是一减一。好e- 1。然后接下来再看第三个人，你往里面一带一带的话，这是e的多少呢？x+y是一次方。

二倍的这两个一加是一。然后这是一加上它，这是一一加上它是一再减去一的多少负一次方。然后这个部分是两极导数，它等于零。所以说这个二阶导数的这个结果啊，你忘会一×2倍的一的四次方。诶，是这个人吗？哦，这是s负的x+y诶。这是一个负号，对吧？不好意思啊，这块有个负号。

这是一个符号，抱歉啊。那这个部分的话，你发现是一的多少？一的负一次方二倍的，它二倍，它二倍，它一的负一次方两个东西就约掉了，刚好就等于多少？二倍的乙方，你选a啊。像这个题的话，没有别的，你就算就行了，对吧？

你就反正就是隐含出去的方程，两边同时求。然后方程两边再同时求求两下，带两下就出来了，你像这种题我们还没有怎么设计，我们以前考的这种隐函数求导的问题啊，都是显函数。你像这种隐函数啊，它还没怎么出过。好了，这是这个题目，然后接下来这个题啊呃，你稍不尽情去改一下，因为这块敲错了，这块是二啊。

把它改一下，这是二。那么这个是二啊，我把这个二这个结果我们来讲讲。你要知道，这是y等于根号S曲线向右移动，几个单位向右移动，二个单位是这个人，然后我们要过这个点p这个点。做他的一个什么线，做这个人的切线。哎，做这个零切线好了，这是二，然后这是一。

那么切线的话，我们核心重点就要把这个切点设出来。设下这个切点。那这个切点的话，我们来看看这个点。就这个点，这个点的坐标是x0。然后根号下多少x0再减二好了，这是这个人那么首先我们看。这两点之间的斜率公式呢，你就可以写是根号下x0-2。这是它的发音。然后再减去这个零比上这个x再减去多少，再减去这个一。好，

这是两点之间的斜率公式，因为你这个点是一零点嘛。y2-y一比上s2-s一，然后就等于这条曲线在这个点处的导函数曲线导函数多少？等于二倍的根号下它分之一。然后把s0带进去，就刚好是这个人分之一，那所以说这个对角线一乘是二倍的s0-2。等于x0-1，所以说这里面当中啊x0就出来了。那这个结果等于几等于三？所以这个点呢，立即出来了，它等于三。它等于三的话，

然后让我们去求解切线抛物线。切线，抛物线和x轴之间的面积，那就这个面积，那这个面积的话，它就出来了，大的面积，大的面积是二分之一底，这是二。高是几呢？你把三往里面带，三往里面带的话，这是一。在这再乘上一。就二分之一啊，

这是底乘上高，你再减去这个人，那这个人是多少呢？是从二到三。然后到对这个根号x- 2再对谁呢？再对x进行解部分。对吧，基于这个人。其实这个人的话，你可以换个圆。对吧，这二到三根号x- 2 ds，你就直接令根号x- 2=t。所以s就等于t方再加个二。一换的话，

这人是零一换，这人是一，然后这个部分是t，然后d它呢，就是2 tdt。所以说这个东西啊，刚好其实是三分之二，所以说这个人刚好结果是一减三分之二等于三分之一，所以正确答案选几选c。好了，这个题啊，其实你要稍微注意一下，对吧？过这个人做切线围成的面积。好了，

想清楚给我回复一吧，这是99，我们再来看最后一个题。那最后一个题啊，它的这个问题点它是这样。就说平面的话，这个有那当然是一样。你你不用改了吧，你就按照我这个题做就行了，因为你把如果你再改成这个零改成了，你是相当往过平移了一下嘛，面积是不会发生改变的。好，我们再来看看这个题。说什么东西呢？

这个平面有些区域啊，是由这个人围成。那么上面这个东西是个抛物线。啊，这是个抛物线。然后这个部分呢，它是个圆。哎，这是个圆。你所以说让这两个东西啊，它刚好相等你这个焦点刚好是解，其实是一。因为一的话，你刚刚好，然后这个部分是负一。

因为这个部分x方加上y方等于二。然后的话，有些区域由这样东西围成，它让我们去求解这个区域绕着x轴旋转一周。哎，你绕着x轴旋转，一周不就二倍的一半吗？对吧，二倍一半。那么，绕着s轴旋转，一周的旋转体体积公式，这多开心呐！那其实就是走零到一。派倍的上面这条线大的区域转一轴。

你要注意。这条线。它其实就是这个区域转移轴那派倍的，它的平方是多少？是二减s的平方ds？再减去零到一。派倍的多少是这条线，这条线的话就是这条线围成的区域，那这条线的话多少它的平方是四次方ds。好，这个你把这东西一算本题结束。所以说这个结果最后的这个体积一定就等于这个人。所以像这个问题啊，难度系数不是说特别大，你自己下去把这个问题的内容啊，

你好好处理一下就行。行吧，同学们好了，那么今天啊，我们就讲到这儿吧呃，刚刚好还相差了这一点点，我们增加了这个时间给同学们继续去把这个问题啊，去讲一讲。行吧，那么自己下去好好进行整理吧，那么今天部分内容我们就说到这儿。所以核心的重点呢？这个题啊，我觉得还是自己做错的东西，好好进行去梳理梳理啊，

这个东西还比较重要。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，早点儿休息吧，好，明天见。

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