30.【加餐】冲刺满分强化篇（概率论）精讲精练-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:21:07

行，那么接下来我们继续吧，我们再来看看刚才这几个题啊呃，有做完没有？好，我们继续来看刚才过程当中啊，我们让大家我们先看哪个题啊？你想先看你先做的是二八五还是二八六啊？好，先讲哪个？要不这样吧，我们先讲先讲二八六是吧？完了又统一不了。呃，行吧，

我们先讲这个题。来看一下这个点，那首先第一件事情，你要注意这个概率密度函数当中含有一个待定参数。你先要把这个参数求出来。那既然是个概率密度函数，它具有归一性呐，那所以这里面当中我们用一下归一性，那就是负无穷到正无穷。对这个人基本。那这人积分其实就是零到正无穷，然后对这个人一+x^2，然后分之2 ds。对阵戏份。那这个结果的话就是拉姆达分之二。

那这个人积分是多少呢？那这个积分是阿克坦正体，然后把零和正无穷带进去，所以说这是拉姆达分之二。然后这是二分之派零代去零，那这个结果是一，所以说这个拉姆达等于多少拉姆达结果等于派？对吧，这个东西就约掉了，所以拉姆达出来了，然后让我们去求解什么，你知道这个人是概率密度函数连续性随机变量。然后去求解它的函数分布。连续性随机变量的函数分布怎么做呢？先写分布函数定义。

那其实就是这个随机变量。小于等于y的这个人的概率加和，然后这个时候啊，你就直接做，那其实就是lns小于等于这个人。对于这个题而言，它非常的简单。你像刚才过程当中我们做的那些题啊，它不好进行反解的。你尤其的而言的话，像刚才第一个那么简单的题都不好反解，那不好反解的原因在何处呢？因为我不知道这个x到底是什么情况？你哪一段到底什么情况？但是这个题啊，

其实非常好做。你说o es=y。那这里面当中x不就小于等于一的y吗？你就直接做了。但是有同学说，那我喜欢把这一条路吃到黑，那也行，那么接下来我们来看看我们的方法怎么做，你就把这个方法练到透就行。那这个人是这样子。那第一步，我们要进行画图。那画图之前呢？你要知道你研究的是什么，你研究的这个问题。

它是y等于这个人，然后在什么呢？在这个人的下方的这个人的概率。啊，这条线的下方概率。然后这个人是谁呢？这个人是这样。这是ls这条线。那么，然后接下来我们来看看这个人的有效概率密度函数的区间段在哪？有效概率密度函数的区间段，因为你这个东西，比如说我们解一下它的下方。你截一下它的下方的话，你刚好的话呃，

下方的话，其实是这一段。对吧，这一段。你投下来的话之后要对s概率密度函数积分，你s概率密度函数大于零都是它。然后这个小于等于零是零。那我们来看看呗。那就说零到正无穷是有效端。零就是个分配点，零对应的负无穷啊。那所以说这个人有没有分位点？没有分位点直接做就行了，所以这里面当中啊，直接搬。

因此，这个人的分布函数啊，我们就直接写了。好，这个人的分布函数。那其实就是研究这条线的下方。那把这个点对应下去，如果这是小白。那ln x等于小ys等于多少等于e的y？那其实就是研究这条线。那所以说其实就是研究x这个人小于等于一的y的这个概率，你看其实又回去了。那这概率是多少呢？那这概率的话，很明显它是大于零。

大于零的话，其实就是从负无穷到e到y，然后对x的概率密度函数进行积分。对吧，要积分，然后这个东西积分的话，我们再来抽你这个人大于零，其实有效段只有这一段。那么，核心重点其实是零到一的白。然后这是派倍的，一+x^2，然后分之一点四。好，这个结果你就算完了。

能想清楚吧，然后接诶，这是二。好，做到这。然后接下来让我们去求解概率密度函数，不要基出来，因为这个人的话其实就是个变上限函数。变上限函数直接求导就行，那就移进去派倍的一加上多少e到2y，然后这是二。上限再求导本题结束。好这题啊，我们就讲到这。所以你注意这种问题的研究方向，

这种题就非常简单。很好做啊，二八六。能学会吗？好听明白的给我回复一。你今天过程当中一定要把这个事情突破了。你以前见到这个问题啊，你可能有点儿呃，做起来有些同学觉得稍微的吃力，你今天过程当中一定要突破了。问题点不大，那么接下来我们再来看看这个下一个问题。二八五这个题。来看看这个题。那这个题怎么处理呢？

那首先我们看他说s这个人是服从军运奋斗。你的有效区间段只能在零到一连续性随机变量，然后这个东西是什么？这个东西是它的函数分布。那这个连续性随机变量的函数分布啊，我们做题是分布函数法来吃到偷先写分布函数定义大y。小于等于小y，然后这东西啊是e的大S，小于等于小y。那核心重点就是研究这条线，在这条横线的下方的概率，那怎么办呢？我现在画出这个人的有效区间段。啊，先画出这个图。

那这个图是什么y=1的x？哎，这个人那这个均匀分布的话，它的概率密度函数的有效区间段是在零到一啊。所以一这个东西上去对应的一。零上去的话，对应的一。分位点只有这俩人能理解吧，因为零的左右的积分对象不一样，一的左右的积分对象不一样。所以就要分成这两段，那么首先我们先看第一段。当什么情况？如果这个小y大于等于几大于等于一的时候。如果大于等于一的时候的话，

你就发现。你这个下方是在这儿。那就要从负无穷积到这儿。你这整个有效区间段都积上了呀，那就是一。所以说这个人的分布函数啊，它是等于一第二事情，如果这个y是小于一。它的分布函数等于多少？你再来看，如果比这个人小的话，你发现。是这个人，你这个人的下方是在这儿。对吧，

就这一段你从负无穷积到这儿。你记到这儿的话，一直都是对零积分没有用，所以说这个人是几是零。那其实真正有效的是谁呢？真正有效的话，其实就是啊，这个一然后到一。这段是有效，那这段有效的话，我们来看看拉条横线。截过去那截过去的话，首先第一个事情你对应那个点就这个点，那这个点就是e的x=y。那s=ln by，

所以说这个人呢？他就是这个情况，那这个人是ln by。那它的下方的概率呢？你下方概率有效段其实只用基这一段。啊g这一段其实这里面当中它其实就是x这个人大于零小于这个lny的概率。能理解吧，那既然是均匀分布，那概率就等于长度之比啊，你这个长度是lo nyy，总长度是一就是它。所以说这个时候啊，概率密度函数就出来了。那其实就是只有在一到一的时候求导才有效，别的段的话求导都是零分段点上，

爱咋咋地，这题出来了。能学会吧，二八五。好，掌握清楚给我回复一。听明白了吗？你要学会它。好了，这是我们讲的这样的一个二八五这个题对吧？这个内容点难度系数不大，就是个套路。你把这个套路练清楚就行，来我们再来看看这个二八八这个题。来继续看这个题。

那这个题他又说了。他说这个东西服从标准正态分布。然后这里面当中的这个人是这样子。对吧，绝对值，然后让我们去求解它的概率密度函数一样不一样。首先我们来看看这个x这个人的概率密度函数长什么样？它的概率密度函数是根号二派分之一的二分之x方，然后这是x属于r。那你想你是个连续性随机变量，你这个人是他的函数，那还不是一样吗？连续性随机变量函数分布我们使用分布函数法。先写分布函数的定义来走大y小于等于小y，然后代进去其实就是大S绝对值小于等于小y。

你把这个吃透就行，所以研究的是什么呢？研究的是这个人，研究的是这条线，然后在这个大y等于小y。下方部分的概率。那下方概率的话，我们就可以进行去画图啊，画图定点极限投影积分呢，那所以说就来了呗，大y0，然后这是大S。它的图形是什么？是v字状。那么先告诉我概率密度函数有没有分段点啊？

你一会投下去的部分，你就要对这个人进行积分，而这个人在负无穷到正无穷都是同一个人，那就不用分。你就没有分位点。所以说这个题的分位点只能是最大值和最小值，有没有最小值有因此这个题的分位点只有一个人。就是零这个点。能学会吗？就这么简单，所以说这个时候我们就来看第一件事。当如果这个小y小于零。横线它的下方有还是没有没有，那既然没有的话，这个结果就是几就是零，

然后第二事情。如果这个y是什么y是大于等于零。大于等于零的话，我们来看看这个结果。都是套路。如果这个东西大于等于零，我拉条横线。然后要研究这条线的下方，这条线的下方在哪儿就在这儿。这是绝对值啊，然后这是小y那么是负y。这是外语，那其实重点研究的是什么呢？研究的是这个人物。在负y，

然后到y的这个人，那其实就是负y到y对这个x的概率密度函数积分。s的概率密度函数是根号二派一亿的负的二分之x方ds，你清楚吗？思路非常清晰吧好，这做完了。但是这个东西积分不好积，你就不要积了，你不要积的话，那么接下来我们就直接做，因此这个人呢？概率密度函数就出来了。那就求导呗，那这一段求导是零。然后这段求导呢。

那这段求导的话就是变上限，移上限，其实这个人是个偶函数。偶函数，而且还是二倍的。这个人因此这个结果，它等于根号下二派分之二，然后这是零到y。e的负的二分之x方ds。能想清楚吗？那因此我们求个导一求导的话是。呃根号二比派变上限移上限上限求导是一不管了。然后这个小于等于零求导呢，那就是零好这题出来了，所以你发现别管你是长什么样子的题。

你爱长什么样子？长什么样子？你想是什么样都行，无论你是什么样的题，我永远的做题套路就是这个。就是你的概率密度函数，我画图定点极限投影几分，但是之前一定要把分步函数的定义写出来。能学会吗？好了，掌握清楚给我回复一吧。啊，基本问题点二八八。好了，学会了给我回复一。

所以像这个问题点呢，你一定要把它想清楚啊，这个考点我接下来补充一个题啊，我们来看看呃，是不要着急啊。你学东西还是要学稳一点啊，别急哦。那么，接下来我们再来看一看一个题。这个题啊，你好好看看。那这里面当中，我说这样的一个事情说如果。x.非连续型随机变量。

注意连续性随机变量。然后它的分布函数为多少呢？它的分布函数为。大fs。好了，这是它的分布函数。连续性随机变量分布函数是它。啊，这是分布函数。那么，同学们想想分布函数是不是一个函数啊？是不是那分布函数当然是个分布呃，当然是个函数。那分布函数肯定是函数。你是个函数，

有没有对应法则？比如说你这个函数的话，就是二分之x方。你是有对应法则的。你有对应法则，然后怎么办呢？你看啊，他这样说。且有一个y这个随机变量跟x这个随机变量是有函数关系的。它俩有函数关系，这个函数关系是什么？这个函数关系就是那个分布函数对应法则的这个关系。你看看这个事情，有点套娃的感觉啊，什么意思呢？

就说你这个人有个分布函数，你是一个函数，肯定有对应法则。对吧，你这个函数的话，你可以使什么，比如说我们刚才求求的那些函数。结果我y跟x之间的关系啊。关系是什么呢？我这个对应法则跟你分布函数，这个对应法则是一样的。那么则y的分布是什么情况？啊，就考这个点。呃，

这个点呢？如果你不会做，你就把它给我背过，但是我不相信你不会做这种题啊，我害怕会考。会做的同学直接秒，不会做的同学就疯了，那么首先我们来看看这个事情怎么处处理啊？来分析你的做题思路变不变？你做题思路永远不变。y这个东西是s的函数连续型随机变量的函数，我使用分步函数法来写大y小y。它就等于多少呢？它就等于大y小于等于小y的概率。这个大y是什么呢？

大y是这个x。小于等于小麦。好了，这个呀，那么然后接下来我们看看研究的是什么呢？研究的就是大y，等于这个人在大y，等于小y下方的概率，所以说现在我要进行去画这个人的函数图像。画这个函数图像，你就必须要知道这个人的函数图像。那大家告诉我，连续型随机变量的分布函数图像，你会画吗？我不会，

我哪知道你是谁呀？但是虽然我不会，我可以画一个草图。你不是分布函数吗？你分布函数首先第一个事情你负无穷是零正无穷是一。然后是单调不减。而且连续型随机变量，它是连续的，所以我就这样画。你觉得怎么样？你看这个人，我立即把他画出来了。你看这个情况。所以说这个分布函数我就这样画，因此这里面当中你这个x和这个y之间的关系不就是这个关系吗？

好，这是这个人。因此，接下来我们看你这个x这个情况没有分段呢，因为x这个人的话，他分布函数给的你概率密度函数没有说不用分段啊。那这个人的分贝点只有几个？只有两个最大值一，最小值零。好，我们先看第一个事情。如果这个小白。它比这个一还大。哎，你比这个一大，

你告诉我所有人都在它的下方。所有人都在我的下方，我这个概率是几啊？我就是一。然后第二事情，如果我这个y小于零。有没有比我小的？没有人比我更小的，那就是零。大家能听得懂吗？然后接下来我们再来看，如果这里面当中我来拉条线。好，如果是零到一呢，第三个事情，

如果这个y是大于等于零小于一的时候。那这个分布函数什么情况？来再来看，就是它下方的概率。来看看这个点。哎，这个点。那这个点的话就是这样。那其实就是求的是什么？这条曲线是这个人。横线是y。而我们都知道这个函数啊，单调连续单调连续肯定拥有反函数，那所以说这个人呢，就是f负的y。

好了，把它解出来了。那解出来之后，我们就知道，不就是求解这一段的概率吗？它的下方的概率其实就是x小于等于这个部分的概率。能想清楚吗？你下方嘛，你下方是哪？你下方不就是这一段吗？好，这段的概率诶x这个东西小于这个点的概率。x小于这点的概率不就是x的分布函数就是这个点，在这个点处的值吗？能想清楚吗？

你的这个人小于这个点的概率就是你的分布函数，在这点值。而你发现这是反函数哎。俩东西是不是就约掉了？就是小白。你反了再反不就是本身吗？所以说这人就是这样，那么然后接下来我们去求一下它的概率密度函数。那概率密度函数的话，你发现零到一的时候，它求导这是一。别的段进行去求导，就是解就是零。所以说这个人呢，他是服从零一上的均匀分布。

将来碰到这种题啊，就可以描写了。啊，非常简单。只要你是个连续性，随机变量。你的分布函数是它y跟s之间的关系，是你分布函数的这个对应法则，你这个人一定会服从零到一上的均匀分布。跟你这个随机变量服从什么样的连续性随机变量无关，你无论是什么分布，只要你是个连续性随机变量。这是你的分布函数y跟s之间的关系，是它它一定会服从均匀分布这个点呢，你务必要把它给我记住。

你将来做模拟卷的时候，你会用到它有些同学呃，他会这个事情，他看到这个东西啊，立即把它解除了。有些同学看了半天都不知道。所以这点当中就是差距，一定要学会它非常的重要。重点结论。连续性随机变量。分布函数y跟x之间的关系符合分布函数的对应法则，那这个时候你这个人一定会服从均匀分布。好像这个问题点呢，把它想清楚。可以过去了吗？

好了，这个第二章的问题啊，就全部结束了。那么，只要这个部分结束了，后面的东西啊，就非常的简单了啊，这个后面的点呢，一马平川，那么接下来我们来一起来看看下一个问题点。我们来讲讲二维离散型随机变量及其分布这个点呢，年年必考。注意年年必考，每年的过程当中啊，一定会出这种题。

所以说这也是老头子在这个出题过程当中。这个怎么讲呢？这个是不是有点？不讲武德呢？对吧，不讲武德。就是我们的大纲里面其实说的是一维随机变量。但是你发现每年都会都会去考二维离散性随机变量，一定会出题。那么，接下来我们来讲讲什么叫做二维离散型随机变量呢？就是你这个人是一个离散型，随机变量。你这个人也是个离散型，随机变量。

所以同学们告诉我有几个人呐？有两个离散型世纪变量。俩人这个离散型随机变量会取值。这个离散型随机变量也会取值。所以有两个人。如果俩人就会出现这种问题。那我们一起去干一件事情吧。还有一件事情呢，我们单独去干一件事情吧。那么，进而广之，我们还会研究一个问题。你共同完成一件事情，和你独立完成一件事情。有没有关系呢？

是独立性的问题。所以核心重点就研究这三个点。共同干一个事情。单独干一个事情，然后独立性的问题。能学清楚吧，独立性问题，那么接下来我们一起来看看这个事情。那首先，什么叫联合分布率呢？联合分布率就是。你x这个人去一个人。我y这个人去一个人。同学们，想想这是个什么问题啊？

这是个且的问题吧。你等于这个人，且我等于这个人，我们共同发生的概率。所以像这个人的话，他其实就是个表盘。那首先第一个事情，你看x，然后这是y。好了，这个情况。那x有一些取值啊，我可以取这个人，我可以取这个人，然后我可以取这个人。

对吧，我可以娶这么多人呃，要不然这样我们就画有限个可以吗？比如说这里面当中啊，我们就取四个人。好，这个人假设我这个人呢？我去取五个人。哎，我能娶这么多人。你把你的取值写到这儿，你把你的取值写到这儿，然后接下来我们去填共同发生的概率。那么，首先我们先看看这个，

第一个点就是你等于x1，我等于y1的概念。你等于x1，我等于y2，概率你等于x1，我等于y3，概率，然后你等于它。能理解吧，你就把这个共同的概率都求出来，共同的概率都求出来，共同的概率都求出来。共同的概率都求出来。好把这些共同发生的概率都求出来。有同学说这是矩阵啊，

是可以看成一个矩阵，但是跟这个矩阵的表达的意义不一样。这是共同发生的概率。好了，这个我为什么写这么多呢？我选个三三×4的不行吗？好几个人，所以说这个人呢呃，比如说举个例子啊，你看看这个人什么意思？这个啥意思啊？这个人的意思就是。x这个人取了s2y这个人取了y4，然后这个东西啊，共同发生的概率。

一起发生。对吧，你等于它，我等于它，我们一起发生的概率。呃，就是这个事情，我们共同发生的概率一定要想清楚啊，把这个东西啊，好好想想。好，这个点，所以二维离散型这个东西呃，考研考就是个送分题。这是你的情况，

然后是这个情况。然后接下来我们再来看看下一个问题，边缘不要胡说八道，独立的时候才能拆。对吧？别别别乱带哦，不是不是永远都能成。独立的财能产。然后我们再来看看边缘。边缘是什么情况呢？边缘是一个人的事情。你看就是一个人，然后这个边缘是什么？就是你一个人。那么，

在这种当中，我们来看看这个问题，这叫联合分布率。然后边缘分布率是一个人的事情，我们先来看第一个问题。那么，在这里面当中，比如说我们想去求x。x=x一什么情况？你发现这一排是不都是x1呀？我就把它加起来。我加起来的话，你发现我就往这一填。这就是s=s一的概率。然后接下来你看你把这一行一加。

这都是s=s二概率这一行一+s=s三的概率，你这一行一加只是s=s的概率。所以同学们注意，我横向一加就是这个人。能理解吧，如果这里面当中我们不看中间。别看了哎，别看中间。别看中间的话，不就是s=s一的时候概率是它s=s二的时候概率是它s=s三的时候概率是它s=s四的时候概率是它。其实你发现不就是这样吗？这s1s2s3s。然后这是概率，概率，概率，

只不过原来是横着写，把它竖着写嘛。对吧，这其实就是我们在刚才应该是上节课过程当中讲的那个分布率。然后接下来我们再来看。如果y取y1呢？那y取y1不就是这个人吗？这些人都是y等y1。这些人都是y=y二，这些人都是y=y三，这些人都是y=y四，这些人都是y=y五。你就把它怎么办？你就把它竖向一下。竖向一下，

竖向一下，竖向一下，如果这里面当中你不看中间呢？不看中间不就是y取y1的时候，概率是它y取y2，概率是它y取y3，概率它y4y5。啊，就这么简单，所以横着看竖着看，这就叫边缘。那么，这个边缘叫做什么呢？它把它叫做pi点，因为这个j这个东西是加和嘛，

然后这个东西x是加和p点j。所以说这个时候这是pi点。p点的边缘，然后这些加起来都是一。整个表盘加起来是一，这个人加起来是一，这个人加起来是一，能学会吗？这叫边缘。一定要学会啊，这是边缘分布律。那么，这里面当中还有一件事情，那就是独立性的问题。你这两个随机变量，

到底独立还是不独立啊？对吧，你到底独立不独立呢？我们来看看这个问题。你怎么进行去研究独立性？比如说我们独立，我们都知道是长期的概率等于概率乘积。你想想随机变量里面当中包括很多种情况。比如说我们先看这个点。那这个点叫做什么？这个点叫做x=x 1 y=y一的概率。那如果独立的话，这个人他应该等于什么？等于这两个东西的乘积。是不是它就会等于这个人和这个人的乘积？

你这个人呢，就会等于这两个绿色部分的沉积。但是注意，这也仅仅可以，只能说明这一个位置是独立的。而随机变量的话，它这个x可以取四个人y，这人可以取五个人，如果这两个随机变量独立，应该是每一个位置都是这样。对吧，每一个位置都得保证，什么都得保证。共同发声。等于边缘的乘积。

这是一定要注意的。你就得保证什么，如果这两个随机变量独立，我这种情况我就称x与y独立。他这里面当中讲究的一个事情，不是说一个点，而是每一个点都得这样。每一个点的话，这个联合都得等于边缘成绩，你比如说这个点，你这个点就会等于这个人，你再乘上这个人。然后这个位置呢，就会等于这个人乘上这个人，你这个人呢，

就等于这个人乘上这个，每个人都是这样，比如说我们这里面当中有20个点。假设19个点都是这样，只有一个点，不是这样，这叫独立吗？这不叫独立。随机变量独立，它必须要要求每一个位置都是这样。对吧，你这20个位置的，每一个位置都是联合，都等于边缘成绩，你这19个人可以，

你最后一个人不行，那也不行。必须要保证每一个人都行，每一个人都行，他才叫行。能学会吧，好了，就是这几个事情，第一个事情就是我们的联合分布率的事情。第二事情就是我们的边缘分布率的事情，第三个事情就是我们独立性的检验的问题，这个点能拿下来吗？这个非常简单，来做几个题吧。比如说我们来看看这个题。

这个题太简单了啊，等会我们再看，比如说我们看看这个题。来瞅一下这个题。那这个题啊，他说随机变量x和y的概率分布是它。然后告诉了这个人，同学们告诉我，这是一个人的事情，还是两个人的事情？这是一个离散哦。这是个离散。回答我，这是一个人还是两人？这是俩人的事情。

两个人的事情找联合一个人的事情看边缘。所以这个时候我就需要联合了，赶紧把表盘画出来。表盘画出来，这是零和一，这是负一零一，把边缘的话，这个东西写出来，然后这是三分之一，这三分之一，这三分之一，这三分之一。然后等于三分之二。我问一个事情，你能不能把这六个点用两人相乘来做？

不能，人家就没有说独立，不要胡做题啊，只有独立的时候，每个点处的联合才会等于边缘沉积。那是独立的情况，人家没有说独立，一定不要乱做题啊。那么，接下来我们看俩人的事情，我们就来找哪些位置是x方等于y方呢？来，我们来瞅瞅。x方等于y方，如果你x方是零，

你说y方得是零。s方分之一一哎，这个人是一，这个人是一，这三个位置可以。原来如此，这三个位置符合x方等于y方，而这三个位置的概率已经是一了。而我们都知道，整个表盘相加才是一样。六个位置相加才是一，而且每个人都是大于零，那说明剩下的位置都是零。好，这个情况，

那既然这个剩下位置都是零，那这人就好做了，那这人是多少三分之一数字一加三分之一数字一加三分之一？好，这人出来了。那这样出来之后，我们来看看第一个事情，它说x等于零y等于零，那概率是三分之一。x等于一，y等于负。一一负一，然后概率是三分之一，所以说这人是三分之一，那这人是三分之一三。

三分之二选b。能学会吧好，这种题非常的简单。就是一个人的事情，找边缘两个人的事情，找联合就这样来做。能学会吗？好把这个方向性把握清楚就行，我们基础班在这块讲的题比较多啊，你自己下去过程当中，你可以再看看。这个非常简单。我再找一个吧，这个。找一个这个。

找一个这个数三的题，我们来看看。因为其实都都很简单。呃，听就行了，不用抄题啊，因为你题抄完了之后我都讲好几道了，比如说我们看这个题。啊，来看看这个题。那么他说这俩人是相互独立的。好注意了，他说了这句话。对吧，俩人都是离散型独立了。

独立的话，联合就等于变啊，这个什么这个边缘的成绩，然后他让我们去求解这概率，这是一个人的事情，还是两个人的事情？那这个东西不就是俩人的事情吗？俩人的事情需要什么？俩人的事情就需要联合，所以说这个时候这是x。这是y那么接下来我们看那这是零一二三负一零一这个人。把这个边缘列到这，这个边缘是二分之一四分之一八分之一八分之一，然后这是三分之一。三分之一三分之一。

那这里面当中俩人事情就要找联合，那么就要看看，也就是说把这个表盘所有都算出来，不要这样。你算你该算的就行了，对吧？你不该算的话，你没有必要花费那个时间，我们来看看，如果这是零零得加二啊。如果这是一一+1哎，这可以。这个位置加起来是二，如果二+0哎，这个位置是二三+-1，

这个位置是二。好，没有问题，那么就可以做了。那这个时候的话，你看这个位置，第一个位置，那其实就是三乘这个人，这是十二分之一。然后这是三分之一乘上这个人呢，三八二十四。然后这是三八二十四。所以其实就是这三个人的相加，相加是多少六分之一选c？啊，

这个非常简单，就是如果独立的时候。那这个时候联合就会等于边缘的乘积。只有独立的时候才可以好这个题啊，过去了来继续吧，再看这个题。二八九。看一下这个考题。那么，他说，二维随机变量xy啊，概率分布式这个人。联合分布率吧。然后说这俩人相互独立。这俩人相互独立，

把它叫做a事件，这叫b事件。这俩相互独立，其实就是。共同发生的概率。它就会等于边缘啊，这个什么各自概率的乘积。共同发生概率等于各自概率的乘积。然后这一类目当中，我们看看第一个人。x已经是0 x+y还等于一，那y肯定是一呀。好了，那么接下来我们来算一下这个事情x+y=1。那这时候列一下式子。

x=0 y是一，那不就是a吗？所以说这个位置它是a。s=0是多少呢？那这人不就是零点四再加上a吗？然后再看x+y=1。x+y=x是零，y是它。s是1y是它这两东西相加才会是1 a+b。好，这个情况，所以你如果独立就是乘积的概率等于概率乘积。对吧，这是他俩人独立。那么但是你发现这一个方程解不了啊。

那还有没有啊？当然有要注意，还有一个事情就是整个表盘相加，必须是一。整个表盘相加是一，那a+b不就是零点五？如果这个a+b是零点五，就可以把这个人带到这儿。那这是零点五零点五移过去就是二倍的啊，2 a=0点四+a，所以说这个时候a就等于零点四。然后b是多少零点一本题出来了，零点四零点一选b。好了，这个考题啊，

就结束了。所以如果考研过程当中去考这种二维离散型，那这就是送分点。绝对的送分题，你不用去想，绝对的送分题。好了，那么然后在这里面当中，我稍微再补充一个点啊，有可能还会考，你把这个事情呃，我们稍微进行去捋一下。补一个内容。补充一下，二维离散型。

随机变量。函数的分组。呃，不要受到了这个。这个标题的名字的影响对吧啊？函数分布。不要受到这个标题的影响，有人觉得说啊，这个标题好厉害，好牛逼，这牛逼啥呀？那么，接下来我们来看看这个事情。那么请告诉我，二维离散也就说意思就是你这个人是离散，

你这个人是离散。我要求你的函数z的分布，这个z啊是一个xy的函数。看起来牛逼，非常的简单，我先问一下。二维的函数是几维啊？二维它的函数是几倍啊？比如说你举个例子，你x能取一二y能取四五z，这个人是x×y。它能去解。你想你是一的话，一×4。一×5，

二×4，二×5。所以说它只能取这四个数。这是几维啊？这叫一维。二维是个表盘嘛？二维的函数是一维。注意啊，这个x是一个一维随机变量，你看它只能取四五八十，这不就是我们上节课讲的那种分布率的问题吗？所以二维的函数是一维。啊二维的函数是一维。所以这个点呢，其实非常简单。

那比如说我们举个例子。好例一，如果这里面当中啊，告诉了你联合分布率。他一定会告诉你，联合分布率。因为z啊是xy两人的事情。俩人的事情必须要怎么办？知道分布率，那知道分布率的话，比如说这是一二。然后这是零一。然后这是四分之一，这是四分之一，这是四分之一，

这是四分之一，然后第一问让我们去求解x加y的分布。你怎么做？那非常简单，看遍表盘每个点就行。好，我们先看这个点。那这个点的话x+y是一。你s是1y是零。这种情况下，刚好加起来是一我的可能性是四分之一。你取这个一这个一的可能性都是一，那我们两个一加就是二，我们的这个人概率是四分之一。你取这个二取这个零，

你的可能性是四分之一，我就取这个二的可能性四分之一。你取这个二你取这个一的可能性是四分之一，我就取这个三的可能性是四分之一，所以说这里呢，就做成这样，然后。合并一下就行了z这个人服从多少一二三四分之一二分之一？四分之一能学会吧，好了，这个问题点呢，把它想清楚。就是这里面当中看遍这个表盘上的每个点，它就出来了。所以像这个问题啊，

第一件事情z是xy两人的事情，必须要知道xy的联合分布率。看遍分布率上的每个点就可以了。简单吧，你就是这样做吗？你看遍这上面每个点不就出来了，然后接下来我们再来看。如果这个z啊是xy的最大值。这是不是一种函数啊？那最大值函数不也是函数吗？我俩人的最大值不也是函数，那函数分布的话，你看。z是sy俩人决定的，要知道联合看遍表盘，

每个点看这个点最大值是一。可能性，四分之一。正最大值是几是一可能性是多少四分之一，最大值是几是二，然后可能性四分之一。最大值是几是二可能性四分之一。所以说这个时候啊，一和b那其实就是一和二二分之一二分之一，这应该是概率论当中最简单的一个知识点了。你不可否认，它绝对是最简单的。就二维离散型是最简单的。它没有什么难度，就是你要知道一个人事情求边缘，

两个人事情求联合就行z，这个人是由sy共同决定的，你就要知道他的联合看遍表盘上每个点。把这个点这个点这个点每个点啊，你操作一遍，然后合并一下就行。好了，像这个问题，所以二维离散型就掌握住这四个知识点。联合分布率。边缘分布率，联合分布率是两个人事情边缘分布率是一个人事情独立性是怎么检验的？还有一个事情就是二维离散性随机变量函数怎么求？它的分布，那就是联合分布率上的每个点，

把它看一遍，你出来了。好了，像这个问题啊。没问题了吧，我们就讲到这儿，所以像这个考点呢，我觉得在考研过程当中，你一定要把它拿下来。这稳稳当当的。好，我们就来看看最后两个部分知识点。最后一节啊呃，问题点。是非常简单的，

但是这两个东西啊，一定会出题，你不用去想100%会出题。必考内容，还有一个事情就是我们的方差的问题，这两个板块的内容必出题。我们在考研过程当中啊，一定会出这两种类型的题。给一个情况，让你去计算期望，给一个情况，让你计算方差，所以我们刚才讲的这三块内容，其实就是六分考点。对吧，

每一个部分都是一个呃两分考题，这是一定会出题的点。那么，首先我们看看第一事情，我们的考研考的如此的简单。你去看看我们这个学习的这个情况的发展。第一章我们学习了，随机变啊，这个事件。如果把随机事件进行用变量代替，用个数进行代替，那这个时候就变成了随机变量。随机变量第二章的时候，我们求出了随机变量的分布。随机变量有离散性，

随机变量，我的分布式分布率有连续性，随机变量，我的分布式概率密度函数。那么然后紧接着呢，随机变量，我还能进行去求它的一个数字特征，我们只考期望和方差。那么，首先我们先来看看第一个问题，数学期望。两个事情，一个事情是计算方法。一个事情就是我的性质，就这两条内容就干掉了所有内容。

就两个问题，一个事情。是你这个人的什么你期望的计算。一个事情就是你的性质，那么首先我们最重要问题就是期望计算。只有你换算期望了，你才会算方差。必须要会算期望，那么同学们告诉我几维随机变量才能求期望。一为随机变量。你看期望，有的时候我们这样写。你说你在这打个括号，这无所谓的，这一点都不影响。

这叫做这个随机变量的期望。一维随机变量才能求期望，那同学们，我们思考一下，我们学了这么多部分内容。有哪些人是一维的呀？啊，哪些人是一位我们这块学的非常的简单啊？因为不会涉及过多的二维连续性的问题。那么，学习了这些人。一维离散型是一维一维连续性是一维，还有一维的函数。那一维的函数还不是一维吗？就是我们学了这么久的话，

你看我学过x这个人。我学过x这个人的函数。还有什么？还有二维离散型随机变量的函数，它也是一维。这仨人都是一位。而我们二维随机变量的函数，只考离散性，连续性不考。所以记住啊，有这四种情况，那三种情况。三种情况会套公式就行，我一看诶，这是一个离散型诶，

我一看这是连续性哦，这是离散性的函数，这是连续性函数哦，这是二维的离散函数。怎么做那么？首先我们先看第一个人。如果这人呢，告诉的是离散型，也就会告诉你分布率x1x2。一直到SN，这是取值，我们不考无穷，多个无穷，多个是无穷结束内容，然后对应的概率是它。

对应概率是他好这个人，那所以说他的期望怎么算呢？他的期望非常简单。我s这个人的期望就是我的取值。乘以我的概率，我的取值，乘以我的概率对应相乘再相加就行。好，这个人如果是连续型，我一定会告诉我的概率密度函数。那如果一题给的分布函数呢？求导把概率密度函数求出来。那来看，求解这个人对吧？你这个人的期望，

那其实就是。你这个人希望就是你这个人把它改成s，然后再乘上你这个人的概率密度函数再积分。就是求解s这个人期望，那就是s乘概率密度函数。然后我们再来看看离散型它的函数。离散性函数就是求解这个人。那要不要把这人的分布率求出来呢？不要。我还记得我们刚才过程当中才讲。你取这个人的时候，我y就进行去取gs 1，我们对应的概率是一样，你取s2的时候，我就是gs 2。

我们对应的概率一样，你取SN的时候我就是gsn，我们对应的概率是一样。好这个人，然后是连续性的。连续性注意。那么，刚才过程当中，我们都知道这是要积分。如果这是x我这块填s，如果这是gs改成g小S，也就说你是谁的函数里面积的，这个人就是谁的函数。然后再乘上这个人的概率密度函数，再积分。

能学清楚吗？好了，都记得住，跟我回复一，这个非常简单，就是背公式，把这公式会背，然后会套公式就行。非常容易，然后我们再来看看这个离散型。好继续，如果这东西是二维的，离散型的。我们怎么做？二维离散型，

它一定会告诉我们什么？它一定会告诉我们，联合分布率。啊，这是xm。然后这是y1一直到多少yn。然后这东西是共同发生的概率。然后这东西是共同发生的概率，然后这东西是共同发生的概率。好了，这个情况就写有限度勾。然后怎么进行去求解这个人呢？对吧ez就是e这个人的函数。哎，你是否还记得我们刚才怎么处理的？

把这个点对应的z进行求出来。然后概率是照抄的。那这里面当中就非常简单，我就看遍表盘每个点。对吧，把这个表盘上的每个点。这个第I个位置DJ个位置，这个点看一下，把它的z求出来，然后这个人的概率。是照抄的，这是它的概率。pig把它的概率你再乘一下，然后再把整个表盘上的东西啊，加起来就行。

就是这样的一个问题。把每一个点处的这个z都求出来。然后再怎么办？再把这个对应的概率相乘。就行了，所以我们的核心重点就是这五个公式。这五个公式啊，都记住的同学给我回复五。我们看看情况，这是一定要都要记住的。对吧，这几个人一定要记到脑子里面。我只要见到这个情况，我先进行去分析，哎，

你这个人是谁？你这个人是谁？我到底套哪个公式？这是必出题的啊，你不要小看这个今天的课程，你今天课程呢？考研的这个几率非常的高。好，这是这个点，那么接下来我们再来看，第二点我们再来谈谈性质的问题。好看性质。那性质当中啊，第一个人。一个常数的，

这个人的期望是多少？常数的期望就是本身。你比如说我说求解四的这个人的题目，这不是指数分布啊。四的这个人期望呢，就是四。然后再来看第二事情。如果这个东西是。c倍的x呢？c就直接提出去。常数直接提出去。然后接下来我们再看第三个人，如果这个人的加减法呢？加减法随便拆。注意加减法，

随便拆。该是加就是加，该是减就是减。那么，这里面当中的第四个人，如果这东西是乘法呢？不能随便拆。乘法要想把它拆开，也有一丝几率可拆，必须要x与y。独立的时候才可以，因为我们不考不相关，所以就独立，独立就可以。独立的时候，

它就可以拆，所以你看这是有可能性的。还是有一点可能性，能把它拆开。不像那个方差啊，它没有可能性。我还是有点可能性的，只要我独立的时候，我就能把它拆开。所以记住一个长寿的期望是本神。c倍的这个随机变量的期望等于c倍的它。加减法随便拆乘法，独立的时候可以把它拆开。好了，这是最重要的一步，

期望的问题。能学会吗？好了，听明白的给我回复一。这个不难哦。那么，接下来我们来做一些题吧，我们来看看这里面当中的第一个题。啊，先看第一个题。那这个题啊，他说俩人是相互独立的，随机变量。其实你不说也行。然后概率密度函数给了你。

那这里面当中让我们去求解什么？让我们去求解es+y。es+y无论怎么样管你独不独立，我都能拆。啊，就是这个人。诶，那这个人是个连续性随机变量吗？连续型。连续性都是连续性随机变量，那既然都是连续性随机变量套公式就行了吧？你负无穷到正无穷。你用is这个人乘上你的这个人的概率密度函数在几分？然后这是负无穷到正无穷上，你用这个y你再乘上你的概率密度函数的积分。

那我这个人能不能用x啊？也可以。只要不是函数，这是它这个函数的模型，是一次方，你就这块填一次方就行，这是一样的。然后接下来我们就来进行去套，那核心重点只有零到一有效，然后这是2s它的积分。然后这个东西只有什么只有五到正无穷有效，然后这是y乘上负的多少y- 5 dy？好了，这个题我得好好讲讲。来，

我们来看看这个题。那么前面这个人非常简单，那么前面这个人的话是三分之二。这个非常容易，那关键是后面这个人你喜欢这个样子吗？我不喜欢。所以说这里面当中啊，我令y- 5=t。那这一话。半圆就变成了零到正无穷，然后这是五+t，然后这是e的负t，然后这是dt。所以说这个时候就是三分之二，你加上五倍的零到正无穷一亿的负tdt。

然后再加上零到正无穷t倍的e的负tdt，这讲过吧，伽马函数，所以说这是三分之五。五倍的，这是t的零次方零的阶乘是一呀，然后这是一次方，然后这个结果就是一。所以说这个结果等于三分之五加上六。三分之十八三分之23，那正确答案选几诶这是？三分之。18这是是加吧？这个是三分之。18，

23。哦，这三分之二是吧？哦，我抄错了。然后这是三分之二。啊，把这个五都抄到这儿来了啊。然后这是三分之二十答案，选几选一。好了，这是这个题，所以这个题啊，比较经典的是后面这个人积分。对吧，

怎么进去去创造这个人，这个非常重要。这是一个很好的一个题啊，291题，这个题你要加强这个问题。然后接下来我们再来看看这个292题，这个题。继续看这个题。那这个题啊，概率密度函数给的你。然后又知道这个期望是他让我们去求解。首先第一个事情概率密度函数当中含有未知参数。我这个人可以选做归一性来做一下。那其实就是零到一。k倍的x二次方ds，

这人等于一。然后这个人的这个期望，这个人呢，其实是负无穷到正无穷x乘上概率密度函数的几分。有效段只有零到，一是x乘上k倍的s阿尔法次方ds，然后这人等于多少零点七五？所以你看看第一个人。第一人积分的话是阿尔法加一分之k，然后这人等于一。你再看这个人。这个人可以出去。出去了之后，这是阿尔法加一，那就是阿尔法加二。

然后是s阿尔法加二次方零和一代去的话就是它，然后这个东西多多少零点七五零点七五其实是四分之三。那么，接下来解一下吧。那解一下的话，两人做个比就行了。你做个比的话，这个人是阿尔法加二比上阿尔法加一等于三分之四，那是四阿尔法加上四。等于这个是。三，阿尔法。加上六所以说这个是阿尔法等于几阿尔法等于二。然后k等于几k=3。好了，

这个结果所以正确答案选几啊，一个是二，一个是三，正确答案选一。好这种题啊，其实你发现才是我们考研非常高频的点。那么，考验过程当中，他就是这样，他也没跟你玩的非常花里胡哨，你就知道这个问题，他怎么处理的就行。好了，这是292题，这个题。

来继续吧，我们再来看看下一个题啊，继续再看这个题。好，继续来。那他说了一个事情，他说。你这个人的概率密度函数是他。然后这个人是标准正态分布的概率密度函数。然后这是多少负一到三上的均匀分布的概率密度函数，然后让我们去求解这个期望，那我们来算一下吧。那这个期望。那这个期望的话，你发现首先第一个事儿，

它其实让我们计算的话是负无穷到正无穷。然后用x再乘上我这个人的概率密度函数的积分。而我这个概率密度函数，你发现小于零，它是这样，所以负无穷到零的时候，那应该是x才乘上。二分之一倍的f一sds。然后是零到正无穷，然后用s乘上多少f2s这个点s对吧？我们去计算这个人。计算这个人的话，你发现第一个人是谁呢？标准正态分布。那你就把它写出来呀。

那标准正态分布的概率密度函数。它其实等于根号下二派分之一一亿的负的二分之x次方，永远都是这样，所以说这个结果就是负无穷到零。然后用x这个人。然后这是二分之一，你再乘上根号下二派一的负的二分之x方，然后ds。然后接下来我们再看。这是个均匀分布，那均匀分布的话，这个人的有效区间段是多少？使x大于负，一小于三，它是四分之一。

其他部分都是零，这没问题吧？所以说这个人呢？他其实只有零到哪呢？零到三是有效的。四分之一点s。好，这个人跟得上吗？只有零到三，然后接下来我们来进行重点来看看这个人的积分。这是二倍的根号，二倍。那这个积分的话，你把这个x往后面凑，你x往后面凑的话，

这是负无穷到零e的负的二分之x方。你把这个东西补一下，负的二分之x次方。那负的二分之x方求导式是负的，前面来个负号就行。然后这个人的话，这是四分之一，这是二分之一，他的平方平方的话，这是九。好写成这样，然后这个前面这个人是负的二倍的根号二派，然后分之一这个积分是e的负的二分之x方。负无穷和零代穷。零蛋区一。

负无穷还是正无穷，平方嘛一的负无穷，这是零，所以这个结果就是它。那后面这个人呢？是八分之九。所以说这个题的正确答案选多少？a选项。好了，这是这个题，所以其实就是套公式给了这个人的概率密度函数，然后让你进行去计算它，你就完全套公式就行啊，这个非常容易，所以考。

这种题啊，你完完全全拿下来来再来看看这个题。继续看这个题。呃，这个题啊，可能就稍微的需要有一点这个挑战性的这个水平了。它这里面当中给了一个什么，给了一个概率密度函数。然后让我去求解期望，但是你发现套路都是一样的。给了概率密度函数，让我们继续去求解这个期望，那直接做呗，所以说这个期望等于多少？你直接上那这里面当中的话，

其实就是负无穷到正无穷。用s这个东西去乘上多少二倍的，这个拉姆达e的负的多少，然后是拉姆达。x减去缪的这个绝对值，然后ds。这个题咋做？你想想这个这个题当中的话，这个问题点你怎么去处理呀？你现在而言的话，这个is-mu的话，这个人怎么操作呢？你这个题的话比较难的，这个点的话，其实是积分。

你怎么处理啊？那么，首先第一件事。呃，我再强调一遍，有方向就去试对吧啊，有些方向就试那么首先我们看看这个事。你发现。你这个东西。正态分布现在也不像啊。你这是x-mu的，这个绝对值啊。你这个正态分布也不像啊。你说这是正态分布的话，你发现。

你这里是s-mu，我们原来上面是s-mu的这个什么？原来的话，这是根号下二派。sigma e的负的2倍的sigma，方x-mu的这个平方。你这你怎么处理啊？那这个人的话，你发现MU的这个人的话，他是有范围的。那确实有范围，那这关键点的话，你是怎么去处理呢？所以我们先从这里面当中进行着手。对吧，

你现在看不好看，现在不好看的话，我们先换一下。对吧，先幻想。你可以把这个s- 6给换掉。不然的话，这个东西实在是不好看。对吧，这个我们我原来都知道这块东西是一个平方的。但是你这个人的话，跟这个正态分布不一样。所以我们怎么办？我们来换一下，一换的话就是0 x-mu，

我就等于t。我一换的话，你发现你s是负无穷减它还是负无穷正无穷减它还是正无穷？然后这是二倍的拉姆达分之一，然后这个s呢，就是缪加te的负的多少？兰姆达分之t，然后这是dt哎，柳暗花明又一村呐，这种感觉。有没有这种感觉？那马上出来了，那这个人的话就是负无穷到正无穷，然后这是他。然后这是mue的负的拉姆达分之t的绝对值，

然后dt然后这是负无穷到正无穷。二倍的拉姆达分之一，这是te的负的拉姆达分之t的绝对值。dt告诉我，第二项等于几啊？这不是镇台分布。你可以这样想，你能想到这，我觉得非常好。第二项等于几啊，非常简单，你对称就是常数嘛，你这是个奇函数，你这是个偶函数，奇函数。

偶函数是奇函数，这项等于零。那这一项等于零第一项就可以出来了，第一项是偶函数，那是二倍的。所以说这个人是偶函数二倍的，那二倍的话就写成零到正无穷。零到正无穷二倍的话，我就不写了，就是拉姆达分之缪，然后这是多少e的负的拉姆达分之t，然后dt。好了，那么接下来我教你做这种题啊，怎么去做？

把这个缪写出去，零到正无穷，你发现这是e的负的拉姆达分之t。然后d多少拉姆达分之t是不是这样写啊？能听懂吧，像这种分一定要做得好。对吧，一定要做的好。我我昨天已经跟你说过这话，你是昨天没有来听课吗？我不是说过这个事情吗？我说你在概率论当中，你就不用管这个事情了。好了，这是这样的一个问题点，

我们就说到这。所以你看这个题就做成这样。像这种积分呢，一定要会叫做凑这种伽马。你比如说我举个例子，零到正无穷xe的负的c塔分之xds。这人怎么做？好做快一点。大家注意做快一点，这是零到正无穷，注意啊，不要动笔，一动笔就输了，补一个这个人。然后补一个这个人，

然后补一个这个人，同学们告诉我补了几个，补了两，这就是平方。你可以把这人看成整体，你一换还是领导领导他，所以这是一次方一的阶乘本题结束。所以像这个问题非常的快。一定要注意啊，就是如果是这个整体啊，你就眼睛漂。注意不要动笔，一动笔就熟了，这个做题的话，这个操作性要有。

就是你把这个东西看整体，然后接下来往上凑，你凑一个凑这几个。眼睛盯着做。然后像这个题呢，你看我就把这个缪抛出去，把这个lambda分之一写到这，你告诉我这个前面是几次方？零次方。对吧，这个零次方的话就是零的阶乘，这是一，所以这个是没用的。啊，正确答案选几啊选d。

好会做了吧？好这个题我觉得非常好。就一前面看的话，你发现哦这个题。有点难。你稍微换一个圆啊，这个题一下就变得非常简单。要喜欢做啊，一定要喜欢做，其实就是一个普通的一个积分问题，我们就讲到这二九四。来再来看看下面这个题，下面这个题非常的好，这连续的这两道题啊，水平点非常的高。

啊，这连续的两道质量都是比较高的题，我们来看看这个人。你告诉我这个东西是什么呀？这个东西是不是x的函数啊？那不就是s函数吗？所以说你会发现有些同学啊，他是这样。我要是写y=s绝对值哦，它是是函数，我要写y=s^2，它的函数我要写什么最小值什么，它就认不清楚了。这其实就是一个基本的一个什么，你这个数学功底的问题。

你最小值怎么了？你最小值还不是一个函数吗？所以说像这个题啊，无论它变的是什么样子，你别管你怎么变。那这个题的话，你万变不离其宗，连续性随机变量吗？函数的分布吧，所以说这人的话，你发现这个东西其实就是求解它的函数的分布，你告诉我件事情怎么做的？如果它的函数分布，你会怎么办？负无穷，

到正无穷。把这块东西写成这个函数，这个函数是什么函数是绝对值和一？啊，你就写括号也行。把它改成这样，然后再乘上概率密度函数的积分。好了，这个题啊，就做成这样。然后我们再来看看这个最小值，最小值这个人呢，你要稍微注意一下。这个最小值。它其实比较的是这个x绝对值。

和这个一的最小值那一的这个最小值的话，你看你这一段是它。你这一段是他，你这一段是他，你这一段是他。其实同学们都知道，如果分的话，你应该分成小于负一负一到一。一到正无穷，太麻烦，但是我一看，这是个偶函数。因为它的函数曲线是这样。这是个偶函数。然后这个人也是个偶函数。

俩人都是偶函数，这个人就是二倍。二倍的零，到正无穷。那二倍零到正无穷的话，其实我们只需要做正的这个部分。这样就简单多了，然后这是多少派倍的一+s^2分之1 ds？然后这个时候你发现我们就要分了零到一。如果是零到一。还有一到正无穷。零到一的时候，这个最小值是谁呀？那最小值就是x。零到一的话，

它这个最小值不就是这一段吗？这段不就是x吗？然后再去乘上派倍的一+x^2这个题啊，完全可以出给我们。那么，运算量也不是说特别大，就是你理解的技巧性问题，然后下一段呢，一到正无穷呢，一到正无穷是一。派倍的一+s^2 ds。好，这题出来了。非常非常的简单。所以说这个时候你发现，

你看你这个函数。这是有些同学学数学，他一直都没有克服的问题。就是这个题啊，就跟我们原来学高数一样，自变量必须是s换成y不会做了。对吧，你自变量，哪怕换成t也行，你换成y不行。就我在做题的时候，我那个自变量我定的非常准，你必须是这样。然后将来过程学函数一样，你写成分段函数，

我能认识。你写成一个具体的这样的一个函数，我也能认识，但是你写成什么最大值最小值，我就觉得非常恶心。这其实就是一个意识问题，你一定要突破这个障碍。这不就是写最小值，怎么它也是个函数一样的，然后我们再来看看这个人。第一事情把它凑到后面去，凑到后面去的话，把2s凑到后面去的话，就是ln 1+s^2。把零和一带去，

然后这是派分之二，阿克塔正体，然后这是x1和正无穷带去。所以这是派分之1 ln 2，然后这是派分之二，然后这是多少四分之派好，一算就出来了。正确答案选几啊？后面是二分之一。所以，正确答案选。a选项。好了，这是这个题。反正这个人就是他的函数，

我求解他的函数的数学期望也会做这节课，这个板块内容难度系数不是说特别大。好，我们再来看看最后一个人这个题啊，稍等片刻，一会过程当中我们再来讲。好了没好听明白了给我回复一。那这个点呢，我们就讲到这，然后再来看最后一个事情，我稍微拖会儿可以吧？马上讲完啊，不要呃，留了最后一点点东西，马上讲完。

那么，接下来我们再来看看下一个问题，我们再来看看方差的问题。那方差啊，其实就是三个事情。核心重点其实就是计算和性质啊，这两个人最重要。那方差这个人的定义啊，定义其实是这样定义。这个随机变量，它的方差，它定义是你高中都学过这个，就是说我这个人减去那个均值这个人啊，就是我减去期望这个人的平方。我再求个期望啊，

这个东西啊，它不重要。你知道就行。ys减去这个期望，期望是个数，我减去这个数，我的平方，我再求个期望。啊，这个人呢？就叫做这个随机变量的方差。然后再来看看核心，重点是在这儿。方差的计算方法是什么？然后一起来编叫做。

平方求期望。再减去期望的平方，这是重点。哎，重点。平方的期望。减去期望的平方，所以我们要算平方的期望，我们要算期望哎，平方的期望，减去期望的平方，这是必考的内容。对吧，这个考点肯定在这儿。当然，

这个里面当中也有反算公式。如果一个题啊，你发现期望好求。方差好求。那这个时候平方的期望可以走反算公式，就是方差，再加上期望的平方就移项过去。这叫反算公式，这是要注意的，这个内容也经常会考，就你期望知道方差知道。非常好，算平方的期望也很划算。然后我们再来看看这个方差的性质。第一条内容。

一个常数的方差是几啊？常数的方差是零。第二，事情如果这个东西给一个随机变量，乘上一个系数。它的方差是多少？是c方倍的ds。然后第三个事情。如果这个随机变量，后面加减上一个常数，这个人常数不要了。然后第四个事情。你发现对于这个方差而言。它的加减法拆开都举步维艰。都是有要求的，

就是你这个东西要想拆开你，想拆你只能进去去拆成。加法，而且有固定的要求x与y必须独立。哎，独立。所以说像这个人呐，你要注意就是加法这个东西的拆开都非常的艰难。独立的时候才能把加减法你注意，无论是加减这块一定是加。其实它真正的公式应该是这个，有些同学可能学过。这ds+dy加减上二倍的斜方差。这是它原型公式。因为独立的时候，

这一项就没了，所以就变成了加其实加减法的话在这儿。这是圆形公式。所以我们在考研过程当中记到这就行，就说加减法这啊，这个拆开就非常困难了，不像期望。希望是加减法，随便拆乘法，要求独立，但是这个人呢，一定得要求什么，要求独立的时候才能拆，要注意啊，这块是加法。

哎，我有个问题。那如果今年。他真的是进行去考了。惩罚怎么办？我模拟卷里面有个题。如果真的是乘法怎么办？有些同学太疯狂了。说这个东西等于ds×dy，你看答案选项当中肯定有个这个答案，一选选错了。那这时候怎么办？啊，这怎么做？对，

非常好，按照整体做，有些同学的水平非常好。啊，一定能考到非常非常好的，按照整体做。那这个人呢？就是。平方的期望。减去期望的平方非常好。那然后这个人其实就变成了e的x方乘上y方的期望，然后这是exy。这个期望的平方。如果这个题告诉了xy独立，xy独立平方也独立，

那这个人就可以拆xy独立，这个人也可以拆。那就可以做了。要注意，其实没有多难，对吧？就是看看大家的话，对这个核心公式到底理解的怎么深深刻还是不深刻？好像这个问题啊，也没有坑你，对吧啊，核心问题点那么接下来我们来看看这个题。先看第一个题。他说这个随机变量在负一到二上服从均匀分布。啊，

服从均匀分布。然后y这个人给了你。负一到二上均匀分布。你告诉我y这个人是个什么随机变量？y这个人是个离散型，为什么？因为y这个人只能取三个人，只能取一。取零取负一。他只能娶这三个人。然后你进行去取一的概率呢？其实就是我s大于零的概率。我大于零的概率是多少呢？我大于零的概率是这块。其实就是三分之二。

对吧，这个人。然后你取零的概率就是我取零的概率，我问你连续型随机变量一个点处的概率等于几啊？等于零对吧？等于零。所以这个部分的内容啊，连续性随机变量一个点处的概率，它是等于零。好注意一下这个事啊，你要想清楚，但是注意一个点处概率等于零，是连续型随机变量。它单独的一个。它特有的性质吗？

不是的吧，你比如说这是个离散型，随机变量，它在这个点处的概率也等于零。我应该是昨天啊，昨天的话，那个写写稿子写的写到最后啊啊这个。刷了一会，这个刷了会，那个自媒体我看了看。看了一下这个，有个同学的一个帖子下面，然后问了一个问题，上面给了一个连续性随机变量，下面给了四个选项。

然后有一个选项的话说，这个概率等于零。然后的话，这个。然后他问为什么概率等于零？首先第一个事情，我觉得如果这种问题点都有问题的话，这个这个问题点非常大，连续性随机变量的概率肯定等于零一个点，概率肯定等于零。关键是下面一个同学回复说概率为零，是连续性随机变量的充要条件，你这就有点胡扯了。我这是个离散型，随机变量，

我这个点处概率也等于零啊，不是充要条件啊。来继续那这是三分之一了。那么所以说把这个东西啊，你就做出来了，然后接下来他说让我们去求解它的方差。那怎么求解？你就要进行去求，期望你还去求平方的期望。期望就是依晨这个人。然后是负一乘上这个人。所以说这个结果等于三分之一，那平方这个人呢？一的平方乘三分之二零乘它负一的平方乘上三分之一，那这里是几这是一？

所以说这个人的方差就是平方的期望，减去期望的平方九分之八。所以，正确答案选几选b哦。好，这个题不难吧？297题，这个题，这题难度系数没有说想象那么大。好，我们继续，我们再来看看这个题。诶，这个题非常好。对吧，

这个题。这题我们先来读一下，他说这个x这个人的概率密度函数是他。然后说我要对这个人。独立的进行去观察三次。然后说这个人出现了多少次？同学们告诉我y这个人服从什么分布？那不就是这样吗？y这个人就服从二项分布。我进行了三次。然后问你成功，这不叫伯努利，这叫二项分布，伯努利是零一分布，别别别搞差了啊。

这叫二项分布。所以进行了n次。然后问这个人出现了多少次，我们来看看一次性出现的概率是多少，一次性出现的概率就是小于等于一的概率。给的概率密度函数进行积分。那重点只有零到三呢，就是零到一对它进行积分。所以说这个结果啊，它就等于这是九分之一这个人。所以一次出现的概率是九分之一。进行了三次，每次出现的概率是九分之一，问你成功了多少次，就是这个人，

然后这人的方差是多少？二项分布的话，这个方差是等于np乘上多少一减p？还记得吗？是np倍的一减p，所以说这个结果马上出来，那就约一下吧，三九二十七分之八。答案选b。好，这个题啊，不难哦，稳稳当当的是我们的考题，它就考的这样，你会处理就行了。

只要你能读懂这个题，你能把它处理清楚，那就非常完美。好了，这是这个题可以的吗？掌握清楚给我回分。那么，接下来我们再来看看下一个题。299题，这个题。好，继续那这个题啊，它说这三个人相互独立。那既然是相互独立，大家想想你。

和这个二分之一之间和这个三分之一之间是相互独立。那既然是独立，你告诉我这个方差能不能加减法拆开呀？当然可以，我就拆成d，你注意要变成加法。第二分之一。第三分之一。然后这个系数出去，我们都知道要变成多少平方，四分之定理，然后这是九分之定理好变成它。好，先看第一个人。第一个人是一个均匀分布方差是多少？

十二分之b减它的平方，这是四三分之一。然后这是正态分布第一个位置，是期望第二个位置是方差。然后再看第三个事情，泊松分布方差，就是这个拉姆达。所以说接下来我们把它带进去，一带的话，这个第一个人是三分之一。第二个是四分之一乘二，然后第三个呢是九分之一乘二。我们来算一下，算一下呢，之后的话，

这个是。可以是18。三六一十八。二九，18。然后这是四。所以说等于18分之。诶，19。啊，没问题，好选d。所以说这个人呢，立即做成这样。你看这还有同学讲。

你这上上课听课的效率不高哦，你看我刚才这个东西是易错点，我还专门提示了你。我说无论这是加减这块都是加。无论是加减都是加，你看我还专门换了一个颜色。而且我还在下面专门打了一个三角形。我专门重点的提示你，这种情况你还记不住，但是我觉得这个问题点非常大。好了，像这个点。这是这个人过去了，可以吗？你最起码这个公式得记住299题。

那我们继续，我们再来看一个题300题。那么这个题啊，我们继续来看。好操作一下。他说，一个试验成功的概率是p。然后进行了100次独立重复的实验。然后的话，这个当成功的这个次数的标准差，你注意啊，什么叫标准差呀？标准差，这叫方差。方差的开方就叫标准差。

开个方最大的时候p等多少？那这个题的话，它其实就说你每次成功概率是p。你进行了100次，你成功的次数，那你告诉我这个人是服从什么分布啊？二项分布吧，进行了100次，每次成功的概率是p2项分布，那这个时候的这个标准差是多少呢？它标准差的话就是。np倍的一减p。好，这个人那么像这个情况，我们什么时候最大呢？

啊，其实我们都学过这个，叫做基本不等式。如果两个人什么乘积。是静止。然后的话，这个什么呃，如果是加和式定值乘积拥有最大值。如果这个东西是加和式定值，然后乘积拥有最小值。是不是这个问题？所以说这这个这个情况的话，你一定要想清楚，它考了一个什么内容呢？它就考了这个知识点。

我来讲讲就是x+y大于等于二倍的根号sy。这个东西啊，讲究一正。2d三相等。那什么叫一阵呢？一阵必须是x大于0y大于零才能用这个公式。定出不等式，方向xy相等的时候取等号。xy相等的时候取等号，这不叫输，你是个强化班结束的同学，这我可复习过。所以如果这个人的话，你想想。如果x+y是个定值。

那x×y是不是拥有最大值？x×y是个定值x+y，是不是拥有最小值？所以现在我们看。很明显，这两个东西的乘法。把这个根号100写到这儿。好了，这个事情那么请同学们告诉我。这俩人的加法是不是定值啊？你这不就是根号下多少x，这是y吗？两个加和式定值，我就可以放松一下了。放缩一下了之后的话就变成多少就变成了二分之，

这两个相加。相加的话，之后的话就是p+1-p。所以说这个结果它等于这是二分之一倍的根号一百，但是我们不想算这个人。它拥有什么值？它拥有最大值什么时候最大呢？就是这个x=y的时候就是p=1-p的时候。p等于二分之一的时候最大。能学清楚吧，好正确答案选c。如果这个加和一看诶，两人相加有定是定值，那这个乘法就用了最大值。如果这个相乘是个定值。

那这个加和就拥有最小值。这个非常容易啊。这是一个初中内容吧。哎，初中考点内容基本不等式。所以说这个s+y大于等于二倍的根号下sy乙阵2d三相等，到底说的是什么事情？好，这是这个题。那么，在刚才过程当中啊，还有一个题，把这题一讲，我们所有的这个强化案部分内容就全部结束好，我们再来看看。

最后一个题。那最后一个题啊，他给了概率密度函数是这个人。让我们去求解平方的这个人。难道你要直接积分吗？那肯定不会，我们有些同学的话，稍微做一点，你都有点意识。那么，见到这种情况，意的什么这个人，那我肯定会想什么，我去想凑正胎。所以说这个结果我就这样办。

那这个结果的话，前面必须是根号二派啊。那根号二派的话，也就说我要在这里面。你要乘上多少？你乘上根号二，你下面就要除一个，所以说这个部分呢，你就要来一个根号二。然后这个上面这个东西我们写成多少写成？四分之。然后这是s方减去4s，加上四。所以这个结果就变成了s- 2^2。好这个人，

然后下面这人呢？改成二乘二二，又可以写成这个人的平方。是不是写成这样了？所以这些人是概率密度函数，我们一看就知道诶，这不是sigma吗？这不sigma方，这不是缪吗？那缪就是2 sigma方呢？sigma方就是根二的平方。好，这个人马上知道哎，平方的期望可以用反算公式啊，因为这个人的期望是第一个人。

方差是第二个人，那利用一下反算公式，我们就知道它就等于期望的平方加方差。期望的平方是四方，差是二本题的结果等于六，那这题结束了。所以像这个考点呢，我们在考研过程当中还会经常用。所以一定注意这种问题啊，是怎么操作的？能想清楚吧？好了，这个题啊，就考的是平方这个人的期望。能学清楚吗？

好，这个点。呃，稍等一下下啊，我再讲一个内容。那么，如果在考研过程当中啊？我住到这儿。那如果在考研的时候，我遇到这个积分。你怎么做？你看这个人。它等于多少？你看这个人。如果我在考研的过程当中，

我见到这个积分。那这是谁呀？哎，我一看不就知道。这个人。不就是n0这个什么n MU sigma方的这个人的。概率密度函数吗？如果x乘上概率密度函数，这不是不是他的期望吗？他期望就是m。那如果这个题我改成平方。我如果考试过程当中见到这个人怎么办呢？你看我就是x方。你再乘上这个n0啊，这个n MU sigma方。

对吧，我这个人乘上你的概率密度函数。那这个时候的话，你发现。我这个人是这个人的概率密度函数，那这是谁呢？不就是平方的这个人期望吗？它是不是就等于期望的平方加方差？期望是缪缪方加上sigma方。所以同学们注意正着，要会看反着要会写，这才是个高手。所以一定要学会它，对吧？这个基本问题你尤其而言的话，

比如说这个人。x方。你乘上根号下二派一亿的负的二分之x方，那这人等于多少？那这个东西它不就是多少呢？它就是n零一的概率密度函数。那n零一的概率密度函数的话，其实就是期望平方加上方差，那这是一。所以要会做，你不要说碰到这些东西啊，你不会积这也不行，这是一个最基础的一个积分能力。所以你看这样的一个积分的问题啊，我们在考试过程当中还会经常处理。

而且这里面当中我们经常的时候，有的时候积分呢，还会用到这个什么用到这个高斯积分。啊，就这个人。积分负无穷，到正无穷。e的负x方。然后就等于二倍的零到正无穷。一亿的负x方ds真等于根号y。注意啊，这个人他不是伽马函数，他叫高斯积分。这个人跟那个伽马函数还是不一样的，这个人是一的负x方的积分，

其实我们在高数时候讲了这个人的分呢是。是激不出来的。对吧，他是没法记的，我记不出来他的。这是常见的不可积吗？但是我从负无穷到正无穷上的积分呢，哎，这个人是可以的，他最后的积分结果是多少？是根号派。好，这个题啊，立即出来了。所以讲到这儿，

我们所有的问题啊，就全部结束了。其实你发现呃，比较简单的还是后面部分。对吧，像这个期望的去计算呢，方差的计算呢，二维离散型呢，这三个问题的难度系数，说实话真不高。期望就是套公式，然后把这个性质要记住。然后这个方差也是性质要记住，然后套公式，你会套公式就能做的非常好，

所以每年过程当中，我们考这个点呢，其实都是一些非常非常重要的一些问题。每年过程当中都是会考这个点。所以像这个。呃，随机变量的这个期望呢？随机变量的方差呢？你看这是四分。然后你再往前看的话，这个二维离散型呢，那这个东西又会考，所以把这个问题啊，你下去好好进行处理一下。那么今天课程呢，

我们就全部讲完了。也恭喜我们这个三九六同学，我们这个金钟数学的强化班，我们就正式结束了。所以说最近呢，你就好好复盘，然后到了这个秋季过程当中，我们就是下一个阶段复盘上一个月。复盘完了之后的话，我们就可以进入这个呃模考了。当然的话，如果有同学的话，你觉得。然后的话，这个后续啊呃冲刺救命班呢，

你可以进行去查漏补缺。对吧，还有我们的这个冲刺十套卷。对吧，这也是查漏补缺。所以基本上我们在这一年过程当中，我们大纲要求的所有核心考点。所有的核心题型，我们就全部讲完了。所以内容上面的东西啊，全部讲完了，题型上面的东西啊，已经全部讲完了，如果你觉得这个。哪些东西你复习的不是说特别好，

你可以通过这个冲刺救命班呢，你查漏补缺一下。然后这个模考是一定要进行的，因为我们三九六同学你都知道这个做题的这个手感应对考试的这个能力。还有这个在考试过程当中处理的这个时间的这个问题都是非常重要的事情，你不能说我平时学的非常好。然后到了这个最后啊呃，这个前段时间呢，我因为有一个学生呃是一个二战同学，那去年数学三考了120多分吧。考了120多分，然后进行去呃，这个给我发了一个私信，然后进行去模考，模考什么呢？

模考去年的真题。做起来都非常的吃力。一个事情是什么呢？时间把控的不好，那还有一个事情的话就是这个东西的做题的，最后的话你发现感觉就是不一样。所以你不要感觉说啊，我平时过程当中我练得非常好，怎么怎么样。但是你这个尤其我们考三级路这种考勤的，这种感觉是不一样的，我们最后啊，一定要落实在准时。准点，然后的话进行去处理，

这个大量的这个题型的这个能力。所以到了这个后续，这个模考是务必要进行的，如果你是个三九六同学，你这一年最后你没有做上十套卷子的，这种模考卷。我觉得其实而言的话，你最后拿到最后的真题啊，你的手感其实都不是说特别好。所以这个模考应该是个应考能力，这个应考能力啊，非常重要。这个应考能力呃，其实体现在什么呢？就是你自己的划分时间，

还有最后的解题能力。所以希望同学们下去啊，还是好好进行去。处理处理吧呃，那么今天课程我们就讲到这儿，然后这个今天晚上我们也会针对同学们的话，这个这个问题，然后给同学们进行去。讲一下这个复盘计划的问题。然后我下午看看吧，这个是讲一场还是讲两场还是怎么进行去啊？这个进行去讲解这个事情，然后这样的话，其实就是我们可以把这个。三九六同学，

还有这个数一数二数三同学，我们给分开，然后这样的话就跟同学们进行去讲一下，后续这个规划你请注意一个事情。所有大纲的内容，我们全部讲完了。所有题型的方法，我们也全部讲完了，接下来的事情就看大家的这样的一个消化情况了，你能不能把这些东西吃透？然后变成自己的解题能力，这个非常重要。好同学们好，那么今天课程我们就讲到这，然后的话这个。

啊，今天晚上微博还有这个B站都是可以的。微博和B站都行。行吧，同学们好了，那么这个强化班呢，我们就正式讲到这吧，然后讲的这个时间也非常的长了啊，讲的这个内容点呢，也非常多了。希望同学们下去好好进行去备考吧，然后的话这个复盘还是非常重要的，我觉得这个复盘你自己一定要找到自己的这个问题点。然后把相对的这个问题啊，解决清楚啊，

这个非常重要。好了，那么今天课程我们就讲到这好，同学们好，我们呃，这个期待我们在后续啊，这个模考班吧。包括有些同学可能想听这个冲刺救命班的也行，我们后面还有课程，也不是最后一次课程了，好那么今天课程我们就讲到这儿，希望同学们。好好进行去复盘消化，因为这个强化班讲的东西比较多，然后有些东西的难度系数也稍微的会大一点，

希望大家通过这个复盘。一遍两遍三遍的，你一定能把它转换成自己的非常好的做题能力。好吧，同学们，期待我们下一期啊，我们再见面的时候，我们期待同学们的蜕变。好同学们，那么我们强化班的课程呢？我们就全部结束了，好同学们加油了啊。

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