02.396数学基础通关大模考2【讲评】-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:03:57

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。好能听到声音吗？好声音没有问题，我们就准备开始了呃，那么今天下午啊，我们还是针对于这个今天上午做的这个第二次的基础通关测试啊，我们来做一个讲评。

对吧，可能这个有些同学做的，不是说特别的好啊，其实我觉得这件事情都是次要的，因为我们这个强化班是刚好是15号正式的开始。对吧，今天是12号，所以说你做好这两天的准备，也就是大大后天啊，就是周六那天我们刚好进行这个强化班。我相信通过这个强化班呢，你还会有质的飞跃的，所以相对于这个基础通关测试啊，我觉得核心重点还是上次过程当中说的第一个事情，注意分数是次要的。

对吧，这是次要的，这不是主要的，有些同学过于看重了这个分数的一个情况，说我这个。考的不是说特别好，对吧？哪些东西啊？做的没有到位，那我觉得这个事情啊，最重要的问题就是最重要的点，对吧？是找到自己的痛点。我觉得这个事情才是最重要的，所以大家一定注意，

就说如果通过这个试卷呢，你能找到自己的问题点，你知道哪些章自己做的不是说特别好。那我觉得在强化的过程当中啊，你就会有针对性的进行去补充。所以对于我们三九六同学，可能这两天大家已经看到了这个数一数二数三同学，他们刚好的话，这个强化班已经开始了，因为对于他们而言的话，那个强化班呢，难度系数会比较大一点。因为现在的考研过程当中，这个数一数二数三呢，你可能去看看他们的强化内容呃，

操作性啊，都会比较强一点。所以对于我们三九六而言，不是说我们现在考题的东西的难度系数不大，也不是说操作性不强，就是相对而言，我们的强化班最重要的问题点是什么呢？是增加自己的做题速度，增加自己做题的技巧性，然后更加熟练的掌握知识点。这才是我们最重要的问题，所以希望同学们注意这个分数啊，不是最重要的，他不确定你最后这个12月24号那场考试，你的数学就考这两分。

如果你觉得那今年考研也就考这个分，那我觉得后面这几个月也不用复习了，不是这样的一个目的，如果是这样的一个目的，我觉得呃，没有必要进行做这个测试。所以一定注意，就说这个分数是次要的最重要问题，你要找到这样的一个问题点，然后第二件事情为。强化做好准备，我觉得这个事情才是最重要的，这也是我们在这个基础阶段结束啊，来跟同学们呃，做这两次通关测试的一个主要的原因。

对吧，这次两次考试那么等到强化的时候，我们还有这个呃，7月15号我们开始上课，一直上到这个8月20多号。那么，接近一个多月的时间，我们进行强化训练，你放心吧，一定会有一个质的突破，也会有个质的提高。因为强化的过程当中，他就会你对这个知识点，你对这个题型会更加的熟悉，然后这种类型问题的解题方法，

你会更加的熟悉。而且做题的这个操作性，做题的速度啊，你会更加的进行去上涨一点，所以大家注意你为这个强化班做好准备，但是你不要浪费这个考试，有些同学这个考试。考完了之后，考完了就考完了。对吧，你考完了就考完了，你可不能这样，你一定要找到自己哪些章是有问题点的。对吧，肯定会有啊，

你通过两次考试，你发现诶，从大的角度上而言，我觉得我的线性代数不是说特别好。对吧，有些同学觉得说那我的概率论，我学的不是说特别好，那有些同学觉得说我线性啊，这个高等数学那高等数学聚集点在哪一章呢？比如说有些同学就知道我是一元函数微分学。对吧，尤其是什么问题呢？比如说举个例子。你像这种题。对吧，

比如说第十题，很多同学两次考试都做错了，你像这种方程根的问题。对吧，这种曲线的焦点问题，像这种不等式的，这种问题到了强化的过程当中啊，我们会做重点的加强。对吧，像这种问题点，所以希望同学们注意一定要找到自己的问题点，但是你要找的更加的细节一点，你不要说我高数就学的烂。那不可能说高数所有部分都烂呢，那可能有些同学说我高等数学有些部分的公式没有记清楚，

你放心，到了强化的时候啊。呃，每天的上午你也会像这个看到的微博啦，或者小红书，或者是B站一样，每天的上午的时候我也会有我们三九六同学的对应的这个公式的测试。能理解吧，也会有我们的对应的公式测试，就是上午的第一件事情，你就进行去公式的大测试，然后晚上的时候跟着我们进行去上课。有些时候的话，这个课程在晚上，有些时候的这个课程在上午，

你把这个公式进行加强一下，然后我们暑期的过程当中，重点是提醒。你要掌握住，就是将来达到一个什么能力强化接触，达到这种能力，你见到这种题型，我就知道怎么做，对吧？快速的反应能力。包括还有一些事情，就是尤其是我们选我们的考题都是选择题做选择题的，这种技巧性也非常重要，所以大家注意我们所有的这个考试的重点都是为了这个强化班在做准备啊。你能理解我的意思吗？

所以这个事情它不代表你最后的分数呃，我所以我觉得这个今天上午的时候呃，我看到一些同学这个做的不是说特别好。对吧，有些同学说啊，这个呃，怎么好多公式都给忘了，所有的东西都记清呃，这个记不清楚了，你至少都知道了。总比你没有考试强。对吧，你没有考试之前，你觉得哎呀，我自己还复习的挺好呢，

我觉得我所有公式都记得住呢，结果你发现一考试什么东西都暴露出来，但是在考前把所有的问题暴露出来。解决完这个问题，这就是提高。所以希望同学们注意，我觉得就这两件事情吧，你不要太看重这个分数，它不是你最后一场考试的分数，然后另外一个事情你一定要通过考试找到问题点，你不要把这个考试给浪费了。然后第三个事情做好这个强化班准备。好吧，那么这个点我们就讲到这可以了吗？15号啊，

然后这两天呢，你们做好这个准备呃，然后这个图书啊呃，图书的话我会。让他们今天晚上吧，一会儿我下课吧，我下课让他们把那个第一章的那个电子版先传给你们。但是这个你们就自己用就行了，理论上这个因为是正式出版物的这个图书呃，这个电子版是没法发的啊。你想想，其实从出版社角度，他们也不同意，但我跟他耗了好久，我说你们这个啊，

高教授嘛，然后的话，我说你们出版这个速度。啊，你们虽然大射对吧？然后的话，这个出版速度那么慢，然后学生也要用啊，耗了好久啊。好了，那么接下来我们就正式开始吧，我们来看看今天部分内容来讲评一下这个试卷啊。呃，然后这个试卷呢？那倒没有偷偷发啊，

没有偷偷发。你像一个嗯，是出版的话，这个作者，然后去把那个电子版，然后全部发出去，那其实也不太好。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来说一下这个事情呃，这套卷子啊，我看了一下吧，有几个题我先大致的进行看看。首先这个第二个题啊，有些同学做的不好，

其实这个题如果是会的同学应该是个送分题。对吧，反而是没有送到很多同学的手上，核心重点呢，把知识点忘了这个题啊，我看的是出错率比较高的一个题。啊，这是第一个，然后紧接着是第五个题，第五题这个间断点呢，有些同学没有把这个无定义点找全。没有找全呢，这个事情就很麻烦好了，这是第五个题，然后紧接着是第七个题，

其实这个题是做过的。如果作为一个新题角度上而言，有些同学可能会觉得，哎呀，这个题稍微的会恶心一点，但是这个题我们是原来讲过的题。你要能看出来这个东西是个隐函数。对吧，这是个隐函数，一个函数由方程确定，那这是个隐函数，你要注意啊，这是个隐函数。所以说这个题就简单了。所以你隐函数而言的话，

就是方程两边同时对s求导注意y中有s就行了。所以这个问题点的话，它是什么情况呢？就是你一般见到的隐函数不是？前面给了一坨，然后后面说等于零=1等于几。但是什么情况呢？他现在他给的一个情况是什么？说这个y等于什么什么？对吧，让很多人感觉说啊，这个东西不是个显函数，其实不是他说一个函数由方程确定，其实是个隐函数。啊，

这个题应该做题要快一点，要辨认出来就做题快一点，然后就是第十题啊。然后紧接13题啊，13题啊，我觉得很多同学是知识点给忘了，因为你见到绝对值其实是个分段函数。分段函数的不定积分的计算方法，要知道分段点外直接及分段点上上连续，你看这样的一个知识点。很多同学把这个东西给忘了。然后紧接着是。16题啊，有点遗憾啊，16题16题，

其实这个题很好做啊，就这个题很好做。但是你会觉得说这个题怎么给的那么长，然后这个选项怎么给的那么多，你把图画下来之后，这个旋转体体积是很好做的。16题啊，然后就是17题，这个题是这节课，我觉得呃，我不是说一定会重呃，从这个知识点角度上重点进行去，让很多同学有。特别大的知识性收获的一个题，而是一个什么东西呢？

是给很多同学一个巨大提醒的一个题。因为从内容上角度上而言，难度系数不高。但是很多同学为什么做错呢？那就是知识点给忘了。对吧，求解这个线的长度，你其实这个东西直接套公式就行了。你直接套公式就出来了，所以这个题啊，很多同学是把公式给忘了。很遗憾啊，这是这个题，然后紧接着我们再看后面。后面的话呃，

这个题的话。这个题应该是修改了一下吧，这是x3啊，注意一下。嗯，然后紧接着。我看一下后面，然后这这个东西稍微的话修改了一下啊，这个这是修改了一下。啊，注意一下这个事儿，然后是嗯，后面都还好，对吧？这个线性代数和概率论呢？

难度系数也不大。啊，这是这个，你看这个题32题这个题呃，这个题其实跟去年的考研真题是一模一样的。我不想说别的事情，这道题的话，其实是我们去年模拟卷里面的题，我们去年模拟卷里面当中的原题，我就放到这儿。其实这个题跟去年的考研真题那个题简直是一模一样。啊，就是这样的一个题。呃，另外一个题就是这个题，

这个题就是个骗子啊。这一题是个巨大的骗子，但是你发现有个问题，能把很多同学给骗着，那也可以啊。那说明到位了，对吧？那真的是到位了，这一题其实是个巨大的骗子啊，一会我们来看看吧，好那么接下来我们就正式开始，我们来看看这道题。呃，第一题啊，我还没见过很多同学说这个题怎么样？

对吧啊？这个题非常的简单，零比零形未定式嘛。那零比零型未定式，你见到什么？你见到这个两根号做差，立即有理化就行了，你所以说这个题比较简单，那么接下来我们来看看。你就给这个东西啊，进行一波有理化，首先把下面这个人等家塞硬框等价物小框，然后这个人的平方。然后这个时候啊，就变成了两根号做和根号下一，

加上cos in好这个情况，然后上面这个东西就变成了第一个平方减第二个平方，那就是一减cos in。然后紧接着继续来看你，发现你看这个人，那这人是多少？那你想这个是cosine 0是一，那这是根号二那是二倍根号二，那二倍根号二前面还有一个几啊，前面还有一个四那四，然后这是二倍的根号二非零因子淡化嘛？然后这个时候的话就变成了x趋向零，然后这是x方。上面是二分之s方，所以是这是八倍的十六倍的根号二分之一。

所以说这个题啊正确答案就选几啊选一啊。呃，这个题啊，用拉格朗日啊，就有点大材小用了，所以我觉得对我们三九六同学，你不用进行，你如果说实话一个问题啊。你老是按照这个数学三同学的话，这种复习这种呃，这种解题的这种操作性方向往上想。其实你会发现对我们是一种巨大的干扰。确实是巨大的干扰。所以有的时候你发现这个问题，一下就出来了，

我们来给你看看这个呃，你可能不了解的话，这个强化班过程当中啊，数一数二数三同学的难度系数。你比如说你看他们喜欢考这种题。对吧，看这种题。那你想想他考的这种极限题是这种样子的题。它考的极限题的话大多是这样的一个题。你综合度非常的高，然后接下来你看看它的函数极限计算题，它有可能考的这样的题。你说我们会考到这样的难度系数吗？他是不会的。你这样的一个题的话，

你发现你两分钟，你五分钟都做不完。你所以说这个操作性的这个方向是不一样的，所以大家一定要注意一个事情，你要想清楚一个点，你不要每次就是我们做这个，尤其是我们精综数学的这些题。我们讲究的一个事情，快准狠，这是我们的方向，所以一定要注意一个事情，这个方向性是非常不一样的。我们要求就是快准狠，你见到这个事情，你的定势思维能力出来，

你马上把它干掉，不用在那里面当中，有的时候为了炫。对吧，为了这个，有些同学可能看到一些这个什么情况，说什么拉格朗日。对吧，也喜欢这种，还有一些学到这个，尤其是现在这种B站上看到说很喜欢那种很炫，对吧，然后的话很那样的一些什么什么的方法，你发现我们根本有的时候用不着。我们其实大部分的题是常规题。

你这是要抓住这个方向，所以不要把方向性带偏，另外一个事情呢，说实话，还有一件事情。我这两天看到看到一个情况嗯，怎么讲呢？就是有点剑走偏锋的感觉啊。那这有些同学这个这两天我收到很多私信，因为我们强化班这两天呃，马上要开始了，还没有还没有开始。对吧，马上开始了，有些同学这个恨不得把是哇买了。

买了接近有三四千道题吧。啊，有三四千道题，你能做得完吗？你做完也没做那么的熟练。不是说你把那个题做完了之后，你水平点就高了。你做题速度就快了。做题速度快，在在于你把每个题做稳一点。你说实话，这个这个线你可以做，你是可以做的，但是就是怎么讲呢？如果做一道就做稳一点。

你听得懂我的意思吗？我不限制大家，就是我想说的一个事情，就是不要你的桌子上一摆摆几千道题，心里都是障碍。你时时刻刻注意这门课程只有70分。70分。那这个70分有些同学把这个因为我们有同学说那个前期基础基础班六月份之前我们肯定要大量的这个时间把这个数学好好攻下来。然后后续的这个时间，你需要在这个平稳的这个时间内，把这个每个版块内容做到位。你有些同学，你发现你是个70分，你很有逻辑和写作，你会别的课程，

你注意这个问题，你要注意这个时间的这个平衡，这是很重要很重要的。所以我希望同学们听进去你，所以你要注意这个，但是对你们而言，我觉得还好，对吧？反正每次有直播课，我往回拉呗。你往远处跑，我往回拉呗，你不要每次抬头一看哇，书本上这个书面上有三四千道题没有做。你可以买一本对吧？

你可以再买一本，我不限制大家。但是你不要抬头一看哇，很多同学这个你是个三九六金宗数学做什么1800？还有做什么六六零，我觉得你你这个这个剑剑走偏锋也偏的太狠了吧，那题对于我们而言的话，考研我不知道这个方向性有多少是。匹配的。所以你发现一个这个事情，这个有些有些说实话，这个这个点吧，你如果买你就进行去买三九六金宗数学所配套的那种题来做。听得懂我的意思吗？你要去买三九六配套的，

这种题来做，这是好事，你有的时候你发现一个题，它这个出题的方向都不一样。方向性都都确实不一样，好了，不多说了，自己下去啊，你好好看看啊。好了，你如果我我说一个事情啊，你要是考数三，你去做没有问题。对吧，你把我们的这个呃上课所配套的东西做完了之后，

你如果学有余力去做，没有问题。但是你要注意，我们三九六数学，你要针对一个事情要注意，我们三九六数学的出题的方向，另外事情要注意三九六数学出题的考情。还有第三件事情，你要注意这门课程只有70分，你不能按照150分进行去准备。你你是要站立在一个总成绩，还是一个非常良好的条件下，所以我觉得这个呃。当然了，其实如果说你从单科角度上而言，

那如果数学的话，我当然希望你把这门课程呢。呃，你能尽量投入大量的时间，但是你从总的这样的一个事情上，你到了这个后期的时候，你得有这个节奏感。对吧，这个节奏感非常重要。好了吧，不多说了，我们就继续吧，我们来看看第二题啊，来继续来看看这个题目，再见。

那这个题考点是什么呢？它的考点的方向是这个知识点啊，叫什么内容呢？是这个内容我们来梳理一下。绝对值极限的，这样的一个结论还记得吗？好，我们来复习一下，如果说limits一个趋向。fx极限是a那么同学们告诉我一件事情，马上推请告诉我当x一个趋向下绝对值的极限，结果是不是a的绝对值啊？啊，是不是啊？那当然是，

但是这件事情能不能回去啊？能不能回去啊？其实这不是子数列啊，不是子数列，能不能回去啊？不能回去只有一种情况能回去。什么时候能回去啊？等于零的时候能回去，所以你看如果你的极限是零，绝对值是零的绝对值，如果这个人是零，他是可以回去。所以说就考了这样的一个重点结论，所以说如果这个题啊，今天考试，

我把它做错了，做错了，但是通过这场考试回顾了这个知识点，哎，我又捡起来了，这场考试就没白考。你能理解我的意思吗？那这个题就没有白做，所以接下来我们来看看它说连续什么叫连续啊，连续非常简单，连续就是极限等于函数值。那说明这个极限结果就等于这个函数值，那么接下来我们来推你，加上绝对值，你加上绝对值的话，

当x趋向x0的时候，绝对值的极限不就等于这个结果的绝对值吗？那么，同学们，我们来看看，那就说明这个函数的极限，结果就等于这个函数值。极限等于它的函数值，那不就是连续吗？那所以说能不能推出这个绝对值？这个结果是连续啊，你当然是可以的。但是同学们注意你这件事情能回来吗？不行。啊，

这件事情不行，为什么呢？因为绝对值这个东西推不回来。所以大家告诉我，前面这个东西能推，后面说明前面是后面的充分条件。而你发现这个后面这个东西不能推前面，前面是后面的非必要条件，所以说是充分非必要条件。答案选，几啊啊？这个是充分但不是必要条件，选必要。好了，这个知识点呢，

我们就讲到这，通过这个题能回顾这个知识点，其实非常棒。对吧，不要心急啊，你后面所有的这个三九六数学的这个时间呢，我们的课程的内容，我只需要你做一个动作，你就把我们每个部分的东西消化到位。然后再把这个配套的这个习题啊，你进行完成到位就行。所以最近你可能会看到这个呃，这个数一数二数三的呃，晚上的时候我也会有配套习题的讲解，到时候我们三九六我们也会有。

啊，我们也会有这个习题，暑期的过程当中也会有这个习题课，你放心吧，这个两个板块内容我都会竭尽所能，但是你一听出一个问题，有些东西。总感觉说我们最近强化课没开，我布置的是有任务的，而且你不是没有事情做，你要是有时间你去看看你的专业课，你很有逻辑，很有写作。不要这个搂都搂不住啊，好了，

这是这个事情来继续吧，再来看这个题。那这个题啊，原题对吧？这个原题你看一下这个题怎么做？当x趋向于一的时候，我看大家的水平点怎么样？怎么把这个题做的快准狠呢？那大家想想一个事情，你发现趋向于一。趋向于一，你喜欢吗？不喜欢赶紧改，改成多少直接定零一减s等于t。那这个时候t就趋向减t就趋向零。

是不这个事情，所以说一减s这个人就是t。那这个人是几节？这个人是一节？对吧，它这个结果就是t，然后你再来看看后面这个人，那后面这个人的话就是一减去根号下x等于多少x=1-t？开三次方，这个结果，所以说这个结果的话马上出来。啊，你想洛必达也行吧，然后把这个东西提出来，这是负a，

然后是根号下一减t看三次方减一。你发现这个内容，他特别喜欢考谁呀？就是一加上阿尔法次方减一对吧？一加阿尔法次方减一，他特别喜欢考这个减号。所以说这个东西等价多少呢？等价不小于三分之一负t，所以说这个结果等于三分之一at。因此，这个三分之一at它就等于多少，它就等于上面的t那a等于几a等于三。好了，这是这个题，其实你发现这个等价无穷小公式啊，

有些同学容易出错。对吧，很容易出错，就是这块东西是个减号，然后是开方啊，要注意。好了，这是讲的这个题，那么接下来我们再来看看第四题，那第四题啊，其实比较简单，我们来看看，你看一乘二分之一，二乘三分之一n乘n加一分之一。所以说这里面当中我怎么办呢？

我里面这个东西很明显能进行列一减二分之一二分之一减三分之一，然后一直加到多少，一直加到n分之一减去多少n加一分之一。然后这个N次方。然后接下来你把这个东西就约约约完，然后这是一减n加一分之一的N次方。是不是这个情况好了，我们来做这个极限，那做这个极限了之后，你看我把这个东西前面写个极限符号。啊，这是limit n趋向无穷大，然后这是limit n趋向无穷大来，我们求这个极限，这个极限的话很明显是是一的无穷大，

不一定是怎么做，赶紧走。e的极限符号照抄头顶部分，照写第一建议。然后把这个n放上面，一摆一抓e的负一次方答案选几啊，选c好了，所以说这前面这几个题啊，非常的简单。不要重要寄钱。你你是这个还重要极限呢？我这个前天前天的话，那个这两天的话，你你其实你发现随时这个复习你才会发现。我前两天讲那个什么，

比如上午的时候发一个公式测试。呃发公式测试的话，然后那个一的无穷大未定式直接来一亿的极限符号照抄头顶照写d- 1下面这段。不用去凑第二重要极限嘛，搂搂炸了，如果你还是这个水平，你连考研的这个门槛你都摸没摸到？考研复习的这个模门槛都没摸到。如果作为一个考研学生，还去凑重要极限，那就搂炸了，那不是搂，那是相当的搂，你说明你考研的过程当中从来就没有切进去。如果你还要继续去凑这个中医药极限，

我们所做了十几个题了，你才能凑。好了，这件事情我们就讲到这来，那么接下来我们继续，我们再来看看第五个点。看一下这个事情。呃，你你们你们先不用看那个啊，你你放心吧，15号那天我们有这个呃三九六的这样的一个暑期。强化课程开班的那个规划，到时候我也会给你们讲的，我会给你们每天做好这个规划的，我们上午的过程当中，

你主动进行去看。三九六的那个公式测试就行了。好了，来继续吧。还有一个事情。你如果作为一个三九六同学，你考试的时候老是想进行去推，我跟你讲，你就不适合考三九六。你想想一个事情，你如果作为一个三九六同学的话而言的话，你比如说考这个点，你上课的时候说诶，这个东西我会推。你如果考场当中，

只要你推这个东西，你就慢。我们要讲究速度。你你能理解我的意思吧，所以我们不光说这个知识点，你要熟练呢，你看考了几次试了？好几次是吗？啊，你其实你都明白这个时间其实非常的重要，对吧？你一定要保证好这样的一个事情啊。好了，那么接下来我们来看看这个第五个点啊，第五点他说给了这个函数，

然后问他的可去间断点的个数。对吧，可去间断点。那可去间断点，首先第一件事情要找这个函数的，无定点，那大家想想无定点有几个？这个人的无定点。那么，首先我们先看第一个人，让这个分母等于零。让这个分母等于零录音里面就要等于一。二可以二一减是等于一，所以说这是二。然后第二件事情呢，

你再来看零减一呢，这也可以。大家注意，还有一个人。就说如果你只找到两个这个题就废了，还有一个人，还有谁啊？你一定要明白，你看你这个录音里面这个东西，它是要大于零的。而你现在这个人是大于等于零的，你绝对不能等于零，所以说让这个绝对值等于零的点就是x=1，这个点很多同学出错的点就在这儿。你想想无定义点，

只有三个可疑点，只有三个，赶紧把e选项排除。不会选四的对吧？不会选四，所以接下来我们一个个看，我们先来看看二，如果这是limits趋向二。然后这是sln多少x- 1的绝对值。好，我们来看看。那这个时候的话，这是二减一，这是一l一是零。对吧，

下面是零，上面是二二比零呢，这是无穷大，那这人不是。然后接下来我们就继续，我们再来看看第二件事情s多少呢？这是s趋向零。趋向于零的话，然后这是ln x- 1的绝对值。现在是零比零，那么同学们告诉我一件事情，你发现啊？趋向于零是零的去心领域，跟零挨得非常近。跟零挨得非常近，

减个一就跟负一挨得很非常近，跟负一挨得非常近，你告诉我这个绝对值是什么？它是不是负的？你跟零挨得非常近，你减个一肯定是小于零，所以说这个东西是一减x。所以下面这人等价无穷负x，这是负一诶极限是存在，但不等于函数值。所以这个结果是可以的。能理解吧，然后接下来我们再来看第三个事情x趋向于一一的话，这是ln多少，然后这是x- 1的绝对值。

然后我们继续看，你发现这是零洛因零这个结果是无穷大，上面是一无穷大二分之一呢，那这是零。所以说这个极限是存在的，但没有函数值，对吧？所以说它也是可区间断点，答案选几选c。好了，这个题啊，能掌握清楚吗？好了，第五题我们就讲到这来，再来看看第六题。

啊，再看第六个题，继续看这个人。那么这个题啊，他又说了，他说设这个函数是连续的，而且这个函数在零处是可导的f0=0。给了这个函数分段函数，给了分段函数，求分段点处导数，不用去想，赶紧上导数定义，所以说这个时候啊，立即上下导数定义就行。x趋向零来走gs是这个人，

然后这是零到多少xt倍的ftd t？然后再减去g0比上s- 0，所以说这个时候这个极限就变成了limits趋向零，然后这是零到ST倍的ftd t。然后比上s几次方三次方，那这个时候可以怎么办呢？你发现就是零比零型未定式零比零型，我就可以落下。三倍的x方，然后这是x倍的fx。然后这个时候你可以约掉一个，然后把这个三分之一抛出去。那这个时候告诉这个人可导，而且f0是零，你就可以凑一个导数定义啊，

你凑一下导数定义的话，这是s趋向零，然后这是fs-f零。因为它是零嘛，比上s减零，所以等于三分之一倍的f撇零，所以正确答案选几啊选b啊？好了，这个题啊，这个题其实很简单，有没有发现就是呃，怎么讲呢？就说他从气势上他赢了。但是从结果上做题角度上，它其实很简单，

这就叫骗子题。对吧，所以很多同学不喜欢这个人，你一定要注意一个问题，这都是分啊。我是觉得一种感觉，就是说你见到哪个考考点，比如说有些东西不喜欢绝对值。有些同学不喜欢数列极限。有些同学不喜欢那种什么心形线啦，心形线啦，这种东西。有些同学不喜欢弧长，有些同学不喜欢旋转体体积，你一定要喜欢，

因为它都是分儿，你见到这些东西，你要知道一件事儿，你不喜欢的东西很多人都不喜欢，你喜欢的东西啊。很多人其实也喜欢。只有你喜欢了，别人不喜欢的东西，你才能打住别人的痛点啊，他一定是这样好了，这是这个事吧，我们就讲到这。呃，今天我想多讲一点。虽然对这个题啊，

没有影响，但是有些同学是这样做的，我们来看看这个事。来看看对不对啊？你发现首先第一件事，他说这个函数在零处可导。这个函数在零处可导，这个函数在这个点处连续吧，连续连续的话，它的极限等于函数值。哎，在这儿，然后是零，所以说这是个零比零，那零比零的话，

有些同学落下一落变成它。然后他的结果说极限等于函数值，同学们告诉我对还是不对？他说那老师这个题没有关系啊，我也做对了呀，你要注意啊，这题就废完了。哎，这题就废完了。为什么呢？因为你看看你这一步，你这一步是不是用到了导函数的极限，等于导函数的函数值啊？你是不用到了导函数的连续啊？你是不是用到了导函数的连续啊？

导函数呢，你发现未必是连续的。fs可导fs连续。只能推出fs连续绝对推不出来，导函数连续同学们注意很多，说那我对这个题没有影响，你要一直有这种复习感觉，你看去年那个题是不是出错了？你看现在这老头子多贼呀。你有什么东西呢？你有在你这里面当中的这个什么方法？人家有人家的这个对应策略。他说的选择题考不出来，这种情况你看去年那个选择题。大家还记得吗？

就是那个选择题给了四个选项，然后说哪个东西是正确的，我们做了那个题吧。我相信大家还记得哦，就是那个题目。我找一下再给你看看。所以这个问题点呢，你你老是这个沉溺于自己的这样的一个情况下，你发现他总有这样一个。等我一下，我找找。嗯，他又在，他总有在这里面当中。找到这个。

这个方法去考你，你看这个题。你看就这个题。所以你看你如果你不注意这些细节，你看去年这题这题你就做不出来。有的时候你就倒了。对吧，你导的这个能就导错了。所以一定要稍微注意一下这个事情啊，你要把它学好，对吧？到了这个今天嗯，我说一件事吧，我我借用一下，因为昨天晚上呢，

刚好讲那个数一数二数三也讲了这个知识点，我们再来看看这个事情。好，来看看这个问题。那么，第一个事情就是连续和存在的问题。对吧，如果说它在这个点处连续肯定能推出，在这个点存在存在是推不回来连续的。你要注意考题当中，如果用可导的这种话描述。那就是谁可导？谁连续如果用存在的这种话说，二阶导数存在要少一阶是连续的。所以这是你要明白的，

就说他用可导的话说，他说我fs可导，那fs连续。如果说二阶导数存在第一阶连续只能推出一阶导数连续。这是你要稍微注意的，所以说回到这个今天部分内容啊，你这件事儿你就要想清楚了。对吧，所以你看它说的是fs可导，只能推出fs连续一阶导数，未必连续好了，这是这个情况。当导函数极限为a和无穷fs连续可推出。那是导函数极限定理啊。会，

但不多。就是你发现学东西啊，你会一点，但是你要把它学好，对吧啊？那么，接下来我们来看看这个事吧，你提到这个事情我就给你讲讲啊。那么，这个问题点的话是这样说的。说fs怎么了？如果在这个点处连续。啊，连续那么这个时候你发现一个事，我们来出一个这个点处的导函数。

你光从那背结论的话，其实就没有任何意思。他是不是这个情况，这是我们上课讲的问题吗？大家琢磨一下，因为原来这个函数在这个点处连续连续的话，它的极限就等于函数值。然后所以说上面是零，下面是零，那所以说这个人是个零比零型未定式，那零比零型未定式，我是不是就可以使用洛必达法则，我一落是不是这个人？那同学们想想这是怎么推出来的？这是洛必达法则推出来的，

对吧？这是洛必达法则推出来的。同学们想想，如果洛必达法则推出来了。这个东西什么时候才会等于这个人？那就是一个情况，你的极限结果是个数，或者你的极限结果是无穷大，那这个时候两者之间就相等了。因为这件事情是通过洛必达法则推出来的。如果这个导函数的这个极限是震荡的，两者就未必相等了。所以说，如果原来函数是连续的。而导函数的极限是个数或者无穷大，

那你就相等，那这是特例嘛？这不是特殊情况吗？所以说这种特殊情况，但是我们在讲一般规律，你不能用一个情况的话进行去说这个东西怎么样？所以一定要掌握清楚，你要学你就把这个东西学好啊。好，这个问题点我们就讲到这来，继续再来看看第七个题。再看这个题，那么这个题啊，就有点骗子的感觉，他说这个函数由这个方程确定一定函数。

所以说就给方程两边同时对s求导就行，来走吧y导。啊，这是这个人求导，然后这个人呢，先对中间变量求导，然后中间变量是2 s+2 y，然后这是y导。你再加上先对中间变量求导，然后中间变量是一+y导。好，这是这个情况，然后这个y0=2，然后让我们去求解y到零，你就把零带进去y到零的话，

首先我们看看。把这个x等解当x=0的时候代到上面去，那这是y到零，然后这是f撇。那f撇的话，你看这个结果是几呢？这是零。然后这个结果是几呢？那这是y。对吧，你y在零处等于几呢？你y在零处等于二，你要注意这个事情，所以我们慢点写。当x等于几零，

然后这个时候y=2的时候，你往上带，所以说这是y导，这是f撇。那这个时候这个结果其实就等于四，然后这个结果是零，然后这是二倍的，然后这个y又是零，那y哦，这个y=2。对吧，然后这个这个前面这个结果是零那这个结果呢？又是四，然后是四倍的y导，然后再加上f撇解f撇。

然后这个时候是多少一加上百道。所以这个时候你就把这个什么情况把这个f撇四带上去，你这个是四四呃，这个f撇四是一，所以说是四倍的y导。然后这个f撇二，这是二分之一，那就二分之一，再加上二分之一y撇，你立即可以把这个y撇写出来。好了，这是这个题，所以说你要注意一个问题，点就说y就是yf是f对吧？这是第一个事情，

然后第二件事情你要看出来这是一个隐函数求导问题。呃，其实现在啊，我们还不想讲这些东西。等我们到了这个冲刺阶段呢，你做多的时候你都能猜出题目。你发现我们三九六同学的这个出题点呢，它也是按照这个章节往下出的。你想想，作为导数计算，这么关键的一节，怎么可能会不出题呢？它一定会出题，什么复合函数，隐函数，

什么参数方程，反函数，高阶导数，它一定会出题，还有分段函数。他一定会有题，你到了这个做到最后的话，你真的对这个试卷非常熟悉的时候，你真真猜都能猜到好慢慢来啊。第七个点。再来看看这个第八题。看一下这个题。它说这个函数啊，在它拐点处的切线方程，你是不求拐点？

对吧，我们要进行去求这个拐点，那么同学们告诉我求拐点第一步干嘛？要非常熟练，到了强化的时候，你一定要达到这个水平，唉，求极值第一步干嘛第二步干嘛怎么样？求拐点第一步干嘛？第二步怎么样？然后求单调区间第一步怎么样？第二步怎就是非常熟练？我不就是有点这个什么呢？有点机械化。但是从大部分题的角度上而言，

这个思维方式是非常准的，你看遇到拐点的问题，先把这个什么二级导数求出来。求出来之后呢，去找什么去找这个可疑点，一求的话，这是二，然后的话，这是多少再减去个x方分之二。然后这个时候二提出去，然后这是x方一减这个什么x方再减一。你就要进行找找什么情况呢？找这个导数不存在的点。对吧，二级导数为零的点和二级导数不存在的点，

你明显知道这个人的定义域大于零。对吧，这个定义域大点，而且这是二倍的x- 1x这个加一，然后这是x方，那你想想有没有不可导电有，但是是零。如果在大于零当中找只有一个可以点一。那同学们想想他这个题证明一定有拐点吗？就不要再做了。他肯定是有拐点的，因为他要求拐点处的切线方程，拐点肯定是有的，一定会有拐点，而可疑人只有一个，

你放心。这个对应的点就是拐点。如果你不放心，你也可以看看。上面这个东西是一个什么抛物线，你看这个一这个点二阶导数在这个点两侧肯定会变号，那既然变号，它肯定是个拐点，其实你都不用算了，那拐点是多少？一这个点往里面带一这个点是一这个点。对吧，一这个点，然后在一处的这个导函数等于几呢？一处这个导函数等于四，

所以说这个切线方程出来了。y=1+4倍的x- 1，所以立即推出来y就等于多少4x减去个三？好了，这是这个结果，所以正确答案，选几选c。呃，这个题就是稍微的进行包装了一下，但是啊，但是难度系数不大，但是比平时的那个题好，你平时那个题就是直接去求切线方程，我们求拐点处那首先。多考一个知识点呗，

好了，这是第八题，过去可以吗？来再来看第九题。看这个题，它说这个函数啊，由这个方程确定让什么情况呢？让x=1首先第一件事情为注点，什么叫注点？注点其实就是一阶导数为零的点，你看这个同学x大于零定义域定义域你都没有定义，哪来的拐点呢？x大于零大于零，你看定义域。啊，

好注意一下啊。好，所以说你看他说这个函数由方程确定，这是注点那注点什么意思呢？注点就说明在一处的导函数等于零。然后第二件事情，这个曲线通过多少一一点哎，通过这个点，所以首先第一件事情你可以把这个点带进去。你代进去了之后的话，然后就是一，然后再减去a，然后再加上b，它等于零，这是一个方程。

然后第二件事情保证这个一处的导函数等于零，那我怎么办？方程两边同时求导嘛，隐函数求导那求呗，那就是3x方。然后再减去多少前导，前导是2 ax，后面不导，然后再减去前面不导，后面来导就是2y，然后y再导。加上多少3b，然后这是y方y到等于零没问题吧，然后接下来我们就知道当x等于几零。然后当y等于几呢x=0的时候，

这个。x诶，它说一处是吧？一处是个注点，一处注点是一处的导函数等于零，所以x=1处的导函数等于零，一处的时候y也等于一。y导等于几等于零，然后这怎么办代入？啊代的上不去，一代的上不去的话，这个第一个人就是三，然后第二个人，这个结果呢？你这俩都是一的话，

这个结果就是2a。然后再往第三个带，这是零，这是零，然后最后结果等于零，所以这个时候你就立即可以解出来a就等于多少二分之三，然后这个b呀也同理出来了。好了，这个题啊，能掌握清楚吗？啊，说的很清楚，经过这个点带进去成立。试注点，该点处导函数等于零。

对吧，该点处导函数等于s=y=1 y导等于零，直接带往里面带就出来。好，这是第九题，然后接下来我们再来看看第十题。呃，这种题啊啊，我们强化的时候会重点进行讲啊，讲的会比较多一点，你今天做的慢一点也没有关系。我们稍微梳理一下，也可以给这个强化的时候做一点铺垫。首先第一件事情，这两条曲线有交点。

这条曲线的交点，其实就是让这两个东西相等的根。是不是让这两个东西相等的根呢？没有任何问题，而且s是大于零。也就说什么问题呢？就说这两个东西相等有唯一的概念，你像这里面当中要讨论参数，这叫含参讨论的问题。最好的方法当然是分离参数法。把这个参数就分离，这最好的方法，那么最好的方法就是你分离出来，你要让这个方程有解，你就研究这个人的图像就行了。

对吧，比如说这个图像研究出来用k去解，这时候没有交点一个两个两个，然后这是什么一个？对吧，你就这样解诶，这是三个能听懂我的意思吗？所以说大家注意像这种情况，你们两人的焦点就是相等有根。相等有根，而且这个大于零，你可以移过去含参讨论分离参数法就研究这个人的图像。哎，这叫分离参数法，那大家注意如何研究什么东西呢？

研究fx的图像怎么去研究呢？注意研究一个人的图像，就是重点来研究这个人的单调区间。重点来研究单调区间。所以说做题就两步，第一步研究单调区间，第二步求端点处的结果。有没有发现这个东西跟我们上节课做那种题一样？就那种方程根的题对吧？你想研究出来这个图像第一件事情，确定单调区间。第二件事情再看端点处的结果，图像就出来了。啊，就非常简单研究一个人图像，

就是确定单调区间，再来看端点图像就出来了。那么，单调区间怎么去确定呢？第一件事情确定这个函数的一阶导数找到为零的点和不存在的点画表就出来了。所以这个题其实速度非常快，来我们一起来看看来走fs这个人的话，其实是s方分之lns，请注意s是大于零。然后接下来我们进行去求个导，一求导的话，这是x几次方，这是x的四次方，上面进行求导乘，下面那是x减去，

下面求导，这是2x倍的。龙眼。对吧，二s倍的lns，然后这个时候约掉一个，这是x三次方一减二倍的lns。没问题吧？好了，那么接下来我们来看看。找到导数不存在的点没有，因为s大于零，只能找到导数为零的点，起初为零呢，马上解一下二倍的lns=1。

马上解出来ln x等于二分之一，马上解出来x等于根号一。所以说这个时候我们就出来了，你看这是x这是y到这是y那就是零到根号一根号一根号e到多少？其实非常快啊，就是你看我给你写这么多，你做的话非常快，然后这个东西是什么呢？原来ln是增的负的ln就是减的。减下去，减之前肯定是正的，这是负的，所以这是增，这是减，这是零，

然后这个时候是极什么值极大值，你要算出来这个结果。来，我们来看看f根号e等于多少f根号e=1 ln根号eln根号e的话，这是一。二分之一这个结果，所以就是二一分之一能理解我的意思吗？来那么接下来我们就可以构建一下这个人的图像了。走，这是y这是零，然后这是s，然后在这多少呢？在二e分之一的时候它是多少呃？在根号e的时候是多少？根号e的数是，

这是二亿分之一。你还记得上次过程当中吃过的亏吧，有些人增上去增上去减下，别别换回来，你还要看端点呢。先看零初零初这个极限是多少？当x趋向零，这是负无穷。然后这是临阵。负无穷除以零正，那还不是负无穷吗？能理解吧，零正肯定是大于零的，你一除肯定是正呃，这个负这个什么负无穷，

所以说这个时候我就知道哎，你从遥远的负无穷而来。再来看，注意啊，不要吃亏啊，这个题其实很好，当x趋向正无穷的时候呢，幂函数远远比它大，你看是这个情况。上次吃过亏吧，你看这次又来一刀。啊，这两道题，这两道题很好，你把它摘录出来，

强化的时候我们再做一做。到时候在系统性归类这个东西的时候，你再做做，然后他说什么，他说我们这个人怎么了，有唯一的焦点，同学们告诉我这个点行不行？可以，所以说这个k呀，可以等于二亿分之一，那么同学们告诉我这个k小于零行不行？可以也有啊。等于零行不行也行啊，它取不到嘛。所以说小于等于零可以，

而且等于二亿分之一也行，所以说正确答案选几选c，其实这种题呃，你发现一个事啊就。就是你做题的套路出来之后，其实非常简单。你不能求解这个方程的根吗？我让你相等。对吧，然后这个时候怎么了？然后再来进行去分离参数，你就研究这个人的图像，研究这个人的图像，就是确定摊点端单调区间，再确定端点。

就这么简单，确定单调区间，确定端点，确定端调区间，确定端点，单调区间的时候怎么办？求导找一阶导数为零的点和一阶导数不存在的点。找到之后呢？找到这些点之后，然后再来进行去确定它，再把端点一看就行。呃，讲了几个题了，强化的时候我们还会再看看这个题。啊，

还会再看看。好了，像这个问题啊，我们就讲到这，这个在高中当中都呃PK不上的话，这个。就是这个第一个题啊。呃，压轴题啊，比不上压轴题。好，这个题这个题你高中表弟应该会啊。对吧，这是一个高中基础题，但你注意，

这是考研重点的题。哎，这考你重点题。好了，那么接下来我们就继续啊，再往下来看。再来看看11题呃，当然上面这个题啊，你也可以怎么办呢？呃，其实还有一个方法就是。你继续去研究几个点啊，那研究几个点的话，这个。你首先你要看看它是正的，

这个人对还是负的这个人对？然后你再来看看这个呃，还有这个小于零取一个点，你取个点你看看。啊，你可以取个点看看。行吧，这是这个事儿啊，就说这个lin这个人的图像是这样。然后这个x方这个人，你画个图像去看看。也可以。啊，其实也行，你其实这个这个问题点很简单的一个事儿，

就是你有第一选项，你就是这个人。然后的话，这个。k倍的x方如果k=0行不行？你先进行试k=0行不行？所以我觉得这个题其实呃不做啊，直接看选项也是非常快。对吧，就是你想做规范一点，你就刚才那样做，你做选择题的话，它还可以更快呃，首先第一件事情。你先选一个。

比如这是y这是零这是x。那先进行去选一个k=0行不行？那么，这个时候的话，这是这个人。那这个人的话，然后怎么办呢？然后的话这个。把这个东西这种情况肯定是可以的。那所以说如果这个k小于0b可以。然后第二件事情呢，你先看看k=0的k=0，其实就是多少就是0 k=0也行，哦k=0也行。你说明这俩点都可以，

这俩点都可以的话，你这个人没有，你少了，你这人没有，你少了，你没有等于零，你少了。然后我小于零也行，你这人不对，所以选c这个题其实看直接看选项的话，看的也很快。啊，能理解吧，就是你去检验一下它小于零肯定可以。啊，

然后等于零也行，不做了，不做直接看选项也很快。好，这是这个问题呃，刚才同学说直接把这个带着，这个参数移进去，这不好。带着参数做题啊，其实就非常麻烦了。分离参数比较容易。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看第11题啊11题。他让我们去求斜渐近线方程，

那么斜渐近线方程呢？首先第一件事，我们先去求a。这是x趋向无穷大对吧？用y比上x那y比上x的话，当x趋向多少无穷大，然后这是多少？然后这是一加上阿克塞因x分之二，所以这个结果是几啊是一你看。斜率都是一。啊，斜率都是一，所以说这个还得进行去做一下b啊，重点就是在b当s趋向多少无穷大。然后用什么东西呢？

用这个YY就是x加上x倍的阿克塞，因x分之二减去ax，那这人就没了。当x趋向无穷大的时候，这项是零。阿克塞因框立即等价无效框，所以当s趋向无穷大就是ss分之二，它就等于二，所以说就是y等于x加二。啊，答案选a。好了，这是第11个题。过去了，可以吗？

来继续啊，再看12题，这几个题常规题吧。啊，这种常规题啊，你要会做来继续吧，再看这个题。这个题它说有一个原函数是零，那这就是d。是不是啊？那说明fs等于谁呢？就等于原来函数求导s in求导就是cos。那这是他爹啊，爹求导不就是他吗？然后紧接着我们来看看这个事儿，

所以这个题。比较简单啊，这个比较简单，这个题的话，你发现你看你这个导函数，你其实都可以直接再求一下。你再求一下的话，又是s in呃，你也可以直接做。两种方法都行，你也可以把这个什么导函数凑到后面去比较容易一点，然后这是什么两项相乘？然后再减去两项调换位置。调换位置嗯，行吧，

然后的话这个时候fs跑到前面去s in跑到后面求导，这是cos。啊，你还得再做一下，你其实还不如直接做。所以这个题。不好意思，没出好啊，这个题没有出好。这个题。出的有点简单了啊，这个题。下去我们把这个题改改，如果按照常规思路，应该是要把导函数凑到后面去，

会更快一点。对吧，导函数凑到后面去更快一点，但这个题不是。那这个题的原式等于多少导函数？这个结果等于负的这个s in。然后后面一个s in，这是平方dx。所以说这个时候到这个结果是负的，它是二分之一减cos二x比s有些都用二倍角公式记这个忘掉了。然后这个时候的话，这个第一个人是负的二分之一ds，然后再加上二分之一cos二sds。然后这个结果是负二分之s，加上四分之一s in二s，

大家能跟上吗？好，这是这个问题，所以说这题的正确答案呢？选几呢？负的正的选一。好了，这是这个题呃，其实考了一个概念，因为这也是我们常喜欢考的题，就是原函数的概念，是我们非常喜欢考的题。它的原函数是谁？对吧，原函数什么意思？

然后求解这个零极限来，再来看13题。继续啊，看这个题。呃，13题这个题啊，就考了件什么事情呢？你发现给了一个什么东西啊，绝对值。其实就是给了一个分段函数大于等于零的数是谁x小于零的数是负x。这就是个分段函数，然后这个分段函数的这个不定积分怎么做呢？你看我直接记啊，我把它的积分结果用这个人表示。还记得怎么做吗？

分段点y直接集，这是c1。然后分段点y直接及二分之x方，加上c二。然后分段点上用连续，你像这个题啊，首先第一件事情像这个a和b都不能选。对吧，这都不能选，所以说其实你水平点高一点呢，你发现一个事，你只能在cde当中选。然后接下来我们怎么办呢？连续连续的这个右极限是多少右极限？你看趋向零的右极限，

这是c1。左极限是多少c二说明c一就等于c二，因此这个结果就是多少就是二分之一x方c一继承c。二分之x方负的c二继承CC一c二都继承c大于零小于零，现在等于零无所谓。然后紧接着我们就来看看，把这东西啊写成一个表达式。你发现大于零的时候只是二分之x方，小于零的时候是负的二分之x方，那你就可以把二分之x放在这儿，用绝对值进去去调整正负性呗。你大于零的时候，这是正的小于零，这是负的，所以说刚刚好，

你再加个c就行，所以这个题的正确答案选几啊选c啊？好分段点y直接及分段点上上连续，你注意这是一个考点啊。这还很有感觉，我们纪念过程当中会出这种问题，分段点外直接及分段点上上连续。好了，这是第13题，再来看第14题。14题啊，是一道原题。呃，首先第一件事。这是一个什么分呢？

其实这是一个反常积分啊，你要注意，这是个反常积分，但是很多同学其实呃做也没做出来啊。也没做出反常积分，就按照定积分做，其实呃，占了点便宜，因为这个题就是按照定积分来做。其实它是反常积分啊，首先第一件事你发现当s趋向，比如说你看你就看一。一的话，下面就是零。上面是个数，

这是无穷大，所以一是一个狭点。狭点的可依点在零和一处，我们上回讲过，如果狭点处于端点处，我们是不用管的。我们就照常做就行了，所以说这个题啊，你就直接搬，那就是零到一，然后这是阿克多少s in根号s？然后这是多少根号下一减s，然后这是多少根号sds，有的人做这个题做的非常非常快。直接上来给这个人来一刀，

你发现就出来了啊，如果你没有看出来，你就慢慢来。那这时候补个二，这是个二，往后面一凑，这是多少根号s，然后把这个人写成根号s的平方。一减x方的开啊，这个分之一这个人d塔呢，然后这个东西又是阿克塞因根号s。那它对它的积分呢？其实就是阿克塞因根号s的这个人的平方，把零和一带去。对吧s对s积分嘛，

那二分之一二分之一跟前面约掉了，一旦取阿克塞因一啊啊三因二分之派等于这样的平方零代去零，所以说等于四分之派。派方这个人答案选几啊？选一。能听懂吗？好了，这是这个事情，要想清楚哦嗯，其实你发现这个我们做这个题。其实就就当做成定积分来做了啊。那如果。碰到定积分，是不是还得看区间内？你这句话有问题，

你应该说碰到积分是不是要看中间有没有狭点？其实这就是做题的意识的问题，你说一般情况下，比如给这个积分呢，我会首先看看a。眼睛一瞅，发现有无定义点。对吧，有无定义点有无定义点稍微进行去瞅一瞅。如果没有误定点，就直接做就行了。你尤其要注意，比如说零到一的积分，哎，我看无定义点，

比如说是二分之一，你这时候要小心了。其实有的时候做题的时候多增加一下就行了。那一下不会耽误你几秒钟的时间，那一下有可能就是我在做题的时候，那一下的反应，比如说我看的这个题就是习惯问题诶，有无定点零和一那就不管了。我看a我二分之一我就要管了，我先看看二分之一是不是狭点，是狭点还得拆开做呢？稍微注意一下好第14题，再来看看第15题。看这个题呃，这个题啊，

其实也不难。对吧，大家想想这是个什么？这是个变现函数嘛，见到变现函数首先想的什么？首先想到求导。但是必须是标准型，里面当中不能含有谁x，赶紧把什么情况x-t换成u。那这时候换的时候其实是把t换成ut，是0u是ST是su是零，然后这个t是x-u，然后这是fu。dt等于多少？dt等于负的利用。

所以说负号用来变换上下限，然后这个时候就是x-ufudu。但这个东西仍然是非标准的，没关系拆开。拆开了之后就是x乘，它x可以提出去了，零到xfudu没问题吧？你再减去零到xu倍的fu。抵用。你就做成这样了，所以说这个题的这个结果我们来看这个式子，它就要等于一减多少cos x？没问题吧，所以说这个题什么都没考，就考了变现函数的非标准型的画法。

能提就提。提不了就换，就这两个操作，然后接下来求导就行，那么前导是一后面不导。然后再加上前面不导，后面来导fx，然后s倍的fx哎，你看这两个东西约掉了，然后这求导呢，这是sin x。然后怎么做？继续再求吗？有同学说我在两边同时求导fs=cos塞上去太慢。同学们，

想想你直接令这个x=2分之派不就行了吗？那三又二分之派是几一呀？而且定积分的结果与积分变量字母的选取没有关系，那不就是一吗？你要想清楚，这是一个函数，它的自变量是x。对吧，你这个函数等于s in你直接令这个s=2分之派不就行。好，15题啊，它这个题难度系数也不是说特别高，就考了一个事情，变现函数的非标准型的画法。对吧，

变线函数非标准型的画法好了，这是这个点。过去了，可以吗？来继续啊，再来看。要不然这样吧，我们稍微休息会儿。休息五分钟，然后一会我们再来继续来看看这个下面部分问题啊。可以吧，好休息五分钟，一会我们再来啊。

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