29.冲刺满分强化篇：（概率）题型51—54精讲精练

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:20:37

那我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网送黄金没问题，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始，我们三九六的这个概率论的强化班部分课程呃，今天呢，理论上是最后一次课程，应该是讲不完。然后这个明天上午啊，我们再加上一次课程，

然后所有的课程部分内容，我们就全部结束了呃，那么首先我们来还是回顾一下上次过程当中的核心知识点。那么，在上次过程当中啊，其实你发现重点应该讲了三个问题，一个事情，我们讲了古典概型，对吧？几何概型？还有伯努利时间这三个问题。把这三个问题讲完了之后啊，然后进行去讲了全概率公式和贝叶斯公式，然后紧接着我们又讲了一个问题，就是分步函数。

那么，其实在前面过程当中，当中这个古典概写呢？其实对很多同学的难度系数可能会稍微的大一点点。对吧，尤其是排列组合的知识点，其实你发现没有说那么难，但是有些同学可能这个基础不是说特别好，你稍微进行去把这个问题啊，好好进行去消化一下。那消化完了之后啊，这个问题点应该不大对吧？这是第一个事情，其实就是我们讲的古典概型，那几何概型倒还好。

然后这里面当中有一个重点的问题，其实就是我们在这里面当中啊，讲的这个全概率公式的问题。对吧，全概率公式那么全概率公式这个呢？呃，你们先不要着急，这个事情一会我们再来说这个课程。你先听课好吧？啊先听课，然后的话，一会我们再来说一下这个最后一次课程，基本上也就是一个多小时的课程，我们就全部结束了。那所以说把这个内容啊，

你好好听啊，先听今天重点内容。然后紧接着就是全概率公式，那这类目当中啊，你要知道两个事情，一个事情是完备事件组。一个事情是我把我放到你上面进行求解，那这两个人之间呢，一定要有依赖关系。比如说我们在上节课讲了一个事情，对吧？这里面当中有盒子，有箱子，有袋子，对吧？

三个问题，然后这个每个人里面当中的白球和红球个数是不一样的。然后我就说摸到白球的概，这个概率是多少？你只能说我在盒子里面摸到白球概率是多少？我在这个箱子当中摸到白球概率是多少？我在这个袋子当中摸到白球概率是多少？你直接问我这个摸到白球概率是多少，这不好算的，所以怎么办呢？我只能放到什么放到你这个完备试卷组的上面进行求解。好了，全概率公式，然后接下来我们再来看看贝叶斯公式。好贝叶斯公式。

那这个问题啊。所有的这个贝叶斯公式，你其实你发现它就是个条件概率。贝叶斯公式本来就是个条件概率公式，怎么进行去评判它？是不是贝叶斯公式呢？非常简单，你把那两个位置调一下。哎，你发现非常好，算他就是贝叶斯。能理解我的意思吗？现在这个位置不好算，你调一下是吧？比如说这里面当中，

它让我们进行计算的时候，你看着题目怎么说，你就怎么写。比如说这个题目当中写了一个什么？写了个这个人。哎，我发现不好穿。然后怎么办？哎，我一跳好酸，被噎死。所以说这个内容难度系数不是说特别大，你比如说我们说已经摸到白球是相似的概率。这个时候你发现不就问反了吗？我说在箱子当中摸到白球好球，

你一切换就简单了，所以第一步用条件概率。第二步，用乘法公式切换。你就这么简单，你所以说你在考场当中一定要有快速反应能力，你不要在那墨迹一墨迹的话，这个。时间就来不及了。所以这里面当中啊，贝叶斯公式啊，全概率公式，贝叶斯公式好了，这个问题那么接下来我们再来看看这个第三个点分布函数。那么，

其实在上节课，我们讲这个内容啊，没有讲多少。就讲了分布函数的定义，就讲了分布函数性质，这个内容必考。我们考研过程当中啊，一定会考这个知识点，你就算不直接考，也会间接着考。所以分布函数的定义一定会考，那分布函数之前呢？有一个前提，你要知道什么叫做随机变量。什么叫随机变量呢？

就是你这个人是具有随机性的变量，就叫随机变量。他说，老师，你这是什么解释？比如说我举个例子，掷色子，你掷色子的话，可以直到一直到二直到三直到四直到五直到六。我取一取二，取三取四，取五取六，但是我不知道是取几取几。对吧，你在发生这件事情之前，

你知道是谁吗？你不知道是谁，它就具有随机性，它又是个变量。所以将来如果你说哎，这个随机变量是什么呢？你就把它想到诶，只是x。我掷色子，我掷出了这个点数，可以是一二三四五六，但是我不知道是谁。这是我的取值，你也可以把这东西进行去，想什么呢诶，

你也可以进行去想这个。我们进行投石子往二到三上投石子。你到底在二到三当中投到哪个点，你知道吗？对吧，你往二到三上投石子儿，你具体投到哪个点你知道吗？你不知道。但是它肯定会对应一个数。所以它就具有随机性，而且又是个变量，就叫随机变量。你能理解我的意思吗？随机变量才能进行求概率啊。所以它的核心方向是求概率。

你具有随机性的，所以将来你想不通这个随机变量，你就把它类比唉呀，这是掷色子哦，我知道它可以取一些离散的点。他可能娶这个人，娶这个人，娶这个人，我知道他的概率是多少，还有连续性问题那么，但是这个人的定义啊，依然是很多同学的痛点。你不要看我们基础班，讲我们强化班也讲，但是很多同学仍然很痛，

很多同学还是钻不过来，所以说今天呢？我专门做了一个PPT啊。啊，我专门做了一个PPT，非常简短，你听一下，把这个事情听完，你还是理解不了，我觉得你得好好进行去复习了。那么，在这里面当中啊，我们来看看第一波内容，我们先来讲讲分布函数。那么，

在讲分布函数之前呢？我这里面当中有几个事情对吧？我这里面当中要对应一个随机变量。你比如说你看你这是个随机变量，你这个随机变量是我掷色子的事情，我这个s可以取一二三四五六，但是我不知道取谁。它是个随机变量。你也可以是什么？比如说我值硬币，我值出这个零值出这个一。但是你具体指出谁呢？我不知道。对吧，所以说你发现这是不同的情况。

那也有可能是什么呢？投石子。我往二到三上投石子，具体投到哪个点呢？我不知道，所以你发现这个东西就叫随机变量。那么，既然是个随机变量，他们都有一个函数与之对应。对吧，它们都是随机变量。他们都是随机变长。只要你是个随机变量。他们都会有一个函数跟它对应，这个函数叫什么呢？

这个函数叫分步函数。你只要是个随机变量，我就有一个函数，这是我的一个特性。对吧，我们都是随机变量，我们都会有一个函数跟我对应，这个函数叫什么？这个函数叫分布函数。那么，接下来我们看看这个分布函数怎么进行定义呢？比如说我们再来看这个随机变量。那这个随机变量的话，你发现一个事对我就是希望这样讲，你还理解不了，

那我就没有办法了啊。那么，接下来我们再来看看随机变量。那这个随机变量的话，你比如说我们来看看我画一条线。这是随机变量的情况。对吧，随机变量。然后这个随机变量的这个数轴线，当然的话，这个随机变量有可能的话，它是离散的话，比如说只能取一二三四五六，比如说那个掷色子，它只能取这些点。

对吧，比如说你往二到三上投石子，你不能说投到一处了。你这个人，你只能取二到三对吧？所以说这里面当中，你要知道这是个随机变量的一个数轴线。那接下来我怎么定义这个函数呢？我们这样来。我现在给你了一个点。这是x。对吧，我给这个点，我想干嘛呢？我想去求小于这个点的概率。

什么意思呢？就说我现在干嘛呢？我现在就想去求你这个随机变量小于等于这个点的概率。你想想一个事情，你这是一个随机变量吧，你能不能求概率？能求还是不能求？随机变量本来就能求概率啊，比如说我掷色子。我只色子的话，假设这个x这是位于这个二到三中间。你二到三中间的话，你小于这个x，你发现它的概率不就是一和二？它当然能取概率啊，

能求概率。所以我就在那进行去求它的概率。你这个概率是多少？我就把它定义成什么？我就把这个概率是多少？对吧？你小于x的概率，我就把它叫做一个x的函数。那这个函数叫什么呢？这个函数就叫这个随机变量的分布函数，有同学说老师，我为什么这样定义？那这个事情你先接受它。那后面你就知道了，那么我们在很多定义，

尤其是随机变量之间的关系，喜欢用这个人。定义概率密度函数是用这个人，所以你就知道这个人的定义。那么，比如说我们在这里面当中有个随机变量y。那这是它的一个数轴线。我现在给你一个点y，我想去求这个小于y的概率。那我怎么去求这个概率呢？你肯定是能算出来的。小于等于y的概率，那肯定跟y有关，我把这个结果就叫做y的函数。那这个函数是不是它的一个随机变量呢？

也是的，那当然是它的随机变量。然后接下来我们再来看看z这个人，这是他的一个情况，我说求我要去求解什么，我要去求解这个随机变量小于等于z的概率，它肯定跟z有关。我们这是z的函数。那这个人呢？是他的分布函数。但是这样写有一个问题点。那大家思考一下，这个函数怎么定义的？就是这个随机变量小于等于这个点的概率。那么现在有个问题。

那我们这几个人的分布函数，你想分布函数是一个函数吧？那分布函数肯定是个函数啊。那是我们独有的函数，你这个人有一个函数，你这个人有一个函数，你这个人有一个函数，你只要是随机变量，你就会有这样的一个函数。那同学们想，既然都是函数，能不能用同一个词符号进行表示呢？函数啊，这是函数的自变量。能不能都用x表示啊？

能还是不能？同学们告诉我可以还是不可以？可以啊，完全没有问题，但是这里面当中你发现如果都用同一个符号进行表示，现在的问题点来了。你这个随机变量。对吧，你的分布函数其实就是你小于等于这个点的概率，你这个分布函数是你小于等于这个点的概率。你这个分布函数是你小于等于这个点的概率。是不是这个事情？我们当然可以啊。比如说你有一个分布函数，是这个函数，

你是fx，你有一个分布函数，是这个函数fx，你有一个分布函数，是这个。但是就有个问题啊，我如果在同一个题当中，我给了一个fs，你到底是谁的分法数？你到底是谁的？你要明白一个事情，同学们跟我思考一个问题。我举个例子。比如说举个例子，你发现x小于等于四的概率。

你应该是往哪带啊？注意这个事情是等于分布函数在四处指，但是你要注意这是谁的分布函数，这是x这个随机变量的。分步函数。你能理解吧。是你的分布函数。你只能往它的分布函数里面带。如果这里面当中，我们写y小于等于五。你这也是f5，但是你要把这个五忘了带，你要往y的分布函数那里面带。你不要带错位置了。我这个人有分布函数，

你这个人有分布函数，他这个人有分布函数，你有小于等于这个人，你到底是往哪带？你要往你的分布函数带。但是如果在同一个题当中，你都用这个人进行表示。那我就问你个事情，如果你看到这个fs，你是谁的分布函数？你就说不清楚了。你就说不清楚是谁的分布函数了，所以说我们怎么办？我用个角标。那现在这个人分清楚了吗？

哎，现在分清楚了哦，我明白了，如果你这样写。那你是x的分布函数，你这样写，你是y的分布函数哦，你这样写，你就是z的分布函数，你分清楚了吗？你分清楚了，如果这里面当中，我让你去求解什么x小于等次你往啥带哎，我往这带。如果这里面当中，

我们说y小于等于四，你往谁带你往这带，如果这里面当中，你发现z小于等于四，哎，你往哪带往这带？那我这我就明白了，我到底往哪带？所以这就是它的一个特点。我这个人有函数，我这个函数我用什么字母表示自变量，用什么字母表示有什么关系呢？没有什么关系。你有一个函数，你这个fs，

你有个函数fs，你有个函数fs，但是我分不清楚的时候，我就在下面写角标。能理解吧，所以这样我们就把它定义完了。好了，这个事情我就讲完了。你理解了吗？所以说你会发现分布函数是随机变量的分布函数。那这个函数。比如说你是x这个随机变量的分布函数，你是怎么理解的？你就是这样理解的，就是这个随机变量小于等于x的概率加和。

你要求出四处值，就是这个随机变量小于等于四的概率加和你要求五，就是这个随机变量小于等于五的概率加和。那这个x是没有关系的，这个x是自变量，只是一个函数的自变量，它是r。要理解清楚，然后第二件事情是每一个函数都能作为分布函数吗？不是的，我们说随机变量肯定有分布函数。但是你是一个函数，就是分步函数吗？那不一定。所以这里面当中，

我们需要有条件进行去限定它。必须扣着这四个条件走，你想你这个函数是不是用概率定义的？你用概率进行定义的话，首先第一个事情，你这个函数肯定是大于等于零，小于等于一。第二事情你在正无穷的这个概率呢，那肯定是一。然后你在这个负无穷的这个情况呢？小于正无穷，肯定是所有啊，你小于负无穷呢，那肯定没有啊，这是零，

然后还有一个右连续，比如说这个点。加上这个零右极限。它要等于这个点值。然后最后一个事情单调不减刑。所以在这里面当中要抠制这四个条件走，只要你满足这四个条件，你一定是一个分布函数。但是你这个分布函数是离散性随机变量的分布函数，还是连续性随机变量的分布函数，还是既非离散也非连续的分布函数？现在我不知道。因为我们现在其实你应该知道。假设大家不知道，假设我们还没有复习到，

我们现在还没有复习到吧？好吧。能理解吗？我们一会儿会讲，所以这四个事情你全部满足了，你才会是个分布函数好了，那么接下来我们来看看上节课的这个题。其实啊，上节课这几个题啊，出的其实稍微的会呃，我不知道同学们你们的感觉怎么样，因为基本上。这里面当中一个题啊，你就可以作为一个考研的一个基本上的一个真题了。对吧，

你比如说这里面当中你能画图的时候，你可以画个图，你画不了图的时候，你就直接进行研究。我不知道你下去过程当中有没有重新再做一下你，比如说看这个人。那这个人的话，你发现一个事，那首先我们先看第一个点。这个arctangent是单调递增，那我就是单调递增啊。所以我这个函数一定会单调递增。那你在正无穷方向的极限呢？你是一负无穷极限是零，所以说他这个人的话是这样。

你这边是一。好了，同学们，我们检验一下是不是介于零和一之间？正无穷是一负，无穷是零。没有问题，而且这个函数是连续还是右连续？不光右连续是连续的吧。我不光是用连续的我，而且还是连续的。那么我是连续的呀。连贯的。然后最后一个事情，你发现这个单调递增单调递增肯定单调不减啊。

所以他肯定是所以像这个abcd这几个人呢，你一个一个的把他判下。你判清楚，我相信这个分布函数的这个定义啊，我们就过去了。所以问题点难度系数不是说特别大，能想清楚吧？好了，那么接下来我们再来看看第三个问题点。来继续吧，我们来看看下一个考点。利用分布函数求概率。你就记住分布函数，就这三个问题，一个事情分布函数的定义。

只要见到分布函数，让我们去求解，你先写定义。你先写定义，定义写出来之后再研究，然后第二事情就是判断第三个事情，利用它求概率。那怎么求呢？你发现分布函数就是用概率进行定义的。它说x这个随机变量小于等于a处值。那根据分布函数的定义不就是x这个人的分布函数在a处值吗？你小于等于a的概率，不就是你在a处值吗？然后接下来我们再看，如果你这个人是小于a呢？

小于a就没有到a。那就是我们在这个分布函数在a处的什么做极限？其实在这种当中就要去求解a负，然后这个人的极限。所以像这个问题非常简单。对吧，你就记住这两个点。要求该点值就是小于等于该点值，小于该点左极限。小于等于该点值，小于该点左极限，小于等于该点值，小于该点左极限，只要你学清楚这个问题啊，就非常简单。

两个点，这是要记住的第二事情，你要喜欢。小于号。对吧，一定要喜欢小于号。那么，在这里面当中，你也不妨把这个人记住。s=a，这也经常考。那等于a这个人不就是什么，不就是小于等于a，你再减去什么，你再减去小于a吗？

那其实就是我这个x分布函数，我知道是谁，我就不写了，我在a处时我再减去a处的左极限。所以说这里面当中就知道了。那求这个点处值呢，就是分布函数在这点值减去分布函数在这个点处的左极限。能想清楚吧，要注意这个分布函数怎么定义的哦，我这是你x这个随机变量的函数，我怎么定义这个函数呢？我就是随机变量小于等于x的概率概率是多少？你的函数就是多少？你就这样的一个问题。那么，

将来所有情况都可以做，我们讲义写的非常的详细，对吧？在这里面当中，把所有的情况我们都罗列了一下。那么，在这里面当中，你的核心重点，你就记住这两个问题就行。诶，不是这。你的核心重点你就清楚，这俩人。你记住这俩人的话就好办了，那么在这里面当中，

我们来看看。你如果这个东西是大于a。不就是一减去小于等于a吗？小于等于该点值没问题吧？如果是等于不就是小于等减去小于吗？小于等于该点值，小于该点左极限。如果这个人是大于a，小于等于b呢？那大于a，小于等于b，不就是小于等于b的部分，把小于等于a的抹掉。不就是这个部分吗？小于等于该点值，

小于等于该点值。能理解吧，如果这个部分是这样子呢，那么就是小于b的部分，你看这块带等号就把。小于a的抹掉左极限，左极限。如果这是小于等，这小于等的，那就是小于等的部分，把小于的部分给减掉。那不就是大于等于零吗？所以就是小于等于该点值，小于该点总极限，最后是一样的。

好了，像这个问题啊，把它梳理清楚，你要注意啊，我们概率论呢，核心题型不是说特别多，第二章的第一个考点就是分步函数，分步函数三个事情，一个是定义。一个是判定分布函数第三个事情，就是利用分布函数求概率，就这三个问题，你学一年呐。屈指可数的知识点，所以一定能把它学好的好了，

我们来看看这个问题。先来做一下这个题吧，灭了它啊。好注意，我们先看第一个问题。这是这个人的分布函数。然后用分布函数去求概率，那你想我们这个人怎么去写啊？你看这个人是大于等于一小于二。所以说我们喜欢小于怎么写，就是小于二的部分，再减去多少，再减去小于一的部分。那这个时候的话，你就会发现哎，

小于就是什么该点的左极限。小于就是什么，就是该点的左极限。会写吧，缩极限，求极限还不简单吗？那么，这里面当中二处的左极限呢？你发现往哪带你都要往这带？因为二处就在这儿，所以求二处的极限，你就直接进行去求谁，你就求这个人的极限，那是多少一减一的负二次方？然后一的左极限呢，

没有到一比一小，是这边半边它这个结果是减二分之一，所以说就是二分之一减一的负二次方。所以这题啊，正确答案选几啊选c。这种考题不要把它出错了，送分题啊，这几年都是这样概率论的部分当中啊，难度系数不是说特别高。基本上送分点来，再来看看这个人。好，继续看这个题。他给了一个分布函数。但是这个分布函数里面当中是含有参数的，

那非常简单，如果分布函数啊，哎，你发现它是分布函数，它就满足四条。你就要验呗。那首先第一条大于零，小于一，没法用。然后说单调不减也没法用。核心重点用的是规范性，好了，我们先来看看正无穷的极限。正无穷，是不是对它求极限？

算了吧，我写慢一点。这种极限呢，在高数里面都不算极限题。好对它求极限。第一个极限多少抓大头？这是a第二极限是多少b都存在可拆，你要注意啊，如果这个极限不会做。啊自驱啊，如果不自驱啊，考研威仪啊。你懂吧，你应该理解我的意思啊。如果这个极限你看不懂。

你或者在这里面当中坐半天，你你觉得有问题。那你这里面当中得好好复盘呢啊。好了，那么接下来我们看看那正无穷，这是一。然后这个负数呢？那负数是零。好了，这个问题，然后接下来我们再看右连续分段点外都是连续的，所以我们这里面当中只用进去去研究零。零初这个情况的话，就是limit x趋向零右边需要右极限等于函数值，不要记差了，

对吧？我们这里面当中说的是求这个小于等于该点值小于该点左极限，然后它满足的是右连续啊，那这里面当中我们来看看这个事情。那limits趋向零正应该是比零大，比零大是对这个人，那就是as比上一+s。加上b好了，然后f0是减f0在这，这是零，那么接下来我们来算一下。那第一个极限呢？你看上面这人是零，你下面这人是一，这是一定是啊，

一定是它的极限是存在的，这是零。然后这个极限是b=0好了，这是这个问题，所以说这里面当中啊，马上出来，那这个b是几啊零那这个a是几啊a是一。好，这个人出来了。然后接下来我们来再来看看，让我们去求解什么，让我们去求解的是x大于等于一，小于等于二的概率。通过分布函数求概率啊，我非常喜欢的是小于那就是小于等于二再减去什么？

小于一这种题太简单了，小于等于该点值，小于该点的左极限。好，我们再来看那二处的值是在哪二的话，你发现是在这。对吧，所以说我们往这逮那，这里面当中的话就是一+2分之。然后这个人是多少呢？a这个人是一那然后这个人是二。然后的话，这个b是零，我们就不管了，然后再减去左极限。

那这个一处的左极限是对谁求极限？还不是对这个人求极限吗？那就是直接带就行了，那就是一+1。然后上面是多少一×1？没问题吧，直接带，因为你发现这一段的话不存在说什么，这个左极限右极限的问题。好了，这是这个问题，那么接下来我们就把它一算，那上面这人多少三分之二，然后这是多少二分之一，然后这是六分之四，

六分之三，六分之一。答案选，几啊，选a啊？好了，这是这个题吧？265题不是特别难吧啊，非常简单的一个题。就是通过分布函数，我去验证它的词条性质，它就是个分布函数。随机变量都会有分布函数。好了，这是这个问题，

那么接下来我们再来看一个这个题啊，稍微等一会。一会儿过程当中，我们来讲原版的话，你发现这个强化可以直接讲啊，当然让我们稍微等一会儿吧，那么接下来我们就来看看下一个问题。那么，在上次过程当中啊，我们讲过。随机变量。对吧，比如说。掷色子这个事情。这个随机性的这个变量，

它取的是一二三四五六，你只能取这些离散的点，所以它叫做离散性随机变量。就是你这个变量只能进行去取什么取一些离散的点，就叫离散型随机变量。如果你取的是连续的呢，比如说我能取二到三里面的所有值，比如说我投十子往二到三上投十子，我这个人能取到二到三，我投十子，我可能落点是二到三当中的所有人呐。都有可能，所以就叫连续性随机变量。那么，在这里面当中啊，

我们先来看看第一个问题。离散性随机变量。它的核心在何处啊？它的核心是分布率。如果你看到了分布率。它一定是一个离散型数据变量。如果你看到了概率密度函数，它一定是个连续性随机变量。当你看到了分布函数，说不清。因为只要是一个随机变量，它都会有分布函数，这是你要想清楚的，什么叫分布率呢？分布率有两个事情。

那么你可以这样写。第一行写什么东西呢？哎，第一行的话进行去写，我这个人的取值。我能取s1，我能取s2，我能取SN，我们就不谈无穷多个，因为无穷多个涉及无穷级数内容了。比如说有限格，然后你取这个人的概率是p1取这个人概率是p2，你这个人概率是pn，你或者怎么写呢？你可以这样写。

第一行就是我的取值。然后第二行是我对应的概率。对吧，第一行是取值，第二行是对应的概率，所以这个东西就叫做这个随机变量的分布率。你要想清楚分布率是什么？什么叫分布率？就是我有，比如说我掷色子。你想想，假设你掷色子这个事情，你的可能取值有几个，你可以取一取二，取三取四，

取五取六，是不是离散的点？你去每一个部分，它的概率是多少？每一个人的概率是六分之一好了，这就叫做一个分布率，就是取值对应的概率。好分布率。它最重要的问题就是分布率，然后这里面当中涉及两个考题，一个考题是已知分布率去求离散型随机变量的分布函数。一个事情是已知分布函数去求离散型随机变量的分布率。就这两个问题，所以离散性是非常简单的，考的非常少。

不喜欢考它，因为太简单。那么所以说接下来我们来看看这个事，比如说我给你一个人。假设我这个人是这样。我能取值取多少呢？我能取一取二取四。然后这个概率是四分之一，这是四分之一，然后这是二分之一。那么，同学们想我进行去求这个人的分布函数怎么求？先写分布函数的定义，你这个随机变量的分布函数。我的自变量选的x我这个分布函数就是我这个随机变量小于等于这个点概率的加和呀。

小于等于这个点的概率加和，那你想想一个事情，我们来看这个问题。呃，我可以通过。刚才这个图来讲。好吧，那么接下来我们来看看这个事情。啊，我借用一下，因为我想用一下这个。好，我们就用一下这个人。然后我把这个点呢。叫做x这个点。

你也用一下。好了，那么接下来我们一起来看看这个事情，我就用这一块。来，我们一起来瞅瞅。那你想想，我要求的是什么？小于那个点的概率加和。而我们只有在一的时候，我有概率四分之一，我在二的时候，我有概率是四分之一，我在这个什么四的时候，我有概率二分之一。

我只有在这些点当中有概率啊。你想想是不是啊？我只有在这些点当中，他才有概率。所以说同学们一定要注意这个事情。哎，只有在这些点当中有概率，而我要求的是什么呢？小于等于这些点的概率价和。那你想如果你这个x在哪呢？你如果在这儿。这么不好用吗啊，假设你这个s在这，你后面的概率是几啊？你后面概率是零，

你如果在这儿，你后面的概率是四分之一，你如果在这儿，你后面的概率是四分之一加四分之一，你如果在这儿，你后面的概率是所有相加。是不是这个问题啊？所以说你会发现你看你这个落点的不同，其实你后面的概率就不一样。那这时候我们就出来了。所以我们就直接来。第一个事情。如果你这个x怎么办？你就在这，你看你没有到一啊，

你不能到一，你到一的话，你发现。噢，你倒一的话，你发现它是小于等于。你就包括四分之一了，所以你不能到一，因此如果你小于一的时候，你的概率都是零。如果你s是大于等于一小于二。你这之后都是多少？你这之后的话，你发现你看你这之后的话都是这个人都是四分之一。如果你这个s是大于等于二，

你小于多少？你小于四。如果这个人的话，在二到四呢哎，你就是后面这些人加那这是多少，这是四分之一加四分之一二分之一，如果s是大于等于四。你这后面所有人相加，你所有人相加是几？那是一。好了，这个人所以同学们注意啊，你只要写左闭右开，永远都不会出错好这种题啊，太简单了。

注意考研过程当中很少会出这种题，你要想清楚这个问题啊。能琢磨清楚吧，你一定会做的，这太简单了。然后接下来我们稍微的进行去分析一下这个分布函数来把这个分布函数我们研究一下这个事情。这是我这个随机变量，我这个随机变量是谁呢？我这是个离散性随机变量。对吧，我有一把利器，我这把利器就是我的分布函数。我这个函数啊，你发现我来看看我这个函数。有什么特性呢？

好，我们来看看。这个函数的话，这是一，然后这是二，然后这是四。他说你只要小于一的话，你发现你这个函数都是去零。如果你是一到二的话，你的概率取四分之一，你二到三的时候二到四的时候，你概率取四分之一，你之后的话概率取一。然后他写的必须是左闭右开。好，

这个情况，这就是我的分布函数，你发现最小值呢？它介于什么？这个最大值是一。我介于零和一之间，你正无穷是一负，无穷是零。然后是单调不减，然后是右连续。为什么右连续呢？你右边往这跑，一定会跑到函数式。对吧，右连续。

所以具备了这四个点，它肯定是个分布函数，然后这个分布函数具有什么特性呢？我发现了这个特性。第一事情，它是个台阶状。台阶状，如果它是台阶状，这个函数的每一段都一定是一个什么？都一定是个常数。每一段都是个常数。而且它呈台阶状。除此之外，我觉得这个点还不够。有没有发现台阶的这个阶梯口？

阶梯口就是突变的位置。对吧，能让你进行去突变的位置，也就是你的分段点突变的位置，其实就是我能取概率的点。只有这个点处有概率才会产生突变。这是这两个特性，所以这里面当中啊，我们其实就得到了一个事情来看看这个问题。离散型随机变量，它的标志是什么？分布率我只要知道了，分布率它一定是个离散型随机变量。然后第二事情离散型随机变量，它当然有分布函数啊，

它的分布函数的特性是阶梯状。那它的两个事情，一个事情，它每一段都是个常数。然后第二事情，它在这个分段点，它会突变分段点，其实就是我概率的取值点。你的分段点其实就是我的概率的取值点。能想清楚吗？好了，把这个事情啊，一定要磨清楚。那如果我知道这个分布函数，我去求这个分布率呢，

那就更简单了。对吧，那这个人呢？他就太简单了，比如说我们这里面当中，我们给了一个分布函数。好给了一个分布函数。我让你干嘛呢？我让你去把这个人的分布率求出来。我一看每一段都是常数的分布函数，那肯定是离散性随机变量分布函数啊，那么来看看它的取值点有几个？它的分段点分段点是一分段点二是二分段点是四。突变点那么我们如果进行去求一处的概率怎么求啊？根据分布函数，

求概率太简单了，来走小于等于该点值小于该点左极限。那其实这个人的话就出来了，一处的值是四分之一，左极限是零，所以说就是四分之一减零四分之一。然后再来看。二处的结果呢，小于等于该点值，小于该点的左极限。那该点值是几呢？你发现二处的该点值，这是二分之一，那左极限是四分之一，那是四分之一。

能理解吧，其实就是这个相邻项做差就问题了，然后这个人呢，那是二分之一，那就一减去这个人。这个太简单了。所以你看你的突变点，你的分段点就是我取值点，然后这个概率怎么求呢？我们说知道这个分布函数去求，这个点出的值太简单。那就是什么小于等于该点值小于该点左极限能学会吗？好了，离散型随机变量就这两大核心考点。第一个事情要知道怎么去求分布率。

取该点值。第二，事情求该点值的概率。第二，事情分布函数去求这个分布率，分布率去求分布函数。好了，这两个东西啊，套路你把这个套路把握清楚就行，来看几个题吧。好，我们先来看看这个第一个题。呃，可能这里面当中啊，有些同学的痛点呢。

我是这样，我先讲一个。我不知道你做没做呃，有些同学可能做了，有些同学可能没有做，我留一个这个人呢，我留给你下课，你把它做一下，然后我们再来讲。能听懂我的意思吗？要不这样吧，我们先把这几个简单的给干掉。注意啊，这种题啊。不是靠我来，

是靠你来。方法全都讲了，你听我讲100堂这种课你不会做，你还是不会做。方法就这么多。所以像这种问题的话，你发现你不愿意去读题，你光喜欢听课，这都没有什么用的，你要喜欢进行去读题。你听我讲100道那都都没什么用。你要读不懂题的话，我觉得这个是个中文能力，它不是个数学能力。啊，

所以说我留给你下课一会不是下课吗？休息过程当中啊，你好好读一读，我再来讲好，我们先来看一道这个题。二六九来走吧，那这个非常简单。那每一段都是常数离散型，随机变量，它的分布函数去求这个人呢？来分段点负一。分段点二，分段点三。然后怎么去求这个点处的概率，结果呢，

你求负一就是该点值减去左极限二分之一。求20该点之前左极限。六分之五减六分之三，六分之二，六分之二的话，这是三分之一。然后该点只减去左极限，这是六分之一，立即出来了，所以说这个题啊，就是负一二三。然后是二分之一，三分之一，六分之一，答案选a这种题非常简单。

好了，二六九这个题。那么，接下来我们再来看看下面一个题来，再来看看这个人。那这个题啊，它很明显，我们可以怎么做呢？你可以直接做。对吧，你可以直接做。因为这个题的话，你发现但是有一个问题，用条件概率不等于一的概率是多少？所以我得把这个概率的情况求出来。

那你想想你这个人的话，你发现。你可以通过这个分布函数去求对吧？求这个概率，但是不等于一的概率怎么求啊？你这不好求。我一观察哎，每一段都是常数。离散型随机变量的分布函数去把它的分布率求出来。分段点是负一分段点是一分段点是三。然后去求负一该点，只减去左极限零点四。然后该点值减去左极限零点四，该点值减去左极限零点二。出来了好，

这个人一下出来了，那这个出来的话就非常简单，来吧，走向。那么，这个人的话，我们直接进行去求他的概率小于二，然后这是不等于一，这样做是最简单的，你当然可以通过分步函数去求。但是稍微的慢半拍，我眼睛漂一下就出来了，所以说这个人呢，就是x不为一，然后分之什么？

分之x小于二，然后x不为一，你看这个题啊，还是挺不错。然后我们看看部位一呢，部位一就是这个人，那就是零点六。然后不为一，而且还小于二，不为一，小于二，只有这个人，这是零点四，所以说这人呢，等于三分之二。

所以，正确答案选几选b，你看这个题，这个题通过分布函数直接算的稍微的慢一点。如果这个题把分布率求出来，那我这个人进行求概率非常简单了。所以同学们注意。对吧，离散性的东西分布率求概率，连续性的东西概率，密度函数求概率，这都是非常简单的。好了，像这个题会做吧。所以你要会观察哎，

我一看诶，每段都是常数，它分布函数离散型随机变量的分布函数。好了，这是这个事情。记住啊，一会下课的过程当中要做这个题，我来讲一下上面这个题。要不这样吧嗯。两个题都给你留着做一下啊。我也不问做没做了，我估计大部分同学做了，对吧？有个别同学的话，你没有做，

你没有做的话，我我都留给你做一下。你一会下课过程当中做一下这两题可以吗？好了，这道题啊，我留给你。你要赌。对吧，就跟我们上节课讲那个有一个题一样，我们说从这个盒子当中抽一个球放到这个袋子当中，然后从这个袋子当中进行。再抽一个球。对吧，再再取一个球的情况，其实你发现你如果下去过程当中，

你自己好好读一读题，你自己好好做做，你其实你会发现非常的简单。但你你这这个点的话，你不能说，如果你理解了。我们就可以有共鸣了。对吧，我们就有我们在同一个场，我们就会产生共鸣。但是你这这这不是个数学问题，它是个语文问题了，就是你要没有读懂。你发现我们就没法共鸣，我说这个事情，

我说哎呀，在他已经抽到了之后，他是抽到这个白球的感，你说这什么玩意儿？你这是一个语文道理，理解的好，我们不说了，你下去给我过程当中，你好好想想这个事情对吧？好，我们休休息过程当中，你做这两个问题。那么，接下来我们来看看下一个问题点，我们来讲讲连续性随机变量。

那么，接下来我们来重点来看看连续性随机变量。那连续性随机变量，什么叫连续性随机变量呢？那么刚才我们讲过。比如说你是一个直色子的问题，你这个随机变量可以是我取了一取了二取了三取了四取了五取了六就是值出来的情况。那比如说我往这个二道什么二到六上投石子儿？我投到这个点是x。哎，我往这上面投石子投到这个点是x那这个x能取多少呢？他是不是有可能投在二处，也可能是投到这个六处的，所有情况都有可能有没有可能？当然有可能。

我可以投到这个上面的任何点的一个情况。你想是不是？那当然是这样。我能投到这个什么？对吧，我就是你看我可以投到这儿，投到这儿，投到这儿，投到这儿，投到这儿，投到这儿，哎，你看。我都能取到。它不像那个什么东西呢，

你这个掷色子，你要么掷出一这个点二这个点三这个点四这个点五这个点六这个点。那你你这个s取值，你只能取一。取二取三，取四取五，取六你只能取这些点，那所以说你这个随机变量的取值是离散的点吗？你只能取一取二，取三取四，取五取六。不像我，我可以怎么？我可以把二到六哎，你看我每个人都能取到，

这就叫连续性随机变量。这个非常好理解啊。对吧，这个非常简单，你要知道是什么意意思就行，哎，我的箭头呢？好重画一个。所以像这个问题啊，你就想清楚了哦，这个随机变量，它能取一些连续的点。对吧，连续的点。好，

这是这个问题。那么所以你一定要想想去分析清楚这个问题，我比如说举个例子，你还记得上节课那个忘这个什么东西呢？望这个半径为二。半径为二的这个什么，你看往半径为二的这样的一个圆里面进行去投石子。投到的这个点。这个距离什么东西呢？距离这个圆心的距离，这个距离是叫做大S，你还记得吗？你是不是这个事情？那这个x的话，它是个连续性随机变量还是离散型？

它是个连续性，因为你这个x它的半径，你投的这个点离这个圆心之间的距离，有可能距离就是零。有可能距离是二。它是个连续的，所以说这个随机变量的范围是不是这个范围？那比如说我们进行去掷色子，我这个x进行取的值只能是一二三四五六吧？是吧，但是你一定要分析清楚，有的同学就不理解了，他说那我为什么上节课那个分布函数的x可以取？取到大院呢，你把两个东西混淆了。

就是你这个具有随机性的这个变量，你只能比如说我投石子，我投的点的话，它距离那个圆心之间的距离，你要么是零，你要么是二。但是我们研究的是这个函数啊，这个函数是这个随机变量小于等于x的概率，你这个x。你能不能超过二？你可以超过二啊，你如果s比如说你超过了二，你比如说这个人是三，你三的话小于等于三的概率是多少？那不就是全体吗？

你能不能是负三可以啊，你小于负三的概率不就是零吗？你一定要理解清楚这个事情。你就像举个例子，我们去掷色子，我掷色子只能掷出一二三四五六，那我的分布函数我能不能去求求什么呢求？500处的概率，500处的情况。那可以啊，那不就是你这个人小于等于500的概率吗？500的概率不是一吗？那所以一定要区分开这个事情，你投你投色子，你只能取一二三四五六。

但是你这个是小于等于x的概率。你一二三四五六处有概率，我难道不能去算小于100处的概率吗？我可以算呐，所以一定要想清楚，那是分布函数的自变量。把它分析清楚。好了，这个问题啊，不再赘述。那么，接下来我们来看看连续性随机变量，连续性随机变量最重要的问题是什么？连续性啊？这个随机变量最重要的问题是该。

概率密度函数。所以一定要分析清楚连续型随机变量当中的标志。连续型随机变量的核心是分布率，连续型随机变量的分啊，这个标志是什么？是概率密度函数。我只要见到概率密度函数哦，你肯定是一个什么？你绝对是一个连续性随机变量。我见到分布率，你肯定是个离散型，随机变量。所以这里面当中，我们就要来看看连续型随机变量的标志，概率，

密度函数。怎么定义的呀？我怎么进行去定义这个概率密度函数呢？那这个人的定义啊，是从这个分布函数来的。我这个随机变量。对吧，我这个随机变量，我在x处的分布函数值就是我这个随机变量。小于等于x的概率。那你以前的话，你比如说你是个离散的这一块，有概率这块有概率这块有概率哎，我这块我去把这几个true的概率加起来，那就非常简单了。

但是你现在是个连续性的，你有可能这个点这个点这个点对吧？这个区间段上有概率，那这时候怎么办呢？我们就不能直接加了，我们怎么办？我定义了一个函数。我定义了一个什么定义了，这样的一个函数。你要去求小于s的概率，我就让你进行去，在负无穷到s上进行积分。因为你上面用了x积分与变量字母的选取无关，我就换成了t。我明白了。

你要求这块的概率，我就对这个函数进行积分，那这个函数称什么？这个函数称之为我x这个随机变量的概率密度函数。我这个人的概率密度函数，我就把它写成这个。你能听懂吧，这叫所有权，我就想说你是我x这个人的概率密度函数。对吧，你是我这个随机变量的概率密度函数。一定要想清楚，当然如果这个题你知道是x这个随机变量，你就不要写那个x了，其实你就是什么，

你这个人小于等于x的概率。那就是负无穷到x，然后对什么呢？对你这个人的概率密度函数积分。能听懂吗？好了，这是这个事情，要知道概率密度函数怎么定义的？我要求这个点处的分布函数值就是小于等于这个点概率，那我怎么去求呢？我就定义那个函数，我让它从负无穷积到s积分就是这个。我把这个函数啊，叫做概率密度函数。那概率密度函数不是谁都能做，

概率密度函数。概率密度函数是有非常大的一个要求的。对吧，它是有要求。他的要求是什么呢？它的要求就是你这个概率密度函数，你非负就行。哎，只要你非富。只要你非负，而且负无穷，到正无穷上的积分。你归一。就可以了，你只要满足这两个点，

你就是个概率密度函数。你只要怎么办呢？哎，你只要你这个函数啊，你能位于我x轴的上方。你只要怎么办呢？你只要在负无穷到正无穷上的积分等于一，你就是个概率密度函数。那同学们，他有没有说什么大于等于零，小于等于一的要求啊？他有没有说什么，又连续的要求啊，他有没有说单调不减性的要求，有没有没有？

那是分布函数，这是概率密度函数，你把它给我分清楚。分布函数要检验那四条满满足概率密度函数，只用检验两条，你是不是非负的？你是不是负无穷到正无穷的积分？是一只要满足这两条就行，我比如说举个简单例子。你看你正态分布的话，这个概率密度函数是不是先增后减啊？你看它没有说单调不减吧，那是分步函数，不要把它混了。一定不要混了。

所以一定要想清楚这个问题，能想清楚吗？你看它没有说单调，不增这个什么单调不减呢？我这个人还先减后增呢。所以一定要区分开，你是不是该流密度函数两条，一个事情是在这个轴线的上方，第二件事情是什么？第二件事情就是。这个区域的这个积分，它等于一。只要这个区域内的积分等于一非负的，你就是一个概率密度函数。那同学们想想。

那既然的话，只要积分是一，我把这个点挖掉。行不行行啊？那这还不是概率密度函数吗？我都是非负的呀，我负无穷到正无穷的积分还不是一吗？可以啊，因为定积分嘛。虽然这是个反常积分，这是通过定积分推过来的。没有关系啊。那比如说我们在这里面当中的话，是这样。我只要这个区域的这个积分是几是一行不行？

行啊，你看有些同学又矛盾了。因为我一会会讲一个事情，你一定不要错乱。这是概率密度函数。这是概率密度函数。你要跟分布函数分分开啊。我可以把这个点挖掉，我把这个点挖掉了之后，我在这点上一个亿行不行？但是你不能点下去，点下去就错了。行不行可以啊？没有问题啊，我处处都是非负啊，

我这个积分是一啊，所以说请记住。一个点处的概率密度函数没有用。没有意义，一个点的概率密度函数是没有意义的，不要给我谈一个点的概率密度函数，一个点的概率密度函数，我挖掉了之后又怎么样？没有关系，一个点的概率密度函数没有意义。概率密度函数可不可以间断？可不可以可以间断啊，概率密度函数间断了，怎么了？我概率密度话，

你看我在这个点处还具有跳这个什么可去间断点的，我刚才画那个图还具有跳。跳跃间断点呢？所以同学们一定要分清楚，这叫概率密度函数。他只要非负归一就行了。我对你没有过多的要求，你只要恢复和归一就行了。你不连续是可以的，但是同学们，我们接下来再来看下面一个问题。但是连续型随机变量。的分布函数呢？却一定是连续的。这个人的分布函数一定是连续的，

今天讲你能学的贼通透。为什么？因为连续型随机变量的分布函数。是这样进行定义的。里面是概率密度函数。同学们，还记得吗？如果里面连续。变上限函数一定怎么了？一定是可导的。你还记得吗？就说如果你这个人是连续。你这个人一定是可导。对吧，被积分函数连续变现，

函数一定可导。而且你的导函数就是它。中午讲到，如果这个里面是连续我这个变现函数，一定是可导的，而且我导数是它。那同学们，如果里面这个人只要有阶，你想想你这块积分得是一啊，你肯定得是有阶。如果里面有接且存在有限个第一类间断点，你这个人。仍然是什么呢？连续的还记得吗？你说那无穷阶段，

你无穷的话，你这块你比如说走你到无穷，你怎么归一啊？对吧，所以我们基本上研究的都是第一类间断点，你就不要去想那第二类间断点。所以你想如果里面是连续的。我这个外面是可导的，我导函数等于零。对吧，我可导的，如果里面不连续，我有界有限的第一类间断点，我仍然是连续同学们，想想我这个分布函数是不是永远都连续啊？

对吧，我这个分布函数永远都连续。你想想是不是？所以说这个分布函数你发现牛逼了呀。但是你再牛逼，你也是个分布函数，你只要是个非布函分布函数，你就会满足非复性。对吧，非复星。你就会满足规范性。你再牛逼，你还是这个人对吧？归于放心，然后的话，

这个什么归于放心，然后第三个事情。还是又连续，然后还是单调不减型？就是你再牛逼，你还是一个分布函数，你仍然要满足这四条。只不过在这四条当中啊，你这件事情变牛逼了，你不仅仅又连续了。你而且还连续。还什么连续啊，还左连续。因为我们现在怎么了？我们是连续的了。

就说你再怎么牛逼，你还是个分布函数，你还是非负的，你还是规范的，你正无穷是一负无穷是零，你还是单调不减的。只不过从又连续这个角度上而言，我现在不仅仅又连续，因为我连续啊。我原来的话，你发现我从右边要跑到函数值，你现在是连续啊，你左边也要跑到函数值。对吧，你以前是什么右边跑到函数值就行。

左边不用，现在是什么呢？右边跑到函数值，左边也得到函数值。你现在得是连续啊，波光又连续，而且左连续，所以它是连续的，你左右都是连续，所以同学们。你想想连续型随机变量的分布函数，它一定不能断。呃，你不能往下讲，一定不能断。

一定是整条线都是连贯的，不能断。千万不能断。知道什么叫连续吗？连续就是不断，连续就是极限等函数值在负无穷，到正无穷就是一条线连续的。他说老师不对呀，我记得你刚才不是讲连续型随机变量，它是可以什么间断的吗？你不说你刚才我记得你挖掉了一个点呐。你还说那个东西是可以是跳跃阶段点，你是不是有点穿越了？什么叫做随机变量可以这样？那是随机变量的，

什么可以这样？那叫随机变量的概率密度函数可以这样，这是连这是连续性随机变量的分布函数啊，那是俩人。你不要跟我讲连续型随机变量可以怎么样？是连续型随机变量的什么可以这样？咱能不能学好一点？能想清楚吧，所以连续型随机变量，它的分布函数一定是连续的。对吧，必须是连续的。这是你要想清楚的，能琢磨清楚吗？必须是连续的。

好了，这十讲我们就讲到这，那么接下来我们把这个东西啊，我们做一个系统性的总结。那么，如果说连续性随机变量考注意啊，这个页面必考题啊，一定会出题。如果考研考就这几条来，把这条看一下，第一事情如果是一个连续性随机变量，它的标志是什么？概率密度函数。我只要见到概率密度函数，我就是一个连续性随机变量好，

这是第一条。第二条。连续性随机变量的分布函数。对吧，你是个分布函数，我现在不仅仅又连续。我而且还左连续。如果你具备了这个特性了之后，你想想一个事情。但如果说连续型随机变量，你也左连续我在一个点处的概率怎么算？小于等于该点值，小于该点左极限。那既然这个东西的话，你发现左也连续那左极限，

是不是也等于函数值？那这个人等于几等于零？对吧，等于零，那说明连续型随机变量而言，一个点处的概率是等于零的。你说连续性随机变量研究一个点的概率有没有用啊？没有什么用，比如说我们举个例子，你往二到四上投石子，投到这一个点的概率是多少零？因为是连续性随机变量一个点处的概率等于零。就这么简单。然后接下来我们再来看看常见的考题，就有以下几种。

第一种叫做已知概率密度函数，求分布函数。对吧，然后这种考题很重要，然后已知分布函数，求概率密度函数也很重要，我们先把下面这两种给干掉。我们先讲下面这两种。如果是已知概率密度函数，求参数说你这个人是概率密度函数，你里面当中有未知参数就进行检验两条。一你这个人是非负。不重要，真正重要的是归一。归个一。

对吧，你就能求，所以说这里面当中啊，不是规范性。不要别别别这样，别这样啊。就这么点东西，你都能混啊？这这种东西的话非常的简单，不要换两个事情，非复性归一性，稍微投入点时间好吧？咱说这个东西简单简单也不是这样学的。简单也得投入时间，你再简单的东西，

你也得投入时间。所以同学们注意啊，一定要非常清楚，不是清楚我要求的是非常清楚。好了，这个问题能想清楚吗？回复性规范呃，不是规范性归一性。好了，这个人，然后接下来求概率。求概率，我有两个方向。方向一。我可以怎么办？

概率密度函数去积分。我通过概率密度函数进行去积分。第二个方向。方向二，我利用分布函数去做差。对吧，这两个方向，一个事情就是概率密度函数，我去积分，还有一个事情，我用分步函数去做差。所以说这种当中的话，你发现我比如说举个简单例子。我让你去求解什么？我让你去求解这个x大于一小于等于二。

你看以前吧。以前的话。能不能取等号重不重要重要。你想如果取的话，就是该点初值再减去它这个人。那你你如果把这个瓜等号的话，就是这个点处的值减去小于它小于它左极限。如果的话是这样的话，就是该点的左极限再减去它。它的左极限，但是同学们现在的左极限也是它呀。因为你左极限，你再左极限，其实就这就是f2，这就是f1，

你在乎它吗？不在乎了。一个点概率没有用到。所以我就可以怎么做呢？我管你呢，就是你的端点做差。好，第一个方法，那还有第二个方法呢，就是一到二对概率密度函数进行积分。两个方法，你直接做长那再说，比如说看这个人。s这个人。小于六。

那以前怎么做呢？以前是这个分布函数小于等于该点值，小于等于该点值，小于该点左极限，但是现在左极限就是它呀，那就是直接是f0。对吧，你不是说端点做差吗？你可以这样看。那就是那半边是负无穷，减负无穷，那就是零零的话，就是它你永远看一个人就行，那然后这个是负无穷到六，然后进行积分。

好了，这个人，然后如果你进行去求的是x怎么办？大于零不是大于等。你大于等的话，以前会怎么写一减去？这个人怎么办？这个人小于六，小于六就是该点处的什么？该点处的左极限。左极限，但是你发现没有必要了呀。我现在的话，你发现我管你什么左极限呢？你左极限也是f六一减f六，

他说那这个人怎么看呢？你其实可以这样看。这一边是不是正无穷啊？你就写f正无穷，再减f六就行，永远都是断点做差，那就一减f六非常简单。然后这个人呢？就是6g到正无穷。就这两个问题。要不然选积分，要不然怎么办？选分布函数做差。哪个人更简单？如果两人都行，

谁简单？我说积分简单，那肯定做差简单，代值比你积个分要容易啊。所以要想清楚。如果这个知道的概率密度函数。我去求解这个人的待定参数，我怎么去求解的？那么我怎么去求解这个人呢？一定要把这个事情啊，你想清楚。跟得上吗？把这个问题琢磨清楚，因为你知道概率密度函数的去求参数，非负性归一性，

你求概率，你要不积分，要不分布函数做差。就这么简单。好了没来，我们先来看一个题。比如说这个题啊，这个题啊，类似于去年的考研真题的。来错写了。给了概率密度函数。结果这个概率幂度函数当中有参数非复性用啊，这个不好用对吧？你就规范性规范性其实。代沟去了，

就是归一性。好，这个人那这个东西是个什么函数呢？这个东西是个偶函数。有些同学可能会想一个事情。想到我们的这个。在高等数学当中，我们学反常积分。呃，反常积分里面当中我们讲的说反常积分奇函数不一定等于零。偶函数等于二倍，奇函数等于零的时候，一定要保证一半区间是收敛的。是不是这个事情一半区间收敛的没有必要啊？对吧？

没有必要，就是你在概率统计当中就是概率论与数理统计这门课程当中。你就直接用不用管，所以说这个人呢，直接来他就等于二倍的一半。e的这个负的s绝对值ds。然后既然是零到正无穷呢，零到正无穷大于零，那这个绝对值就不要了。变成他那么这个人的话，你发现我们进行去求解一下他。你这积一个分的话，就是负的一的负x。积一个分的话就是负的一的负x。然后把零和正无穷带去一的负无穷是零零带去一，

这是一。好了，像这个问题那么在这里面当中，其实你可以做得更快，你做得更快的话就是伽马函数的推论。这个人在我们这块考的非常多。它等于n的阶乘，这叫伽马函数的推论。那么，这个人的话就是林道正无穷。x比如说你这个是零次方。就是零的阶乘，零的阶乘是一，我记得原来基础班的时候有同学居然问零的阶乘为什么是一好，我不讲了。

好，这是一的阶乘，那这是一，然后零到正无穷的话，你发现这是二次方一的负sds，那这是二的阶乘，那这里是二。好了，几个人？所以像这个人的话，其实你可以做的非常的快，那前面不就是s零次方吗？那s零次方是几s零次方是一？就这个结果好了，这个事情等于一a就等于多少二分之一。

注意这个内容非常重要。你怎么能忘呢？这个不能碰。但是我今天下午才发了一个微博啊，因为有个同学。给我发了一个私信，说什么事情，说这个以前呐，做出来的题，然后复盘的过程当中发现又不会做了。啊，其实这个是很正常的事情，遗忘是天性啊，都会遗忘，谁都会忘。

谁都会忘你捡起来就行。但是你捡起来的过程当中，是不是要稍微的自驱一点？对吧，提示自己下次一定要记住。那一次提示啊，他就就是痛，原来我跟你讲的痛点一定要提示一下这个事情。好，这个内容，然后这个点呢，我们就讲到这，然后接下来他让我们去求解什么？他让我们去求解x大于等于负一，小于等于一的概念。

那么，这个人的话，其实就是没有分布函数就积分呗，那就对AA是二分之一e的负x绝对值ds。然后这个东西啊，它是个偶函数，那偶函数二倍的就不要了。零到1e的负sds。然后这是零到一都是正的，你就直接写一的负x。然后接下来我们就继续我们来看，这是e的负x这个人把零和正无穷带进去，负的e的负一。减去一注意e的零是一啊一减一的负一次方，你稍微小心一点，

你比如说。这个人。对吧，这俩人呐，有些人在这个带职当中啊，做嗨了，对吧？你做嗨了的话，你发现你带错了，这个这个题就没有分了。稍微小心小心一点，一减一的负一次方。啊，所以说这题的正确答案是多少？一减一分之一e的多少e减一？

所以，正确答案选几啊啊选一。好，这个人271题这个题。过去了，可以吗？好像这个点呢，一定要会。那么，接下来我们就来看看下一个问题。那么，下一个问题啊，我们来重点讲讲已知概率密度函数，求分布函数。我知道这个概率密度函数，

我的分布函数怎么求？注意这个方法就是定义法。只要你想去求这个分布函数。你立即把这个分布函数的定义写出来。不写定义都是胡扯。注意啊，你要休息你就休息对吧？我觉得为为什么每次讲的一点都这样啊？好了，这是这个问题，我们来看看这个事。那么，在这里面当中啊，你发现分布函数。对吧，

你只要见到这个分布函数，你没有这个分布函数的定义都是胡扯。先写分布函数的定义。呃，这个人的概率密度函数刚才算过了啊，我们就不算了，那这里是二分之一e的负x。还记得吗？所以说这里面当中啊，我们来看看这个下一个问题，然后的话，你看你这个分布函数。先把它的定义写到这。啊，先把这人的定义写到这fttt。

没有定义啊，都是胡扯。其实你发现上面这个函数应该是个分段函数。对吧，这个函数是一个分段函数。就是你在这里面当中，这个考点是什么呢？就是分段函数的变现函数，求解。第一步，先把这人写成ft。啊，先把它写成ft。然后这个时候的话，你会发现。

先把这里写成ft。然后小于零的数是多少呢？是二分之一，这个是负的，那负负得正。然后这个是二分之一大于零大于零的话，这是附体。这能会吧，先拉条线，把这里写成ft，你这种思路的话，一定要会啊，这个非常的简单，这去年考研真题。那这道真题的话，

也是我们去年过程中练过的一题啊，所以说这原模原样的题。那么，在这种当中，我们就来看了。我永远从哪开始走呢？你注意我走的这个起点呢？我永远才这开始走我。只要你这个x是小于零的。注意，只要你这个x是小于零，我永远都是从负无穷到x，我都是对二分之一e的t进行积分。然后接下来你发现，如果你走走走，

哎呀，你看一旦超过这个人。那超过的部分呢，你就要对这个人记了。所以这个时候就是负无穷到零，我对二分之一e的提几分。然后再是零到x对二分之一e的负t积分。能想清楚吧，然后这个人呢？是x是什么大于零？这是x怎么办？小于零。等于零无所谓，但是我们写左闭右开会简单一点。好了，

这是这个问题吧，非常的简单，如果这种题还不会呀，我觉得你不要原谅自己，千万不能，我觉得这个不能原谅。啊，你做一道做两道做十道，你做50道，你发现跟别的同学做一道题的效率是一样的。你这怎么写呢？你这不能原谅。那么像这种题，你是个分段函数。你先干嘛呢？

把这个函数给我改成ft。从负无穷开始走。对吧，从负无穷开始走，走到这个终点是谁？你要想清楚这个问题，不是想到确实是这个人。就跟我们原来讲的那个变线分段函数的变线函数求解是一模一样的。那么，接下来我们来算一下，你看第一个人。那第一个人积分是二分之一的t。那s代进去的话是e大ss小于零。然后这个人积分呢，是e的e的，

它零带进去零，然后的话，这个是零带进去一，那这是二分之一。然后这个部分是负的二分之一e的负t，然后零和s再取负的二分之一e的负s。然后这个是多少？一那这人是多少呢是？二分之一，这个人。然后再减去这个人。所以说的二分之一二分之一值是一一减去二分之一一的负ss大于等于零。好了，像这个问题啊，必须要会做。

那这个题的考最后的答案是二分之一一的，它这都不对对吧？这都不对，这都不对。那这也不对。诶，这是二分之一。这也不对。所以，正确答案选几选一。好了，这是这个问题吧啊，知道概率密度函数，我去求解这个人。求解它的分布函数是多少？

这个非常重要。然后接下来我们再来看一个题。稍等一下，我再讲完这个题。讲完这个题啊，我们可以去课间休息会儿啊，然后的话，你课间过程当中把这个呃有几个题啊，你都做一下。来再来看看这个题。那这个题啊，他说连续型随机变量的分布函数勾起来。这不可不是别人。是连续性。连续性随机变量的分布函数满足几个特性呢？

满足四个。恢复性，规范性不光有连续，而且是连续单调不减刑，满足这四个要求。满足这四个要求的话，你发现我们给的这个人，让我们去求参数。那求参数，我们先看。首先非负。单调不减，好像没什么用。那么，这里面当中，

我们重点看。真无穷，是几呢？真无穷，是一吧。是不是啊？真无穷是一。然后负无穷是零都满足了，这没啥用啊。那这没啥用，怎么办？没啥用，我们得用连续。连续啊，其实呃，

像这种题图都非常好，我们直接看吧。来解第一个事儿。当is等于多少负一处。负一处的话，你发现它的右极限是几？右极限是对这个人求极限。那右极限的话，就是a+b那负一带进去呢，负二分之派。然后等于什么左极限是零，该点值也是代进去，那这是一样的。然后第二事情当x等于几啊，等于一处的时候。

移处的时候，你看左极限是多少？使a+b×2分之派右极限是几是一该点初值是几是一那所以它相等。能理解吗？连续的其实如果你在这个。我们考的这些啊，它都比较简单一点。你可以稍微进去去看看你这个分布函数，你这是s，然后这是负一，然后这是一，那也就说我们这一段的话，它都是零。我们这一段它都是一。那你说中间的话，

这个人他他得接得住。其实你都知道阿克塞因的话，他什么情况啊？其实你要把他接触。那接触的话就是你这个人在负一处的这个极限，一定要跟跟这个人在负一处极限一样，你这个人在一处极限跟这个人在一处极限一样。你必须把它接住。它是连续的。所以这里面当中啊，我们就可以求解一下。一，求解。下面减去上面这个人是派倍的b，这是一所以说这个b啊，

就等于派分之一。然后这个a是多少呢？这是派分之一的话，你这个人一乘这是二分之一，它二分之一。好，这你出来了。所以这个分布函数马上写出来。分布函数那分布函数是多少呢？这是x小于负1x大于一，那这是一这是零。然后这个中间这个人呢？他是AA是二分之一，然后这是派分之一。然后派分之一的话，

这是arcsine。然后这是x大于负一小于一。大于等都行，无所谓。好了，这个人那么接下来我们来看看，那知道分布函数怎么去求概率密度函数啊？那非常简单，就是求导。那求导我们都知道，如果什么呢？根据刚才讲的。只有你里面这个人连续。连续的话，分段点外都连续。

那么，接下来我们看。这一段连不连续啊？连续连续的话，你发现我一求导是几算了，我慢点求吧。你发现x小于负一连续求导是0x大于一连续求导是零，然后x大于负一小于零的时候。小于一的时候，连续连续的话，求导是多少是派分之一，然后根号下一减s方分之一。那分段点上怎么办？比如说那分段点上得用定义胡说八道。那说明这个这个问题点呢，

就有点问题了。用定义也未必能用，你万一里面这个人是可去间断点或者跳跃间断点，你就用错了。是不是这个事情？你不能随便用了，所以像这个问题点。嗯，分段点上用连续。不，那说明高数也学的不咋地，不是说高数学的非常不错。那是高数学的，不咋地。你认为是对的呀。

啊，不行，我先不讲那个内容了。我先来复习一下这个事情，你居然认得认为是对的。我问一下，分段点上用定义对不对？大家想想。里面这个概率密度函数。它在这个分段点上，能不能是跳跃间断点？能不能能啊？如果你这个人是个跳跃间断点的话。你发现里面这个人是个跳跃间断点，那外面是个什么呢？

它有可能是个不可导点。它有可能不可导。因为里面是跳跃阶段点，外面连续，然后是左极限，左导数，右极限，右导数，还记得那个内容吗？应该还记得吧。就是里面是连续，外面是可导，里面是第一类间断点，外面是连续里面的左极限，外面的左导数，

里面的右极限，外面的右导数。还记得吗？所以你看你用导数定义的话，就是纯属胡扯了。好了，像这个问题来回来。那所以说我们来看看那分段点上怎么办？注意概率密度函数在一个点处是不具有价值的。所以说这个概率密度函数，你看我求出了这个y这个y，你这个点怎么办？我挖掉我在这补一个行不行？我们刚刚讲的概率密度函数是无所谓。所以说随便刮。

能理解吧，随便挂。因此，你会发现一个事，我们是这样。就是这个概率密度函数是分段点y直接求。那这个分段点y，你看这段求导是零，这段求导是零，那分段点上挂零行不行？可以啊，随便挂。所以说这个知识点都忘了，那证明是真的忘光了，也没有复盘。

我可以这样讲，应该是没有复盘啊，连分段点y直接求分段点上，爱咋咋地，这句话都不记得了，我觉得你得复盘了。你说明的话，这个上课之前你没有提前看到。分段点外直接求分段点上，爱咋咋地，因为一个点处的概率密度函数不具有效率。所以说这个题的正确答案选几啊啊，选这个一。好了，这是这个题。

分段点外直接求分段点上，爱咋咋地。所以说这四个考题是不是讲完了？如果知道概率密度函数去求分布函数。我先写出分布函数的定义，把概率密度函函数换成ft，换成t拉条线，从负无穷开始走。然后接下来再看已知分布函数，求概率密度函数，分段点外直接求分段点上，爱咋咋地。给的概率密度函数，求参数，非负性和归一性，

给的这个人求概率可以积分来做或者端点做差来做，这是如此的简单。把这个问题一定要拿下来啊。考题就在这一页。就这点内容。你看这一章，我们学到现在就三块内容分布函数定义。判定求概率。然后是分布率，分布率的话，你发现怎么去求解第二事情，然后就是分布率进行求分布函数，分布函数求分布率。然后这三个事情概率密度函数。好了，

这是这个事情，我们就讲到这。所以下次你一定要碰到这个问题啊，你把它拿下来。对吧，这个问题点难度系数不大的。好了，我们稍微休息会儿吧，课间休息过程当中记得有三个题，一个事情是二六七这个题。一个事情是二六八，这个题还有一个题啊，就是我们在这里面当中讲的这个二七三，这个题把这几个题啊你稍微的完成一下。好迅速读一下吧。

应该可以哦，我觉得问题点不大好，稍微休息会儿吧，一会儿我们继续。可以做一下吧，把这几个题啊，好好进行去完成一下，好稍微休息会儿，一会儿我们继续啊。

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