02.冲刺满分强化篇·题型3精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:05:51

那么行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。可以听到声音吗？啊，声音没问题吧啊，没问题，我们就准备开始了，那么今天我们就继续开始我们的强化班的这个专题突破部分内容，那么上次啊，

我们是第一次课程。那么，在第一次过程当中啊，其实核心重点讲了两个事情，一个事情啊是函数部分内容，那还有一个事情我们讲的这个无穷小，包括这个常见的等价无效公式的，这个回顾性问题。好了，那么接下来我们首先第一件事儿，我们把上次过程当中的内容，我们先做一个重点的回顾啊呃，在上次过程当中啊，我们首先第一个部分函数部分内容当中啊。呃，

声音有点炸吗？声音怎么样？声音没有问题吧，因为这两天的话，这个老是这个声音的这个问题啊。等我一下啊。好，现在可以吗？好，现在怎么样了？我们先测试一下啊，保证好这个网速环境，还有这个声音没有问题，我们就准备开始了啊，今天没有公开课了，

今天都是我们呃自己班上的同学的学员啊。啊，这个。你叫我看看啊。好，现在怎么样了？行行，我们先测下声音，保证这个声音质量没有问题，我们就准备开始了啊。好了没？还有吗？好，现在没有问题，我们就准备开始了啊。

好了，是不是？好都没有问题，给我回复个一吧啊。好，没问题，给我回复一。好，可以啊，那么接下来我们就正式开始，我们先来看看今天的重点内容呃，先来回顾一下，那么在上次过程当中啊，先讲的第一个问题，那么这种问题啊，

其实是低频考点对吧？低频内容。但这种低频考点呢？我们在考研过程当中也有涉及，尤其是对我们三九六同学而言，这个部分内容还挺重要，那第一事情你要注意定义域指的是这个函数自变量的取值范围。一定要注意啊，是自变量的取值范围，那么如果是中间变量的取值范围不是这个定域，那么第二件事情就是在同一个对应法则当中，那这个括号里面的这个整体啊。取值范围是一样的，好了，这是我们讲的第一个事情，

再来看第二件事情变上线函数。那么，在变上线函数当中啊，我们先看看第一个问题，那么同学们还记得吗？我们说变上线函数什么时候才是这个被积分函数的原函数啊？那比如说我们写一个人，如果这是大fs，等于是从a开始到这个人ftd t。什么时候这个东西就是小fs的一个原函数呢，一定注意，只有被积分函数连续的时候，那么这个人的导函数才是被积分函数。那这个时候啊，它才是它的一个原函数，

那么我们都知道角标变了，原函数就变了，那么在众多的原函数当中，众多的爹当中有一个爹是最牛逼的，就是这个人。啊，所以说我们给它起了个名儿，叫做牛逼吧啊，注意啊，这个非常的重要，然后接下来我们再来看看第二事情函数和原函数的一个奇偶性的一个关系，那这种题啊还是可以出的。那么，首先我们先看第一个方向，如果知道d去求解它的什么哎，

导函数的结果，那我们都知道，如果这是奇函数，导函数是偶函数。如果这是偶函数，导函数是奇函数，如果这是周期函数，导函数还是以相同周期，对吧？如果你的周期是三，我导函数的周期也是三。如果你原来函数的周期是四导函数周期还是四，有没有下去整理一下啊？这个内容很重要啊，所以说强化班呢，

我们上课的这个节奏感对吧？这个节奏还是一个非常稳的一个状态，就是一天课程不像这个数一数二。三同学的这课程非常的密数一数二数，三同学在强化班过程当中，基本上每天都有课程，但是我们基本上是两天到三天一节课。所以中间是有整理的时间，一定要消化到位，这些内容都要装到脑子里面，然后再看第二件事情，如果知道这个人，我想进去看什么看原函数呢？先看第一个问题，如果这个东西是奇函数。

那如果这个东西是奇函数，那你告诉我原函数都是偶函数吗？那这个东西是的。如果这个东西是奇函数，一个原函数是偶函数，对吧？肯定有个原函数是偶函数，然后再加个c上下平移，都是偶函数。但是如果这个东西是偶函数，只有一个原函数是奇函数，因为奇函数啊，你上下平移了之后啊，这个东西就不一定是奇函数了。所以说这个部分呢，

是这个内容好了，那么接下来我们再来看看变上线函数的奇偶性的这个结果，所以昨天在讲的过程当中，应该是上次过程。对吧，上次课在讲的过程当中，你可能会觉得说哎呀，这个知识点怎么那么的多，但是今天的时候你在整理的时候难度系数就不大了。如果知道这个人，我想看这个人。好，我们一起来看看，那么这个东西就是里面是奇从零开始，这个东西是偶里面，

这个东西是偶从零开始，这个东西是奇。如果这个里面这个人是周期函数，那必须要保证什么事情必须要保证一个周期内的积分为零，那这个东西啊。才会是一个周期函数，有要求一个周期内的积分为零，你看这个内容非常的重要，对吧？基本点。那么，接下来我们再来看看下面一个问题，我们又讲了有界性的判定问题啊，注意啊，这个东西啊，

有可能会出题的。呃，如果这个考点进行出题啊，应该是具有区分度的一个题。对吧，有一定的区分度，那么首先我们先来看看第一件事情，极限的局部有戒心，我们是怎么讲的呢？是这样说的，就是。就说如果你在这个趋向下。你的极限是存在的，我就可以说明说什么东西呢？说这个函数在这个趋向下。

是右键的。对吧，极限存在有阶极限是无穷大无阶，如果这个结果是一个震荡的。或者是波唯一的不存在，那这个东西啊，是未知的。啊，要注意就说，如果你极限存在了呢，我就说在这个趋向下是有界的，如果是无穷大呢，我就说无界的。如果是震荡呢，我不知道啊，

就这样的一个知识点，然后再来看看下面一个问题，扯面定理是我们上节课讲的核心重点内容啊。对吧，如果一个函数怎么了？如果这个函数在开区间连续。你想想，如果这个人在开区间连续，必须要保证单侧的极限是存在的。对吧，开区间连续后分一个事情，比如说举个例子，如果这个函数。我们都知道，在开区间连续。

你必须要保证这一侧和这一侧极限都存在，但是同学们，你想想，如果这个人在这个区间连续呢？那这个区间是B区间连续极限等于函数值极限一定存在，所以说这一侧就不看了，我只看这一侧。对吧，只看b负这一侧，如果这个情况是这个样子的呢，我只看a正这一侧，如果这个东西是B区间连续呢，那这个人一定有解。能理解吧，所以你发现如果是开区间连续，

那就要看单侧，对吧？每一个单侧如果是这种情况呢？只用看b。这种情况呢，只用看a，如果这种情况呢，就不用看了。对吧，一定有界，你看这个知识点，我们就串起来了，所以说上次过程当中啊，我们讲了一个重点，那么一个初等函数有界区间怎么去判定呢？

怎么进去去看看这个人的有界区间呢？那大家都知道，一个初等函数。初等函数在定义域范围内都有界啊，都都连续不是都有界啊，在定义域范围内都连续。那么，所以说首先第一件事情，我们先找到这个函数的什么，先找到这个函数的无定义点，比如说举个例子。这个点没有定义，这个点没有定义，这个点没有定义好了，这没有定义的东西，

我就给挖掉。那这个时候怎么了？我就得到了一系列的连续区间，就得到了一系列的连续区间，一系列的连续区间，一系列的连续区间。我就进行去求极限就行，对吧？求这一侧这一侧这一侧这一侧这一侧这一侧这一侧和这一侧这个极限。所以你发现有几个问题呢，第一件事情找无定义点。哎呀，上次过程对吧？我昨天学会了一点，后面我讲题的时候啊，

我都稍微进行暂停一下啊，然后我们再来进行讲，你看上次。很多同学那个基础水平很明显，基础课程都没有怎么听，然后就来听课，你想一个函数的无丁一点都找不到。那这怎么进行去考这个高等数学部分的课程呢？那所以说这个事情一定要注意，你首先第一件事儿，你要会找吴丁一点，你这太基础了，这高中内容对吧？找到这五定点，然后接下来怎么办呢？

我们再继续求这个单侧极限。啊，这样的一个问题，另外一件事情，你看求极限的水平。你像上次过程当中，我们说零那个东西的左右需要分吧，因为有绝对值。那那个一那个左右需要分吗？二那个左右需要分吗？那这个东西你发现就不需要分？另外一件事情的话，如果下面是零，上面这个东西不去向零，那这个结果是无穷大，

那所以你发现这些知识点呢？你这太基础了，对吧？那有可能说我们零基础提前学达到的水平都不止这样。好了，这个事情我们就讲到这来，继续吧，我们再来看看下一个问题。诶，我出一个题吧。我看看你水平怎么样啊？我们来看看这个事情。比如说第一。我们说下列函数。对吧，

在一到正无穷内。无界的是。啊，我们来出一个题，现场来一个题呃，然后啊，是这样子的，800题的那个筛选的那个题的文件啊，一会下课就会发给你。但是我觉得还是有必要跟同学们一起进行去划一下，所以说一会儿我们九点钟下课，注意啊，下课如果你有事儿，你就进行去办，你的事儿就行。

然后九点钟我再带着同学们把那个800题再画一次，能听懂我的意思吗？因为有些东西我需要说一下。我在给你筛的时候有有些话我需要说一下，然后筛完了之后的话，你自己画一下，然后那个文件还会发给你，因为有些点呢呃，我只筛的那个题，然后里面当中有几个重点的东西，我需要点一下。能理解我的意思吧，好了，这是这个啊。哎呀，

你别管我几点下课啊，反正就是今天下课了，你有事儿你就先去办你的事儿就行了，如果这个呃你没有事儿，然后你就在这儿听一下，你把那个800题我会给你筛一下啊。好了，不要讨论那个下课了好，我们先来看看第一个题。第一个那么假，假设这个函数是这样子的。是什么呢？是这个。x再乘上sin x方分之一，或者这样。

那这个人有没有进对吧？我们再来看看b选项。fs，然后是s分之一，再乘上arctangent x分之一。然后再来看看c选项fs fs这个人呢，他等于这是阿克tangent x分之一。然后再加上一个x方分之ln x。然后再来看看d选项，那这fx等于多少呢？等于e的s分之一，然后e选项fx等于。这是。s分支。一然后再是呃，

这是x再乘上。sin x方分之一啊，这是s方程上sin x分之一。好，我们一起来看看这个题，我现编的一个题啊。来看看那么请问在一到正无穷内没有借的是哪个人？那么，怎么进行做题呢？先来看看第一件事情啊，注意那当然可以一眼瞅出答案呐。很多人选b。啊，那么先来看看第一个人，你来跟我瞅一下，

你看第一个人这个函数的无定义点是谁呀？看到第一个函数吗？第一个函数的无定义点是零。无定义点是零，一是有定义的，所以说你发现这个连续区间是一到正无穷，那你告诉我，它只用看哪个方向？只用看这个正无穷方向。能听懂吧，它只用看正无穷方向，所以说a选项这个人呢，我只要进行去求正无穷的极限就行。求正无穷的极限，你来看看这个事。

当s趋向无穷大，那这个部分是个趋向零，那就是框s in框就立即等价无穷小框。所以说这个东西啊，立即等价它，这是一。所以你看这个人是可以的，没问题再来看第二个人，那第二个人的无定点是谁啊？第二人的无定点还是零，所以说它的连续区间是一到正无穷，只用看正无穷。那只用看正无穷的话，你发现趋向无穷大这个部分极限是零，而这个人是个有界函数吧？

那你想想，对于我们的阿尔克探正体s分之一而言，它本来就是个有界函数，所以说这个时候我们继续看，这是无穷小，然后这是阿尔克探正s分之一，无穷小乘有界无穷小。极限是零，那极限存在有界的。那么再来看看这个人呢？你再看c选项。c选项的无定义点是谁呢？无定义点这个人呢？还是零对吧？无定义点还是零那无定义点还是零的话，

你发现你只用去判断什么？你只用去判断正无穷。对吧，只用判断正无穷，你只用判断正无穷，我们来看看这个事儿，其实啊，这个函数本来就是有界函数，你只用继续去求下面这个人。能理解吧，唉，你只用看这个人好，同学们，你告诉我上面是无穷大，下面是无穷大，

而下面这个人是。是幂函数远远大于对数函数是零，你看这个极限是存在的正无穷方向，有界而前面这个人本来就有界，用有界加有界是有界。好题，然后接下来我们再看看第四个事情，第四个人的无定义点是零，那一到正无穷，只用看正无穷。看正无穷的话，当s趋向正无穷的时候，这是e的s分之一。无穷大分之一是零e的零是一，所以说右键。

然后再来看看最后一个事情，你发现这个人的无定点还是零只用看正无穷，当然是需要正无穷的时候，只用判断这个人。那这个人当s趋向正无穷的时候，你发现这是零，所以说立即等价无效框拿ss趋向无穷大无穷大，没有解选一啊。好了没诶？这是这个题。所以一定要学好，对吧？有些同学看到这个样子，哎呀，没有劲，

你要注意这个事情，你把它学好，我们在上次过程当中讲那个什么，有些x分之一的东西，对吧？啊s分之一乘上sins分之一s乘上sins分之一等等一系列啊，这我现编的一个题还不错，对吧啊，我觉得还可以，对吧，思维方式是非常清楚的。你要进去看看这个有界区间这个问题，你先看看这个人的地域。初等函数吧，先看这个人的定义域。

然后有同学就问了，说那个arctan x分之一为什么是有界的？arctangent体的图像还记得吗？你注意啊，你不是一个零基础，提前学的同学啊，你arctangent这个图像它这个部分是多少呢？它的上限是二分之派。对吧，它图像是这样子的。它的图像诶，这是这个样子。所以你发现这个函数啊，本来就有界的，你arc tangents是大于负二分之派，

小于二分之派，有界的吧？那你arctangent框你还不是大于负二分之派，小于二分之派的吗？所以说这个东西啊，肯定是有界的。arctangent这个人永远这个东西是有界的arc quota nt也有界，那么所以说常见的这个有界函数，我记得这个讲义当中是应该是有标注的吧？啊，讲义这个东西是有标注的。是在。我记得讲义当中，我是写了这个东西的，你把这个有界函数啊，

常见的这个有界函数你得知道。你像s in这个人有界吧cos这个有界吧，你发现这个arctangent有界吧arc quartet new，这是常见的有界函数，你得知道对吧？这是最基础的。好，这个题啊，我们就讲到这儿，那么接下来继续吧，我们再来看看下一个问题，等价无穷，小的替换公式，这是一定要记住的。那么，

上次过程当中有没有把它记住啊？有记住吧诶，等价无穷小替换公式，一定要把它记住，这必出题。我们三九六同学必出题，一定出题。对吧，这是要注意的点，然后紧接着我们再来看，等价无穷小的这个带换是非常重要的，那么在上次过程当中，我们总结了以下六条。虽然看起来多，但是最后顺下来也就这样了，

那么首先我们先来看看第一件事情，如果遇到无穷小，一定要有接的感觉。这是我们在这节课的过程当中啊，非常重点的内容，见到无穷小，一定要有接的感觉。乘除法当然可以用。对吧，乘除法绝对能用，如果是加减法，加减法这两个东西是不同解注意啊，两个东西是不同解何去递减？对吧，和取递减你比如说s趋向零，

如果这是s+sin x方，你告诉我这是几解一解，这是几解二解何取？第一节，然后紧接着我们再来看看下一个事情，如果多个无穷小量相加减。好多个无穷小量相加减，一定注意要把这个东西等价到最简形式。必须是最简形式，等价到这个形式，如果这个东西不能相交诶，我立即等价。对吧，我就立即等价，所以一会儿的过程当中啊，

我们会看到非常非常的多啊，不能相消的话，就是你约掉了之后不能等于零嘛。这个中文理解能力啊，你比如说我们常考的一些问题。假设s趋向零。你比如说我们一会儿过程当中，我们见到这个es。然后再怎么办？减去cos。等价多少？你看这个人。那这个人的话，你发现如果这个东西继续去创造。它减个一等价的，

应该是个一减。这个等价的应该是个二键，你看高手高手就做的非常快，我就立即敢减个一加个一。有时候不敢。因为这个等价的是s是一阶，这个等价是二分之s，方是二阶，何取第一阶取第一个人？立即等价，这个人等价无效s就出来了。是吧，这个操作性就有了，然后我们再来看看，比如说这是第一个人。

然后紧接着我们再来继续看，如果这是cos再减去个根号cos。好，我们再来看这个人。哎，那这个人的话，你发现你看这个东西会创造，比如说我们这个题放成第三个题吧，这个难度系数稍微的大一点点，但是也没大多少。那如果这是e的s方，我们再减去cos呢？好同学们，我们继续看。那这个东西进行去创造的话，

应该是个二阶。这个东西创造的话，也是个二阶诶，这个二阶的话，你发现你看你这个二阶减个一。等价到最简形式是平方，然后你这个人加个一等价到最简形式是二分之x方。等价到最简形式约不掉直接等价，所以说就是二分之s方加s方等于多少？二分之三倍的s方。注意啊，这里面当中有一个非常重要的要求，必须要等价的最简形式。所以无穷小量要看接，一定要有非常强的这种接的感觉来再来看第三个事情。

好，继续再看这个人，那么这个人的话，你发现第三个东西。那么这个部分呢？你减个一减个一是二分之x方是个二减，然后一减这个人呢？是二分之一二分之一x方也是个二减。那这两个东西肯定相交不为零，我又可以怎么办哎？你看我又一可以减个一我加个一。是不是啊？那你想想这个东西是个二阶，这个东西是个二阶，而且第一个人等价到最简形式是这个人。

第二个人呢？那这是二分之一倍的，二分之x方等价到最简形式，不能相消，立即可以等价。哎，你看出来了。高手题这两下就是高手题，比基础班要快吧，那基础班的过程当中还要检验前后之比的极限是不是负一多慢呐？到了今天，我就立即把它等价到最简形式看这个东西消不消掉，但是这里面当中有前提条件，你一定要注意这句话，你不扣条件，

你就不要用。我再说一遍，我们学数学，我们学的就是规则。对吧，学习这个东西的规则，用这个东西的规则一定要等价到最简形式，切记切记，就是这个人的形式。等价的最简形式，如果不等相消直接等，所以要有这种接的感觉，一下脑子一蹦就出来了，如果这个东西可以消掉呢？大家注意，

如果可以消掉，那么在这里面当中啊，你可以进行化简，你也可以进行泰勒展开。但是泰勒展开我们的要求非常的弱化，对吧？这个东西啊，是我们非常弱的。我们会把这个东西啊放到后面进行选择。如果这个东西你发现实在不能潇潇在做极限题的时候，洛必达法则都要比泰勒要首选。你这是要注意的啊，我们在考题的时候，泰勒是弱化的考点。没有说要求的，

说这个层次太多的话，你在做的过程当中要有多么强的这个能力啊，然后紧接着第五个点。大于零的次方幂下面可以等价。然后紧接着非零因子可以代换，你看这个部分啊，第五条内容五条，这个第五条内容非常重要。在上次过程当中啊，第一遍讲你发现学习都是这样。就是第一遍我在讲的时候，你比如说证明第三个时候我是不是要证明一下？对吧，第一项你要证明证明的过程当中，你会觉得啊，

这个怎么那么繁杂，你看现在一总结就这么清晰。一总结就这么简单，所以我们一定注意这个操作性的方法，学第一遍都是这样啊。等你再回过头来看的时候诶，很清晰，你要不想震了，你把它记住。反正我们考试都是选择题。你要不想认，你就记住，对吧？好了，这个事情我们就讲到这。

那么，接下来我们来看看今天的核心重点内容来吧，看看今天的专题内容。那么，首先我们先来看看第一个部分问题，就是确定一个无穷小量的等价无穷小。对吧，确定等价无穷小。那么，首先我们先来看看第一条内容，那么常规的确定等价无穷小，当然是利用等价无穷小的替换公式啊。对吧，利用这个人的替换公式。那除了替换公式的之外，

你还可以用定义法求极限。比如说一个题当中。尤其是适用于两个人。那题目说说在一个趋向下。我们这两人互为等价无穷小，那你就做比的极限，结果是一不就行。是吧，就转成了极限题，如果是两个人说我们俩是等价的，那两者作比的极限结果是一。然后第三件事情，如果除此之外呢，你还可以通过初等数学的化简来做好这些事情啊，我们先把方法论的东西啊，

先给你。然后接下来我们来通过例题啊，我们来重点来进行精讲，但是在讲所有问题之前，我一定要说一句话。如果是无穷小问题，一定要有接的感觉，听得懂我的意思吗？你见到这个无穷小，你脑子里面当中就要进行去感受哦，这是个几阶无穷小。对吧，几阶无穷小，那你想想，如果这里面当中，

我把这个东西画一个金字塔。对吧，画一个金字塔，你发现诶，你看看这些人处于哪个阶级诶？这个线。你等我一下啊。哎呀，我这可很难受啊。这也太难受了，好，我们接下来我们来看看这个事儿，那么接下来我们来把这个化成这个静，就是你脑子里面当中要有这种感觉。啊，

一定要有这种感觉。对吧，你就要有这种感觉，你脑子里。等一下啊。好，就要有这种感觉，那么在这种当中，比如说我们举个例子，你看这是一阶的无穷小。你比如说我们普通看到什么东西呢？在趋向零的时候，什么s in啦？什么arcsine了？什么tant了，

什么arctan t了，对吧？什么es-1了？对吧，什么ln多少呢？一+x了。你是吧，这些人都是你，包括的话，你发现这是一减多少呢？比如说cos根号s，这也都算。那当然的话，你这个部分的话，你就得保证这是s趋向多少零帧？

啊，等等，你能理解我的意思吗？就是我想给你一个感觉。你就是这些人的话，你发现他都是个几阶无穷小，他都是个一阶无穷小。然后紧接着我们就继续，哎呀，你们这些人好，那么接下来我们就继续，我们再来看你，比如说这里面当中还有什么还有。还有二阶无穷小。我真的是这个。

这one note就是这点不好用。对吧，你还有二阶，你比如说二阶的话，比如说什么一减cos在哪什么一减根号cos在哪等等。对吧，这些东西是二姐，你还有这什么三姐，就是你一定要有这种街的感觉，能听懂我的意思吗？就是你一定要注意这个问题，就是你见到这个东西，你要有街的感觉。你脑子里面当中要进行去感受哦，这是个几阶无穷小，

听得懂我的意思吗？我给你这幅图就是给你这种感觉，一定要有阶的感觉，你一会儿就知道重要性了。来看看下面的考题，先来看。强化九我我擦掉了，我擦掉了，我擦掉了，它太难受了，来看这个题。看这个题目，那么首先他说这几个人跟根号s互为等价无穷，小的是。对吧，

跟哪个东西互为等价无穷小，我们首先看第一个人，你看很喜欢考这个人。你一定注意，就说如果在趋向零的时候，我这个东西是加号。开N次方减一等价的是n分之s，如果这是减号开N次方减一等价的是负n分之一s。那你想想，这是开二次，而且这是个框吧。当x趋向零的时候，这是趋向零的，其实就是替换了这个人，所以说fx这个人等价多少？

等价的是二分之一负的根号s，所以说是负二分之一根号s，很喜欢考这个人。你要看的非常清楚，如果这是加它是正的，如果这是减它就是什么负的？开多少多少分之一？所以说这个第一个人呢，他不对。然后接下来我们再来看看第二个人，你既然第一个不对，那a选项和b选项就排除了。那么再来看第二个人。第二个人呢？你发现操作性方法比较多一点，

那么首先我们先看第一件事情。高手呢？高手都是有接的感觉的，见到对数的这个除法立即怎么办呢？立即变成这个东西的减法。对吧，立即变成这个减法。然后紧接着我们就继续，我们再来看你，发现这个人是个几节啊哦，这个人是个二分之一节。高手的话，你发现这个人是几级啊？他等价的是负s，那这个人是一阶，

然后立举何取低阶，那就等价无穷，小于第一个人。l多少一加上根号s，再等价根号s，这是高手高手的话，你发现眼睛漂下就出来了。这个东西啊，往年的真题是考过的好，这是这个方法。对吧，你要做一个高手的选择，那么当然这个题啊，还有一个方法你来看看。那么，

除了这个方法之外，还有没有呢诶？你发现当x趋向零的时候，这是一。对吧，趋向于一，那这个时候你会发现另一个函数趋向于一，立即等价无穷，小于这个函数怎么办？这个函数减一。哎，这个减一这个减一的话，你发现就变成了上面减下面根号s+s。然后紧接着我们继续，你就会发现那这个部分呢？

那这个部分是个非零因子吧？这个极限是一呀，那非零因子，非零因子可以淡化，淡化成它就变成了它加它二分之一阶加一阶，然后继续合取d阶根号s。两种方式都行，这是高手有理化low，你太慢了，你这你加个s减个s我都不知道你在干嘛？你在那加个s减个s，你说实话我都不知道你在干嘛啊，你不要不要乱来哦。还有这什么平方差呢？我再强调遍个事情，

我说清楚啊。强化班不是让你来固执己见的。强化班是让你变得更好的，如果你的这个方法，你觉得不是特别好，你就学习，你听懂我的意思吗？他都说那我这也能做啊，我觉得我这个方法也能做，你做半天做出来的，那这也叫好吗？所以说一定注意啊。听懂我的意思吗？哎，这两个方向都是很好的，

来我们继续，我们再来看看最后一个人，哎，说明这个东西是可以的。那么，紧接着我们再来看看h那h这个东西怎么做呢？你继续看h这个人。我们再看最后一个人h。那h这个东西有些同学可能这样做，说我见到这个东西是200000000做差。我立即怎么办？我提出后者。我提出后者了，之后的话就变成了x减根号x再减一。那么然后呢？

你发现当x趋向零的时候e的零是一非零因子淡化当x趋向零的时候，这个部分是零。立即等价多少呢？立即e的框减一，立即等价无穷大。然后这个时候你发现这是二分之一节，然后这是一节和取第一节等价多少负的根号s。是不是这个事情，你看这个方法，它很好，对吧？这是第一个方法。那么，除此之外，还有没有方法呢？

我觉得不够快。如果你是一个高手，你会眼睛一漂就出来了。我眼睛一瞅，我发现诶，这个人将会创造的是一解这个东西，如果进去去创造，应该是根号，这应该是什么二分之一解，那这时候我立即出来了。你如果做一个高手，你发现你就会这样来，这是es减个一，然后这个时候是e的根号s减个一。你再来看，

那这个时候呢，你其实发现诶，这里面当中的这一项。它是个一阶无穷小。然后注意和取DJ是和啊，那这个人等价是负的根号s是二分之一减和取DJ立即等下后面这个人。何去递进啊？那然后这个东西就等价无穷负的根号s。所以你发现如果你是个高手，你这样一转，哎，这东西出来了，速度又非常的快，慢慢来啊，多练一点水平点就上来了。

所以这个东西不行，因为我们要找根号s，你是负的根号s，所以你不选，所以正确答案选几啊，正确答案选择我们的啊，只有这个什么？这个js是正确的，好挪上去。所以说这个题正确答案选择几啊？选择我们的这个。d选项这个结果。好了，这是这个题，能听懂吧？

你操作性一定要变强啊。我觉得这节课还好是吧，上节课很影响心态啊，然后影响了这个状态的发挥，对吧？发现这个状态的点呢，一定是把这个基础班复习到位的，然后再看的时候你发现啊，感觉非常好，来继续吧，我们再来看看下面的题。好，再看这个题。那么这个题啊，我们再来看看。

它说，在趋向零正的时候，这个题稍微的难一点啊。那么，在趋向零阵的时候，你会发现这个人和这个人互为等价无穷小。对吧，互为等价无穷小，那互为等价无穷小，你可以这样摆。你把这个人的等价无穷小找到，你把这个人的等价无穷小找到，然后这个东西相等不就行了。所以这里面当中，我们一起来看看这个事来解。

我们先来看看方法一。对吧，方法一那么方法一的时候，你发现这里面当中的这个人对吧？我们先看s趋向于真。一阵的时候的话，他是这个人，然后这是k啊，你看这是x方，这是骗子，大骗子，你要注意，这是x趋向几的趋向于一的。那趋向于一的话，这是大骗子，

然后这个前面这个人呢，他就是x- 1 x+1。那这时候你想想哎，这个部分的话，它的解析结果是解一非零因子淡化，那这个结果是解二非零因子淡化。所以说这个东西啊，立即就是2k倍的x- 1。好，这是这个人没问题吧？然后接下来我们再来看看这个人，你看这个骗子题是吧？我们很喜欢出这种题。你如果是这个是去年这个，如果你是二战的，

或者你稍微的话，做一点模拟题啊，做一点我们的真题啊，你就发现我们很喜欢干这个事儿。就我们那个题，它不难，但是它又有点刁钻性，在这里面，然后接下来我们再来看看第二件事情，我们再来看看这个鸡。啊，再看这个人。那这个人的话，你发现他就稍微的恶心一点点了，这是多少呢？

s in多少？pies这个sin pies的话，我们来讲讲比较刁钻的方法。你想想，趋向于一。那这就是3e派。对吧s in派这个东西就是零。但是我喜欢一呀，我可以怎么办哎，我可以用一下诱导公式。那诱导公式怎么办呢？叫做奇变偶不变符号，看象限，我可以用派减去它，你看这个高手。

对吧，我就写成这样，那写成这样了之后的话，你看因为这是偶嘛不变，把这个人当成锐角就是第二象限，那第二象限它又是真的。所以说这个东西啊，马上出来立即等价多少，这是里面就是零了。对吧，当x进行趋向解趋向一的时候，这人就是零了，那s in框立即等价无效，框派倍的多少一减s。派倍的一减s就是负派的x减一，

你看这是高手。所以说这个操作性立即出来了，马上就得到诶，得到什么呢？就得到这个2k这个人等于负派，所以说这个k等于多少？负的二分之派。你看这个题，这是第一件事情，所以说这题的正确答案选几啊选a啊？好了，这是第一件事情，那还有没有方法呢？来，我们继续来看。

再来看方法二。那么，除了刚才这种方法之外啊，我们还有方法，原来的时候我们就讲过这个事情，你发现我们说过我们喜欢一吗？我不喜欢你。我非常不喜欢一我喜欢几呢，我们喜欢趋向于零。所以说这个时候你看这一块是x- 1，我赶紧令x- 1=t。那这个时候则什么情况呢？你趋向一正，我这个人就趋向零正。那这时候我们来看看这个fs那fs这个人呢，

我们就写成f吧，就不写成fs了，那这人就变成多少，你先操作一下。那这个时候它其实也可以先等价一下。或者你直接换也行吧，然后这是k倍的，然后这是t+1的这个平方，然后s- 1，这就是t。对吧，这是x- 1 x+1 x+1的话就是t+2。是不做成这样，等你做成这样了之后的话，我们继续看。

当这个t趋向零正的时候，这是几那这是一，然后这是几这是二，所以说这是2 kt，你看这个常规操作。然后紧接着我们再来看看这个积积是多少呢？s in派倍的，然后这个是s是多少t+1？你看做成这样，你做成这样了之后的话，其实就是s in多少派t加派。那这时候我们就继续来看你，发现了这个人是偶偶不变，还是s in派t，但是锐角第三象限是负的，

所以说它等于这个人。立即等价无穷小于负的派t，所以说这个时候我们又得到了哦2k等于负派选a。你看这个方法也很好。就说有些同学的话，一眼就瞪出来了，对吧？一眼就瞪出来了，你就直接来，如果你瞪不出来，你喜欢屈向林，你就跟我换。疑患也来了好了，那么接下来我们再来看，那有些同学说老师我还是没有看出来不行。

你要注意个事儿，我再来看看，你看这有同学啊，你真的得好好进行补了，这有同学问你咋知道是锐角，你都连我这种话都听不懂。你去把零基础提前学好好看看啊。你居然问我说你怎么知道这是锐角？好家伙，你高中老师都绷不住了啊。奇变偶不变，符号看象限。你说那个东西为什么是锐角？来那么接下来我们就继续，我们再来看看下面一个问题。

再看方法三。那么方法三呢呃，还有没有方法呢？我们觉得还有那如果你实在不会做，既然是两个人互为等价无穷小，那这时候怎么办？那这个时候我们就立即怎么把这两个东西作比求个极限，那作比求极限是几啊？作比求极限是一，然后这是x方减一。然后比上多少s in派x。对吧，作比求极限是一，然后紧接着我们稍微的进行去化简一下，当s趋向于一帧。

你要注意，这是x方再乘上s in派s，然后是k倍的s- 1，然后这是x+1。那么，然后接下来我们就继续看你发现诶这个人的极限，结果是二非磷因子淡化这个人的极限，结果是一非磷因子淡化。所以说这个结果2k抛出去，然后就变成了s趋向于一帧s in多少派s比上s- 1。实在不知道怎么做啊，你就知道你发现零零零比零呢，我们都知道我们的考题啊，首选洛必达来选一下吧。做一下洛必达当x趋向于正的时候，

上面求导是一，下面求导是派倍的cos派s，那么所以说这个结果马上出来来看看。那cos派这个人是负的，那所以说这个结果是负的派分之一=1马上知道这个k等于多少k就等于负的二分之派。所以说，正确答案选几啊，又选a，你能理解吧，所以说这三种常规性的操作，我希望大家都慢慢学学。对吧，这是强化班的这个水平啊。对吧，强化班，

所以你无论怎么去操作，你说你继续去把这个人两者作比求极限，可以等价可以换，可以你要注意哦。我们在这个二零二一年的考研真题当中，它出过这种就是趋向的不是零，其实这个方向很好。哎，趋向的不是零。来那么接下来我们再来看看下面一个题。11题再看这个题。那么，紧接着我们继续，我们看看高手做题啊。先看这个人。

那么这个人呢？你发现这是个平房。对吧，这是个平方，那么其实你有点水平呢，我们其实这个题可以秒的。那眼睛一瞅的话，你发现这是一个二阶两者等价，这必然是二阶。我先讲最快的方法。你听好了。你是二阶，这个人必然是二阶，而根号cosine如果被一减就是二阶，我敢保证他。

他一定抵消不了。如果抵消了之后，这个东西不可能是二阶，绝对抵消不了，可以直接等价的，所以我们来看看这个betas。先看方法，一方法，一是高手方法。那么，这个方法的话，你看你这是贝塔s。然后这个时候就是根号下多少，一+x倍的arcs in。我给你减个一，

我再加个一。根号cosine。那么，同学们一定要听清楚，我们一定要把这个人等价到最简形式，大家能听得懂我在干嘛吗？有同学说，加减法不是慎用等价吗？我先进行去看一看，我没有做题，我仅仅是看一看，听得懂我的意思吗？那你想想一加框的阿尔法次方当x趋向零的话，这人是趋向于零的。那等价无穷，

二分之x倍的arcs in一定要最简析式，二分之x方。然后这个人等价呢，它等价是二分之一，二分之x方，你看吧，等价到最简形式能不能抵消，不能抵消立即都可以等价。第一个人等价二分之x方，第二个人等价四分之x方，所以说这个结果四分之三倍的x方。所以说这个题啊，立即出来了，我仅仅是看了一看，我没有做，

你注意哈，我没有做，我就盯一下。如果等价的最简形式约不掉，就直接等，如果等价的最简形式约的掉，那这个时候执行，我们就换别的方法。所以说这个方法最快的方法就是这个人，所以这k等于多少四分之三？好了，这是这个事情，那么在这个题当中啊，如果使用拉格朗日啊，纯属装点逼了，

对吧？因为这个就太慢了，你如果说有理化都其实比这个什么都比你这个使用拉格朗日啊，要快一点。啊，因为你想想你拉一下了之后，这个人求导你还要稍微进行看一看，其实可以拉哎，可以拉你往后面翻两页，我们会重点讲这个拉格朗日的啊，没有关系啊。可以可以说啊，然后我们接下来继续，我们再来看方法。还有没有方法呢？

我觉得还有，其实你注意啊，刚才第一个方法是最快的。那么，第二个方法我们再看，那么请同学们你还记得吗？不要说不记得了，两根号做差，立即想到什么有理化这种定式思维能力总有吧。学了一年了。学了一年的话，两根号做差有理化，这件事情你总能办到吧，一+x倍的阿克塞因。然后这个时候怎么办？

你再加上个根号cos in。然后这个时候就变成了前面这个东西，阿克塞因这个人，然后再减去这个什么你的平方cos in。然后紧接着我们就继续看你发现诶，这个整体部分的极限是多少？当x趋向零的时候，这是几这是一这是一。所以说这个整体的这个极限结果是二分之一，非零因子可以淡化，然后这个时候就变成了x倍的阿克塞因。再加上一减cos。来继续看这个人等价到最简形式是x方，这个人等价到最简形式是二分之x方。等价的最简形式不能相消，

立即可以等价x方加上二分之x方，然后等于四分之三倍的x方正确答案选几。选一，你看上节课教的这个方法好用吧？非常好用，只要你等价的最简形式，你约不掉，我就直接等约的掉，我再想别的方法。注意啊，约到掉就选别的方法，所以这个速度一下就上来了，你不用像我们之前课程一样，我们还要怎么办？这个基础班一样，

前后之比的极限是负一，那这就太慢了。这才是高手方法啊。好了，这是这个事情，那么第三件事，你把这个东西怎么办？前后作比的这个极限，结果你看看是呃，这个什么？呃，这两个东西做比的极限，你看是一，然后再做极限就行了。能理解我的意思吗？

好了，这是这个事儿，你把这个东西和这个东西啊作比，求个极限，你去看看。好了，这个事情吧，我们就讲到这儿啊，第三个方法你就做比求极限等于一，我们就不说了，来继续，我们再来看看12题这个题。好，再看这个题。那么这个题啊，

我们继续来瞅瞅它给的这样的一个极限。然后说呢，这个fs和c倍的sk次方是等价无穷小量。对吧，反正就是说你这两人是互为等价无穷小的，那么其实最重要问题就要对前面这个极限要进行化简。那么，首先我们先来看看上面这个事情，先看下面吧，趋向零的时候，下面这个人等价无穷s方没有任何问题。es- 1等价无穷s，这是平方，然后再来看你想想。比值的极限结果是什么？

比值的极限结果是存在的。你下面这个人极限是零，上面肯定是零。比值极限存在下面极限是零，上面一定是零，上面是零的话，你看那后面是一，前面必须是一。前面必须是一。那么前面这个东西是一的话，你发现里面这个东西一定是零，所以说你敢睹定这一项的极限，结果一定得是零不是零都不行。诶，绝对得是零，

也就说比值极限存在下面极限是零，上面极限是零。那上面极限是零，后面是一，前面必须是一。而你这是一这块必须是零，所以说我们就可以等价了，一加框的阿尔法次方减一等价无穷阿尔法。然后这个框。对吧，所以说这个时候马上就出来当limits趋向零的时候，你发现这个部分呢，你可以把这个二放下去。然后这个三又放下去，就是三次方fs，

两者作比是三吧？哎，是不是啊？两者作比是三。两者做比是三，那这个时候的话，你把这个三给我除过来，除过来就是六倍的s三次方，那这人就是一。那所以说这个fs这个人呢？就跟六倍的s三次方等价，所以说这个c等于几6k等于几三。三所以说正确答案选几啊，一个是六，一个是三。

正确答案选a。哎，能听懂我的意思吗？啊，这是这个事儿。呃，严谨一点。对吧，严谨一点，你不严谨的话，这个不好看，一定要严谨一点，你要看看这个人的极限是不是零？你如果这个人极限，结果不是零，

你可不能等价，所以啊，我们在讲课的过程当中，尤其是强化班的时候，保证自己的知识体系是没有任何问题的。能听懂吧，你要注意啊，判断这个绿色部分的极限，结果是零也很重要，好了，这是我们讲的这个题。那么，接下来我们再来看看第二种问题，确定无穷小量的阶的问题。对吧，

确定无穷小量的接。那么，怎么进行去确定无穷小量的接呢？我们可以这样做，第一种方法，我们可以用定义法。对吧，定义法比较那定义法比较怎么办呢？我就把这个东西放在这个趋向下做比求极限。如果这个极限结果是零，上面是下面的高阶无穷小。如果上面这个比下面的极限结果是无穷大，上面是下面的低阶无穷小，如果是一上下是等价无穷小。如果是一个不为零的数上下，

是同阶无穷小，当然可以用定义法。如果两个人呢？用定义法没有问题，但是如果有好多个人用定义法就非常麻烦了，所以说我们通常不喜欢用这个方法进行确定解。我们喜欢什么呢？我们喜欢这个方法。我们喜欢找等价。那找等价的话，你发现如果说什么呢？如果说在s趋向零的时候fs等价无穷小于a倍的sk次方。a前提不为0k得大于零。那这个时候我就可以说是什么，我就可以说明这个东西是个几阶无穷小k阶无穷小。

对吧，这是我们喜欢的方法，所以通常我们在做这种题的时候喜欢找等价，只要能找到等价。看这个次方数就是界数，所以这里面当中啊，你必须要温习一下，找等价的方法使用，等价无穷小替换公式。对吧，我们也可以通过初等数学的化简，就是我们刚才讲的那些问题，我们刚才不就学了，找等价无穷小吗？所以这是我们的操作性方法好，

我们先来看看第一个考题。先看第一个题。呃，这个上课啊呃，强化课程呢，你第一遍的时候一定要把它通过去，对吧？第一遍迈过去就这边儿讲义啊，你最少把它给我刷个两三遍。达到最后什么能力呢？见到这个知识点你都能反映出来，见到这个题你都会做，对吧？思维方式非常清楚。所以我觉得第一遍是很重要的啊，

所以没有关系啊，等这个有些同学可能消化的慢一点，第一遍慢慢来。然后第二遍你再迈过去，对吧？你再复盘一遍，什么事情都很好办了。所以喜欢三个字儿，回头看比较好啊，你回头看很多事情呢，你其实觉得都还好了。你基础学了那么久，你也觉得中间也有难的，也有很难受的部分，对吧？

等你回头看的时候的话，你发现也还好了，对吧？来，我们接下来继续，我们再来看看这个人。给了阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，然后说趋向零阵的时候，以下三个无穷小量从低阶到高阶的排列。低阶到高阶的排列。那不就是无穷小量的比肩吗？确定这个解。如果你用定义法。

你想想定义法就非常不符合我们三九六的这样的一个选择。你要用定义法两两作比求极限，这就太慢了，我们怎么办？我们直接看对吧？直接进行找解。那么，首先我们先来看看阿尔法一这个人。那阿尔法一这个人，两者之间是什么法？两者之间是乘法，可以直接等价。当s趋向零的时候，这个部分是零一减cos框是二分之一，这个人平方就是s配负号。

所以说这个结果就是负二分之s方。对吧，这是第一个人，然后我们再来看看第二个人。第二人，这两人也是个乘法，所以说也可以等价当s趋向零的时候，这个人是零。lin 1加框立即等价无效框，那这是多少？二分之一三分之一，那这就是六分之五，所以说第一个人是个两节，第二人是个六分之五节，再看第三个人。

第三个人直接写当s趋向零的时候就是这个人一加s的三分之一，那就等价无穷小三分之一s。那这个是几节？这个次方数是一。对吧，所以说这个时候啊，你发现马上就出来了哦，这个人是几节一节，但是这个题你要注意，我们是从第一节。然后到高阶最低的是谁呢？最低的是阿尔法三，然后其呃最低是谁？最低的是阿尔法二。然后紧接着是谁呢？

紧接着是这个阿尔法三，紧接着谁呀？阿尔法一，所以说是二三一正确答案选。b选项这个结果好了，这个题啊，我们就讲到这。过去了，可以吗？操作性一定要把握住好，这是我们讲的13题，这个题那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下一个问题。呃，这个同学你学习有点太刻意。

不是每个题加一减一都能用啊。不是每个题加一减一都能用。你要加一减一等价的最简形式，能消掉它就用不了了。所以说你得看看那个题，这个方法论不是说我们一定说每个题都要这样啊，不是这样。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面一个重点题，强化14题这个题。来那么接下来我们来看看这个人。那么，强化14这个。他说，

趋向于零，给了变线函数。当s趋向零的时候，你发现上下限都是零，那这个人就趋向零无穷小无穷小无穷小。哦，这是三个无穷小。这是三个无穷小，他说，使得排在后面，这个人是前面的高阶无穷小的事。那怎么进行操作？那可能在这个我们原来这个基础班的过程当中，你可以使用第一种方法定义法。那第一法怎么办呢？

把两两作比求极限。变线函数的极限是用洛必达法则的方式做。对吧，两两作比求极限变线函数的极限使用洛必达法则的方式做，但是你发现这个方法太慢了。如果你是这个水平的，你很明显门槛都没摸到。这就太low了，那所以对我们三九六同学，你这样的一个水平点肯定不行，你太慢了，不信你去试一下，两三下一会儿时间就没了。所以说接下来我们来看看下面一个问题，大家想想见到变线函数，

喜欢干嘛见到变线函数，喜欢求导。对吧，见到变现函数，喜欢求导，那么所以说接下来我们来看看黄金重点。我们要进行去讲一个方法，叫做导数定阶法诶，导数定阶法。导数定解法的话，这个部分的内容是什么样子的呃？这个东西我原来在这个每日一记里面讲过，你们不用管那个东西啊。有些人没有听，没有听就算了，

你今天听一样的啊，可能有些同学都知道我要说什么来，那么接下来我们来看看导数定解法。那导数定解法是什么样子的？它是这样的一个内容。它说已知。对吧，已知已知什么呢？已知如果在这个趋向下。对吧，趋向下，如果这个东西哎，往往是趋向零算了吧，一个趋向下，如果这个人的极限结果是零。

你要注意啊，它的极限结果是零，它就是这个趋向下的无穷小第一条内容，我们可以怎么做呢？有这样的一个东西。叫做如果你的导函数等价无穷小于a倍的sk次方，那这个时候我就可以立即说，那我这个人就等价多少呢？我就等价于这个人的积分。积个分的话k加一分之as的k加一次方没问题吧？就说导函数等价无穷小a倍的sk次方，我这个人就会等价无穷小于这个人，但是我还想跟同学们证明一下，因为这个方法非常的严谨。我给你真一下啊，

你要不想真你就记住。我来给你震震震这个人。你想证明这两人等价，你就把这两个东西放在这个趋向下作比求极限，俩人都是无穷小，肯定是零比零。对吧，你就做比求极限，肯定是零比零零比零，我怎么办？我落一下。我一落的话，你发现在这个趋向下，那这是阿尔法岛，然后这是a倍的sk次方。

你想想，因为已经知道了这两者互为等价，那就说明已经知道了这个作比的极限，结果是一。而我们原来讲洛必达法则的时候，我们说洛必达法则有bug。如果导函数之比的极限结果是个数或者无穷大落队的，如果洛比达法则完了之后的极限结果是正当的。那就说明什么，说明洛必达法则你用错了，而你发现后面这个极限结果是个数，哎，我用对了，那就说明你的极限结果确实是一。相当的严谨。

非常严谨，严格着抠着这个洛必达法则，他的要求在做，你不要着急啊，我一会儿还会讲这个事情的。我一会儿还会给你讲这个洛必达法则那种。能听得懂吧？你要不想删，你就把它给我记住，好我们再来看看第二件事情。但有一个问题。有一个问题，你比如说。x趋向于零的时候，这是三。

s in进行求导是cosine。对吧，是cosine那cosine 0是一哎，它不是无穷小了。你像让我一下想到一件事情。呃，这个之前我们讲河曲DJ啊，有些同学贼有意思，我微博天天都有同学问这种问题，比如说说老师，你看。你当s趋向零的时候，这是x方加上三次方合取，第一阶是二阶。那如果x趋向零的时候，

那你要是x方，再加上多少呢？再加上二那等价多少呢？好家伙，你在干嘛呢？这能等价吗？你想想一个事情，你告诉我这个人的极限是几？这个人的极限都不是零了。你这个人的极限都不是零了，你都不是无穷小了，等个鬼都无穷小啊。等价无穷小，等价无穷小，是两个无穷小之间的等价，

你都不是无穷小了，谁等你呀？你说我等你干嘛好？还有一件事情我再给你看看。比如说到了现在啊，虽然我们不影响全局，但是啊，你注意啊，我写个简单的。好，有些同学这样做题，说等价。我很慌啊。对吧，我真的很慌啊。

你看，这是很多同学写的，你写的是个啥呀？对吧？函数之间。叫等价。无穷小之间，叫等价极限之间，是相等。这这都是写的什么？这这哪能像一个强化班的一个同学的水平？你注意啊，这中间用等号对吧？虽然不影响我们的做题的结果，但是你这是你这一点都没有切进去啊，

对吧？好了，这是这个事儿，所以这是我们刚才讲的第一个事情。你看如果你导完了之后，这个东西都不是无穷小了。那不是无穷叫怎么办？没关系，这不是个数吗？诶，你看这个数积分还是它？哦，漂亮非常好，我知道了，如果导函数了之后，

它不再是个无穷小。那这个时候你会发现我这个人，我就会等价无穷，小于a倍的x。能听懂吧好，这是这个事情。这就是我们经常讲的导数定解法，黄金重点不行，我再把它加上，我喜欢的绿色啊。再加一点。重点内容。导数定解法。你看导数定阶法啊。这个人，

所以你会发现导数是多少节？那这个人其实就深一截。那其实如果导函数趋向一个不为零的，它不是无穷小了，我们应该把它看作成零解。看作成零解，所以说这个人是个一姐。能理解吧，那你想想。这个方法谁特别喜欢用啊？喜欢求导的人，喜欢用谁？喜欢求导变现函数这个方法简直就是为变现函数量身打造的方法。变线函数喜欢求导，所以它简直就是为变线函数量身打造的方法，

如果将来见到变线函数，想找等价。我就用求导定解法，所以接下来我们来看看这个题来速战速决啊来解。截如果这个阿尔法进行求导呢？你一求导注意啊，这是标准型吧，边上线一上线。但是注意cosine，它都已经不是无穷小了。所以说阿尔法这个人等价无穷，小一的积分是s1减。然后再来看看北大这个人来求导，那求导是tan正体根号x方。上限再求导是2s，

那等价多少呢？当s趋向0s方的开方是零。tangent框立即等价框，这是这个人，所以说这是2s方，为什么呢？因为s趋向零正大于零。对吧，大于零那大于零的话，这个开方就是自己的，所以说这个杯大等价多少？三分之二倍的三次方，它是个几节？三级，然后再来看最后一个伽马。

变上限，移上限，移进去就是根号x的三次方上限，求导是二倍的根号s分之一。那么，紧接着我们继续看。当s趋向零的时候，这个部分是零s in框，立即等价无穷，小于框好了，这个人这个部分是二倍的根号s分之一。然后这个时候是二分之一x伽马，这个人等价多少？四分之一x方几阶二阶？所以说这个时候啊，

你就会发现他说后面这个人是前面的高阶，后面这人是高阶，那叫从低阶到高阶。那最低的是谁呢？最低的是阿尔法，然后紧接着是伽马，再紧接着是贝塔，所以说就是阿尔法伽马贝塔。选b好了，这是这个事情，能会吧呃，这有个同学，我看了评论区，也就说七分终值定理。你很明显，

你就是可能看到一些书啊，或者看了一些课当中啊，看到过七分钟之地，你就是看了一点，你见过，但是你会的一点都不多。啊，说实话，你纯属胡来啊。有些东西的话，用积分终值定理都就太慢了，有些未必能用得通。你先用一下试下。所以如果你用那个操作性的方式，你就太慢了。

能听懂我的意思吗？导数定解法诶，求导定解法。好了，这是这个事情，先倒下，然后怎么办？我再记一下，哎，我记一下就知道这个事情能听懂吧？其实这个题啊。因为所有人都要记一下，其实你都可以进行去比较谁，你直接比较这个导函数的结束不也行吗？你看这个人趋向于一个常数，

常数其实就是零解。然后这个人是二姐，这个人是一姐，所以说也是阿尔法伽马贝塔也都可以。对吧，所以说你看每个人都要加个一嘛，你就直接进去去看什么就看看导函数的，这个结束就行，能听懂我的意思吗？好，这是这个问题。跟得上吗？我相信大家应该没有问题啊，这个点。行吧，

那么接下来我们继续吧，我们再来看个题，你们来截个图这个题啊，有点难。啊，有点难，如果这个题你会做了，绝对是达到了我们考研的这个标准，而且啊，是超过了我们考研要求的标准。你来看看这个题吧。行吧，你截个图啊，截个图这个题，你下课课间的过程当中，

你把这个题做一下。好不好诶？下课休息过程当中，把这题做一下。好，截个图，截完了给我回复一。截完了，回个符一。呃，所以我强调几个事情，你强化班的过程当中一定要转变自己的学习观念。有些东西不要说学了一个方法，见了一个方法啊，见到什么东西都是这个情况，

你学不精啊，也不行，你必须要学的非常的精啊。所以暑期过程当中，如果遇到自己这个方法，不是说特别好，你要进行去调整啊，好，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续啊。

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