30.【加餐】冲刺满分强化篇（概率论）精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:20:50

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。那么今天我们就继续开始，我们三九六概率论的桥湾部分课程，那么今天啊，应该是我们所有课程的最后一次课程。那么，今天我们会把这个概率论的所有的核心知识点呢？

最后一点东西全部讲完，那么这样也就代表着我们呃，在这个强化班过程当中啊，所有部分的东西啊，我们就全部完成了。那么，首先我们在正式上课之前呢？我们还是来讨论一个事情，就是我们在上节课过程当中啊，其实讲了两种随机变量。一种情况叫做离散性随机变量，一种情况叫连续性随机变量。那么其实在这里面当中啊，还有一种叫做既非离散也非连续，所以这里面当中我们稍微进行去看看。

这三种随机变量。好，那么接下来我们针对于这三个人呢，稍微进行去谈一个事情，同学们告诉我什么东西叫做求解它的分布啊。那么，同学们告诉我，如果一个题目当中出现这个词儿，说让我去求解这个随机变量的分布。什么意思啊？求什么东西啊？他让我们去求解这个随机变量的分布，那是什么东西啊？那什么东西叫做分布呢？你思考一下。

什么叫做它的分布啊？有些同学可能会觉得说啊，我是求解它的分布函数，那就胡扯了。注意不是分布函数。什么叫做分布呢？分布是这样的意思，如果这东西是个离散性随机变量，其实在这里面当中啊，我们就是求解它的分布率。注意这个分布率啊，就叫做这个随机变量的分布，如果是个连续型随机变量，我们求解的是什么？我们求解的是概率密度函数。

哎，这个东西啊，叫做它的分布。能理解我的意思吗？那如果是既非离散，也可以连续呢？那一会我们再谈，那么在这三个人当中啊，你发现。第一个人有没有分布函数？有没有有？但是如果说求解它的分布，不是求解分布函数，是求解分布率。如果是连续型随机变量，

有没有分布函数？也有分布函数，但是你要注意，如果让你去求解分布，是求解概率密度函数。能理解我的意思吗？所以说这里面当中啊，你要小心这样的一个事情。但是注意既非离散，也非连续的人，它只有什么？它只有分布函数。哎，它只有分布函数，所以如果是求解，

既非离散，也非连续性随机变量的分布，那就求解分布函数。但是一般不会这样出题的。所以一般情况下，你要看题，如果这个题目它是个离散性随机变量，它的标志是分布率，这叫做它的分布。那就是我的所有可能取值，我对应的这个人的概率，如果是个连续性随机变量，我的这个什么分布就是我的概率密度函数。我通过我的概率密度函数，我能求出我的什么？

我的概率，然后接下来我们进行去看看这个分布函数的特性。离散型随机变量的分布函数具有什么特性？首先，第一个事情，你只要是分布函数，就具备四个特性。一定要具备四个，但是你发现离散型随机变量的分布函数啊，它非常特殊，它的图像是一个台阶桩。每一段都是个常数，而且在分段点处可以取到概率好，这是它如果是连续性随机变量的分布函数呢？它的分布函数是一个连续的函数。

那如果既非离散，也非连续呢？除了这些人之外，那就是既非离散，也非连续的。能听懂我的意思吗？要注意啊，每一种随机变量都会有分布函数。但是，离散型随机变量的标志也就是它的分布式分布率，连续性随机变量的标志是概率密度函数。它的分布式概率密度函数。然后这里面当中，我们要分清楚离散型随机变量的分布函数什么特性，连续型随机变量的分布函数什么特性，

那如果它是一个分布函数。既不是第一种，也不是第二种，那就是第三种，能听懂我的意思吗？好了，那么接下来我们继续回到这个事情。好，那么接下来我们来继续来看看。上上次课程呢，我们讲过的一个题，哎，我们来进行去漂一下这个题目当中的这个问题，那么接下来我们先来看看第一个人。那么，

同学们告诉我，这是一个分布函数吗？检验了四个特性了之后啊，发现它是分布函数，而且这个分布函数是连续的。那既然是个连续的同学们，告诉我这个分布函数是谁的分布函数，这是一个连续性随机变量的分布函数。能理解吧，然后我们再来看看第二个人一减e的负二次方，那很明显这是个指数分布，那指数分布还是个连续性随机变量的分布函数。你看这个人，然后我们再来看看这个第三个人，那第三个人的话，

你发现他是一个分布函数，而且这个分布函数的图像是连续的，那他还是个连续型随机变量的分布函数。然后再来看看最后一个人，那这个人是分布函数检验了四条了，之后是分布函数每一段都是什么数啊？每一段都是常数。那这个东西就是台阶中离散性随机变量的分布函数，能想清楚吧？好了，这是这样的一个问题。诶，那么这里面当中我稍微问你件事情，对于一个连续性随机变量而言，概率密度函数可不可以不连续啊？

请注意听题啊，概率密度函数可不可以不连续啊？当然可以，它的概率密度函数只要非负，只要归一就行了，哪怕去掉一个点，也不会影响。所以我们昨天讲的那种核心提醒呢，你必须要拿下来，你看昨天晚上讲的这个内容非常的重要。好，这是它那么接下来我们再来看一个题吧，这个下面当中啊，还有个题，我把这个题放到这儿。

我们一块来讲来看看这个题。给了一个函数。如果这个函数的图像好画，你尽可能把图像画出来啊，从图像上进行去看呢，非常的明显，那么接下来我们来看看这个函数。那这个函数图像也非常好画，你发现它是这样，那这是分布函数，然后这是零啊，这是x这未必是分布函数。你先检验一下它是不是分步函数？那么，它说，

如果小于等于零的时候，它都是零哎，这一块的时候它都是零。然后零到一的时候是谁呢？哎，一在这儿，然后大于一的时候是谁？大于一的时候都是一。然后这个部分呢？这我是不是挂错了，你就看看啊。你改一下。是这样子的。把这个题改一下。改成这样，

然后接下来我们再来看，这是二分之s，那二分之s图像长什么样子呢？二分之s是这样。好了，注意一下，把它给我改一下，改成这样。书上是对的什么？嗯，行，我们就这样吧。好了，那么接下来我们来看看这个事情，所以说你会发现看你这个点是取你这个点是不取，

你这个点是取的。那么，接下来我们来检验一下这四条，你发现这个人是一吧？那第一条v与零到一之间满足吗？正无穷是一负无穷的极限，是零第二条也满足，然后第三条我们再来看这个点处是连续的。这个点处呢，右边往它跑，跑到该点值右连续没有问题，第三条满足，而且这个图像一直往上跑，单调不减。第四条也满足。

所以说你会发现满足了这四条，它就是个分布函数。因此你说如果它不是分布函数，这不对。然后接下来我们再看那是谁的分布函数呢？如果是离散型随机变量的分布函数，应该是台阶状，它不对。如果是连续型随机变量的分布函数，它应该是连续的呀，但是你发现一个事情，你在这个点处没有连续吧？没有连续，你不是连续性随机变量的分布函数，那你是谁呀？

你只能是既非离散，也非连续。所以一定要听清楚这三个情况，离散型随机变量，我在意的是分布率。它的分布函数长什么样子？连续性随机变量，我在乎的是概率密度函数，它的分布函数又长什么样子？如果是既非离散，也非连续，它的分布函数又长什么样子？所以说这里面当中啊，你要会判断它好了吗？同学们过去了，

那么接下来我们再来看看上节课的重点内容。我们来看看常见分布当中的一些考题。那么，首先我们先来看看这个275题，这个题来我们一起来看看。他说这个随机变量。服从泊松分布。只要见到常见分布离散型，立即写出分布率，连续型，立即写出概率密度函数，那这个事情就非常简单了。那就说明x=k，然后这个人的概率是等于多少k的阶乘拉姆达的k次方e的负拉姆达次方？然后这个k从几开始零一二一直下去，

然后这个题目当中啊，它告诉了一个事情。说等于一的概率把一代上去，一代上去的话就是一的阶乘拉姆达的一次方，一的负拉姆达。然后等于多少呢？等于这个二二的话，你发现二的阶乘是二兰姆达二次方e的它。那这个做完了之后，我们再来看你，发现这两个东西约掉。服从泊松分布，这个拉姆达是大于零的，然后这两边当中啊，你约掉一个人，

所以立即可以得出这个人等于二。那这人等于二的话，那么接下来让我们去求解的什么？让我们求解去去求解这个部分的概率。那你想想你求这个部分的概率啊，它是不好做的。那所以说它就等于多少一减去x等于几零处的概率，然后再减去x等于一处的概率。你看这样一做就简单了。所以说这里面当中啊，我们就来看看这个事情，如果是零呢？零的阶乘是一拉姆达，零次方是一，所以说就是一的负拉姆达次方负二次方，

然后再减。然后这个一的阶乘是一lambda的一次方，那就是二的一次方，然后是e的负二次方，因此就是一减去三倍的e的负二次方。那正确答案选几啊？选c啊？像这种泊松分布的题啊呃，其实最重要的一个关键点，你要把握清楚。最重要的一个关键点就是，它一定是从零开始。有些同学只减了一这一个人，你很明显就减错了，你如果只减一这个人就是一减去二倍的他，

你就会选d了。所以容易出错，一定要注意啊，它是从零开始，这个人要紧，把它标注好，泊松分布啊，是从零开始的。好了，这是二七五这个题，那么接下来我们再来看看吧，我们再来看看二七六这个题。然后一看，均匀分布。如果这个东西是均匀分布，

我立即可以写出它的概率密度函数，但是不着急，因为均匀分布的话，求概率其实就是长度之比。长度之比比你对这个概率密度函数积分呢，还来的更加的痛快一点，所以接下来我们来画出一条区间段零到五上的均匀分布。他说这个方程呢，有实根。一元二次方程吧，一元二次方程有实根德尔塔这个人怎么办？大于等于零，那德尔塔是多少呢？这是BB方减去4 AC，然后这是4a，

然后这是c。那这个东西啊，大于等于零。那所以说这里面当中就是x方，然后减去s- 2，这人大于等于零。一二得二那所以说就是减圈，然后这个东西加上一这个东西啊，大于等于一。那这个东西的话，它的图像是这样对吧？你经过负一，这是二，然后开口朝上。那既然是大于等于零，

那其实的话就是x，要不然怎么办大于二？要不然怎么办？x小于等于负一，你求解这个人，你求解两边的情况，你其实也好求。对吧，这一段的概率是多少呢？我们来算一下。那其实就是德尔塔大于等于零的概率，那大于等于零的概率其实就是大于等于二的概率，还有谁呢？还有这个x小于等于负一的概率。那小于等于负一的概率是多少呢？

我们再来看小于负一啊，负一在这儿。这块是没有的，然后是大于二的概率，大于二的概率啊，是在这儿。有效长度是在这儿，所以说你会发现最终啊，总长度是五，然后这个长度是三五分之三。正确答案选。几选c？好，这个题啊，非常的简单。

所以你可以看出来这种呃均匀分布了。它的考试是非常容易的。因为如果是均匀分布，你积分呐都没有这种这种几何意义来的痛快。它其实就是一维的什么东西呢？这个几何概型的问题，头十字的问题啊，这个点好，那么接下来我们继续，我们再来看看下一考题。再来看二七七这个题。来看这个题。那这个题啊，他说了一个事情。他说这个x啊，

服从什么呢？服从参数为这个东西的泊松分布啊，这个指数分布。然后是一千分之一。然后他说在灯泡啊。使用了500小时没有坏的条件下，还可以继续使用100个小时不坏。这个事情什么意思啊？它的意思非常简单。如果使用500小时没有坏。那说明它的寿命是什么？超过500也就说在x大于500的条件下。你还可以，怎么办？继续再使用什么？

再继续使用这个100，那其实就是它的寿命要超过多少？超过600。能理解吧好，这是这个事情，如果这件事你不知道，你就直接算。你就硬着算就行，那同学们告诉我，如果是指数分布，它的分布函数知道它的概率密度函数，也知道你喜欢用概率密度函数求解，还是喜欢用分布函数啊，我当然是喜欢用分布函数啊。因为分步函数这个东西啊，

直接进行代值就行了，所以一减去一的负的多少？一千分之一，然后这个s。is大于等于零，然后另外一边是这个人。你至于这个等号，你挂在哪这是无所谓的，一点影响都没有，对吧？分布函数，它这个东西啊，一个点。啊，这个点呢，

没有关系，因为它是连续的，你挂左边挂右边都行，连续型随机变量的分布函数是连续的，不光右连续嘛。右连续的时候写左闭右开，连续的时候写左开右开，左闭右闭，左闭右开，左开右闭都是可以的。随便写好了，那么接下来我们来求解一下这个人。那怎么写呢？那这个人直接用条件概率，那其实就是x大于500。

然后这个东西是共同发生，那既然共同发生的话，就是x大于500。然后是x大于多少大于600，然后取交集就是它，所以说这个人的概率是多少，这概率是一减去分布函数在500处置。然后这个东西啊，取交集了之后是600，那就是一减去分布函数在600处的值。能想清楚吧，所以说这个时候啊，我们一做就行，你看你把这个500带进去，那么其实就是一减去。

对吧，这个分布函数500应该往这儿。你带到这里面当中的话，是e的负的。二分之一。然后再看上面，然后这个东西是六百是一减去e的，然后这是一千分之六百。所以说这个里面当中啊，约掉两个零，然后这是多少负的五分之三好这个结果。你就做成这样了，那做成这样了之后啊，这两个东西约掉了，约掉了，

约掉了，然后这两个东西一除同底数幂相除指数相减。那就是e的负的五分之三，然后再怎么办？加上二分之一，那这是十分之几？呃，这是正的吧？这是负的。对吧，这是上面是正的，然后是负的。这是真的吧？这是正的啊，没有问题，

然后这个时候的话，这个上面的话，这个人应该是负的，他减去他。所以说这个人等于一亿的负的多少？十分之一。啊，这个所以这里面当中我们一做就出来了。所以像这个考点的话，你会发现难度系数不是说特别大好，这是一种方法。对吧，你可能把它做出来了，正确答案选多少呢？你就选这个。

a选项答案。但这个题啊，还有没有更简单的方法呢？那当然有，我们昨天讲过，其实这种情况它具有无机异性。那这其实在这里面当中啊，就能拉开我们在考研过程当中的这个差距，无机异性那无机异性的话怎么处理的呢？他这样说的，说如果你这个东西啊，你服从的是指数分布。那我x这个东西如果是大于m，我再进行去求解m大于啊，这个大于m+n。

那这个人的概率是多少？其实这个概率啊，只是多少呢？x大于n。对吧，这里面当中对于任意的mn，它是大于零的。所以说这个东西啊，它就叫无机异性，这是方法二那既然是无机异性呢，我们来看看这个事，所以现在而言的话，它是让我们求解什么is大于100。然后在s大于多少大于600。好，

这个人那这个人综合下来，其实就是is大于多少，其实就是大于500。大于500的话，其实就是一减去分布函数在500处的值。然后这时候往里面带，然后510带的话e的负的多少这是？把这个500往哪带往这带？嗯哦，这这是500是吗？哦，题目是500。哦，这是500，所以说这个就是大于100。

大于一百的话，就分布函数在一百初值，那就是十分之一。所以说这个结果立即出来。你看这个点，所以说这个时候的话，你发现啊，我把这个这个东西抄错了吧啊，你能理解清楚就行啊。你能理解清楚就行，就是我把这个东西抄过来，抄错你注意刚才写那个式子也是对的。对吧，写那个式子也是对的，所以这个题啊，

正确答案选几选择a选项这个结果。所以要理解清楚这个呃指数分布的无机异性，无机异性这个东西啊，到底什么意思？把这个方向性想清楚就行。好了，这是277题，这个题那么接下来我们再看再来看看下面这个题，那么下面这个点呢，我要讲一个事情就是。最大值和最小值分布的问题。最大值最小值分布，那么在这里面当中啊，你要思考一个事情。但是我们不会考这种二维的，

这个分布的情况，所以说这里面当中的核心重点，你只需要把这个什么最大值最小值啊进行求概率，把它想清楚就行。好，我们来看看最大值。最小值。涉及概率问题。好，我们来讲讲这个事情。那最大值最小值啊，涉及的这个概率问题啊，那么首先我们先来看看第一个问题点。比如说我们首先看看最大值。那最大值这个人呢？

你思考一下第一个问题。比如说我们这里面当中，我让你去求解这个人。如果是最大值。那最大值的话就是xy的最大值。最大值的话，你发现比这个a小。我怎么去求解？那非常简单。如果最大值都比它小。你最牛逼的人都比他菜，那说明什么？说明每个人都比他菜，所以这里面当中s这个人就会小于等于ay这个人呢？也会小于等于a。

好，这是且的关系，所以最大值喜欢的是小。最大的人都比我小，那说明什么？说明俩人都会比我小，能理解吗？那如果是最大值，这个人比他大呢？你最大的比他大，你未必俩人都比他大。比如说100和一。这个人的最大值是他比十大。但是你能说明两个人都比他大吗？不行，

所以说注意啊，最大值喜欢比一个人小。好，这是一个问题，然后我们再来看第二事情，如果这东西是最小值呢？如果是最小值，最小值就喜欢比人大。为什么如果最小时都比你大，我最小的比你大，说明俩人都比你大。哎，这就是它的方向性，你最大值你喜欢比人小，你最小值啊，

喜欢比人大，不要背啊，要理解。好了，这个事情啊，能理解清楚给我回复一。方向性没问题吧啊，这个很好理解嗯，最大的人你都比他小，说明俩人都比他小，你最小的比他大，你说明俩人都比他大啊，这个方向性非常简单。好，我们来看看这个问题，

如果不是这样子，你就用这个什么对立事件调一下就行好，先看第一个问题。看这个题，它说。两个随机变量之间呢，它是相互独立的。对吧，这俩人之间是相互独立的。随机变量之间呢，是相互独立的。然后说这个s这个人呢，服从的是均匀分布y这个人呢，服从的是正态分布，然后让我们去求解这个最大值比大小。

喜不喜欢喜欢呢？你最大值比他小，还不喜欢吗？最大值比你小，那就说明你比他小。而且这个人呢，也比他小。对吧，俩人都比他强，而且这里面当中说了一个事情，俩人是相互独立的嘛。如果相互独立的话，你发现这是a事件，这是b事件乘积的概率，是不是会等于概率的乘积啊？

所以说就变成了你的这个人，再乘上什么再乘上这个人。然后接下来我们看看第一个人，第一个人服从什么服从均匀分布，我们来看看。那既然是零到三上的区域分布，是这个情况。那如果是小于一，那小于一的这个情况的话，不就是这样子吗？就这个范围，所以第一个人的这个概率啊，它是三分之一。然后我们再来看看第二事情，第二人服从什么指数分布啊，

这个正态分布。那既然是正态分布，它的对称轴是几？它的对称轴是一？既然这个对称轴是一我小于一的，概率是多少？我小于一的概率不就是二分之一吗？所以这个结果六分之一答案选一。好了，这是278题，这个题啊，这个题不是说特别难呐？来，我们继续吧，我们再来看看下面一个题。

好，再来看看二七九这个题。那这个题啊，稍微的换了一下。那么，现在这个题说俩人还是相互独立，还是刚才这个题，但是现在这个人变成什么最小值比他小？你喜欢吗？你最小的比它小，比如说100和这个一的最小值是一，它比十小，你能说俩人都比它小吗？好注意，所以说这里面当中啊，

我们喜欢挑一下，因此这个人要求解的概率啊，就等于一减去，然后这个最小值怎么办？最小值比你大。我最小是这个东西比你大，最小的都比你大，说明什么？说明俩人都比你大。好，这个问题，然后这个里面当中的这是a事件，这是b事件。那既然是一个a事件b事件独立的乘积的概率，它就会等于概率的乘积，

所以这里面当中的话就得到了x大于一。然后再乘上多少y小于这个概率啊，这个大于一的概率。好，这个情况。然后接下来我们来算一下，那既然是大于一，你发现不就是这一段吗？大于一的概率是多少？是三分之二哎，所以说这里面当中均匀分布三分之二。然后它的对称轴还是一大于一的，概率是多少？是二分之一，所以一减去三分之一，

它这个结果三分之二。正确答案选，几呢？选b。好了，这是279题，这个题所以你要想清楚这个事情对于我们这个最大值最小值，它到底是个什么方向？好，这是这个题目来继续吧，我们再来看看下一个好题。280题，这个题。来再来看这个题。他又说了一个事情，

他说这两个随机变量是相互独立的。然后这个东西啊，服从的是均匀分布。啊，都服从的均匀分布，都服从均匀分布的话，你会发现这个人是均匀分布。那这个人也是均匀分布哦，俩人都是均匀分布。然后引入一个事件的话，就说这个人是小于等于a，这个人是大于零，然后让我们去求解什么，然后这个东西啊求。求解这个并起来的概率。

呃，这里面当中有一个问题。有些人说那并起来不就是全集吗？对吧，他说x小于a的对立面不就是大于a吗？注意不是的啊，这可不对。这绝对不对。有的人在这个思考里面当中啊的话，思考这个问题小于a的对立面不就是大于零，那没有问题。小于等于a的对立面是x大于零。这是俩人，不是一个人。你一定要分析清楚，

所以这里面当中啊，我们来看看这个事情怎么求解，其实就用一下加法公式就行。那不就等于a的概率，然后再加上b的概率，然后再减去a和b相交的概率吗？那这个时候其实就得到了第一个人，那这个人就是x小于等于a的概率，然后这个东西去小于多少y大于a的概率。然后这个人呢，其实就是共同发生的概率小于等于a，然后这个东西啊，大于a。然后根据一个事情，我们再来看。

这是多少？这是y大于零，然后再来看。因为这两人相互独立，那这个时候这是a事件，这是b事件乘积的概率，是不是会等于概率乘积啊？它就会等于这个人的概率，然后再乘以。这一点的概率。那么，接下来我们来看看。因为这俩人都是一到三上的均匀分布。那求概率的话，对应的概率密度函数一样不一样。

是一样的。其实你发现你们的求解的概率啊，都是在这个一到三上的有效长度之比。都是这个范围，因为你是均匀分布，我也是均匀分布啊，我们俩人都是均匀分布啊，既然我们俩人都是均匀分布，我们求概率都是在一到三上的有效长度之比。那么，现在我们来看看这个事情，你琢磨一下。那这里面当中。有没有可能这个a是比一小？不可能，

如果这个a比一小，你想想a比一小的话，小于这个人的概率是零。大于这人概率是一，那这是零，这是一，它不会等于九分之七的。不可能，有没有可能的话，这个a是大于三呢？也不可能因为当这样的话，小于它的概率，这就是一大于它的概率呢，这就是零，这是一，

这是零。他也不可能。所以说这里面当中啊，这个a它只能在哪，它只能在中间。注意a只能在中间。那么，既然在中间的话，我们就可以求解了，那么首先看小于等于a的这个概率是多少，小于等于a的概率是这个部分。有效长度，所以说总的长度是二，然后这是a- 1。然后大于这个人呢，

有效长度是二，然后这是三减a，然后再来那这两个东西乘积呢是二分之a减一。然后再乘上二分之三减a好了，这个结果等于九分之七。那么所以说我们来算一下这个事情，你发现这个前面这两人的话，进行一+1加的话，这个人没了，然后就是一。那所以说一减的话就是九分之几啊，九分之二九分之二等于四分之一倍的多少a减一，然后这是三减一。好，这个人。

那这个时候的话，你发现诶，这个部分可以乘过去，那其实就是九分之八。对吧，我们计算一下这个人就行，那所以说把它乘开呗，那就是。负的a方，然后再减去多少这是？呃减加上a，然后的话，这个东西就是加上多少四a，然后再减去个三，它等于多少九分之八？

所以说这个结果的话等于a方减去四a加上三，然后减去，然后再加上一个多少九分之八等于零。那最后一节呗，然后这个东西是多少呢？然后这是九三九二十七二十七的话，这个是35。好，这个人你注意啊，怎么去解呢？你不用硬着解，你盯着这个数字走就行了，那么三分之五三分之七刚刚好。对吧，三分之五三分之七都是刚刚好，

所以说这个人刚刚好a减三分之五a减三分之七，那这人等于几啊等于零。那所以说这个结果一个是三分之五，一个是三分之七，但是你要注意一个事情，这个a这个东西啊，它必须要位于一到三的这个范围内。一到三这个范围内，你看这个人。它没有超过三。对吧，也比一大，这个人也没超过三，也在一大，所以这里面当中正确答案选几选c。

好了，这是这个事情，你要注意这个a啊，必须位于这个范围内。能想清楚吧，好了，这个题我觉得呃，质量还是非常高的，你自己下去好好想想。他们中间用到了独立性的问题，然后这个均匀分布的问题，然后这里面当中还用到了加法公式，你怎么进行想的？好下去过程当中好琢磨琢磨280题这个题。可以了吧，

来继续吧，再看这个题。好看一下这个题。那这里面当中啊，我们再来看。那这里面当中说这个东西服从正态分布。然后这个东西位于三到四的概率是它，然后大于二的概率，这种情况最简单的方法是什么？你最简单的方法就是画个图。因为这个人呢，他是服从正态分布他的对称轴是几啊，他的对称轴是三。对吧，你这个人的对称轴啊，

它刚好是三。所以这是y这是零，然后这是x。那么所以说这个里面当中的话，这个人他刚好只是三。那是三的话，他说三到四的这个概率是多少？三到四的这个概率啊，它是零点二。然后问大于二那大于二的话，这里面当中的话对称过来，那二到这块概率是多少零点二？然后你都知道这半边的概率是多少，这半边的概率是零点五。这是一半零点五，

然后再把这个零点二加上去，那就是零点七答案选c。好这种题啊，非常的简单，就是你如果这东西关于它这个对称，我把图像一画，你这半边出来，你这半边也出来了。好这种题啊，还是很喜欢考的，你要注意啊，非常喜欢考这种题，281题这个题来继续吧，我们再看这个题。好看一下这个题。

那这个题啊，是两种不同类型的正态分布。那你想想你的概率密度函数曲线跟我的概率密度函数曲线肯定不一样。所以说我这个人小于这个人，我这个人大于这个人，这就没法求了。因为这两种情况是不同的分布。概率密度函数的曲线是不一样的，所以怎么办呢？我们把它标准正态化，就是is这个人进行去解明。这是sigma方比上sigma这个数五服从n零一。然后继续再来看这个y这个人减去MU，然后这个东西是sigma方，然后比上十服从多少n零一。

那这个时候你想想一个事情，你这个人服从n零一标准正态分布，你这个人服从标准正态分布。那这俩人的概率密度函数曲线一样还是不一样？是完全一样的。因为这俩人都是服从标准正态分布他俩人的概率密度函数曲线是一样的，因为这个时候他俩的概率密度函数曲线都是这样。它两人的概率密度函数曲线都是这个标准正态分布的概率密度函数曲线。哎，就是这样一条路。那这个时候是一样的。那这是一样的话，你发现你进行求概率和你进行求概率都可以通过同一个图来进行判断了。所以这时候怎么办呢？我们来看看这个p1p1这个东西啊，

我需要把它转一下，那转成多少呢？x进行去减去MU。然后比上这个五，然后怎么办？小于等于负一的概率，然后再来看看片儿。那这个部分的话，就是y这个人减去这个缪。然后这个东西除以十，然后它是大于等于一的概率。那你想想。你这个人小于等于负一的概率，就是你这个人的概率密度函数啊，从负无穷积到负一。

就是这一块，它的面积。然后再来看看这个人，你这个人大于一的概率其实就是你的概率密度函数，你的概率密度函数就是这个人就是从这个一积到正无穷。哎，那这两半边儿是一样的呀，所以说这题正确答案选几选a哟？不是说特别难吧？所以像这个方向性难度系数，不是说特别大。我们俩人的分布一样了，我们俩人的概率密度函数就是一个人。那我进行去求你的概率，就是用这条概率密度函数去积分，

我去求你的概率，也用这条概率密度函数去积分。那这个时候就出来了。非常的简单。能想清楚吧，好琢磨清楚，282题这个题。来继续，我们再来看看下一个问题，283。看看这个题。那这个题啊。还是一个正态分布。你要注意啊，这个正态分布里面当中的这个缪还有一个sigma，

它的这个范围是多少？你应该是知道的。如果你这个人是服从正态分布，我讲讲这个事情。那正态分布的概率密度函数曲线呢？他是长这样。它的对称轴是在缪处。然后这个部分的制高点是多少制高点？就是那个系数根号下二派sigma。所以它的缪是什么属于r的，它可以在这个坐标轴上随便平移，但是你注意这个sigma必须大于零。哎，这是他的要求。那么，

接下来我们来看看这个下面一个问题。给了这个东西啊，他服从这样的一个正态分布。然后说当这个sigma增大的时候，然后这个东西是个什么情况？你看这个人就不好办。但是我看到了s简明，我立即会想什么，我立即可以想把它进行标准正态化。那这个人呢？就服从了恩礼。那既然这个东西服从了n零一，你想想你x-mu你这个人小于sigma，你就可以给这个里面这个东西啊，进行恒等变形。

把这个sigma除过去。而sigma这个东西是大于零，你就直接放到里面去，能理解我的意思吗？大于零嘛，然后这是一。来，同学们，你告诉我个事情，那这个人是服从什么分布啊？这个人是服从标准震态分布吧。那一个服从标准正态分布的人，他的绝对值小于一，他的结果就等于多少就等于二倍的标准正态分布的分布函数在一处时在。再来建议能想清楚吧，

如果从图像上看也非常简单。那你想你的这个人的概率密度函数曲线是唯一的，然后你这个概率密度函数啊，你发现你要进行去求负一到一处的这个概率。你告诉我这条曲线是固定的还是不固定？这条曲线是固定的。唯一的就是固定的，那如果你让你进去去求解负一到一的这块的概率，那就是这个部分。永远都是这个部分，所以它不会改变的。因此也可以写成二倍的标准，正态分布的分布函数在一处值再来减一。能理解吧，只要这一坨他是服从n零一。

它的这个绝对值小于这个数啊，它的这个概率就等于二倍的。标准正态分布的分布函数在这个点处值再来解，它是个固定的，所以说这题啊，它跟这些人呢，都没有什么关系。因此啊，正确答案选c。你要理解。你一定要想清楚，原来这个x这个人的概率密度函数曲线长这样。你这看不出来。那么，在这里面当中，

我可以转一下，我转成这个人，这个人的概率密度函数曲线是唯一的。它是固定的，它只有这一条。所以既然是固定的话，你从负一积到一这个面积是永远不变的。好想清楚，283题，这个题好吧，掌握清楚给我回复一吧。行吧，听清楚了给我回复一。提前做了吧？应该是要做啊，

然后这些题啊，你一定要把它完成清楚，这是这个考题。行吧，那么接下来我们再来看一个题，那么前面过程当中啊，还剩下一个题，把这个题啊，我们也来讲讲来看看259题这个题。来看这个题。呃，这个题啊，我在这个基础班的过程当中好像讲了一下。啊，但是我们再来看看。

那么这个题啊，他说某人向同一个目标独立重复的设计。我看到什么词独立？重复的设计。然后这里面当中说，每次命中这个目标的概率是p。则此人第四次，恰好是第二次命中目标的概率。那么，有些同学可能会想到一些什么事情呢？说这个东西啊，是二项分布。是二项分布吧。所以二项分布的话就是四次，里面重两次嘛，

所以说四次，里面取两次重的概率是p。播种的概率是一减p二四，所以说这个结果是多少？那就是六倍的这个人，然后是一减p的平方。所以答案选e是吗？是不是啊？一看的话，有些同学没复习啊？这个问题点非常大，我觉得这是一种。啊，态度的问题啊。肯定不对呀。

因为这里面当中的一个情况，它到底是什么问题呢？它是这样的一个问题。就是这种情况，它的考点的内容啊，它是我在这个什么，这是第一次，第二次，第三次。第四次。你这个面当中的处理的问题点呢呃，处理错的原因非常简单，你用了c四二。c四二的意思就是在这四次里面随便取两次。那随便取两次，

比如说你取了这一次和这一次。这两次命中，这两次不命中，你请告诉我件事情，这个东西叫第二次命中吗？这不叫第二次命中。所以这样做就做错了。那么，像这个问题，他自己怎么做呢？他应该是这样，应该是前三次只能命中几次啊，命中一次。那如果前三次只命中一次，我们怎么去写呢？

他这样。三次里面命中一次成功概率是它失败概率是它。好了，那么这里面当中啊，有些同学就会选什么它的，这个结果就等于三p倍的一减p的平方。他会选谁呢诶？这个题没有答案。对吧，那所以说很明显你这个选项也不对。这也是不对的，为什么呢？因为这件事情的成功啊，它必须要分成两步。它的第一步是什么？

它的第一步是你前三次必须命中一次。这是第一步。你而且还有一件事情，第四次。必须命中。你要是命不中呢，有没有可能命不中，有可能你的命不中的概率是一减p，你必须要命中，所以说这里面当中还要乘个p，你告诉我这是个乘法事件。还是个加法事件。那当然是乘法呀，因为这些东西都是一个步骤，两个步骤共同完成，

才算完成了这个事情，所以说这个结果等于3p方。一减p的这个人的平方，所以正确答案选几啊选c啊？能想清楚吗？那这个东西啊，它不是个二项分布。它的前三次命中一次，这是个二项分布。一定要想清楚啊，前面这三次啊，是个二项分布，但是这个题啊，人家说的非常死，人家说第四次。

是第二次命中。那说明前三次只能命中一次，最后一次啊，必须命中。好了，这个方向把它想清楚，259题这个题。好吧，掌握清楚给我回复一。那么讲到这儿，这个板块内容我们就全部讲完了。所以你下去过程当中，把这个考点内容好好进行，去温习一下。一定要重点来看看，

那么接下来我们就来看看最后一个核心考点，第二章最后一个内容，那么这个核心内容叫做函数的分布。好，我们来看看第51个题型。函数的分布。什么东西叫函数的分布呢？那这个内容非常的简单。就是我以前知道了x这个人的分布。比如说ys这个东西啊，是个掷色子的问题。对吧，比如说第一种情况，我是个直色子，我能直出一这个点二这个点三这个点四这个点五这个点。

六这个点嘛。我是个掷色子的问题。那么，请同学们告诉我，那x方服从什么分布？对吧，是这种情况，就是我的函数附送什么分布，你能取到一二三四五六，那你的平方肯定能取一二的方三的方四的方五的方六的方。你能理解我的意思吗？就是。你去掷色子，你掷出了，这个点是六，

但是我算的是什么呢？我算的是这个点数的平方。就这样的一个问题，就说我知道了这个人的分布，我能看出来他的函数的分布就是这样一个考点。所以这一节核心重点就在研究这个事情。你这个人是。随机变量。有可能是离散型，有可能是连续型，那这里面当中我们去研究什么，我们去研究它的函数的分布。啊，这个函数分布。那么，

这里面当中注意，如果你这个人是个离散性随机变量，你的函数肯定还是个离散性随机变量。但是如果你这个东西是个连续性随机变量，你的函数呢？有可能是连续性随机变量，也有可能是什么？啊，也有可能是双飞。既不是离散型随机变量，也不是连续性随机变量，能理解我的意思吗？都不是，你不是连续性。也不是离散型都不是，

所以说这个核心考点，你要想清楚。你要是个离散型，随机变量，你的函数一定是个离散型。如果你是个连续性，你的函数呢？有可能还是连续性，也有可能是既非离散，也非连续。这件事情你要注意啊，其实我们不用想那么多，我们都看题的。题目让我求什么我就求什么就行了，所以说他说什么你就干什么事情就行好，

我们先来看看第一种离散型随机变量的。函数分布这种情况最简单。那这种考题啊，难度系数基本没有。比如说我举个例子。你想想，如果是一个离散型随机变量，它肯定会告诉你什么呀。肯定会告诉你分布率吧。那告诉你分布率，比如说这是负二，这是负一，然后这是一对吧？这是零，然后这是一。

然后这个部分呢，是四分之一，这是四分之一，这是四分之一，这是四分之一。那这里面当中的第一问，它让我们去求解什么？让我们去求解x方服从什么分布？函数的分布。平方服从什么分布呢？那这个人非常简单，你想你取负二的时候我取谁呀？你取负二的时候我取四。你取这个负二的可能性是四分之一。我就取这个四的，

这个可能性就是四分之一。这能理解吧。然后你取这个负一，我就取一，你取这个负一的可能性是四分之一，我取这个一的可能性就是四分之一。你取零呢，我就取零，你取这个零的概率是四分之一，我就取这个人的可能性就是四分之一。你取这个一呢？我是一你取这个一的可能性是四分之一，我取这个平方等于一的，这个概率是四分之一。啊，

就这个情况，然后接下来怎么办？你再把该合并的合并一下就行了。合并完了之后的话就变成了零一四，然后零是四分之一乙，这个人合并一下二分之一。四分之一好了，这是这个考题，所以这个东西的难度系数非常低啊，基本上考的这个几率啊，不是说特别大。其实这种题能考的呃，非常好的题啊，应该加上无穷级数的内容，但是我们基本上不学无穷级数，

所以这块内容。出不了非常精彩的题，那就是对应照抄。然后呢？这个什么对应写，然后概率再照抄就行，所以这个非常简单，然后我们再来看看第二点，比如说如果让我们去求解一亿的这个人呢？你看也是它的函数。那么就像看你取负二，我是e的负二次方，你取负一，我是e的负一次方，你取零，

我这是一。你去这个人一的一次方对应的概率啊，可能性是一样的，直接照抄就行。好了，这是这样的一个方向，所以这个问题点呢，马上就处理了。能学会吗？就是对应的人，你求出这个函数对应的人，然后这个可能性是一样的，因为很简单，你取到这个负二哎。哎呀，

你的这个几率是四分之一。我就取这个四，我的可能性就是四分之一，所以这种题非常的简单。好，那么接下来我们来看看今天过程当中最难的核心考点。也是我们在这个整个概率论当中最难的一个部分内容，把这个点呢讲过去，问题点就一点都不大了。好，那么接下来我们来看看下一考点连续性随机变量函数的分布。连续性。随机变量，它的什么分布呢？它的函数分布。

呃，首先第一个事情，你要注意这些年呢，在这块的考题啊，考的不多。基本上没有出过题，所以今年过程当中啊，稍微的注意一下，但是其实这个东西的考题的几率啊，也不是说挺大那种。啊，相对于别的核心考点呢呃，这个东西的考题。可能可能性吧，稍微的会低一点，

但是也是个重点内容。那么，接下来我们来看看连续型随机变量函数的分布。大家告诉我，如果你这个随机变量，你是一个。连续性随机变量。啊，基础班那个拔高题就不用看了，你就重点来看看这个强化的题，把这些题消化到位，那就可以了。好，我们来看看，如果你是个连续性随机变量，

题目一定会告诉你什么？一定会告诉你的概率密度函数。好，这个人那这里面当中，让我们去求解它的函数的分布。那它的函数呢？它的函数是y等于这个人。对吧，你的函数。所以说在这个题当中就会出现两个随机变量。两个随机变量，有的时候的话，你发现你说这个人是概率密度函数，那这人到底是x还是y的呢？所以你最好在下面写一下，

这是x的概率密度函数。能想清楚吧x概率密度函数的积分是x的概率。好注意下这个问题，听明白了给我回复一。你要想清楚，因为这个题当中出现了两人。既有s，也有y。你这个分布函数是x分布函数还是y的分布函数啊？你是x概率密度函数上还是y的概率密度函数？你一定要在这里面当中说清楚。所以接下来我们来总结一下这个问题。好，我们来重点看看这一页。所以说从这个考点的角度上而言就是这样，

我知道x这个人的概率密度函数。然后让我们去求解什么它的函数的分布。那函数的分布啊，无外乎要不然是去求概率密度函数，要不然进行去求分布函数，也有可能是既非离散也非连续嘛，求分布函数。所以这里面当中啊，有一个万能方法叫分布函数法。你不用跟你进行去看教材啊，教材当中啊，有一个反函数法啊，那个内容不用看，因为这个方法是万能的。叫做分步函数法。

那为什么以前过程当中很多同学呃学这个方法学的非常不好呢？非常简单。他脑子里面只记得住我上课讲的这个技巧性的方法。画图定点截线投影积分画谁的图啊？研究什么呀？截什么线啊？定什么点呐？所以你发现很多同学都是这样，一定要注意，如果学这个问题啊，第一步一定要去写出分步函数的定义。没有这个分布函数的定义，后面的东西都是胡扯。你到底在这个题当中研究的是什么呢？你都不知道，

你连你研究的问题你都不知道，你怎么进行去看这个事情，所以首先第一件事情什么叫分步函数法呢？先求分布函数的方法，就叫分布函数法。哎，这就叫分布函数法，所以第一步先写出y这个人的分布函数来，我们继续写y这个随机变量。你选自变量吧，那这个自变量能不能选s？能不能选y？能不能选t？能不能选u都是可以的，你想选谁就选谁，

我们就选y吧，对吧？协调一点。那么所以说这里面当中的话，你发现我们就来你这个人的分布函数就是你小于等于这个点的概率价和。能理解吗？哎，你的分布函数就是你小于等于这个点概率价和啊，你等于谁呢？你这个人呢？它等于这个人的函数。哦，我明白了，原来这个题考点的内容是什么？他研究的问题就是这样，

研究的问题就是这个线。然后再什么在这个人，他这条线他的下方的概率。没问题吧？哎，这个线在这条横线的下方的概率。那在这里面当中，比如说我举个例子，那所以说第一步我们一定要画图。你假设这里面当中，我们来画谁呀？我们画图一定要画的是这俩人的图形。对吧，这俩图形，然后这是大的，

然后这是大的，比如说你画出来的图形就是这样。你研究的是什么呢？你研究的是这条线下方的概率，所以这里面当中啊，我们就用这条线进行去解。啊，这个大y等于小y这条线进行解，我们要研究它的下方的概率。在它的下方的话，你发现下方的概率不就是a到b的概率吗？你要研究这个下方的概率不就是什么呢？不就是这个x在a到b的概率吗？你研究a到b的概率不就是a到b对x的概率密度函数的积分吗？所以我明白了，

每当我用一条线进行去解研究的是下方的概率，就是研究这个a到b的概率。研究a到b的概率，其实就是概率密度函数从a到b的积分。能想清楚吗？好了，这个事情把它把握清楚了，跟我回复一，一定要听清楚这个问题哦。就是我们在这个考点当中，每当用一条线进行去记忆。你解不就是研究下方的概率吗？你下方是谁呢？你下方不就是x从a到b的概率吗？你s从a到b的概率不就是概率密度函数，

从a到b的积分吗？非常的简单。所以说，即使第一步先写出分步函数的定义。你就知道我在研究什么了。然后第二步我们怎么办？画图定点截线投影积分，那么接下来这个定点呢？我要重点来讲。怎么去定点那么接下来我们来先来看个题，把这个题一讲什么东西都清楚了啊，我们把这个东西啊玩成套路就行。好，来看看这个题。他说s这个人呢，

概率密度函数是他，那说明s这个人是个连续性随机变量，然后让我们去求解。它的函数的概率密度。对吧，这个人是他的函数啊，函数的概率密度，所以说就是一为连续性随机变量，函数的分布。而这里面当中，我们的通法是什么？分布函数法别管，让我们去求它的分布函数，还是让我们去求它的概率密度函数，永远的第一步是什么？

永远的第一步就是求我的分布函数。y这个人的分布函数自变量选小白，那是谁呢？y这个人小于等于小y的概率。那这个大y这个人是谁呢？大y这人是x方小于等于这个人，你说哎，老师这个东西我会解会解。你这个东西是分段的，不好解。哪一段是哪画图定点投截线投影积分是最简单的，所以首先第一件事情同学们告诉我这个题在研究什么？研究这样的一个问题，我们在研究y等于这个人，他在这条线下方的概率。

能理解吧，研究这条线下方的概率。所以说在这里面当中，我们就来进行去把这个东西啊，我们先画出来。我们就来画出大y和大S的图像，那这个人图像是谁呢？这个图像就是这样。好注意下这个问题，那么请同学们告诉我。一会儿我们研究这条线下方，下方的话，比说是从这儿到这儿。下方的概率其实是对概率密度函数的积分有没有问题？没问题吧，

比如说这是三。那么就是从负三积到三。就是对它概率密度函数的积分有没有问题？好想清楚了给我回复一，这一点非常重要。因为你截下来的这个部分不就是x大于等于负三，小于等于三的概率吗？那概率不就是它的概率密度函数积分吗？所以同学们告诉我，一会儿投下来的部分是不是要进行去积分呐？那么，接下来我们来看看概率密度函数的有效区。x这个人的概率密度函数说零到二的时候是二分之x。好，零到二。

呃，大致的意思一下就行了，有的说啊，这个东西不对的，无所谓了。好了，这个人是零到二零到二对谁积啊？零到二对二分之s级。对吧，零到二的时候是对这个人记。对这个人机的话，你想想我问一个事情。如果这个二我们现在把它对应上去。好在这个点。如果你这条线比二高。

你这个点是不是会落在它的外边？如果你这个线比二低，你是不会落在二的里面。因为其实同学们都知道落到二的外面，这一段的积分是对零几落到二的里面是对二分之x几。所以说同学们二的两边的积分对象不一样。所以二就是个定位点。能想清楚吧，二就是个定位点好，这是这个人。然后接下来我们再看零这个人零这个人的左右，他就不一样。你的这个左边是对零级，你的这个右边呢？对二分之x级啊，

稍等一下，我把这个。等会我把这个灯关了。好了，我们继续啊，我们再来回来。所以说这里面当中啊，你会发现。这个二这个人啊。它的左边和这个右边，它这个积分对象不一样。对吧哎，这个东西它的积分对象不一样，所以你会发现你二的这个人的左边还有这个二的右边，他的积分对象不一样。

零的左边和一零的右边积分对象不一样，所以它就是个定位点。所以这个定位点就非常简单，那其实还有一件事情。还有一种定位点。比如说我这个人的函数图像是这样。这是一假设我这个图像是在这儿，那同学们告诉我。比最大值高。所有人是不都在我的下面。比最小值低，我的下面谁都没有。这两种点也是定位点。能想清楚吗？所以说这个定位点就非常的简单。

因为你要对这个概率密度函数进行积分概率密度函数分位，这个什么分段点，两边的积分对象不一样。你两边积分的对象不一样，你肯定是个定位点。那还有一个人呢，最大值最小值点也是个定位点，所以这里面当中啊，你就学会定点了。你只要学会定点，我们来看看这个题定出了几个点零，这个点二上去，这个人是四。所以说这个题啊，我们就定出了两个点，

那定出两个点的话，接下来我们就可以进行求解了。好同学们，你告诉我第一件事情，如果我这个人，他怎么办呢？如果我这个人比二进行去高。比二高那比二高的话，你发现我这个点对应下来是几啊？是在这儿。我要求解从这儿到这儿的概率。那这是几？有效区间段是零到二。积满了，那这就是一。

所以说这个时候我们就可以进行写了分布函数写成左闭右开，永远不会出错，如果这个y啊。大于等于四的时候。我这个人呢，所有人都在我的下面，那这人就是一，然后第二事情我们继续看。如果我这个人呐，我比这个零要低一点。比邻第一，它的下面有没有？它是没有的。那条横线的坐标啊，它就是y，

如果比零小，下面没有没有的话，这个概率就是零。然后再来看第三个事情，那最重要的问题不就是在这儿吗？对吧，如果这个人位于多少位于零到四之间？哎，位于这个之间。位于这个之间的话，你对应下去。你对应下去。这条线是x方。航线是小白。所以说这个人就是根号y，

那这就是负的根号y。你从这记到这，其实有效区间段的话，只有这一段。因此，这里面当中，我们就可以做了有效区间段，其实就是零，然后到根号百对二分之一s进行积分。那么所以说这个结果啊，就等于四分之一，然后这个平方这是y。能学清楚吗？好了，这个点呢，

立即出来了。行吧，掌握清楚给我回复一，这是它的分布函数，那分布函数出来之后进行求概率密度函数非常简单。分布函数进行求导，不就是概率密度函数吗？这一段求导是零，这一段求导是零，这一段求导是四分之一。所以说，如果y是大于零，小于四求导是这个人，如果是别的区间段呢，这人求导就是零。

能想清楚吧，只要你把这个理论掌握清楚，就非常简单。就是每当我横线一截，我就要研究下方的这个概率。如果知道概率密度函数，其实就是它的一个积分s概率，不就是s概率密度函数积分吗？好了，学会了给我回复一。啊，基本考点呢，你想清楚就行。所以这题的正确答案选几啊，选a哦。

那么说明这个东西是服从什么？那这个东西是服从均匀分布零到四上的均匀分布。好，这个题二八四这个题。好了没有？来继续吧，我们再来看看下一个问题。再来看看这个题呃，这个题可以稍微等会儿。我们再来看一个。看这个题吧，因为这个段分的多。来再来看这个题。好继续做啊，其实这个题啊已经超过了我们的考研难度系数。

因为这个题的话，很明显在这个一两分钟内想把它做完呐，难度系数挺大的，你像刚才那个题还是能考。那我们来看这个题，他说s这个人的概率密度函数是他。然后这个y是它的函数，然后让我们去求解这个y的概率密度函数。那同学们告诉我，连续性随机变量，连续性随机变量的函数分布。连续型随机变量的函数分布，我们是不是使用分步函数法？你先写分步函数定义，没有这个定义啊，

纯属胡扯。所以说就是y小于等于小y。y小于等于小y，然后这个东西啊，把它带进去，那其实就是x方加上一小于等于小y。你在研究什么呢？其实你就是在研研究y=x^2加上一在什么情况在？在这条线的下方的概率。对吧，你下方的概率，那这个人下方的概率怎么进行求解呢？我们来进行去画一下这个人的图形画图，定点接线投影积分。好，

我们先来画图。那这个人是多少呢？这个人是大y，然后这是零，然后这是大S，然后这个东西是x方加一。呃，这个东西是负一啊，我们先不管。我们x方加一这个人还是很豪华的。好，这个人突袭。然后他说了这个概率密度函数是多少？负一到零的时候是一个。然后这个零到一的时候又是另外一个人。

好，这个情况告诉我这个题的定位点有几个人呢？因为你投下去的之后是x的概率，其实就是对x概率密度函数的积分。你想负一的左右积分对象不一样，那负一上去刚好定位点是二。然后这个零的左右也不一样，零上去刚好是零一上去刚好是二。所以说这个题的定位点其实只有俩人。这个人和这个人，而且最小值点也是零，没有最大值，所以定位点只有这俩人。能想清楚吧，非常简单哦。

好了，学会了给我回分。就是你一定要分析清楚我这个题到底而言怎么办？我要分成几个？对吧，我这个题的话，你发现呃这个负一的左右不一样，一的左右不一样，零的左右不一样，而且最小值是它。那分贝点的话，只有这俩人。那么，首先我们先来看第一段。我如果这个人怎么办？

比二高。比二高的话，你发现你其实就是求解这一段的概率。这一段进行去概率的话，你发现它这个情况就非常简单。如果这个从这儿到这儿的积分呢，那这个积分就是一，所以说这个时候啊，我们首先看第一个事情。当什么情况？当如果这个y啊，它比这个四高啊，比这个二高。如果比这个二高的时候，那这个时候啊，

你发现他就站满了，他这个人是一，然后第二事情，如果这个y比一小呢？比这个一小。比这个一小的话，就是在这个人下面，那就没有了。所以说这个时候它是零。好，这个情况，然后接下来我们再来看看第三个事情，你再来抽，如果这个人是在一到二中间呢？一到二中间呢，

它就是这样。从这个点到这个点。x方加上一等于这个人，那所以说这个点呢，它就是根号下y- 1，那这个人呢？负的根号下y- 1。那所以第二事情，我们接下来看。当这个y如果大于等于一。小于二的时候。你要求解的这个分布函数，其实就是那个概率，你下方的概率其实就是x，然后大于多少？

大于负的根号下y- 1，然后小于等于根号下y- 1的概率。那这个时候怎么做呢？那其实就是对概率密度函数积分从这儿到零对谁积呢？从这儿到零的话，我们都知道这一段是对一减s级。所以我们来看，这是一减诶。这是一+s级。然后再使零到多少的根号下y减一对，这个一减s极好，这个一。那这个情况就做成这样，那做成这样的话，你把它一算不就行了。

那这个问题点就不答了。那这个人呢？你可以稍微进行去瞅一下。对吧，这个一这个结果是多少？一这个结果的话，其实就是上面减下面就是它，然后这个人呢？也是上面减下面。所以说这个人的话，他就是刚好是多少是二倍的根号下y- 1。然后这时二分之x方。那这个二分之x方的话，上面这个人是。二分之x方是零，

减去多少y减一？然后的话，这个是。这是x的话，这是负的。那负二分之一的话，它的这个人的平方y减一。所以说这个结果它就是减去两倍的，减去y- 1。好这个人呢，就写成这样。能理解吧，你会到这儿啊，我觉得这个题就结束了。就是最重要问题，

就是怎么进行分类的？对吧啊。好了，这是这个问题，你可以直接导啊，你这个积分了之后再导不是更简单吗？所以像这个问题点，我们把它梳理清楚就行。哦，减去y- 1这个整体啊，那就是加一。好了，然后接下来你把它进行求导一下，其实就是这个题的概率密度函数。所以说这个总题的类型方向，

其实不是说特别难，就是你要知道就是研究这条线的下方。你研究这条线的下方，你就知道x在哪个范围就行，所以我们要定点嘛。那这人呢？进行去求导，我们来看看。所以说最后它的概率密度函数直接出来了。这是分布函数，求导那这段求导是零，这段求导是零，这段求导它才是有。那这人求导是多少？这是二倍的，

那就没有了，那就是根号下y减一分之一，然后这个人再减一。y阵大于一小于二，然后其他部分呢？它就是零。能学会吗？好了，这是这个题，二八七这个题。行吧，掌握清楚给我回复一吧。哎，不是说特别难哦。这种题目我们稍微休息会吧，

然后课间休息过程当中，你做一下这两题。坐下二八六。然后再做下二八五这个题。啊，课间休息过程当中啊，你做一下这两题，把这两题完成一下。没有说那么的难呢，你先做这个题吧。你先坐下，二八六。啊，因为这里面当中还有一个待定参数，你要进行求好，

我们稍后休息会一会，我们继续吧啊。

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