01.冲刺满分强化篇·题型1-2精讲精练-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:05:31

那我们继续吧，我们再来看看刚才部分内容呃，刚才我看到这个下课有同学问那个刚才那个强化四那个选项。为什么不选？你要注意是这是这个t的三次方吧？它是奇函数还是偶函数啊？你扔进去一个负的进去，你看看扔进去了之后的话，它就变成了这个人，那你告诉我这两人什么关系啊？因为你发现看你这个f你是不知道的。你哪知道这个f是谁呀？你f是谁呀？你不知道啊，你不知道这两者什么关系啊，

不知道啊。所以说这件事情啊，我们就无法处理你，比如说这个f是一个平方呢，那平方这个人其实就变成了多少六次方，那这两人是相等的。那如果是三次方呢，那这是负的这个人的九次方诶，那这人乘相反数，所以说不清楚啊，要注意。好了，这是我们刚才讲的这个第一个事情呃，刚才下课还有同学问了一个问题，说他觉得这个什么？

极限的局部有界限，我先说一个问题啊，你要把这个东西改了，你可真厉害，你应该写进教材了啊，那么首先你要注意一个事儿，你看。这个人的极限结果是存在的。只能说明去心领域内有界，为什么呢？这个点有可能就没有。你能听懂我的意思吗？这个点有可能就没有啊，这个事儿我们就讲到这儿吧。这个负号哪能提得出去啊，

你f是谁你都不知道。你就不知道那个f是谁，别别别乱来啊，这个简单的一个奇偶性的判定好，慢慢来啊，好那么接下来我们就继续。所以说这步知识点没问题吧？梳理清楚啊，如果趋向于s0极限是存在的，在这个去心领域内一定是有界的。如果趋向过程当中，极限是无穷大趋向过程当中是没有解的好，那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题，我们讲一个重点内容。

B区间连续函数的有界定理。那么，首先我们先来看看第一件事。第一件事这样说。如果这个函数。它在一个什么？它在一个闭区间上是有接的啊，这个什么闭区间上是连续的？那么，请同学们告诉我B区间连续什么意思？什么叫闭区间？连续闭区间连续凸显出三个事情，第一个事情开区间内一定连续。对吧，这个开区间内一定是连续的，

然后第二件事情x=a呢，你a这个方向只有这半边。所以说它一定是什么？它一定是右连续。然后再来看看第三个事情，就是s=BS=b是这个方向，这个方向是什么？这个方向是左连续。能理解吧，那什么叫连续啊？连续就是不断，连续就是极限，等于函数值，连续就是极限，是存在函数值，

是存在它们相等。我说的话应该能理解吧，哎，这是个基本内容，所以接下来我们就来一起来看看这个连续到底什么意思？那么，如果我们来给一个二维的迪卡坐标，系你稍微进行去分析一下，你看这个点是a点，然后这个点是b点。那么，这个a点首先它是u连续u连续什么意思啊？u极限等于函数值都是存在的。也就说这个点有函数值，右边要跑到函数值。

然后b点是左连续左边要跑的函数值。右边要跑到a的函数值，左边要跑到b的函数值，然后中间是不断的。能理解吧，就是中间不断哎，不管怎么样，不管怎么样，你都要过来。所以这个部分的内容，它就是这个意思，就是你一定要从a点出发到b点结束。能理解我的意思吗？从a点出发到b点结束，中间不断，

所以这个B区间连续就是这个意思，这是什么呢？这是你的出生。然后这是你最终的死亡啊，那然后中间是不断的，你发现无论你怎么走怎么走，走了多么高，怎么多么低，你都会回来的。是吧，无论你有多么大的成就。然后最后的话，你都会面临这样的一个事情，无论你经历个什么样的低谷，你最后都要经历这个事情，

所以你看，无论你的人生对吧，经历过什么样的巅峰和低谷。都会回来的。能理解我的意思吗？B区间连续啊，就是这个意思。对吧，从a点出发到b点结束，那你既然一定会有人生的巅峰。一定会有人生的低谷。所以说这个函数一定是有界的。所以我们就得到了一个性质，如果这个函数在B区间连续，则什么情况则这个函数在B区间内一定有界。

在B区间内必须有界。记住这内容啊，在B区间连续B区间一定有间好，这是它的知识点，那同学们想想问题来了，那如果改成开区间呢？那开区间怎么判定呢？如果我这个题说这个函数在开区间连续也一定有界吗？这个函数我在开区间内连续。有没有解啊？举个例子。你看x分之一这个人。s分之一这个人在零到一连不连续？什么叫连续？非常简单，

就是你看那条线断不断。这条线断了吗？没有断，所以说它在零到一这个范围内，就连续。但是你看没有借啊。那很明显没有解啊，为什么呢？你看这半边胡乱跑了。所以那半边就没有搂住这半边倒还好。所以这个东西啊，它就没有解。你看这个有些同学就理解不了我的话。说一定要有巅峰合体，那没有也行，

好吧，你就是这样，或者是你的出生到死亡就是一条横线，那你能不能被夹住？是可以的吧？你一定要能理解我的话，这这是一个非常一般的情况嘛啊。好，这是这个问题，所以接下来我们来再来看看下面一个事情，开学连续开学连续未必是有界的。对吧，未必是有界，所以我们接下来看看这个东西，刚才它为什么没有界呢？

怎么样让它才能有界呢？非常简单，我们给它加上一双隐形的手。a点，然后这是b点。刚才没有接的原因，非常简单，就是因为那个a点和b点乱跑了。对吧a点和b点乱跑了。你看那刚才那个从那个零点跑到无穷大去了，现在你就不能乱跑，不能乱跑怎么办呢？你往a这个跑，你的极限。得是存在的。

你往b跑，你的极限是存在的，虽然取不到b，但没关系，你的极限存在。这就是什么？这就是一双隐形的手。只要你这个极限存在，你这个人就要往a跑，只要你这个极限存在，你这个人就要往b跑，对吧？然后你只要拽住两边，中间无论怎么摆。那个线无论怎么摆，

它就一定会怎么办？一定都会是有界的。就像什么东西呢，你拽住两端，你跟扯面一样对吧？所以说这个定理也叫扯面定理，你拽住两端，然后你使劲的甩。你怎么甩都行，你怎么甩那个那个面都有高有低，它一定是有界的，所以接下来我们必须要加上前提条件。什么前提呢？第一个事情往这儿跑。一个事情是limits趋向于a帧。

这个函数极限得存在。然后另外事情当x趋向于b负这个极限也得存在。所以要明白啊，如果是开区间连续保证端点处的单侧极限存在，那这个时候啊，我们就可以说了。这个函数在这个开区间内是有界的。这个范围内右键。能理解我的意思吗？所以接下来我们来看看这个事儿，这可不一样啊，这哪差不多。你把这个人改成无穷大，你试一下。你这个人改成无穷大的话，

这个人就不行了，你改成无穷大的话，你看。你一边手拽不住了，走你，然后这边拽住了它，还是没有接。所以这是第一种理解方式，那么接下来我们再来看看第二种理解方式好，大家再来看。我再来讲一种理解方式。啊诶。它怎它怎它怎么画不直？诶，好了。

好了，那么接下来我们来看看这个事儿，我们再来看一个。啊，我们再来看一个区间。那么，接下来我们来看看这个事儿，它现在什么情况？它现在是a到b的什么区间开区间？你看这是开区间。那么，如果说什么呢？根据刚才的局部有界性的定理。趋向于a阵的极限存在，我是不是就可以说明什么，

我就可以说明右曲形领域内是不是有界。没问题吧？好再来看第二个事情，趋向于b负的极限存在左曲线领域内，是不是也有极限？没问题吧，这个范围内也有键，那同学们想想剩下了一个什么区间？是不剩下那个B区间B区间连续那一定有界，那不就有界吗？所以这样理解啊，那这个事情就非常简单了。你看你这半边的这个极限存在，你说明这个领域内有界，这个领域有界，

然后中间是个B区间，肯定有界。所以我们就理解清楚了，如果是开区间连续，只要保证单侧的这个极限，结果是存在的它。他就有节，所以接下来我们来稍微进行总结一下，总结一个黄金重点内容。那么，通常在考研的过程当中啊，我们都会考什么？我们其实都会考这个哎，考点内容都会考初等函数。我们都会进行去考初等函数。

那么，一个初等函数有界区间。如何求解呢？黄金重点。啊，这是强化班的第一个黄金重点。如何继续求解初等函数的有界区间呢？那么，这里面当中，我们先看第一件事，一个初等函数。在有定义的范围内都连续吧，在定义区间内是不是都连续，所以说首先第一件事情注意第一步。先求这个人的连续区间，

连续区间的话就来进行去确定定域，对吧？先找。函数。初等函数的无定义点。啊，这是第一步，对吧？你先把这个函数的没有定义的点给我找到，那你想想有个事儿，比如说是这样子的。我拉一条线。那拉完了之后的话，你想想一个事，如果这个函数怎么拉它在a点处没有定义b点处没有定义？

c点处没有定义这三个点没有定义。那这三个点没有定义，我们都知道初等函数在有定义的范围内都连续，那你想想我在这个开区间内部。连不连续开区间内部连不连续，而这个人其实是c到正无穷，连不连续，然后这是负无穷到a连不连续。连续的吧。我们先进行求解这个人的，找到这个无定义点，然后这个时候连续区间就找到了。连续区间都找到了之后，我们就用扯面定理。对吧，

所以第二件事情用扯面定理。再来看第二件事情。我们来进行去使用。扯面定理。怎么进行去使用？扯什么叫扯面定理？就是我们刚才讲的这个东西就是我们所谓的扯面定理。我们将来一定要进行去贯通啊。对吧，这就是我们的扯面定理，保证单侧的极限，结果是存在的。所以接下来我们怎么办呢？我们就用侧面定理，你看我想进行去判断AB的这个区间呢，

你就要进行求a的这个什么右极限。b的什么左极限，然后判断这个人呢？b的右极限AC的左极限，你求这个人呢？c的右极限。正无穷方向，极限正无穷。也得看啊，你如果这半边的话，这个极限存在，你正无穷走，你这也不行。啊，这也是不行的啊，

绝对不行，然后呢？这一侧极限存在这一侧极限。能理解吗？所以我们如果对于一个初等函数，基本上考研考的那些东西啊，都是初等函数。给了一个初等函数，求有界区间第一件事情找到无定点划分成，对吧？划分成一个很多段。划分成这个很多段了之后，然后进行求解，这个单侧极限就行。这个同学说什么说这个。

点三对就是这个内容。这不跟我写的一样的嘛，对吧？那我不能写书的时候在上面写个扯面定理啊。这高教社也不愿意呀，对吧？它好在一个教育部直属出版社，你出版了之后的话，你在这写了个扯面定理，然后前面写牛逼吧，你这咋行呢，对吧？那我在前面改一下，我把这个东西改成什么，我把这句话改成。

我写个对吧，这个从零开始的，这个东西写个牛逼吧，我估计这个都很难出版了啊，好了，这是这个。所以对于一个初等函数有界区间呢，就是这样找的。那么，接下来我们来看看这个强化六这个题来，先看这个题。那么，首先我们先看第一件事情，你看这是一个初等函数没问题吧？对吧，

有基本初等函数，用一个表达式由加减乘除或者有有限次的加减乘除或负号而来，用一个式子表达的函数。所以这个东西的话，你发现就是个初等函数。那对于一个初等函数，我们想进行怎么办？看它的有界区间第一件事情干嘛？第一件事情我们先来找这个函数的无定义点。那这个函数的无定点有几个呢？那首先第一个人那是零，第二是一，第三个是二，三个无定点。那这三个无定义点呢，

这是没有定义的，没有定义，没有定义，那么现在让我们去做的是负一到零，然后的话就是。负一到零。然后是零到一一到二，然后这是多少二到三，还有个是r。我先问一个事情。负一这个点有没有定义啊？有定义初等函数。在有定义的范围啊，这个内一定是连续的，那这个点既然是连续极限，

一定是存在的。对吧，这个极限一定是存在的，然后三这个点是有定义，这个极限也一定是存在的。所以负一这个人的极限，对吧？这个极限一定存在三这个极限一定存在，那么现在想进去看看这个人有没有戒，我们就怎么办？我们先来看看这个。这个部分先看零，那这个时候进行去看零什么东西啊，很明显是零负。对吧，

零负零负的话，这是is-is- 1 is- 2趋向零负的话，这个人刚好是负的。然后这是s in倍的多少x- 2。那这个时候这两个东西就可以约掉了，我们再来看一个事情，你下面这个极限是多少？你下面这个极限的话，这是零那这人是负二。诶，这是平方啊，平方那这个平方的话，你发现如果这是零的话，这是四。然后上面这个人呢？

这是s in负二，那s in负二等于负的s in 2，那这是s in 2，那同学们告诉我，这是一定是未定式啊，一定是。一定是这个极限，当然是存在的呀。所以说这个极限存在，所以这个题就结束了。你看开区间连续，然后端点处的这个极限存在，那这个时候怎么了？它就有界答案选几啊选a。好，

这个题啊，就出来了。有人说负一怎么来的？负一不是说我说的负一是题目让你去求的。是他说的跟我没关系，他让你去求解啊，好了，这是这个。诶，这是负四是吧？好，这是负四上面是三幺二啊，这个是存在的。那么，接下来我们就继续，

我们再来看看第二个事情。万一后面都存在。这是一个大学生能问出来的话吗？我们考研是单选题。你这个魄力都没有吗？难道你要想去去，你咋不选abcde呢？嗯，好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面的事情。你你发现啊，这个很多同学问的问题，你上课你就没咋听课，对吧？

那不就是看定义域吗？它没有定义的点是零一二吗？那这不就没有定义的点，他让我们去做负一，他让我去做三，不是我让去做的啊，好了，这是这个来那么接下来我们就继续，我们再来看下面的事情。呃，好了没？可以了吧？来继续，我们再来看看第二个人，那第二个人的话，

你要进行去看这半边。那你看这半边的话，就是s趋向多少零正我们都做一下吧，然后这是s×s- 1 s- 2^2。然后这个时候你看这个绝对值就等于本身，所以说这是s in倍的，这个是x- 2，那这个时候啊，这两个东西约掉了，其实这个极限就跟上面这个东西相差的一个负号。所以说这个结果就是这个人。因此啊，你看这个人，他还是存在的。对吧，

这半边是可以的。然后接下来我们再来看看一这个人。那一这个部分呢，来继续重。那么一这个部分其实不用分，所以说接下来我们就把这个东西啊，直接进行去求解一下就行，来接下来我们来看看一这个点。limits趋向多少趋向这个一趋向一的时候，你稍微进行去看一下，下面这个人部分是零。然后上面这个东西是不为零一个不为零，除以零，这是无穷大，而我们都知道，

只要这一侧的这个部分呢，它是无穷大，肯定没有解。只要这一侧是无穷大，肯定没有解，然后接下来我们就继续，我们再来看看下面的事情，再来继续去求这个二这个部分。那limits趋向多少呢？趋向这个二。那趋向二的时候的话，你发现这个板块的东西啊，它就趋向0s in框，立即等价无效框，所以x趋向二，

然后这是x倍的x- 1。s- 2的这个人的平方，然后这是绝对值，然后这个部分呢也是x- 2。没问题吧？那这个时候的话，你把这个东西约一下，你再看下面是零，上面不为零，这是无穷大，所以做起来非常的简单哦，因此你看这是无穷大没有解，这是无穷大没有解。因此，即便是三这个处有意义，

他也不行。初等函数在有定义的范围内一定连续连续这方这半边极限，就算存在也不行，只要有一侧不行就不行。所以说这个题啊，你看这个不选这个不选这个不选，然后这个也不选。好了，这是这个事儿吧，我们就讲到这儿。你怎么你看你看这个这个题啊，这个大家你上课的时候一定不要跑神啊。啊，一定不要跑神。这个基本的这个极限题没有问题吧？

一和二你也可以讨论呐。但是你会发现这个一和二左右极限不是一样的吗？二这个人的左右极限不也是一样的吗？你看这很多同学我我很怀疑你到底听没听过这个基础班？你看这个部分的极限是零，这是二，上面是二，下面是零，一定是这不就是无穷大吗？然后你下面这个人的极限，结果是零，上面这人是不为零，那这个结果不就是无穷大吗？那还能说那这个一为什么不分你分呗，你分左极限和右极限不是一样的吗？

你二这个左右也是一样，所以接下来这个事儿我们就讲到这儿。好吧，那么接下来我们再来看看下面一个问题，靠向死亡。呃，上面这个内容啊，其实我们还有一个东西补充的，我把最后一个东西啊补充完，我们再来看，还有第五个点有界函数的四则运算法则。那么，这里面当中，我们先看第一个事情，有界函数加减，

有界函数有没有界啊？这个东西啊，是有机的。有借加减，有借是有借，然后第二事情有借乘，有借也是有借的。这两个东西啊，都是有机物。有借加减，有借是有借，有借乘，有借是有借，问题来了，有借除有借有借嘛？

有没有解那不一定，比如说我举个例子啊，如果这个x你在零到一的范围内有没有解？有界，你看s是这个人，他就能够被两条线夹住是有界，然后另外事情的话是一一的话，你看这个人也有界。但是你看这一除就没有解了。一就是一条横线，肯定能夹住。s在零到一的时候肯定能加重，但是你看一除就没有界了，有界除有界这个东西未必要。所以要想清楚这个事。

有借加减，有借是有借，有借乘，有借是有借，但是有借除有借啊，这东西未必好，这是我们讲的这个事儿。呃，我们可以再出一个题，你再来看看。比如说这里面当中，我们来看看这样的个题，我写一个人假设这是fs。然后这里面当中这个是x方加一。再乘上x，

然后的话，这是x三次方加上2x。再乘上这个三。我们来看看这个人。那么，看看这个人呐，到底有没有技能？我想继续去求解这个人的有界区间，那怎么求啊？好，我们先来看看第一步。第一步干嘛先进去去求这个函数的无定义点，很明显这个函数的无定义点为多少？函数的无定义点为零。这是没有点对吧？

没有定义的点，没有定义的点的话，只有这零这一个点。只有这一个，所以我们接下来要干嘛呢？它分的区间就是负无穷到零，还有零到正无穷。所以一定要想清楚一个事儿，有的说那零处是不是极限存在就行了，不一定你无穷大走你，你还是没有接。啊，还是没有接，所以我们还是要抠着这个东西走，你既要看零这个方向，

你还要看这个什么无穷大方向。对吧零这个方向和无穷大方向，我们先看零。那么零这个方向我们怎么去处理呢？你发现首先第一件事当s进行去趋向零的时候。趋向零的时候，这个是fs。那这个时候的话lay mates趋向零呃，有些同学这个你好好去下去，把这个部分的内容好好去基零基础的东西和基础东西听完了再来听吧。你这这有时候问的这个问题啊，也不是说我不给你回答，说实话，你有点对自己不负责任啊。这个派又不是它的一个无定义点啊。

好了，我们来看看这个人，那么首先第一件事儿，这是x倍的x方加上一，然后这是x三次方加上2x。那这时候你看当x趋向零的时候，这个s in立即等价无穷小x。没问题吧，然后我们就可以约一下了，约一下了之后的话，这是I次方加上一，这是I三次方加上2s。你看这个部分，那这个部分的话，下面的极限结果是一上面极限是零，

所以说这是零。那这个极限结果是存在的，所以你会发现这个方向行不行？这个方向是可以的。诶，这个方向绝对是可以的。那现在还有一个问题，那无穷大方向行不行呢？那还要做这个极限，但是如果你进行去求无穷大方向。当s趋向无穷大的时候。你发现那这个部分的话，下面是x三次方加s，上面是x诶。这个题出个二吧，

不然的话约掉了，不好意思啊，出个二吧。出个二吧，不然的话，这个s约掉了，这个题就出的不好。行不行啊？你把这个x给去掉了，不然的话，这个这俩s约掉了，这个题就出的不好了，你能理解我的意思吗？如果你出成这个东西的话，就变成这样那。

那上面是二，下面是一，所以说这个结果是二行吧？哎，能理解我的意思就行了，对下面的这个整个题都不影不影响。然后接下来你看这个极限照样存在，然后上面这个东西呢，是s方这个人再乘上三。诶，我们继续看。然后这个极限抓大头是一。诶，这是一非零因子可以淡化，但是s in的这个极限结果它是一个什么？

它是个震荡的。你一定要注意，如果极限是存在的。它是有界的无穷，大是无界的，如果是正当的，不唯一是不知道的。是未知的，所以你看这个题的话，它就没法做了，一会儿这件事情我会给你讲，它就不知道了，没法做。那没法做，怎么办哎？

你可以稍微的切一下思路，我不做那么多，我就做这么点儿。你看我就做这么多，那请回答我一件事儿，这个极限是几是一？那这个部分的极限存不存在？存在有没有界呢？有界你看这个部分是有界这个函数天然有界有界乘有界不就是有界漂亮马上出来。所以说这个时候我就知道有界区间就是多少负无穷到零，然后并上零到正无穷。哎，就这两个范围。所以你要想清楚，你看这样一做这个题的水平点就上来了。

跟得上我的意思吗？哎，操作性啊，对吧？我可以不用看这个部分，我就看这个部分诶，这个部分的话，极限存在，他就有界，我再乘上这个人诶，他也有界。有借成，有借是有借嘛？这是我们刚才讲的这个事。水平点是不是上来了，

然后接下来我再来补充两个内容啊，这两个东西啊，也是一个补充知识点，那么接下来我们就继续。这个很多人听课的时候啊。我关一会儿吧，对吧？我关一会儿，因为这个有些人问的问题啊，那真是气死人啊。好了，这是这个事儿吧，我们就说到这儿，那么接下来我们再来补充两个知识点，有两个重要函数，

我们在这个基础班的过程当中啊，是重点讲过的。我们先来看看第一个函数。第一个函数是x倍的sin x，这个函数。哎，这个函数一定要会，这是我讲过的内容，我们稍微进行复习一下，因为一会儿要内容要用。那么，首先我们先看看这个函数的话，你看。如果你图像会画吗？你如果不会画，

你肯定会画这个人。对吧，你会画这个人，那这个人的话，这个a是什么呢？这个a是政府巅峰值达到a低谷达到负a。那现在画的这个人呢？那这个x也是个振幅，所以说这个人的图像，他就长什么样子的，这个图像就长这样子，我们一起来看看。s这个东西啊，它是个正负。那振幅的话就是巅峰值会达到x。

然后的话，这个低谷会达到这个负x。就达到这个负x。所以说这个部分的内容，它就变成了这样子，那么接下来我们来画一下这个图像，你看从零开始，巅峰值是它，低谷是它。巅峰值是他，低谷是他。好，这个图像是这样。然后这个是奇函数，后面是奇函数，

奇函数乘奇函数是偶函数。所以说这个图像它就是这样子。对吧，图像就是这样，那么接下来我们来研究两个重点的问题。第一个事情。诶，第一个事儿。请回答我limit x趋向于无穷大xs in的极限存不存在第一个问题。第二个问题，这个s乘上s in这个函数。他这个人在x趋向无穷大的时候，有没有接？有借还是没有借？你想想这条线越摆越开，

越摆越开，在无穷大的时候根本找不到两条线夹住，所以说这个人呢肯定是。没有节能。对吧，绝对没有解，然后再看这个极限呢，等你顺着这条线，你看走越摆越开，越摆越开，它在干嘛？他说，我能触碰到无穷大呀，你一直在摆动对吧？上下摆动，

所以说这个极限呢，它是个震荡的。不存在也叫波，唯一的不存在的情况好了，这是第一个人，你看这个图像，你得会画。然后紧接着我们再来看看第二件事情，再来看看考点二。那么，考点二的话，我们再来看看这个函数，这两个函数我们原来都讲过，稍微进行去重点复习一下。你看这个人。

那这个人的图像，你会不会画呢？如果你不会画，你至少会画这个人吧？那这个人图像长什么样子呢？他就是巅峰值达到a低谷是负a，它是个有限函数。零处是没有意义的，然后这个sin x分之一在趋向零的时候，你看零处没有意义，它越接近于零，摆的越快，越接近零，摆的越快，上下来回的摆动处。

出来就还好。是不是这样的一个图像？这个图像原来我给你看过，就说他这个人是在负a到a中间摆动，而且越接近于零，这个速度是越快的。我们来看看这个事儿。好，我们来讲讲这个人。呃，比如说我们来画一下这个就直接画上一个三倍的sins分之一吧。可以吧，我们画一个三倍的s，这个是分之一。你看这条线，

这是三倍的，它是不是就介于负三到三中间啊？等你趋向于零的时候，它就上下的来回摆来回摆，越靠近零，你看这个线。它越接近于零，这个密集程度越高。这是这个问题，那么紧接着我们再来看看下面一个人，那这s分之一怎么画呢？那现在s分之一这个东西不就是正负吗？来，我立即来画出这个人曲线。那这个时候我们就知道巅峰值是谁呀？

s分之一第一步是谁呀？第一步是负的s分之一，所以说这个曲线的话，它就这样。巅峰值是它。第一股是它，这是它的界限啊，然后紧接着我们来看看这个函数的曲线，曲线是这样，它在零处没有意义。然后越接近零摆的越快，它就会从上面一直摆在下面来回的摆。哎，来回的摆，然后的话，

你看越接近于它，它就上下来回摆，来回摆，来回摆啊，来回摆，然后出来之后的话，你发现就还好。出来之后就还好，你可以看一下这条线。比如说我们来看看这条曲线部分的内容。你来看看这条线。这条线它就是这个情况。能看到吧，你看啊。它上面这个人刚好在打在x分之一这条线上，

越靠近零摆的越快，越靠近零摆的越快，而且摆的越开。就是这条线。对吧，它永远打在这个负s分之一和s分之一上，所以接下来就有两个问题了，第一个事情。limits趋向零s分之一再乘上sins分之一，这个极限怎么样？第二事情。y等于x分之一，再乘上sin x分之一，请问这个人在x趋向零的时候有没有接？好，

那么接下来我们来回答一下这两个问题，先看第一个事情，有借还是没有借？有没有接？这个东西是没有界的，你在这个趋向零就是零的右曲线领域内，它是越摆越开，根本夹不住，所以说这个人。是媒介的。那么再来看极限呢？你在趋向零的时候，它越摆一直在摆动，一直在摆动，一直在摆动，

所以说这个人在干嘛？他是个震荡的。哎，震荡的不存在的。是不是这个事情，它是不存在的，而且不是无穷大能，听懂我的意思吗？所以说如果我们在今年的时候考这种题啊，你要立即把它选出来。哎，立即选出来，所以我为什么讲这个东西呢？我们来把我们前面这个板块的东西啊，我们先做一个有效的补充。

来看屏幕。我把这个擦掉了。那么请问刚才我们说一个事情，说如果这个极限存在。我这个人就是有节。如果这个极限是无穷大，我这个人就是没有极，那我就想问一个事情。啊，那么再来看看下面这件事。那么再来看看第三件事情，如果这个人极限是不存在。对吧，如果这个极限是波为一的，不存在。

请回答我这个函数是什么情况？有没有界？知不知道？什么情况？大家注意，这种情况就未知了。不知道什么情况，都不知道我给你举例子啊。比如说你是正道的，我举个简单例子，比如说你可以出一个y等于sins分之一。我在趋向零的时候正不正当？我在趋向零的时候是正当的。我在趋向零的时候震荡的，但是这个s in的绝对值是小于一，

它是有界的。对吧，你发现这个人是正当的，但是sins分之一有界。好，我们再看，如果你再取一个这个人。这个人的话，这是刚讲的，刚讲的话，你看这是s分之一，再乘上sins分之一，这个人也是正当的。这正当的话，但是s乘上sins分之一，

在趋向零的时候呢？在趋向零的时候无界。是不是没有减，所以说大家注意说不清楚。一定要注意啊，存在了肯定推有界无穷大，肯定推无界，但是如果是正当的说不清楚，不知道。根本不知道。能理解吧，好了，这件事情一定要想清楚，所以说这个时候就能解释，我们刚才这个问题了，

如果一开始对这个整体求极限是震荡的，我不知道。我也不知道你有没有记你这个方法失效了，你得换方法对吧？你必须把这个方法给我换下，你才能做出来。好，这是这样的一个事情，我讲清楚了吧，来我们再来看看下一个问题。那么我们刚才啊，接下来的听一下就行了。存在的肯定推有界有界的，一定存在吗？比如说sin x分之一也有截，

但是趋向零的时候是震荡的，不存在这不行。再来看，如果是无穷大肯定，无界无界一定是不存无穷大吗？这个东西也不一定，为什么你比如说x分之一再乘上sin x分之一？那这个人也是无界啊，那无界的话，但是它的极限是震荡的呀，所以不选。所以说这些内容都是单项成立的啊，你就记住单项成立就说存在了有节无穷大没有节，如果是正当的不知道。学这个方向就行了，

你今天把它就装到脑子里面就可以了，好了，这个部分知识点我们就讲到这儿，自己下去好好进行看看。补充这两个内容来，那么接下来我们再来看看今天部分的最后一个部分知识点就是分段函数的复合函数的求解性问题。分段函数的复合函数。那么，这个部分的内容啊，我们在这个零基础提前学的时候讲过，所以说下面配的这两个题的目的目的是什么呢？为了保证所有知识点的完整性，所有题型的完整性，所以说你不要觉得说这个啊，我们原来讲过，

你今天再听一下。把它复习一下好吧，那么接下来我们先来看看第一个事情，什么叫复合函数呢？比如说这个复合函数。那这个复合函数它是什么意思呢？它是这样的意思。它是用7s这个人。去替换了fs里面的所有的x得到的。对吧，替换到这里面当中，所有的x得到。就是你把这个东西作为一个整体。然后进行去把这里面当中所有s进行替换，我们就能得到。

这就是它的操作性的方式。考的不多啊，这个我们基本上在我们的真题当中都没怎么出现过这种题。稍微的进行去预防一下，出了你要会做，我们先来看几个题吧。通过这个习题啊，我们来讲这个事情。先来看看第一个事情，这是个gs。然后这是个fs，然后我们去求解这个分段函数的复合函数。那这个分段函数的复合函数怎么去求解呢？它让我们去求的是gfs。那这人什么意思啊？

这个人的意思就是把fs作为整体替换了，这里面当中的所有的x。你就替换呗，把所有s替换逢s替换啊，来逢它替换一下。逢它替换一下。然后的话，这是fs再怎么办？加二然后这是fs这个人大于零。所以说这个东西啊，你发现一个事儿，把这东西进行替换一下，对吧？把这东西一替换。替换完了之后，

同学们想想这是一个复合函数。自变量是x，所以说这个时候啊，后面要填x范围，我要知道什么时候这个函数小于等于零。什么时候这个函数大于零，因此接下来我要怎么办？讨论fs。所以说这就是我们的做题方式，第一步干嘛先把它替进去？第二步，干嘛讨论这个fs？那么接下来我们来进行讨论一下，把这个人进行讨论，你可以画个图，

什么东西都出来了。那这是fs这个人，然后这是零，然后这是x。那么，现在我们来看看这个函数图像小于零的时候是多少呢？小于零的时候是x方。然后大于零呢，大于零的时候，这是负x。啊，是这个情况，那么接下来我们看什么时候这个函数小于等于零呢？我一看诶，这一段小于等于零。

不是吗？绿色这一段小于等于零，那这时候我们就要写了。什么时候啊x大于等于零就是绿色部分，绿色部分是x大于等于零。这个时候fs小于等于零，而且这个时候的这个函数等于负s。是不这个事情诶，这是这个人，所以说你把负s代进去，那这个人就是负s，那就是二+s。然后我们再看什么时候这个函数大于零呢？诶，我一观察哦，

红色段它大于零。也就说，当x小于零的时候，这个fs是大于零。而且这个时候这个函数等于多少呢？等于平方，所以我们就出来了，马上看s小于零的时候，这个人大于零。而且这个时候这个函数等于平方加杆。是不是啊？马上这就出来了，小于零的时候是平方加二大于等于零的时候是二+s答案选几选一。好，这几个好题。

行吧，这是强化t这七这个题就是分段函数的复合函数两个事情，第一件事情把它替进去。第二件事情再来讨论。对吧，再来讨论。你赋值的话，这个这个题不好赋吧？付的话收的慢很多。好了，这然后而且你还要一个一个的试，你有这个方向，你早都把它做完了。呃，这个速度的话，

其实很稳的，来我们再来看看下面一个事情继续啊，再看这个事儿。好，再看这个题。那么这个题啊，我们就继续看，给了一个分段函数，你看这是个分段函数。然后让我们去求解ff x。对吧，三层那没关系，三层的话先求一层。把这个复合函数求出来之后，然后再用这个东西再替换f。

就可以了，所以首先第一件事情，我们要进行求解的是谁？我们要求解的是ff x。那ffs什么意思呢？就是用这个东西去替换了，这里面当中的所有s。逢s替换一下来替换一下，替换一下就是fs这个绝对值小于等于一，然后替换一下，这是零。然后这是fs这个人绝对值怎么办？大于一。那么，接下来我们就继续，

我们再来看啊。嗯，如果你强化的时候的复习啊，你老是有这种想法，那我就觉得这个你每次都有这种想法，你就觉得。你说这种题真的是难吗？啊，你见到一个你稍微觉得哎呀，这个你做起来很辛苦的，你说不觉得出你见到稍微辛苦一点，你觉得不觉得出那去年的那个题也不用做了，对吧？啊，好了，

那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下面一个问题。好，继续来抽，那这个时候我们来看看，这是fs这是零，然后这是s。所以接下来我们就来继续来看看这个事儿，你就要继续去讨论这个fs。你要看这个fs在什么时候，这个绝对值啊，是小于一的。所以我们首先来看看这个第一个事情，这是负一，然后这是一。

对吧，这是一所以我们发现，你看如果这个是负一到一内呢，它是个人是一。然后这个人大于零的，这个结果呢？他这个人是零。对吧，这个人是零，而且这个人是取这人是不取。好，这是这个函数图像，那我想问你个事情，什么时候这个函数的绝对值是小于一的？我们一看诶，

你发现这里面当中马上出来。这个负一到一不就是这个人吗？那我发现这个人是在这里面，这个人是在这里面，哎，这个人也是小于等，所以我明白了哦，原来这个部分是r。所有人都是这样，永远不可能是这样，因此这个函数永远等于一。所以说这个题其实挺简单的。啊，这个题挺挺简单的，如果说这两个题相对比啊，

哪个题更容易考给我们呢？应该是这个题。啊，这个题更容易考给我们，因为你发现这是一，所以说这就是f1。那f1是多少把一往这里面带是一选b。哎，要注意啊，所以我们考的很多题啊，它有这种感觉，如果说两个题相对比像上面这个题就是稳稳当当的做。一点一点的酸。但是下面这个题的话，你发现就有点那种感觉了。

其实也不难，很骗人，你就t进去，然后再一看诶出来了，是1f一结束了。啊，这是这个题。好了，这是我们讲的这个啊，强化八这个题过去了可以吗啊？难度系数不大，所以说这个部分的做题方式就是两件事情。第一步，把它替进去。第二步，

讨论后面的范围就行了。替进去讨论这个人的范围。两件事好了，那么这个板块我们就讲到这啊，这是我们讲的这个第一个部分的专题内容。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看看第二大核心专题部分，你看刚才那些部分呢？其实都是这应该叫做开胃菜。然后今天呢，我们的核心重点应该是在这个板块儿呃，我们再讲一会儿啊，我差不多应该是讲到9点10分的那个样子。我们今天部分内容啊，

我们就讲到这儿。那么，接下来我们一起来看看无穷小量及其切的问题。那么，首先，我们先看看第一件事情。无穷小量及其接的问题当中，里面当中有两大核心考点，第一个考点确定等价无穷小。第二件事情确定无穷，小量的接就是无穷，小量进行去比截，所以这两个问题啊，其实不用做特别大的区分。因此，

在这里面当中，我把这两个部分的知识点放到一起来讲，听得懂我的意思吗？知识点方面一起来回顾一会儿。过程当中，我们再来做总结。啊，再总结这个题型方法。好，我们先来看看第一件事情。那么，在无穷小量当中啊，首先我们先看看第一个问题，定义法笔记，你是个强化班同学，

我们当然不用进行说。什么叫无穷小了？如果在这个趋向下的极限，结果是零，它就是这个趋向下的无穷小。是吧，它必须要保证在这个趋向下的极限，结果是零。它才是这个趋向下的无穷小。它极限是零，所以因此我们两个无穷小量之间怎么进行比较呢？我可以用定义法。如果这里面当中说，如果在一个趋向下，你fs的这个极限结果是零。

如果在这个趋向下，你这个什么gs这个极限结果也是零。对吧，梁是零怎么进行比接呢？这样比。就把这两个东西放在同一个极限下做比，但是你要注意一个事儿，做分母的这个东西，分母肯定不能为零吧？哎，这是要注意的啊，那稍稍微小小心一点就行，但是我们肯定不会考到这儿嘛，你稍微注意一下，然后做笔有几种情况发生啊？

有以下四种情况，第一种情况，它的结果是零。如果是零上面是下面的高阶无穷小，如果是无穷大上面是下面的低阶无穷小，如果是一上下是等价无穷小。如果这个人是不为零的数，他是同阶无穷小。那么，同学们思考一下，等价无穷小是不是最特殊的？同阶无穷小。当然是等价无穷，小也算同阶无穷小。那么接下来我讲一个重点，

因为我们在后面的时候求极限的时候要用大家思考一下，如果在无穷小量的时候。要注意啊，高阶比低阶是零，这个极限是存在的吧？如果这个等价的之比是一，是不是也是存在？如果这个人是同阶是个数，是不是也是存在这里面当中只有一个不存在，就是这个人无穷大。所以我们后面会学习一个性质，叫做加减法当中见到存在就拆开我们喜欢高比低存在的。我们喜欢同阶存在的，我们喜欢等价式存在的，只有低比高，

不存在。这件事儿要稍微注意一下，那么接下来我们就来讨论一下什么东西叫做无穷小量的接呢诶，我们来看看这个问题。无穷小量的解。那么，确定无穷小量的积啊，有两种方法。那么，第一种方法，你可以把那个讲义往后面翻，有些知识点在后面一页，有些知识点在前面一页，我把它给打通了。对吧，

你应该理解我的意思。怎么确定这个阶呢？有两种方法，第一种方法就是在趋向于零的时候把这个函数跟k次方作比求极限。如果跟k次方作比求极限，是一个不为零的数，那我就说什么，我就说这个函数啊，是x的k减无穷小。但其实你要注意这个知识点，我们很不喜欢用。很不喜欢用这个，我们一般情况下用的都是谁呢？是这个人。哎，

这是我们很喜欢用的，我们在做一件什么事，就是在趋向零的时候，直接把这个函数的等价找到。等价无穷小a倍的sk次方，那这时候我怎么办？我就说这个函数是s的k阶无穷小。那比如说举个例子，我们说如果s趋向零，你s减去ln多少呢？一加s这个人是等价无穷，二分之x方。那同学们想你是二分之一阶还是二阶呢？当然是二阶，看这个次方数。

所以你等价过来，这个次方数是多少？等价无穷小a倍的sk次方，你次方数是多少？你就是个几阶无穷小。跟得上我的意思吗？因此如果你想进去去确定这个无穷小量的基因，你必须要进去去找到等价无穷小。所以说确定等价无穷小的方法就很重要了。那么，在确定无穷小量的方法当中啊，首先第一件事情当然是利用等价无穷小的替换公式啊，所以说这些内容是我们一定会进行出题的。接下来这一年。这一页是我们一定会出题的。

我来把这个无穷小量这个东西啊，分成三组，第一组是我们常见的八个等价无穷公式。然后紧接着是由那个泰勒公式推出来的六个。然后紧接着是我们考察的这两个特殊情况，这两个东西啊，也喜欢考。所以分成了以下三种，那么首先我们先来看看第一组跟着我来记一下。你说这个东西记不过啊，你说明这个基础部分内容没有复习过关啊，好先看第一个事情在趋向零的时候s in等价无穷s。阿克塞因是s tangent等价无穷s。阿克tangent等价无穷s路因这个一+s等价无穷s1的s- 1等价无穷s。一减cosine等价无穷二分之x方一加s的阿尔法次方减一等价无穷阿尔法x。

然后在这八个等价无穷小公式当中，尤其是第八个是我们特别喜欢考的。我们很喜欢考这个人，然后在这个阿尔法次方当中啊，他特别喜欢考分之一的次方，比如说他特别喜欢考这个人。一+s的开N次方减一，这是我们常出题的。你要注意当s趋向零的时候，如果是这个人，他就等价无穷n分之s。对吧，这个人，然后其实而且的话，他非常喜欢出什么呢，

他喜欢出这个减法哎，你看看这个事情，出了好几次。如果这是这个人呢？就是负的n分之一s。好了，这八个等价无穷小公式啊，一定要记住，那么其实还有一个人说，如果这是x趋向零。好，我们再来看看，如果x趋向零，这时a的x- 1这个人呢？立即等价无穷啊x倍的lna。

对吧，还有这个人啊，这个东西啊，你也是要把它记住的，所以等价无穷小公式啊，问题点都不大好，我们再来看看第二组有泰勒公式推出的这几个人。先来看第一个人x减去sine呢六分之s三次方那arcsine呢，就是负的六分之s三次方。然后是t an ENT呢tan这个人呢，你要注意他的第一项是s，第二项是加法，所以这是负的三分之s三次方。然后这是三分之s三次方，这是二分之s次方，

那这个东西呢？你看我减去个一减去这个人留下第三项，大家能理解我的意思吧？泰勒公式的第三项。所以这六个等价无穷小公式啊，你也要会。对吧，这些等价无穷小公式，你必须要会，这是我们一定会出题的。他有的时候出一个，有同学说那两分题我记这么多，我才考了个两分题，那多不划算，你老是有这种感觉啊，

我觉得好多知识点你都不用学了。我们考的题，每个题就是两分，所以每个板块东西啊，一定要把它梳理清楚，而且它是后面做极限的一个基础。那当然，有的时候不光是一个它，有的时候还会出后面的极限题，有的时候是两道乃至三道题，那就是六分题了。好，那么接下来我们再来看看这个人的接触，你看这个部分是一节。一次方一解一解一解一解，

这是二解，这是一解。然后再来看x减去三e是三减，这是三减三减三减，这是二减，然后这是二减。所以这些无穷小量的这个人的这个接触，你要把他掌握清楚，对吧？快速看，就是见到这个东西，你要知道他的等价，然后知道这个接触，这才是今天的真正的重点啊。来，

我们继续，其实在等价无穷。小公式当中，有一组部分的东西是极其重要的，就是这个人。这一组是非常重要的。就是x趋向于一的情况。而且这种东西我们太喜欢考了，我们以前的话，你发现出这种题啊，出的非常的多，就是录音的情况。那么，接下来我们看看这个人，我们速战速决一点，

你像第一个人。louie，这个人我们喜欢什么一加上什么，我就里面加个一，我再减个一。然后这个部分的东西就趋向零。那趋向零就是框啊l1加框，立即等价无效框，但是我们要做的快准狠，不要在那墨迹。那么直接上来lin一个函数趋向于一，立即等价无穷，小于这个函数减一。这个太喜欢考了。录音一个函数趋向于一，

立即等价无穷小。这个函数减一。其实你可以这样看，只要lin是无穷小，里面肯定是一。里面是一的话，立即等价无效，这个函数减一。那么，在这种当中，他特别喜欢考一个人，就是这个人。s趋向0 ln cosine这个人。你看l一个函数趋向于一，立即等价无穷小，

这个函数减一，立即等价无穷小于负的二分之x方。所以说这个。这几阶无穷小，这是个二阶无穷小。对吧，这个知识点我们很喜欢，考好这个部分内容一定要过关。算了，我把它写到一行去。很喜欢考这个，是个二阶无穷小。然后紧接着我们再来看看下面这个人，你还记得基础班我们怎么推的吗？基础班的话我们说在里面的时候啊，

你看里面加个一减个一，其实你到了强化班。你可以做的更快一点，你见到这个人立即密值转换一下操作，是不是强了？然后一什么减1l一个函数趋向于一，这是零立即等价无穷小这个函数。对吧，你这个部分的极限是零啊？那这个时候就等价无穷小这个人lin一个函数趋向于一，立即等价无穷小这个函数减一，所以你就会做的非常的快。因此这个人呢，就立即等价无穷，阿尔法倍的这个函数减一。

对吧，立即等价无穷，阿尔法倍的这个函数减一。而在这里面当中啊，他特别喜欢考的一个人是谁呢？是这个人就是一减cos in，你都知道这个人是等价无穷小于多少？等价无穷，二分之x方，那开个N次方等价多少？那这时候我们来稍微看一下，你提一个负号出去，那就是coss的n分之一次方再减个一。然后这个时候你就会发现这个函数不就趋向于一吗？一个函数趋向一的阿尔法次方减一来等价多少？

你套上面一个函数趋向一阿尔法次方减一立即等价无穷。阿尔法倍的这个函数减一。然后这个人呢，等价无穷负的二分之一负负得正，所以说是n分之一二分之x方。所以说这个记法非常简单，你看这个人是等价无穷，二分之x方，如果给这个人开个N次方，立即等价无穷，n分之一倍的它。把它记住啊，因为如果我们考选择题啊，考第一个题，我觉得这种题都有可能出举个例子。

你比如说。我们在考题的时候啊，它出了一个这样的一个，我们出一个sin x的平方，然后这是一减去cos x。你比如说这种题都有可能出。怎么不可能吗？出一道两分题也非常稳呐，那这个时候我们就知道了。当s趋向零的时候，你看速战速决，这是平方。一减cos开了个二次方，那前面就是二分之一二分之一x方，所以这个人是四分之一。

那么可能有些同学做这个题啊，他怎么了？有理化了，你有理化，你这个速度慢，我一下就出来了，这就是高手。所以我们到了这个现在这个阶段呢，你要了解我们的考勤的形式，对吧？有的时候它不是说我一定要出的贼难。但是它一定要考到一个点上，打到一个点上诶，这是要注意的。这就是我们在这里面当中啊，

讲的这个等价无穷，小的替换公式。然后接下来我们再来看看下面一个问题，等价无穷，小的充分必要条件。对吧，充分必要条件。那么，等价无穷，小的充分必要条件，它是个什么情况呢？就说如果这两个人。对吧，我们这两个人是互为等价无穷小的。那这个充要条件到底是什么样子？

我怎么知道这两个人是等价无穷小呢？他是这样，他说的是我这个函数一定会等于这个人。加上它的高阶无穷小。哎，注意啊，我加上我的高阶合取低阶原则，当然是取它。所以一定要听清楚两个无穷小等加那第一个人一定等于第二个人，加上他的高阶无穷小。是不这个事情，所以说你比如说当s趋向零的时候。sines等价无穷小S。那这个时候你看s in这个人不就是x加上它的高阶无穷小吗？其实你发现。

它就是把一个等价无穷小写成了等式，这个等式是谁呀？这个等式不是泰勒公式吗？你看是不是它的公式啊？你比如我们再写一个呃，如果这里面当中，我们再看，比如说写一个谁呢？写一个这个是x-s in。等价无穷，小六分之x三次方，你看继续写，那这个时候的话就是多少x减去这个三。它就会等于多少等于这个人，再加上他的高阶无穷小，

高阶无穷小系数无关原则，他就没了。然后这个时候你把这个s in稍微整理一下。那s in移过去，移过去就是x减去六分之x三次方减，高阶无穷小。同学们告诉我，这个高阶无穷小减，高阶无穷小跟加一样不一样一样，因为高阶无穷小，前面乘上个系数不会影响结果。那你想想这个东西不就是态的公式吗？所以说你发现一个事，什么情况呢？就说你这个等价的这个东西，

你把它进行去等式化，其实怎么办呢？其实我们就把这个东西啊啊，其实转换成了泰勒公式啊，就是这样的一个情况，能理解我的意思吗啊，这个基本点啊。那么，接下来我们要看一个黄金重点，好好听了，这是今天最重要的一波内容。其实你发现我们学习了这个函数极限计算的核心方法很多种，比如说我们有等价无穷替换。我们可以进行泰勒公式展开，但是对于我们三九六同学，

泰勒公式展开考的少一点。洛必达法则四则运算法则对吧？包括后面学习的拉格朗日中值定理，其实你会发现一个事。你学习了这么多的方法，往往在做题过程当中出错的点基本上都在哪儿，基本上都在等价无穷小的替换上面。有些同学胡替换呐。比如说s趋向零的时候，这由es乘上三一对吧？这人怎么怎么样怎么怎么样？有些同学这样做e的零是一疯了。有人说这个人等下我选s，我疯了。你看，

但是这是很多同学做题的一个现象啊，基本上就是这样，很多做题的这样错误原因都在这儿。所以一定要注意啊，把这个等价无穷小替换公式啊，一定要学好，所以接下来我们来把这个东西啊，做一个完美的总结好。好好听呢。我们来看看这个事情。啊，你听好。其实啊，最容易出错的点在哪呢？最容易出错的点其实就是加减法。

所以一会儿我们把这个加减法这个东西啊，我们给你讲细一点，今天的时候你就会发现那个基础班，我们又会深一个维度，原来我们讲的时候如果中间用加法前后之比的极限，结果不是负一。那这个东西啊，我一会觉得也也有点low，我们还可以把这个东西啊，讲的更加的完美一点来，那么接下来我们先看看第一个事情。乘除法的因式一定可以使用等价无穷小的替换。乘除法的因式，比如说举个例子。a×b。

乘以c，这是d- 1。那么你想想这个东西到底能不能替换，你就把这个东西抽出来，你看跟剩下的人之间构不构成乘除法关系？很明显，这个人构成，所以说a这个人就可以。b这个人呢？也可以c这个人呢？也可以，但是d这个人行不行呢？d这个人不行，你能把它抽出来吗？他不行，

所以说乘除法的因式。就说你这个东西到底怎么了？你能不能进行去等价？就是你把这个东西抽出来，你看跟剩下的人之间。构不构成乘除法关系？如果构成，它就可以。所以说，乘除法因式可使用等价无穷小。能理解吧，少啥字儿啊？你学的是数学，那别别这样了，对吧？

你说最近做逻辑做多了，对吧？少了一个字儿就不一样了，别这样。来那么接下来我们就继续，我们再来看看第二件事情。那加减法怎么办？诶，加减法，我们把它分的清晰一点，就是阶的问题。就是你进去去d这个无穷小量的集。如果是什么呢？不同阶的无穷小相加减。对吧，

什么情况呢？就说你们这个接触是不同的，那么这个时候立即是何取第一节原则，我比如说举个简单例子。我分析一下。诶，那么如果在这种当中，我们来注意一个事情。比如说我们出一个例题吧啊，如果在这种当中的第一件事，我们说如果x趋向零的时候。那趋向零的时候，你发现这是x减去这个ln 1+s，你不要飘哦。极限应该是你学的最好的一个板块内容了。

对吧，所以说你前面这个部分呢，你应该是非常熟悉的。如果你觉得这个部分的简单，你就慢慢的进行去听，对吧？后面部分的东西，这是很多同学的一个特点。你包括很多这个复习数一数二数三同学也是这样。所以数一数二数三同学每次复习都是我要复习了极限。我要复习了，我极限，我要复习了，我极限，我一直跟这个我们其实体现的不明显，

我说数一数二数三同学的话，你发现你要只会极限，你只能考六分。你看越到后面越重要好了，那么接下来我们就继续，我们再来看，如果这个部分呢，我们再加上一个sin x三次方。这个等价多少？来那么接下来我们就继续看看这个人。哎，那么要有接的感觉，一定哦，这是一阶。一定这是一节，

一定这是三节。而我原来的时候我给你讲过这个事情。同街要一起看。两个是同阶的东西，可不一定是这个阶有可能蹦的比这个高，所以同阶的东西一定要一起看。那这人是二姐。所以你发现两个不同阶的无穷小相加减。对吧，不同阶的那不同阶的相加减一定是取d的，那这个时候就是等价s-ln一+s。离集等价多少？二分之一x方。好，是这个情况能理解吧好，

所以说一定要注意啊，两个阶数是一样，一定要一起看，那这个时候不同阶相加减，何取递减？那如果这个东西是同阶无穷，小相加减呢？来我们来看看更完美的总结，看第三点。那这个时候就不用继续去看什么前后作比的极限，不是负一了，我们今天来看这个重点。它不光是两个，它有可能是多个。多个无穷，

小相加减。请注意它的要求，每一项必须要等价到最简的形式。最简形式什么形式呢？a倍的SN次方形式。等价到最简，其实不能相消，你就能直接等价。这件事情我可以给你做一个证明，你听一下啊，其实非常容易。比如说这里面当中，我们注到这。假设假设这个fs这个人呢？他等价无穷，

小是a倍的s三次方，信不信？然后这个gs这个人呢？他是等价无穷小b倍的I三次方，然后这个hs这个人呢？他等价无穷小是c倍的I三次方。注意这三个东西，我们是相加的。注意啊，这东西是相加的。那么相加了之后怎么了？相加等价到最简形式，也就说等价到这个最简形式等价，这个最简形式等价，这个最简形式注意。

不为零不能想消消不掉。那么，接下来我们看看为什么这个东西就能直接等价呢？原因点非常的容易，大家思考一下，我刚讲的，如果这两个人是等价，我就可以把这东西啊写成等式。对吧，我就可以写成等式，那这时候你看你两等价，你就等于这个人的，再加上这个人的高阶无穷小。你俩等价就可以写成这个东西，再加上它的高阶无穷小，

你俩等价你就可以写成什么，你就可以写成这个东西，再加上它的高阶无穷小。没问题吧，这不就是泰勒公式的展开吗？那你想想，原来我们在讲泰勒公式的时候，你想进行去找等价无穷小，对吧？展开的时候展开到什么展开到相交不为零的项，你看。你就给他斩。给它展，然后你又给它展。那么结果你发现展到第一项是它展到第一项是它展到第一项是它。

结果你发现斩到第一项你消不掉，相消不为零，这项你既然消不掉，我泰勒公式就斩到这儿，斩到这儿，那这个时候就加上高阶项。就展到这儿啊，因为消不掉，消不掉就结束了，然后这个时候它的结果就是a+b，加上cx三次方。高阶无穷小相加，减取小的，所以说就是它，我加上我的高阶不就立即等价无穷小于我吗？

我和我的高阶相加，高阶不要了，不就等价它吗？所以你看这个东西是可以做的呀，它是非常有原理的东西。哎，非常有原理的东西，所以说到了今天你就不用继续去看前后作比的极限，结果不是负一了，那这样继续去看你，发现原来这个操作就非常的慢了。那么今天的时候啊，我们再来看看。比如说我出几个题啊，这几个题你要稍微进行去重点来看看，

比如说s趋向零的时候，我们先谈一个最简单的。告诉我能不能等价？先看第一个事情，一减再看一事情，一减把它等价到最简形式是x。消不掉，消不掉就能等价s+s，这是2s，这最简单。这太简单了，那么如果我们再改一下，比如说这是ln 1+3倍的x方。我们再加上多少，我们再加上一减去coss开平方。

开三次方吧，来看这个人。那么，这个人的话，我们继续抽，你发现第一个人是个几节是个二节？因为等价无穷，小三倍的x方，然后这个人是个几阶二阶好，两个同阶无穷，小相加减。那同阶无穷，小相加减了之后，我们再看等价的最简形式是它等价的最简式是三分之一倍的二分之x方能约掉吗？约不掉，

约不掉，非常简单就可以直接做。立即就是六分之x方直接出来。所以你看到了今天的时候再做这种题，你就做的非常准了，就不用进行去看什么，不用再进行去看哎，等这个前后作比的极限，结果是不是负一了？对吧，就不用进行看了，就说我把这个东西等价一定要注意，有个要求啊，必须是最简形式。等价的最简形式不能相消，

那这人就可以直接等。必须要等价的最简形式，这是有要求的，那问题来了，如果等价的最简形式，你能够相消怎么办呢？大家注意，如果能相消，你必须要使用太。泰勒公式的展开了。那么，这个部分内容在我们的考研当中考的非常的弱。考的很弱。对吧，这个操作性的话就很弱，

它有可能转到泰勒公式展开，它也有可能转到化简的操作。啊，它有可能转到化简的操作，所以我们的泰勒，我们基本上考的非常的少。所以到这个强化的过程当中，把那主要的那几个东西啊，给记住就行了。对吧，那么最后其实能转到化简。你比如说我举个简单例子。你看到了，今天你看的绝对是比那个基础班要准的很多。嗯，

听课你不要漏着听，你不要是把第一个听了，听第三个第三个听听了，第四个那不同阶不就合曲低阶了吗？你这个听课，你说实话，你要一节课是这样，你两节课肯定也是这样，你总会老是跑神儿，你听数学课可不能这样。我比如说我举个简单例子，你看这个部分。那么，这个部分的话，如果说x如果怎么办？

比如说你看s趋向零，那么如果这是e的这个tangent。我再减去这个e的这个s in。到了今天的时候，你不会再进去去问那个问题了。比如说有些同学在这个这个基础班的时候，他还问这个事。说这什么，我可以在这儿减个一。对吧，然后我怎么办呢？我在后面再减个一。再减个一，那么同学们行不行呢？这就不好办了。

为什么呢？因为它不能直接等价。你等价到最简形式是多少？你往下一的框减一等价框，再等价是x。这个等价下来是s in，再等价是x最简形式都是x。等价到最简形式能够相交。所以说你才发现能够相交，这就不行了。对吧，这个东西不行了，有些同学是这样说，老师那我不。我就等价到这儿。

胡来水平点太次，可能把自己给说服了。你只是把自己说服了，你这个水平点还没有达到，你注意啊，坐到这儿也不行。你只要等价的这个最简形式消不掉，只要消不掉都不行，一下子不行，不要说了，说两下不行，那我来一下不行。绝对不行。你可能说这个答案做对了，你蒙对了，

你运气太好了，你敢保证今年考研你有那么好运气吗？所以注意一下这个事儿。那像这种问题怎么做呢？我们来复习一下，下面这几个事情，把下面这几个内容复习完，我们再来看上面这个东西，不要着急啊。再来看第五个点。大于零的次方幂里面可以先等价。对吧，大于零的次方幂就说什么情况呢？说这样。如果这两个函数是等价的。

对吧，如果你们两个等价，那这个时候这两个人的次方幂也是可以等价的。但是这个次方幂啊，你必须要大于零。其实你会发现个事儿啊呃，在这一复习过程当中啊，你一直都在用这个定理。对吧，你一直都在用这个。你经常用这个人，但是其实很多同学没有总结过你，比如说我举个最简单例子，你说这个s平方，你说等价无穷方，

其实就用了这个人。大于零的这个次方数里面是可以先等价的。那再比如说，如果s趋向零帧。那比如说这是根号，下一减cosines怎么办？你也可以进行等价啊，因为这个是大于零的次方，你看是二分之一次方，那二分之一次方里面就可以等价。里面等价是二分之x方，然后这个东西就是根号下二分之一。然后这个部分理论上是绝对值，但是是趋向零正，趋向零正呢，

这就是x。是不是这个问题，然后我们再来看看下面一个事情，如果趋向零正，那这是根号s+x。那这个人呢？你要注意大于零的次方定幂里面可以先等价，你都知道这两个相相加呢。这是二分之一节，这是一节。二分之一阶和一阶合取低阶，这两个等价次方幂里面可以先等价，所以就是x的四分之一次方，你注意这个第最后一个人了。这个东西有可能会考大于零的次方幂里面可以先等价，

然后接下来我们再来看一个事情，不要着急啊，再来看最后一条。非磷因子在等价的过程当中，可以淡化，那这里面当中有一个非常重要的问题，什么叫做非磷因子啊？非零因子我经常讲一句话，中文之华美啊，英文之土鳖啊，你发现个事儿，什么叫非零因子呢？两件事情一要非零，二要因子非零，就是不为零。

因子就是乘除法。乘除法。乘除法中的非零项，才叫非零子。能听懂我的意思吗？乘除法中的非零项才叫非零意思。所以说这个非零因子啊，是乘除法中的非零项。你比如说如果什么情况呢？你比如说我们在一个趋向下。这个fs这个极限，结果它是a它不为零。对吧，这个不为零。你极限是a啊，

怎么了？呵呵呵。啊，那那中文不就是华美吗？对吧啊？他忙着呢，对吧？最近开作文班呢啊？没时间跟我聊好了，这是这个事儿，所以你发现中文。乘除法中的非零项，才叫非零一次，对吧？乘除法中的非零一次，

才叫非零一次，你看这个东西的极限是？非零的。对吧，这个东西它的极限结果是非零的，那这个时候你看则当x趋向。趋向下，然后这个是fs×gs，不好意思啊。那这个时候你发现一个事，你看这两个东西相乘。对吧，这两个东西相乘，这两个东西相乘的话，你发现这个东西是个什么？

这是个乘法。啊，这是个乘法，乘法中的非零项诶就可以淡化，一淡化的话就变成了这个人。所以一定要听清楚这个事情啊，就是乘除法中的非零项叫非零因子，那非零因子这个东西在等价无穷小当中也可以淡化。这是这样的一个问题，所以接下来我们就可以回过头来，我们再看这个题了。好，再来看这个题。那么这个东西到底等价多少呢？其实也比较容易了，

我记得上次考试我们考过这个东西。两翼做差这个东西怎么办？你可以提出后者。提出后者了之后的话，这是e的tangent- 3。再来减去一。是不这个事情，所以说这个东西啊，你就可以提出后者。提出后者了之后，来同学们告诉我，你发现这个人e的零是一。e的零是一非零乘法，非零因子是不可以淡化，然后再来看你，

发现这个人的极限结果是零。那就是框一的框减一等价无穷小于框，那这是考研当中的重点，等价无穷小公式啊。那这个东西到底等价多少呢？我们来看看这个人。你看有人说哎，老师，你看我刚才减个一再减个一做对了吧？你看不就是这个了吗？你蒙对了啊，水平点不是特别的好。那这人等价多少呢？做这个题的最好的一个速度啊，有人说那我使用泰勒，

我加一个减克，这都很慢。最快的方式就是你就提出一个tangent，然后这是一减cos。所以有些书籍当中啊，它是直接写让你去背，那就太慢了，你脑子一转的话就知道是题，一个tangent题，这贼快，这s这是二分之x方，脑子一转就出来了。那就是二分之一x三次方马上结束。这个东西啊，绝对是最快的一提，

然后摊着题一减cos立即出来。好，这是这个事。所以一定要听清楚，我们刚才在讲等价的时候，我们说了几个问题呢，来我们叙述一下第一事情，乘除法肯定用。然后加减法呢，不同节和取缔结。同阶等价的最简形式不能相消，不能相消，我们就直接等价，如果能够相消呢，可以选泰勒展开，

但这不是我们考研的核心主体方向。我们可以转化简的方向。化简着化简着，这个东西出来了，然后紧接着我们就继续再往下走，再往下来的话，你发现大于零的这个次方幂下它是可以等价的。然后再往下走，你就会发现非磷因子在等价的过程当中也可以淡化好了吗？同学们，这个问题点我相信就非常的全了。啊，这个部分知识点问题点就不大了，来我们再来做一个题，这个题我好像在基础班的时候讲过这个事儿，

我们再来看看这个题。来看一下这个题吧，说在趋向零的时候。这俩人是菲林的无穷小量。首先第一件事情，赶紧把一选了。对吧，赶紧把一选了。是吧，因为你这两个人等价大于零次，方幂量当中肯定是对的。那么然后再来看看三和四。三和四的话，你看这个东西，其实你发现三和四这个东西可以稍微的整理一下，

它不就是变成了这个人吗？是不这个事情。你这个人就等于他加上高级无穷小。在高阶无穷小前面配个负号不影响。就是这个人，同学们告诉我。这个东西是不是等价无穷，小的充要条件啊？那当然，对三和四对。然后再来看看第二个人。啊，再看第二个人，那第二个人呢？你要稍微注意一下，

偶数次方幂是要非常小心的。就是偶数次方幂。它这个东西有一个特点，就是你是正的，我平方下正，你是负的，我平方下还是正，我举个简单例子。比如说你看你s in这个人跟负s。平方等价吗？平方是等价的吧？你平方等价，但是这俩人等价吗？这俩人不等价，对吧？

这就不行，所以说这个不对答案选几啊，答案选c这个人。呃，这个题没有啊，你就补一下就行了。呃，但是没有关系，一会儿下课了，我就会把笔记发给你。呃，所以说强化的时候啊，你稍微呃注意，只要只要我这节课下课了之后没有课了。我就会在半个小时内把这个笔记发给你们，

但是这个暑期过程当中有些课程是这样，比如说有的时候是八点钟到十点钟一节课。然后是呃，10点10分呢，然后到这个12点10分一节课，我连着两节课，我就没有时间进行去导了，如果我下面部分没有这个课。啊，然后的话，你自己就进行去下载一下就行好了，这就是我们这样的一个问题。能听懂我的意思吗？所以你下去好好把这个东西啊梳理一下，然后接下来我把这个带有匹亚诺鱼像的麦克劳林公式，

你先别管这个名儿了。这其实我们梳理过，其实就是泰勒公式，我把这个泰勒公式啊来跟同学们稍微的进行复习一下，因为。后面的时候呃我我给你讲一下这个事儿，我讲这个东西有两个有两个作用，有两个重要性。就是这个部分的东西，这个公式啊，我们在现在的时候。对吧，我们现在进行去讲，这个时候其实我们的极限题很少会用到这个。但是到第二章的时候，

高阶导数的计算，我们有一类题需要进行去把这个事情掌握。高阶导数计算需要进行掌握。所以我们接下来我们来记一下。八个当中一定是趋向于零的时候。有八个态列公式。那么，这八个态的公式啊，只有两个东西没有规律性，我们先看第一个人有规律性，你能记一下多少，这是三的阶乘。三次方，然后的话，这是多少五的阶乘五次方，

其实对于这个人，我给你们省略一点啊。你对于这个人，你能记到这儿就行了。好，这就可以了。这个人你就记到这儿就行，你听啊，然后我说你要记多少，你就把它记了，因为我们要为后面服务，能记到这儿就行。然后这个人没有规律，你把这个东西啊啊，这是减。

你能记到这儿就行。然后这是三次方高级无穷小。然后这个tangent这个东西你也把这东西记到三次方就行。能理解吧啊，这是这个事儿，然后接下来你看你把这东西好了，我知道了。哎，知道了，好好好听课，然后这个东西再三次方就就行了，就是这几个东西你背到这儿就行，这是最难背的几个。你记到这就行，然后1s这个东西啊，

你必须要背全貌，只是一+s，然后是二的阶乘平方。三的阶乘三次方，这是有规律的，你可以按照这个规律啊写下去。啊，有规律，然后紧接着我们再看这个人，他是s减去二分之一平方，减一个加一个再减一个。这个东西啊，你背到这就行。你注意它有规律，因为我们后面的时候啊，

我们要用，然后这个时候啊，它是一减二的阶乘平方，然后加上四的阶乘四次方。其实这个人呢？你能记到这就行。然后最后一个人呢，你其实都不用记。啊，最后一个人，这是一加上imax，然后再加上二分之m，乘上m减一x方，其实这个东西啊。你不想记，

你都不用记，但是有一个人。这跟泰勒公式有什么区别？这就是泰勒公式。你们背的泰勒公式就是带有皮亚诺鱼向的麦克劳林公式。要注意一下，那么接下来我们再来看，还有一个事情，你再记两个。这两个人贼重要，一个是一减s分之一，它就跟等比数列一样，这个贼容易啊。你看好记吧，五次方，

然后一直写下去。它就跟等比数列一样。然后紧接着的话，你发现第十个人一加I四分之一就用负s替换它，一减以真一减。以真一减以真，然后再加上高阶无穷小。好了，你把这几个东西梳理清楚就行。然后在这里面当中啊，为什么你把这个m取成负一，它就是它。啊，你m取负一不就是它吗？所以就出来了，

这有什么你你套进去你看看。所以我说一下这个事儿很好记的。前面这几个人。对吧，然后中间这几个人你可以，如果你现在的话，这个东西就说你现在不想击也可以。留到第二章，我讲那个部分的知识点的时候，你再记都行。可不可以因为我们对于三九六我们的考题啊，其实极限当中使用泰勒公式的这个场景是非常少的。你可能在做基础班的题的时候，因为我们为了进行去加强，所以说有的时候的话，

我们会设置一些这种题，但是说实话，你做真题。你做三九六设计的考题的时候，在极限里面当中涉及这个泰勒公式的场景很少。但是还有一个场景就是高阶导数的计算，那个东西要用这个部分。对吧，那个部分要用。你不要两分，不要两分，不要两分，不要五个两分，那总共只有70分啊。好，

这个部分呢，我们就说到这。行吧，那么这个部分我们就说到这，所以说这是我们今天的核心重点内容，你下去的时候啊，把这个相对的东西啊，好好梳理一下。其实今天呢，我觉得板块的内容的学习有两个主体部分，一个主体部分呢，是我们的开篇板块可能讲的函数这个部分。你觉得稍微的会怎么办？简单一点点对吧？函数部分的话，

你觉得稍微的简单一点，但是里面当中有几个难点？一个事情是有限性的，判定一个事情是变现函数的性质。然后另外一个事情就是我们刚才讲的第二大板块内容的无穷，小部分内容，这是个重点，所以今天啊，没有什么作业。啊，今天没有作业呃，然后的话下节课我们会有一些作业，今天第一天呢呃，没有什么作业，因为还没有讲到那个部分。

能理解吧，那么下节课我们会基本上把函数极限计算部分内容，我们会讲的差不多。能理解我的意思吗？所以说今天呢，作业不是说特别多，今天是第一天，然后来布置一下下节课的这个任务，你稍微进行去记一下。好，我来说一下，下节课的任务。呃，在下节课的时候，你可以提前。

把这个什么无穷小量的题注意一个事情，无穷小量的题做到12题就行。无穷小量的题做了12题，可以提前做。能理解吧，可以提前做。然后紧接着是我们烤箱二部分的题，那你可以把。13题做了。哎，13题做了。然后呃，只做这个例题肯定是不够的，我们还有一个决胜的300题，加上这300道应该是600道题。

能理解吧，加上这个东西是600道题，这是我上课要讲的例题。点力的题。然后强化14这个题。你就先不用做了。对吧，强化14的题，这个就不用做了，强化14这个题，下节课我给你讲核心处理方法会非常快。啊，这个部分，然后的话是函数极限计算。函数极限计算部分的内容当中啊，

要注意可以把这个什么七种未定式的极限计算把它给我做了。所以下节课的这个题会比较多一点，27题之前你都可以把它进行去完成一下。27题之前可以稍微进行去处理一下。好不好？好那么今天呢？这个内容点我们就说到这儿，然后有几个事情就说你可以下节课，你也就说今天的主要部分内容都是预习。对吧诶，都是预习。所以我觉得这个大家把这个下面的东西啊，就是下节课上课之前把这个预习的东西啊。哎，把这个预习的东西好好做一做啊，

今天的主要的东西都是预习，然后两件事情，第一个事儿把我们今天讲的东西好好整理一下。然后第二事情把这个预习工作做到位，那么尤其是七种未定式极限的计算，还有无穷小量那个部分的内容。然后啊呃，明天的时候你就可以进行去下载，因为今天没有什么作业啊，今天没有什么作业，然后这个800题当中会有筛选题。筛选题，因为今天没有作业，然后我们的课程好像是后天。能理解吧，

在后天上课之前，你去APP里面进行去下载一下有800题的筛选题。啊800题当中的筛选题好了，那么今天我们就说到这。但是我先说一个事情啊，你这是强化复习这些知识点，你每天都要看，都要装到脑子里面，你不要说我听完一遍过去，我觉得我会的。但是你必须要都装到脑子里面好，那么今天课程呢，我们就讲到这。呃，你可以把那个基础讲义当中自己错的题啊，

你可以这样看看，当然是没有任何问题的好，那么今天课程我们就讲到这儿。所以啊，这个今天是强化班的第一次的，这个开班课程把相对的东西好好整理整理，我们下节课我们再继续开始。好同学们好，那么今天课程我们就讲到这好，下节课见吧。

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