03.冲刺满分强化篇·题型4-5精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:06:13

好同学们，行，那么接下来我们就准备开始今天课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一。好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了啊。呃，那么今天啊，我们就继续开始我们的强化班的课程，那么首先啊，我们在这个正式上课之前啊，

我还是要强调几个问题啊。呃，因为这个两天过程当中啊，我们才上了两次强化课程，然后的话，这个有些同学可能在这个复习过程当中啊，还没进行去转换过来。尤其几个事情呢？第一个事情啊，有些同学可能这个基础班部分的东西啊，都没有听完。你如果基础班部分东西啊，都没有听完，如果再来进行听这个强化课程呢，难度系数就比较高一点了呃，

所以说这个操作性啊，一直在这儿啊。啊，那个倒没有，就是这两天上课比较多啊，所以说上午都会有这种情况，行吧，那么接下来我们就继续开始。呃，所以说在这里面当中，你稍微注意一下对吧？第一件事情，你把这个基础的东西一定要消化到位，然后再进入这个强化的复习。因为这两轮的课程呢，

它是一个非常具有衔接性的部分内容，你如果说这个基础部分内容呃，谈到这个知识点你都不知道，谈到那个内容你也不知道，然后你继续去听这个强化课程，你确实有压力。对吧，难度系数确实挺大。然而，这个强化课程又比较重要，因为它是对我们的这个做题速度啊，操作性比较提高，比较全面的一个板块内容。所以希望同学们注意啊呃，如果说你这个基础消化不太好的，

一定要在上课正课之前呢，把这个基础内容好好进行回顾复习一下。好了，那么接下来我们就正式开始吧呃，然后另外一件事情，你每节课程呢？结束了之后啊，把上次课程东西啊，好好进行整理一下。啊，这些东西啊，都比较重要，其实学数学啊呃，你说难呢，也有点难度，

你说简单呢，学习方法也非常的简单。那么，其实在这个学习这个基础部分的东西啊。啊，好好听课。呃，所以说我觉得这个学数学啊，两个问题，第一是这样，你掌握住了这个基本公式，掌握住了基本定理，然后在做题的过程当中用它就行了。所以说这个操作性啊呃，你说多难呢，

你脑子里面当中都有东西，有东西你再把它用出来啊，那就可以好了，那么接下来我们来回顾一下上次过程当中的核心内容。第一个问题，我们学习了等价无穷小的确定。那么，在等价无穷小确定当中啊，其实有几种方法呢？那第一种可以利用等价无穷小的替换公式，然后进行使用。然后第二件事情可以利用定义法。对吧，可以利用定义法，那这种定义法通常适合用于两个无穷小之间的等价，

无效比较。对吧，两个人比如说说两个人之间互为等价无穷小作比的极限，结果它就是一，然后还有一些事情我们可以利用化简的操作，然后进行处理。那么，确定无穷小量的这个比阶性问题呢？这个也很重要，第一件事情你可以利用定义法，两者作比求极限。那第二件事情你可以进行去找，等价无穷小对吧？找到等价无穷小就确定出来这个人的接触，那么在上次过程当中啊，

我们还讲过一个非常重要的方法，叫什么叫导数定阶法。所以才上了两次课程呢，你发现尤其是上次课程，你是不应该觉得有压力的，如果你上次课程啊，你听起来有压力，你得下去好好自驱一点了。我觉得核心重点一个问题啊，要不然就是公式没有记住。要不然就是公式不熟练，要不然就是基础从来没有听过课程，直接上强化课程，所以我觉得你这个基础部分内容啊，你要稍微进行消化，

我不相信是这样的一个程度。好了，所以说上次过程当中又讲了一个重点问题，叫导数定阶法，那么在导数定阶法当中啊，第一件事情。我们可以进行求导，如果导函数这个人呢？等价无穷，小于a倍的sk次方，那么然后积个分，那不就是这个人等价的结果吗？好了，这是第一种方式，如果导数完了之后啊，

它不再是个无穷小，那这个时候呢？哎，你发现给这个常数积个分，那这个人呢？其实就是他的一个解数。好了，这是我们讲的这个第一个问题，我们在这里面当中还讲过了一个大招方法，你还记得吗？就是那种变上线函数积分的这种问题。如果上面这个人是几节，然后下面这人几节，然后这个东西怎么操作呢啊？这个非常重要，

它非常适合于用于什么呢？喜欢求导的人找等价，谁喜欢求导呢？变线函数，变线函数，非常喜欢求导，所以说利用导数定阶法做它的等价无穷小，是非常简单的。好了，这是我们讲的这个第二个问题，然后再来看看第三个事情，诺贝达法则。呃，上次过程当中啊，还讲过了下一个问题，

洛贝达法则那么这个内容啊呃，其实是我们三九六同学比较关键的一种方法。对吧，洛必达那洛必达法则啊，首先第一个事情，它的要求，它的要求，其实有三个。比如说我们写的是is趋向于s0对吧？如果是两者作比的这个极限结果。你发现两者作比的极限呢？如果它是零比零或者无穷比无穷，那这时候我怎么办？我就可以使用一下洛必达法则。一落就变成了导函数之比的极限。

那这个时候你要注意一个问题，第一件事，它必须是零比零或者是无穷比无穷。落完了之后呢，就变成了导函数之比，那你得保证在这个趋向过程当中啊，导函数是存在的，然后紧接着第三个要求导函数之比的极限是个数。或者无穷大，千万不能震荡，哎，绝对不能震荡，所以说这三个要求啊，非常的关键，然后第二件事情。

我们通常我们都知道，如果后面这个人的极限结果是正当的，那么前面这个人呢是无所谓的。对吧，如果后面这个东西是震荡，那么前面这个东西呢，我不知道。所以说什么时候不能从前推到后呢？就是导函数之比的极限可能会震荡，如果导函数之比的极限不正荡，那这个东西啊，就可以从前推到后。哎，要注意这个问题啊，就一般情况下都能从前推到后，

你就看看这个东西正不正当，很少会出现正当的。所以说出现震荡的情况是少数不是多数。好了，我们再来看看下一个问题，四则运算法则，那么在四则运算法则当中啊，首先第一个事情内容都存在才能拆。对吧，都存在，然后第二件事情讲了些性质，什么存在加减存在是存在嗯，怎么了？有点噪音。好，

现在可以了吗？好了没？可以了吧？好了，那么接下来我们继续，我们再来看看一些性质什么存在加减存在是存在了，存在加减不存在是不存在了，不存在加减不存在是未知了等等这些性质啊，非常的关键。好了，我们再来看看最后一件事情，不像法。那么，补项法这个东西啊呃，其实是我们上次过程当中用的非常重要的一个操作性方法，

就说加减法当中只要见到存在就拆开。加减法当中，只要见到存在就拆开，所以说有的时候如果你在做一个加减法的极限的时候，你比如说趋向这个点。那趋向这个点呢，如果这里面呢？呃，行吧，我去把那个空调关一下，这个可能是中央空调就会这样啊，稍等一下。好，可以了吧？现在没声音了吧啊。

好，所以说上次过程当中啊，我们又讲了一个重点的补项法，对吧？补项法那补项法这个东西啊，它是这样的一个情况。就说你做这个东西是个什么法呢？你做这个东西是个加减法对吧？加减法那么加减法这个东西啊，你只要见到这个东西是存在的，你就把它拆出去。只要见到存在，你就把它拆出去。所以说，尤其是在做零比零型极限的时候，

你要会进行去盯它什么时候存在啊，这个非常关键好了，那么接下来我们继续吧啊，这个没关系啊，上午还是啊。一点儿都不热啊，好了，我们继续，我们再来看看七种未定式的极限计算啊，这是上次过程当中的核心重点。那么，七种未定式的极限计算呢？首先，第一件事情，我们是先定型后定法，

定法之前先四化。对吧，先进行去确定这个无穷小量的行，然后再进行确定他的法定法之前先四化。然后在这个四化，我们通常看哎，有没有非零因子啊？有没有加减法中的存在项啊？有没有根式进行有理化呀？然后最后一件事情有没有什么幂值函数可以幂值转换的东西啊？好了，这些内容，然后最后一件事情，七种未定式的常见处理方法非常重要，尤其是几个人呐，

尤其是零比零型的问题。尤其是无穷减无穷性问题，尤其是一的无穷大，这三种是最重要的，要注意啊，这是考点当中的非常重点内容。零比零的无穷减无穷的一的无穷大，这三种一定要会啊好了，那么接下来我们就正式开始看今天的考题吧。呃，上次题目整理完了吗？你要整理哦，其实这个强化课程呢，肯定会有一点难度，这是一个很正常的现象，

但是对于我们三九六同学而言，这个暑期的强化课程呢，延续的时间不会说特别的长。所以说你是有非常充足的时间进行整理的，而且啊，你这个暑期过程当中，你千万不要迷惑自己啊。你自己该补的东西一定要把它补上来，因为到了这个九月份的下旬，我们尽可能都可以进行去做模拟卷了。那所以说暑期过程当中哪块儿缺啊，你就补哪块儿哪块儿有问题啊，你就补哪块儿，你不要老是说啊，这个题目这么难，

不会考吧？这个题目那么难，不会考吧？结果你发现到了这个最后做模拟卷的时候，你发现打的你措手不及。哎，所以说希望同学们好好来啊，暑期肯定是有强度的，没有强度，如果觉得每个知识点都非常简单，那我觉得这个课程也没有什么必要了，你还不如自己去刷题去啊。好了，那么接下来我们就正式开始吧，我们来看看下面一个重点问题，

先看强化19这个题。来看看这个题。那这个题怎么做呢？那这个题一定行，你发现是个零比零型未定式。零比零型未定式，你见的根号哎，我见到根号我可能会想到有理化，所以说有些同学可能用到第一种方法来做。第一种方法怎么办呢？就进行去有理化的操作，那有理化操作的话，就这样当limits趋向零的时候，然后这个部分呢，这是s的平方。

然后上面这个部分是根号，下一+x倍的c。然后怎么办？我再给他加上一个这个人。那加上这个人之后啊，你发现上面这东西就变成多少就变成了一+x倍的s in，然后再减去cos。啊，这样做也能出来。那么，接下来我们来看看这个上面这个人，那上面这个人就是一减cos in，然后再加上x倍的这个三。大家想想它等价的最简形式是二分之一x方二减，这个人等价的最简形式是x方二减。

两个人都是二姐，而你发现等价的最简形式约不掉，既然约不掉，我就可以等价。你看这个事情，然后紧接着我们再来看看下面这个人，你发现如果进行有理化进来，这个人呢？通常是一个非零因子，你可以试一下。当x趋向零的时候，这是一这也是这就是一个非零因子，所以说非零因子可以淡化二分之一出去了limit x趋向零。然后上面是二分之三倍的s方，这个人一乘呢四分之三啊。

好了，这是这个点立即出来了啊。啊，哪块？哦，这是平方。嘿，那得了啊，好了，这是这个人呃，这个部分呢，它是个平方。那这个部分是平方的话，就是一减一减去多少？一减去cos x方，

然后再加上x倍的这个sin x方。好了，我们先来看看第一个人啊，注意先看第一个人，那第一个人是谁呢？第一个人其实可以写成一减cos in。一+cos in是不是这个事情？那你来看看当s趋向零的时候，这个部分是二对吧？这是二，然后这个部分呢？你看。这个人是二分之一x方，然后这是二可以淡化，所以说第一个人呢，

可以等价乘x方。第二呢？啊，第二个人呢？他又等价无穷s方，所以说你发现这个人是个二阶，这个人也是个二阶二倍的s方。好了，这是这个问题，行吧？下次不能八点钟上课。主要晚上晚上写这个，最近写东西有点晚了。好了，这是这个点啊，

所以说你要理解，你看第一个人，第一个人进行去等价的时候，他是个了结这个人呢，他也是个了结。所以说这两个二阶啊，它是不能消掉的，那这个东西啊，立即出来了，所以说这个题啊，立即出来，我们来看看，当x趋向零的时候，你发现上面这个人是x方。然后下面这人呢是s方，

然后这个部分呢，淡化成二，所以说这个结果。嗯哦，这是二倍x方啊，所以等于一。好了，这是这个点吧，那我们先关一下，那么接下来我们就正式开始。能听懂我的意思吧，这是第一种方法，你可以进行有理化的操作，有理化操作了之后啊，就变成了这个人平方，

然后减去这个平方，然后把这个一和这个cos方合到一起。你合到一起了之后的话，你发现这个人可以等价，这个人可以淡化，哎，我一看哦，这个人是个二姐。然后这个人等价的最简型是二阶，约不掉就可以直接等，所以立即出来了，然后这个部分是非离子，可以淡化直接出来。好，这是第一种方法，

那么接下来我们再来看看，那这个题还有没有方法呢啊？第一个方法可以，但是第二个方法可能会更快一点。啊，稍微瞅一下，你发现这是根号下一+1个框，如果减个一。减个一就会等价无穷，小于二分之一这个整体。二分之一，这个整体就是个二阶，下面是二阶，上下都是二阶就可以拆开了，一减cos又是个二阶，

所以说你发现上下都是二阶就可以拆开了。所以说这里面当中啊，我们再来看看方法二。那我可以怎么做呢？我可以这样处理，你看这是s方，我利用补项法来操作，补项法操作的话，就说我在这儿加个一。加个一了之后的话，你发现你看这个整体就是个二阶，二阶比二阶是存在的，然后前面这个人呢是一+x倍的三。然后再来减个一那这时候你看前面这个人呢，也是个二级。

对吧，前面这个人是二阶，后面这个人是二阶，二阶，二阶都可以拆开，所以说这个时候立即就变成什么变成s趋向零，然后这是s方。那么，前面这个部分是一加上s倍的，这个三它的二分之一次方减一，然后这个时候就变成了limits趋向零。然后这是一减cos比上x方，那这个时候啊，你发现前面这人就可以等价了，当x趋向零，

那这个部分就趋向零。套第八个公式吧，一加上框的阿尔法次方减一等价无穷小于阿尔法框，然后这是s方，然后后面这个人呢limits趋向零。然后这是二分之一s方比上s方，那么前面这个极限是二分之一，这是二分之一就是一正确答案，选择c选项这个结果。能理解吧，你看这个题啊，利用这个方式啊，也是可以的，你盯着走，你下面这人是二姐，

上面这个人一检查也是个二姐。二阶比二阶，它是存在的，你就可以拆开了，好，这是一种操作性方式，其实吧呃，如果你具有今天的这个水平呢，你操作这个题可能会更快一点。好，我们再来看。如果你是今天的这个操作性的水平呢，你处理起来就比较简单了，你发现啊，你先做个预判。

下面这人是二姐。对吧，下面这东西是二阶，然后上面这东西呢，你发现啊，这个人进行减个一是个二阶。这个人被一减也是二减，而且根据abcde这几个选项，说明这两人是同阶无穷小。你能理解吗？我再说一遍，你看一下abcde这几个选项，你这个作弊结果是个常数说。说明上下是同阶无穷小。同阶无穷小，

下面是二阶，上面也是二阶诶，下面是二阶，上面也是二阶，那我都知道了。一减cos就是二减，我敢保证一个事情肯定约不掉，那绝对约不掉的话，我就怎么办？那这是一加上x倍的这个三。我给你减个一，然后再加个一，我做个预判。我发现了一个事情，这个前面这个东西啊。

当一加上x倍的它，再减个一等价无穷小于二分之一x倍的s in等价无穷二分之x方。我来试一下，第一个人是个二阶等价的最简形式，是他第二是个二阶等价的最简形式，是他哎，结果约不掉，约不掉就可以直接等。那既然可以直接等价，那这个题就出来了，直接等价无穷s次方一÷11。你看这个方式啊，也是非常简单的。所以就避免了刚才那种什么拆分了，也避免了有理化了，

水平点就相当的高了好了，这个题啊，我们就讲到这。能理解吧啊，非常快，你要这样进行去做的话，你做这样的一个题差不多就是几十秒钟的时间。你绝对比刚才这种做法还要更快一点。好了，这是我们讲的这个第三种方式。来继续吧，我们再来看看下面一个题，举一反三这个题啊，看看这个题。继续抽那么这个题啊，

两根号做差那两根号做差这个题啊，首先第一件事情那当然是想有理化呀。那么有理化一下之后的话，当s趋向零，你发现下面这人呢？下面这个人可以进行等价，他就是s乘上s。然后有理化了之后的话，就变成了根号下多少？一减这个人，再加上个根号下cos这个人。然后就变成了第一个人，平方一减s倍的，这个人再减去这个人平方。那么这个里面当中啊，

我们就继续看呃，我再强调一遍，你要理解我在干嘛，有些同学可能不理解我到底在做件什么事情。我说一下啊，这个东西不是真正在带啊，真正在做等价无穷小，我仅仅是看一下。你听得懂我的意思吗？我就想看一下这个人等价的最简形式是谁？我只是看了看。如果不行，我就不做了，如果行，我就做，

我仅仅是看看，所以说我就单独做这个人的，等价无穷小。这个人的等价无穷小，现在两人是乘法，当然可以做，等我一做发现哦，这个人最简形式是平方。这个最简形式也是平方最简形式，约不掉我就直接等价，我仅仅是看一看，你要注意啊，如果这个东西等价的s方后面是减s方约掉了。约掉了，说明不行，

说明我这个方法做错了，我得换方式，你要注意啊，我仅仅是判断我没有做题呢。你要理解这个事情。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看，那这是这个部分问题，所以当s趋向零的时候，你发现上面这人是一减cos。然后再减去x倍的这个三。啊，再来看这个部分是s方。当s趋向零的时候，

你发现这是一这也是一，所以说这个部分就是二，那这个部分是乘除法中的非零向二非零因子可以淡化。立即把它淡化了，然后怎么做你再来看。一看这个东西是个二阶等价的最简形式，是二分之s方，这是预判呢，然后再来看这个人也是二阶等价的最简形式是s方。两个人是约不掉，约不掉没关系，约不掉就可以直接等价了。对吧，那这个时候就是负的二分之s方两者一除呢，两者一除是负四分之一。

能理解吧，第一个人是个二姐，第二是二姐，等架到最简席是约不撩我就可以直接等。好，这是这个方法，那么再来看看第二种方法，继续来看。还有方法没？我觉得还有。你再来瞅一下。你发现一个事情，你看如果这个东西。对吧，当I次趋向零的时候，

里面是零。如果减个一了之后，这个人的等价无穷小，应该是个二阶无穷小。下面这个东西也是个二阶无穷小，那所以说我可以怎么办？我可以采用补项法的方式来做。当s趋向零的时候，你发现下面这东西是s方，然后这是根号，下一减去x倍的这个三。我可以减个一，我再给它加个一。好，这个人那这个时候你发现我就可以做了，

我眼神一瞅的话，你发现这是二阶比二阶。我眼神一瞅，我都知道这个人也是个二阶比二阶都存在就可拆，所以说这个人呢，立即就把他拆成了两个人。当s趋向零的时候，这是s方，然后这个部分呢，是根号下一减去s倍的三。再减去一，然后这个部分呢是limits趋向零，然后这是s方，这是一减去coss的开方。好这个人呃，

其实啊，大家你反反复复去想，我们这几节课都在干件什么事情呢？其实用的非常多的就是那八个等价无效公式。学了一年了。从零基础提前学到了这个基础班，到了这个强化班，如果这八个等价无穷小替换公式啊，你脑子都转不出来。那其实你发现这个复习就非常不达标。啊，所以说我觉得你稍微的慢一点点啊，来那么接下来我们就继续看，当s趋向零的时候，马上看这是s方。

那这个东西呢？当s趋向零的时候，这个部分是零，而且这是负的，所以说这就是负的二分之一s倍的这个三。然后紧接着我们再来看这个人当s趋向零的时候，你还记得吗？它是二分之一倍的二分之s方。好，这是这个结果，所以前面这个人呢，是负的二分之一，然后后面这个人呢，是四分之一负的四分之一。好，

没问题吧？所以你见到根式，你可以游绿花，你也可以利用什么这个接触的问题，你下面是二阶，你上面一看二阶，你可以利用补项法进行处理。能跟上我的意思吗？好这个题啊，我们就讲到这呃，一定要把这种题目啊，操作的非常稳，一点来我们继续，我们再来看看下面一题20题。好，

再看这个题。那么，在做极限的时候啊，拿到极限先定型，当s趋向零的时候，你发现这是零，那这是无穷小乘有界，这是无穷小。那这个部分也是零，然后一+cos in 0是一，这是二，所以你注意啊，这是二，这是零，所以说这个题是个零比零型的未定式。

那拿到这个零比零型未定式啊，我们说先来看看有没有非零因子啊？其实你在淡化的过程当中，稍微注意一下。你啊，在这个什么在这个定型的时候稍微注意一下，你定型的时候你发现只要它是非零的，你先把它标出来。你发现这个部分的极限，结果是二。对吧，这个人的极限结果是二，这个人的极限结果是二，很明显一个事情它不为零，所以说非零因子可以把它淡化了。

而且这个部分可以等价无穷小S，然后这是两倍的，这个s in再加上x三次方倍的coss分之一。然后继续来看诶，结果你发现一个事情，你这是两倍的这个三，然后这是s这个极限不就是一吗？加减法当中，只要见到存在就拆开，立即就变成什么就变成第一个人的极限，再加上第二个人的极限。两倍的这个三，然后再加上limits趋向零，然后这是s方coss分之一。好注意啊，

不要进行去保证什么情况，有人说那我需不需要保证？哦，这是平方是吧？啊，那需不需要保证两个部分都存在呢？不需要。哎，不需要保证两个人都存在，只要有一个人存在，我就可以拆开，这是加减法的操作。所以这是我们要注意的点，因此啊，我们来看看第一个极限。

我们来看看第一个人，那这个第一个极限结果等于多少？这个第一个极限结果它就等于二。对吧，第一个极限，第一个极限，结果等于二，然后是无穷小乘有界是无穷小无穷小的极限是零，因此这个结果它是一正确答案选几啊选a啊？你看这个题，所以这个题我觉得还是比较简单的一个题。对吧，非零因子的淡化等价无穷，小的替换，然后加减法当中见到存在就拆开的这个思想。

啊，这是个非常简单的一种。好，这个题啊，就过去了，来继续吧，我们再来看看下面一个题。好，再看看这个人。呃，这个题啊，就稍微的。对吧，这个稍微的有点恶心，一点点了来我们来看看这一题。

那么这个题啊，你得有一点非常强的经验，你只有非常强的经验，做这个题会非常的快，那么其实啊。最重要的问题是分母。在趋向零的时候，如果这个人减个一。他这个人等价的应该是跟这个里面有关，应该是个一姐。一减它，那它是个二阶，所以说这个时候啊，一阶二阶。那一个是一阶，

一个是二阶，所以说就可以合取第一节了，所以你看看这个分母。那分布这个操作啊，你可以这样做，一加二s减个一，然后再加上个一减cos x。那这时候我们稍微进行去判断一下，你看这个人这个人是个几节呢？这个人是个一节。这能看出来吧，如果它等价。等价无穷，二分之一二s，这是个一解，

然后后面这个人呢？后面这个东西啊，是一个二解。对吧，一阶和二阶合取d阶，那就取d阶一+2s这个开方再减一。立即等价多少二分之一倍的二s，那就是s。所以你看这都是知识点。你学数学啊，其实非常简单的问题，就是有理有据的就行了。你学会这个内容就用上去，学会这个内容用上去就行好了，我们再来看，

这就是limits趋向零，然后趋向零的话，这个部分当中这是s。然后这是lns+es。然后再加上两倍的这个s in。然后继续这么做，你再来看诶，这个部分的极限结果是存在的呀。那么，加减法当中，只要见到存在，就可以拆开了，立即就变成了当s趋向零s分之lns加上es。然后再加上两倍的limits趋向零，然后这是多少s in比上s？

那么，今天让我们继续来看你，再重后面这个极限已经出来了，你再看上面这人呢？怎么处理啊？到s趋向零，你发现这个人是一。对吧，这是一。s趋向零，这是1l一个函数趋向于一，立即等价无穷，小于这个函数再减一。然后这是二。是不是出来了，

然后再来看这个题，接下来怎么办？你可以拆开这个极限是一，这个极限是一，所以它就是二。你可以拆开，那么还有什么方法呢？你再来看你上面这是x等价到最简形式是x，那这个东西约不掉，约不掉就可以等价，那就是s+s。这是2s，能跟得上吗？所以说你发现这是二，然后这是二，

它就等于四。这个题啊，还是很有操作性的。水平点呢，难也不难，稳稳的扣着我们的这个知识点在做。对吧，一点一点的抠知识点，你看这个题的综合度就可以了。所以对于我们这个考这个三九六而言呢，你处理这种问题啊，就是见到这个东西反映什么，见到这个东西反映什么？好了，这是这个事，

这是第一种方法，当然了，你可以不用做这么这么麻烦。其实你发现一个事，你做到这一步的时候。好，我们继续看，其实你做到这一步的时候啊，你想这么多操作，其实也不用，如果你实在不会做，你再来看。你下面是零，你上面是零，你落个b达不也出来了吗？

对吧，你一落的话，下面这个人就变成了一个什么变成一那这题肯定出来了，那我就落个必答，我一落的话，前面这人求导就是s+es分之多少？一+es，然后后面抽到呢两倍的cos，然后继续看当s趋向零的时候你就发现。诶，这个部分的话，你发现看你这个是一，然后这是二都存在那都存在的话，这个人就可以了。上面是二，

下面是一，那这是二，然后这也是二=4。你折腾那么半天呢，还不如落个必达落一个必达呀，早都出来了，对吧？这是这样的一个操作性方式。可以了吗？要注意一下这个事儿，这个方法也很好，好基本问题，当然这个题啊，你也可以进行有理化。如果你没有愁出来接触，

你就进行有理化，对吧？你就给这个东西上下，同时乘上根号，这个东西加上这个东西。对吧，根号这东西加上这个东西也是可以的。能听懂我的意思吗？好，这个21题啊，我们就讲到这儿有理化可以，然后分母这个东西除出来接数，把它等价也可以。然后进而呢，你根据这个拆开性的原则做可以，

你当然也可以使用诺贝达法则都是可以的。好，这是21题，来再来看看22题，这个题。我们继续看这个题。来再来抽那么首先我们先来看看第一件事情啊，方法一。呃，不拆前提，你能看出来你要看不出来的话你就拆。啊，除非你看出来，你听懂我的意思吗？你看出来这个人的接触，

你看出来这个人接触哦，这两个人是同姐。等价的最简形式约不掉，你就直接等价。如果你看不出来，你就直接做。能听懂我的意思吗？哎，注意一下这个事儿呃，到了这个点呢，不用纠结这个问题来，再来看看22题这个题。你看这个题怎么做？当s趋向零的时候，你发现这是零，

那上面这个东西啊，你预判一下，它肯定是零。有人说，那怎么预判呢？我不预判也行，肯定都知道这个东西肯定是个未定式，那么见到幂值函数啊，怎么办呢？见到幂值函数立即进行幂值转换。所以说在这种当中啊，赶紧进行幂值转换e的s分之二，然后背到ln一加s。再进去打。好，

这是这个事情，然后就变成了一个什么经典的问题了，什么经典的问题呢？就变成了200000000做差的问题了。啊，就变成了这种情况，200000000做差，那既然变成200000000做差，我可以怎么办？我可以提出后者把后面这东西啊提出去。当s趋向零一趋向零的话，你发现这是e的二倍的x分之ln一加s。再来减个二，后面是减个一比上它。好，

做成这样，那做成这样了之后，你再来看你发现它是这个样子。这个样子啊，你可以先做个预判对吧？单独给他求极限。单独给这个人求极限，你都知道上下是等价的，那这是一二减二是零，这叫预判，我预判了一下哦，红色这个部分的极限，它是几啊？它是零。那既然是零就可以等价一的框减一，

立即等价多少，立即等价无效框，那就是二倍的。s分之ln多少呢？一加s再来减个一比上s好做成这样，那做成这样了之后的话就是两倍的一方，然后这是limits趋向零。那这个部分呢？就是s方ln多少一加上s减去s那这上面这人呢？立即等价无穷负的二分之x方俩人一约啊负二分之一，那就是负的。一方这个人。好了，这个题啊，也正确答案出来了，

正确答案选择d选项这一结果。所以这个题考什么呢？就是考了一个经典的两翼做差问题，只要见到幂值函数，立即幂值转换。见到200000000做差提出后者，那提出后者了之后啊，这个部分就可以等价了啊，所以说这个考题还是比较常规的一个问题。对吧，你见到幂值函数，幂值转换呃，我说一个事情。大家来看看，有些同学是这样做的，

他说老师。我眼神一漂的话，我发现这是一的无穷大未定式啊。那这个题不就可以这样做吗？当s趋向零的时候，这是s那上面这人你教过啊，答案等于e的极限符号照抄头顶照写抵减一啊。所以说这个时候的话，这个东西就变成了当x趋向零x分之e的方减e的方等于零啊。行不行？绝对不行，大家注意啊，这样一做就错完了。你要注意一个问题，我们这个方法使用的前提条件是什么？

我们使用的前提条件，你要注意。是在一个帽子下，后面是一的无穷大。对吧，就是这个帽子的后面这个整体是一的无穷大，你仅仅是个局部是一的无穷大，你可不能这么办。能理解吧，必须是这个整体是一的无穷大，你要注意一下这个事儿，你这样一做这东西就错完了，好这个问题过去了可以吗？啊，还可以啊，

22题。那么，接下来我们继续，我们再来看看23题这个题。来瞅一下这个题。那具体怎么办呢？其实你有了这个上节课做题的经验，你做这个题就非常简单了，那么首先我们先看第一个问题，零分之一是无穷大罗伊，零分之一是无穷大。我会想着通分。但是如果你是个高手啊，高手做题，首先第一件事儿，

我不喜欢这个趋向仪，我喜欢趋向零。所以说我赶紧把它练成t。练成t了之后的话，你发现这个人就t就趋向减趋向零，然后这个部分呢，其实就变成了t分之一，然后这个人呢，就变成了l多少？一加t分之一本题快结束了。那这个时候啊，这个题就变得非常非常的简单了，当t趋向零的时候可以怎么办？通个分一通是t倍的多少l引一+t？然后这是l 1+t，

再来减个t。所以说这个时候啊，上面这人等价无穷，小负的二分之t方下面等价无穷，小于t方，所以说本期结果等于多少？负二分之一正确答案选几啊选b。那这个水平点呢，就会稍微的会快一点点，对吧？这就是意识问题，你所以说强化过程当中在训练什么呢？就是你见到这个东西的快速反应能力。不要在那墨迹对吧？你现在这个趋向一，

你不喜欢你不喜欢赶紧把它变成多少趋向于零。啊，这个水平点一定要有啊。好了，这是23题，这个题。过去了，可以吗？哎，我们就讲到这来，继续再来看看24题这个题。看一下这个题。那这个题怎么做呢？这个题可能很多同学觉得做起来稍微的麻烦一点点，那么首先我们先来看看第一件事情。

拿到这个极限呢，你先来进行定型，一定的话，你发现这是无穷大减无穷大的未定式。对吧，无穷大减无穷大的未定式，那无穷大减无穷大的未定式能通分就通分，通不了分倒带宽当然可以啊。所以说我就可以怎么办？我令is等于t分之一。啊，这是第一种方法，那这样一做的话，你发现当s趋趋向正无穷t就趋向零帧。然后这个部分呢？

你看一下第一个人，那第一个人的话，这人就变成了t的六次方。然后这是一，然后这个人呢，就变成了t。那么然后紧接着变成了根号下多少呢？这是t的六次方。分支这是一，然后这又是t对吧？开个六次方就变成了这个人。那变成这个东西啊，马上接下来继续处理，那就是t趋向多少零正，然后这的话就是t需要零正的话，

这个人一开这是t。那上面这东西是根号下一加t开六次方，然后再减去根号下一减t开六次方，那接下来的方法就比较多了。你稍微瞅一下。你发现这个人如果减个一等价的是六分之一t一阶比一阶是存在的。所以说这个人减个一存在的就可以拆开了，所以接下来我们怎么办呢？我就给这个人呢加个一减个一。是不是这个情况立即进行使用补项法？那这个人减个一，然后再加个一。一减t开六次方比上它。那么其实啊，这个时候就可以拆开了，

如果你不拆开也行，你可以直接瞅你直接瞅什么呢？你发现如果这个人等价的最简形式是多少？这个人等价的最简形式，第一个人是六分之一t。然后第二个呢，提一个负号出来，提一个负号出来的是一减t开六次方，再减个一。如果进行等价数多少，那这时候你看这是负的，那负负得正六分之一t。对吧，那这个人继续去等价的时候还是六分之一t等价的最简形式，不能相消也可以直接等价。

两种方法都行，无所谓，你当然也可以把它怎么办？把它拆开做也行。一样的啊，这个水平点操作性是差不多的，那这是根号下一+t开六次方减一，然后这是limit多少？limit t趋向零正，然后这是t一减去根号，下一减t开六次方。所以说这个时候啊，你发现上面这人等价无穷，小于六分之一t乘除法可以等价。这个人等价多少呢？

这是很容易出错的，你先提一个负号，就像上面这人，那前面有个负号，然后这是负的，那前面再来一个负号，那这是六分之一t。因此，这个结果就是六分之一加六分之一，它是三分之一。好正确答案选几啊？选择b选项这个结果。好了，这是第一种方法，对吧？

无穷大减，无穷大的不一定是能通分就通分，通不了分可以倒带换。对吧，这是这个人。嗯，这个都是看的这个基础班吧，我这两天呢昨天。我这两天也经常会刷到一些，那按理说我们三九六同学的话，这个从基础和强化衔接的这个部分呢？啊，就是基础和这个强化呀，衔接这个部分的跳跃不是说特别大？你不像这个数一数二数三，

那么从基础到了这个强化要提升的这个水平的跨度非常非常高，那按理说衔接起来也是非常非常舒服的。对吧啊，非常舒服的。你们就是无穷吗啊，这是正无穷啊。正无穷，你改一下啊，改一下哦，那是因为你们讲义上没有是吗啊，那不好意思了。改一下，改成正无穷。改成这个人。好了没好，

这是这个呃，因为我这本儿电子版是要进行印刷的电子版啊，可能你们那个下面没有这个，这是这是最最后已经校审完了之后。要印刷的这个这个文件啊，你们那个可能是这个叫声之前点的啊，但是影响不大。好了，这是这个事情嘛，我们就说到这啊，我们把这个改一下，改成正好。啊，这是第一种方法来，那么接下来我们就继续，

我们再来看看第二件事情啊。还有没有方法呢？我觉得还有。对吧，除了刚才那种方法之外，你还可以怎么办？你还可以使用提毛法。因为无穷大减，无穷大未定式啊，能通分就通分，通不了分可以怎么办？可以进行倒带换，也可以是提毛法。所以接下来我们再来看看第二种方法，你怎么办？

把这里面当中的最大项给我提出来。那最大项是多少呢？很明显就是六次方向，六次方向开个六次方，你直接提出来，第一个人一提出是x。然后这是根号下开六次方，这是一，然后这人就是s分之一，然后后面这人把六次方提出来，一开方这是s。然后这是多少一减s分之一，然后怎么办呢？把这个部分的东西啊，你发现这个东西我们就统一的提出来，

就变成了这个人了。能理解吧，就做成这样了。那做到这儿啊，接下来就要继续预判了，预判件什么事情呢？你看当s趋向正无穷的时候，这个部分是趋向零。那趋向零的话，如果这个人进行去减个一减个一进行去等价的时候，你稍微注意一下，你看。如果给这个人进行减个一等价的是六分之一s分之一六分之一s分之一，乘上这个s是六分之一是存在的。所以稍微的进行预判了一下，

我只知道哦，原来减个一减个一之后，这俩相乘的极限是存在的，就可以拆出去了。所以说，作为一个高手而言，怎么办？我就立即跨一步，我在这里面当中减一个一，我再加个一。好，做成这样，那一旦做成这样，我们就可以拆开了。当s趋向正无穷s，

然后第一个人变成多少根号下一加s分之一开。开六次方减一好，这是第一件事情，然后第二件事情就变成了s趋向正无穷s倍的一减去一减s分之一。开六次方注意啊，这件事情在前面部分是进行了一个预判，这个预判工作很重要。好了，那么紧接着我们再来看看这个事情就变成了limits趋向正无穷，然后这是s等价多少六分之一s分之一，大家能看懂吗？好，这是第一个人，然后再来看第二个人，当s趋向正无穷的时候，

这是x。那后面这个人呢？提出一个负号，提出一个负号，变成了根号，下一减s分之一，开六次方减一。那么，首先，这是一个负号，那负号等价呢？负负得正六分之一s分之一，所以说这个东西啊，立即就变成了这个人。马上这个题就变成了六分之一，

加上六分之一，结果等于多少三分之一？好，这个题啊，我们就结束了。跟得上我的意思吗？所以说正确答案选几啊选b啊？你看，无论你是走这个什么倒带宽，还是走这个提锚法，你这个方向是一样的，那方向虽然一样，但是这个部分当中最重要的一个步骤在哪？最重要的一个步骤是，在这一步做一个预判。

这个预判非常重要，就是减个一做了一个预判诶，这俩东西相乘是存在的，所以说我才会补一个一。你看这个接的这个感觉是多么的重要，好注意下这个问题啊，跟得上吗？来继续，我们再来看这个题。那这题就好做了。你看这题怎么去处理啊？好看看这个题。那么，对于这个题而言呢，还是一个无穷大减，

无穷大无论你是一进行去倒带宽，还是进行去提毛法都是可以的。所以说这个题啊，依然是这样操作的，你可以怎么办？你可以在这里面当中零s等于多少t分之一？这是方法一。你也可以，怎么办？方法二的而言的话，对于这个题，你可以直接进行去提毛法，当然是趋向正无穷。你把这东西提出来。三次方提出来，

提出来之后的话，这一开方，这就是个s，然后这是根号下多少敌人是一，然后这就变成了平方分之一。开三次房。对吧，这是这个人，然后紧接着我们就继续，我们再来看。呃，我再说一遍啊，你后面每当见到这个问题啊，以我这个东西为主就行了，好不好？

以我这个东西为主。啊，按照我这个东西为主，你稍微把它改一下就行了，好了，那么接下来我们就继续，我们再来看把这些东西啊，你发现继续提。提了之后的话，这是s，然后这是一减去s方分之一是吧？就做成这样了。哎，这个题目就做成这样，那做成这样了之后的话，

你发现还可以继续来。那这时候我继续来做一个预判，你发现预判什么呢？这人就提出去了。这个提出去。我这个是不是稍微的它给调错了吧？你叫我看看啊。这个我得赶紧跟那个编辑说一下啊。咱们那个上面是多少呀？前面还有个s是吧？呃，叫我看看啊，稍微等一下，我这个还找不到了这个文件了。稍等一下啊。

哦，前面还有个x。啊，前面还有一个s。好注意啊，这个前面是有个x的。啊，这个人。可以吧，前面有这个s了之后的话，你发现提出去了之后的话，这个部分就变成什么就变成了平方啊，这样才好做。不然的话，这个部分就是零了，

来那么接下来我们就继续，我们再来做一个预判，你发现这个部分的东西啊。就这个版块，那这个部分的话，趋向无穷，大的话，这个人部分是趋向零，所以说他在这减个一。减个一等价的就是三分之一倍的，它一乘是三分之一，能跟得上吗？所以说这个时候我们就立即来进行操作。当s趋向正无穷，继续在这里面当中减个一再加个一。

那所以说这个人就变成了s方，然后前面这个人就变成了根号下一，加上s方分之一开三次方，再减个一。然后紧接着是limits趋向正无穷。那这个部分呢？就变成了s方再乘上一减去，对吧？这个部分s是提出去了。提出去了，提出去了之后的话是一减去s平方分之一啊，能跟得上吗？就说你先提出来s这个，后面前面系数有个s。前面系数有s统一提出去，

前面是平方啊，注意下这个问题。那所以说接下来我们就继续，我们再来看那这个人的话，我们就可以操作了，当s趋向正无穷，你发现这是I次方。那这个时候你会发现到s进行去趋向多少呢？趋向于这个部分的正无穷的时候，你发现这个部分的系数是多少？是三分之一s方分之一。然后加上了limits趋向正无穷，然后这个部分是s方。那这个部分呢？提出一个负号。

根号下一减去s方，然后这个三次方，你再减个一，所以说这个时候啊，再来一个符号，你再来一个符号的话，负负得正。能理解吧，这是负号，再来一个负号负负得正三分之一x他，所以说这是三分之一s方分之一本题，结果是三分之二。好了，这是这个题行吧，我们稍微休息会儿，

这个是啥呀？怎么这节课讲的？行，我们稍微休息会，一会我们继续吧啊。好了，这是这个问题了呃，至于题目的东西啊，你先别管了，有人说那这个题不用改成正无穷吧，你不用管这个事情，这是出题人的事情，你去做就行了。好，我们稍微休息会儿吧，

一会儿我们继续吧。好休息五分钟，然后我们一会再看。

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