01.396数学基础通关大模考1【讲评】-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:03:32

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请给我回复一好，我们先测一下声音啊，保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。呃，好久没有上课了呀，对吧？我们今天重点是对这个今天上午的时候我们进行的这个基础通关大测试啊，这应该是试卷一我们做一个重点的精讲。对吧，

这个今天考试了一下，对吧？我们上午专门的话，在这个B站里面给大家设置了一个这个考试的这个直播间。也是跟同学们进行去感受一下这种考试的氛围，当然我们这次考试啊，只有这个数学呃，到了后续我们还会跟着同学们进行去啊，再进行安排几次。我想通过这个考试啊，很多同学就会明白一个事儿，对吧？呃，不是说这个题目啊，没有见过，

也不是说这个题目啊，自己不会做，那就是这个知识点，硬生生的就是想不起来那种感觉是最难受的。所以我觉得今天在这个正式上课之前呢，我们在这个。对这个基础通关大测试啊，我们做几点说明啊？呃，因为这几件事情啊，我觉得还是比较重要，一个是心态上的问题，一个是目标上的问题。所以这两件事情都是我们这次考试啊，我希望同学们啊，

有一个最好的一个获得那么首先我们先看第一个事情，我想说一下。这个考试的根本目的啊，是为了提高有些同学考完了之后啊，就感觉说啊这个。没有复习好，怎么那么多东西都给忘了？哎呀，自己好差劲，不是这样子的，考试的根本目的是提高。考试的目的不是为了进行去打击你，不是为了说哎，这个呃自己你怎么复习的话，这个怎么那么菜不是这样的一个意思？

考试的根本目的就是希望大家一定要进行去看看自己，目前而言有没有达到这个已有的这样的一个基础水平。这是我觉得这次考试最重要的问题，所以大家注意你要找到问题，你进行查漏补缺，然后另外事情你要找到自己的目组，然后进行去确定一下下个阶段的目标。所以我觉得这两天的时候啊呃，让大家进行去复盘，有些同学可能进行的非常的好，但是有些同学就不听话。凡是这个觉得复盘浪费时间，然后就进去去做了好多这个书籍，然后就进去去买了很多书，然后就开始刷。

你发现没有基础知识的支撑，没有这种基础的这个，比如说公式啦，运算的方法啦，还有这个什么计算能力的这些支撑，你做任何书籍其实都没用。而且另外一个事情像这里面当中的一些题啊，而且还有原题，你像有些同学把它做错了。你说所以说说明什么问题呢？你自己这个基础阶段到底有没有做扎实？所以我这两天过程当中啊，我让大家好好进行去复盘，把那些东西都装到脑子里面。那所以这些事情非常非常的重要啊，

所以这是我觉得这个第一件事情啊。啊，怎么了？好好听课，所以这我觉得这是第一个问题，对吧？找到这个问题，查漏补缺，找到这个不足确定下目标，然后另外一个事情你不用过多的关注，你现在的这样的一个分数。我觉得这个分数啊，不重要。这个分数不是你今年12月24号那场考试的那个分数？所以这场考试啊啊，

怎么了？麦有点炸是吗？哦，你你稍微等我一下，等我一下，等我一下。好，现在可以了吗？好，现在可以了吗？嗯。好了没？调一下，不耽误时间，不耽误时间。

那不好意思，你早早说呀，对吧？我一开始就把它调一下啊。好了是吧啊，那刚才说话的话呢，有点儿有点儿炸麦了啊，所以我接下来我继续啊，我再说一下呃，不用过多的关注这个分数。它不是你最后一场考试的分数，所以我觉得这个分数啊，应该给很多同学提个醒儿，尤其是你考的，不是说特别好的同学。

一定提一个重要的醒儿，说明你这个基础的东西啊，没有消化到位，所以这两天好好进行复盘，然后做好这个强化题型的准备。啊，这个题型强化题型的准备一定要把它做好。所以好好进行复盘呢，你该进行记的公式是不是要记住，你不要在那拖，我们作为三九六的同学，到了九月份的时候，我们就开始做模拟卷。对吧，尤其是我们全程班的同学，

你就可以开始做模拟卷了，所以该记的公式是不是一定要把它记住啊？你不要等到什么时候呢？等到这个12月份再背嘛，你12月份要记的东西太多了，你根本记不住。所以这是一个问题，然后第二件事情基础的这些方法我们已讲过的，那些题是不是应该把它掌握清楚啊？已讲过的那些方法是不是得好好进行把它处理清楚啊？所以我觉得这些事情都非常重要，最近啊，好好进行复盘，大家注意对抗遗忘最好的方式就是复盘。我相信在座来听课的同学没有说哪个同学说我不会忘我过目不忘，

不可能我也会忘我学很多东西，我也会忘。但是你发现我遗忘了之后的话，我会进行复盘，我再把它捡回来，那这样的一个过程其实就是提高，所以不要觉得复盘是浪费时间，那么之前我们在这个三九六的这个基础课程呢？结束的时候给了同学们一个非常重要的那个。就是一个规划的那个表，不知道同学们做到了没？所以好好进行去把这个东西啊，该复盘的一定要做到位，我们是15号，然后开始这个强化课程我们。

我再强调一遍，我们这个强化课程最重要的问题就是消灭提醒我一会儿可以给你看一下那个讲义，那个呃书倒是排的非常非常的好啊，现在正在那个。呃，教程还有这个应该是下周的话，他们就可以开始印了啊，然后印刷了之后啊，应该是15号那个周啊，会跟同学们进行寄送，你们不要着急这个事情。所以这两天你收到了之后啊，你也不用开始做，那是我们上课的时候会用到的讲义啊。好了，

这是这个，所以希望同学们好好进好做好这个准备，尤其是没有考好的同学啊，不要这个气馁，因为我觉得这场考试啊，对你而言是一件一件幸事。如果没有这场考试啊，你一直都不知道自己的学习方法出现了问题，你要是朝着那个方向一直到了九月份，十月份的时候你再开始做卷子，做出这个情况，你发现根本来不及了。所以今天是七月号，你幸好考了这场试，你至少发现了我自己在到了这个阶段呢，

我的学习方法是有问题的，我得好好进行调整。所以我觉得这个考试是一个非常好的一个东西，因为我再怎么说都没有考上试啊，然后对你的提醒呢，来的重要。我有时候我经常说你，你会觉得说哎呀，这个有点啰嗦，但是你考场考场是你发现哎很多讲过的题，把它做错了。曾经我们见过的题还是不会做，曾经做过的题你发现还是不会处理，你发现你看考试对你的提醒是不是很重要？所以我觉得这场考试啊，

对你而言是相当大的幸事，今天是七月份，而且是我们强化班之前。你至少就知道哎呀，我这个基础啊，是没有做到位的，我的学习方法是出现问题了，到了强化的时候，我要好好进行挑战。你不然到了这个十月份，你再看你再试这个效果，你发现就来不及了啊。好了，那么接下来我们就不多说了，那么接下来我们就继续我们来看看啊，

这套试卷我们来把这套试卷呢，每个题做一个主题的讲解，然后你在听的时候你好好进行把这个。相对的东西啊，好好进行处理清楚啊，来那么接下来我们一个一个开始吧。呃，你们不要着急啊，这个后面我能安排的话，我就会给你们安排。其实你们比这个去年的同学啊呃，幸运多了，对吧？我觉得这个今年的话，模拟卷，

到时候我们有十套卷子。我每套卷子都能给你讲。每套卷子我都会给你设置课程讲，所以对于数一数二数三同学，我觉得我们也比较幸运，他们只有四套卷子，我们有十套卷子。十套卷子我就得开十次课程。啊，我就得开始开设十次课程，所以我本来这个课时量就很大啊，所以我觉得这个今年呢好好来啊。来那么接下来我们先来看看第一个题。这套卷子啊，我相信大部分题你做起来，

这种就是我们三九六同学的这种做题的，这种感觉题目出题的感觉。好，我们先来看看第一个题，第一个题啊呃，做的好的同学会做的非常快，但是有些同学估计这个题啊。呃，做的太慢了。那么，首先我们先看看第一件事情，你发现这个题就是个骗子，那你想想一个事儿。等我一下。好，

我们先来看看这个第一个人。啊，第一个题。那这个题啊，你发现不就是这个人的二分之一次方吗？你首先第一件事情，你得把那个二分之一是不是抽出去啊？你不抽出去，这个题就非常麻烦了，所以说这里面当中考察了一个性质，就是你这里面当中阿尔法次方，你可以把这个阿尔法抽出去啊。对吧，你先把这个二分之一抽出去，这个题就非常简单了，

它就变成了一个l多少，然后这是s in，然后再加上cos这个人。舒服了吧。然后接下来看看下面这个人，下面这个人是多少呢？你下面这个人得调下你来一个负号，你负号了之后的话是一减x的二分之一次方减一。是吧，所以说第一件事情的话，我们来看看这个里面等价，那这时候这个框就是负s，所以说等价无穷，二分之一多少这是负s。负负得正，

这是二分之一s，所以这里面当中啊，它就是二分之一s。你看这个情况，做到这儿就简单了，然后紧接着又考了件什么事情呢？有没有发现ling的函数里面往哪跑？罗印的函数里面往一跑，是不是这个事情？罗印的函数里面往一跑，立即等价无穷，小于这个函数怎么办？这个函数减一。所以说就是sine+cosine再来减一比上s。然后紧接着我们就继续来看你，

发现这是个一阶无穷小，这是个二阶无穷小和取第一阶取一阶，然后等价无穷小x。本题结果等于一。啊，这个题啊，出的真好，说实话，很有我们三九六同学的做题的感觉，难也不是说贼难。对吧，不同同学做题的这个操作性严重的影响了这个做题的速度，所以很多同学这个题做的非常慢，你看今天的时候这个考试。一个半小时。

对吧，一个半小时，一个半小时的话，其实呃，我们应该做这个题啊，这个35个题应该是控制在多少呢？应该是在控制在呃，尽可能不要超过一个半小时，你做到一个小时20分钟就差不多，你看有的时候这个题你做的时间太长了。你这个操作性就没上来啊，这是这个人下节得复习啊，你看这都是讲的吧，你看我们今天一讲这个事情就出来了，当然你也可以拆开，

你拆开的时候也很简单。那这个结果是一嘛，然后这个结果是多少？那这个结果是零嘛，你拆开也行，洛必达也行，你说这件事情我们纠结什么呢？好，这个题啊，我们就讲到这。你直接在这里面当中加个一减个一，你如果说加个一减个一，你不就low了吗？因为l一个函数趋向一立即等价无穷，小于这个函数减一本来它的操作就是里面加了个一减个一。

你只是我们做题，我们跨了一步，你还在中间那一步呢？所以你要注意，你作为三九六的同学，这个做题的速度还是要提高的啊，好了，这个事儿我们就讲到这儿。所以注意一下这个事情来继续看这个问题。第二题那第二题我们继续看，它说趋向于s0的时候，这个极限是零，趋向于s0的时候，这个极限是二。然后这个是无穷大，

那么首先我们先看看第一件事情，你还记得这个保护性的内容吗？那这很明显，一个事我们就可以看出来，这是limit x趋向s0这个fx极限是零。它的极限应该是小于什么？小于这个gs极限，然后这个极限小于谁呢？这个极限是小于这个hs的极限。是不是这个问题，你看它的极限比它小，我们讲过这个事情，如果你的极限比它的极限小，然后我们就可以用什么东西啊，用这个保号星就可以说。

在什么情况x趋向于x0，什么叫做x趋向x0呢？其实就是x0的去心领域内。只有在这个去心领域内，它的fs才会小于这个gs，才会小于hs，是不保号信的内容啊。你能说所有的情况你都比他小吗？不能只能说去心领域，你能说所有情况比他小吗？不能去心领域。然后再来看c选项，你这个结果是零，然后你这个结果是无穷大，很明显这个极限是未定式，

所以说它不对。然后再来看看d选项，那这个gs这个结果是二，然后这个是无穷大，那这两个一乘当然是无穷大呀。你可以把这个二抽出去都行，非零因子嘛，或者直接看，我们都知道，如果一个不为零的数乘上无穷大。当然是无穷大，但是零乘无穷大，它是个什么式啊？它是个未定式，所以说这个d选项是可以的。

再来看看这个e选项，你发现这个结果是零，这个结果是二零×2，当然是存在就是零呐，所以说这个e不对，正确答案选d。这很有我们的题的感觉吧。你要是如果是个二战同学，你往年的时候你做过模拟题，你发现我们的考题的那种感觉好像就是这种。好了，这是第二种，来，我们再来看看。第三题。

第三题啊，又是个速度问题。存在乘以不存在是位置啊。你在说什么呢？啊，你在说啥呀？二乘上无穷，大不就是无穷大吗？啊二乘上无穷大还不是无穷大。好了，这是这个。他说的是这个事情，他说二是存在的无穷，大是不存在的。然后说这个结果是什么？

是未知的。你注意一个事情波存在有两种。对吧，不存在有两种，一种情况是无穷大，这种不存在一种情况是不唯一的，这种不存在。所以我们往往说，如果说一个人是存在，一个人是不存在这个情况，不知道因为那个不存在，有可能是无穷大，也有可能是多少，也有可能是不唯一。而你发现这就是无穷大呀。

不为零的数乘上无穷，大是无穷大呀。零乘上无穷，大是未定式啊。不要搞混了，来我们再来看第三个题。这个题啊，我不知道你做了多久，对吧？这个题你得控制在一分钟内，你不要时间做长了，然后我们来看。两翼做差，立即怎么办？立即提出。

后者赶紧把这个人提出来，提出来之后的话，然后这就是一翼的摊正体。再减去一个s in，再减去一。好，马上来看看这个事，你发现e的零是几e的零是一一是一个什么，一是一个非零因子。那既然是个非零因子，非零因子可以淡化。非零因子在等价的时候可以淡化，然后继续看你发现这个板块的结果是零。那这个时候一的框减一，立即等价无穷小于框，

然后是这个人。老朋友了吧，这人怎么做？这有N多种方法，做最快的方式呢，就是你已经做题做的非常有经验，把它记住了，其实最快的方式就是。提出一个摊正题一减cos。然后这人等价s，这人等价无效，二分之x方立即等价无效，二分之一s几次方三次方。这是最快的，你什么泰勒公式啦？

你什么减个x加个s，这都太慢了，最快的这个方式就是这个。啊，这是最快的，它等价多少？然后紧接着我们再看后面这个人，那后面这个人是xn次方ln 1+s，这人等价多少？乘法当然是可以等价，只是x的n+1次方，这两个人是什么？是同阶那尽量是同阶的话，说明n+1这个阶数是跟三是一样的。所以说这个n等于几n=2答案选几c。

好，这个题啊，非常快，两翼做差提后者啊，提这个呃，后面拉格朗日也讲过，但是我们最简单的方式就是两翼做差嘛。这有啥区别，你又拉格朗日和这个提出来错的这个速度一点都没什么区别啊。好了，这是这个声儿呃，这个有回放有回放。这都属于我们的正课，里面的内容啊。呃，

有回放的好，那么接下来我们再来看看第四个题。来，继续看。第四个题又说了，他说这个函数在零处是可导的。就说导数是存在的，那你发现它在零处可导，它在零处肯定是连续的呀。连续，然后说f0是0f，撇零是负一，然后拿到极限先定行吗？你定型的时候都定一下，你看这个n是连续极限，

是不是等于函数值？所以说底是一一是零，零分之一是无穷，大一的无穷大不一定是怎么做啊？不要跟我说幂值转换，你一说幂值转换说明就没有好好复习来赶紧做。答案就等于多少一亿的极限符号照抄，然后是头顶部分照写。然后再来d- 1 d- 1是二倍的fx，然后这个时候的话，这个题就马上出来，二抽出去，然后就变成了s趋向零。下面等价无穷s，这是fs。

然后怎么做？知道这个导函数，你要注意，其实不能落笔的啊。如果洛必达的话，你可能用到导函数的连续，其实不对啊，其实不对，其实去年那种考题就是这个给大家提了个醒啊，所以这个题怎么办？你只能进行去凑导数定义。当s趋向零的时候，这是s减个零，而f0是零，你刚好减了一个f0，

那就凑了个导数定义，那就是e的2倍的f撇零。f撇零是它e的负二次方，所以答案选几选a。其实这前四个题啊，我最满意的是哪个题呢？我最满意的就是第一个题。这套卷子呃，改了好几次。改了好几次。就是这个，我最满意就是第一个题，因为怎么了？从第一个题把很多同学在这儿拖住了。啊，

你发现这个拖住了。说可导还不连续啊。下去给我抄啊啊，下去给我抄导函数，不一定连续怎么到了今天还是这样呢？有些同学在这一步的话是怎么做的呢？他说我洛必达，那这个时候的话就是limits趋向零洛必达洛成了这个人。对吧，然后它说等于一的2倍的f撇零。你放心吧，你这个题你就算做对的，你总会碰到一些题，你做错了，你看去年老头子就特别欠儿。

二零二三年的话，那个考研真题那个第二个题。你要是还是这个水平的话，你再做那个，你肯定做错，你绝对会做错。那你想想这一步对不对？这一步不对呀？对吧，这一步不对呀，这一步你用了导函数连续啊，你是不是用了导函数的极限等于导函数值啊？还为啥你看这这怎么这都不复习呢？对吧啊？你你不要说就就，

你要是这样子，你不要说一轮两轮，你十轮都没有用啊。你复习一轮不扎实，一轮不扎实，你说到了这个阶段的话，你看你这个点的话，怎么不掌握清楚呢？好了，我再说一下这个事情，行吧，我慢点再说一下这个问题。我再强调一遍。那fx。在x=0处，

你是可导的。它只能推出，谁连续你只能推出fx，在x=0处连续啊。是不是啊？你能推出导函数连续吗？那肯定不行呐，谁可导谁连续，你只能推出哎fs是连续。你怎么能推出导函数连续呢？你在这一步的时候，导函数的极限等于导函数函数值，你不是用了导函数的连续吗？你这步是有问题的呀。那所以说一定要稍微注意一下，

你看这个你稍微复盘一点点，这个题其实不难啊。复习啊复习啊，我觉得这场考试啊，对很多同学而言是一件幸事儿。你幸好这是在七月初的时间。啊，七月初的时间给你好好提了个醒来，那么接下来我们继续，我们再来看看下面的题第五题。这题没人出错吧？啊，这个题。来继续看啊。走呃，

我的目标很简单，我希望大家今年都能考好啊，都能考好，所以说这个下去的时候你好好进行去把这些内容好好消化一下。你该讲的你说都讲了。你下去一做题的话，你发现呃啥都给忘了，你又不是当时当下的话，那个才讲的时候你不会，你把那个东西忘了，你忘了复习呀。来我们看看这个人。这题没出错吧？你这题做错了，你有点不该不应该了，

那这什么一元函数由方程确定一元隐函数吧。那么就给这个东西怎么办？方程两边同时求导，那怎么办？s函数s函数前导后不导，前面不导，后面来导。再加上e的y，然后是y来的等于一。然后继续两边再同时求导y导x函数x函数前导后不导前面不导后面来导两阶导。然后再加上乘法求导，那前导呢e的YY导后面不导，再加上e的y不导，后面来导，然后一求导是几零？

然后这是20，然后这是30。没问题吧，来我们继续看，你要求解这个人导函数，我们来走了，首先第一件事怎么了？导导导带带带吧，当s=0的时候来。咔嚓！想往这带。往这带是多少一亿的y=1 y等于几零？然后紧接着当s=0 y=0的时候继续往哪带，继续往这带。啊，

去年的考题就是这种风格，这还打点儿给我去掉，这有什么打点的，这题不会重学，把这个知识点重学去找到隐函数存在定理重学，这还打点，刚给我取消了啊。这不能打点，不能打点，赶紧给我取消啊，不能打啊，然后我们再看往这带往这一带的话，你发现这个值是多少？这是e的零，然后这个y导等于几一？

能听懂吧，然后我们再来看，继续当x=0 y=0，然后这个y撇等于一的时候，我们继续看。再往来，然后这个部分往这逮。往这带的话，你发现看这个前面的话有个一一，然后这是零，然后这是多少一的零，然后这又是一，然后这是多少y的两阶导数？所以说它等于几，它等于负三正确答案，

选几选a啊？好，别气我啊，对吧？不准打。每每次考试别别别老这样啊，好来继续再来看看第六题。那个题不能错，能听懂吧？那个题不能出错，再来看第六题。第六题，它说这条线上。跟什么情况？跟这个你发现跟这个东西垂直的切线方程。

垂直诶，同学们想想。我来画一个二维的迪卡坐标系。那这个时候你发现这是y，然后这是零，这是x，这非常快啊，你看这个ln你找一个点跟这个垂直。诶，那这个斜率是多少y=-x+1它的斜率是负一？那如果说在这个条线上，它的切线跟这个垂直，你告诉我切线的斜率是多少？斜率是多少？你这个斜率是负一吗？

那这个垂直的话，这个切线斜率是多少？切线的斜率不就是一吗？那你就在login上找一下这个什么，找一下这个斜率，而你发现这个导函数是多少我们都知道这个斜率。斜率是等于导函数，导函数的这个结果的话，刚好等于x分之一，你找一下，一是哪个点？那刚好是x=1这个点。我明白了，就在一这个点，那其实是一什么点呢啊？

这个点应该在这儿一零点。马上找到了，来切点是多少？切点是一零点。斜率是多少？斜率是一，所以说就是y等于多少？y等于你发现就是这个点过这个点。然后它的切线。使斜率乘上多少x- 1。好了，所以说这个题的话是多少正确答案，选择a选项。好了，这是这个题，

这题没做错吧？你发现就是这个上面跟这个什么跟这条直线。垂直的切线方程。那这个斜率是负一，你就找那个切线斜率是解切线斜率是一的啊，这是这个。好了，我们继续吧，我们再来看看下面的事情，再来看第七个点啊，这个题啊，估计很多同学出错的多呃，当然你可以这件事情啊，原谅自己。因为这件事情到强化上完的结束啊，

它就不是一个难度系数的题了。像什么单调区间啦，像什么极值啦，像什么零点啦啊，非常的简单，然后我们来看看这个事情。首先，我们先总结一下单调区间的做题方式啊，单调区间单调区间怎么做呢？分成两步。注意啊，单调区间的求法。那么，首先我们先看第一步。啊，

第一步第一步的话，在这里面当中就是求导。然后找导数等于零的点和导数不存在的点。哎，找导数等于零的点和导数不存在的点，找到了之后，然后第二件事情画表就行。画表好了，这就是单调区间的做题方式，非常的直接，就是你找导数等于零的点。和导数不存在的点，因为这两个点是极值的分界点。是极值的可疑的分界点，不能说分界点不是一定是分界点，

是可疑的，所以我们找到这两个点，然后进去就画表判断正负性就行，单调性就出来了。好了，这是单调区间的判定，所以我们接下来看看这个事，直接上那这个导函数也非常简单，导函数是多少？十倍的x+1的九次方，然后后面这个人不倒，再加上前面这个人不倒。然后后面来到是负的e的负s。所以这里面当中，我们就可以整理一下了。

把这个x+1的九次方和e的负s提出来。提出来就是十减去s加一，其实就是多少九减s？那这个时候你想进行看正负性呢，我给你教一下，非常容易啊，你把这写成八次方，它是正的了，所以说这个后面还有一个x加一，还有多少九减x？大家想想这两个东西都是正的吧？所以正负性是应该由后面这个东西进行确定。没问题吧，然后接下来你来看看有没有导数不存在的点没有，只有导数为零的点，

而且这个图像呢，它应该是倒扣的，这是负一，这是九。所以说这个抛物线是倒扣的。所以这是x是多少呢？是负无穷到负一，然后负一负一到九，你快速的话，其实耽搁不了多长时间。九然后是九到正无穷。这是s，然后这是y导，然后是这是什么？这是y啊，

这是y导，这是y，所以我们看看那就是这个部分。两侧部分呢，那这个板块是负的，然后这是负的，这是正的，所以说这是减，这是增，这是减，然后这是零，这是零，这是极小值，这是极大值。好，

我们先来看看单调区间，请告诉我单调减区间是哪儿？单调减区间就是负无穷到负一九到正无穷。那这不是增区间，是减区间，它不对。然后在负一处取什么值极小值不是极大值，它不对。然后再来看，说增区间增区间是负一到九，你不对。好了，这是这个问题，然后接下来我跟同学们看看零点的问题。什么叫零点呢？

零点就是与s轴之间的一个什么交点，大家注意判断零点的问题，你的方向非常的简单，作为我们三九六同学的考试。其实就是两步，第一步零点的问题，第一步确定单调区间。确定单调区间是不是上面这个问题啊？确定单调区间第二步再看两端。诶，再看端点处的情况。所以说这件事情就非常容易了，对吧？再来看端点的情况。啊，

看端点情况，所以接下来我们来看看这个大致的情况，它就非常非常的容易，你走一下。其实这个题非常好。原本我是把这个呃写到了那个这个冲刺那个就是冲刺满分十套卷，就是我们最后的模拟卷里面的。然后我又抽了一道题，把这个题抽过来，放在这里面，就这个题非常好，然后接下来你看看。这个题啊，首先第一件事你发现它要减到负一，然后往上增啊，

然后增到九，然后再往下来。你这里面当中，你还要看一个事情，你是不是要还要看端点呐？端点就是负无穷和正无穷。所以大家一定注意，我们首先看看负无穷和正无穷，你想想，如果这是limits趋向负无穷，你等于多少？那负无穷的话，那这个部分是多少？那负无穷的话，这个部分是无穷大。

反正这一项是正无穷。为什么？因为是十次方。负无穷加一是负无穷，十次方就变成正无穷，然后这使负无穷一一的变成正无穷。一亿的正无穷，又是正无穷。正无穷乘，正无穷是正无穷。能听得懂吗？所以大家想想，我就是从遥远的正无穷而来，而且负一的处，这个结果等于零，

你看。负一处这个结果是不零。然后紧接着我们再往上来来，再往上走，你要走到九处。然后紧接着点睛之笔就来了，这是我觉得这个题我出的非常不能夸对吧？但是这个题出的非常精彩的点。那就是什么呢？我觉得负无穷，很简单，就是正无穷。s趋向正无穷，正无穷，你可以这样写，

这是s+1的十次方，然后把这个东西es放下来。es放下来的话，这个结果是多少？那这个结果你发现下面比上面大的多，这是零。对吧，这是零，所以说你看这一端，它其实往这儿跑接近于零，它是没有经过的。啊，这是光滑的。你能听得懂我的意思吗？啊，

这是这个事儿，所以大家注意，因此这个点它只有几个零点，一个零点正确答案选几。选d你要注意啊，这个题做题方式就是这样。诶，做题方式这是啊，我非常有灵感的一个题。还有你看你看这个题，这个题操作性非常的强啊，这个题。所以像这个单调区间确定了之后，你再看端点，我给你看看去年的考研真题吧，

好不好？同学们呃，带着大家进行做一下，这是诶，这是模拟卷。这是去年的考研真题。呃，我给你找一下，但是这个上面好像敲错了，我给你看看那个题啊，大致看看，因为我强化还讲还讲呃，因为这个题当时去年估计有些同学做了，做的不是特别，你不用看下面答案，

下面答案不对。我给你看看这个题，这是去年的一个考研真题，你看我都放在了第七个题。你还记得这个题吗？这一题啊，水平高的同学一下就做出来了。水平高的同学一下就做出来了。如果你发现这个题啊，这是去年的考研真题，会做的同学几十秒。你要不会做这题就废完了。那么，接下来我给你看看这个事儿，这题怎么做呢？

它说这个人有两个零点。零点大家不用不用担心这个事儿，我就是说了，这个是基础的通关测试，其实零点的话是我会放到强化班重点进行讲的。呃，一会儿课间休息的时候，我把那个讲义给你们导到这上面，给你们看看啊，你就明白了，这个强化我们到底是在讲什么啊？这个题啊，怎么做的贼快呢？你想想，如果进行求导，

这题就废了。你想求导这题就废了。零点就是函数与s轴的交点，你如果求导就废了。那这个题怎么做呢？怎么快速来这个人的定义域是r？定义域是r是不是要先看端点，这个端点你要看快一点。如果这个是什么limits趋向负无穷，我不知道你能盯住吗？趋向负无穷，趋向于负无穷是多少。趋向于负无穷，你可以把这个e的负s写下去。那你想想这个人就是正无穷。

这是不正无穷。e的正无穷，是不是正无穷？而指数比上面大的多，这项是零。后面三个人的老大是他。然后负无穷的三次方负无穷，加个负号正无穷，所以说这是正无穷。没问题吧，然后再来看看趋向正无穷。好了，这件事情听明白了，给我回复一。这个操作性非常重要，

你看清楚给我回复一，然后我们再来看正五球。e的正无穷，是正无穷，然后这是正无穷，所以说这就是老大了。前面有个指数，肯定比后面大的多，那么前面是正无穷，前面是正无穷，你带领着一些小弟何去何从？所以大家想想，现在我就明白了，原来如此，我在正无穷和负无穷的时候，

对吧？我在正无穷和负无穷的时候，我都是正无穷。都是正无穷，然后看答案，答案当中是a+e。两端都是正无穷，都是正无穷。你肖像有两个零点，肯定有个值是负的。然后这个答案当中，你再来瞅一下a+1。a+ee出现在这儿，你会带几？我会带一。

你带一试一下，带一的时候的话，这是一然后的话，这是负三+3就没了，然后这是一，所以说前面是个一。减三分之一，加上二分之一，加上a，然后就是e，然后再加上多少，加上六分之一，加上a。你告诉我件事儿，两边都是正无穷，

要想有两个零点，请告诉我这个点处的值一定得什么零。肯定得小于零，只有你小于零的时候，你发现它的图像哎，你看它的图。它的图像才会是什么情况？才会是两个点。所以说你发现这个人必须怎么了？小于零马上出来a加e，小于负六分之一。所以说这个题啊，你发现你看去年考试的过程当中，你做这个事儿其实非常非常快。对吧，

这就是我们三九六同学做题的这种感觉。今天我们在这个出的这个卷子啊，你就会发现我们三九六同学的这种考题，我原来的时候我给你讲过这个事儿啊。我接触的时候我不拘泥那个事情，你可能看到有一些题是大题。对吧，有些题是大题。怎么我们三九六同学不是全是选择题，我们怎么还能去做一些大题，而且综合度很大的题，那是基础班，我希望大家把所有的知识点都找不清楚。对吧，但是你看现在而言的，

你就要掌握住三九六的话，我们进行去处理的这种方式。好了，这个题啊，我就说到这儿啊，我就说到这儿。对吧，你要说这个什么呢？呃，你要说还看不明白，你发现你就不了解这个做选择题的这种感觉。对吧，你做选择题这种感觉啊。好吧，那这个事儿啊，

我们就先说到这儿啊，强化我们再来说零点的问题吧。啊，强化再来说。好了，这是这个事情吧，我们就说到这。你要注意一个问题，你做这个极限呢？你做做这种做这种问题，你是做选择题，你得进行去多看看选项我。我们做题的这个速度也很重要。你硬生生的一道这个什么选择题，你把它当做成大题来做，

那这种感觉也不好啊。好了，继续，我们再来看看第八题。好强化再说。来那么接下来看看第八题。啊，第八题。那第八题啊，不应该出错。那这个题的话，其实就是非常简单的参数方程，求导的题估计没有做出来的同学都是忘了。先来看一阶导。一阶导的话，

就是y对t比上s对t。那y对t求导是多少？那其实就是ln 1+t^2。然后x对t是多少负的e的负t？然后紧接着是二阶导数。二阶导数怎么做？二阶导数是一阶导数，对谁求导一阶导数，对t求导补上s，对t求导分之一，还记得吗？我就直接写了，你要忘了你就要去复习了。然后接下来我们就来看看这个平方，下面平方是e的负2t。

上面求导是多少？一+t^2分之2t，上面求导乘下面。减去下面求导，减去下面求导时。e的附体。因为负负得正嘛。然后再乘上上面。然后要补上s对t求导分之一负的e的负t分之一啊，这个题啊，预算量可能稍微的有一点。然后接下来直接往里面带，往里面带的时候，你发现你看把零往里面带，零往里面带，

这时l1就没了。然后的话，这是零往里面带，这是一就没了。然后的话，这是一就没了。所以说你看这是这是负的，你要注意啊，这块是负的。那所以说前面的话，这个留下的这项是零，它也没了。诶，叫我看看啊。是零吧。

零的话就看看。这个是零没了吧，然后这是ln 1它没了，所以说这两项都是零，那就是零，所以答案选几c。所以这个题的话，你你看起来这个式子麻烦不要整理，一整理又麻烦了。你不能整理，你就写成这个样子了，之后你直接把零往里面带，你一带的话，你看这没了，你看这没了，

呃，那就没了。不要整理，因为最后我们都考代值。好，这个题应该没有出错吧？来继续再来看第九题。那第九题考了什么呢啊？第九题。第九题这个题啊，它考的是什么？考的是微分的定义。是不是啊？微分定义说，如果在这点可为它的一个什么因变量增量，

它会等于什么呢？等于自变量增量的线性关系就是微分。然后再加上德尔塔s的高阶无穷小。那这个时候的话，你发现这个v分，它就等于多少呢？那也就说谁出的增量，我们来写x处的增量。这是s处的增量，就是x处的微分s处的微分，就是导函数再乘上德尔塔s。ds是deltas嘛，再加上高阶无穷小。所以这像个鬼的拉格朗日终值定理。这哪像拉你能把它看成拉格朗日中值定理啊，

那说明你这个微分定义就非常不俗。别别别，胡来啊，这一考试问题就来了，你别别胡来啊，不要乱来啊，不要乱来，所以两种方法。第一种方法，一眼瞅出结果。对吧，第一种方法直接给我秒。一眼看出答案，所以大家想s处增量，这是x处的微分，

那这是谁呀？这就是导函数。2s倍的e的x方。好了，这是第一种，然后第二件事情，有些同学可能看出来诶，这是个增量，增量的话，那它怎么了？它把这个什么？帕萨，这个是这是fs，他把这个德尔塔s除过去了，这种同学也非常好啊，

这种同学也很好，然后这是2s倍的e的s方。然后再加上高阶无穷小，再比上它。两边同取极限。对吧，取极限取极限的时候的话，你看如果这个趋向于德尔塔s求极限，你告诉我。除过去两边在同时求极限。求什么呢？求德尔塔s趋向零的极限。求这个德尔塔s趋向零的极限。好，这是这个事情，

然后这个时候啊，你发现左半边呢，左半边不是s处的导数定义嘛，然后对德尔塔求极限，你是个常数。高阶比低阶是零，他就是这个人。啊，大家注意啊，你不用担心这个事儿，强化还能再来一轮。我只不过是希望大家呢，做好这个基础班的，这样的一个准备工作强化，还会再来一轮。

所以说这个时候导函数就是它能做成这样了，之后啊，马上出来导函数等于它原来函数是不是等于它的积分呐？这个积分怎么做？把这个什么2s凑到后面去。然后的话，这个结果是不是就出来了？加上c。那你说那加加c怎么办？那c是多少？你管它呢f1-f零。这个题啊，我是类比着真题再出一道题，往年真题就这样出过，那f1再减f0。

那这两人都是c，那是一的一次方加上c，然后再减去一的零次方加上c，所以说这个结果等于多少一减一？那c就约掉了一减一，所以答案选c。看清楚这个题了吧，这第九题啊。好了，这是这个事儿，我再说一遍啊，这题是做过的。啊，这题是我讲过的。我上课有提过这个事情吗？

说过这个问题啊，你稍后注意，你说明的话，这个知识点还是不够不够特别的熟啊，当然我们强化，还有这个训练。c求出来，不用求啊。c不用求出来。对吧，其实不用求这个给多了，下次我就把它给删掉，不用给了。好了，那么接下来我们继续，

我们再看第十题。来那么接下来继续吧，我们再看它这个题就比较简单了。这个题考什么呢？考fs分之一的积分，那这题考什么考反问题，你首先就要知道fs。是不是要知道这个部分呢？那这个部分是什么呢？这个部分的话就是这个人要对x进行求导是不他？所以赶紧来x倍的fs就等于它的导函数等于根号下一减x方。所以这个fx的话，这个人的话就可以除过去s倍的根号，下一减x方。所以说，

然后就是它分之一的这个积分，它就等于多少，它就等于x倍的根号，下一减x方的积分。然后怎么做？凑微分吧。那二次一次可以凑二次一减x方，往后面凑的话就是x方。然后这个部分呢，配二分之一补一个负号，配一个负号加个一，因此这个人是负二分之一二分之一二分之三。三分之二。然后这是一减x方的二分之三，次方加上c。

所以说这个题选几啊是负的三分之一，这就不对啊，这不对。然后负的三分之一的话，这个人是多少呢？是二分之三次方，所以说正确答案应该选几啊选b。好了，这个题没问题吧？听明白的给我回复一再来看第11题。啊11题。11题的话，你发现这是一个n项和是极限。想n项合适极限呢，我首先先想定积分定义吧。

先想定积分，定义分成三步，还记得哪三步吗？一和。先写求和形式，对吧？三剑客啊，来赶紧来，先写求和写通项是一方二方三方，你就写k方加n方分之一。然后k从几开始啊，从一到n。然后这个时候的话，你前面这个人得配一个n分之一。你这来一个n分之一的话，

你就会发现一个事儿，那这个前面得来一个n方，那n方多了，你就把它塞回来。对吧，塞回来，然后紧接着的话，这就是limit n趋向无穷大，然后这是n分之一，这是k从一到n，然后怎么办？把这个n方除下去，这是n分之k的方加上一。所以这个时候的话，你看。

它它它，三剑客都有，而且它是n分之k的函数，因此这个结果就等于零到一x方加一分之一。dx，那这个时候的话，它的积分结果是阿克tangent x把零和一，所以说结果等于四分之派。好了吧，这是这个事情，所以说这个问题啊，正确答案选a。如果你第一想法是加b没有掌握清楚。大家好好回忆一下，我原来在定积分定义那块，

我是跟怎么跟大家讲的？只要见到n项和是极限第一步，先想定积分定义，定积分定义，能做就做，做不了再加b。你看这个时候就有些同学问为什么不能加b？那有些题加不住它就没法加呀，你那能有什么为什么不能加b呀？所以说这个这个问题，这个问题就不是一个好问题，你这个方法就做不了，没法做，你给我来一句为什么不能用这个方法？所以你看这个思维方式的，

这个建立是非常重要的。你看还是没有没有复盘啊？你要是好好复盘的同学的话，绝对不会出现这个问题。你这在原来的定积分定义讲的题，它是难题吗？它不是吧？啊，这是这个。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看第12题。我再强调一遍，我再说一下啊，我再强调一下，

我还是那句话，如果11题啊。你是先想加b呀，那就很明显一个事儿。你是没有做好复盘的。我说了好多遍了，像这种n项和式极限，第一步先想定积分定义。定积分定义，能做就做，做不了再加d，是不是这个问题啊？你自己好好去复习啊啊，当然我们到了这个第二遍还会给你串，但是你至少得保证这个第一遍学的东西啊，

你不能再有问题。来，我们再来看12题。这题考什么？积分线相同，被积分函数不同，考什么东西比较定理比较定理，核心方向只需要比较什么？只需要比较这个开区间内。三个被积分函数的大小。这仨的大小。这三个人的大小只需要比较s in quantity和cos in的大小。是不是只需要比较那三个人大小？我先问一下这个题有没有同学做错呀？啊，

有没有？好了，这是四分之派。然后这是谁呢？s in 4分之派，这是二分之根号二。然后紧接着的话，你看这cosine的话，这个人这是一。quantity呢？quantity这个四分之派刚好也是一。所以这个时候马上出来了，costs大于多少？coss大于谁s in，然后ln是个增函数ln它。

大于l nta，大于谁l nta？然后这个时候你比它大，那这个时候什么它这个积分就可以了，所以说这个它就大于谁呢？大于这个k的这个积分大于谁呢？I这个积分。所以说这个题是ji JK I对吧？JK I所以答案选几选b？好了，这12题继续吧，再往下走看看13题。13题这个题的思维方式也非常的简单。你看这种题，快速的做。

那么，首先我们看。对称曲线下的积分先想什么？先想奇偶性怎么判断？奇偶性一个负s塞进去。你看又有同学打点。你赶紧给我去掉啊，先向奇偶性一个负s塞进去，负s塞进去，它不动，它多了一个负号。所以说第一项就是个奇函数。奇函数等于零，我给你教过这个方法，最简单的判断奇偶性就是塞一个负s进去。

然后第二个人呢，他不动是个偶函数，因此这个结果就等于二倍的零到二分之派绝对值ds。而你发现一个事，这个零到二分之派是正的，所以绝对值等于本身，因此2s积分就是x方把零和二分之派带进去，四分之派方答案选几？选一好这13题。没问题吧，来我们继续啊，我们再来看看第14题。14题那14题这个题考什么呢？你再来抽。他让我去求fs fs，

不就等于你加上你再乘上个定积分吗？它的核心重点就是求解这个定积分。垫积分是个数。那这个定积分是个数，里面的s跟外面的s是不一样的，你就把这个数设成几设成a。你设成a了之后的话，这个fx就等于多少？它就等于一加上x方，再加上根号下一减x方。然后再怎么办？乘以a。然后紧接着两边再同时取这个积分。同时，取积分的话就是零到一一，

加上s方分之一的积分，再对这个人积分a是个常数，除去零到一一减s方ds。然后这个定积分是这个a吧，然后这个积分呢是阿克tangent x0和四分之派带进去吧，再加上a。这个怎么做？好的，换元一换元就废了，你发现y等于根号下一减x方不就是x方加上y方等于一的圆吗？所以说你发现这个时候啊，圆心在原点半径为一的圆，那因此这个人就是零到一这个积分。四分之一圆的面积啊。所以这是a，

然后这个arc，它这里四分之派，这是几诶零到一哦。把零和一带进去，不好意思。把零和一带进去的话，一带进去是四分之派，然后再加上四分之派。是不是这个事，所以说这个时候的话，你发现这个a就等于多少就等于四分之派比上一减四分之派。然后这时候只是派四减派。所以，正确答案选几啊？正确答案选e选项这个结果。

呃，大家可以看得出来吧，你看我讲了这几个题了。呃，为什么会出现这个速度上的差异呢？不要给自己找借口对吧？我们觉得你平时你给自己找那么多借口干嘛？你的核心重点，你最后的成绩。这是铁的事实啊。所以我觉得这个很多同学做题的这个速度没上来，你可能是这个做题的这个技巧性没有很高，这个技巧性而且是常规技巧性。对吧，这个常规技巧性，

你像这些事情，你没有想到你换圆了之后，你肯定做题速度慢了。啊，你一下子没有想到这个事情，你做题速度又慢了，所以慢慢来啊呃，我还是这件事情，就是这场考试啊，是给大家提醒。你听懂我的意思吗？给大家提醒。你可想而知，如果这套卷子这套卷子里面当中大概有呃四五个原题。你想想这些原题，

你把它做错了，你如果再进行去，直接进行去强化你强化复习了之后，复习完了之后又有好多题还是没有进行出。处理清楚，你说怎么办呢？所以我觉得这场考试是很好的一件事情啊，我觉得对于我们三九六的同学啊呃，中间的话安排了两次。11号。还是12号呀呃，我忘了那个时间了，你记住你去看看那个时间，反正是给你们通知了，还有一次考试啊。

好了，那么接下来我们就继续，我们再来看下面一个题。15。看一下这个题。这个题啊呃，就是求面积。的求面积，它说了一个事情。它说，这样的一个问题。我们先来画出这个情况。来这是y这是零这是x。它是这个y=es，它说干嘛呢？

它说过这个圆点呢，做它的一个切线。那同学们想想一个事儿，你这个引一个切线，比如说你在这个点引，我在这个点引一个切线。你想想会切在这边吗？不会的。它要想切，只能切在这半边。你注意要想切，只能切在这半边，你比如说我们的切点在哪？我切点在这。你是不是要把这个切点设出来啊？

你假设我们来设一下这个切点。这个切点就是x0。wedding.其实就是s0e的s0，把这个切点设出来。那这个切点设出来两个曲线，在这个点处相切是不是斜率相等啊？告诉我这个曲线es那个点处的切线斜率是多少？那就是e的导函数在这个点处情况，你听得懂我的意思吗？你看黑色线，黑色线的导函数还是es在这个点斜率是它。然后再来看红色线，红色线斜率是多少？就是这个点和这个点两点之间的斜率公式嘛，

就e的x0-0。比上s0减零两点之间斜率公式，所以说马上看这个人是一哦，这原来是一呀。依旧简单了。一的话，这个高度就是一，所以我们要求解的是这个区域的面积。这个区域的面积你可以有两种方式来做，一种是用x型的方式来做。投到s处上做，投到s上做就是零到一上面那条线是es减去下面这条线。下面这条线是多少？你看这是1e点，所以说红色这条线方程是多少？

红色这条线的方程是？y等于啊，我们来把这条线。这就是y等于多少EX。所以你得继续去减去多少减去这个es，然后ds。所以有没有正确答案呢？啊，有没有这是一种方式？你还有一种情况的话，可以按照y先来做。投到什么上？做投到这个y上，做投到y上做的话，这就是一。

所以就是零到一。零到一用红色，这个人减去黑色。但是你发现直接减可能不行。对吧，因为你还有这个部分呢。大家能理解我的意思吗？如果你投到y上做的话，你就得分成两个部分。你就得用这条线把它给我截掉。截掉的话，你应该做成什么呢？这个时候就要做成。一段是。零到一的这个人。

一段是一到一这个人。听得懂吧哎，你看你就要截成两端，因为这一段的时候是这个人减去上面那个人还有一段是有个三角形。所以应该是两个部分相加，那你进行去观察一下，这个答案很明显的话，这就没有两个部分相加，它是不对的，所以。所以说这个题的正确答案选几啊选d。能理解吧。所以你看这个点是一嘛。好了，这是这个事情啊，

所以我觉得呃题目啊，得慢慢来啊。这个暑假大家这两天再做好准备。啊，把我们该进行去复盘的东西啊，复盘完。复盘完了之后，到了这个强化的时候呃，好好跟我们进行刷题。嗯，我再强调一遍，你这个。这这个东西啊。你就这个点的切线方程吧。这是一个高中内容吧。

是不是啊？而且你敲的这个东西啊，我也没看懂啊。这个斜率是多少？斜率是一，你不会写这个切线方程吗啊？呃，我就不说了，你们自己下去好好看看你这个这个，你看一考试这个问题点很大啊。对吧，这个问题点很大。这是高中内容啊。你初中没有学导数，除非你初中学导数了啊，

这没有没有没啥意思啊？好了，这个问题啊，我们就说到这。这个直接借助你别这样啊。对吧，你学会这个事情。好了吧，我就说到这。你过这个点做这个切线，过这个切线列两个事情嘛，一个事情是函数相等，一个事情是导函数嘛。行行行，好了好了啊。

啊，不说了，来我们继续，我们再来看下面的问题。16题那么这个题啊，它给了一个事情很明显给了一个变现函数。而且这个变现函数是一个非标准型。对吧，这个变现函数是个非标准型，不用想先把这个变现函数变成标准型，所以说这个题啊，可能会浪费点时间。啊，因为很多同学估计在这个题当中，你得匀一点时间到这。

我们说平均下来两到三分钟，你不能说每个题都是两三分钟，有些题的话很快就做完了，所以匀一点到这儿，然后这个题啊，你得进行换元。零二s-t等于几等于u。那这个时候我们就要换元，换元就要换线，那这个t的这个上下限是零到s。如果你这个t是零的时候，那这个部分是2 ST是s的时候，那真是x。然后这个t是多少t是2 s-u？然后紧接着的话，

我们来看看，这是fu。那dt等于多少？那这个dt就等于d多少2 x-u？然后这个2s没了，就等于负的零。所以说这是du负的du，然后这个负号用来变换上下限，因此啊，我们来写一下这个事，那这个人就变成了啊，继续写一下吧。然后负号用来变换上下限s到2s。把它拆开。注意啊，

这个负号用来变换上下限了，所以我把这个还是写一下吧，直接来s到2s拆开，拆开了之后2s就可以提出去了。fudu.然后再减去s到2 su倍的fud。好了，这是这个问题，然后接下来我们就把它梳理上去，是2 sx到2 sf udu。再减去多少x到2 su倍的fudu？它等于二分之一阿克塔整体，然后这是x方。那么，见到变形函数，

想求导那所以说这个求导的话，这个前导是一后面不导，那就做成这样了fudu。然后再加上前面不导，后面来导，那后面来导是多少呢？后面来导的话就是。上面的话是f2x，然后再求导，这是二，然后再减去fx。然后后面这个人求导呢，你看这个题得匀点时间，这个题其实运算量很大了啊，对我们三九六同学算一点。

然后这个前面是多少呢？这是2s倍的f2s，上面是二再减去x倍的fx。没问题吧？好就做成这样了，那么做成这样了之后，后面这个人求导是多少呢？这是二分之一，然后这是一加x四次方分之二x。好，那么接下来我们继续，我们来约一下，约一下了之后你看。你这个是。4x倍的它，

这是4x倍的，它是不是就没了？然后这个后面这是2x倍的它。对吧，2s倍的它，然后这是x倍的它，所以说这个结果就等于二倍的x到2s。fudu.然后这是负二倍的，加上一倍的，那就是加上x倍的fx，然后这是一+x四次方分之x。然后让我们去求什么，求一到二，求一到二的话，

你就令什么，你就令s=1 s=1的话，刚好是一到二。然后这是fudu。然后这个时候负一的话，这是f一负一的话，这是二分之一。所以说这个时候啊，就出来了啊，怎么了？哦，这是减号哦，不好意思。那么所以说这个部分的内容啊，它就出来f1是几f1是一？

那这个时候的话移过去，这就是二分之三，所以说本题答案等于多少四分之三答案选d。所以对于这个题，我觉得就是。做了一个变线函数的，一个换元。把一个非标准型变成标准型，做一波操作，然后见到变线函数想求导，所以两边同时求导啊，这是非常重要的。所以这个题应该是整张试卷当中排兵布阵呐呃，应该要给这个题匀点儿时间。这个题的话，

你估计算两三分钟啊呃，稍微的会要长一点点啊，好了，这是16题。可以了吧，来再来看17题。我觉得这个17题啊，还可以啊，但是也不难。来告诉我一件事。那么然后这个题目的话，我们看看这个事情啊，还有一个问题啊呃，当然我们现在我们可以慢慢练，这才开始。

你像到了这个后期的时候啊，你一定要继续去训练，这个我们三九六的话，这个做题的这样的一个操纵。那么，这个操作的话，有些这个你遇到一些实在是半天做不出来，你要跳对吧？来看这个人。零到派就是这个区。啊s in这个区那这个题啊，你就要记公式了，你如果在考场上，你把它推了一遍，你就太慢了。

还有些同学可能看到一些市面当中数一数二数三同学可能讲了这个什么古尔经定理用二重积分的方式进行去求旋转体积，我讲了好多遍。你作为三九六同学，难道你要为了这个知识点进行去复习一章的二重积分吗？你要通过这个知识点复习二重积分，你觉得划得来吗？而且我们考研大部分都是x轴和y轴。那就算一般轴的话，我稍微一转就出来了。那所以你看有些同学这个复习思路啊，他根本就不像一个考三九六的同学。然后在平时的时候的话，花费了大量的这个时间。你最后而言的话，你看你这个成绩能好吗？

你操作性就没有出来。你还有逻辑和写作呢啊，稍微注意一下，你要是你数学实在是你没有时间，没有事儿了，你去复习你的逻辑和写作不行吗？那铁人三项对吧啊？所以我觉得这个复习思路有问题。来看看这个是谁？继续那么，首先绕着s轴转，绕着s轴转是多少走啊？s转时是v1。零到多少零到派，然后是派倍的它的平方。

sin x方dx而且这个题要会速算。那这题怎么算呢？我们讲过吧，它就会等于二倍的零到二分之派。有同学说，这是什么鬼点火公式，一家人呐。所以说这是二派二一二分之派，所以就等于二分之派方。对吧，一家人。然后再来看第二件事情。然后是零到派，那就是我们要注意啊，就是绕着y轴还记得空心筒吧二派x。

再乘上fxds，而且这个事情啊，会更快，你看这是二分之派零到派，所以说这个题会做的，同学会做的贼快。不会做同学，你看分步积分法了吧？太慢，我们上课还讲过零到派x乘上s in的函数。那么这个时候x就不要了，前面补上二分之派，是否还记得呀？所以这个时候的话，你发现x就不要了，

前面补上二分之派零到派的这个s in也就这个s in还要积一下，你s in 1积这个又慢了，你看。你这个部分的面积是一，这是一，所以说这个结果直接是二，因此的话，这是二派二分之派，这是二，因此等于多少约一下，那就是二倍的派方。那所以很很多同学这个做题这个速度没上来，你这样的一个题，你你要是真的会，你绝对是空在这一一分多钟就出来了。

对吧，你控制在一分多钟就出来了。然后另外事情有人比反了啊，这是做做题做多了，比反了人家这个题考的是v2比上v1。所以这俩一除等于几俩一除等于四，而且你看如果是真的出题啊，你去看答案，答案当中肯定有个四分之一你，你瞅一下肯定有个四分之一。你比反了，你会选错答案的。这就是出题的设置。你要是比反了，我肯定让你选错答案啊，

所以说你做题的时候啊，你就要清醒一点，所以这个结果选几选d。好了，这是17题。啊，能听懂吧，你要比反了，你肯定能选到答案啊，这是这个。所以你看这个题呃，也给我们大家提了个醒。对吧，这个做题的这样的一个操作，这些内容你都得把它想得起来，

你想不起来的话，你做这个题啊，你稍微的话就不熟练。你做题速度就肯定慢了啊。好了，我们来看看18题。噢，18题。18题这个题啊，考了什么事情呢？连续可倒可危吗？对吧，连续可导可为，那连续可导可为的话，我们来看看这个事儿，

首先第一件事情连续性连续性不就是看极限等不等于函数值吗？来求一下二重极限。那二重极限的话，这是s in xy比上根号下x方，加上y方，然后这是limits趋向零。然后y趋向零。那你想想这个xy是不是就趋向0s in框，是不是等价无穷小于框？是不这个事情。这等于几啊？啊，这是有界吧无穷小乘，有界无穷小，这是零吗？

其实你会发现这个题，我是怎么出题的？你做过这个题吧？你去看看课本当中是不做过这个题啊？我就在这个题前面加了个s，就是我出这个题的思路。我就想让你好好进行去自驱一下，你去看看课本上那个题。书上例题我在前面，我就在这个例题前面加了个个三音。你说这叫改编吗？我也没改多少，我稍微改一下你，其实你看有些同学又做不出来了。好，

所以说这个人是连续的啊，极限存在，而且连续的，因为这个点处的函数值啊是零零。然后接下来我们就继续，我们再来看偏导数，那偏导数的话，分段函数在分段点处用定义啊。来，我们继续limits趋向于零，然后这是多少fx 0减去多少f零零比上s- 0？然后这个时候就是limits趋向零来看看。那就要把y=0往哪带往这带y等于往这带的话，你看这就是零。然后的话，

你发现一个事儿，这个结果呢？哎，你看这就是零，所以说这个时候啊，马上出来，它就是零，因为上面就是零，下面趋向于零。上面就是零，下面趋向零，所以说肯定是零。好，这是这个事，而且它具有对称性，

所以说y那个东西啊，也是这个情况。啊y这个情况呃，这个题你要算可微信你还是要算偏导数，你只不过说在这儿多了快了一点点，你就在这儿快了一点点，但是这个东西还是得算。对称性，然后最后看可维性。坐差是定义来了吧？来x趋向0y趋向0 fx y。再减去f零零，我估计很多同学把这公式都给忘了。然后再减去s偏导数乘上那个y的偏导数乘上那个s偏导数y的偏导数都是零，那这就是零。

再比上x- 0^2 y- 0^2。然后这一项是零吧？那这项是零的话，就要把上面这个东西往下怎么了？除下去。对吧，除下去那这个f sy是谁f sy就是这一坨？这一坨除下去了之后，两个根号，两个根号的话，就是x方加上y方。然后紧接着的话，你发现这是limits趋向0y趋向零，然后s in框等价无效框是这个人。同比次方是不存在的，

不存在肯定不为零，不为零肯定不可为。都不用进行去取y=ks。所以你看看这个事儿，这次考试啊，对很多同学而言。我觉得是一个非常好的一个提醒。你想想着着急急的开始强化你强化的，看你说这么多的东西，哪个东西没有讲？啊，所以说这个题的正确答案选几啊选d？啊，选定呃，这个上午的时候这个答案的话，

那个助教把把那个答案输到那个就是。因为35个选项嘛，它把一个给按错了啊，把一个给按错了，所以说这个选d。就35个选择题，那个几个几个选项按按错了啊，下次让他们好好查一查。好了没？所以你看这个题啊，我觉得这场考试对很多同学起了一个非常大的心，我一直给你强调了一个遍。我们三九六同学的复习跟数一数二数三同学，这个方向是不一样的。是不一样的，

我们的基础非常重要，你你去看看考研最后的真题的话，它的这样的一个强度其实就是这样。那所以一定注意这个问题，但是数一数二数三同学不一样。只进行复习，基础远远不够。远远不够，根本的话，在这个考研过程当中是无法这个上分的，所以他们的强化会非常非常非常的重要。而我们这个基础是非常关键的强化，重点是训练这个做题的速度，锻炼这个做题的能力，但是你前期得有基础知识的支撑啊。

所以我们强化最重要的问题就是在干这个事儿。行，我们稍微休息会儿，我一会儿给你看一下这个强化讲义行不行？我给你看看，让你心里有点儿底儿，然后这两天你就知道要做些什么事情了。行不行好？我们稍微休息会儿，我给你导到这个电脑当中，我一会儿给你看一下啊，这个数据。行吧，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册