01.冲刺满分强化篇·题型1-2精讲精练-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:05:04

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。那么今天啊，我们就正式开始，我们三九六轻松数学的这个暑期强化班的课程，那么今天啊，是我们的第一次正课呃，在昨天晚上的时候，我们重点是跟同学们做了一下这个暑期课程的一个规划。

包括我们在这个暑期过程当中需要做哪些事情，以及我们在这个暑期过程当中的一些课程安排，所以希望同学们还是要进行去听一下，因为你们当中啊，还有一些学习方法上的问题。包括我们后续过程当中的这个课程规划的问题，那么今天啊，我们就正式开始我们的第一次课程，那么首先我们在这个正式上课之前呢，还是非常有必要跟同学们去聊一下呃，我们这个。课程呢，相关的一些点，那么在昨天的时候，我们其实已经跟同学们去说了这件事情，

但是今天啊，我觉得再聊一下对吧，我会快速进行过讲，今天和。核心重点还是来进行去讲政课部分内容。呃，我们这个课程呢，所配套的这本儿资料啊，是这个高等教育出版社出版的，这个冲刺满分的，这个强化篇。所以我们所有部分的内容啊，是依赖于这本书呃，然后的话，这个我们在这个课程当中啊，

有几个点还是需要跟同学们进行去说一下。呃，暑期过程当中最重要问题在干什么呢？就是全题型突破，所以我们在这个课程当中啊，最重要问题就是来跟同学们去讲，每次过程当中的这个题型。对吧，一个题型或一个题型跟同学们去讲，然后这个讲义啊，我先说一下。这个讲义跟同学们去上传了，这个第一部分的电子版啊，所以建议同学们进行去下载一下，所以或许呃等这个资料，

明天应该是周一，我们基本上就知道这个图书的，这个正式的。出版的这个时间了，然后等这个出版了之后啊，会给同学们寄送过去好了，那么接下来我来继续来说一下这个问题啊，有几个点呢，还是跟同学们进行去叮嘱一下。因为这个三九六课程在暑期过程当中还是非常重要的，有几个事情，包括我们的这个课程安排啊，简单聊一下。那么，在这个暑期过程当中，

希望同学们注意你最重要问题啊，一定要把这个题型突破掉。就是这本讲义上所涉及的所有题型，你最终要达到什么目的呢？就是见到这个题型，这个方法一定要会。而且能快速把这个上面相对应的这些习题啊，把它解决清楚，这就是我们暑期过程当中最重要的事情，所以有几件事情呢，这个今天上午的时候我们已经开始了。对吧，上午的八点钟的时候已经给在这个呃所有平台当中，无论你是在微博当中啊，还是在这个B站当中，

还是在这个小红书当中，我们基本上都发了这样的一个上午的一个公式测试。啊，我看了一下，很多同学已经把它做了，对吧？上午的时候啊，一定要进行这个公式测试，只要当天有课。然后这个上午一定会有这个公式测试，所以说你记住啊，最好是把这个时间呢，你稍微进行看一下，然后第二事情呢，就是每节课程的这个结束，

我会布置下次课程当中的一个任务。比如说我们今天课程呢，我就会给你说一下，下次课程我们会讲哪些东西哪些东西是需要进行去提前进行看看的。好，这个事情还挺重要的，一定要做好预习，你要是一个基础班呢，我们就不要求预习了，但是你是个强化班学生，我们已经把所有部分内容已经走过了一遍。所以说该进行去复习的东西，一定要把它复习到位，那么紧接着就是我们的正课的学习。那么就是今天我们的正课的内容，

你上课的时候啊呃，如果你来不及记，你就记痛点，记重点就行，你不要我写多少你就写多少，我们上了这么久的课了，我相信同学们能理解这个事情。所以上课的时候注意力一定要集中，然后到了这个下课的过程当中再进行及时的整理，你发现这个原来我们在做这个基础通关测试的时候就会发现这个问题。你看我们讲义上的原题吧。还有我们这个作业上的原题吧，然后考到这个模拟卷当中，你发现照样是跟新题一样，很多同学照样不会做。

那这就是一个非常大的问题了，所以注意我们上课讲的这些题，上课讲的这些知识点一定要装到脑子里面，然后下课的时候一定要快速做进行去消化。然后当天过程当中，如果有作业，你把作业完成一下，如果这个部分呢，当天是没有作业，那我们就进行去复盘就行。然后最后一个事情就是我们这个决胜300题啊，我们会按照这个课程的进度，然后给同学们进行发放过去，然后每次啊，我们会对这个上面的每个题做一个主题的精讲。

然后这个讲解课程呢，你就听安排就行。好了，这个事情我们就简单讲到这儿，所以说这个其实是昨天晚上闹的，我们今天上课，我们就不重重点啊，继续去说这个事情了。因为大家注意呃，九月份之前你务必把这个数学突破掉，因为到了这个九月份之后啊，你还有这个英语吧？对吧，你还有这个专业课吧，你还有在这里面当中，

你的这个政治吧，你需要背的东西很多，包括这个暑假你也做好安排。呃，我的建议是这样，就说如果你当天晚上有课，你就把所有的这个时间呢，数学时间放到晚上。如果当天是上午有课，你就把当天的这个数学时间放到上午，那这样的话，你可以进行去切片儿啊，因为你这个暑假的过程当中，你还有这个政治要学吧？你还有英语要学吧啊，

对吧？这两天很多同学可能已经开始准备这个作文儿了啊，这两天。刚好这个思思这边儿也是开设了这个作文班儿，我相信很多同学跟着这个思思进行学习的时候，然后的话，这个后面作文也要开始准备了。所以你发现这个呃课程的这个安排啊，就是我们的这个暑假的过程当中，你自己要合理安排一下，你还有逻辑和写作呢。所以当天如果晚上有这个数学对吧？你就放到晚上，你当天上午有数学，你就放到上午，

然后这个乘这个切片化整块的时间，你就进行复习就行。好了，这个部分呢，我们就不多说了，那么接下来我们就正式来开始看一下今天的核心重点内容，那么从今天开始啊，我们就正式开始我们的暑期强化班的课程了。那么首先啊，我们还是第一件事情来看一下我们高等数学的所有的大纲的一个要求的考点。那么，其实我们在这个基础阶段呢？我也带着同学们进行去看了一下大纲，要求的所有核心考点，但是那个时候啊，

你进行去看考点，跟今天再看这个考点，你的感觉绝对是不一样的。我记得当时我带着你进行看考点的时候，有时候我谈到什么一元函数微分学，一元函数积分学，什么多元函数微分学，有些同学说这是啥？对吧，但是你今天再进行看的时候，我们已经把大纲要求的核心考点走过了一遍，你今天再看的时候感觉绝对不一样。那么，在这里面当中，我们的大纲啊，

其实只要求这四大章内容，那么第一个部分其实就是函数极限与连续。啊，这个板块出题点呢，出的非常的多，所以第一章是重点，那么这里面当中有几个事情呢？一个事情是函数。函数出题啊，其实出的少一点，但是这个极限部分的出题一定会出的非常非常的多啊，这是我们要重点突破的。然后第三个事情就是连续性的判定，那么其实我们的大章啊是这两章。这两张是大张，

对吧？导数的问题。导数的这个计算问题，导数定义问题，导数的应用问题，对吧？就是我们的一元函数的微分学的内容。然后到了一元函数的积分学不定积分，它的定义和性质，还有它的计算定积分的定义，定积分的性质变现函数。反常积分定积分的应用，所以我们的大纲就是这样说的对吧？就说了这几句话，所以你必须要把大纲要求的所有核心考点，

你把它给干掉。比如说我举个例子啊，你看比如说这个参数方程求导。参数方程，求导是数学三同学不要求的，但是它仍然在我们的大纲里面，我再举个例子，比如说曲率的问题。曲力这个知识点虽然这个数学三同学也不要求，但也在我们的大纲范围内，我再比如说还有我们的邱什么邱。求弧长。对吧，求弧长，还有求旋转侧表面积那么像这个知识点呢？

数学三同学也不要求，但是也在我们的大纲范围内。所以你一定要注意一个问题，作为我们的复习啊，其实核心部分的内容没有说那么的多，但是每个点一定要复习到面面俱到。每个点必须要做到位，所以说我们的大纲要求的核心考点其实就这四大章内容。所以你今天呢，你要了解这个高等数学，我们其实就考这么多，但是这里面当中还有几个知识点，我额额外重点提一下。比如说还有经济学应用的问题。啊，

经济学应用那这个经济学应用啊，我会在高等数学结课的时候会有三个小啊，这个什么啊，是30分钟的一个补充的课程。经济学应用你比如说这个弹性。对吧，还有我们的边际的问题，什么成本函数，什么利润函数，这个知识点我们会有30分钟的，这样的一个补充的课程。那另外一个事情，还有一个东西啊，叫做中值定理。那中值定理啊，

我们在这个基础阶段的时候，我就给你讲过这个问题，那么中值定理这个内容啊，我们不会进行去考证明题。但是你要知道这个知识点的内容是什么？比如说我们讲这个零点定理，必须要B区间连续端点之一号，但是如果改成开区间连续这个东西还成立吗？比如说我们的罗尔定理b圈连续开圈，可导端点值相等，那如果这个东西改成开区间连续开圈，可导端点值相等，那这人还行吗？那就不一定行了，所以说像这些知识点呢，

你要稍微进行去注意一下，所以你们需要做的事情就是我在这个暑期过程当中讲到多少内容，你消化多少就行。好了，那么接下来我们就正式来开始看今天的核心重点内容，第一章函数极限与连续部分内容。那么第一章啊，是大章内容，我们所有的这个核心考点的会分成以下七个专题来讲。对吧，这七个专题那么这个第一个专题啊，我们会去讲函数的定义和性质，这个板块内容难度系数会稍微的低一点点。那么，紧接着，

无穷小量及其比阶函数极限计算，这是每年必考的内容。然后紧接着是函数极限的定义和性质数列极限的定义和性质，那么这个部分呢，虽然说在所有部分当中考的不是说特别多，但这个内容也很重要。那么最后一个事情，数列极限的计算。那么，这里面当中，比如说连续化处理定积分定义，绝对是重点。你去年的考点过程当中啊，当头一棒。考了一个重点，

措手不及，所以今年的时候一定要把这个东西做的面面俱到，比如说零到一当中的定积分。它的中点左端点右端点，那如果改成零到二，我们也会做，而且是这个东西啊，难度系数不是说特别大。然后最后一个事情就是连续和间断的这个判定内容啊，这个部分呢，难度不够好了，那么接下来我们就正式开始吧，我们来看看。第一个专题内容函数的定义和性质。那么，

在函数定义和性质当中啊，我们其实重点讲几个部分呢？第一事情我们会去讲一下这个函数的这个定义域的问题。呃，其实这个部分知识点呢？我们三九六在这个二一年之前的真题啊，其实涉及的还挺多，对吧？这是第一个问题，就是地域问题。然后第二个事情就是变现函数。我们在所有的函数当中，这个变现函数是考的非常多的变现函数，然后紧接着是复合函数的，这样的一个啊，

分段函数的复合函数的求解。还有有界性的判定好了，那么接下来我们就正式开始吧，我们先来看看第一个部分内容呃，才听到不定积分的话。这节课你有可能就不好听了，因为一会儿我们就会讲变现函数，你估计那个变现函数你都听不懂好了，那么接下来我们先来看看第一件事情，函数的定义域。函数这个东西啊，有三个要素定义域值域对应法则。那么，首先我们来重点来看看这个定域，那么像这种抽象函数的这个定域的求解啊，

是非常重要，你首先第一件事情你必须要了解清楚一个事儿。函数的定义域指的是这个函数自变量的取值范围。一定要注意不干呃，这个不是中间变量，是自变量的取值范围，所以给你一个函数的时候，这个人的函数的自变量是谁？那这个东西就比较重要了。我比如说举个简单例子，你看你这样写，你都知道这个自变量肯定是x，那如果这个东西我写个x方，再加上个2x呢？这个自变量是谁呢？

那么，在后面的时候，我们都讲过，你发现这个f它可以先到x方，加上2x，然后再到x。所以说这个人的自变量仍然是x，对吧？你像这样写的话，自变量是x这个函数的自变量呢？你要注意这个东西是个中间变量。自变量仍然是x。所以这个函数的定义域指的是这个x的范围啊，这是要注意的，然后紧接着我们还有第二件事情。

在同一个对应法则当中，那这个括号内的这个整体啊，取值范围是一样的，我比如说举个简单例子，你看这是fs。对吧，这是写了一个fs+1，然后这个东西呢，写了一个fx方，再加一。你看这三个人，这三个人呐，括号内的这个东西啊，他的地位是等同的。对吧，

这三个人的地位是等同的，你这个s什么范围？你这个s+1就什么范围？你这个s方加一就什么范围？能理解我的意思吗？抓住这两个点，你就能处理这个问题好，我们先来看看第一个考题。好，先看第一个点，那么这个题啊，它说这个函数的定义域是五到十，那就说明什么，就说明这个函数当中的x它的范围是五到十。然后让我们去求解什么，

求解这个函数的定义域，同学们告诉我求解这个函数的定义域是求谁的范围呀？是求这个x的范围吧。你要注意啊，求的是这个x范围，不是x方加一的范围，是那里面的x范围。而我们又知道，哎，你这个范围是五到十，那这个平方加一不就是五到十吗？所以说x方加一这个人。其实就是五到十。然后这个x方这个人啊，其实就是大于四，

然后小于九。那你这个平方这个人的话，他这个图像是这样子，你如果是四到九的话，其实就是这一段和这一段，所以这个s啊，它的范围是多少，它就属于。一个事情是负三，然后到负二，那还有一个范围呢，其实就是我们的二到三。对吧，就是二到三，你看解出了这个x范围不就是这个函数的定义域的范围吗？

所以说这个题的正确答案选几啊，选一这个题非常简单，你不要飘哦。我们才开始。所以一定要捋的非常清楚，你要知道这个函数的定义域，定义域是求谁呢？定义域求的就是这个自变量的范围。要抓住清楚这个事情来，我们再来看看第二个题。再看这个人。那么，同学们告诉我这个函数的定义域是一到三，你回答我一件事儿，定义域指的是谁的范围？

定义域指的是这个人的范围。然后让我们去求解这个函数的定义域，这个函数的定义域求的是这个人的范围，而这个人的范围和这个地位是等同的。所以我们就可以看到，我们就要重点来看看2 x+1的范围，那首先第一件事，这里面当中的x是一到三。所以说这个2 s+1这个范围呢，那其实就是这个是2s，你这一乘这是三，然后这个东西啊是七。那所以我就明白了哦，这个整体的范围是三道题，那这个整体的范围是三道题，

这个x范围不就是三道题吗？那既然是三到七，这个定域是多少？就是d。能理解吧，就抓住这两个问题啊，像这种考题难度系数都不大了，抓住一个主要矛盾，一个函数的定义域，指的是这个函数自变量的范围。难度不大吧。好了，这个东西啊，我们就过去了，你看第一个考点内容，

我们就解决清楚了啊，一定要会做啊，你必须要想的非常清楚一点，愣啥都不行。对吧，这是第一个点，那么接下来我们就正式来开始看今天的核心重点内容了，先看第一个问题。函数的奇偶性和周期性相关的性质的问题，这个部分内容比较重要一点好，我们先来看看第一件事情变上线函数和原函数之间的一个。关系问题好，我们先看第一个点。那这件事情啊，我们就需要进行去回顾复习一个内容了，

那这个变现函数的求导还记得吗？我复习一下。那么，这个变现函数的自变量指的是这个x范围，对吧？这个自变量指的是这个x定义域，指的是这个x的范围。然后这个部分是ftd t唉，这是个变线函数，那么同学们告诉我这个变线函数的求导就是。上限移进去上限球。那么，再减去什么东西呢？减去下限移进去下限球，我问一个事情啊。

能够这样进行去求导，它有前提条件的。你如果只学这个东西啊，你就是个初学者了。你必须要把这个东西学到位，那这个东西的要求是什么？要想这样求导，必须要保证两个要求，第一，事情被积分函数必须连续。只有被积分函数连续，那这人才可以正反，那么所以说有条性质叫做被积分函数连续。变现函数一定可导，这条性质你要注意啊，

被积分函数连续变现函数一定可导。只有被积分函数连续，而且被积分函数当中没有自变量，就是标准型才能这么办。能理解吧，好这个事儿要想清楚啊，至于这个上限比下限大，这是无所谓的。所以第一个点被积分函数连续被积分函数中没有自变量才能上限，移进去上限球减去下限，移进去下限球，这是变现函数求导最基础的内容。好，那么接下来我们来看看一个重要知识点。如果说已知这个fs啊，

是个连续函数。那如果这个函数是连续的，那么同学们告诉我，此时这个变上线函数，我们写成a到xfttt。回答我这个函数可导吗？你看这个东西。被积分函数连续变现，函数是一定可导的。所以说这个函数啊，肯定是可导的，而且是标准型，那这个时候这个函数的导函数等于多少呢？这个函数的导函数肯定是。上限移进去，

上限球就是一。能理解我的意思吗？所以你看这条内容就出来了。所以如果被积分函数连续这个变上限函数一定可导，而且导函数就是它诶，那么接下来我们再来转一下。那你琢么想？这个人的导函数是它，那这个人的导函数是它导函数是它，它不就是它的原函数吗？不就是它爹吗？所以说这个时候我们就又可以看出来一个事情，此时这个变上线函数。就是什么呢？就是这个被积分函数的一个原函数。

对吧，一个原函数这个非常简单的概念啊，原函数就是这个概念。哎，原函数哎，那这个时候我们又可以想。如果被积分函数连续变上限函数，就是它的一个原函数，那你琢磨一个问题，这是全体原函数吧？那这个东西是一个原函数，那是不就是一个原函数，再加上c呀？你看这个操作性就出来了，但是一定注意不要胡乱学，

它是有大前提条件的，只有被积分函数连续的时候。变上限函数才是它的一个原函数。诶，这是要注意的诶，那接下来我们来想想这个事儿，你看。如果被积分函数连续，这是它的一个原函数。那如果这个h1，这是不是一个原函数啊？那如果这个人取二，这是不是一个原函数啊？如果你这个人取三，这是不还是个原函数啊？

所以我明白了，角标不同，原函数不同。那么，在众多的原函数，众多的跌当中，有哪个跌最重要呢？大家注意，一定是从零开始的这个跌。从零开始的，这个八是最重要的，所以说我给它求起了一个名字，这个名字叫做牛逼吧。哎，注意哦，

我没跟你开玩笑，它相当的重要。请注意一个问题，被积分函数连续变现，函数一定可导。对吧，此时变上限函数就是它的一个原函数，就是它的一个跌角标变了，原函数就变了，但是在众多跌当中有一个跌是最重要的，就是从零开始的，这个跌是最重要的。你记住它，一会儿我们就要讲这个，这个东西从零开始的，

这个八牛逼八是最重要的，好了，那么接下来我们就来看看第一个问题，我们来讲讲函数和原函数之间的。奇偶性的关系。那么，首先我们先来看看第一个方向。那么，在讲这个问题点之前呢啊，怎么记笔记你就写牛逼爸爸就行了嘛？能理解清楚就行了啊，好了，那么接下来我们先来看看第三个题。呃，这个题啊，

有些同学估计做的不好，说什么呢？说这个人是这个人的一个原函数，然后这个东西表示充要条件。对吧，说这个人是偶函数，这是奇函数，这是奇函数，这是偶函数，这是奇函数，偶函数周期函数，周期函数，单调函数。那么，接下来我们一起来看看，

把这个东西啊，今天我们做一个系统性的整理。以前我们可能是在这儿讲一下，讲一个在那儿讲一下，讲一个，那么今天我们就是全方位的把这个东西啊。系统性整理，所以说最全的东西啊，就在这个页面上。好，我们先来看看第一个方向，大家注意啊，假设这是原函数。这是求导的函数，可不可以？

好注意下这个问题啊，这是原函数，它的导函数将会是它，我们先看求导方向，如果原函数是什么样子？那求导之后的函数是什么样子？我们先看第一个问题，如果原函数是奇函数。那请问求导之后是什么函数啊？这个非常简单，就是偶函数，如果这个人是偶函数，求导之后什么函数就是奇函数。如果这个人是个周期函数，求导之后什么函数啊？

也是周期函数。好，所以说这个知识点呢，你要注意奇的函数的导函数是偶函数，偶函数导函数是奇函数周期函数的导函数还是以这个t为周期的周期函数？我可以证明一下啊，这个证明怎么证呢？也非常简单，我们先证第一个人，假设这个人是个奇函数，就是f负s就等于负的fs。没问题吧，然后接下来你想想，我可以给它两边同时求导，先对中间变量，

求导中间变量再导。然后这个人进行去求导，那这时候你想。你这个人的导函数等于它，你这个导函数在负s处的值不就是这个人在负s处值吗？然后这是多少fs？不就是f负s=fs吗？所以你看如果这个人是个奇函数，导函数的结果就是个偶函数没问题吧，然后第二件事情偶函数，导函数是奇函数也是同理可乘。第二个我们就不争了，我们再来看看周期函数，如果这个人是以t为周期的周期函数，我怎么办？

我给这个人的两边。同时，对s求导，同时对s求导，然后你发现看这个人其实就是s+t，这个人就是fs。所以我明白了哦，这个人也是以t为周期的周期函数。所以说如果你这个人是以三为周期的周期函数导函数呢，还是以三维周期的周期函数啊？这个内容我们可能会考啊。你稍微进行注意一下，你比如说到了后面的话，我们考这个切线方程。对吧，

切线方程，如果这个题啊，说周期为五。然后这个题只搞告诉了什么情况，告诉了一的情况，然后让你去求六处的这个什么，它的一个切线方程怎么求啊？就考的这个知识点。后面我们再说吧好，这是第一件事情，那么接下来我们再来看看第二件事儿积分方向。我们再来谈谈积分方向。那积分方向是什么呢？就说我现在知道的是这个人。那这个人是一个原函数。

对吧，原函数你都知道这个人进行去积分，就是这个原函数，原函数要加c呀。诶，这是全体原函数，所以接下来我们来看看这个人，如果这个人的情况知道，我想进去去看看他爹怎么样？那怎么进行判定呢？好，我们先看第一件事，如果这个人是个奇函数，请告诉我它的原函数是什么情况？原函数。

它跌是什么情况诶？你可以思考一下。刚才我们讲过一个问题。偶函数的导函数才是奇函数。对吧，偶函数的导函数是奇函数。那你想想，你肯定有一个爹是偶函数，这没问题吧？绝对有一个爹是偶函数，不然这个奇函数怎么来的？偶函数导数是奇函数，肯定有个原函数是奇函数。啊，有个原函数是偶函数诶，

全体原函数是加c啊，那你想想偶函数是关于y轴对称。你加上c就是上下平移，上下平移还不是偶函数吗？所以说全体原函数都是偶函数。所以注意啊，一定要听清楚奇函数的所有原函数都是偶函数好，这是第一件事情。然后我们再看第二件事情，如果这是偶函数呢？那么，同学们想想一个问题呃，我再说一下这个事儿啊，你得有一点基础，你再听这个内容。

对吧，一定要有一点基础，一般的话，这个强化班就没法上了啊，好，我们再来看看第二件事情，如果这个人是偶函数呢？那肯定有一个原函数是奇函数。对吧，一定有一个跌势奇函数，但是你发现前体原函数得加个c。你想想奇函数是不关于原点对称呐？你关于原点对称的话，你上下平移一下，你看你一平移，

你就不是奇函数了。所以说这个东西啊，未必是奇函数。对吧，你加个c了之后就未必是奇函数，所以说这条内容它不对。偶函数的原函数啊，可未必是奇函数。那同学们想想那偶函数的原函数，未必是奇函数，但是肯定有一个奇函数嘛，那就是什么情况？就是这个经过原点的这个人。所以说偶函数只有一个，原函数是奇函数。

那个原函数是谁呢？那么接下来我们就来看看第三个方向，我们来讲讲变上限函数的奇偶性和周期性的性质。啊，这个内容非常的关键，好好听哦，那么接下来我们先来看看第一件事情，我们刚才讲过，如果被积分函数连续。那么请告诉我这个变上限函数一定可导吧？那么，此时从零开始的这个人呢？是他最牛逼的一个爹。对吧，这是最牛逼的一个原函数。

那么，接下来我们就来看看这个事儿，如果这个fs知道，那么请告诉我这个从零开始的这个变上限函数这个牛逼霸会是怎么样子呢？我们来谈谈这个事。那么，首先我们先看第一件事情，如果里面是奇函数。里面是奇函数从零开始的，这个人呢？是它的原函数。奇函数的所有原函数都是偶函数。奇函数的所有原函数都是偶函数，那这个原函数肯定也是偶函数啊。能理解吧，

奇函数的所有原函数都是偶函数，那这个原函数肯定也是偶函数啊。然后接下来我们再来看看第二件事情，如果这是偶函数，那么请告诉我这是什么情况？啊，这个我基础班讲过啊，对吧？我讲过一点，所以说你听完了之后，你是不是给忘掉了啊？讲过一点。那么，接下来我们再来看看下面一个事情，如果这是偶函数，

刚才讲过只有一个原函数是奇函数是谁呢？哎，注意就是它。就是这个牛逼棒。所以偶函数只有一个，原函数是奇函数，就是这个人，我可以给你证明一下来，我们来证证。证明一下，那么同学们想想我怎么进行去证明这个人是奇函数呢？哎，非常简单，你就给它来一个负s。对吧，

来一个负x。你只要证明什么情况，你只要证明这个东西等于负的它，它就可以了。能理解吧，你只要能证明这个东西等于负的它，那就可以。诶，但是你想想你研究这两个人，这两个人的上下限都不一致，你是零到x是t的范围。你这是零到负s，是不是要变成零到s啊？那怎么变成零到s呢？那非常简单，

我可以做一个负代换。我做个负代，换我一代换的时候，你看t是0u是0t是负su是s，然后这个t呢是负u。那dt是多少dt是负的理由？对吧，需要三换，然后这个时候我们就来看看，这是负的零到s，而你都知道这人是什么函数？里面这个人是偶函数，那既然是偶函数的话，这人就是fu，然后du再来一句话，

你都知道定积分的结果跟积分变量字母的选取没有关系。你就可以换成t诶，这是无所谓的，所以你看证明完了吧，证明清楚了这个东西啊，就等于多少就等于负的这个gs。那既然是这个情况，它不就是个奇函数吗？所以我终于明白了，偶函数只有一个，原函数是奇函数，那就是谁呀？就是这个牛逼吧，就是从零开始的这个变上限积分。而且这里面当中，

我们还得到了一个非常重点的性质，什么性质呢？就是这个人。变上限函数，如果里面是奇函数，外面是偶函数，如果里面是偶函数，外面是奇函数。要注意这个问题啊，就说从零开始的这个牛逼吧，里面是鸡，外面是藕，里面是藕，外面是鸡。这个性质非常重要，

一会儿我们要用啊，基本问题过去了可以吗？来再来看看第三个事情，那如果这个人是个周期函数呢？那请同学们告诉我，这个东西也是一个周期函数吗？那是不是周期函数呢？那么接下来我们要进行去讨论一下这个问题啊，来分析一下。来看看这个人。如果这个人想也是t为周期的周期函数，你是不得保证gs+t是要等于这个人的。这没问题吧，就说如果这个东西能够等于谁呢？就是你x+t这个人。

如果你能等于这个人诶，我就是以t为周期的周期函数。那么，接下来我们来看看相不相等？你演化的话，你看这是零到s+t，这是零到s，很明显我这个人的积分线比你长，我就可以写成。零到s这个人，然后再加上x到x+t是不是这个情况好写成这样？写成这个样子了，之后的话，你看这时就是gs好继续来看。我们都知道。

如果什么东西呢？这个人是以t为周期的周期函数a到a+t的，这个积分跟a有没有关系啊？没有关系，那既然跟这个a没有关系，我就可以把它变成了零到t这个结果嘛。所以说我们就明白，如果你这个人的积分结果等于零哎，如果你这个人等于零，我这两人就相等，我就是以t为周期的周期函数。所以说要保证一个事情，保证什么呢？保证一个周期内的积分结果等于零。这是要注意的，

所以你看这个知识点呢，就非常满了。我们来捋一下偶函数的导函数是奇函数，奇函数的导函数是偶函数，周期函数的导函数还是周期函数？那积分呢？奇函数的全体原函数都是偶函数，偶函数只有一个，原函数是奇函数，那这个原函数是谁呢？就是那个从零开始的牛逼吧？牛逼吧，具有什么性质呢？里面是鸡，外面是藕，

里面是藕，外面是鸡，一个周期内的积分为零，它仍然是周期函数。好了，这波知识点呢？全了。就这么多啊，你能达到这个水平呢，基本上就非常好了。可以了吧，所以说像变上线积分的这个奇偶性，周期性原函数的奇偶性和周期性，我们就全部讲完了。来看些题吧，

先看强化三这个题。好，先来看看这个题目。那么这个题啊，我们一个个做，我们先来看看第一个人，第一个对不对？对还是不对？偶函数，导函数是奇函数没问题，奇函数的全体原函数都是偶函数没有问题说明，一是对的。对吧，第一个是对的啊，这个没问题，

然后再看第二个人那奇函数的导函数是偶函数没有问题，但是偶函数的原函数是奇函数吗？那这个VB偶函数只有一个，原函数是奇函数，所以这件事情VB。好，我们再来看看下面的事情，第三个点。如果你是周期函数，导函数是不是也是周期函数？但是你这个人是周期函数，全体原函数都是周期函数吗？我们都知道这个事儿，你看我们这是一个原函数。再加上c就是全体原函数吧。

一个原函数加上c就是全体原函数。那你想想，我必须得保证一个周期内的积分为零，这个人才是周期函数。你把周期函数上下平移，是不还是周期函数啊？你比如说我举个例子，你看这个人。你平移一下，还不是周期函数吗？所以把周期函数上下平移，还是周期函数，但是你前提让这个人是周期函数，你就得保证一个周期内的积分为零啊。是有要求的，

不是随随便便就行的，这不对呀，你得满足一个周期内的积分为零。哎，这是要注意的。好，那么接下来我们再来看看d选项。啊，最后一个。第四个事情啊，这个题这个东西啊，就是呃来充数的。对吧，这个东西就是来混啊，这个混这个什么个数的对吧，

我们要出四个人嘛啊，完完全是来进行冲数的。单调性没有什么关系，完全没有什么关系，什么叫单调？单调就是一条路走到黑。一条路走到黑，就叫单调，你比如说我举个简单例子，你看三次方单不单调？单调你单调了之后，你求个导了之后的话，你看平方，这是这个情况，不单调了，

你再看。s单不单调单调，但是你积个分是二分之s方单调吗？又不单调了。所以说这个人呢，他就不对单调，没有什么关系。原函数单调导函数单不单调呢？没有什么关系，你单调原来单不单调呢？也没什么关系，所以说这题的正确答案选几啊？选b呃，我相信把这个题啊，做完了之后这个部分的知识点呢，

你应该是捋的非常的清楚对吧？奇偶性的一个问题。还有周期性的问题，单调性没有什么关系的。好，这个内容我们就讲到这。过去了，可以吗？啊，其实这种题啊，还好对吧，就是抠着这个概念走来继续，我们再来看看下面一个考题。来看这个题怎么做？那这个题啊，

他说了一个事情，他说如果这个函数连续则b为偶函数的是你看这个题考什么牛逼吧，牛逼吧，牛逼吧，牛逼吧，牛逼吧。全部都考牛逼吧，那考这个人是偶函数，就看里面是不是奇函数？是吧，所以说这个题就非常简单，我就来看这个里面是奇函数，我接下来有一个问题。你作为一个大学生。怎么进行去判断一个函数是个奇奇函数还是偶函数啊？

怎么判定非常容易就给它扔一个负s进去？塞一个负s，如果送给他一个负s之后，你这个人不动。那这人就是偶函数，如果多了一个符号，那这人就是个奇函数。所以一定要注意啊，不用继续去扯别的东西啊，这个有同学说相加为零，这就太慢了，这是不像大学生进行做题的。就是扔进去一个符号，看这个人动不动就这么简单，对吧？

这就是我们判断这个奇偶性的这个方法。而且这里面当中啊，还有一个重点内容。就是这个事情。如果这个函数的定义域关于原点对称，我就不写了。那请告诉我fs+f负s什么函数？然后的话，接下来你再来看，那就是fs-f负s什么函数啊？零基础提前学第一次课程讲的。先看第一个事情fs和f负s相加，偶函数相减是奇函数。是不是这个问题啊？这是偶函数，

这是奇函数，所以说我们经常讲任何一个函数都能写成奇偶相加的形式。就可以写成这样子。二分之fs再减去f负s。对吧，你看这是个偶函数，这是个奇函数，任何一个函数啊，都可以拆成奇偶相加的形式啊，就这个意思。好，那么接下来我们来看看这个题，速战速决啊，先来看。那么，

首先要判断这个里面什么函数来送给你一个负t进去。送进去了之后呢，你发现诶这个人不动。里面是偶函数，里面是偶函数，从零开始是奇函数，漂亮。是不出来了，好再来看看第二事情，那么请告诉我这个里面什么函数啊？里面呢？这个里面什么函数，有同学说是偶函数，这不对啊，你想想，

如果你扔一个负号进去，这是f负t的平方。那f负t的平方跟ft的平方有什么关系呢？这是不知道的。对吧，根本不知道，你再来看看这个人。啊，再看这个人，你送给他一个负号进去了之后就变成了f负t的三次方，那跟这个人什么关系啊？我也不知道。所以你看这个人也做不了。跟得上我的意思吗？也不知道，

然后再来看看下面一个事情，你继续你发现看这是个什么函数奇函数。然后这两个相减什么函数奇函数奇函数相乘什么函数偶函数里面是偶函数，外面这个人是奇函数，它也不对。那再来看d那这个人什么函数奇函数，那这个人什么函数偶函数奇函数乘偶函数，这是奇函数。里面是奇函数，外面是偶函数，答案选一。好，这个题我估计很多同学觉得说这个题怎么老选e对吧？啊，如果你做了这套习题啊，

你会进行去发现一个事儿，就是如果要一个一个判的。对吧，一个一个的判断一般都选一啊。行吧，我不多说了啊啊，这个出题的时候稍微的进去去设置了一下。好了，这是这个。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看看下面一个问题来继续再来看看这个题。啊，这个题啊，是一道真题，

然后我们进行去改编了一下啊，这个题。那么这题啊，我们继续来看它，说对于奇函数fx。所以你要了解清楚一个事，这个函数是个奇函数。那这个函数是奇函数，那从零开始，从零开始，从零开始是不考牛逼吧呀？对吧，就考牛逼吧，那考牛逼吧，你发现你看第一个人。

如果我扔进去一个扶梯。扔进去一个负t了之后，你看这个人会多一个负号，但c一下呢，这个负号就没了，所以不会动的。那既然不会动，那这个人就是个偶函数。然后奇函数的导函数也是偶函数。然后你再扔进去一个负t进去偶函数，偶函数都不通，那这是偶函数。没问题吧，里面是偶函数从零开始是奇函数，所以答案选a。

你看这个题真题就出的比较温柔了，对吧？你看这个题选a。哎，一个一个判，如果让我们放的话，我们就会放到一。啊，这个题。然后接下来我们再来看看b选项，好继续看那这个b选项它就不对了。对吧，这个人就不对了b选项它就不对，因为这个人呐，跟这个人是一样的，

你再来看看c选项。对吧，再看c你不要这样啊，你做题不要不要老是进心去猜我怎么出题，你就进心做就行了，来我们继续看。那这个人是个偶函数，你塞一个负t进去，这个人就不动，所以说这个整体这个结果他就不动。啊，这个整体结果不懂。然后这个fs是个什么函数呢？这是个奇函数。那我想问一个事情，

你这是个偶函数，你这是个奇函数，你相加什么函数？你塞进去一个负的，进去了之后这个人不动，这个人多一个负号，所以同学们注意这东西是不知道的。对吧，这是不知道的，你这人不动这人多个符号，那这个整体结果到底怎么样？不知道。所以这个东西是未知的c，不选d也不选。对吧，

这也不选，然后紧接着我们再来看看这个最后一个人。啊，最后一个人，我觉得最后一个选项也是非常要继续去注意的。那同学们想，那刚才过程当中，我们是不是都会了什么从零开始？那万一有一个题出的是什么？从a开始怎么办？你怎么处理啊？那这个题考的是从a开始很简单，如果是从a开始，你就写成从零开始。然后再加上多少，

再加上a到零这个人。是不这个事情，那这个时候你发现这不就是个数吗？定积分是个数啊。那么，接下来我们来判断一下，你想如果这个里面是个奇函数。里面是个奇函数，那这个人就是个偶函数。偶函数，再加上个数呢？加上个数仍然是个偶函数。所以说这个人肯定是偶函数。那然后再看，如果这个里面是偶函数呢？

从零开始肯定是个奇函数，那奇函数再加个数呢？那这个东西不一定了，对吧？这个东西就不一定是奇函数了。你加上一个数了之后的话，平移一下就不是奇函数了。所以从零开始，这个东西啊，要稍微进行注意一下。那么，接下来我们来判断一下这个人，你看这个人是个偶函数。然后这个导函数呢？这个导函数也是个偶函数。

偶函数加偶函数是个偶函数。没问题吧？那这个时候我们来想，如果这是偶函数从零开始呢？从零开始，这个人肯定是个奇函数。但是你还要加上一个数。那这个东西啊，就未必是奇函数了，所以这个人呢？他不对。能理解吧，如果你写成从零开始啊，这个人肯定是个奇函数，但是如果你在上下平移一下，

它就不一定是奇函数了。所以这个选项我觉得考的还是稍微的会刁钻一点点。对吧，你不光要会做，从零开始，如果这个题从a开始怎么办？你就把它转一下，转成从零开始。然后再怎么办？然后再是a道理。那这样一做就出来了。能听懂我的意思吗？你看这个题啊，考题的这个形式啊，你要有这种感觉强化班嘛，

对吧？呃，当然的话，我觉得这个今天听课你最起码而言，你变现函数得知道。所以你最起码得把定积分之前的东西都听完了。有些同学可能在这里面当中啊，你发现这个变线函数反应的慢一点。定积分的一些性质反应的慢一点，奇偶性这个东西反应的慢一点，那这个都是我们在基础班的过程当中训练的这个内容，你一定要稍微有点基础再来听这个讲话。好了，这个内容我们就过去了，来再来看看下面一个问题。

我们来讲讲有界性的判定问题。因为函数的性质啊，有这个什么奇偶性？对吧，周期性，单调性，还有这个有机性。那么，奇偶性的东西，我们刚才已经把它处理清楚了，那周期性的东西啊，其实考试不是重点。然后第三个事情就是我们的这个什么单调性，单调性，我们会放在一元函数微分学当中啊，

重点来讲，所以今天啊有界性。是一个重点。那这个内容是非常非常重要的，对吧？有界限是很重要的，那么首先我们先来看看第一件事情函数的有界限的定义。很困。这么高能的部分的东西，对吧？所以你要注意一个事儿，你得把这个基础部分的内容啊，你稍微的话呃，要有一定的基础，然后你再来进行去听这个板块内容。

啊，是一定要这样的，而且这个板块的课程一定是对你自己进行去提高，最快的一个部分课程，你看我讲了好几个专题了。他都在干嘛？这个题型怎么操作？这个题型的方法是什么？所以一定要把这个事情啊，你要掌握清楚，你必须要有一点这个质的提高。所以我觉得这个今天的时候啊，你得好好听这个强化的过程，当中肯定会稍微的会有点难，这是很正常的。

但是如果你来听这个课程，你每节课听的时候你都觉得哇好简单，怎么这么简单，怎么这么啰嗦，那我觉得这个课程你都不用听了。你原来的这个基础啊，都足够了，所以说我觉得这个今天部分的内容啊，一定要好好来好，那么接下来我们就继续我们来看看有界限这个问题。那么，首先我们先看第一个事情函数有界限的定义。对吧，有定义啊，这个人定义他定义怎么说的呢？

他这样说的，他说。一定是什么呢？存在了一个数。存在了一个大于零的数。然后使得对于任意的x属于这个区间。然后都能使得什么呢？都能使得这个区间内的函数。小于等于这个数，我就可以说什么，我就可以说这个函数在这个区间内。一定是连续的。能理解吧，所以你发现这其实就是这个定义，但是很多同学过去不喜欢这个定义。

那么，接下来我们来进行去解释一下这个定义啊，这个定义啊，其实解释起来比较简单。它说有一个数。只要是这个区间内的什么呢？只要是区间内的这个函数。啊，只要是这个区间内的函数。那么，接下来我们来看看这个事儿。比如说举个例子啊，我们谈论的区间假设是从这儿。到这行不行？好了，

那么接下来看。如果我们讨哎呀，这个你看到了，你就改一下就行了嘛，怎么上课的这个有时候写字写多了啊？好了，那么接下来我们就继续你看。那么，这个人假设我们讨论的这个区间是这个区间。只要什么呢？只要这个区间内的函数，它是小于这个数而大于负的这个人。那这时候呢，我们就说这个函数是有界的。对吧，

就说这个函数是有界的，所以有没有界呢？就看看在这个区间内，这个函数能不能被两条线给夹住？比如说举个例子，你看这个人。它是这个情况。如果你在这个区间内，你能够被两条线给夹住，你就是有解的。只要你能被夹住，就是有劲，但接下来我们再来讲这个问题，我应该是零基础提前学讲的这个事儿啊。那么今天但是我们不提之前了，

我们谈以后行不行？啊，以前的事情我们就不谈了，那么今天只要讲的这个内容，一定要把它消化了，请告诉我x分之一有没有解？有键还是没有键？有界吗？大家注意这句话是有问题的。对吧，这句话有问题的，你比如说我谈论一下s分之一，在一到正无穷有没有解？这个范围有没有减？你看这这这都有问题了。

如果你在这个什么，你在这个区间内，你看你能被两条线夹住，你是不是又接了？有些既要有上解，也要有下解。是吧，这时候是有界的，但是你再来看零到一的时候有界吗？零到一的时候是这样。你能被两条线夹住吗？你夹不住，所以说这个时候就没有解。是不这个问题，你要看区间。

一定要去看这个函数在哪个区间有解？所以如果说做区有界限的题啊，一定要看准这个函数在哪个区间内有界，如果这个题啊，它没有说。对吧，没有说没有说在哪个区间内有界，那就指的是在定义域范围内有界，听得懂我的意思吧，所以一定要注意啊，这个有界这个东西啊，一定要注意它是跟。区间进行挂钩的。是不是这个色儿到了这个今天的时候呃？呃，

这个听课的时候啊，你稍微的话进行注注意力集中一点，这个不是哪来的，这是我写的。这是我出了一个题，能听懂我的意思吗？我说在这个部分当中，他有没有解在这个部分？他有没有解我出了一个题，不是哪来的？你上课听课要注意一点啊。然后另外一个事情，你作为这个强化班同学，没有这种水平的吧，也就说哎，

老师，我觉得有戏啊，你看你不就被这条线。和这条线夹住了吗？我的天。你不要这样，一定是被两条横线夹住，你不要再胡扯，对吧？夹不住的，你看这原来的时候，零基础提前学有人问吧，说老师我觉得有接啊，你看这条竖线这条。对吧，

你看这个知识点的问题。好了，这是这个事儿，所以你要了解清楚，有界限，就是看看在这个区间内有没有界，就是看能不能被两条横线给夹住。如果能够被两条横线夹住，它就是有界的。好，这是我们讲的这个第一件事情，来再来看看第二个知识点。请注意这个内容，得复习啊，再看第二个内容，

局部的有界性。那局部有界限呢，我们来重点来说一下这个事。你看说个什么问题呢？说这样的一个事情。如果x趋向于x0。如果这个极限是存在的。你看第一个事儿。如果这个极限是存在的，那我想问你个事情。这个函数。在这个趋向下，有没有解啊？有没有解？有借导。

一定是有界的，那么这件事情啊，其实非常简单，你想想一个事情。极限是a什么意思啊？我们来看看这幅图啊。后面我们讲定义啊，我们还会讲这个事情，如果这是s0，你请回答我一件事情，这幅图的极限是不是a啊？注意啊，极限跟那个点处的函数值啊，没有什么关系。如果你说这个极限呢，

这个点处函数值到底等于多少呢？这个没有关系。这幅图的极限就是a。你比如说你的极限是三。你极限是三，你附近的人就接近于三，你附近的人接近于三，你就能被二和四夹住，这是最简单的理解方式。你身边的这些人接近于三，你身边的这些人肯定是有界，但是很远处有界吗？你比如说你看走你。没有界了吧？你看就没有界了，

所以它只能说明什什么事情呢，它只能说明身边的这些人有界。而且跟这个点也没有关系。注意啊，跟这个点也没有关系，你只能说什么呢？什么叫在这个趋向下呀？趋向于这个点，没有到这个点，又跟这个点挨得很近，这叫x0的去心邻域。哎，去心里。能理解吧，去心领域诶，

这是他想讲的事情。所以只能说明去心领域内有界，跟那个点没有关系哦，然后接下来我们再来看第二件事情。好，继续看。那如果这个极限结果是无穷大呢？你再来看，如果这个极限结果是无穷大，它在这个趋向下有没有结呢？那么接下来我们再来继续来看。哎呀，你去卫生间，你去就行了，你不要告诉我啊，

好那么接下来我们就继续这是y，然后这是零，然后这是x。那么这个时候你看，如果这里面当中我们来画一幅图。你假设这是s0。对吧，如果这个人极限，结果是无穷大，他就是这个情况。你极限，结果这个人是无穷大的话，你看你身边的这些人就接近于无穷大。你身边这些人是不是就没有接啊？所以你看这个部分呢，

它就没有接。跟得上我的意思吧，所以说它是这样的一个内容，如果这个趋向下的极限是存在的，在这个去心领域内是有界的。如果这个极限结果是无穷大，在去心领域内是没有解的。能听懂我的意思吗？那同学们想想，我改一下，如果这个人改成趋向无穷大呢？那趋向无穷大，就说明在趋向无穷大的时候，它是有阶或者无阶的。能听懂吧，

你可以把这个。趋向改一下，比如说趋向于这个点正呢，就是右区心领域内有界还是没有界？行，我们稍微休息会儿吧啊。好，我们稍微休息会儿，一会儿我们再来讲，原本我想讲到这儿呢，对吧啊？讲的这个开区间的这个有界性比较重点的这个内容呢？行，你下课的过程当中，把这个知识点温习一下可以吧？

下课的时候啊，把这个知识点好好去想想啊，温习一下这个事情，所以我觉得呃，最近一段时间啊，大家这个。复习的这个任务还比较多一点，对吧？你不光的话，这个有这个数学，所以你上课的时候一定要全神贯注。上课的时候一定要注意力集中一点，然后下去的时候再稍微进行整理，然后就可以进行去完成这个作业，然后这个数学的复习时间那就过去了。

你还有这个什么英语啦，对吧？你还有这个政治啦，你还有专业课，你还有逻辑和写作呢，所以暑期的时候一定要把每个板块的东西啊，你先铺好。好了，那么这个事我们就说到这行吧？

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