04.冲刺满分强化篇·题型6-7精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:06:46

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，提供回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。声音应该没问题吧啊，这个我们都提前测过啊，而且昨天晚上我们也上了这个课程，问题点应该不大啊，好了，那么接下来我们就正式开始吧。我觉得还是这个十点钟的，

这个状态会好一点，对吧？好了，那么接下来我们就继续回顾一下这个上次过程当中的核心知识点。那么，首先第一个事情，我们先做一个这个通知啊呃，我们这个上节课结束了之后啊，我们发了一下这个学生。300题啊，这个部分呃，这个题目啊，我们是分板块儿，然后跟同学们进行发的，就是随着我们这个课程的这个讲解啊，

然后逐步给你们发过去，是一个同步作业的东西。然后这个板块的东西啊，我们会做一个主题的精讲呃，但是现在啊呃，因为今天是周六，我们昨天沟通完了之后，这个设计没办法及时上线。呃，所以我后面跟跟他进行沟通一下，这个部分呢，我有个主题精讲。啊，就是每个题我都会给你讲呃，但是这个部分呢，

我是单独给你们弄一个部分呢呃，弄一个课程呢，还是直接冲到我们的这个课程？呃，回头我想想这个事情，因为问题点的话就是什么你的主客在一个文件夹里面对吧，文件夹里面如果说这个东西直接冲进去的话，那个主客和这个。习题的东西就放到一起了，就很麻烦，我希望的话就是这个主科部分是一个文件夹，然后这个习题部分是个文件夹。因为习题不是说你每个题都需要听，对吧？你自己有问题的题，

你再听好了，这个东西啊，我分开了之后，你自己就会非常清楚。然后主课是一个文件夹，然后这个习题部分呢，又是一个文件夹啊。好了，这是这个事情啊，跟同学们做个通知，所以说上面的题啊，每个题我们都会讲啊，只要你有问题的题，你自己过来当中啊，我们都会在这个直播间当中跟同学们去讲这个题有问题啊，

你也可以过来问啊。好了，这是第一个事情，那么接下来我们就正式回顾一下上次过程当中的核心知识点呃，那么这样吧，我们把这两天过程当中的内容我们稍微进行做一个串讲。因为这两天东西啊，还比较重要一点呃，一个是很多同学从这个基础班到这个强化班还没有做好这个角色的这个转变。一定注意学习这个强化班，必须要拥有一定的这个基础知识。对吧，你肯定是拥有的，你什么东西都不知道，你发现听第一节课就非常有压力，

我们学习变现函数，你不知道变现函数怎么去求导？对吧，这个问题点就非常大了，但是我上节课讲完了之后，你把上节课讲的那几种变现函数的非标准型情况。你把它给我转成标准型问题，点就不大了，所以说接下来我们就继续，我们来看看下面一个问题，那么首先第一件事情，我们先来看看无穷小问题。那么，在无穷小问题当中，其实两个事情，

第一个事情确定一个无穷小量。的等价无穷小。对吧，你进去去确定一个人的等价无穷小这个东西啊，很重要。啊，确定它的等价无穷小？啊，怎么了？怎么可能呢？对吧啊？好了，这是这个事情，确定一个人的等价无穷小，所以说这里面当中啊，

有几个事情第一个事情等价无穷小。哎，无穷小。替换公式，这是不是要记住啊？这个东西一定要记住，你最起码的这个八个常见的啊，其实我们还很喜欢考那个a的s- 1。你其实都观察出来了，所以说应该是九个常见的，等价无效公式，然后紧接着六个由这个什么哎，由这个泰勒公式推出来的等价无效公式。那么，而且我们还有几种特殊情况，

录一个函数趋向一立即等价无穷小，这个函数减一一个函数趋向一这个函数的阿尔法次方减一等价无穷小于阿尔法倍的这个函数减一。所以你看这种常见的等价无穷小公式，一定要记住，因为到了这个经验过程当中，肯定会出题。对吧，一定会出题的，100%会在这里面当中出题的点好了，这是第一件事情，然后第二件事情等价无穷小。无穷小。替换使用的原则。对吧，这个原则，

所以说第一件事情你要注意，它是乘除法，可以用加减法慎用，然后这个加减法我们看接。如果这两个东西是不同阶，何取低阶？如果这两个东西是同阶，我们再来看，等价到最简形式。所以说这个问题啊，我相信问题点都不大了啊，这个上次过程当中我们讲了一些题啊，还是很具有操作性，那么像这里面当中我们再来提一下这个事情。呃，

比如说这里面当中啊，我们稍微的看几个。其实在这个上，上次是不是多一点好了，我们比如说看这个题。你看这个东西，我在写的时候我不是真的给它等价，我是仅仅是把它看了一下。对吧，仅仅看一下这个人的等价是多少，这个人等价无穷小于二分之一二s，仅仅是看了一下。然后这个人等价呢，等价无穷，小于二分之x方，

不是真的把它等价了，我是仅仅看了一下。把这个东西等价的最简形式，我看了一下诶，不同阶何取低阶同阶，如果不能相交就直接等价。所以说这个问题点呢，难度系数不大，所以另外一件事情你要注意啊，如果你半天都没有看出结，你赶紧给我使用洛必达法则。能听懂我的意思吗？好求导的时候可以使用洛必达法则，你注意这个问题啊，所以说这个替换原则，

如果相消掉。对吧，如果把它消掉了呢，你可以进行去走化简的路线泰勒公式啊，一般不是首选对吧，一般不是首选啊。宁肯用洛必达法则都首选，不要首选这个泰勒公式，因为在这里面当中，我们考题的这种风格，它决定了这件事情要注意这个问题。好了，这是第一个点，然后接下来我们再来看第二点。哎，

第一个事情是这个，然后第二个事情无穷小。哎，无穷小比阶的问题。那么，无穷小量它是怎么进行去比接的呢？稍等一下，我把这个字体换一下。好，这样好看一点，无穷小量比阶，那么它通常有两种操作，第一件事情怎么办？我可以进行去找等价无穷小的啊，这个什么公式？

对吧，利用等价无效公式找到等价无穷小，找到这个人的等价无穷小了之后无穷小量就可以看到它的解数。那么，第二件事情怎么办呢？我可以怎么办？两者之间作比求极限，这是这样的一个问题。如果是变线函数呢？这里面当中啊，有一种特殊情况。啊，变现函数，所以说对于变现函数，我们也会做了，

所以今年的考题啊，它肯定不会超过我们现在已有做的这些变现函数，找这个什么？无穷小量接的这种难度系数，所以说另外一件事情。导数定阶法。对吧，导数定解法哎，这个问题点呢难度系数啊，稍微的会具有操作性一点啊，像我们今年在这个考研，如果说最后进行出题。它基本上而言，也就是我们在已有的这种难度系数以下的部分啊，就基本上这样，

这个样子好了，这是这个部分当中的第一个信息点。第二信息点，我们再来看第三个事情。函数极限计算。这个部分必出齐，那肯定的呀。函数极限计算肯定是必出题的，那么这里面当中已有的几种方法得把它掌握清楚。你比如说我们这里面当中的洛必达法则。洛贝达法则学清楚了吗？一定要注意，洛必达法则是有三个要求。如果尤其比较重要的就是第三个要求，第三个要求就是导函数之比的这个极限，

结果是个数或者无穷大，它们两者才相等。如果后面的极限结果是震荡的，两者之间是不相等的，所以啊，洛必达法则不能从前推到后。这是这样的一个原因，如果后面之比的这个极限不会震荡，肯定是可以从前推到后，所以你看这个操作性就立即出来了。好了，那么接下来我们来看看函数极限计算当中的第一个类型问题。对吧，第一个问题，拿到函数极限计算怎么办？

第一件事情当然是定型。那定型完了之后，然后接下来我们再看看能不能化简，能化简我就化简。其实啊，有些同学都来不及进行化简，早都把它操作了，把形一定看看是七种未定式当中的哪种未定式。对吧，看一下是七种未定式当中的哪一种，所以这里面当中啊，你要注意第三件事情就是七种未定式。未定式，那这个七种未定式啊，喜欢考三种，

一种是零比零，一种是这个无穷大减无穷大。一种是一的无穷大，这三种尤其是无穷大减无穷，大可能以前过程当中我们做的这个东西啊，不是说特别多对吧？哎，不是说特别多，那么像无穷大减无穷大能通分就通分，通不了分倒带换，然后第三件事情还有个提毛法。把这里面当中的最大的卯提出来，这个难度系数啊就有点大了。对吧，难度系数稍微的会高一点，

所以说你在强化班过程当中一定要高要求自己啊，这是这样的一个问题。然后接下来我们再来看看下面一件事情，那么在上节课过程当中啊，我们还讲过一些特殊情况。比如说你发现设计什么？变现函数。的函数极限计算问题。掌握清楚了吗？涉及变现函数的函数极限计算问题，那么像这种类型问题啊，我们首先想到洛贝达法则。当然，这里面当中你要会变现函数的求导，你要会非标准型化成标准型，

你就把我上节课讲的五种情况，把它反反复复。它超不过这个难度系数。绝对超不过这么多年的数一数二数三，像这种变线函数的非标准型的画法，来来回回也就这几种。所以我们把这几种掌握清楚啊，基本上都在我们的控制范围内，然后这里面当中还有下面一种情况。涉及什么？涉及抽象函数。哎，抽象函数。抽象函数的这个函数极限计算问题。那么，

在这里面当中啊，我们总结的方法是第一件事情，使用洛必达法则。但是要注意落到哪节呢？落到这个抽象函数连续的那节。对吧，哪一天是连续的，我落到哪一节，这是我们出题人的这种风格。因为落到连续那一节，最后那个极限呢，它一般是能求的。但是你发现有些的话，你在市面的过程当中做的一些野蹄，我说一下啊，

这个野蹄。这个野啊，这个野蹄。你做的一些野题啊，落到连续的那一节呢，那个极限有可能是震荡的。所以说他就说哎，你看你不说落到连续那一阶吗？结果你发现一个事情，我落到这一阶了之后，我设置这个极限怎么了？震荡了，你发现一般不符合我们出题人的这种风格。你能理解我的意思吧。所以一定注意啊，

一般题目当中，如果告诉连续那一到了那个极限，要不然就直接算出来，要不然再凑定义，然后也出来了。啊，一般都出来了，但是你发现你做这些野题，它都会出现什么情况哎，落到连续这一节吧，你看这个极限，我设置一下，你看震荡了吧？所以说你发现老是喜欢搞这种东西啊。好了，

这是第一件事情，如果落不动呢，立即使用导数定义。对吧，立即进行去凑到数定义，然后第三件事情我还是想讲一下这个事情，我们今天再来看看啊，因为。这个在前天的时候讲这个数一数二数三同学的这个课程的时候，然后就遇到了这个问题，就是存在。连续还有可导三者之间的关系，我稍微再说一下，你自己好好进行去思考一下这个问题。呃，

像这个市面的过程当中啊，你肯定看到那个题。就是估计有些同学在这个各种网络上都已经见过，就是哎，我大致写一下，我现在不好写啊，你看一下现在写的有点儿丑。就是这个人等于。就那个题告诉我什么呢？告诉我好像是二阶连续还是一阶连续好像告诉了二阶连续啊，你自己去试一下。嗯，不用试，不用试，不用试，

不用试啊，一试把我们辛辛苦苦建立的体系都给弄没了，就这种野蹄啊。看起来很简单啊，其实就是在骗人。好了，那么接下来我们再来看看第一件事情连续与存在。注意啊，是同一级之间。同一人之间。那么，同一个人之间呢？是这样子的，如果fs这个函数在这个点处是连续的fs这个人在这个点是存在的。fs这个人在这点是存在的，

推不出来fs这个人在这个点是连续的。能理解吧好，这是第一件事情，然后第二件事情我们再来看你看这是连续和存在之间，然后接下来我们再来看看连续和可导之间。那么，这里面当中啊，有两件事情，我们有两种说法，第一种说法用什么东西呢？用可导的这种说法。说法，但是你要注意一个问题，用可套的这种说法，它是这样说的。

说的是这样说，如果。这个函数去求导对吧？它是这样说的，如果fs怎么了？fx在这个点处刻到。或者是f导s在这点可导，我能推出什么f导s在这个点连续？没问题吧，然后高阶连续，然后这个东西啊，低阶连续好，这是这个问题，然后接下来我们就继续，我们再来看看下面一个问题好，

这是这个事情。然后接下来我们再来看，如果用存在的这种说法，你稍微等一会啊，存在的这种说法一般是第一级吧。比如说二阶导数存在二阶导数存在是一阶导数连续，那我问你件事情，如果一个题目说的是这样子说的。你听好了，它说fx。二阶可导。你告诉我啥意思？二阶可导，什么意思？注意啊，

二阶可导，意思就是可以导到二阶，二阶导数是存在的，你看完了完了完了。呵呵，你看混了吧？二阶可导的意思就是可以导到二阶，二阶导数是存在的意思。能理解吧，二阶可导。二阶可导根。二阶导数在这个点可导。可不一样啊。哎，这个不一样。

二阶导数在这点可导，二阶导数在这点连续。所以你发现一个事情，这个内容点呢，一定要梳理清楚。它题目就会这样说。所以说一定要注意，有同学说啊，你看二阶可导，老师说是可导，这种话说同一阶连续嘛？二阶可导的意思就是二阶导数是存在的。这题目会出现的啊，你看这个大骗子题啊。好了，

这是这个事情，所以说这就是我们在上次过程当中啊，讲解的核心重点内容，你下去好好梳理一下，尤其是我们最最后讲的那个版块内容。我们去年已经有出题的这种引子了，对吧？所以说今年过程当中啊，稍微进行注意一下好了，那么接下来我们就正式开始，我们来看看今天的核心重点内容。利用拉格朗日中值定理求函数极限啊，那么首先第一件事情我们先来看看拉格朗日。中值定理。的内容啊，

我们先来看看这个东西的内容。注意一个问题，有些同学上课抄笔记啊，都能抄错，我前两天的话，我看到一个同学在那个网上发那个笔记。我一看嗯，这是我上课讲的吗？积分终值定理要求是必区间连续。拉格朗日中值定理的要求是B区间连续开圈可导，不要记差了啊，好了，那么接下来我们一起来看看这个事儿，拉格朗日中值定理。你别上课抄。

呃，那个那个接接触接触接触呃，不动了好了，那么接下来我们不影响来，我们继续吧，我们来看看今天的内容。好了没有？可以了吧？来我们一起看看它内容是这样说的，说如果有一个函数。它怎么了？它在B区间上是连续的。开区间上是可导的。然后怎么办呢则？至少怎么呢？

至少会存在有一个可塞。属于这个a到b使得什么情况呢？使得这样的一个东西使得fb-fa。然后等于多少f撇可塞乘以个b-a。好注意啊，这其实就是我们拉格朗日中值定理的内容B区间连续开圈可导，中间一定会有个可塞属于a到b，使得b-a等于。的函数值，然后等于f撇cos塞乘上b-a好了，这是它的内容，但这里面当中啊，有一个非常重要的定式思维。对吧，非常非常重要的定式思维。

呃，后面我们讲中值定理，我们再说，比如说这里面当中的这个条件B区间连续改成开区间连续就不对了。所以在我们的考研过程当中，中值定理不是用来进行证明的。中值定理是用来做这个什么做这种一般的计算题，或者了解这个东西的基本概念就行啊，后面我们来看看这个事情。然后我们再来看看下面一个事情，定时思维。有一个非常强的定势思维，我们写一下。相同对应。法则两函数做差。

立即想到。拉格朗日。哎，注意立即想到拉格朗日不，我想把这句话对我们三九六同学做一个更改啊，这是数一和数二同学数三同学的话。我们要做个更改。相同对应法则两函数做差万不得已。啊万不得已的时候，想到拉格朗日中指弟弟。能听懂我的意思吗？其实我们以前讲的那些方法论足以进行去处理，考研当中的所有的核心重点的题了。你对于我们考研基本上没有什么问题，所以你要注意啊，

万不得已的时候想到拉格朗日中值定理，你注意，这才符合我们的考情。能理解吧，所以这就是这个稍微的进行去差异化的点，那么接下来我们来看看这个事情为什么要想到拉格朗日中值定理呢？它这个内容是这样讲的好，我们一起来看看。那么，如果遇到这个相同对应法，则两函数做差问题，你比如说fb-fa。它等于f撇可塞，乘以一个b-a。好，

这是这个情况，那我问你个事，这个可塞是不是一定会大于a小于b啊？注意不要这样写，你应该写什么？叫做可再介于什么东西啊？a与b之间。你如果知道a小b大，你就写什么，你就写从a到b，如果你知道这个BB小a大，你就写这个人。为什么呢？我们来看看这个事情。一定是这个大的函数值减去小的函数值吗？

不是的，比如说我举个例子f2-f一。等于f撇可赛，乘上二减一，现在这个可赛就是大于一小于二。但是同学们，你发现你看我把这个东西啊调一下。调一下了之后的话，这个人就变成了f一减f二，然后这个东西就变成了多少就变成了一减二，行不行？行啊，两边同时乘上负号一样的呀，还是这样，但是你看现在这个可赛，

你能写成这是b这是a能从写成a到b吗？你不能写成a到b，你应该写成。一到二这个时候变成b-a了b到a了。所以一定注意，如果你知道这俩谁大。知道谁大你就写，从小到大不知道谁大你就写介于两者之间。要注意这个问题啊，但是其实我们都不用关注这个问题，为什么呢？因为我们考题啊，不用进行去写这个过程。都是这个选择题，所以说你至于你写没写介于之间，

你知不知道这个东西是介于之间知不知道谁大谁小，其实影响不大。好了，那么接下来我们一起来看看几个问题，先看第一个题。好，先看这个题。那这个题啊，你发现当s趋向零的时候，那趋向零的时候，这个部分呢，是四次方当s趋向零的时候，这个部分是零。然后上面这个部分也是零零比零型的未定式。零比零型的未定式啊，

这个题怎么做？你当然可以在这里面当中使用洛必达法则。对吧，可以使用洛必达，但是你发现下面求导还行，这个求导就稍微的会麻烦一点，所以说我不喜欢使用洛必达法则。那别的方法呢？别的方法也不行，你比如说你看你在这个后面过程当中减个一，这是个二节，这是四节。低阶比上高阶是无穷大。你看这是二阶，这是几阶，

四阶，低阶比上高阶是无穷大，所以说以前做的这些方法用不了了。穷途末路了，那么接下来我们再观察标志，那这时候你发现相同对应法则函数做差，那这个函数是谁呢？这个函数很明显是cos。然后这个b是谁呢？这个b很明显是s in，然后这个a是谁呢？这个a很明显是s，那这个函数啊，很明显在负无穷到正无穷都是连续的，而且可导的初等函数嘛。

所以说在这里面当中，我们就可以做了，立即怎么办？立即可以拉一下，然后这个人的导函数是多少负的sin cos？然后这个b-a是多少b-a是s in再减去x，然后比上s四次方。那这时候你知道这个s in大还是s大吗？呃，我稍微讲一点点，其实你都知道不等式是这样，当s大于零的时候s是比s in大。当s小于零的时候s是比s in小啊，这个东西啊，我们后面再做总结啊。

这个知道吧？哎，这个知道，所以说你发现一半边是x大，一半边是s in大，因为趋向于零，有大于零和小于零两个部分。那这个时候就不知道，所以说同学们，你不知道这个东西的大小，你就写，可再怎么办？介于这两者之间。介于这个三与s之间。能理解吧，

要注意啊，介于两者之间，你看这个人就可以做了，立即等价无穷，小六分之x三次方，所以说这个人就可以约掉一下了。一约六分之一抛到前面去。s分之多少sin cos？然后接下来我们继续看啊，有些同学做这个题啊，做的不好。可赛是介于两者之间，比如说我们是从二到100中间拉格朗日的，那可赛应该是介于二到100。你能说这个可赛就等于二吗？

你能说这个可赛就等于100吗？不能有些同学做这个题啊，直接把这个可赛换成了s，这是非常荒唐的。绝对不对，怎么做呢？你看这样做。那么，当这个什么？当这个可再是介于两者之间，当s趋向零，你是零，当s趋向零，你是零。所以说，

当x趋向零的时候，这个可赛一定是趋向零的，那趋向零的话，你发现s in框立即等价无穷，小框变成这样。那所以说可赛这个人比上x，他就介于多少介于这个sins比s，然后和谁呢和一之间。没问题吧，然后这个极限是几趋向零的时候，极限是一，这个极限是几，这是一，所以说这个极限就是一一加，中间是一六分之一。

能听懂吧，所以说这个题啊，正确答案选择c选项。但是啊，其实你发现那些把这个什么把壳塞直接换成s同学，他也做对了，对吧？好，这是这个题，只要你能想到拉格朗日中值定理啊，都可以，但是你要注意啊，你直接把那个可赛换成s是不对的。你要抓住这个正确的这个方向性。好了，

这是32题，能理解吧？好，这是这个操作性啊，注意写介于两者之间。然后这俩人都是趋向零，那你发现可再就趋向0s in框，立即等价无穷小于框，然后这个一比呢，就介于这两者之间，俩人都是一，它就是一。能学会吧啊，这个不难啊，这个不难，

你能学的会的好了，那么接下来我们继续，我们再来看看33题。来看看这个人。那这个题怎么做呢？好，继续看。当s趋向于正无穷的时候。然后这个时候你发现啊，这是加b准则，这能看得懂吗？两边极限存在，且相等吗？推中间极限存在。好，

应该能看明白吧？好，我们再来看看下面这个题。当s趋向正无穷的时候，你发现啊，你看这个人。这个人是什么？这个人是震荡的。因为你发现看这个s in这个人。它是这样，它在无穷大方向是震荡的。那这个是震荡的，这个是震荡的，两个一减是不知道的。因为你在负一到一，

我也在负一到一，两位减是不知道的。那这题怎么办？有些同学比较疯狂，他说老师当x趋向于什么东西呢？趋向于正无穷的时候。我知道。s比一大的多，所以说这个东西抓个大头变成它，哎，然后这个结果就等于零。对不对？对还是不对呀？哎，胡来啊，

纯属胡作啊，这个叉号太太粗了。纯属糊涂。肯定不对，你要注意一个问题啊，抓大头适用于无穷大比无穷大的未定式。不要乱用啊，你这一弄就废了，那这题怎么办？你发现以前的方法都不好用了。洛必达法则用不了。无穷小，这不是无穷小。然后的话，还有四则运算不能拆开。

因为都不能租。所以你会发现以前的这种现方法呀，它这个不动不能用了，用不了了，那么接下来怎么办？哎，你发现不就是我们现在说的万不得已穷途末路吗？那所以说接下来我们再观察，你发现这个人是什么情况呢？那这个人是一个对应法则，这是对应法则，两个是相同的对应法则，相同对应法则，两函数做差问题。我可以把这个函数呢看作成3a，

我可以把这个b呢看作成根号s+1，我可以把这个a呢看成根号s。相同对应法则两函数做差问题是不可以拉一下？所以接下来我们来拉一下，一拉的话，你发现这个人求导是多少？就是cosine cosine cosine。然后这个时候变成多少变成了b-a。好，做成这样。然后接下来我们要写了，这可赛氏怎么办？介于这个什么哎，这个知道它谁大，因为这个人的话，

你发现这个人很明显要小一点，这个人很明显要大一点，你就这样写了。介于两者之间，然后接下来我们就继续看，当这个is趋向正无穷的时候，你发现这是cosine cosine，接下来怎么做？两根号做差，立即想到有理化吧，所以说这个题就变成了根号s+1。然后怎么办？加上一个根号s。然后有理化了之后的话，你发现诶这个东西的平方减去这个东西平方，

这个人不就是一吗？然后我们再来看一下。当s趋向于无穷大的时候，你发现这是趋向减，趋向零，而这个人是个什么？这是个有界变量啊。无穷小乘有界，无穷小无穷小的极限是零，所以说这题的正确答案选几啊选b啊？哎呀，这题出的不好。啊，出的不好。你发现这个。

讲的不能条条大路通罗马，对吧？这个题你发现抓大头的同学也选对了。做对的同学也做对了。包括什么情况？想到拉格朗日，有些同学说，哎，这个东西一抓是根号s，根号s减，根号s是零=0，他也做对了。你像这种凡是好多做错的同学，他都做对了，这个方法不好啊，

这个题不好，不是这个方法不好。行吧，那这个题啊，我们就先说到这。好吧，33题来继续吧。看一下这个题。好，继续来做这个题。那这个题啊，当s趋向正无穷的时候，你发现这一项是无穷大。当s趋向正无穷的时候，这个部分的极限是一吧。

对吧，你看这个极限是一，然后阿尔克tangent 1呢，这个部分是四分之派，四分之派减四分之派是零。凌晨无穷大的未定式。那凌晨无穷大未定式怎么做？那通常是这样，把一个人进行下放，把一个人进行下放了之后，使用洛必达法则或者使用别的方法。对吧，反正就是转成零比零型，未定式或者无穷，大比无穷，

大型未定式，那你想想一个事情。当s趋向正无穷的时候，你发现这是四分之派，然后再减去阿尔克tans比上s+1这个人移下去。然后这个时候就变成了零比零型，被定式。你喜欢做吗？这很恶心的。不太好做吧。你发现这个人这个人零比零不好做，洛比达法则吗？诶，不是说特别好做。那既然这个东西不好做，

我们接下来我们再来看看还有没有别的方式进行选择呢？诶，我观察了下。两人做差，这是arctan ENT，而我们都知道四分之派是几啊？四分之派不就是arctan ENT 1吗？所以说你发现我把这个人写成多少写成arctangent 1，然后这是arctangent题s，然后。这个比上s+1。是不是写成这样了？你看四分之派arctangent 1，这个时候我就进行去创造了一个什么相同对应法则的两函数做差问题。那这时候呢，

你发现使用的拉格朗日的函数是arctangent。使用的这个b是谁是一使用的这个a是谁使用的a是它？然后这个时候我们就可以怎么办？我就可以进行去拉一下了。那么，接下来一拉拉完了之后的话，你看这个人的导函数是多少？导函数是一，加上这个人的。平方分之一。然后紧接着是b减AB减a是一减去s比上s加一。然后接下来继续这个可赛是什么呢？可赛是介于两者之间。那很明显，这个后面这个人呢？

他是比一小的哦，比一小的话，这个人就是大于他小于一，有人说老师，我怎么没有看出来比一小？如果没有看出来，你就写介于两者之间就行，影响一点不大好了，那么接下来我们就继续，我们再来看。当s趋向正无穷的时候，你发现继续看。呃，我说一个问题啊，有人说那f为什么不是x倍的它？

那x倍的它，你发现x倍的它，这也不是x在一处的值啊。如果说x倍的它的话，应该是一处值是一×arctan一啊，在这个处的值应该是s比上s+1，再乘上arctan这个人呐。你去试一下，另外而言的话，你发现如果用x倍的，它求导也不好求啊。你是为了什么？你是为了做题，不是为了恶心自己。你想想是不是？

另外一件事情，你说的这件事情，第一件事不成立。第二件事情，那个求导非常的恶心。嗯，注意一下这个事怎么简单怎么来嘛？好了，这是这个问题，然后接下来这是一加上可再的平方分之一，然后这是多少？这是s+1。你发现这是x+1再减去它是一，然后这是x把这个东西啊哎，你看一抓这个极限，

结果是几一抓这个极限是一抛出去。立即就变成了这个人。一加可赛方分之一。然后接下来我们再来看当s趋向正无穷的时候，这个抓大头是一吧，这个极限是一吧，我们一加中间极限，结果就是一。如果这个极限是一，你看下面是二，上面是一一定是吧？做完了。所以说这题啊，正确答案选几啊，正确答案选择a选项这个结果。

你看这个题，所以说这个操作性呢，你看有些同学又跟不上。这个结果是x加一分之一，我把这个x写到了这儿来了。好注意啊，这个。思路要跟上啊。你是个强化班，学生跳这一步，这不算跳步吧啊。好了，这是这个事情，34题。那么，

接下来我们就继续吧，我们再来看看下一种类型问题。左右开工法求极限，所以说刚才讲的这个拉格朗日中值定理这种求极限。一定注意穷途末路了。对吧，穷途末路了。或者而言的话，在这里面当中万不得已了，你再去想。如果加b失败了怎么办？那就别做了。那就用不了呗，那你还能怎么办？哎呀，

我发现这个强化班有同学问的这种问题啊，真的是。你问的问题是真的让我。有的时候我真的没法回答。那么，接下来我们就继续，我们再来看看下面一个问题，左右开工法求极限，那么先来看看第一件事情，左右开工法求极限的内容。啊，先看内容。那这个内容是什么呢？就这个内容就说，如果s趋向于一个点。

它的极限结果是等于a。它的充要条件是什么？那就是趋向于这个点。它的右极限。等于这个点处的什么？等于这个点处的左极限。都等于a。好，这是这个事情，所以就是你发现如果这个极限等于a啊，左右极限都存在，且相等都等于a。另外一件事情，如果这是limits趋向无穷大，这个极限结果等于a呢？

它的充要条件是什么？它的充要条件是limits趋向正无穷的极限。和limits趋向多少，limits趋向于负无穷的极限存在，且相等都是a。好了，这是这个问题。所以我们在这个操作的时候啊，你要注意它必须要分成左右极限吧，但是问题来了是每个题都需要分成左右极限吗？是不是啊？是每个题都需要分成左右极限吗？不是的吧，做了这么多题都不需要分成左右极限。所以说需要分成左右极限是少数，

不是多数，所以接下来我们来看看第二件事情，常见的需要进行去分类的形式。需要进行去分左右极限的形式，那么接下来我们来看看这几种那核心重点，其实有五种情况。对吧，有五种情况，那么接下来一种中讲一下第一种e的头顶棒无穷大跑行。学内容的时候啊，不要只知其形，要知其本质e的头顶必须往无穷大跑才有分。我举个例子，比如说你看第一个事情。为什么要分呢？

e的正无穷是正无穷e的负无穷是零，比如说我们来看这个人当s趋向正无穷的时候。那这个es分不分呢？它是要分的对吧？这个东西是要分，然后这里面当中当s趋向正无穷的时候e的正无穷是正无穷。如果s是趋向于负无穷的时候，这个e的负无穷是趋向零。那这种情况分，但是你要注意再来看第二件事情，如果改成s趋向零，那这人还分吗？就不分了，因为e的这个零呢，它是一这个东西啊，

它就不分了。然后再来看第三件事情，如果改一下s趋向零的时候是e的s分之一分部分的。诶，这个人要分为什么呢？趋向零有零正。零正的时候比零大一点点分之一就是正无穷，那e的正无穷是多少呢？e的正无穷正无穷。如果s趋向零负，你发现s分之一就趋向多少？趋向于负无穷e的负无穷是几e的负无穷是零。你看这种情况，它就需要分。但是你要注意第四种情况，

如果改一下x趋向无穷大，那这人还分吗？诶，这个人又不用分了。对吧诶，这个人又不用分了。对吧，来看最后一个人，那最后一个人呢，又不用分，为什么呢？因为你发现你看无穷大分之一是0e的零是几啊e的零是一，所以说这个东西啊它。它就不分了。因此，

同学们不要记什么东西呢？有同学说，我记es角分，我记es分之一角分，这都有问题，要抓住这个问题的本质。它的本质是e的，头顶是无穷大，它才有分。注意啊，不要说见到什么es交分，见到es分之一交分一定是e的，头顶是无穷大才要分。好注意下这个问题啊。第一种，

然后接下来我们再来看看第二种arctangent体。它的后面是无穷大跑线。好，我们来看看这个人呃，阿尔法塔的图像啊，是非常简单的，正无穷是二分之派，负无穷是负二分之派，而且这个人呢，是个有界函数。能理解吗？那么在这里面当中，头顶还是这样，比如说我们看一个如果s趋向零。有arc tangents分之一分不分呢？

要分吧，为什么呢？arctan的后面是无穷大，当然要分，所以说这个时候要分成趋向多少零正？零帧的时候分之一，这是正无穷，那既然是正无穷，阿克塔尼的正无穷呢？那这个东西是二分之派。然后再看，如果s趋向零负s分之一就趋向负无穷，那arctan ENT负无穷是多少呢？负无穷是负的二分之派。是吧，

这个东西啊，它就需要分，但是你改一下，如果这个人改成s趋向无穷大，那arctan s分之一还分吗？就不分了，为什么这个是0 arctangent 0是几啊arctangent 0就一定是零就不用分了？所以一定要想清楚啊，一定要知其本质，这个后面这个极限结果必须是无穷大，它才要分。跟得上我的意思吗？所以我觉得这个今年考这种情况的几率还是挺大的。因为这些年呢，都没有怎么去看这个左右开弓法求极限这种考题啊。

好了，我们再来看看第三种。啊，第三种绝对值。那么绝对值这个东西啊，是什么情况呢？我们可以这样写。啊，绝对值绝对值这个东西啊，如果它在里面。正负性发生改变了，就需要分。正负性发生改变了，比如说这个人是趋向零的，他就要分。

那比如说我们看看第一个人。如果这个s是趋向零的。那趋向于零，你发现看里面这个人要不要分呢？要分因为零正的时候大于零。零负的时候小于零，你看这人叫分我趋向零正的时候s是大于零，绝对值是等于本身的。如果s是趋向零负的时候s是小于零，绝对值是等于相反数的。是吧，这种情况，然后再来看，比如说s是趋向一趋向一，这里面当中有x- 1分不分呢？

你叫分，因为大于1 x- 1就大于零。如果小于一减一就小于零，那这个情况它就要分，所以说如果趋向于一正。对吧，如果趋向于一正的话，你发现s是比一大的比一大的话，你发现减个一呢，减个一就比零大就是它。如果这人是趋向一负s，就比一小比一小，再减个一呢？那这人比零小就是一减s。是不是这个情况，

它就需要分，然后再来看看第三件事情，其实你看还有一种情况。比如说如果有s趋向无穷，大分不分呢？分不分？要分为什么呢？你看里面正负性发生改变了。如果s是趋向于正无穷s是大于零的绝对值，是等于本身如果s是趋向于负无穷s是小于零。绝对值会等于相反数。是不是这个情况？所以说这个问题点呢，它就需要分。跟得上我的意思吗？

哎，这就是它的一个操作性。所以一定要注意绝对值为什么分呢？就是里面的正负性发生改变了，往往是趋向零。啊，趋向零，它需要分。趋向于无穷大，这是特殊情况。好了，我们这是第三种情况，再来看看第四种。唉，第四种第四种啊，

我们要稍微进行去复习一下这个函数，但是这个函数如果在考研考。他一定会告诉你它的含义。它必须要告诉你的含义，谁呢？取整函数。啊，这个取整函数。注意啊，只有他说了，这是取整函数这个括号才是取整的意思。不然这个括号都指的是中括号，听懂我的意思吗？你不要将来学习魔憎了，对吧？

见到这个括号诶诶，这不是取整吗？学疯了对吧？哎，注意啊，这不是大纲直接要求的函数。不是直接要求的函数，只要在考研过程当中见到，一定注意它会说明。只有它说明了它是取整函数，它才是取整函数，能听懂吧？好了，这是这个事情，所以接下来我们看看它表达含义呢，

叫做不超过。x的最大整数。不超过x的最大整数。好这个人啊，那么接下来我们来看看这个事情什么意思呢？你比如说如果这里面当中写了个派。这是多少？这三点一四吧，不超过它，那就是三。e呢。一约等于二点七一八吧。那二点七八不超过它就是二。如果这是负三点一呢？不超过它呢，

这个东西就是负四。能理解吗？哎，这是负四好了，那么接下来我们就来看看这个事。继续那这个部分，它是这样。如果这是零，这是一，这是二，然后这是负一，这是负二。大家想，如果这里面当中它是这个情况。等我一下，

我把它复制一下。如果它在这儿一区阵就跑到这儿，如果它在这儿一区阵就跑到这儿，如果它在这儿一区阵跑到这儿。如果他在这儿一区阵就跑到这儿。所以取整永远是往下面跑，所以叫做取下整函数，不叫取左函数。取下正函数。好了，这是这个事情，所以我们通常会碰到这种情况，我们需要分。对吧，取整函数。

比如说我们来看看这个事。比如说第一件事情，如果这个s是趋向零，有取整函数分部分的。分不分它是要分的。那为什么呢？因为你来看看这个事。如果趋向于零正。零正是比零大又没有到零零的右曲线领域，右曲线领域这一堆啊，一曲整就跑到零。此时的取整是等于零。如果是趋向零负，它是比零小，是这个部分，

那这个时候一取整跑哪去了？跑到负一去了。是不是这个问题？那比如说是二二正的时候取整是二二负的时候是负一，所以因此啊，如果有取整函数，而且这里面当中的这个s是。是趋向于整数点的，我们就往分。好了，这是这个问题，问题点不大哦，好，我们再来看看最后一个。这是第四种情况，

然后第五种情况，第五种情况用的最多，那就是分段函数。那分段函数在分段点处的极限，但是要保证两侧的这个东西的东西不一样。哎，分段函数在分段点处求极限两侧不一样的时候才要分。你想想这个事情，你看我要求这个点处的极限大于零的时候，是对fs求极限小于啊，这个大于s0的时候对它求极限。小于的时候对它求极限，这叫。所以如果这个点的两侧的函数不一样，我才要分。

如果这两侧的函数一样，你就不要分了。对吧，一样就不需要分了。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这儿跟得上吧，哎，所以说这个操作性不难。需要分类的形式就这五种情况。那么，第一个事情e的头顶是无穷大，第二个事情arctan后面是无穷大，第三个事情绝对值里面往零跑。第四个事情，

取整函数里面当中的东西，往整数点跑。最后一个事情，分段函数在分段点两侧不一样的时候，我们要分。好了，那么接下来我们来看看一个题来看这个题吧。35题，这个题。看一下这个题，那这个题啊，它说了一个事情，已经知道这个极限是存在。赶紧来看有没有分类的标志啊，有啊，

绝对值里面往零跑要分，然后这是无穷大阿尔克探针后面往无穷大跑就要分。所以说这个题啊，一定需要分成左右极限，因此这个题啊就是左右开工法的极限的题。对吧，就是左右开公法极限的题，那这个极限存在，那就是左右极限存在且相等呗。因此啊，这个题它就是这样。那就是这样，我要去求什么呢？我要去求这个人的右极限，我而且还要求这个人的左极限。

右极限，左极限，左右极限都求出来，左右极限存在，且相等就行。好，那么接下来我们先来看看右极限。优极限这个事情，它比较简单。你看当x如果趋向零正x分之一，肯定是趋向正无穷。那这个时候的arc tangents分之一呢？它肯定是趋向于二分之派。好，这个点，

而且此时这个绝对值啊，它是等于本身的。所以我们来看看这个极限，这是limits趋向零正告诉我第一个部分的极限存不存在，存在见到存在就拆开，这是a倍的。arc tangents分之一，然后第二个部分呢，就变成了s趋向零正一加s的s分之一次方。然后第一个部分极限出来了，这是二分之派，再看这个人。那这个极限呢？如果有些同学记住重要极限，你可以直接写了什么叫重要极限呢？

符合一的无穷，大的最简形式，你看一加s的s分之一，这是一的无穷，大的最简形式，那这个东西啊，是重要极限，它是一。然后再来看当s，如果是趋向无穷大呢，那就改成这个样子。这也是一的无穷大，一的无穷大的最简形式，它才是重要极限。或者而言的话，

你就直接做这是一的无穷大答案，等于多少一的极限符号照抄。头顶照写d- 1，所以说也不费脑，那就是二分之派a，再加上多少加上一。一样的哎，都不费脑来再来看看第二个人，如果这个人是s趋向零负呢，趋向零负比零小。分之一就趋向于负穷。那趋向于负无穷的话，你就发现这里面当中的arctangent这个人就趋向于负的二分之派，而且此时的这个绝对值啊，一定会等于相反数。

是这个问题吧，相反数所以我们来看看这个事。第一个人这个人极限是负二分之派，见到存在就拆开，所以说这是s趋向零负a倍的arctangent x分之一。然后再加上limits趋向零负，然后这是一减s的s分之一，那这个时候的极限就出来了，这是负的二分之派。你再看这个人呢，你要不想进去去看什么重要极限，不用看哦，直接就是一的无穷大定势思维，一的这个极限符号照抄。头顶照写d- 1负s，

所以说这个结果就是负的二分之派a+1的负一次方。能看到吗？同学们？所以说最后啊而言的话就是这两个东西是相等的，就是二分之派a，然后再加上个一。它的结果就等于负的二分之派a，再加上e的负一次方那，所以说这个a等于多少呢？你把这个东西剪过来。然后把这东西移过去，移除就行了。正确答案选，几啊选择？b选项啊好，

这个题。所以这个题完全在考一个事情，左右开工法求极限。啊，其实这种题啊，比我们原来做的那种七种微定式的极限计算题啊，还要简单一点，因为这种题的话，你看很容易进行去看出来这个极限存在它的结果是多少？啊，这种操作性就会稍微的容易一些。好了么？同学们可以了吧？掌握清楚给我回复一。自己下去再看看，

但是这种题最重要的问题就是你见到这个题，你就知道要分类。你见到这个题就要分类，你知道这个东西要分类的话，这个题就很容易做了。但是有些同学没有看出来要分，那这个事情啊，你就没有达标了。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看下面一个重点问题，最后一个点已知极限，求解其中的待定参数。呃，这个问题点呢，

我们非常喜欢考。啊，就这个内容，我们很喜欢考这种东西。所以在往年的真题当中啊，经常会出现已知极限，求解其中的待定参数的问题。那么，接下来我们先来看看第一件事一般结论。有几个重要结论呢？也是我们在考题当中啊，用的非常多的。第一种情况就是这种。已知一个什么比值极限是存在的。两者作比的极限结果是存在的。

那这时候有第一条，第一条怎么说呢？如果这个分母的极限是几啊？分母的极限是零，那这个时候我立即可以推出什么，立即可以推出分子的极限就是零。对吧，分母极限是零分子极限是零，然后再来看，如果这个人的分子极限是零呢？分子极限是零，而且这个结果怎么办？结果不为零，我立即就可以推出来，分什么这个分母的极限？

也是零好，就是这种情况。所以说一般情况下，这个结论用的非常多。你知彼极限是存在的，你下面极限是零，上面的极限是零。然后上面极限是零，结果不为零，下面极限是零。好，这样的一个问题点，其实啊，还有很多。比如说同学们，

你思考。如果这是一个极限，有俩人相乘。请注意结果，不为零。啊，结果不为零，然后这一项的极限是零，你告诉我这是谁？是多少？你要是一那一乘是零，你是二一乘是零，你是三一乘是零，你注意这里面当中只有一种情况。就是无穷大。

除非你是零乘无穷大的未定式才有这种可能性。不然的话，你比如说你是一个e，我俩一乘也是零。能注意这种问题吗？诶，非常简单，我们再来看。比如说这是ifs，这是js。它等于一个什么呢？呃，比如说等于一个。波为几呢？波为一的数。

啊不为一的数，那么接下来我们再看，如果它的下面的极限是一，上面是多少？你比如说上面是二三四五六，那按理说应该都是一。是不是这个情况？所以说它只有一种情况，就是无穷大一的无穷大未定式，只有你是一的无穷大未定式，你才能让这个东西不会等于一。能理解我的意思吗？所以说这就是一般结论，我不想写了，那太多了啊，

真的是太多了，但是我在基础班的过程当中，有没有给你教过一个非常重要的操作性方法呀？再来捋一下，你想想这种类型问题的操作，注意啊，如果一个考题考的是已知极限，求解其中待定参数的问题，注意了。考的是已知极限，求解其中待定参数的问题，注意第一件事情，它的本质还是求极限。还是求极限。要求极限。

求极限b先定型。能理解吧，所以说这种类型问题的本质还是干嘛呢？还是求极限题？你不要看它是一个什么已知极限，求解其中待定参数还是求极限，只要你求极限都要先定型那定型，然后接下来就要看了。这个问题点就来了啊，以前基础班讲完了之后，有些人做题的时候不敢用啊，非常简单，你看做了这么久的题。屡试不爽吧。啊，

就是这样，如果。是未定式。就按照未定式来做。能理解吧，然后第二事情如果不是未定式。它一定是为理式。未定式，如果它不是是未定式，你就按未定式做，如果它不是未定式呢，它一定是未定式。什么样的一个意思呢？你将来做题的时候你就知道我要第几名，比如说我一定。

我定出来，下面是零。上面一减a，你放心，这肯定是零。如果一定你发现这下面是一减a，上面是无穷大，你放心，这块肯定是一。所以说七种不一定是你要熟悉零比零无穷比无穷，零乘无穷大无穷，大减无穷大。一的无穷大无穷，大的零零的零。能听懂吧，

你是你就按未定式做，你不是未定式，你一定是未定式。所以说这个东西啊，马上出来了，他说那我下次出个一定是演一下，那也不可能。我们说要先定型，如果定出来是已定式，直接得结果。你发现干不动我们的。是不是啊？你要我反正要先定型，我一定诶一定是结束了。如果它是未定式，

我按未定式做，不是未定式，它是未定式啊。好了，那么接下来我们就继续，我们来看看下面一个问题，先看36题，这个题。先看这个题，那么这个题啊，首先我们先来看看这个题目的。类型那这个题什么类型呢？我们先看看。那这个题就是已知极限，求解其中的待定参数的题。

是吧，已知这个极限，结果是一让我们去求解其中的待定参数，那像这种问题啊，我们肯定是先定型。来递一下吧。那么，先定型的话，你发现当s趋向零的时候，里面是一一都无穷大a。它就是未定式，那就是未定式怎么办？就是未定式，我就按未定式来做答案，就等于多少一亿的这个极限符号照抄。

然后头顶部分要照写，然后再来d- 1a倍的s方，加上BS再减一。然后等于一=1，其实就是e的零，所以说这个时候马上得到结果，当s趋向零的时候，这就是多少s方e的s，加上as方。加上BS再减一=0。是不做成这样了，然后接下来让我们去求这个a求这个b怎么做呢？这个题啊，方法比较多一点，我们先来看看第一种方法。

我们先看看我们三九六同学的这个方向，那么首先先看当s趋向零的时候，你就会发现。下面这个极限是零，上面也是零零比零型未定式，我可以怎么办？我可以落下。对吧，我可以落下一落，这是2s，这是1s，加上2 as，加上b。是不还是零呢？它不会正当，

只要它不会正当，那这个结果还是它？那这时候我们来看看当s趋向零的时候，你发现下面是零，上面是一+b，哎，我敢保证这绝对是0 b=- 1，你看很好用啊。然后接下来我们再来看当s趋向零的时候，我们继续看，再来落一下，一落的话，这是es再加上多少加上ra。然后这个结果呢？还是等于零，

那这个结果等于多少？这个结果等于二分之一加二a这个人诶，他还是等于零，那a等于多少？负二分之一，所以这个方法非常的简单，所以正确答案选几呢，一个是负二分之一，一个是负一，正确答案选b。看清楚吗？好这个题，所以说使用洛必达法则的方式啊，是非常非常简单的。好，

这是第一种方法。注意啊，我会按照我们三九六的这种方法的选择，依次来讲，这个是首选方法，那么再来看看还有没有别的方法呢？我觉得还有。那么，在这里面当中啊，还有一个高手方法。迅速就出来了。当我眼睛一瞅，我发现下面是二级。然后这个时候我就一看诶，你这个人也是二阶，

我就把他抛出去了。所以加减法当中见到存在就拆开，所以当s趋向零的时候，这是s方，然后这是e的s，加上bs- 1。那这个极限是多少？是a，那就是加上这个a=0移过去就是负零。是吧，然后接下来我们再来抽。两者做比是个数，下面是二阶，我敢保证上面肯定是二阶诶，二阶我来观察了一下e的x- 1，

只有减去x他这个人才是个二阶啊。所以我敢保证这个东西啊，一定是负一。b这个人一定是负一，如果这个b这个人是负一，这个人就等价无穷，小于二分之x方a这个人一定是多少？a这个人一定是负二分之一。所以说本题啊，立即出来了。你看这个操作性方式也会非常快。那么，我通过这个观察。你上下是二阶e的x-1-x，它才是二阶，

所以说这个人呢，立即出来。能听懂吗？好基本问题，然后第三件事情你进行泰勒公式的展开，这应该是个最慢的方法。那么，在这里面当中，我们还是稍微的讲一下吧，再来看第三种方法。方法三那方法三的话，我们就在这里面当中，怎么办？把这个es展到二级。然后这是平方。

然后这是多少一加s加上二分之一s平方，然后再加上平方的高阶无穷小。再加上一个a倍的x方，加上bs- 1。那么，接下来我们就继续，我们稍微把它进行整理一下，当s趋向零展到二阶嘛，上下同阶原则约掉了。然后这是一加b倍的s，然后这是二分之一加a倍的s方，再加上平方的高阶无穷小，最后要等于零。那么，接下来我们看，

请告诉我件事，这一项敢不敢不为零呢？敢不敢，绝对不敢，你这一项东西的话，你发现如果这个东西不为零，那这题就废了。为什么呢？如果这个不为零，这是一阶二阶比二阶高和取d阶取的是一阶。低阶比高阶，是无穷大，那不可能，所以说这个东西啊，一定是零。

那然后我加上我的高阶，其实等价无穷，小于前面，因此这个题应该是这个人除这个人等于零，因此啊，这个人就是零。因此，这个a是多少呢？a是负二分之一b是多少？b是负一。可以了吧？好这个题啊，立即出来。所以对于这个题而言，我觉得这个方法比较快的，

应该是方法二。啊，方法一也非常好啊，方法三呢，是我们三九六同学的次要选择啊，好这个题啊，我们就讲到这。过去了，可以吗？啊，使用了泰勒展开的方式，然后来处理。那么，接下来我们继续，我们再来看看下面一个题，

37题这个题。来再看这个题。那这个题怎么处理呢？那么首先第一件事拿到这个极限呢？我们先来进行去看它的这种问题。那这个题不就是已知极限，结果让我们去求解其中的待定参数的题吗？已知极限，求解其中的待定参数的题。还是求极限，那还是求极限，我就要先定型，你来定一下吧。当s趋向零的话，这是零，

然后这个部分呢？它也是零。然后当s趋向零的话，上下限相等，那这个结果是零。所以说对这个题而言，怎么办？我就可以使用洛必达法则了。就是零比零型吧。就是未定式，那就按照未定式来做，那对于这个变线函数的极限肯定，首先使用罗比达法则一落，这是一减必备的cos。然后上面这个人呢，

变上线移上线标准型a+s^2。然后继续看呢，你来观察下，你看这个人。那这人是谁啊？很明显是个非零因子吧，所以说这个东西啊，可以把它抛出去，他说老师为什么是个非零因子，那万一这个a是零呢？a是零这个题就没有意思了，或者你稍微长个心眼儿，你看一下abcde这几个选项你都知道a肯定不会被零，我们是考选择题。所以这个东西就可以把它给淡化出去了，

根a分之一。然后当s趋向零的时候，这个时候这是s方，然后这是一减b倍的cos，它等于一。是吧，来再来看，现在又是一个已知极限，求解其中待定参数的题，先来定型，上面是零一减b，那下面这人肯定是零。所以说b一定是减b，一定是一那b既然是一的话，这就是一减cos，

一减cos就是二分之s方。那所以说这个结果就是根a分之，这个结果是二，它等于一，所以说这个a等于多少a就等于四。所以说a是4b是一正确答案，选几啊选a。可以吧，好，这个问题点呢，难度系数不大了。会做了吗？就是已知极限，求解其中待定参数的题，你先定型，

如果它是未定式，就按未定式做，如果不是未定式，它一定是未定式，你就按照这个方向做，非常的简单。好，这种题今年能拿下来吧？好，这是这个点啊，来继续吧，再看下面一个题。好，继续来做。那这题的考点呢，

还是一个已知极限，求解其中的待定参数的题，那就先定型当s趋向零的时候，你发现这是零这是零那这是一。s in 0是零零分之一是无穷大。定型就大致看哦。大概的看看就行，所以说接下来我们就继续我们来看。呃，不要问那种问题。答案是四，你问我为什么不是二？啊，那今年的你你比如说经常说话，这个是选a，

你问他为什么不选不选b对吧啊？这问的问题让我真的是哭笑不得啊，好了，我们继续吧，我们再来看下面这个题一的无穷大位置是。答案就等于多少一亿的这个极限符号照抄。然后这是头顶部分造型。然后再来d- 1那这就是一减去这个tangent 1，加上这个tangent再来减去个一，它的结果等于几等于一。好，这是这个，所以说这个题啊，来接下来我们继续，我们来稍微整理一下，

那不就是头顶上等于一嘛？头顶上等于一的话，这是sinks，然后再乘上一+tangent上减下。上减下的话，你发现就是负二倍的tangent。它等于几一来做一下，立即把它等价，立即把它等价当x趋向0 ks是零等价，能看懂吧？然后再来看当x趋向零的话，这个整体是一。乘除法中的非零项可以淡化，所以说这个题啊，马上做出来了，

淡化就直接淡化到里面也行，然后这是ks这是一，然后这是一。能听懂吧，可以淡化啊，这个部分。可以淡化，写到旁边。所以然后这个结果就变成多少等于k分之负二，然后这人等于一。啊啊，这个题等于二。能理解吧啊，你是不是做下面一个题了？啊，

这个题等于二，你说就这么巧。历史总是这么惊人的相似，对吧啊？这些事儿。好了，这是这个题吧，我们就讲到这，这是38题这个题。那么，接下来我们就继续，我们再来看看下面的题啊。诶哦。那不好意思，这是负二也不是二啊。

啊，这是负二。这是负二。好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下面的题啊，继续再看下面的题。呃，这个题啊，纯属大骗子。啊，就这个题就是骗子题，像这个39题这个题啊，就很容易考给我们。难度系数一点都不大。

而且这个题啊，很具有骗人的效果，看起来很吓人，其实你发现不就是求这个极限，再求这个极限，让它相等吗？是吧，就是求两个极限，让它相等就行，那么再来看看左半边这个极限，你发现趋向无穷大，这是一一的无穷大。所以说左半边这个结果是多少极限就等于e的这个极限符号照抄，然后头顶部分照写，然后再来递减一。

所以说这个结果等于e的a。好，这是这个人，然后接下来我们再来看看右半边这个极限呢，这是arccos in。对吧，求解这一个人的极限。那里面是一就是arccos in 1里面是2 arccos in 2，但是arccos in可不能跑到二。注意一下这个事情，它无法跑到二档，因为arccosine的定义域是负一到一，这个知道吧？所以里面是零，那就rcosine零里面是二分之一rcosine二分之一，

所以说在这里面当中啊，你要注意，我们其实就是求里面极限就行了。那么，里面极限是多少？就是arccos in多少里面呢？下面等价它。然后上面呢，等价二分之一s，所以说这是二分之一，你就求里面极限，那这个极限是二分之一，就是arccosine二分之一，那告诉我一件事情arccosine多少等于二分之一啊？多少等于二分之一？

有些呢，这个三角函数值你这是要知道的，对吧？什么sin cos tan gent？呃，常考的六分之派什么？四分之派，三分之派啊，这个零基础提前学讲的。叫做什么呢？叫做一二。三然后是三二一。然后这是三。九三分之根号九，那这是一三九二十七三分之根号七二十七，

那这人就是根号三。是吧，一二三三二一三九二十七是吧？好了，所以说我们来看看r这个什么cos多少等于一呢？啊，等于二分之一呢，那很明显三分之派好出来了。因此，这题就结束一亿的a这个人等于三分之派，所以a这个人等于ln 3分之派。选一好了，这是这个问题吧，我们就讲到这，这个太基础了。

是这个零基础提前学讲的。好了，这个问题啊，我们就讲到这。39过去了，可以吗啊？基本问题。来再来看一道题。讲完这个题啊。讲完这个题，你下课休息过程当中可以做一下这个题。然后我们再来看看这个呃，下一节好，我们来看看这个题吧。那这个题怎么做？

它是s趋向正无穷，就看下面这个题诶，这个题好。对吧，趋向正无穷。那么，拿到极限怎么办？拿到极限先定型。当s趋向于正无穷的时候。注意，在定型的时候大致看看。这是老大带着两个小弟走，老大往哪跑，他就往哪跑，老大往无穷大跑。

然后这个人呢？这也是无穷大b，是一个常数。所以说首先第一件事情，先把这人拆出去，因此就是limits趋向正无穷，然后这是多少根号下s方减s，再加上一。减去多少as，然后这个结果呢？等于b。那这个题啊，就是一个无穷大减无穷大未定式了。那这个无穷大减，无穷大v0是怎么做呢？

那么，上节课我们讲过一种重点的方法，好，我们先看第一种方法。那第一种方法可以怎么办？提毛法。无穷大减无穷大，可以提锚，把这个最大锚给我拎出去。对吧，当然你可以倒带换行吗？我们都讲可以吗？好，先看第一种方法，倒带换零s等于t分之一。

零s等于t分之一的之后的话，这个人就t趋向零正，然后这是根号下多少，然后这是t方分之一，减去t分之一，加上它。再减去a倍的t分之一，你不要害怕这种题，这种题很好做。然后接下来继续，这就是limit t趋向零帧。临阵很好。那这个前面这人是t方一减t，加上t方。零正非常好，

零正是大于零，你就直接把它给我开出去了。那开出去了之后，上面是根号下一减t，加上t方，然后再减去解减去a等于b。好同学们告诉我这什么题啊？啊，这个题什么题啊？这个题就是已知极限，求解其中的待定参数题了，你先定下面是零，然后上面是一减a，那这人肯定是零，所以说立即可以推出来a肯定是一。

那a是一的话，这个题就简单了，所以说就变成了limit t趋向于零帧，然后这是根号下。一怎么办？减去t+t^2。然后再减去个一比上它等于b。这个人应该能看懂吧啊，其实我们已经设置好多次这种题了。那其实你发现一加的这个部分是不框啊？加上这一坨嘛，一加框的二分之一次方减一立即等价无穷小于多少，立即等价无穷小阿尔法框，那就是阿尔法倍的负t，加上t方。

必上题。然后这个是一阶二阶和取第一阶负二分之t等于b，所以说这个b等于多少b，这个结果等于负二分之一。是不出来了a等于一b等于负二分之一a等于一b等于负二分之一答案选b。你看这个题啊，这个操作性方式就出来。能跟上吗？好，那么接下来我们再来看看还有没有方法呢？还有。再来看看第二种方法。好继续啊，再看方法二。第一个方法会了吗？

就是无穷大减，无穷大定下型，如果是未定式，就按未定式做，不是未定式，它一定是未定式，然后再来看。当s如果是趋向于正无穷的。哎，你可以把卯提出去，这一点当中最大的卯是平方，把平方提出去。而且你要注意这个题的s是大于零大于零的时候，根号s方一定就是s。那就直接提提出去，

这是s，然后这是根号下一减s分之一，加上平方分之一。然后后面这个部分也有个s，把这个s也提出去，然后就是减a大家能看懂吧？第一个提出去，前面一个s，后面那个s一起提出去。然后接下来我们再定定型已知极限，求解其中待定参数问题，我们可以先定型，一定的话，这是无穷大。当趋向无穷大的话，

这是零，这是一，然后后面是多少？后面是一减a。所以说你发现如果不是未定式，它一定是未定式，显然什么情况显然一减a是零a是一。所以你见了参考书一般都这样写，显然。然后这件事情就变成了当s趋向正无穷s倍的，然后是这个人根号下一。减去s分之一，加上s方分之一。减去一=b。好，

继续看。那这个时候你发现当s趋向无穷大，这一坨是不是就是零是不是就是框？所以说一加上这一坨。一加框的阿尔法次方减一，一加框的阿尔法次方减一，立即等价无穷，小于多少阿尔法这个框？跟得上吧，然后你可以把它沉进去。你也可以合取DJ，或者你乘进去一乘进去负一一乘进去s分之一，然后这项极限是零。所以说这个结果就等于负二分之一，负二分之一就是b。

是不出来了，所以操作性方法不难呢。水平点会非常快啊，非常具有操作性。好了，像这个题啊，我们就讲到这儿，跟得上我的意思吗？行吧，听明白了给我回复一。那么接下来我再给你教一个小技巧性。第三个方法呀，你能理解你就用你理解不了，你就不要用，你就扎扎实实给我做啊，

你就扎扎实实做，我再给你教个技巧先。来看看方法三。诶，像这种题。那么这种题啊。我们用岩筹法做。我用眼神盯一下，我都知道诶，这个a肯定是一。大家想想。这是两坨无穷，大减无穷大吧。是这一坨，再减去这一坨。

是不是这个事情？那你告诉我前面这个人的老大是谁呢？前面这个人的老大注意啊，第一项。就是前面这一项。减去后面这项，前面的老大是根号s方，后面的老大是as。前面这个老大其实是x，后面这个老大是ax。你想想一个问题啊，比如说举个例子，我这个系数是二，你听好了，我假设。

你前面这是x我假设这个a是二。那你告诉我说明后面比前面要大得多。对吧，后面这个人比前面大的多，那这个时候你发现他最终呢，你要注意这个在跑动的时候的话，这两个小弟他不起决定作用。真正起决定作用的是老大说的算。你的老大是一倍塔，你的老大是二倍塔，如果是后面是二倍，你这一减的话，你发现你前面比我小的多，这个东西肯定是无穷大。如果这个人是他，

如果这人是三倍的呢，也是负无穷，所以说大家注意，我们在这个上，你看有些人就听不懂，你听不懂就不要用了。啊，你听不懂就不要用。注意啊，我在定型。我在判断。对吧，我在判断我没有抓大头，我在判断呐，有些东西一直不理解我到底是在定型呢，

我还是真正在直接进行做题。我只是观察一下，所以你发现这俩人老大的地位必须等同。注意啊，这两个老大的地位必须等同，也就说这个a它必须是一。你想想是不是？这两道老大的地位必须等同。不然的话，你发现一个事儿，你肯定这个老大比那个老大大的多，我们肯定往无穷大跑去了。所以俩人地位等同a肯定是一，然后接下来就好做了。当s趋向正无穷，

如果这个题变成这个样子。这题就是个简单题了。会做了吧？好，这个操作性，然后接下来怎么做？你可以提毛发。然后把这个s提出去，后面都跟刚才是一样的，一减s分之一，加上平方分之一，再减去一，然后把b出来了。好，这是这个事情呃，

想不想来一个更难一点的？瞅一下就行了，我们再来一个，再来一个这个。稍微会比较难。但是我看看你的水平点到底达标了没？你要是能瞅出来，我觉得这个水平是学会了呃，如果这个方法你你实在不理解，你就不要用，你就用刚才的普通方法。那个普通方法也非常的快。好注意哦，我们来看看这个题。这个题拔高噢啊，

拔高来看看这个题。来看一下怎么做？长相恶心吧，这一看就不是我们的题啊。我们不会出这种题的。但是你发现你这个题都会的，我觉得基本上没问题。来看看这个题，也是一个无穷大减，无穷大的未定式吧。诶无穷大减无穷，大为零时，你告诉我前面这个人的老大是谁？后面这个人老大是谁？前面的老大不是五次方五啊，

这个五次方是5a次方。你外面还有个a呢，所以说前面老大是5a次方，后面老大是一次方。大家思考一下，如果5a次方超过一次，方就证明这前面比后面大得多。能理解吧，我们在判断呢啊。如果这个5a比一大，那就说明前面这个人的量级比后面大的多，那这人肯定是无穷大。如果5a次方小于一，那就说明什么5a次方小于一，说明前面比后面量级小得多，

那这个人呢？肯定是负无穷。你最后要想是个数，那说明这两个人的量级一定是一样，是答案，所以说写答案怎么写呢？写答案这样写，当然我们不需要写答案。啊，你写什么写？显然a等于五分之一。我的答案都是这样写的。显然a等于五分之一。那就是显然的。那然后的话，

这个题就变成了当s趋向正无穷的时候，你发现s五次方加上七倍的s四次方。加上五，然后这个东西的五分之一次方再减去s。然后怎么办呢？来继续看。趋向正无穷。那趋向于正无穷的话，你再来看。这里面当中无穷大减，无穷大可以把这个什么老大提出去。把这个人踢出去。提出去了之后开五次方还是个s。然后这个里面这个人呢，是一加上x分之七x五次方分之五，

然后这个人到五分之一次方。啊，然后再来减s提出去就减个一。好了，这是这个事情，然后接下来继续当s趋向于正无穷的时候，这个部分趋向几这个部分趋向于零。那趋向零就可以等价了呀，那就可以等价的话，你发现这是s等价无穷小于阿尔法框五分之一s分之七s五次方分之五。所以说这个结果马上出来，当s趋向正无穷的时候，这是五分之一，然后这是七，然后这是x四次方分之五。

然后这是几啊，这是零，所以说最后结果是多少五分之七？你看这个题。所以我觉得这里面当中啊，最关键的一步，其实在这一步。啊，最关键的一步就是你眼神盯一下。注意啊，盯一下就说这俩老大俩无穷大相作差，这俩老大地位肯定得等同。不然怎么会碰出火花，变成一个常数呢？你能听得懂我的意思吗？

俩无穷大相减。俩无穷，大相减，两个都很大的东西相减。你这个老大和这个老大。一个人对吧？你发现跟我们就不是一个量级的，你捡我的话，你发现螳臂当车啊。你比我小的多，螳臂挡车，你减我减不动的，那还是无穷大，那我比你大的多呢，一减还是无穷大。

那要想是个常数，你发现地位肯定得等同对势均力敌。这句话也用的非常好。能学会吗？哎，就是这样的一个意思。你们下课的时候把这个题材做一下吧。啊，你说哪个有没有分呢？这个显然是有分的呀。这个显然当然是有分的呀。给你看看我答案怎么写的？啊，你看我怎么写的？显然。

就是这样写的。我这是官方出版物。啊，这高教社的官方出版物。那就是这样写的呀。所以说你发现你看就这样写，就给分啊，这个显然值两分呢啊。好了，我们稍微休息会吧，一会我们继续吧。休息五分钟吧啊，一会我们再呃，今天不会拖堂的，我们基本上讲到这个12点呃，

十分我们就差不多下课，你们就可以进行吃饭去了啊。好，稍微休息会吧，一会我们继续。

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