03.强化决胜300题精讲【3】

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:54:15

行，那么接下来我们就准备开始吧，我们来看看这个今天的这个决战300题啊呃，这个今天呢有点晚啊。如果这个啊，有点累了，你就早点进去去休息，然后回头看回放就行，反正这个习题课啊，基本上都可以看回放。对吧，这个东西不是政客的内容，其实影响都不大呃，因为刚才啊，这个原本想放到这个十点钟的，

因为我们刚才这个呃刚结束。因为刚才这个是今天晚上安排啊，还是比较紧的。刚才这个七点钟到这个九点呢，然后是这个有数一数二数三同学的课程，然后刚才从这个九点半。刚结束，十点半有这个微博，还有这个B站当中啊，这个数一数二数三同学的这个备考规划，明天晚上是我们的。啊，明天晚上，明天晚上是我们三九六同学的这个啊，八月份的备考规划，

所以说然后这个明天晚上你可以过来听。无论你是这个啊，在微博听也行，在这个B站也听也行，明天晚上明天晚上也是九点半。你可以来听这个规划课程，因为这段时间啊，可能有些同学呃，在复习过程当中啊，还是有很多问题的，因为刚才我们看了有很多同学都在。呃，那块问呐呃，一些三九六的一些情况，然后明天晚上我们是三九六同学的，

这个专场因为上次过程当中我们是放在一起，然后结果很多同学问的一些问题啊。最后都不知道这个题，问题是三九六同学还是这个数一数二数三同学的，所以导致了这样问题，所以明天晚上的时候我们去呃，针对三九六同学，我们重点来开一场。行吧，我们不多说了，我们来正式来开始看一下今天的决战300题。呃，今天过程当中，我们这个题啊，我会带着同学们一个一个的来啊，

还是那个事情，你要是有点累了，你就早点去休息。啊，然后回头看自己不会的题就行了，好了，那么接下来我们先来看看第一个题。第一个题啊，非常的简单啊，这个题这个题你可以怎么办呢？你当然可以走这个第一个方向就是进行去凑。对吧，稳扎稳打的组。那稳扎稳打做啊，这个题就是这样，

你发现这是个动点。然后这是个动点，双动点问题，那双动点问题的话，在这里面当中，我们就可以进行去拆开那，然后把这个东西变成了f多少s进行去加a。或者你写个a+x。然后这个部分呢，是a加上多少a+-s，然后给这个东西减个fa，你给这个东西减个fa对吧？对吧，两边都选一个，然后比上这个s。

然后这个部分补个负号，这个部分变成加号，变成这个人，那变成这个人的话，我们再来看你，发现这里面当中的这个第一个事情。你来看这个部分，这个部分的极限存不存在呀？它的极限是导数吧，那这个极限是导数，它就存在那这个人极限呢，结构出来再看零你负s肯定趋向零。结构出来再看零这个极限也是导数，那既然都存在这东西就可以拆了，就是f撇儿的音，

然后再加上f撇儿的音。所以说这个结果等于二倍的f撇a。当这个题你还可以怎么办？你还可以用经验。我不知道同学们还记得吗？我们重点讲过那个经验来讲讲这个事情，经验法根据我们这样的一个经验进行做。那这个经验是什么呢？就是limit x如果趋向零。然后这个部分比如说是是AA加上阿尔法s，然后再减去a加上多少贝塔s？然后比上这个s是不是这个情况，这个东西是推出来的。怎么推出来呢？就是像刚才那样进行推出来的，

然后怎么办呢？这个结果直接来你上面这东西可以看成这两个做差。里面当中应该要有个多少阿尔法减贝塔倍的它，你补一个这前面来一个阿尔法减贝塔，所以说就是阿尔法减贝塔贝塔哎。f撇a。能理解吧，哎，这是个经验公式，你可以用这个经验公式用这个经验公式啊，这题就可以秒了。你发现上面这个人，上面这东西两个一减是多少？我们一看，哎，

这两个一减呢，他刚好这个东西就是2x。你就在这儿补个二前面来个二二倍的f撇a本题结束正确答案选b，所以注意不光要做你，而且要做的这个题啊，速度上面一定要跟上来。好了，这是43题，继续吧，看这个题。呃，这个题啊，其实就跟我们上课讲的非常相近了。那么，首先第一件事比值极限是存在的，

上面极限是零，上面肯定是零。如果下面是零录音，一个一才是零吧。没问题吧，你上面趋向零，当你比值极限存在，你上面趋向零，结果不为零，下面就是趋向零罗，一个东西趋向零，里面一定是趋向零。所以说在这种当中，马上就可以处理当s趋向零的时候，这是is减去多少s in 2s，

那就立即怎么办？等价无穷，小于这个函数再减一。等价无效，这个函数再减一，那这个人就加杆好变成这样。那变成这样了之后的话，然后这个题呢，它等于多少？它等于二分之一。那然后这个题怎么办？好，我们继续来看那这个题，它又告诉了在零处是连续的。对吧，

你告诉在零处连续。在零处进行去连续的话，你发现我可以先去求一下这个点处值来再来看上面极限是零。结果不为零，下面极限一定是零，那下面这个人极限是零的话就是趋向零，你fs+2这个结果是零。然后这个极限结果是它的函数值，它这个人所以说f0这个结果就是负二。那这既然是负二，我要进行怎么办？求解这个点处导函数，我就要进行去凑这个点处导数定义，那这个加二就可以怎么办？你就可以写去减去f0没问题吧，

然后这个人就要除一个s，你看上面这个东西呢，你也要给它除一个s。好变成这样，那变成这样了之后，我们再来看。变成这个样子了之后，你然后进行再处理的时候，你发现上面极限是多少？你看上面极限。这个极限能看出来吧？那这个极限一比，这是一这一比是二，所以说上面极限是存在的，那下面极限存不存在呢？

下面极限就是导数。所以说上面这人单独求极限，这是几啊？一减二。没问题吧，就说俩人都存在，可以拆嘛，你可以拆，就是上面的极限比上下面极限，上面极限是一减二。下面极限是f撇零，它等于二分之一，所以说f撇零等于多少？那因此这个结果是负一一除是多少负二正确答案选几啊选d？呃，

这是一种操作性的方法。能跟上吧好，这是方法，一听明白了给我回复一吧，好这个题那么对于这个题而言呢，我们还有更快的。你看这这段时间呢，有些同学就非常喜欢干这个事儿，那你想当s趋向零的时候，这个题有没有更快的？你这不是ifs加上个二嘛，然后这是is减去多少s in二s嘛，你不就想等于二分之一吗？所以这里面当中啊，我们可以举例子。

对吧，可以举例子，举例子的话，怎么去举呢？你就这样举。你这个人肯定是一个东西，加格儿应该是一个东西，减格儿。你减个二了之后的话，你发现。如果这个东西减个二。减个二的话，这个人他就没了，那关注点是前面那前面的话，这是其实上面是可以等价的。

然后你再去想想，这是sine 2s这个东西比上几s呢？如果比上es，这不行哎es可以啊。比上这个一倍的s，这一除是一这除二，这不行，你比上2s。你比上二s的话，这个人一除是二分之一，这人是一。那二分之一减一是负的，那不行再来个负号漂亮那就可以了，所以说是负二x。所以我就取这个人，

因此啊，我就取多少，我就取这个fs等于多少负2 s- 2。好，这个人那么取这个人了之后的话，你看这个人导函数，你在零处导函数等于多少分？直接就秒了，这个速度应该非常快。这是我们讲的这个方法是什么？好了，这是这个事情，当然有些同学这个眼力非常的精准，对吧？还有操作那么这里面当中，

我们再来看看这个方法三。你可以抽的非常快。那上面这个人呢？你发现当s趋向零的时候，这人等价的最简形式，这人等价的最简形式，这是一阶，这是一阶。等价到最简形式不能相消，就可以直接等价，这是负s，所以说对于这个题而言，当s趋向零的时候，这是负s，然后这是fs+2。

然后等于二分之一，你直接把这个s除下去。除下去了之后就可以凑倒数第一，或者你也可以举例子，你这样举例子就非常简单了，那这个人可以取多少减个二，然后这是负二也出来了。这个时候你再举例子啊，就会非常快了。跟得上我的意思吗？所以这个题我觉得呃，就看你的眼力了，你要眼力非常的准呐，你下面等价肯定很简单。l一个函数趋向于一，

立即等价无穷小，这个函数减一。所以你要体体现出来一个事情，如果在做这个题的时候，你想不到lowing的函数啊，这个人这个函数减一这个题就废了。所以这个题我觉得核心部分在哪呢？核心部分还在这。这是一个核心部分，loing函数趋向于一立即等价无穷，这个函数减一好了，这是我们讲的这个第一个事情。过去了，可以吗？等一下啊。

这怎么充不上电了呢？稍稍等一下啊。好，等一下，等一下，等一下，等一下啊，这个。怎么就。充不上了呢。等会啊，我这个还有一根弦。等一下啊。这是冲着的，还是没冲啊？

这是冲着呢吧啊？这没有冲吗？这个。这是冲着的吧，我看。哎，这没有虫啊。等一下啊，等一下别急啊。稍等一下啊，这个不然一会儿没有电了。哎，这个。很神奇啊，对吧？

等我一下啊，等我一下啊，因为我我刚下课，这问题应该没有问题的。你们稍你们稍等我一下啊，稍等一下，稍等一下啊。哎，可以了哎，完美。好，我们继续啊，我们再来看。好，这是刚才这个题来继续吧，

我们再看下面一个题啊。呃，我们再来看看这个第45题，这个题来继续吧。那这个题啊，他说了这个函数在这个零处是可导，而且f0是零，然后让我们去求解这个极限，你看根。给了极限求导数，给了导数求极限，那这个题啊，肯定去凑导数定义，那对于这个人呢，他是个动点。

对吧，这个人是个动点，你先等价是个什么样的方法呀？你不要胡来啊，你虽然做对了这个方法也不对，那么这题怎么办？双动点你双动点的话，这个人就要拆成两个人。所以说就是h趋向零，然后这里面当中的第一个人是多少f sine 2h？然后接下来继续再减去f多少呢？ln1-h^2好，这个人比上这个h，这是h方。好，

做成这样，那么做成这样了之后，我们继续来看，那这样就要继续去凑啊，你凑这个零处的导数定义。那凑呗，那这人就是f多少零+s in 2h而f0是零没问题吧？再比上个s in 2h。所以大家想想这个东西啊，你一定要非常的精准，你见到这个东西你就要挥，然后这是多少s in 2h比上这个h。你再减去什么呢？你再减去这是零加上多少ln1-h^2？你要减去个f0，

你减f0的话，你就要比上这个人ln1-h^2，你除一个这个人的话，你就要乘以这个人。一减h方，然后要比上多少h方好，我们来看看这个事情。等你做成这样了之后，我们继续看你发现这个人的极限是不是倒数啊？它的极限是导数吗？结构出来之后，这个人的极限是零，它的极限是导数，而且导数是存在的，然后这个人也是存在的。

我们再来看看这个人。这个人的极限是不是倒数啊？那么有人说这个l这个里面当中啊，有可能是正或者有可能是负不管。为什么？因为你别管这个人是零正还是零负，是左导数还是右导数，只要导数存在，导数就会等于左导数等于右导数。这是一样的，不管然后这个极限呢，也是存在的，所以说这个时候马上出来，第一个人的极限是零出导数。然后这人是二，

你再减去什么，这是零处的导数，然后这里是减，这是负一，因此这个结果就是三倍的f撇零，正确答案选几啊选d啊？好了，这是第一种方法。能跟上吗？但是这个题啊，你是没办法用，我们刚才讲那个结论的，那个结论是用不了的，你比如说那个阿尔法和那个贝塔，那个结论是无法用到这个上面的。

因为那个阶段是双f做差。两个f做差，它才是可以好注意啊，不能等价啊。如果等价的话，你就会犯了一些根本的问题，哎，不能等价好，这是这个人。你怎么能给这个这个人里面进行等价，没有原理呀。根本没有原理你，虽然做对了，你要下去好好整理整理，那么接下来我们再来看这个题还有没有方法呀？

我们再来看，还有方法没？那这个题当然还有啊，我们可以怎么做？你还可以进行举例子。所以说接下来我们来看看方法二，你可不能这样啊，你怎么都都是这样做的，绝对不能等价一等价，这题就废了。当然做选择题，你可能把答案做对了，但是你这个方向也不对，你可以举例子，你举多少我之前讲过。

你如果给这个人举个常值函数，这是不行的。不要取常值函数对吧？你取多少呢？你就取个h。它只要在这个处可导，只要零处是零嘛，你就在这里面当中取多少你就取s。你取s的话，这和原式这个结果就等于多少来我们坐下h趋向于零，然后这是h方，然后这是h乘上sine 2h。然后再减去ln多少一减h方。是不是这个事情好，我们先来看这个时候这个极限就非常非常的简单了，

你看这个极限等于几这个极限等于二。这个极限等于几负一，所以说就是二减去负一，它的结果等于几啊三。那这个三是什么呢？你发现这个函数在零处导函数是一，所以说这个结果应该是三倍的，这个零处导函数。那所以说你看你这人不对，你这人不对，你这人不对，你这人不对，只能选d。所以将来做这种题啊，这种题最快的是举例子。

对吧，举例子才是这里面当中的y yds。那么，这个水平点才是最高的，所以你下去一定要好好想啊，把这个水平的方向一定要把它摆正过来。好了，这是我们讲的这个45题。跟得上吧，来继续吧，我们再来看46题。这个题啊。周期为四。对吧，周期为四，

那么这个周期为四的话，这个题其实很好做。他说，周期为四的可导函数给的这个极限。然后这里面当中曲线当中啊，让我们去求解这个点处的切线方程，所以首先第一件事你先把切线方程写出来y就等于多少？y就等于f5，你再加上f撇五，你再乘上多少，你再乘上s- 5。是不是这个事，所以说你要做这个人的话，其实就要做多少f1，你要做这个人呢，

你就要做f撇一。而我们根据周期为几呢？周期为四，你周期为四的话，五就是一撇儿，五就是撇儿，一所以这个题只需要进行求什么？求解f1和f撇一就行，那这题怎么办？也非常容易，你发现第一件事情。这一面当中这个。他只让我去求斜率是吧？那这个题我们就分析多了。它只让我去求解这处的斜率，

那这个点处的斜率就是f撇五，那f撇五就是f撇一。好吧，只用进行求斜率，那这人怎么办呢？你就要进行求f撇一那f撇一，这个人非常简单，你给了这个极限，你看。你稍微转一下。你调一下，你调成这个一减s减f一是不是舒服了？啊，这种题就是骗子，你翻一下还是负一哎，

变成这样，那不是求解分之一的这个极限吗？然后这个时候的话，你再来看，你发现这是limits趋向零，我这里面当中把这个二分之一抽出去，你上面这个东西啊，你要进行去诶。这是f1。f一减去f一减s，然后接下来的话，你要进行凑导数定义，你凑导数定义的话，你发现你看是一加上负s。你减f1。

是吧，你把上面的调一下，然后那个负号放下来，大家能否看懂我的意思，然后这个时候你发现结构出来再看零，那这个人是零，那这不就是一处导数吗？它就等于负二。能不能看懂？好了，我再说一遍啊，所以说你会发现你看你这两个之比是负一吗？那你用这个人比这个人，他的结果不就是负一的倒数吗？那还不是负一吗？

你翻一下还是负一？所以说这个东对44题，那个题也可以翻，都可以翻，如果你觉得它不顺眼，你就翻，你翻过来就舒服了。能理解吧，好这人就变成这样，那所以说这个结果就是多少分？那么，对于这个题而言，最重要问题是这个东西的凑法。因此啊，这人结果就是负二。

好，这是第一个方法，跟上了吧？好，第一个点必须要刷烂。可不可以你最终一定要达到一个要求，就是见到这个点，你立即能做出来啊，见到这个东西你就会好，这是一个方向。可以了吗？来我擦掉了，其实这个题啊，我们还能更快。其实这个题的主要部分就是什么？

就是给了这个极限，让我们去求什么？让我们去求一处的导数。不就是这样吗？嗯，所以在这里面当中，我们最重要的问题就是求这个人。那这个时候我们想想一个事。你能不能进行就举个例子呢？那如果这个函数进行去取多少，你看x的话。这个意见。他不行对吧？如果你这个fs在一处的话，这是一减s的话，

这人是多少呢？真是二。他不行，那么所以说这里面当中我们得换。那选二倍呢？选二倍的话，这是2s的话。这个二s的话，在这是二，然后这是二倍的一减s。那然后的话，这个东西一除呢？这东西一约它没了，然后这是2s一哎，这不行，

那如果这里面当中我取多少呢？我就取。fx为负2x呢？对吧，这个情况如果是这个情况的话，你看符不符合它的标准呢？那下面这东西是负二，你再减去多少一减s，你再减去一个就是变成加上个二倍的一减s。然后这是2s，那这个时候你看你这两个东西约掉了哦，这个东西啊，一除是负一那一除是负一的话，你看你这个人在一处的导函数是几负二？所以说这题正确答案选几选a。

所以有些同学没有听懂我的意思。你没听懂意思，你没get到这个点就什么意思呢？就说你在前面过程当中做了一步转换。它周期是四，它在这个点处的切线斜率就是一处的切线斜率，所以说这个题的核心重点就是通过这个极限去。去求一处的导数。我只需要取出一个人，他满足这个人求出一处导数，就是求出五处导数。做了一步，这个东西再切换就行。你要理解这个意思啊，就说你这个周期是四和在这个处切线斜率。

那其实五处切线斜率就是一处切线斜率，那所以说这个题的话，你看就变成了一道已知这个东西去求一处导数的题了。一举就出来了，所以举例子啊，还是y yds，你看这个很符合我们三九六同学的考题方向。好了，这个人呢？我们就讲到这来再看这个题秒了吗？第一个方法。方法一是什么描？对吧，秒那么这是什么x处的德尔塔y？德尔塔s高阶无穷小，

这就是x处的导函数。那s处的导函数的话，结果是多少？就是2s，所以说fs这个人就是x方加上c。对吧，加c没有关系啊，然后这是f3-f一，这是考研真题啊。那这个时候就是九+c减去多少一+c，所以说这个结果等于几等于八，正确答案选几选四。c能理解吧好，这是第一个方向，当然这里面当中还有第二个方向，

但是我不建议。你稍微慢一点都有点对不起人。你稍微这个东西没有快速反应，有点对不起人，然后接下来我们就来继续来看，那这人怎么办呢？你就把这个x+1个德尔塔s。你再减去个fs，你就去把这个德尔塔s除过去，除过去了之后的话是2s，然后加上这个东西。那么所以说两边同取极限，你求一下这个德尔塔s趋向零的极限，这不就是？f撇s嘛求德尔塔求极限，

你是个常数，那高阶比低阶是零，所以说这个结果它就变成了这个人。好了，这是这个方向，所以你稍微进行去反应这个东西你都有点儿都有点对不起人啊，这个东西。可以了吧，就是你把这个德尔塔除过去，除过去了之后，这个东西就变成了导数定义。能跟上吗？好，这是这个点，你不能看出脑壳疼。

你就看起来非常舒服好了，这是47，然后再来看48题，那48题这种题啊，也是老掉牙的题了。那这个题考的是什么呢？这个说明单调递减，这个东西说明是凹曲线。对吧，单调递减o曲线单调递减o曲线的话，你发现又减又凹是哪一段？是这一段，那是这一段的话，我们接下来我们就来看看。好，

这个人就变成这样，变成这样了，之后的话就变成了这个情况，这是s0。是吧，然后这个德尔塔s大于零，你就有个增量嘛，你增量的话有一个is 0，加上德尔塔s。那这是什么点呢？这是起点，这是末点，所以说这个高度是什么？这个高度是德尔塔y。但是这个德尔塔y末点减起点这个东西是小于零。

然后再来看第二件事情。你再过个这个点做切线。切线也有个交点，这是c。所以说用这个什么c处的值减去a处的值呢，那这个时候是dy，那这个dy也是什么呢？小于零。但是你发现小一点的手越长反而越小。对吧，那所以说这个德尔塔y这个人呢？是比dy大的，但是这个人呢？小于零，所以说这题的正确答案是多少？

零是最大的零德尔塔ydy选d啊，好这个题啊也非常简单，用常规方法来做就行了，好48题再来看这个题。呃，这个题是个大骗子题，一定注意这种方向，就是我是对谁求极限呢？我们是对t。求极限，你对t进行去求极限的时候。一定要视这个x为什么数啊？为常数处理。就说你进行去求极限，你一定要把这里面当中的s看作成常数。

所以我们求极限的时候，你看你先看求极限，这是个常数，常数抛出去了。然后这是t趋向无穷大，那么然后这是一加上t分之一二x乘上t。然后接下来我们就要进行去定个型，一定的话你看。你t趋向无穷，大的话，这个部分是几？这个部分是一？然后这个2s这个场还第二重要极限，你是今天的一个同学的水平吗？你丝毫一有一个方向，

想到这儿，我就觉得你复习有点不过关。你问一下咱班同学有哪个同学能想到这个事情？你稍微想到这个东西，我就觉得复习的有点菜了。到了今天，还能想到这个人。这是个常数，这是无穷，大早都把它灭了啊。哎，你这这个方向性怎么行呢？所以说这个时候的话，你发现这是x答案，就等于多少e的这个极限符号照抄头顶，

这个部分是照写的。第一减一。所以说这个结果就是x乘上多少e到2s，然后这个东西进行去求导，你前导后不导。然后再加上前面不倒，后面来倒，你再乘个二。那所以说这个结果啊，立即出来了，那就是多少一+2 xe得多少2x？一+2s1到2s选一。所以我觉得这个到了今天，如果还是这样的一个复习水平，那你肯定不行的啊。

那我不知道为什么，你思考一个问题。学了一年了，零基础的时候见到一到无穷大，我们说这样做基础班的时候，我们说见到一到无穷大，这样做强化班的时候，我们说见到一到无穷大，这样做到了，今天练习的时候，考试的时候见到一到无穷大，我不这样做。那是为了什么呢？就是为了给自己的复习做对抗吗？啊是是要干这个事情吗？

是要跟自己的成绩一定要成一个单调递减的关系才才舒服吗？啊，不是这样子吧？那一直都是这样办的，一直这样办的，到了最后我要考试了，我第二重要极限。你不能这样啊。好了，这是49来，我们继续，我们再来看50题。50题，这个题啊，也是一个考研真题来继续做。

那么这个题的话，你发现它是个求导哎，求导来我们求一下，你怎么办？都套一个娃呗。就是先对中间变量求导。非常清楚啊。然后中间变量再来求导。再对这个中间变量求导非常清楚啊，然后中间变量再求导，这是三。所以说这个人把这个零带进去，零带进去了之后的话，这个结果是多少是f1撇？然后这是f几呢f1。

然后这是f1撇一，这是3f一是几呢一那就f1撇1f一撇一乘上三。那这个结构解二×2乘三三四一十二正确答案选一。好了，这是50题，这个题过去了可以吗？来我们再来看51题。51题，这个题啊，我觉得应该不会出错吧？那这题考了什么幂指函数吧？我们一直讲的，说什么见到幂值函数，立即幂值转换，不要说到了今天的话而言的话，

又取对数啊，就非常慢了。直接进行幂值转换，那是s1亿多多少coss倍的ln 3s，我一直给你强调定式思维，定式思维啊。来求一下吧。前导后面不导。对吧，然后再求了一张纸，你这这水平点也不太行啊，那怎么能求一张纸呢？来继续前面不导，后面来导那后面这个人的话，你看就这个部分去求导，

你先对这个中间变量求导。这太夸张了啊。然后这个中间变量再求导。你这个中间边呢？就是这个，你求导那么前导是多少负的？这个三音后面这个人不导。然后再加上这个cos不导，后面来导是s in分之一cos。是吧，所以说这个人呢，就做成这样，因此的话，你发现e的cos sl ns in。然后接下来就可以整理了，

你提一下，前面是个一那后面这个部分呢，是x倍的对吧？x倍的后面这个人。是吧，所以说这个题的话，你看你前面这个人又等于多少，你可以把它复原嘛，你放上去约掉了之后的话就是sins的coss s方。所以前面都是一样，你看这个人就不对。然后这是一一加多少呢？一加上这个是呃s提出去，这是负的sines。ln多少sins，

然后再加上多少加上sins分之coss方，大家能听得懂我的意思吗？因为这个这边页面太小了，我就写成这样。能看懂吗？啊，能跟得上吗？所以说这个人是一怎么办？要减去s乘，这个人要减去s乘，这个人他就不对，因为这是加，然后是一减去他就不对。然后的话，后面这个东西呢，

是s乘上cos方，再比上s in，这是正的，你选a啊。呃，这个题是个基础题。非常的基础，你这个题你要做不上去啊，你这个运算能力的话就稍微的话有点儿没有保证好啊，你这个问题点你得多算一点。一定要喜欢算51题哦，能不能在两分钟内做完呢？这个题两分钟内是不是没有问题啊？我觉得两分钟绝对没有问题。这个题两分钟绝对是可以的，

你这两分钟都做不出来，你肯定被别的同学给秒了呀啊，这肯定不行，来我们再来看52题。那么，这题考什么二元隐函数？那二元隐函数的话，我们来做呗，你就把这东西啊，第一个事情先给这个方程两边同时求导。那就是前倒后不倒，前面不倒，后面来倒。先对阵求导这人，再导它等于一好，

这是20。然后方程两边再求导，你看就去年考研真题，就这样考前导对吧？这导前导后不导前不导后。后面来导再继续，前面求导是e的YY再导，后面不导，再加上前面不导，后面来导。然后这个一求导是零，然后这是30。没问题吧，然后接下来把这东西啊带回去，那我们来试一下，

当x等于几啊等于零倒倒再代代吧。把这个代进去就是e的y=1 y等于几啊y=1。y=1的时候把它往这儿带。往这带的时候的话，这是一，然后再加上e的y那是y撇它等于一，所以y撇又等于零。然后继续把这个y1撇往这带往这带的话，你看一+1+0，然后这又是一，然后这是一，这是二级导。所以说这里面当中立即推出来这个二阶导数，在零处等于几啊，等于负三，

所以正确答案选几啊，选a啊。跟得上我的意思吗？所以说就是叨叨在呆呆。这个能做出来吧，我先看看情况能不能两分钟内做完呢？哦，这个y是零。哦y是零是吧？嗨，同学们啊。所以这是这个情况，因此这个y是几啊y是0y是零的话，你继续往这上面带往这上面带的话，这个y是零零。

s是0e的，零是1y撇儿等于几啊？y撇儿等于一啊？是吧y撇等于一，然后这个前面是一，这是一，然后这是零，然后这是解一，然后这是多少撇撇，然后等于零是负三吧。所以，正确答案选几啊选a啊呃，同学们注意啊，能不能两分钟内做完呢？两分钟内没有问题吧啊，

两分钟内肯定是没有问题的。所以像这种操作性呢，你要稍微注意一下，两分钟内一定要把它做完。好了，那么接下来我们再来看看53题没问题吧？来再看这个题，那这个题是什么呢？你发现这是不是一个方程呐？这个方程的左边有s右，这个什么左边有y右边有y，那这个题还是个隐函数，那么隐函数这个人呢，你就直接求呗。对吧，

给这个隐函数两边同时求，那就是你先对这个人求是一一，加上这个y导。就等于先对中间变量求导，中间变量再求导。然后给这个人两边再求导，那这是二级导。那二极导的话，你发现这个人呢？先对这个中间变量求导。中间变量再求导，这人不导。再加上前面这东西不倒，后面这东西两极倒。所以说这个时候我们就把这个二阶导数啊解出来，

那这个二阶导数等于多少呢？等于撇儿撇儿y再乘上多少y1撇儿？这个人的平方。然后就是一减f撇儿y。是不是这个情况好，这个人就做成这样？那做成这样了之后，你还要怎么办？你需要把这个什么把这个y撇撇解出来。这个y1撇就等于多少呢？它就等于一减去啊，这个是一比上多少fy 1撇再来减一。是不是这个事情把这个解出来，解出来之后带到这里面就可以了，一带的话，

这个结果马上出来，那这个人就是。f撇儿撇儿y。这个东西的平方。对吧，这个东西平方，你这个东西平方，你告诉我一件事儿，你在平方里面调换两个人的正负性影不影响？影响还是不影响，因为你这个东西可以写成负的，多少一减fy一撇儿，这个人分之一嘛。然后你平方了一下，还不是这个人，

然后把这个平方放下去，就是一减去fy一撇，这个人的几次方三次方。然后我们来看看答案。那么，看答案的话，这个二次方不对。对吧，这二次方不对，然后这个三次方的话，你看是fy 1撇减它不对，它不对，但是a对不对呢？a前面有个负号，没有关系，

你给这里面当中提个负号。它出去还是个符号，三次方嘛，所以正确答案选几选a哦。大家能否听懂意思啊？就是这样做，这就是个隐函数，隐函数求导的话求一下。然后第二件事再求一下，你把第一个带进去就行，不是定点值，但是我们其实喜欢考这种定点值的题，52题这种题啊。来再来看看这个题吧。这个题啊，

可能有些同学做的不好。哎，做的不是说特别好。呃，这个题啊，其实有一个经验。也非常的简单。我给你讲讲这个事情。有这样的一个经验，把它给我记住。这个题的话，就是有一个函数。这个函数是xn次方x绝对值。这个人呢？他在x=0处。

n阶可导。但是在x=0处。n+1节不可导。n+1切不可导。你可以记住这个经验。就像这个函数，这个函数在零处是n阶可导。就是这个前面是nn阶可导，而且它的n阶导数等于零。啊n阶导数等于零。就是像这种结构。那么，像3a这种结构也是一样，那这人呢？在零处是二级可导，

在零处的二级导数是等于零。三阶导数是不存在，你记住这个结论，万一考了你就中奖了。注意啊，考了你就中奖了。所以将来的话，你发现这个问题点呢，如果真考了，你是真中奖了。这个题是考过的，但是考研历史非常的悠久，九几年考的。但是我们三九六同学的这个真题啊，你去看看一个现象，

他很喜欢把之前部分的那种真题啊，改改改成我们的题。所以说这里面当中你会发现这样的一个事情。就说你这个函数，这是多少？你这是个N次方，这个人。那这个人的话，他在邻处。对吧，因为这个人的话减去零嘛，他在零处就是个绝对值，那个等于零处理论上这个绝对值你都知道。那么，这里面当中，

我们稍微把这个东西复习一下吧。因为有些同学给忘了，我不知道同学们还记得这个事情吗？第一个事儿就说。有这样的一个函数。回答我这个函数原本在a处可导吗？原本在a处不可导。但是我在前面配上了个什么？配上了一个，就说已知什么情况呢？已知前面这个函数在x=a处是什么连续的？哎，配上了一个连续的函数，如果这个人可导他的充要条件是什么？它的充要条件就是前面配的这个函数值等于零。

还记得这个事情吗？这是个一阶的情况。这是一阶情况，你可以进行去看类比特殊的，你特殊的话就是这样。你这是s- 1。我在前面就配一个s- 1，这是最特殊的吧你，比如说这个题。那这个题的话，你发现他这个人在一次方。是不是一次方？是一次方吧，你在这个什么你在这个a处可导吗？可不可导的话，

就看前面这个函数在a处等不等于零=0吗？等于零可导。一定是可导的。它只能一次方，那如果我们继续去推广。如果这个题改成s-as-a这个人平方，他一定还是在a处。注意是二阶可导。二阶导数存在它在这个点处的二阶导数也会等于零的。但是三阶导数不存在。你记住这个经验，如果这里面当中，我们继续推。如果这人改成s-a的三次方。能理解吧，

你往下推三次方的话，就在a处怎么了？就是三阶可导。三阶可导的话，三阶导数呢？也等于零。但是四阶导数不存在。没问题吧，进而广之就推到下面去了。听懂我的意思吗？就说你这个题的核心重点就是看什么呢？你就是看这个四方。记住这个经验啊，这个经验非常重要。就说你一定注意看这个次方，

你这是一次方，你要注意这种协调关系，你s-a你是这个人。就是一次方在这个人时，一阶可导你这二次方在这二阶可导你三次方三阶可导，然后比他超过一阶呢不可导。而且内接导数等于零，你记住这个经验，这个经验非常的重要。能听懂吧？跟得上我的意思吗？要琢磨清楚这个事。好，这是这个问题。好了没？

可以了吧？那你想想那这个例子呢？这个例子不就是我们刚才你看。你刚才不就是s-a这个人的N次方吗？你再来s- 1。你给这个a取几呢？a取零你a取零的话不就是N次方的话x吗？就变成了这个人。嗯，所以说这个人在这个临处什么n阶可导n+1阶不可导，而且n阶导数等于零，你这个题你如果知道你就秒选了。好，这是这个事。能学清楚吧，

有这个经验，这个题就秒选了。就像这种情况，它在这个点处的二阶导数是什么？它二级导数是可导的，二级导数等于零。二阶导数等于零，但是这个人呢，在这个点处三阶是不可导的。你要真考了就中奖了。这个题真的是考的是一个经验，而这种特殊点呢，是考研喜欢考的。你要有这个经验，这个题就可以秒了。

那么接下来。为了把这种题啊，做的简单一点，我还是觉得非常的有必要把这个什么？再讲一个内容。好注意下这个事情。因为接下来的话，你发现如果你直接进行求导的时候就呃，非常非常的麻烦，再往求二级导，但是我们考研过程当中呃，考的稍微的话。怎么讲呢？就是如果再往下考的话，它会考到二级啊，

考到这就差不多了。哎，考的差不多了，所以说接下来我们来看看这个事情，我们还想想吧。如果有一个函数。它在x不为s0处。是可导的，注意啊，如果在不为s0处是可导的。那么，请问同学们？它在这个点处的导出。是不是可以用导数的这个定义来做？没问题吧，

你就思考嘛。导数定义来做，而且。且原来这个函数在这个点处是连续的。哎，连续的。那么然后的话，接下来我们来看看，可以用导数的这个定义来做。导数定义这个人还能不能再求导呢？很多说那根据经验不能再求导了，因为要落到连续那一届，其实这种事情是可以的。我们做那种抽象的题，是不知道未来会怎么样，

而这个题是可以的，你看。你下面是零。你现在连续这上面是零，我就录。我一落就变成导函数。如果这个导函数的极限结果是个数或者无穷大，所以你要继续加条件。继续要介绍天。什么条件呢？就是你倒了之后的这个极限结果。是数或者无穷大。我们就可以写了。则告诉我这件事情成不成立。你看不为s0的时候就是这个点，

外面是可导的。而且这个函数在这个点处是连续的。而且导函数的极限是个数或者无穷大。那成不成立呢？成立啊。那这个时候的话，你发现这两你要注意啊，有同学说那不是落到连续那一节吗？当我落完了之后的这个极限确实是个数或者无穷大，它是存在的呀，所以说这种情况肯定可以不要跟我们以前的翻滚啊，如果因为这个知识点破坏了我们原来的体系，我就有点划不来。所以这个时候你发现马上就可以写了。综合下来就是这个事情。

则什么呢？则这个点处的导函数。是不是就可以用导数的这个极限来做了？能听懂吧，就说你之外的话是可导的，你在这个点处是连续。而且你导数了之后的话，这个极限结果是数或者无穷大。那因此，该点处的导函数就等于导函数的这个极限。这能听懂吧，所以我再强调一遍，你看这个之外是可导的。在这个点处是什么呢？你在这个点处是连续的。

如果导函数这个极限结果是数或者无穷大，那这个时候它俩是相等的。没问题吧？哎，这就可以了。所以说同学们想想那这一点当中，我们再来看，如果你分析的更详细一点。那这里面当中，如果这是什么东西呢？这右极限等于它。然后左极限是什么？等于b或者无穷大。那现在而言，你这个点处的诱导数。

是不是就会等于导数的右极限啊？然后这个点处的左导数是不是就会等于导数的左极限啊？是不是这个问题啊？能理解吗？因为你发现看你就对这个人的那个导数定义使用洛必达法则嘛。你落完了之后是个数或者无穷大，不就是它吗？大家听得懂吗？所以我再强调一遍，原来这个函数如果是连续的。你这个导函数的右极限。是数或者无穷大，你该点处的诱导数就等于这个极限。如果在函数在这点连续，你这个时候导函数的左极限是个数或者无穷大，

那这时候怎么办？你这个人的这个极限就等于左导数。大家能否听懂我的意思啊？所以说这里面当中我们稍微进行铺垫一下，你比如说看。我这里面当中给了一个函数。比如说这是es- 1，这是sins。你这是s大于零，你这是s小于等于零。那么，接下来我们先验证一下第一个事情，请告诉我这个函数分段点外可导吗？分段点外当然可导。分段点外可导吗？

当然可。导分段点外是可导的。然后这个函数在这个点处连续吗？连续因为你发现看这个极限是零，这个极限是零。这个函数在这点连续哎，这个函数在这点连续。分段点外可导，而且这个导函数的这个极限会震荡吗？不会的，你可以去求一下呗。你就进行去求一下零处的诱导数。零处的诱导数是解一不振捣，它就等于该点处的诱导数。然后导数的这个左极限呢，

你左极限的话，你发现是一不会震荡，哎，它等于这个人的左导数。能听懂吗？就说一定要抠着要求做。原来这个函数必须是连续的。然后什么情况，你必须是连续，然后紧接着呢，你这个人的话，你发现你之外的话，这个导函数的这个极限呢，它不会震荡。它是数或者无穷大，

那这个时候的话，你发现就可以用这个极限逼近这个点导函数。这个东西啊，叫做导数极限定理啊，就叫导数极限定理的内容。大家听会了吗？好听明白了给我回复一，这个内容就叫导数极限定理啊。但是要抠要求。要求导的函数是连续。导函数这个极限是数或者无穷大要扣要求不扣要求这个东西肯定不行。所以说这里面当中啊，你发现你就可以做了。你这个人的话，如果硬着做，

其实非常的麻烦，但是你可以试一下。对吧，你可以硬指出。那这个时候的话，如果这个s是大于零=0，那就是s方sins。如果s是小于零，那是负的s方sins。好，大家来看看，那么首先第一件事，分段点y可以直接求直接求导的话，这是2s倍的sins。你再加上多少？

你再加上is方倍的coss，这是大于零。你s小于零的话，这是多少负2s倍的sins，你减去个s方倍的coss，这个题要用定义做，就非常的恶心了。那么，接下来我们来检验啊，跟着我来走啊，请告诉我要求导的函数连不连续连续，你看这个极限是零，这个极限是零。要求导的函数是连续第二事情，导函数的这个极限。

你看右极限会震荡吗？你求一下这个极限，零处极限是零零处极限是零，那这是零不正当，不正当的话，这就是诱导数。然后再来看导数的这个左极限呢。左极限是不是一个数或者无穷大，你求一下a，这是零这是零哦，这是零好，它就等于这个点处的左导数。没问题吧，说明该点导数就是零，那该点导数是零，

该点处又是零，那你就挂上呗。好，这是这个人，然后接下来我们就继续，你要用定义做这个题啊，这题就废了，对吧？你再看两阶导数，两阶导数继续求。那么，前倒后不倒？然后再加上前面不倒，后面来倒，你再加上前倒后不倒，

你再加上前。前面不倒，后面来倒，这是负三因你要做的非常快，然后这个部分呢，是负二倍的三因。减去二倍的cos，然后再减去2s倍的cos，减去x方倍的负三。是不是这个事情啊？然后这是大于零，然后这是小于零。能听懂吧，然后接下来我们再来看，继续来看啊，

你再看这个事情。要求导的这个函数连不连续？回答我连续还是不连续？注意哦，两件事情抠死，跟我们一起来要求导的函数是连续。然后这个导数的极限是多少？你发现这个当x趋向零正，它的导数，它的极限是多少？它的极限是零零零，它的极限是零哦，存在存在。存在就是这个诱导数。然后这个导数的这个左极限是多少？

左极限零零零哦，这是零那这个存在的，那就是这个左导数。左右导数都是零，那这不就是零吗？选b。所以这个题啊，要严格着做，用这个方法是最快用定义就特别慢，用定义你考三九六的话，你就垮到那了。这个题要用定义做三九六的同学，肯定的话，你发现你五六分钟六七分钟都做不完。就浪费时间了，

来在屏幕前跟我一起来一遍。要求导的函数得连续。第二件事情。导函数的极限不正当。能听懂吧，要求导的函数得连续。然后导函数的极限不正当，导函数的极限是数或者无穷大，它们就相等。导函数的极限必须是数或者无穷大，它们就相等好了，学会了给我回复一。但这个题最快的方法是什么？最快的方法当时秒了呀。根据经验，

直接秒了呀。这个东西可以类比成绝对值，这是它只能二阶可导，三阶不可导。最快的肯定是经验呐，要求导的函数得连续。导函数的极限不正当，导函数的极限是数或者无穷大，它们就相等。能理清楚吧，这个题好好看一看。然后再看55题。那这个题啊，我们来做一下吧。答案的那个方法能看懂吗？

他说这个人。注意了，二阶连续可导。二阶导数是连续的。那二级导数是连续我们先看这个人连不连续，那这人连不连续呢？讨论连续性怎么做，就看极限等不等于函数值。求呗，求下极限，极限是s分之fs。那你告诉我。抽象函数的起先。抽象函数的二阶导数是连续是不是能落到二阶，能落到二阶落一下呗，

落一下是它。二阶导数都连续一阶导数肯定连续等于它。所以你看它的极限是等于这个函数值的，所以这个函数是连续的。因为它函数值是这个人嘛。连续的，所以不连续不对。如果到了今天你还不知道这个事情，我真的是拿你没辙了。我我深深记得。我们下节课，上节课，下课之前的话，有的同学，哎呀，

你又出现这个问题了。这个点我们今年讲了多少遍，不下20遍吧，再做错是不是有点不好意思了？你这这这个复习就不太行了。所以一定注意抽象函数的极限落到连续那些，然后接下来我们再来看。继续吧，可以了吗？来再看。然后接下来我们要验证什么可不导，那可不导的话，你就发现当x=0的时候，它的可导性。积到零，

那就是limits趋向零。那就什么情况呢？就是这个fx比上s- 7，这个f撇零。比上一个s- 0，所以说这个题就变成了s趋向零，然后这是s方fs-f撇零。来试一下，下面极限是零，那连续极限等于什么函数值？函数值是零。那这个题其实f1撇，这个东西也可以算。对吧，你f1撇这个东西啊，

你看这个东西，你这个人呐。哦，这是s。你这个人也是零。对吧f撇零的话，这个人是在零处的函数值对吧？这是零零比零型未定式的话，我们还可以再落下。我问一个事，能不能落？可以落吧，落到连续那节你落下，这是2s，你这是f1撇s减去撇零。

我就问一个事情，还能不能再落？我看你水平怎么样，还能不能再落可以落落到，只要是存在的，落到最后是存在的，这题就对了。你看它连续连续极限等于函数值存在的，落到最后是存在的，肯定对了。可以落的好，这是它那么，所以说它可不可导可导的导函数连不连续呢？导函数连不连续，我们再来看。

波为零的时候的导函数。不为零的时候的导函数，其实谁求导就这人求那这人求导的话就是下面的平方。上面求导乘下面。减去下面求导乘上面。好了，这个题就做成这样，然后看这个人连不连续，不就是求什么，就是求导函数的极限等不等于该点处的导函数值。也就是down OS趋向零。当s趋向零的时候，你稍微进行看看，你发现这个人除下去。除下去了之后的话，

这是x。分之f1撇，你再减去个x方分之多少fx？但是这个题的话，你看f0是零没有问题。但这个题的话，你去做的时候，你看第一个人。你这是零你这个人不知道呀。对吧，你这个人得凑一下呀，你得像刚才一样做，你发现看你fs这个人，你注意了哦。你就盯着这块儿，

你fs这个人得喜欢减去f撇儿它。那所以说你这个东西得给它补一个f撇零。那后面就要加一个。对吧，你就要加一个你加一个的话，就是加上多少，你也是减去x倍的f撇零，大家能跟上吗？因为你看你这是它嘛，你这个除一个刚好是它两位减没了。好，这是没有问题的，然后接下来的话，你发现那这人呢？你这人就可以做了呀。

s趋向零。那这个极限呢？先看第一个极限，大家瞅一下啊，请告诉我这个第一个极限。第一个极限不就是这个部分吗？看到没？第一个极限是不是这个部分，然后第二个极限在哪？第二个极限不就是这个部分吗？哦，明白了，第一个极限是把这个二乘过去就是两倍，它撇撇零，第二极限就是二分之一撇撇零。

所以说就等于二分之一撇撇零，而该点处的导函数值就是二分之撇撇零，连续的，所以正确答案选几啊？选d。这题能看懂吗？所以说这个题稍微的难一点。啊，这个题稍微的难一些。这个题啊。对于我们三九六同学考这样考难度系数就稍微的大了。难度系数大一些，能听得懂吗？好，但是你注意，

如果你这样做，你会浪费大量的时间。就说如果你直接做的话，你这个题会浪费大量时间，怎么做最简单？你要像刚才那样做，你有可能会考不上的。为什么呢？因为时间不够，我说那个一整个题这样做有可能的话会浪费大量时间。能听懂我的意思吧，但是我们考研考他不会考的这么的狠，他有可能考到这儿就结束了。我们考研考有可能考到这儿就结束了。能听懂我的意思吗？

哎，注意啊，有可能考到这就结束了，这就是我们的考题，但是我们在训练的时候，你要高一级。最后是降维打击，你听得懂吧？所以说这个题啊，如果对于这个题怎么办？举例子狠一点。直接举例子。举谁呢？你举一个二阶导数连续f0是零的例子，你举谁呀？

举s方。举s方的话，你发现一个事儿，这个人你不够狠。你一点都不够狠，你看我怎么举，我就举这个函数恒为零。你不够狠。横为零举s肯定不行，你举s的话，你看你举s的话，这个这个这个情况的话。s求导的话就是它，它不行。你s诶s也可以啊。

s可以。你不够狠，我横为零，你横为零的话，你看我第一个事情满满足二级连续导数，满足了满满足，这个满足了，然后这个gs是多少呢？零除它，这是零。等于零是撇零撇零还是零，所以说这个函数啊，永远是零，永远是零的话，你永远是零，

肯定是连续啊。零的导函数还是零，它肯定可导啊。你再倒的话，还是零他这个人肯定连续啊，你说不连续不对，判断不出来也不对，选d。你是不是这个事情，所以说在这种当中，你发现你狠一点，你狠一点的话，你看我举了这个例子，排除了四个，这个人肯定对。

但是，注意举例子，不能肯定举例子，只能排除排除四个人，最后一个人肯定对。是不是这个事情？你当然还可以，怎么办？你有可能有些同学这个举什么东西呢？比如说我们这里面当中举。你就举举fs是多少是x也可以。那这个时候的这个gs是多少呢？你发现不为零的时候的话，多少是一=0的时候呢？是导函数这人在零处，

导函数是解也是一。所以说这个时候这个函数永远等于一。永远等于一也行啊。一永远是一连续的，你说不可导不对，你说导函数不连续也不对，排除别人，最后有人肯定对。这才要狠一点。嗯，所以说我们训练了这么久啊，这个强化班对我们还是挺重要，你这种能力得有。好，我们再来看这个题。

那这题怎么做呢？来，我们继续看。首先他说这个函数啊，二阶导数得存在。如果要判断二阶导，不要去想一阶导数，必须算完。所以一定得把一阶导数算完。那一阶导数等于连续。那二阶导数都存在吗？一阶导数也存在连续你这个极限是零，你这个极限是零连续的。所以先要把一阶导数都算完，一阶导数是分段点y，

直接求它，再加上b。然后这个是分段点y直接求一加s分之一，听懂吗？分段点y直接求，然后在零处的导函数必须存在。那同学们想你看我们怎么做，迅速一点，用刚才的方法，如果高级老师都用刚才的方法。这个要求导的函数连不连续？连续然后的话，你发现你这个导函数的左极限是几啊？导函数的左极限是b。存在那说明左导数就是b。

导函数的这个右极限是谁？右极限是一，所以说你的右导数就是一。那要想二阶导数存在，二阶导数存在，一阶导数肯定存在，一阶导数存在，这两对相等b1定是一把b是负一的排除。所以说这个时候b1定是1b，一定是一的话，你看这两个东西上下上下都是一了，上下都是一可以挂上了。没问题吧，然后接下来我们再来看。那请告诉我，

现在要求导的这个函数连不连续？要求导的函数连续了，然后再求一下，这是2 as小于零，然后这是大于零一，加上x的平方分之负一。连续然后的话，你再来看你这个二阶导数。你右极限对吧？你的左极限，你左极限是多少呢？你的左极限是2a？左极限是二一存在还是不存在？左极限是二，一是存在，

存在的话，它就等于这个人。然后再来看，然后这个人的二阶导数的右极限，右极限是多少？把零带进去，零带进去负一存不存在？存在存在的话就等于左导数。要想它是存在的，这两得相等a得等于负二分之一，所以答案选几啊选一。这个操作性的方法呀呃，就比较重要点了。你做这种题的话，用这种方法是最快的，

如果用导数定义就非常的慢。就这个题，如果用导数定义就非常非常难。用这种导数极限定理的这种方法可能会更快一点。能理解吧，要求导的函数得连续。你要求导了，你得连续，然后怎么办呢？然后是导函数的极限，结果是个数或者无穷大不正等。你要注意啊，用这个方法必须要扣住要求。你要不喜欢扣，要求你千万不要这样做，

因为非常容易出错。你要不扣要求，千万不能这样做啊，千万不能这样做，这是要注意的，来再来看这个题。那这个题怎么做呢？你看这个题目。这个题目其实我们应该是在基础班讲过这个事情吧。什么要求？我是在玩耍吗？啊，怎么怎么老是会犯这种问题呢？我三秒钟之前讲的。啊不，

我十秒钟之前讲的。啊，不要这样啊，就是要求导的函数得连续嘛，导函数极限不这。不是刚讲的吗啊？等我看看啊，几点了？呀，不好意思，快12点了，抱歉抱歉抱歉啊，然后我们再来看看，把这题讲完，因式分解一下2 ss。

然后这是多少负一，这是一，所以说这个题就变成了ln 2x，加上1x，再减个一。所以说这人就变成了ln 2 x+1，你再加上多少ln x- 1？是不是这个事情，然后接下来我们就来进行求n极导，那n极导就是这个人的n极导，这人的n极导可以求一下。分之二再来n- 1，记到这个人可以求一项。它的n- 1接到，然后注意把这个二是抛出去的，

能听懂吧？出去啊，直接出去。它一定是直接出去的，然后这是s- 1的n- 1接到。直接出去，然后这个人用公式，那就是as+b的n+1就是N次方啊，这是二。a的N次方n- 1次方负一的n- 1次方n- 1的阶乘，然后这是x- 1的n+1是n。一的n次不写了，然后这是n- 1的阶乘负一的n- 1次方。一整理就出来了，好，

这是这个题啊，能听明白吧？好，57题这个题来再来看这个题。呃，这个题也很好办，就这个题的话，关键有同学没有读懂什么意思。你发现他说我们这个东西。要注意啊，三次抛物线。三次抛物线应该是这样。在s0处相亲。那在s0处相切的话怎么办？它在s0处的函数值。

s0处的函数值就等于0s零三次方a倍的s0，加上b不就等于零吗？你在这个点处相切，你不就在这点处等于零吗？然后第二件事情怎么办？第二点的话就是在这个点处的导函数是三倍的x方，加上a那么就是。三倍的x0就是在这个点处的导函数，导函数平方加上a，它不还是等于零吗？能听得懂吧，这个题创新性高。这对我们三九六同学是一个创新点的题啊。他说，在s轴相切，

你就在这点相切嘛，你在这个点，你把那个切点设出来嘛，在这点处的函数值，它是等于零的呀。你是s轴上嘛，然后第二事情导函数等于零，然后这两个东西啊，你稍微整理一下就行了。对吧，把这个a和b的这个关系导出来就行，那所以说这个。你怎么办呢？你发现你把这个东西两人进行解一解。怎么进行解啊？

然后这里面当中要这两个人之间的关系。然后我们来看看啊，导这个关系的话，这个。a是等于三倍的平方。把这个s0换出来。对吧，得把s0换出来，把s0换出来的话，我们看看这个人，这个人是不是得来个三倍啊？你所以说你看第一个式子。给第一个式子来个三杯。三倍的多少呢？三倍的这个是x0的三次方，

然后再加上三倍的x0，再乘上a+3 b=0。是不是这个事情，然后就不不不是啊，有同学把你要得AB的关系。你要把x0给给干掉，你别别别乱来哦。是不是这个事情好了，做成这样。做成这样了，之后的话，你要得到AB的关系。你让我琢磨下。嗯。你这个是。

三倍的多少呢？然后这是三倍的x0的方。等于负a。好，这是这个人，然后接下来的话，这个东西可以带。这东西可以带。呃，AB。嗯，你要是实在做不出来的，你就套上面的。对吧，你就带一下上面。

你叫我想想啊。x0表示成a。表示成这个样子的话，再乘一个s0。里面还有s0呢。s轴上。AB，要不然这样。好，我们来看看这个事情，你不是要找AB的关系吗？找AB的关系的话，这个a是多少呢？a是这个负三倍的s0平方。然后b是多少呢？

b是这个负的s零三次方减去a倍的多少哦？这块还有一个a。然后这块还有一个a的话，你把这个a带进去。对吧哎，注意啊，我刚才的话，这个有点问题，有个问题点没有注意到这儿，其实这个题很好办，你把这东西再带上去。你把这东西带上去的话，你看b这个人是x0的，三次方减去a倍的s0，你把a带进去了之后的话，

这是s零三次方。你a是多少a是负三倍的，你就是加上多少，加上这个三倍的s零三次方，所以说这个人等于多少？b是b是负的这个人啊，然后这是负的，然后就是二倍的s0的几次方三次方。是不是这个事情哦？刚才我没有注意到这儿啊，这块儿还有一个a，你把这个a带上去，你a带上去的话，这是。负三倍的这个人三次方，

然后就是负二倍的，那就是二倍的，是不是这个事情好了，做成这样？跟得上吧，你这样就好办了，你这样的话。能学清楚吗？那这个时候的话，你就给他扩展，给这个人扩展几次方三次方，那就是三的话，就是27。27倍的s0的六次方，然后给这个人扩展几次方平方，

那这是多少平方的话就是四，然后是s0的六次方，两者一作比就行了。比上这个人，然后就是27比上四。好，这个人就可以了嘛，所以立即选出来。所以说这个题啊呃，刚才我没有注意到一个点呢。对吧，其实这个题很好解，我没有，我刚才一直我因为这一块整体都是s0，我忘了你看的这是a对吧，

你要盯准。你把这个a往上一带，就是b解a解就出来了，其实很快。啊，你稍微注意一下，这个晚上可能算到这儿没没有稍微注意到，但是你独立自主做的时候，你大脑一定要清晰。好了吧啊，这是这个事，就说你把这个a1摆，你把这个a往这上一带b1摆AB分离开就行了。啊58题，然后接下来我们再来看看59题啊，

这个题。那么这个题啊，他说了一个事情，他给了这样的一个关系，他说这个人是高阶无穷小说，我们去求解这个切线方程。那么，切线方程的话，它的核心重点是什么？不就是一处你再加上一处的导函数x- 1吗？你就要求一处的函数值和一的导函数值。他说这个关系是在趋向零的时候成立。去注意啊，这个fs是可导的。啊，

其实这个题。出简单了啊，出简单了，那有的人就直接可导了，直接导了，直接改一下吧。改成fs在什么在一处可导吧。这样就加难了。我我的意思你理解哦，我把这题又改成了一个新的题，让你按照这个新率的题来做，这个题就变难了。能理解吗？注意啊，这是简单题。

这是简单，因为这个函数处处可导，有些同学就可以给这个方程的两边同时求导了。给这个东西的两边同时求导你做对了。那也说你可以怎么办？你先求下这个极限，两边同时求导了之后再求极限。没有问题，你这个太简单了。我如果这个人的话，仅说什么？在什么一处可到？仅仅知道在一处可导，你怎么办呢？这个题啊，

第一件事两边先同取求极限。同取极限了之后的话，你想想。这个极限是多少呢？这个极限的话，连续极限等于函数值连续极限等于函数值，然后这个极限呢？它是零。无穷小极限是零，所以说f1是零。没问题吧，然后第二件事情你要求导数是不是要凑导数定义啊？你凑导数定义的话就是一+s。你减去二倍的，这个一减s，

你比上这个什么，你要两边比s，两边比s的话，就是三s，加上高阶无穷小除s。然后给它两边同取极限。能理解吧，好了，然后接下来的话，你发现你就可以凑导数定义了，你凑导数定义的话，你看你这是一+s，你再减去多少，你减f1，你比上s。

你减去二倍的，然后这是一减s，你减f一f一是零嘛BS，但是BS要比负s改成加号。然后这边极限呢，是三，所以这个极限是f撇儿一，这是二倍的f撇儿一，所以说这个结果就是减是3f撇儿，一是减。f撇，一是一。那所以这人就是零，这是一，这是s- 1啊。

那这个人是不是出来了？好，这是他。能听懂吗？好，跟上了给我回复一。这是这个题。啊，这是这个题目，能听懂吧？想清楚啊。想清楚，那么这个题啊，其实这样做。常规方法必须要会啊，

但这个题还能更快。我继续举例子。那你想想一个事，我怎么去取呢？他说这个人在一处的切线房产。如果我这个函数就是直线。我在一处的切线方程是不是就是我？听得懂吗？你能理解吗？跟得上我的意思吗？就说我是切，我是个直线。那我在这个点处的切线方程就是我。能理解吧。那你就把自己当成切线方程往上带。

你就把自己往切线方程往上，带你一个一个带也行，但是一个一个带有点慢。一个带一个带的有点慢，那么接下来我们就试一下，我就设这个fs为as+b。我为as+b的话，你看这是多少？这是a倍的一+s。你加上b，你减去二倍的多少呢？二倍的这个是a倍的一减s。再加上b。然后这个时候你稍微整理一下，你看这是a+as+b。

你减去多少呢？你减去这个是2a多少呢？你加上2 as- 2 a-b。然后这个人呢，必须要等于3s高阶无穷小这个东西你可以不管。零是一个最特殊的高阶无穷小，如果就直接等于一。那这个时候的话，马上出来，这是3a。3 as，你加上多少呢？这是几a？这是b就没了。然后这个人一减的话就是减a。

等于3a，所以a等于几啊哎，是吧？这是2b啊，不好意思，这是2b。然后的话，这个这是2b啊，所以说这人是3 as，然后这是a的话，这是减a。减a的话，之后的话，这两个一约的话是减b=3 x，所以说a等于几啊，

1b等于几呢b=- 1。没问题吧，负一。所以这样的话，我就举一个例子，我就取多少，我就取is- 1。是不是这个题答案呢？s- 1。那s- 1的话，这个人刚刚好。你所以用这种操作性方法就非常非常快，你要体现出来，我们三九六同学做题的灵活性。这比你刚才直接求要简单多。

他在这个点处的切线方程就把自己。自己就是一条直线，那这条直线在这条切线方程就是自己啊。好想啊。对吧，你在这个点处的切线方程，我如果自己就是一条直线。我自己说是直线的话，我在这点切线方程就是我自己。那你把自己设成直线，然后往上面待你去把这条直线当中的AB求出来。那就出来了，这个题考量了一点儿巧度啊，有点儿巧妙性。然后再来看看这个题吧。

那这题继续。他说这两个函数在这个点处的切线相同。那你就按照常规方法做嘛。我再强调一遍，一切的技巧方法都是建立在常规方法掌握清楚的条件下。能听懂吧，一切方法都是站立在常规方法掌握的前提条件下。常规方法掌握到住了之后，然后再去做。不要到了这个暑期过程当中，你发现为了技巧性常规方法不会了。先看常花常规方法能不能做，你做不了再去想技巧法。对吧，好了，

那么接下来我们就继续，我们再来看，首先第一件事函数值相等。你把零带进去，那就是零第二件事情，导函数值相等，那这人导函数是多少？导函数值就是e的负的arc tangents的平方。真再求导是一+s^2。把零带进去呢，一的零是一，这是一。好了没好，这个人就做成这样，说明俩人函数值相等，

导函数值相等。可以了吧，那你就举例子啊，这可以秒了，对吧？你就举谁呀？你举谁的函数是这样举s呗？这个往里面带，那这题的话就是limit n趋向无穷大，然后这是n再乘上n分之二本题结束了，等于根号二答案选c。你说这题能花费到30秒吗？那30秒都用不了。所以说这个操作性水平强了之后，水平点异常的高。

你看，所以我一直跟你强调一个事儿，我们三九六同学这个做题的这个巧度还是挺重要。你说这题直接秒了啊。当然了，有的说那我按常规方法做，那常规方法也能做，那不就凑导数定义吗？你这人进行凑导数定义，你凑几处导数定义，零处导数定义，那就是零加n分之二，你是不是再减f零啊？f0是零嘛，你把n除下去，

你在这儿补杆儿这来杆儿。那然后的话，这个时候你发现哎。这个极限存在不存在。结构出来再看零是存在的吧，而且这是零帧没有关系，因为导数是存在的，导数存在左右导数都存在。那既然是根号嘛，你里面极限是多少？那结果就是二倍的根号f撇零嘛，等于根号二。里面是三根号三，里面是四根号四，里面是五根号五，

你说做根号的极限，只用做里面的极限。是不是出来了？你这样做也可以，你看按照刚才这种操作性方法，那水平点异常的高好，再看这个题。那这个题啊，让我们去求解，在这个点就出到切线方程，那切线方程有两个事情一处，但是一告诉你了，那就直接做，就是求解一处的导函数。s- 1。

那不就是什么？就是隐函数求导吗？隐函数求导方程，两边同时求前导，后不导，前不导，后来导，然后是s分之二，然后是四倍的多少s三次方。把一旦取，一旦取，一旦取，一旦取，这是四所以说y到一等于几啊？y=1=1，

所以说这人等于一的话就是一，加上s- 1就等于s正确答案选几啊选一。好了，这个事情我们就讲到这啊，跟得上吗？听明白了，给我回复一啊。好，这是这个题，所以啊呃，这个强化的训练呢，其实对我们而言是比较关键的，就做题的话，你你发现你要稍微的话，注重这东西的灵活性。

这个灵活性还是比较强的，那行吧，那么今天我们就讲到这儿。可以吧好，这是这个事情，哎呦，12点了，不好意思，抱歉抱歉，这个今天讲的时间有点晚了哦，原本今天这个原本十点讲。但是这个十点的话呃，因为有那个有那个规划课程，明天晚上是我们的规划课程啊，明天晚上的九点。

九点半是我们的规划课程，所以如果在复习过程当中啊，有问题明天过程当中，我们可以继续好，那么今天课程呢，我们就讲到这吧，好早点休息吧。好，明天见啊。呃，另外一个事，那个图书啊呃，图书的话，大家应该都收到单号了，应该估计很多同学明天都会收到了。

我今天也没收到，但是我看到这个网上有同学的话，已经收到了，对吧？已经收到了这个呃，大概就明天吧，明天的话应该就差不多了。都到了，我都没有看到。哎，行，好了，那就是这个事儿吧，我的我我是明天上午能收到。行，

那么今天课程呢？我们就讲到这儿，那明天继续吧，好，明天上午见。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册