28.冲刺满分强化篇：（概率）题型47—50精讲精练

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:20:23

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测试声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，记个回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。呃，上次过程当中啊，我们刚好进入到概率统计对吧？但是我们只学习概率论部分，然后这个部分的强化班部分课程，那么上次过程当中啊，

我们讲了第一次课程。但是这个第一次课程呢，其实难度系数不是说特别大，那核心重点都是记一些公式，然后套一些公式，然后利用这些公式啊，然后进行处理问题就行。那么，在这种当中啊，我们稍微进行回顾一下，那么在上次过程当中啊，讲解的三大板块知识点，第一事情我们讲的什么呢？我们讲的随机事件。那么，

在随机事件当中啊，我们讲了三个问题，一个事情是他们的关系，对吧？随机事件有什么关系啊？然后第二个事情，随机事件的运算是什么呀？然后第三个事情，随机事件运算当中的运算率是什么呀？那么，首先我们先来看第一个事情的关系，那么在这里面当中关系总共有几个关系啊？先来看第一个事情，那关系那第一个关系啊，叫做包含关系。

那包含关系啊，里面当中有个关系叫做导致的问题。能理解吧，你的发生一定会导致这个人的发生，你就在这个人的里面，所以说这个人呢，叫包含关系。然后第二个事情叫相等，我们就不写了，然后第三个事情其实叫做互斥，那互斥这个东西啊，也叫互不相容。对吧，互不相容，所以考试的时候啊，

有的时候它会出现的是互斥，有的时候会出现着互不相容这个事情，然后最后一个事情是对立事件的问题。你看这个点，所以我们核心重点就讲了这几个问题，然后第二事情运算率呢，我们讲了第一事情叫加法运算。然后是乘法运算，然后是减法运算。好三大运算，如果是加法呀，加法这个东西其实是并的问题，对吧？你发生或者我发生。然后乘法这个事情啊，

其实是教的问题你发生且我发生，然后减法这个东西呢，其实就是去掉一个部分。你发生我一定怎么办？不发生，所以说我们经常在考试过程当中啊，会遇到减法，遇到减法了之后的话，你发现怎么去写呢？你就把这东西啊写。写成AB拔就行。好了，这是这个问题，然后再来看运算律，那运算律当中比较重要的第一个事情叫吸收率。

对吧，吸收率那吸收率这里面当中啊，你必须要知道谁大谁小的问题。那同学们告诉我，如果焦一下是变大了还是变小了？变小了对吧？它比a小也比b小，如果变一下是变大了还是变小了？哎，这人变大了，那此时你发现一个事情，你交了这个东西啊，你肯定是没有病，这个人大。好了，

这个非常像啊，那这个点呢？你发现理解过程当中，我们把它稍微理解了就行好了，这是我们讲的这个第二个问题。然后接下来我们就继续，我们再来看那吸收率之后啊，还有什么交换率，什么分配率，什么结合率，那最重要问题啊，还有一个叫做对偶率的问题。那对偶律啊，也叫摩尔根律，对吧？

这个点把它想清楚，随机事件那么像这个问题啊，在考研过程当中基本上不会直接出题的。我不会说我出题啊，直接去出一个随机事件，你怎么进行去？关系是什么？怎么去运算？运算率是什么都不会的？那么，接下来我们来看看，如果在考研过程当中啊，第一大核心出题点，那当然是什么叫做随机事件？啊，

随机事件的概率。我们上次过程当中啊，专门讲这个事情，只有这个事情啊，它具有了随机性，我再求概率，如果你连随机性都没有，你有什么可求概率的呢？他必须要具有随机性。它有各种发生的可能性，我想看看你这种可能性的概率是多少？对吧，这是这个问题，然后这里面当中啊，第一个点我们讲了性质，

那性质当中啊，第一个事情叫做规范性。那规范性什么意思啊？就说如果这个人是空集，那概率肯定是零，如果这个人是全集，那概率肯定是一。但是这个事情不能回推，一般是从事件推概率哎可以，但是从概率推事件往往不行。好了，这是这个问题，然后第二件事情，那就是不等式问题。那在不等式当中啊，

核心重点考两个，一个事情就是大于等于零，小于等于一，那还有一个人呢，还有一个人就是这个人。就说如果你这个a啊，你是属于b的，那这时候我们一定可以凸显出来，你这个人概率啊，比这个人小。能理解吧，你的概率是比我这个概率啊，你要小的。你属于我，你的概率比我小，

所以说这个时候你都知道AB这个人呐，你是属于a，你也属于b。所以说这个人的概率比a小也比b小。能想清楚吧，好了，这是这个问题，然后接下来我们再来看看这里面当中的啊，下一个问题，那其实就是概率公式。那么，在概率公式当中啊，我们讲了好多，比如说我们讲了加法公式。减法公式，

乘法公式，条件概率公式。那么一会我们会讲全概率公式和贝叶斯公式。那么所以说这几个公式啊，你一定要会用，所以记住公式。然后是见到什么？用什么就行。啊，就这么简单，你见到加法，你用加法公式，你见到减法，你用减法公式，你见到条件概率，

你用条件概率公式。所以说这个东西的难度系数不是说特别大，但是考研最喜欢考的是这个人。你要注意啊，概率公式是最重要的，然后接下来我们再来看看第三个点，那其实就是我们讲的独立性的问题。啊，独立性那独立性首先第一个事情就是充要条件。充要条件。那如果这两个事件呢？它们之间是相互独立的，那我想问一个事情怎么进行去判断两个事件是相互独立的？你怎么判断那非常简单，它的核心重点就是判断乘积的概率等于概率的乘积。

如果乘积的概率等于概率乘积，两人之间呢，就是独立的。啊，就这么简单，就是我们共同发生的概率等不等于各自概率的这个乘积，如果等于那这个人呢？他就相互独立。当然，有一系列的这个充要条件，比如说如果a和b独立拔之间也是独立的a和b拔独立。对吧？a拔和b也是独立的，所以说这么多的，这个独立性的内容，

你得把它想清楚好了，这是第一件事情，然后接下来我们又讲了第二个问题。我们又讲了互斥与独立之间的关系。好，这个问题那么在这里面当中啊，我们分成了两个细节的一些情况，你不能说哎呀，这个独立一定不互持，互持一定不独立。那么，这里面当中，其实你要分的更细一点，那么首先第一件事你要看看诶，如果这俩人他都能发生。

对吧，不是空集，那这时候独立的一定不互斥，互斥的一定不独立。但是如果这里面当中，你去想想，如果这里面当中a的概率为零。或者b的概率为零。那这个时候啊，互斥可以推独立，但是独立这个东西啊，说不清楚。所以说你要注意一下这个问题啊，就是它们之间的一个关系，而且这里面当中啊，

我们还讲了一个非常重要的点，叫做概率唯一事件。对吧，与任何时间。之间独立。那么，概率唯一事件跟任何事件之间是独立的，那这个东西怎么去证呢？我们上节课过程当中，我们还专门讲过这个问题。你其实证明呢呃，稍微的会具有一点点的挑战性，但是这里面当中啊，你也是可以进行去证的啊，我们来看看这个事情。

来瞅一下这个东西的证明，那怎么证的呢？那其实非常简单，你发现我看看有没有下去复习一下，对吧？你稍微的话要会。如果这个人得a的概率，这个人是几是一？然后我们想进行去证明什么，我们想进行去证明a呀，与任何一个事件b，它们之间都是独立的。好了，这是这个人，那所以说这里面当中怎么去证呢？

你要想证明独立，你不就是想证明pab就等于PA×PB吗？然后这个PA的这个人概率是一，那你不就想证明pab=PB吗？如果这东西能证明出来这个人，那就可以了。然后这里面当中，我们可以用一下，你看你这个a这个人的概率是几啊，你概率是一。你既然这个人的概率是一。那么我们想想一个事情，我可以把它放大一点。那放大一点了之后的话，你发现变了之后就变大。

你变大了之后，概率就变大，因为你属于我，你的概率要比我小，但是你想想你这半边是一，你这边没有小于等于一，我就立即可以凸显出来什么？哎，我就知道了，原来a+b这个人呢，也是乙。那不就说明a的概率，然后加上b的概率，然后再减去AB的概率，那这个结果不就是解不就是一吗？

然后这个时候你发现a的这个人概率是一，那这俩人就没了，所以说我立即就可以推出来pab等于多少呢？等于PB。好了，退完了。那这样的话，我们就证明了一个概率，唯一事件，它跟任何事件之间呢，是独立的，所以我们在上次过程当中，我们还专门出了几个题。那几个题啊，你下去过程当中啊，

你可以用一下。然后这个问题讲完了之后，我们又讲了一个事情，如果在多个人，比如说三个人，四个人之间，他有两个问题，一个事情叫相互独立。一个事情叫两两独立对吧？什么叫相互独立呢？比如说三个人任意两个人独立任意三个人独立，这叫相互独立。什么叫两两独立呢？必须是两个，两个之间，

它是独立的好了，这是这个问题吧，我们就讲到这，那么接下来我们来看看今天的黄金重点内容。我们首先看看第一个问题，三，大概型好注意啊，这个内容啊是很多同学的痛点，就是我之前给你讲过这个事情，我说。所有的概率论部分内容我其实都不担心，我唯一会担心的一个事情只有这一个人，就是三大概型当中的古典概型。所以接下来我们将重点来看这个问题，古典概写。

那古典概型这个人呢？那首先我们来看看概率是怎么计算的呢？来一起看看。比如说这里面当中有一个a事件。对吧a时间。那a事件这个人的概率，他等于多少呢？它就等于。a事件可能发生的这个次数。比上什么东西呢？比上所有可能会发生的次数。就是用你的这个次数，然后进行作比就行，比如说举个例子，我掷个色子，

掷个色子的话，你发现这个点呢，它有可能是一这个点二这个点三这个点四这个点五个这个点六个这个点。哎，它有六种可能性。然后我又说直出偶数点，那直出偶数点的话，你发现它就几种，它就三种。那所以说他这个人的概率就是三个比上六个，对吧？就二分之一。那么，在初中过程当中啊，你可能学过一种方法，

叫穷举法。你把所有的情况都取出来。然后来看看这种情况，占了所有情况当中的多少分？对吧，这叫穷举法。所以希望同学们下去啊，你好好来啊。那么，接下来我们来看看这个概率计算。所以说这里面当中啊，就不可避免要进行去完成一个事情。诶，你这个事件。有多少种可能性啊？

有多少种次数啊？你这个人有多少种可能性呢？所以说这里面当中就会牵扯到一个知识点，叫做排列组合的知识点叫做。技术原理的知识点，那么所以说首先第一件事情，我们先来看第一个问题，排列组合当中的第一大难点，两个技术原理。把这两个技术原理啊，你掌握清楚了之后，其实你就能完成所有的题。所以我们在高中的时候，其实你发现老师讲的是非常满的。对吧，

从底层逻辑上就给你讲完了。就是一个原理，叫加法计数原理，一个原理，叫乘法计数原理。所以加法基础原理，乘法基础原理什么时候要用，加法什么时候用，乘法那这个事情你一定要从本质上把它想清楚。那么，首先我们先来看看第一个事情，加法技术原理，加法技术原理也叫分类技术原理。好了，这个事情就分类技术原理好了，

高中没学过基础班，也学过。那所以说就不要给自己找借口了，对吧啊？好了，我们首先看第一个事情分类。啊，分类技术原理那什么意思呢？你比如说举个例子，我们还是用我们呃这个基础班讲的这个例子，我知道你听过。你再听一下，马上我们再完成一个题，我们再讲几个题，你把这个东西啊，

你慢慢的把它渗透进去，其实没有那么难的。好了，那么接下来我们先来看看第一个事情，比如说举个例子，我从北京。然后到南京。啊，然后在这里面当中啊，你发现。由火车六层。有飞机，然后是四趟，有什么呢？这个有汽车。

三套那么同学们想想一个问题啊。你从北京到南京火车，这个东西能不能完成这件事情？能不能你告诉我能还是不能？能啊，对吧？完全可以啊，我火车可以完成这个事情啊，你不是从北京到南京吗？我火车可以啊。飞机也可以啊。这个汽车也可以啊，每一种情况都可以直接进行去完成这个。所以这是一种方法。对吧，

火车这个人可以飞机，这个人可以汽车，这个人可以，所以你看这六种情况是直接能完成。这四种情况可以直接完成这三种，所以说应该是加法的情况。每一种情况都可以单独的完成这个事情。好了，这叫分类，然后第二事情，它叫分布技术原理。乘法那再比如说举个例子，我们从这个北京。然后的话，直接到南京。

如果你走这个京沪线的话，你中间会经过这个济南。然后的话到这个啊，再到南京，比如说这中间呢，有六趟，然后这有三趟。然后这有两趟。那这个时候你发现一个事诶。你告诉我件事情，这里面当中的话，这个刘汤。三趟两趟。这些情况你把它加起来。对吧，

这个加起来这些事情应该是什么？它应该是从北京到济南的所有情况。对吧，这应该是一个类型。你这六种这三种这两种都能完成，从北京到济南这件事情。是吧，这是加法，然后的话这里说有五趟，然后这有四趟，然后这有两趟，然后的话你发现你这五趟和这四趟和这两趟。都能完成济南到南京的事情。所以如果说从北京到这个济南有多少种方法呢？你就把这些人加起来，

从济南到南京有多少种方法呢？你就把它加起来。但是同学们，你告诉我这中间是用加法还是乘法？当然用乘法。因为你这些情况的话，只能是什么北京到济南。只有这两人共同进行去完成，你才能从北京到到南京，所以他只不过是。第一步。它只不过是第二步。对吧，只有你把这两步都完成了，然后的话你发现才是总的情况。

所以中间啊，是一个乘法。能听懂我的意思吗？步骤，这是类型。所以说你一定要听清楚，如果说我这一种情况，我就直接能完成这个事情。所以说它叫类型，中间用加法，如果你只是一个步骤，那这个东西中间用什么用乘法？能想清楚吧，就说你这个人，你直接完成了，

毫无用加法。如果你只是一个步骤，两个步骤，这两个步骤共同完成才完成，这叫乘法，所以想清楚啊，这叫加法，技术原理。和乘法基础原理。然后接下来我们来看看这个下一个问题，我们来讲讲排列组合的知识点。那么，在讲排列组合知识点当中啊，你首先要理解清楚啊，这个计算我不讲了。

你说这个东西怎么算？那是不是讲了好久了？你计算这个方面，我觉得应该问题不大好了，我们先来看第一个事情排列数。排列数这个人什么意思呢？比如说我们在n个里面取了m个。这m个有没有顺序啊？那组合数是n个里面取了m个，这里面当中有没有顺序啊？这里面当中就牵扯了一个有序还是没有序的事情。就是组合数的话，就是我在什么东西呢？n个数里面。零取了多少呢？

取了m个。那取了m个的话，这个人呢？是没有顺序的。无序的你没有什么顺序。那么我就取了m个人，比如说我在十个十个数里面取了三个数。好了，取三个数，我就放在这了，这三个数有没有一个顺序关系呢？不知道。能理解吧，没有顺序，然后这个人呢，

他其实是在n个数里面。取了多少呢？取了m个数。然后这m个数有没有顺序呢？它是有的。他们之间一定有顺序，比如说我从十个数里面取了三个数，这三个数假设是三四五。他有可能是三四五。四三五五四三都有可能，这三个数还要排列。那这六当中就牵扯了一个事情，叫全排列的问题。什么叫全排列呢？全排列就是比如说我有n个数。

这n个数的所有排列情况，比如说举个例子啊，我们有数三四五。他的所有排列情况有几个人呢？那所有的排列情况的话，不就是三四五？四三五五四三吗？好了，这个东西叫全排列。所有的这个东西的排列情况就要全排列。所以像这个人呢，全排列就是n个数的，全排列就是n的阶乘。那这里面当中我就可以这样理解。你来看，

对于排列数这个人呐，我可以这样的吗？就是我先从什么东西呢？n个里面取了m个数。有没有顺序啊？没有顺序。对吧，但是这只是第一步。然后再把这m个数进行一个全排列接乘，这是第二步。你看，这是第二步，那中间是用乘法还是用加法呢？那当然是用乘法，这两件事情共同完成。

完成了它。你去看看那前面这个东西是不是这样算的，它不就是cnm在乘上这个人吗？那当然是。所以说这其实就是排列组合的内容，对吧？一个事情是技术原理。一个事情是我们的这个排列组合的基本知识点，你要知道诶，我提出来之后抽了这么多个人了，之后我到底有没有顺序啊？还有一件事情要读懂题。那这个题到底是要有顺序还是没有顺序？这个事情又很重要。能理解吧，

那这个事情非常的重要。所以接下来我们来看看这个，我上次说过了，我们会把这个。基础班呢，有一道题我们再讲一下，我把这个题啊，我再讲一遍。你不要觉得啰嗦，很快我们就讲过去了，讲过去了之后啊，我们就来看看下一个问题，这是我们在考研过程当中的第一大类型问题。这叫什么？这叫摸球的问题。

好了，那么接下来我们来总结一下这个问题。模型一。摸球模型问题，那对于摸球的这个问题啊，它有几个类型呢？它第一件事情，它有这个类型。什么类型呢？叫做一次摸一个。总共摸n次。有没有可能？我一次性就摸一个。然后总共摸几次呢？我总共摸n次。

那么，这个情况的话，它有可能。但是你这个猫n次里面当中又有两种情况。那有可能是每次。每次摸完。摸完又放回。要放回，还有一个事情叫什么？就是你每次摸完不放回，对吧？这两种情况你到底放回不放回？好了，这两种问题，然后接下来还有一种情况叫什么叫做一次就摸n个？

一次摸n个。好了，所以说这里面当中的问题点呢，就这三种。那我就想问一个事情，你这三种问题当中啊，我们来看看哪种问题，它最简单呢？哪种最简单？那当然是第一种最简单。因为你摸完了之后，你要放回去。那说明第一次摸和第二次摸是一样的。所以同学们注意，这个时候它就牵扯了一个问题，

叫做独立问题。对吧，你第一次摸和第二次摸是相互独立的。我们两者之间是独立的，那独立的话，这个事情就好做了，乘积的概率就会等于概率乘积。啊，这个非常简单，所以接下来我们一起来看看这几种模型，我就以刚才这个题啊，这个题作为样题，我们来讲讲。我再讲一遍这个题，你好好品。

不在乎说你这个题到底能不能做出来，在乎的是里面当中的每一个细节到底有没有把握住，到底是乘法呀还是加法呀，要不要去乘上几倍的呀？你这个事情都要想清楚好了，我们先来看看这道题。来操作一下吧。他说这里面当中啊，总共有100件产品。好，我们来看看。那这里面当中有100件产品。然后总共有60件正品。然后有40件次品。那么，

首先我们先来看看第一个人a，这个人表示啊，三件均为次品。然后b这个人呢？是两震一次哎，我就想问一个事情。两震一次。两这一次这个事情，他重点谈论的是结果还是过程呢？你结果吧。两针一次嘛。他没有说第一次是正品，第二次是正品，第三次是次品，他没有这样说，

他在乎的是结果，只要你这个结果是两针一次就行了。能听懂我的意思吗？哎，只要你这个结果是两个意思，所以首先我们先来看看这个第一个问题。他说，从今从中一次取一间，取三次，然后我们先来看看放回的情况。放回我们先看p0。那PA这个人呢？他说三次均为次品，那说明第一次是什么次品？第二次什么次品？

第三次什么次品？那这里面当中求解的其实是第一次是次品，第二次是次品，第三次还是次品？同学们告诉我一件事情。这个时候独立还是不独立啊，独立的独立的话，这个人乘积的概率是不是等于概率乘积呀？那说明第一次是次品的概率是多少？第一次次品的概率是一百分之四十，第二次次品的概率是一百分之四十，第三次次品的概率是多少？一百分之四十你能算得清楚吗？好了，就是这个人。

那只有这个人呐，然后接下来我们再来看看这个PB。好PB，这个。那PB这个人呢？他说两震一次。两震一次的话，这个人的话有几种情况呢？你不是要这个结果吗？你有可能第一件事，正品正品次品，这是两种意思，你有可能是正品次品正品两种意思。你用的是次正针，两针一次，

所以说这个时候的话，你会发现就有三种情况。第一次是正品，第二次是正品，第三次是次品。对吧，这是两阵一次一个呢，是第一次是正品，然后第二次是次品，第三次是正品。然后也有可能是什么第一次是什么品，第一次就是我们的次品，第二次是正品，然后第三次是正品。有没有可能性？

是吧，这三次其实你发现它都能成，为什么两针一次？那所以说接下来我们来算一下吧。第一次如果是正品，那是一百分之六十，因为独立的。独立的话就等于各自概率乘积，那第二次呢？一百分之六十，第三次呢？一百分之四十。然后这个的呢，一百分之六十一百分之四十一百分之六十一百分之四十六十六十，所以说这里面当中乘个三是不是就可以了？

能听懂我的意思吗？所以你看看，如果你详细一点的分析啊，他就这样理解。好了，这是我们在这里面当中啊，讲的这个第一个事情，你要注意啊b这个问题，他在乎的是什么？他在乎的是两震一次。啊，两针一次在乎的是一个结果。这个结果如果这里面当中他问了一个什么情况？如果你发现我再加一问。我们说第一次是正品。

第二次，第三次都是次品。那这个人怎么算？那第一次是正品，必须是正品的话，一百分之六十，第二次是次品，一百分之四十，第三次是次品，一百分之四十。那这个时候需不需要乘以三呢？不需要。为什么呢？他说清楚了，他必须是正次次。

它规定了这个顺序，它必须是这种情况，所以你要体现出来这个东西到底是有没有顺序的问题，把它想清楚。好了，这是我们讲的这个第一件事，然后接下来我们再来看看第二件事情播放会。不封。如果这东西不放回啊。你就会发现哎，这个东西啊，它就不独立了。对吧，不独立那不独立，不能用乘积的概率等于概率乘积了。

对吧，你就不能这样算了，所以说这个时候我们就用古典概型的方式来做。那怎么用古典概型的方式来做呢？就是你发生的数比上总的数。好，我们先来看看总的情况。总的情况其实就是摸了三次。第一次有多少种摸法？100种，第二次有多少种？99第三次有98，这中间是什么法？这中间是乘法。只有这三步都完成了，

才算完成了，摸了三次球。是不是这个情况好了，我们再来看看第二件事情，那么他说的是。三次均为次品，那同学们告诉我，第一次必须是次品吧，有40种，第二次有39。第三次是38，只有这三次都完成了，才会算什么？才会算三次都为次品，所以中间是乘法，

它只是一个步骤。你这是第一步，第二步，第三步共同完成它这个东西啊，才会是三件次品，那次次次就是次次次。所以说这个人呢，就这样算，然后我们再来算算PB。PB这个人，然后这是NB那PB这个人的话就是199，然后这是98。那PB这个人，他要求的是两帧一次。两针一次，

这个人呢？他就有可能是。正阵次因为你这一次性摸一个就有顺序了嘛。对吧，有顺序了，你有可能是第一次摸到什么品呢？摸到正品有60种。第二次正品59，第三次是次品是40，有没有可能性？有可能也有可能是什么呢？也有可能第一次是正品，它多少60种，第二次是次品40种，第三次是正品59。

然后也有可能是什么呢？第一次是次品，第二次是正品，第三次是正品。那同学们想。这几种情况，它都算两针一次吧。这都是可能性啊，因为你一次性摸一个嘛。你第一次摸的是什么？你第二次摸的是什么？你第三次是摸的什么？能想清楚吧，所以说这个东西啊，它就牵扯了一个问题，

你就要进行怎么乘上个三？好了，同学们，你想清楚了吗？因为镇镇次算。两针一次。震四四算两震一次，四震震算两震一次，这是不是一种方法呀？这是一种方法呀，这是一种方法呀，你想想这中间用加法还是乘法呀？这算两针一次吧，这算两针一次吧，这都算因为你一次要摸一个嘛。

啊，所以中间是要用加法原理。好了，这是我们讲的这个第一个事情，来再来看看第二件事情。最后一种情况是最简单的。能理解吧，把这个东西你一定要多磨一磨，所以其实问题点不是说特别难的。好了，我们再来看看下一个问题。那如果说一次性取一件呢？取三件呢？一次性取三件，这是最简单的。

你想想这是总数，然后这是a我问你个事情吧，你在这里面当中一次性取了三间。中间有没有顺序啊？不是抽了三件吗？他没有管你，你摸了三件，这三件摸出来之后哪有什么顺序啊？你就抽三件。然后这里面当中说。三件均为次品。那三件均为次品的话，你就直接在这个次品当中抽三件不就行了吗？你结束了呀？好了，

这就是40里面抽三件次品，这是三件次品呗。这个非常简单，然后再看PB PB的话，这是NB比上多少呢？这个人。那这个全集的情况的话，是100里面抽三件好了，我们再看PB。NB要求的是什么呢？要求的是两震一次。啊，就是你发现我最后我的结果是两针一次，那怎么办呢？那你就在这个正品里面抽两个呗。

四瓶里面抽一个了没？那这是第一步。这是第二步，所以中间要用乘法结束了没有？结束了，你就要一个两针一次嘛，那你你抽一个两个正品塞进去，你抽一个次品塞进去，那不就两针一次吗？你结束了呀？你说要两帧一次啊，那两帧一次的话，你你你抽个两两两个正品扔进去，你抽个次品扔进去，这不就两帧一次吗？

我又没有什么顺序关系啊。如果你想要这个两正一次一个顺序关系，你还要在乘上让这个三个人进行一个全排列。能想清楚吧，所以这其实就是我们的这个问题，而且我们原来基础班的时候还算过，你把这个东西进行计算一下。你把这东西计算一下，他刚好跟这个人情况是一样的。所以说这里面当中啊，其实就是我们的第一种类型问题啊，第一种摸球问题。那这种摸球模型呢？里面当中啊，是考的这个比较多的一种啊。

难度系数不是说特别大啊。这个问题。所以说这里面当中的这个第一种情况，你要记住了。你叫什么东西呢？叫做如果在这里面当中，每次摸完不互放回跟一次性摸n个是一样的。所以现在我们就会了。如果是放回的时候就独立的问题，这太简单了。如果播放回的时候比较难，但是我可以把它转成一次性摸n个来做。对吧，转成一次性摸n个，你要注意啊，

每次摸完不放回，比如说我摸了一个不放回，摸了一个不放回，它就相当于一次性摸了多少个？这个概率是一样的。能想清楚吧，好了，这是我们讲的第一种摸球问题。好了，像这个问题啊，你必须要会算。那么，接下来我们再来看看第二件事情啊，第二个点我们来看看二五五这个题。像我们在做这个古典概型的题的时候啊，

有的时候你还必须要具备一个能力。你要知道它的对立事件到底是个什么？这种能力，那比如说我们看这个题。他说一个袋子里面当中有五个红球。三个白球，两个黑球。然后在其中任取三个球，则至少有一个球是白球。至少有一个。我就想问你个事情。你从里面取了三个球，白球有几种可能性，有可能是零个白球，有可能是一个白球，

有可能是两个白球，有可能是三个白球。是不是啊？他有这四种可能性，有这四种可能性的话，他说至少有一个白球，那你算这个人不就行了吗？那么，就算零一个都没有，那零多简单啊，所以说这里面当中我们想进行去计算的。这个PA那么这里面当中，我们就算一下一减去多少PA吧？然后这个a把表示是什么表示了一个白球都没有。对吧，

一个白球都没有。那一个白球都没有的话，怎么算呢？那说明的话，你发现这里面当中，我们来看看这个事情，那就说明在这里面当中五个球里面，我们进行取。那在这里面当中怎么去取呢？五个球里面这个是总共几个球啊？五个球，三个球，两个球，然后总共球的话是十个球。总共十个球的话，

我们就在十个球里面取了三个球。一个白球都没有，那说明不用取白球就行了，你就在剩下的七个球里面取，取几个取三个就行了。能想清楚吗？那不就是这样吗？那它的可能性就是你在这里面当中，随便取三个可能性就是这样。所以接下来我们来算一下一减，这是十九八。然后这是七六五。然后它的分母都是三二一，你这个三二一和下面的三二一约掉了，我就不写了，

那就这个情况，所以接下来我们来算一下。那算下来之后的话，你看这个人是约一下的话，这个人还留个二，然后这个人约了一下，还留了个三，对吧？这还有个四。呃，然后的话，接下来你这个三还能约一下的话，这个留着个三。所以说这个人是一减去四六二十四分之七，然后这是24分之多少，

这是17。好了，这个题啊，正确结果选一这种不难吧？但其实你发现我们很喜欢考这种题。啊，这种题一定要会算，这是喂到嘴边的题了啊，这个非常简单，好了，听明白了给我回复一。不是特别难哦，这个题。那么，接下来我们再来看看下一个问题啊，

我们再来讲讲这个题。256题，这个题。好，这个题啊，就比较特殊了。那这个题的话，你发现他说什么问题呢？他说五双不同的鞋子。你看这个读题能力。五双不同的鞋子总共有几只鞋子？啊，总共有几只啊？呵呵。有几只鞋子，

有十只鞋子。要注意啊，它这它是这个情况。对吧你你你这是一双。然后你这是一双。然后你这是一双。好，总共是什么？总共十只鞋子。那十只鞋子的话，你发现他说我随便的去取四只。然后四只鞋子当中至少有两只配成一双，我们先不说别的。我们先看第一个问题。同学们告诉我，

它的全集空间是什么？啊，全体空间。那全集空间的话，你发现不就是在十只鞋子里面去取多少呢？十只鞋子里面取取四只嘛。所以说就是十只鞋子里面取四只，这就是所有情况，我取了就行了，我管你，你这四只鞋子需要顺序吗？不需要。就是十只鞋子里面取四只。然后下面这个问题啊，我们比较重要，

来看na的情况。他说四只鞋子里面。至少有两支配成一双。我就想问一个事情。四只鞋子里面。顶多有几双，有顶多能配成几双。啊，大家想想。这个四只鞋子里面能不能配成一双？能不能配成两双？有没有可能一双都配不了，有没有可能？啊，你四只里面当中有可能配成一双嘛，

你配成两双有没有可能一双配不了？他说至少有两只配成一双。那就说至少配成一双，至少配成一双是这个人的不好算，我就算反面。那这个反面是什么呢？反面时。四只一双。都配不成。对吧，一双都配不成，哎，问题来了，什么叫一双都配不成呢？那说明这四双四只鞋子。

分别来自于四双不同的鞋子，你能理解我的意思吗？是不是啊？说明这四只都不一样。那就说明你有可能在这挑一只，这挑一只，这挑一只，这挑一只。那想不想想哎，能理解这个事情就行，那所以说现在的一个问题点就是。你在哪里面？哪四双鞋子里面挑了四只呢？那么所以说我们先这样。我们先在五双鞋子里面取了四双。

好了，假设就是这四双。这四双的话，你发现每一双鞋子里面取一只。对吧，在第一双鞋子里面取一只，第二双鞋子里面取一只，第三双鞋子里面取一只，第四双里面取一只，好它就会导致这个情况。那也就说我先进行干嘛？我取了四双鞋子，我要知道在哪四双鞋子里面每一双鞋子里面取一只。就这个情况好了，我问一个事情，

这个中间是乘法还是加法呀？那当然是乘法呀。你这个人取一支，你这个人取一支，这个人取一支，你才算共同完成这个事情，然后有这么多种情况，你乘上它。那不就行了吗？所以说这个人的这个概率他就出来了，他就等于一减去，然后是c14。然后是c五四×2×2×2×2。好了，这个结果。

然后最后算出的结果是多少算了，我们算一下吧，然后这是一一减去。然后这是五×2×2×2，然后接下来的话，这是十九八七，然后这是多少？四三二一你自己算啊，你算出的结果是多少？是二十一分之十三是吧？好了，这个。所以说这个题啊，不是说特别难。对吧，

你最重要问题就是你要理解。去理解他到底在说些什么事情，就是你把这个题读懂了，他就很简单。好了，这是这个问题吧？二五六。所以像这个全集空间，全集空间肯定都能找到。好了，这是这个问题，256。那么，接下来我们再来看看下一个题，那么下面这个题的考点叫什么呢？

这个考点叫分球模型。好了，我们来看看这个下面一个问题。好，再来看看第二个点分球模型。分球。那对于分球模型这个人呢？他到底是个什么意思呢？我们再来看看这种点。好，先看这个人。那这个人呢？他我们先直接来提吧，对吧？他说把三个球。

放到四个盒子当中，你先不要看后面这句话。你后面这句话问的是这个a时间。那么，前面这个情况就是全局空间。什么意思呢？我这里面当中有四个盒子。对吧，这是一个盒子。然后这里面当中有两个盒子。啊，然后的话，我们总总共有几个盒子呢？我们总共有四个盒子好了，这有四个盒子，

这四个盒子里面，然后的话，我们这一块有几个球呢？我们有三个球。啊，然后的话，你看这是一个球。然后这又一个球。啊，然后的话，这还有一个球。好，我们有三个球。有四个盒子。有一个是空着。

完了完了，那这这种读读题能力，那这题没法做了呀。我万一这三个球全在这个盒子里面呢？那这三个人都空着呢。不不是这样子，人家又没有说每个盒子里面只能装一个球，人家没有说呀。你注意这个问题啊，你没有理解这个事情，你要知道什么叫样本空间。你先不要看后面这句话。它的样本空间是什么呢？就是三个球放入四个盒子当中，有多少种放法？

能理解吧，好这个人那三个球放到四个盒子当中有多少种放法呢？那有些同学是这样算的。说我这个盒子里面有可能有三种情况。我这个盒子有三种情况，我这个盒子有三种情况，所以说我是三的四次方。然后有同学说，哎，我这个球有四种方法，我这个球有四种方法，我这个球有四种方法，然后就是四×4×4。然后是四的三次，到底是谁呀？

啊，我就很想知道是三的四还是四的三呢？啊是三的四还是四的三呢？大家注意这种想法肯定是错的。你是去放球还是球被放啊？那当然放球球是一个主不是，是球去放还是这个盒子要进行去吸球啊？当然是的话，你要发现一定是求序方求是主体。你想想你说这个盒子里面有三种情况就是错的。为什么它也有可能是这个盒子里面没有球啊，你看你这个方向就有问题。你不能说有一个球，两个球，三个球。

他有可能没有穷。你想想是不是？所以人家这个题的核心的话，应该是去研究什么人家的核心是研究球呢？我这个球一定会放入一个盒子当中。所以我这个球有四种方法。我这个球一定会放入一个盒子当中，所以说我有四种方法。我这个球一定会放入盒子当中，我有四种方法。你要想去想这个箱子了，你这个箱子里面有可能没有球啊，但是球一定会放入一个箱子，这件事情是事实。所以它是四的三次方。

能理解吧，好了，这是这个问题，所以你要注意这种分球模型的这个全集空间，我把这么多人。我有n个球，我放入m个箱子有多少种方法呢？第一个球有m种方法，第二个球有m种方法，第三个球有m种方法，所以是m的N次方。你要把这个事情想清楚。那么，接下来我们再来看我们要求的是什么呢？我们求的是这个人。

他说，恰好有一个箱子。恰好有三个盒子，各有一个球。哎呀，这个情况的话，你发现你恰有三个盒子。你恰有三个盒子的话，你发现首先第一个事情你要知道是哪三个盒子，你是不是要先在四个盒子里面取三个盒子，你先是取。你先给我取了。我们先选假设是这三个盒子。这三个盒子，你想想。

他有可能是这个球落在这儿。有可能是这个球落在这儿。有可能球这个球在这儿。是吧，那也有可能是这个球在这儿，这个球在这儿，这个球在这儿，所以同学们注意，你就把这三个球放到这儿，然后进行一个全排列不就行了吗？能理解吗？我们就把这三个球放在这调换一个来回，一个顺序不就行，来个全排列，那不就结束了吗？

所以我们再让这个东西排一个顺序。好出来了。这其实就是这个题，那所以说我们来看看这个PA就等于多少呢？PA就等于四的三次方。然后接下来的话，这个人是c四三就是四，然后这是三×2×1。好，你去算一下，你约一下四四一十六，然后这是三乘二乘一约一下八分之三，所以正确答案选几选？选c好了，这是这个问题对吧？

分球模型的问题。这其实就是我们在这里面当中的这个操作性啊，这种题目你说难呐，你去你去问一个高中生。他都会觉得这种题都懒得考的。没有丝毫难度系数，你要这种题你都觉得难，那真没有办法，你多多读读读啊。好了，这个问题。好了，这是我们讲的这个模型二。能想清楚吧。好，

这个基本问题。那么，这其实就是我们的第二点。叫做分球模型。对吧，就是你要理解清楚的话，这个分球模型到底是怎么分的？好了，这是这个问题，分球。然后接下来我们就继续，我们再来看看这个下面一个问题啊，这是我们讲的这个点，那么还有一个问题叫做抽签事件的问题。那抽签事件的问题，

一会儿过程当中，我们再来看。啊，我们一会再来看抽签时间。那么，接下来我们再来看看呃，这个上次过程当中还有几个题没有讲，我们把这几个题啊，我们再来讲讲。好，来看看二四九这个题。看一下这个题。这个排列组合呀呃，你你要理解这个事情排对吧？它到底是一个什么样的一个情况？

你其实最后而言的话都是一个读题能力了。你有些同学一直不敢做。而且你心里面老觉得这个东西难，老觉得这个东西难，每次碰到他你就说非常怯，那这个事情就非常恶心了。好了，我们来看看这个二四九这个题来读题。他说，一批产品当中。有一等品，有二等品，有三等品。然后分别占了60%，30%，

10%，这是它的比例。然后说从军从中任意的取出一件，结果不是三等品，同学们。这个事情发生了，没发生。已经发生了。他是在这个发生的这个前提条件下，他说取到的是一等品。所以我就把取到的一等品叫它二等品，叫它三等品，叫它。所以这个题是个什么题啊？这题是个条件概率的题，

有的意思是想那个跟那个全概率和贝叶斯贝叶斯也是个条件概率。那这个题问的是什么？问的是已经知道它不是三等品。问你在这个条件下是一等品的概率。那不就是这个情况吗？那所以说在这种当中，我们用一下条件概率公式，那其实就是a三八分之PA 1a三八。好了，我们来看看这个人。那这个问题点的话，第一个事情就是我取了一间。它不是三等品的概率是多少？不是三等品，不就是一等品和二等品吗？

所以说这个人呢，是十分之九的概率。好了，这个人，然后再来读一下上面这个人，他说。适宜等品。不是三等品。什么鬼呀，什么叫是一等品，且不是三等品，这什么玩意？甚至语文能力。你去问一个小学生，你说是一等品，

不是三等品是什么？那不就是一等品吗？所以这东西就是一等品的概率，一等品的概率是多少十分之六，所以说就是九分之六。三分之二，所以答案选b。好了，这是这个事情，那么其实像这种题啊，你发现一个事，我们来看看方法二。那方法二的话，你发现一个事，我们再来看。

那这个当中其实还有一种方法叫做缩小样本空间的方法。那缩小样本空间的方法，他怎么做的呢？其实这个概率非常的简单。就是你想想一个问题，他说已经不是三等品，这件事情已经发生了。其实我们就相当于不看这个人了。因为这是个铁一样的事实，就不是你。然后是一等品，是不就相当于在这个空间里面进行去摸到一等品，那不就是。九分之多少六嘛？三分之二。

是不是啊？因为已经不是三等品了。这件事情已经是个前提发生的情况。已经不是了，因为这件事情已经发生了，这个方法叫缩小样本空间法。你一定要理解清楚，我什么时候才能缩小，因为我们讲这个求概率，求概率是一种可能性。就跟我上节课给你讲过一个样子。说我们这个箱子里面当中啊，有十张彩票，有一张彩票是100万。然后现在有一个人呢，

一摸摸到了100万，问他摸到100万的概率是多少，那还鬼的概率啊。那这个概率是几啊？那概率不就是一吗？那他用求什么概率？已经摸到了呀。其实这件事情谈到概率都荒唐，那说明你不懂概率论。因为这件事情就不能进行去谈概率。谈到概率都荒唐，因为它已经发生了。所以你要明白这个事情，现在这个人呢，他已经不是三等品，

我知道了，你不是三等品，然后问一等品不就是在这个空间里面进行去判断吗？好方向性把它把握清楚，这二四九来再来看看下面的题。好，再看这个题。二五零，继续。他说有一批零件，有十个零件，五个是不合格的，那五个是合格的。然后说从中一个一个的取出，而且不放回。

第三次才取出不合格品，注意这种点跟我们刚才讲的那个摸球事件不一样。人家说的是第三次采取出不合格品。那说明这个情况是什么呢？那就说明第一次。第二次。第三次。第一次必须是什么？第一次必须是合格。第二次必须合格，第三次必须是不合格。能理解吗？所以说现在而言的话，我们进行去求一下概率，那你想你这个事件的一个情况比上总的情况。

总的情况有多少种？第一次摸有十种摸法。第二次摸有九种摸法，第三次有八种摸法。这个没问题吧？你这总的情况嘛，你就摸就是总的情况，就是摸了三次。哎，总的情况就是摸了三次，摸了三次，第一次有十种，第二次九种，第三次八种，这没有任何问题。

然后我们来看看我们要求的na是什么呢？第一次必须是合格。第一次是合格，有几种模法五次。第二次的话，有这个合格的话，有就有四种，第三次不合格呢五种。所以同学们，它还有一个顺序吗？那么，这种情况需要陈三吗？不需要，人家不是问两合格品一次一次不合格品，人家问的是第一次合格，

第二次合格，第三次不合格，只有这个顺序，别的情况不行。你要是第一次不合格，第二次合格，第三次合格，这也算两合格，一个不合格，但是他不是我这个情况。所以它只有五×4×5。而且这是第一步，第二步，第三步共同完成才算完成的这个事情。所以最后的概率就是这个人选几啊。

约一下吧，你这个人约掉了之后的话。还留了个二，然后这个约一下了之后的话，还留了个二。呃，四九三十六分之五。好了，这题啊，正确答案选a。好了，这是二五零这个题能想清楚吧？好，我们再来看看最后一个题。再来读一下这个题，

这个题啊，我觉得非常好啊，这个题。他说了一件事情，他说甲和乙啊。俩人独立的向同一个目标设计一次。请注意重点词，独立的。对吧，我们是相互独立的，向同一个目标设计一次。你打你的，我打我的。然后你命中的概率是。零点六我命中的概率是零点五。

那么说已经知道该目标命中则它是假命中的概率不？如果你说贝叶斯跟这种东西它不一样，其实你还是没有理解清楚，贝叶斯也是一种条件概率。贝叶斯本来就是一种条件概率。条件概率就是一种条件概率，贝叶斯也是一种条件概率，很多人说那这是条件概率，这是贝叶，贝叶斯不就是条件概率吗？所以一定要理解清楚这个事情。那么这个题啊，它考的是什么呢？说已经被命中，我就很想知道。

比如说啊，这个假命中角a事件。乙命中叫b事件。a叫做假命中。b叫做什么已命中。我现在就有一个问题。命中是什么呀？啊，何为命中啊？非常好啊，这个呃，小丫头非常好，非常棒。对吧，什么叫命中呢？

你打中，或者我打中。所以说一检不命中。啊，注意啊，命中的情况就是。你命中或者我命中，这就叫命中。有可能都打中。对吧，有可能都打中，所以说这个情况的话，你要理解，你打中了，或者我打中。

啊，你打中也行，我打中也行。好叫a并b，所以这个考点非常棒。那么，接下来我们看看这个题考点是什么呢？它考点是。已经知道命中的条件下。是你命中的概率。好，这个人那么所以说这个人的概率怎么去求呢？其实就是a并b分支，然后上面是多少？是a进行去教。

交上多少呢？a并b。那么，然后接下来我们就进行计算，你发现下面这个人，你下面这人是PA，然后再加上PB。再减去多少pab好了，我们再看看上面这个。上面这人是a交a，那a交a是谁啊？那a。再并上a交b。这没问题吧？用一下分配律吧。

那告诉我这两个东西一并是谁呀？那谁大呀？a大呀。对吧b取大呀，那不就是a吗？所以说这个题啊，马上出来，那这个a命中的这个他命中的概率是零点六，然后这是零点六。然后这是零点五。而且因为这个东西是独立的。那独立的话，你发现乘积的概率就会等于概率乘积，所以说这人就等于零点六去乘上零点五。你看这个题，

这题出的非常精彩。所以什么叫做命中？对吧，命中是什么意思？你打你的，我打我的，什么叫命中a并b？这个考点非常棒，要想清楚。好了，这是这个问题点吧，我们把它想清楚就行啊，这个人。可以啊，可以用对立事件求。

啊，一样的好了，这是我们讲的这个事情。对吧，二五幺。就是你命中或者我命中。哎，他就叫什么，他就叫做命中。你也可以说这个东西呃，不命中不命中的话就是你不命中我也不命中嘛，一样的，你去算一下吧，是一模一样答案。那就是一减它乘上一减它。

那就是零点四乘上它，零点二零点二的话，之后的话是零点八零点八的话，你看这是一点一一点一这个一减零点三还是零点八？一样的一模一样，你可以那样做啊。好了，这是251题，这个题。所以想清楚什么叫命中把命中这个事情想清楚就行。行吧，那么这个题251题，这个题能想清楚吧，所以你自己下去啊，你好好进行去处理一下，

这个相对应的问题。好了，这是我们讲的啊，这个分球模型呢，之后啊，我们把上节课过程当中啊，有几个题去讲一讲。那么，接下来我们再来看看这个下面一个问题，我们再来讲讲啊，几何概念？几何概写呢？是一种比较简单的问题了。那对于几何概型的问题啊，它其实比较重要的是。

你要知道，你要会引入变量。那么，先来讲讲这个几何概型吧。那几何概型这里面当中，我们讲细致一点。比如说投石子的问题。那这个问题的话，它其实是一个一维问题。啊，一维问题。那比如说我们在这里面当中a到b上进行投石子。我然后问你什么了，我问你投到这一段的这个概率。投到c到d上的概率。

那你想想你往这上面投石子，你这个长度占得越大，你肯定概率越大呀。所以我们这个时候的概率就等于多少？我们的概率其实就等于这个a事件，它的一个长度。a事件的长度。比上总的这个长度。a事件这个长度是d-c，然后这个人是b-a。好这个人，然后接下来我们再来看看第二件事情，其实你发现。一维的几何概率啊？几何概型其实就是一个均匀分布。

你到时候学均匀分布你都知道。它求概率其实就是一个什么长度之比，它本来就是一个均匀分布好，我们再看第二事情。你继续看，如果接下来我们往这个上面区域进行投石子。好，我们再来看，我要往这个区域上进行投石子。然后我问一个事情。我说投到这个区域的概率是多少？对吧，你投到这个群。所以说这个时候其实就变成什么。变成a的这个人的面积比上什么比上这个人的面积？

所以说就等于sa比上s塔。这个东西啊，其实是二维的均匀分布，你真的很很好想。你先把自己给跳出来。有同学学了这些这些知识啊。它其实你发现这有很多，尤其是概率的东西啊，它跟我们实际上的这个问题是挂钩的。你比如说你要往一个区域上投石子儿，你往这上面投扔扔石子儿说你扔到这个区域的概率是多少呢？那不就是这个人的面积比上总的面积吗？所以像我们的考试啊，我们能考到这个二维的情况就行了。但是实际上这个问题啊。

他有的时候的话，他会变着花样信心去考。所以在这种当中，你就会发现。如果是一个一没问题，里面当中其实只有一个自变量。如果是二维问题，应该有两个变量。所以像这种问题，它最重要的事情其实是引入变量。你不引入变量这种题是没法做的。所以说，对于几何概型的问题啊，它比较关键的一个事情就是什么呢？好，

我们来看看。解题集合概型。那对于几何概型而言呢？他最重要的问题就是你要学会将实际问题。引入变量。变成数学问题。好，这个点，所以原来我们基础班呢，有点抱歉。我以后不说那种话了，说什么建模有同学觉得啊，这个问题你自己想想，这个点其实是在第一章当中最简单的一个知识点。一说到建模呀啊，

这好厉害厉害啥呀，你其实就是我们在将这个实际问题当中最重要的一个问题，就是你一定要给我引入了变量。把变量给我引进来。你没有变量，你哪来的实际问题啊？比如说人家说一个事情，人家说。呃，比如说我们基础班讲过的一个题，会面的问题。说我们能不能碰面啊？是吧？我们从九点钟到十点钟，我们到我们只只等15分钟，

我们能不能见面呀？然后你你解数学问题的时候，我们能不能见面？什么叫见面？对吧，什么叫见面？所以说这里面当中你没有变量怎么行呢？所以一定要引入变量。比如说人家说我在九点钟到十点钟到，我就设你到的这个时间点为九点多少分九点x分。你没有变量，你怎么去研究啊？你到我就说你到的这个时间是多少？九点x分，你到是多少？

九点y分。好了，这是这个问题，所以接下来我们再来看看这个第二点。你变成数学问题，然后根据变量情况。确定范围，求解概率，所以这其实就是我们在这里面当中比较重要的事情，如果这两段话有作用。我觉得比较重要的一句话，其实就是引入变量。就是引流变量。对吧你，你给我引入变量，

你得引入这个东西，你没有变量，你没法研究，所以接下来我们先来看一个题。比如说这里面当中，我来给你找了一个题。好，先看第一个题。那第一个题啊，它这样说。他说我再去，你看这种题就简单。明显的高考题，这种题就简单，他说我在这个区间内随意的取两个数。

你就不应该说这个数是多少，你就直接说我在这个区间内取两个数。对吧，你就不应该说这个xy好了，他说了，他说的话就说我在这个区间内取两个数，一个是x，一个是y。说两数之和，小于四分之五。两数之积，大于四分之一的概率。同学们想想。这是什么？这是限定之后的吧？

这是不是叫限定之后了？这就要求。对吧，你这是要求。我的全集空间是什么？全集空间就是取的这个数，没有什么要求。全集空间就是你给我取两个数。他说那后面有要求，那是后面的事情。什么是全局空间？全局空间是把数控取出来就行，那所以说你告诉我取的第一个数的范围是多少零到一，第二个数范围多少零到一？这是全局空间。

拳击空间就是把树给我取出来。对吧，这事你要会读，然后接下来我们再来看那a事件是什么？a事件说诶，你这两数之和一定要小于四分之五，你这两数之积一定要大于四分之一，这是。他的要求，所以现在我们看。那这个人怎么进行去求这个概率呢？哎，我发现。这个人的话是两个变量的问题，那这个东西不就是个面积问题吗？

你现在看这个全集的情况的话，就说只要s是零到1y是零到一就行了，也就说我占领的范围有这么大。这是我占领的范围。然后它占内的范围呢，是x加y小于四分之五，那么所以说首先第一件事情，我们先来看。小于四分之五。好，这个人这是一这是四分钟。小于四分之五，然后这个点是多少？你这个点的话，你刚好是。

四分之一。一然后这是多少一四分之一，大家能听得懂吗？因为你很简单嘛，你这个长度四分之一，这个长度四分之一，你这个四分之一，这四分之一。好了，这个人而x×y。四分之一，它不是刚好过这，你看你刚好过这个点。就说我这个人呐，我刚刚好，

我就过这个点。那现在比它大，那就是这条线的上方。然后这条线的下方，那不就求解这个人吗？所以说最后的概率是多少呢？其实就是这个人比上总的面积，那因此我们就要来求解了。PA的概率，它就等于sa再除上s总。sa的这个面积是多少呢？我们把它算一下。把它投下去，这是四分之一。那求这个部分的面积啊，

你可以先求总的，然后这是一你告诉我这个是上底是多少？你上底是一呃，这个这是四分之一。上底四分之一，你下底多少？你下底是一，然后你再乘个高，你高是多少？你高是四分之三？然后再除一个二。上底加下底，乘高除以二就是这个梯形的面积。这个梯形的面积，然后再减去下面的四分之一到一对这个什么呢？

这是这条线，这条线就是y等于x分之四分之一。这条线对吧？其实就是x分之四分之一这条线，它的积分，然后再除以总的面积是一乘以一。好了，听懂了给我回复一。所以像这种题啊，你一定要注意它的这个建模的问题是非常重要，你到底在说什么事情啊？你说的就是这个点。对吧，这个什么叫全集呢？全集就是取两个数就行了，

我管你这两个数怎么样呢？他说我这两个数它不是有要求，那是后面的事情。你这个点的话，把握清楚的就是你取两个数。你把这两个数给我取出来就行了。好了，这是第一个问题，能想清楚吧？好了，学会了吧，自己算行不行？啊，不会算下课来找我，找我也没用啊，

这我不会给你算的。好了，这是一点，很多说老师那个我我不敢赌定，我把这个东西算对了，找一下你初中的表弟给他算啊。好了，这是这个题，那么接下来我们再来看看这个二五八这个题来看这个人。那这个题啊，来继续。他说，长为两米的这个线段上。随机的进行去取两个点。好了，

这个题啊。出的比较有意思。长为两米的这个线段AB。也就说你现在这个线段长是多少？你现在这个长度。你这是a，你这是b，你长度是两米。然后的话说，我在上面随意的投两点。你想想这个题啊。他没有坐标系的。有人在那凭空想你没有坐标系，你怎么想？你肯定得有坐标系。

所以说怎么建立坐标系最简单呢？那当然是沿着正半轴建立比较简单，很多人说我在这建立，这是负二。行，可以，但是。那哪有零到二简单啊，那所以说你就在这选零这选二这多方便啊。你比如说以二为原点，那这负二也行，可以。反正你想清楚就行了，我们喜欢的是身板边。好了，

这是这个问题，我就建立一个坐标系，那现在怎么办？他说随机的向这上面投两个点。这是不是全局空间？那全集空间的意思就是我投两个点就行了。我是不是投两个点就行了？所以人家说全局空间，我就是在上面投两个点，你是不是要引入一下，假设你投的这个点是x，你投的是y，那行不行？所以我们首先第一个事情，你投的这个是x。

你投的这个人是y。好了，这是c点，这是d点。能听懂吗？我们说那你怎么知道c在这d在这你管我呢？一会我们看的是距离，你就别管这个事情了，来告诉我全集空间怎么写？全集空间就是投了两个点。我就是投了两个点，那我这两个点没有什么要求啊，那所以说c这个点呢，你s是零到，比如说那老师万一投到那个b的外面去了。

你这个题是怎么走的？人家说往现代AB上投两个点，你偏说投到AB的外面去，万一大于二怎么办？我跟你讲，我跟你没话说。我不想理你。能想清楚吧，没有那种可能性，然后这个y这个人呢，也是领导人。能想清楚吧，人家往那里面投，所以说你这个x你肯定是在零到二，你这个y肯定是在零到二。

好了，这个情况，然后接下来我们来看看诶，这个事件a是什么呢？它事件a是这样。这是事件a。事呃，比如说这是事件什么呢？这是abcd都用了嗯。你你给我想一个。事件a1可以吗？那事件a1的要求是什么呢？事件a1的要求啊，它非常简单。它的要求是。

c和d之间的距离，你看距离，所以说我们就不用管这个事情了。啊，这是a1。就不用管c和d之间的距离是y跟x之间的绝对值。是吧，这是两个距离，你别管谁搭，我在中间加绝对值就行，然后说比什么呢？比a点的距离近。比c到a的距离近，那c到a是多少呢？就是x- 0呗。

它要近，要小。所以你别管这个人在左边还是右边，最后加了绝对值就行。好了，像这个问题。立即就出来了。所以他说这个距离比他近。那说明他比他小。那么，接下来我们就可以求解了，请问有几个变量？我这里面当中啊，有两个变量。有两个变量的话，

你发现这个全集空间就是多少？那全集空间就是二。那所以说这里面当中，我们就可以怎么办？我就可以把这个图画出来。来看一下这个人。好，这个问题那么现在而言的话，关键是这个人怎么求？那这个人我们按照我们坐标系建立的多完美啊。你这是y-x，我坐标系x很明显比零大，那这人就是x。所以y-s这个人就小于s大于多少负s。所以说我这个y就小于多少2s，

然后大于多少大于零啊？那y=2 s是多少？y=2 s的话，你发现是一的时候的话，它刚好是二。然后说我要比林大，比这个人小人说那是不是只有这块？不不不，是这个意思，你这个线很长的。整个区域的下方，整个区域下方的话，应该是这么大一块。能听懂吧，比零大比这个小，

所以这占了多少呢？那这个概率非常简单了，那很明显占了总的面积的四分之一倍。是吧，你这是一半一半，然后这是两杯。能想清楚吗？啊，你把这个对应下去就行。所以现在的阴影部分呢，占了总的部分的啊三分。好了，这是我们讲的这个基本问题啊，这是四分之一答案选b。好了没？

会做了吧，所以没有变量。就谈不起来这个问题。你没有变量，就分析不了，你没有变量，我就没法进行去理解这个事情。所以像这个问题点呢，你下去好好进行去看看。好了没啊？哎，四分之三了。好了，这是这个问题吧啊拉倒。选a哦下。

好了，这是这个问题，能想清楚吧，下方啊，不是上方。那么，这是我们在这里面当中啊，讲的这个第二个问题。啊，第二个，然后接下来我们再来看看第三个事情，伯努利改型。哎，不努力。但是伯努利概型这个东西啊。

我不太想，想先再讲我喜欢什么时候讲呢？我觉得我们现在是个强化班同学。就不要把这个东西单独来学了。这个东西其实就是二项分布。这个人就是一个零一分布。我这都一一个小时20分钟了，我还没开始讲呢。稍稍等片刻，好吧，这节课过的有点快哦，好，稍等一下，稍等一下，好，

稍等一下可以吗？等一下，等一下。此此此刻有点快好了，我们继续啊，我们等会儿。那这个题啊，其实上面这东西是个零一分布。下面这个东西其实是一个二项分布。对吧，你这个人是个零一分布，二项分布等我讲到二项分布，我再来讲这个东西。可以吗？所以说你要把这个题啊，

你先留到这儿，你作为一个强化班同学，我们写书必须要呃，按照这个全大纲进行去梳理它。但是的话，其实你发现到了这个强化班的时候，你要把这个事情你要理解透彻，等我讲的第二章我再来讲这个问题。好不好？可以吧啊，这是这个问题。等一会可以吗？啊，稍等一下，稍等一下。

所以这个点还挺重要。你等我把这个东西开个篇，我们再休息啊，你等会我讲到那个位置。好了，那么接下来我们再来看看这个下一个题型，全概率公式和贝叶斯公式。那么，首先我们先来看看全概率公式。那对于全概率公式啊，对于我们作为三九六同学的学习啊，就会非常简单了。如果你是考数学三呢，因为全概率公式的最大的作用不是在第一章。它最重要的东西不是在第一章，

它最重要的应用在于第三章。一个离散性随机变量，一个连续性随机变量，它们的函数到底是服从什么分布，我们就要用全概率公式。那个时候用它。所以我们今天过程当中，我们来讲就非常的简单了，我们只用去讲全概率公式的第二个公式。而其实，如果数学三的话，应该重点把握住第一个公式，所以接下来我们来看看吧，第一事情完备事件组。什么叫完备事件组呢？

完备事件组其实非常简单。假设这是一个全局空间。我把这个全击空间的话，你发现我分成好多份。分成第一份儿，分成第二份儿，分成第三份儿，分成第四份儿。只要满足两个情况，它就是一个完备事件组，第一个事情两两之间呢，它的交集是空集。就说你I和这一不相等的时候，两两之间的交集是个空集，我们就写四份吧。

好交集不能是。不能有两两不交叉。啊，然后第二件事情我们继续看。两两不交叉之外，然后把这些人进行并并起来。它是个全集。所以说这个人的话其实非常简单，你们合起来是个全集，其实就是把全集空间分成了很多份。我这个全局空间分成了这样一份分成了那样份分成了这样一份。能想清楚吧。比如说我举个例子，我举几个例子。第一个例子。

我进行去植硬币。我指出的是正面和反面，是不是一个完备事件组？你直出正面，就不可能是反面直出，反面就不可能是正面，而且要不然是反面，要不然就是正面，不可能立着的吧。我们谈一般性啊，不要这样。这是个问题，如果进行掷色子。直出点数是一点数是二，然后一直点数到六。

这是不是一个完备时间组？那当然是啊，你直到一就不可能是二，直到二就不可能是三，然后一二三四五六合起来就是全体空间。这没有任何问题啊，所以你要了解清楚什么叫完备事件组。那你学会了完备实践组就非常简单了。那全概率公式啊，就非常非常容易。那什么叫全概率公式呢？全概率公式就是把一个事情的研究放到完备事件组上进行研究。就是全概率公式。也就说我想进去去研究b这个人的概率。好把b这个人呢？

跟一个完备事件组共同进行去交一下就行了，我放到完备事件组。你不是完备的吗？我跟你一起。我跟你一起，我跟你一起，我跟你一起。那也就说你发生且我发生。你发生且我发生。然后加上你发声，且我发声。再加上你发声，且我发声。这其实就是一个全概的公式。所以什么叫全概率公式呢？

全概率公式就是把我放到完备事件组上进行研究，这就是全概率公式。倘若这个完备事件组又跟这个人之间有一个先后顺序关系。比如说我们举个简单例子。这是我们基础班讲过的一个点。好，我们来看看。比如说我们这里面当中啊，有一个箱子。有一个袋子。然后的话，这块有一个什么呢？呃，有一个和字。啊，

这样的一个盒子里面当中啊。装了五个白球。两个红球。六个白球。三个红球。三个白球。三个红球。好了，这是三个情况。我问你摸到白球的概率是多少？那么，同学们想想一个问题。问你摸到白球的概率是多少？就是你这个问题问的吧。摸到白球。

你摸到白球，我只知道如果在这个箱子里面摸白球好做吗？同学们，你想想。我在这个箱子里面摸白球会走吗？这个箱子里有七个球，五个白球，七分之五。我在这个袋子里面摸白球，简不简单？我在j类目当中进行摸白球，简不简单？简单就是你在这里面摸白球，简单在这里面摸白球，简单这里面摸白球，

简单。就是现在有一个问题的话，就是。你这里面当中的话。你这里面摸白球简单，这摸白球摸白球简单，但是你现在如果说摸白球。你这不好来呀。所以说这个题我们喜欢做的是什么？假设你摸到这个箱子，摸到这个袋子，摸到这个盒子是叫分别塔。应该是在你发声的时候，我发声简单。在你发生的时候，

我发生简单，在你发生的时候，我发生简单，所以有一个先后顺序。那么，同学们想想这个a1a2a3。是不是一个完备事件组啊？是不是？当然是摸到箱子就不可能摸到袋子和这个盒子，摸到袋子就不可能是这个箱子和这个盒子。而且要不然是箱子，要不是袋子，要么是盒子，它当然是个完备事件组。所以说这个时候你会发现我就把这个人的求解放到完备事件组上求解，

而且还有个顺序关系，你看。摸到第一个箱子，在第一个箱子摸到白球的概率好球。摸到第二个箱子，再在第二个箱子当中摸到白球的概率好求，然后最后摸到第四个箱子，再在第四个箱子里面摸到白球的概率好求。就是在你发生的时候，我发生的概率好求。那这个题怎么办？假设我把摸到白球的概率叫做b，应该怎么求摸到这个第一个箱子？在第一个箱子里面摸到白球，简单。

摸到第二个袋子，再在第二个。袋子里面摸到白球的概率简单。然后再看第三个。摸到这个盒子。然后在这个盒子里面摸到白球的概率简单。所以一定是什么？先把你定了，再能定我。这个顺序是顺的，就是有你才能有我。先把你定了，然后再去求我简单。就说我在你的条件发生的时候再进行去求解，这是简单的。

能想清楚吗？对吧，在你发生的时候，我发生简单把你先定了。所以这个时候你进行去算来告诉我，摸到第一个人的概率是多少？三分之一。因为有三个人嘛，摸到你的概率是三分之一。他说里面我这个球多，不是按照球的这个比例。就是三个黑匣子放在这。然后的话，在你的情况呢，就是七分之五。

然后这是三分之一，然后这是九分之六，然后这是三分之一，然后这是六分之三，一算就出来了。能想清楚吗？所以说对于我们在三九六同学的考研的全概率公式，你就完全掌握住这个公式就行，上面这个公式都不用记，因为对我们而言没什么用。对我们的考研这个公式没啥用，但是对于考数学三同学真正重要的不是这个公式，是这个公式。因为其实最重要问题不是在这章用，是第三章用。

能出一些非常非常经典而且漂亮的考题。所以一定注意我们的全概率公式就是。把你定住。再求我简单，那我就放到你们每个人上面去求一次。摸到你让我发声，摸到你我发声，摸到你我发声，摸到你我发声，好，我们加就行了。这就是这个问题。所以把我放到你的这上面进行去求解，简单我就用全概率公式做。把我放到你这上面进行去求解，

简单我就用全概率公式做，比如说我们来看一个题。那么这个题啊，他说。我们从这个什么呢？我从数一二三四当中取个数。x然后再从一二到x我问一个事情。比如说我这个s是取的是四，我问你这里面当中有几个数啊？我今年把这个题给你列的准确一点，其实人家这个题啊，原本是这样写的。有同学说没有读懂题，以为是一和四呢。是一到死是一二三四，

其实你要明白这个事儿啊。好，一到它。然后说再从这里面当中取一个数是YY=2的概率，我就问你个事情。你直接进行去求，这里面当中摸出二的概率好求吗？我就问你这句话好求还是不好求？不好求你，这s是谁呀？所以你摸这个二，你要受到这个x的影响。是不是受到他的影响？所以说这个时候你发现你就把这个人叫a1a2a3a4，这是不是一个完备事件组？

是一个完备事件组啊，就是把我的求解。放到这个完备时间组上进行求。好，我们先看。在这里面当中摸到一。摸到一的概率是几是四分之一，然后这是一比如一到一摸到二呢概率是零。能听懂吧？好了，这是这个事情。如果这里面当中摸到二摸到二的概率是多少？是四分之一。默到二的概率是四分之一的话，你发现那现在而言是x是二就是一二一二里面默到二的概率是多少？

二分之一。然后再看摸在这里面摸到三的概率是多少呢？四分之三。然后这个s是三就是一二三一二三当中末到二的概率是多少？三分之一。这里面当中摸到四的概率是多少？四分之一，然后这个x是四的话就是一二三四，摸到二的概率是多少？四分之一。好已算出来。所以像这个问题点呢，其实非常简单。能听懂吧哦，这四分之一。

所以像这个点的话，你发现非常简单，就是每个人来编。如果这个人是一哎，他在这个里面的概率，如果你是认识二，我这里没概率，如果你认识三，我们这个概率，如果这是四，你的概率。能听懂我的意思吗？就是非常简单，如果你这s是取的是一，我就要在一。

到一当中取到二，那不可能。如果x是二，我就要是一到二当中取到它。如果s是三，我们其实就多少一二三当中取到它，如果s是四，那我就是一二三四当中取到它。非常的简单。所以你发现我直接求他，这是个bug，我必须怎么办？在你的这个情况下才能求我。我要依赖于你。我就会想全概率公式来做。

能理解吧，就把我这个东西放到你的所有的情况当中去求一遍。那这时候好做。把我放到你这上面的所有情况当中去求一下。就出来了，然后最后答案是多少？呃，算一下吧，这是八你们自己算吧，好，这个点我不说了。好了，这是选e是吧啊？好，这个考题就是我会依赖于你。

好课间休息过程当中啊，把这题做一下，二六零。好，这个休息会吧。然后一会儿我们再来处理啊。休息会吧。好，休息会，一会继续啊。做一下二六零吧，把二六零去看看。

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