04.强化决胜300题精讲【4】

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:54:27

行，那么接下来我们就准备开始今天课程吧，首先我们先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。呃，那么今天晚上我们就针对这个决战300题啊，我们做一个主题的精讲，那么上次过程当中我们刚好讲的这个决战三。对吧，第三次作业，那么今天我们来重点来把这个第四次作业，

还有这个第五次作业，我们来跟同学们做一个主题的精讲啊。呃，还是这个问题啊，因为今天晚上讲的这个东西啊，比较多一点，我们刚好刚上了一节课程，如果你这个习题啊，你没有提前完成。啊，你可以等到这个后面完成了之后再来听，如果你觉得今天晚上的课程的压力比较大，你回头过程当中重点再来进行去听就行。当这个习题课也未必说，你一定要听，

你可以进行去重点听你自己有问题的题目，那就可以了，好了，那么接下来晚上我们就直接开始吧。呃，今天晚上可能得讲到11点多啊，所以说希望大家好好进行听一下，把自己有问题的题啊，好好进行去改正过来。好了，那么接下来我们先来看看这里面当中的第一个题啊。先来看第一个问题。那这个题啊呃，我们先来看看它。他说这个fs啊，

具有二阶导数，然后这个f撇儿零是零，然后说趋向零的时候啊，这个极限等于负一。那其实的话，你发现这个极限的话，就是x趋向零，然后这里面当中给了一个二阶导数，应该是比上x这个结果等于负一。但这个题啊，有些东西故事做的不好。其实这个题如果我在这里面当中啊，把a选项改成零，估计出错率会更高一点。那么，

有些同学可能是这样做，说这里面当中很简单，当x趋向零的时候，下面极限是零，那上面这个人的极限结果也是零。然后又说这个极限等于函数值，大家注意啊，这东西啊，就出错完了。人家这个题说的是具有二级导数，也就说二级导数是存在的。那二阶导数存在，未必说二阶导数是连续啊，所以你发现你这个点其实有问题。能理解吧，

所以这个题啊，如果把a选项改成二级导数零=0，估计有些同学出错率更高一点了。当然，如果出这种题，比如说我们出成圈儿，一圈儿，二圈儿，三圈儿，四对吧？下列当中，正确的个数是哪几个？你看这种出错率啊，可能会更高了。所以一定要注意把每个点呢，

一定要学透了，那是出错的，你就把它给我排除，如果这个东西你自己做错了，一定改正过来。好，这是第一个问题。然后有些同学可能在这里面当中就继续了，说那如果是这个样子，那就太简单了，那所以说这是二级导数，所以说这个二级导数零是零。对吧，你发现他说二阶导数零是零，我就在这减一下，

那这东西不就是三阶导数零吗？它等于负一。你要是这样进行做呀，哎，这东西就错完了。其实你发现这其实很多同学的话，估计会犯问题的点，因为你这里面当中的这件事情其实不行。对吧，然后这件事情不行的话，你就导致了这件事情不行。所以要稍微注意啊，万一把这题改成了这种题啊，你就稍微小心一点，这包括出了好几个选项，

有些同学估计选这个东西啊，你就选的选正确的个数，你就选错了。所以有些同学可能在这里面当中跟你说二级导数等于零，三级导数不为零，所以选拐点也把这个正确答案选对了。但注意啊，你这个方向有点儿问题啊，这个方向。那么，这个题究竟应该怎么做呢？这个方向肯定不行，那这个题到底应该怎么办呢？我们来看看这个事情。那么，

其实我们在这个上课过程当中啊，讲这种问题讲了很多。其实你发现在这个极值和拐点这种问题当中。尤其是题目当中告诉的这个极限。如果这个东西的这个极限的性质啊，用不了，我可以想到饱和心，因为你这个部分不是小于零吗？你这个部分小于零，我就立即会想到一个事情，在这个去心灵域当中。对吧，零的去心领域当中，你这个人呐，你就会小于零。

好了，你这个人呢？在这两个范围内都小于零，而在这个范围的时候s是大于零之比小于零，那说明上面这东西就小于零。然后这个东西是小于零知彼小于零，那说明上面这通西啊什么零大于零。那说明在这个点呢，两侧的凹凸性发生改变，当然是拐点，对吧？它就是一个拐点，而且这个人呢？你发现一个事儿，二极导数是存在的。

那这个函数在这个点呢，肯定是连续答案选c。好了，这是这个问题，当然像这种抽象型的题啊，你也可以怎么办？你可以进行举例子。啊，我们也可以通过这种举例子的方式来做。你可以怎么办呢？你就娶一个人。谁在这个零处的导函数是零呢？那你想想，而且还能满足一个事情，你还而且还得满足x趋向零，

然后这是x这是二阶导数这个之比啊，这个结果是负一。对吧，这个情况那所以说这个人的话，你就想想二阶导数，我就取谁呀，我二阶导数，我就取负x。那所以说这个一级导数的话，我们就取负二分之x方，然后这个fs我就取多少？然后的话，这个人再积一个分，那就是负六分之I三次方，我就取这个人，

我取这个函数为负的六分之I三次方。它在零处啊，就是零那这时候我们看它的二级导数零处等于几呢？那二级导数在零处啊呃，很明显是零它不对。那二级导数零也是存在三级导数零呢，也是存在，而且这个函数。图像是这个样子。那寒冰线在临处啊，不取极值，那是不是拐点呢？左半边是凸，右边是凹，那这人当然是拐点，

你把这人排除，你只能选c。能理解吧，你像这种题啊，也可以举例子，因为举例子的这个逻辑感是完完全没有问题的，你排除了四个人，那最后一个人呢？一定是正确的好了，这是62题，这个题过去了可以吗？你要注意刚才过程当中啊，一些错误的信息点，它是怎么样的一个问题点，你都要把它梳理清楚。

好了，62题我们再来看看63题。呃，这个题啊，其实你发现我们先来进行去抽一下这个人当s趋向零的时候，这是二阶导数比上一个二分之x方把二分之一乘过去，就是这个人。那么所以说在这个题当中啊，它的一阶导数在零处等于几零，那么二阶导数给的这个极限，当这个题最快的话，你发现。还是进行举例子，你就举多少呢？你就举这个二级导数等于多少？

二级导数就等于平方。然后的话，这个人应该是二分之一x方，然后这个一阶导数就取多少呢？一阶导数的话，其实就是六分之一x三次方。然后这个fs这个人呢，你就取二十四分之一s四次方。好，这是这个问题，那么这个问题的话，你发现它是一个四次方，你四次方的这样的一个曲线的话，它是这个情况。对吧，

那在这个点处取什么？很明显是个极小值，对吧？极大值不对，拐点也不对，你说不是拐点也不对，无法判定也不行。你这种情况就能判定呢，你所以说这题的正确答案选几啊，你就选b。对吧，我们就可以这样处理，所以说大家注意这个方向性呢，你把它想清楚，你能排除四个人，

最后一个人肯定对的。好，这是一个方向性，那如果想直接做呢，我们再来看。那这个人的一级导数等于零，那二级导数呢？我们先看看，因为分母极限是零，所以说能推出分子的极限是零。而这个题具有连续的二级导数，那二级导数连续那这个人怎么办？我们就说明二级导数在零处啊，也是零。对吧，

二阶导数在零处啊，也是零。那这个二级导数在零处是零，那么在这种当中我怎么办？我能不能看三级导呢？好像也不好看。那在这里面当中，我们又会想一个事情，是不是会想到保护性呢？你只要看到这个极限，如果大大于零，那就说明什么，说明在这个去心灵域范围内。你这个二级导数这个部分呢？都大于零，

而下面大于零，那说明二级导数你在这个部分大于零，你二级导数在这个部分呢？也是大于零，那这个大于零的话，之后我们再来看，那说明一阶导数是什么？一阶导数是单调递增。而一阶导数在零处是零，你在这半边儿连续导又单调递增，单调递增，那说明这半边儿是负，这半边儿是正。那因此，一阶导数在这个去心领域两侧是异候的。

去心邻域两侧是异号的，那就说明它一定是取积值。二级导数在两侧是同号的，一定不取拐点，所以是拐点肯定出错了。那取极值呢？左边减右边增，一定是个极小值，正确答案选b。能理解吧，好这样做，你也能把它做出来，就是你按照直接法做，还是这里面当中举特例啊，当然举特例这个速度会非常快。

你做这种东西做熟了，你以后见到这种抽象型的问题啊，你要想。抽象性可以具体化。好了，再来看看这个64题吧。那这个题啊，首先第一件事儿，我们要去求最大值。那一般情况下，求最大值是怎么做的呢？我们先来看看这个人的定义。这个人的定义域是什么呀？要注意它的自变量是x。一个定积分而言，

上限可以比下限大，也可以比下限小，也可以跟下限相等，所以说这人的定义域是r。那求这个最值的问题，首先第一件事情求极值。那求极值的话，叫求助点。和book的熬点。然后接下来再进行去判断出来它的机制，再看端点。那有端点的话，你发现这个东西它没有端点的话，它在这里面当中怎么办？我们就求极限。

但是这种情况，如果是连续函数，我们只用进行看，我们先来瞅一下吧。先进行做机制，反正要求导你拿到这种题的话，先求导你导一下，这种是标准型，里面当中就没有什么没有s标准型，你直接求。你求完了之后的话，你再来看你这个东西有没有什么它，其实的话，这个一阶导数它这个人的话是e的，负x方这个人永远正。

二倍的，然后这是s那这是二减根号，这个什么？根号二减s，然后这是根号二加s。好像这样的一个问题。那么，像这样的一个点的话，这个前面永远是真，你后面这个东西你可以怎么办？你稍微穿针引线一下零这个点。负根号二这个点，然后这是根号二这个点。当x大于根号二的时候，这个人是正的，

这个人是负的，这人是正的，所以说是负的，从下往上传。好了，这个人那因此我们就知道了，那就说明在什么情况呢？在这段的时候是负的，这段是正的，这段是负的，这段是正的。那么所以说这个函数的图像就是我们先剪下来。对吧，减到呃，这个什么增到这儿，

然后再来减减到零，然后再往上增，所以这里面当中我们就稍微的进行去看看这个事情。你发现那这个点是多少，我们就来做了，你把这个东西啊，你就直接看就行了，你在这个部分怎么样？这个部分怎么样？这个部分怎么样？我们刚才已经看清楚了。所以说这个人的单调性呢，你就出来了。因此，我们就在这一段的时候是单调递增，

这一段的时候单调递增，这段单调递减，你所以说根据这个图像的一个情况，你也能把它看出来。然后这是多少负的根号二，然后这是二，这是零，我先从这儿增到负的根号二，你随便画吧，你增到这儿。然后你就画，你再再减减到这儿，然后再增上去。对吧，然后再减下去，

那这个时候的最值的点呢？你发现如果去取啊，要不然就在这个点，要不然就在这个点。你大致画个图像呗，因为我随便画的很多，说那二最大啊，这个根号二最大，那不一定。你就大致的进行去画一个草图，我知道是这种情况，那你进行去把根号二和负的根号二，你求一下，结果发现这两个点是一样的，那说明什么情况，

那说明就在这个点出取最大值。你注意啊，人家这个题是最大值为多少求的是y，所以说这题的正确答案选几选a啊？那么就害怕有些同学选了b了。不是最大值点，是最大值求的，是最后的y。好，稍微小心一点，能听懂吗？掌握清楚给我回复一。那么，有求解这个最大值，不就是先求极值吗？

你求极值的话，你发现你进行去判断一下这个极值问题，你再看端点。你这个端点的话，因为这个单调性都出来了，它就非常简单，所以像这种题，你先求导再说好，我们再来看这个题，这个题稍微的巧一点。有些东西做多了。那这个题的话，其实就是求解这个隐函数的什么？让我们去求解这个隐函数的最大值。隐函数的最大值啊，

我们先进行干嘛求极值，所以这里面当中第一件事情，隐函数先求个导。两边同时求导，得到这个人，然后接下来我们去解这个注，点解这个注点直接定这个一阶导数等于零，我们就能解出什么？你就能写出y=2 s，然后把这个y=2 s往这上面一呆。你就能解出这个时候的s这个人，这跟上课的思路一样吧，隐函数求极值嘛，所以同学们注意，这是极值的可疑点。

也是最值得可疑点，你发现这是不是可疑人呐？能理解吧，哎，这是个极致的可疑人。啊，可疑人那这个极致的可疑人的话，求出来之后你再来看看这个人的封闭的情况，他有没有端点情况？你就不用看了。反正就是这个点，要不是一这个点，要不是负一这个点，那么所以说最终的这个它是一个封闭的啊。对吧，

它是个闭环的。它不是有一个边界，你像这种东西的话，它是一个封闭的一条线。你所以这里面当中只有嫌疑人，只有几个嫌疑人，只有两个，那嫌疑人只有两个的话，你就把它带进去，哎，这个东西求出来一个y。一个是二，一个是负一，然后这个求出来一个y是负二，一个是一有同学说那老师。

那函数不应该是一个s对应一个y吗？你怎么能一个s对应个两个y呢？同学们，这是隐函数。你就比如说举个例子x方，加上y方这个人。你画一个圆。那这一个x也能对应两个y呀？你所以注意这个事情，人家说的是这条曲线，人家没有说这是一个这个函数。当然，你确定隐函数的话，你要发现是这样的一个情况，还是这个情况，

因为你发现你确定函数的时候有可能是根号下一减x方，有可能是y等于负的根号一减x方。对吧，没有端点嫌疑人，只有这两个人。把一带进去的话，这个最这个值一个是二，一个是负一，一个是负二，一个是一，那你告诉我最大值是几最大值不就是二吗？那所以说这个人的话，他的最大值点是多少？就是一二这个点出来了。选a啊，

那这个题啊，一点bug都没有。这个题是个非常严谨的一个题。非常完整的题，你就看看你有没有做出来这个问题。因为这个东西是一个封闭的曲线，你求这个最大值，你先找嫌疑点嘛，因为它没有边界点，我就找嫌疑人。那这里面当中没有不可导点，只有注点，注点是嫌疑人。只有这个驻点有嫌疑人，有的人在这纠结的说诶函数不是一个x有一个y吗？

你注意人家这是个曲线。你把这个事儿你好好想想，那所以这个题啊，直接带了啊，这个题估计有些人做的不好啊，还是个比较新颖的一个题。那么，接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题。啊，好了吧，这个点我们就讲到这。可以了吧，来继续吧，再看。

呃，这个题啊，有个同学说的这个问题，你说的没有问题。也可以直接看选项。就是你去看看这些人。在不在选项当中，你就发现一个啥，这里面当中最大的是谁呀？呃，最大的是二。那最大的是二，你就要看看这两个点。它在不在这条曲线上，你往上带。

你带进去了之后的话就是一减二。对吧，然后再加上四。那一减去多少呢？只是二+4，那这东西等于三吗？等于诶，这是可以的。那么然后就像在检验这个人呢，你其实都不用检验了。因为你发现这个人成立了，说明这在这个点上，而且这个人的话就在选项当中，最大的你选a很有很有这种做三九六的同学，这种题的感觉啊。

很有技巧性啊，非常好，非常好。好了，那么接下来我们再来看看66题，那这个题啊，你要注意啊，这个中间得改成和。啊，得改成和。那单调区间这个题啊，我们继续来看。啊什么bug呀？什么bug啊？这个，

然后我们再来看看这个题单调区间那求解单调区间呢，首先第一个事情你就要进行看定域。这定义域啊，平方大于零。那平方大于零的话，就是x方这个人是大于零，那就说明x是不为零的。好了，这是这个人那么，然后接下来我们去求解这个单调增区间，我怎么办？我先求导那求导呗，你一求到之后的话，然后把这东西啊。划分成若干个区间。

那这时候你画，然后这里面当中就是x，然后这是y道，然后这是多少这是y？你要注意啊，它等于零的点，它有x等于二分之一x等于负二分之一，但是不要忘了。这个东西是不可导点。所以说这个人的话，你要分那负无穷到多少负二分之一，然后这是负二分之一。负二分之一到解到零零零到二分之一二分之一，然后是二分之一到正无穷。好，

先看上面这个人。那这是负二分之一，然后这是二分之一。如果是小于负二分之一的时候，你是正的，那说明上面是正的，你下面是负的，那这是负的。然后是二分之一到零的话，你下面这人是什么？你下面这人是负的。然后的话，这个上面这人是负的，你下面这人是负的负负得正。零到二分之一的时候，

你这段是负的，你上面是负的，下面是正的，那这人是负的。然后最后一段你是正的，我是正的，它是正的，所以说这是减，这是增，这是减，这是增，然后的话，这是什么零，这是极小值。然后这个是不存在的点，

然后这是零，然后这是极小值，然后这个函数在零处有没有定义呢？你要注意这个函数，在这个点处没有定义。你说明什么情况？零这个点是什么情况？零这个点是不连续的？所以这个东西啊，剥取机制，你下去好好品一下。你要是个极值，你想想你这个点得比左边大或比右边大，你这个点比左边小或比比右边小。你这个点得有人。

你这个点天然的没有定义，你不会去机智的。你所以说这个题的增区间是多少负二分之一到零和什么二分之一到正无穷答案选c。好单调区间的做题思路，你得有。看定义域求导，然后找到注点，不可导点划分，若干个区间。如果这个函数有定义，左边增右边减，左边减右边增，它都是机制，如果这点没有定义，就算左边增，

右边减，它也不取机制。这是要注意的，那么接下来我们再看67题。要求极小值点，先找注点和不可导点，那就求导呗，那一求导的话，求成这个人。那求证这个人的话，你发现有没有导数为零的点？当然有五分之二这个点。但是也有没有导数不存在的点，你要注意这个东西，它写的应该是xk三次方分之一，

它还有个不可导点。因此啊，你这都不是嫌疑人，你这都不是嫌这个什么，不是嫌疑人，不是嫌疑人，那不会选这两人。那正确答案肯定是在b和c当中选。对吧b和c当中选就说你可疑人，你这个点是个注点，你这个点是不可导点，只有这两个嫌疑人。那这两个嫌疑人的话，我们稍微进去去看看。零这个点的话，

你稍微进行抽。那么，在这种当中，我们进行去瞅一下这个事情。对吧，你直接进行看的话，嗯不不不，是PK哦，你是不是胡扯？那极小值点可有好多个极小值点，不说这个，两个谁小就谁是极小值，那纯属胡来的。你要是PK出来，你就做错完了。

那不一定啊。极小值不是最小值。这是要切记的，那所以说这里面当中我们就是x，然后这是多少呢？从这个负无穷到多少？到这个零，然后这是零零到多少五分之二，然后这是五分之二，然后是五分之二到正无穷。那么再来看看这个y导，然后这是y。那这半边的时候，这个人是负的。那这个人也是负的负负得正。

然后的话到了这半边，这个人是正的，这是负的哎，这是负的。你再来看看下面这个事情呢，你再来到这个大于这个五分之二的时候，你就会发现这个人是真的。然后这个大于五分之二呢，这个东西啊。也是个正的。所以说这人是增，然后这是减，这是增，所以说这个东西是个极大值，这是个极小值，

所以说极小值点是谁呀？极小值点是五分之二。好了，这是这个问题。没问题吧，第一个点。这是67题，这个题求极小值的这个问题啊，我觉得还不是说特别难。找到注点和不可导点好判断正负性，我们就用第一充分，如果进行求二级导数值呢？求二级导数值啊，你就用这个。第几充分，

第二充分。好了，这个问题啊，我们就讲到这。可以了吧，好下去好好想想那么，然后接下来我们再看这个题啊，取极小值，那还是进行求呗，那么先找注点和不可导点求导位。你求导到这儿了之后的话，你发现有没有导数为零的点呢？这是二级的。我来求吧，这个题答案粘错了，

那这个求导的话就是前导后不导。对吧啊，年对着呢，对吧，前面不倒，后面来倒这一阶倒，然后这个结果的话，把这个什么二的s提出去，就是一+x倍的ln 2。那这个人没有不可导点，只有一个注点，只有一个注点是多少呢？s是负的ln二分之一，同学们想想。这只有一个可疑人吧。

只有这一个嫌疑点，那只有这一个嫌疑点，肯定是在这块学，你这都不用看了，对吧？你很明显选a。只有这一个嫌疑人。那么，可疑点只有这个人，别人都不可疑，就不选了。好，再来看这个题，求解凹凸区间第一步求啊，这个判断这个函数定义域这个函数定义域是大于零。

第二步，求到二级导数。那么，求到二级导数之后啊，找到二级导数为零的点和二级导数不存在的点来，求到二级导吧。那么，然后接下来我们就来看看这个人。找一下这个人为零的点，你发现这个为零的点。这是对着吗？是这个吧？那么所以说这里面当中，我们就让什么为凸区间，你其实都可以直接做你凸区间，

不就是让这个什么？让这个人小于零嘛。对吧，小于零你或者直接看你来找一下，那么这里面当中让它等于零的点等于零的点只有一个就是一。一的话，其实你发现你看罗音这个人，他是这样，这是一零到一这块儿是负的，二阶导数负的它是。对吧，它是凸的，然后这个一到正无穷的话，它是正的，它是凹的，

所以应该是只有零到一答案选c。好了，这个题啊，我们就说到这。那么，接下来我们再来看看下一个问题，你再看这个题，这个题啊，创新性的题。对吧，这是我专门编的一个题啊，创新点的题，那么在这个题的考点当中啊，考了一个什么事情呢？你发现它的核心重点就考了这个事情，

你注意啊，这个呃编了一个题，这个题的话，你下去好好想想。他考了这个。呃，就是我们所进行去求解的凹凸性的这个定义。那凹凸性定义啊，我们来看看。如果你这是ALT键。你随便的在上面进行去取两个点a点。还有这个b点。那这个时候的话，你把它连接起来。这个时候，

它的终点在哪？它的终点在这。所以说这个时候我们就可以进行去比较一个事情，你发现这个点出的值比这个点大。那上面这个值等于多少呢？它等于fa和FB这个中位线就是二分之多少fa？加上FB。然后这个东西应该是大于这个什么终点值，只要你这个什么a和b不相等的时候。它一定是这样，所以如果这个中位线的干高度值啊，就是这个两个东西端点的平均值比这个中点的函数值大。它其实是一个凹曲线。所以说这里面当中，你看第一个人。

第一个人，第一个人，其实要判断的是二分之多少a的三次方b的三次方。它大于到多少二分之a加b的三次方？所以说这个函数应该是谁呀？这个函数啊，其实是三次方。那我们就来看看中点函数值这个什么中位线高度高度值比中点值大，那这个二阶导数啊，应该是一个什么大于零是个o曲线，你试一下呗。那你就求个导一阶导，求下两阶导，一阶导是三倍的s方，求两个阶导是多少6s？

而且这里面当中，我们来看看。那这里面当中啊，你就要进行做了。这题没有告诉。诶，没有告诉这个正负性吗？噢，告诉了a和b都是大于零。对吧，告诉我那么这里面当中a这个点和b这个点取的都是大于零，所以说这个人是all的。因此啊，这个部分的这个曲线是凹凸。那order的话，

你取了这两个人，那你发现中点函数值肯定没有中位线函数值大，它是对的。然后再来看看第二个人，那第二个人的话很明显取的是a的什么四次方b的四次方，你大于什么东西啊？二分之a加b的四次方。他就考这个人，所以这个时候的函数取的是什么s四次方，你取求两阶导数的，之后的话你发现s大于零的时候还是大于零。还是odd你还是对的。然后这里面当中，我们再看d选项，那d选项是二分之一的a加上e的b，

你大于多少e的二分之a加b？你所以说这个函数是多少？你这个函数是e的s，你再怎么求导的话，它还是es，那这个东西啊，还是大于零，你还是对的。所以说这个题的正确答案应该是在c和e当中选。c和e当中选的话，你会发现这两个人的话什么区别呢？一个是a被lna+b被lnb。然后这是a+b，然后是a倍的lna+b，你这个人怎么做？

我如何处理呢？你发现一个事儿，这个a+b的这个人，这是AB lon ga。然后这是BB lo MB对非常好，你看这是稍微的话进行改了一点点嗯，非常好。所以说这里面当中你发现c选项和e选项，我只需要给它同时除一个多少除一个，这是a被lna。b倍的lnb，然后这个东西的话就是二分之多少a+b，你看吧。有感觉啊，你这个感觉非常的好。

所以这是这样的一个情况，然后这个人是多少呢？是l多少二分之a加b？是不是这个问题，所以说这里面当中啊，我们就继续看。那么，这种当然不需要，我需要知道a和b大小干嘛呀？端点值中位线值你a谁大？这有什么关系吗？你自己去画一下不就行了，对吧？你学到这儿，你自己可以检验的。

你就算这个a小a大一点b小一点，你自己做的那个结果是一样的。你随便取，我们说你这条线的话，你发现你无论是从小取到大，你怎么取它都是这个情况。永远都是这两个人的中位线和这个中点处的函数值，它没有关系，你注意你是个强化班同学，你要有这种想法的话，你去试一下不就行了。不要喜欢拿来主义，好了，我们再来看看这个问题，那你想这个东西的话，

它不就是二分之fa。然后这是FB，然后这个东西呢a被lna二分之，这不二分之a加b，所以说这里面当中我要判断的这个函数是谁？就是x倍的lns。那么所以说这里面当中，我们就要进行求导，那前导后不导前不导，后来导，这是一然后再来进行求导，这是s分之一，这大于零。那说明什么？说明这个曲线呢，

它还是个凹曲线，那说明这个平均值的大小比这个中点函数值大。好的，所以这题的正确答案你选c啊，这都对答案选一。呃，这个题啊，出的这个点呢，方向性是我们在这个几年过程当中很少考到的一个问题，你把这个事情梳理清楚。一定要注意，这是70题。那么再来看看下面一题渐近线。那渐近线就比较简单了，你第一件事情先看垂直渐近线呗，

那没有定义的点是几啊，没有定义的点是零。所以第一件事情，我们先进行去算了，我来求吧，那么先进行求零。啊，那么求零的话，你发现这是limit多少x，然后这是l这是一加上x分之一。那这个极限等于多少呢？你这个趋向零的话，你这是零，然后这是无穷大你，所以说这里面当中，

我们把它换一下零x分之一等于t。你一换的时候的话，之后就把t就趋向无穷大，然后这是多少ln 1+t，然后这是t，你可以落下。一落必达的话，这是t趋向无穷大，然后t加一分之一，这是零。那这是零不是无穷大，没有垂直渐近线。然后再来看看第二件事情。你还有没有污定一点呢？你这里面当中的话，

如果进行再进行看的话，还有没有五点这个题藏的非常好？其实还有一个人。你这个l这个人的话，他是不是得大于零？你比如说这个x=- 1，它是不是也没有啊？对吧，你这个s=- 1这个题。啊，当时编这个，这个点的话。还是挺贼的啊。那么，在这个负一的话，

你发现打到这儿的时候，这个是love 0，它也没有意义，所以说这里面当中，你再来看看I趋向负一，这个估计很多同学没有看到啊。那负一的话，这是limits多少一加上s分之一，那前面这个人是负一，然后这是loe零，这是无穷大，这是的。那所以啊，你只要少一个这题就出错了。然后接下来我们再来看看无穷大。

当x趋向无穷大的时候的话，这是x倍的ln一，加上x分之一，这是零。对吧，你趋向零趋向零的话，这个人的话就等价无效，它这是一。那所以说这东西算几条两条水平吧，两个方向都有水平，那就两个方向，不用看斜两条选c，估计很多同学都选b去了。好了，这个问题啊，

我们就讲到这儿，所以说这些啊，正确答案选c啊，注意一下来继续再来看72。那这个题的话，首先我们先看第一个点，你在这里面当中，我们先看水平吧也行，你求解水平渐近线的话就趋向无穷大对这种求极限。你把这个通一下，那么这个时候你就可以抓大头，上面是三次方，这是二次无穷大。趋向无穷，大是无穷大，

那说明没有水平渐近线。然后再来看看有没有垂直渐近线呢？那这里面当中有无定义点正负一啊？你就在这里面当中先求一下趋向一。你趋向一的话，第一个极限是一，你把它抽出来，你下面这个部分是零，上面是一，这是无穷大。然后这个极限是负一，你把它单算了，然后这个下面是零，上面是负一无穷大，那这个人呢？

有垂直。然后再来看看斜渐近线，那么斜近近线这个人的话怎么去处理呢？我想过这个事情，你能不能依然抽出来呀？我讲过这个问题啊，就说。如果这个函数。它能写成as+b。然后再加上一个f。其中，这个fins是趋向无穷，大方向上的无穷小量。好，那这个时候的话，

你发现一个事儿，那这个前面这个东西啊，其实就是它的一条。啊，斜近一些，所以说这个时候你发现当x趋向无穷大这一项确实是对应的。那这一项确实是趋向零的话，前面不是斜进线，所以这个东西出来了，你也不用单独算了，你算出这个是一，然后这个人啊。啊，算出这个第三个人，你就眼睛丑就行了，

好，这是不对，所以正确答案选几啊选b。能理解吧，你可以用眼睛瞅。它只要能写成直线，再加上一个趋向无穷大方向的无穷小量，那这东西啊，它前面就是它的行进线。你说这样一看就出来了，好再看下面这个题。那这个题啊，它在这个区间零到一内有两个时根。有两个实根的话，其实就说我们这个函数有些同学是这样做的，

我们来看看。这个函数直接这样设。你直接这样设的话，我们就要设这个函数，在这个零到一当中有两个交点。有两个交点的话，你发现你去研究一下这个单调性结果的话，这是3x方减去3a，然后变成了三倍的x方减a。你发现你看你做成这样，有些同学就这样做，你这样做的话，你进行去讨论的时候，你会发现非常的恶心。恶心点在哪呢？

你这个人的单调性是看不出来的。你这个a你先要讨论是大于零还是小于零等等一系列问题，这就做麻烦了，你看你这个东西不好弄啊。对吧，你这个东西不好论，所以一般情况下你这样想没有问题，就拿到这个题，我先这样设，没有问题，但是一旦做到这儿不好做的时候，你要想清楚这。这有问题的。那这个题最好办的方法怎么办？我们当然是分离参数法呀，

你可以把这个a分离出来，其实就是3 s- 1。然后这个部分的话是零到一。零到一这个区间的话，你发现3s减去这个一呢？那这个部分它肯定是怎么办？你比如说这是零，那这是负一，然后的话，这个是一，这个人呢？那这人是二。那这个东西的话呃，能不能为零呢？三分之一的数是零吧？

你所以说在这种当中，你要稍微进行小心一下这个事儿。就说三分之一这个点呢。当x怎么办？当x不为三分之一的时候。你是可以把它除过去的。对吧，当x等于三分之一，你一会儿还要单独看你，所以这里面当中我们先设一下这个函数。这是不为三分之一处的情况。然后这个时候啊，我们会得到这个点。得到这个点了之后的话，你发现我们来找。

这一点当中有没有注点呢？有注点它的注点是二分之一，这个点它的不可导点是三分之一，这个点。好，这是三分之一，因此我们根据这个东西来看，那根据这个东西来看的话，你发现只是x，然后是零到多少三分之一？然后这是三分之一三分之一到二分之一二分之一二分之一到一。那然后这个东西是y导，然后这是y。那这个部分的话，你发现你小于三分之一，

你其实小于二分之一，你这个东西永远是正的话。对吧，其实你没有影响我真正有显影响的是二分之一，所以说这个二分之一这个人的话在二分之一之前的话他都是负的，都是负的，你这个是正的。你所以说这个人是减你减，然后再增。能理解吧，好这个零，然后这是个极小值，然后这个东西啊不存在。啊，这是不存在，

因为在这个函数这个点没有定义，那所以说这个函数啊，大致的图像我们就可以研究一下了。s这是零，这是y。然后这个函数先减，你先要进行看零，你趋向零的时候的话，你发现当s趋向零零正的时候。你这个ifs极限上面是三阶，下面是一阶，这是零。那我就要怎么办？无限的接近于零，我要减下去，

减到谁呢？一直要减到二分之一。减到二分之一。然后减到二分之一。你还要进行求一下这个什么一这个人。那一这个人的话，你就发现你直接算一的时候的话，下面是多少是二二分之一，你还要算一下这个什么二分之一？那二分之一处的话，这个结果上面是八分之一，然后这是二分之三一减，这是二分之一，这是四分之一。所以啊，

我们要减到什么？是四分之一吧。九个，这是零到三分之一减。然后这时。一一的话，它是个二分之一，然后这是。二分之一。二分之三二分之一。诶，这个怎么使？这一段的时候。减减到三分之一。先减到三分之一，

但是从三分之一还得继续减啊。然后我们来看看这个事。你这个部分是正的，你这个部分是正的。然后这个东西的话，它只要是在二分之一之前，是不是都是辅导那正负性由你控制？对吧，由你控制，那么就是减到三分之一三分之一不存在。三分之一的话，结果是多少？哦，这个问题点的话哦，这个题有点难了。

你说实话，这个题有点难。就这个题的话，你自己去做的时候，有的学习同学可能把握不好啊，这题有点难。就说你这块三分之一的话，我们先减。你求下三分之一的这个极限。如果是三分之一小的时候，你这个人就比零小。对吧，就是你去求三分之一处的这个人的左极限的时候，你这个人就比零小比零小的话，这个人的极限结果他。

它应该是个负无穷，所以我们先减到这个负无穷。好，这个点，然后接下来我们再怎么办？如果这是limits趋向于三分之一正的时候，这个题有点难了啊。那这个时候的话，你发现下面比一大，这是正无穷，所以说这个时候啊，你就会发现一个事儿。这个东西把它再怎么办？再减到二分之一，那二分之一处的话，

它刚好是减是四分之一。然后接下来从这个部分呢，然后再走到一一的时候是二分之一。好，这是二分之一，这是四分之一。那么，在零到一的这个区间当中啊，它有两个根。那么，首先你还得验一下这个三分之一这个情况。三分之一，这点我们已经研究清楚了，那我们就不用管了。对吧，

反正这个三分之一这个点呢，它没有什么用，你就不用管了，那么这个时候的话，你发现你能进行去解两个焦点的时候。这个人呢？他马上在这儿。所以说这是这个题当中的难点了。对吧，能解两个点，一个是四分之一，一个是二分之一，对吧？四分之一到二分之一。呃，

这个题啊，不好做。不是特别好做，所以说这题正确答案选几啊选一。啊，不好做，那么里面当中有陷阱，你陷阱的话，其实就是三分之一这个点。所以说对于这个题而言呢，我们首先第一件事儿，我们先分离这个参数的时候，你就要进行看这个人跟这个人的焦点。对吧，跟这个人的交点。

然后这个如果就是一个三分之一的话，三次方等于零。你想想，如果当x等于三分之一的时候。那三次方就等于零，那这个交点是在零处，它就不在我这个区间内，我就不会管了。所以我们重点来讨论，不为三分之一的时候，这是这个题当中的难点。你这这个这是陷阱呐啊，这块儿。你小心一下，这个三分之一啊，

把这题标出来，你下去好好做一下，就分离参数的时候，你要部位，它才能出过来，你等于它的时候，你往里面带的话，你就发现。诶，三次方等于零。那s=0是个根，那s=0是个根的话，侵略没用，我们要怎么办？呃，

它这个焦点的话就是三分之一的话，它在零处是一个根。对吧，你这个是s等于三分之一。啊，这个应该是没有根。没有根当s等于三分之一的时候，你往这里面带哦，这个东西不对哦，这应该是不成立。当s等于三分之一的时候，你左边是三分之一的三次方，然后的话右半边是零，这不相等的不成立，所以说s等于三分之一啊。

不满足三分之一不是根。你就永远可以除过去，所以细这一点应该是这样，不为三分之一除过去等于三分之一带上去诶不成立。说明三分之一啊，它是s不会为三分之一，这个根不会是三分之一，那所以说我立即把它除过去。出过去可以走。这个题难度系数大啊。你下去好好想想。那么然后你发现这是一出去的，它都说在零到一嘛，你这个点的话应该是不取，所以说我们就是从四分之一。

然后到多少到这个人？那么，接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题点，这是73题，有点难，你再看这个题，这个题就没那个题难了。那么，对于这个题而言，他说有两个焦点。那有两个交点的话，你发现你就把这个东西啊，其实就是x-cos x倍的s in，然后这东西加上k。

那么所以说我就分离一下，这个三数我就重点来研究一下这个函数。对吧，研究这个函数。那研究这个函数的话，你就发现它有两个焦点，我们研究这个图像呗，那么前面是2s，然后加上这个三音。那么，前导后不导，加上前面不导，后面来导，所以说这个结果它就做成了2s，然后再减去多少？

再减去x倍的这个s in这个结果。然后这个人的话就是s2减去这个s in这个结果。那么做成这样了之后的话，你继续来看那二减三也你这个部分永远是正的呀。那所以说它应该是受到零控制。那就说明s小于零的时候，这个导函数是负的。然后s大于零的时候，这个导函数这个人是大于零。那么说明这个函数怎么办？说明这个函数先减减到零啊，这个什么先减到零，然后再从零走。那减到零的话，我们来看看零初值那f0是多少把零带进去，

零带进去了之后的话，这个结果。其实刚好其实就是前面是零，这是负一。好，这是负一，然后再来进行去看看这个。呃，趋向于负无穷和正无穷。当s趋向于正负无穷的时候，你告诉我这里面当中，你看你这个人肯定没有平方大嘛。你这个人的话，你肯定没有平方，大平方是老大，

所以说这人应该是正无穷。那么所以说应该是从正无穷减到这儿，然后再上去。那么这个东西跟k有两个交点，两个交点的时候的话，很明显你就只要比负一大就行了，所以正确答案选几选c。好，这个题还挺简单的。对吧，你研究清楚这样的一个图像，就是我判断出来单调性，然后再来看看端点处的情况，然后一画图就出来了。好了，

这是这个题，再看75题。那75题这个题啊，那么首先我们来看看那这个题分离参数不好分，那我们就试一下呗，能做就做，你做不了再换方法呗。那这里面当中的三次方，加上as+b。结果的话，这个人。啊，哪个求导？签到或不到。哎，

这个函数。前导，后导。哦前不导后来导，这是cos的吧？啊，这是cos in。然后这是二减cos，也不影响，对吧？好了，这是这个问题，你把这个东西想清楚，然后接下来我们再来看看下一个点。你把这个点的话，

你发现你单拎出来。你单拎出来，你试一下，你就像刚才那个就是又受到刚才那个题影响，能出来就出来嘛，你刚才那个题是要讨论零到一那个题。你就求导你三倍s方加上a，而你这个a是大于零，你看你这个人大于零。对吧，你这人大于零。你真正大于零的话，你发现它就严格的单调递增。那严格的单调递增，我们都知道应该是。

至少有一个，而且你发现这是什么？至多有一个啊，三次方程呐。三次方程都知道，至少有一个唯一，有一个这个点我们上课讲过，你可以试一下嘛，你试端点，它受到这个人控制。你受到这个控制的话，你趋向负无穷的时候，它肯定是负无穷。然后的话，趋向于正无穷的时候，

你受到这个人控制，正无穷。然后增上去，那在这里面当中肯定只有一个焦点，但是现在有一个问题是个正根还是负根呢？你得看看零。把这个零拿出来看看，零出的结果是b，它刚好大于零。那所以说它有唯一的什么东西啊，有唯一的复式感，所以答案选几选d这上课讲过的原题啊。好了，那么接下来我们再来看看这个下面一题76题。几点了，

叫我看看再讲两道吧。可以吗？再讲两道，然后的话，剩下的东西啊，我们可以放到明天晚上再讲。不然的话，太晚了。来再看这个题。这个题啊，你其实你就发现。它的这个考点的内容是什么呢？它其实考了这样的一个东西。你原来会记这个分吗？对吧，

那你会不会记这个分？这是一样的，那么这个东西进行去配方，它就立即出来了。你所以说把这个东西啊，你直接写开你下面这东西不是根号下多少，你这是4 s-x^2吗？嗯，所以说这里面当中就是四，然后再减去s- 2^2。嗯，所以说这个东西一配它就出来了，配成这样，然后直接套公式，那这是a的平方a分之一。

阿克，这个什么这个是？这个东西没有。诶，这是二的平方。这个棋的话。我来说一下这个事儿啊。这个题配完了之后是。怎么了？第一次把积分号扔到后面。哦，我说清楚一个事情。你要进行去，你用那个方法进行做了之后的话，他没有答案。

没有答案的话，这个人的话，你就稍微注意一下啊。这个人的话。根号下。不是答案错了，你不要老是这个题错了，对吧？你做了那个结果的话，你发现呃这个答案的话，其实没有a分之一啊。这个答案选a哦。对吧，这个答案选a哦。这里面当中啊，

这个。根号下a方减去s方分之1 ds。他是阿克塞因这个人a分之s加c。那是arctangent这个人。才有这个结果。啊，这是a分之s。好了，稍微注意一下76题。嗯，这次的话，这个。对吧，你注意一下这个事儿，这没有a分之一。

所以说这个题的正确选项，选择a选项这个结果。啊，这是a选项，不是e啊。哎，也不是谁呢？也不是必要。对吧，容易选错成b。那么，这里面当中我说一个事情啊，有的人可能说我把这个根号我塞到后面去。我塞到后面去的话，我再用别的方法，

你那个东西的话，你虽然也写出了那个答案。那选项当中没有答案呐。你没有答案，除非你能把你的答案化成这个人，但是你又化解不了，那说明这个方法你得切换方法呀。我知道这个很多人可能是这样，我把这个什么我在这补个二二倍的根号s分之一，往后面凑是根号它。那根号它就把这个x写成根号s的平方，结果你发现没有答案嘛？那没有答案的话，你除非你能把你的答案化简成这样。对吧好，

这是这个问题。那么，接下来我们就继续，我们再来看看77啊，看这个题。那这个题也不是说特别难。你在这个做的过程当中啊，你发现你看选项对吧？这个arctangent这个人。那这个人的话，你就可以凑了。那一凑的话，这个人的话呃，你放心吧。你都知道一个事儿，

我们考研更加喜欢考这种题的，什么题啊，定积分的题。所以说最终都是一个数，你不用纠结这个点，你会做证明的话，你的积分能力是没有问题的，我们更加喜欢考这种定积分。所以你不用担心这个事儿，我为什么出几个不定几分，我们平时的训练嘛。然后接下来我们来看看这个事情，你看你可以把这个根号你往后面凑。那这里面当中的话，它是根号下一减s，

你在这里面当中的话，它是一减s，你在前面配个负号。然后这里面当中，我在这补个二，我们前面来个二，这是这个情况。那然后这个东西就可以凑出来了，它就变成了d根号下多少一减s？那既然是一减s的话，就是一加上多少，然后这是根号下一减s这个人的平方。那么所以说这个结果它就出来了，这a的平方arctangent这是。根号下一减s加上c。

所以这个题的正确答案选择e选项，这个结果啊e-s。对吧，正确答案选e选项这个结果。好了，我再说一遍，不用在这个纠结。你什么样的方式都行。你想怎么做怎么做？好了，这是这样的一个问题，你能把它做对就行。然后这里面当中你发现。你凑出来，你或者直接把这个东西换原都是可以的，

你想怎么做怎么做。因为如果做这个不定积分的，你可能有这条方法，做那个方法做，你只要做出正确答案就行了，我不拘泥于大家。啊，这个问题好77题，你再看这个题。那这个题的话，两类不同函数，你肯定要把这个三次方凑到后面去背。那这个三次方凑到后面去，你其实就要进行去积分。对吧，

你一期是这个量。但是这个东西的话，你在前面得配上一个负二分之一。对吧，你这个东西的话，你发现你出来之后，你得配个负二分之一，它才是它，所以首先第一件事儿，我们先凑到后面去。你凑到后面去就可以分布及分法做成这样。那这个东西的话就好做了。你看这个最后这个人是二分之一，这是x方，然后这是一加x方，

然后这是一ds。那么然后这个部分的话是加了一个s方，减个s方是一+s^2这个部分呢？你再来个s方。好，是这个情况，然后加一个减一个，你把它分开那帧就出来了。所以这个题的正确答案啊，不是说特别难啊，这个78题不难好，我们来看看这个题，这个题讲完我们就下课啊。呃，这个题啊，

有些人做的不是特别好。我来说一下这个问题。你是否还记得我们原来在基础班的时候讲过这个问题？因为我们在强化的过程当中啊，课堂没有讲这个事儿，所以我专门的话想在这个来一道作业题啊，让同学们回忆一下。你还记得这个符号和这个符号吗？这两个符号是不是可以约掉？然后这个符号和这个符号是不是可以约掉，但是这个东西在前是求导在前，不加c，但是这个积分在前，它是要加c。还记得这个事情吗？

哎，它是这样的一个问题，那所以说这里面当中你有了这样的一个方向性，那就非常简单。那这里面当中，我们就来看看这个事啊，先看第一个问题。什么叫不脱了呀？啊，我们明天我们再继续。然后接下来我们就继续，我们再来看看这个第一个问题，第一个点。唉，就看几点了。

明天再讲啊。那我们再来看看这个79题。啊，这个题。那么这个题的话，你发现俩导函数是相等的。对吧，俩导函数。两个导函数相等的话，你发现那这两人的不定期分就相等吗？那这个人的话，你就会发现这个好像也没什么关系啊。你这个导函数。相等你导函数相等的话，你这个fs和gs就是相等嘛，

你应该是错了一个c吧？对吧，两个东西相差了一个c。你相差那个。黑了之后的话。你这个fs你其实是应该是gs，再加上的一个常数。你这个常数还要进行积分呢，你这肯定不对。你比如我加了个二，你这是gs积分，你这个还有二进行积分，你还有个2s。然后接下来我们再来看看第二个人。那这两个东西的话，

一减这是零。你对零积分是零吗？零积分应该是常数，一个常数求导是零，你不对。你看这个人，然后接下来我们再看这个人，你这样东西约掉了，他应该是fs ds。你fs ds啊，它应该是个gs+cds。能理解吧，你c进行ds啊，这个东西得保留它不是零那所以说这个东西也不对。然后这个东西的话，

两个约掉了，你导函数ds导函数ds这两个导函数一样哎，你对。然后接下来我们再看这两个东西，约掉了之后应该是fs ds，你这个东西也不对，正确答案选几选d？好了，这是这个事情，你下去把它好好想想对吧？把这个问题啊，把它进行去看看。呃，然后的话，接下来我们再来看一道吧，

来把这个题看看。那么这个里面当中，让我们去求解这个人，你发现反问题，你就可以把这个东西拿出来。移到负s这个fs啊，你就求导了，那前导后不导，然后再来前面不导，后面来导就是这个人。你就可以把这东西除过去，那就是一减s。那一减s你放到这里面当中进行一积分，那这个结果的话，它就立即出来就s减二分之x方加上c。

所以，正确答案选几选a哦。好了，这是这个题，80题。然后接下来我们再来看看这个下面那个81题啊，这个题啊是我们原来这个基础班讲过的题。那么这两东西都是它的原函数，那就说明f导这个人呢？他等于小fx。g这个人导函数啊，它也等于小fs。那这个导函数的话，你发现如果你顺着不好看，你就反着看，

你看这个人。对s，求导。你这个对s进行求导的话，就是三分之一倍的这个人。再加上三分之二倍的这个人诶，刚好等于里面对着呢。然后这个人对s求导，刚好是他这个人对s求导，刚好是他，他没有问题。然后再来看看这个人，你这个人对s求导呢，就是二分之一倍的fs，加上二分之一倍的fs。

刚好是里面它对着呢，那这个人对s求导呢，应该是二倍fs，他不对正确答案选一。好了，这是这个问题啊，你想清楚。那么再来看看这个题。那这个题考了什么呢？就考了我们那个阿达玛不等式。那这个点的话，它其实考了这样的个事情。就是你发现如果这个曲线，它是个o曲线。那o曲线的话，

这里面当中取了一个点，这是a点，然后取了一个点，这是个b点。那这个时候的话，你发现把这个连接起来，这个梯形的面积是多少？这个梯形的面积刚好其实就是。二分之。那上底加下底。乘以高，除以二，这是b-a。那这个东西大于这个曲边梯形面积。然后这个东西大于谁呢啊？

这个东西在上在下无所谓，它一定会成立的，叫阿达玛不等式对吧？然后接下来它会大于这个部分。就大于这个终点。这个部分这是f多少二分之a加b？那这个终点的话，你发现你这个高度其实就等于这个高度，加上这个高度的二分之一。你上底加下底除以个二，其实就是这个人那，所以说这个人的话其实就是f二分之a加b，你再乘上多少b减a？能理解吧，哎，

就是这样的一个东西，那么所以说对于这个题而言呢，他完全考了这个人，你就考了什么东西呢？零到二。这是fs ds。然后大于多少呢？这是f1。你再乘上多少乘上二，然后这是二分之多少f0，再加上多少加上f2？然后这东西乘上几，这是b减。嗯，乘一个二。

那么所以说这个是f0，加上f2应该是大于这个人，所以说正确答案选几选a？然后这里面当中的话，这个f 0+f二。这东西等于二，这根是大于二倍的它，它不对。然后这个东西跟一和二那就没有什么关系了。对吧，它应该是跟零考试没关系。所以这个题啊，完全考了这个二大五不等式，如果你在考试当中做这个题啊，你应该是赶紧画条线，

你画条线的话，这个零到二积分的话，应该是这个人。然后这个f 0+f二呢f 0+f二就是f 0+f二上底加下底。你乘一个高是二，你除一个二呢，你又是这个人，其实就是这个人。能理解吧，就是你在考试当中，你应该是画图这个梯形面积就是上底加下底。乘以高高是二，除以二，所以说这俩东西约掉了梯形面积，那这个梯形面积啊，

大于这个区别，梯形面积。没问题吧？好下去好好看看。呃，这个题啊，我也稍微进行说一下83题。83题这个题啊，它考了一个什么事情呢？你发现这个问题的话，就考了录音二，这是我上课讲的，这是二零二一年的考研真题啊。那么，其实就进行去比较，

当s大于零小于一的时候。那这个x倍的ln 2。和谁呢？和这个e的s- 1还有这个ln多少一+s之间的关系？就是只要你脑子里面当中有这样一幅图。那这件事情贼简单了。来，我们来看看。你要注意，这是es- 1这条线，然后这是多少呢？这是x这条线。s这条线，然后这是ln 1+s这条线。所以说这个时候啊，

这是es- 1，这个人只是l 1+s这个人。然后这里面当中，你就把这东西进行去连起来，你看这都是考研真题啊，我上跟你讲这个事儿，你把它进行一做，这就出来了。这高度是ln 2，所以这条线是ln 2乘上x。那所以说谁大啊，就是es这个人大于这个ln多少一+s这个人大于ln 2×s这个人。那所以说这个人呢，马上出来，那最大的是谁是j，

然后是谁k，然后是谁I？JK I选b。能学会吧，这是我们上课讲过的问题。然后再来看看这个题啊，这个题估计很多同学做的不好。啊，这个点。那么这个点的话，你发现。有些东西可能是这样做。说这里面当中的这个cos in啊。你要是这个题改成二分之派，就变成了贼简单的题了。

但是你变成二分之派，它当然简单，因为你变成二分之派，你想想我们这个人积分区间相同的话，他只需要比较零到派这个区间当中。你e的这个s in乘上cos的这个平方e的这个s in你再乘上coss三次方。一的这个三你再乘上cos四四次方。是不是这个情况？其实这个题当中你可以看的非常简单。因为这里面当中的这一项永远是真的。你核心重点其实比较的是这个人。没问题吧，因为这个eie的s in它永远是真，你比较这个人。比较这个人的时候，

你再来看看这个人。这是不是零到一？我非常清楚的一个事情就是。你扩散平扩散这个人呐，你应该是大于负一小于一。因为你发现你cos这个零到派是这样。你是个减的，你是负一到一，那你平方呢？你平方这个人的话就出来了，你平方是零到一啊。对吧，你平方是零到一，你零到一，那你想你这是平方，

这是平方的平方。你平方的平方的话，你这个人的话可以这样看你，这是cos in。然后这是coss再乘上几平方，再乘上cos。然后这个东西是cos x的，是什么平方？再乘上cos x方。那这个时候的话，这类几个人谁最大呢？你这个人是陈尚一呀。是不是这个问题？那或者而言的话，你直接看，

因为你这个人是平方的平方。你平方的平方的话，零到一你次方数再大呢，应应该性更小，所以说coss方你是大于coss四次方的。这没有任何问题啊，你一定是比他大的。好了吧，那么对于这个人呢，你发现三次方它是有抵消部分的。它有正的部分，也有负的部分，他应该是比这个人小的。我不知道同学们能不能看得懂。你要注意一个问题，

点的话就是你这个人永远是真。你这个人永远是真。但是你这个部分呢？你发现你前面是正这个cosine的三次方，你前面是正，后面是负，你有抵消的部分。那按理说应该是比这个人小的。对吧，如果我去猜一点是吧，我去猜测你应该是比这个后面小的。那而且你是零到一，你打个字零到一再来平方下，它肯定会更小，那按理说应该是比这个人大的。

对吧，你有正也有负。有正也有负。那么所以说这个部分呢？我们进行处理的时候就非常简单，因为你有正也有负你的积分的话，上和下你是需要抵消的。那么，如果在这里面当中做的严谨一点，你得这样看。那么，这里面当中，我们就来写了。当s大于零，小于派的时候。

那首先的话，这是e的这个三。这是coss的平方。那和这个e的sins，这前面是正的，你cos平方的平方。零到派的时候平方是零到一，你次方数越大，应该越小，你这个人大。这是没有任何问题的，所以说这一题当中的I肯定是大于k，把这个k大于I的你都给我排除那什么，这k大于I的了。k大于I的肯定不行，

I肯定大于k，那这个题最重要问题是j这个人。那而且这两个人都是大于零。那你就来看看这一杯，那ja这个人是谁呢？他是林道拍。e的这个sines，然后这是cosine三次方ds。那cos这个人尴尬的一点就是你在零到派的这个这块是正的，你派到二派这是负的，所以说你应该把它分成零到二分之派。这个人严谨一点，你就得这样做，然后的话，再加上二分之派到多少派，

你得进行看看啊。因为我也不知道你到底什么情况，其实这个题如果这是二零二二年的考研真题啊，你在当年真题的时候猜非常简单。因为一呀一的s in不会影响正负性，正负性的话，靠这个后面那cos方cos四次方都是正的，那cos方是零到一次方数再大一点，它应该更小。所以说我把这个选出来啊，三次方有正有负，它应该是最小的。所以选答案特别简单，要严谨一点的话，你就得这样办。

然后这是coss的什么，这是三次方，然后ds。好了，这是这样的一个问题，那么然后怎么办呢？那这个题的话，你发现。其实这里面当中，我们要进行去用的话，你得把这个东西啊，往后面缩一点。对吧，你得往回缩一点，你往回缩一点的话，

这个人应该缩多少呢？你缩这个。你如果进行去缩一个长度为二分之派，这肯定不行，你得缩派。你要缩二分之派。你说二分之派的话，你看二分之派的话，它一减的话，它就要变成三音，它就会变了，你知道变派，但是我看我派减你派减，你不就变成它。我就用派减s=t。

我做这样的一个还原。那这个时候的话，这是e的sins。cosine三次方ds，然后这时候那你发现这是零，然后这是二分之派，然后这是e的多少呢？那一的话，这是三亿多少呢？那这个是x这个等等于派减t对吧？s in这个派减t sin派减t就是t。然后这个是cos这个什么？呃，这是派减t cos派减t的话，这个人是cost的负的。

对吧，负的，所以说这块得配个符号。那这个时候的话，你发现诶，这个东西还有一个符号负负得正。能想清楚吗？你ds这个人有个符号，大家要想清楚啊，你cos这是派减t偶不变。然后一减第二象限cos是负的。然后这是s in这个派减t偶不变，只是这个点，然后这是第二象限正的。这没问题啊，

然后的话，这个负号用来调换上下限，对吧？调换上下限的话就变成负的零到二分之派。哦，这两个东西是一样，其实等于几等于零。能听懂吧？好，这是这样的一个问题点。但是我觉得这样进行去看的话，其实稍微的会麻烦一丢丢，我再给你教一种方法。怎么看更快呢？就这个题的话，

你能看到非常快的，就是你这个人是正的。你这个人是正的。你这两个大于零，而这个人呢？你这个人的话，你发现是cos三次方。你cosine三次方的话，它的图像这个部分是一样的。对吧，这是二分之派，这是派你上下是对称的，这个前面类似于振幅吧？你振幅的话，你发现你从零走到拍你这个零到二分之派和二分之派这块对称的。

所以说如果你进去去画政府的时候，你零到二分之派，你上面这个人怎么样？你下面这人就会怎么样？因为你这个振幅，你两边是对称的。你这块儿有正的多少哎，我这块儿就有多少？然后这个扩散这个部分呢，你这边儿是正这边儿负哎，你是对称的，所以说这两边的这个面积肯定一样。你如果是个高手啊，你就能看的非常准诶，这个政府零到二分之派和派到二分之派二分之派到派。

你这个东西的两边的应该是对称的，然后这个cos这个三次方两边对称的那，所以说正的这个结果的话，它是对称的。它肯定是零，所以如果你水平点高一点，你一眼瞅过去哦j这个人的积分，他是零。然后这个时候的话，这两个都是大于零，那I和k啊，肯定比它大，然后这个e的s in永远是正cosine方，永远是正。对吧，

那永远是正的话，你再来一个平方的话，它肯定会变小。它绝对会变小，它变小的话，你这个k最小，所以说这应该是I大于k大于零。所以像这种习题的部分呢，你一定要提前做啊，有的时候能拖宽一下，这个思路好好把它进行想想对吧，这个考点。那么，这个题就非常简单。那么，

对于这个题而言呢，你发现上面都是3a。嗯，好，这个人。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看看这个三。那这个题其实也非常好办。你不是都要s吗？我就给他怎么办？我就给它上下同时乘个三音。我上下同时乘个三亿，你要注意啊，我要比较领导力。

第一个人，你要是上面乘个s in，你下面就要来个s in，你再把那个cos除下去，这就是tangent。然后这是s in，然后再比上x。然后这是s in再比上ln 1+s本题解除，那么tan这个人那这个人肯定是小于二分之派。大于s，大于ln，一+s越小越大，本体解除，因此这个人呢？当中最大的是k，

然后这是j。然后这是a这个结果，你看我们这个考研真题啊，这个真题难度系数一点都不大，是去年的真题啊。然后就是k ji啊，答案选a。好了，这个问题啊，我们就讲到这。呃，这个题我们也可以迅速说一下吧。你看这个题，如果直接比较这个区间呢，不好比。

但是我又观察出来对称心对称区间，可以看奇函数，一个负s扔进去，下面不动，上面不动，多了一个符号，奇函数等于零。然后j这个人的话，你发现这是负一到1x倍的ln 1+s^2，你再减去多少ln 1+s^2？那这里面当中的这个部分奇函数等于零，所以说它就等于负的负一到一，然后这是ln 1+x^2里面是正的吧，整体小于零。然后这个部分呢，

它是大于零。那所以说k是大于0j是小于0I是等于零一下就出来了。好吧，那么这个事儿我们就讲到这儿。呃，剩下一点呢？我们那个明天下午的话，刚好去讲那个正课的时候，我们就顺便把它讲了啊，所以说明天那个四点钟啊。我们有一个小时的那个正课部分内容，然后呢，明天的话，下午我们再把这个部分呢，我们再讲完。

行吧，我们就不多说了。呃，这个今天部分内容啊，比较多一点，你下去好好想想，我觉得你比较重点，想的应该是84题这个题。这个题好好想想对吧？这个题你好好琢磨琢磨。因为那个题啊的质量还是挺高的。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这，自己下去把这个相对应的问题好好处理处理，

可以吧啊，自己好好进行。把有些点呢，你好好进行整理一下习题还是挺重要的。呃，当然的话，大家这个等我们把这个强化课程呢，讲完了之后你还有时间进行再复盘一遍。所以我觉得效果就会很好。好，那么今天课程呢？我们就讲到这，自己下去好好处理处理吧，然后明天下午我们有一个小时的把最最后一个点把它讲完。明天高等数学就结束了，

好吧好，明天见吧。

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