02.396数学基础通关大模考2【讲评】-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:04:12

好同学们，行，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个第16题啊，再来看看这个题呃，这个题啊，其实首先第一件事情你得画一个图像。对吧，你得把这个图画出来，然后接下来我们再做这个题。那么，首先我们先看第一件事情y等于s方一减s方s等于零s等于一减s方好画吧。一减x方长什么样子呢？其实就是一个倒扣的抛物线，而你发现这个巅峰是多少？

y这零这是s它就是这样。对吧，这是个一。啊，这是要注意的，这是一减x方y等于x方是谁呢？y等于x方是这个人。x=0，是y轴。x=1，是这个人。能听得懂吗？所以大家告诉我，围城的区域是哪个区域啊？应该有两个部分，

一个部分是在这儿。还有一个部分在哪儿呢？还有一个部分在这儿。唉，有这两个部分，其实这个中间的这个交点是多少呢？你看选项都能看出来这个选项二分之根号二。你可以试一下，对吧？这个点肯定就是二分之根号二。你可以往上带一下你二分之根号二的话，这是二分之一，那这也是二分之一，你都不用算了，对吧？

好，那么接下来我们来看看这个人。怎么做呢？它要绕着谁转一周，绕着x轴旋转一周。你绕着x轴旋转一周，你就首先第一件事情复习下这个公式，你还记得绕着x轴旋转一周的旋转体体积公式是多少吗？我来给你稍微的复习一下。就说如果这是一个二维的迪卡坐标系，然后上面这条曲线，这条曲线是y=fs。那这个时候这个点是a点，这是个b点。好，

这个区域那么上面这条线和这块围城的这个区域，然后旋转一周呢？那这个都没有二啊，你看这背公式给忘了。那是多少a到b派倍的fx方ds？啊派倍的fs方ds呃，我发现一个问题啊，这个公式啊，实在是记得不熟。呃，大家不用担心这个事，强化班过程当中，每天上午的时候我会组织一下这个公式测试。能理解吧，会组织一下这个，

然后。我们三九六其实没有那么的多。啊，没有说多到什么程度，然后到了这个高等数学结束了之后，我把那个东西再给你汇总一下，然后你们再系统的一下做一下这个公式测试。你而且还不用尽心担心，到了那个冲刺阶段呢？我给你看看啊。好，这是去年的。呃，到了这个最最后啊，我们还有这个考前21计，

今年我发早一点，我今年的话大概的话是这个十月一，也就是国庆节。呃，期间我去给你发过去。所以像这个基本上是分成了这个21天。每天过程当中，你自己要记的这个公式我都给你放在这上面啊，像这些公式还有一些重点的部分的东西我都给你放在这个上面。呃，所以说这个今年可以发早一点，今年的话，这个11期间就来了啊。你到了最后的话，需要进行去记的这些公式啊，

你把它好好记一记就行，对吧？这些重点的内容，把它好好记，你说如果说你做一个题，你说你是公式背不过。我觉得也不太好，那当然呃，今年会比这个还详细啊，里面当中啊，去年会有这种，你看像这种题。你能不能一眼瞅出这个导函数，对吧啊？就像这种东西，

还有到了这个后面的话，会有这个操作，你比如说还有什么呢？这个求单调区间的方法怎么办？求凹凸区间的方法怎么办？求最值的问题怎么办？啊，还有这个情况，那还有这个。好，这个东西吧，后面我们再说行，那么接下来回来呃，所以说接下来我们来看看这个旋转体体积。对吧，

绕着x轴旋转，一周的旋转体体积对吧？怎么看那么首先我们先来看看这个第一个部分旋转体体积？能理解吧，好第一个人好先看第一个部分。那这个旋转体体积啊，你先看大的。就是这个整体的这个部分大的，这个部分的话，其实是这条线旋转一周吧。派倍的这个人的平方ds。你再减去谁呢？你再减去派倍的这个平方ds。所以说这个时候我们来看看这个事，那走零到二分之根号二那走派倍的，

你看第一个人平方上面绿色线一减x方的平方。再减去下面这条线x方的平方就是四次方好ds好，这是第一个例。可以了吧，来再来看看第二个部分，那第二个部分是从多少呢？从二分之根号到一。那也就说现在是。这条线。这条线跟底边这个区域围成的旋转一周的体积，然后你再要减去多少呢？你再减去下面这条线。红色线，所以接下来我们就继续写上面这条线来派倍的，上面这个平方四次方，

下面这个线的平方一减x方的平方。dx，好，这是这个人真正的写，应该是这样子的。那么接下来我就要问了，你好好进行去听一下，你会发现一个事儿。如果这个人呐，你假设这是f1s，这是f2s，我问一个事情啊。这个旋转体体积啊，其实有些同学都知道怎么做，但是有一个细节没做好，

你如果这个大的这个体积就是。a到b派倍的f1s的平方ds，这是大的体积吧？然后再来看小的体积是多少a到b派倍的fx 2，这个人的平方ds。是不这两个一减？是平方做差还是做差的平方啊？当然是平方做差，有些同学是这样写的。写的是f1 s-f 2s，这个平方在点s，这就错完了。对吧，大的体积是派倍的fs 1方ds。小的是什么派倍的fs 2方ds？

所以说一定是什么呢？一定是平方做差，不是做差的平方。所以对于这个题而言，正确答案选几啊，应该要选择a选项这个结果。反正这个b选项和d选项肯定不对。容易出错的点呢，你看e选项也不对，不是二排。容易出错的点是c选项。能理解吧c选项。做差的平方。坐差是。做差的平方是面积。

不是不是，做差的平方什么鬼都不是。那就什么都不是了。一点原理都没有。啊一点不不是你，你想的是什么呢？你想的是零到二分之根号二上面减下面是这个面积。面积再来，积分就是旋转体体积吗？啊，面积的派倍的面积的平方是旋转梯体不是的。不是的，你看你这个部分的旋转体体积也不是因为是这个部分的面积在平方。不你的公式理解错了。公式理解错了，

它不是这样子的，就是这个旋转体体积的这个公式不是说派倍的s就是派倍的面积的平方ds。不是的。你把这个事情想错了。它就不是那个面积，它跟你这个什么，你这个相减的话，然后再平方，它不是这样子的。你就会理解上面这有个天线围成这个区域，它的旋转体积是派倍的，它的方ds。对吧，下面这是派倍的，它的方体s就是两个一减嘛，

大的体积减小的体积嘛。这什么鬼都不是啊。你你你有点呃，这个可能把之前的话，这个旋转体体积啊，你理解错了啊，跟那个面积没关系啊。好了，我们再来看看弧长。呃，这个题啊，其实比较简单，那这个弧长等于多少呢？首先第一件事情，这个星行星你其实都不用画，

它是转一圈嘛。心形线是转一圈，那就是零到多少二派，那这个心形线是什么？它是个极坐标，那其实就是r方。加上r对西塔求导的平方d西塔，这个题没有做出来的主要原因呢？一个事情可能这个星行线建的有点慌了。第二件事情根本就是弧长公式给忘了。对吧，就是把公式给忘了，然后接下来我们来算一下，零到二派根号下。那么，

这个人平方是多少呢？一+cos塞塔的平方，然后求导呢？一求导是负s in负s in，然后这个平方是s in方d塞塔。然后这个时候的话就变成了零到二派来，我们再来算。那就是一+2倍的cos塞西塔。然后是cos方s in方又来了一个，那就变成了二倍的它。是不是这个情况，所以说做成这样，那做成这样呢？把根号二提出去，零到二派根号下一+cos西塔告诉我怎么做？

啊，当然还有第三种同学，可能这个分不会记，我们都说了，如果cos和一相碰，立即二倍角公式干掉这个一二倍的多少？二倍的cos二分之x方。ds对吧？二倍的二分之这个什么x方cos二分之x方这个什么再减一加一就没了。所以说两个这个根号二就没了，就变成了这个人。然后这个时候一开方应该是cos 2s的绝对值ds。啊，绝对值。然后这个绝对值啊，

你要稍微进行注意一下。可能有些同学在这个分的，这里面稍微的出现了点问题，我建议你还是先换个圆吧。令多少呢？令这个二分之x先等于t，那这个时候是二倍的零到多少派，然后这是cosine t。s是二倍的，那就是二倍的，那是四倍的dt，然后教你怎么做呢？你就这样做。你画这个图是最简单的，你cos原本是这样，

但是你绝对值一下就翻上去了。那这是派，然后的话，这个办公面积是一，这是一，所以说这是二，因此这个结果是八。能理解吧，所以做这种题啊，速战速决，你不要在这个里面怎么做呢？写成零到二分之派。你是正的。二分之派到派cos是负的，然后就是相反数。

不要那样做，那样做就慢了，你这个速度一定要站上来。好了，这个题正确答案选几啊？正确答案选b选项这个结果。好，这个题啊，掌握清楚给我回复一啊，我觉得这个题也提了一醒，有些同学这个积分呐，又给忘了。对吧，这个积分运算给忘了，然后另外一个事情呢，

其实就是这样的一个弧长公式给忘了啊，这两个问题来再来看18题，18题比较简单。先来看第一个点。他说，这个fs在这个零零呃，这个附近有零一。然后说这个x偏导数等于3y的偏导数等于一。大家想想，两个偏导数都是这样，这叫什么？这叫可导吗？对吧，两偏导数都存在叫可导，那可导首先第一件事情不连续没问题。

而x偏导数什么意思呢？就是先把y=0代进去，然后这个人再挤出的导数呢？在x=0处的导函数，那这是三没问题y的，偏偏导数定义就是先把x代进去。然后再在y=0处的导函数等于一没问题，但是你要注意d选项对不对？绝对不对。那他说那应该是对的呀，那x偏导数3y的偏导数是一那全微分不就是x偏导数d sy的偏导数dy吗？大家注意，只有什么情况，只有可危的时候。全微分才会等于偏xd x。

偏y，然后dy。必须是可为你现在仅仅是可导你推不出来，可为当然不行，然后第二件事情你再来看这个人。e选项是很多同学的起因。e选项对不对？很多同学可能选了一了。e对不对？很多人说d对着呢，其实这个题应该选d这个题出的还可以哦。有人选e了，绝对不取极值，为什么呢？因为我们都知道取极值，

极值的可疑点有两种。要不然都是导数为零的点，要不然是导数不存在的点。你又不是导数为零的点，你又不是导数不存在的点，所以说你连可疑人都不算，你当然不取啊，那肯定对着呢。所以一定要注意进行曲取极值的这个事情，它有一个什么它它有个可疑点，只有两种人才能最后成为极值。一种人具备了导数为零的特质，一种人具备了导数不存在的特质，只有你具备了这两种特质，你才有一点可疑心。

你才会娶你，连可疑心都没有，你娶啥呀？这件事情我上课讲过吧，其实我唠过这个事儿好了，这18题那么接下来再看19题，19题就简单了。来速算型看这个。pn zpns.那么，首先先看第一个事，这个y是个常数。然后是先对中间变量求导。中间变量对s，这是2s。

然后是偏z偏y。那偏y的话，这个前面是这个y，所以说前倒后不倒。然后再加上前面不导，后面来导先对中间变量，求导中间变量对y呢，这是负2y。所以我们来看看这个第一个人要乘上多少，要乘上x分之一，对吧？你这个人要乘上x分之一。你乘上x分之一的话就是二倍的yf一撇儿，可以缩写的，不要带角标，

然后第二个人要乘上y分之一，俩人一加。那这个人其实就是y分之一f。然后这个时候再约掉一个y的话，再减去二倍的yf 1撇。而二倍的yf一撇就约掉了，因此就留下了y分之一fy分之一ff，其实就是这个人。所以说，正确答案选几选a。好了，这个题没问题吧啊，这种题是送分题啊，你考试当中这种基本题你肯定要做对。对吧，

就是缩不缩写的话，你自己看着办啊就行了，反正这个题一定注意，没有角标啊，其实这个选项也告诉你没有角标。好，我们再来看看20题。再看这个题。一个二元函数由方程确定，二元隐函数。那二元隐函数让你去求一阶偏导数，是不是用公式法啊？所以第一步先找三元函数。三元函数怎么找呢？来移过去，

一边摆零。一边摆三个函数x方y方z移过去，然后首先第一个事情是偏z偏s，我再强调一遍。这次没有出现问题吧，这个前面是不是有个负号啊？所以说要注意这前面有个负号，先是对谁呀？先是对s来。fi先对中间变量求导。对吧，对这个括号里面求导，它是单一中间变量。那我就缩写成它，不要带角标，

中间变量对s求导呢，这是一，然后再减去多少，再减去2s。好再对z，先对中间变量求导，中间变量求导是一，然后这个人再加个一。没问题吧，然后再是偏z偏y。下面是一样。然后对y先对中间变量求导。中间变量再求导11再减去200。然后这个时候啊，我们来看看这两个东西相减，

就是你减去你。那你这两个东西相减是多少呢？你这个两个东西是负的对吧？然后这是反一撇加一同分母。那就是上面减去下面，你上面减去下面这两部分就约掉了，然后这一减一减的话，其实就是二倍的。y-x，然后把这个负号放到这儿，那就是x再减y。然后这个x减y和这个东西约掉了，其实就等于phi一撇加一分之二，所以正确答案选几选a哦。好了，

这个题啊，没问题，给我回复一啊，应该还可以哦，这是20题。可以的吧，来再来看21题。21，21题，这个题啊，他说让我们继续去判断这个人在这个注点处的机制情况，那说明这两个点。偏导数已经为零了。那我就只需要怎么办？去求二阶偏导数呗，

先求s1阶是四倍的s三次方，然后减去2s，再减去2y。然后再对y进行求偏导数，那就是四倍的y的三次方，然后再减去多少诶，这是对x，然后的话，这个是。四倍的y的三次方，然后对y的话，这是2x，然后对y的话，这是二的什么2y？好了，

这是这个情况，然后接下来我们就继续，我们再来求s的两节。s两阶的话，这是12倍的s方，当然可以用对称性。对吧，可以用到这些，也就说这两人的地位等同，然后接下来我们继续看来再减去二，然后这是xy的这个混合。混合的话，这个人对y求导呢，这是负二，然后再对对YY的话进行求导，

就是这个人再对y，那就是12倍的y的平方再减二。那么，首先我们先来看看第一个事情啊，这个题你别打点给我取消，赶紧给我去了，这题没什么可打点的好，我们先看第一个事情。一一这个点啊，先带到这个人当中，求出AA是多少a是10b是几负，2c是几？c也是十，所以说这个b方减AC什么0b方减AC小于0a什么零大于零。所以说这个是极小值，

然后第二个事情的话就是负一负1a带到这个第一个人里面。第一个人里面的话，你看他还是个十，然后b呢负2c呢还是十，因此的话，这个人还是这个情况，因此啊，有两个极小值选c。好了，这就是这次的高等数学的题啊，这个高等数学的这个这次的考题啊，难度系数不是说那么的大，但是。对吧呃，提的这个难度系数不是说顶大的那种。

但是我觉得有一件呃，讲一件让大家的话，这个稍微会有点信心的一些事情。其实你会发现啊。去年的话。考研到了那个后期的那个模拟卷的难度系数啊，也就是这样，这是去年的一个情况，就去年你看这两次考试，你去年那个模拟卷。呃，当然的话，有个别模拟卷，因为有好几套卷子，好几套卷子里面当中个别的卷子里面可能会稍微的难一点。

好多卷子的难度系数就是这样，所以去年为什么这个三九六可能很多同学最后那场考试啊？考的不是说特别好呢？因为你发现到了11月份呐。他达到这个这个水平点呢，他有的时候都觉得非常的难。这其实就是一个问题点，你说今年的话，我们时间已经这个呃推前了很久了，而且我们这个强化还没开始呢，你放心吧，这个。强化是一个非常重要的一轮。强化是非常非常重要的论，我们还没开始呢，

你要有信心啊，那我相信通过这个强化训练完了之后你再回看的话，这个效果就非常好了。所以这两次考试啊，其实一个普遍性的问题，第一个点知识忘了吧，第二事情公式没记住吧。第三个事情有些操作没有形成体系吧？对吧，你的操作没有形成体系吧，举个例子，比如说单调区间的求法，没有章法。比如说碰到一些什么，比如说这种当然方程跟这种事情，

我们另当别论，比如说碰到有一些这种求解什么，比如说这种定积分的计算的问题。比如说求解一些这个呃，比如说我们的前面的导数的问题啊，求解这个多元函数的这块问题，你这个定式思维能力啊，你给忘了很多。但我相信这个考试啊，对你而言是一件很很有意义的事情啊，通过这几次考试，你一定是能捡回很多东西的。好，慢慢来，来我们再来看看线性代数。

这个题啊嗯，是不是花了很长时间啊？就这个题。哎呀，这个题我觉得。你你你要是做了两分钟啊，我觉得你都不好意思。那么，首先我们来观察一下，你看流沙法。你别流沙发了，流血了。来，我们来看看这个题。但是这种题就是这种感觉，

你看你这是xyz，你这是x- 8 x- 8 x- 8来。把这个什么情况？把这个八倍加上去，你八倍加上去，你看这就没了。哎，你就往上靠。对吧，做成这样，所以你看这是xyyz，然后这是一你看xyz 1就是个转值，但是有一个问题，这是三零二啊。七怎么变成三减去四倍？

减去四倍就变成三，我把下面这个人四倍负四倍上去变成三零。四倍变成二哎，这个东西不就变成这样吗？哦，你看看刚刚好。我下面这个人的8倍加上去不变。我负四倍加上去不变。好，做成这样，转置之后又不变，所以一答案选a。好了，这是这个题呃，等你将来拿到这个强化的时候，

你去看强化的线性代数，我们里面很多有这种技巧性的的这个东西在这里面。我相信一定是能很好的一个提高，你想想这像不像我们三九六考题的感觉？真的就是这种问题。你去看看三九六的话，我们这种出题，它就是这种感觉，难也不难。里面当中需要有一点那种技巧性的东西在这里面，你又有非常强的观察能力。这就是我们那种考题啊。好了，我们就继续，我们再来看下面一题，

再看这个人。好，再看这个题。他说如果这个其次线性方程组啊，注意啊，这是x3对吧？其次，线性方程组有非零解。那你想如果这个其次线性方程组有非零解。什么意思啊？马上的话，看看等价条件是质小于它的列数。那这个时候才有非零解，那这个时候其实而言还有一件事情，行列式会等于零，

那这个时候你看看这是幺幺兰姆达。一拉姆达拉姆达拉姆达一一。那这个情况你直接用行列式等于零，是不是简单一点？那我接下来问一个问题，这个行列式等于零，所有的解都满足吗？都满足。所有涉及行列式等于零的，它都是质小于三的情况。是吧哦，这是一。好，我再说一遍，你发现只要你行列式等于零，

我这个质都会小于三，我质都会小于三，我都会有非零解，所以这个行列式等于零，它都算我里面。我们怎么做行和相等行吗？然后这个时候你就把它怎么办都加到第一列去。都加到第一列去，然后把这个拉姆达加二抽出去，能听懂吧？这变成了幺幺幺拉姆达幺来姆达幺幺。好，这个点，然后接下来怎么办？聪明一点，

用第三行为基准，然后进行去反销，对吧？哎，稍微聪明一点。减去上面这是零，然后这是拉姆达减一，然后这是多少零？然后这个时候的话再减，这是这是零，然后这是零，这是拉姆达减一。你当然可以按照这个进行去展开啊，这无所谓，你想怎么做怎么做，

然后你说什么副对角线啊都可以。对吧，负对角线都可以，然后这个时候这个结果就是多少呢？呃，这个结果其实就变成了我们看看。那其实就是这个行列式。主线是零，那是负一倍的，拉姆达减一的平方=0。所以说这个结果，那就是一也可以负，二也可以，对吧？一也可以负，

二也可以，所以答案选几选b。哦，改成负的了是吧？啊，正导是正的塔行吧，没关系啊，你学会了就行了啊。你学会了就行，是加上x3。加上x3选b哦。可以吧啊，如果的话，你发现这是个负的，那肯定考的是正的，

它就想考行和相等型嘛。好，这个问题行，可以的话给我回复一。好了给我回复一啊，可以的话给我回复，一来我们再来看看下面这个题。24你看这个题呃，这个题其实是我们在考研的时候啊。为什么算出来要验证？不不不，是不是。你发现啊。来我把这个东西捋一下。你看其实这个其实就是思路没有梳理清楚。

你发现非常混乱，你就不知道这个它是这样的一个问题。你看如果说什么呢？如果其次啊，比如说。有非邻解。它的充要条件是什么？它的充要条件其实就是质。小于n只要你比如说它是方阵啊。如果你质小于n，那你行列式等于零的都算。那非其次，为什么检验呢？也不是说非其次，一定要检验你，

比如说对于一个非其次线性方程组而言。你行列式如果不为零。这是不是都是唯一解的情况，这个时候要不要检验？这个时候不要检验。只要行列式等于零，都是我唯一解的情况。那么，接下来我们再来看你行列式，如果等于零呢？你推出的是无解或者是无穷多解。你有可能是无解，有可能是无穷多解，所以比如说有一个题啊，他是这样说的，

他说我这个人。有无穷多解。对吧，我这个人有无穷多极的？那行列式等于零推的是无解或者无穷多解，但是无穷多解一定能推出行列式等于零吧。所以你就用行列式等于零来做。但是大家注意你行列式等于零，你看你无穷多解，一定是行列式等于零，但是你如果用行列式等于零，比如说你求出了一个是四。一个数那行列式等于零，一定是无穷多解吗？这可未必。

因为也有可能是无解。所以才要进行讨论。你能听得懂我的意思吗？就说你无穷多解行列式，一定等于零。但是行列式等于零，可不一定是无穷多解，也有可能是无解，所以你求出了好多结果的时候，需要进行讨论。能听懂吧你，比如说唯一解的时候，你行列式不为零，就是唯一解你，唯一解就是行列式不为零，

这有啥讨论的？你行列式等于零，那这人就是非零解，你非零解就是行列式等于零，行列式等于零，算出的结果都算，那都不用讨论了。好了，理解清楚了给我回复一，不要背。有理解快速一个理解就出来了啊，你就看看这个东西能不能就说你无穷多解，你推了行列式等于零。那么你行内是等于零，也有可能是无解啊，

所以说这时候要检验来看24题。那这个题考的是什么呢？那其实就考了我们这个啊，其实对应的是初等变换的问题。那么其实这块有个p。p是多少？交换了一二行。也可以看作成交换了一二列。如果左乘。这是交换了一二行m次。这是交换了一二列n次。大家注意哦，这个左乘这个事情你要听清楚，这件事情所代表的这个问题就是。所成是交换对吧？

行，那就是交换了一二行进行了m次。然后这个人呢，他叫做交换了一啊，这个什么左行右列嘛，一二列。n次这没问题吧，然后我们再来看a怎么到达b的？a到达b的话，这是一二三。对吧，第一行第一个。然后是这是第一行呃，这是第一行，第二个第一行，

第三个有没有发现？这个第一，这原来是第一列的吧？对吧，原来是第一列的，然后这是原来的第二列的。你其实而言的话，就是你把它的什么东西呢？一二列交换了一次。对吧，一二列交换一次就行了，交换了一二列。所以你要注意一个事情，其实行动了还是没动，没动其实行这个部分没有动。

所以说你比如说交换的一二行，一二行，一二行，一二行必须是偶数次。然后这个列呢列交换呢，一次两次一次两次就是你发现一个事，就是如果是偶数次就不动这个人必须是个奇数。所以m必须是偶数。n必须是奇数m是偶数n是奇数，一个是偶，一个是奇，答案选几选d。能听得懂吗？这个题其实不难，你就看a怎么跑到b的，

就是交换一二点。对吧，所以说这个交换行的这个东西必须是偶的，然后这个列必须是奇的。来再来看这个题，25题。那这个题其实不难了。那么，这个题只要见到伴随矩阵，立即想到万能公式直接写k倍的a逆。k倍的a逆的伴随等于k乘上a逆的行列式乘上一。然后这个时候这个结果是多少，你再来看看这半边。然后这个k这个人出去变成了N次方，对吧？

N次方，然后是这个人的行列式，这个行列式等于a的行列式分之一。一这能看懂吧，然后紧接着你发现这是ka逆，它的伴随两边约掉个k，这还有个k的n- 1次方。然后把那个a，然后进行怎么办？组成过来那a有a的就不要一了，所以就是这个情况。那因此这个题的答案呢？一定是k的n- 1次方，所以这题正确答案选b啊，你这题不可能算很久的，

这题就是几十秒的事情。好了，这是25题，然后再来看看26题。这不用打点啊，这这是非常快的。啊，你们是不是公式没记住啊？k乘上一个矩阵的行列式等于k的N次方a的行列式。是不是啊？还有a逆的行列式等于行列式分之一，你这些公式都得记住，你要做的慢的话，可能是公式不熟。呃，

但是公式部署啊，两个事情你可以在这里面当中把这个单独的公式啊，你多记一记，另外事情你可以通过在做题的时候做一个记一个，做一个记一个。多练练。好了，我们再来看看这个题，那这个题啊，就要进行去考什么，它就要考质的问题。那考质的问题的话，那么接下来我们来操作一下，说k=1的时候。还有说k=- 2的时候。

那么所以说这个题你怎么去操作呢？那这个题呃，走哪个路线会简单呢？你其实就直接变换也行。对吧，你可以直接变换，那这个a你其实就变换一下，只是一这是负二这是3k。你也可以带选项。那带选项呢？你叫我看看。一个一，一个负二。嗯，还行哦，

那你就带选项。你把一带进去。你再把二带去啊，那我们就看看呗。这是一代进去好，我们先看一，如果k=1的话，这是一负一，这是一。然后这是负二，这是二，这是负二。然后这是三。这是多少负三？这是三。

而这个每行是成比例的吧？那这每行成比例的话，是一负二三，那是零零零，那这是这是一，所以答案选几选b啊这题。很简单，对吧？带个选项，然后再把负二带进去，你再来看这个值啊，那可以。那我问一个事情。如呃，比如说我说一个事情，

我如果只让你检验e选项，怎么检验最快呀？啊，同学们呃CD我就不讲了，怎么检验e选项最快啊？当然这个题不用做e了。那如果我让你去检验怎么做最快啊？是变换吗？不是的，检验这个人满不满志，就看这个行列式为不为零。能听懂吗？就是这个东西不唯一的时候，这个注意代值也不行。代值不行。

呃，我先讲一下这个就是排除法的理论呢。比如说你带零我举个例子，如果你带零的时候，这个值等于二，你可以把它排除了。如果你带零的时候，这个质也等于三，你能说它等于三吗？它说的是k不为一的时候都是三，你说零的数是三，你就说所有数是三嘛，那不行你再呆。你再带，所以这就是一个问题。

我再捋一遍啊，如果你代值的时候，你比如说你可以代个零，你代个零，这个这个值等于二诶，它说错了，有一个说错了，它就错了。但是万一它就是一个词，就是三呢，你还不能说它对你还得继续，所以就麻烦我来说一下，你检验这个质满质的最好方法。其实就看这个行列式不为零就行了。做这个东西行列式要比这个质简单。

好注意下这个事情来，再来看27题。再看这个题呃，这个部分应该是a上午改过了吧？哎，这个部分是a来，我们来看看这个题，这个题非常简单啊，这个题。这个题非常简单。它们是线性无关的贝塔，一由它来表示，贝塔二由它表示，贝塔三由它表示，立即把它写成什么。

立即把它写成矩阵相乘的形式。还记得吗？矩阵相乘，那矩阵相乘的话，这是负一零三零负1a，然后这是一零负一。那么，大家想，如果这个东西是线性无关，我必须要保证充要条件是什么？充要条件就是这个行列式不为零。一零三零负1a，一零负一这个行列式不为零，以第一这个这个人，然后这是零负1a，

你可以加过来，这是零零。加过来呢，这就是二，所以说这个时候的话就以第一个人展开，就是这个行列式，那这个行列式是多少？诶，你叫我想想。这个题。哦，负一三零啊嘿。看差了。这是这是第二个是吧？零啊，

这是三零。第二个没问题，所以这个行列式那么接下来我们就来看看这个行列式负一三零零负1a加过来零加过来三。加过来呢，这是负一那这个行列式，以它来展，这是负一，然后这个结果呢，其实就是一减三a不为零。所以说a就不它说线性无关a不等于三分之一就行选b。好了没啊？可以了啊，这是这个事情，你们得看仔细一点来，那么接下来我们就继续，

我们再来看28题。看这个题，那这个题啊，就说基础解析当中有几个向量？基础解析当中有几个向量是不看s。是不是啊？s等于多少呢？你要注意这个n是多少n是四啊？有四列n-ra。所以这个题啊，我们最终问题就要看a。啊，就要看a那看a的话，你这个人的话是第一个人一三二一，第二行是零一a负a。

然后这是一二零三盯准一点啊，这个东西你稍微看仔细一点，然后这个东西我们去变。一三二一零一a负a，然后减去第一行，减去第一行，减去第一行，减去第一行。然后加下来，这是零加下来，这是a减，它加下来是二减a。好，所以说我们来看看这个事来画下。就说如果这个a不等于二，

我们先看第一个事情，如果a不等于二的时候。那这个人下来质是几质是三，那s是几s是一，所以不等于二的时候，这应该是一个。然后第二件事情，如果a=2的时候呢？a=2的时候，这个行就过去了，这是二，这是2s是几s是二，所以说正确答案选几。选b啊。好了，

这是28题，这个题。过去了，可以吗啊？所以说就看这个质，你要知道它在考什么？来接下来继续再来看29题。29题啊，就比较容易了，这类目当中有一个特点，说的是相互独立。pab=PA×PB遇到减法，立即写减法公式，那这个人其实就是pa-pab。等于零点三。

那么所以说这个人其实就是PA独立的时候，就是PA×PB。然后等于零点三。现在这个PB，它其实就是PA乘上一减PB，一减PB也是零点五等于零点三，所以说这个PA等于多少？零点六那么，然后接下来我们看看这个结果，那这个结果就等于PB。再减去多少pba？那其实就是PB独立的时候，就是PA×PB。然后这个PB是零点五。PA是多少零点六？

PB是零点五，所以说五六三十，这是零点二，所以正确答案选几选b。呃，这个题没问题吧？就基本公式嘛，独立乘积的概率等于概率乘积。减法公式，减法公式。好，过去了可以吧？来我们再来看看这个题。这个题当中啊，有一个这个考点。

不要背啊，我不喜欢背。不喜欢这样的一个事情，就是这个东西你稍微进行去理解一下，你告诉我这个东西是什么意思啊？什么意思啊？就说你一这个人。你加了多少？跟我减了多少？你看你这是加了多少？你这是减了多少函数值是一样的？那所以说你这个图像不就是关于这个一对称吗？而且概率密度函数这个人呢？概率密度函数这个人又大于零。而且具有归一性。

所以它就会关于这个人对称。然后他又说零到二的时候是零点六，那零点六的话，这是零点三，这也是零点三。然后它说小于等于零，那小于等于零的话，这这不是零点二吗？那这也是零点二，所以答案选几选a。好了，这个题也比较简单一点，过去了可以吗？来再来看下面一个题。好，

他说了个事情。他说这个x的分布函数是它。四个性质概率密度函数是它f1s是标呃，这个不是标准正态，是正态分布的概率密度函数。f2s是参数为拉姆达的指数分布的概率密度函数。然后I小于零的时候是六分之一，然后让我们去求AB。首先第一件事情概率密度函数当中含有未知参数，先用归一性，那归一性的话其实就是。负无穷到正无穷fs这个人的积分结果是一。那这个积分可以是这个人积分就是a倍的f1s的积分，它归一，然后是b倍的f2s概率密度函数积分也是一。

他等于一这个能看懂吧？然后我们再来看小于零。好一小于零。如果你s小于零，其实是从负无穷积到零，然后对fs进行积分。那么，首先第一件事儿，你看这个人a先提出去f1s从负无穷积到0f1s等于多少？你想想这个人的对称轴是多少？对称轴是零小于零的，概率是二分之一，所以这是二分之一。再加上BB踢出去，然后又是从负无穷七到0f2s积分。

那么，这是指数分布指数分布你都知道，小于零的时候的概率密度函数都是零，所以这个部分是零。然后这个结果等于六分之一，所以说a等于多少三分之一列出来b就等于三分之二。这东西能看懂吧？好，31题过去了啊，来继续再看下面这个题。好看这个题。那么，对于这个题啊，其实复习了一个内容，首先第一件事情概率密度函数具有归一性，

你先把这个参数求出来。c倍的e的负x绝对值偶函数二倍2c，那就是零到正无穷e的负的x绝对值。你现在这个人大于零，那这就是xd x。你如果算的好久，这个题就做的贼慢了哦，那这个结果等于几啊？伽马函数推论吧，那这个人不就是这个什么东西呢？x的零次方嘛，零的阶乘是几一嘛？所以说这个人结果等于一。所以说这个c等于几c等于二分之一。然后另外事情分布函数那分布函数怎么做呢？

接下来我们来看看概率密度函数。那这个人的概率密度函数是多少是c倍的，你要注意分布函数是从负无穷积到s。对概率密度函数进行积分。而这个概率密度函数一定要写成ft。那么你想想是c倍的它。如果这个x是小于零。你想想这个事情，你ft这个人是c倍的，是二分之一倍的e的负的t的绝对值。t小于零的时候，这是负的吧？对吧？这是负的t小于零是负的负负得正一的t。t大于零的时候，

它是正的，那就是负t。跟得上我的意思吗？所以说第一件事情就把这个东西做出来，你还记得第二步吗？第二步干嘛来？画个线，你就从负无穷开始走，哎呀，你看一直是小于零，你走到这儿就对它几分。没问题吧，如果你发现你看从负无穷走诶，你超过它前段时候对它几，后面时候对它几。

在这个情况，所以这个时候的这个fs啊，它就出来了，第一段的时候是从多少是从负无穷。七到x对二分之一的t几分，然后第二事情是负无穷，到x对二分之一的t几分？你再加上多少到到零啊？然后再从零到x等于二分之一的负t积分。这是s怎么办？小于零，这是s什么？大于零，等于零，无所谓。

然后一算就出来了。可以了吗？同学们，就是第一件事情，用一下概率密度函数的归一性，把参数求出来，第二件事情知道概率密度函数求分布函数。拉条线对吧？拉条线，然后把这个人分出来，然后反正是从负无穷开始走。你自己算行不行？好，这是这个题来再看看这个题目。那这个题啊，

那么首先我们先来看看这个，这个题比较好做了。对吧，就比较简单了，你怎么处理啊？它前面是不是给了一个概率密度函数啊？这个概率密度函数啊，你就会发现它非常像多少，它非常像标准正态分布呃，不不是非常像正态分布。那怎么办呢？但正态分布它是这样写的，它是根号二派。你这来一个根号二派，你就要乘上根号二分之一。

对吧，你就要写成写写成根号二分之一。所以说这个时候的话，这个样子，它前面本来就有个二。你这块还要乘上一个根号，二分之一。你前面本来就个二。你前面本来一个二的话，这个结果的话，你又可以写成根号。然后是e的负的。x- 1^2，然后这个是多少二的平方？二的平方是四，

那能不能写成二倍的根二方？所以你会发现那这个东西就是sigma，这东西是缪，因此这个x服从多少标准正态分布呃，正态分布是多少缪是一。sigma是它平方商。那么，要想进行标准正态化x进行减MU比，上sigma才是n零一。因此，二分之x减去二分之一才是标准正态分布。因此，这个a是二分之一b，是负二分之一。所以第一件事情把这个东西往正态分布上凑，

第二件事情考了标准正态化。好了，答案选几选b。好了，这是这个问题吧，能跟得上的意思吗？好听明白的给我回复一。啊，哪个人呐？好，掌握清楚给我回复一。这33题。嗯。哦，抱歉，

这是根号二。嘿拉倒。根号二所以说是根号二，根号二分之一选d。啊，注意，这是sigma方。x-mu比上sigma，它才是标准废了。好了，这是一个。来那么接下来我们继续吧，我们再来看看34题。好，我们再来看，

确实还是需要点这一套卷子，35个题还是挺东西还是挺多啊？那我们继续吧，我们再看这个人。他说，这俩人相互独立。然后这个人的概率分布是这个人几个人的事情，两个人的事情，两个人的事情求联合。所以说联合线画出来s是零一二三，然后这是负一零一八。把边缘先画出来，边缘是三分之一三分之一三分之一二分之一。四分之一八分之一八分之一。大家注意，

不用说把所有人都求出来。对吧，不需要把所有人求出来，你只需要在这里面当中求x+y=2的就行。你发现零加上没有，一+1=2，二+0=2，哎，这个情况。因为这个随机变量是相互独立的。乘积的概率等于概率啊，这个什么等于概率乘积？乘积的概率就等于边缘这个乘积，那就是三分之一乘上这个人，十二分之一三分之一乘这个人，

二十四分之一。二十四分之一。那这两个加是十二分之一，六分之一选c。好了，这个题还是比较简单。所以像这种二维离散型啊，你做起来还是比较容易来，我们再来看看最后一个题，最后一个题啊，大骗子。非常的骗人。那么，首先他说这个人的分布函数在零处是连续的。这句话很重要，

分布函数在临处是连续。然后f0是多少？二分之一。然后另随机变量等于它。让我们去求歪的期望。大家一定要注意，你发现y这个随机变量，它只有三个取值。所以你告诉我一件事，这个y这个人是不是一个离散性随机变量？y其实就是一个离散型，随机变量，取a取b取c，你只能取三个人。那么，

首先我们先来看看第一件事情就是你这个人取a的概率等于多少呢？你取a的概率其实就是x小于零的概率。是吧，小于零的概率，而我们又看到一个事情，你发现。这里面当中告诉什么情况，你小于零的话，其实就是小于等于零，是分布函数在零处值吧？那我想问你个事，对于这个题而言。我们一般情况下，我们说。小于零是该点处的左极限吧？

是吧，小于零是该点处的左极限。而你发现一个事，其实就是分布函数在零处的左极限。这没问题吧，一般是小于等于该点值，小于该点左极限嘛，但是连续连续左极限也会等于函数值，那这不就是二分之一吗？所以这是二分之一。你再来看第二件事情。y=by=b的时候，其实是x=0的时候。s等于零的话，就是该点值减去该点左极限，

左极限也等于该点值，这是零，所以你放心，这也是二分之一。没问题吧，因此这个内容就出来了，所以你看你就要把这个概率往这个分布函数转一下就行了，来期望就出来了。二分之一a加上零，二分之一c，所以二分之一a加c选b。啊，这个题就是。这个题读懂题就简单。读不懂题啊啊，

它其实就非常恶心，所以我们一般情况下去看你，比如说这个随机变量的取值是离散的，它肯定是个离散性随机变量。能理解吗？你怎么老感觉我出题都骗人呢？我们这个这套卷子里面当中也有很多这种什么，这个中规中矩的题。你看过去，你就能进行操作，你不能有这种感觉进行去做我们的卷子啊。对吧，你老感觉的话说我们这个题你在在骗你，这可不行啊。好了，

这是这个事情。15题可以再讲一下画线图，那个部分怎么来的？求导啊。这不是，这不是变现函数吗？上面这行去求导吗？前倒后不倒，前不倒后来倒嘛。标准型嘛，一定求导嘛，往下求导，然后一减cos求导是s in嘛。求一下导就行了。变线函数求导吗？

好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。行，那么今天这套卷子啊，我们就讲到这自己下去的时候好好进行去处理一下，对吧啊，把这个问题点呢，你好好做做。66你平衡了是吧？那我还做俩点呢是吧？你这样一想，是不是又平衡了？好了，这是这个事情吧，

我们就讲到这啊。所以下次过程当中啊，希望大家好好进行处理啊。然后的话，这个呃基本点呢，我觉得这个问题啊，就是你自己下去的时候呃，需要通过这套卷子。一定要进行去把相对应的这个问题点找到。当然，你要知道这个高等数学当中的哪个板块的内容，你是薄弱的。然后这个概率论呢，还有这个线性代数，哪个板块是薄弱的呃？

你们快吃饭，我下午一般不吃饭啊，因为晚上。晚上有节课，晚上有课的话，下午吃饭，老师晚上上课的时候比较困啊。行吧，那么今天课程呢，我们就讲到这儿，然后这是第二套这个通关测试卷呃，今天是12号。13号14号15号那天我们就快正式的开始，这个强化部分的课程了，所以希望同学们呃好好进行去准备一下。

然后的话，这个晚上我现在进行去跟那个助教说一下，让他把这个呃，我们的就是强化篇的第一章。啊，冲刺满分强化篇的第一章这个讲义啊，就是这个书的这个第一章我先传给大家，然后你们可以。呃，不用太提前，你14号或者是或者15号吧，15号那天你把那个第一个其实15号那天是规划。正式进行讲课的时候是16号，所以说呃16号的那天的过程当中，我建议我会给你讲，

你要进行预习哪你你可以不用提前看。你可以不用提前看，因为每次下课之前我都会给你布置任务，我先给大家讲一下这个事情，我强化班上课跟这个基础班上课，它有点不一样的点是什么？基础班，你发现我没有让你预习。因为你发现你基础班有啥预习的，有的人都零基础预习还是预习这个寂寞，所以说没什么可预习的，你强化班可以提前看一下。对吧，如果是强化的过程当中呃，我会给你每次给你讲，

你下节课要看哪些东西，要记哪些公式，要看哪些东西。然后哪些部分的题你可以做，你可以先做，这样的话，上课这个效率就会很高了。好吧，好，那么今天课程呢？我们就讲到这呃，你不用着急这个事情，这个地址吧，到时候会通知你们进行去填这个地址。不需要进行修改啊。

在发货这个之前呢，会给你们提示一下，让你进行去提前填这个地址好不好？好，那么今天课程呢？我们就简单讲到这，所以下去的时候好好进行，把相对的这个问题点呢？重点进行处理一下，好同学们，那么今天是我们第二套测试卷，如果你做的不是说特别好呃，下去把自己的这个问题点好好整理整理整理。啊，把这道卷子当中的自己的错题啊，

好好进行梳理一下好，那么今天课程我们就讲到这好，同学们，那我们就期待这个15号我们强化班。第一次这个正式的课程呢，我们再见好吧，同学们好强化见了啊。

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