24.冲刺满分强化篇·题型43精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:18:33

好行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。那么今天啊，我们就继续开始我们线性代数的这个强化班部分课程。那么，在上次过程当中啊，其实我们已经讲到了一些非常重点的部分内容，一个事情是矩阵的值，那这个内容啊，

简直是我们线性代数当中的核心问题。对吧，所有问题的当中的研究啊，都离不开这个知那还有一个事情啊，我们叫做初等变换，那么所以说这两个部分的问题啊，是非常非常关键的。好了，那么接下来我们一起来看看这个事情呃，在这个上课之前呢，我强调一个事情。如果你在这里面当中复习，你盲目的时候你就进行去重复就行了。能理解吧，你去重复，

你把这个基础讲义，把这个强化讲义，你给我刷课上个两三遍，你再来看看。所以这个效果就会非常好，所以说里面当中的有些部分内容，你得见到这个东西啊，你就立即反映出来好了，那么接下来我们一起来看看这个上次过程当中的两大核心知识点。一个事情是初等变换，一个事情是矩阵的值，那么接下来我们先来看看这里面当中的第一个问题，初等变换，那这个内容。必考无疑啊。

那么，今年考研过程当中啊，一定会出初等变换的题，那肯定会出的，那么所以说这里面当中的第一个问题。你首先要知道初等变换这个东西啊，有几种呢？有三种我们可以互换，我可以被乘，我可以被加，那所以说你最起码而言，要知道这有三种。初等变换嘛。对吧，你学了最后而言的话，

你连最起码的这个初等变换有几种你都不知道啊，这是最起码的，你肯定得知道。好，这是第一个事情，你要知道有三种触动变换，而且最基础的一个能力啊，我们先不按上节课的这个内容进行去讲。那么，接下来我们来看看最终基础的一个能力。是不是化矩阵为行阶梯矩阵的能力啊？这是一个非常基础能力吧，我只要给你一个矩阵，然后你通过初等行列宽，你把这些东西给我画成行阶梯矩阵。

这是个最基础能力，所以我们后续过程当中去求解矩阵的值啊，一直都会用这个东西，然后接下来我们再来看看第三个问题。那其实就是我们的初等矩阵啊，初等矩阵，那么同学们告诉我，初等矩阵有几种还是有三种？然后初等矩阵，这个东西你用行进行去简写用列进行简写一样不一样一样的，所以你发现你用行进行哎，我叫你。有劣进性，叫你叫你都是同一个人，但是注意一个事情，

只有什么时候不一样呢？只有进行去左乘和右乘发挥的意义不一样。对吧，左乘还有右乘。那这个东西啊，你发挥的这个东西的意义是不一样的。你要是说这个初等矩阵有没有意义啊？没有意义，它就是个矩阵，就是个数表，有什么意义？但是一旦把这个初等矩阵称为。承给别人那就好了。对吧，我一旦乘给别人，

我左乘给一个初等矩阵，我就相当于让这个矩阵进行了一次相对的行变换。我又乘上一个初等矩阵，我就相当于让你进行了一次相对应的列变换好了，这是这样的一个问题，所以说接下来我们再来看看最后一个人，那就是我们的牛逼表。你把这个东西啊，你记完就行，所以说像这个考点能不能拿下来？别管怎么出，都能拿下来，对吧？这就是个基本能力，所以你要发现初等变换这个东西啊，

别管怎么出。对吧，有一年考研出了两道题，你都得把它拿下来，好这个点呢啊，难度系数不是说特别大好，这是第一个点。那么，接下来我们再来看看第二事情矩阵的值啊，当然是很多同学的痛点，但是我希望啊，你要非常喜欢这个人。矩阵的值。那区真的质，首先第一个事情啊，

你要注意它的定义。对吧，定义的理解。什么意思呢？就是在这个矩阵当中取得最大的不为零的行列式的结束。要想比我再大，你的行列式都会等于零。对吧，我这个接触有一个不为零的，所以说就叫最高级非零子式。是吧，所以你就会发现，这就是我们我刚才说的这句话，就是通俗一点讲，就是在矩阵里面当中取。

取最大的不为零的行列式，它的阶数就是值，但是你要换成数学语言呢，你还得这样说。最高级的菲林姿势。对吧，如果谈到非零子式，它是最高的，如果再比它高，那就是v0了，所以说最高阶非零子式的阶数。我们就把它叫做值。所以你看你这个点的话，你发现一些数学语言，你要理解它，

理解才是最重要的，那么这里面当中我们想谈到几个事情？比如说我的知识三。所有的四阶子是肯定都等于零，有一个三阶子是不为零的，你能说所有的三阶子是？都不为零吗？你不能说。对吧，你不能说所有的三阶子式都不为零，他应该是有一个三阶子式不为零就行，那二阶呢？一解呢，那说不清楚对吧？有可能等于零，

也有可能不为零。好了，这是这个事情，然后这里面当中有个定式思维。那见到什么呢？只要我们见到矩阵不为零，我立即回答它，它的值大于等于一。我见到两行不成比例，值大于等于二。但是见到三行不成比例的说不清楚，所以这个定式思维能力你得具备，然后接下来告诉我个事情怎么进行求质？求知有几种方法。大家注意，

求质有两种方法，第一种方法就是初等变换，我通过初等变换化成行阶梯，有多少行非零行，它的质就是多少。好了，这是第一种方法，第二种方法呢，看满不满支行列式为不为零，所以就是两个方向，一个事情是初等变换。对吧，初等变换，你注意这个内容得学好啊，那另外事情其实就是用行列式的方式。

但是如果用行列式啊，它必须是方阵。满枝方阵才会弹，满枝不方的东西只能去弹行，满枝还是列，满枝能想清楚吗？好了，这是这个问题。那这里面当中啊，我还是想谈这个事好，我们再来看看这个点。那么在上次啊，我们其实讲过这个事情，我问一个事情，阿尔法一阿尔法二阿尔法三加上阿尔法一。

这个值跟一二三一样不一样。一样不一样，那当然一样，初等变换不变质嘛，那既可以是行变换。也可以是裂变环。所以说这个东西的质不变呢，然后接下来我们再来看，如果阿尔法一加阿尔法二阿尔法二加阿尔法三。阿尔法三加阿尔法一，它的质跟一二三一样不一样。一样不一样也是一样的。那这些东西怎么去看呢？你发现一个事儿，你这是阿尔法一，

你不是加阿尔法二吗？你这阿尔法二加阿尔法三吗？你知道阿尔法三加阿尔法一吗？你就给它进行一个初等列变换。那初等列变换怎么办呢？你这样吧，对吧？你把这个第一列，你的负一倍加过去啊，阿尔法一加阿尔法二阿尔法二加阿尔法三。然后这是阿尔法三减阿尔法二。然后你再把这一列的1倍加过去，你加过去这块东西就是二倍的阿尔法三。然后给这一列同时乘上二分之一，不会变质，

初等列变换嘛，有被乘的性质，然后这个东西反过来哎，你没了。然后反过来你没了，所以说这个东西啊，它立即出来了。这其实就是一个非常简单的点，所以说一定要注意啊，多进行去看一看，我觉得其实有一个非常好的学习方法，如果你没有更好的学习方法。你就记住三遍的学习方法是最好的。对吧，就是把你最核心的这本资料书，

你把它给我刷上三遍，你感觉立即不一样了。所以有些同学想要的太反反而很多，但是最后什么东西都要不到，你除非能力非常好，如果这点当中你实在这个学习方法不是说特别好。三遍的学习方法是非常棒的，无论是你的英语政治专业课，数学都是这样。那么，把一个核心的东西你刷上个两三遍，你再来看看你效果绝对不一样，所以这边强化讲义，还有这个基础讲义，你一定要把它给我吃透。

啊，这个问题非常重要。好了，这是我们先讲求解质这个问题，然后接下来我们再来看看第四个点，那就是质的公式，哎呦，这个东西太重要了。好了，这个问题点呢，我今天啊，我一会儿下课，我把这个东西。但是我去年试过把那个质的公式啊，你要做成一个什么，

你做成一个那个要做成一个壁纸。他这个有点好像不太能放得下。呃，所以说今天呢，我把这个东西导成一张图片儿，我给你整理出来，然后今天一会儿我发出来啊，发出来你自己去保存一下，你自己去看吧。反正你天天都得记这个，没有任何商量余地，你必须要记，对吧？你把这个东西啊，你得记顺利一点。

比如说我们讲的这个来一遍吧，来一起来一遍。那么，接下来我们来看看这个问题。好，我们先来看看这个第一个人。那一个矩阵的值。对吧，你的质不会超过行数，也不会超过列数。如果见到一个矩阵是三×4的。那你是最大是三呢，你不会超过这个三的。好，这是第一个人，

然后接下来我们再看第二人，如果这东西是转质转质这个东西啊，它不变质。然后接下来我们再看那k倍的这个人呢，他也不会变质，当然你得保证这个k啊，不为零。然后第三个事情我们再来看。非常喜欢考的，就说如果这个p。可逆，那其实就是行列式不为零。既是满的行制，也是满的劣势。所以这个行列式不为零，

那这个时候你发现我们无论是左乘。还是这个幼臣？它的质都不会变。好，这个问题，所以像这个点呢，非常喜欢考敏感程度要高，比如说我在考试过程当中，我碰到两个矩阵相乘。哎，我进行去看的话，我我不要进行去直接相乘了，你求解这个人的质，你去看看有没有可逆的，如果有一个人是可逆的，

那这个人的质啊，他不会改变的。好了，这是这个人当然上节课，我其实把这个内容我给你进行去啊，这个增加了。对吧，增加了这个点就说，如果这个人是什么呢？如果RP。你这个m×n的这个人。如果这是什么呢？列满式。那这个时候呢，马上知道右乘列满制啊，

这个是左乘列满制不变制。好，这是第一个人。然后第二人。如果这个矩阵的值。它等于这个行数。那等于这个行数的话，你发现那这个人我就怎么乘呢？我就又乘又乘行，满值不变值。但是其实这个内容我们考的很少，我们如果在考研考的多是这个人考的多。非常喜欢考第三个人啊，这个非常关键，然后接下来我们再来看看第五个人，

那其实就是我们这里面当中讲的a加减b这个人。它会小于等于a的值，然后再加上b的值。好，这个问题来继续吧，我们再来看下一个问题，这不太理解，那上节课怎么去看的呢？我上课也证明了呀。都三三，这个应该是有三天了吧？你前天讲的，你能把这个问题留到今天，那也是挺厉害，那我今天不复习，

那这个知识点是不是就过去了？好了，这个人呢？那么，接下来我们就继续，我们再来看下一个问题，第六个人那，然后的话，这个部分的话是分框。那分块矩阵的值啊，比每一个子块的值都要大。比每一个此块的值都要大。好了，这是这个问题，然后接下来我们再来看看第七个点那七第七个点所谓什么越乘越小？

啊，越乘越小，你比a小，然后你比b也小。好了，这个问题，然后接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题，第八个点，那就是如果这个AB=0。考研重点很喜欢考这个东西，如果见到AB=0，我立即会反映两个点一个点呢是a的值。加上b的值小于等于n这个n呢？是这个什么东西呢？

两个东西交叉的部分。能理解吧，是两个东西进行交叉的部分，那这个东西我是小于a的行数，对吧？a的列数b的行数是交叉的部分。然后第二事情b的列均为什么东西呢？均为as=0^2程组的解。好了，这是这个点吧，我们就讲到这。啊，摄像头掰了。怎么会歪了呢？你你别闹黄子了。

好了，这是这个事情吧，我们就讲到这。为什么会为啥歪了呢？好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个第九个点。来，继续走。那么，然后接下来我们再来看，这是第八个点啊，然后接下来我们再看第九个点。那第九个点的话，那会显得也比较重要，

因为这个内容我们现在还没有讲，我们后续过程当中啊，会证明的a×a的转值。跟a的转置乘上a这个东西的值啊，都会等于a的值。好了，这是这个问题，然后最后一个点其实就是一个分块矩阵的情况，对角分块针主对角线的或者副对角线的。那这个东西啊，都会等于a的值加b的值。但是如果是一个上三角或者下三角，它应该变大了。好了，这个问题啊，

我们就讲呢，哎，这个质的公式啊，你务必要熟悉。而且你见到这个东西啊，你就能想得通，你见到这个内容，你就能想通，能听懂我的意思吗？把这个问题点呢，要梳理清楚。好了，这个公式啊，非常的关键，一定要坚行下下去啊，

好好进行去记一下对吧，那么今天过程当中，我们还会用到它。啊矩阵的值好了，那么接下来我们就正式来看看啊，最后一章内容叫做向量和方程组。那最后这章我是把这个向量和这个方程组融为一体来讲的。所以说接下来过程当中，你要按照我们的体系来走，所以线性代数的课程呢，是最应该进行两轮复习的。只有进行两轮复习，你才能把这个东西啊串的非常的清楚。原来走过一段呢，你可能里面当中一些点，

你觉得一会哎，怎么又用到那一会用到这那么到了今天呢？一些部分的内容你串联清楚了之后，你再来回看。就非常的简单了。那么，所以说首先第一个事情，你按照我的体系走，我现在给你讲一个东西，叫做向量组的值和极大无关组。哎，我们先讲这个人，把这个东西卖过去了之后，一会我们就要进行调用它好了，我们先来看看第一个问题啊，

极大无关组。那什么叫其他无关组呢？那其他无关组其实非常的简单。就是举个例子吧，比如说你看你这有一个向量，你这有个向量，你这有个向量，你这有好多个向量。好有好多个向量。你想干嘛？我会想这样的一个事情。你这太多了，我不好写。我来怎么办？我来找代表。

对吧，找代表。那找一个代表来表示所有就行了，但是这个代表不是随便找的。我们是怎么办呢？我找一个线性无关的。组，然后来进行去表示所有。那这个里面当中，我们高中就学过任意两个不共线的向量。都可以表示这个平面上的所有向量。诶，那我接下来就找这两人。我用这两人。它是不贡献的线性无关，

能不能表示所有呢？可以表示你线性无关复习了吧？要注意啊，这两个知识点呢，我把它稍微的倒序一点进行讲，因为为了做题嘛。你线性相关性，你得看了，你再来听这个部分内容。所以接下来我们怎么办呢？我找两个东西线性无关，然后接下来进行去表示所有你告诉我，我是不是就是极大无关组？所以在这种当中，你找这两人可以诶，

我换一下。那么，同学们想想一个事情，我不招这两人。我找这俩人行不行？可不可以呀？那也可以呀。只要两个人不贡献，他就是线性无关两个向量嘛，不贡献就线性无关，它就能表示平面上所有。你线性无关表示作用，所以极大无关组是不唯一的。你要注意这个东西啊，它不唯一。

那怎么进去去找它呢？第一事情，你要线性无关。第二事情你要表示所有。对吧，我这有一组向量哎，你找一组线性无关的，而且能表示所有人好，你就是我，其他无关组。那这个其他无关组到底怎么去解呢？那当然是这样啊，你找到线性无关表示所有不就行了。现在的问题点就是这样，比如说我们全班同学有100个同学。

我说我要找一个线性无关的表示所有。你第一件事情，你会想什么？啊，你会想什么？只有100个人。我要找一个线性无关的，表示所有你会想什么？好好听课，好好听课。对我第一件事情，你要注意，我会先想一个事情找几个人。对吧哎，非常好，

你看有水平的非常好，你一定能考得非常好啊，你绝对能考得非常好。那这里面当中我第一件事情，我就会想我要找几个人呐。找几个线性无关的表示所有。所以接下来我们就来看看这个里面当中的第二个问题，马上出来了，我们把这个极大无关组当中的向量个数就叫做向量组的值。对吧，我们叫做向量组的值哎，那你如果求出了向量组的值，你不就只知道了极大无关组当中有多少个向量吗？那其他物管组当中有多少个向量？那我就找这么多个线性无关的不就行了吗？

所以你看这样的一个思维方式。那现在有一个问题点，那向量组的值怎么求呢？我又知道了一个事情，根据我们有一个非常重点的一个定理，叫做三质相等的定义。那怎么求呢？矩阵的值就等于列向量组的值就等于行向量组的值。那所以说同学们想想。我这个矩阵的值，我就会等于这个列向量组的值，我就会等于这个行向量组值。那也就说，如果你这是一个矩阵。对吧，

你按照列，这是一个列向量，这是个列向量，这是个列向量，这是个列向量。对吧，这是列项的。那么所以说这是一个阿尔法一，这是个阿尔法二，这是阿尔法三，这是阿尔法四，这是阿尔法五。好，这个情况。那这里面当中，

我们就会发现一个事儿，那这个矩阵的值就会等于什么？你这个向量，你这个向量，你这个向量。你这个向量，你这个向量形成的向量组的值。没问题吧诶，矩阵的值就会等于这个向量组的值。那这个矩阵的值，他也会怎么办？他不光可以这样来。我也可以横着分呐。对吧，我也可以横着分。

那这个东西是什么？那这个东西是行向量。好横向呢。那行，向量的话，这个人是北大一向量，北大二向量，北大三向量，北大四向量，北大五向量。我问你个事情。这个相当组的值怎么写啊？这个向量组的值应该这样写，北大一这个向量，北大二北大三北大四北大五。

这个向量形成的向量组的值，有人说老师不对吧，你不应该竖着写吗？你注意这个读作向量组的值，这个向量，这个向量，这个向量，这个向量，这个向量，这五个向量，它们向量组的值。你能理解吗？它是这样的一个问题。所以一定要听清楚这样的一个事情，就是这个向量组的值。

能想清楚吧，哎，这个向量组的值那这个矩阵的值不就等于这个向量组的值吗？所以这个问题点就在这，这是我们非常重点的一个内容，这是必考点呢。非常喜欢考。那矩阵的值就会等于向量组的值。对吧，就会等于向量组织，那接下来我就要问一个问题了，那请告诉我矩阵的值跟向量组的值的定义一样不一样。俩人的定义一样吗？绝对不一样。矩阵的制定义是什么？

它说的是这个矩阵当中最大的不为零的那个行列式，它的接数。那这是它的定义，而向量组的质的定义呢？是我们这个极大无关组用来表示我所有人的这个极大无关组。它的怎么它的这里面当中的向量个数？这两个东西的定义不一样，但是同学们从计算的结果上一样不一样。啊，从计算上呢？计算上是一样的。你这个矩阵的式不就等于这个列向量组织，也等于行向量组织吗？那计算上是一样，所以同学们如果以后我们在错题的时候。

我们不做区别。能听懂吗？所以以后我们进行去做题，我就不做区别，除非做概念题，那概念题的话，矩阵的值跟向量组织肯定不一样。但是在做题的时候一般不做区别。你要求相当组的值哎，我就求矩阵的值。你要求矩阵的值，我就求向量组的值。能理解我的意思吗？所以说那么将来我们进行去求解什么？我求解一个向量组的值，

我们先来来一个吧，比如说这个题。你看这个题。他让我们去求解这个向量组，他说向量组的知识二。那同学们告诉我一件事，马上可以得到什么？那就是这个向量组形成的矩阵的值，它也是二。2b三一二解一二一二三解二三一。然后这个人的质怎么写？哎，这个人值得歌。为什么呢？矩阵的值就会等于这个向量组的值。

能听懂我的意思吗？好，这是这个问题，那接下来怎么做？啊，怎么处理呢？我们先来看看方法一。那方法一同学们的话，你想想。我这个质是二。我所有的三阶子式都会为零呢。你发现一个事情，你看你这两个东西都不会为零的。对吧，你这块都不为零。

你这都不为零，这个这个什么呃，这个这个这个里面当中没有参数，不是都不为零。所有三阶子式都会为零。你这里面当中的话，你发现你看没有参数，那我怎么办？我借你用。哎，我借你用。我用选选这个。我选这个的话，你发现我，然后的话选a三一。

一二一二三一这个行列式是不等于零。你看里面当中是有一个参数，然后再选2b三一二一二三一，它这人是不是等于零？行列式比较优越的点就在于它有行列式的展开定理，一旦一行一列当中出现两个零，我就可以展开了。那就非常简单，你所以说这个题我会怎么做？啊，这个题。那这个题我肯定会盯着这个什么你看最后这一列最简单的这个部分，那所以说怎么办呢？我用这个二三一。我为基准，

然后减去这个二倍，这是负一减去它负一一减，这是零，然后接下来的话，这是多少，我再去减，这是零，我一减，这是零。我一减这是多少a- 2，你看出现了这个人，那所以说这个部分就是负的a- 2=0a，马上等于二。好了，这是这样的一个问题，

能想清楚吧？好了，这是这个为啥变成三点重学吧啊？这个部分内容重新学一下。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看下一个问题。诶，那这个部分的这样的一个内容呢？我没跟你开玩笑。我是我是一个很认真的一个建议，我没跟你开玩笑。我没有跟你开玩笑，因为你的知识体系没有搭起来。啊，

能听懂吧？你这块一定要重学，我没跟你开玩笑，我没有是故意故意跟你说这个问题，你这因为这个问题点会非常的严重的。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看，继续往下走。那然后接下来你看你继续按照这个什么二三一这个人为量，那减去这个东西是多少负一减去它是负一一减是零。然后再减去三倍，这人是零减去三倍，这是b减九，你减去三倍呢，

这是负四。然后这个行列式用这个东西展开。用这个东西展开的话，你发现这个东西是多少是四，然后再加上b- 9，然后等于零，所以说这个b等于几啊b=5。好了，这样的一个方式啊，也是可以的，因为矩阵的质等于二，所以说这里面当中我就得到了一个问题点。那所有的三阶次式啊，全部被定，你看这样做是可以的，

那么接下来我们再来看，那还有没有方法？你求解矩阵的值，你也可以通过初等变换的方式来做。但是你发现，如果按照初等变换划行阶梯，你这个第一列当中的话，你发现你看你这有元素。对吧，你这有元素。不要在这个两行成比例，那个。呃，等会我们再来讲吧。这个同学你说的这个方法的话呃，

等会我再给你讲好吧？那么，接下来我们来看看这个事，你就会发现你看。你这个点。你这点这第一列当中有参数啊，你如果把第一行换到这，这个对吧？你把这个第三行换到这个第一行。你第三第一行换的第三，这个什么第三行换的第一行，然后你一块用a进行减，非常恶心。我不喜欢。我绝对不喜欢。

所以说这里面当中的这个问题点就在这。那怎么办呢？我再说一遍，这个同学们，你们用的这个理论是有问题的。你这个理论有问题啊。上次我不是举过那个反例了吗？你一直在那用哪一天的话，你把它做错了，你这有点跳坑了啊。那么所以说这个题我到底应该怎么办呢？诶，我发现我原来画行阶梯的时候，我希望前面是非常简单的。对吧，

我希望前面是非常简单，那所以说这里面当然怎么办呢？大家想想你非常喜欢谁在前面？我非常喜欢一二一在前面。然后这个二三一在后面。a三一在这儿，2b三在这儿。你是不是应该喜欢这样的？那同学们想想一个问题，你这两个东西的质一样不一样？一样啊，你这个人的智也是二啊。裂变换一下不变质啊哦，这样做就简单了，来划下横截体，

那就是一二a二。减去二倍，减去二倍，这是这个是负一。减去二倍三减二a，减去二倍b减四，然后这个时候呢，你继续减去，上面是零减去，上面是负一减去，上面是一减a。减去上面只是三减二，这是一。好，那然后接下来再一减，

这是零，然后再一减呢，你可以减这个人，你一减的话，你发现你这个东西刚好就变成多少？a减二你一减的话，这个人变成五减b，非常完美，所以说现在他的质是二啊，他只能画到这儿。那因此这是零，那这也是0a等几2b等于。啊，这是技巧性，所以希望大家一定要理解清楚，

这样的一个问题。你看这个点，他到底是怎么做的？我是怎么进行处理的？你把它方向性呢？你把它想清楚就行。能理解吗？好，这是这个点，你下去好好想想。好了，这是这样的一个问题点，那刚才有同学啊，一直在说那个事情。说什么两行的话，

这个什么成比例的，这个东西我上节课讲过。你如果在这里面当中，你发现量量都不成比例，你最后的值也能为二啊。对吧，你两两都不成比例，最后的值也能等于二啊。那所以你那个理论是有问题的，你可能做了一些题的话，你发现你做对了，你是没有是因为因为有些题的话，你发现没有坑你啊。你稍微碰到一点坑你的题，你发现你看一做就做错了。

你稍微注意一下这个事啊。好了，这是我们讲的这个a。能学会吗？哎，基本问题点你智为二，所以说像这种题啊，它的核心重点还是在求什么？它还是在进行去求啊呃，就是还是进行去求我们的这个矩阵的值好了，这个问题啊，我们就讲到这那这是。a=2，b=5，答案选a。

好了，这是这个问题。然后有同学说两行相加等于第三行，对吧？有有可能是那种情况？那么，接下来我们再来看，其实这个题啊，如果有些同学的水平点高，你可以这样看我教一下。我教一下你怎么看？好，我们来看看这个事情。算了吧，还是单独讲讲吧。

把这个东西放下来，我们来看看方法三。不然的话，很多同学一直都迈不过这一关。啊，这个问题。方法三，但是我建议你前两种方法理解透彻了就可以了。我们来看看这个问题。那么，这个质等于几啊？质等于二。你的质等于二，你发现一个事情，你看看前两行。

你前两行当中的话，你会发现。你或者看第一行和第三行。都行，你或者看前两行都可以。那么，同学们想想一个事情，两行已经不成比例这一块的东西，质是不是大于等于二？你告诉我是不是？你只等于二两行不成比例，这个部分已经大于等于二，说明什么？说明第三行是无效行。说明这个第三行一定会被干掉。

这个第三行绝对会被前两行给干掉。那被前两行给干掉的话，你发现我看怎么干掉的诶，我统一的看了一下。如果这个人减去一，刚好是他。三减二刚好是它哎，那完美了，那不就说明b减二就等于三吗？那不就说明这个什么三减a等于一嘛，那所以说这个b等于多少b等于五a等于二？你得这样做。你不要胡做，有些东西是是这个什么两行这个成比例，这个你这个这这个东西啊，

你肯定运气比较好，你这个理论有问题。能学清楚吗？因为两行不成比例质已经大于等于二。你现在最多色。你最多是二的话，你发现你上面这是有效行，最后是无效行。那说明第三行一定是前面两行当中的一个什么，它的一个线性关系。能学清楚吗？好了，这是这个问题，所以这种东西啊，它就是个特殊方法了。

你下去好好想想，你这得会观察，你要是半天都没观察出来，你还不如这样做，你早都把它做完了。稳稳当当做完了。好了，像这个问题啊，我们就讲到这。所以一定要听清楚，我给你讲过好多遍了。你还记得我原来取吗？我说一二一。零一三四一二五五。你看这个东西。

这两个东西不成比例吧？这两个东西不成比例吧，这两个东西不成比例吧，两两都不成比例。但是你进行去变换了之后的话，一一二一零一三四零零零。你看这个质等于几质等于二吧，两两都不成比例，两两都不成比例，它的质也会等于二。那所以你发现有些同学用那个东西两行成比例，那个东西理论就是有问题的。所以我上次给你讲过这种题是怎么出？你题怎么出呢？你题就这样出。

你发现这个第三行，我是靠着前面两行怎么办？加起来最后得到的，所以第三行是无效行。好了，这个问题啊，我们就讲到这能学清楚吧，其实你说这两行是有效行行不行？你质最多，你质是二嘛，你这两行不成比例已经大于等于二了嘛。已经大于等于二，那说明第三行就没有用嘛，好了，这个点呢，

自己下去想吧，我觉得这个问题啊，应该是讲通了。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看诶，那就可以回来了，你像这种问题啊。它给的是列向量组，你按照列进行排成矩阵。你要给这些行向量组呢，你也可以按照列进行排成矩阵。没有任何关系的，因为矩阵的值等于列向量组的值等于行向量组的值，你要想求这个向量组的值啊，

你也可以把这个向量组按照列进行排成矩阵。也可以按照行排成矩阵，因为矩阵的值就等于列项的阻值也等于行项的阻值，你怎么排都行。无所谓啊，所以我们原来基础班就有一道这个例题啊，应该是作业当中的一个题，人家给的是行向量组，但是我们答案当中是按照列排的，有些同学。这个非常的惊讶，这是行向量组怎么能列排呢？都是用了这个理论矩阵的值啊，既等于列向量组织，也会等于行向量组织的。

好了，这是这个问题，那么接下来我们就继续回来了。那这个向量组的质和极大无关组啊，那这个点串清楚了。大家来看看我怎么去求向量组的质呢？我可以通过去求矩阵的值求出向量组的值。那么，接下来我们应该是你看定义都是这样定义的，先定义的极大无关组说，极大无关组当中有多少个向量，我就说是向量组的值。但是做题呢，不妨反着想。怎么反着想呢？

你要想去求向量组的值，我就进行求矩阵的值。当我一旦求出矩阵的值，我就相当于求出相当组的值。我一旦求出向量组的值，我就知道了，你极大无关组当中有多少个人？比如说你这个只等于三，我知道了你的极大无关组当中有三个人，我只要找到三个线性无关的，你就是极大无关组。为什么极大无关组它里面的个数要满足之，而且线性无关的，你现在知识三我知道你极大无关组当中有三个人。我只要找到三个线性无关的，

你就是几大无关组。能理解吧，所以这个时候你做题就有目标了，你一旦知道这我就知道我要找几个线性无关的，它就是极大无关错。能理清楚吧，好了，这是这样的一个思路，定义都是往下走，做题都是反着想啊，这是这样的一个事情。好了，然后我们后面还有一个题。这个题稍等一会儿，对吧？

这个点等一会儿，然后这个题啊，也稍微等一会儿，一会儿我们再来讲，我们接下来看看今天的重点内容。我们来看看线性相关性。那么，其实在这章我们就写了三个关系，一个是线性相关性跟其次线性方程组的关系。那么，接下来我们就要讲讲线性相关性。那么，线性相关性啊，是一个向量组，他们自己的内在的一个关系。

我们这个比如说我们这个大家庭，我们是线性相关呢，还是线性无关呢？是考虑我们这个家庭自己的一个情况。能理解吧，好了，那么接下来我们来看看第一步问题，我们来讲一个重点的内容。好好听一下啊，我们把这个东西啊，稍微梳理一点，因为你是个强化班同学，你要把这个线性代数拿下来啊。那么，在这里面当中，

我们来看看这里面当中的第一个问题。我们来看看一个其次线性方程组。对吧，这是个个线方程组。那其次见方程组后面都是零。啊，这肯定没有问题，我们也不要进行去写什么写这个什么呃n个啦，对吧n行啦m列啦不用。我们就写个短的三行四个未知数，三行四个未知数。那三行四个未知数，我们来看看这个问题。你看这个东西叫其次线性方程组的什么式啊？这叫一般式。

那么，这叫方程组的一般式那么，然后接下来我们来看看矩阵式。我们把这个所有的系数矩阵写出来。你都知道一个方程组，我们求的是这个未知数。系数都是知道的，这就是矩阵的魅力啊。矩阵的魅力在何处呢？他把知道的东西都装到一起。他把不知道的东西都装到一起。a一四，a二四，a三四。好，

这个东西都知道，我把它装到一起。然后接下来我要去求的这个未知数呢，我把它装到一起，这是x1。然后这是s2。然后这是x3。然后这是x4。等于零，所以这其实就是矩阵的魅力，它的魅力在何处呢？它的魅力就是我可以把什么你系数你不是都知道吗？我放在一起。你们要求未知数吗？好未知数都放在这。

所以这叫系数矩阵，未知数向量，一旦求出这个向量，第一个人就是s1，第二个s2，第三个s3，第四个s4。好，这叫矩阵的什么矩呃，这个什么这叫方程组的矩阵形式。那然后这里面当中，我们再来看。那扛住，我把这个系数矩阵的第一列叫阿尔法一。系数矩阵的第二列叫阿尔法二，

系数矩阵的第三列叫阿尔法三，系数矩阵的第四列叫阿尔法四。同学们告诉我，这个东西叫什么？这是不是把系数矩阵按照列形成矩阵了？啊，这叫分块针，那么同学们告诉我，我们来乘一下，我一乘的话就是x1这个人，他要乘上阿尔法一。然后是x2这个人，我要进行乘上阿尔法二。然后是x3这个人，我要乘上多少阿尔法三？

然后再来看看最后一个人。还有I4这个人，我要乘上阿尔法四，它等于零。诶，同学们，你看这是什么呀？啊，这是什么呀？好，我们现在什么都不看了，你就给我盯到这。大家想想。这是这个系数矩阵的第一列系数矩阵的第二列系数矩阵的第三列系数矩阵的第四列，那这就是系数矩阵吧。

好，这就是那个系数矩阵。系数矩阵的列项量组。系数矩阵的列项当中。然后它的系数是谁呢？它的系数其实就是我们的未知数。啊，系数就是未知数。诶，那这个东西想清楚了之后，我们来看看这个问题。对吧，你达到这样的一个情况的话，你发现我们就继续看。那这好办了呀。

我似乎明白了。这是啥东西啊？这不就是线性相关性的定义吗？大家琢磨一下。如果什么？如果这个东西所有只能为零呢？你想想，这就是未知数啊。这就是其次线性方程组的未知数啊。如果这个未知数，只能为零。这叫只有林杰。那只有零解的意思，就说当你这个线性关系等于零的时候，你所有系数只能为零。

那说明什么？说明他的劣。是线性什么关无关的，所以我明白了，如果这个其次线性方程组。只有零解。因为你的解就是我的系数，那说明系数矩阵的列向量组的线性关系等于零的时候系数只能为零。那么就说明a的列一定是线性什么关不关？能理解吧。好了，这是这个点。然后接下来我们再来看看下一个问题。你继续，然后继续来看。

我们再盯着这个人。那这个东西是解啊。你这个解的话，你发现是x1s2s3s，如果这东西不为零呢？那不为零，就说明这些东西不全为零。存在一个不全为零的人，让他等于零，这不叫线性相关吗？那明白了，那其次线性方程组。怎么办？有非零解。它的充要条件就是a的这个列。

你怎么办？线性相关。能理解吧，把这个事情捋清楚。这个时候我就明白了，原来一个就是你大脑里面一定要清楚哦，这是一个其次线性方程组，一般人只能看到方程组，我看到什么？我看的是系数矩阵的列向量组的线性关系，而且这个解就是我的系数。如果你只有零解，那么就说明这个东西等于零的时候只能为这个系数只能为零，不是线性无关吗？又非零且不就存在不为零的，

让它等于零，那这个东西不就线性相关吗？这叫高手。我看到的永远是下一步。我看的永远比别的同学要强一点点。好了，这个问题，所以说你要理解清楚这个事情。那一个其次线性方程组。它的解其实就是我们什么？系数矩阵的线性关系的表达系数。能想清楚吗？好了，这个问题。那同理而言，

那如果将来你看我给了一个其次线性方程组。我说这是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，阿尔法四，你看这是列项里错。我说这个其次线性方程组有一个什么有一个解，那这个解是一四一二。同学们告诉我，你看到了什么？其次，线性方程组的解其实就是这个线性关系的什么。就是这个线性关系的系数。你看这多简单的是吧，你这稍微一转这个东西就出来了。

就是这个人的系数。对吧，你有这个解，其实就是这个线性关系会等于零。就是我线性关系等于零的系数。你就让它等个点就行。能学会吗？所以说你发现哎，其次线性方程组有个解哦，就是系数矩阵的列向量组的线性关系的系数等于零。非常完美。能琢磨清楚吧，就是你一定要作为一个高手，你想的非常的清楚，脑子一转就出来了，

就这么简单，比如线性代数，这个门课真的。真的把它串清楚了，一通百通。这块东西啊，真的是一通百通。好了，像这个问题，我们就讲到这。可以了吗？你自己好好思考一下，这是高能串讲部分内容。那么，接下来我们就正式开始看线性相关性。

那么，在讲线性相关性之前呢？我们一定要进行去梳理一个问题。哎，梳理一个问题。你是否还记得刚才的极大无关组？你是否还记得向量组的质量？那么，这里面当中，我们来看看，哎，这个重点内容。黄金重点。好久没瞧这个东西了。利用向量组的值判定线性相关性。

好同学们，你告诉我个事情。向量组的质是什么？向量组的质就是极大无关组当中的向量个数。哎，就是极大无关组当中的向量个数。那么，同学们想想一个问题。如果我这个向量组。阿尔法一，阿尔法二，一直到阿尔法n。诶，这是我的向量组的质。我要跟谁比呢？

我要跟我向量组当中的向量个数进行比，有几个有n个？注意啊，我们一定是跟个数进行比，我问一个事情，它会超过这个个数吗？会不会它会不会超过这个个数？会还是不会，肯定不会啊，矩阵的质怎么会超过这个列数呢？不会的。就是看这个向量组的值跟个数比。如果这个人等于个数。那就说明极大无关组当中的向量个数就是n哦，我只有n个人呐。

你说你极大无关组当中有n个人，那你不说明自己本身就是极大无关组吗？本身就是极大无关组，那说明阿尔法一阿尔法导阿尔法n。一定是线性无关。能理解吧，那如果是小于呢？好小于这个。那小于的话，你发现说明我极大无关组中的向量个数是比总的个数要少的。那说明肯定有一人，对吧？有些人能被我表出，那这个人说明什么？说明这东西是线性相关。

我还记得我基础班的时候啊，我在讲这个问题的时候，我就跟你讲过。你要天天去想这句话。向量组的质。就等于矩阵的值。那矩阵的值小于个数，是相关等于个数是无关小于个数，是相关等于个数是无关。能理解吧诶，所以你把这东西一定要串的非常清楚。等于个数是无关，小于个数是相关，小于个数是相关，等于个数是无关，

你自己好好串串，那非常简单。你自己好好进行去琢磨这个问题哦。对吧，你这个人的智诶，我看到你是线性无关的诶，你的智是等于你个数。你认智，你是信息相关的奥尼的智。小尼格说。对吧，我看到这个东西线性相关性，我就能知道你的质的情况。所以像这个问题啊，马上出来了。

能琢磨清楚吧，好晚上的时候好好跟我想。看到线性无关质等于个数。看到信息相关至小于个数。能听懂吧好，这是这个问题，好好把它给我记清楚，那么接下来我看看大家的水平点怎么样？复习到到底复习到什么程度？那么接下来我们来把这个东西啊，我们来填个空。来看看这个。那么，首先我们先来看看这个考点一。线性相关性的充要条件。

啊，这个人我们先看第一个事情向量组线性相关。第一，怎么抽到？定义这样说。存在。存在就行诶，你还记得我原来跟你讲线性相关性，我跟你讲过。至高理解吗？你还记得吗？你还记不记得？就是你发现一个事，你看你不就是希望这样的一组。线性关系。

等于零嘛。我想问一个事情，当k1k2一直到kn。都等于零的时候，上面成不成立？成立呀，当你所有系数都为零的时候，你当然是等于零。我们线性相关线性无关，我重点问的这个问题，不是说你到底是不是对吧？你所有系数等于零的时候到底等不等于不是这个问题，他问的是还有没有别的情况？你除了这个人都为零的时候，你能等于零之外，

你还有没有别的情况？你要有你就叫线性相关。你要没有就叫线性无关。对吧，你所有人都等于零的时候等于零，那么我们就说诶，我有我存在不全为零。n全为零，肯定等于零，不全为零的k1k2一直到kn，然后我使得什么东西呢？使得k1阿尔法一。k2阿尔法二一直加到多少kn阿尔法n=0？我说我有。对吧，

我有这样的一个东西诶，我就叫信息相关。那什么叫线性无关呢？他就要说，哎，我没有。那怎么说？你可以这样说，只有所有人等于零的时候，它才等于零。你可以这样说，只有所有等于零的时候，它才等于零，但是你换成数学语言的装逼的写法怎么写呢？它这样写，

如果这个k1阿尔法1k二阿尔法二，然后加到kn阿尔法n=0。他写当且仅当你看装逼吧，稍微装一下，当且仅当什么当呢？唉，这k1k2。它都等于零的时候你才行。好，这叫装逼的写法。其实你像我刚才那种写法行不行啊？行啊，理解到骨髓里面来。我没有，只有所有系数等于零的时候，

我才会等于零哎，就这种情况，所以你看你这样一写，看起来有点装逼嘛，对吧？感觉就不一样了。然后接下来我们再来看看线性表示。你想想你这任当中不全被定。你不全为零，假设这个东西不为零，你就可以挪过去，把这个系数除过来，你是不是肯定有人被我表示啊？所以一定是。至少存在。

一个向量。可由其余向量来表示。由其余来标出。如果你现在有一个人的话，你发现能被其余人表出，那你们肯定是现行相关的。而线性无关数呢，那肯定不能啊。对于任何向量。寻不可。有什么东西啊，尤其于表处。能做不起主吗？哎，我没用。

我绝对不会有的。然后接下来诶到了我们最喜欢的环节了来赶紧说他们是线性什么官诶，他们诶，这是m格式吧。它只有m个人m个人m个人m个人。好了m个人。好了，来到了我们最喜欢的环节了，赶紧来。如果这个向量组的质怎么办？小于个数哎，向量组的质小于个数是相关。如果这个向量组的值阿尔法一，阿尔法二一直到多少阿尔法m，它等于个数是无关。

小于个数是相关等于个数是无关是无关等于个数是相关小于个数。能学清楚吗？好了，这个问题那么所以说接下来我们再看最后一点方程组呢，那这里面当中很明显，你记。你的线性关系其实就是这个方程组的系数，矩阵的列向量组。那这个方程组怎么了？一定怎么了？有非零解。因为你的系数其实就是我的方程组的解。你既然是我的方程组解，你不全为零的话，你发现我就有非零解。

然后接下来我们再看c。这是阿尔法一直到阿尔法m。然后这里面当中的这个人呢哎他。它仅有连接。仅有零件好了，这个问题啊，我们就出来了。所以这其实就是我们线性相关性的这样的一个串联呃，当然呢，其实这个部分内容已经超过了我们考研的一个能力了。我只是希望同学们能够把这个东西啊，真的是串的非常的熟练。理解的非常透彻啊，其实你发现内容点呢，就包括到这里面。

所以一定要把这个东西啊，你好好进行去串一下，你把这个方向性摆清楚就行了，那么接下来我们再来看几个问题。我们再来讲讲这个线性相关性的几个性质。对吧，来看这个问题。你是刚才那个同学吗？啊，怎么那么多小橘子？你是刚才那个同学吗？是啊，在这儿又开始装起来了。好了，那么接下来我们就继续吧啊。

没办法啊，那么接下来我们再来看看这个线性相关性。它的一个性质。那么，首先我们先来看看这个第一个问题。一个向量。对吧，我们只有一个校长。只有一个向量，它是线性相关。怎么样才能说它线性相关一个向量？你线性关系。你得怎么办？有一些不为零的账户，它等于零，

那只能一个事情，只有你这个向量是零向量。你这个向量不为零，你只有系数等于零才会等于零。就是是不是零向量？如果你是零向量，你就是一个点，你是个非零向量，你就是一个对吧？哎，你这里面当中有一个什么有一个向量长度。所以一个向量进行去谈线性，相关性非常简单，一个向量不为零，就线性无关。

好了，这个人如果是两个向量呢，线性相关肯定是成比例。如果线性无关呢，这两个东西啊，不成比例。对吧，这两个东西不成比例，那从图形上而言呢，你线性相关的话就说明这两个向量共线，那线性无关的话就说明这两个东西不共线。好了，这个问题那如果是三个向量呢？那三个向量的话，你发现如果它相关的话，

就是共面，如果线性无关呢，它就不共面。好，这个问题啊，非常的简单。所以说就讨论这个问题啊，就是讨论一个事情，你到底怎么了？你共不共勉？你到底是共勉还是不共勉？好，这个问题啊，我们就讲到这，然后这些后面的一些性质啊，

我们在基础班全都讲过，你稍微的等一会儿，一会儿过程当中我再来给你进行串联。那么，接下来我们来看看下面一个问题，线性相关性的判定问题。我们来看看这个里面当中最重要的题型，线性，相关性的判定。你就记住，在我们考研过程当中，见到线性，相关性的判定，你想两个事情，要不然用第一，

要不然用之能用之就用之，我们基本上都用之。所以你在考研过程当中碰到这种题啊，因为我们没有大题的这种证明题，有的大题的这种证明题啊，很喜欢用定义。喜欢用d证明，其实我们的考点的方向都在这儿呢。所以说见到线性相关性的判定，想第一想知想第一想知第一的话，就是有没有不全为零的数，让我等于零。对吧，想定义想知。那么，

现在而言的话，我们就来看看这个事情。那么，用之核心，重点是之。啊，核心重点是之。线性相关性。那么，在这里面当中啊，我们来看看核心重点呢实施。那么质怎么判定呢？就是用这个向量组的质。与它的个数来进行去比，它的个数是几个是n个？

把向量组的值。跟它的个数，然后进行去比较。如果是小于个数，是相关等于个数是无关。所以说这里面当中啊，你发现如果这东西是小于个数，它就相关。等于个数是无关。能理解吧，所以把这个问题点呢，你想清楚。呃，这个等我找找啊，我刚才在哪儿敲的呢？

算了吧，一会我给你改吧啊，下课我来改吧。所以说这里面当中啊，这个问题点就在这。那线性相关性的这个判定呢？两个事情用定义用知。对吧，要不用定义，要不用知啊，不要跟我提PPT了，你放心，你包括除除非到了后面的话，我们讲讲模拟卷，我们看看。

不然的话，我们就不怎么用这个。好了，这是这个事情，所以说在这种当中啊，你进行判定，即使。好，我们现在梳理一下大脑的空间。如果这个题让我们去判断线性相关性。定义和治能用治就治你就想治就行了。如果这人是线性无关。那如果这个东西线性无关的话，就是向量组的值等于个数。如果这个向量线性相关向量组的，

这这个什么小于个数？然后就变成了质的问题了。你就进行求解质子就行了，所以说这里面当中啊，你发现这个问题的核心是什么？它的核心还是质？啊，还是这个人智太重要了。就是你会把这个问题转成质的问题，你求质怎么求啊？要不用质的公式，要不然就是行列式或者初等变换。那说你一定要会进行去求知，那么接下来我们来看看这个，一定要把它进到脑子里面。

诶，看到线性相关性，我想定义，想知我肯定想知。线性相关质小于个数，线性无关质等于个数，一定注意一个问题啊，我再强调一遍，这里面当然跟谁比啊？跟个数比。你不要说行数列数跟个数比啊，跟个数比，所以接下来我们一起来看看这个问题来。走下这个人。看下面这个。

眼睛一瞅诶，线性什么关，立即来看线性相关，赶紧说向量组的质怎么了？向量组的值。它小于个数。那小于个数的话，你发现我求值我求值有两种方法，要不然用行列式，要不用初等变换，你会用什么方法呀？你想用什么方法？用什么方法？你这是幺幺幺，你这是一二三，

你这是一三t，用什么方法啊？行列式这个这个什么初等变换都行，我们用行列式吧，那行列式等于零嘛。幺幺幺零幺二零，然后这是二，然后这是t减一直接展吧。那一张的话，这是多少t- 1？这是多少4 t- 5 t- 5=0，然后等于五答案选一。好，非常简单。你说老师这种题不会考吧啊，

我们来打个脸来看看一个事情，那二零二二年的话，你发现你看他又出过这种题。啊，就这种事情，然后应酬a线性相关线性相关，想到什么想到这个向量组的值。它怎么办？小于个数。那向量组的值的话，你把这个向量组写到这，把这个向量组写到这，把这个向量组写到这。然后这个什么把这个向量组写到这了之后啊，你发现他这个质小于个数，

他是个方阵不满之。不满值，你用什么？你用初等变换也可以。那么，这个题用行列式是不是最简单？因为我嵌到一个零了，我再消掉一个零，它就出来了。那我就用行列式，那行列式的话，你看我已经丑到一个零了，我再消一个零，那就太完美了，那所以说我再把这个k消成零。

减去k倍是零。减去k倍是3k，减去k倍是负2k，这太完美了，然后接下来我们就可以展了，按照你展。来这条线，那这条线是3k，再怎么办？减二然后这条线呢？你再加上个2k方，那这人等于零。哦，这漂亮也就2k方，然后再加上3k，

然后再减去二=0，所以十字交叉一下，你看这是k。然后这个部分呢？这是二，然后这是多少负一，所以这个结果刚好出来，那k等于几啊，要不然等于二分之一k，要不然等于多少负二出来了？所以等于二分之一或者负二答案选b。好像这个问题啊，难度不大。那就是见到线性相关性想定义相质，想定义相质能用质就用质，

我线性相关我质小于个数，我线性无关质怎么办？等于个数。就这么简单。然后接下来我们再来看，再来看这个题。呃，这种题是经典题哦。经典题啊，这这很很经典的一个题，就这个问题。那这个经典题啊，我们来看看怎么做？这我们的考研真题。那么，

首先我们先看第一件事。他们已经线性无关。则下列当中线性相关的是。像这种问题啊，我们先用严惩法。这种题非常重要，用严惩法。那就配呗。你看，这是一个向量。你看这是个向量，你看这是个向量。能不能稍微进去去配一下？你看这个人好像不太行。对吧，

你这个人的话，你现在而言不好配，但是我们来看看这个人。啊，这三个人那这三个人的话，如果我在这配个加号。你这两个东西没了，我再配个加号哎，等于零。那就会怎么办？存在一组波全为零的数，让它等于零。那既然存在一组不全为零的数等于零，那就选b，这是我们考虑的风格。

我眼睛一瞅，发现哦，我在前面补上系数，你存在不全倍定数等于零，那不就息息相关出来了？这二零年考题。能理解吧，你要学会它。但是这种题的话，如果接下来让我们进行去总结。对吧，总结一下你怎么处理，你现在依然会出这种问题哦。这跟生版的没什么关系。我还是那个问题，

难都难，简单都简单。你看那些年简单的简单的分数线报的那么高。你自己去看看。你看那个线多高？你现在蹦那么高的话，你发现怎么去处理呀？因为反而去年去年我记得应该是北工大吧好像。尽管些。北工大的话，经管线的话，你看去这个好像招都没招满。好好像招多少人？招了招了20多人，有一个专业招20多人。

那么我我我们的专业啊，经管类的。招20多人的话，你发现那没有那么多人过线呢，你怎么办呢？所以说这个问题呢，哎，它就在这。能学清楚吗？好了没？所以说它它这个问题就是在这就是难都难啊，简单都简单好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看。好了，

继续再看这个事。那这个题啊，如果想把这个东西啊，我们按照这个呃理论上进行去推一下，我们怎么处理呢？好，那么接下来我们先来看看，我选一个选项来做一下。比如说我们看看a选项。那a选项这个人，大家想想你们已经是线性无关。你们是线性无关，那这个质等于什么等于个数？你这个向量组的质就会等于这个个数。你这个向量组的值等于个数，

然后接下来我们就要判断这个向量组的值。我怎么继续去求解这个向量组的值呢？你看这里面当中，我们先来看看定式思维能力，我们先看方法一。那么，求解这个人的智啊，你要会做。那么，求解这个向量组的值诶，我要看到这个东西，它不就是什么你这个人？它不就是由我这个东西来表出的吗？阿尔法三减去二倍的阿尔法一。是吧，

你这个东西不就是由我来进行线性表述的吗？我立即写成矩阵相乘的形式。那矩阵相乘形式的话，就是一负二零。零一负二，然后这是多少负二零一？我们写成这样，然后接下来我们看，我要判断这个人的线性相关性，我就看看你的字。跟你的个数三来比。等于个数是无关，小于个数是相关。那么现在而言呢，这个人已经是三，

我就要看前面。我们看过两个东西，碰到一起，我就要看看后面的行列式为不为零。对吧，你可不可逆？如果可逆就非常完美了，那这个人是零一多少负二？然后这是负二多少零一？那么所以说这个东西我们就可以操作了。那因此的话，这是一零负二，然后加上二倍，这是一+2倍，这是负四，

然后这是零，这是负二，这是一。那这个行列式呢？这行列式不为零呢？那说明什么？说明这东西可逆。如果这个矩阵可逆，那可逆矩阵撞过去，它的这个质是不动的，那说明这个人质呢，也是等于三。那向量组的质啊，等于它的个数不就是线性无关吗？所以就看这个人了。

对吧，就看这个东西了，可逆性。那么，在这种当中，我们顺便把这个b进行去看看吧啊，我们来谈一下这个b。把这个b选项我们看看。好看看b。那b这个人的话，我们也可以这样做，我不就看看你线性相关线性无关，不就看这个质跟它的个数三比吗？你就要求这个向量组的值。你就要求这个向量组的值。

你就要求这个向量组的值。那这个人呢？立即可以写成矩阵相乘的形式。然后是一负一零。零一负一负一零一。那么，现在而言的话，我们都知道这个人的智已经是三，就想看前面。你就想看前面这个人的字的话，我们接下来再来看，我还是想看你的行列式，一负一零零一。负一，然后这是多少负一零一？

那么来操作一下。那这个人的话是一零负一，你加下来，这是零，这是一，这是负一，然后这是多少零负一这个行列式等于几啊等于零？哎，不行啊。你这个行列式等于零。行列式等于零，你这人不可逆啊，但没有关系。我如果行列式等于零，我就不满值。

所谓越乘越小，我俩要乘起来比你小，也比我小于三的还小，那比小于三还小的话，小于三。那质小于个数，是不是就相关呐？所以这个问题点呢，你把它把握清楚。那么，其实像这个问题，我们在这个考研当中啊，我们做过重点总结。哎，我们总结过这个事情。

黄金重点总结。我去厨房走个结构吧。那么，像这个问题啊，你今天过程当中，你一定要把它当做从最后一遍进行琢磨。你下去把这个强化讲义多刷几遍。把这个强化上的内容，不光要看强化讲义，你最重要问题要看什么呢？你要看我上课有的增补的知识点。还有增补的例题都得看。你这样的话才复习的非常满啊，那么这里面当中我们看如果什么呢？如果有一个向量组。

它由什么东西呢？由一个线性无关的向量做标出。线性无关的向量坐标处。好，这个问题。如果你这个向量组能有一个线性无关的向量组表示。那这个时候我们就可以立即写成矩阵相乘。立即写成矩阵相乘的形式。能理解吧，你就立即把它写成矩阵相乘的形式。我再乘以个p。那么现在前面这个人的线性相关性完全依赖于这个p。依赖于p的什么行列式，如果这个p的行列式它不为零。可逆不变值你线性无关，

你也线性无关，那则什么北大一北大二北大三无关？然后第二事情如果什么呢？如果这个行列式，它等于零。行列式等于零，这个人不满值，所谓越乘越小，那前面这个人的话肯定也会小于它三。那这人就线性相关。好了，像这个问题，你下去好好想想。你这个向量组。这个人那么接下来我们就看呐。

你发现一个事情，你看你这个向量，你能用我表示你这个向量能用我表示这个向量能用表示这个向量组就能用这个向量组表示。我立即把它写成矩阵相乘，我就看清后面这个东西的行列式，行列式不为零，它就怎么办？与线性无关，行列式如果等于零，就线性相关。你就这么简单，所以这是一个非常重点的问题。你像这个方法的话，你必须会。但是其实我们在考研过程当中考这种题，

我基础班其实讲了很多。你考到这种题的话，你要先眼瞅你瞅出来这个题就结束了。我眼睛一瞅a存在不全被定真等于零结束了。如果这东西它没有结束，我们再进行去看这个方法。当然，除了这种方法之外，我们基础班是不是还讲过这个方法？你还可以怎么做？你不就是想进去去看这个人的质吗？你这是阿尔法一减去二倍的阿尔法二，那阿尔法二减去二倍的阿尔法三。阿尔法三减去二倍的阿尔法一，你不是想看这个质吗？

那我初等裂变换不变质啊。对吧，我就把这个设k的方法是最low的，它不适合我们的考研。你要设k的方法，我们考研的话，这个基本上是快的。这个时间肯定是来不及。啊，这肯定来不及，你这这五道题，你设五个k，你解封了对吧？那这人怎么办？初等裂变欢。

那列变换不变质的话，你发现我就来做啊。我怎么进行裂变化呢？我先进行区域，我用这个人干掉这个人。那这是阿尔法一减去二倍的阿尔法二，然后这人减去二倍，那减去二倍的话就是那就是负的二倍的阿尔法一。呃，应该是这样。是这个人的二分之一倍加过来。那二分之一被加过来的话，我不妨用这个人干掉第三个人吧。我把这个人的这个二倍加过来，那这是阿尔法二减去二倍的阿尔法三那二倍加过来的话，

其实就是阿尔法三。再减去多少阿尔法三这个二倍加过来，它没了。啊二倍加过来。二倍加过来，它没了，那二倍加过来，它再减去一个多少减去四倍的阿尔法？好，这个问题，所以就把这个人的多少呢？这个人的2倍加过来。那么，然后接下来怎么办呢？我再进行修。

我发现这俩人的话，你发现还没消完，你再来看，你把这个什么，你把这个四倍加过来，你四倍加过来，这你就没了。你四倍加过来的话，这个人就是四倍，那就是减去这是负七倍。那负七又不会影响，然后这个东西就是二倍再加过来，然后这个人加过来诶，你看变成它，所以现在啊。

他的纸。是三，我就是三。因为初等变换不变质嘛，你这人就出来了。因为线性无关你的知识，三我的知识，三我知识，三我等于个数，我线性无关，我线性无关等于个数，我等于个数，线性无关，你要会转啊。好了，

这个方法也是非常好方法，对吧？我进行列变换。那么，接下来我们再来看看第二个人。那第二个人的话，像这个里面当中的第一个方法，我们讲过了。那这里面当中的第二个方法。这个方法非常快，初等裂变化的方法非常快，你要喜欢这个方法，这个方法你眼睛进去是丑的时候会非常非常快。好，我们再来看这个人，

那这个人的话，你发现我们继续再来瞅。你怎么处理啊？你把这个加过来。你加过来之后的话，其实的话，一加的话是阿尔法一减阿尔法三。然后这是阿尔法三减阿尔法一。哎，你再把它加过去。你再加过去的话，这人就变成零了，阿尔法一减阿尔法二，那阿尔法一减阿尔法三，然后这人变成零，

你变成零的话，你质肯定小于你的列数啊。因为最后一列是无效列嘛，你小于三，你小于三，不有线性相关。好，这个方法也非常棒，你要喜欢这个方法。对吧，这个方法非常快，它有的时候你比你写成这个矩阵进去去判断还要快，所以这个方法非常的棒。所以像这种考题啊，我们一定要拿捏的非常死，

就是里面当中严惩法就出来了。对吧，沿途法出来就出来了。研究法是完全走的，是第一的路线，不是这个本质啊，别胡来。严惩法是定义的本质，存在不全为零的数，让它等于零。那还有一个方法就是定势思维，我把这东西啊。写成这个什么线性无关的，这个人再乘上一个矩阵，如果这个矩阵的行列式不为零，

你就线性无关等于零，就线性相关。那或者怎么办？不要看质吗？我进行裂变化看质。好了，像这个问题啊，你下去好好想想，把这个问题啊，好好琢磨琢磨。那行吧，我们稍微的休息会儿吧。可以吧哎，稍微休息会儿，然后你课间休息过程当中，

如果想看你可以把这个题看看。好，我们稍微休息会儿吧，一会儿我们继续。

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