01.强化决胜300题精讲【1】

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:53:37

接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。呃，那么今天晚上我们就继续吧，我们再来把这个呃，这个习题当中啊的一些问题点，我们再来跟同学们去讲一下。呃，这里面当中啊，我们会主体来讲啊，

每道题我们都会讲，所以说这个决胜300题啊，也是今年暑期过程当中我们的一个福利性的课程。啊，就每个板块的东西啊，你自己有问题的点，我们都会跟同学们进行去串讲一下好了，那么接下来我们就继续开始吧，我们来看看这里面当中的第一个题。呃，这些题目啊，我先提前说一下，一定要提前做，你做完了之后再来听，而且这些题跟我们强化课程的部分东西啊，

完全是匹配的。啊，一定是匹配的，你做了这些题了之后的话，你会发现不就是上课讲了哪些点，我们这个作业当中啊，一定会有哪些题的设计。好，我们先来看看这里面当中的第一个题，他说这个函数在负无穷到正无穷啊，稍等会儿。切一下。他说这个函数啊，在这个负无穷到正无穷上是连续的，而且这个函数啊是个奇函数，

然后这里面当中啊，考察什么东西呢，考察这个零到s这个东西是偶函数。然后这个第二个人的零到s是偶函啊，这个奇函数，然后偶函数啊，这个是偶函数，这个奇函数那这个题的核心重点考的什么呢？我们先来复习一下知识点。那么，作为这个题啊，我们的核心重点有两个事情，那第一个事情啊，其实就是变上线函数的奇偶性和周期性的问题。那么，

在这种当中啊，我们稍微把这个知识点呢，我们来回顾一下变上限函数，如果被积分函数连续从零开始，这个人呐。其实就是它的一个原函数，而且是它最牛逼的原函数，这个东西啊，叫牛逼霸，那这个牛逼霸具有什么特性呢？我们都知道，如果里面是奇函数。外面是偶函数，里面是偶函数，外面是奇函数，

如果这个里面是周期函数，必须要保证一个周期内的积分为零。它才是周期函数，所以说如果是周期函数，你必须要具备这个特性。那这就是我们变上线函数的这样的一个呃，就是性质奇偶性和周期性的性质，而且我们上次课还讲过，如果这个人是a到s怎么办呢？a到s这个东西非常简单，你就把它写成从零到s这个东西，然后再怎么办？再加上a到零，然后这个ftd t。那这就是个数啊。

所以说这个东西其实就是这个牛逼吧，上下平移的结果好，这是我们讲的这个第一个问题点，然后第二件事情我们还得进行去复习一下，两个重要的这个奇偶性的函数。那么，这里面当中的第一个人就说，如果这个函数的定义域关于原点对称，我们就不说了，那就说如果是fs和fs相加呢？偶函数。fs和负s相减呢哎，这是减号。哎，注意，

这是个减号，那么相减啊，这个东西是个奇函数相加是偶函数相减是一个奇函数，所以接下来我们来看看这个题目。那第一个题就非常简单了，你看吧，这是一个函数和负的它，然后怎么办？相作和那很明显，如果你把这个人看作成gs。那这东西不就是奇负s吗？两个相作和那这里面这个东西很明显是偶函数，如果里面偶函数从零开始是奇函数a不对。然后第二人呢？第二人的话，

你可以这样写，你把这个东西写成这样。那如果这个东西是gs，那这个东西就是g负s两相减相减，这个东西就是个奇函数，里面是奇函数从零开始是偶函数，这个又不对。好，我们再来看看下一个人，然后这个人是个奇函数，然后这个人是个奇函数，奇函数乘奇函数是偶函数。里面是偶函数从零开始，是奇函数又不对，然后接下来再看你发现这个函数是个经典的什么函数啊？

奇函数吧哎，这是要知道的，叫做反双曲，这个什么正弦函数反双曲正弦函数的三个特性。然后这个东西也是个奇函数，奇函数加奇函数呢，扔一个负s进去多个符号，多个符号整体多个符号，奇函数里面是奇从零开始是偶函数。没有问题，正确答案选择d选项，那么再来看看e选项奇函数的导函数是偶函数。然后这个东西也是个偶函数塞，一个负号进去不动不动，里面是偶，

里面是偶，然后从零开始是奇函数。那然后在上下平移一个数。你平移一下了之后，奇函数平移一下就不一定是奇函数了，所以这个人呢，不对，正确答案选d。能听懂吧？好了，这是第一个事情，能学会吗？来继续吧，再来看第二个题。那第二题啊，

他考了这样的一个事情，他说这个函数下列哪个函数在一到正无穷上没有接。对吧，无界那这题考了什么就考了扯面定理。对吧，这个题的核心重点就考了扯面定理，那么接下来我们来把这个扯面定理这个内容啊，我们先来跟同学们复习一下。扯面定理是什么？就说如果这个函数啊。你发现它在一个开区间内连续。那这个时候一定要保证一个事情，你要保证什么呢？你要保证这个单侧的这个极限，结果是存在，

就是这一侧。啊，这是a阵这一层。然后呢？还有一件事情就是必负这一层。啊，就是这两侧极限都要怎么办？存在如果这个存在啊，我们就可以说明在这个区间内是有界的。能理解吧，那么接下来我们来稍微进行去把这个东西啊，我们稍微更改一下。那如果这个人是左臂右开区间点序呢？我们只需要研究哪一侧，你这个时候只需要研究壁赋这一侧。

能听懂吧，因为这个点连续极限一定是存在的。你极限绝对存在，我只需要研究这个壁赋这一侧，如果极限是存在，它就有界，如果这个人是这个情况呢？你只需要研究哪一侧？你只需要研究a阵这一侧。那如果这个人是a到正无穷呢，你就只需要研究正无穷这一侧，如果这人是负无穷到b呢，不要背哦，你只需要研究这一侧。所以说双开的时候就研究这个开区间的两侧。

然后一开一闭的话，只用研究开曲线这一侧，你听懂我的意思吗？因为这个点处如果连续极限本来就存在，不需要研究好了，那么接下来我们一起来看看这个题。那么，对于abcde这几个选项，那么同学们告诉我，首先第一件事情，这几个人是不都是初等函数啊？有没有问题？全部都是初等函数，第一个人是初等函数，第二人是初等函数，

第三个，第四个，第五个都是初等函数。那初等函数怎么进行去研究连续区间啊？大家注意，初等函数它的定义区间。就是连续区间。对吧，你的定义区间就是连续区间。所以这里面当中啊，我们先来看看这里面当中的第一个事情，你告诉我件事，这个人的无定义点是不是零？无定义点是零，你既然你的无定义点在零处。

这是没有定义的，点一到正无穷呢，哎，这块都连续。所以一到正无穷，都连续它的无定义点，也是零它的无定义点，也是零无定义点是零，那这个人无定义点呢？这个人没有无定义点。那所以同学们想想一个事情，那这几个人是不都在一到正无穷上连续啊？你听得懂我的意思吗？所以它它的无定点是几是零那一这个点处是有定义的，也就说这几个函数都是在一到正无穷内连续。

那要想看看这个人有界有界没有界，只用去看谁，只用去看正无穷的极限，这没问题吧？好，先看第一个人。那第一个人的话，在正无穷方向极限是多少？你求一下，那这个正无穷的极限的话，你算一下呃，这个前面是x方，然后这个是0s in框，立即等价无穷框就是一。哎，

这个方向的极限存在，所以说第一个人呢，有借到不对好再看第二个人，那第二个人的话，我们先看第三个人吧。第三个人的话，这是limits趋向正无穷，你看这是平方当s趋向无穷大的话，这块趋向零，那这人就是框等价无穷大，那这是无穷大无穷大呢，没有界。选c，然后你再看看最后一个人呢，你最后一个人的话s趋向正无穷的时候，

你这个人是es分之平方。你趋向正无穷的话，上面是无穷大，下面是无穷大。而指数函数远远比你大，这是零存在，真是有界。是吧，你再来看d选项呢，你d选项的话，当s趋向正无穷，这一项的极限是零阿尔克碳，正体是天然有机。无穷小乘有界，无穷小极限是零极限，

存在肯定是有界，那最重要的一个问题啊，其实是b选项。那b选项的话，你来看看。如果你进行去算b选项，首先第一个人的话，这是sin x方，然后这是x方分之ln x方。你发现没？你下面这个人比上面大的多，这个结果是零。因为趋向正无穷嘛，但是这个东西是震荡的呀。我们想过，

如果这个方向下极限存在这个方向下有界，如果这个方向下极限是无穷大，这个方向下没有界。如果这个方向下是震荡的，这个东西不知道，所以说这种情况就不知道了呀，那怎么做换一个方式？那你想想，我就看这个人。为什么只看这个人呢？因为前面本来就有井。你发现吗？这人是零，那说明这个人在正无穷方向有界，而这个人本来就有界有界加有界是有界，

所以说这个b选项呢是？是有界的。我们选无界的，只能选c这题过去了，可以吗？那速战速决这个题可以做的非常快，就是考了扯面定理。第一步，先看定域。先看到定域了之后的话，如果是左开右开，看双侧左开右闭，看单侧。所以这种情况你要想清楚好了，这是第二点来继续吧，

再看第三个题，第三个题啊，其实这个题呃理按理说的话，我们应该出成选择题。对吧，我们应该穿成出成这种选择题。嗯，哪个分母啊？哦，这个没有平方是吧啊？好了，那么接下来我们再来看看第三题啊，第三题这个东西啊，是一个非常重要的一个基础，对吧啊，

非常重要的基础。b选项没有看懂啊，你这是上课得好好自驱一点了。b选项非常的简单。震荡的时候不知道我上课讲过有原模原样的这样的一个题。这个看不出来，怎么办呢？你就拆分成两个，你这个极限存在有界那个前面本来就有界有界加有界是有界，你上课得要注意这种。东西的这个复盘呢，这个很重要，上课讲过类似的题，你再看看吧，好了，

那么接下来我们就继续，我们再来看。那么这个题啊，让我们去确定等价无穷小这个题完全的基础，而且这个题目的难度系数是超过我们的考研真题的。来看看这个人吧，有些是比我们的低，但是有几个是比我们现在考研难度系数要高一点的。来看这个人吧，第一个人是乘法，你像这个的话，考研的话难度系数就非常低了，你这个东西可以等价，这个东西等价等价不成s。当x趋向零的话，

这是零路引一加框，立即等价无穷框，然后这是二分之三次方接触，是二分之三。然后再来看b选项呢，第二个人呢？第二个人有些同学可能是这样做。你减个一再加s方。我眼睛一瞅的话，你发现这个人是几节二节，这人是几节二节？但是你发现如果把第一个人等下等下的最简形式是它最简形式是它诶，你发现消掉了。那这人就不行，如果等价的最简形式能够消掉，

那这个东西就错了。对吧，不行那不行怎么办？不行的话，这个题考什么呢？它就考了这个人s趋向0e的x-1-s。立即等价无穷，二分之x方。那么，如果这是框趋向零呢？一的框减一减去框等价无穷，二分之一这个框的平方。所以当这个什么东西呢？你看这个人，他就可以怎么写e的负x方，

然后把那个加呢，就减去x方，然后再减去一就是二分之一，这个人的平方四次方。是二分之一x四次方，你还记得这个题，我们上课讲过原模原样的题吗？有一个题就是这样，你要稍微注意一下，这是四解。来再来看看第三个人。那这个人呢？你都知道e的x方减一，如果等价是它，我只是看一看。

然后ln一个函数趋向于一，立即等价无穷小，这个函数减一老朋友了负的二分之x方。也就说，如果都是二阶等价的最简形式消掉了，还是没有消掉，没有消掉，那就可以。等价的最简形式消不掉，那就可以，你就直接两板斧嘛，对吧？再来看第四个人，第四个人呢？喜欢考。

就是你发现我们所有的等价无穷小公式当中，就喜欢考最后一个人。而且喜欢考根号，喜欢考里面是负的，所以这个人怎么办？你得稍微调一下。啊，你得稍微进行调一下，那这人得怎么写呢？你看第四个人，你调一个负号，那这是根号下。一减根号x开三次方，你减个一。能理解吧，

然后这个东西前面有个负号。好，我们来看看这个人，你不要说这个东西不会啊。来我们看看。开三次方，前面就是三分之一，如果这个是正的，这是框那所以说就是。负的根号x。所以说这人就是三分之一倍的根号s出来了吧。你不要看那么慢哦，你一定要看得非常快。你必须要看的非常快，那这个东西的考点的部分内容就是这样，

就是考了什么东西呢？一+s开N次方减一。如果开n，那就是n分之一，这是框，那就直接是它。如果的话，你发现这是一减。上面是nn分之一，你这是I框，然后这是减，那就是负x。能听懂吧，那你刚才这个人的话，你发现你看没有开几次方三次方，

然后这是一减s的，我忘了是多少了，你别管，你别管这个题，我就出了这个题。你看这是不是框？然后这是三分之一，然后负的负的根号s。一定要速战速决啊，就说我们做这种东西的速度，一定要把它摆上来好了，这个点。那么所以说接下来我们再来看看第五个点。第五个怎么做？两根号做差，

立即怎么有理化这个东西加一减一做不了，你只能进行有理化，有理化就变成了根号下一加上探针题。你加上个一，加上这个三分之一，然后呢？这个东西的话有理化，之后的话就变成了上面平方减下面啊，这个这个平方减这个平方。然后这个时候的等价多少呢？我们再来看你，发现这个极限是多少？那这个极限是二分之一吧，你趋向零二分之一，非零因子可以淡化，

那这个人等价多少提一个tangent是二分之一x三次方还记得吗？你做多了，早都把它记住了啊，这是这个人，你基础班做第一次，你记不住，你做两次做三次做四次，你做了好多次了。这个一定要速战速决。好了，这是我们讲的这个第三个人来继续吧，再来看下面一个。那第六个题呢？你怎么做呢？你看这是平方，

你这是减那这时候我会想什么？我会这样想，这是一+s^2，我减个一。我减个一的话，你发现这个后面这个人我也减个一。俩人都减个一就可以了吧，然后接下来我们看，如果第一个人等价是他。因为里面是框嘛，然后你看开二次方，这是二分之一，这是负的负的这个框。所以说这个时候你发现一个事儿诶，都等价的最简形式，

两个东西约得掉吗？约不掉，约不掉就直接等，那就是x方。你听得懂我的意思吗？好了，再看这个人。第七个人，你第七个人的话，你再看诶，你cosines这个减个一我，然后再加个一一减cosine二x。如果这人等价是负的二分之x方，如果这人等价是二分之一二x的平方，结果发现还是约不了，

约不掉的话，这个东西又出来了。对吧，约不掉又出来了，那所以说这个结果是多少？那这个结果又是二分之x方二减。啊，这是非常快的，然后接下来我们再来看看第三个人，你看这个人是二分之一次幂。大于零次幂对吧？大于零的次方幂里面可以先等价里面等价多少？里面等价s还记得吗？就这个人反双曲阵前，在趋向零阵的时候，

他等价这个人。然后再来看第九个人，你看大于零次幂里面可以先等价，这是二分之一解一解，二分之一解一解和取第一节根号s。x的四分之一次方。然后再来看看下面一个人。哎，哪个人呢？哦，这是二是吧？这是二分之三哦，不好意思。好了，那么接下来我们再来看看第十个人，

那第十个人的话，你看这是个对数，那对数的话，你就写成一减s，然后再减去多少ln多少。一减根号x听得懂我的意思吗？好注意，如这个第一个人的框是负s，如果等价式负s。第二人如果等价式负的根号s。前面是一阶，后面是负二分之一啊，是后面是二分之一节，因为是二分之一次方和取第一节，那就取第一节。

然后这人等价，你看这个人框是负的，它ln 1加框立即等价它根号s。那所以说这个人是更好意思呃，其实你会发现这些题啊，出的都比较贱，对吧哦，我在编的时候啊。稍微的话进行去呃，让大家进行去多走一点，这种苛刻的心得体对吧？将来过程当中，你在处理的时候其实就非常轻松了。就是在编的时候啊，你其实看到一些事情里面很喜欢考这个富豪，

你没发现吗？就里面。好多的话，你发现这是富豪，很喜欢考这个富豪。你稍稍微注意一下，你能把这些题做的很好，我相信别的这个事情你处理起来就没有问题了。哎，可以了吧，但是我觉得这个强化的时候你多练一练嘛。你将来过程当中就是降维打击，你不要到时候升维打击这个东西啊。好了，这是这个点吧，

我们就讲到这，所以说呃，你看看我们也没有用泰勒公式。对吧，也没有用它的公式，一定要扣住我们三九六的这种考勤进行去处理。能听懂吧，你要注意抓住我们三九六同学的考题。好，这个点呢，我们就讲到这再来看这个题。那这个题啊，他说下列无穷，小量当中比其他三个人更高级的是就无穷小量定阶嘛，那无穷小量定阶。

第一个人不好看，我们先看第二个人，那第二人呢？一减cos方呢？离以积怎么办？那就用平方差公式呗。一减它一加它，所以说你看平方差公式一下，然后这个时候趋向零的时候，这人是二。非零因此可以淡化，然后后面这人等价无穷，二分之x方，这是平方，因此这个人是二阶。

然后再来看看第三个人呃，第三个人的话就非常快了，你看这是框吧？那然后是正的，那就是三分之一，这个框你看你越做越快，这人是二阶。那既然取最高阶，这两个是同阶就不选了。单选题嘛，然后这人呢是二分之一x三次方，那这人是三节。是吧，所以说你看这几个人都非常简单。然后接下来我们再来看看e选项e选项怎么办？

e选项可以幂值转换吗？那幂值转换的话，你发现立即把它幂值转换一下。幂值转换一下了，之后的话你再看，当s趋向零，这是零，所以立即等价无穷，小于ln 1+I三次方。然后这是ln多少一+t an ENT，然后这个时候的话，你看这人等价三次方，这人等价t an ENT，所以等价无穷小四次方。其实我在上课的时候还给你教过一种这个经验，

我不知道同学们有没有学哦，你不学也行，你听一下就说。你这个人的极限是零吧，这是第一个要求。那这是零上面也是零两人一乘也得是零。你下面极限是零，你那个人是零，两人一乘极限也是零，所以这个时候啊，你就可以直接套，就像那个阿尔法框一样的去做。对吧，等价无穷小四次方，但是你要注意，

你要想用，你一定要要求得把它满足。没有那个要求，就不要乱用，有这个要求，再用就说下面的极限是零，俩人相乘极限是零，我们就可以用。就像一加框的阿尔法次方减一一样，但是要注意这个人的要求，不要胡来。好了，这人是四姐，那这人肯定不选了。现在关注点一个事情，

就是a选项。a选项一定要注意，这里面当中考了一个问题。考了这样的一个内容。就是limits趋向零正x倍的lns的极限是零。其实吧，limits趋向0s倍的绝对值的极限也是零。其实这个东西可以推广。就是is的p次方ln的q次方，只要这个p和q都大于零，它仍然也是零。这个还记得吗？所以说a1定是一个无穷小。但是a到底是个几阶无穷小呢？你极限是零就是无穷小，

到底是个几阶无穷小呢？我们来看看这个事儿。哎，我可以给s做个比。做了一个比的，之后的话，这个人其实就变成了ln，然后这是无穷大。零比零吧无穷，小比无穷，小是无穷，大上面是什么？第一阶无穷小，说明这个人比一阶啊，你注意比一阶。

要低，那具体是多少阶呢？我不知道，反正你比e阶低，那你比e阶低，你早都不选了，答案选几选一。好，这个题啊，也是杂揉的一个题啊，就把好多知识点揉到一起。当然，我们考题的话，有的时候它会比较直接一点，你能把这个东西啊，

你做清楚就非常好了。可以了吧好，这是这个点临阵啊，把它改一下临阵啊。你要是零的话，你这个lin的话，这里面必须大于零，你改一下就行了，按我这个东西为准的。好了，这是第四个题来，接下来继续再来看第五个题。那第五个题啊，我们是不是可以秒啊，因为这里面当中有一个非常重要的结论，

就说什么呢，如果这个人是个m阶的无穷小。如果这个人是个n阶无穷小，那他就是n倍的m+1阶无穷小。能听懂吧，来我们再来看上面是几阶无穷小等价的是一次方，你下面等价是二分之一次方，所以说是n倍的m加一阶无穷小。二分之三减，然后上面这二分之一减。里面如果等价是一减，那所以说这人是一减。好了，我们再来看这个人，如果等价是二分之一次方，

如果这人等价呢？是一一次，所以说这个人是多少呢？那因此的话，这人是一。你再来看这个人e的，这个人减一等价的是根号，那是二分之一减，然后里面这个人呢，我们都知道looning函数趋向于一，立即等价无穷，这个函数减一。其实二解这刚做的啊，二加一这是二分之三，所以这个题啊，

你看两个二分之三一样的，不选两个一一样的，不选只能选几选一。那e选项到底是什么呢？来再来瞅瞅，这又来了。哦，就是很喜欢初中，我知道你不喜欢。你想想你喜欢，比如说你喜欢做题，你喜欢做什么题呢？你喜欢做，比如说ln 1+x你很喜欢。是吧，

比如说趋向零正的时候，ln一加根号s，你看你很喜欢，然后出一个一减s，你心里咯噔一下。对吧，你会发现哎呀，很很讨厌。就就是就是，你会发现你很不喜欢这些，你看我老是怼这些东西，然后另外一件事情，你比如说。你要是一+s。比如说它的二分，

比如说这个是二次方减一对吧？等价无穷二倍的，这个什么s你很喜欢，然后如果说我出一个根号呢，再减一你很很难受。如果里面再出个零呢，这个什么你再出一个这个负号呢，你发现又很难受，你要喜欢啊来再来看上面，如果等价这个人是二姐。再看里面里面这个人怎么办呢？里面这个人得提个负号，然后是根号，下一减根号t再减一。能听懂我的意思吗？

然后这个时候你发现这是框吧？对吧，趋向零框来等价，前面是负号，然后这个上面的次方数是二二分之一，然后这是根号七，但是前面有个负号，那负负。负负得正，你看很喜欢考这个人呐，所以说这个时候的话，你发现这是多少二分之一减n加一？所以这时候是多少三你注意不是说我我喜欢怎么怎么给你除？考研他喜欢这样出啊。你比如说考研考这个极限的话，

它考的非常简单，你错一个负号就错了。所以一定注意，你要喜欢做啊。对吧，你是要去考试的，那我当然可以给你出的，非常简单，那你你起不到训练的效果，也没什么作用。好了，这是这个点哎，第五个题来继续吧，我们再看第六个题。第六个题怎么做呢？

来继续看你发现当s趋向零的时候，这是零，然后上面是零零比零型未定式吧？那零比零型未定式，这个题怎么做呢？我眼睛一瞅哈，发现一个事儿，你看这个人是个二姐。对吧，这是一个二阶，然后我又看到louie louie这个人的话，很容易创造二阶，因为x-louie一+s。它就是二分之一x方。对吧，

所以说我怎么办？我在前面减个s加个s补项法，也就说我在这减个s加个s了之后你看。这个是个二阶比二阶存在，我就把它拆出去。对吧，拆开那拆开了之后的话，前面这个人刚好约掉个s，因此啊，你看第一个人极限就是一第二极限是二分之一。所以这个极限呢，立即出来了。跟得上我的意思吗？好了，这个题有人说老师我没有会步想法，

你不可能。你听了我们的课程，你怎么可能会这个题？你不会补项法快速做呢？你必须会，但是如果你万一不得已，你没有看出来我不相信这个万分之一，这种可能性，但是如果你就是没有看出来怎么办？没有看出来，你可以落笔答案。你是不是可以落必达？你怼两下不就行了吗？来落一下，落一下这个人求导的话，

前导后不导前不导，后来的你落一下。然后继续定型，一定的话，这是零，这是一，这是零，这是一，上面还是零零比零型未定式，如果狠一点来再落下。你就落成这儿，落成这样了，之后的话，你看你下面这个人，你这是二吧，

然后这是二，这是零，然后这是解一，这是三。所以二分之三，你看这个内容啊，立即出来了。但是你发现没有补项法快啊。我们经过了一轮基础班，经过了一轮强化班，做到最后的话还是洛必达法则，那还不如在这个基础班的话直接。见题的话，洛必达那你会做的更通畅一点啊。我觉得这个补项法应该要想到好了，

这是这个事情来再来看第七个题。那第七个题啊，你发现你看当x趋向零的话，这个人等价无穷s没问题。然后当x趋向零的时候，你看你cosine 0是一，然后这是零，ln 1是零，这是框。是不这个问题，然后这是这是二。诶，这是二，所以说上面等价多少？等价无穷小于二分之一框。

不需要把它写成一加框的阿尔法次方减一了，就是用眼神去瞅，如果遇到根式的时候怎么办？开二次二分之一，里面是框二分之一，这个框你听懂我的意思吗？所以说这人呢，马上反应二分之一框。好，做成这样了，那做成这样了之后再来看你，发现里面是一罗伊函数趋向一立即等价无穷小，这个函数减一。好，做成这样，

然后这个题怎么办呢？你可以继续往下来，然后这是二分之一，这是limits趋向零，然后这是s你cos肯定跟一相碰啊，这个人。然后你可以怎么办？一阶比一阶，二阶比一阶，你可以拆开，但是这不是高手，你这是一阶，这是二阶，何取低阶是一阶啊？所以这个结果是多少二分之一？

你拆开当然可以，二阶比一阶是零嘛，一阶比一阶存在，你可以拆开，但是合取第一阶更快啊，好了，这是第七个题。你看砸着我的题就一个题，练了好多个知识点，我相信你有提高啊，来再来看第八个题。你第八个题的话，我们继续看，你发现这个题啊，这个题其实就是下面是零，

你不用看了。对吧，你上面肯定是零。那上面为什么是零呢？你做这个人。然后这是一+s的s。你这是一这是零一的零是一定是未定式啊，一定是那这人是一。一减一是零，所以这个题是个零比零型未定式，你怎么办？你见到幂值函数，立即幂值转换能做到吧？然后当s趋向零的时候，这是零×0，

这是零立即等价无效，它所以立即等价下等价了之后的话，约掉一个这人等价无效s1出来了。所以这个题啊，是可以秒的。哎，做的非常快，你见到幂值函数，幂值转换。对吧，赶紧进行幂值转换，然后一一操作这个题就出来了。好了，同学们可以了吧？好基本问题点来，

那么接下来我们继续，我们再来看看下一个点，再来看第九个题。那第九个题啊，你发现我见到幂值函数，立即幂值转换，见到幂值函数，立即幂值转换，赶紧把这两个东西幂值转换了。然后再来看看这个极限是不是零，这刚讲到啊，你不要转头就忘你去向临阵的时候的话，这个极限肯定是零。你当s趋向零正的时候，你趋向零正的时候，

这是sins乘上ln你这个人等价无穷s还是零？对吧，你这两个东西都是零，你这两个东西都是零的话，你发现就是框一亿的框减一立即等价价。你等价了下来之后的话，上面等价，它下面等价它，然后这人等价无穷x俩一约就是解就一。是不是这个事情马上出来了？好，第九个题，这个题也是可以秒的，所以说你像考，如果今年考考一个极限考两个极限，

我们绰绰有余啊。好，第九个题来继续吧，再看第十个题。呃，这个题啊，其实是个大骗子，我们先来看啊，当s趋向无穷大，你可以把这个人看成无穷，比减无穷。对吧，无穷减无穷，你也可以先不做那么首先第一件事情，你注意，

你看你喜欢第一个人还是第二个人？我肯定喜欢第二个人。我绝对喜欢第二个人。对吧，我一定是喜欢第二个人的。那第二个人的话，你发现你可以怎么做？我们先看第一种方法。当s趋向正无穷，这是无穷大，这是无穷大。无穷大减，无穷大，你可以怎么办？你可以提毛发。

是吧，我们先看第一种方法，提锚法，把这里面当中最大的锚提出来，对吧？我们先提一下。就是这里面当中当x趋向多少正无穷。正无穷把这个卯提出来，这是x方，然后一加上x分之一，你再减x。你要注意一个问题，你现在是大于零的，你就直接把它开出去，你开出去了之后的话，

其实就是limits趋向正无穷。然后这是x那这是多少根号下一加s分之一再减一？那然后这个部分的话就变成了limits趋向正无穷，这是它。你当s趋向正无穷，你看这是框吧，你上面是二，那就是二分之一倍的它，所以它是二分之一。是吧，二分之一那如果的话，让我们去算第一个人呢？你见到负无穷，我立即的反应是什么？我赶紧做一个负代换。

能听懂吧，你不要在这儿迟疑啊，赶紧把它变成正的，你就没有出错误的点了，那这是t方，然后再减t，然后再加上个t，你看这题结束了。为什么呢？你想想你这项是正无穷吧，你这项是正无穷吧，俩人都很大一家必然很大，这是无穷大。那所以说这个题的正确答案选几选d？你要注意，

如果你很大。我也很大，俩都很大，一家肯定很大，如果你很小，我也很小，我俩一家，我们会更小。但是你发现你很大，我也很大，那我们一减呢，这是未定式，然后的话，你看如果是这个情况。哦，

写反了是吧？那选a是吧啊？如果你这是这个人，你很小减很小呢，这两个东西是未定的。所以说这种情况就出来了，你要注意啊，就说俩人都很大的时候，你相加会更大，两都很小，一加会更小。但是两个都很大一减呢，不知道不一定是，所以这题的正确答案选a。可以吧，

这是第一种方法，当然除了这种方法之外，我们还可以怎么做？我们还可以在这里面当中啊，有理化。我们还是喜欢做谁呢？你还是喜欢做正无穷。其实这个正无穷的，这个情况是最简单的，你这是s方，再怎么办加s？你是吧，你所以说这个人的话，你看你s是大于零，你大于零的话，

根号x方等于这个绝对值就会等于本身，我把它写成多少？这个人所以说这个人的话，你发现我们继续看。那这个时候的话，当s趋向正无穷，你就可以怎么办？你有理化一下，有理化其实比这个提摩法我觉得还快啊。然后上面就是多少x那这时候怎么办？我就可以抓大头了。变成无穷比无穷，就可以抓抓你，抓他，抓他，

然后这一开二分之一。是不是这个情况，然后第二个人的话还是这样，你先看啊，当s趋向负无穷开方，它必然是正无穷。然后这是负无穷，负负得正，然后又是个正无穷，正无穷加，正无穷，正无穷，所以说你还是选a。你听懂我的意思吗？所以说注意这种问题啊，

像这种无穷大减无穷大，你可以这个怎么办？你可以提毛法。你也可以有理化，其实有理化还挺快，另外一件事情，见到负的立即付贷款，不要有任何的迟疑，如果今年考研真题当中遇到这种事情，你见到负的立即付贷款。你不要按照这个负的做，你就非常麻烦了，你要注意这种速度，这种定势思维好，第十题我们再看11题。

11题这个题啊，其实是个很好的题，但是初中我们这个样子啊，它应该是很简单的。那么，首先我们先看这是零，然后这是一减一，这也是零。对吧，零比零型的未定式，你不要这样做，很多说cosine零是一，这是一一减一是零一，除它是零选a，我疯了。

这不是非零因子，可不能这样做，那这个题怎么办呢？我们先来看看。诶，这个部分的东西的话，你发现诶下面这东西是一个几节，你下面是二节。下面二阶完美。我cos in就喜欢二阶，那我减个cos in，这是不二阶？那这个是二阶，二阶是不是就可以拆出去了？然后另外再加个cos in，

你就可以把这个cos in提出去一减cos in二x。那这个时候就完美了，然后这个时候你看你单做这个极限的时候cos就是个非零因子了，下面是二阶出来了。所以说这个题啊，采用补项法的方式啊，是比较简单的，我就给它减个cos in，我再加个cos in，然后这个时候加减法当中见到存在就拆开，我把它拆出去。那拆出去了之后，你看第一个人。第一个人的话，这人是二分之x方，

所以第一个极限就出来了。然后再来看第二个极限，第二极限的话，在这个极限当中，这是非离子，可以淡化，后面是二分之一二x的平方。那所以说这个题啊，立即结束了，所以我们接下来我们来看看这个结果能听懂吧？马上出来。呃，这是第一种方法，那其实这个题啊，也很简单，

你想想我们还可以怎么办？如果实在不行的话，就洛必达。对吧，你就落呗，你这个人一求导是一级，我一求导上面这个一就没了，前导后不导前不导，后来导。凡是的话，你看看第一项的时候，它求导变成s in一一解，后面是非零因子。后面求导的时候变成3a，前面是非零因子，

反正一求导的话，这两项都是一解，所以我们可以试一下，我们可以洛必达。一落的话，你看前倒后不倒前不倒，后来倒这个你要会做啊一落，然后接下来我们来看看这个人，你来给我盯住这个人。存不存在？你想想s in如果是除法的时候，它就等价乘x这个cosine极限是存在。那这人也存在，那这个时候的话怎么办？我们就可以拆了。

我立即拆成两个。因为你要注意定阶的时候，如果你在定阶，这是一阶，这是非零因子。所以它就是一解它可以拆，然后这个人呢？这个人非零因子，你看你这个时候你可以做当s趋向零的时候，这是2s。它等价物出来，非磷因子可以淡化。当s趋向零的话，这是二s非零因子可以淡化等价无穷二s，所以说第一个人是二分之一，

第二人是减，第二人是二二分之五。是不是也出来了，所以这个水平点也是可以的，就是你做这个事情的时候，你洛必达法则也无可厚非。对吧，也可以啊，你怎么样都行。好，这是这个题，留一个思考题。如果这里面当中考的是这个人。哎，您怎么做？

下去想想，留一个思考题，那这人怎么办呢？我也可以补项法，我减个根号cos in，我再加个根号cos in，一拆就出来了。你可以试一下，而且一减cos的这个开方，他这个人的什么你就是开这个人啊，一减。他用到了这个人，就是s趋向零的时候，一减去cosines开N次方，这个人等价无穷n分之一倍的二分之x方。

是吧，也是可以的，你下去可以思考一下，哎，这是这个点。对吧，考了这个人来，那么接下来我们继续啊，我们再来看看下面一个题。12题呃，这个题啊，我们先做啊，这个题嗯，有些同学可能观察出来了，这个题有问题啊。

这个题当时没出好，有点问题，我们先讲讲吧，先看看哪些好做。你首先看第一个人，你趋向于零的时候，零分之一是无穷大，这是无穷大的零次幂。好，我们先不做了。啊，这个先不管了。然后再来看看c选项c选项的话，你看无穷大分之一是零一的无穷大次幂。那e的无穷大次幂的话c选项好做e的这个极限符号，

照抄头顶部分，照写d- 1。e的负一次方。对吧，如果你是个考生，你就直接做啊，对吧，不要思考，不用不用去想那么多，然后去向无穷大的话，这是一的无穷大。然后你看e选项e的这个什么极限符号，照抄头顶部分，照写d- 1。那这人是e的负二次方咔咔的不选，

然后我们再来看看b选项b选项的话，你看。你趋向无穷，大那无穷大，你发现当x趋向无穷大的时候x分之一是无穷小。成有阶，这是零。那所以说你看看这个b选项b选项，这是零的话，这是一。然后上面这是零一的零次幂是什么式一的零次幂是一定式。一定是啊，那就是直接结果，那应该是一它也不对。那么，

现在关注点一个问题啊，就是a选项等于多少？对吧，我们现在关注点的一个问题点就是a选项到底等多少？你现在看a。a选项是无穷大的零的未定式。无穷大的零的未定式的话，你发现你看我可以怎么办？你这是这个人。我就可以直接来做e的极限符号，照抄头顶照写l底。是吧l底。那l底了之后的话怎么处理呢？那这个时候的话，你发现这是limit诶，

这是路印底。没问题吧？好这个人，那这个时候的话，你看做成这样，你做成这样了之后的话，你发现你令x等于分之一=t。那就t趋向无穷，大t就跑下面来了，然后这是多少ln 1+t？罗伊一加t了之后的话，你发现这是无穷大比无穷大，你可以洛必达一加t分之一，这是零e的零是一。但是你要注意啊，

这种解法有问题。这种解法是不对的。啊，这种解法，但是像我们考生，我们作为一个三九六的考生，你其实不用想那么多。你考试过程当中啊，它会给你非常严格的这个内容的。那么，接下来我们就来思考一下a选项和d选项。我们先来看看a选项。其实a选项是有问题的。因为你想象一个事情，你如果做一个幂值转换。

幂值转换是等价的e的x倍的ln一加s分之一。你想一个问题啊，你这里面当中必须大于零吧？如果x是趋向于零正。那这大于零没问题，如果s趋向零负，你趋向零负一加s分之一就趋向负无穷。你趋向负穷，ln一加s分之一就没有定义啊。是不是就没有意义了？所以说你就会发现我们刚才讲过，我们说如果这个极限要想存在，必须要保证这个被求极限函数在趋向过程当中处处有定义。那所以说你就没办法进行去保证这个东西有定义。所以说它是不存在的。

违背了这个极限的什么东西呢？存在的必要条件，所以说做这个题啊，你应该这样做对吧？这个题如果考研出题啊，它肯定会出零帧。哎，零帧零帧的时候的话，这个人其实就是无穷大的零的位定式就是e的极限符号照抄。头顶照写落印底。这是没有问题的，然后这个时候再定x等于t分之一，它就等于e的limit t趋向于正无穷。然后这是t分之ln一加t哎，你可以做一的零，

这是一。这是没有问题的，但是你要注意一个问题啊，如果这是limits趋向零负。哎，这个情况，那这个零负这个人呢？你要注意，如果进行去求极限的时候，零负你e的x倍的ln多少？一加x分之一。这个东西呢，是不存在的，所以说这个极限它不是一，它是不存在也不是一，

也不是一哦。是趋向于零帧的数是一。趋向于零负的时候是不存在的。能听懂吧，而且有些同学容易写成一，你注意什么时候才是一啊？我把这几个东西梳理一下。就是符合一的无穷大的最简形式，你看。这是一的无穷，大的时候它是一。如果s趋向无穷大，你这是多少？你这是一加s分之一，你这是s你这是一的无穷大最简形式它了。

但是你发现看刚才这个人，你趋向零，你一加s分之一s，它是什么无穷大的零啊？你听懂我的意思吗？它就不是重要极限了，好了，这个题啊，听明白了给我回复一啊。可以了吧，这是a选项，然后再来看看d选项呃d选项，其实这个题。呃，如果你按照什么情况呢？

你发现d选项，我们先这一页记完了吧？我把这个清个屏啊。好，我们再来看d选项。d选项，如果你正常着做，就说limits趋向多少无穷大S分之一无穷小乘以有界无穷小，这是零。那里面这个人是一。你x分之s in这人是零，那零分之一就是无穷大，你按照一的无穷大来做的话就是一的极限符号照抄。头顶部分照写，然后再来抵减一s分之三，

然后等于e的一次方。但是这个题其实不对啊，这个题不是一这个题有问题。为什么呢？你想想。当s趋向无穷大的时候。你塞印这个人图像是什么？你看s in这根图像。就是它会比如说中间，它会如果趋向无穷大，它会有无数多个零点。对吧，具有无数度过等于零的点。就是趋向无穷，大的时候sins可以等于零。

就有好多个等于零的点，你在那些点的时候的话，你发现这个sins分之s就无定义了。对吧，这个东西就没有定义了，你没有定义的话，你发现一个事，你这个人就不行了。你极限要想存在在趋向过程当中，你得处处有定义，所以这个你就不行。这应该是不存在的。这个题不是e，是不存在的，所以说这个题啊呃，

是我们把这个出题的这个点的问题。所以说在考试的时候，你做的时候你就呃大可放心稍微看一看。稍微看看你就正常着做就行了。有的时候过于小心啊，你在考试过程当中也未必是一件好事。但是稍微小心一点，当然也不是件坏事，所以我觉得这个考试的时候如果出的是纯计算题，他不会在这里面折腾你的。而且你是可以先看一下选项，你比如说看那个选项，我举个例子。比如说它出了这样的一个极限题，它的abcde这几个选项，

比如说都没有不存在的情况，你就不要往这上面想了。你听懂我的意思吗？我们都是选择题，你要会做题啊。就说如果这些选项全部都是什么存在的数，我就不要往这上面想了，你就正常的做就行了。好了，这是这个点能听懂吧？来继续，我们再来看13题。呃，13题改一下啊，这是四啊。

好吧，这是四改一下啊。那是四，所以说这个时候我们来看诶，这是框。四四分之一框照抄诶负的负的。所以下面这个东西啊，立即等价成这个人，然后这个时候的话，你发现零比零型未定式变线函数极限，立即使用洛必达法则落下吧。那这时候的话，你发现一落。s趋向零那这时候上下面求导是负的I三次方，你上面求导呢ln 1+s in多少？

s平方，然后这个中间变量呢二倍的s in再是cos in，然后这个时候的话，这个limits趋向零，它就变成了。负的x三次方，你看第一个人等价无穷，小于sin x平方，然后这是二倍的，这个人可以等价非零因子可以淡化。然后继续等价平方，所以说结果等于负二正确答案选几选b。可以了吧好，这是这个题来接下来继续再看14题。那这个题啊，

你发现呃，首先一看那这个题的操作的话很明显啊。你这个人下面是几是零，上面是零零比零型未定式零比零型未定式变现函数，你首先里面不能有自变量。非标准型必须要变成标准型。这上课过程当中是不是讲的情况来令多少xt=u把t换成u，如果这里面当中啊，你发现。如果这个t是1u是xt是su是s方，然后这个东西就是sinu。然后dt呢，你要注意t是等于x分之一u就是x分之一倍的du，就说你在t和u之间调换的时候x充当常数。s分之一这个东西啊，

它出去。这能看懂吗？所以说这个极限一下就变成这个人。一下就变成这个人，因为对u积分s是个常数，然后再把这个s放下去，放下去的话，其实下面就是两个。然后这个题就是个零比零型未定式。那洛必达呗，那还能想吗？那下面这个人呢？你发现我如果在这里面当中一求导我，一求导是多少？2s上面呢是sin x方。

然后这是2s，然后再减去sins×s好做成这样能听懂吧诶，这个人会求那会求了之后的话，你看。你这个人约个2s的话，这个极限是零，你其实可以看阶你上面这人是几阶三阶，你这人是几阶二阶合取第一阶负的x倍的s in。立即等价负的x方，然后这两者一除就是零。你说这个题啊，正确答案选几选a？跟得上吧，好了，听明白了给我回复一啊，

这个基本问题。好了，这是这个事儿吧？呃，这个这个不用沉了，不好意思呀。哦，嘿。我在干嘛？对不起，对不起，平方一进去，它俩求s求的是求导是一。是吧，好s求导是一，

然后这个时候的话，你看三阶和取d阶负三一，然后这个结果是多少负的二分之一？好了，这是这个点过去了，可以吧？嗯。然后接下来我们再来看看15题啊，再看这个题，那这题怎么做？啊，这个题好好听啊，好好听一下。那么，接下来我们看这个人，

他说这个函数是什么连续的？哎，这个函数是连续的。注意啊，它是连续的，那没有告诉可导啊，只告诉这个函数是连续。而且在零处是可导，因为零处的导函数是一，让我求这个极限，那你想变线函数极限，首先把这个非标准型变成标准型。你发现我们这次作业当中，这几个人呢？全部都是我们上课讲的那几个人，

那五种情况，你把它多练练就行，来0 x-t=u。把t换成u来走t是0u是ST是su是零，然后这是fud t是多少？t是x- 1，那这是常数负的理由，负号用来变换什么上下限这个人？那变成这个人的话，你发现这个极限就可以写成这样了。那写成这样的话，这个人是个零比零型未定式，那我怎么办？落一下当然可以落。一落就落成这样了。

这块儿听懂了吧？好了，听明白了给我回复一。这块没问题吧？我落到这。落到这儿。还能再落吗？还能不能散落？大家想想还能不能再落？你注意这个部分呢，它不能再录了。一定要注意啊，不能再落必达了。为什么呢？因为你再落就出现一阶道。

你是fs点导函数，不知道连续性不能再落了，那不能落我们凑导数定义呗，一凑就行了，然后这人呢，就等于二分之一这个导函数二分之一正确答案选几啊？选b可以了吧？其实这个题啊，我再给你教一个方法。你想想一个事情，我们现在是考研，你注意啊，这件事情对我们三九六的同学异常的重要。我们全部都是选择题。那你想想，

我见到抽象函数，我就想怎么办？我就想取特例。它的意思，如果这个极限是一个固定的，值任何函数，只要满足这个条件就行，我只要找到一个连续的零处是零导函数是一，那你告诉我你找谁？你找一次函数呗，你导函数是一的话，你就找x。s在零处导函数就是一处处导函数都是一零处是零，太漂亮了，所以说这个题就立即变成什么变成了s趋向零，

这是平方。然后这是零到s把它带进去fs是s，那就是s-t，然后dt，然后接下来怎么办？我把它给积出来。我一积的话，你就发现对t积分s是个常数。常数抽出去了，那就是平方，然后这是二分之一t的平方s方，所以这个结果多少二分之一选b？你看这个水平点还更高。就说你立即给它赋个值，我赋个具体的函数了之后，

我管你什么东西变成标准型呢？我变什么标准，我不用变。我变啥标准型，我不用变标准型，我直接算。对吧，所以说这里面当中你还可以怎么办特例？你取这个特例，这个题就可以立即秒。能理解我的意思吗？好了，这是这个事情。所以像这种思想，我觉得作为我们。

我们三九六同学的而言的话，你得多练一练啊，另外一件事情我再来说一下。你想想一个事情，大家注意哦，这件事情慎用哦。做这种题的时候用。像下面那种题的话，你就不要不要用了，你就像去年的话，它考的非常细。那么，接下来我们再来看看这个题。那其实你发现连续极限等于函数值零零比零。不能再落了吧？

好，不能再落了，其实同学们再落下又怎么样呢？再落下，行不行？你想想这是一个什么题呢？这是一个选择题。我就加强条件。哎，我就加强条件。你注意这个问题啊，这件事情你用不好，你就不要跟我用啊，你加强条件，我就加上什么东西呢，

我就加强到导函数连续。那你想想一个问题。导函数连续函数连续，而且也满足这些事情。这何尝不是一种举特例呢？我就举了一个导函数，也也连续的例子。行不行？导函数连续的满足它，满足它，满足它。是不是满足了？我加强条件。这何尝不是一种举例子的方式呢？那也就说我举了一个导函数连续的例子，

它现在满足函数连续满足这个事情。那然后怎么办呢？我就给你直接录。我一落是二分之一导函数，我就说导函数连续等于二分之一。这何尝不是一种什么东西呢？取特例的方式呢？但是你用不好，你别用，我今天想插一嘴在这里面。我为什么加强这个条件？其实就是一种举例子。我举了一个导函数，连续的导函数，连续函数，

连续而且满足这个事情。对吧，它何尝不是一种举例子的方式呢？但是啊，用不好就不要用。啊，用不好就别用，你听懂我的意思吗？用不好就不要用，所以你看你像你像你这种就不行，你当时忘记了，不能录了，你这次是不行，你得好好整理一下。第一件事情你得知道它不能落。

对吧，你得知道它不能落。你一定要知道它不能录。这是必须要知道的，你如果是浑水摸鱼，把这个题做对了，我觉得这个题得重做。听懂我的意思吗？你像刚才这个方式啊，你要没理解啊，你就不要用，你就正常着做，照样可以做的非常的快啊，做的非常非常快。哎，

我有点后悔刚才讲那个加强条件了。哦，我有点后悔想这个事情了，因为你发现这两年的考题啊，老头子死贼活贼的。对吧哎，死贼活贼的。就说这个这个去年这个考题，它已经到达什么程度呢？就说。虽然选择题考不出来这种方式。对吧，考不出来这种情况，但是它可以出成这种题来考。他很贼啊。

所以我们先来看看吧，现在告诉我们导函数也连续，这非常重要。导函数连续函数也连续，那给了这个极限，你先把它等价成这样。啊，这是这个事情，能听懂吧？其实fs比上s极限是一，你先看第一个人一对不对？分母极限是零。分子极限是零连续连续极限等于函数值一对着呢。一一对称的话，那么再来看第二个人，

你能不能再洛必达？你可以落，你这个人是零比零型未定式，为什么呢？我可以再落下来，我上下同时求导，我一落落到这儿。导函数还是连续的导函数，连续极限等于导函数值等于几？可以落呀。因为导函数连续的没有问题。你注意啊呃洛必达法则，其实我我们讲一下这个事情。为什么说落到连续那一节呢？因为一般老头子设置题的时候。

就是你洛必达法则，你一直洛。就是你一直落一直落一直落，落到落到最后，这个人是树，你这是树，就说明这个人落对的，这个人落对的，这个人落对的。都行，就说你落到最后，你是一个数，落到最后，你是无穷大。那这个时候你就做的对着。

你听得懂我的意思吗？我为什么经常我们讲说落到连续那一节？落到最后说连续一般这个部分极限都是存在的了。所以说我们可以按照这个经验走。所以有些这块这个。比如说你去看了一些这个野题啊。对吧，也提。野蹄的话，比如说他出这样。呃，比如说野蹄野蹄的话，你看。比如说我们告诉了什么一阶导数连续。但是你落一下了之后的话，

你看你落到连续那一节。我们一般说队长。但是你会发现你落到这的时候的话，你虽然上面是连续，但是他这种故意设置了这个极限，也有可能不存在。对吧，也有可能不存在，这就是这个情况，所以一般情况下就是洛必达你往下怼，怼到最后的话，只要是一个数或者是无穷大，你就落对了。你就永远落队了。所以你就按照经验做，

所以有些野题就是这样的啊。所以现在这两个都对你再来看第四个人。第四个人，你第四个人怎么了？你要求他，你怎么办？哎，这个东西他是这个人，我们就进行怎么用？已知凑未知已知的是他嘛？然后再补一个它。然后这是一。诶诶，这是补一个什么求平方吧，这是x分之一，

不好意思。写成这样，然后第一个极限是一，第二极限是无穷大一乘无穷大无穷大，所以这个人对称。当然，你也可以这样看。你两个无穷小做比是一。两个无穷小作比是一说明等价，说明这个人就可以等价无穷小于它，你看这个这个水平点也很高。两个无穷小做比是一说明两个人互为等价无穷小，你在趋向过程当中可以等价，你这一换也行。你一换的话，

这人是。无穷大也出来了，所以这个题的正确答案选几选一。好了，那么今天呢？我们这个决胜300题当中的第一次，这个部分的课程的题啊，我们就讲到这呃，所以说下去过程当中啊，你可以好好进行，把这个相对的问题啊，好好处理处理。那么，在这里面当中啊，最后呃，

再给同学们几点建议啊？给同学们几点建议？所以我觉得呃，一开始慢一点没关系。一开始慢一点，没有关系，你会越做越快，但是要多重复。重复到极致，你就是个高手。重复到极致就是个高手。你记住，我给你讲讲清楚这个问题就是强化的过程当中啊呃，有一种非常好的一种学习方法，我之前都跟你讲过了。

你比如说你做了一个题啊，你发现做错了，你就找到这个题的这个题型。然后把这个题的题型的方法好好进行学习清楚，找上几个题刻意的练习。把这个东西重复到极致，所以我觉得这里面当中啊，给几个建议，第一是错题一定要整理。要警醒，要复盘，这个警醒什么意思呢？就说我这一次错误，我怎么感觉错的那么的不应该？我痛我痛定思痛，

我下次过程当中，我保证我一定不会错了。这就叫警醒。这就叫痛点。你比如说你设身处地到一种什么样的场景呢？比如说有一次有一道题，你不应该错。60分是及格，结果你考了58分。那个题你会记得一辈子。对吧，那个题的话，你发现你就会记很长时间，这叫痛，这叫警醒。

那或者而言的话，比如说有一次150分。那个题五分题一刀。结果你不应该错，你做错了，考了145，遗憾呐，我应该能考满分呐，你就会把那个题记好久，这叫通。这叫警醒，但是有些同学没有这种感觉。他没有这种，他就感觉哦，我怎么错了啊啊错了？

没啥感觉。你就没有那种感觉，说我不应该错，对吧？我下次一定不会错，没有那种感觉，对吧？你一定要有那种感觉，有那种感觉的话，你将来过程当中，你就有可能我会少错很多。所以这叫警醒，你要有痛点啊，第二事情呢，我觉得呃，

平时的训练只要不是最后一场考试，你出错是没有关系。但是最重要问题是有没有收获你做这个题，你白做了对吧？可能做错了，也就扔了白做了，你你你花这个时间在那干嘛呢？所以如果是错题，你整理，你只要下次过程当中能处理就行。对吧，所以这才是一个重点，你做错没关系。那另外一个点呢？我说最重要的一个事情，

你要是一套题当中你有大量的题出错，我跟你讲，你要停止刷题的。你很明显就是讲义没有吃透。这件事情我其实看到。呃，这个尤其是这种，比如说自媒体当中这种小红书啦，或者是微博当中我看了很多同学发那种。帖子我其实觉得。谁跟你讲你都没法，你都没法学好，就无论你怎谁跟你去讲课，无论谁跟你进去去讲题。你都无法学好。

为什么呢？因为你其实你发现你就是一个不会学习的人。上课听啊，以为自己会了，转头你发现讲义上的题都不会做下去，过程当中找了些题做一做一堆错的啊。哎呀，这个东西我怎么我不适合学这个吧？我怎么这个东西学那么差？我听了谁谁谁的课，然后做题效果不好，你看都是这种反馈。谁跟你讲都没用。就算前一天把今年二零二四年的考研真题的卷子给你讲了，你照样考不到满分，

你就是这种情况。所以我觉得如果一定是什么呢？你把这个呃讲义消化题型完成之后再刷题。我觉得你要知道主次什么是主什么是次学会方法，谈了方法论再进行刻意练习好吧，那么这些点呢，我们就讲到这。呃，今天的话，这个精讲课程呢，我们就跟同学们去讲一下这个第一次的这个决胜300题的这些题，所以我们觉得呃，就看。11点了，行吧，

我们就不做做重点讲了，然后你下去过程当中啊，针对自己有问题的题啊，你好好进行再整理整理。好吧，同学们行吧，那么今天课程我们就讲到这儿啊。希望同学们下去好好进行整理啊，而且今天晚上我们呃这个三九六同学比较辛苦，我们刚刚上了一节课程了之后，然后又来听这个习题课。然后今天晚上讲的那个东西啊。又比较多一点。你下去好好整理整理，对吧？

比如说定积分定义加倍准则，还有这个连续和间断的问题。好吧，那么今天课程呢？我们就讲到这好吧，同学们行吧？好，我们下次课程再见。

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