27.冲刺满分强化篇·（概率）题型43—45精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:19:57

接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。那么今天啊，我们就继续开始我们啊，这个三九六的强化班部分课程，那从今天开始啊，我们将进入到最最后一个板块，内容叫做概率论。那么，这个板块的内容啊呃，

可能在基础部阶段呢，有些同学可能对这个古典概型的一些问题排列组合的一些东西啊，有些同学理解的这个东西啊，不够太特别深刻。所以说我们到了这个强化班的过程当中，会对这个板块内容做一个重点的加强，其实我们接下来我们来看看这个概率论呢，所有的核心考点。那这个核心考点内容点是非常非常少的。那说实话，这个第四章基本上就没有什么知识点，就是一个期望的计算，一个方差的计算，一个期望的性质，一个方差的性质。

所以说这一章部分的内容是非常少的，然后这一章部分的内容更少，我们只会考一个二维离散型，随机变量。你对于二维连续性随机变量，我们不会考察，因为里面当中会涉及到二重积分的知识点，我们只需要掌握住二维离散性随机变量。那即可，所以说对我们而言，核心重点应该是前两章。注意一个问题啊，我说核心重点是前两章东西比较多，但是你一定要注意每年过程当中的核心考点在哪呢？那么，

接下来我们稍微进行去捋一下，那如果从第一章的角度上而言，那一般情况下，如果进行出题，就是两个点。一个事情是概率公式的使用。概率公式的使用。那就是我们在这里面当中啊，会出一个概率公式的问题，那这个点呢，有可能会出一道题，我们总共出七道题啊，这是有个可能性的。然后第二件事情其实就是我们的三大概型。三大概型那这个问题啊，

也有可能出题。那包括古典概型几何概型，伯努利概型啊，这个问题啊，有可能会出题，那么这里面当中有些同学可能古典概型稍微的会差一点点，那别的东西我觉得都还好。好了，这是这个问题，然后到了第二章，你发现这门课程呢？套路是非常明显的，那么接下来我们再来看看第二章。那么，在第二章当中啊，

第一个事情我们一定会考察的一个点是什么呢？是分布函数。对吧，分布函数的定义性质，还有求概率。好了，这三个问题把这个事情啊拿下来，一般会出一道题。对吧，给一个分布函数去求其中的待定参数。给了一个分布函数，哎，让你去判断一下它是不是分布函数对吧？给一个函数是不是分布函数，然后说给的这个分布函数是离散性随机变量的分布函数还是连续性随机变量的分布函数？

还是既非离散，也非连续性的分布函数好了，这是这个问题，然后第二个事情，那就是离散性，离散性的考题啊，几率不是说特别大。那一般情况下，它的核心重点其实就是分布率的问题啊，这个点比较简单，然后接下来我们再来看看连续性，连续性在我们的考研过程当中必出题。这是你要注意的，无论是知道概率密度函数，求分布函数还是知道分布函数去求概率密度函数，

还是根据概率密度函数求概率。所以像这个问题啊啊，基本上内容点的难度系数不是说特别大，你看这一定会出题一道。这一定会出题两刀，这一定会出题三刀，你数着，然后接下来我们再来看看这一块。第四个事情常见分布，一定会出一个题。那有的时候常见分布出两个题，尤其是比较喜欢考的几个人，一个事情是我们的泊松分布。二项分布，还有我们的指数分布，

还有我们的正态分布，一定会出题，哎，正态分布必出题，所以有的时候会出一道，有的时候会出两道。然后最后一个事情，其实有一个比较难的，叫做一维随机变量。函数的分布。这个内容比较难，但是基本上没有怎么出过题，你不能掉以轻心的啊，那么今年过程当中，你在这里面当中啊，

你稍微注意一下。对吧，一为连续性随机变量函数的分布，怎么去求没有怎么出过啊？这个其实比较难，那比较难的话，但是呃，基本上而言呢？这个出题点呢，出的也不太多，然后接下来我们到了二维离散性随机变量，那么这里面当中联合分布率。对吧，然后是边缘分布率。然后第三个事情是独立性好了，

像这个问题，你看这块一定会出一个题。虽然我们大纲啊，说的非常的简洁，大纲上写的是这个一维随机变量积器分。你发现这个二维离散型啊，每年都考。啊，每年必出题，所以你记住这块一定会有一道题，100%有一道题，你不用去想，一定会出一道。啊，然后这个东西出完了之后，

然后最后一个事情，一个事情是期望的计算。然后第二事情是方差的，计算好了，这个部分内容必出题。有的时候是一道，有的时候是两道，所以我们来捋一下啊，你看在这一章过程当中，像第一个点一定会出一道题。注意，这一定会有一道100%，有一道然后接下来我们来看看分步函数，有的时候出，有的时候不出。

有的时候这不出啊，可以放到这儿出，反正这两个考点当中，有的时候出一道，有的是出两道好了，这是三道题了。对吧，两道三道题了，然后这个东西啊，有的时候出一道，有的出两道，所以说这是三到四道题了。然后这个东西啊啊，基本没有出过。然后这块必出一道题。

对吧，必出一道题，然后这是四到五道题嘛，然后这个东西的话，你发现期望一定会考方差，一定会考，所以每年过程当中的问题都在这。就是无论这个高等数学考的多难。对吧，或者有的时候线性代数，它也可能变难，但是你发现概率论这个部分的难度系数一般都不高。这个难度系数低。这是三门课程当中啊呃，投入低，

回报率最高的一门课程。啊，投入最低，回报率最高的一门课程。你到时候我们来看看吧，每个点可能有些同学的话，在这个复习当中啊，觉得三大概型难一点，别的东西都很简单。就是脑子里面当中都有一个题型，你数都能数得清楚。所以有些同学可能这个概率论呢，第一轮过过去对吧，觉得这个东西稍微的难一点，那么今天啊，

我们再给你捋一遍。我们三天之后啊，我们再见分晓，等这三天过程当中啊，之后结束了之后，你再回头看你发现这个问题点难度系数都不大。你就算这个东西出的再难。只有两个问题，一个事情是有些同学读不懂题。这个点呢，你得自己多读一读，那这个事儿我觉得没有什么话说，你只能自己多读一读。当然的话，这里面当中文字题比较多一点啊，

文字题稍微的有的时候会出一些文字题，有些呢，这个读不懂题啊，这个东西啊，你自己稍微的有的时候你还自己得硬着头皮多进行读一读。啊，其实他又不是写的英文啊，都是写的一个语文的汉字啊，我觉得难度不大，然后另外一件事情就是题型的辨识能力。所以我觉得这个。呃，只要你基础。过了一遍。那就可以，

能听懂吗？只要你基础过了一遍，我觉得问题都不大。只要你曾经基础班，你过过一遍，有的同学那个为什么第一遍的话觉得太难了，因为很多东西都是新内容。你再者而言，有些同学高中期简直就没有什么基础。只要你过过一遍问题点都不大，所以说接下来我觉得这个三个板块内容，这个三个板块当中最简单的一门课程。你要有自信心一点，你一定是能把它拿下来的，所以说这两天呢呃，

别的课程我都全部结束了，我只有我们的课程啊，状态非常的好。好了，那么接下来我们就三天过程当中，我们就重点来突破这个问题。那么，这里面当中啊，我就要提示几个点第一事情。那么，在这里面当中啊，这个学习上的这个问题啊，第一个事情。该计的公式。务必记住，

能听懂吧啊，该记的公式啊，务必记住，如果你不喜欢记公式。那拉倒啊，你记不住公式那拉倒。好了，那这件事情我就不跟你说话了，那你这个最后是个什么效果？那我就不知道了。对吧，你该记住的公式一定要记住。然后第二件事情概率论这门课程的特点提醒。分米。题型呢，

非常的清楚。所以每一种题型，脑子里面当中啊，都要有一个非常重要的模板，尤其是第二章。那讨论分布函数，我得需要从几个点开始出发。讨论这个概率密度函数，我需要从几个点出发？我通过这个概率密度函数求分布函数怎么做？我拉条线，然后怎么怎么处理？你发现都是套路。这个东西啊，套路特别的明显。

哎，这个点呢，套路明显。所以，该记住的公式一定要把它给我记住，题型分明，每一种题型当中的这个套路，你必须给我记死。没有几个的，你数都能数的下来，所以像这门课程过一遍，然后接下来这个强化课程给你打通打通完了。这东西就结束。所以每一种类型问题，脑子里面当中啊，

你得有一个提醒。你务必把它记记清楚好了，那么这个点呢，我们就讲到这，所以接下来我们就正式开始吧，我们接下来我们从这个。第一章开始啊。那么，首先我们先来看看第一章，第一章这个板块内容的名字叫什么呢？它叫做这个东西，叫做随机事件。及其概率。那么，首先我们在这个正式讲课之前呢？

我先来跟同学们去聊一个问题。你思考一下。概率论的核心在干嘛呀？啊，概率论的核心是干嘛呀？概率论的核心是求概率。比如说你是说了这个鬼话，那肯定的呀，概率论的核心就是求概率。那么，在概率论当中。第一章过程当中，我们学习的是具有随机性的事件。它是具有随机性的问题。那比如说举个例子。

我们说甲同学。是吧，比如说。这里面当中有三张彩票。第一张彩票有30万。谢谢参与，谢谢参与好了，有三张彩票。放到一个盒子里面。然后的话问一个事情，说已知甲同学。摸了一次，摸中了30万的彩票，问他摸中30万彩票的概率是什么？你看这个问题问的就是胡说八道。

一看这个同学，他就不了解概率论。能这样问吗？你看还有同学问三分之一。这怎么能是三分之一？人家说已经摸到了三十万。人家问他的概率是多少，这有什么好求概率，这还这具有随机性吗？他不具有随机性，他都摸着了，我求什么概率啊？所以同学们一定注意一个事情，我们这个概率论呐，他研究的东西是什么？

是这个东西具有随机性，我还不知道它是什么情况。你能听得懂我的意思吗？所以同学们一定要听清楚啊，他得具有随机性。能理解吧，你再比如说掷色子。那直出一这个点二这个点三这个点四这个点五这个点六这个点你直出哪个点我知道吗？我不知道有同学说那我直出三这个点问直出三的点给那问这个东西有什么意思呢？它已经发生了。他就不具有随机性了。它已经发生了，所以这里面当中的东西啊，你一定要想清楚这个事。能理解吧，

它必须带有随机性。好了，这是这个问题，随机性啊，就是这个东西，它可能是这个人，可能是这个人，可能是这个人，然后我去求它的可能性。这叫概率可能性的大小，能想清楚吧，好了，原来我们在基础班的过程当中，一开始讲讲了好多内容。比如讲什么随机试验，

在什么相同条件下可以重复发生，然后每次事先我知道所有情况，每次事先我不知道哪个会发生好，讲了一堆。然后说随机实验的所有的情况，它的集合叫做样本空间，样本空间的子集叫做随机事件，你发现原来过程当中讲了这么多，但是到了后面再用。你觉得你用到了吗？其实你发现没有怎么用到这，其实就是我必须要先走过一轮，然后接下来再回头看，把它串起来，哎，

这门课程呢，你就拿下来了。所以你就先知道第一个事情，你知道随机事件其实就是个集合。对吧，你具有随机性的一个情况。比如说我进行去掷色子，我能植出一二三四五六。我问一个事情，我说直出偶数点，那是不二四六啊？能理解吧，你可以通过这种集合的方式进行研究。那你偶数点里面就二四六呗。那奇数点里面就是幺三五倍。

是不是这个问题啊，所以它具有一定的随机性。这就是我想讨论的这个问题点。那么，接下来我们就正式开始吧，我们先来看看第一个问题，那么在这章啊，我们的核心重点，我们学以下几个问题。一，随机事件。的关系与运算。对吧，有哪些关系？怎么做运算？

然后接下来就是随机事件。的概率求解，利用概率公式求解概率，然后第三个事情三大概型。然后第四个事情，我们还要讲讲全概率公式。与贝叶斯公式。好，这个问题。所以在这种当中啊，我们的核心重点，我们就学习以下几个问题，这样吧，我们先讲，讲完了之后再穿，

你可能印象更深刻。在讲之前，有些同学都忘光了啊，你忘光了也不行，你啥都不行了，都都不记得了，那也不行。好了，那么接下来我们先来看看第一个事情，我们讲讲概率公式。我们对谁求概率？你对谁求概率？你是对一个具有随机性的事件进行求概率。比如说掷色子掷出哪个点，我不知道它具有随机性的这个事件求概率。

你要对随机事件求概率，所以我们先完成前奏。什么前奏呢？随机事件之间具有什么关系啊？对吧，第一个点，我们先来看看随机事件的概率啊，这个关系你不要老是不喜欢。你说你还没有怎么开始学，你老怕他对吧？你这这种情况怎么怎么行呢？老师对一个未知的东西，你充满这种恐惧，还没有干成什么事呢，先切三分啊，

切三分就弱三分。弱三分就是菜三分啊。然后你就被别人又拉开三分起跑线上，先被别人拉三分啊。好了，那么接下来我们一起来看看吧，随机事件之间的关系。那首先第一个事情你要注意。随机事件这个东西啊。我们往往用大写字母来表示。好了，这是一个随机时间大写字母，表示它往往是一个对应的一个集合。我们先来看看第一个事情，随机事件具有哪些关系呢？

好，先看第一关系。包含关系。包含那包含关系什么意思呢？比如说这里面当中，我们看看这个第一个人。那这个东西就叫做a包含于b。对吧，比如说a这个人里面当中只有一和二，而b这里面当中有一二三四哎，你包含于b。或者这样说，我们说b包含a行不行？我们说a属于B型题，有同学说老师不行，

我原来基础班就讲过这个事，他说那里面那个元素跟集合之间才能是属于关系集合和集合之间，应该是包含关系。我说这话你能理解就行了。不要犯轴。数学它是一个思想，你把这个逻辑性这种思想打开。老师抠这个字啊，我觉得就没啥意思。好，这是这个问题a属于b。那你想，如果a发生了b发生不？你在这里面。那你发生了，

我肯定发生啊。所以这里面当中啊，它等价的一个情况是。如果a发生。则这个人一定发生。好注意一个人发生。一定会导致另外一个人发生。你看看这个中间，它之间有个牵连关系。就是一个人发生会导致这个人发生。所以这个人发生导致这个人发生，那你就在这个人的里面。哎，这种图叫韦恩图。能想清楚吧，

好你的发生一定会导致我的发生好了，这个情况就叫术语关系。那么等一会过程当中，我们再来讲吧，要不这样，我们先把这个呃之间的这个运算，我们再讲讲，要不这样，我们讲完了之后，我们再回来穿吧。一个人的发生一定会导致另外一个人发生，那这个东西就要包含关系，然后再来看看相等的。相等这个东西啊，没什么可讲的a跟b是一样的。

你发生了，我就发生了，你不发生，我就不发生，我俩是一样的，所以这个问题啊，难度系数不大不重要。真正重要的是互斥。那什么叫互斥呢？互斥也叫互不相容。互斥也叫互不相容。就是你这个a这个人在这么这么多，然后b这个人在这么多。我们两者之间没有交集，没有交集怎么进行去谈？

这个a与b。它两人之间是互斥呢。那互斥说的是我两者之间的交集。是空集。对吧，我们两个人之间的这个交集是一个空集。我们交集是空集，我们就互斥。那同学们想想一个问题。如果互斥了。你发声。它会发生吗？如果都会发生，都有可能发生的条件下。你发生它会发生吗？

你发生了，他肯定不发生。他发生了，你肯定不发生，因为两者之间没有交集啊。对吧，它不能共存，不是不一定，是一定不。不是不一定，是一定不。你这这两个词儿还不一样呢，你这不是学逻辑吗？逻辑里面这种词儿那肯定不一样，你发生了它肯定不发生啊。

我们两者之间没有交集，你如果这个发生的话，你比如说在这里面取了一个点，那肯定这个东西不取啊。就一定。能做么清楚吧？好了，这是这个问题，然后再来看看对立。那对立这个人呢？他是这样。好，我们看看对立。那对立是什么呢？就说我们两个人之间的这个交集啊。

是一个空集。我们两个之间的这个并集啊。是一个全集。就是我们俩相乘，我们是一个空集，我们俩相并，我们俩是全集。所以说这里面当中的这个a呀，也叫做什么呢？a也叫做b拔b也叫a拔。我们俩是对立的，不是你就是我，不是我就是你，你发生了我不发生。你不发生，

我一定发生。能理解吧，不是你就是我啊，这两个问题。所以这个内容点呢，跟上面这个不一样，那如果说不是你，那一定是他吗？那也有可能都不是。所以想清楚就行了啊，对立我们俩是对立面。就这个问题，所以像这个关系啊，我们有四个关系包含。相等互斥。

对立能装到脑子里面吗？我先告诉你一种学习数学的方法，你先把这个东西给接受了，你才能同化它。有些同学每个同每一个公式他都非常的抗拒，你抗拒它干嘛呀？你先接受他呀。那么你就你就我们再给你讲概念，我们讲a这种情况叫互斥，你心里一直在想，哎呀，为什么他叫互斥？老师，你想这个东西干嘛呢？对吧？

为什么这个名儿叫互斥？为什么不叫别的词儿？你想这东西干嘛？人家规定好的这个规则，你把它学清楚不就行了。你先要接受他。好了，这是这个题。那么，接下来我们再来看看第二事情，我们再来看运算。那这里面当中的运算有几个运算呢啊？运算呢？我们有三种运算，一件事情叫什么叫核事件？

对吧，我们其实叫什么呢？就是加法那还有一种叫做乘法，那还有一种叫什么？还有一种叫减法。啊，还有一种东西叫减法。那么这三个人。那么，首先我们先来看看第一事件没有除法啊，先看第一个点，如果这是核事件，就是a并b。也叫做a+b。那这个东西表示哪个范围呢？

它表示的这个范围。啊，这个情况，那这个人叫什么呢？叫做a发生。然后什么或者必发生。啊，一定注意你发声，或者我发声。有一个日发生就行好，这是一个问题，然后基事件呢？就是交集。焦集其实就是乘法。就这个范围，

那这个人呢？不能叫霍，那他叫什么呢？他叫。a发生的部分。而且且b也发生的部分。对吧，两者之间一定是且的关系。然后再看叉事件。那差事件是什么呢？是你发生，然后我波发生的部分就这个部分。所以这里面当中一定是a-b。a-b叫做a发生。然后且b1定怎么办？

不发生。两者之间什么关系啊？且的关系。所以说这个人怎么去写呢？就是你发声再交上，我不发声好了，这个人。一定要会写好了，这里面当中的第一个能力。你见到a-b立即写成AB吧。只要你见到a-b，立即把它写成AB吧。能理解我的意思吗？你只要见到这个东西，你立即给我写成AB吧。

把这个东西啊，你给我写清楚。所以说在这里面当中，你就会发现有这三种时间。对吧，和积差三种事件的问题。好，这是这个点。所以对于我们的这样的一个运算呢，我们有这三种运算。然后关系呢，我们有四种关系，那么其中包含关系很重要，它有导致的一个问题，比如说我举个例子。

我一个题这样说。我们说a。货币发生。使c1定发生。那么，同学们告诉我一件事。你一定发生那这句话怎么写？很明显，有个导致关系，你或是什么呢？你或是你发生或者我发生。我们一定会导致c我属于你。知识要进脑子啊，先把知识进脑子，然后一会儿再用这个知识就行，

所以说学数学你一定要。虽然这种东西有点啰嗦了，对吧？但是它其实就是这样，你先把这个知识你接触到脑子里面，然后你再用这个知识去解决问题就行了。就学习规则，然后用这个规则，然后进行处理问题就行，那所以说我们在玩的这个数学，它其实就是一种规则。对吧，只不过这个规则叫数学规则。你就跟你比如说你去啊，玩一些这个什么游戏？

你或者进行去啊，那个比如说呃，打个篮球对吧？打乒乓球它都有规则。你先把这个规则你先记到脑子里面。比如打乒乓球，人家怎么拍的哦？你知道是这样拍的，然后你知道这个怎么样？他是得分的。你先要记住他。好了，这是这个问题，先进脑子。好了，

这是这个点吧，我们就讲到这，那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题，那么这是第一个点，所以我们学了什么内容啊？我们都在学前奏的东西，这不会考的。它只是我们在那个运算当中的里面当中的一个内容啊，里面当中的一个东西就是我要求它的这个概率，我们只在玩玩这个前奏。好，这个问题，所以你看我们学了关系，我们学了。

这个什么运算，然后接下来我们来看看运算律。啊，运算律。那么，首先我们先来看第一个事情非常重要的吸收率。啊，吸收率。那吸收率这个。你好好听课，你别逗我啊，好吸收率吸收率这个东西啊，它是这样。如果这个a啊。属于b那这个a啊，

它是在这个b的里面。啊，这个a啊，在这个b的里面。那你既然a这个人在b这个人的里面，那你告诉我两者之间相交是什么？小的两个人之间取并是什么？是大的。交取小并取大。能理解吧，你交了之后取小的，你并了之后取大的。你交了之后取小的，并了之后取大的。交取小并取大，

那当然了，两相交的话，取交集共同发生的肯定是小的。或者关系肯定是大的。这个非常好理解。那么，在这里面当中，我们就想谈一个事情，我住到这。那么，请同学们告诉我，如果这个是AB。和这个a。谁大呀啊？你原来这是AB，

你这是a谁大呀？那肯定a大呀。我原来这么多，你如果b跟我一样的话，就是我本自己，如果你b的话，再交一点的话，你就变成这么了。所以它应该是一个什么，所以应该是属于关系。啊，这叫子集嘛，高中学真子集的话是不包括本身的，这是子集嘛，可以相等。

所以你交了之后的话，你反而变小了。那么，接下来我们再来看，如果进行去并呢？你告诉我这辆谁当然。啊，这俩谁大呀？你这两个东西啊。那b呢？肯定大呀，果然这么多，再跟b一点，再加一点，那肯定变大呀b变大。

那么，如果这是交了，还有这个并。这俩谁答呀？那肯定并答呀。所以这个这不难想吧，这非非常简单，你把这个东西关系给突破过去。所以那这个时候你掌握清楚了之后，你马上知道。如果我将来AB这个人。对吧，我想跟a进行去交。那两个一交的话，其实你发现取的是小的。

你这样进行想也行，你或者而言的话，你就可以直接想a交上b再交a，其实就是a和b交。然后再看，如果AB这个人。跟a进行b呢。并取大就是这个人就是不要背，不要背，你知道谁大就行了。然后再来看看这个人。如果a这个人，你想跟什么呢？你想跟a并b要交。那胶就进行取小。

然后接下来如果你a你想跟什么a并b进行并并就进行取答。好，这个人如果接下来我们再看这个人，如果是AB这个人，你跟这个什么a并b进行交。胶就进行取消。然后你AB这个人跟a并b进行取b并取答。能想清楚吗？所以你理解清楚，谁大就行了。反正就是交取小并取大。交取小并取大。能说不清楚吧。知道知道谁大不要背啊，一背就傻了，

你知道谁大就行。那我们再来看。那如果这时a跟空气交呢？那当然，空集小空集是任何人的子集，那小郊区小。如果这是b呢b取大。如果a跟全集交呢？郊区小。a跟全集b呢，并取大，所以大家注意啊，这一堆东西你看我写了这么多，其实你发现一个事它。它的内涵就是你要知道谁大谁小就行。

好了，这就是它的内涵。你知道这个事情谁大谁，你知道这个大什么意思吗？大的意思就是它包含了它啊，就是你转一下就出来了，对吧？不要进行背一背就傻了，因为这个东西能写很多啊。好了，这是吸收率，反正就是你属于我交取小并取大。好了，这是这个问题啊，然后接下来我们再来看看下面一个问题，

它具有交换律。那当然了。那首先第一件事a交b。跟b交a一样不一样。这不是矩阵呢。不要把它想做线性代数了。你看你a交b是这么多b交a，还不是这么多吗？然后你a并比跟b并a一样不一样。a并b是这么大b并a是不是也是这么大？这一样的。所以你要注意这个事情，然后我们再来看看结合律。那结合律的话，就是a交b交c。

你交上，我再交上它这个部分。那你能不能先把b和c进行求？你b和c进行交的话，就是这个人交这个人。你再跟他交行不行？反正最后交出来的这个结果不就是他吗？好，这个人如果进行去并a并b并c。你能不能是这样，我先把b和c并了。这无所谓啊。反正最后的话，病就是一堆嘛，你后面先病的再跟他病一样的。

好，这是这个问题。然后接下来我们再来看看下一个点分配率啊，分配率稍微注意一下就行。那这人是这样。如果这人是交，然后这是b并c。那就是a先跟b交。a在跟c角，然后俩人取b。好，这个问题，然后如果是AB。b交c。那其实就是a并b。

a并c。好了，这两人，然后再取个九。所以像这个东西啊，它就叫分配律。你第一个人跟第二个人，你再跟他，然后最后的话把他一交就行了。能想清楚吗？好了，听明白了给我回复一这个东西它不难哦，然后接下来我们再来看看最后一个问题，对偶律对偶例喜欢用。对偶律也叫摩尔根律，

或叫摩根律。那这个东西叫什么呢？就这样。并b你跟b1并，然后拔下。拔下来之后的话就是你去拔，然后再怎么办？你去拔把这改成交。好了，这是这个问题，就是原来同学说的这个长杠变短杠，然后开口换方向好这个问题。那么，接下来我们就继续吧嗯，我再说一遍啊。

你老是这样学，怎么怎么行呢？那个东西都是英文单词翻过来的。对吧，就是那个他叫什么名字都是一个这个翻过来的。你就跟我们原来那个呃线性代数当中，你们当中那个范德蒙。还有一个叫范德蒙德。你都是把英文单词翻成这样，你学了这么多年，学你还不了解这个吗？你老是老是抠那个事情呢，我觉得这个问题点啊。那我们继续吧，我们再来看下一个点。

对吧，就是你发现这个是把他进行拔下，他拔下把这人变成他。然后接下来我们再来看看下一个问题，如果这是两个先交呢？交了之后就是你去把你去把把这人改成兵。好了，这是这个问题，然后接下来我们再来看看下一个点，那如果是多个人呢？那也一样，你拔下你拔下，每个人拔下，再把人改成球。然后接下来你发现，

如果这是胶。然后再是交那这个时候的话，你发现就是他每个人拔下，然后把这个交改成兵。好了，像这个问题啊，你自己下去好好处理一下，就是你理解就行了。那比如说我这里面当中当然的话，我拓展一点点啊，就没啥意思了，不太会考这个人。那如果这是并，然后这是交怎么办？那怎么处理呢？

那非常简单，我把这个后面这俩人呢？我作为一个整体，你拔下，然后这个b交c再拔下。把这个改成这个符号。然后接下来的话，你发现你这个人，你看我再来看这俩人，这俩人就是你拔下你拔下，把这胶改成冰。能理解吧，就是你稍微理解了这个事情就非常简单，你可以把这章作为整体嘛，我把这一个看成一个整体。

就是你拔下我，拔下我们把这个并改交。然后再做这一个人，那就可以了，好了，我们就讲到这。我们现在所讲的所有的问题啊，只不过是我们马上要进行学习的概率公式的一个什么前奏部分内容。因为你都知道一个事情，我们一会儿要进行求概率。是不是对一个事件进行求概率啊？对吧，就是对这个里面这个人进行求概率。那里面这个人怎么进行去运算的呢？有什么关系呢？

就是我们刚才讲的这个内容复习一下，有四个关系。有三个运算有。吸收率，交换率，结合率，分配率，对偶率好了，这些知识点呢？你装到脑子里面就行了。好都掌握清楚了，给我回复一，那么接下来我们正式来开始看今天的核心重点内容。所以你看看强化班呢，在上这个概率论当中，

我觉得非常重要。因为你发现你在基础班的时候，你在前面，我们前面就要铺好长一串东西，要讲什么随机试验，讲什么随机事件，讲什么这个。呃，基本事件什么这个必然发生，不可能发生，还有这个呃，非这个基本事件就讲了好多内容，但是你发现其实重要的话就是这波知识点。那么，接下来我们来看看下面一个重点问题，

先看第一个点，随机事件概率性质。那么，首先我们在这里面当中啊，还是要讲这个事情。你这个人叫随机事件。你具有随机性。对吧，你具有随机性。你这是个随机事件，你具有随机性。我才来进行去求它的概率。能理解我的意思吗？你具有随机性，那你想想你这个人没有什么随机性，

我求你的概率干嘛？对吧，我就不用求了，它具有随机性。所以首先第一件事情，我们先来看看这个概率的性质叫规范性。什么叫规范性呢？就这样的一个事情。其实就是如果你这个事件。为空集。我就可以立即推出来一个事情。推出了什么？推出来你这个人的概率。空集的概率就是零。然后接下来我们再来看啊，

我们就推出了这个人概率是零。如果这里面当中这个a，它是个全集。我就可以进行去推出来，你这个人的概率是一。这个没问题吧？因为你不可能发生事件，你的可能性的话，你的概率就是零呐。然后你这个人概率就是一，这没有任何问题，但是同学们想想你这个事情反过来还成立吗？反过来就不成立了。那么，这种成立啊，

不成立其实基基本上而言一般都是在什么在连续性随机变量当中不成立？啊，一般都是在连续性随机变量当中不成立。就是我原来给你进行去讲的这个例子。好，我们先看。如果你往一到三上投石子。我往这一段上投石子。投石早的话，你会发现个事。我去投。投十早的话，投到这一段的概率是多少？就是你的长度除以总长度。对吧，

你投石子儿的话，其实就是长度之比嘛，你其实都知道这是一个均匀分布。那么，接下来看我投到一个点的概率是多少？一个点没有长度啊。你这人处于总长度的概率是几啊？你这个事件的话，就是概率是零。但是你真的投不到这个点吗？那不一定，我有可能投到这个点。那所以你这件事情啊，你就不能说你这个人不可能发生。我有可能发生啊。

我万一有一天投到这个点了呢？同理而言，我们再来看。我不知道上面投石子。投石子怎么了？我投的这一段。啊，除了这个点。那除了这个点，它的概率是多少？就是我投到最后的话，你发现是这一段到这一段，不包括这个点，除了这一个点。好，

你的概率是多少？你除了这个点的话，你发现你的概率，你的长度是几啊？你长度跟总长度不就是一吗？但是你一定说它就能投到这个点吗？那不一定。那万一的话，你发现我有一天投到这个什么呃说都在这个点之外吗？在这个区间段，万一有天投到这个点呢？我没有在这一段呢？能想清楚吧，所以一般情况下我们都讲从概率是无法推知事件的。就说你这个概率是多少，

你不能说这个事件就是什么？这是最基本的你，比如说这个第一条。我们说如果这个a的概率是零。我们说什么呢？我说这个人是空集，对不对？不对。对吧，第二件事情，如果说什么呢？如果你这个b这个人的概率是全集，你能说这个人是？这个概率是一，你能说这个人是必然发生事件吗？

也不能。对吧，你再比如说如果一个题当中说我这里面当中的AB。我是小于等于PB的。你能不能说这个AB就在这个b当中啊？这都不能。就是你从这个概率推这个事件呢，往往都不会发生，其实我们都知道，如果你属于他呀，你的概率比他小，这样推是可以的。从事件推这个概率是可以的。能理解吧诶，这是这个事情。

但是同学们，你再思考一个问题。如果说。a这个概率大于零。我能不能说它不是一个空集啊？能不能你想想？可以还是不可以？这个事情你反证一下就行了。啊，你反正想。如果这个人是空集。那它概率应该等于零啊。所以说它肯定不是空集。哎，这条东西啊，

它是可以的。能想清楚吧，你不要说哎呀，老师，你看你这个人从概率推事件呢，你其实你发现你这个东西其实就是怎么办，它其实就是这个东西的逆否命题呗。你就反向继续去想呗。好了，这是这个事情，无法从这个概率推迟这个时间，那这个是基本的一种。你想清楚吧，你要是个空集，你概率肯定是零啊，

你现在概率大于零，你说那还小于零，疯了吧，概率怎么能小于零呢？概率是零到一。不是等于零就是大于零。你要是空集概率肯定等于零，所以说哎，这个人不可能他就大于零。所以像这个问题啊，这就是我们讲的一般情况下无法通过这个概率推这个时间，你是推不出来的。那么，接下来我们再来看看重点内容概率不等式。那么，

在这里面当中啊，你要想清楚一个问题。概率不等式。在我们接下来的学习过程当中，我们讲的大部分的内容都是概率的等式。如果在做一道选择题当中出现了不等式，你一定要往这上面想，就这俩人。第一个人，你这个人的概率是大于等于零，小于等于一。不要小看它，它还挺有用。好了，这是第二点，

第一个人。然后第二任就是比较重要的这个人。如果这个a属于这个b。那这个时候a的概率就会小于等于b的概率。能理解吧，你比你属于我，你的概率就会比我小。如果你这个人属于我，你的概率一定会比我小。能琢磨清楚吗？好了，这是第一个点。想清楚他。那么，在这种当中，

我们就要进行琢磨一下。那刚才我们讲过。你AB这个人。跟a这个人呢？我原来这么大，你再焦一点，你焦一点的话，应该变小了呀。你再教一点呢。你会变得更小。所以说这里面当中我们都知道因为什么呢，你越交越小。所以说，从概率的角度上而言，它就是越乘越小。

记住，概率是越乘越小。你一沉，你就会比原来的概率小。这是一个重点，越沉越小。像不像质的公式啊？非常像，越沉越小，就你交的越多，你会变得越小。所以说这条内容我们把它想清楚。你交的越多，你就会越小。好了，

听明白了给我回复一。你这个人的话，交的越小。对吧，你交的越多，你肯定会越小，当然了，你原本这么大，你再交一块变这么大，你再交一块变这么大，你再交一块呢，你又变小。你交的越多，你越小。所以从概率上而言，

它就越来越小。但是同学们。他能小到底吗？它绝对不行。比如说第一条。那如果你发现一个事，我举个例子。如果这个AB这个人。它都等于零了。也就说你这都是理。你能小过零吗？你最最低是零，你现在比你大的都按到零了，你肯定是零，你想想你大于等于零，

小于等于零，你不就是零吗？对吧，你不能小的过分。那第二事情你能超过一吗？如果你这个人是一呢？你最小的都是一，你告诉我大的那个人呐，你最大是一啊，比你大的人肯定是一。能想清楚吗？这非常简单。就说我都到领了，我们最小都是零，那比我小的人肯定都是零。

我都到一了，比我大的人肯定就是一。好了，稍微的拔高一点。所以像这样的一个问题点呢，你把它想清楚，概率不等式是非常重要的。如果出现不等式，就是这两个人，一个是大于零，小于一，一个是越交越小。我属于你，我反而我的概率会比你小。还有一个事情就是交的越多，

概率越小。好了，听明白了吧，掌握清楚给我回复一。刚才这些公式都能不能装到脑子里啊？都记住的同学给我回复，有理解一定要理解哦。不要硬着背。你稍微一转，你那就出来了，你主体公式，你把这两个人记住就行了，这主体公式啊。你记住，如果遇到不等式，

就跟我想这两个，剩下都是等式问题。那么，接下来我们来看看下一个问题点，我们讲讲概率的六大公式。好，这个人那么概率的六大公式啊，它这个问题点是个什么呢？我首先先讲第一个事情。你就给我记死，养成定时思维能力，一会儿在做题的过程当中见什么用什么公式，我见到加法加法公式，我见到减法减法公式。我见到条件概率条件概率公式，

我见到乘法乘法公式行不行？我见到什么用什么公式，我目之所及的东西，我就赶紧干掉他，就这么直接。不需要的话，你发现转来转去转来转去好这个问题，所以接下来我们来看看概率公式。那么，首先我们先看看这个第一个点。对吧，这个概率公式。那这个概率公式啊，首先我们先看第一个事情加法公式。啊加法那么在加法公式当中，

我们首先看第一个事情。你其实就是并集的问题。a+b就是a并b。来同学们告诉我公式怎么写？写一个加。两个减。出来了吧，然后我们再来看看三个人。a+b+c。就是a并BA并c怎么写？继续那这个时候的话，就是一个加。两个减。两个减。三个加。

好了，这个人所以说这个时候就是一个加两个减三个加好了，这是这个问题就是。你见到这个东西，你怎么去写？不不需要的话，这个不不不用不用奇数加偶数减。你就从单独的一个人开始就行了。我一个人，我加那后面就是减加减减加。好，这个问题。所以加法公式啊，我们很喜欢考。对吧，

出现加法公式，你这个加法的话，其实你这块也可以是宾。病是一样的。好，这个问题它表示了a发生或b发生，这表示了a发生或b发生或c发生。三者只要有一个人发声就行。对吧，就至少有一个人发生。所以说在这种当中，我们来看看，只要有一个人发生，你a发生BC无无所谓啊。能听懂吗？

这叫至少有一个人发声。好了，这个点。所以这个点呢呃，我还是觉得还是注意一下吧。一个题目当中说。ABC.至少。有一个发生。他怎么写？至少有一个人发生，应该是a发生。货币发生。或c发生。没问题吧？

好了，这个点。那所以说就是你发生并上，我发生并上，我发生这个非常简单。那如果一个题说的是ABC。有且仅有一个发生了。你怎么写？只有一个人发生。只有一个人发生，有可能是a发生。且BC都不发生。你看你发生且我俩不发生可不可以？可以，然后是假设的话，

这是a不发生b发生c不发生算不算？然后是a不发生b不发生c发生算不算？都算，所以这个东西叫什么？这个东西是并集。好了，这个点能听得懂吗？你这个人叫做有一个发生，你这个人叫一个发生，你这个人叫一个发生它的并集。这种情况这种情况这种情况都行。要用一进行去减就不好减了。你可以思考一下。你一减多少？啊有且只有一个发生。

也有可能是有且零个发生，有且两个发生，有且三个发生。哎，你这个东西的对立面反反而很多呀。我三个人只有一个人发生。也有只有两个发生。有三个人发生，有一个人都没有发生，你这个时候呢？你发现你的对立面是非常多。你这就不好来了。好了，所以说同学们注意啊，这两个东西啊，

你要会写啊。加法公式能想清楚吧好，这是这个问题，然后再来看看第二个事情减法公式。那减法公式是什么呢？是这样。就是a-b。减法公式要立即会写成AB把。AB拔一定要会写成a-ba，减b写成AB拔哎，来回转它是什么？a的概率。把共同发生的概率减掉。就行，所以减法公式要会写。

见到a-b写成AB拔。那就是a的概率减去共同发生的概率，一减就行了。好了，像这个问题啊，难度系数也不大。要琢磨清楚宪法公式。然后接下来我们再来看看下一个问题，我们再来讲讲条件，概率公式能跟上吗？同学们。问题不大啊，我相信应该是可以，其实。都是在回顾这些公式，

但是这些东西又很重要，我们一定要串一遍没有知识的基础，做什么题都白搭好，我们再来看看条文。条件，概率，公式。条件那么，首先我们先来看看在a发生的条件下b发生的概率。a发生的条件下b发生的概率，那这个东西怎么去看呢？就是a发生的条件下b发生。对吧，你这个人的条件下他发生。那这个东西的话，

你发现再来看b发生的条件b发生的条件下a发生。同学们告诉我。这种东西。跟AB同时发生一样变化。一样还是不一样？一样还是不一样？一样不一样不一样。这个东西跟peb不一样。这个东西是你要在我这个条件下，我发生的这个条件下，我已经怎么办？让我发生。然后一发生，这有个先后的问题。那AB呢，

是共同发生。这肯定不一样，你你稍微理解一下，你都知道用你的语文能力理解。然后接下来看这个人等于多少，他就等于pab比上pn。它就等于pab比上pp。是不是啊？当然不是，注意必须要保证它不为零就是大于零。只有这个分母大于零，它才会成立。不然的话就没有这个公式。只有这个分母大于零，它才会有这个公式。

然后接下来我们再看。你这样东西一沉，你这样东西一沉，不就是peb吗？所以说这里面当中我们非常喜欢考的乘法公式就来了。来走那其实就是。pab这个人。它就等于a的概率乘上a在后，因为约掉了。它也等于什么b那b的话，就是b在后因为要做分母嘛，要跟它约掉。但是注意这东西，要想成立，必须要保证这个概率大于零，

这东西要成立，必须要保证这个人大于零。好了，想清楚就行。能琢磨清楚吗？好了，这是这个乘法公式，那这个乘法公式就是我这个人。我再乘上什么你发生的条件下，我发生b这个人，其实你可以这样记，就这个人跟这个部分是约掉，然后两个相乘，这个部分跟这个部分约掉。然后两个相乘好了，

像这个问题，所以说这个公式叫乘法公式。能琢磨清楚吧，乘法公式。那这个乘法公式能干嘛呢？他能干一个切换的事情。a发生的条件下b发生。b发生的条件下a发生。然后换了一个序，它能做切换。所以我们想这个乘法公式。然后再来看看性质，把这个性质啊，我们重点来讲讲。那么，

首先第一件事情。条件概率。a发生的条件下b发生的概率是不大于等于零，小于等于一，那当然。只要你是个概率。我来问一个事情。如果在a发生的条件下，不可能发生事件的概率是多少？是几啊，那还不是零吗？然后在你发生的条件下，必然发生事件的概率是几？那还不是一吗？那么，

在这里面当中，我们走一个对立面。你想想一个事情。你a。发生的条件下，你发生的概率。你想在你发生的条件下，必有几种情况。b要不然是发生，要不然不发生。它是不就等于一减去多少a发生的条件下b不发生？对不对？只有这两个条件。就是你已经发生了b，要不然发生要不不发生，

所以我们就站在你发生的时候，你发生和你不发生，你肯定是个对立的，你就是一检。好，这个非常简单，对吧？我们又讲了条件概率公式。然后接下来我们再来看看乘法公式，把这个乘法公式啊，跟我们一起再来写一下来走一下来。AB这个人。如果a在前，那a就在后，这来个b。

如果是这个b。那b就在后a就在前。这个人得保证a是大于零，这人得保证b是大于零，好了，像这些公式啊，我们就讲到这儿。那么，后面过程当中还有两个公式，一个事情叫全概率公式，一个事情叫贝叶斯公式，这两人呢？我们还是希望单独去讲。其实这个点呢，对我们在考研过程当中还是挺重要的啊，

还是挺重要的一个问题，难度不是说特别大。所以我们的核心重点把握清楚这些人就行，然后这个全概率和贝叶斯啊，我们会放成一个专题来讲。好，这是这个事情。所以那么目前而言，我们就学了以下几个问题。学了第一个事情。我对谁求求概率啊？我对随机事件。我对随机事件进行求概率的话，我研究清楚了，里面当中啊，

它是怎么进行运算的？有什么样的关系？然后又研究清楚了概率公式，那么接下来我们就可以来破题了。那接下来我们一起来看看第一个问题。求概率呃，先来看一个题吧呃，这里面当中我们先放一个题，我们先来瞅一瞅。啊，先看这个题。你记住一个事情。见到什么东西写什么东西？对吧，就是见人说人话啊，

见鬼说鬼话，就是不是这样的意思，就是你见到什么东西，你去写什么就行。好，我们先看，这是ABC的概率都告诉你。然后AB和BC的概率都告诉你。然后AC的告率概率也告诉你。然后接下来干嘛呢？他说ABC三个时间。至少有一个人出现的概率是多少？好了，问题来了。对吧，

至少有一个出现。你怎么做？那至少有一个出现，不就是你出现。或者我出现，或者它出现嘛，直接做就行了。那有些同学说那我用对立事件来做。那这个对立事件是谁呢？至少有一个初心。有可能是一个出现两个出现三个出现。那也有可能是一个都不出现。你要注意啊，对立。那对立式一个都。

不出现。就均不出现，就是你不出现。且我不出现。且我不出现。但现在问题来了，有人说那我用对立来做，你告诉我哪个人的概率好求啊？啊，谁好求啊？好了，你现在这个人的话做成这样。你做成a把。交上b把你交上c把。你说这个人好做，

你告诉我这个概率怎么做？你这个人的话，你发现你又得怎么办？用一下对偶律，把它改成并。bin bin.然后接下来的话，你会发现一个事儿，你把这东西怎么办？你把这东西又写成了一减去。a并b并c，何必呢？然后约掉了。这是何苦呢？我玩玩的话，

对吧？你这个绕到这儿，再绕到这儿啊，很会玩。甚至发现你做了半天了，哎，你又回来了，这这是干嘛呢？那还不如在这里面当中，你直接做呢。你说你能想到对立很好。想想想哎哎，做混粮。所以这个点的内容啊，它就是这样，

其实你还不如直接算。好，这个人那这个人的话是多少呢？其实就是a。加b。然后再加上c。然后再减去AB。然后再减去BC。然后接下来我们再进行去减多少，再减去AC。然后再加上ABC。好这个人，所以像这个问题啊，他就做成这样了。你稍微的话进行一转，

它变成这样。啊，这个人呐，马上变成这样，那接下来我们就可以写了呀。四分之一。四分之一。四分之一零零八分之一，它的概率是多少？这个非常简单。你发现个事，你的概率所谓越交越小。你ABC这个人，你肯定比AB小。我AB都是零，

那你肯定是零呐。我都已经到零了，你肯定是零了。我就不卖官司了。因为这个基础班的时候，我们其实讲过这个问题。有人说，因为AB的概率是零。所以AB是个空集。所以ABC空集在交还是空集？所以。概率是零。水平点非常差。啊，水平点不好。

你这是做错了。不是这样做的。它是利用了概率不等式大的，这个东西都是零小的，这个东西是零你从概率为零可推不出来，这个是空集。所以要稍微注意一下，好了一算就行了。对这个题那么接下来我们继续吧，我们再来看看下一个问题嗯，不等式的题，等会再做可以吧？我们先进行去求概率。来再来看二四六这种题，这种题好做吧，

就是见什么东西去写什么东西就行，来再来看。他说这两东西不相容。赶紧写不相容，根据定义交集式空集。AB的概率是二分之一。c的概率是三分之一，让我们去求解这个人的概率。那怎么做呢？马上在这里面当中啊，用一下条件概率，因为我们见什么东西去写什么？见它就写它来你。分之AB和c相交的概率。那么继续，

然后这里面当中继续来看你这个东西不就是一减去PC吗？然后上面这东西怎么去写呢？我们都知道。AC拔一定要会写成它，减去它什么东西，它拔其实就是什么东西，减它就是AB发生，且它不发生就是减掉。然后这里面当中再用一下这个减法公式就行，那就是你的概率减去共同发生的概率。你这种题考试可不能出错，一出错的话，那就非常尴尬。来一减去它一减三分之一pab是二分之一，这是几啊？

那现在这个人可以做了，因为AC都是空集AC，在跟b进行去交呢。你都是空的，再跟他交呢，交区小，那还不是空的嘛？而且具有交换律a交b交c跟a交c交b还不是一样吗？所以这个概率是几零？那因此这个结果是多少？三分之二，四分之三正确答案选几啊选d？你看出现这种题啊，你千万不能出错。就是见到什么东西写什么公式，

见到什么样子，你去写什么问题就行，能会做吧？好，这是这个点继续可以吗？来再来看呃，这个题。要不等会叫我看看下面一个题？好，先做下面的题。再来看看这个题吧。呃，这个题也等会再做，不着急啊，我们再来看看这个题。

来看一下这个。那这里面当中继续来看。a的概率是它b的概率是它a+b，我见到a+b我就立即会想什么。我不会去想别的，我先去想a+b的概率公式，那就是a的概率，加上b的概率。减去AB的概率。然后这是一这是二分之一，这是二分之一，这是零，所以我就立即得到了AB的概率是零。好，我就想到这。

但是有一个问题，你这个人的概率是一，你能说他是个全集吗？不能。你这个人的概率是零，你能说他是空集吗？不行，因为从概率不能推时间。然后我们再来看。那然后的话，这个a+b。它的概率是多少？这个概这个选项出的啊，你就是考了一个问题。考了这个bin的话，

其实就是这个家，你就是一样。所以这是个炮灰。这个选项就是炮灰选项。来看这俩人。这俩人的话，你再来看c选项。好，你看c选项。c选项这个人的话，你是不得用一下对偶律？对偶律进行去一用的话，你这个人的话就变成了教，其实就是他。那它的概率就是一减去pab，

而AB的概率是零，那是一没问题。然后再看d。de这个人其实就是pa-pab。AB概率是零，你是二分之一，那这人不对答案选c。能学会吧，就是见什么东西去说什么。见到什么概率公式写什么，就是就这么直接。所以像这种点一定要有自信心，对吧？你要对一个东西充满喜爱，你就喜欢做这种。

好好想想。所以见到这个东西啊，你去想什么公式就行。好，这是这个问题，然后这个题啊，等一会我们再来讲啊，二四八稍微等会。那么，接下来我们就继续，要不这样吧。我们可以稍微的。嗯，休息会儿吧。休息会儿，

然后你坐下二四七。然后再去做一下二四五。好不好？二四七和二四五。行，稍微休息会，一会我们继续可以吗？把这个相对的问题点呢，你要说清楚，就是说什么问题，你去写什么？二四七，要不然等会再做吧，也是可以的啊，这个题等会再做也行，

因为独立嘛，一会我把独立这个东西讲完，我们再看。你先做二四五吧，你就做一下二四五，一会我们都会讲啊，好这些问题把二四五做一下。好，稍微休息会儿吧，一会儿我们继续啊。

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