27.冲刺满分强化篇·（概率）题型43—45精讲精练-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:20:09

那么，接下来我们继续吧，我们再来看看这个二四五这个题来，再来看这个人。这个题做出来了吗？你其实包括的话，刚才有同学说那个二四七，其实那种题都不难，你就是见到什么东西写什么就行了，来看这个人。那这个题啊，非常简单，它考量的就是AB的概率和a的概率和b的概率关系。那这类类目当中非常简单啊，我们知道越沉越小嘛。

你越沉，你会越小。对吧，你越沉你会越小。不就是这个人吗？那所以说你越沉，这个人越小，那这个人非常简单啊，你把这两个东西怎么办？你一加它不就小于等于二分之多少？PA+PB这题就被秒了。所以非常简单。答案选c。像这种题啊，难度不大，

那么像在这种当中出现这种不等式啊，你去想这个点。好了么？同学们，这是这个问题，那么接下来我们再来看看这个下面一个题能学会吧啊，再来看看这个题。好，我们来看看这个人。那这个题啊AB。AB不知道呗。是吧，这AB不知道啊。那现在而言的话，这个是pab小于等于PA乘啊，

这个小于PB那这人不知道啊，你说不清楚呗。哦，你说这个是pab，我以为你说AB选项，不好意思。看一下好了，这个人我还以为你说AB选项呢，来再来看这个题。读一下，那他说这个事情说AB同时发生的时候c1定发生。那请同学们告诉我这件事情，说了一个什么问题啊？那其实这里面当中说的就是这个点，你跟这个人同时发生就是你发生窃这个发生。

c1定发生什么关系啊？那就说你们共同发生的时候，它一定发生会有一个导致关系。那所以说这里面当中怎么办？属于。所以说这个东西是他的子集，那属于这个人的话，我只有这一个条件，只有这一个条件，我们都知道pab是小于等于PC的。它不是等于。你所以说这个点它不对。然后接下来你再观察一下这个a选项b选项c选项啊，这个e选项它不一样。那这类目当中，

我们来看看这几个事情。你看了一下这个a这个b，这是c里面有a+b有a有b，你会想什么？啊，会想什么东西啊？哎，我立即会想一个事情，会想到加法公式。不就是讲的加法公式吗？那想到加法公式了之后，我先把它写开，那说a的概率加上b的概率，然后再减去AB的概率。但是我再看看这几个选项的话，

你发现。这几个选项当中没有AB，只有这个c啊。而这个c跟AB之间是不是有关系啊？那AB这个人是小于它添一个负号不就大于负的它吗？所以说这个东西就大于等于多少？a的概率加上b的概率，然后这个东西啊，再减去c的概率。好，做成这样。那做成这样了之后我们再看，但是这个题当中你看你有ABC有一你没有这个AB啊。那没有这个AB怎么办诶？我可以继续放，

你这个人是不是小于等于一？所以说这里面当中马上就知道哦a的概率，加上b的概率，然后再减去c的概率。小于等于一。那既然小于等于一，你就可以把这东西啊稍微移过去a的概率加上b的概率减去一。小于等它。所以这题啊，马上解出那正确答案选几呢？两人一家c更搭选b。这个人不对。然后接下来的话，你看你这个AB和这个c的关系呢，你是说不清楚。

你a-b可以用一下PA，然后再减去多少？你这个人是PA的，这个概率再减去AB的概率。然后这个AB的概率呢，你发现现在比它小，添个负号就比它大，所以说这是pa-pc。你这也说不清楚。所以说像这个d选项和这个e选项实在没法说。因为通过这个题目条件只有这么多信息，我无法得到接下来的情况，所以说d选项和e选项选不了。能琢磨清楚吗？就是这个考题就考了这个事情。

那考了这个概率不等式，我属于你，我的概率比你小，就这个问题。好，这个点，所以我属于你，我的概率会比你小。记住这个不等式概率，不等式当中啊，就有两个人，一个事情是我属于你，我的概率比你小，那还有一个事情呢，就是我的概率是大于等于零，

小于等于一。你就这两个东西，你就尽情去想呗，那我属于你，我的概率比你小。那我们在加法公式当中用一下。然后把这东西一放就出来了，这个题啊，你要稍微注意一下这个东西的思路，其实这个题啊比我们现在考的题啊要难。哎，这个题啊，难想一点。但是我觉得还好。啊，

其实你都能把它拿下来好了，这个题啊，我们就讲到这。呃，那么接下来我们后面还有几个题，你别着急，我把独立性的东西讲完，我们再来看。因为这里面当中牵扯到独立呗，你其实强化班呢，你是能讲的。啊，这个强化班真的是能讲。因为理论上的话，就是我们在讲之前，

你应该是所有知识点都知道，那这样吧，我们就当大家不知道，我们先来复习一下。好，我们先来看看第二波问题，等一会儿我再来讲这些题啊，一会儿古典概情讲完了之后我再来讲这些题。假设我们现在不会摸球好不好？好，那么接下来我们先来看看第二个问题，独立性。随机事件的独立性。独立独立，这个东西啊。

跟护士。它不一样独立。独立它跟互斥它不一样。那么，首先我们先来看看第一个事情。那这个独立啊，有两个人之间的独立。还有多个人之间的独立。那么，首先我们先来看看两个人之间的独立。独立是什么意思啊？a事件与b事件独立。那独立什么意思呢？独立是互不干扰。对吧，

互不干扰。就是这叫做什么呢？叫做a与b的发生无关。泥两个东西啊，你发声没有关系。我们俩的东西的发生也不能叫互不干扰，互不干扰这个词不准确叫做没有关系。那什么叫没有关系呢？就是你发生了。跟我发生了什么关系啊，你是你，我是我呀。你发生了，我可以发声。你发生了，

我也可以不发生，我俩有啥关系啊？没啥关系，你是你，我是我。好了，像这个问题，这叫发生无关。那么所以说接下来我们来看看，那这个人的第一个充要条件是什么来走？那就是你发生的条件下，我发生。和你不发生的条件下，我发生概率一样不一样。啊，

一样不一样，那肯定一样啊。我管你发不发生呢？你爱发生发生，你发不发生对我没有什么影响？这是一样的。通过这个条件概率，我不推了啊，这是基础班推过的一件事情。那么，最终得到了一个什么情况呢？我通过我把这个东西用条件概率条件概率一换，得到了一个非常重点的判定方法。就是乘积的概率等于概率的乘积。所以将来过程当中，

你只要进行想进行去判断，两个人独不独立，你就这样判。注意，在我们的考研当中，判定方法就这一个。就是乘积的概率等于概率乘积。就是乘积概率等于概率乘积，我们共同发生的概率就等于各自概率的乘积就行了，所以将来说。你知道独立怎么判，我当然知道，我先算一下乘积的概率，我再算一下概率的乘积，我看看这东西相不相等，

你注意，这其实就是。核心方向。能想清楚吗？那么将来怎么判断独立呢？判断独立就是乘积的概率等于概率乘积。就是乘积的概率等于概率乘积。所以像这个问题啊，把它想透就行。对吧，琢磨清楚这个点。哎，乘积的概率等于概率乘积。好了，这是这个事情。

所以这就是我们的芳香，那么除此之外，还有一些别的这样的一个充要条件。那a和b独立啊。a和b拔独不独立呢。独立那如果你想证明a和b把独立，我就进行去证明a和b独立行不行？然后这里面当中，我想证明a和BB独立，我也可以去证明什么，我也可以去证明a拔和b拔b独立。那也可以证明a把与b把独立。好了，这个方向。所以有的时候我们进去证明的时候，

你就把这个东西切开了。对吧，你想证明这两个东西拔独不独立，你就只需要证明这两个人独不独立，怎么证明独立呢？长期的概率等于概率乘积。能学清楚吧，把这个东西啊，给我多想几遍。重点啊。怎么戒烟独立就是乘积概率等于概率乘积。我们乘起来的概率，如果能等于概率乘积，我们就独立好，想通了，

请给我回复个一。可以了吗？怎么检验独立呢？就是乘积概率等于概率乘积。那这里面当中有一个问题啊。这种东西能用韦恩图的形式画出来吗？你其实画不了。两人之间是独立的。你发声，我有可能是发声，你发声，我有可能不发声，你这个东西用维恩图的形式，你没法画呀，你画不出来。

所以它的判断方法是从概率的形式来判断的。把这个方向你想清楚。那么，在这里面当中，目前而言有两个非常重要的概念。所以接下来我要在强化班过程当中，对这两组概念做一个精讲。那基础班的过程当中，因为我们是走第一遍，所以在这个板块当中，我们就是大致的说了一下啊，说这两个东西没有什么影响。但是细致一点的谈呢，其实有一定的影响。所以接下来我们来把这两组概念呢，

我们重点来讲讲，好好听啊，独立和互斥。啊，这两人那么首先我们先来看看这个第一个问题，独立和互斥。那什么叫互斥呢？互斥时，俩人之间。交集是空集。不能同时发生。你注意一下这个问题啊，你品你好好品，俩人不能同时发生。然后什么叫独立呢？

独立是发生无关它的判定方法，是乘积的概率等于概率的乘积。能想清楚吗？就是乘积的概率等于概率乘积。如果乘积概率等于概率乘积，我就说明这两个东西独立。如果这两东西的交集是空集，我说是互斥。能琢磨清楚吧，那么接下来我们看看这两组问题有没有关系呢？那么，如果这里面当中，我们把这个一开始的这个韦恩图。我们来拿过来。好，

我们现在先谈谈这个互斥。你先看第一个问题，互斥。那互斥如果是互斥，你想想一个问题。你a发生了。啊，前提条件啊AB都能发生啊。都有可能发生，就是不能是空集，能听懂我的意思吗？啊，这是一个前提，就是AB都不是空集，就是概率都大于零。

因为空集的话，概率等于零，能能听懂吗？都有可能发生，你这你要是你你没有发生可能性，我就讨论就没啥意思了。大家能理解我的意思吗？就是你不可能是空集，你不是空集，你概率大于零，你概率大于零。好了，我们先看。如果是互吃。你发声了。

你这个人是不是一定不发生？对吧，你发生了，它一定不发生。哎，你对他造成影响了吗？你有没有造成影响？造成的吗？有没有当然造成了呀？你发生了，它就不发生，肯定造成的。那我们独立说的是没有关系。那你现在就有关系啊，那就说明他们不独立。

一定不独立了。你能听得懂我的意思吗？所以说这里面当中我们就来看看这个事情。我们来讲讲两者之间的关系。第一条注意大前提。大前提是俩人都不能是空集。都有发生的可能性，听得懂吧，要注意这个事啊，就说俩人都不能是空集。都有发生的可能性。那这个时候首先我们先看第一条。第一条如果什么东西呢？a与b互斥。诶，

如果我互斥了，我会独立吗？我当然不会独立，我a和b叫做。一定不独立。因为你发生了，我一定不发生。我发生了，你一定不发生，所以我们一定不会堵住。那么，接下来再看第二事情。那如果a与b独立呢？对吧，如果我们这两个人之间是独立的，

那请问a和b是什么情况？哎a和b。一定不互斥。一定不互斥。为什么呢？我可以给你证明。啊，可以证明。怎么证明呢？非常的简单。正你想，如果a和b我正第二个。如果独立的话，那pab。就会等于PA×PB。

有没有问题？就是如果a和b独立了，一定会有它。有它的话，你现在PA和PB都是大于零，是不是大于零？那你想想，如果你都大于零，你会是个空集吗？你会不会你绝对不会？这是我刚才讲的，你要是空集，你的概率肯定等于零。你如果概率大于零，你肯定不是空集，

你既然不是空集，你这个人一定怎么办？不呼斥，但是同学们。我们在讲这个问题，是不是有前提条件啊？前提条件就是你这两人的概率必须都大于零。你这两人的概率必须都大于零，要扣住这个条件再进行去研究这个问题。能想清楚吗？好了，这是第一波内容。有这个大前提。没有这个大前提的话，你发现你就不能这样研究了。

那第二件事情。我们再来看如果。a或者这个b啊，有一个人是空集的话。对吧，如果在这种当中有一个人的概率为零的话。那接下来我们再来看。请问a与b互斥。好了，如果这两人互斥。能不能推出这两个独立？能还是不能？你先看这个事情。能不能那这个能不能的话，你信息去判断一下呗。

你AB互斥的话AB是空集。那说明AB的概率就是零。而你a的概率还有b的概率，肯定有一个人等于零。那你这个人不就是你吗？那不就推出来了？pab.等于PA×PB嘛。那这不就是独立吗？对着呢。所以只要有一个人的概率为零。那这个时候互斥，他就能推出这个人独立。能听懂吗？好了，

不要背了。你可以记住，也可以记住。但是我们再看第二条。如果a和b独立。你能说a与b互斥吗？哎，这个时候就不好说了，为什么？因为如果独立。pab就会等于PA×PB。而你中间有一个人的概率为零，你这是零。你这个概率为零，你可推不出来，

这个人是空集吧？因为概率不能推事件嘛。这不行，所以说大家注意这条是错的，这条是对的。要注意啊，这不对。所以你要想清楚这个问题，你推不出来。所以注意这种特殊性。如果AB都不是空集。都能发生。a的概率和b的概率都是大于零的情况下，互适和独立不共存。你互斥了，

肯定不独立，你独立了，肯定不互斥，我们两个不能共存。有你没我，不能共存。所以这是这个事，然后第二件事情只要有一个人的概率为零。此时互斥可以推独立。但是反之，这个东西不行。能琢磨清楚吧，所以你要把这东西剖析的非常清楚，这就是两轮复习啊。你就能把这个点你学的非常非常的清楚。

所以如果基础班的时候的话，这个东西讲多了，你就会觉得这块东西多。你现在你一梳理，你看就是这样。你怎么进行判断互斥就是交集，是不是空集？你独不独立，就是乘积的概率等不等于概率乘积，所以同学们谁是核心，这是核心呐。对吧，你这个东西是我这个问题的核心呢，你想要给我判断互斥来，我们看看交集是不是空集，

你想给我判断独立，我们看乘积的概率等不等于概率乘积，我们就这个事情。不跟你进行啰嗦，我的方向就是这样的一个内容。好了，这是这个点。可以了吗？所以下去啊，你好好想想，那么接下来我们来看一道题。啊，我们来看看这个题目。来看看这道例题吧。啊，

这也是最近编的题，最近编呃，今年的模拟题啊，嗯，到时候你可以去看啊，完全的话跟我们三九六的话，这个模子都是一样的。而且的话，这个今年的话呃，答案的话写的也是非常详细的一个点啊。我是在玩耍吗啊？就是我我我到底在我在干嘛呢？啊。哦，我我在干嘛呢？

我不是，我是在玩耍吗？我我是没有给你震呢，还是怎么呢？那我到底在不是你，让你让我很煞解对吧啊？哎呀，来我们来看看这个下面一个问题。哦，你说你说这个字啊啊，那不好意思。行，送你个必胜套装吧，不不好意思，不好意思啊。

我以为你在说这个呢啊。来，我们来看看下一个点。抱歉啊，抱歉抱歉。来看这个点哦，但是我还是那句话，我上课说说说什么我是针对这个问题啊，不针对你这个人，你其实你发现你们都是这个。也都是网民了哦，不不不，针对你了。好了，我们继续吧，

我们来看看这个题。那么，首先我们来选一下吧。他说。设AB为两个随机变量。则下列结论当中正确的个数有几个？来看选几啊？来看看这个人选几啊？有几个？有四个。啊来，我们来看看这个人。如果这个概率是零。此时互斥，能推独立。

这可以啊，这没问题，一是对的。然后再看俩人相乘大于零，那说明俩人都是大于零，他说那万一两个都是负的，那不可能啊。说明两个人都不能为零，此时互斥一定不独立。此时独立一定怎么办？独立一定不互斥。它不对，然后再看最后一个帧。如果AB独立且互斥。互斥就说明这个人的空气。

独立说明这个概率等于这两个概率的乘积。这是零对吧？那这个时候你看你是空集，你的概率是零独立的话，这个两个都话等于乘积。乘积等于零，不就说明你等于零，或者我等于零吗？没有任何问题，所以说是一二四有三个。好了，我们下面的选项就是零一二三四对吧？零一二三所以我们选d。这样我们的答案我们就选d，刚好五个选项嘛。

好，这是这个题。那么，这里面当中，我来加高一点难度，我们再来看个题，看一道非常质量非常高的一道题。来看看这个人。呃，这两个东西啊呃，这两个题的话是我们上课进行看的啊，这个。呃，我比如举个最近写这个稿子啊，这个。

答案反正是写的挺多啊，基本上的话，你下去你再好好看看这个模拟卷，我们提前就不看了啊，这个其中一份稿子，到时候我们再看吧。到时候做这个模拟卷的时候，我们是十月份再开始做就行了啊，十月份。那么，接下来我们就继续吧，哎呀，最近出题出考可多了，但是你发现出很多，然后看很多了之后，

你灵灵感会爆棚啊。来，继续吧。那么，接下来我们来看看这个问题呃，不像的话，这个强化的题啊，讲义上的题的话，有些部分是偏难。啊，这个肯定是的，因为你强化要有一个强化的，这样的一个准备。但是其实很多部分的题还好，然后到了这个你做的一些这个强化的话，

这个300题当中有些题偏难。有些东西可能在一两分钟两到三分钟内，你不一定能做出来，这个也很正常，强化的有强化的这个准备，等你进行复盘了之后，你到时候再进行去降位打击。呃，到时候我们在这个十月份，你再开始进行这个做模拟卷就行了。所以说在这个中间呢，你到时候跟着我们这个课程的这个体系走就行了。呃，我们是九月。四号的话，

我们这个课程基本上就结束了，然后注意9月5号的晚上。9月5号。我们四号结束，然后的话数一数二数三同学是呃，这个其实昨天晚上就结束了，然后今天上午还有一个数一的一个单独板块。然后是9月5号晚上九点半。呃，九点半的时候我会跟同学们进行去开一次这个复盘计划，怎么进行去复盘？然后还有一个错题消灭计划，有的说老师我强化结束完了之后，我看到这个东西还没有呃，这个题型我判断没有那么清楚，

你还需要一轮复盘。你复盘完了之后，你再回过头来，你再看你效果就不一样了，所以说这里面当中，我觉得这个青年。啊三九六我觉得我们班就很卷啊，我们卷入了大量的这个同学，所以我感觉这个今年你好好来啊。因为这个。因为我相信大部分同学的话，这个最后成绩会非常好的啊，所以说你好好来。好了，这是这个问题呃，

9月5号那天晚上的九点半呢，我会专门开一次，到时候我看看吧。我是把这个数一数二数三和三九六，如果分开的话，我就开两场。啊，我就开两场，然后开两场直播跟你们进行去讲讲，然后后续的一些计划，然后还有一些这个。错题消灭计划就是我们从9月6号开始。9月6号开始，我会带着你们进行去复盘，能理解吧，

我会带着你们进行复盘，然后。等我把这个。高数不完完的那一天，你最好跟上节奏。至于我们这个有一个这个打卡，你想不想打无所谓，就是中间的话，因为其实理论上这些事你应该自己做，但是。呃，我们就鼓励大家做有一个打卡，你只要做了就行，我不在乎这个事情。你包括的话，

有些同学说我老师，我把这个笔记整理到错题本当中，还是整理到这个书上，你爱怎么样怎么样，他说那老师我整理成这个电子版的。还是整理这个纸，你爱咋咋样，你学会了才是目目的，对吧？别每天的话折折腾那么多事儿，这不重要。我从来不在乎这个事情，然后的话，这里面当时只不过我们是会鼓励一下大家，然后的话，

这个你看看吧，然后我们会经过这个。呃，15天到20天的样子。对吧，20天的样子，你自己的话做好这个事情，我们可以给呃，有错题本了，有那个必胜套装了，还有这个今年。因为他这个这个这个我呃，然后的话我就跟他们申请了很久，因为很多同学想要这个对吧，你就自己挣也行，

然后的话或者是这个日历你自己三选一都行。三选一啊，不是三个全选啊。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这，不多说了，来那么接下来我们来看看这道考题。所以说我们看看那个呃，9月5号吧，到时候哈，我是分成两场还是分成一场，然后的话我们去。讲讲这个规划的问题，你再复盘一遍，

然后到了这个。复盘完高数。那天的上午。我会给同学们进行去。组织这个呃高等数学的通关测试。然后现代核钙钙力学书，我会来给你们。进行这个现代和概率的通关测试，然后这个东西通关测试完了之后，我们进行去模考二一年。模考二二年，模考二三年的套捐。这个时候的时间基本上就是国庆节的那个时间的前后啊，国庆节。然后的话，

我们接下来就可以开始做十套卷。啊十套卷，所以说我觉得你把前期的部分的东西做扎实了，你所有的体系没有问题了。然后的话，到时候你可以进行做模拟卷，因为模拟卷里面当中啊，是整个高等数学线性代数和概率统计的所有的题。你每天只需要花费一个半小时，做一套卷子，你做一套卷子，其实你就做了35个题，然后里面当中的是所有部分的东西都放在上面。能想清楚吧，好了，

这是这个点。那么这个问题啊，我们就说到这吧呃，前面的话。因为前面的话，我们重点是搞的这个。有这是只有这个数学啊，因为我们这个今年没有进行去开这个没有开这个逻辑和写作。你主要的话，那个血我倒是也能给你们弄出那个让让他们给，因为认识的有有些这个原来的话，一些同事也认识。也可以弄一个那个卷子，但是没有人讲啊，这个问题还很重要，

行吧，这个事我们就不说了，来看看这个问题了，到时候我们再看吧，你先别别说那么多，你先把自己的这个内容。你先看看，来看一下这个人。哦不不我我肯是吧，我怎么可能讲那么多呢？这个今年今年的课都多的上疯了，对吧？来继续吧，看这个问题。说这个设ABC，

这个三个随机时间再说，我也不专业来看这个问题吧ABC为三个随机之时间。然后说且a和b相互独立。然后这个c的这个人的概率是一。那则对于下列结论当中正确的个数是呃，这个题啊，其实难度系数是有的。啊，难度系数有那么在这里面当中啊，我来给你讲一个重要的知识点。那这个知识点是？概率唯一事件。跟任何事件之间都是独立的。概率唯一事件跟任何事件之间都是独立的。那这件事情啊，

其实你发现听起来很羞，证明更羞。怎么进行证明呢？就说如果你这个a。你的概率是一。则a这个东西啊。与任何事件之间都是独立的。对吧，任何时间。对，就是跟对于任何的这个b都是独立的。你怎么证明呢？啊，怎么证明呢？这个证明有点难哦。

说实话，挺难挣的。啊，这个你这个a的概率是一。你跟任何一个b都是独立的。这个证明其实挺难的。那么，在这里面当中，我们来看看怎么去证呢？我们来看看这个事情。你这个a的概率是一。你跟任何的逼都独立。你跟任何的币都独立的话，你想想一个问题。我的目标其实非常简单。

我的方向其实就是我要看pab=PA×PB。这是我的方向。而你现在的话，这个。a的这个概率是一我的方向其实变成这个人。所以我现在我的重心就要进去证明AB的概率等于b的概率。那AB的概率等于b的概率，这个事情怎么证呢？有的说那越乘越小，你这个人比他小，那我怎么证明他比他大呢？很困难，所以这里面当中啊，有一个手法。你注意，

你好好听一下，这个挺难的哦，这很难想那么在这种当中，我们来看一个事情诶，我会借用一下。我借用一下什么呢？我借用一下，你都知道这是AB。你这个人，你肯定是小鱼。a并比。这没问题吧？那所以说这里面当中，我们就得到一个事情，你AB这个人你肯定比这个人小。

然后接下来的话，你发现这是。a的概率。加上b的概率。你减去AB的概率。我要把它变大。但是要变大的话，你想想一个事情。你这里面当中的AB，我移过去是二。你这也不好做。我要证明的是你这个我要证明的是AB跟谁呢？AB跟b相等。哎，你这个人好像也不好做。

那还有没有方向呢？对吧你，你想想一个事情，我把这个人变成这个人不好做。那还有没有方向呢？你现在这个人出不来呀。有没有想法？因为你都知道你这个人肯定是什么，你肯定是小于等于它。条件概率肯定不行。你就往这方向上想，所以这个证明呢，你可以不会啊，就是最终而言的话，你把它理解了就行，

所以这个有点难。哎，那这个时候我再幻想。我再换一下的话，你看我如果稍微的改一改，我把这个人改成PB。你觉得怎么样？那这个时候如果这是PB的话，你就会发现这个是pab还是小于它？这个人不行呐。你这做不出来呀，你这个你两位约掉了之后的话，你还是得到了，你pab是比它小，这个什么pab比它小，

你或者改成这个。a你把这个约掉。然后这个时候的话，你会发现你这个pab是比它小，你这个还是出不来呀。那我这里面当中怎么办？你出不来呀。所以现在的这个方向性其实就在这，你架不住啊。我知道了一个事情，我现在已经知道AB这个人是小于等于PB。我现在怎么样把这个PB，然后变大？所以现在这个方向性就在这，我们怎么把它变大？

其实刚才我们走的这个方向是没有问题的，因为你这个人肯定小于a并上b。你小于AB上比，然后这里面当中的这个是AB，然后小于等于多少a的概率？加上b的概率。减去AB的概率。是不是这个事情，然后现在的话，你发现你把这个PB你约掉，然后得到了这个人小于一，这还是出不来啊。你想想这个方向怎么办？所以说这个证明它挺难的。你们自己可以试一下。

你尝试一下，因为你怎么进行去证明这个人跟他任何人都独立。我现在的方向就是证明，只要你能证明pab=PB就行。你这出不来啊。你还是出不来。你怎么办？这个不好想啊。好，你思考一下，那么接下来我给你30秒时间，你想想这个问题，你想完了之后，我们把这个东西一震，我们就来做上面这个题。

好好动手吧。你想想这个点，因为我已经给你提示了，因为我觉得这个东西能拓宽呢，因为我已经提示了这个东西是比它小的，你如果在那证明它比它大。它就行了，好动手。好了，没看有同学非常聪明。对吧，非常非常聪明，其实你发现都写到这儿了，这个问题点不大了。你看你这半边的话，

你PA是一嘛？所以说这个东西的话就是PB这个人。小于等于多少？呃，你这是小一，但是这个东西它放不不行不行不行。右侧的话，你是呃，右侧的话，这个是这边是小于等于一啊，这边可以。你这边是小于等于一，非常聪明。你这边小于等于一，你立即就出来了，

因为你这就是一，然后这个PB。呃，这是一。这边也小于等于一。小于等于一的话，把这个就约掉了PB，这个人是小于等于你看这个人约掉小于等于pab。啊，非常聪明。能理解吧，你把它放大，你放大了之后的话，你看你这是一你看这个约掉了，你PB就小于这个人，

而PB这个人怎么办？就大于等于这个人。那所以说PB就等于这个人。呃，其实有点难啊，这个证明方法难度系数是有的。所以他的这个证明方法就是我这个人肯定小于这个人。我现在关注点就要把它放大，你放大的话，你看你这个概率，你肯定是怎么办？你这个部分肯定是小于等于一啊。你所以把这个方向性想清楚就行，然后你是一就约掉了啊，这个同学送一个必胜套装。

非常好，好了，这是这个题，其实很难想，因为这个证明方法，你不光是我们，你就放到这个有的时候的话进行去光考证明题的话，这个题证明题很难。但是你记住结论。结论就是概率唯一的事件跟任何事件之间都是独立的。证明独立就是证明乘积的概率等于概率乘积。然后这个东西是越沉越小，你这个人肯定比他小，我怎么证明比他大？你就想方设法把它放大。

对吧，你要把这个b啊，然后的话放到它，你放大你放大怎么放？好了，你直接记住结论就行。那么，接下来我们来看看我们出的这个题。那出的这个题的话，你发现他说有三个随机时间。这俩人之间是相互独立，你的概率是一记住结论，会做题也行。然后这个东西是什么相互独立，你的概率是一则这个c是什么？

是全集对不对？第一个对不对？那当然不对呀，因为你发现你的概率是一你推不出来，它是全集，所以这个题比我们考研真题当中啊，要考的难哦。然后接下来再看第二个事情，你这个人跟a是相互独立，对不对？概率唯一事件跟任何事件都是独立的。没有问题，然后再来看看下面这个点，那下面这东西对不对呢？哎，

下面这东西啊，也非常好做。ABC.那这个人是个概率唯一事件，我跟你这个人是相互独立的。我们俩是独立，我们俩独立的话，乘积的概率就会等于概率的乘积。而AB也独立。AB独立的话，pab就等于PA×PB。好了，真是对的。那么再来看看下面这人，他这两人也独立。

那这两个独立的话，它的方向是考什么？它是方方向考乘积的概率到底等不等于概率的乘积？就看这两个东西相不相等。而我们在这里面当中来看看。你发现。概率为一事件跟你独立，我们就等于PA×PC。概率唯一事件跟你独立，我就等于PB×PC，而这个c的这个概率是一，它就等于PA×PB。而刚才第二问c选项，我们都知道这个。a交上c再交b再交CA交了b再交c再交c呢，

还不是ABC相交吗？ABC相交的话，其实就是PA×PB×PC PC是一啊。你看这两东西是不是相等啊？所以他们是相互独立的，这个不难吧，就是有了这个结论，那就不难了，没有这个结论，这个题贼难。没有这个结论呢，你做这个题就疯了，你说实话，做这个题就非常麻烦了。就是你做了，

你有这个结论就好做了。你概率唯一时间你跟任何人是相互独立的。对吧，你跟这个人独立，然后这个c跟你独立，那就可以秒。然后的话，这个我c跟你独立，我c跟你独就是有了这个结论，你就好做，你没有这个结论，这个题就疯了，所以这个题是倒拔高题。好了没哦，我们还专门给你放了这样的一个页面呢，

其实就像让你进行去加深这个印象。好了，这个点。所以概率唯一事件跟任何人都是相互独立的，那关注点的话是怎么把它放啊？把它放大。好吧，这是这个问题。行，那么这个点呢？其实你发现你都不用看这个人。啊，你直接用的是你这个人小于等于一，然后的话，这个人其实就PB小于等于这个人啊，

直接出来了。好了，这是这个问题，就是两个相加比这个人小，然后这是一的话，那是PB就怎么办？小于等于pab。然后PB又大于等于pab，然后PB就等于pab。PB如果等于pab呢，你发现就是乘积的概率等于概率乘积能学清楚吧啊，就这个问题，所以这一步关注点呢，你这步咋想出来是很难了。所以我们不考证明题，

也是一件非常开心的事情哦。就是我们有好多这个公式，你怎么就想到这个人呢？这步很难啊，你主要是想不到你想到了之后，你一看哎，普普通通，平淡无奇。你现在再看哎，你小一这东西出来了。PB小于它，PB又大于它，PB等于它，然后a是一，那就是这个人，

这太简单了，但是你怎么想到这个这个挺难的？好，没关系啊，你记住结论就行。好了，这是我们讲的两个人，我问一个事情啊。两个人。只有我们两个人。我们说相互跟两两一样不一样。啊，相互跟两两一样明。欺负我们两个人呢，相互跟凉凉一样不一样。

我说只不是听条件，只有两个人。啊，这怎么听话就听半截，只有两个人一样，不一样一样的嘛，就我们俩，我们俩的话，两两根相互有什么区别？它不一样的东西是在于多个人。对吧，比如说多个人。那多个人的话，比如说我们说三个人。三个人。

相互独立，什么意思？啊，三个人相互独立啊。其实它的意思是。任意的两个人独不独立？任意的俩人独立。a和b肯定是独立的。a和c肯定是独立的。b和c肯定是独立的。好任意两人独立。这叫任意的俩，那这俩独立怎么证明呢？就是pab=PA×PB。这俩独立怎么证明PAC=PA×PC？

人这两独立怎么证明呢？就PBC=PB×PC。好了，这是这个事情，这叫任意的，两人都独立。那还有呢，任意的三个人也独立，那其实就是。三个人也独立。任意的三个人也独立，就是PA BC=PA×PB。长PC。能想清楚吗？所以相互独立啊。

什么叫相互呢？你随便抽两个人独立的，你随便抽三个人独立的，那如果是四个人呢？随便抽俩人独立，随便抽三个人独立，你随便抽四个人也独立。那其中我们考研顶多考三个人差不多了。然后这半边。这个东西就叫两两独立。两两独立。两两独立能推相互独立吗？不行，两两独立得加上这个人才能推出三个人相互独立。相互独立，

能推两两两推不了相互好了，这其实就是一个基本内容。好了，能想清楚吧，你要知道什么叫两两，什么叫相互？多个人之间相互跟两两不一样，那要就俩人，你就俩人，你说俩俩相互没啥区别。所以不要抠字眼。你千万不要在那扣字眼，你一扣字眼，你这个这这个问题就麻烦啊。来看一下这个题。

那这个题啊，它说a与b相互独立。那说的是a和b独立吧。a和c相互独立，说的是a和c独立。然后BC是空集a的概率b的概率好了，见什么说什么话。那同学们告诉我这个呢，你注意哦，这个条件概率的优先级是第一位哦。你这是要注意的，所以我们这个概率就等于多少来走，其实就是AB并上c，就是加上c。然后分支多少呢？

分支这里面当中的AC，然后再交上多少呢？交上a bbc。不要难受，非常非常幸福，对吧？你就觉得这个东西我至少能套公式，这是非常幸福的一件事情。来我们就可以套了。一套的话，这是AB的概率。再加上c的概率。减去AB和c的概率，这是非常幸福的。然后再来看看上面这人。

上面这个东西啊，你就得稍微注意了，我可以对里面东西使用一下分配律。那就是AC交AB。AC再交c。然后再来宾。听得懂吗？然后接下来我们就继续看。a交上c，再交上b，再交给a跟ABC有什么区别吗？没有a交上c，再交个c跟AC有什么区别吗？没有。没有啥区别。

然后这两个东西了之后，我们再来看。谁大呀？你大你交的越多，他越小，你大你大的话b取大AC。所以上面这个东西啊，它其实就是一个PAC。能想清楚吧，好了，然后接下来我们来看看a和c独不独立，独立就等于PA×PC AB独不独立，独立就等于PA×PB。然后加上PC，再减去PA BC。

好了，我们可以套公式了。那么，现在而言的话，这个a和b的概率都是多少？是二分之一。好了，我们写二分之一乘二分之一，好继续。然后我们继续去求的是谁呢？求的是PC。你求的PC能不能设成x？可以ABC的概率是多少呢？BC都是空集。空集再交上一个人，

是不是更是空集？是不是？空集交上一个人还不是空集嘛，所以概率是零。然后这个a这是二分之一，这是x。所以说这个最后的这个结果等于几啊，它说等于四分之一，那我们就写四分之一，所以二分之x。就等于十六分之一，然后再加上四分之一。所以说是四分之s等于十六分之一s等于四分之一概率就等于四分之一，答案选几啊？选a这个题啊，

说实话不难。你要觉得这个题难呢？那就说明。你学了半天的基础知识点，你发挥不出来。那就说明我们在前40分钟讲的任何的内容，没有任何的意义。前40分钟讲的这个东西没有任何意义。你想想不就那我们学这些东西是干嘛呢？就是为了处理这种题。结果你见到这种题，你又不敢做。那所以你学的这个基础知识就没什么用呗。所以像这个题啊，难度系数不大，

就是见什么东西你去写什么这种东西啊，不是说特别难。来那么接下来我们继续，我们再来看。好，再看这个题。继续哦，那这个题它说两个相互独立的时间，俩人。都不发生的概率是多少？你不发声。且我不发生的概率是九分之一。然后说a发生。必不发生。跟b发生。

a不发生的概率是一样，则p1是多少？你看这种题。这种题怎么做呢？那首先第一件事你做快一点。首先，我们先看第一个点a和b。是相互独立的，那a和b独立a拔和b拔独不独立独立，那这两个东西相乘呢？它是等于九分之一。好，这是这个问题，然后a和b独立a和b的娃独不独立独立你都不用信息去呃，拆成这个什么你直接拆了，

你就直接做了。那所以说这个人是多少？a这个人你再乘上一个多少b吧，然后这是b再乘上a吧，这是最快的。啊，这个速度是最快的。然后现在的话，这两个相乘是九分之一，然后现在让我们干嘛呢？让我们继续去求解p。你求这个PA的话，你想想。你求这个PA的话，你可以这个这个怎么算呢？

你你试一下。你看这个人，他其实是PA。然后的话，你把PB拔作为一个整体吧。对吧，这个这个式子怎么去解呃，不不难哦，那这个人的话，这两个东西相乘，你其实可以算出什么？你可以把这个人改成。一，减PB。或者而言的话，

我们就喜欢必拔，我喜欢必拔，我就用一下必拔。用一下必拔的话，这是。一减多少呢？PB吧，然后这个时候的话，这是一减去PA吧？好了，那这个一减PA我就喜欢这个人，那喜欢这个人的话，你发现你这人就是PA乘以PB吧？然后这是对应相乘，是一减去PA，

然后的话再是多少减去PB吧。然后再加上。PA乘上PB吧。好了，这个人，然后把这东西移过去。移过去了之后，是不是做麻烦了？全部换成a拔b拔呢？对吧，因为知道的是a8b8。知道的是a拔b拔，你全部换成a拔b拔。那这人就是一减去a八。然后再乘上一个PB吧。

然后这是一减去PB吧。然后这是多少PA 8这样简单一点是吧？啊，这样的话就不用多人进行相乘了，那所以说这是一减啊，这个简单。那这就出来了嗯，很好啊，那然后的话，这是a8，然后再减去PA 8，再乘上b8结束了。那所以说这个人是九分之一。一减九分之一等于PA八减去九分之一。你这俩东西约掉了。

嗯哦，这是pv 8是吧？哦，这是PB吧？不好意思。那然后这样东西就约掉了，约掉了之后的话就是PB把等于PA把。好了，两个相等。两个相等乘起来九分之一，那每个人都是三分之一。所以说这人等于三分之二选b。好了，其实都一样。对吧，

你用哪个人都行。你既然喜欢这个a吧b吧，我就在这种当中用一下AB吧。好，都可以。好，这是一个基本问题，你当然在这里面当中用这个减法公式也是可以。就是这个反而水平更高了，之后的话，你发现你做起来。好，我们再来看。方法二，那就是前面过程当中告诉了a8。

PA拔b拔等于九分之一，那就是PA拔乘以PB拔，然后它等于九分之一。然后在这种当中告诉了你，发生我不发生，等于我发生你不发生，然后用下减法公式，这是a-b。用一下减法公式，这是b-a，所以说这个东西是a的概率减去AB的概率，然后这东西是b的概率减去AB的概率。然后这两边约掉，约掉了之后PA=pp。那这样东西相等，

你也相等。对吧，那就说明a拔和b拔也相等，那a拔和b拔相等两人是相等的，那x次方等于它，那这人是三分之一。那这里呢，也是三分之一。那这是三分之一的话。马上出来，你就是三分之二也行吧？好，都可以。这个东西就尽量不要打开了。对吧，

前面这个东西尽量不要打。就是这里面当中的这个性质，你得把它用好，就是俩人相互独立，它的拔之间也是独立的。啊，我们之间独立拔之间也是独立。反正就是见什么东西说什么话，见什么东西去写什么公式就行了。好了，这个题听明白了，给我回复一吧，都可以。二五三。你见到这个东西，

你去写什么公式？你见了减法写减法公式。你见了这个乘法写乘法公式，只不过这里面当中啊，我们的水平点拔高了之后的话，你就知道这两个相互独立拔之间也是独立。来继续，我们再看这个题。好了，看这个。那这个题啊，那可以先讲讲对吧？这个问题的话，因为我们古典概型的这个内容啊。对吧，

就是这种古典概型的东西。我们下节课再重点复习，但是没有复习之前，我觉得这种题也能做。他说一枚硬币啊，独立的进行去指了两次。你想清楚，那说明第一次值和第二次值是独立的。那共同发生就等于乘积的概率乘积啊，乘积概率等于概率乘积。然后他说。值得第一次出现正面。值得第二次出现正面。然后说正面和反面各出现一次。正面出现两次。

啊，那这里面当中，我们先来看看这个单独的这个概念。就a1的概率是多少？值一次值第一次出现正面，为什么值一次出现正面概率是多少？二分之一吧。第二次出现正面呢。那第二次，第二次跟第一次没有什么关系，就是值的意思，它出现正面，那还是二分之一。然后再看a3呢。a3这个东西是正面和反面，

各出现一次。这个情况你要注意。它有可能是正。反也有可能是反针。是不这两种情况都是正面反面各出现一次。能想清楚吗？那所以说你第一次是正二分之一，第二次反二分之一乘积的概率等于概率乘积。独立的嘛，你也可能是第一次是反，第二次是正你这一加它还是二分之一？然后我们再来看。这是p多少a4？那a4这个人是正面出现两次，那正面出现两次的话，

他必须是第一次是真。第二次还是真。两次都是正的话，就是二分之一乘二分之一，那是四分之一。好，这个情况我们现在看看这个两两独不独立呢？那这里面当中有一二三。你先你先判断相互独立简单，还是先判断两两，当然先判断两两。你要想独相互独立的话，前提得两两独立，先判断两两。量量了之后，

我们先看看第一个事情。那这里面当中，我们可以稍微进去做几个，因为我不知道我们先进去做。a1a2共同发生。a1a2什么意思啊？他的意思是第一次出现正面，第二次，然后怎么办也出现正面？他的次序只能是镇真。那所以说就是第一次二分之一，第二次二分之一等于四分之一，你看这个东西，它等不等于概率乘积啊，它等于说明这两个东西是独立的。

然后你再来看看a1和a3。a1a3的话就是第一次出现正面，正面和反面各出现一次。第一次必须是正面，正面，反面各出现一次，第二次必须是反面二分之一乘二分之一，那这人是四分之一。那一三呢？一三这是二分之一，你看共同发生的概率是四分之一，你是二分之一，你是二分之一还是四分之一？那没问题。然后接下来我们再来看，

如果这是二三呢？第二次出现证明。正面和反面各一次，那第一次必须是反面那二分之一乘二分之一，那还是四分之一？那二三相乘，确实四分之一诶，这些人之间是两两独立，那就可以选了呀，那选c呗结束了。好了，这是这个问题，那成立的就结束了，那人说那二三四呢，你可以试一下三和四。

那三和四的话，你想想。三四正面反面各出现一次，正面出现两次，你觉得会共同发生吗？既是正面反面，各出现一次，又是两次，这个两次都是正面，那不可能，那是零呐。三四啊，你发现这两个东西是零呢？你是零的话，你发现你这个三和这个四一乘，

这是八分之，这是八分之一啊，你肯定不行呐，所以。三和四肯定不独立。你都不两两独立，肯定不会相互独立。三和四肯定不会独立。这都不对。所以说接下来我们再来看，如果对你这个同学说的非常好，我马上就要说这个事情。你像在考研的时候。你这个题先排。如果a对的c肯定对。

a对的c肯定对a肯定不对。b然后是什么呢？b对了，之后d肯定对。b对的d肯定对那b肯定不对。你就可以静心想想这个事情，那么在这里面当中，我们还是稍微做一下吧。a1，a2，a3。那a1，a2，a3就是第一次是正面。第二次出现正面，

正面，反面各出现一次，共同发生呢，那不可能。而我们这里面当中的这个一二三这个东西相乘是八分之一。你不是零你说的不对。你绝对不行，所以说这个人不会相互独立的。好了，这是这个点，能想清楚吧，把这个问题点呢，你把它琢磨清楚。啊，因为单选题嘛，

其实这个题不是说特别的难，你下去好好想想。好了，掌握清楚给我回复一吧。好听明白了，给我回复一啊，这个题啊诶，这个题就是刚才那个题哦，我们就不说了，这是同一个题。那么，接下来我们就可以把这个前面的几个题啊，我们就可以讲讲了，来我们再来看，推到前面去。

好，我们再来看看，先看这个题吧。先看28。往前面翻一下啊，稍等一下哟，九点二十了，你再等一会儿好吗？我再讲两个题，我就下课了。好，我们先来看看这个第一个题。说这个a和b啊，互不相容。a和b互不相容的话的意思就是两者之间的这个交集。

它是一个空集。AB的交集是个空集。你交集是空集，你不相容跟独立呢？你就算什么东西呢？a的概率大于0b的概率大于零，你互不相容，一定不独立呀，你这肯定不对呀。不知道，如果有一如果a的概率等于零或者b的概率等于零，那然后的话，这个互不相容又能推独立。你说这个事情说不清楚。它有可能能推，

有可能推不了，那还得取决于a的概率和b的概率为不为零，这是我们刚才讲讲的这个问题，你还记得吗？好，再来看，那这个时候。这两东西相加是一吗？那不是啊。你这两个东西相加，可不是一你不是对立的呀。你只是互斥，但是不对立，你两个人的并集不一定是全集嘛。然后再来看看a这个人。

a这个人的话，你发现他就可以这样写。这就是a并b，然后是。等于零你这个人a并b的话，你发现。你要是零的话，其实它考的就是a并b是一。那我只说了两者之间的交集。是空集，可没有说并集是全集啊。你这是不对的，除非你对立对立就对了。然后这个人进行走的话，就是a交b的靶。

那就是一减去pab哎，这个情况你空集概率是零，这是一它对折。然后这东西那就不对了，所以正确答案选几啊，选的是d。大家听得懂吗？就是你这个人是空集。但是我可没有说，并且是全集，所以说这个a不对。对立的时候，两者之间加起来才是一嘛。好了，像这个题啊，

它不对，我们再来看看上面这个题。二四七。呃，像这个题啊，我觉得核心重点就是什么遇到什么东西去写什么就行了。那这个题目当中，它的提设条件告了告诉什么？提射条件告诉了这个人，那告诉这个人的话，你就用呗，那其实就是b的概率分之AB的概率。然后这个东西的话，你继续，你再滚开。

那然后。题干，谁跟你说一定相等啊？相互独立。呀，这个。嗯，我们先写吧啊。然后这是这个人。一减去pba和b，那就是a减BA的概率，减去AB的概率。好，你先写一下，我看看的话，

这个题是哪块问题？能想清楚吧，好了，这个会写吗？你能从这儿把它写到这儿，写到这儿的话，给我回复一。好，你能从这儿写到这儿。能写出来吧。因为PB拔嘛，一减它，然后交嘛a-b，然后这个时候对角线一乘的话，指AB这个人。

然后再减去这个什么这个AB这个人再乘上PB。然后它大于多少呢？大于这个a乘上这个b，然后再减去pab，然后再乘上PB。这样东西约掉了，所以我们得到的是pab大于PA×PB，所以这个题啊。嗯。把这个抹掉，没有这个条件。对吧，设AB为随机事件。啊为两个随机时间，然后概率是它，

然后通过这个东西啊，能推出这个人。啊，不能告诉这个条件，所以说我们刚才就应该讲这个题。好了，然后接下来我们再来看那哪个人能推出这个情况他就行了。那么，接下来我们来看看这个都是这个样子，你试呗，你试出来谁就是谁，所以我们试一下，你看第一个人。第一人就是a的概率分之AB的概率。它大于这个人的概率，

是一减去PA，然后共同发生就是。BA拔就是b-a。b再减去AB。好了，这是这个点能看得懂吗？能看清楚给我回复一啊。那这个时候的话，然后我们把这个对角线乘一下。pab再减去pab乘上PA。它就会大于PA bpa×PB。然后再减去PA，再乘上pab。这约掉了。诶，

这个a选项就能推出pab大于PA×PB，所以说这个题啊，我正确答案就选a。能想清楚吧，就是题目给的什么公式？我就写什么公式？然后推出什么谁也能推出，这个人就可以了，所以说这是这个题好了，掌握清楚给我回复一吧。这二四七这个题。能想清楚吧，就是完全考了一个事情，概率公式。你写了什么东西，

我就用什么公式。你这个人写了个条件概率，我就用条件概率公式，所以完全都是在套公式，你套出谁那谁就对了。好了，这是这个题目吧？然后剩下的这几个题啊，我们都放到下节课讲。等我把古典概型讲了之后啊，然后再来讲这几个点。今天的不难吧？啊，今天呢？所以我觉得这个今天的这个东西啊，

还是很重要，你下去好好把这个东西啊，你记到脑子里面。啊，第一个事情随机事件之间的关系，随机事件之间的运算，随机事件之间的运算率。概率公式，把它用一下就行。然后啊呃，下节课过程当中，我会重点进行去讲我们的古典概型的问题。因为古典概型，这里面当中的东西啊，是非常重要啊，

我们后天进行去讲下一次课程。后天哦。你要是觉得。这也难，那就没法学了啊。你现在把基础班的部分的东西你先吃透，其实你可以直接进行看这个强化部分内容就行。那不就是背什么公式，用什么公式吗？这是而且我们学的这个概率论呢，它只是概率论与数理统计当中非常非常少的一些部分。你像我们在这个。他也没有考一些非常难的点。你比如说像这个后面的内容，我们都不怎么去学。

你说你说这种这个，比如说有些考的这个非常难算的，这些点我们都不怎么考。我们就考非常简单的前几个部分内容，你这这些它没有什么难度系数，你老是会觉得这个东西。你就把该记的东西把它记住就行。你该背的公式把它背过就行了。然后进行去用这个公式就行，那这个内容点少很多很多啊。所以我们学的这个概率论呢，它连概率论与数理统计当中的五分之一都没有达到。所以希望大家下去啊，你好好进行去把它处理啊。行吧，

那么今天课程呢？我们就讲到这。所以自己下去好好把这个相对应的问题啊，你去处理一下。哦，现在那个思维导图。还没发吗？好的好的啊，行吧，我一会把那个传一下啊。那行吧，那么今天课程我们就讲到这。好了，这是这个问题吧，自己下去把这个相对的内容，

该记的东西啊，去记记，然后这里面当中我布置一个问题啊。你自己下节课，你稍微的进行注意一下，就是这里面当中啊。三，大概型。注意下，我们基础班讲过的一道题。去把那道题好好的进行去再看一看，我下节课有可能还会再讲一遍。有一个题。呃，稍等一下啊，

我说一嘴就结束。就这个题。把这个题再看看。一点一六这个题。把这个题再看看。能听懂吗？哎，把这个东西再看看这个题，我下节课还会再讲一遍。摸球的问题会摸球啊，这个事情就很简单了。你最重要问题，这个题一定要算出来的思路是非常清楚的。我一直给你讲一个事情，我说你不要把这个呃古典概型的题啊，

排列组合的东西啊，把它当做成一个玄学问题了。所以像这个点，你下去过程当中好好处理处理。行吧，那么这是这个版块，然后的话我可以进行去传那个300题，然后那个300题啊呃，我先传这个概率统计的部分。可以吧，然后的话，你可以进行去处理这个部分，然后那个。应该是多元微分学，我记得当时有传那个吗？

啊，多元微分学，你可以先进行去做这个概率统计部分，你回头进行去复盘那个线性代数啊，你再把线性代数的进行去完成就行啊。好了，这个事情我们就讲到这。可以吧呃，因为现在的话，我还得进行叫一遍。我们先把那个多元微分，还有这个概率论的，这个前面部分的话，我们先传过去。好不好啊？

然后的话，你做好这个下节课的一个准备，我下节课会讲以下几个问题，一是古典概型。然后还有一个事情是分步函数。然后是一个离散型随机变量，这是我下节课要重点讲的几个板块内容。注意了，古典概型应该是三大概型。然后第二个事情分布函数，然后是离散型随机变量，把这几个内容你去看看啊，问题点不大了。如果有时间，你可以看到连续性随机变量。

好了，那么今天课程呢？我们讲到这注意啊，笔记要好好看，就是你有些同学，我看到也非常好，就是把我上课的话这个。这个讲义有些同学打印出来也行啊，你只要做了就行了，你别管怎么样，就是你最终问题是要学了学了，这才是最重要的。我觉得无论你在哪儿学，怎么去学都无所谓，就是这个知识在在脑子里面会了，

这才是最重要的。行吧，把这个东西啊啃上个两三遍，你再回头看你看看效果。所以我相信等我们这个概率论呢，结束了之后，然后接下来你进行去复盘，把这个东西啊，稳稳当当的，每个点吃透，等你再回过头来看看。你发现什么东西叫回头看的这个力量好了，那么今天课程呢，我们就讲到这儿，你可能现在的话还正处于这个复习，

因为有些东西还没有完。你心里老是会觉得，哎呀，后面还有一点东西啊，这个快没了。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这自己下去啊，把相对问题啊，好好处理处理好吧，同学们那行吧，好，我们后天见吧。然后明天是没有课的。明天没有课，

你先整理整理完了，然后再去复习就行了，好那么今天课程呢，我们就讲到这儿，后天见吧啊。

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