04.冲刺满分强化篇·题型6-7精讲精练-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:06:57

好，接下来我们继续回来吧，我们再来看看这个举一反三这个题，这题做的怎么样了？这个题啊，这个题比刚才那个题骗人。那么其实这个题我们在这个零基础提前学和基础班的时候，我们做了很多了。就是这种趋向于负无穷的时候，你要稍微注意，有的人也提毛发。你要注意，如果你在这里面当中提了个卯，这个部分是x方后，后面我们先不看。

你要注意，如果s是趋向负无穷s是小于零的，你这个根号s方是绝对值。它应该等于负x。是吧，所以说负无穷，要稍微进行去注意一下，那么首先我们先来看看第一件事。来解先把这个b先抛出去吧，因为这一项是存在的，先把它抛出去，那其实就是limits趋向于负无穷。然后这是根号下s方减s，再加上一减去as，这人等于b注意，

只要见到负穷，立即进行负带换。这就是个高手水平的，赶紧进行附带换0s等于多少0 s=-t，所以说这样的话就立即变成了t9，趋向正无穷，你看。这个强化部分，你要训练出来啊，这个水平点，马上这个人就变成多少，马上就变成了t方加上t，然后再加上一再。再加上个at这个人等于b。好了，

那么接下来我们就来看看，用一下刚才的操作吧，看水平啊。前面这个人的老大是谁呀？前面的老大是根号t方无穷，大减无穷，大后面的老大是谁呢？后面的老大注意是减号。对吧，减老大后面的老大是负at。不是at，是负at，听得懂我的意思吗？注意，我要减老大，

不是加老大，你应该是写减去负at无穷，大减无穷大吗？没有无穷，大加无穷大。所以说这个时候你看现在的t是趋向于正无穷，那这人就直接开，然后这是这个人，这两个老大势均力敌吧，所以说这个负a就一定会等于一。所以a等于多少？a=- 1你就写显然。看清楚吗？这个水平点要提升的啊，所以说然后这个题就变成了t趋向正无穷，

然后这是t方加t再加一。然后再怎么办？减去个t这个人。是不是就变成了刚才那个题了？立即就变成刚才的题了，刚才那个题呢，来操作一下吧，题锚法。现在可以提啊，提出个t方正无穷大于零直接开，然后这是一加上t分之一，加上t方分之一再减去一。好，这个人等于b。没问题吧，

然后接下来我们就来继续看，这是limit什么呢？limit t趋向于正无穷，这是t。当这个什么东西呢？t趋向于正无穷的时候，这个部分趋向几这个部分趋向零那既然趋向零的话，就是框一加框的阿尔法次方减一等价无穷小多少？阿尔法这个框。没问题吧，然后这个时候就是limit t趋向正无穷，这是二分之一乘进去，这是t分之一，这是零。所以说这个结果等于二分之一，

所以b是多少b是二分之一？你学会了这一招，继续去判定这种参数的题啊，就非常的快了。稍微眼睛一瞅，这东西出来了。稍微眼睛一看，这题立即结束。好，非常简单，过去了可以吗？好，掌握清楚给我回复一。可以了吧啊，做一个高手。

所以说这个强化训练就就上节课，挺不好意思的。上节课上完内疚半天啊。这个真的是每次如果突然有一天的话，那节课没有上好，真的是非常难受啊，上着不能放到八点钟上课啊。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看下一个事情，再来看看题型四。来继续吧，我们再来看看下一个问题。我们来看看第四节问题函数极限的定义和性质。呃，

那么这个部分问题啊，是非常重要的啊，非常重要，因为这个部分呢，我们是喜欢出题的，但是去年和前年没出。啊，这个应该是前年出的。对吧，这个去年没有出。哎，是二一年出的，不是二二年出的，因为是前年出的，我们现在是二零二三年，

所以说这个每次说这个年份呢，我们是二零二三年。我们是二零二四年考研呃，这个二零二四年的考研学生。所以说我们是二一年考的，所以说这个你能懂我的意思吧啊，这个人。所以这个函数极限的这个定义和性质啊，我们在考试过程当中容易出这种选择题。因为我们考很喜欢进行去考什么东西呢？考这种概念性的问题很喜欢出，所以接下来我们来看看这个函数极限的这个定义和这个性质，先看第一个事情。函数极限的定义。那么，

在函数极限定义当中啊，核心重点有两个事情，有两种定义，第一种定义就是趋向于一个点的定义，一个事情是趋向于无穷大的定义。那么，接下来我们先来看看第一个点。哎，第一大点。那第一大定义啊，我们先看看这个定义的内容，我们先来复习一下。他说s趋向s0的时候，这个人的极限结果是a。怎么说呢？

他第一句话是这样说的，对于任意的伊普西龙大于零。那这句话怎么解释啊？它这句话的意思是，只要你大于零就行。零点一大于零，零点零一大于零，零点零零零一大于零。那这句话怎么解释啊？这句话的解释是无论你有多么小。对吧，无论你有多么小。诶，这就是它的中文解释，但是我有个问题啊。

虽然说对于任意的一不松大于零，你发现他其实用的都是这些很小的人吧，他能用100吗？能不能他不用100，他用的是非常小的那些人。注意啊，无论你有多么的小，然后最后一句话，我们再看我和它之间的距离。比你还小。你看吧，别管你多小，我俩之间的距离比你还小，那不就说明我无限的逼近于你吗？我的极限不就是你吗？

所以说这个定义是非常简单的。这两句话其实就凸显出来什么事情呢？凸显出来了这个人的极限是a。对吧，这个人的极限是a好，这是第一件事情，然后第二件事情什么时候你的极限才是a呢？要写。当x趋向于x0的时候，你的极限才谁？所以把中间这个事情写到这来读一下吧，不就是当s趋向s0的时候fs的极限是a吗？当s趋向s0的时候，fs的极限谁？能理解吧，

那么接下来我们就要解释一下什么叫做x趋向s0呢？这句话非常的简单。趋向于s0，第一句话叫做没有到s0。到了没？没有到，但是趋向s0又跟s0挨得非常的接近。一没有刀。第二件事情。第一件事情没有刀。第二件事情挨得又非常的接近，所以说这句话其实就是这个点的去心领域。所以将来啊，你一定要知道别人问你什么叫做s趋向s0没有到又接近去新领域。那什么叫去心领域呢？

我们来写一下。去腥淋浴就是意思就说淋浴嘛，就说我身边有范围就行了。对吧，我身边只要有范围就叫我的领域，所以说比如说你身边的范围长度是德尔塔。哎，德尔塔，那这就是is 0加德尔塔，这就是is 0减德尔塔。那这个德尔塔呢？这个德尔塔只要存在就行。能理解吧，只要有就行了。你只要有就说明我身边有范围，

我身边只要有范围，我身边就有领域。注意啊，存在就行，然后这个范围怎么写这个范围写的是你中间任取一个点和s0之间的距离，要比德尔塔小。但是要比零大。是不是这个范围，这个范围就叫去心领域，所以说当这个时候它是这样。能连得起来吗？这就是我们极限定义的四句话。啊，四句话。所以第一句话和最后一句话说的就是fs的极限，

是a中间两句话就说的是s趋向s0，那将来别人说s趋向s0就是这个点的去心领域。你可以不会写这句话，但是你一定要会写这个范围。能听懂吧，一定要会写这个范围，比如说我举个简单例子。我说is趋向于4 ifs的极限是五，你怎么写？对于任意的伊普西龙大于零。总有fs怎么和五之间的距离比你还小？这就说明了fs极限是五，然后什么时候呢？当s趋向四的时候，你知道s趋向四什么范围就是把四挖掉它的身边。

去新领域就行了，好，这就是个重点。你学到这儿，你就把这个定义啊掌握清楚了好了，这是函数极限的第一个定义。趋向于s0的定义，但是啊，这个定义我想剖析一下，我害怕今年出这种题。那么，这里面当中，你看这句话。说的是无论你有多么的小。虽然说的是一不总大于零，

但是其实很大的那些数是用不到的，比如说我有一天呢，我改了一下。呃，我们这样说。s趋向s0 fs极限是a。我的充要条件这样说。对于任意的伊布斯龙属于零到一。好注意啊，看第一个例题。看第一个例题。例一。你就看看这个人对不对就行。然后他说什么呢？他说对于任意的一步速度大于零，

然后总存在德尔塔大于零，当什么情况呢？s和s0之间的距离比德尔塔小的时候比零大的时候。然后总有什么情况，要不这样吧，我这样写。下面哪一个人还能作为我的定义？啊，然后接下来写fs和a之间的距离比你还小。告诉我这个定义对不对？啊，它能不能作为我的定义？中间这句话倒没有问题啊，中间这句话就是s趋向s0。关键点就是两边这句话。

对不对呢？对的。可以的，完全没有问题，你想对于任意的一布斯龙属于零到一，也就说零到一当中的任何人我都能取到。是不就保证了足够的小啊。能保证足够的小就行，这是没有问题的，所以说像这种定义啊，你要理解哎，必须要理解。好了，我们再改。改成第二个人。

然后的话，这里面当中我们再看，对于任意的epsilon属于一到二，然后存在德尔塔大于零。当s怎么办？和s0之间的距离比零大比德尔塔小的时候。然后总有什么呢？总有这里面当中的fs和a之间的距离比它小。这时候行不行？哎，这个时候就不行了，为什么呢？因为你发现你这件事情属于一到二，你无法保证足够的小。你不能保证足够小，

这个人就不对了。听得懂吧，好了，我们再来看看第三个事情c选项，如果这里面当中我们改一下，对于任意的一步速度属于零到一。然后怎么办？总存在德尔塔大于零，然后当s-s零，它比零大比德尔塔小的时候。我们总有什么呢？我们总有这个人。fs和a之间的距离小于等于一。对不对呀？告诉我件事情对还是不对，

你看我改成这个定义，如果一下讲这个定义啊，你估计够呛。但是如果我在这里面当中，我稍微循序渐进一下这个题就很好了，哎呀，这个题出的还不错，对不对？对着呢哎，对着呢。这个选项是对的。你想想我可以怎么处理呢？你不是说最后这个部分一定是什么呢？好，我们分析。

你不是说最后一个选项一定是比它小，不能相等吗？哎，你可以这样办呐，你把这个人他是不是小于二倍的e普西龙？没问题吧，你小于等于一布斯龙，你不就小于二倍的伊布斯龙吗？然后这个时候的话，你发现那二倍的一布斯龙不就属于零到二吗？那如果把二倍的e布斯龙气成。伊布松隆一撇，那不就是对于任意的伊布松隆一撇，属于零到二，然后存在德尔塔大于零。

当什么情况s和s0之间的距离比零小比德尔塔啊，这个什么比零大比德尔塔小的时候fs和a之间的距离？比一不送了一片儿小吗？哎，行不行？你看这个题非常的好了，那这时候就可以了，我保证无论你有多么的小了呀，我和他之间的距离比他还小，哎，这个人是对的。看清楚吗？好，这是这个事情哎，出的还行啊，

来我们再来看看d选项，如果对于任意的一步思路属于零到一。如果我们再写总存在德尔塔大于零当s和s0之间的距离比零小比呃，比德尔塔大比零大，比德尔塔小。如果fs和a之间的距离比什么呢？小于呃，如果说这是小于等于二倍的epsilon，对不对呢？你看这个人。对还是不对？给我看看这句话。对不对？对着吧，因为你发现看你小于二倍，

不就小于三倍吗？然后这个时候的话，不就是三倍的一不存落，属于零到三了吗？那你又保证了足够小，然后它和它之间的距离比它还小，所以这条也对，然后再如果再出一个选项，这就是一个很好的考题了。下列不能作为极限定义的是呃，算了，我们再写一个吧。比如说e选项，对于任意的什么东西呢啊，比如说我们再看。

呃，如果说这个是对于任意的伊布斯龙。这个还不好出了，比如说这是零到二，然后怎么办？存在德尔塔大于零啊，这个就是一样的了啊。s和s0之间的距离比它大啊，比它小，然后fs和a之间的距离。比二倍的伊布斯龙行不行啊？这个人也可以，他也小于三倍的啊，这是也是对的。你看这样一出，

不就是一道很好的一个考研真题吗？说下列当中不能作为函数极限定义的是。是不是就可以了，就选b啊哈就选b。好了，这个题啊，我们就讲到这哎，出完吧。则下列不可作为。极限定义。的是好，立即移除出来。就选几啊，选b很好的一道考题啊。好了，

这是这个事情吧，我们就讲到这，你看你要问出这句话呀。就说明你还是没有理解啊，你一定要理解清楚啊，你说的是没有问题的，它只要能保证足够小就行了。你看有同学又开始总结，只要左边是零，不管是多少都对嘛，你要理解你理解了，你都不会问出这种话的啊。啊，一定要去理解它。好了，

这是极限定义，那么接下来我们继续，我们再来看看下面的事情。只要前面能保证足够小，后面这个东西啊，你如果能创造出来比它小就行啊。好，再看第二个。继续那就是s趋向于无穷大这种定义。那趋向无穷大这种定义告诉我第一句话和最后一句话一样不一样。是一样的，第一句话呢，你发现无论你有多么的小。然后最后一件事，我和你之间距离比它还小。

对吧，我和你之间距离比它还小，那什么时候它的极限才是它呢？当s趋向无穷大的时候。那问题点来了，那这个东西是什么东西？叫什么呢？那么，接下看什么叫做s趋向无穷大呢？非常简单，就是很大或者很小。我存在了一个很大的数，我比你还大，这个范围叫做正无穷。那什么叫负无穷呢？

有同学说存在了一个很小数，比它还小，不是这样定义的，存在了一个很大的数，比它负的它还小。诶，比负的它还小，那这个东西就是负无穷。所以说这两边的这个范围就是无穷大，因此它是这样说的，存在了一个很大的数。当什么情况？我s有可能比你大，有可能比你小，那就是s绝对值，

然后比这个人大的时候。一定有它诶，这个时候啊，就是它的极限定义。这就是它的机械力。能跟得上吗？就说正无穷，就是存在了一个很大的数，我比你还大负无穷，就是存在了一个很大的数，比负的它还小。好，这就是它的定义，那么接下来我们来看看一个重点内容，大家好好看哦，

这个东西你下去再整理笔记吧。那么，在我们这里面当中有个事情一般在函数极限计算当中，我们有六种变化趋向，一种是无穷大正，无穷负无穷。还有趋向于一个点。趋向于一个点阵，还有趋向于一个点，负有这六种趋向。那么，在后续过程当中啊，我们统一用x趋向框来表示听懂我的意思吗？就说以后我们去写极限，如果不进行去规定是哪种趋向，

我就这样进行去写。哎，就这样写。然后的话，但是我们必须要了解每一种趋向所表示的范围，这是一定要表示呃，这个知道的一个事情。如果是s趋向s0，你要清楚，它就是这个点的去心领域。对吧，把这个点给挖掉，然后又在这个点的附近。过来一个德尔塔，回去一个德尔塔，

德尔塔是存在的。啊，所以说就是它的去心领域，所以说趋向于这个点，你就知道是这个点的去心领域，不是领域啊，是去了心之后的领域。所以这个范围要想写怎么写呢？存在德尔塔大于0s和s0之间的距离，是比德尔塔小的，但是比零大。你不会写都行，你知道哪个范围就行s0正是这个范围s0，这个范围就是存在德尔塔大于0s和s0之间，距离s1定比s0大，

那就是大于零小于德尔塔。然后s0负呢，就是这个左曲线领域就存在德尔塔大于0s和s0之间，距离是比零小的。但是比负德尔塔大的。是吧，然后接下来再看什么叫做趋向无穷大呢？趋向无穷大这个事情更简单，它是这样。诶，这是零就是存在了一个很大的数，我比你还大，这叫正无穷。对吧，正无穷就说存在了一个很大的数，

当什么我比你还大的时候，这个范围叫正无穷。然后什么叫负无穷呢？存在了一个很大的数，我比你还小，负的它还小的时候啊，存在了一个很大的数。当什么呢？s比负的它还小的时候，这叫负无穷。那什么叫无穷大呢？两边就是存在了一个很大的数，当什么情况我s绝对值比你大的时候。就这几个东西啊呃，你不会写都没关系，

你能读得懂就行了，你知道这个出题人写这句话什么意思就行了。你知道的是什么？你知道的是图。心中要有图。哎，做题就有方向了，你只要脑子里面当中有图就行了，说趋向于四四的曲线领域四正四。四的这个什么右曲线零四负左曲线零什么叫正无穷，什么叫负无穷，什么叫无穷大那就可以了。哎，这就够了啊，这就可以了，

好了，这是这个事情，能听懂我的意思吗？那么接下来我要注两条内容，好好听了，先看第一条内容。这条内容很重要，很重要。极限的结果跟该点处的值没有关系，这个东西啊，考过。考研真题啊，考过。对吧，极限的结果跟这个点处的函数值没有什么关系，

比如说我们来看几幅图。诶，我们来看几幅图。这是y，这是零，这是s，假设这是s0。那么，接下来我们来看看这个事，比如说你来看第一幅图。好同学们，告诉一下第一幅图，第一幅图是什么？第一幅图，你告诉我它的极限结果是多少？

limits趋向s0。它的极限是不是a呀？啊，是不是啊？它的极限是a啊。因为你从左边往这跑，注意没有跑到他的极限，是a从右边往他跑，哎，没有跑到他是a。左右极限都是a极限，当然是a呀。没问题，然后接下来我们再来看，注意啊，

第一幅图的极限就是a，然后再看第二幅图。第二幅图，我这个点的函数值在这儿。告诉我极限还是不是a啊？极限当然还是a。诶，极限仍然是a。然后接下来我们再来看看第三幅图。如果这个点把这个东西补住。它的极限是不是也是a啊？还是a，然后再来看看最后一幅图。啊，再看最后一幅图，

那最后一幅图的话，我这样写。你看它的极限是不也是a啊？是不是还是a你看这幅图极限也是a啊？所以说接下来我们就得到了一些非常重要的信息点。你看吧，如果我的极限是a，你能知道这个点处的函数值吗？这个点处的函数值一定有吗？不一定有可能没有定义，有可能有定义。不等于a有可能有定义等于a。如果极限是a邻域当中的这些人，对吧？去心邻域当中的这些人，

能不能等于a？可以，你想极限等于a的时候去心离域，这些人可以不等于a去心离域，这些人也可以等于a。对吧，我极限是a我身边的这些人也可以等于a我也可以不等于a，所以我觉得这四幅图就把这个事情说满了。对吧，就非常形象了，我觉得这个时候你再进去去看那个什么。我记得800题当中有一个题。哎，有一个题就非常简单了，等会我们再说吧，

好吧，一会再说，这是极限的结果，跟这个点处的函数值没有关系。你把这四幅图了解清楚啊，这是非常简单的，再来看看第二件事情，极限存在的必要条件。好，大家跟我想。你发现如果说什么呢？如果limits趋向s0 fs的极限是a。请同学们告诉我，定义当中怎么说的呀？定义当中是这样说的。

如果你的这个极限结果是a。它的定义说，你在趋向过程当中，也就是去心领域内。去心邻域内的这些fs都要与a比近。对吧，你这个范围内的所有人都要跟我比紧。那所有人都要跟我逼近，所有人是不都要存在呀？都没有，你怎么跟我逼近啊？怎么跟我进行比较，所以都要有，所以说他这个东西啊，推出了什么一定是在x趋向s0，

你知道什么意思吧，就是去心领域内。fs要处处有零。注意啊，在这个去心领域范围内，你必须要处处有利，所以我们将来知道，如果这个极限是存在的。那这个函数。肯定是在这个范围内是有定义的，就是在这个去心领域内处处有定义。所以大家注意啊呃，我现在讲的这个东西跟连续没有什么关系。你发现我刚才是从头往下串的，如果你还糊涂，

我建议你重新再听一下。搞混了啊。不要不要，自己在那瞎加条件。是什么就是什么，对吧？所以你要注意，如果这个极限存在，你看我是抠着这个极限定义，如果这个极限等于a，你得保证这个去心领域当中的所有人。都要跟a接近，你都要跟a接近，你当然都要都得有定义啊。是不是都得有定义，

所以说如果你的极限是a是存在的，那你这个函数一定在这个趋向过程当中处处有定义。这个很简单吧。所以说我觉得原来呀。我讲了一个这个事情。嗯，就是那个野蹄，你还记得吗？就这个题。我讲过啊，所以说那个题我讲完了之后的话下去没有同学再在这里面当中啊，你发现再出问题了吧？也就只此一刀。有些同学会了这个题，反而水平变差了。

啊，反而水平变差了。其实你不会这个题之前呢，你的水平点还可以，所以我一直觉得复习到百分之五六十还非常好。再复习多一点，你发现就有点难受了，如果你看到它，一定要把它攻破，不然的话，你还不如没有看到它。没有看到它还更舒服一点啊。那这个题到底是什么情况呢？它是这样意思？就说呃，

有同学说那这个x趋向零的时候。这是无穷，小陈有阶。无穷小臣有界，这是无穷小。对吧，这是无穷小这个极限是零那所以说这里面当中啊，他就说诶，我这个人怎么了啊？算了，我们写一下。那什么情况呢？就是limits趋向零s倍的sins分之一，这个极限是零吧？那是零的话，

你发现那这个部分是框还是说s in框立即等价无穷小于框？立即等价无效框的话，就等价这个人一÷11。啊，其实不对啊，我再说一遍，你可以再听一下，然后我就马上过去了，非常快啊，那么这个东西的问题在何处呢？是这样的一个原因。就说当s怎么办？趋向于零的时候。s趋向零其实是s不为零，就是这个点的什么去心领域。

对吧，就是这个去心领域。这个去腥灵域的话，不是不能单独求极限，有些同学没有看懂那个抓不住本质啊。我想问你个事，我判断这个极限是零，有没有问题？如果这是零，这里面是框没有问题吧？是吧，趋向于零，这个是零，可以对它求你看这个极限是我就判这叫预判。我没有做这个题，

我只是预判一下这个人的极限是不是零，你看发现很多同学还是理解不清楚。好梳理一下，那么接下来我们再看在趋向过程当中，其实就是这个点的去心领域。哎，这是去心领域，大家都知道有一个人就是这个sin x分之一这个人。啊，有一个人sins分之一。大家还记得它的图像吗？它的图像是什么情况呢？我来稍微进行去画一下。sin x分之一这个人的图像是这样子。这是零，

这是s。那这个人呢？其实我们在这个讲那个有界限的时候，我重点给你讲过，所以我觉得大家。现在进行去理解，应该是非常顺，那这个人是什么？这个人是正当的。对吧，零处是没有定义的。零处没有定义，零处没有定义，越接近零摆的越快，上下摆上下摆上下摆摆的特别快啊。

啊，出去就还好。所以别管你这个淋浴取得有多么的小。我这个什么情况呢？我这个函数都会无限次的穿过x轴。使得我这个函数等于零。能理解吧，这里面当中有无数多个我画不完。所以有些点是省略号啊，能听懂吧，所以就说它会无限次的穿过s轴。而在这些点的时候，它这个sins分之一不是趋向零，它叫做等于零。注意这个问题，

也就说当你什么情况呢？无论怎么样哎，就说你这个问题，别管你这个领域取得多小，我这个人都会无限次的穿过这个s轴。无限次的穿过，那这个人等于零，那请告诉我x乘上sin x分之一是什么情况？你这个人不为零，你这个人等于零，这叫等于零，听懂吗？如果什么情况呢？就说在邻域范围内，这些人等于零，

如果你这个人等于零的话，你发现这个人做分母了。你做分母了，你告诉我这个函数怎么办？这个函数没有定义。无定义。就没有定义，我们刚才说如果这个极限要想存在，你这个被求极限函数一定要在领域当中处处有定义。那你又拥有一些没有定义的点，你肯定怎么办？你肯定是不存在的呀。所以说这个极限呢，是不存在的。哎，

不存在。那么，这个题为什么出错的原因其实也非常简单，所以市面当中啊，有些这个就抓住这个东西啊啊。各种说啊，其实你发现说的人家其实讲的都对啊。讲的都对，尤其是市面当中啊，讲了这么多年的这些老师讲这个东西肯定没有问题，这种东西还能不知道吗？所以有的时候这个B站的一些这种啊，更新的一些这种呃，一些博主啊，你发现各种就说啊，

这个人错了，那个人错了。我来讲讲这个事情。你发现当s趋向零的时候，这是s分之sins。这是一没问题吧？我想问一个事儿。把这个东西进行去推广，对还是不对呀？是不是一啊？对不对？我就问你个事儿，刚才为什么不对？刚才不对的原因在于，在趋向于零的时候，

这个分母会等于零，没有定义。你发现一个事，我这个框是趋向于零，我框又波为零。对吧，我这个框的话，你发现一个事，这个框不为零。对吧，这个框是不会为零的。那不为零的话，我这个函数处处有定义，你这个趋向零，那这个作比不就是一吗？

那为什么很多人把这个东西说错了，人家没有讲错，你硬生生说人家错了，为什么你在这里面当中玩儿了一个花样呗，你就说这个事情呗。你说这个东西不对。那为什么呢？因为你写的刁钻碑，你把人家这个东西改了，你写的是什么？你写的是x趋向零的时候，那在x趋向零的时候，这个东西怎么办？有可能。等于零。

那有可能等于零了之后的话，你发现这个人就没有定义了，那当然不对呀。那所以你会发现是故意改人家的东西，那当然的话，在这里面的话，把人应该改错了，人家这个写的是框趋向零，人家不为零。人家这个分母不为零，人家不为零，人家是有定义的，人家这个人可以的，你写的是趋向零，你趋向零的话，

这个人有可能等于零。你有可能等于零的话，你发现这个人可能没有定义，那没有定义的话，这个极限不存在那，所以你这个这这这就这就把人家胡搞了，对吧？是不这个问题啊，所以注意啊，人家这个是对的。你去看看各种参考书都是这样写的，没有任何的问题，人家写的是对的。呃，所以不要不要胡改人家这个东西，

尤其是做封面的时候，把这东西一写在封面当中，来了一个大大的叉号。对吧，博取那点流量，其实你就是浪费了很多考研学生的时间啊。你说实话，你就浪费了很多认知时间。那所以说你发现这是标题党呗，那不就是这个封面咔一个大叉号，很多人都想去点啊。好了，这是这个事情，能听懂我的意思吗？诶，

注意下这个问题。那么，所以这个部分的东西啊，你稍微注意一下就行了，其实这个部分内容对我们在考研的时候像我们三九六同学不会考的这么深啊。不会考这么深，但是你稍微注意一下，如果这个极限要想存在，它在这个处趋向过程当中，一定要处处有利益。对吧，一定要处处有定义。就行了呃，我稍微讲一个题，我们剩下的部分呢？

我们下节课再讲来看看这个题吧。看一下这个题啊。把这题我们稍微讲一下，讲完我们就下课来看看这个人。要不这样吧，你这个题下去自己做一下吧，我们下节课再讲。可不可以啊？下节课再讲，因为中午啊，大家吃饭去吧。然后的话，这个呃，我们下节课再讲呃，我点一下它的方向是什么呢？

它的方向就是你要保证在这个趋向下，它处处有定义。你比如说我如果在趋向下这个函数，如果等于几呢等于二，它就没有定义了。因为arccosine的定义域是负一到一。那趋向下，如果这个函数，比如说fs呢？fs这个人呃，他是什么？他是比如说我大于我大于一的，他就没有定义了。你想想是不是啊？你比如说这是ln，

如果在这个趋向下，这个fs小于零，那这人就没有定义了，所以说c也不选。如果在这个趋向下，比如说这个阿尔法是小，比如说是负一。如果这个人小于零，对吧？哎，这个东西你要注意，他没有定义就行了，你自己去控制一下。那rx 3也是这样，如果在趋向下这个东西大于一，

它就没有定义了，这这讲完了行，你做一下吧，我下节课再详细讲。哎，我下节课再详细讲，然后d选项自己要注意d选项是我们在基础班讲的第一个例题吧？如果fs极限是a绝对值的极限，是a的绝对值不能回推等于零的时候能回推下节课，我们再讲好这是这个题。我下节课这个题还会再讲的。好，那么今天课程呢？我们就讲到这，然后今天啊没有作业，

下一次作业是等到我们数列极限讲完。你先把那个第一个部分的作业把它做完，然后啊呃，下节课我会给你安排一个这个作业讲解的这个时间表。所以说后面我们是呃，当次部分作业做完了之后，我就给你当次讲那这样的话，但是有一个事情。这个课程是免费加的，一个额外的课程。啊，免费加的额外课程呃，为了不占领大家的话，这个正课的这个时间我一般会安排到晚上的十点钟。我说一下啊，

一般会安排到这个十点钟，因为我们的正课的这个时间已经很长了，如果再加这个加这么多习题课的这个时间呢？呃，没法加啊，所以说我就给你单独的免费给你进行加，那一般情况下我就安排到这个晚上的十点钟。不会占领你白天的复习时间，因为这是作业讲解课。啊，作业讲解课你就听自己不会的就行了。啊，听自己不会的就行，而且如果没有时间，你看回放都行了。

没有时间你就看回放。能理解吧，哎，没有时间你就看回放就行，你自己。针对于自己不懂的题，你就看哪一个题就行。你比如说这个题，比如说第十题我不会，我看回放我就看第十题也行。你比如说第五题，你不会的话，你就看回放看第五题也行，你要没有时间的话，你就不用看这个直播。

啊，所以这是一个免费的这个课程啊，所以说呃，作业讲解我们会跟着这个暑假所有的部分呢，我们都会给你讲啊，都是直播课程。好，那么今天课程呢？我们就讲到这，自己下去好好进行处理一下吧，行，那么今天课程我们就讲到这，大家吃饭去吧。然后我们后天应该是下节课，是后天的课程，

我们后天继续吧，好后天继续吧。哦，那个讲义已经在印了啊，已经在印刷了。好吧，好，那么今天课程呢？我们就讲到这呃，不是我们，我发给你那东西还挺多的，你先用着呗啊，你就先用着好。好，那么今天课程呢？

我们就讲到这儿，然后上次的作业啊，自己好好进行完成一下那个300题，然后那个800题自己呃错的题再看一看。对吧，错的题可以再做一做，一定要保证自己曾经做错的题，下次过程当中一定要会做，然后那个300题啊，你自己再把它写一写。如果你呃觉得这些东西都做完了，你想自己再多做一点，你可以自己再购买一本儿，这个习题类的书，但是这个习题类书尽可能是三九六的书。

不要去做什么的？这个数一数二数三的那种数。你明显你会发现一个事情，考题的方向都不一样，你就去买一本儿，我们三九六适合的这种书就行了。能听懂吧，就是我们三九六这个书就行，如果学有余力，你可以去做，但是不用去看这个有些。真是缺德，对吧？推荐的话，那个数一数二数三的那些书，

你发现这个考题的难度系数都不一样。方向都不一样啊，所以说你就做三九六那个适合的书，市面的话也很多，对吧？你自己进行去。呃，买一本自己去做就行了。啊，这是这个，然后的话，如果你还有时间，你就自己去复习别的吧，我觉得这个数学啊，70分应该是复习到这儿应该是足够的。

你还有这个逻辑和写作部分内容好，那么今天课程呢，我们就讲到这哦，对，还有个预习任务，那么下节课的预习任务啊，有两个事情。一个事情是数列。极限的定义。第二，事情数列极限的性质。然后第三个事情是定积分定义。求极限这个定积分定义，一定要好好看看，然后是加b准则。

的内容就可以了，好了，这是这个部分吧，我们就讲到这可以吧？吃饭去吧啊，不多说了，这是我们下节课的重点任务。好，下节课继续吧。呃，然后那个答案错了的话，你去看那个APP里面都有那个答案的刊物啊，都会有这个答案的刊物好，下一个见吧。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册