02.冲刺满分强化篇·题型3精讲精练-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:06:02

那么，接下来我们继续吧，我们再来看看这个题怎么样了？选几啊？我们先来看看第一个人啊，对吧？导数定阶，你看我就把第一个人记作成AA的导函数就是e的x方减一。所以说这人等价无穷x方。你既然等价无穷x方，你注意它的阶数是多少？它的这个n阶数就是等价无穷小三分之一x三次方，其实你直接进行去比导函数就行了。对吧，直接比较导函数，

其实它是三阶，但是我们就重点看导函数来，再来看看BB这个人导函数是多少呢？变上限，移上限移，加上多少这个人开个三次方。当s进行趋向零的时候，这个部分是零lu in一加框，立即等价无穷小框，所以说这个东西是多少？那就是二分之三。对吧，二分之三阶，那你想选最高阶那b就不选了。为什么呢？

因为这个东西的结束比这个东西啊，就可以灭掉了，然后再来看看c选项。c的导函数呢？变上线移上线就是s in。sin x的这个人的平方上限求导是cos。是吧，当s进行趋向零的时候，你发现诶，当s趋向零的时候，这个部分不就趋向零吗？三一框立即等价无穷，小一框然后cosine 0，这个人是一，所以说这人等价无穷小S方。

因此，这个人是二姐哎，选单选题，你是二姐，我也是二姐，单选题俩人都不选。为什么选a呢？那就证明二阶是最高阶c也是其实这个a是三阶能听懂我的意思吗？其实a是三阶，你这是三阶，你要选a了，证明三阶是最高阶，那c也是三阶，最高阶三阶，这也是三阶，

所以这两不能共存的。好，我们可以再看看1b选项太难啊，这个什么d选项太恶心了，我们先看一一这个东西是什么呢？那就是ling coss。哎，我又知道lncoss cos 0呢，是1 ln个函数趋向于一，立即等价无效，这个函数减一等价无效它。那这是几节二节诶，这人又是二节不选选d。所以这个操作性啊，它就出来了，

因为d选项非常的恶心，我可以不用这样做。对吧，就是这个部分，那我们来算一下吧啊，其实不用算它，你都得把它做出来了来，我们再来看看d这点。第一帧求导是多少呢？我们先看那这个人就是上限移进去，那就是s in这个人把他带进去t。s in一减cos这个人的二分之三次方。然后上限再求导是多少是三一？没问题吧，上限移进去，

上限再求导，我们再来看看这个部分，那这个部分等价多少呢？你都知道这个次方数里面当中啊，可以等价。还记得吗？四方数里面可以等价当s进行去趋向多少呢？趋向零那这部分是零吧？三框立即等价无穷小于框。等价无效框其实是一减cos in，然后再等价是多少呢？等价二分之一x方，然后二分之三次方，这是x。然后紧接着我们就继续，

你发现这个系数就不管了，这是二分之一的二分之三次方。那当x是趋向于零，正大于零，那大于零的话，你看这其实是x三次方，那这是四次方。阶数是最高的吧，所以说正确答案选几选d啊？你看，这其实就是我们这个操作性的方法。其实同学们注意，这个方法已经很快了。对吧，已经很快，

至少比什么快呢？你可能在市面当中还见过一些事情，说这个上面怎么等价，里面怎么等价？再怎么进行变现，还是等价那种方法，其实很慢哦，你直接来就行了，好，这是种方法，已经很快了，但是这里面当中啊，我们还有更快的方法。好，我们再来看看下面一个重点的问题，

估计很多同学在一些这个书籍当中啊，你也见过这个方法啊，那么接下来我们再来看看更重要的大招型的方法。那么，这个内容是什么呢？是这样说的，说如果s趋向零的时候，你发现里面这个人等价的是m次方，这是m减。你这个人是m姐，然后上面这个东西是n姐。要注意啊，里面这个东西是个m级，上面这个东西是n级则趋向于零的时候，这样的一个变向性函数是s的多少级呢？

是n倍的m+1减。啊，从零开始的这个变上限积分是n倍的m+1减。怎么做呢？我稍微证明一下，你听一下就行了，你简单听一下，那么这里面当中非常简单，你可以用导数定解法。你导数定解法的话，就是上限移进去。上限在求导。是吧，然后接下来我们就知道，如果x趋向0 fx等价无效x的m次方。

如果框去向0f框就等价无穷，小框的m次方。那这个时候就等价多少呢？当s趋向零，这是无穷小对吧？那其实就是这个框的多少次方？这个框的m次方。你等价它它等价的是n倍的sn- 1次方。然后继续看。次方数里面可以等价等价SN次方，这是mn倍的sn- 1来整理一下n倍的s。mn+n- 1。好，不用看那个没日记的，对吧？

强化班都会讲的。所以你发现导函数这个人的阶数是他，那原来函数这个阶数呢？就升一级，升一级就是这个部分。那不就是n倍的m+1解嘛。好注意啊n倍的m+1减这个方法，其实对我们三九六的同学应该是非常受用的一个方法。啊，很受用的一个方法，那么接下来这个事过去了可以吗？所以说你要注意这个问题啊，这个很简单啊。那么，接下来我们来重点来看，

这个结论注意了，里面这个人是个m阶的无穷小变上限的，上限是个n阶无穷小。那这个人在趋向零的时候就是n倍的m+1减无穷，小来那么接下来我们一起来看这个题。赶紧来抽，我们今天继续来抽这个题，你迅速就把这个题啊给灭掉了。那么，首先我们先看里面这个人。cos塞林这个人呐，他就不是无穷小。cosine 0是一不是无穷小，按照零阶无穷小处理，这是一阶，

所以说阿尔法这个人呢是n倍的m+1阶，这是一阶。好，再来看下面这个人，上面这个人是二姐，这人等价是二分之一次方，那是二分之一减好贝塔，上面是n倍的二分之一加一，所以说这结果是减三。三解再来看伽马，上面这人是二分之一，解下面等价是三次方三解n倍的m加一解，那这人是二解，所以说立即出来了。因此就是阿尔法伽马贝塔结束掉。

你看这个方向非常的快。所以说这个操作性呢，其实对于我们三九六同学是比较受用的，对吧？操作性的方式水平点就会非常的快。好了，这是这个事情，来那么接下来我们继续，我们再来看看刚才这个方式，你再看这个题。那么，对于这个题而言的话，我们就继续看好再来看。那么，这里面当中，

你看你这个人是几节一节，这人等价的是二节n倍的m+1，所以说这人是几节三节？你再来看，这是一解，这是二解，所以说一解二+1，这是三解，你再来看，这是一解，里面这个人呢？我们都说了，ln cosine一个函数趋向于一，立即等价无穷环境，这个函数减一，

立即等价无穷二分之。平方那所以说上面是一阶二+1，这是三阶，所以三个都是三阶不选。然后紧接着再来看看这个人，那上面这人是几节一节里面这个人呢？里面这人等价的是多少呢？你发现是二分之三次方，那就是二分之三节加一。那所以说这是二分之五，那二分之五也没三高不选选d。那第一选项也可以再看看你这个人是几，这人是二姐，然后里面这个人呢？里面这个人是二分之三次方，

所以说这是二分之三节加一，那这是二分之五五节选它。所以这个操作性的方式啊，你发现水平点对我们而言非常非常的受用。对吧，这个操作性啊，你发现一下就上来了。能听懂我的意思吗？所以这是变线函数，它的接触的确定呃，怎么进行操作？这可能对我们而言呢？呃，进行去处理一些问题，你水平就会非常快了。

你想我们三九六同学就需要这种啊，好了，那么接下来我们就继续再来看看最后一个题。啊，再来看看最后一个题。继续看这个题。那么这个题啊，我们就做好最后一个题目的收尾。也是把这些部分的题目啊，我们做后一个系统性的一个回顾，那么接下来我们看看这个题。那这个题其实就是也不难。里面当中的一些知识点都是在回顾啊，复习我们先这里面当中啊，先讲一个人。

我们先来看看a选项，先把a选项看看。a选项这个人呢？当s趋向零的时候，这个人你可以直接背。这个人呢？你可以减个x加个x都行。但是最快的方式是。提一个tangent题，就是一减cos in，所以等价无穷，小于二分之一s方s，二分之一s的三次方。好，这个东西是最快的，

对吧？a选项这个东西可以直接等价立即是二分之一x的三次方。然后再来看看b选项b选项，这里面当中考了一个，这个函数很喜欢考，那么接下来我把这个函数啊来跟同学们进行去看看。那这个人是谁？啊呃，这个东西啊，其实同济教材当中啊，其实讲的比较详细，我给你看看这个人。那这个东西啊，其实我们在同级教材的前面啊。有一个这个部分，

你看哦。有一个叫做双曲正弦函数。双曲余弦函数，你看到这个双曲正弦函数了吗？那么，接下来我们来看看这个双曲阵线函数。那么，双曲正弦函数那么先把sy做调换，然后解出的反函数就是这个人。所以说这个函数叫做反双曲正弦函数。注意啊，就是著名的反双曲正弦函数，非常喜欢考它。呃，这个内容啊，

其实我其实我曾经的高考题还喜欢出它，我们来把这个东西啊，稍微的进行去整理一下。啊反双曲正弦就是双曲正弦的反函数，但是双曲正弦双曲余弦不在我们的考纲范围内啊。那么，接下来我们来看看考点一。反双曲正弦函数三大。性质。那么这个部分呢？它有三个非常非常重要的性质。来那么接下来我们一起来看看这个人。有三个重点性质，哎呀，没有什么可怕的。

不要害怕，你不要对一些未知的这个东西啊，充满一些恐惧啊。那这个函数谁呢？这函数我们在这个基础班讲过啊lns加上根号下s方加上一吧。啊，这个人呢？一定要会啊，首先第一件事情。它是个奇函数。啊奇函数。至于怎么震去看零基础提前学的例一点一的第一个题。你去看看啊，这个我不会讲了，它是著名的奇函数，

我记得有一年的高考题。高考题是这样出的，有一年的高考题，他这样出的，他说fs这个人等于lns加上根号下s方加上a方。为奇函数。则这个a等于多少？这是有一年的高考题，那么其实你要知道，只有这个人等于一的时候才是一个奇函数。只有这个情况，所以说a方肯定是一等于正负一。啊，等一下，这有年的高考题，

只有这个人，等一的时候他才是这样。这这是绝对的，有一年高考，我忘了是哪个省份的啊，我记得有一次我看到过这个啊，好了，这是一个奇函数。然后第二个事情我们再来看。那么然后这个人导函数是多少呢？这个人导函数等于后面这个东西的分之一。然后第三件事情，我们就继续那么其实你发现趋向于零的时候lns加上根号下s方加上一这个人是无穷小。你看是无穷小，因为这是零，

这是一一一是一啊，这个什么零，那这是无穷小等价多少呢？等价无穷小x。对吧，等价无穷，小S怎么证明呢？我们今天你发现证明方法比较多，你可以按照第一种方法证明。第一种方法就是当s趋向零的时候，你发现这是零，这是一另一个函数趋向一，立即等价无穷，小于这个函数再减一。然后紧接着我们继续看，

你发现这是几节一节，这是几节？如果这是一加s方的二分之一，次方减一立即等价无穷，这个人那这个人是几解？这是二解，所以说何取第一解？对吧，这是一个方法，其实你发现这个函数也喜欢求导。注意这个事情，这个函数也喜欢求导，你发现它的导函数是多少？是根号下x方加一。当s趋向几呢？

趋向零的时候，这是一哦导函数是一，那你就等价无穷小于一的积分是s，它很喜欢求导，因为它导函数非常简单。所以说则这个函数立即等价无穷，小多少一的积分，你看这个事情是不是也很有水平呢？哎，操作性也来了，所以对于反双曲正弦函数的这个三大性质，你必须要会。能理解吗？好注意一下这个事啊，要记住它。

那么，紧接着我们就可以继续来看了，再往下走，那么所以说这个b选项这个人呐，就可以直接等价了。b选项这个人等价多少呢？这两个是乘法二分之一s方，后面这是s二分之一s三次方好了，这个题是收尾题啊。那么，紧接着我们再来看看c选项。c选项这个人呢？继续看。c选项首先第一件事见到幂值函数，立即幂值转换。

幂值转换，还记得吧？一的x倍的ln 1+sins。然后这个时候再减个一。那么，然后接下来我们就继续看。当s趋向零的时候，这是0 ln 1也是零，那这是零。对吧，那这是零的话e的框减一立即等价无穷小于框。然后这个部分就等价多少，当这个部分你看这是框立即等价无效，它等价无效s方，所以说这个人呢？

是一个二型。然后再来看看d选项，你眼睛一瞅，发现呃一阶眼睛一瞅二阶何取d阶哦，这是一阶，他说最高阶的是你看这人都不选。对吧，俩三阶肯定不选嘛。然后这俩人都比上面低，肯定不选嘛，肯定选e嘛。你这逻辑感就来了，对吧？俩人都是3000，那肯定不选嘛，

你下面这两个都比他低。对吧，都比它低，那肯定不选，那只能选几选一，你看一也不做了，一其实也非常快，眼睛一瞅哦，上面是二节诶，下面是一节二倍的，一+1几节四节。所以选几选一。能理解吧，这有啥不敢的。这有什么不敢的，

这基本的逻辑性对吧？所以我觉得在这个做的过程当中啊，你把它梳理清楚。啊会了没？好基本问题啊，你要想清楚，见到幂值函数，幂值转换这个操作也要有好这个事情，我们就讲到这儿。好，这是我们讲的这个第一波问题，所以无穷小量这个东西啊，它就出来了。那么，接下来我们就继续，

我们再来看看下面一个重点问题c选项。呃，我唠一下，其实我刚才不太想讲，不太想讲这个事情，然后但有个同学问了这个事儿，我来说一下这个事情。你要注意啊呃，如果你只会了一点皮毛，千万不要用。如果你是把细节的东西都学清楚了，那你就可以用我来说一下这个问题。我其实刚才不太想讲这个，因为会给很多同学啊，你发现这个学习啊，

带来一定困扰。啊，但是你学会的又贼快。好，我们看看这个事情。你盯着这个人来啊。哎，你看。这个东西。像不像我们的一加框的阿尔法次方减一啊？等价无穷，小于阿尔法框啊。像不像它很像？因为当x趋向零的时候，你这个人确实是零。

当s趋向无穷小的时候呃，趋向零的时候，你确实是零。像，但不是。注意，但不是为什么呢？因为你上面是函数，我这是个常数。可能有些同学做是什么直接等价这两个东西相乘，直接等价无穷阿尔法框诶，他好像做对了，考上了。但是这个水平点没有学好。没有学好，

但是我们都知道数学啊类比是一个非常重要的方式。那有没有可能满足某种情况下这个人就行了呢？哎，我们来看看这个事情。我不想写到这儿，我写一边儿去啊，你想听你就听，你不想听你就别听，对吧？就这个东西，我觉得不干扰啊，你就用刚才的方式做，也非常快。但是这个东西成立，它是要满足要求的。

那么，首先看第一个事儿。这是一+fs。对吧，就是一加上这个fs就是这个框。然后上面是gs，再来减一。什么时候这个东西就能够用呢？哎，我就很想要这个事情，那第一件事儿你必须这个东西是个框吧？你这个东西是个框，所以说第一件事你这个人的极限肯定是零。对吧，你这个东西肯定是这样，

你这个人是零。好注意下这个事，你发现这个人的极限肯定是零。什么时候就可以用了呢？我们来看看那第一件事，你还是进行去幂值转换。一+fs- 1。什么时候能用？就是这个极限，如果是零。如果在这个趋向下，这个极限是零。我就可以，因为如果这个极限是零，你再看当s趋向下，

你这是无穷小lin 1加框等价无效框。如果你这个极限是0e的框减一就等价无穷小于框。lin 1加框就等价无穷小于框啊，这时候就可以了。所以它必须要加上一个条件且。在这个趋向下，你这个fs和这两个相乘的这个极限必须是零。注意啊，不是说两人都趋向零，就说你下面这人是框你极限是零，第二件事情俩人相乘的结果也是零，好了，你就可以等价无穷阿尔法框。框的这个样子。好，

这这个情况一定要注意啊，你必须要抠死，你听得懂我的意思吗？必须要抠死。你要我再说一遍，你要学的模棱两可就别用。模棱两可，就不要跟我用，你听得懂我的意思吗？你模棱两可，就不要用，因为你会容易出错，你还不如幂值转换。它的条件非常简单。你不就是凑一加框的阿尔法次方吗？

那前提这个人必须是零。必须是零，它就是框。第二件事情，俩人相乘是零。那所以说我们来看看这个事，你看这个人满不满足？第一事情，他是零俩人相乘呢，零×0是零等价无穷，小于阿尔法框。平方它就可以了。所以你发现这个呃，有的时候你你要是学的不好啊，你这个你没有学稳，

你注意一下这个事儿啊，一定要听清楚。还有一件事儿，不要凭自己的感官认识和他说，那fx趋向零两人相乘，肯定等于零谁给你讲的？啊，谁给你想的？这是我教的吗？你这个人极限是零万一，这个极限是无穷大呢？凌晨无穷大，还是未定式的，这谁谁说的这个话呢？这可不是我说的啊。

这绝对不是我说的，不要乱来啊，不要别别别乱来。你学到今天，你画你还说凌晨，任何人都是零，那就不对了。好了，这是这个听懂我的意思吧。所以刚才的这个c啊。学不好就不要用。注意啊，上面这个人是变量，他不是个常数。如果你想用，

就是这个极限是零俩人相乘的，这个极限结果也是零，它就可以用。我再说遍啊。哎s in的极限是零，俩人相乘的极限是零，它就可以用。你能听懂我的意思吗？哎，注意一下啊，其实也不差这几秒钟啊，不差。好了，这是这个事儿吧？行吧，

我们就讲到这儿，因为你你看看这个一个简简单单的问题啊，让很多同学又呃这个。出来了很多很多问题的点呢。好了，不多说了，来继续吧，我们来看看下面一个问题。先到幂值函数，幂值转换就行了。好了，那么接下来我们再来看看题型三啊，再来看题型三函数极限的计算性问题。这个部分函数极限的计算。那么，

函数极限计算呢？在这里面当中的常规性的方法，我们先梳理一下。我们有等价无穷小替换。这是第一选择。你听好了，这叫第一选择。然后洛必达法则是我们学习的第二选择。四则运算是我们的第三选择。这个东西是冷门选择。冷门选择你不要作为，你作为一个三九六的同学，你不要首选tag公式。这个东西是冷门选择。如果是数一数二数三，

你是考数三的同学，应该是等价无穷小替换公式，用不了立即使用泰勒公式。立即使用泰勒公式，这是你要注意的洛必达法则，反而是次要选择，你看这其实就是复习体系的问题。那所以多少同学是按照数学三同学进行去复习，你发现离我们的考纲真的甚远呐。因为他见题就想泰勒，其实你发现我们考泰勒真的是很少。我们其实洛必达法则还喜欢用，你要是如果我去讲数三课那数三的话，就是洛必达法则要放到后面去。你这就是考纲的要求点，

你其其实你能理解我的意思啊，所以大家注意一个问题，你要清楚我们的第一选择是等价无穷小替换。我们的第二选择是洛必达法则，我们要很喜欢这个人。你说实话，我们落一下，真的很喜欢，很轻松，很开心的，这个事情好了，然后第三个事情，四则运算法则。这是我们的次要选择听懂我的意思吗？四要选，

所以你见到很多轻松数学的这种图书，上面有些书上面都不写它的公式，其实也可以。对吧，不写其实也行，所以这是这样的一个问题点，然后接下来我们再来看看第五个点导数定义，这是个重点，我们后续选择。好注意啊，导数定义我们后面要重点讲拉格朗日了解内容，所以说你要注意这个部分是了解的部分。然后这个部分也是了解的部分。就说泰勒公式这个东西和拉格朗日中值定理这个部分对于我们而言，对于我们三九六同学而言，

你要注意啊，这两个部分是。是了解。你听懂我的意思吗？诶，这是要注意的。所以你不要在这个做题的时候，你发现使劲的太多太多，你去看看有些题，它就很明显就不是我们的考题的风格啊。来那么接下来我们来看看七种未定式的极限计算，那么在这个讲这个之前呢？你发现个事儿。等价无穷小替换公式，我们刚才已经非常熟练了，

那么现在洛必达法则和四则运算，我还有必要再讲讲。啊，我还有必要再讲讲，所以说接下来我们再把这个两种方法再复习一下可以吗？好，再复习一下呃，讲义上没有的东西你就补。对吧，讲义上没有东西你就补，然后不要再来问我，你是个大学生，不要问我说呃，有些东西你怎么不按照讲义一模一样讲，我是个人，

我不是个机器人啊。对吧，是灵活一点的。你不能说我讲义写到哪，我就讲我讲到哪，我就怎么讲啊，好了，那么接下来我们一起来看看洛必达法则。那么到了今天，我们应该会对洛必达法则有一个非常完整且清晰的认识。完整且清晰的认识。那么，首先，洛必达法则这个东西啊，你要注意，

那么第一件事，它有三大重点的要求。我就写这个趋向可以吧？好，我就写这个取向。这个趋向，这是fs比上这个js。第一个要求。它必须是零比零，或者是无穷比无穷。零比零或者无穷比无穷，我再给你讲讲，我们稍微了解一点。这个人。其实可以推广之无穷大分支芯。

无穷大分之星，就是只要下面是无穷大，上面无所谓。那有些同学这个很担心，说老师这是啥玩意儿，我给你讲讲这个事情。呃，这件事情啊，是数学分析上的原话，你了解就行了，你知道就行，你要敢用我们来看看，这是数学分析。里面讲的事情，你听一下就行了，

知道就行。那么，在这里面当中，我们来看看这个洛必达法则。下面一句补充的话程。他说。尽管我们在习惯上把这东西称作为无穷大比无穷大的未定式。但是实际上，它的使用范围可以扩展到无穷大分之星儿，也就说只要这个星儿代表任意的变化类型都行。也就是说什么意思呢？你只要下面是无穷大，上面无所谓，你爱是什么就是什么，你想是什么就是什么。

你别管它是什么，我就可以用，能听得懂我的意思吗？所以说这个东西可以推广，有些同学不要胡来，就说那老师那零能推广吗？不要乱来，只有这个人。而且他就说那能不能推广成这样不行，只能推广成这样。所以只要下面这东西是无穷大，它就可以用了。所以将来我们使用洛必达法则的时候，你看我们班的同学又会很强了，当我只要看到下面是无穷大洛塔。

只要下面是无穷大落它，你看上面干嘛不用看操作性的就上来了，你听得懂我的意思吗？好了，注意一下这个事啊。来接下来继续第二件事情。那一落落成什么情况呢？一落落成这个情况。落成了这个导函数之比的极限。那么，同学们想想，如果这个东西。如果常数零，有的时候你我的呃，大家要理解我说的话。

可能说如果下面是无穷大，上面是常数不就是零吗？关键点是有些题啊，你只能判断出来，下面是无穷大，你判断不出来，上面是个数。你能听得懂我的意思吗？就说你只能判断出来，下面是无穷大，上面这个东西你怎么看都没有看出来它趋向多少，但没有关系，你可以落。大家能否理解我的意思啊诶，是这个意思啊，

这是这个意思。那么，接下来我们就继续，我们再来看第二个重点的要求，第二个重点的要求，你发现你是不求导了？你是不求导了？你求导了，是不得可导。那同学们想想你可导诶，你可导的话，你要在是不是要在这个趋向下得可导？所以说第二件事情在什么东西啊x趋向下，也就是去心灵域内，这俩人得可导。

这是第二个要求。那么其实啊，这里面当中有最重要的第三个要求。如果这个洛必达法则成立，必须要保证什么？必须要保证落完了之后这个人的极限。你是个树。或者是无穷大。也就是说什么意思呢？你是树诶，我们相等，你是无穷大诶，我们相等，如果你落完了之后是震荡的。注意，

如果落完了，是震荡的，或者不唯一大家注意这个东西就失效了。如果落完了之后的这个人的极限是震荡的。或者是不为一这个时候两个人就不会相等了。对吧，这两人就不会相等了。所以我们经常会听到一句话，这句话叫做什么呢？说洛必达法则不能由前推到后。是不是这个事情不能由前推到后？什么意思呢？就说如果说。limits一个趋向下。如果fs的这个人的极限。

它等于a，它是零比零或者是无穷比无穷。对吧，他这个人是这个情况，他不能够推出来。落完了之后。这个人的极限结果。他谁大家注意啊，这一板块一定要听完哦，好注意下。就说什么呢？如果前面这个人极限是a，能保证落完了之后的极限，结果也是a吗？我可以给你出一个题。

你来看看这个事儿。这题我们基础班讲过这个事情，你来看一个事情，当x趋向无穷大。x加上这个三比上这个s回答我这个题的正确答案等于几？啊，告诉我件事情正确答案等于几啊？等于几说二的同学，我疯了啊，看去向di moss做极限，要di moss看moss是趋向无穷大的。说无穷，说不你别乱来哦，不乱来哦。草莓同学又来了啊。

别乱来啊，等于几啊你看。无穷大加上负一到一是无穷大无穷大。趋向无穷大的时候，这个人比这个人大的多吧。不要了，这是几咦？好注意啊，这个人的极限结果是一。对吧诶，这个结果是一那么请同学们告诉我，如果你是一，你能推出来，落完了之后。大家想想，

你看看我们如果在这种当中使用一下洛必达法则。这是is+3比上s，你可以落下。一落完了之后的话，这个人是多少呢？趋向无穷，大一+cos。诶，那同学们想想一个问题。cosine无穷，大是多少？对吧cosine无穷大。那cosine趋向无穷大，它是诶，你看。

上下一直在动震荡，你震荡加一呢，你还是震荡。对吧，你是正的，那问题点的话，你发现。你这个人是震荡哎。对吧，你看你能不能推出你落完，你落完了之后是一+cos是一啊。你不能是一吧。对吧，也就说你原来这个人极限，结果是一你落完了之后，

这个极限结果是一吗？不是一为什么呢？因为它有可能震荡。你震荡了洛必达法则，失效了，这两人就不相等了。不相等的话，你是一我爱是谁是谁，你听得懂我的意思吗？就说落完了之后是震荡我们两个人不相等了。你是你，我是我，我们八竿子打不着你，说你等于你爱等于一=1，我是谁，

关你什么事儿，所以说这两人之间就没有关系了。你能听懂我的意思吗？所以你看这个东西虽然是一你落完了之后，这个人震荡了，你是震荡哎，我们不相等了，我爱是一我是谁都行了。所以两者不相等了，你看从前怎么办？推不了后吧，但是这句话太可怕了。我给你讲讲这句话太可怕了。很多同学就是因为知道了这句话。知识学多了，

会但不多。这句话太可怕了，他知道这件事情了之后，你发现洛贝达法做做做的战战兢兢。其实你发现我们做很多题，它都是可以从前推到后啊。所以一定要学的更好一点。对吧，你要学的更好一点，你不要进去去学哎，这个东西为什么错，你要更加要进去学，我们怎么样才能对？所以说接下来我们来看看这个事情。你要明确他为什么不能从前推到后。

他什么时候才能够从前推到后，那大家想想一个事情。他为什么不能从前推到后？你琢磨下这个问题，如果导函数之比的极限结果是个数。大家想想你听好了，如果这个人的极限是个a是个数。你这是个数，那你告诉我前面是不还是这个数相等？如果你落完了之后是无穷大，那你看看我这个人是不是还是无穷大，我们也相等，为什么会不相等呢？为什么不能从前推到后呢？那是因为落完了之后有可能是震荡的，

所以说听清楚。落完了之后是震荡的。所以才会不相等。对吧，所以才会不相等。如果说。你落完了之后的这个人。它是数或者无穷大不就可以了吗？只要你不震荡，我就可以。看一个人正不正当，简不简单？太简单了，我举个点简单例子。你比如说这里面当中s方，

加上es这些东西，你觉得会震荡吗？很多说老师那我要判断震荡，这多辛苦啊，眼睛漂一下就出来了。这哪有让它震荡的地方啊？这就没有正当的量，所以说这件事情我们又一次可以把他拉到我们的基础班，这个历史比较悠久了啊。我们翻到基础版。好，我们来看看基础盘。历史比较悠久了。我们来看看这个题。你还记得一点四三这个题吗？

诶，基础班，你是否还记得一点四三这个题？你看这个题。那这个题的话，你看我们就看这个方法。诶，就看这个方法。那么，这个题而言，我一定是零比零。你像对我们三九六同学，你如果否定了洛比达法则，简直是跟我们折上一臂呀，对吧？

简直是折断一臂。你像如果是三这个什么数三同学的话，你否则这个洛必达法则有时候不能用，我还有很多选择，你像对于我们如果说洛必达法则他不敢用，那这个时候你做很多题就疯了。那真是疯了来，你想想我们先看这个题。那这个题是不是零比零？对吧，原来的这个极限是极限是二。对吧，极限是二，那这个时候的话，你发现个事马上来看。

对吧，这个人极限是二，那你告诉我落完了之后能不能推出他是二？能不能你看我们一直都用的是这一步？那这是二，它就是二啊，但是有些人说那洛比达法则不是不能从前推到后吗？那不能啊，疯了当场就疯了。那是真疯了，你就看看这个函数有没有让它震荡的量，怎么可能会有呢？你在零处怎么震荡啊？就没有那个什么，比如说在零处sins分之一啊coss分之就没有让它震荡的地方，

所以眼睛漂一下都知道哦，这个人倒完了之后肯定不会震荡。那不会正当的话，你发现你是二，你肯定是二啊，你大胆的用，你看这样就要学好。这是我们强化班一定要做到的事情。不要学。学到这个什么？就知识吧，学到百分之三四十，感觉还挺好。对吧，用起来你发现在你不知道的时候，

你用起来哎，你其实无所谓，我不知道那么多的时候，我做起来还挺顺畅。但是有的时候你复习到什么，你复习到70%的时候，哎，有些同学又知道了更多，对吧？知道了更多，但是你发现反而这个。这个学起来就有点难受了，所以说达到了那个之后啊，你必须要让自己的知识啊，必须是100%。

所以回到我们今天的时候，你要把这个东西梳理清楚。只要你落完了之后。对吧，落完了之后是树或者无穷大，只要你不正当，我就敢用。所以眼睛漂一下，你就知道正不正当。好了，这是这个事，听懂我的意思吗？要注意啊，要学就学满。哎，

一定要学满。好了，这是这个问题，那么紧接着我们再来看下面一个事情，四则运算法则。诶，这个点。那么，四则运算法则当中啊，第一句话听就行了，这个讲义上没有，你先不要写，你写完了之后我都讲完了。不要跟我抢速度，听重点，

这都是基础班讲的。那么，四则运算法则最重要问题就是都存在才能拆。你的极限存在，你的极限存在，我就可以把它拆成你的极限，加减上你极限。你的极限存在，你的极限存在，我就可以拆成你的极限，乘你的极限。如果除法呢，都存在才能拆，但是还要注意一个事情，做分母的极限不为零。

这有啥好打点的？把它给我取消了啊，这没什么好打点的。四则运算都存在才能拆。啊，都存在才能拆，只有这两个东西都是存在的，你才能拆开。好了，这是这个，所以这里面当中啊，我们要有一个非常重要的一个性质诶，把这个内容啊，我们稍微进行回顾复习一下。这个内容好了，

那么接下来不要广义四则运算。我今天啊呃，我今天这个。收到一个同学嗯，当然的话，大家有可能不知道我，我讲讲你你你们听不懂都没关系啊，有一个著名的不等式。这是这个平方，然后再乘上a到bgs的平方ds。然后这个东西大于等于a到bfs乘上gs。ds这个人的平方，这是著名的柯西施瓦茨不等式。啊柯西施瓦茨不等式。然后啊，

有个同学今天来问我，说老师呃，有一个这个题用了柯西施瓦斯部分呃，柯西施瓦斯推。亏论定理。你听好了啊，他说的是柯西施瓦茨推论地理，我以为是个什么鬼的东西呢。结果你会发，你听一下就行了，你知道我在说什么就行了，你知道什么情况呢？他说。什么叫柯西？施瓦茨推论定理呢，

就是这样的一个东西。就是把这个j取了一。你看取了一了之后，是不是就得到这个人，然后取了一了之后的话，这是fs平方取了一了之后不就是b-a吗？好，就是这样的一个东西，也就说把这个柯西施瓦茨不等式当中的这个人取了一得到这个东西，他来了一个东西叫做什么叫做柯西施瓦茨的推论定理。我的天呐，你可真会取名字。那难道这个东西取二的时候叫什么叫大定理吗？取十的时候叫什么叫大大定理，取100的时候叫做恩斯密定理嘛，

你发现个事儿，这就是这就是平时你发现。这叫标题党啊，这叫标题党，你看刚才一个同学说还有广义的四则运算法则，我教了八年课程，我第一次我见到广义四则运算法则。你不就是想说这个事情吗？不就是加减法当中见到存在就可拆吗？不就是这样的一个经验吗？怎么又来了个广义四则运算法则？哎呀，这一天天的，真的是啊。好了，

这个事我们就讲到这来继续啊，我们回到这个敲钟点上。不要这个乱乱起定理，对吧？天天的话，在这里面当中，你真的是发现有的时候这个不是风就是雨的啊。你比如说今天你就问别人，你知道什么叫广义这个什么四则运算法，怎么你看它当场不知道了，其实就是这样的一个破玩意儿。来继续，我们来看看复习一下这个内容。这是我们在这个基础班的过程当中重点讲过的事情，来一起来看啊。

第一事你存在，你存在存在加减存在是存在。第二件事你存在，你不存在，存在加减，不存在是不存在。你不存在，你不存在，不存在加减，不存在是未知。然后接下来继续你存在你存在存在臣存在是存在。你存在，你不存在。存在乘以不存在就是未知的。啊，

一个存在的乘以不存在的就是未知了，比如说零算存在吧，无穷大算不存在吧，你看这个人就未知。那不存在成不存在，更是未知基础班的原模原样内容，这个东西要会哦。这个知识点必须要会，这是一个重点内容。所以就这个知识点而言，我们都可以单独出题。好，基本内容四则运算法则附录的内容，然后这里面当中啊，有两个非常重要的做极限当中的技能包。

哎，有两个非常重要的技能包，那么接下来我们来复习一下呃，你可以不用写啊，然后下去记重点就行了。那么下课我就会给你导这个笔记。呃，上次发的还挺及时的吧啊，这个强化的过程当中，我们就会给大家这个发的会比较这个及时一点，你下去及时整理。然后呢，接下来我们就继续，我们再来看第一个人，这个东西叫什么呢？

叫做。非零因子。非零因子怎么了？我不会起名字吗啊？非零因子那么什么叫非零因子呢？我一直给你讲中文之华美啊。非零不为零，因此因此必须是乘除法，所以说乘除法中的非零项才可以先算。注意啊，只有乘除法中的非零项可以先算。而我借这句话，我想多讲讲。这句话叫做。注意点。

叫做只有。乘除法中的。非零向。非零像。可以先算出极限。其余。都不行。注意下这个问题呃，这个今天我问了一下这个你，你稍稍微等一下，我们就等这个高等教这个等教育部的话，这个输号了。啊，基本上也就这两天，然后的话下周。

如果的话，这个明天后天出来，下周的话，我们这个书就出来了。啊，下周。所以说大家的话，你们先不是打印了这些吗？你先不用催这个事，就等这个呃，就等这个书号了。这周啊，这个书号是能出来，因为我们书书号是上周的话，这个上周一，

然后申请的。啊，所以说这个。所以说这个下去啊嗯，自己这两天呢，把这个东西啊，你先用着行吧？好了，这是这个部分，所以接下来我们一起来看看这个事情，哎，注意点。好，我们来说一下这句话。不不叫注意点，

叫做易错点。啊易错题。我来说一下这个事情。只有。乘除法中的非零项。对吧，只有称哎呀，你这这这怎么？我给你看看这个，我这个今天还专门进行去问这个事儿。那你看。你还不信啊诶，这个。诶，这这这。

说等这个书号，我一直也催这个事情。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看。只有乘除法中的非零项。可以先算对吧？其它都不行。啊，其余都不行。我们来看看这个事情，操作一下这个事，比如说。limits趋向零。你发现。

呃，我们先来看看第一个事情。有个同学是这样处理的。他说他把这个第一个人先算成零了。你告诉我对不对？你不要看简单，今天把它听懂了，因为强化还要重点的是一个体系。这个人不行。对吧诶，你看这人不行。为什么呢？因为这个人极限是零。而且这个东西是零，而且又不是乘除法，

不是非零因子，怎么能先算呢？绝对不行。来再来看，然后继续，然后这里面当中有一个es乘上三一。我们再减去个x。啊，再减去s比上这个什么段比上这个s三次方。或者比上这个s方。那么，有些同学是这样做的。说s趋向零的时候诶，那你看这个人。然后。

上面是负的六分之s，三次方比上平方等于零。行不行？大家注意也不行？为什么呢？因为虽然这个人的极限结果是一非零。虽然这个人极限非零。但是乘乘法呀，你后面还有减法呢。对它不是整体的乘除法因子。所以这个东西不行，因此啊，只有非零因子可以先算，别人都不行。对吧，

你注意啊，别人都不行，只有它可以，其实这个非常容易出错。来那么接下来我们继续，我们再来看第二件事情，拆分大法。这黄金重点吧。对吧，这黄金重点叫做加减法，当中看到存在就拆开，这就是刚才一个同学说的广义思维。四则运算法则。那这个内容其实什么意思呢？就是这样的意思。

当一个趋向下。如果你这个fs加上这个js。那这个东西的做题啊，其实就是一个经验。为什么呢？一般考点的结果都是存在的吧？一般极限结果都是存在的。那如果这个东西是存在的。那如果这东西是存在的，不存在加存在，肯定是不存在，肯定不行。所以说这个人只能是存在。不存在加存在一定不存在不行，它只能存在。

所以这个人必须存在，所以我拆开拆对了。对吧，我就拆对了，所以只要见到存在，我就拆开。我就不需要看前面了。注意这样的话，我们就不用瞻前惧估后了，我只用瞻前就行了。我只要看到这个人存在，我管你呢？我只要这个存在拆出去，只要存在拆出去，只要存在拆出去，

这是高手水平。高手做法好，这是这个问题。过去的可以吗？所以说我们这些核心方法我们都复习了一下，那么接下来我们来把七种未定式的极限计算呢？我们来做重点的回顾和复习。那么，接下来我们一起来看看七种未定式的极限计算。那么，在七种未定式的极限计算当中啊，我们的核心重点的方法步骤是先定型后定法，定法之前。仙似花。其实就是四种常见的化简方法，

当然同学们。还有一些别的化简方法，你也可以用你比如说我举个例子。当s趋向零的时候s-s in乘上cos。比上三次方。那这题怎么做？有些同学是这样做的。说老师当x趋向零的时候，你看。那这个cosine 0不就是一。他一下子就做成这样了。一下子做成这样了之后说六分之I三次方六分之一，我疯了，我彻彻底底的疯了。你是不是又给这个cos先算了？

cosine这个东西不是非零因子，虽然它是非零。它只是这个人的因子，它前面还有加减法呢。一定不要胡来啊。对吧，你不要胡来。有些同学这个尤其暑假的过程当中，你要注意啊。前两天呢，因为我们这个微博群呐，比较多一点了，其实我们三九六的这个其实还好，对吧？一般的话，

同学解答的话都没有什么问题。然后这个现在那个微博群呢？有18个群群比较多一点，人数比较多，然后那个我这两天暑期过程当中，因为问题也比较难一点，我有时候多看看那个群里面。有些同学很喜欢给别人解决问题。但是你要注意，你要想给别人进行去解决问题，你前提你一定要把自己给说清楚。有些同学啊，他连自己都没说清楚，就给别人解决问题，对吧？

喜欢给别人回答我，上次一看我说啥玩意儿，对吧？哎，结果他回答完了之后回答的那个同学居然下面回答哦，我明白了，你明白啥呀，对吧？你根本就没有明白他那个东西都是有问题的，还有一些同学，你发现在做的时候啊，明显这个东西做错了，他先回复一下，哎，说这个东西怎么做？

然后他下面又发了一段话哦，我知道是什么原因，我看了一下那个原因。你原因这个原因也是错的。你自己都没有搞清楚，你不要把自己给试图的讲清楚了，这真是很可怕啊，你注意啊，数学这个东西啊，讲逻辑性啊。好了，那么接下来继续，我们再来看。那这个人呢？s in和cos碰到一起，

立即使用二倍角公式。那二倍角公式啊，使用完了之后的话，当s趋向零，你继续看，那这是2 s-s in 2s。然后这是二倍的它。能理解吧好，这是这个事情，然后这个时候啊，当趋向零的时候框减三一框六分之一，这个人的几次方。三次方，所以说本题结果。出来了对吧？

本题结果出来，那这个时候啊，你发现这结果是多少？这是六分之八，三分之四。三分之二好了，这是这个部分啊。可以了吧啊，这个题我觉得你要稍微注意，你看除了常见的四种化简方法之外，你比如说还有这种初等数学的什么二倍角公式了？这也是一种重点的化简方法。所以大家注意不要太刻意，不拘泥如此。我们说四化，

我们只是说哎，在历年的真题当中，这些化简方法是非常重要的。是非常关键的，非常重要的，所以说我觉得这四种化简方法是常见的，我们总结出来。但是不是说只有这四种化简方法，不要把自己的思路啊给限制住了，那么接下来我们来看看这雌花。有哪四化呢？我们重点来看看这个事情。那么，我们常见的这种四种化简方法，我们稍微来梳理一下，

因为基础班我们重点都说过这个事情，来看看这个部分内容。好，我们先来看看第一画。非磷因子可淡化。注意第一件事情，非零因子先看有没有非零因子。有非零因子就是乘除法中的非零项，先把它算了。然后第二件事情加减法当中的存在的人，把它给我拆开。哎，加减法中的存在的人把它拆开，然后第三个事情根式想到有理化幂指函数幂值转换法。只要我见到根式，

我先想有理化。我只要见到幂值函数，幂值转换法，这就是我们常见的四种化简方法。那么接下来我们再来看看常见的七种未定式的。极限计算方法的梳理。这个内容必出题啊，就这个板块必出题呃，通常是两到三个题。就是考题啊，当然有些年份的话，它出的少一点，出一个，但是其实你在后面的时候也用到极限。它有的时候不直接出，

也间接着用，所以这是一个重点问题啊啊，也就是两到三个。那么，接下来我们看看七种未定式的极限处理计算吧，那么先来看看第一种未定式。那第一种背离式啊，我们来看看。算了，我来带着同学们来吧。第一种零比零型为理式。零比零型未定式，你要注意一个问题，如果是零比零型未定式，它一定会涉及无穷小的问题。

只要是零比零的东西，这是考的最多的，如果考啊，这是重点。它肯定会涉及无穷小的问题，那么所以说使用到涉及到无穷小问题有等价无穷小的代换。如果不好用，你就使用洛必达法则。那或者四则运算法则。像什么态度展开？像什么拉格朗日，这都往后退。对吧，这都往后退，所以说你发现后面这个东西啊，

不到万不得已。你就不用用了。什么泰勒了？还有什么东西呢？还有这个呃，我们的拉格朗日终值定理。我到最后啊，这两个东西算冷门考点了，你的三板斧最重要的就是等价洛必达四色运算。然后第二件事情。那就是无穷大比无穷大。那切记，只有无穷大比无穷大，才可以抓大头。这是一个重点考点啊。

抓大头。只有无穷大比无穷大，才可以抓大头。那么还有怎么办呢？你还可以洛必达，你看我对我们三九六同学多喜欢洛必达呀。对吧，洛必达呃，不用着急，这个事情拉格朗日，我后面会讲的，你就重点听强化的。然后最后一个事情，你发现还可以上下同除。最大项。

但是其实前面两板辅助仪。啊，前面的两板斧就非常好了。抓大头和洛必达法则就要首选，所以说这个今天呢，我想了想就就跟这个你，比如说我书籍也写到这儿。书籍写书啊呃的特点必须要全面严谨。这是两个非常重要的要素，能理解我的意思吗？所以你看我这些方法，我都会列到上面，但是跟上课的时候还是有一点点这个呃不一样的点。因为上课的时候啊，你要注意，

我会在这里面当中会跟同学们去点。所以说我原本的话，那个给大家进行去画那个呃，那个800的那个基础题啊的时候，我我觉得这个你要标上标号，比如说我让你去做100题。呃，100题的话，但是里面当中我觉得还是有些东西想跟大家说一下啊，点的那个点你要注意，然后接下来我们再看第三个事情。凌晨无穷大。那零乘无穷大，你把这东西除下去，无穷大放下去就变成零比零。

把零放下去就变成无穷比无穷。然后第四个事情。无穷大减，无穷大。诶，这个新的位置是？这个不一定是啊，那么第一件事你可以通分。那如果通分不了，还可以倒带换。其实还有一个方法叫提毛法，你先标到那，我讲到具体的题的时候，我们再来讲。通分和倒带宽。

再来看第五个点。呃，我可以讲讲这个事情。你比如说举个例子。你如果在做limits趋向无穷大的时候。你s减去s方ln一加s分之一。比如说你做这个机器。你做这个极限的话，你发现啊？其实你是一个强化班的同学了，你不要再像基础班。如果在趋向这个时候，你看这是无穷大。不用想，后面肯定是无穷大。

有人说，为什么你就按无穷大来做？你是个强化班同学啊，所以我可以怎么办？我第一种方法。第一种方法，我可以令x等于t分之一。零s等于t分之一的之后的话，这人就变成了t趋向零。然后这是t分之一，再减去t方分之ln多少一加t。那这个时候你发现它就变成多少limit t趋向零，然后这是t方。t-ln多少一+t？那这人等价无穷，

二分之一t方，所以说结果是二分之一。你看，这是一种方法，但是其实同学们想想这个题还有更快的方法，速战速决，能不能一步到位啊？哎，可以。我直接把这里面当中的最大项提出来，你告诉我这里面当中的最大项是多少s不够大平方够大。我直接把这个平方拎出来。这是s分之一，再减去ln一加s分之一。好，

那这个时候就变成了框，减去ln多少一加框？所以说这个时候这个题目就立即变成什么，立即就变成了当x趋向无穷大平方二分之一，这个框的平方。所以二分之一。诶，那这个方法也非常好，所以我们还有一个方法叫提锚法。把这个卯提出来，什么卯呢？就是最大项就是这里面当中提出最大项，你看。这就是写书，我没法写。

我其实我原稿里面写的是提毛法。然后那个编辑给我改成了提出最大项好。啊，这编编辑给改成了提出最大项那毛法，你是没法写上去啊。现在提出最大项啊。好了，这是这个事。那么，接下来我们再来看看下面一个事情，考研重点一的无穷大。好注意啊，这是非常重要的一的无穷大型为零式。那一的无穷大型不一定是啊，你要注意。

如果这是一的无穷大型未定式，你要听清楚，一步做到位。如果这是优，这是唯一一的无穷大，如果到了今天呢，你还秘制转换，如果到了今天呢，你还凑重要极限。那这个时候的话，你发现你这个水平点就相当的次了，那么接下来我们看直接做答案就等于一亿的极限符号找超。头顶照写其实是ling底ling函数趋向一，这个函数直接减一高手方法。所以说这个东西肯定是今年的黄金重点，

毋庸置疑。对吧，这肯定是重点，立即秒了，对吧？直接秒，如果接下来我们再来看最后一种无穷大的零和零的零。那这种怎么做呢？那这个情况的话是limit u的v。如果你是无穷大的零零的零，这个时候是幂值转换e的这个极限符号照抄头顶照写l底。上和下的区别在何处呢？因为上面这个人的优势趋向于1 lowing，函数趋向于一，立即等价无穷小，

这个函数减一。但是下面这个人的优势趋向于零或者无穷大，你可不能等价无穷小，这个函数减一，这就是它们之间的一个区别点，但是我还是想把你变成黑色。因为这个人最重要。好，这就是我们七种未定式的极限处理方法。能理解吧，七种未定式的极限处理方法，我讲两道吧。我觉得大家今天晚上状态还挺好，我再讲两道行不行？好，

稍微等一会啊，来看两道。呃，第一个题啊。估计就是个骗子体。对吧，第一个题就是个骗子题。因为第一个题，很多同学就在蒙了，对吧？他说fs是阿尔塔整体给的这个人，然后说可赛方比上他，那把他求出来不就行了吗？那又不是我说的，他说的。

它说fs。那这是阿克探针体。它说这s是它。导函数会算吗？导函数是一加平方分之一，一+cos^2分之一，这不是我说的。所以说这个时候你要用中值定理，这就太慢了。就有点low了。所以这个题就是个骗子题，你看arctangent题我可以先把s除过去。那除过去了之后就是一加可赛方分之一。所以说这个时候的话，你要注意能不能除过去呢？

当然能除，因为趋向为零，突出了不为零。对吧，趋向于零，突出了不为零，不是我说的，是他说的，他说这个函数等于s乘上它导函数，不是我说的，那就照常写嘛，那不是这个函数等于他乘上它嘛。除过去因为趋向于零不为零，那这时候把可赛方解出来。那可赛方的话，

你发现其实就是arctangent比上s再来减一。没问题吧，然后这个时候它让我们去求极限，那你就求呗。所以说这个题啊，大骗子啊，这题大骗子，所以说这个题你就可以处理了，当s趋向零的时候，这个人除以它。那这人除以他的话，给他上下同乘个x，那这是三次方本题结束，对吧？啊，

怎么了？哦，这是。x减这个人是吧哦，反了是x减这个人。arctangent体。所以说这个时候你就把这东西怎么了？当x趋向零的时候。你就把这个东西上下对吧？同成个tangent体。阿克探正体x方乘上阿克探正体。直接来吧，好上面这人等价多少？当x趋向零的时候，这是三次方。

那上面是多少？是三分之一还是三次方？所以说是三分之一。能听懂吧啊，这是这个题，其实我刚才那样做也做对了，我没有丢分，你不信你试一下。你刚才那个换了之后的话，它沉下去也是这样哦，不对，它错了一个负号，错了一个负号了之后我会发现诶，没有答案，没有答案我就会检查一下哦，

重新做，所以。所以没有问题啊，所以答案选几选d。呵呵呵。好了，这是这个事情啊。能听懂吧诶，强化16。过去了，可以吗啊？基本点啊。所以这个题啊，就是个骗子题。啊，

很骗子的一个题，这是要注意的。那么，接下来我们再来看看下面一个题，讲完这个题啊，我们下课。啊，这个题。这个题啊，一定要做一个高手。对吧，一定要做个高手。你看看你是不是个高手，那么这个题首先我们先看第一件事。当s趋向零的时候。

那上面这个东西平方做差平方差。平方做差，平方差。然后这个是x三次方。然后这个部分是根号下一加s，然后后面是根号下一减s。那么，接下来我们来看看这个事能不能速战速决啊？那么，首先第一件事情，我一眼瞅过去。x减s in这个人肯定是六分之x三次方。x+s in这个人你都知道，等价到最简形式不能相消，立即可以等价。

是不这个事情，然后再来看分母，我眼睛一瞅，我发现它是一阶。我知道他是一姐，然后我眼睛一瞅，我发现他是一姐。而这个人减个一的数是二分之s。是不是啊？你减个一的时候是二分之x。然后的话，这个时候的话，你看你在后面这个人继续减个一。那第一个人等价的是二分之x。第二人等价的是负的二分之s诶，

消不掉就可以直接来。注意啊，等价的最简形式不能相消，所以说将来遇到这种题，你就试一下，不能相消就行，所以说本题是一道高手题。六分之一I三次方。乘法当然可以等价，然后这是2s，当然可以等价，然后这是三次方可以，然后这个人是x可以。三分之一。好，

这个操作性就来了。对吧，这是第一件事情，那么接下来我们再来讲讲第二个方法。那么可能很多同学见到说两根号做差有理化非常好，我很鼓励，非常非常好。你看你强化是不是进步了？我觉得你是进步了，你连s+s in你都看，直接进行等价了，速度上都上来了，然后接下来我们发现。只是x-s in。x+s in，

然后这是三次方有理化，我非常鼓励，那就给它上下怎么了？同时，乘上根号下一加s，加上个根号下一减s。然后这个时候就变成你的平方，减你的平方rs。好，那么接下来我们就可以继续做一名高手了，高手六分之s三次方高手rs。然后这一项的极限结果是几这一项的极限结果是二非磷因子淡化高手三次方2x。所以说这个结果等于几三分之一。能清楚吧？好了，

这是这个问题。然后的话也就是这个啊。下面根号说这两个东西的公式也要背吗？这就没有必要了吧。比如说这其实是一个公式。你没有必要吧。你要这样进行去学习的话，我觉得无穷小，你是学不完的。你绝对学不完的。你你说你能学完吗？你连这个东西你都要背吗？你要把这个东西当做成公式来学啊，那是真没有必要哦。你见你是不是见过很多参考书，

还有什么arcsine再减去sine等价多少？什么arctan-arcs in等价多少？你真的要把所有人都要背的话，你这这背都是肯定背不完的，那所以这个思维方式要上去啊。所以答案选几选d啊？来再来一道啊，再来一道，再来一道。看看这个题好，这个题。这个题啊，一看就有我们的感觉啊。那么，首先我们先看第一件事。

讲完这一道，我们下课。第一件事，立即等价无效三次方。等s趋向零的时候，你发现诶一加框诶，你看看框框框在这儿。当x趋向零的时候，这是零。一加框的阿尔法次方减一，上面这人就立即等价无穷，小于二分之一这个框。立即等价无穷，小于六分之一s三次方，所以说多少十二分之一选一？

是不出来了，好这个问题啊，我们就讲到这好那么今天啊，我们就说到这今天的课程。哎，可以吧。操作性一定要拔高。所以对那个等价无穷小公式，一定要非常熟悉，行吧，那么今天我们就讲到这儿，哎呀，不差今天，一会儿来日方长啊。好，

这是这个部分吧？呃，那么接下来。我去画下题，然后的话，你这个有事儿的话，你自己去干你的事儿，然后呃，你不想听怎么话题的，你就进行去看一会儿，有一个电子版。啊，能理解吧，一会会有个电子版，电子版会传给你们。

啊，会给你们传过去，如果你想这个听一下的话也行啊，如果有事儿你去干你的事儿就行。好呃，那么接下来我来说一下呃，快速一点。我们今天把高等数学给画了。哎，高等数学。那么，接下来我来说一下这个事情呃，今天的话，这个作业下次再布置。等我下次把这个极限全部讲完了之后再布置，

你不用着急这个事情呃，如果你没有事儿的时候，你就进行去把之前的部分内容进行整理回顾。能听懂吧哎，整理回顾，如果你觉得这个部分的话呃，你自己实在是没有事情的话，你就进行去看你的逻辑和写作。能听懂吧，所以我觉得你不可能说没事情的。我不相信的话，你这个事情一点都没有的。哦，预习的有啊，要不这样吧，

我们先把预习的任务先布置了，行不行？可以吧？然后我们再画题，把这个今天部分的内容我们先说一下，我们先把预习的任务先画了。好不好啊？好，那么接下来我们继续。呃。函数极限，这前面的题都能做。31题之前的题都能做。啊31题之前的题都能做。然后把这个之前的题可以提前做预习一下。

但是我觉得做这个讲义上的题，建议的时间一定是呃，我们比如说第二天有课。对吧，比如说我们今天晚上是七点钟课，我建议你那天下午做是最好的，因为挨得比较近一点。哎，能听懂吧，你可以提前完成一下，因为你是个强化班的同学啊。然后的话，这个拉格朗日中值定理，你可以做，如果你忘了的话，

那么下次我们再穿，然后紧接着考象四看到了吗？左右左右开工法就是这个部分，你下去一定要重点复习一下，左右开工法的几种分类情况。什么时候需要进行分，这个很重要，对吧？需要分成左右极限的几种重要的情况。然后紧接着我们再看下一个事情。呃，我再说一下啊，如如果当天有课。后天是早晨上课是吧？早晨上课的话，

我们就放到明天。呃，我们这样规定一下，如果。是第二天的晚上的课，我们就放到当天的上午。如果是第二天上午的课程的话，就放到前一天的早晨。这样可以吗？好，这样我们就统一了啊，我们就你就记住这个时间就行了，你自己盯着你的课表，因为强化的时候我们很少会调这个时间。基本上就按照这个课表走。

能听懂吧啊。好了，那么接下来我们再来说一下考项五已知极限，求解其中的待定参数，把下面这个东西复习了。然后下面的这几个题啊，都可以做。所以你们重点做到这儿就行了。能做多少做多少啊，能做到这个什么，能做多少做多少，你要做不了多少呃，我觉得这个。你就尽可能自己去提前看吧。大家听不懂我的话呢，

对吧？我再说一下啊。我说的是公式测试那个时间。啊，当天晚上有课。当天上午八点发。能听懂吧诶，当天上午。发我发现这个我觉得是咱们不在同一个场嘛，就是上课的时候我说话你都听不懂，真的。这中文的啊。如果第二天第二。如果是。上午的课。

前一天。上午八点发好了没？可以了吧好，不是说把后天的课调到了明天，你能听懂我话了吗？好听懂了啊，听懂了就行了。好了，刚才预习的任务啊，我们就布置那么多函数极限计算的东西，你可以提前做。对吧，可以提前租，然后的话有一个左右开弓法已知极限，求解其中的待定参数，

这个东西非常重要。你你测了这么久，你不知道那个就是那个公式的答案什么时候发吗？那个答案的话，一般十点钟就发了。如果是那个小红，他不在那个评论区当中，就在你把那个图片往后面翻两页，后面就是答案。哎呀，这个都这么久了，那不不要不要不要像小学生一样啊。好，这个部分我们说到这吧。行吧，

那么这个部分我们就说到这过去了，可以吧？行，那么接下来我们来画题啊。好，我们把这个基础的这个800题啊，部分的东西啊，我们现在把这些重点的题啊来跟同学们去画一下。啊，自己下去的时候把它做一做，然后的话，这个考点一部分。注意第一个题，第二题。这前几个题啊，

这个题你就可以不做了都行啊，前几个题你可以把它看看。但是我们今天做前几个题啊，你水平点是非常高的，尤其是第三个点。fs和f负s相减，是奇函数。这是奇函数积乘积，是偶函数。然后两翼做差提，后者这个人等价无穷s，迅速把他秒掉。基础的过程当中做的时候可能做的很慢，你今天再看的时候就非常简单，你再看这个人。

那么，这个东西可以写成什么？写成ln1-s，减去ln1+sfs，减f负s奇函数。负s进去负的负的奇函数。然后当s趋向零的时候，一减三减等价s，这个人呢？可以变成减法，上面这个人等价了之后的话约不掉，所以说这个题非常简单。所以你可以看出来，如果你作为一个这个呃，就是强化班的同学，

你再进行看这些题的时候，你看当时做的时候，有些人觉得很难。你现在速度越来越快，好了，这是这前几个事情，对吧？拦不住了啊，来那么接下来我们继续第六个题还是复习一下。啊，第六题。然后接下来我们再来看看第二个部分。啊，第二部分无穷小及其比值。对吧，

无穷小解析笔记。那无穷小及其笔记啊呃，我觉得这一节的题的质量是比较高的。就这一节那么里面当中啊，可能这个第14题有点拔高，你稍微进行看看。别的题的质量都非常高，能理解吧，就把这个部分都做了，我就说不做的啊，行，我们说不做的。然后的话，考点三。考点三这里面当中啊，

有几个就不用做了啊，考点三。好，这个题就不用做了。35题不用做了。然后是。45题。46题。48题。49题。这都不用做了。好了，这是这几个不用做了，然后的话，这个题要好好看。

很有意思的一个题啊，好好看一看。行吧，那这是这个部分，然后紧接着是下面一节。啊，因为那个部分拔高的话会比较难一点。然后紧接着我们再来看看下面节目。下面一节没有。你发现啊，这些题啊，你基基础的话，你到了强化的过程当中再做，其实也很好。你这再做也很好，

你看这题这题都是我们考研这种基本上直接会出的题。你现在在座的也其实也很好，你像这种有有的时候我们今天讲的这个对应部分，你再把这个部分的对应的这个部分，你把它怎么办？你把它再进行去处理一下，也非常好。啊，你可以只做这个自己错的，但是有一个问题啊，你要之前看到一些错的。对吧，你之前做对的，现在也不会做了，你也还稍微的看一看啊。

然后是数列极限啊，数列极限。嗯，这块儿的话好，然后有个74题可以不做了。74题，然后这个75题不做了也行。七十四七十五。然后再来看看考点七。好了，继续，我们再来看。然后是100。啊，这个题都要做。

然后紧接着是130题。一百三十一百三十的话，这里面当中有一个这个题不想做的就别做了。啊，这个题啊，行行行，一会会有那个电子版。啊，一会儿有因为你，你前面的话，这个有些的话，这个比较简单一点，全做了，你不要着急啊，因为后面画的比较多一点啊，

稍微注意一下。然后是这个11。好，大家还记得这个部分吗？这个板块那这个板块的这个部分，你还记得这个部分吗？这几个题我们在基础班的过程当中没有做。基础班的过程当中没有做，这是我们强化班的重点，你强化班的时候一定要重点来做。就这个部分啊。能听懂吧诶，注意下这个事情要稍微注意下。呃，不定积分的话，

我们就不用画了，以原来的话进行的不定积分的百题代刷这些题的话，我觉得呃都是你的基本的运算能力。然后的话，这个不定积分的百题代刷到二七一，这个题不想做的就别做了。271题，这个题不做了，不想啊，不想做的就别做了啊，然后紧接着是这个二七三这个题，这个题你可以看看。然后是定积分。你能画了几把？我相信大家，

大家应该能跟上，然后定积分计算这个板块儿。定积分这个板块有些题啊。这个就有点难度，系数比较大了，我反着画。呃，从前面来吧。然后这个前几个题都还好，这个题不做了，想可以不做了，二百四九十四题这个题。这一节很难。啊，这些挺难。

就这一节，我觉得那个原来基础的高等数学部分呢，就是这个部分的难度系数最大。就这个部分啊，这个定积分的话，我觉得就不画了啊，这个部分。有点难，你就把这个题不做了就行，二九四啊。这节很难。然后还有一个题。319题，这个题。放到强化组。

诶，放到强化做，然后这个题不做了就不做了，三二零这个题可以不做了，然后这个题贼难。对于我们三九六同学有点难。你可以放到强化做。啊，二零二三年的话，真题那个定积分不难啊，那个题不难。那个题这根本不难啊，那他那个题对比这几个题你自己去对比一下，那题哪叫难，这题有些题才叫难啊。

所以说这个部分。这个题很难，然后是变现函数这一节。这一节当中的。这个题。还有这里面当中的这两个题可以不做了，三三九三四二可以不做了。啊，这两题可以不做了。然后反常积分，这一节反常积分，这一节这个题可以不做了。啊，三五四。然后紧接着是定积分应用。

嗯，都做了。我记得后面我还画过几道，你稍微等一下啊，还画过几道。然后这里面当中，后面这个部分呢呃，你可以多算一算。他比较磨性子啊。我记得还有一个题。这个题不做了，可以不做了。不用求到二级的。哎，不用求二阶导，

然后这个题求一阶就行了。会求一阶导就行，好这个题会求一阶导就行。然后紧接着后面还有几个题。这题不做了，可以不做了啊。好，这是一个板块儿，所以我觉得这个呃，我们这次那个800题的这个基础部分呢，其实有些题还是难度系数比较大的啊。你在这个基础部分，如果你做的不好的，你强化的过程当中还可以再看看问题，点都不大啊，

你可以把这个部分你再看看。如果做完会怎么样？做完会非常好。啊哈，做完会非常好。我就想重点说一下，因为原来的话，这个基础篇的时候里面当中啊，有些部分是拔高题。对吧，有些部分是拔高题。你当时这个部分我们进行去拔高，所以说有的时候设置的难度系数比较大，它不太适合的话，这个考选择题的这种方式，

所以说我基本上把它筛了啊。你自己下去看看，其实线性代数筛的会会多一点点啊。好了，那么这个部分呢？我们就说到这儿可以了吧？你下去好好进行去看一看啊，这个基本问题，所以有些呃强化班结束把它做完，没有问题啊。可以的，强化班做完可以没有问题啊。你都可以学一节，然后再刷一节都行，对吧？

学一个部分，再刷一个部分都行。你包括的话，如果你原来在基础班的时候做无穷小阶做的不好，你今天我们已经加强了，之后你再回过头来看，你看这些题，你看处理的怎么样？所以我觉得这个问题点呢就不大了，好那么今天课程呢，我们就讲到这儿好吧，同学们，你下去的时候把这个基本的问题啊，好好处理处理。呃，

然后的话这个。画的这个题啊，一会儿有这个电子版，你去那个APP里面进行下载一下就行，然后这个300题这次没有这个作业。啊，没有作业，然后的话，这个下次才有，等我们把函数极限计算全部讲完了才有，你们不用进行催，你都按照这个节奏来吧。你们是有事情干的啊，如果的话，这个自己没有事情呢，

你去整理复盘，把该记的内容装到脑子里面。好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿好不好？同学们啊，今天大家的话，这个状态还挺好，以后就拿出这种状态，而且这节课没有人来气我，对吧？啊，这个比第一节课了，我觉得啊，我们共同这个状态都好很多啊，

好那么今天课程呢，我们就讲到这儿行吧，同学们好，那么下节课见吧。

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