24.冲刺满分强化篇·题型43精讲精练-3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:18:58

好同学有笑，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始我们的线性代数的强化班部分的课程呃，在上次过程当中啊。没有关吗？现在还有吗？好，你现在看一下还有音乐吗？

好，那么接下来我们就继续开始吧，然后在这个昨天过程当中啊，我们其实重点讲了这个线性相关性的问题。那么，在后面过程当中，其实还剩下两个板块内容，一个事情啊，其实就是我们的这个其次线性方程组，还有一个东西啊，是一个非线性方程组。那么，在这种当中啊，还有一个东西其实是矩阵方程，对吧？

这个矩阵方程也很重要，那包括在这个去年的考研真题当中已经有所显现了。那么，首先第一件事情，我们还是来回顾一下上次过程当中的核心知识点。那么，在上节课过程当中，其实重点讲了两个问题，一个事情叫什么？一个叫做极大无关组的东西。对吧，极大无关组，那么如果进行去求解，极大无关组，其实你发现第一件事先是定义什么叫极大无关组呢？

那极大无关组两个事情，一个事情你们之间是线性无关的，第二事情你能表示所有你如果线性无关表示所有，你就是个极大无关组。所以这是它的一个定义性的问题，那么这里面当中通常怎么去求解呢？我们是这样做的，我们先进行求解，向量组的值。那向量组的质是什么呢？就是极大无关组当中啊，有多少个向量那极大无关组当中有多少向量？我们就说这个向量组的质啊，就是多少？那怎么进行去求解这个向量组的值呢？

诶，求解这个向量组的值，我们根据一个三值相等的内容，一个列向量组的值等于矩阵的值。那矩阵的值等于列向量组织，也等于行向量组织，所以说这个时候啊，你发现我们就可以怎么办？求解矩阵的值。那么，求解这个矩阵的值啊，就转到这个向量组的值，那么求出向量组的值，然后这里面当中我们就知道了，哎，

极大无关组当中。有多少个向量？能理解吧，哎，我们就知道这个，其他无关组当中啊，你到底有多少个人，而且这些人呐，必须是线性无关的，所以如果知道了这件事情了之后，然后怎么办呢？我就进行去找。比如说我的质是三，我就找三个线性无关的，我的质是四，

我找四个线性无关的，我的质是二，我找两个线性无关的，那这两个线性无关的，它就能作为其他无关组。所以第一个事情极道无关组不唯一。怎么进行找取呢？把这些人摆成列，然后进行初等行变换，那么阶梯口处啊，那肯定是极大无关组，但上次过程当中，我们还讲过一些。呃，更重要的一些方法，

对吧？非零行上取非零元呃，这是一种方法，当然在这里面当中取行列式，那也是一种非常重要的方式。啊，理解清楚就行好了，然后接下来我们再来看看第二件事情，那就是线性相关性。啊线性相关性。那线性相关性呢？那非常关键，那么这里面当中我们就说过了，如果进行判断线性相关性两个事情，一个事情啊，

用定义一个事情啊，就是用智。你其实在我们的考研过程当中啊，其实核心重点就是用智。如果向量组的值小于个数是相关等于个数是无关小于个数是相关等于个数是无关。所以下次过程当中，你就知道，如果说这个向量组是线性相关的，我就知道这个向量组的质啊，肯定小于个数。如果说这个向量组，这个是什么线性相关的，那就小于个数，所以这个类型问题啊，两个事情，

一个是等于。一个是小于对吧？就这两个事情，那么在这里面当中，我们还可以通过满知的方式来做。对吧，第二件事情矩阵。那如果这个矩阵呢列满值对吧？我的质等于我的列数列无关小于列数列，相关等于行数行怎么办？行无关小于行，数行相关，其实这里面当中的一个问题就是满质还是不满质？对吧，如果这里面当中对于方阵而言，

我们就说满之。对吧，满还是不满？因为是个方阵，我们说满支那指的是列满制也是行满制那，所以说如果将来我们知道这个。矩阵是一个方针，它满值，那这个时候的话，它的质等于列数，也等于行数，行列都是线性无关的，那如果这个东西不方呢？我们怎么办？我们就要进行去看列，

还是行这个情况？你是列满制还是行满制？所以下去过程当中啊，这个问题点一定要会做啊，其实我们考研过程当中啊，考的这个内容点不是说考的那么的难。啊，不会那么的难，但是你要注意不要掉以轻心，你基本的概念性的问题啊，一定要把它处理清楚，所以用行列式的方式进行处理还是非常棒的。必须是方阵，哎，我一看你组成了方阵，

我一看你这个东西是线性无关那线性无关，我就说明这个行列式不为零。行列式不为零，那就满质嘛，列行都是无关的，能想清楚吧，下去过程当中好好梳理一下。尤其是这个问题啊，这个点呢，是必考内容。那今天的内容啊，会非常的，关键我希望同学们一定要好好听，那今天内容啊，你在我们考研过程当中，

有的时候会出一道题。出两道题，出三道题，出四道题都有可能性好了，那么接下来我们就继续开始，我们来看看其次线性方程组的问题。那么，在齐次线性方程组当中，我们来看看重点两个问题，一个事情啊，其实就是方程组的什么东西呢？哎，它的解的一个判定。一个事情是方程组的，求解。

你到底有什么样的一个解的情况呢？判定的问题，还有一个事情是求解性问题，那么所以说首先我们先来看看第一个问题。数值型其次线性方程组。那什么叫数值型呢？呃，其实这个事儿啊，我还挺担心的。我就担心一些同学的话，你发现解方程组啊，我让你进行去预习啊，有些同学也没有进行去看，把那个基础班部分内容啊，你去看一看，

有些同学也没有看。所以说在这里面当中啊，我就还找了一些这个方程组，也是我们的考研真题，对吧？这都是我们三九六同学的考研真题啊，二一年之前的真题。我找了几道一会过程当中，我们来试试水啊好了，这是这个问题，那么接下来我们来回来。所以首先第一件事情啊，是一个数值性的一个问题，那两件事情一个事情是求解，你好好听哦。

你基础班过了一遍，今天过程画了一个完整的圆，然后这个方程组的这个问题啊，我们就迈过去了。呃，你们可以进去去看一下那个课表，我今天专门把之前部分的所有的这个课表我都给你梳理了一下啊，之前可能的话，那个序号不对应。那么，今天过程当中应该是完整对应的啊，这个线性代数部分啊，哪些部分内容那么我们基本上的课程呢？呃，看看今天的效果。

如果你今天学的是差不多的，我们这个进度是完成的，非常满的，那基本上今天就讲了一大半，明天的话，我们稍微加个餐。我们就基本上线性代数就结束了，对吧？你自己好好进行去看看，看今天的这样的一个效果好了，我们先来看看这个数值型的齐次线性方程组。那么，对于这个问题啊，两件事情，一个事情是解的判定。

对吧，其次线性方程组。其次，线性方程组一定是有解的。你绝对会有理解，所以我们在这块讨论的问题就是你只有理解吗？还是有非理解？对吧，只有理解，还是有非理解，所以说像这样的一个问题点呢，第一件事情解的判定，我们怎么判定呢？第一件事情，我们用质的方式来判定。

那这个质的这个东西啊，它有可能这个东西它就不是一个方的，你比如说这里面当中的这个a矩阵呢啊，比如说这个a它是一个什么，它是一个m×n型的矩阵。可不可以那么首先我们先来看看第一条内容？那第一条内容就是如果这个矩阵的值等于零。对吧，等于这个列数列满值，如果这个人的列满值，我就立即可以推出什么，我就立即可以推出来，其次线性方程组。只有什么，只有零解。

而且在这里面当中，我们还可以继续看，如果一个矩阵列满值，我就可以说明a的列是线性什么关。线性无关，你发现没？跟我们昨天部分内容，我们就串起来了。对吧，两个事情完整的就串起来了，如果这个矩阵列满值列一定是线性无关的。如果这个东西是行满值，我们这个东西与行业的实现性无关，能想清楚吧好了，那么接下来我们继续，

我们再看，如果这个矩阵的值小于列数，不可能大了。那这个时候说明什么？说明这个东西有什么解？有非零解。哎，有非零解，如果这个矩阵的值小于列数列不完值，那这个列呢，一定是线性什么关？进行相关。好了，这个问题啊，跟我们昨天内容啊，

其实串起来了。你这个系数矩阵的列向量组的线性相关性，你的系数其实就是这个方程组的解，你还记得这个事情吗？好了，这个点。所以将来我们进行去解的判定两个事情，如果这个东西不是方的，我们走质的路线，如果是方的，也可以用质的路线，也可以用行列式的路线。好，我们再来看看第二件事情，如果你这个人呢？

你是方正。必须是方针，那方针我可以用行列式啊，如果这个行列式不为零满制满了，行的制也满了，列的制如果系数矩阵列满制。劣满质这个东西啊，一定怎么办？只有零解。你要喜欢用这种方式啊，进去去想问题。然后接下来我们再来看第二事情，如果这个行列式呢，你发现等于零。对吧，

等于零那这个人不满足列不满足，那这个东西啊，有非零解。哎，又非零切。那如果对于一个其次线性方程组，他说，这样的一个问题，他说唯一解释什么意思啊？你听一下啊，比如有些考生人家说其次线性方程组有唯一解，那就说明是只有零解，唯一的零解。对吧，唯一的临界。

如果你这个东西啊，你发现不是唯一解不是唯一解说无穷多解，那肯定有非零解，非零解就会有基础解析，基础解析前面就会带k。那这个东西啊，它就会有无穷多解好了，像这个问题啊，我们把它梳理清楚就行，一个方向我们走质的路线。一个方向走行列式的路线即死啊。你看，判断可逆性核心方向是永行列式。求解式的方向，要不是初等变换，

要不是行列式判断线性相关性，要不然是用定义。要不然是用之上节课讲的吧，那求解齐子眼方程组的解的情况，要不是用行列式，要不然是用什么，要不然是用之。啊，非常简单，那么接下来我们来看几个题吧，你先来做两个，做两个之后啊，我们再来说，我们先来看看这个题。好做一下。

它说，其次线性方程组，你这个人。它怎么了？它有非临界。啊，有非零解，那有非零解两条路线，一条路线就是系数矩阵的值啊，小于它的列数。那或者一件事情啊，就是行列式等于零，你注意啊，这两个东西都是充要条件。所以在这种当中，

你选哪个方式呢？你选质的路线行不行？可以你选行列式的路线可不可以？也可以，那这个题是个方阵行列式好求啊，那所以说在这种当中我们就选行列式就行。因为行列式当中，你发现已经出现了一个零，这是一二一，我只需要把这个人干成零，你减去前面是零，减去前面减去前面a- 1，然后这是多少零一一？然后按照这个东西一展一展示多少，那还没显示一再减去多少a减一，

所以说这个人等于二减a等于零a十二答案选a。这是以前的考题啊，这种题啊，难度系数真不大。对吧，所以说像这种问题啊，你一定要把它做好了，好了，我们继续吧，我们再来看看一九年。好，再看这个题。那这个题啊，它又说了这个东西，它有非零解。

那么他继续做，说这个其次线性方程组有什么有非零解？那有非零解它的充要条件是什么？它的充要条件一个事情是它的系数矩阵值小于列数。一个事情是什么？一个事情是系数矩阵的行列式等于零，你就看看选哪个了，你把这个系数矩阵写出来，那这人是k多少一一？然后这是多少1k一，然后这是多少1k？好，这个情况那做成这个情况了之后的话，你发现你是走质的路线还是行列式啊？那很明显行列式好做。

对吧，这个题用行列式的方式啊，简单一点。那所以说这个人是什么？这不是行和相等型列和相等型吗？我们做快一点，都把它加到第一列，都把它加到第一列，然后这个东西是k+2提出去了。然后这东西就变成幺幺幺，然后这个人是他，然后这个结果是eek好这个人。然后接下来你再按照什么，你再按照第一行做就行，你减去上面，

这是k- 1减去上面这人数的时候，这人也是k- 1。所以说这个结果就是k+2，然后是k- 1^2=0。那所以说这里面当中，我们写出两个人。一个事情k是几啊，一个是一，一个是负二，那同学们告诉我这两个东西都行，还是需要检验啊？需不需要检验？都行，还是需要检验。都行，

为什么呢？因为你发现你行列式只要等于零。那这个东西就有非零解啊，那这个东西是一个充要条件。好，非常好，证明这个这个今天的课程呢，大家下去过程当中是有复习啊，非常棒，把这个线性代数啊，最后一点东西坚持下去。你最后一点东西最重要啊，最重要。好了，这是这个问题，

那么接下来我们继续，我们再来看看下一个点，我们再看这个题。好又来了，然后这个东西有什么解呢？然后这个东西有非零解，那有非零解的话，你看两件事情。一件事情呢，他说这是个其次线性方程组，有什么解有非零解，你发现没发现以前的考研真题啊？为什么原来过程当中这个三九六啊？你觉得稍微复习一下都能上来呢？你看这些考题，

它非常相近。而且以前过程当中，出题人非常懒。懒的点在哪呢？比如说前些年当中刚考了一道题，他后些年过程当中他又考考的一模一样，数字都不改。哎，都会这样，但是你在这种真正的真题当中，咋会出现这种情况？来一个事情系数矩阵的值啊，小于它的列数，一个事情行列式等于零。那么，

接下来我们就继续，我们再来看看这个下一个问题，你来看看这个a那a这个人的话，你发现这是三这是五这是一，然后这是负一啊这个是。a+2，然后这是a，然后这是负一，然后接下来的话，这是四，这是a+5，然后这是二好了，那么接下来我们来看看这个矩阵。你是走吃的路线，还是走行列式的路线呢？

那么，在这种当中，到底走哪条路线呢？我来看了一看。你好像走行列式的路线。走质的路线也差不多，但是行列式更简单，行列式有展开定理。你如果进行走制度路线，你必须画成行阶梯，那这个还挺麻烦的，你在这种当中，只要把这两个东西干成零。那我就可以展开了，所以行列式的优越性就体现出来了。

那所以这里面当中啊，我就按照什么按照最简单的这个人来对吧，先把这人干成零加过来是零加过来a+5。加过来a+5。那这个人既然都是a+5哎，那你想想，我就不想把这个人干成你了，因为这样东西都是a+5，我可以把这个东西一个人干成零。我立即转换思路，你能听懂我的意思吗？因为两人都是a+5，所以我用第一行怎么办？减去第二行，那这个人就变成零。

然后这个东西一减，这是多少是一减a，我这个一减，我这是负二能听懂吧？哎，脑子一转灵活一点。对于行列式而言，你走行的性质还是列的性质都是行的，这无所谓的。能分析清楚吧？好了，这个人，然后接下来我们就按照这个东西进行展开，那就是a+5这个人，然后接下来怎么办来这条对角线是负四。

然后减去这个人，那减去多少呢？一减a好了，这个结果，因此这个人结果是a加五，然后这个人是多少呃，这是a怎么办a再减五？好了，等于零，所以说这个a等于几等于五或者多少负五？好了，像这种问题啊，就非常简单，所以你看这种题的操作性难度系数就不大了。对吧，

稍微进行去一转，那这种问题就出来了。好下去过程当中，你好好看看这个题对吧？一五年的第30题，一一九年的第40题。然后二零年的第39题啊，这个题目。好了，这是我们讲的这个第一件事情，那么接下来我们再来看看我们的这个强化讲义上几个题来，再来看这个题。呃，这个题等会我们再看吧。这题等会再看好，

我们再来看一个题诶，这个题也稍微等会儿，这是基础解析的问题，好了，这两题啊，稍微的等会儿。来，继续吧。怎么样？感动哭了啊，这种题你发现说实话不是说特别难，你稳稳当当做你都能拿到分。好了，那么接下来我们再来看看第二件事情，数值性方程组的求解。

那数值型的方程组求解往往怎么做呢？往往是这样做。就是如果对一个其次线性方程组而言，我拿出它的系数矩阵，请注意，我只能进行什么变换行变换。化成什么东西呢？化成行阶梯矩阵。然后接下来再怎么办？化成行最简矩阵。再化成行最简矩阵。那化成行阶梯，然后再化成行最简，我们使用赋值法来做的，那像这种问题啊，

我觉得还是通过这个习题，我们来进行讲讲。对吧，我们通过两道题啊，我们来做一做，把这个内容稍微的回顾一下，我明确讲你不会解方程组。线性代数就跟没有学识一样。因为线性代数，这门课程是从这个方程组的，这个呃开始发家起源，然后最后引出了很多内容。所以大家注意这个问题啊，是一个最重要的一个基础。对吧，

非常重要的基础。解方程组，所以对于我们三九六同学线性代数啊，有几大非常重点的能力，一个事情是行列式的计算能力。一个事情是矩阵的运算能力，比如说我矩阵当中想加我，想乘我，想转置我，想n次幂。对吧，我想求伴随求逆矩阵，这是个基础，对吧，这是第二大能力，

第三大能力就是把一个矩阵化成行阶梯矩阵的能力。第四个能力就是解方程组能力。就是这四个基本问题啊，一通百通。对吧，稳稳当当做就行了，那么首先我们先来看看这个题，第一题你怎么做，你把这个系数矩阵拿出来。然后这是一三五二六十一负一，这是一，然后这是负一，这是负三，这是负。好拿出来，

拿出来之后啊，然后对这个东西怎么办？进行初等行变换，注意啊，只能行变换。那所以说这是一二一负一，那减去上面是三倍，减去上面三倍，减去上面三倍，减去上面三倍呢，那这是零。然后减去五倍，减去五倍，减去五倍，减去五倍，

这是零。把这人变成一把，下面干成零。好了，同学们，你告诉我件事情，那对于这个人而言，行阶梯矩阵出来了吗？行阶梯矩阵出来了。那行阶梯矩阵出来之后，我要把它变成行最简。变成什么行？最简单就是你发现这个阶梯口只有我这个人不为零这一列，其余人变成零那所以说我再用这个一。返销上去，

把这人变成零是不行，最简好，现在就变成行，最简就阶梯口出。这个人不为零，在这一列只有阶梯口处不为零，别人都为零，好这个情况，然后接下来怎么做？哎，这样做，然后接下来你就要进行去，怎么办？找自由未知数和独立未知数。那阶梯口所对应的人是独立未知数。

那么，今天可以把这东西啊，我们讲的更完整一点，就是极大无关组所对应的未知数是一个什么独立未知数。所以大家注意，你看这个人和这个人选做独立未知数，行不行？你就找极大无关组呗。那这两列是不是可以作为极大无关组？这两列是不是也可以作为极大无关组，极大无关组所对应的列就是独立未知数。所以这俩人是独立未知数，因此啊，这俩人是自由未知数，一个是x2，

一个是x4。好了，注意下，这两人是自由未知数。那自由未知数，有几个我就附集组织，所以这里面当中我们就进行找基础解析，第一个人。然后基础解析第二个人。啊，有俩。然后接下来给这两人进行赋什么赋线性无关的值。一个人负几呢？一个人负一，一个人负零，

一个人负零，一个人负一，好，这样付。那么，接下来我们去读一下这个第一行，我再讲一遍，其实你不应该这样写了，因为你作为强化班同学，你注意第一行是x1加上。二倍的s2-s四=0，然后第二行是x3=0。所以现在而言的话，这个x2是几啊？是一这人是零那所以说这个结果它就是负二。

然后I3是几零？其实你应该盯着看一倍s1，加上二×1，后面都乘上零，所以说这个人肯定等于负二，然后一倍s3=0s3，肯定等于零。好，我们继续，我们再看第二个人，你给这个人负一，我们继续来看一倍的s一二乘零零乘它。负一乘上一，那等于零，那这人等于几啊一，

那这人是几啊零？所以说这两人。就是基础解析，那既然这两个东西是基础解析，所以说这人的通解是多少通解就是k1贝塔，然后再加上k1。k2被它，然后就写k1k2为任意常数。所以像这个问题啊，你能找到基础解析，那就非常完美了。好了，这个题没问题吧？我相信大家应该能解的很好，这是个最基础的题，

好，我们再来看看下一个题。来再来看看，看这个人。那对于这个题而言。还是进行去解方程组对吧？还是解这个人？好了，那么接下来我们来看看这个事情来解一下。好解方程组，那么这里面当中把这个系数矩阵呢？我们抽出来。哪个你哪个人呢？这是。负四是吧？

再减去个一减。嗯，这个人减去多少？哦，这是负一减a哦。对吧，那负一减a那负一减a的话，这个人就是负四，然后再怎么办？加上这个人。对吧，加上一个a+1，所以说这人就是多少是a- 3。啊，一个是三，

一个是五负五。好了，这是这个事情，可以吧啊，刚才那个同学你下去领个必胜套装啊。好了，那么接下来我们来看看这个类型问题来继续看，你要解这个人呢？他是一一二，然后是多少一二一？然后这是多少二一五好这个情况，那么接下来我们就来进行去初等变换，那变换了之后的话，这是一一二。减去它，

减去它，减去它，然后接下来的话，我们就继续再减去二倍，减去二倍是负一。对吧，减去二倍，这是一，然后这两个东西啊，一画就没了好了，变成这样。那变成这样了，之后的话，它就变成这样，那有没有非零解呢？

那当然有非零解，你看看这个人的质，这质是二，他当然有非零解。那既然有非零解，你想想前面这两个东西是独立未知数，第三个人是自由未知数，但是这个题还要变成行最简。那行，最简要把这东西啊返销上去变成零，然后返销上去变成三，你就给这个人赋值，所以说同学们告诉我基础解析里面当中有几个人呐？只有一个人，那只有一个人的话，

你发现给它负几负一诶负一就行。那负一的话一倍的，它加上三那这人是负三一倍的，它减去一那这人是一，所以说最后的通解是多少？k倍的它，然后k为任意常数。好了，像这个问题啊，你下去好好进行，把它处理一下。一四年的。能学会吧，好基本问题啊，把它琢磨清楚就行。

那这其实就是我们在这里面当中啊，数值型的其次线性方程组。一个事情是判定，如果在这种当中判定我们是走制度路线和走行列式的路线，如果是进行求解，我就把这个系数矩阵呢。进行初等行变换，划到行最简使用赋值法来做好，这是一个非常基础的内容，那么接下来我们再来看看下面一个重点问题。我们来讲讲基础解析。哎，这个人呢，非常非常关键。那什么叫基础解析呢？

那么在这种当中啊，今天我们再来进行讲讲对吧？基础解析。那基础解析到底是什么意思？你比如说我们就以这个题为例。你看看这个点。什么叫基础解析呢？你发现对于这样的一个其次线性方程组而言，它应该有无穷多个解？对吧，我有无数多个姐？那无数多个解都写出来，那这个是很难办的事情，所以你就会想什么事情？就跟上节课一样，

我有好多个向量，但是我都写出来吗？不用，我只要找到什么找代表。是吧，找代表，所以我只要找到什么东西呢？极大无关处就行，线性无关表示所有就行。所以现在这样的一个问题啊，什么叫基础解析呢？基础解析这句话就是你这个其次线性方程组，你这个人呢？你现在有无穷多个姐？哎，

假设你有无穷多个解？那你这个东西有无穷多个解？你发现一个事。哎，你先不要说那个是我这边基础解析啊，你学了一年那个字应该没问题啊。书上是对的。好了，那么接下来我们就继续吧嗯，你把你的核心重点你放到这个内容上是这个戏啊。好，那么接下来我们就继续吧，我们再来看那这个七次线方程组啊，有无穷多个解？那无穷多个解的话，

你发现你都把它写出来嘛，这非常困难的，所以我怎么办？我就来进行去找这个解的什么解？极大不关注。所以同学们注意，这个同学说了一句非常好的话，叫做解集的极大无关组。就是他解的极大，不关注你看这个人的解，所有的解都是什么是k倍的这条线。那就说明就在这条线上，然后找到这个人作为基础解析。那是k贝塔。所以一定要听清楚它其实就是什么，

就是我们所有解的极大无关组。哎，其实就是解集的极大无关组啊，这句话说的非常好，那么所以同学们想想。你这阵子当中进行去找其大无关组，你会想什么呀？你不是有好多个姐吗？我要进行找你的极大无关组。极大无关处。你会想什么？那这里面当中有好多个解啊，对吧？你会发现你看这个一个解两个解三个解四个解五个解无穷多个解这解太多了呀。对第一件事情找几个呢？

对吧，你首先第一个事情，我在这里面当中，比如说我有三个好，我知道我要找三个。我找三个的话，是不是在这里面当中找三个？那这三个是不是得线性无关？所以说这里面当中的第一个问题。你找的这些人是不是得是我的姐啊？所以你看第一个事情，你找的这个人，你肯定得说我的姐，第二个事情，你要找几个呢？

第三个事情，你是不是得线性无关呢？那找几个这个东西，它可太重要了，这叫ss等于多少n- 2a？a是个m×n的。一定是什么东西呢？a的这个人的列数减去这个ran-ra个。所以像这个问题点呢，你就把它想清楚。哎呀，这个。你是在学数学对吧？每每次上课基础解析啊，基础解析。

呃，你能听懂的话，你就直接跟着来就行了，如果有些东西的话，你觉得吃力的话，你先把这个基础的东西啊，你去看看好吧？你在学数学，你把你的核心重点把它把握住。基础解析。第一个事情，它这个东西得是其次线性方程组的解。第二事情，你的个数得满足，第三个事情，

你得线性无关，就是我在我所有解当中找s个线性无关的，它就是基础解析。能听懂吗？所以同学们想想基础解析唯一吗？基础解析不为宜。啊，基础解析不唯一。所以在这种当中，只要你找到了基础解析，比如说这里面当中，我们找到基础解析，哎，你这个人是他的姐，你这个人是他的姐，

你这个人也是他的姐s个。信息无关，你是基础解析，如果你是基础解析，那我的通解是多少？来，赶紧来，我这个人的通解就出来了。我的通协就是。k1倍的塔。然后再加上k2倍的它，然后一直加到多少ks倍的它？好了，这就是这样的一个问题，所以说接下来我们就要进行去好好进行思考一个问题了。

那么大家想想你思考几个点第一个事情。总结。第一个事情。那么，对于基础解析是什么呢？基础解析，它其实就是我们用一下刚才那个同学的话说的非常好，叫做解集。集合。解集的极大无关组。对吧，这个东西是什么呢？它的个数就是我解当中最多的线性，无关的个数。对吧，

就是我最多的线性，无关的个数，如果这里面当中，我们说其次线性方程组。对吧，比如说这里面当中as=0。我们说最多有多少个线性无关的解呢？无关的解。那最多有多少个？那最多就是s个最多有s个线性无关的解你注意啊，这是最多。最多有s个线性无关的结。所以在这里面当中，我们就把这个东西啊，我们列出来s等于多少n-r。

所以这其实就知道最多有多少个线性关节，其实我们这两年昨天晚上我还说过这个事情，所以我们考研的话当中他说的那个东西啊。不严谨啊，一会我们再来说，应该叫做最多有多少个线性无关的节。我最多有四个线性无关的解，比如说阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，阿尔法四四个人线性无关，那局部也线性无关呐。所以这个东西体现在最多有多少个信息无关的节。能想清楚吧，好了，

这是这个问题，然后接下来第三个事情见到基础解析。响三点。立即想三点。注意这个词可太重要了。人家不是说别人，人家说的是基础解析。那第一个事情你要注意，它的个数就是s。人家说阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，那这个东西是什么？是基础解析。人家说基础解析里面当中有三个人s，

就是3 n-r就是三，第二事情都是什么？其次解。然后第三个事情线性无关。所以这其实就是我们碰到基础解析，我要立即想到的事情。那基础解析你能构成我所有的解，你肯定是我的解啊，你而且线性无关的，你的个数是s啊，好了，这三点一定要把它想清楚。能听懂吗？好，这是这个问题，

那么将来过程当中，我们一定都会用，那比如说举个例子。我出一个点。我们说什么呢？说如果这个阿尔法一阿尔法二阿尔法三。为什么东西呢？为as=0的，你听好了，人家说的是基础解析。好了，你告诉我件事情，你能得到几个条件？如果这些东西是基础解析。第一条你们肯定都是其次的解。

你们都得是其次的解。然后第二事情，你们必须是线性无关。第三个事情，那请告诉我s是几？s是几？s就是三。你数这个个数。对吧，它的个数是几s就是几？所以一定要听清楚一个事情，它个数是几s就是几，为什么因为它是基础解析，它是最多的线性，无关的个数。

你最多只有这么多线性无关的，但是如果一个考题当中他改了，他说什么他说如果阿尔法一阿尔法二阿尔法三。为什么东西呢？为其次线性方程组的线性无关的解。好，这个人。那这个时候的话就不一样了。对吧，当然的话，第一件事情你们都是其次解你a阿尔法一肯定是零你a阿尔法二肯定是零你a阿尔法三肯定是零。然后第二事情你肯定是线性无关。第三个事情呢？你注意，你现在只知道三个线性，

无关你这是最多线性无关的个数吗？不一定。那也有可能会更多，所以s是大于等于三。好了，像这个问题啊，你把它想清楚，因为有些同学我看发现非常好啊，非常棒。一看的话就是下去好好消化了啊，好好努力下去，一定能考得非常好的好了，像这个问题啊，我们就讲到这。那么，

接下来我们就正式开始吧，我们来看看这个下面一个问题，我们先看。让我看看啊，我们先看看上面还有两道题。把这两道题我们先讲。好，先来看看二三三这个题。好，先看这个题。你看这个题，那这个题啊，它说基础解析里面有几个向量？基础解析里面有几个向量，那基础解析里面有几个向量，

其实你发现这个题的方向不就是想进行去求s吗？是吧，你想进去求s的话，你发现你这个n是多少？你这个人的列数是几啊？你得有四个未知数，不是三个，是四减ra。所以对于这个题而言，最重要问题其实在求a。你像这种题就不难了，它的核心重点其实就在求AA的质，那a的质的话，那么接下来我们来算一下这个事情。来求下a的值来解。

那这个a这个人呢？你发现你把它写一下，那是多少一一一？3a二，然后这是二啊，这是一一一，这不是一一，这是一零一。你对准了，然后接下来这是三，你看这是s2，这是一，然后这是二，然后第三个这是二，然后这是a。

然后这是x3，这是没有的，然后最后一个是一，然后这是负a，这是三好这个人。所以像这种问题啊，你自己稍微的进行注意一下对吧，这是第一个点，等你把这东西出来之后啊，我们接下来再看，我们就求质呗，那求质的话，要不用行列式，这个题没法用行列式，你只能初等变换。

也就二一，然后这是多少零一a负a，然后减去上面减去上面减去上面。对吧，然后再减去上面这是二把它加下来，加下来这个东西是零加下来这是a然后加下来呢，这是二减a。好了，做成这样，那做成这样了之后，然后接下来我们就要进行讨论了，第一个事情你就来讨论一下这个a到底为不为二？如果这个a为二，那这个r是几r是2s是几s是二？如果这个a不等于二，

那r是几r是3s是几s是一？所以如果a=2的时候，应该有两个你这人不对。如果这个人的话，他不为二的时候，他应该只有一个，那这人不对，这人不对，正确答案选几啊选b。好了，像这种问题啊，只要你读懂题了，它都不会特别难。你关键点一个问题啊，你这个人到底说的是什么？

什么叫基础解析？基础解析就是来构建通解的，它就是我里面当中最多线性无关的那个情况，其实就是极大无关组。它的个数对吧？它有多少个人？其实就是谈的那个s有多少个人好了，这是这个问题，那么接下来我们再来看一个题，我们来看看。一道二一年的考题。同学们，想想这种问题，其实在干嘛呀？啊，

你发现求解这种题，最后的落脚点又落到谁上面了？求知。你没发现吗？还是在求职。你就像我们在昨天过程当中上了半天的课程，还是在求职，你判断线性相关性求职，你在求这个问题啊，还是在求职？所以这个内容啊，它就是个心脏的知识点，来看看这个人。好，先看这个题。

那这个题怎么做呢？给了一个a给了一个b，然后这个东西是什么？哎，这东西是AB。那AB这个人给的你，然后接下来他说这个人的线性无关解向量的个数，所以这这种问题啊，他说的都有问题。应该是最多有多少个线性无关的解向量？不是线性无关的解向量。所以这种点的这种说法呀。好了，那么接下来你只要知道他想考的是s就行了，行不行？

你只要知道这个东西想考s那么首先我们看看第一个事情sa。那sa是n减ra，那这个n是几啊？列列数是三三减ra。然后再看第二事件SB，那这个人的列数是几啊？那这个人列数是二二减rb。所以像这个题啊，它的核心重点就想求什么，其实就是在求a的质和b的质。那知道AB啊，那AB的话，你发现你这个人呢？你行列式的话，你发现行列式是一零二一，

它不为零满质的呀。那满质的话，其实我们就知道AB的质是几是二，那知道AB去求a，你会想到什么所谓月沉？越小能想到吧，哎，所谓越沉越小，你求这个什么，这太简单了。所谓越沉越小，你这个东西啊，你就会想到这个人。那然后这半边的话，它都是二你这半边它都是二，

然后的话，你看你这个人有两行，你最多是二，你有两列，你最多是二。那所以说你一加这个人就是二，那既然是二的话，你发现这是三减二，这是一，然后这是多少二减二，这是零？那因此这个人呢？一个是一个，一个是零个，那正确答案选几选b？

其实他这个题啊。他出的都还挺好。对吧，他他这个题出的的话其实非常的严谨了。但是市面当中有些题仿照着这个题，这样去说是有问题的。因为你看你如果的话，最多是一个，那不就是一个吗？你如果是一个，最多就是一个零个就是零个。我要说有三个，最多有三个，我最多有三个的话，我有可能有两个，

我有可能有一个，那然后这个人有一个，一个就是一个呗。林哥就是林哥啊，好吧，所以说人家这个点出的扣的还可以啊，扣的还行，所以你要仿照这个点的话进行去出这个东西嗯，就有点考究了。对吧，我有四个线性无关的。对吧，我最多有四个线性，无关我有三个也有可能线性无关两个也有可能一个也有可能。好了，

注意一下就行了，但是通常碰到这种题，你不用继续去想这么多，你就知道它去求s就行了，好不好？好了，这个问题啊，我们就讲到这过去了，可以吗？来我们继续，我们再来看看下一个问题。来看这个题。那对于这个题而言，他说这个人的智是n- 1，然后这两个东西啊，

为它两个不同的解向量，则能够作为基础解析的是。那么，像这种问题啊，叫做求基础解析。也叫抽象型方程组的求解它这个题啊，跟我们下面这个题啊。对吧，这都叫什么都叫抽象型的方程组的求解问题。我把这个点呢，我来给你梳理一下。抽象型方程组的求解问题。抽象型。其次，线性方程组的求解问题。

抽象的啊，抽象型的这个其次线性方程组的求解问题。那同学们想想。如果这东西是抽象的，你想进行去解通解解基础解析，你能进行初等行变换吗？那都是胡扯。你怎么行变换抽象的耶？那这个东西就说明什么呢？无法初等变换。对吧，那就不能。你无法把这东西进行触动，触动变换。那所以说像我们遇到这种问题，

应该怎么处理呢？所以像这个东西啊，你求通解它的核心是什么？它核心是找基础解析。那么，找基础解析啊，你会发现个事，如果进行找基础解析，你的方向是什么？我要想了哎，我要找几个呀？线性无关的，然后七次解，所以说大家注意这里面当中啊，它的方向我就是找几个。

对吧，你要找几个呀？线性无关的。谁的解七次解？这其实是我的方向，所以你会发现我要找几个，哎，我知道我要找s个。那既然s个所以说你发现第一步。永恒的干嘛？永恒的啊，机器去求系数矩阵的值。所以同学们。将来碰到这种问题啊，就不要想太多，

第一件事情先求质再说。对吧，你先把质给我求出来再说，然后接下来我们才能有这个方向可以进行去讨论。你求出这个人的智。你不就知道了s吗？那我就知道诶，我要找几个现行无关他的姐啊。找几个，比如说我要找三个，那我找到三个线性无关的解就行了，他说那你找的跟我找的不一样啊，那没关系，我只要找到这么多个线性，无关它的解就行。

所以永恒的第一步都是干嘛？永恒的第一步就是来求这个认知。求出这个质就知道s。能想清楚吗？好了，像这种问题啊，你自己下去好好琢磨琢磨，唉，我最重要问题，我要知道我找几个呀，线性无关的它的解。好了，我们先看看这个题。那这个题啊，它告诉我们。

他说这个人的质等于几啊，等于n- 1。诶，你的质等于n- 1的话，那你告诉我s等于几？s=n- 2a。那就是一那，所以说基础解析就是什么基础解析就是找一个。线性。无关的。七次解。对吧，找一个线性无关的，其次解。那这里面当中很多人说那阿尔法一行不行呢？

阿尔法一不是满足它吗？那阿尔法一就是的呀。但是注意，我要线性无关。一个向量线性无关，它得怎么办？你想想一个事情，你如果这个东西的话，它是什么不同的解销量？这个不同的解向量。那这个东西线性无关，你是不得进行怎么办？你得不为零呐。但是你这个东西你也不知道为不为零，你说这个人就不行。

那阿尔法二行不行？也不行，你也不知道为不为零，你不行。那这两东西一加。一加也是其次解啊。那这个人也是其自己啊，但同学们注意一家，你也不知道为不为零？你万一举个例子，一个人是负一负一负一，一个人是一一一，你一加又是零，你这个人也不行。对吧，

你这阿尔法一+2倍的呢，你这是阿尔法一，你这边是零，你二倍的它，你这边也是零，一加还是零，但你这个东西也不知道为不为零。同学们，注意这一点，当中只有谁呀？只有一个人，只有做茶。你做差就行了，因为它说是不同的。两人不同的话，

你发现一减肯定会不为零。所以说这题正确答案只能选几选一。好了，这个题啊，大骗子题。对吧，其实你就要想清楚，一个向量线性无关，它必须得不为零，你就来看看呗，谁不为零就行了。把这个事想清楚就行，来我们继续，我们再来看看二三五这个题。好，

继续看这个题。那这个题啊，说三阶矩阵。各行元素之和。为零各行元素之和，为零这件事情能凸显出什么呀？你像这个问题，我们因为不考那么多啊，我们只能考到这儿。比如说我们在这种当中啊，我们说。它的每行元素。之和。为多少？你像我们考不考特征值？

但这里面当中，我们也可以多进行讲讲。我问你个事情。各行元素，你怎么让这一行的元素加起来呀？好，怎么加起来？各行元素之和是零。行列式是零，那没有问题。你怎么让它加起来？好了，同学们，你看非常的喵，我给你乘上一。

我给你乘上一一，就是你乘一加你乘一，你加上你乘一诶，那这不就是零吗？然后的话，你看。你乘一加上你乘一加上你乘一哎，这不是零吗？你乘一加上你乘一加上你乘一哎，你看这不又是零吗？这其实就是这个意思。所以说这个时候其实就得到了一个什么事儿，就得到了我这个a这个人，我乘上幺幺幺这个人，他等于零。

好了，像这个问题，因为我们不考特征值，特征向量一般情况下的话，它应该是这样说对吧？比如说我的行之和等于三。你乘上幺幺幺，你就会这一行等于三，这一行等于三，这一行等于三，就是a乘上幺幺幺就等于三倍的幺幺幺。啊，这特征值特征向量的一种。你想清楚就行，所以j类目当中行和元素之和是一，

我怎么操作这个问题呢？我给它乘上一一一。你要注意这种点啊。所以现在而言，我们其实又找到了一个什么事情，我们在这种当中啊，我就找到了一个人。我就给你乘上一一一，你就会等于零。所以说我们就得到了一一一，为什么东西啊？为这个其次线性方程组的解。然后接下来我们就继续，我们再来看好了，不要在那想别的方法了，

因为这个点是我希望同学们下次过程当中见到这个东西就能想出来的。不要在那想半天。对吧，还举例子怎么样？早都把它做完了好了，这是这个题，然后告诉你a是二抽象型的。那抽象型最重要问题就是求这个什么，你求这个基础解析呗，那我先知道s那s是三减ra，你就是一。我的方向呢，我就要找一个。线性无关的。其次，

解谁就可以啊？唉，你发现你这样就不为零了，你就线性无关，你就线性无关的话，你看你不就其次解吗？那你能作为基础解析吗？你能。那通解是什么？打个k就行了，所以像这个人两个人的都不对啊，正确答案选几选c。好了，像这种题啊，我觉得应该是在控制在十几秒钟当中就能把它做完。

那么像这种题，你下次过程当中见的非常快。你知道这个质是二诶，我s是一，我就要找一个信息无关它的解。那行，和元素之和是零，我们知道是乘上幺幺幺有这种经验就非常棒好这个题啊，你下去过程当中，你好好想想。好，基本问题点。那么，这是我们讲的这个其次线性方程组可以了吧？那么接下来我们继续，

我们再来看第二个点，非其次线性方程组。那么，同学们告诉我件事情。一个其次线性方程组是跟谁进行挂钩的？其次，线性方程组。是跟我们的这个线性相关性挂钩的。你到底是只有零解还是有非零解决定了系数矩阵的列向量组的线性相关性？这个事情知道吧？对吧，你这个东西的话，它一定是这样。它决定了这个什么系数矩阵列向量组的线性相关性，而且你的解就是我们的这个系数。

那么，接下来我们再来看看这个第二个点，我们来讲讲非其次。那菲西斯在这种当中啊，首先我们先不讲别的，我们再看菲西斯方程组啊，我们再来看看这个人。那时至今日啊，我们今天过程当中，我们再来瞅瞅这个人。这是二那么接下来我们先来看看这个人，这是一个非切似线性方程组。它的不同之处呢，就是这个部分不全为零。你是零，

你是零，但你不是零就行了，不全为零，这就有个非前方程组。那一个非向方程组，我们可以怎么办呢？我可以这样把所有的这个系数矩阵。系数矩阵系数矩阵系数矩阵写出来。然后再乘上这个未知数向量，它就等于尾缀这个向量。所以这里面当中啊，我就可以把这个什么一般形式写成了矩阵形式，同学们能做到吗？这个东西叫系数矩阵。这个东西叫未知数。

然后这东西呢，叫做常数项向量。就尾缀这个向量。那这类目当中，如果我把这个人记作成阿尔法一，这是阿尔法二，这是阿尔法三，这是阿尔法四。这叫系数矩阵的列向量组。那系数矩阵的列向量组，如果乘开呢，我再把这个向量叫做贝塔向量。那这个时候的话，你发现你看不就是x1这个人要乘上第一列吗？s2这个人要乘上第二列嘛？

s3这个人乘上第三列s4这个人乘上第四列这会乘吗？这阿尔法一阿尔法二阿尔法三阿尔法四，然后这是x1。1s，2s，3s。好了，这个东西一沉，然后这东西一沉，我就立即会得到什么，我就会立即得到下面这个人。那我来写吧，这是。x1倍的阿尔法一。加上x2倍的，

这是阿尔法。再加上x3倍的阿尔法三，再加上。然后这是。x4倍的阿尔法四。等于贝塔，所以像这个问题啊，他就立即把它转成这样了。哎，那这个时候我就看出来了。你这个非其次线性方程组。它的本质是什么？本质不就是尾缀，这个向量能否被系数矩阵的列向量组线性表出吗？而且你的这个人的解就是我表出的系数。

解就是表述的系数。第一个解是第一列的系数，第二解是第二列系数，第三个解是第三列系数，第四个解是第四列系数，能理解吧？所以说这个时候我就立即会得到了一个问题哦，原来是这样。一个非全方程组的解。其实就是尾缀这个向量被系数矩阵的列向量组线性表出的系数啊。那如果我这个东西是唯一解，你不就是唯一的被表除吗？你无穷多解，不就无穷多表除，没有解不就不能被表除吗？

我终于明白这个事情了。原来如此，一个非其次线性方程组，其实它就代表了尾缀，这个向量能不能被那个列向量组的？系数这个什么这个系数矩阵的列项的组线性表除。能下去煮吗？好了，那么接下来比如说举个例子，你这是一个方程组。这是这个方程组的。系数矩阵。那如果这个方程组怎么了？这个方程组有一个解一一一，比如一二三四。

那同学们告诉我，你能得到什么？这个方程组的解。不就是尾缀这个向量能够被系数矩阵，这个向量线性表出的系数吗？系数吗？系数吗？系数吗？技术嘛，漂亮。能理解吗？所以像这个问题啊，立即把它打通了。所以今天我们就理解了两件事情。其次，

线性方程组，它表达的是系数矩阵列向量组的线性相关性。非向方程组表示的是尾缀，这个向量能不能被系数矩阵的这个列向量组线性表出？解就是表述的系数。能想清楚吗？好，这个问题，所以说这里面当中啊，我们再进一步。好，再来看第二件事情。那这个时候我们就知道，如果一个系数矩阵的列向量组的线性关系等于零。哎，

等于零。你比如说。你这个系数矩阵，你是阿尔法一阿尔法二阿尔法三。你这个系数矩阵，比如说是x1倍的它。加上x2倍的它。加上x3倍的它。你如果等于零。你这个系数是不其次的解。如果这个线性关系等于b大b大被你来表出，那这个系数是不是非系数之间？能转的过来吗？当然，我们这种东西啊，

已经到达我们考研当中比较难的地位了。所以我们在这么多年考的这种点呢呃，难度系数没有这个东西搭，但是你要理解。系数矩阵的线性关系等于零。就是旗舰防身术。系数矩阵的线性关系等于贝塔就是非行方程组。系数就是这个方程组的解。能学清楚吧，好了，移话过程当中，我还会再看这个问题。我们先提前先串一下啊，一会过程当中啊，还会再看这个问题，

那么接下来我们看看下一个问题点。第一件事情我们先来讲讲数值型的，非其次线性方程组的判定。还有什么呢？求解型问题。两个事情，一个事情就是我们在这里面当中的判定问题，第二事情求解问题，那第一个事情我们先来看看解的判定。那对于一个非前方程组而言。当然，这是as=b。或者是北大。那这个飞行方程组而言，它的解有几种可能性？

你注意它就有三种可能性。它要不然没有解，要不然有唯一解，要不然就有无穷多解。所以现在而言的话，如果这个东西是一个系数矩阵，是一个m×n的矩阵。那我的判断方法的第一件事情，我就怎么办？把这个增广矩阵。就是a杯大这个矩阵，拿出来看看它等不等于系数矩阵，如果这东西不相等，我立即可以说明什么，我就可以说明这个飞行方程组啊。

他是没有解的。好了，这个问题，然后接下来我们再来看第二件事情，如果这个增广矩阵。它等于这个系数矩阵。好，它就说明有解。有解的话，我们再来看看跟它的列数关系，如果等于列数呢，那就说明这个东西它怎么了，有唯一解的问题。然后再来看看下一个事情，如果这个东西啊。

它等于系数矩阵，如果小于这个列数呢诶，这个时候我们就可以说它有无穷多解。无穷多解。这就是我们在这种当中啊，判定性问题，这是你要想清楚哎，它就有无穷多解。第一种判定方法。那这类目当中还有第二种判定方法，那其实就是用行列式的判定方法。那行列式的判定方法，首先第一件事情，你必须保证这个东西是个方针。唉，

必须方阵，那如果是方阵，我们走第一条路线，如果这个系数矩阵的行列式不为零，我就立即可以说明什么，我就可以说明。这东西啊，唯一解。这个方法叫做克拉莫法则。哎，这个方法叫克拉莫法则。能想清楚吧，哎，叫克拉默法则。那么，

这里面当中的这样的一个操作，你是必须要会的。那么，比如说我们在这种当中啊呃，随手出一个题吧。我们来一道题。离那这里面当中，我们给一个人假设这是x1。这是I3，这是I3。然后加上一个多少呢？加上一个a倍的。s2b倍的s2c倍的s2。然后再加上多少呢？然后再加上a方倍的I3b方倍的I3c方倍的I3。

然后这个东西啊。呃，它等于多少呢？它等于一一一。不等于一了嘛。它等于。d这个是ABC。ddd吧。嗯，这个换成a的三次方b的三次方c的三次方。好，我换成这个人。那换成这个人的话，你发现，然后我们说其中。

ABC.为不相等的常数。好，这个题那么接下来让我们去解这个方程组，你怎么去解？那解这个人非常好解。那这里面当中，我们可以怎么办？我可以走什么？我们这里面当中的。克拉默法则。那这里面当中怎么去解呢？那首先第一件事情。那首先第一件事情，我们来看，

你先要进行去判断这个系数矩阵的这个行列式。那这是幺幺幺。然后这是ABC，然后这是a方b方c方。好，这个那这个东西它不就是一个范德蒙行列式吗？第一行关于你把行的转置一下就变成列等，这没有问题啊，一个是a的，一个是b的，一个是c的。那b-a，然后这是多少是c-b？然后的话是多少？这个是c-a，

然后是c-b，那这个东西肯定不为零呐，那不为零，它就有什么解唯一解。好了，这个东西是唯一解，那么接下来我们去解一下这个s1。嗯，我们求一个人就行了。不用去求那么多，你求一个s1嗯，求is 2都是一样好，我们求一个s1。那求个s1的话，这里面当中我们要进行去求解a1这个行列式。

那a1的行列式是多少？把这个原来的这个人的第一列被尾缀替换就是a的三次方b的三次方c。c的三次方，然后这是ABC a方b方c方。能理解吧，把这东西啊，变成它那变成它了之后啊，我们要稍微进行调整一下。调整成ABC a方b方c方a的三次方b的三次方c的三次方。好了，这个那这个时候的话，你发现我调换了几次呢，我把这个人调换了一家。调换了两下，调换两下，

加两个符号，那就不动了，然后接下来我把第一行抽出个a。第二行抽出个b，第三行抽出个c，那就1 AA方1 BB方1 CC方。好了，这个人变成这样。那变成这样了之后啊，你发现它就出来了诶，所以说这里面当中我这个x1就等于几x1就等于。a的行列式分之a1的行列式，这题太完美了，它就等于多少ABC？哇，

这个这个题灵感啊，这这题不错，对吧？所以你下去过程当中，你好好处理一下，那么稍微进行调整一下，这个题就非常好的一个题了。好好进行去处理一下这个题。好了，这是第一个点，它完全使用了克拉默法则，对吧？怎么进行去使用的克拉默法则这个点？那就说如果去求这个人呢？那s1使a1比上这个人。

那a2呢？你就替换第二列啊a3呢？替换了啊，这个替换到第三列好了，这个东西就叫啊，我们讲的克拉默法则。这个东西我们好久没有出过这种题。啊，其实基本上都没怎么出过这种点。然后接下来我们再来看第二题。如果这个a的行列式，它怎么办？等于零。等于零的时候这个人呢，你就会发现他有两种情况，

他要不然怎么办？无解，要不然有无穷多解？好了，这个问题。所以大家一定要想清楚。如果他无解，那行列式一定会等于零。无穷多解行列式，一定会等于零。但是如果你只用行列式等于零去解行列式等于零有可能推出来无解，也有可能推出来无穷多解。这是这样的一个问题点，所以下去你要想清楚这个事情。好了，

这个第一个点我们就讲到这，能想清楚吧，这件事情如果用它是需要进行去检验的，因为它不是个充要条件。啊，好了，那么接下来我们先来看个题吧。先来做一下这个。好，先看这个题。可以吧，我们先来坐下。那这个题给了一个a，给了一个b，然后给了一个集合，

这个集合里面只有两个人，要不是一要不是二。他说这个线性方程组有无穷多解的充分必要条件，我觉得这种题大家都会做。就是关键点一个问题就是。题到底有没有读懂？说a什么属于这个人，不属于这个人，你就是属于这个人，就是他能为一或者为二，你不属于的话，就是既不为一也不为二嘛。所以接下来我们来看看这个事情。大家想诶，这个人有无穷多解？

无穷多极。他这个人的充要条件呢？第一个事情，它的充要条件就是。系数矩阵。等于增广矩阵，然后怎么办？小于这个三。那然后这个东西能推出什么行列式等于零？但是如果你直接用行列式等于零。你这个东西是需要检验的，所以接下来我们这两种方法我们都讲讲。好，我们先来看看第一种方法。方法一那方法一非常简单，

就是你直接走触动变换。因为我觉得这个题的初等变化还挺简单的。所以接下来我们就怎么办？我就把这个a。和BB放到一起，然后这是多少一一一？一二四一AA方edd方。我就直接进行去初等变换。那变化的话就是一一一减去上面减去上面减去上面减去上面。然后接下来的话，减去上面减去上面减去a方再减去一，然后减去上面d方减去一。那么，接下来我们就要怎么办？我要再进行去减去上面的3倍一一零一a- 1 d- 1。

然后这是零减去三倍。减去这个人的3倍的话，其实就是a方减一。然后减去3a，加上个三。那加上个三的话，其实就是再加上个二，那因此这个人其实就是a- 1 a- 2。a- 1 a- 2，然后这是多少d- 1 d- 2，因为协调的嘛。好这个人那因此在这种当中，我们就画了。那说明的话，这个东西必须画过去，

那这人必须等于零，这人必须等于零。那因此，这个问题点呢？就非常简单a，要不是一，要不是二。d要不是一。要不是二。所以说a这个人应该是属于这个集合。然后d这个人呢，也是属于这个结构。所以像这个题的正确答案选几啊选d。好了，这是一个重要条件。

那么，这是第一种方法。那么，除此之外的话，这个题还有没有方法？你看初等变换也挺好做。如果好用，初等变换，你就用初等变换，初等变换的话，你看这个人是充要条件，我肯定喜欢充要条件。那么，接下来我们再来看看第二种方法。方法就说你这个东西。

你有无穷多解？我肯定推出行列式等于零。那这里面当中，我们就要进行去判断了。你就让这个行列式等于零。你走一下这个a的行列式。那a的行列式是多少呢？这一一一二二方。一三啊，这是1 AA方。好，这个人那这个人不就是范德蒙吗？然后这是一的方二减一是一，然后这是a减一。然后再来个a- 2，

它等于零，它等于零的话，这里面当中有两个人。一个事情是一或者是什么，或者是二。所以像这个问题啊，你就会发现一个事，马上这个东西啊，就出来了。对吧，那这个行列式的话，你发现范德蒙行列式一下出来了。那这个出来之后，现在的问题点就是。行列式等于零的人等于零的人都是无穷多解吗？

那未必，你还需要进行去判断。所以第一件事情。当什么情况a=1的时候。你还要继续做，你就要把这个a和这个b你放在一起。你放到一起的话，你发现这个事情是一一一，然后这是一二二方一一一。然后最后是一地地方。那这个时候进行去初等变换，那初等变换是一一一，然后这是零，然后减去上面这是一零d- 1。然后这是减去它，

减去它，这变成三减去它变成几呢，变成这个一减的话，这是变成零，然后这是d方再减一。你再减去个三倍，这是零。所以说这个人呢，他又变成了刚才那个d- 1 d- 2。如果a=1的时候是无穷多解。那d的时候怎么办d的这个人呢？一定要不然是一，要不然是二。所以像这个问题啊，它这个东西等于一或者等于二。

可以了吧，你像这个问题点。所以如果a=1的时候，你又无穷多解d，要不然等于一或者等于二。然后接下来我们就继续，我们再来看。第二问题，如果这个a=2。那a=2的时候的话，这个情况来做。那其实就是一一一。一二二房。一二二方edd方。好，

继续看一一一减去它一一d，减一减去它这三这三。然后是地方检疫。然后减去三倍的话，这个人又变成多少又变成d- 1。递减二跟上面一样吗？你要这个东西是无穷多解的话，你发现它这两个东西又必须是零。d要不然等于一要不然等于二。所以我们就知道了。a=1的时候。且d为一或者二。我有无穷多斤？a为二的时候d为一或者二，它有无穷多解综合起来而言？

只要a=1或者为二。此时d也为一，或者为二，它这个东西啊，它都会有无穷多解？那因此这个题的正确答案选几选d？对吧，你v1v2我都有可能是无穷多解，但是而且还得保证一个事情，你这个。d这个人也是1v一也v2。所以你发现啊。像这种问题啊。如果需要进行去讨论了，他还不如进行去判断值，

我一下就出来了。它比这个这个方法二要比这个方法一啊，要慢一些，麻烦一点，因为一旦检验的话，这个东西啊。它就比这个点呢，稍微麻烦很多啊。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个题。只要你好，初等变换，我选质的方式，因为它是冲腰的。

充要的会更简单。好了，我们再来看看下面这个人。他说有解。有解的话，你用行列式就不好做了。你知道吧，这个人。你虽然这个题也能用行列式。但是有解的话，你用行列式怎么用呢？你行列式等于零。那有可能有解不为零为一解，那都叫有解的情况，那所以这个点呢，

不太好做，我只能在这种当中按照初等变换的方式来做。把这个增光矩阵写出来。好，先看写s一一零零一。再写s二一一零零，再写s三零一一零，再写s4。零零一。负a1a2，负a3a4这个人。好了，那么接下来我们给它进行一个初等变换。那么，这个初等变换呢？

首先，第一件事情你先变一下。这个人一遍，先把第一行的多少？负一倍加过来，把它变成零，然后这人变成负一。负一倍加下来的话，它仍变成了a1。然后再把第二行直接加下来，变成零。直接加下来，变成一直接加下来，变成a2。然后接下来我们再来看，

再把这个东西的话，你发现下来。然后再把它怎样负号下来，那负号下来a3好这个人。那所以说这个人呢，你发现他就出来了，因此像这个问题啊，马上解除。对吧，像这个问题，如果有解它，这个人必须是这样，所以说这个东西啊，它就要等于零。好了，

像这个问题点，我们就讲到这。所以你你发现你就进行去，按照这种划行阶梯的方式来搜。有解的话就是系数矩阵的值要等于增广值。那系数矩阵，这是三必须划横过去，它这就出来了。好了，这个题啊，难度系数不是说特别大，我相信同学们下去啊，你应该是能处理的，还可以。好了吗？

同学们。可以了，这是第一个信息点。过去了，可以吗？那么接下来我们再来看看第二个问题，抽象性。那刚才这种问题啊，叫数值型。那么，还有一种问题叫抽象型就抽象型，我也不知道这个系数矩阵是谁。我也没有办法把它进行去初等变换。所以像这个问题啊，它难度系数比较大一点。

那么，接下来我们看看抽象型，首先第一件事情，我们先学一下非行方程组，它的通切结构。那非前方程组的通解结构，它长什么样子啊？好，我们先看第一个问题。非起司。方程的这个通解。它等于什么？它等于其次，这个人的通解，再加上一个非其次特解。

所以叫做奇通，加上非奇特。因此，在这里面当中，非其次通解当中的核心是求解什么？非其次通解的核心还是在进行求解什么，等会换成个绿色非其次通解的核心呢？其实就是求解其次通解。只要求出其次通解，然后这两个当中再找到一个分析特点，那就行了。那么，其次通解的核心是什么？其次通解的核心是基础解析。能理解吧。

诶，基础解析。这是它的核心，它的核心是找到这个人的基础信息。那所以说接下来我们来看看这个人，你假设这个人的基础解析找到。它的通解结构就长这样。是k1可塞因。k2 cos 2。一直加到ks coss。好，这是其次通解，你再加上一个非其次特解。你一定要知道，这些人都是什么都是其次的，

这样的一个通解，然后这个人呢？是非其次的，这个人的特点。能想清楚吧。奇通加上非奇特。其次，通解再来一个非其次的特解，那就可以了。所以像这个问题，你一定要注意，那既然是其次的通解的话，这每一个人都是其次的解，而且线性无关个数s，等于n- 2a。

还能理解吗？好，这个方向性把握清楚就行，所以叫奇通，加上非奇特。其次，通信再加上一个分析特点，那就出来了。好了，这是我们在这个当中啊，讲解的这个第一个问题。你把这个事情梳理清楚了之后啊，你马上就明白了。那如果我进行去解一个非其次这个方程组。那我要进行去求解这个人的通解，

我的核心主体是干嘛？那核心主体第一件事情当然是先进去就求求出，其次统计啊。对吧，求其次通结。那求其次，通写的话在这里面当中第一件事情找基础解析，那你告诉我，如果让你去找基础解析，你的方向是什么？那方向是求质，我要找几个线性无关的七次解，所以这里面当中啊，这个方向性立即就梳理清楚了。第一步，

我先来进行求其次的通解。抽象型。抽象型这样做。所以第一件事情，我们先进行去求出值。我就知道了，这个s。我知道这个s我在进行找什么找s和线性无关的，其次解那这就是基础解析。再找一个非棋子节，那不就结束了吗？所以这个方向性非常简单，我要找几个其次解啊。对吧，你到底让我找几个企资金？

我找到这么多个，其次解我再找一个非其次解那就可以了，但是找其次解必须要线性无关的。能想清楚吧，好了，听明白了给我回复个一。所以像这个问题当中啊呃，有两件事情。第一件事情。你一定要会注意这种东西的隐藏条件的找法。对吧，隐藏条件。第一种隐藏条件就是。系数矩阵的列向量组的线性关系等于零。系数就是其自己。

你比如说我们在这种当中给了一个a。它是阿尔法一。阿尔法二。阿尔法三。阿尔法四。一个题目当中告诉了三倍的阿尔法，一+4倍的阿尔法，二+5倍的阿尔法，三。减去六倍的阿尔法四的目的。那所以说我们就知道了，哎，这个人其次线性方程组啊，有一个解是多少三？四五负六。

没问题吧，如果我看到什么，比如说阿尔法一加阿尔法二+3倍的阿尔法三+4倍的阿尔法四。等于杯的。那这个时候我就知道哎，这个非线方程组有一个解这个解什么是它的系数一一。三四能想清楚吧，好了，一定要会品啊。把这个事情一定要品清楚。系数矩阵的线性关系等于零系数，就是其次己。线性关系等于北大系数就是非细节好，把这个方向性一定要理解清楚。能捋顺吗？

好了，像这个问题，你自己下去啊，你好好想想这个事。行吧，我们稍微的休息会，一会我们再继续吧。呃，休息会吧，然后一会我们再来看看。呃，这道题。看一下这几道题。当然一会，这个方程组啊，

我们还是来练两个。你信不信解方程组还是练两个，等会把这个讲完了之后，我们练两个，我有点不太放心哦，因为这个非线方程组的这个数值性的求解啊。你不练两个，有些同学这个下去，你自己不练的话，这个问题点就非常大，一会过程当中我们再说吧。好，我们稍微休息会，一会我们继续吧。

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