16.冲刺满分强化篇·题型28-31精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:11:44

那么我们就准备开始吧，那么今天我们就继续开始，我们三九六的强化班课程，那么首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，提供回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。呃，那么今天啊，我们应该是比较重要的一个板块内容，那么今天这个点呢，应该是讲两个问题，一个事情是我们的反常积分。

还有一个事情，我们会具体去讲这个定积分应用部分问题，所以今天呢，你好好听一下对吧，这个点内容点呢，还是非常重要的。那么，首先我们在这个正式上课之前呢？我们还是来回顾一下上次过程当中的核心知识点。但是回到这个今天呢，其实我们这个强化班已经上了很长时间了。但是你发现很多同学的这个切入点呢，还是没有做的很好，你要注意啊，数学这个知识点的一个学习啊。

他都是你先进去去学会。对吧，你先学会这个内容，你要记住这个内容。然后再去用这个内容。对吧，你再去用就行了，所以我们有些部分的知识点的东西啊，你一定要装到脑子里面，尤其是我们上节课过程当中讲的这个第一个问题，其实就是定积分的计算。那定积分计算当中啊，其实有很多定积分计算当中的一些公式，你比如说常规的方法，我们就不讲了，

比如说这种技巧性方法，有些求这个圆的这个面积的问题，对吧？设计的定积分。还有这种奇偶性的问题，这种周期性的问题，还有这种当中我们尤其讲的一些什么区间在线的换元法，还有几个重点的这个经验性的结论，比如说什么点火公式啦。对吧，比如说零到二分之派上sine和cosine具有轮换对称性啦，还有零到派上s再乘上sine的函数s不要了，补上二分之派啦。你像这些东西啊，有些该记的东西啊，

一定要把它记清楚，我们三九六同学考的这个部分内容，它不会说特别特别的难。那所以说基本上都是一些基本问题，那所以我们在这个强化过程当中，有些这种处理这种选择题的方法，你要学会。然后第二事情梳理这种考点了之后啊，这些考点必须要装到脑子里面，然后再进去去用这些考点就行，所以稍微的放轻松一点。那这个强化课程呢？呃，基本上我希望大家达到一个什么能力呢？应该是降维打击。

你一定要有这种感觉，你不然的话，这个强化我们其实而言的话，这个提升度就不高了，所以原来我们讲这个基础部分内容。足以进行去处理，所有的这个类型的问题点，我们就希望这个强化课程呢，你的水平点能更高一点，对吧？做这种选择题，然后切换的这个思路更快一点。对知识点的熟悉程度更高一点，你所以要注意啊，有些该记的东西一定要把它记到脑子里面，

对吧？见到这个东西你就要反应出来。不要多想啊，害怕就是多想，你学多了之后的话，有些同学可能思维方式太过发散，也不是件特别好的事情。因为我们基本上而言，考的这个点呢，你必须要有超强的定势思维，而且这个应该是见到这个东西，立即能想到，而且处理清楚。好了，这个问题啊，

我们就不讲了，然后第二个事情我们上节课又讲了一个变现函数。那么，第一个类型问题呃，我们讲了一个变现函数，就是分段函数。的变现。积分计算。那么，这个类型问题你肯定是要会的，因为就算高等数学不会，我们学习概率论当中也得会已知概率密度函数去求这个人的分布函数，你肯定是要会做的。对吧，所以说这个点怎么去做呢？

拉条横线，把这改成t从这个起点开始走，走出不同的路线，那就可以了。那所以学到现在而言，这个分段函数的所有情况，我们基本上就讲完了。那分段函数求导分段点y直接求分段点商用定义。那分段函数的定积分计算，如果是不同段，那我们就从这一段记到这一段就行。那如果是变线函数计算，那你这个拉条线，然后从一个点开始走，所以你发现全都是套路。

那就这样吧，你两个周一个周学一种，你也把它学会了呀。那所以对于我们三九六同学到了最后啊，我会把这个考点做呃，最后一节课吧，我会给你做一个大的梳理，你把这东西梳理清楚了之后以后见到这个东西，你就怎么反应见到这个东西怎么反应？你梳理清楚就行，你就这些核心考点，不是说特别多，你相对于这个数学三呢呃，东西少的多的多的多了。好了，

这个第一个问题来继续再看，第二个事情。然后就是变现函数。求导问题，这是核心吧，只要见到变形函数，立即向求导，然后第二事情设计什么变性函数？的定积分计算问题。啊定细分。计算问题，那么这个点呢？呃，应该是我们在今年过程当中的预测点，对吧？

这个东西绝对是预测点，你对于如果倍积函数是一个定积分啊，变现函数的定积分怎么去做呢？那这人的话是用分步积分法对吧啊？这个问题点，然后接下来我们又讲了一个事情。第四个点，还有我们的变现函数。它的连续性问题还有可导性的问题。呃，这种点呢，只要他敢考，那么我们立即就可以把他秒掉，里面是连续的，外面是可导的，

里面是具有第一类间断点，外面是连续点。左极限，左导数，右极限，右导数，那这个方向性就非常简单了，好了，这个问题啊，我们就讲到这儿。可以了吧，同学们，所以说你今天可以把这个什么把这个变现函数的所有东西都学会了，那第一个事情变现函数的奇偶性。还记得吗？

从零开始的，里面是鸡，外面是藕，里面是藕，外面是鸡，里面是周期函数，一个周期内的积分为零它。它也是个周期函数，如果从a开始呢，就相当于从零开始的平移，那么学到今天，再加上连续性和可导性，所有的问题啊，我们都学清楚了。好了，

这是讲的第一个事情，那这其实我们在上次过程当中啊，讲的所有内容，那么今天啊，我们就继续开始，我们再来看看。强化课程当中啊，第21个题型，我们来看看这个问题。那么，首先我们先来看看反常积分这节，那这节问题啊，你要学的稍微的轻松一点，它仍然在大纲范围内。没有出过题，

不代表他不会出。所以说在这个学习过程当中啊，你稍微掌握住这个东西的计算方法就行，至于反常积分利用比较神点法进行去判点，你就不用看了。那个东西就非常麻烦了，所以说我们在这个考点当中，你最重要问题会计算就行，对吧？所所以说学的东西啊，稍微的轻松一点。它不会在你这里面当中增加过多的内容，稍微简单一点的问题啊，会处理那么首先我们先来看看第一个问题点。来先看第一个事情，

反常积分的分类。那我们都知道反常积分呢，会分成两种。什么叫反常气氛呢？就是从定积分的角度上而言，它很反常。那么，首先第一种反常积分就叫无穷区间的反常积分。那比如说我们这里面当中，我们来看看。你发现这是一个y，然后这是零，然后这东西是s轴，那么以前过程当中，我们就是从a点，

然后记到b点。那a点记到b点，但是现在呢？我们从a咔的一下记到无穷大去，你看看这个部分反不反常？当然反常。那这就是一种反常积分，所以说这种反常积分的话，你看怎么写呢？就是a到正无穷，然后这是fs ds。你要注意啊，一个反常积分，它有可能结果是个数，它也有可能结果是发散的，

不存在的。那所以说反常积分有可能是收敛，也有可能是发散，但是定积分呢？定积分是个数，永远是收敛的。啊，理解清楚这个问题，这是第一种，然后接下来我们再看第二种啊，当然的话，它还有一些姊妹篇，你想ag到正无穷。对吧，上限当中有正无穷可以，

然后也可以使负无穷积到b，对吧？这种情况它也可以，它也可以使负无穷积到正无穷。那这种情况呢？它也可以。所以像第一种反常积分呢，是非常好辨认的，那辨认的角度上非常简单的点呢，只要上下限当中有无穷大，它就是个反常积分。然后再来看看狭积分。那侠七分这个人呢？他是这种情况，那最重要的问题啊，

他就要拥有侠点好，我们来看看这个问题。那么，如果这里面当中这是y，然后这是零，然后这是s，你看这是个a点。然后什么叫狭点呢？狭点其实是被积分函数的无穷间断点，你看无限的逼近它。对吧，最重要的问题啊，就是有狭点就说，如果这个点是这个被积分函数的无穷间断点，它就是个狭点。

那因此你去写的时候，你看这个人长的样子，他长的样子跟定积分是一样，但是他其实是个奸细。你想是不是它其实是个间隙，它长得跟定积分是一样，但是这个东西是个反常积分，但是判定它是个反常积分。最重要的问题，要是判断这个人的狭点。你狭点要会判断。那狭点是什么呢？狭点是被积分函数的无穷间断点，就是它在这个点处的极限结果，你比如说这个点。

那么，现在这个东西啊，其实趋向于b赋，它的极限结果是无穷大。对吧，所以说有要求两个问题，不是无地点。是第一件事情，它没有定义，第二件事情，这个点出的极限，结果是无穷大，两个要求都要满足无穷间断点。没有定义极限是无穷大，对吧？

比如说我们来判断一个人，你比如说这个人的话，我们写一个是负一到一。然后这个s分d。你看这个人，这是个反常积分，还是个定积分呢？这是一个反常积分，因为在零处，它没有定义零分之一是无穷大零是一个狭点，它是个反常积分。你比如说再来看看这个是零到一，然后s- 1 ds。那这也是个反常积分，一是个没有定义的点，

然后这是零零分之一，是无穷大，所以说这个人呢，他就是个反常积分。所以要了解清楚狭点，对吧？一定要理解清楚，有狭点了之后，它才是个狭积分，它才会是个反常积分。狭点是被积分函数的，无定点，没有第一极限，结果是无穷大，两个条件都要满足好了，

这样的话，我们就把这个反常积分的分类学清楚了。第一种只要上下限当中。有无穷大，它就是个什么反常积分，第二种情况，它必须要拥有狭点，第一个事情，它没有定义，第二件事情，极限结果是无穷大。把这两个东西学会了就可以了，那么接下来我们来梳理一下那对于反常积分计算呢？怎么处理？我们在考研过程当中，

你只要会做反常积分的计算就行，至于比较审点法，你就不要会了，那么首先我们先来看看第一个问题，反常积分的计算思路。往往怎么做呢？往往是这样做的，就说如果这里面当中拿到一个题啊，我们是这样办。就说你这是一个y你这是零，然后这是s。那这里面当中，如果它中间有一个狭点呢？对吧，比如说这是个c点。

你想从这个什么？你从这个a点，然后你要积到b点。对吧，这个情况。你先看什么情况，你先看嗯。好好听课对吧？这个里面当中你要注意，我们先看中间有没有狭点？如果这个中间有狭点，那中间有狭点，我就把这个人分开了，那就a到b这个人，我就立即把他分成什么。

我就把它分成a到c。然后是多少，然后再来是c到b。对吧，如果中间有，我就把它分开。但是这种情况你要理解清楚，一段分成两段。无论是第一段还是第二段，都是我一个发散就发散。要记住，一段拆两段，按照可加性拆两段，我原来是从A区到b，比如说我要从北京，

我到广州。对吧，我中间经过武汉，我先骑这一段，然后再从武汉骑这个到广州这一段，那这个时候你会发现一个事情，只要有一段是发散。它就发散能理解吧，一段发散就发散，记清楚啊，只要有一个发散就发散。就这种类型问题，就说如果中间有狭点，一定要把这个狭点给暴露出来。对吧，

暴露出来，暴露到这里面。然后接下来如果这里面当中没有呢，没有就非常简单，没有这个人的话，我们就算出这个人什么，我就按照定积分算。定积分呢，我算出原函数，我再把a和b带进去就行。你只不过代入反常点呐，你相当于求极限罢了，能听懂啊就直接算，原来定期分怎么算我就怎么算，所以非常简单啊，

你记清楚。中间有狭点，我就分成两半。中间没有狭点定积分，怎么算我就怎么算，原来怎么学我就怎么学，能理解吧，要切记一个问题啊。如果是一段拆两段，一个发散就发散。好了，这个点听清楚了给我回复一，那么接下来我们再来看看第二个问题。但是这里面当中啊，有一个特殊点，

就是四则运算。那么，四则运算呢？这里面当中我要讲清楚，比如说为了保证它就是一个反常积分，我就这样写。对吧，为了看清楚他就是个反常积分，我这样写那这样写的话，你发现他一定能拆成两个人吗？这种拆开跟刚才的拆开不一样吧？现在是把被积分函数拆开，这叫四则运算，刚才那种拆开是叫可加性，把积分线拆成了两段。

这个很简单啊，这八竿子打不着的两件事儿。那么，同学们想，这东西一定能拆开吗？大家想想一定能拆吗？不一定不一定能拆开，因为你发现反常积分算完了之后还要求极限，所以说反常积分里面就有极限。你想想一个事情，如果这是个极限，这是个极限，这是个极限，极限能随便拆开吗？那不一定，

一定得保证都存在才能拆。能听懂吧，就说俩人都收敛才能拆。那么，原来我们这个在基础班讲过，如果这东西不能拆怎么办？哎，非常简单，如果不能拆，你记住了。好，所以说一定要理解啊，都收敛了才能产业注意。四则运算。运算不能。

拆开时。就按照整体来做。来算就行。那么这个事情呢，你就会发现非常非常简单，就说如果这个东西你不能拆开，我就按照整体来做。什么叫做按照整体来做呢？那非常简单，就这个事情。你在这里面当中，你不是a到正无穷吗？就不要把它拆开算，你这是fs你再加上gs。我来算什么？

我来算这两个人共同的圆函数。对吧，我来找这两个人共同的原函数。把这个fs和这个js相加，这个共同的原函数找到，假设他这个共同的原函数就是这个人。把这个共同的原函数找到了之后，然后再怎么办？再统一代值求极限。呃，非常简单，就说你如果不能拆，我就按照整体做，你能拆就拆了，你拆不了，

我就求一下这个整体的这个人员函数，你再统一代值求极限。好了，那么接下来我们来看个题吧，你先看看第一个题。幺五二这个题。那这个题啊，不是说特别难，我们先来看啊，你发现这个人的无定义点是几啊，他的无定义点是负一。没有定义的点是负一，但是从零到正无穷，处处有定义。那就不会存在无穷间断点，

没有狭点，没有狭点怎么办？没有狭点就直接算。那没有狭点，直接算这个人怎么算呢？你看这是零到正无穷。你这里面当中lo ying这个人，和别人相碰lo ying是非常稳定的，我肯定要把别人凑到后面去。那别人凑到后面去的话，你发现那这是多少？这是x+1的这个平方分之一，那这是ds，你就给它补个一。你补个一了之后的话，

这个人一凑呢平方分之一凑是分之一配符号。那所以说这个人的话，我就把他凑到后面去l多少一加s，然后d多少s加一分之一，所以说这个时候就变成了两个人了。那就是两项相乘。对吧，然后把零和正无穷带进去，再减去就变成加上两项调换位置s+1跑前。lowing这个人跑后，又求导又求导，又是他诶，变成了这个人能跟上吗？好了，我们看看第一个部分。

那第一个部分呢？零带进去是多少？零带进去是一就是零，不管了，那最终问题是要求极限，那这个求极限很简单。你趋向正无穷的时候，这是s+1，这是ln多少一+s？是不是这个事情？那你想想一个问题。趋向于无穷大，这是无穷比无穷吧。你要是实在看不准，你可以换个圆，

其实能看的非常准，因为这人是无穷比无穷就可以抓大头录音，里面具有远远大的关系，可以抓。对吧，录音里面具有远远大关系就能抓，但是录音里面当中啊，你要是比如出现指数，函数等等，你就不要随便抓了。好了，这个人那这结果是几？这是一。对吧，无穷比无穷，

可以抓到头。louie里面当中具有远远大关系，就可以创。所以说这个结果它就等于零。那因此这个人的话啊，不要画图，一画图就low了。你要是进行去画图的话，你发现嗯。是不是有点儿？把它做太麻烦了。你这眼睛一瞅就出来了，学了一年的过程当中，你学了这个做这种题啊，你做了最起码二三十道肯定有了，

你做了最后你就画图，那这这这个太麻烦了。对吧，眼睛一瞅就出来了，洛必达也行，一落也出来了，对吧，宁可洛必达也不要进行去画图。好了，这是这个点落一下也出来了，你这里面呢？你要是如果这个东西洛必达，你学的不好，你就落下一落，这个人也出来了。

好了，这个点呢，我们就讲到这，所以说第一项全部是零，那第二项积分呢，其实就是s加一分之一把零和正无穷单取。好，我们先看第一个。那么这个时候你发现看无穷大分之一，这是减这是零零，但却是减一，那这个结果是一。好了，这个题啊，我们正确答案就出来了啊，

对是画这个图行行行好了，这个点啊，可以了吧？那这题的正确答案选几啊选c？好，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下一题。幺五三这个题，那这两题就非常像了，来你继续看。是这个东西啊。嗯，你从零积到正无穷跟负一有什么关系啊？啊，你从这儿积到这儿，

你这个这个人在这儿，你这有啥关系啊，我们要看这个部分嘛。啊别别别瞎来。好了，这是这个问题，那么接下来我们就继续，我们再来看那这个人呢？你发现没有定义的点是负一。没有定义的点是负一从一记到正无穷，这个更没有关系了，这题跟刚才很像，那我还是怎么办？那这里面当中是一到正无穷。我们先怎么了？

把这凑到后面去直接算啊，它一样那凑到后面去了之后，然后分布积分法s加一分之lns。把一和正无穷带进去，然后再加上一到正无穷。然后这个东西啊，两人调换位置s+1，这个人跑前。跑前了之后lin跑后就求导，求导了之后就是它分之1 ds。好，做成这样，那么做成这样了之后，然后接下来继续看啊，这两题不一样啊。

看起来差不多，其实你发现还是有点不一样，咱们先看第一个人，你把这个一带进去的话，它肯定是零，然后是正无穷。那正无穷的话，又要进行求极限当s趋向正无穷的时候，你发现这是s加一分之lns无穷比无穷落下。s分之一等于零。好了，这是这个情况，所以说这个题的最重要问题啊，其实就在算这个人。那这个分怎么做呢？

我们肯定列相，我一列变成这个人。好一列变成它。但是这里面当中啊，有一个问题点。你裂开了之后啊，你能不能把这东西分开来做？绝对不行，千万不能分开来做，因为你发现你看你这个人积分是ling ling 1是零，但是ling无穷大是无穷大，不存在。不能拆，你注意，如果这种加减法不能拆，

没关系，把第一个人的原函数算出来，是它把第二个人的原函数算出来，是它。做出这两个人共同的原函数。对吧，求出这个整体的原函数，再统一代值求极限，那么这里面当中我不光不拆，我还把你合起来呢，你看我一合就变成了这样。对吧，我还合起来，然后接下来求正无穷，方向极限正无穷，

方向极限，这是l。对吧，你发现求这个极限呢，那这是limits趋向正无穷，你s比上s+1这个人是一吧？那这是一ln一就是零了零，再减去多少ln二分之一？然后二的这个分之一就是二的负一次方负负得真，那这是录音儿。所以说这题的正确结果选几啊选d。能看懂吗？就说如果加减法不能拆，我就按照整体求极限，你注意啊，

这一节你不用进行去，特别大量的花功夫。你能把我上课讲的这些东西吃透就是基础讲的和强化讲的吃透就行了。因为这个东西啊，是个冷门性考点。你基本上如果他考，他不会考，特别特别难的啊，基本上就是基本计算了好了，我们再来看看下一个问题来。幺五四这个题。好，再看这个点。那这个题怎么做呢？那这个题的方法还比较多一点，

那么首先我们先来看看第一个方法。那这是五到正无穷，你可以把下面这东西啊，哎，你因式分解一下减一，然后减三分之一ds。好了，这个人那么对于这个东西啊，你就写成这样，你看无定义点是一和三五七到正无穷，没有无定义点。没有无定点就直接做，那就按照定积分做，那定积分怎么做呢？你发现我们就裂开。

下面小的反而大，下面大的反而小，好了，列成这样。但是列成这样了之后的话，你发现你看你这是s- 1，你这是s- 3 s- 1，减s- 3，还留个二，然后这东西配多少？二分之一。能理解吧，配这个人那配这个人的话，然后接下来你看看能不能拆你这个积分是lns- 3？五代进去是个数，

但是正无穷代进去是正无穷，所以说这个东西啊，哎，没办法拆，没办法拆去的话，就算一下第一个人的原函数。第一个人的积分是多少呢？你就算这个整体，那第一个人的话，积分刚好是lns- 3有五到正无穷嘛。第二是lns- 1。好了，这是悟道正无穷。那么，这里面当中啊，

我不光不把它拆，我还要把它合起来，就是s- 3s减一五到正无穷一算就行了。好，我们先看第一个人。那么正无穷方向的极限是多少？一抓这个人是一l一是几零，然后再把五带进去的话，这是四那上面是二那就是二分之一。那二分之一的话，你发现其实二的负一次方移出去就是二分之一倍的ln二。好了，这个结果就出来了，正确答案选c。好了，

这是我们讲的这个第一个问题，你注意啊，我觉得这一点啊，还是挺有用的，因为就算这个点不考，我们也在复习定期分的计算。你把这个方向先掌握清楚，就是你一定要我一直跟你讲一个事情，我们方向的目标是不一样的。大纲学的这个东西啊，因为考的不是说特别多，做到面面俱到，一定要把这种点学清楚了，你不要再进行去，像这个原来二零二二年考的那个弧长的这个问题了。

来那么接下来我们就继续，我们再来看还有方法没哎，当然有。大家想想，如果下面是几次？下面是二次，上面是常数，我可以通过配方法来做吧。所以说这个时候我就可以配个方，那就是is- 2^2。那减二的平方后面需要四给它个一对吧？加个一再减个1 ds。那么这个题就做成这样，那一旦做成这样了之后，我在后面再怎么办？

减个二那这题考的这个积分表里面的哪个分呢？就是这个人s方减去a方分之一ds，它就等于二a分之一ln多少s减a？s怎么办？加a+c。那么这个时候我们就做成什么了，来继续看，那这就是平方，那是二a分之一，ln多少s减二减它就是减三。s- 2加它，那这是什么？减个一，然后再把五和正无穷带进去。那这个代进去的结果跟刚才的结果是一模一样的。

对吧，我就不算了，因为跟这个点是一样的啊，一模一样。那这个绝对值可以不要五到正无穷，这肯定是正的呀。问题点一点都不大。好了，注意啊，我觉得这个点呢，就这一节的问题，你就学清楚这个事儿就行，第一个事情狭点，不光是无定义点。而且在这个点处的极限必须是无穷大，

也会判第二事情怎么去算呢？你就先看中间有没有加点。没有就直接算有，就把它分开，就这么简单好了，这是这个问题，然后这里面当中我多说一个知识点。大家好好听一下，因为这个内容我先讲讲，它只有在高等数学当中有用。对吧，只在高等数学当中有，因为我很害怕考这种题，因为又简单又骗人。那么，

接下来我们来看看这个点。反常积分的这个奇偶性。你要注意，不是定积分的奇偶性。是反常积分的奇偶性，我来讲讲这个点。这个点呢，只在高等数学当中有。如果在学概率论当中，那么仍然还是反常积分，奇函数等于零偶函数二倍。那么，接下来我们来看看这个事情，为了让大家能看得非常清楚，它是反常积分，

我就这样写。好，我们来看看这个。那么这个东西啊，你发现。就说你反常积分的话，你发现是负无穷到正无穷，如果这东西为偶函数。如果这东西为奇函数。好，请同学们告诉我，如果是偶函数，你还会等于二倍吗？对吧，如果奇函数，

它还会等于零吗？这件事情我们来重点讲讲。打一个问号。一定吗？你琢磨一下这个事。我给你看一幅图，你稍微想想。但是你要迈过大脑当中那一关。你琢磨一下这个事情，比如说。那这里面当中，它是负无穷到正无穷，比如说这是奇函数。可以吧啊，这奇函数。

一个反常积分有可能是收敛，也有可能发散。那你想想这半边肯定是正的，积分肯定是正的。你这半边呢，积分肯定是负的。要注意上方积分是面积，下方积分是面积相反数。但是琢磨一个问题啊。现在是奇函数，它肯定是对称的。如果上面这个人的面积对吧？他这个积分等于四，说明这个面积是四。那下方的积分就是负四。

告诉我两个一体加是几零，没有任何问题。如果这个面积是五。上面积分是五，下面积分是负五，两个一加等于几零没有问题，因为五减五肯定是零。如果上面做出来是一个亿，下面算出来肯定是负一个亿，两位加等于几一个亿减一个亿肯定是零，但是问题来了。万一有一天如果算出来，这是正无穷，那这是负无穷，两个一加还是零吗？

啊，你想想你总总琢磨一下这个事儿啊，你如果到了这个今天的话，你还是这种想法，那我就觉得就有点儿完蛋了。你是四，我是负四，我一家是零，你是五，我是负五，我是零，你是100，我是负100，那肯定是零，但是你发现如果这东西是什么，

这是无穷大呢？那就说不清楚了。所以说这件事儿你要想清楚。那么，我们来看看这个事注入到这。对吧，必须保真。前提你如果学到今天呢，你还学到是无穷大，我知道有些同学卖不过这一关。说老师这不对吧？你上面多少？下面就是多少啊？你上面多大？下面就多大？

你发现他迈不过这一关，你好好琢磨琢磨，你说学到今天还是这种水平，你发现极限全白学了。注意这东西的前提，你得保证。保证什么东西呢？一半区间是收敛的。就说什么事情呢？就说零到正无穷这一半区间这个积分的结果一定是个数。收敛嘛，积分结果是个数，你必须是收敛的，如果你这一半区间是收敛的，哎，

那非常好办，那我奇函数仍然是零偶函数仍然是二倍的。但是要注意，那如果说什么呢？如果这里面当中说一半区间是发散的呢？哎，我很想问一下，这个事儿会怎么样？如果一半区间发散，你发现负无穷到正无穷，是不是可以写成负无穷到零，加上零到正无穷？这是不是叫做可加性呐？刚才可加性，我讲过这个事情，

只要有一段发散，它就发散。这是一种规定。是一定是发散的。你要注意这个东西不是四则运算的拆开，我知道有些同学可能迈不过这一关，你好好想想。啊，这东西是个规定，就是一段拆成了两段，只要有一段是发散，它一定是发散，这是种规定。就是我刚才跟你讲，我要从北京，

我要做这个走这个京广线，我先到这个武汉，对吧？中间点，然后从武汉这块儿，然后再到什么？再到广州。那这个时候你发现那这条路线当中，只要有一段是发散的，它就是发散的。所以一定要想清楚啊，好了，这是这个问题，能琢磨清楚吧，因为这个点呢，

很反很多同学的常识。反常积分的奇偶性，你务必要保证什么？你一半儿区间，它一定是收敛的，你如果一半儿区间是发散就发散，但是我说一下。这个知识点你就在高等数学当中用。你要是真的是跑到这个什么跑到这个概率论当中，你就直接用概率论当中啊，就是啊，如果是负无穷到这种奇函数零偶函数二倍，你就直接用就行。比如说我来出两个题。我就害怕出这种题。

比如说这个人。等于几啊，简单吧，构建结吧，这太简单了呀。等于几有些同学就来了，说这这还不简单吗？这对称区间奇函数等于零啊，好结束你也结束了。那真叫结束了，大家一定注意，这不是一个定积分，这是一个反常积分的呀，你看零这个点是没有定义的点。而且在零这个点处的方向的极限是无穷大呀。

这个东西是个狭点。这是一个反常积分。一个反常积分，想要想要进行去用什么用？这个奇偶性，你必须要进行去判，你要判断什么？你要判断一半儿区间收不收敛？好，我们来看这一本。这个时候狭点在端点处。狭点不在中间，狭点在端点处，直接算这个一算就是lns把零和一带去，ln 1是零。

ln 0这个结果是无穷大，反正这个结果是无穷大，这是发散的。那这一半发散呢？哦，一半发散就是发散，你注意啊，这是极坑的题。相当的坑。就是这个反常情，你看简单吧。简简单单的题啊，我就给你这个人怎么了？有人就选成零了，那么比如说abcde这个五个选项里面设置一个零，

你比如说我们再来看一个点。还有这什么负无穷到正无穷，然后这是一+s^2分之sds，你再看这个。也就又来了，哎说诶，这不是反常积分吗？啊，这个这什么这不对称区间嘛，对称区间这是奇函数，你看对称区间先向奇函数负s塞进去，然后这个东西是奇函数，奇函数等于零啊。那也废了，你要注意，

这是个反常积分，你要保证一半区间收敛，你要算一下一半区间，那这个积分的话，你看。中间没有狭点，直接算ln多少，一+x^2。你先把这个什么x塞进去，然后零和正无穷ln 0带进去，ln 1是0 ln正无穷正无穷，你发现看。发散的一半发散，它就发散的。你看这个点。

那所以骗子题就害怕的话，你写成零，你一写成零，这个题就废了。但是啊，我想说一个事情，不要因为今天的学习。影响了你原来学习的体系，我们在学习过程当中应该是越变越好。有些同学因为这个知识点，你像上节课的定积分的七五新都不敢用了。你要注意一个问题，你要分清楚，分清楚什么情况呢？这个东西是个反常气氛。

能听懂吧，这是反常积分，然后那个东西是什么？那个东西是定积分？至于有什么联系呢？那反常气氛反常气氛的方法定气氛定气氛的方法。那很多人说那什么叫反常气氛？那不就赚回来了吗？对吧，你就就这种情况是反常积分，一种情况上下限当中有无穷大，一种情况就是有狭点，有没有定义的点极限是无穷大，那不就是这个事情吗？没有转到这儿，

如果你看到一个题，它被积分函数当中也没有无定点极限，也没有是无穷大的，那没有狭点，一看上下限没有无穷大，那管它干嘛，那不就定积分的题吗？他不需要你花费多长时间，只需要你眼神轻轻漂，他一眼一看，哎，拿不起哦，没有误定点。哦，没有无穷大定几分？

就是眼神稍微丑的眼，不会浪费你几秒钟的时间，它不会耽误你的全局的。它只能让保证你这个知识体系啊，变得非常的好。要我们拿到这个题诶，我一看哦，这是负一五点也负一哎，零阶道中没有负一。我一看哦，这负一一到正无穷，没有负一。我一看这个呢哦，一和三这个五道正数没有负一，但这上下限当中有无穷大反常级的这个多简单的事情就是稍微的会注意一点，

这就像什么？拿到一个函数，先看定义域。能理解吗？所以就像你拿到一个函数，看你它不会耽误你特过多时间。就是漂他一眼就行好了，这个问题啊，我们就讲到这儿。然后这里面当中啊，我们稍后进行去补充几个非常重要的反常积分啊，几个重点的反常积分一定要把它给我记清楚。重要的反常积分，我再说一遍啊。没有定义。

那肯定是处处连续它，不可能用无穷间断点的。它就没有狭点。但是你不能下去，过程当中又变成了无定义的点，就是狭点无定义，而且还要求极限是无穷大的。好，我们来看看这个几个重要的反常积分。来看看这个呃，这个东西啊，作为我们三九六同学非常的重要，你是要记的第一个事情。高斯积分。你这块不会啊，

你在这个概率论当中也得学那高斯积分是什么？负无穷到正无穷e的负x方，大家都知道e的负x方积分呢，是积不出来的。没有原函数的，它应该是有原函数，但原函数不是初等函数，所以我说我说没有原函数，我现在相信你应该理解啊。然后这是零到正无穷。一的负I次方，它等于二倍的，这个结果等于根号派。因为一半区间收敛的偶函数二倍。能理解吧好，

这是这个问题，然后第二个事情。伽马函数。啊，伽马积分。推论你学推论就行了。你只用学这个推论，那么推论就是零到正无穷xn次方e的负sds。它等于n的阶乘。请注意，这个n是属于什么自然数的？它可以是零你，比如说你看你如果是零次方的话。对吧，这是零次方零次方就是一零的阶乘是几零的阶乘就是一。

如果这是零到正无穷se的负sds呢，那这结果就是一的阶乘，那也是一，然后这是零到正无穷的话，这是平方。那平方这个东西呢，它就等于二的阶乘那等于几啊等于二。你们应该知道这个知识点在哪用的多吧，在我们的概率论当中用的多。所以把这个问题啊，记清楚就行。好了吧，那么这个问题点我们就讲到这儿，这个东西一定要记住啊啊，这也不是特别难。

概率论当中啊，用的非常多，很喜欢用这两人。好了，那么今天部分第一个点，我们就讲到这儿，今天真正比较重要的看东西啊，我们开始了。所以好好听啊，认认真真的听我们的题型22，你们现在状态怎么样？啊，现在状态怎么样？非常好吧，好拿出最好的状态来听这个板块，

今天就把它给我刚完了，不要每次见到他，你发现胆战心惊的。很多同学只要见到定期分应用，先想放弃，那这怎么行呢？这破玩意儿你能放弃，这非常简单来在这个点呢，我先提前说几个事情。好好听，第一事情你要注意，这个板块内容。一定会出题。这是你卖不过的，它必须会出题，

它就像我们考纲当中啊，比如说二元函数的连续性，可导性，可微性，必出题一样。你没发现吗？我们贼喜欢考那个概念性问题，多元函数的基本概念，但那个考点在数学三当中基本上不是重点。对吧，如果考的话，顶多出一道选择题，你像我们的话，基本上非常非常重要，所以说今天课程的这个板块必出题。

那下节课过程当中第一个知识点必出题。所以接下来我们来看看这个问题，定积分的应用那么像这个板块内容一定会出，有的时候你发现出一道一道那是必须的。对吧，这是必须的，然后有可能出两道哎，两道也有可能性，你比如说这个有一年考了一个什么考个面积，再考个旋转体体积那可以啊。有一年考了个旋转体体积，考了个弧长。所以这个东西啊，必出题那破局只需要掌握两个问题，一个事情基本公式把它给我记住了。

你们不要把这个东西的内容啊，学的太。有些东西给自己这个压力太大了。你要注意这个东西的考项，它可跟数学三同学的考项可不一样呢。我稍微给你看看。那这个东西可差的太太大了。这个东西可真不一样，你比如说你像数学三当中的话，考到这种问题。对吧，比如说这个考的这个点，你数一数二的话，你看考的这种问题，它确实还挺难，

有些的话，这物理应用更夸张了。你像这种题，我们肯定不会考的呀。你是个学经济学的。你考个经济学应用，我们觉得也还可以啊，你说这种题，那这种题我们肯定不会考啊。那所以我就觉得大家注意，你不要把方向你要劲儿，你要有太多劲儿，你等你考完再说行不行？能不能把自己的专业课深化一点？能不能把自己的英语和政治学的更好一点？

你要是实在是对这个数学充满了无限的兴趣，等你考完。可以吧，等你考完你来找我。啊，然后的话，你可以继续去学别的。是吧，你这我觉得考研的这个事情呢，你还是一个方向，我一直跟你讲，你要真的考研，你不考这个，你还来学这个课，我才不信呢。

你要是考研真的不考这高等数学，这几年呢，没有高等数学是不是过的太开心了？那这一年过程当中，有高等数学了之后，你发现反而过得稍微的会难受一点，那不就是这样吗？学习是反人性的事情。更不要说学了一些很多不喜欢学的一些东西。所以接下来我们来看看这个下一个问题，所以考研过程当中还是以拿高分为主目的那吧，虽然功利一点，但是那不就是这样吗？来看下面一个问题。所以这里面当中啊，

我提示几个事情，第一事情基本公式给我记熟了，移画过程当中就给我记公式。比如说绕着x轴旋转体的体积公式，绕着y轴转的旋转体体积公式，脑子一转就出来了。对吧，你这个东西一转就出来了，学了一年了，当初而言基础班讲完的时候，我说你天天去转一圈，天天去转一转，然后结果咔的一下课，然后诶说二重积分好用。恨不得去学二重积分，

你发现没有一个定理，你永远不知道你是考三九六的同学，对吧？方向性永远被别人带着跑。你要注意定理，所以这节课第一个事情，一会儿跟着我们把公式记住了，比如说有一个什么极坐标，求面积就二分之r方DC塔。你要知道那个r是指的是哪会用，对吧？把这个公式记住。对吧，公式记住你把这东西记住了之后，然后把它用出来就行，

你不信你去看看你们的考题。你就看看二一二二二三年，哪怕二三年考那么难，你去看看那个旋转体体积公式体积的问题，那贼简单。不就是怎么办？把这公式给了呃，这个什么给了一个题，你直接套一个公式，把它定积分算出来就行，所以公式要记住。把核心重点的公式一定要给我记死，然后怎么办？把公式用出来就行。具体题。

要敢说我给你换一个词。对吧，你把这个公式记住，然后你要敢去做，那就可以了，然后这里面当中几何体。喜欢画图。那这个问题点呢？一定注意这个事儿，那所以有的时候你真的是把这个旋转体体积啊，你给看的太恶心了。那恨不得的话，现在而言的话，有都拦不住了，你作为一个三九六的同学，

看什么绕着一班轴转还可以。啊，绕着一个垂直于s轴，垂直于y轴转的东西还可以，有的恨不得进去去绕着什么，绕这个极坐标的极轴转。绕着y等s转，你学那个东西干嘛？怎么可能会考这个东西？两分钟能做出来。来给五六个两分钟你都做不出来。所以我就觉得这个问题点就在这儿，我给你看看啊。有些同学不是想看这个事，我今天彻底给你把这些事情我给你全部给你打消了。

我就来让你进行去看看诶，不是这个。对吧，我今天把这个你这些想法我全部给你扼杀在这个强暴当中，我看看将来过程当中。你还有什么别的想法吗？你要始终注意一个事情，你是个三九六同学的考生啊。好，别说这种题。你去看吧。对吧，不就这个东西绕着这个斜线转吗？你看看这种题，这种题什么时候考？

连数一数二数三考了这么多年，哪怕数一数二考的非常多的，这个部分也没怎么进行去考。所以不要乱来。不要紧啊，好了，那么这个点我就说到这儿。所以说注意清楚就行了，第一个事情。公式记住，喜欢画图，敢去做，不要怂，对吧？哎，

注意一下，要敢做，不要怂。能听懂啊，你怕啥呀？那不就是这个公式学会了之后用它吗？那不然学这个东西干嘛好了？这个事儿我们就讲到这儿，然后剩下的部分东西就是定积分的运算能力了。那如果式子列出来不会算，那这个问题点呢？你就会发现也是有很大的问题的。所以最后啊，就是定期分的计算能力了好了，那这个定期分计算呢？

我相信你能保证好，对吧？每天五六道。啊，每天六七道，然后的话天天坚持着把这个东西算着吧。好了，那么今天啊，这个部分内容我们先来看看，第一个部分我们先看定积分，求面积的问题。那么，在球面积当中。我们的核心重点，其实你发现三件事情，

第一件事情。直角坐标。第二件事情极坐标。今年考极坐标的几率还是很大的。参数方程的几率啊，非常小。这是你要注意的。那么，接下来我们来看看直角坐标，求面积，那么就在前几天呢？就是17号，反正我忘了，我最近记性非常不好。前几天呢啊，

有个同学给我发私信，三九六的考生。说什么呢？说他看到了用二重积分的方法求面积，难道你还要进行学二重积分吗？那你学这个定积分，难道求不了吗？那二重积分的话，就是我在这里面当中对一进行去求。求了之后，又把这个二重积分化成二次积分，又最后算到这儿，何必呢？啊，纯属在这儿装了个逼。

哎，写出来这个东西好看，写出来这个东西的话很简洁，然后怎么办？转着转转，然后写出来这个公式算算算诶，又算到这儿。那到底这个东西到底是为了什么呢啊？好了，这个问题我们就讲到这。所以接下来我们先来看第一个问题，注意求面积的问题，但是这里面当中有两件事情。一件事情是对s积分，一件事情是对y积分。

能听懂吗？所以说这里面当中你要发现它有两件事儿，一件事情是投到s轴上去。对吧，对s积分那对s进行积分的话，你发现你看第一个事。那不就是这个大的面积吗？对吧，那这个大的面积那大的面积不就是a到by 2的积分吗？一定要把它写成x函数，因为要对x积分写成s函数。你对谁进行积分，你就要写成谁的函数，那么写成s函数的话y2积分，然后下面这条线投下去，

这个面积呢？这个面积是y1的积分。那所以说中间这个部分面积是y2-y一的积分，能听懂吧？是y2-y一的积分。那么这个点的话，怎么进行看呢？其实永远都是大减小。对吧，你往下投。你往下投，你就要在这里面当中啊，你就要注意上面这人大，下面这人小好了，这是第一个事情。

能听懂吧？好了，我们再来看看第二件事情，你再看这个人求面积。那这个求面积怎么办呢？你首先先看这个人面积。那这个时候你就要对谁积分呢？你要对y积分，你就要从c你看这个面积就是从c到d，然后的话，你既然是对y进行积分，你就要把它写成y的函数。所以你就写成x1y，把y写出来。然后你要算这个大的面积呢，

其实你发现就是c到d，然后是多少x2y，然后dy。没问题吧，然后用大的减小的，但是你要注意这里面当中永远是大进行减小。现在这个东西是横向投，那横向投的话，这里面当中，你要注意这个东西更大，这个更小，因为沿着这个箭头走。能听懂吧，沿着这个箭头走，那沿着正方向走，

它会越来越大。大的减小的能听懂吗？嗯，敲错了吗？我看看啊。我书呢。上面不是没问题吗？啊，你把后面改一下是dy啊。好了，这是这个。呃，稍微改一下，这是dy。能听懂吧啊，

这个人。所以说这个东西啊，你稍微进行注意一下啊，这个直角坐标系我给给的图应该没问题的啊，好了，把这个东西学清楚就行。这是第一个点，对吧？直角坐标，所以直角坐标求面积啊，我觉得问题点不大，那最重要问题就是你要喜欢画草图。我们来看几个题吧，来先来看看这个讲义当中的这个题。好，

先看这个题。那这个题的话，你发现第一件事。那这个部分呢？它给了一个抛物线，又给了一个圆，然后接下来让我们去求解这个上半部分的这个面积。那所以说这里面当中啊，你稍微进行去画个图就行了。对吧，你画个图。然后这里面当中啊，我们来看看这个事儿，这是这个圆，然后这里面当中再给了一个什么，

又给了一个抛物线，这是y这是零。然后这是x，然后接下来的话，你就发现。啊，这是个抛物线。那么然后让我们去算什么呢？让我们算上面部分的面积。你像算上面部分的面积的话，那接下来我们就要首先第一个事情，你是要把这个焦点求出来。我们就要求这个面积。那这个面积进行求焦点，你就要进行去大致的看看这是几，

这是二倍的根号二。对吧，你其实都不重要。那这里面当中的话，这个焦点你猜一下的话，这是几啊？你往里面算一下，你或者直接带吧，它说x方，然后的话，这个YY是多少y是四分之一x四次方，它等于几啊等于八。是吧，所以说你稍微进去试一下，你这个人刚好等于几等于二刚刚好，

你其实带一个值进去试一下就行，你二的时候刚刚好。能理解吧，好这个人。不难吧，你求这个方程式很简单的。你就把这个什么，或者你把s方带进去也行啊。所以你猜一个，你猜一个点的话，就是常规点嘛，你猜一个东西往里面看这个就行了，好这个很简单。然后接下来我们继续去求求这个面积，那这个面积怎么求呢？

有些同学可能说这个我们用什么？这个整体再减去下面的空白，但是有一个问题，下面空白怎么算？你空白不好算，那所以这里面当中啊，你只能继续去写这个公式了来从多少呢？这是二倍吧，两边对称。二倍的零到二，然后用上面这条线减下面这条线对s积分，那对s积分的话，你就要把它写成s函数，这是二分之x方，那上面这个人呢？

上面这条线的话，你得把这个y进行解出来，你y这个人解出来之后就是y等于根号下多少，然后八减x方正负。因为它是上边缘，对吧？y是大于零，所以说这个结果啊，就是这个人根号下多少八减x方？好了，做成这样。那么做成这样了之后，我们来算一下这个人吧，那这个人就是二倍的零到二根号下八减s方，然后ds，

然后再减去零到二s。s平方ds。那么，接下来我们就来继续算一下这个人，那第二个分非常简单，关注点是第一个分，你看式子列完了之后就是你的定积分运算能力了。那第一个分怎么算？它也不是圆。那么要是圆的话就好了，它这个不是圆，那这人怎么办？他含有根号下多少呢？它不能按照面积来算。那我可以利用is等于多少a倍的sint？

三角带宽这个东西不是面积啊。因为它整个面积的话a方减x方那块应该是零积到a啊，所以说你只能三角代换0s等于多少？啊，这个a是二倍的根号二啊，这个sint。那么所以说这个结果我们就来算了，然后这里面当中s是零，那sint是零。然后这是二倍的根号，二倍的3 nt，然后等于二，那这个东西就约掉，然后这是一一比它，然后这是二分之根号二，

然后这个东西啊。四分之派好这个内容就做成这样，那么做成这样了之后，然后你继续看，那么这里面当中啊，是八再减去八倍的sint方。然后这个东西你给它开一下，那八提出去是二倍的根号二。一减三a方，这刚好是cost零到四分之派嘛。然后这个ds这个东西啊，你发现ds又来一个二倍的根号二，然后cosin t同学们能听得懂吗dt？你要三换嘛，你换上下限换被积分函数换积分变量稳一点做，

慢慢来，别着急，然后这个东西是多少三分之一？然后这三次方那这是八。那么所以说这个结果的话就变成多少就变成了零到四分之派，然后这是八二八一十六，然后这是cosine t的平方，然后dt。然后再减去多少三分之八？好了，这个人呢？就做成这样了，那做成这样怎么办呢？它是零到四分之派，你没有办法，

你只能怎么办？你只能通过降幂的方式来做。一加b的话，这个人刚好是二分之一加cos二t，然后dt。对吧，降个幂那降个幂了之后的话，你发现第一个人刚好是八倍的零到四分之派对一积分。然后第二个人呢，刚好是八倍的零到四分之派对cos二t进行积分，然后再减去多少三分之八？你看第一个人刚好四分之派，那这是二派，再来看八倍的。那这个东西刚好是二分之一，

然后多少s in二t把零和四分之派带去，然后再减去多少三分之八？所以说这个结果是二拍。那么，然后接下来我们来看看这个人，那这个人的话，你发现他是多少呢？你这些基佬这个没有必要再点了，然后这是四。s in二分之派是一s in零是零，所以说这个结果是四四在减这个人呢，你三四一十二，然后刚好是三分之四。好了，这个结果就做出来了，

那前面是二拍，然后后面是多少三分之四，所以正确答案选c这个结果。所以我们放的这个题啊，就是你要首先第一件事儿，你会列式子，第二件事情你要会算这个定积分，你像这种定积分的话都是我们考研当中非常基础的一些定积分了。你要会算列式子做计算啊，两个事儿就行。好了，那么接下来我们再来看看下面这个题来，再看这个题。好看这个题。那这个题啊，

他说位于这个人的下方哎，你看看过他做切线，我记得上次呃模拟考的时候我们就考过这样的一道题。你还记得吗？就模考的时候，然后这里面当中这是多少啊？这是e的s，然后过原点做它的什么线，过原点做它的切线。他说的是过原点做切线的。对吧，这个人的切线你肯定不可能切到这边儿，这这这个是他的一个水平渐近线，对吧？所以它肯定是切线的，

什么方？他说，曲线过原点的切线的左方以及x轴上方。的图形的面积哦，这个人。那这里面当中啊，首先第一件事儿，你要知道这个东西考了什么？他说的是这个曲线的下方。然后是这个曲线过原点的切线的左方，然后这个s轴的上方。那这东西考的是这个部分。能听懂吗？那没有关系啊，就说这条曲线的下方嘛，

你这个线的左方嘛，然后这个x轴上方嘛。不是学逻辑，这就没有逻辑感呐。这是这不是英文，是给你写的英文吗？还是怎么了？啊，就这个人的下方，然后这个东西是什么作坊，然后这地方当中，你稍微注意一下这个事。那这个题的话，你就发现。啊，

你要注意这个板块当中的这个部分。你要注意这个部分面积。这个面积是非常好，求的。像es的这个尾巴。那这个尾巴的话，你发现我，我先讲讲你像负无穷积到0e的s这个ds。它这个东西的话，其实就是啊，积分就是e的s负无穷和零代取就是一。啊，这个尾巴是一。你要注意啊，就说es的话，

带着一个尾巴，这个面积是一，所以我们其实算两块儿一块儿算这一块儿一块儿算这一块儿吧。但是一的话，你肯定比一大啊，这个很不对。那么，接下来我们来看看这个这个板块来算吧，我们算这个面积其实最重要问题啊，就是要求这个什么求这个切点。把这个切点设出来。这是比较重要s0，把这点设成s0y0。好了，我们来看看这个事情，

不要还不会有。两个曲线相切，我把切点设出来之后。那么，这条线我把它换成红色线。红色线，它在这个点处的斜率是多少？两点之间的斜率公式吧，你还不会，那就有点不好意思。这个点和这个点之间的斜率公式，那就多少你这个y0其实就是多少你y0其实就是。e的s0。那其实就是。y0y2-y一比上s2-s一。

好，两点之间的斜率公式，然后接下来我们再来看，那这个点处的斜率，它不就等于这条曲线在这个点处的切线斜率吗？那你想想es这个人在这点处的切线切线的话，导数嘛，导数就是这个点。那所以说这个东西啊，马上出来，你把这东西与s0等级一。好了，这是这个事情，就是把切点设出来，两点之间的斜率公式是这条直线的斜率，

然后这个导函数是指条曲线的斜率，两个斜率是一样的。这个非常简单，然后接下来你把这个东西算出来，那这个人我们来看看总的面积，总的面积其实就是一。是左半部分，然后再加上右半部分，右半部分，这个面积怎么算呢？右半部分面积可以这样算算，总的面积减这个三角形。是吧？来那么接下来我们继续吧，我们再来看看下一个问题啊。

那么，在这个当中，我们算一下这个总面积。那总面积怎么算呢？来看一下这个事情。总面积是这个面积，那这个面积的话是多少呢？是零到e就是一对这个es进行去积分。然后再减去下面这个三角形，那三角形的话，你发现这是二分之一底是几啊？这是一高是几呢？高是一？好了，这是这个部分。

所以说这个时候啊，你发现一个事儿，我们一算，这是es把零和一算进去就是二分之一，然后这时候的话就是多少e再减一，你再减去二分之一。所以说这个结果等于二分之一正确答案选一。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这儿，所以说下去啊，你好好把这个问题处理一下，其实最重要问题，第一件事情，你把这条线给我求出来。

对吧，把这条线求出来，把这条线的话去进行，求出来之后的话，你发现非常非常简单。这个题对y积分呢呃，有点大材小用了，毫无意义。如果你进行去对y积分的话，你发现你这里面当中对吧？你算这个人积分，你其实稍微的会麻烦一点，哪有s求起来简单呀？好了，这个问题因为你对y进行积分的话，

用这条斜线，然后减去这个部分，你一定注意哦。有同学对y积分的话，你在这里面当中稍微慎重一点。你要是对y积分的话，你还得进行去切一下。对吧，你得把这里面当中有些东西给切掉。什么意思呢？就是你这个人切在这儿，你要是对y积分呢？你应该是这样，你先算这个大的这个部分。对吧，

然后的话你再减去这个小的这个部分。哎，大的减去这块，小的是这个部分。没问题吧？那这个非常简单的问题啊，所以你基本上而言，你喜欢擅长的哪个点，你就把它做到啊，这个把它做清楚就行。好了，这是幺五六这个题过去了，可以吗？我们先讲到这，那么接下来我们再来看看下一个问题来继续，

我们再来看看极坐标。极坐标啊是非常简单的一个问题，你要喜欢做极坐标，就说任何一个直角坐标我都可以把它变成一个极坐标系。那极坐标系当中不就是一个重点问题，它的一个变换公式啊，你做到这儿。那这里面当中s等于多少rcos西塔y，就等于r多少s in西塔，你不用推了啊。咳，那基础班的时候，我们还把这东西推了一下，没有必要推给了一个直角坐标，用这个变换公式把它变成奇坐标。

那么所以说这里面当中注意。如果这个边。这条曲线在极坐标方程当中是r和theta的关系。你要注意，那么如果在这个极坐标当中是r和c塔的方程，那这个部分的面积就等于多少呢？那这个部分的面积，它就会等于。二分之一从起始夹角到终点夹角，然后。最外面这条边，它的一个积分就行了。然后这里面当中啊，你对这个什么你对这个最外面这条边它的平方积分就行。能学会吗？

就是起始夹角到终点夹角，然后对这个斜边进行去积分，那就可以了。好了，这是这个问题。然后接下来我们再来看看这个第二幅图，那第二幅图的话，你看那这种当中的这个面积怎么算？那这个面积的话，其实就是二分之一。然后从这个什么阿尔法到贝塔，然后最外面那个边呢，最外面那个边是r2。这个人的平方dz大。然后你要再减去什么，

你要再减去小的。小的话就是二分之一，从阿尔法到贝塔，然后的话最外面那边呢，你要注意这个边是r等于r一西塔。把它标到这儿就是r1这个人呢，他的平方积分。能理解吧，记住核心公式就行，核心公式其实就是二分之一r方tc塔你，所以做完了之后是。r2方减r1方不要写成了r2-r一的平方，这是胡做啊？纯属胡来。你这个东西肯定不对。

那所以说这种几何题啊呃，定积分的应用的题一定要拿下来，非常的简单。你这多好做的题，你就是记住这个公式，你这个斜边是多少？那二分之一r方DC它，然后这个斜边是多少？二分之一r方DC它非常非常容易。你就喜欢做这种点，能跟上吗？好下去过程当中，你好好把它看看。那么，这里面当中啊，

有几个比较重点的一些曲线？我先讲一个。可以吧，我把这个曲线讲了。考研当中啊，有一些重点的一些曲线。那么，这里面当中，我们再把这个新形线呢稍微的进行复习一下，我们害怕给这个人。我们倒是不是害怕的话，出什么新形象的一些别的题啊，这种点我们觉得都还好，我们比较害怕的一个点就是。这个新形象，

我们给什么呢？我就让你去求这个人的面积。哎，所以说这个点呢，你要把它想清楚。那么，这个人的心行先。他这个人的方程，其实你发现有四个人。那一个东西是r等于多少呢？我们先看这幅图。r=a倍的一+cos theta。啊，这个人r=a倍的一+cos theta。那这个东西的话，

你发现它怎么去来呢？它非常容易，你就看看theta为多少的时候r最大。theta为0度的时候r最大是二零。theta为派度的时候r最小是零，因为cos派是负一嘛，那就说零零度的话，你发现就是s的正方向是0度。0度跑多远呢？哎，你看你就站到这儿。你沿着0度线，你看你站到这儿0度线，你走多远呢？哎，

走2a好，你待在这儿。那所以说0度线在这儿，这是2a。然后怎么办呢？你反着走呢，往回走派就是往回走，往回走是多少呢？往回走是零，所以说这个人是这样。好，这个信息线笛卡尔信息线，你要想清楚这个人的图像，把他琢磨清楚就行，来那么接下来我们再来看看第二事情。

那如果这里面当中是多少r=a倍的一减呢？你再来看这个人。如果这东西是一检，你就会发现它是个什么情况。那这个东西的话，它应该是theta=0度的时候，它r会等于零。theta等于派度的时候，它会等于2a。它会往左那往左的话，你发现你往回走二这个2a，它就是这个情况。啊，它是这个情况。好了，

这是这样的一个新信息。那么，接下来我们继续，我们再来看看第三个人，那其实就是s in这个人。那么，接下来的话就是一+s in。那么，加上三音这个人的话，什么情况呢？那么，加上三音的话，这个人其实要啊，最大的时候什么时候最大呢？theta=2分之派。

r=2 a，它叫朝上，所以说这个朝上的这个距离啊，它是2a。啊，朝上的距离是20米。所以最上面这个东西是二a，那么最后是一减一减就是朝下。好吧，哎，一减就是朝向，那么这样吧，我们来计算一个人，我们来算算这个人。那么，

来计算一下这个人的面积，你看这个人面积怎么做？这是要会做的，万一考题就出这个人呢？嗯，求面积。那怎么去求呢？你发现上下是对称的，它就等于二倍的一半。然后这个斜边的方程是多少呢？你要注意这个斜边的方程。斜边的方程刚好是r=a倍的一+cos西塔。然后接下来我们来看看这个夹角。你就会发现，就说朝正方向你看。

呃，我这里面当中，我找一个东西进去转一下。你看这个人，这是0度，你往过转，你转到哪儿转到这儿？对吧，往回转那所以说是零到拍。因此这个人呢？我们来看看求面积s等于二倍的零到多少派二分之一。然后是r方是a方一+cos theta的平方，然后d theta。那么，接下来我们来看看这个事儿，

不就是零到派，然后这是a方抛出去，然后是一加呢一+2倍的cos西塔。加上cos塞塔的平方，我看看同学们算的快还是不快啊？好a方一亿的积分是多少派？这个人几分呢？cosine是上和下对称零平方二倍的，翻上去零到二分之派。二一二分之派有些同学，你如果不知道我在干嘛，那才太可怕了。能理解吧，好了，这个结果就做成这样，

你要cos in 1上一下的话，刚好对称那是零，然后如果是平方的话，翻上去就两个第一象限。第一象限是多少？那第一象限的话不就是二倍的第一象限，然后点火后是二又二分之派。要会做对吧？好了，这是这个问题，你要学会它。然后的话，这里面当中是我们讲的这个第一个信息点。啊，第一个信息点新信息，

然后接下来我们再来看看第二个问题。你新型线友会对吧？好，我们再来看看一个双扭线。那么，双扭线这里面当中，你下课休息过程当中，你来把这个人给我变成极坐标，你给我变一下啊。会变就行了，是s方加上y方，它的这个人的平方等于a方，然后是s方再减y方。好把这人给我变一下，下课休息过程当中，

把这个人给我变成极坐标。哎，把这个人极坐标给我们变换出来。好吧，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续可以吗？把这东西给我记住。你可以不用背这个人，你要见到这个东西，你知道他是谁就行。伯努利双扭线。好了话给我回复一。可以的话给我回复一。好了是吧？好下课的话变好了。

那你下课就好好休息啊。好，稍休息会儿吧，一会儿我们继续啊。

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