26.冲刺满分强化篇·（线代）题型41—42精讲精练-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:19:45

同学们，行！那么接下来我们继续吧，我们来看看刚才这个题啊呃，这个题你们选几啊？选几啊？这怎么五点半了啊？好，这个后面还有几个内容？选几啊？哎，非常好选c。啊，这个题不难对吧？那么首先我们先看第一个事情。

你要判断这个矩阵方程有没有解，其实就看a的值和AB的值。那如果a的这个人是零，那b的是零。那这个东西无解吗？他有可能是这个情况。你不是为零吗？你看我随便给你画。你是一零。零零啊，比如说这一一。零零。然后这个人呢？一一。零零你发现你这个行列式等于零，

我这个行列式也会等于零。但是你发现你这个系数矩阵的值，你等于增广矩阵呐，你看你不对。我们再来看看第二个人，如果你等于零，一定有解吗？那也有可能没有解啊，你比如说你看。呃，这这是无解的。啊，这是无解。如果这里面当中啊，你发现一个事情，

这是没有解的。如果这里面当中，我们来看看有解。那有解的话，你发现这一一一。你看这不就有解吗？你系数矩阵，这是一你增广也是一你看你这个有解你，所以说你发现你看你这两个东西说不清楚啊。那现在系数矩阵是一我增广矩阵是二，我没有解，你说有解不对。我现在系数矩阵是一，你这个是一，你看你说无解也不对，

所以现在AB都不对。那么，再看看c选项，那c选项说你这个人等于零，但是我这个人不为零。然后说这个东西无解。有没有可能有解呢？你这个人稍微的尽兴去瞅一下。那这个东西的话，就说我的现在的行列式怎么了？我行列式会等于零。然后的话，这个行列式是不为零的。那在这种当中，我们再看这个d选项，

这个c选项它是对的，因为你发现你看这个c。你如果的话，进行去a这个人，你最后是为零，你其实有一行是无效行，你无效行的话，假设是这样。然后你这个人不为零，你不为零的话，你发现你这两个你下面这个人肯定是有效哈。等于比如说这是一一，你这人比如说是二三。对吧，你这个人质是一你这个人质是二，

你肯定不相等，你这无解这个c是对的。然后我们来看看这个d选项。d选项的话，你看你这个人是零。然后你这个不为零，你这有解那c对的d肯定不对。如果这两人都不为零，那都不为零的话，你看你这个人肯定是满的。对吧，你满值。你满值的话，比如说你这是多少？你假设这是一一，

你这两个东西肯定干不动。你最后而言的话，你比如说消一下，你只能消成这样，你一定只能消成这样，你b往这一摆的话，它还是这样。能理解我的意思吗？你因为你这个东西行列式，你不为零呐，你两行不成比例，因为是二阶矩阵嘛。那二期举证两行不成比例，您干掉这个人，这个人肯定留下来了。

你b摆在这，你a的值是二，你AB值也是二，所以说这个人呢，他肯定是有解的，他不对。所以说这个题的正确答案选几啊选c，其实这个题就是个理论问题。就是你判断这个人到底有没有解，就是看系数矩阵制跟大增广矩阵制相不相等。好了，听明白了给我回复一。可以了吧，不是说特别难的啊，这个题。

那为什么这个去年过程当中，很多同学做不出来呢？因为他就不知道这个题。对吧，他说不不是不知道这种题，不是不知道这个知识点，你这个理论的高度你都掌握不清楚，那肯定做不出来呀。你把这个理论掌握清楚，你做起来就非常简单了，好了，这是这个题来继续吧，我们再来看看下一个问题。向量组的表处。那么，

首先我们来看看这个向量组表出的问题。那这个向量组表出问题啊，我们首先来看看这个第一个点。你比如说你这是个a矩阵。然后的话，接下来我们来看看这里面当中有一个b矩阵。你看这是个矩阵方程。你假设这个矩阵方程有解。同学们告诉我什么意思啊？如果这个人有解的话，你就可以说明这个第一个问题。你假设的话，这是北大一。那是不是说明这个方程组就有解啊？那你告诉我这个方程组有解什么意思？

这个方程组有解，就说明这个人的列项呢，能被a的列项那组线性表出。对吧，你的列能够被这个人的列向量组先行标出。那同理而言。你这个也得有解。你这个有解什么意思啊？你这个有解就说明这个人能被a的列向量做线性表除。哎，你说明这两个人都能被他先行标注。我们在这里面当中，先定义一个知识点。如果一个向量组被另外一个向量组表除。是这个向量组当中的每一个人都能被他表出。

你能理解我的意思吗？那就说明什么事情呢，你就说明杯大衣。a大二这个向量组可以由什么呢？可以由a的列向量组线性标出。是不这个问题啊，所以这个方向线你就把它串起来了。呃，这个答疑，一会我们再说啊，好吧？好了，这是这个点，那所以说这里面当中我们来看看这个第一个事情，那你告诉我一个矩阵方程。

他有解说明了什么事情？你能达到这个高度，理论高度就行了，求解的问题啊，你就不用管了。那这人我们就说明了b的这个人的列。可以由什么a的这个人的列向量组线性表出。我简写了线性表出，能理解吧？算了吧，还是写完整。线性。表出好了，这是这个问题，所以你会发现它其实就是非全方程组的推广。

那非行方程组有解说明这个尾缀能够被列向的现行标出。那现在这个矩阵方程有解呢，那就多个非析词就说明这个人的列能被这个人的列项能做线性表述。能听懂吗？好了，这是这个问题。所以你要想清楚这个事，那非前方程组表示的是尾缀这个向量能够被这个系数矩阵的列向量组先行表出。而你发现矩阵方程表示什么？表示这个伪缀这个人的列项量组能够被系数矩阵的列项量组先行表出。所以说这里面当中马上就牵引出来了，第三个知识点。啊三波内容马上结束了，那么第三个知识点呢？其实就是我们今天上课刚讲的那个知识点呢？

哎，来看看这个人。那如果在考试过程当中，我们见到什么？我们见到这种问题。见到什么问题呢？如果你见到不是一个向量，是一个向量组，被另外一个向量组表出的问题立即转换成什么，转换成矩阵。方程的问题。能想清楚吗？一个向量组被另外一个向量组表出，我立即就可以转成矩阵方程的问题。好，

这是这样的一个思想，所以你要想清楚这个问题。可以了吧？哎，这个东西啊，其实就是个矩阵方程的问题。那这个矩阵方程的话，那么接下来我们来看看这个事。你比如说一个考题当中啊，它出现这个问题，你要会转啊。如果这个矩阵方程。对吧，这个人。如果这个人是唯一姐。

就说明什么？就说明b的列向量中。可由a的列向量做。表出而且为一。没问题吧，然后我们再来看。如果这个as=b这个人。有无穷多解。那这时候就说明什么？说明这个b的列。可由a的这个列。表出且无穷。好，这个人如果这个人的话，你发现。

他是无警。那这个人呢？我们就说明b的这个列向量组不可有。a的列向量组标出。能想清楚吗？这其实就是在这里面当中，我们非常重点的一部内容。那考试喜欢怎么考呢？考试喜欢反着考。说如果这个列向量组能用这个人向量组线性表出。一个向量组被一个向量组表出的问题，其实就是个矩阵方程的问题。能想清楚吧，好了，这是这个点，

你一定要想清楚这个基本内容非常非常的重要，比如说我们来看一道定理。我们来看一个重点定理。那考试的过程当中，我们也经常用啊。重要定理。好来看一下这个。什么样的定义呢？就这样的一个内容。他说如果说。有一个二这个向量组。贝塔一贝塔二一直到贝塔m。这个向量做。这个向量组可以由什么呢？由这个一这个向量组阿尔法一阿尔法二移，

直到阿尔法n标出。这两个数未必要一样，不需要一样，你能被我表出我俩个数不一定也要一样，你想想一个向量的向向量组的极大无关组是可以表出它的。那个数未必要一样，那你告诉我谁的值大小？你能被我表出。谁的直达注意去表示的人更有v。注意哦，去表示的人更牛逼。阿尔法一一直到阿尔法n，它的质是大于等于多少？贝塔一一直到贝塔n。所以说这个时候你要注意谁进行去表示，

我表示你我牛逼。你表示我你牛逼，谁表示谁厉害？那这个东西的证明非常简单，你假设把这个人叫做b举证。这个形成a矩阵，那么同学们告诉我是谁有解啊？谁有解这个东西能被它表述？谁有解？是ax=b，它有解。能理解吧，哎，这个矩阵方程有解，那这个矩阵方程有解的话就说明a的值。

它就会等于AB的值。而你都知道，那这个时候马上可以推出来，那a的值既然等于AB的值。而b只是我的子框，我就比b的值大。那矩阵的值就等于列向量组的值，那说明这个向量组的值啊，比这个向量组的值啊要大一点。能学清楚吧，这是个非常重要的定理，我们基础班也讲过这个人。把它记住了，经常容易考，那比如说这里面当中，

我们看一道题吧，历史非常悠久了，一一年的考题。好，我们来看这个题。那这个题啊，他说设线性无关的，这个向量组。那说明什么？说明这个人的智。它是等于四的。这个向量组可以由这个向量组线性表示。被谁表示啊？被后面这人表示谁牛一点，那很明显是北大一北大二，

然后。这是哪来的s啊？这是不是敲错了？这是s吧？这应该是s哦。不然的话，这个。哼，这应该不是五，这是s，不然哪来的s？你能被我表示，那就说明一直到北大S这个向量组，它是比谁呢？它是比阿尔法一阿尔法二阿尔法三阿尔法四的值。

它有大的，那这是四。能想清楚吧，后面的更牛，那说明什么呢？说明这个人的志啊，比四大。那比四大，你能推出它是线性相关还是线性无关吗？我根本推不出来。我这个人的智，我要跟s比呀。对吧，你现在而言的话仍然是什么？我的质肯定是小于我的个数的。

我判不出来。我要等于我的个数，我是无关小于我个数，相关我又不是跟你比。但是你发现你是比s小S又大于四，那s肯定大于等于四啊，所以选几啊选c。好了，这是这个事情，能听懂吧？哎，非常的简单，第四个点。好了，掌握清楚给我回复一，

所以你能被我表示我优秀一点，我的志比你大。而且你是四，我肯定是什么，我又小于等于ss，大于等于四。这个非常简单，你知道这个东西的理论，那就非常简单了。对吧，只要见到一个向量组。被另外一个向量组表示，立即是一个什么问题啊，立即就是一个矩阵方程的问题，我们再来看一个题。

看一下这个题吧。好再来读题。他说了一个事情，说这个向量组。假设我把这个向量组形成矩阵，是a。就是a矩阵，我继承阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三。我系b矩阵为北大一，北大二，北大三。一个向量组和一个向量组的关系，告诉我是什么问题？

一个向量跟一个向量组的问题是非前方程组问题，一个向量组跟一个向量组的问题是矩阵方程问题。能理解吧，那告诉我一件事，那这个东西应该说的是什么问题呀？什么问题？他说他不能由他表示，那肯定是无解是谁误解。啊，是谁没有解？告诉我谁没有减。诶，注意是bx=a无解。不是as=b写反了就没有分了。是BS=a没有解。

那这个没有解啊，它的充要条件有两个。啊，其实充要条件只有一个，一个是增广。系数矩阵的值。不等于增广取值的值。第二件事情你能推出b这个人的行列式。啊，应该是b矩阵的，值不等于增广矩阵的值。然后还有这个人等于零。能理解吗？所以说这个时候的话，你发现这个方向性就非常的简单了。

你要不然这个人等于零。那这不就是刚才讲的吗？你没有解，后面这个人能被前不能被前面这个人的列项能做表述吗？这是不需要转换的，你脑子稍微转一下不就出来了吗？它的方程组是后面这个人被前面表示吗？你这个人不能被它表示，说明它在后面嘛。这是多简单的问题啊。哎，你你从矩矩阵方程转转向量组表述，你会转你从那往回来就回不来了。啊，你能走过去，

你不能回来吗？你也能回来啊。好了，我们来看看，如果这东西无解啊，两个事情，一个事情是这两个质不相等，一个是行列式等于零。但是行列式等于零，有可能是无解，也有可能是无穷多解，那这个人还得检验，我不妨是这里面当中怎么办？我看看吧。把这个b写出来是一一一。

一二三。三四a。然后前面这个人呢？这是一零一。零一一。一三五。这个题其实用行列式也很很简单。因为这个行列是一下做出来的，但是你要检验。我我觉得我一会儿不太想检验，我觉得这个变换的话也挺简单，我就直接用制作了。一一一三一零一，然后减去它，减去它，

减去它，然后这是负一一二减去一倍零。减去一倍，这是2a-3-1倍的话，这是零一四。好，这个人再减去二倍，这是零减去二倍，这是a减五。减去二倍，这是二减去二倍，负一减去二倍啊，这个人是零。好，做成这样。

那么，接下来我们就继续，我们再来看。那这个时候的话，你发现这个质不相等，我们来琢磨一下。你告诉我。a敢不敢不威武。你要是不为五的话，它就下来了。注意，这是b啊。这是a，你要是不为五，它就下来了，

这个质就是三。你这个值也是三，那就相等了，你绝对不敢，你只能横过去。你横过去了之后的话，然后它从这条线呢，它下来了。所以这块一定是0a等几五选co。写法呢，选对了，那也得重做。也得自取，你是在复习，又不是最后一场考试，

要是最后一场考试，你做错了，但是选对了，那也可以。那是没有任何问题的。你要是最后一场考试是那样子，那也行，越努力越幸运嘛。对吧，你平时过程当中，你付出的越多，你的基本功越好，你最后而言的话，这个你从概率学的角度上而言，你都知道。

你这个蒙对的这个几率都会更高。可是你平时训练可不能这样，他说啊，那我选对你选对了，怎么做错了，你得调整方法，你的重点而言是复习啊。好了，这是二四一这个题过去了，可以吗？好，我们就讲到这来，我们继续，我们再来看一个问题。再来看一个点。

呃，其实有一个信息点呢，我稍微说一嘴啊，我稍微说一下，你听一听就行了，我们考到这个东西的这个。几率不高，所以了解啊，了解就行，所以我就不放在这了，我稍微讲讲那么这个点呢嗯。万一考了，你就占这个，我觉得也不是说特别难啊，比较占优势，

就是这两年数一数二数三，比较喜欢考的，既然我复习到这儿就顺手推。推舟，然后的话一嘴就说完了来同学们，我们来看看这个AB。你看到他了吗？你看到它，你能想到什么呀？就一嘴就说完了。你见到他，你能想到什么呀？理解啊，背的同学的话，我建议就不要了。

你要光背的话，我建议这个东西啊，你就不要了。小到零。AB呀，我见到AB，我又没有说见到AB=0，我没有说见到AB=0，我见到AB。这是两个问题。见到AB=0，肯定是两实情，两质相加。小于等于a的列数b的行数。那第二个事情b的列式均为方程组的解。

现在想到什么呀？想来想去的，想好了别别别想了啊，别想了，我怕了，那这个人怎么办呢？来大家看。我把AB记成c，行不行？好了，这个人。我把AB记成c。AB继承c的话，你想想一个问题。你继承c我问你个事情b存不存在？

啊，你告诉我b存不存在？你注意啊c就是AB啊。你存不存在？我说不存在，不知道怎么可能不知道，我给了a×b，那a是有b是有那b肯定是存在啊。那肯定存在，那说明什么？说明as=c有解。你只要买有这样的一个AB=c的人，那就说明我有解有解，说明什么说明c的列。可由a的列。

表出c是谁AB？那就说明AB的列啊，能由前面这个人的列表出好第一步内容。再看第二个。那这个东西能不能取个转置啊？当然可以取，转置了一下你就跑前，你跑后，这是c转。那a有没有啊？也有有的话就说明这个人有解。诶，你这个人有解说明什么？说明c的转置的列。可由什么b的这个转置的列？

标出c的转置的列。那转置过去是列，那不就是c的行吗？那就是b的这个行。标出而c是谁呢？c就是AB。所以你看这是第二个点，因此我们见到AB想两个事情。AB这个人的量。它是可以由前面这个人的列。标出的，然后AB这个人的行啊。它是可以由b这个人的行表出的。所以见到AB想两个问题。那当然的话，

我们AB=0，肯定想那两个事情了，我见到AB，我知道哎，你的列肯定由前面的列表出，你的行啊，由后面这人的行标出。能听懂吗？哎，这是这个事情。都是从矩阵方程的理论呢，把它转过来的。完完全全都是矩阵方程的理论。把这个事情一下子就转过来了。能想清楚吧。

好了，听明白的给我回复一。可以了吗啊，见到这个人，你自己把它列一下。你知道就行，然后既然都复习到这了。那么，接下来我们就来看看啊，曾经两千一八年呢呃，考研真题考过这个事情。你告诉我这个人等于a对不对？你在众多的这个书籍当中啊，它可能通过矩阵的这个理论进行去推，那太墨迹了，

你像这个题两千一八年当年得分率才零点一都不到。得分率非常低，而且你发现只要学过这个点，你眼睛漂一下都出来了。你告诉我对不对？你要用刚才的理论来做。你看这是a，然后这是AB。你这个人的脸。以这个人的脸。诶，我这个人的力。能有你的列表出啊。所以你就可以用你的脸攻击掉这个人。我一旦进行裂变化。

我前面就是a，后面是零。那说明你的智不就是这个人的智吗？那这个质不就是a的质吗？零又是无效的嘛？这是看有效的呀。那所以说这种质不就等于a的值吗？你看出来了，第一个点。能学会吗？那仿照这个考点的话，当中的话又来了一个。比如说这是BA，这是a呢？我说这个人的痣等于a的痣，

你告诉我对不对？对不对啊？也对。比如说这是BA，这是a。你发现看你这人的行。和这个人的行。你上面的行是用我下面的行表示，因为由后面这人的行表示，如果我用我的行攻击到你。但是你注意那个位置啊，你不要把它写反了，写反了就没有用了a。那你的质等于它，那不是等于a吗？

所以说有一个什么这个质的公式就是这样，什么a？AB的值。等于这个aba的值等于a的值。你要理解他。不要硬着背啊，理解脑子转一转，把这个事情要理解了，理解了的话之后啊，我觉得这个问题点它就不大了。好了没有？可以了吧？好，这是这个点。要学会它基本问题。

好了，像这个内容，我们就讲到这。好了没啊，了解。了解不会的话说这个呃，考到这么难呐，几率不大就了解一下。有的时候你发现你说这个。现在这个出题呢，到底是个什么样情况呢？他就这样啊，那个去年有些题的话，你看考的也挺难的啊。好了，

我们继续吧，我们来看看下一个问题，向量组等价。啊，这个内容你必须要知道它的理论，这个理论必须要知道向量组等价。那么，原来我们学过一个东西，叫矩阵等价，你还记得吗？什么叫矩阵等价？一个矩阵通过初等变换跑到b，两个矩阵是等价的。它的判定方法是同形质相等。形要一样质呢，

要相等同形质相等。那么，今天我们学的这个等价注意不是矩阵等价，是两个向量组等价。什么叫向量组等价呢？它的定义是这样说的。说你这两个向量组，你可以互相表示。第一个向量组能表示，第二向量组，第二向量组能表示，第一个向量组，那这个时候两个向量组就是等价的。那你想想一个事情，你比如说如果我们说的是a和b矩阵等价。

区域正等价，它肯定是同形。而且质相等。那么，现在这种当中，我们给了一个向量组。和另外一个向量组等价。一这个向量组和二这个向量组等价。那我想问你个事情。需要保证这两个向量组当中的两个向量的个数是一样吗？不需要，你要抠着定义走，人家说的是互相表示就行了。不需要个数一样，我举个例子啊。

比如说阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，阿尔法四。这个向量组是它。然后第二个向量组是它的极大无关组。阿尔法一，阿尔法二。你来看看这个向量组和它的其他无关组，这个向量组能不能互相表示啊？那当然可以极大无关组可以表示，这个向量当中的每个向量组当中的每个人。我可以表示你。那你能不能表述我呢？你看阿尔法一不就等于一贝塔，

零贝塔，零贝塔，零贝塔，阿尔法二=0贝塔，一贝塔，零贝塔，零贝塔能不能可以啊？所以，极大无关组跟这个向量组之间就是等价的，因为我们可以互相表示。我们可以互相表示。但是你发现这两向量组当中的向量个数也没有一样啊，所以要扣着这个人的定义走，我们可以互相表示。这是个重点。

那么所以说接下来我们来看看第二个问题。向量组等价的充要条件。那这里面当中啊，你可以稍微进行去看看，把这个内容一定要梳理清楚。我来给你推一遍。你好好理解一下。如果这里面当中给了第一个向量组。是阿尔法一到阿尔法m。给了第二个向量做。第二向量组是贝塔一，一直到贝塔n。我们这两向量组怎么了？等价那如果这两个向量组等价，你想想一个事情不就说明可以互相表示吗？

对吧，不就可以说明互相表示假设这个人呢，我继承a这个人继承b矩阵能理解吧，按列形成矩阵。那这个时候它就说的是诶，你可以由什么东西啊？二表出。二怎么办？也可以由一表出。当然，你知道最后的理论也是可以的。是不这个问题。如果你们等家。定义不就是这样说的吗？你们可以互相表示。

没问题吧？好，我们再来看。一能由二表出是谁有解啊？回答我一能由二表出是谁又解。一能由二表出，那当然，其实你发现就是BS=a有解。对吧，你说明的话，这个人后面能有他表出。而这个东西呢，是as=b有解。没问题吧？好了，

就说明这两个东西有解。那这样东西有解的话，第一个有解说明什么说明b的值等于BA的这个大增广的值。然后第二呢是a的值等于AB这个大增广的值哦，它的这个充要条件又变成了这个人。所以这是它的充要条件。那这个充要条件做到这儿，我们再来问一个事情，这两个质一样不一样。这两个字啊。一样还是不一样？这两个矩阵的质量。abba制一样不一样一样，我讲过。啊，

说不一样，同学你下去得好好自取了，对吧？这两个一样哎，既然一样不就得到了a的质b的质，然后把这个什么把这两个东西顺摆起来的质吗？哦，就得到了这个人，所以你会发现向量组制啊，等价我最后就转到这儿了。这两个东西啊，是一样的。这也是我们向量组等价的充要条件。想判断这两个向量组是否等价，就是看第一个向量组的值等不等于第二个向量组的值。

等不等于两个向量组合起来的值？拼起来的纸，这就是著名的三制相等。所以大家注意一个事情，我把这个人变变个颜色，你不配是这个颜色啊，把它变成黑色黑色。最重要的就是这俩人。两个向量组到底等不等加？就是看看诶，你这个向量组的值。等于我这个向量组的值。等于我们这两个向量组摆到一起的值，这就是著名的三质相等。啊，

三尺相等。你的痣。等于我的值，等于我们拼起来的值。好了，那这个时候就说明什么？说明这两个向量组的质啊啊，这个向量组是等价的。怎么进行判定？就是这样判定的。能想清楚吧，所以说这里面当中我们还是稍微花一点时间把这个矩阵等价和这个向量组等价。我们稍微进行做一个区分。啊，简单讲讲。

首先，我们先来看看矩阵怎么讲。屈真等价怎么说的？是这个a矩阵，你通过什么东西呢？初等变换。你通过初等变换跑到b。我就说。这两个矩阵等角。好，这个人那这两个矩阵等价要不要求同行呢？当然要求。你三行三列。你变换完了之后，还是三行三列，

你四行四列，你变换了之后还是四行四列，当然有。但向量组等价怎么说的？是这个向量组和这个向量组怎么办？可以互相表示。那要求个数一样吗？诶，这东西是不要求的。你想想我们刚才讲了。一个向量组跟它的极大无关，组是互相等价的。那第一个人的判定方法是什么呢？是这样说，如果两个矩阵等价。

它的充要条件就是哎，我们长一样大。然后我们的质向导。就行了，然后这个东西呢，你发现一向量组和二向量组等价的。你就得保证一向量组的值等于二向量组的值等于一，这个人和二这个人向量组摆起来的值。所以就在刚才这个基础上，不要求个数一样了。但是得要求你的质和我的质和我们拼起来的质是一样的。这就是著名的三制相等。它的判断方法就是这样。能学会吧，好向量组，

它到底等不等价就看这个三支相不相等？所以接下来我们来看看一个问题啊，看一下这个点。看一下这个题。那这个题啊。它给了一个向量组。又给了一个项目组，你注意啊，这种题是预测题啊。没有出过，对吧？给这个向导组给这个向导组。说一能由二表出。其实你发现个事儿。这是a。

把这个人记成b。我就问一个事情。如果一由二表出。什么意思啊？好，第一个事情。一由二表出，不就说明bes=a有解吗？那就说明b的值，它会等于BA的值。然后这里面当中，我们再来看第二事情。二由一表出呢。二，由一表述的话就是as=b由解。

那这个有解的话就说明a的值等于多少AB的值？而AB的值跟BA的值是一样的。所以现在这个题的话，你发现然后等价呢？是三个值相等，所以做这个题的话，它的核心重点其实就是一个事情，求a的值，求b的值，求AB一起的值。是不是啊？所以现在而言，我们就来求一下，把这个a这个b摆在这。然后这是多少零呃，

这个是零一一。其实这个东西无所谓，你把这个多的这个摆在前面吧。有影响吗？没有影响吧，你把多的摆在前面，而且这个a的话无所谓啊，无所谓多的话，你发现你看这个人。多呗，那好好看一点，少的的话放到后面好看。好了，这是零一一一零。这无所谓。

然后接下来我们就进行去变幻想，负一一三零一少了，摆在后面的话，一会质好看嘛二二一。加上它这是二加上它这是二加上它这是一加上它这是一。对吧，你这加上来，这是二，这是二，这是一，然后这是一诶，你这个东西跟这个东西不就一样吗？那么现在告诉我一件事情，你发现b的质是几啊？是二，

然后这个BA的质是几啊？也是二，然后a的值是几啊？那这个a的这个质呢？你发现这个质也是二啊？对吧，也是二，所以说这个时候你要注意啊a只看这个部分。那所以说a的值等于b的值等于多少AB摆到一起的值？那说明第一个向量组的值等于第二个向量组的值等于这两个向量组摆在一起的值，那不就说明向量组等价吗？我想问一下，这种题能不能出完全可以出？难也不是特别难。你别说别的啊，

你像这个题的话，完全可以出这种题的。因为里面当中的话，你发现两分钟内也是可以处理的呀。就是你方向性清楚了之后，你就能做出来。你理论的高度上，你达不到的话，你发现你就做不出来。所以有理论了，就会非常的简单啊，这个点。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。

可以了吗？同学们。所以你下去啊，你好好把它想想，因为这个基本问题啊，它是比较重要的。可以了吗？同学们，这是这个问题嗯，我还是想拓展一步。可以吧啊，稍微的拔高一下。因为这一波拔高啊，我们的这个线性代数啊。就串起来了。

好。稍微的拔高一下。啊，这对我们三九六同学。那么，接下来我们来看看这个事情啊，我们稍微的进行拔高点点。那比如说。我有一个什么情况呢？我先把这个问题啊，我提前先说一下。你听好了。那么这个人呢？你发现。我们刚才讲的这个三制相等。

如果是a的值。b的值。跟AB这样摆的值。哎，同学们，想想啊，你看这个问题。就说你的智。我的值我们摆在一起的值。同学们，想想你看你看a这个人的质，它等于它的列向量组的值。它等于它的列向量组的值诶，你发现这个AB是怎么摆的？横向拓宽吗？

那横向拓宽的话，它肯定是。把这两个东西怎么办？横向拓宽这样摆。是不是这个事情？你是这样进行摆开。所以应该是列向量组的值等于这个列向量组的值等于列向量组的值。那这种三质相等应该是谁的三质相等？列就说明a与b的列向量组。怎么讲？没问题吧？这种情况说的是列向量做等价。如果a的值。等于b的值。这样摆呢？

那这样摆的话，你发现看你矩阵的值等于行向量组的值。等于这个行向量组的值。你也必是竖着摆。你竖着摆的话，你肯定是对吧？你把这个你得往下来。你的汁。等于你的值，等我们摆起来，我们现在摆起来只能按照这个竖着摆，那是行行向量。那所以说这个时候我们就说清楚了。a与b。行向量组等价。

能理解吧，哎，这块有点难哦。能琢磨清楚吗？好了，接下来我们继续看。那么，如果这里面当中，我们来看看下面一个事情。你列项了组等奖。如果同行的话。如果AB同行的话。AB同行列项的组成下，我再来问一个事情。如果这个矩阵。

通过一个裂变换跑到这。什么意思？列变换，你看你这个列。你这个新的列是不是由老的列进行得出来的？比如说我这两个东西一加。对吧，我得到你。我我把这个东西加过去，得到你加过去，得到你你这个新的这个列是不是老的列得过来的？我就很想知道。你这个人的值。等不等于这个人的值？等不等等啊？

完全没有问题啊。你的知。就会等于我的值。那当然等于。等于我的质的话，你发现个事情那么摆在一起呢？我摆到一起进行去初等变换的时候，能不能把这个干掉，只留下前面这个人。我如果变化了之后的话，后面这个人其实没有用。诶，那这个时候不就说明a的质等于b的质等于什么a和b这样排起来的质吗？那说明什么？说明就是这个人诶a，

这个人可以通过初等裂变换跑到b。刚才这个问题是未必通行的，但是只有通行的话，它才能裂变换跑到它。原来这样。我这个人通过裂变换跑到你我的列向量组是等价的呀。原来如此。如果通过裂变换跑到你，我肯定会存在什么？每当的话，左行右列，又乘上一个初等阵，初等阵，初等阵，那其实是个可逆矩阵，

等于b。所以存在一个可逆针。p然后使得它。这种情况AB必须同行的时候。能想清楚吗？好了，这个问题。所以我就明白了。如果通过触动裂变换跑的他。我会存在一个可逆矩阵，使得AP等于它。那这时候列向量走是等价的。裂项的总增加三至相等横着摆。同理而言。那这个人呢？

那这个人是行向量组等价。对吧，这个人。这个行向量组等价的话，你发现一个事。他这个人是什么？那这个人肯定是a通过一个初等行变换跑到b啊。如果AB通行的话。对吧，如果你进行行变换，每当进行行变换一次，就会存在一个可逆举啊，这个什么初等值？左乘那左乘，若干个不就是可逆矩阵吗？

等于bab同行的时候。啊。所以说你把这个方向你稍微理解一下。所以我们将来看到。这样的一个三值相等列向量总增加。这样的一个三值相等，行向量做等价，但不要背啊，这稍微的拔高了一点点。你要是如果在这个复习啊呃，要求比较高啊，你最好把这个内容啊，你稍微的吃透一下。如果实在来不及的话，你先进去去看呃，

刚才那波内容这个拔高的这个东西啊，倒没有什么问题。好了，这是这个事情，所以我们就把线性代数的中心主旨的部分呢给串起来了。所以像这个问题，它最重要的点其实就在刚才那个部分内容。三制相等。三制相等。它能推出来的是向量组等价。横着摆。那是列增长列项的总等价。竖着摆是纵向变长，它向量做等价好了，掌握清楚给我回复一。

这点呢，我们就过去了。行吧，你注意一下这个点，把它想清楚啊。呃，所以说下去把这个部分内容啊，你先装到脑子里面。啊，你先要记清楚，那么接下来我们来看看最后一波知识点吧，我们来讲讲这个方程组的同解和公共解。因为这个问题啊，我们会非常快，稍微的进行去理解一下中心部分的问题就行。

好了吗？同学们，那么接下来我们先来看看第一个问题，我可能会拖会儿啊，不要留了一点点东西，明天大家休息吗？啊，明天的话，你可以好好整整理一下，然后把那个概率统计啊呃的第一个部分，后天的话，这个第一次课程呢，都比较简单。好，我们来看看这个问题。

那首先第一点同解问题。方程组的同解。什么叫同解啊？同界就是。你就会发现一个事，你比如说你这是ax=0的解。然后BS=0的集合。没有改时间呢。啊，没有改时间，你自己去看看那课表，我这两天的话没有动时间啊。你自己一定要进行去看一下那个课表啊。你看APP里面课表。我们先来看看这个第一事情。

你发现你这个人的姐。这个人的解同解同解就说明。你的解有这么多，我的解就这么多。对吧，你的解有这么多，我的解有这么多。那我的解有这么多，你的解就这么多。所以首先第一件事情的话，你发现一个什么？什么叫同解呢？就是你的解都是我的解。我的姐也都是你的姐。注意，

这是一种判断方法。你的姐都是我的姐，我的姐都是你的姐。啊，你的解都是我的解，我的解都是你的解，这就叫同解问题。你不要小看这个点，这是一种证明方法。你要能证明你的姐都是我的姐。我的解都是你的解好了，那这样的话，我们就是同解。我们就是同级的。那这是第一种判定性的方法，

把这个事情要梳理清楚。能理解吧，所以接下来我们来看看这两个方程组统解。我看同学们的水平怎么样？如果。这个方程组。和这个方程组同解。那这两方程组是同解。你来告诉我个点。我两个姐一样，什么一样？啊，我量的解是一样的，我们什么一样？我看大家的这个水平怎么样？

我俩解释一模一样的。什么一样之一样。这只是这个太浅薄了。不不不，这达不到水平。不不不，对x一样。x怎么样才能一样？x是怎么解出来的？怎么写出来的？我就问你个事情。比如说第一个方程组。是一二三。二四六。三六九。

然后b这个方程组。一二三。四，82。那么，同学们告诉我一个事情，我把你进行去初等变宽。这个是一二三零零零。然后这是一二三零零零。我就想问你个事情。这两个方程组同解吗？同不同减？那肯定通解一样解都一样，通解肯定一样，那这这不用不用想的。

一样不一样啊，这辆同不同解？你上面这东西怎么去解答来？不好意思，你怎么解的？啊，你怎么解的？那不就是靠上面这个人吗？所以说你就会发现一个事儿，我们企业的过程当中其实就是有效行。注意应该是行最简的，有效行是一样。注意应该是行最简。正的有效部分一样。有效部分它是一样的。

能理解吧，你这种情况它就同解，因为我俩的基础解析，我最后解出来都一样，那能不同解吗？那肯定同解。那这里面当中还有一个事情。我就问你a的值。等不等于b的值？等不等于你的痣都是一二三的那个部分？我就问你个事情，等不等于摆起来的值？你俩竖着摆一下。你竖着摆下来之后的话，你看你这个人是没有用的。

我用我干掉你。相不相等？告诉我，相等还是不相等？你竖着摆一下，你一二三一二三，我用一二三干掉一二三。相等那同学们告诉我一件事情，那就说明。唉，这个东西相等说明什么？说明a和b的什么东西啊？非常漂亮，行。向量组。

等价怎么判断？行向量组等价就是看a的值。等于b的值，等于AB落起来的值。好了，这是这个问题。能想清楚吧，这是这个点好了，铜解就讲完了。呃，这就是我们在考研过程当中，我们会遇到的同解的问题。同解问题就这样处理。呃，那个助教呃助教，

你可以吃饭去了，对吧？这个后面没有关系了，你可以先吃饭去，然后因为晚上还有一节课程啊，辛苦了。好了，这是这个那么接下来我们继续吧。那所以说在这里面当中，这个第一个点。啊，这个第二个点。能琢磨清楚吧，哎，这个问题。

所以你要想清楚，这个点把这个事情呢，你琢磨清楚同解的这个问题。好了，我们来看看这个事。那所以说在这个点呢啊，你会发现它就是这样的一个事情。如果这两个同解。那同解的话，这个人他的行向量组是等价的。对吧，行，最简部分一样。所以说它的证明方法其实有三种。它的第一种证明方法是在这儿。

这第一种方法。那证明你的解是我的解，我的解是你的解。那还有一种证明方法，就是证明行向量组等价，你就证明a的值b的值AB落起来的。质疑啊，然后第三个事情其实就是行最简正相同，但是其实我们考不到那么难。啊，考不到那么难，所以像这个问题啊，同解的这个问题，你注意核心重点，其实这件事情比较关键。

a的纸b的纸摆起来的纸箱等这件事情非常关键。所以将来我们碰到说什么，如果方程组同解，不光是a和b的质相等，而且a和b的质相等了之后，竖着摆起来的质也相等。能听懂吗？当然的话，有些你看到参考书只写了这一个部分，其实没有写全，你写全的话就还有这个部分。能想清楚吧，证明这个童鞋的问题。怎么整？然后接下来我们再来看看公共性。

哎，公共性。那公共解这个问题啊。比如说我们看这个点。哎，公共性。那在公共解当中也有一个重点内容，要不这样吧，我们把同解的问题啊，我们先解一个题。啊，我们先解一个题，因为这个题呃，知道结论就最重要。啊，

最重要问题是知道结论。能想清楚吧，你要知道结论。那这里面当中，我们首先先讲一个内容。好，我们来看看一个向量。这个向量角a1a2a3。好，这个向量。这个香料。你来看看这个东西，叫做阿尔法转置成阿尔法。就这种情况。这个东西其实叫做向量的内积，

但这不是我们考验重点。那么，首先我们先看看这个问题。那这个东西转置乘上它，其实就是什么你这个行向量再乘上这个列向量就是a1方a2方。a3房。有没有问题？就是转制再乘上塔嘛。平方和。平方和一定是大于等于零的。所以注意阿尔法转置成阿尔法是大于等于零。那如果阿尔法转置乘上阿尔法等于零呢？它的充要条件是什么？如果平方和等于零，肯定是每个人都等于零。

每个人都等于零，其实就是这个向量等于零。把这个内容你要记清楚。能琢磨清楚吗？那所以说一个向量的转置，乘上这个向量是大于等于零。一个向量的转置，乘上这个向量等于零的时候，其实充要条件是这个人等于零。但同学们这样看简单。但是如果我这样看呢？这是不是一个向量呢？那这也是个向梁。那我问你个事情，这个向量的转置，

再乘上这个向量，它是什么零大于等于零吧？能理解吗？因为你你a阿尔法也是个向量，那就是a大转置成a大嘛。然后如果这个向量的转置，再乘上这个向量等于零，它的充要条件是不是a阿尔法等于零？好了，学会了给我回复一，马上结束啊。马上结束。公共解非常简单，因为我们的掌握的公共解只用掌握一个内容就行。好了，

这是这个问题。所以接下来我们来看看这个题。对吧，看一下这个题。啊，这个点呢，其实非常重要，那其实这里面当中让我们去证明什么呀？啊，就证明这个人。是什么呢？ax=0，同学们注意啊，你看这个人。你看我怎么写的？

as=0，这个人跟as=0，这个人的左边乘上这个人，他是同解的。你记住这个结论。a的转置s=0。跟a的转置x=0的左边，那叫乘个a，它是同解的。怎么证呢？我来给你证一下好，我们先看看第一个问题。那怎么进行去证明这两个是同解？这个东西啊，就要用定义法。

啊，用定义法。那定义法怎么进行去证呢？它是这样，我先证明。你的姐都是我的姐。所以这里面当中，我把剩下的颜色都换成黑色，你来给我看看。假设有一个x是满足了你。那这个人是不是他的姐啊？你这个x满足了它，它不就是它的解吗？好这个人，那我想问你个事情。

我给这个式子。它的两边。所乘上那个a的转置成不成立？成不成立成立呀？那就说明只要满足as=0的x，也都会满足a的转置as=0。那不就说明说明什么，说明你的解。均为谁的解？均为它的解。这个很简单。但是关键点有一个问题，就是你如果是什么？你满足这个人的。对吧，

只要有一个人满足这个方程，能不能推as=0呢？这个有点难，但是对于我们现在也不难了。我们可以怎么做呢？你看我可以这样做。我给他两边同时左乘上这个点。成不成立呢？诶也成立，因为乘上一个向量的话，你这边是零嘛？然后这个东西就变成了这个人。你看变成了这个人，我们刚才知道你的转置乘上它等于零，不就能推出来你等于零吗？

哦，我这个x满足了这个人。我也能通出x满足这个人，那么就说明a的转值。as=0的解。你均为谁的解呢？你均为as=0的解吗？你的姐都是我的姐，我的姐都是你的姐，我不就能推出这两人怎么了？同解吗？同解a的值就会等于它的值。所以说这里面当中，你下面这个人自己去挣的。同解那就说明a的值等于a转a的值。

这两个同解转置的值就会等于a转a的值，下面这人我没有证呢，跟刚才这个人的证明方法是一样的。好了，这个情况。所以说这个题啊，正确答案选a。啊，这个事情你要知道，这个结论就行。对吧，你知道这个结论就行。所以我们制度公式当中的这个人，我也给你证明完了。我们现在所有的这个制的弓手全阵了。

好，这个内容能想清楚吧啊，基本问题啊，这是同解问题，我可以证明你的解都是我的解，我的解都是你的解。我也可以证明向量组等价，向量组等价你就先不要想，因为向量组等价对我们而言就太难了。对吧，不可能考到这，所以你就知道行最简震一样。还有一个部分是什么呢？还有一个部分就是你的解是我的解，我的解是你的解。

这个内容来再看最后一句话，公共节。讲义当中，虽然写了三种方法，但是对我们而言，掌握住其中的一种就可以了。一种足矣了。那么，这里面当中，我们来看看这个事情，公共节的问题。什么是公共节呢？公共解的话，你发现我说一嘴就完了，马上结束。

就说你这是as=0的解，你这是BS=0的解。那什么是公共解呢？公共解是这个部分。那什么叫公共解呢？公共解就说。你这个人。既要满足as=0。也要满足BS=0。对吧，你这个解。你既要满足第一个人，你要满足第二个人，那公共企业怎么做？把它给我联立起来。

那联立起来的话，你发现我这个人不是既满足你也满足我吗？那非常简单了，其实就是AB它这个系数矩阵变大了。I等于。这个方程组的解就是公共解。公共解就是这两个方程组联立起来的，解这考过。二零二一年考过这个人。你注意一下。这是考过的，最近几年的考研真题考过的。所以接下来我们来速战速决吧，我们来看看这个题。你看一下这个人。

他说了一个事情。他说这两个齐次元方程组的公共解是多少？那公共解不就落起来吗？那落起来其实就是s 1+s二=0。s2-s四=0。然后是s1-s二，加上s3=0。然后是s1-s三，加上s=0。那这个人的姐不就是公共姐吗？所以还是在解其次线性方程组一一零零。零一零负一。一负一一零，然后一零负一。好了，

这是这个人。s2哦，这是s2是吧？好了，所以说最后一行是零一负一零啊负一一。好，这个人那所以说接下来我们就来进行去求解一下。对吧，你把这个看一下，你解一下呗，一一零零。零一零负一，然后减去它，减去它负二一零，然后这是零一。

负一一。然后二倍加下来，这是零。二倍加下来，这是负二。减去他这个人是零。减去它这时是二变成零点。所以说这人呢，行阶t矩阵立即出来了。然后返销下负一被加上去变成零负一被加上去变成一。所以我们就给这个人赋值。那只有一个，那就是k贝塔。给它负几啊，负一。

如果负一的话是一倍的，那这是负一，这是一，然后这人是二出来了。所以说这个结果啊，是负一一二一正确答案选几啊选a。好了，像这个题啊，难度系数不高。对吧，你这个人怎么办？公共解你的公共解，其实就是联立起来的这个人的解联立起来，这个人解，其实就是他们的公共解。

能想清楚吧，还有我们在二一年的考的这个题啊，那这个题也很简单。他说这俩人有非邻公共解，那么就说明这两个联立起来有非邻解嘛。那非零解就说，如果这人有非零解，就是系数矩阵的值小于列数或者行列式等于零。当然，前提得保证它是方针。如果不是方阵也不行，方阵才可以。好了，这个人。两个事情嘛，

如果是方正行列式怎么定？对吧，如果这个东西的话是什么呢？是这个呃，我们的这个求解的，如果它不是方程就系数值仍是小于列数。好了，像这个问题啊，我们就讲到这，你不要背，哎呀。他这他这种摆法，他的他的目的性是什么？他的核心思想是什么？你不要进去去背，

你就不要把。这是数学啊。你一定要灵活一点，我觉得你你这种总结的话，你会让自己学的非非常，你学这个东西就是这个东西，你学那个东西的理解就是那个内容。好了，这个方向我们就讲到这可以了吧？所以说今天部分内容我们就把这个点讲完了。所以这里面当中，你想我们求行列式行或者列的变换都是可以的，求质行的变换列的变换也都是可以的。你求极大无关组，必须要列着排行变换。

解方程组只能行变换。好了，这是这个事情。能想清楚吧，哎，这个问题。还有个二幺三是吧啊，有同学对那个题非常的执着，我把这题。稍微说一下吧。啊，说一嘴，你自己下去算就行了。那么这个题啊，我们来看看这个事。

啊说一嘴，然后的话马上这个就结束。那么，这里面当中给了一个a。b是他让我们去求解这个人的逆矩阵。那怎么求解呢？你如果直接进行去解，你好像不好办。但是这里面当中告诉了b，你可以先把它给我放进来。那b这个人是e-a它的逆，然后这是e+a。那这人怎么办呢？你直接求逆的话不好做哎，我可以把这个人给拆成e-a的逆，

你再乘上个e-a啊。我这里是不是可以拆了？然后这是一减a的一，然后这是一加a。变成这样，等你做成这样了之后的话，这是e-a的逆你提出来。你一提的话，这个人结果是多少？就是2e，然后这个东西出来了。对吧，这个人变成二一。那这个二一的话，你发现一个事情就是二倍的多少一减a的这个一。

所以说这个东西的话，这个整体的这个逆矩阵就等于二分之一逆的逆，其实就是e减a。所以说这个题啊，等于二分之一倍的e减a，不然的话，这个题怎么可能会出到我们的这本书上啊？如果这道题是一道大运算量的题，它不可能出现在我们的书上。算个十分钟，四阶阵内。四阶矩阵。你要硬着扛，这题就废了。所以说这个题的结果非常的简单，

就等于二分之一倍的e减a。它就出来了，所以这个题的这个运算是非常小的。基本上是没有什么运算的。哎，这个人那这个运算的话，你发现非常小。所以小运算量的题，把它想清楚就行。好了，这是这个事情吧啊，我们就讲到这。好，这是这个问题，能想清楚吧？

哪是家呀？啊，哪里是家呀？你你在说什么呀？题目是什么呀？b逆等于。不是我没有理解你什么意思啊。这不就是一+b吗？这不是一+b吗？所以说最后的结果是不是一+b等逆嘛？你这个人的逆矩阵不就是他的逆矩阵吗？我题目带错了吗？哦，这是加上了它是吧？好呃，

这是加号，这是减号是吧啊？那这是加号的话，这是减号的话，你自己得换一下。啊，你得换一下。所以你把这个这是减号，然后的话，这是你就把它拆成它加它加，然后它是它是加它是减。都写完了，你给我来这个题给我抄抄错了啊，然后这两个东西一+1加的话，这是二一啊，

这是这个人。行吧。好了，这个问题啊，你自己下去好好处理一下啊，那么这个点我们就讲到这。好自己下去好好进行去，把相对应的这个问题点呢梳理清楚，就是刚才那个题，如果是道大运算量的题，那肯定不可能。对吧，就是它里面当中的核心重点还是在进行审判啊，就是把相对的这个问题啊，运算量还是很小的一个题。

好了，这是这个问题吧，我们就讲到这呃，还在补现代基础，那你就先把那个线性代数的基础看完呗。对吧，学完了之后再看强化都行，慢慢来啊，不着急，你这个一直复到复习到九月底都行。行吧呃，然后的话，这个思维导图啊，一会儿过程当中我会给你进行去把它放进去啊，然后这个今天过程当中有几个点呢？

比较重要的是线性表出特别重要矩阵方程的理论非常重要。然后是呃向量组的表出倒还好了。向量组表除其实你把理论的东西掌握清楚，线性表除矩阵方程。向量组的之间的表出是什么意思？向量组等价怎么判定？然后方程组的这个同解的问题啊，倒不是说特别的重要，对吧？你把那个理论的掌握清楚，你知道怎么进行判定，但比较重要的是公共解。公共性这两个东西啊，取一个交集就行。好了，

那么今天课程呢？我们就讲到这那线性代数啊，我们就全部结束了。所以相信这个强化班的部分的内容，你先把它进行去好好梳理一下，把这个问题啊，一定要进行串一串好，那么今天课程我们就讲到这。好吧，同学们，哎，我们不多说了，一会七点钟我还有一节课程啊。行吧，下去好好复习一下吧，

然后对于我们概率统计啊，明天我们休息一天，后天晚上对吧一号。三号四号这三天晚上我们就把这个概率统计啊，我们就可以结束掉。那好吧，同学们，那么今天课程我们就讲到这儿下去好好串联一下，好，我们下节课见吧。

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