22.冲刺满分强化篇·题型38-39精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:13:53

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始，我们三九六的这个线性代数的强化班部分课程，那么上次过程当中我们刚好是第一次课程。但是这个第一次课程呢，我们讲的东西还是比较多的，

那么首先我们把这个第一章的行列式部分内容，它的第一。和它的性质还有展开定理，还有代数余子式相关的问题啊，我们全部讲完了，那么今天过程当中啊，我们是这样，我们来把这个呃第二章啊，上次过程当中我们回顾的这个问题啊，我们先把它讲完。那么讲完了之后啊，然后接下来我们再来看看第一章还剩下最后一个问题，叫做抽象性行列式的计算问题好吧，同学们。行，

那么接下来我们先来回顾一下。呃，我们前面部分内容，我们就不复习了，对吧？什么行列式的性质了？行列式的展开定理了。代数余子式的线性和问题啊，那这些东西我们就不看了，我们来重点来看看，从这个第二章开始的这几个问题，那么首先第一个事情就是矩阵的相等。啊，矩阵相等。那么，

同学们告诉我，事情如果说两个矩阵相等，应该是个什么样的判定条件？两个矩阵相等，一定要保证这两个矩阵是一模一样的，对吧？每个位置的东西都要相等。所以长得一样大，每个数都得一样，所以这里面当中我们就推出了一个问题，如果这个矩阵相等，行列式肯定一样。但是行列式一样，你可推不出来，矩阵向导，

只要你进行加行列式，这个矩阵一定是方阵。那然后呢？如果这个矩阵为零，那肯定能推出行列式试例，但是行列式试例你可推不出来，矩阵式例。好像这个问题啊，你下去好好想想好了，那么接下来我们再来看第二事情就是矩阵的什么数乘？对吧，这是这个问题，然后接下来我们又讲的第三个事情就是矩阵的加减。还有第四个事情就是区域阵的乘法。好，

我们来看看这几个问题，那么首先数乘给一个矩阵，乘上个数一定要给这个矩阵的，每一个人都乘上这个数。然后这个矩阵要想进行相加减，两个矩阵必须是同形的，而且每一个位置对应相加减。如果这个矩阵要想相乘，前面这人的列数要等于后面的行数，然后在这里面当中要注意它的运算率。那么，上节课我们复习过，那对于这个东西的运算力啊，不要进行去记它，有什么你要进行去记它，

没有什么。你像乘法没有三大律，没有交换律，没有零因子律，没有消去律，对吧？这三大律是没有的。你没有这三件事情，剩下的东西他们都有那数乘有没有交换律啊？什么叫数乘呢？就这里面当中有一个矩阵，我乘上个数有没有交换律当然是有的，它是一定具有交换律的。然后这里面当中的加减法有没有交换律也有交换律？所以同学们一定要注意，

我们要记住它没有什么。然后反方向进行去学，它有什么？然后这六门当中，乘法没有三大律，那么这件事情我们再来复习一下，上节课下课之前呢，我们刚好讲这个问题。对吧，刚好讲到这个点，那这里面当中铝的是比较多的。如果两个矩阵相乘等于零，你能说这个人等于零，或者这个人等于零吗？不行。

如果这两个矩阵等于零能推出行列式等于零吗？哎，这件事情可以，但是你一旦加行列式，必须是方针。如果这两个矩阵相乘等于零，然后这个矩阵不为零，你看我们基础班讲过一个例子，两个矩阵都是非零矩阵。结果咔的一沉，最后是个邻居阵，有这样的例子吗？但是这里面当中你要注意一个问题，如果是行列式不为零的。行列式不为零，

这个矩阵是可逆的，它就可以了。所以只要这个东西是可逆的，它就具有零因子律，它也具有消去律，因为两边可以怎么办？左乘上这个可逆矩阵。所以完全使用了什么矩阵的运算。你要想清楚啊，如果这个东西是可逆的，两边做成逆矩阵，如果这个矩阵是可逆的，两边做成逆矩阵。前提要注意一个事情，矩阵可逆的判定方法是行列式不为零。

注意啊，行列式不为零，你千万不要说这个矩阵不为零，那矩阵不为零，它有可能行列式也等于零。你比如说举个简单例子，你这是一零零零，你看这个矩阵不为零吧，矩阵要想为零，所有元素都为零。你这个矩阵不为零，但是这个行列式等于零，所以你不要把这个东西啊，你这个差的一定要把它分析清楚啊，这个问题。

那么，接下来我们就来看看这个今天的重点内容，我们今天的目标非常简单，我们应该是能讲到这个矩阵的值。啊，讲到矩阵的值，那么下次过程当中，我们一个板块进行讲矩阵的值，一个板块进行讲线性，相关性和齐线方程组。然后再来一次课程，我们去讲非行方程组，还有矩阵方程的问题啊，然后基本上是差不多了。那矩阵方程的话，

这个部分讲完，然后这里面当中，我们再继续去讲啊，这个表出的问题，还有这个方程组的同解和公共解问题。那么，基本上我们还有三次课程，所以这个线性代数啊，我觉得真的是非常的这个低投入高回报的一门课程。所以你发现你投入的这个时间不是说那么的多，但是反而这门课程的回报率是相当高的。包括概率统计啊，但是我们只学概率论，那概率统计啊。呃，

如果你看看大家的表现对吧？基本上就是三到四次课程，我们今天的话刚好去讲这个。但是你们看看吧呃，昨天晚上我辛辛苦苦做了一晚上的PPT。稍等一下。呃，然后今天的话，我刚好去讲这个数一和数学三同学的这个概率论呐，与数理统计，但是我们只有概率论。我做了一晚上PPT，反而有些同学却不喜欢这个PPT，还是喜欢这个东西的样子，哎，

那行吧。真的是从来不怎么做PPT，我就想哎，我们换一种呈现方式啊，结果的话，大家还是觉得这个白色好。害得我白天昨天晚上白做了。好了，那么接下来我们继续吧，我们就继续开始再来看看下一个问题，我们来看看今天的重点内容矩阵的支啊，这个转支。那么，上次过程当中，我们刚好讲的这个啊，

第四个点，然后接下来我们来看看矩阵的转置的问题。来继续吧，我们来看看这个问题矩阵转值那么首先第一个事情啊，你要注意个事儿。转制这个东西，一定是方阵吗？那不一定哎，不一定是方阵，那在这种当中，他不方也行呐。比如说我们写一个例子，比如这是二四五，然后这是六，这是七，

这是八，你这个东西可以进行去转置一下。你转置了之后就变成多少二四五六七八。好，这是这个事情。所以它这个东西啊，它就会变成这个情况，你看你这个东西进行去转之，然后这个东西啊，就变成了这个样子。能学清楚吧，好这个基本的问题点。然后接下来我们就继续，我们再来看，那如果是个方阵呢，

那当然它也可以啊，你比如说在这里面当中，我们写个AB。xy然后这东西的转置是多少？这转置就是变成了AB，然后这是xy。好，这是这个情况，哎呀，别再说那个丑了，我选了半天的颜色，你在干啥呢？对吧？我昨天选这个东西的时候。然后的话，

我们整个那个我让公司的好多人去看了一遍，说哪个颜色好啊，他们都说这个颜色好。然后的话，今天因为那个PPT每次用的时候呃，你们会发现一个事情，每次我们上那个习题课，你是不是会觉得这个？这个头像这块高了好久啊，然后今天上午跟那个技术测试了一上午的，这个刚好能让这个PPT啊。他完全的占满这个空间，调了下分辨分辨率，结果下午一上完，他说这个东西不好看。

行拉倒啊，真是拉倒好了，这个点我们就讲到这。所以说这个问题啊，你要注意转置，把行的写成列的。列的写成行的就是个转值，那么接下来我们来看看这个人，这里面当中啊，有四个非常重点的公式。你得进行复习，那么首先我们先来看第一个事儿，转置的转置是不是本身呢？对吧，你转过去了之后再转回来，

那不就是本身吗？好了，我们再来看看第二事情继续，如果是k乘上a的转值呢？那你想你k乘上这个东西，你再把它转过去，你再把k抽出来，那其实这个东西不就是k乘上a的转值吗？然后再来看第三个事情，那其实就是a×b。a×b的转值，那a×b的转值不就等于b的转值a的转值吗？如果这里面当中是三个人ABC的转职呢？那三个人的话，你可以慢慢看，

你把这个BC看成一个整体，那就是BC的转值，然后再是a的转值，然后再变成c的转值b的转值a的转值，但是。我觉得这是一个零基础的同学水平吧，如果你作为一个强化班同学，难道不直接写吗？两边调换位置再转。中间这个东西啊，不变位置继续转。好了，这是三个人，然后接下来我们再来看看第四个点好，继续看，

那其实就是a加减上b的转值。那它就等于a的转加减上b的转啊，这是它比较优秀的一个点，把这个东西标成红色。它可以，它是相对于伴随矩阵，相对于逆矩阵而言，它独有的特性，它们都不行，就它行。对吧，就你是可以办成这样子，所以把这个事情你要捋清楚。能跟上这个意思吗？要想清楚这个问题点，

那同学们告诉我转制这个东西可以用来干嘛呀？你要注意，我们不学这个特征值和二次型，所以我们不会学镇定矩阵。那因此对我们而言，其实最重要的目标只有一个，就是检验对称性。你要注意啊，它的这个方向可以用来检验。对称轴哎，我直接写吧。如果一个人的矩阵的转置等于这个人本身，我们就可以说明这个东西啊，是一个对称轴。如果这个人的转值等于负的这个a，

我们就可以说明这个a啊，是个反对成长。对吧，反对称轴那所以说这个方向性，你把它想清楚，你比如说我举个例子啊，我们先来举一个对称轴，你这是xy这是z。然后这是一二三，你这边是不是也得填一二三呐？好了，这是个对称轴，那如果是个反对称轴呢？你要注意转置过去之后，等于相反数你的对角线必须都是零，

然后这是一二三，然后这是负一负二。负三反对称阵呢，它具有的特性是对角线都是零，两边刚好沿着这个对角线，两边刚好互为相反数。好了，这是它的一个问题，转置的特性必须要记住啊，一定要把它记清楚，那么接下来我们再来看看下一个问题。方阵的迷。什么叫幂呢？我们来看看这个人a的n次幂。同学们告诉我什么叫a的n次幂啊？

a的n次幂一定是n个a相乘。能理解吧，你a假设是m×n，你能跟这个什么m×n相乘，你这两个东西是不是得一样？所以注意，只有方阵才能进行取迷。它必须是方针。哎，你只有方正的话，你才能打n次米，但还好我们是个做题人，我们不是个出题人，所以想的就不用那么多，他只要出了就说明他能成呗。

能理解吧，你只要考题当中出了个a×b，那说明a能乘b啊，如果这个a的N次方说明a能N次方，你这就是个很简单的一个问题。那所以这里面当中啊，刚好有n个a相乘。我们这里面当中啊，有一个问题点，你想清楚。a的n次幂，我问一个事情，有没有a的零次幂啊？有没有啊？有还是没有？

当然有啊，那不就是e嘛？有没有a的一次幂啊？有二次幂，三次幂，然后这都有。对吧，你看这都有这些次幂有没有a的二分之一次幂啊？那是胡扯的。没有它这个东西一定是取得自然数，你说老师这不对吧，有没有负数啊？没有负数，有同学说老师有负一次方负个诡异次方。这才不是负一次方，

这读a逆你别胡来啊，这东西不是负一次方，它叫做a的逆矩阵。好了，这是这样的一个问题，所以这是一个方阵的一个幂的问题。那么，在这种当中，你要注意一个事情，那么进到入到矩阵初等数学的这些公式，它都能用吗？那比如说我举个简单例子。我们来看这个点，这都是纯基础版内容。那么，

假设这里面当中，我们写一个这个什么a+b？它的这个平方，它会等于a方加上2 AB+b^2吗？这件事情不行的。这件事情只有在一个前提条件下，只有什么两个矩阵可交换，唉，什么叫做矩阵可交换呢？可交换的意思非常简单，就是这个乘法具有交换律的时候。那你想想谁和谁，天然可交换。首先第一个人。一个矩阵跟单位矩阵天然可交换。

一个矩阵跟它的逆矩阵天然可交换。那你还记得去年的考题吗？那abcd=1的那个人啊，一会我们再来讲吧。好天然科学化。那还有一个事情呢a和a的伴随。好，这个问题，所以注意啊，这是三对可交换的，我a×e跟e×a一样a×e和逆乘a一样a乘伴随和伴随成a一样。如果这东西可教欢你初高中当中所学习的所有公式都成立。是不是这个问题，然后再来看，还有这个a方再减去多少b方了，

它也会等于a-b，然后再乘上多少a+b？好，这是这个人，然后第三对那么其实就是a加上这个b的这个三次方，它就会等于a的三次方。加上三倍的a方b，加上三倍的AB方，然后再加上b的三次方。对吧，然后这里面当中a-b呢，你这有什么好打点的？你别打哦。你这打点多难受啊，三倍的a方b，

然后再加上三倍的AB方，然后再减去b的三次方。好了，这是这个事情，然后再来看，还有这里面当中的立方差公式。a-b，然后这是多少？这是a方，再加上多少加上个AB，然后再加b方。然后接下来我们再来看看立方和公式。好了，这个人那是a+b，然后这是多少a方，

然后再减AB+b^2。好了，这个人呢？你就会发现一个事儿就是这样的一个问题，所以初高中当中的这些公式啊，他都能用啊，完全都能用，我们再讲一个吧。啊，当然的话，这个点呢，一会我们再讲，一会我们用到那个二项式定理呢，我们再说那还有一个二项式定理的展开公式，你也得把它记清楚。

所以说这个方向性啊，你把它想清楚，只有这两个矩阵可以交换的时候，我们初高中当中所学习的所有基础公式你都能用。你想用你就用，你注意一下啊，你别看这些问题，这些问题你要放到数三，它肯定不会怎么出这种题的。那我们肯定会出这种点，很喜欢考这种问题，那么接下来我们来看看每年过程当中我们的高频重点。伴随矩阵。这个内容绝对高频。绝对的高频黄金重点。

对吧，重中之重的内容。黄金重点伴随巨震。那么，首先我们先来看看第一个事情，伴随矩阵的定义。我以这个东西啊，三阶为例。好，我以三阶为例。那么，首先我们先来看看伴随矩阵。那什么叫做伴随矩阵呢啊？这个东西为什么让定义我原来基础班讲过吧？那为什么的话，

把每个位置的代数与子式写出来，还要转一下呢？原因点非常简单。就是因为为了让这个行能跟那个列对应相乘吧。你还记得吗？你比如说这里面当中，我们写个a我a这个人是多少a一一？a一二a一三a二一a二二a二三，然后这是a三一a三二。a三三。那这个东西的伴随矩阵是什么情况呢？它是这样。啊，这个伴随那这个伴随矩阵，它一定是把这个每个位置的代数余子式写出来之后啊，

你还要怎么办哎？你还要转一下。所以说这里面当中，我们来看把这个位置处的代数余子式，把那个横的写成列的横的写成列的。对吧，横的写成列的，横的写成列的。a三一，a三二，a三三。好，这是这个问题。所以说你要想清楚，这个点能琢磨清楚吗？

好，这是这个事，那我就想问一个问题了，我还记得我们在基础班过程当中啊，我们讲过这个事。如果说什么呢？如果每个位置处的元素等于这个位置处的代数余子式能说明什么？啊，同学们，你想想你这个元素跟这个代数余子式相等，你把每个小a都换成大a，哎，那你想想这个人和这个人之间相差的是什么？是不是相差的一个转置？你看你这是大a1，

大a二一，大a三一，它是这样写的，所以说这个人的话刚好的话，你发现a。这人组成伴随两者之间互为一个什么关系啊，转置关系。能想清楚吧好，这是这个问题。所以有的时候我们进行去把这个矩阵呢，我们是这样写的，你看你这个矩阵的话叫做aid。你能理解吧，哎，就这样写，

有的时候为了进行去表示你是几乘几，我就写了个n乘。对吧，有的时候这样写，然后这个伴随矩阵怎么写呢？这个伴随矩阵呢？我们叫做大aig，然后怎么办呢？然后的话，这个人你外面的话要来一个什么来一个。来个转职呃，有的时候他这样写，你要理解哦，你就这样看的非常清楚啊，无所谓，

我们不用这样写。你理解就行，那该点处的值组成a。代数余子式组成，伴随两者之间刚好相差一个转置关系，你像这个问题啊，你必须要会那么接下来我们看。考研必考内容绝对会考稳稳当当伴随矩阵。伴随矩阵的万能公式啊，是必考内容来我们来一遍a×a的伴随等于a的伴随乘上a。然后等于a的行列式乘上一。那这个公式啊，你务必要把它记清楚，而且你要会来来回回进行转来来回回进行倒。能想清楚吗？

比如说我们举个例子，如果一个等式当中有一个伴随音。你想干掉这个伴随，就左边乘上a。如果这边有个a，你想干掉这个a，左边成长伴随能理解吧，好了，那么接下来我们慢一点，然后我讲完了之后我给你留20秒的时间，你在你的草稿纸当中迅速的写一遍。这几个公式，你要来来回回倒，你看a×a的伴随等于a的行列式乘上一。假设这个a可逆了好了，

我们先来看看倒第一公式，第一公式呢，你看就相当于把这个a逆过去。两边左乘上逆矩阵，这个人没了，然后这是个数，这个数无所谓，它是不是就等于a逆会写吧？有矩阵单位，矩阵就不用写了，因为这两个一碰还是它。好，会倒吧。啊，一定要会导，

然后的话，你发现这个a逆这个东西啊，它就等于a的行列式分之a的伴随能会导吗？来来回回倒下就行了，就说你倒到这儿哎，你不光会正着看，你会反着看，反着看，正着看，你不管怎么样你都会看。好了，像这个能力得具备。对吧，你根据这个东西，我怎么去求出这个人怎么求出这个人来来回回倒，

你会正着倒，你会反着倒，你不管怎么样，你会推公式。啊，这是个能力啊。然后接下来我们再来看看伴随矩阵的质，你还记得伴随矩阵的质吗？伴随矩阵的质的公式是量。它只有三个数，叫做如果a满值，我也满值，有同学说老师我不喜欢值。你要注意质是线性代数的核心呐，质是考研当中的分啊，

你一定要喜欢你满值我满值。如果你这个东西是n- 1，我是一，如果你这个东西小于n- 1，我是零。所以像这个问题啊，你要注意就说你满我则满，你是n- 1，我是一，你是这个什么小于n- 1，我是零。那么，原来过程当中，我已经教过考试怎么做？如果考试这样讲，

比如说考试当中说a是一个五×5的矩阵。你在你的草稿纸当中，赶紧列那这个a这个字有五四三二一零六种可能性。那这个人的质呢？这个人的质的话就是你满我满，你是n- 1，我是一，剩下的东西都是零。我原来讲过。有的时候我给这个东西的话，他的智是谁？他的智是四，我可以说这个人的智是一，我说这个人的智是一，我就说明了这个智是四。

能想清楚吗？所以一定要把它进行去琢磨清楚，你像这种考纲性的问题啊，是非常非常关键的。能理解吗？好了，这是这个点，那再比如说举个例子。那这里面当中我多说一点啊，你可以把这个东西啊，记到笔记上，那比如说考题当中啊，有些同学这个基础啊，你给忘了。你就得好好进行复习一下，

如果a为什么都行a为不可逆阵。对吧a不可逆，那a不可逆的话，你发现你a×a的伴随或者是a×a的伴随。对吧a的伴随乘上a都会等于行列式不可逆，行列式等于零吗？那这两个部分是不是都会等于零？诶，如果你都等于零，我马上就可以推出来了，推出什么东西呢？推出a的这个人的列。为什么东西啊？为这个a cx=0的什么的解能理解吗？俩矩阵相乘等于零，

你还记得吗？好了，这个人，然后这个a星这个人的列为什么东西呢？为as=0的解好了，像这个问题啊，我们后面再讲。好，我们先串到这。能想清楚吗？如果你不可逆，那这个时候的话a×a的伴随a的伴随乘上a行列式会等于零，那这东西出来了。两矩阵相乘等于零，这是一个重点内容。

这是一个重点，说实话，这两年啊呃，你一定要复习好，你不要掉以轻心，你平时的过程当中这个。呃，没有把这个状态拉上来，没有把这个能力拉上来，他一下考的稍微的难一点，有些人就扛不住了，所以一定要平时过程当中，你要做好这个万全准备。好了，这个点我后面会重点来讲的，

我先浅讲啊，简单讲到这，那么接下来我们要说一个重点问题。像这个点涉及这个伴随矩阵呢，它的一些公式一定要稍微的灵活。务必要非常灵活。对吧，你只要见到这个伴随的问题，你就非常灵活，我举个简单例子。大家想想。比如说有一个题的话，它让我们进行去求k乘上a的这个伴随它等于多少呢？当然，分成两种同学，

有些同学在这个呃平时过程当中把它背过了。诶，那可以用。有的人没有被窝，那怎么办呢？没有关系啊。有人说那这个这个公式太多了，你没有那么多时间进行背的，那这人怎么办呢？非常的简单，我见到这个东西啊，我就会想到万能公式。a×a的伴随等于a的伴随，乘上a=a的行列式乘上一。然后这个时候你发现你就可以把这个东西推广成框框，

这个东西框的伴随成上框。就等于框的行列式乘上一。对吧，你就可以这样，那所以说这个人的话，我们要求ka我怎么办呢？我分析一下，如果这是ka，我速战速决，在我的草稿纸当中，赶紧写。那其实就是ka这个人，我再乘上多少ka的伴随，然后就等于ka的行列式。乘上个一能想清楚吧好了，

这是这个人，然后这是ka的伴随，你看这个人等于多少？那k出去变成k的N次方a的行列式，还记得吗？然后这边有个k两边同时约掉一个k，然后n减一两边左乘上a的逆矩阵，把逆矩阵过来。对吧，当然是可逆的时候a。可逆时。对吧，然后的话，这个情况的话，你就可以做了，

那然后怎么办？你这两个东西结合是多少？那不就是我们刚才讲的伴随吗？一定要对那个公式非常的熟悉，然后这就是a的伴随，所以说就得到k的n- 1次方a的伴随。能想清楚吧好，这是这个问题，把它琢磨清楚。那包括的话，我们比如说我们见到什么你，比如说我们见到哎呀，这样的一个矩阵，比如说a这是零零b对吧？这个人的伴随你也是一样啊，

你根据。这个整体乘上这个人的伴随，就等于这个行列式乘上一。你又可以把这个a啊推广成框的样子，你直接套公式就行，这个非常简单。见到伴随，想到万能公式，见到伴随矩阵，立即想到万能公式好把这个方向性，你要想清楚。跟得上吗？好，过去了，我们再来看看今天的重点内容啊，

逆矩阵。伴随矩阵呢，是一个考研中的黄金重点内容啊，伴随矩阵尤其而言呢，有一个问题点。我原来给你总结过，你不要的话，这个觉得这个东西不重要，它太重要了。你请告诉我一个二阶矩阵。它的伴随矩阵怎么求啊？叫什么主对角线调换位置，副对角线加负号，还记得吗？这是重点内容，

主对角线调换位置，副对角线加符号，就是一个二阶矩阵的伴随矩阵的求法。对吧，你主对角线要调换一下，你副对角线要加符号，那这个东西用处非常的多好，我们再来看看第八个点。逆矩阵的问题。那么，首先我们先来看看第一个事情，第一个点要记住了，只有方阵才有逆矩阵。对吧，务必是方针。

那么，首先我们先看第一个事情，逆矩阵的定义。那逆矩阵的定义怎么说的？它说这样。对于n阶方阵。啊n阶方阵a而言。那么，如果什么情况呢？如果这个a。你能进行去乘上一个人。等于单位帧。我们就可以说。说什么东西呢？说这个a可逆。

而且a的逆其实就是光。所以说这里面当中凸显出两个方向。我们进行去求解一个矩阵的逆矩阵，一定是这个人乘以一个部分，他等于单位阵。但是你得保证一个事情a是可逆啊，这个什么a是个方阵？一个方阵乘上这个阵，等于单位阵，那这个东西就是我的逆矩阵。没问题吧，所以这其实就是你的做题方向啊，你的方向是什么呢？你的方向就是看a乘上多少等于一。对吧？

a乘上多少等于一？而且你都知道，一旦这个东西是我的逆矩阵，我和我的逆矩阵可不可以交换？我当然可以交换我和我的逆矩阵，必然可以交换的。所以说这里面当中，我们想看这个去年的考研真题，你比如说这去年二零二三年的考研真题。那这里面当中说abcd。均为什么均为n阶方阵？然后这里面当中abcd它等于一。如果谈到这个基本知识点呢，你应该是这样，那么首先我们先看第一个点，

你这不是abcd。等于e嘛。你可以怎么分呢？哎，你看你可以这样。这是不两个方程。两个方阵相乘等于一。啊，你可以不用转圈法，转圈法的话，其实就是一个技巧性的方法了，但是我觉得谈到这个基本功上，你还是得这样来。你看我乘上这个人，等于单位阵，

那就说明这个后面这东西就是我的逆矩阵，那我的逆矩阵可以跟你怎么办？调换位置啊。好它等于一。没问题吧，然后接下来我们再来看abcd，我们都知道我们和我们的逆矩阵是可交换的吧，天然可交换。然后再看诶，你这个人也可以呀。那这个人可以的话，你发现我们这俩东西，你乘上我等于单位阵，我是你的逆矩阵呐，我是你的逆矩阵就可以交换了，

那我这个人乘上AB是不是等于一？没问题吧，然后再来看看，如果这是abcd它等于。那你这里面当中还可以这样看呢？是吧，你这样看也行，那就说明你这个人乘上我等于单倍整，那不就说明什么？说明这个d啊，这个可以跑到这儿，然后这个ABC啊。跑到这，然后这人等于一。是吧，

所以说像这种问题啊，你一定要想清楚，就是他到底在操作什么？如果这两人我乘上一个东西，等于单位阵，我是个方阵呢，我乘一个东西等于单位阵，两者互为逆矩阵，我和我的逆矩阵可以交换。你只要说我的逆矩阵来，我们切一下，你说我的逆矩阵啊，我们切一下，这个没有任何问题，因为我们讲过a和a逆是可以交换的。

你既然是我的逆矩阵，我乘上你也是可以的。那所以说在这里面当中啊，我们也可以把它转成框乘上a=1。要注意啊，我和我的逆矩阵是可以交换好，这是我们讲的这个第一个方向，你得把它想清楚了。好，第一个信息点，然后接下来我们再来看看第二件事情，矩阵可逆的判定，大家告诉我。那么，从矩阵可逆的判定呢？

他有多少种判定方法太多了？那么但是你发现判定方法非常多，但是落脚点其实只有一个，落脚点是谁呢？落脚点其实只有这个。a的行列式为不为零？这是它的判定，如果这个行列式不为零，我就说这个a是一个可逆的，如果这个a的行列式等于零。我就可以说这个a怎么办？不可逆的。呃，我们敢串一下吗？可以穿吧，

你想起来就想起来了，你没有想起来，等我将来把这个信息代数讲完，我再给你串一遍。啊，这两天可能呃，我们看到那个数一数二数三呢，有那个思维导图，你不用担心啊，等我们线性代数讲完了之后啊，我们也会有这个思维导图的。好了，那么接下来我们来看看这个事，我们来串一遍啊，来一遍啊。

如果这个a的行列式不为零。好，假设我们这个东西啊，写成一个n×n的这个行列式不为零。那这个东西的话，你发现它的方阵不为零。从第二章的第一个知识点开始，我们就知道这个东西啊，一定是可逆的。然后到了第二知识点，我们知道行列式不为零满知的，然后再来看矩阵。矩阵的制等于列数列满制，矩阵的制等于行数行满制，对吧？

矩阵的制等于列数列无关。矩阵的制等于行，数行无关，还记得吗？矩阵的制等于列数，列线性无关。你这个n就是我的列，因为你是方的嘛n既是列也是行。如果矩阵的的等于行数行怎么办？也是线性无关，所以说这个人呢？行列均线性无关。好矩阵的质等于列数列，无关矩阵的质小于列数列，相关矩阵的质等于行数行，

无关矩阵的质小于行数行相关。哎，就你不要觉得有点疯了啊，这这太简单内容行吧，没关系，我就害怕有些同学忘了你，忘了我们后面我们再穿。然后紧接着我们再来看看下一个问题，那其次线性方程组呢？如果一个矩阵的质等于列数，那这个人呢？只有林杰。对吧，然后再来看第二事情，如果这是非全方程组呢，

非全方程组哎，它有唯一解。然后再下列一个事情矩阵方程呢，矩阵方程有唯一解。好，这个问题。所以说这都是我们在基础班呢，我们讲过的全局部分内容。能想清楚吧，矩阵的值等于列数列无关小于列数列相关等于行数行无关。小于行数行相关行吧，我知道那个板块估计很多同学不复习啊，你早都给忘完了。好，这是这个事情呃，

给一个建议啊。等我们这一轮课程学完了之后，我建议同学们嗯，等我们把概率统计学完，对吧概率？学完了之后，先从你自己的痛点，对吧？你可以先从概率论开始复习，你复习完了之后再复习线性代数。你不要每次过程都是从那个什么哎呀，极限无穷，小量等等一系列开始那个极限的话，你发现你确实有些同学做的很好。但是你不能说你只会极限，

你只会极限，这个是你考研的极限。所以等到我们把这个所有问题学完了之后，你可以从后往前翻，而且有些时候你要注意考试的一个什么方向性，是哪个东西是痛点？你才要重点学习哪个？你比如说你就是一个定积分应用学的不好，那你就要天天看定积分应用啊，你怎么就老是对着这个极限狂来？谁都知道这个极限简单。对吧，其实极限也不简单，只不过是你在极限当中投入的时间太多了，以至于它变成了一个简单内容。

啊，多来了一些变其义自见了。好了，这个问题啊，我们就讲到这，但是回到最根本的一个问题，判断一个矩阵可逆性的唯一准则。我说的是唯一准则，唯一准则就是行列式。这就是行列式，你别人不管你怎么样，你都能都得从这个什么都得从行列式进行转。你说这个线性相关性，你得转到行列式，你说这个方程组的解，

你得转到行列式，你别管怎么样，你都得转到行列式。所以一定要记清楚，你都得往行列式上转。好了，这是这个问题，过去的可以吗？来再来看看下一个点逆矩阵的求解性问题。那对于逆矩阵的求解，其实我们核心重点就这三个方法。那么，首先第一个事情，我们的方法是公式法。对吧，

公式法那公式法的话就是a逆等于a的行列式分之伴随求行列式求伴随。然后这里面当中还有一个初等变换法。就是把这个a。还有这个单位帧放到一起进行行变换。放到一起进行行变换，把第一个位置变成单位帧。第二个位置就是a逆。不用列着摆，你就横着摆就行好，这是这个点，然后还有一个东西叫分块对角针。那分块对角阵呢，我们一定注意，我们能学会这个人就行了。对吧，

学会的是对角阵上三角和下三角，你就不要背了，然后这是a这是b，然后这是零这是零。能清楚吧？好了，这是这个事，然后接下来我们再来看，那这个时候就变成了a逆，然后就变成了b逆。然后这个人呢，副对角线呢，翻一下了之后再移。好，请注意，

一定是翻下载泥好了，这两个公式啊，非常的关键。哦，非常非常重要。所以希望同学们下去，你好好进行去把这个东西记住。啊，这是个重点公式。那么，接下来我们看看这三个方法，这三个方法，哎，它是有选择空间的。那么就这里面当中，

我们来看一般情况下，它是小于等于三阶，我们用它。然后这个是大于等于三阶，我们用它。我们考研顶多出现到四节，一般都是三节，我们喜欢考两节。对吧，一般都是三阶，我们也喜欢考两阶，所以如果是三阶就说不清楚，如果是二阶肯定是公式法。如果是四节，肯定是初等变换法，

这不用去想的。那么，尤其而言呢，你一定要会把这个人做的非常准。你看，如果这是abcd，你告诉我一个事，这个a逆等于多少？那这个行列式等于主对角线减去负对角线分之一。然后这个人呢，主对角线调换位置，副对角线加符号。好，这个人你会做吧？行列式这个结果就等于主减负吗？

然后这个东西就是主对角线调换位置，副对角加符号，那就是伴随你这个东西得做的快，我们喜欢考呗。好了，像这个问题，你把它想清楚。那么其实讲到这儿，除了这些问题之外啊，我还想多讲一点，那比如说举个例子，你这是ABC。c两个对角阵相乘，它是多少？两个对角阵，

两个对角矩阵相乘，其实就是对角线元素相乘。啊，这无所谓，你就是这两个对角线元素相乘，你乘下就行，那所以说如果这个ABC。它可逆可逆的话，它得保证这个行列式不为零。那是ABC都不为零，那这个人的逆矩阵等于多少？那非常简单，你乘上多少等于单位阵呢？唉，我们知道你等于单位阵不就是幺幺幺吗？

那就是a分之一b分之一c分之一，所以说就是分之一。对吧，你要注意主对角线的这个人呢，他的逆矩阵就是对角线元素的分之一副对角线呢，调换一个位置再来移，所以。所以你发现这个东西跟我们什么跟这个东西是非常相近的。如果这人考到主对角线，就是哥斯基基尼，如果这人考到副对角线呢，你发现一个事儿，这里面当中的内容一定要进行去调换位置，然后再来拟。一定要调换调换一个位置，

你再来拟。好了，像这个问题啊，你把它想清楚，我记得原来我们基础班的时候做过一道题。哎，做过这个题。叫什么呢？比如说这个是。零零。零。四一啊，这个是你想写多少？嗯。一五分之一零。

零零零啊，这个什么？这个低调点。四分之一九分之一零零零。那这个情况的话，你发现。好容易和分块矩阵搞混了，分块矩阵这怎么会搞混呢？那分块矩阵不就是最你把这个如果这个矩阵是一×1的，它不就变成了对角阵吗？这俩东西是一模一样的。你把这个东西比如说变成了一×1，它就变成了一个数，变成了一个数，它不就变成那个人了吗？

一模一样啊。只不过这个分块的时候，它会更强一点，你看这个题怎么做？那这个题的话，你看我就在这分一下。都分享那分了之后的话，你看你这人是b，你这是c那，所以说这个人的a逆这个人就等于多少？a逆这个人就等于两边都是零b，这个人逆就是四分之一，他跑这来。好这个人，然后是这个c这个人逆那c这个人逆是多少呢？

你发现c这个人是这样那c这个人的逆他刚好就变成了。一四九，然后这是零零零。好了，这是这个问题，能想清楚吗？好了，这个点我原来想写幺五零的。这个零零分之一就不可逆了啊，那就不行。好了，这是这个人，所以说你要想清楚，就是这个人。不是幺五零不行，

零零的话翻一下，它是不可逆了，它不是个逆矩阵，那就出错题了啊。好了，就是这样的一个事情，所以像这个点呢，你把它想清楚就行。跟得上吧诶，把这个方向你想清楚。那所以说在这里面当中，你自己要注意，就是我们这个公式法哎，它这个处理初等变换分块对角阵。好了，

像这个问题啊，我们就说到这，然后接下来我们再来看看一些逆矩阵的一些重要性质，你看这块内容特别多。啊，非常多，那么先来看第一个事情。在记住这个性质的时候，你可以把这个负一当做成我们原来初等数学的负一次方来用。但是请你注意，这东西不是负一次方，你看逆了再逆就是本身相当于分之一相当于分之一就变成它。然后这里面当中啊，如果是乘法呢？乘法要调换一下。

交换了之后再来，那同学们想想，如果是三个人呢？那三个人的话就是第三人跑到第一个人，第二人不动，第一个人跑到第三个人是吧？两边调换了，在你中间不动在你。然后像这个公式，一会我们再说a逆的行列式等于行列式分之一，这能记得住吧？应该问题点不大。好了，都能记得住，请给我回复个一，

所以像这个问题啊，我们接下来把这个几组非常容易混淆的公式啊，我们一起来进行去。记忆一下，那么首先我们先来看看第一组。重点公式，那其实就是多少？就是a加减b。它的转a加减b它的逆。a加减b，它的切入，同学们告诉我这三段公式，只有谁是可以的，只有一个人。只有这个转制，

他是可以的嗯，他很优秀。然而呢，你发现这个人。哎，注意换个颜色警醒一下，这俩人都是不相等，它可不会等于a逆加减b逆。然后的话，这个人是多少a星加减b星，它可不会相等的。好这个人，然后接下来我们再来看第二步，那就是乘法由a×b的转。有a×b的逆，

有a×b的心。那这个东西都是什么呢？那就是转了再转。对吧，转了再转啊，再逆转的意思就是调换位置，调换位置了之后再来形容。好，这三个人能学清楚吧？那如果是三个人呢？两边调换位置，中间不动，各自再来转逆。伴随好，这是这个事情，

然后就是这个符号，这个符号和这个符号可交换，还记得吗？这三段公式非常重要，那所以说a芯儿的再转它就等于多少，它就会等于a转了再芯儿。什么a心的在逆就等于多少a逆了在心，你看这是去年的考题啊，然后这是。a这个什么转了再逆。转了再逆就等于a逆了再转。好了，像这个问题啊，我们就说到这，所以说在这里面当中有三对核心公式，

你把这三对核心公式啊，你一定要把它记清楚，你对照着记就非常简单了。好，这块公式啊啊，非常的多一点，所以说稍微进行去注意一下，对吧？基本问题。能说吗？清楚吧。好，这是这个问题，能记得住好记清楚给我回复一吧。都装到脑子里面，

请给我回复一。一定要记清楚好了，复习完了。我给你完完整整走了一遍，所以说这些东西就是你应该装到脑子里面的东西，就是你应该要记住的东西。学到这儿，我们初中就毕业了。啊，初中就毕业了，那么接下来我们来看一下下面一个专题部分内容题型31，你可以翻到前面去了。可以往前翻了，翻到第一章最后一个部分内容。那上次过程当中，

我就说过这个事情，我说呃，害怕很多同学忘掉这些公式啊，所以我们复习了一下，我们再来看好我们来看看。第一个问题方法一。那么，对于抽象性的行列式计算，同学们注意什么是抽象性呢？抽象型的行列式计算意思就说我这个举，就比如说举个简单例子。你这个行列式里面是谁呀？我不知道。这就叫抽象性。那这种行列式的计算往往会怎么办呢？

你首先要注意。你要注意这个行列式的双竖线，里面当中是什么？是方阵吧。方形矩阵。有的时候要计算这个行列式啊，需要对这个矩阵进行运算，所以第一个事情我们希望通过这个矩阵的运算。进行化解。对吧，我可以对里面这些矩阵进行化简，当然的话，它不不仅仅是一个a，它有一个非常繁杂的式子，都有可能性。

第二，事情呢？就是这里面当中的重点了。这可太重要了。重中之重内容。那就是会利用抽象型的行列式计算的公式，然后来进行去使用它。那这里面当中有哪些呢？我们来把这些东西啊，我们全部跟同学们整理一下。好，先看第一个人。那第一个部分就是转支。转置了之后，这个行列式的结果它是不变的。

我再来强调一遍，只要加了双竖线，它一定是方阵，听懂我的意思吗？它一定是方针啊，然后我们再来看第二事情，那么然后紧接着是乘法a×b的行列式。就等于BA×b的行列式。a的行列式乘上b的行列式。好了，这是这个问题，那么同学们，你告诉我个事情，我问你个事儿啊。a×b的行列式等不等于b×a的行列式？

脑筋急转弯儿啊，等不等于？你想清楚再说话，你不要着急啊。等不等于。想清楚再说花。啊，想清楚再说话，等不等于当然等于。你看你这个a的乘b的行列式，它就会等于a的行列式乘上b的行列式，这不是两数吗？俩数的话，你可以把这个东西调换一下。哎，

然后再把它轻轻的合起来相等。那你写吧。这个不难啊，这是这个小小的脑筋急转弯。然后再来看看第三个点。如果是k呢？你乘上这个a，假设这个是n×n的矩阵。k乘上这个东西啊，你就会发现这个数就出去，它会跟这个这个a的这个n这个人的这个什么a这个人的阶数有关。那就是变成它的N次方a的行列式。能想清楚吗？那么当然，这里面当中我们有的时候你发现你看这个人。

a的行列式a那这人呢？你看这就是个数，那这个数可以出去变成它的N次方。再乘上这个行列式，好想清楚这个点啊，再来看看第四个点，继续那就是a的逆。a的逆的行列式等于a的行列式分之一。啊，这个点呢，我们讲过，然后再来看第五个点就是a的伴随特别重要，它等于a的行列式的n- 1次方。这件事情它成立啊，它可跟这个东西的可逆性没有关系，

别管你这个东西可不可逆，你这件事情是永恒成立的。啊，永远会成立的，好了再来看第六点。那第六点还有一个拉普拉斯行列式。对吧？拉普拉斯行列式，那么在我们的讲义的这个前面啊呃，你翻到这个前面去。拉普拉斯行列式在这儿。对吧，我们上节课也讲过，这前面还有个拉普拉斯行列式。那这是分块的主对角线的上三角，

下三角和对角负对角线的上三角，下三角和对角。能理解吧，你像这些公式啊，你都得记住，所以还有个拉普拉斯行列式。那么，这里面当中还有两个东西是不相等的，你要注意注这个东西啊，你好好看看你像这个东西，如果你使用了，你就离谱了，我上节课讲过吧。我说有些同学非常离谱，用这个东西别胡来，

然后再来看a+b的行列式，可不会等于a的行列式加b的行列式。减法也一样，不会相等的。所以像这些内容，你一定要把它记清楚好了，记明白了给我回复一。都记清楚了，掌握清楚了，给我回复一。我们就说到这，你要把这些重点公式啊，你都要记到脑子里面。来吧，我们来看看下面的考题，

先看幺九七这个题。看这个题，那这个题怎么处理呢？你看这里面当中是阿尔法一。阿尔法二，阿尔法三，这是贝塔一，然后这是阿尔法三，阿尔法二，阿尔法一，贝塔一，贝塔二。诶，那很明显一个事情，你发现这个东西我要计算这个人，

这个人是不是可以拆开？对吧，你不是要计算这个人吗？那这个人走的是个什么性质啊？他走的是个行列式性质吧。那如果行列式进行去拆开，它应该是怎么办？它应该是这三列保持不动。只能按照一列进行去拆开，你能想清楚吗？他只能这样拆，所以说这个人如果进行去拆开的话，他应该拆开的话，这是背大衣。然后再加上多少，

这是贝塔二。啊，你得拆成这样。所以说你要想清楚这个问题，这个有没有括号都没没有关系啊？这有括号和没有括号没有关系，一点都不影响这个逗号，其实就说明这个东西是个整体。然后接下来我们再来看你，再把这个东西往谁上面瞄呢？唉，你往这上面瞄。这上面描它相差了个什么？它相差了这两个东西，调换了那所以说调换了之后要加负号负的多少一？

二三，贝塔一。好了，然后我们再看怎么办？你再把这个东西往这上面瞄。这上面描的话，它有可能调换的就多了，你首先你看二还是在这儿，你先把这两人调换。你调换了之后，阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，这是贝塔二，但是这两个东西继续调换，

你再调换一下，就是贝塔二，阿尔法三。同学们调换了几次，调换了两次，前面就不动了，那所以说这个结果就出来了，那第一个人是多少？第一个人是负m。第二是多少是n那所以说这个东西就是n-m，所以正确答案选择c选项这个结果。好，这个题啊，出来了吧？所以像这种问题，

你要会做，然后接下来我们再来看看下一个问题，幺九六这个题。好，再看这个点。那这个点呢，你稍微进行注意到。它首先的话，让我们去考察的是a-b。那a-b，你想想你这个a-b里面当中的这个东西是个矩阵相减吧？它既然可以相减，你就减，那你告诉我区域阵是怎么减的？区域阵的话，

你发现就是对应相减，对应相减。对应小节。好，这个问题。那相减成这个人。那相减成这个人的话之后，我们再来看。但是你要注意。你这个东西可以把它烧开。稍微整理一下，你看a这个人，因为a这个人的话，我们进行去求a的行列式。那a的行列式，

你给这个加行列式，这一行有公因子可以提出去。然后这一行有公因子可以提出去，然后是阿尔法，阿尔法二，阿尔法三，它会等于多少？18然后接下来我们再来看看b这个人，那b这个行列式就等于多少，他就是北塔。阿尔法二阿尔法三，它这能等于几等于二？能琢磨清楚啊，好这个人那么接下来我们就计算这个人，唉，

现在可以走行列式的问题了，那这两行。它不动，它不动，二倍的阿尔法二啊，这个阿尔法三阿尔法二。这两行不动，然后就是第一行进行去把它拆开，第一行拆开就是阿尔法减贝塔。好，这个人那么拆成这样子了之后，然后我们再来看你，还差一点点，你差一点什么呢？你就把这东西啊，

你给抽出去。你这一行有公因子，这行列式的性质啊。抽出去，然后这一行有公因子，你抽出去那所以说这个人就变成了第一个人是多少？那这个人不就是除以个六，那这是三。然后这是几啊，这是二，所以说这结果等于几啊，等于二答案选a。好了，能想清楚吧，把这个问题点呢，

你想清楚就行。好了，这是这个问题，能想清楚吧，就说你把这个东西按照这个东西把它拆开，按照第一行把它拆开就行。能学清楚就行，幺九六这个题。好了没？一九六。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看下一个题幺九八这个题。好，再来看这个题。

那这个题啊，也不是说特别难啊，这也是一种基础题，他说了一个事情，说这一点当中给了一个a。然后这个b啊，满足了这个方程，这叫矩阵方程，然后让我们去求解b的行列式。那首先第一件事情，有些同学比较无端。他说这个a给了我就把这个伴随求出来，疯了。不要求在这个题当中，你喜欢的是a，

你绝对不喜欢这个伴随。所以我给他怎么办？你给他的这个人的两边进行曲，又乘上一个a。对吧，两边进行又乘上一个a，两边又乘个a。那又乘个a，你想想你这个东西不就变成了行列式了吗？对吧，这是行列式，它就会等于a的行列式，乘上ee就不写了，那这个行列式等于多少呢？你看你可以按照这个东西展开。

展开了之后的话是四减一，那这个行列式会等于三。好，这个人那么，所以说下面这个人呢，他就变成了三倍的AB。因为是行列式是三抽出去了，因为数嘛，你可以想放哪儿放哪儿，然后单位矩阵就没了，然后这个东西呢是三六倍的b。然后再加上谁加上a。那这个时候你可以把它移过去，移过去了之后的话是3 AB，你再减去6b。

减去6b的话，你看你可以把b抽出来，就是减去六，然后这么多倍的b=a。然后你把三进行去提出来之后的话，这三然后是a减去多少你再减去二不能减二减二一。能想清楚吗？注意一个矩阵不能减一个数。就说你要理解，如果这个矩阵乘上这个人呢，他就没有了。但是如果a想加上三，你可不能加三，你应该加三一。你矩阵怎么能跟数相加呢？

就这样的一个问题。所以说就做成这样，那做成这样了之后的话，然后怎么处理呢？来继续看诶，你写成了这个样子了之后，然后怎么办？我就要把这个人给逆过去。是不是啊？不需要，要注意这个题在干嘛？那这个人可不可逆？当然，这个你还得检验，可逆性不要进行去求你。

这个题让我们去取的是行列式诶，你怎么办？两边同取行列式就行。所以说这个时候你就这里面当中，你不要进行去把它进行做了，你就直接进行求加，这是行列式。然后接下来我们再看你这个三是不可以出去。一个数乘上这个矩阵，这个矩阵是三阶矩阵，那所以说三的三次方，然后a×b的行列式就等于a的行列式，乘上b的行列式。等于a这个人。然后这里面当中的a的这个行列式，

它等于几等于3a减二一的行列式呢，我们来看看。那a减二一就是这条线减去个二，那就变成了零零，然后的话减去二负一，然后这个东西直接减一零零。然后这是一零零。好了，那么接下来我们来算。那么所以说就按照这个东西进行展开就行，展开了之后这个行列式呢，等于负一，所以说这个结果等于一。那等于一的话，只是二十七倍的，

然后这是一这是b的行列式等于三，所以说这个结果等于多少等于九分之一？那答案选。几选c？所以像这种题啊呃，可能比我们考的这个东西啊，你就像这种点的话，比我们考的那个东西稍微的难那么一丢丢。但是你要会做这种情况，你要不喜欢这个东西，你就干掉它。对吧，你不喜欢他，你就干掉他，你干掉他了之后的话，

然后再进行去把这个b你就可以整理到一起了，你要注意这个题在干嘛，你这个题啊，你再进行去求行列式不？不要进行就把它求出来。好了，这个问题不是说特别难啊，但是你要稍微注意一下这种问题来，再来看看下面这个题幺九九这个题。好看这个题。呃，这种题啊，是我们很容易出题的啊，非常容易出，你像这个行列式给的，

然后让我们去求这个人。诶，那这个人的话在干嘛呢？你首先先进行去用一下公式，第一个公式k乘上a等一。等于k分之一a等于。所以说第一个人变成了三分之一a等一减去二倍的a的伴随。那么，接下来我有两个方向，一个方向是把这个什么把这个逆矩阵换成伴随，一个方向是把伴随换成逆矩阵。啊，怎么样都行，你想换谁都行，那所以说这里面当中我们就怎么办？

我们可以把这个伴随换，那伴随的话等于多少？a×a的伴随等于a的行列式乘上逆，把它逆过去。还记得吗？那所以说这个东西就等于二分之一a的，你因此啊，你这个东西出来了，你三分之一a的你。你减去这多少二分之a等于零？所以说这个结果两个一减呢，两个一减的话就等于负的多少三分之二倍的a等于。然后这个负的三分之二是不是出去了？因为你都知道k乘上a的行列式等于k的N次方a的行列式。而这个人是个几阶阵呢？

三阶阵出去是三次方，然后就变成了a逆的行列式，然后又考了什么呢？a逆的行列式等于a的行列式分之一。那所以说这个人等于多少负的二十七分之八，然后这个行列式分之一，你就想行列式是它，那这个分之一是它。所以负的二十七分之十六，所以正确答案选几啊选d。呃，这种题没什么挑战性，就是你记住公式，然后用它就行，你知道这两个东西可以进行互相转换。

我就用一下万能公式，把它转一下，转成了这个东西，用一下抽象型的行列式的计算公式就行，我一步都没给你跳啊。然后这东西用的原理我都给你写到旁边，你自己可以查阅到好了，这是幺九九这个题。那么，接下来我们再来看看下一个问题，我们再来讲讲200题这个题。好，这个题呃，这个题啊，非常的重要。

啊，非常重要的题也是一道经典题。那么，这里面当中给了一个什么，给了一个a矩阵。是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三给了一个必需证，是这个人，这个人，这个人。哎，这件事情我们讲过呀，你没发现你这个人是有一二三表示的吗？你这个人是有一二三，

你这个人是有一二三。如果这个人的每一个人都是由我这个人表示，我是不是可以写成矩阵相乘的解释啊？你是否还记得我原来在这个基础班的过程当中给它起了一个非常响亮的名字？给了他一个什么非常重要的一个定位，那叫什么叫做线性代数当中？第一定是思维能力。你是否还记得？是这里面当中的第一定是思维能力，就说我一旦见到什么，我见到一个向量对吧？你的每一个就是你这里面当中的每一个向量。你都是由我表示，我立即写成矩阵相乘形式。比如说你看你这有一个向量，

你背我什么东西呢？比如说我背我a倍的阿尔法1b倍的阿尔法二。c倍的阿尔法三表示，然后你倍的二你被我x倍的我表示y倍的我表示，然后的话什么z倍的我表示。然后看到这个人呢？呃，这里面当中，你可以换成什么k倍的，我表示l倍的，我表示然后是m倍的，我表示。好了，被我进行去表示了之后的话，你发现一个事儿。

如果你这个人的每一个人都能由我表示，我就立即把你写成矩阵相乘的形式。把你摆成列，把我摆成列，立即写成矩阵相乘的形式。还记得吗？那所以说这个人的话，我们先来看第一个事情。那这个人呢？就等于第一行。对吧，第一行第一列，那就看这个人。多少是a倍的，你b倍的，

你c倍的，你然后再看这个人s倍的，你y倍的，你z倍的你。虽然这个人第一行第三列klm。所以我立即可以把它写成矩阵相乘的形式。所以像这种问题啊，难度系数不是说特别大，我只要见到什么呢？哎，我见到你这个人的每一列都是由我表示，我立即就可以写成矩阵相乘的形式了。那所以说你告诉我一件事，这个b这个人怎么去写啊？它是不是就可以写成阿尔法一，

阿尔法二，阿尔法三，然后再乘上什么？你看这个人这一点一倍，它一倍，它一倍，它第一行第二点一倍，它两倍，它四倍，它。然后再看这个人第一行第三列一贝塔三贝塔九贝塔。好，这个东西是不是做成它啊？立即出来了，然后这是a那所以说我们要进行求b的行列式就非常简单。

那其实就是a的行列式，乘上这个行列式a乘，它的行列式就是a的行列式，乘以它的行列式。好了，这是这个结果。而a的行列式等于几啊等于六，那这个行列式呢？你无论怎么算都行，那么有些同学可以一眼瞅出来诶，这个东西你看。关于一的。一二的一次方二的二次方一三对吧？三的一次方三的二次方能想到范德蒙行列式，那也非常简单。

那二减一，这是一三减一，这是二，然后这人一减，那这是一，所以说这结果等于十二。那有些同学可能看出来，范德蒙有些人说，那老师我没有看出范德，那又怎么样？对吧，那这里面当中是一二三，然后这是一一四九，我只要使用高次交元法减去上面是零倍。减去上面，

这是一减去上面，这是二减去上面，这是零。减去上面这人是几三减去第一行的话，这是几这是八我直接除那这个人我就用他进行去展开。那八减六那这不是二吗？所以无论怎么做都很简单，这个题的重心呢，不是在这儿。不是说啊，我看出他范德蒙我很优秀嗯，当然优秀，但是不至于沾沾自喜，对吧？像这个点，

所以立即出来了。选一那这是我们在这里面当中啊，出的这个问题，所以说它就考察了我们这个现行代数当中的一个定势思维能力。你只要这个人的列向量都由我来表示啊，立即写成矩阵相乘的形式。但其实吧，同学们，这个题啊，我们还有更简单的方法。但是注意啊，两种方法都得会。对吧，都得会刚才那个定式思维能力必须要会啊，我们再来看这种方法。

那这个题还能怎么做呢？你不就知道这个人行列式吗？你要求b的行列式就是阿尔法一加，阿尔法二加，阿尔法三。然后这是阿尔法一二倍的，阿尔法二+4倍的阿尔法三。然后紧接着怎么了？只是阿尔法一+3倍的阿尔法二+9倍的阿尔法三。唉，我是不是还可以走行列式的性质啊？我这样办，我把这个人的负一倍加过去，那负一倍加过去，你没了，

你变成一负一倍加过去，你变成三。然后再把这个人的负一倍加过去，你这人没了。然后这人就变成二，然后这人变成几变成八。那既然有这一列有公因子二提出去提出去一个二，然后变成四。然后接下来把这个人的负一倍加过去，他没了，然后这人变成一，然后这人的负三倍加过来诶，你没了。然后这是负一倍加过来诶，你没了，

然后这人的负一倍加过来哦，你也没了，所以说这个人呢，消着消着就变成这样。所以说这题结束了，因此你是二诶，这人不是a的行列式吗？二×62本题答案选。一。所以说像这个点呢，你无论怎么做，就是你在这种当中是利用了这个矩阵的特性，你还是走行列式的性质，那都行。因为每当你看到这个东西，

你就要知道它是一列，每当你看到这个东西，你要知道它是一列，每当你见到这个人，你要知道它是一列。那这个事情就打通了。就非常容易了。所以你要注意这种问题点。能学会吧，好基本的问题操作，你像这个点，如果你去看答案就没啥用了。你如果下去看笔记的话，就这样的一行笔记，估计同学看不懂啊，

注意啊，这个步骤非常的关键好了，200题这个题。那么，接下来我们就继续，我们再来看一个题，我们再来看看二零一这个题，这是今天比较难的题哦。这题难度系数非常大。没有经验呐，估计就挂那了。啊，这种题没有经验，绝对挂那不信你试一下。他给了个a。

给了个b，给这个a逆加b，让我们去求a+b逆，有些同学疯了。说这还不简单吗？这不就等于a的行列式，加上b逆的行列式吗？这不就等于a的行列式等于b的行列式分之一吗？a的行列式三，然后这是多少二分之一？我出来了等于多少二分之七？哎，没答案，这题我出的不好，我明年就得诱敌深入，

我在这里面当中应该出一个答案，哎，不好意思。那这样做啊，你就疯掉了对吧？没有诱挺深入。那你不想想一个事情。如果你这样租。那我就有一个问题点。你要这个东西干嘛呀？他说啊，那那这个东西要不要都行，不信你试一下，如果你觉得刚才的对应，那这个人又等于这个人，

再加上b的行列式。这个人等于a的行列式分之一，再加上b的行列式，然后a的行列式等于多少三分之一，然后这等于减二，然后一加是多少？三分之几诶？这是三分之几？三分之七诶？你这三分之七不是二啊？那么，你这三分之一不是二，难道你要说哎呀题出错了？果然出错了，你看条件给多了吧，

而且条件还给错了吧，你别胡来。你纯属胡来啊，这是这个点。没有这个人。所以说你发现你这个想法是非常大的bug。a+b的行列式不会等于a的行列式加b的行列式，你这就做错了。那这人怎么办呢？那这还有没有办法呀？你怎么处理呢？啊，怎么做呢？哎，这个题不好做。

那稍微进行去观察一下，你看你这是a+b。这是我要求的。然后这一点当中的话，你发现题目给的是a逆加b。你就会发现一个事儿，这个东西它在操作过程当中会出现一件什么事儿呢？出现这样一件事情。腻的不腻的不腻的，变腻了。腻的东西都不腻了，不腻的东西都变腻了，这个东西叫切换。我一直讲这个事情，我们在做题的时候不光要会做。

而且你还知道什么场景的时候取什么方法？那所以说这里面当中你就会发现。哎，这个东西就变成这样。那变成这样了，之后的话，你就会发现我们进行怎么办？我可以切换一下。对吧，这里面当中我可以切换。就说你逆的不逆的，不逆的变逆的切换，那怎么切换呢？这个方法叫一对单位症状。记住这个方法，

这个方法非常有用，叫做一对单位阵法。那这一对单位证呢？加的时候不要随便加它讲究，一前一后或者是一后一前。就是有一个人在前，有个人在后，我来给你讲讲这个事情，你看这不是a+b逆吗？好，这是a+b。那这个a+b逆啊，我们就来一对单位帧。这一对单位阵怎么加呢？比如说你这个人加前，

你这个人就要加后。所以我们讲究一前一后。或者叫一后一前这个前面加后面，后面加前面也行，无所谓，然后接下来怎么办呢？你要把这个单位证呢？你给我打开。注意怎么打呢？它是有操作性的，你看这个人。我觉得他一会要被提出去。所以说前面这个人呐，我也要配一个b呢，那我这来一个b就完美了。

然后再来看看后面这个e，我知道这个a要被提出去，一会我们这个a要提出去，那这就来一个a逆。所以这样一做本题就完美了，立即出来了。那这个b逆在前面提出去a在后面提出去，这就是b+a逆的方式。好了，这个点这就叫一对单位阵法做切换啊，一对单位阵法做切换。所谓逆的不逆了，不逆的变逆了，我都使用这种方法叫做一对单位征法。所以说这个题啊，

在当年的得分率是非常非常低的啊，这个题得分率不高，所以像这个点呢做成这样。那做成这样了，之后的话，它就变成了a+b逆的行列式。然后这个时候就是三个人的乘法，那三个人乘法的行列式就等于你的行列式。再乘上我的行列式。再乘上你的行列式，然后这个人等于行列式分之一，然后这个东西什么这东西就加法具有交换律，这没有关系。然后这东西啊，变成它。

那么所以说这个人呢？他就做成这样，那所以说b这个人的话二分之一，然后这人是二，然后这人是三一乘，这个结果是三。正确答案选b。这个方法叫一对单位阵法做切换。一对单位阵法做切换好，这个事情我提前先讲了，我们后面其实还有个题。你可以把你的讲义啊，往后面翻，翻到我们后面的212题这个题。翻到后面呃，

这种题啊，不光要会做这一组题，你都要会做对吧？像这种类型的话，你都要会处理。我们再来看看212年。那么像这种点呢，我们再来看。你看这个题给的a给的b给的a+b给的a逆加b逆，你想想这是a逆加b逆。反而你看这个选项当中，大多数都是a+b。你会怎么想？啊，怎么去想法？

那这个时候的话，你发现看你这不是腻吗？而你选项当中都不逆了，这不就要切换吗？你只要进行，你看逆的都不逆了，这就叫切换，那切换怎么办？我们就使用一对单位阵法。但是这一对单位阵法讲究，以前以后或者以后以前也行。那么所以说这个人的话，我们就要进行去把它拆开。好，我们来拆。

那这个时候拆的话，你看你这个人要被提出去，前面有个b逆，这来个b，你要被提出去，这后面一个a逆，这有个a逆。所以说这个时候你就可以把这个b逆啊提出来了，把这个a逆啊提出来了，中间刚好是b+a。然后这个时候我们就可以出来了，你加上这个人的逆矩阵。三个人惩罚逆矩阵，第三个人跑到第一个逆逆了，再逆是本身中间这个人不变位置。

再来捏你这个人，跑到第三个位置再来捏，捏了再捏是本身。所以说这个题的结果就是aba+b，那他说那这a+BB加加法具有交换律嘛，所以选c。好了，这是一个事情。所谓这种东西的一对单位阵法，对吧？就是你腻了之后不腻了，你不腻的这个东西反而变腻了，我就使用一对单位阵法做切换。我一切啊，这东西就出来了。

一对单位阵法做切换。能想清楚吧，把这个事啊，你琢磨清楚。只要这种问题是一对单位阵法，我们就能把它切过去。好了，这是212题，这个题能想清楚吧，要琢磨清楚啊，这个点呢，操作性还是比较强的啊，水平点还是很高。行吧，那么这个事儿我们就说到这。

你要会做什么时候用呢啊？就是切换的时候，如果这个东西想切换呢，我们喜欢用。好了，我们稍微休息会吧，然后在课间休息过程当中，你来进行去看一下这两个题。啊，先看一下二零二这个题，你看看怎么去用行吧，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续啊。

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