03.【加餐】不定积分计算（D）综合训练

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:01:09

同学们，行！那么接下来我们就准备开始今天课程吧？首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，提供回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始我们的基础班部分内容啊，今天估计很多同学看到这个标题了啊，今天部分内容是我们的正课的东西叫做不定积分的计算。d的板块内容，所以今天我专门把这个东西改了一下，

因为今天这个部分的内容啊，它属于正课的内容啊，如果你是全程班同学的话，后面我会把那个课表前面几个标题稍微改一下。啊，估计你都看到了，如果是这个习题的训练部分，我在前面专门给你做了一下标注，那么今天的东西啊，还是比较关键一点，所以希望同学们好好听。那么，接下来过程当中啊，我们就来看看啊，最最后一个板块内容叫做不定积分的综合运算性问题，

那么今天的部分的东西啊呃，也完全是进行去训练。只有一个新的东西，然后接下来过程当中啊，都是训练，那么等我把这里面当中啊，讲义上这几个题讲完了之后，然后接下来过程当中啊，我们就来看看这个。800题当中，这两天我们做训练的话，这个百题代刷当中习题最最后一天的习题好了，那么接下来我们过程当中啊呃，把讲义摊开啊。是讲义的这个。

你们是多少页啊？你自己看看啊，这是讲义，不是说这个800题上面的啊，讲义上面考点十综合训练部分。67页是吧？好，这个部分内容。好了，那么接下来过程当中，我们来看看，最后还有三个题，哎，我们把这几个题啊，我们先来讲讲好，

我们先来看看这里面当中啊，第一个题。啊，来解。他让我们干嘛呢？让我们去求解一下这个fs的不定积分，大家想想，你要想求解这个人不定积分，首先第一件事情，你是不是要知道他呀？而这个人在哪儿呢？这人在这儿，你看这人在这儿，那这人在这儿的话，你发现知道被积分函数求这个人呢？

这叫计算题。知道这个结果去求被积分函数呢，这叫反问题，你像反问题啊，你可以严瞅法，你怎么瞅呢？你只需要知道三个位置之间的关系，这是个假。然后这个人是谁？这人是乙，然后这人是丙，那这个丙对这个乙进行求导不就是甲吗？所以说这人对这个部分进行求导就是他。所以啊，你就可以直接严惩了，

就是这个fs，然后比上多少arctangent根号下s- 1，那结果等于多少？就等于这个人对s求导呃，所以说这个运综合运算量啊，稍微的大一点好，我们先来求导，那这人求导怎么求啊？首先，第一事情先等于中间变量求导，一加上这个人的平方分之一，然后这个中间变量再求导是多少二倍的根号分之一？好，这个结果做成这样，那么所以说这个fs等于多少呢？

你看这个第一个人就是s分之一，然后这个部分呢是二倍的根号下s减一。然后这个部分乘过去arctangent根号下x- 1好这个题啊，立即做成这样了，等你这个人出来之后的话，马上来看，那让我们进行计算的这个人的积分。它不就是多少了，就是这个零积分，那谁呢？就是这个arctangent根号下x减一，然后这是x分之一。二倍的根号下s减一分之一ds。那接下来这个题怎么做？那稍微我们进行看，

那这里面当中的方法比较多一点，有些同学不喜欢这个根式，做了下无理根式换元也可以。你要不喜欢这个s- 1把s- 1换成t也可以，但这个题其实可以直接做的，你发现一个事情，你先看这两项。对吧，这两项那这两项的过程当中考了这个人二倍的根号s分之一，凑出根号s熟练吧。相当的熟练啊，然后再来看看，如果推广一下呢，二倍的根号框分之1d框呢，是d根号框熟不熟练？

相当的熟练，所以说接下来过程当中，你在后面补个解补个一就行，一旦补个一，这就是阿克克正体根号下s- 1。然后d多少根号s- 1。好变成这样，那这个时候你发现一个事情在这个题目当中，你喜欢的是谁？你喜欢的是x- 1。你既然喜欢x- 1，你就巧妙的把这个x写成多少一，加上x- 1。那这时候就有x- 1啊不我不喜欢x- 1，我喜欢根号x- 1，

所以说接下来过程当中立即把这个人又写成根号x- 1^2。你看这个人，所以说接下来过程当中，我们又考了一个事情，一+s平方分之1 ds这个人，他刚好是阿尔克tangent导函数，结果。就是凑分成它，那么所以说在这里面当中一加框的平方分之1d框呢，那就凑出arctangent框。是不是这个人，所以接下来过程当中啊，马上这个东西出来了，所以这就是arctan ENT根号下s- 1。然后这个东西往后面凑，

就是阿克tant根号下s减一，然后这个人呢，就变成了二分之一阿克tant根号下s减一的平方。加上c是不是这个事情，所以说这个题啊，我们就做完了，但是这个题其实我们做过。对吧，我们做过这个题，我们做过哪个题呢？你发现一个事情换汤不换药，原来过程当中我们在上课过程当中讲过。这个。题啊，这个题。

我们原来过程当中做过这个题，你看做这个题就是这样，先把这个东西放到后面去，然后再把这个东西放到后面去，然后。然后就这样一样的吧，你看操作性东西都一样，只不过今天过程当中怎么办？你这就叫改编呐。我们就在这里面当中啊，写了一个x- 1罢了。难度系数不大。当在这个题当中，你发现我们还有呢，来再来看看方法二。

如果这个题的话，你发现看了半天你都没看出来，你就进行去尝试一下，把这个arctangent这个人怎么办？我求个导。我一求导的话，你发现你看这人求导，这人求导是多少呢？这人求导的话，刚好是一加上x减一分之一。然后是二倍的根号s减一分之一哦，这是二s倍的根号s减一分之一，漂亮。原来如此，那这谁啊哦，

这个东西不就是我的导函数吗？原来这个人就是前面的导函数啊。把这东西凑到后面去，二分之一它的平方，哎，穷途末路来一道。好本题结束了，能想清楚吧，所以你看看这个事情立即出来了。好，这个事儿我们就讲到这儿能跟上吗？唉，所以下去过程当中好好练一下好，这是我们讲的三点三九这个题。来继续吧，

我们再来看看三点四零这个题。呃，这个题啊，你要养成一个经验。养成一个定式思维能力。那这个经验的话，在考试过程当中太重要了，我们考的非常多，所以在这里面当中啊，有个定式思维能力。什么定式思维能力呢？大家会发现一个事情，你看在这里面当中，我们考察了一个这个内容，这是不是遇到了个抽象函数导函数啊？

对吧，就是遇到抽象函数，导函数的积分问题。就说含有吧啊，含有抽象函数，导函数的积分问题，那怎么办呢？立即凑到我们去。唉，立即凑到后面去，不用去想想都不想立即凑你，像这个经验的话，我们在考试过程当中，你必须要建立起来。那么，

这个人在考试过程当中考的太多了。我们三九六同学的话，考的也非常多。只要遇到这个抽象函数，导函数，你还想什么呢？立即凑到后面去啊，为什么？因为这个抽象函数，导函数，它是这样。你看如果给你一个导函数，然后ds呢？往后面凑就往后面积积分就是fx。或者你可以这样看d它，

不就求导ds嘛，遇到这个抽象函数，导函数凑到后面去分步积分法，我们将来会碰到非常多的。那么，在这里面当中，我们把这个习题给你看看。那么，在这个习题将来过程当中，我们今天可能你就会碰到这些题。对吧，你遇到这些事情了之后啊，你将来做这些题你就非常有经验了，比如说这个题你还等什么呢？立即把这个凑到后面去，

分步计分法，不用等了吧？好了，这是这个题，然后接下来过程当中继续啊这题。这题不是其实跟这个都没关系啊。哦，是的。哎，这个题是的，但这个题。不类似啊，不类似不类似好了，那么将来过程当中，我们还会看你，

比如说在这里面当中，我们再来看。啊，我再来给你找几个。你比如说这个题，你看这个题看到抽象函数导函数凑到后面去分步及分法。是吧，如果将来过程当中，我们再看将来过程当中做定几分，你定几分，你看这个题。遇到抽象函数，导函数操作后面去分步及分法，你都不用想看操作后面去分步及分法。然后接下来过程当中再看这抽象还是导航的，

凑到后面去分步及分法，你要养成这种经验啊，我们考研过程当中考这个东西考的还挺多。喜欢考，非常喜欢出，所以像这个经验啊，你必须要具备，所以接下来过程当中，我们来看这个题。首先，第一件事先读题。他说，这个人是这个人的一个原函数哦，这就是爹。对吧，

这就是dn那什么叫dn呢啊？意思就是你发现一个事情，这个arctangent这个人的导函数导函数就是它。你可以求导，可以把它求出来的，那么这人求导是多少？那就是一加上这人平方，这是x分之一，然后中间变量再求到二倍的根号s分之一。好，这个人有些同学做题很傻，哼，太直了，那就直接说那这个人都出来了之后，我再怎么办？

我再倒一下。我再倒下，塞到这里面，然后去积分，你想想一个事情，这你想求导吗？我求了之后的话，我都疯了，所以在这里面当中，我就不想求导，不要这样做，不要太直啊。所以在这里面当中，我们来看看这个事情，你发现这是x方，

然后遇到抽象函数，导函数凑到后面去。凑到后面去分布积分法两项相乘，再减去两项调换位置，调换位置了之后的话，你发现一个事情，那这人呢？那这人不就变成了2s倍的ds吗？是不是就变成这样情况？所以接下来过程当中，你发现第一人就出来了，第一人是一+s，然后这是二倍的根号s。然后这是平方，然后接下来过程当中呢，

你发现这就是fs，你再乘上多少就是这个人，你再乘一个2s。你乘一个2x的话，就是一+x。然后二约掉了，上面留了个根号s变成它。听得懂吗？不要再往下求了，就做到这儿，做到这儿之后的话，你发现我们这个题比我们习题上的一个题难哦。习题那个题都出来了啊，这个要难一点，那么同学们告诉我，

我们是不是要积这个分呢？那这个分首先看好不好记？不太好记，不好记的原因在何处呢？因为有根号，赶紧换根号，0x等于多少t方？那所以说这个结果的话就变成了二倍的根号s，一加s分之x方，所以换一下，一换的话，这就是一加上t的方，这减的基本的换元法。你得喜欢换，然后这人是t那ds呢ds这个人的话就要进行求导，

一求导是2 tdt，所以说是两倍的tdt。是不是做成这样了，然后把这个二写到前面去，同学们告诉我继续怎么办？甲分式吧，加个一减个一有没有感觉一个事情像这个题，我们在最近几天过程当中做题啊。遇到太多次了。已经不是第一次了，我们实在是遇到太多了，都不是多，那这是二倍根号xx+1，然后这是x方。然后再减去除下去一减去一加上t方分之一dt。

多吧，非常多，所以说这个结果就是二倍的根号sx+1，这是平方，然后这里积分是2t负负得正arctan TT，然后加上c。那么最后一个事情的话，你发现你再把这个题换回去，本题就结束，所以说这是x方两倍的根号sx+1-2倍的根号s。加上二倍的arctangent根号s，然后加上c。呃，这个题对我们三九六同学，你会做这个题啊，

就是降维大题。我们考研的这个运算量肯定考不到这么大。绝对考不到这么大，但是你发现一个事情，这个题对于我们而言的复习做起来太棒了。第一事情，它的处理性思路。第一事，考的原函数。第二事情，抽象函数的极限的运算形式形式。然后第三件事情出来之后的这个积分的这个方法。对我们太重要了，所以我觉得这种综合题啊，你在平时过程当中训练训练。

不要在这里面当中啊，还是觉得啊，我们不会出这样，不要这样哎，你看去年过程当中很多同学吃亏的，所以今天啊。稳重一点啊，这个事情。好了，这是这个事情，我们就讲到这儿，那么接下来过程当中啊，我们再来讲一个重点题型，接下来这个内容是新知识啊。哎，

新内容，那么接下来过程当中，我们来看看一个考点内容，我觉得叫做预测内容。这个内容啊，难度系数不大。哎，难度系数不大，在我们三九六所有的这个题目当中，从来没出现过。从来没有考过，难度又不大，但是从来没有出现过，而且去年的二零二三年的这个数一数二数三又考了。上一次数一数二数三考试两千一六年。

那么，在这里面当中，大家注意啊，我们已经呃，不是说我们已经好多年，是我们从来没有出现过这个问题，而这个问题的点。既考量了基础难度，系数又不大，我觉得对于三九六同学考出来刚刚好。唉，考出来刚刚好，所以接下来过程当中啊，我们来看看这个事情，一个高频预测点那叫什么的，

叫做分段函数的。不定积分。分段函数的不定积分。分段函数的不定积分。那原来过程当中，我们学过分段函数求导啊。到了今天过程当中，我们又要进行学习分段函数的不定积分。对吧，分段函数求导，我会做求导是分段点y，直接求分段点上用定义。那这个东西你发现一个事情，那如果是这个不定积分怎么做呢？那不定积分的话，

你在这里面当有些同学不会做的，就是你积一下，我积一下出来了。一看就不会啊，也不不会这个事情那么在讲这个问题点之前呢，我先来问你个事情，原函数。可导吗？原函数可不可导？同学们，你告诉个事情，原函数可不可导？求不定积分，不就是求原函数求他爹吗？可不可导？

这个太简单了。你发现一个事情，它都导出来了，你问它可不可导？他儿子都生了，你问他能。其实这是个形象比喻，有点粗比对吧啊，但就这个意思啊，就这个意思，你能理解我的意思吗啊，就这个意思。啊，能想清楚吧哎，这是这个事情，

所以在这里面当中，你发现一个事情它就可导了，对吧？你都导出来了啊导呃，有点。但就这个意思，你能理解吧，你理解就行了。它一定是可导的。是可导的。所以同学们，你想一个事情，那这个人是可导的，那么我们想想一个事情，那原函数呢？

原函数是连续的吗？是不是这个事情，如果你进行计划，你去想想一个事情，你肯定是连续的，你可倒闭连续了。能琢磨清楚吧，唉呀，这个事儿你想清楚就行，这个原函数肯定是可导的。因为它必须要它要，这就是它导出来的结果。这就是它导出来的结果，它肯定可导。所以接下来过程当中，

我们来看看这个题来走吧。那么，通过这个题啊，我们进行去演练一下，明确讲这是预测点。啊，这个东西今年过程当中很重要。来我们看看这个fx，这个人不就是求解这个人的原函数吗？那这个人的原函数什么意思呢？这个人的原函数的意思的话，其实你发现个事不就是去穷。谁对x求导说呀？找一个人导函数是我。对吧，

你要找一个人导函数是我那同学们想想一个事情，你是个分段函数，分段函数导函数是你啊。大家去想想原来第二章的反向逻辑对吧？原来第二章怎么做呢？说我在大于零的时候分段点y，这一段我咔一下邱导师你。然后接下来过程当中，在这一段的时候。唉，你看看这个事情，在这一段的时候，我这个人咔的一下求导，是你这没问题吧？就是原来我们在第二章学的是。

分段点外直接球。那同学们去想想，谁求导会是这个s in呢？谁求的负的cos+c？谁求导会是你啊？es-s+c。有些同学这样做一做，做完了结束了，你注意啊，你很明显不会这种题。我们原来过程当中，我们想一个事情，唉，你发现这是分段点外直接求你这段求导是它，你这段求导是它那没有问题，

我就想问你个事情，这两个c同步吗？同不同步当然不同步啊，你这一段的时候你求导是它。你这一段的时候，你求导是它，你求你的，我求我的，我们需要同步吗？不需要同步，所以说这是c1，这是c2。那所以你要注意一下这个事情，它两个东西不同步的。我分段点外求导，

是你我分段点外就直接积，所以说这是第一句话，分段点外直接积。对吧，这是一个事情，但是同学们，你告诉我事情这个分段函数是几个函数？有人说两个函数不一个函数分段函数永远是一个函数，哪怕你分段再多段，你也是一个人。你是一个函数，一个函数的积分只用加一个c，不需要加两个c，只用加一个c，那么接下来过程当中那个c怎么去确定呢？

那说明这两c有关系呗。我只用加一个c不定积分，肯定要加c，我这人加一个c+1个c的话，你发现说明这俩c有关系，你怎么去确定呢？非常简单，刚才说过了，这是原函数啊。这个函数在零处，可不可导？你想想一个事情，它在零处肯定可导啊，你在这个零处，你看这个人在零处是有定义的。

那这是他儿子吧，那当然可导啊，你既然在x=0处可导，你肯定在x=0处连续，这没有问题吧？那肯定是连续，那既然是连续，我们来看看左极限，左极限是它左极限的话，就是负一+c一。等于右极限，右极限就是一减去零，加上c二就等于这个点处的函数值。连续了吗？说明这俩有有关系，

马上进行写一下，说明这个c1就等于多少就等于二+c二。哎二+c二，然后接下来过程当中，你发现那我怎么办？我令c2等于新的c1，那这个时候你发现c1不就等于二+c吗？所以说这个大fs这个人就出来了，上面这是负cos in，然后加上多少加上二+c，然后这是大于零。然后下面这个是e的s减去多少呢？减去个s，然后加上c2，这个c2是减这个c2刚好是c，

所以说这人是小于零。那然后分段点呢，现在我们已经让这个分段点上连续了这个f0跟它相等的，所以你随便挂，你挂上面也行，你挂下面也行，连续的嘛。连续左边跑到这个点，右边跑到这个点，无所谓的，挂上挂下都行，那这个题就出来了，所以你会发现一个事情，我们像这种类型问题的做题套路啊，就出来了。

把这个事情跟分段函数的求导一块来，那这个人的不定积分怎么做呢？如果是分段函数的不定积分，就是分段点y。直接级。诶，去借记分段点上。用连续。唉，所以说它的做题方式的话就非常简单，就是分段点y，我直接几我分段点上怎么办？我用连续。分段点外直接击分段点上用连续。所以如果说你发现一个事情，

这个东西的方法论方法论就这样对吧？分段点外直接及分段点上用连续，那就可以了。所以你下去过程当中啊，好好想想，非常简单啊。你不会之前的话很麻烦，你会了之后这个东西就非常简单，分段点外直接积分段点上用连续。那所以将来过程当中就怎么做这一段一积分，这一段一积分，然后怎么办？找一下c的关系，本题结束啊，分段点y直接积。

分段点上用连续。出来了吧？这个事情很重要，预测点啊，预测点哎，加个绿色吧，加个我喜欢的绿色来。太鲜艳了，对吧啊？鲜艳就鲜艳呗，鲜艳呢？你能看清楚就行啊，你能知道这个人是重点啊？非常重要。好了，

这是这个内容，我们就讲到这儿啊，所以说分段函数的这个不定积分，它的一个操作性方法啊，分段点y直接积分段。分段点上用连续，但是同学们，我们再来做一个题。我们来看看今天过程当中啊，做的这个800题，我们来看一个题，我们来看看这里面当中的272题这个题。但是这个题啊，仍然很多同学做的不好。就比如说我刚才把这个事情方法论的东西都交给你了，

我仍然考这个题，我估计很多同学仍然会吃亏。所以接下来过程当中，我们来看看这个事来解吧。啊，来解。那么，在这里面当中，你发现一个事情，小fs这个人呢？他等于这个人的最大值。同学们，想想一个事情最大值，那最大值的话不就是一个什么，不就是一个分段函数吗？

那所以说首先第一件事情，我们先来看。那这里面当中的话，这个是y=x^2。是这个人，然后这是一那么它的最大值呢？最大值的话不就是这一段。然后是这一段。然后是这段这三段嘛，所以接下来过程当中，你发现一个事情，这是负一，这是一诶，这就是这个分段函数。那这个时候你发现这个函数，

我就可以写出来了，我写出来什么情况？我写出来，这是第一段是1x大于等于负一小于等于一，然后是什么情况呢？是这个x平方，然后是什么其他？其他段的话，你发现一个事情就是x方，那么所以说在这里面当中啊啊，我们来就来了，那我们就看分段点y直接集，这是x加上个c1。是吧，然后分段点外直接积三分之s三次方，

然后加上c二，然后是什么其他部分？是不是啊？同学们，你告诉我做的对不对？对不对啊？这题就废完了。很多同学你发现就这样问题啊，这就废完了。废完了，那为什么不对呢？我拉条线，我来给你看看。原因点非常简单，你看这是负一，

这是一吧。那这是负一，这是一，虽然你发现这两段都是x方，这段是一。大家想想一个事情，我们刚才说了，在这一段的时候，有一个函数求导是你。在这一段的时候，有一个函数求导是你。对吧，你能想清楚我的意思吗？你看这一段的时候有个函数求导，是你这一段时候有个函数求导，

是你所以说这一段的时候应该是三分之一x三次方，加上c一。这一段应该是三分之s三次方加上c二，这两段不需要同步的，然后中间的这个人呢是？是x+c三的。然后接下来过程当中，你得怎么办？你得分别在这个点处。还有这个点处用连续性才可以。所以你在这里面当中，你把这个虽然这两段都一样，你把这两段都写成其他，你写成其他，但是这两段的话加的这个c不一样。

所以说这就出错了，因此将来过程当中，我们做这个题的时候，你应该怎么去处理啊？你应该这样做，你把这个函数。是哪一段就是哪一段，你给我写清楚。对吧，你就要写清楚每一段不一样，你不能虽然它长得一样，你不能合并，那这一段是x方当小于负一的时候。这一段是一你发现一个事情是负一到一。这一段是s方，

你这人大意。你得写成这样，你写成这样了之后的话，那么接下来我们来求这个不定积分来走吧，分段点y直接集加上c1x小于负一。然后分段点y直接积你加上c二x大于负一小于一，然后接下来过程当中，我们再来看三分之s三次方加上c三x大于一。呃，这个土豆不是马铃薯啊，你听了一节课跟没有听是一样，我建议你重新听一下对吧？讲了半天的话，你发现一个事情啊。好了，

这是这个问题，所以说接下来过程当中啊，我们来看看这个事情，因此啊，在这里面当中，我们接下来就要讨论这个连续性了。哎，连续性第一事情就是在这里面当中啊，负一处。先进行去看这个负一处的连续性，那这个人的左极限是多少？负一的左极限是负的三分之一，加上c一，然后这人的右极限呢？右极限带到这儿，

那就是负一加上c二，然后等于该点值。然后接下来过程当中，我们再看一处一处的左极限呢，左极限在这儿，所以就是一+c二右极限在这儿三。三分之一加上c三等于该点值。能理解吧，就是这个情况，那所以说同学们，你在这里面当中找谁作为公共参数啊？那这里面当中，我当然选c2啊。我这个令C2C2跟c1的关系c2跟c3的关系，我令c2为c。

那这时候你发现一个事情，马上这里面当中的c一就出来了，那c一这个人移过去移过去是负的三分之二加c二就是c一。c三页出来了，移过去三分之二，加上c二就是c那，所以说这个函数它立即出来，那这个函数结果是多少？这个函数结果的话，第一段是三分之一x三次方，然后再怎么办？减去一个三分之二加上c，然后这一段是x加上c，所以说这是三分之x三次方，加上三分之二加上c。

同学们注意啊，这里面当中有一个参数的。啊，这个参数非常重要。这个参数，然后最后一个事情，现在已经连续了，连续随便挂一下就行。好了，这是这个题，我们就讲到这儿呃，所以说你下去过程当中，你得想清楚。它每一段因为你发现一个事情，你看这一段是一个函数去求导，

这一段是一个函数去求导。这一段函数去求导你，每段的求导的人不一样，你求你的，我求我的，所以说这应该是什么东西呢？这是三家人。第一家人，第二家人，第三家人，三家人，这三家人的话，在这个点处，只不过是连续的构建一下就行。所以你在你这家人的话，

这个儿子找他爹这家的人，儿子找他爹这家的儿子找他爹，他们爹之间是好朋友关系哇，太形象了。还挺形象对吧？嗯，挺有意思啊。好了，就是这个事情，就是每家人找每家人的地啊，只不过你发现一个事情，这三家人的地啊啊，有点关系。好，这个事情我们就讲到这。

好了，这是我们在这里面当中啊，讲的这个272题这个题啊。好了没啊？下去过程当中，你去看看吧呃，最后一个题不难了，对吧？最后一个题，你最后一个题的话，你看这个人记个分，这个人记个分，这个人记个分，然后找到唉，最后一个题非常简单了。

好了，这是这两个题吧啊，这两个题的话标反了，这个题应该是四分啊，这题三分钟啊，这是才四颗星啊。好了，这是这个事情，过去了可以吗？来继续吧，我们再来看。呃，看看今天的题目吧，最后一天题目有哪些题需要讲的？有哪些题需要讲的？

263题和264题，我们上课都讲过，所以说我们不会讲的。271题是吧？好，我讲一下。还有哪个题吗？266题好，我说一下。269题。267。好，我来说一下啊。呃，看一下这几个题，

先来看看200。266题，这个题啊，我们先看这个题。那这个题的话，你发现怎么操作呢？那首先先观察一下。他说这个复合函数等于它。那这个时候的话，你发现通过复合函数的话，这个替换我是不是能求出fx？求出这个fs。求出这个fs之后的话，用phi进行替换一下，你替代一下了之后等于ln那这个ph is是不是解出来了？

你解出来之后就可以积分了。你所以说在这里面当中啊，我们来看看这个事情来解吧。那么，在这里面当中，首先第一件事情你就可以怎么办？你把这人替换一下，你令x方哎，我们先看这个第一个人。那这是f多少x方减一，你把这人全部写成平方减一，你说减一再加一呗，然后这是平方减一再减一呗。那所以说接下来过程当中替换，把这换成t换成t了之后的话，

这人就是t+1 t- 1。然后再来一个事情函数，这个结果跟积分变量字母选取无关，那就变成了x+1 x- 1。那么最后一个事情的话，我们再来看那这人的ff x，这个人就可以替进去了吧？所以知道复合函数，求原来函数替换就行，然后再替进去，替进去了之后的话就是ln，然后这是ph is加个一。fins减个一，然后这人等于lns那里面不就相等吗？你里面相等的话，

这个人就不就出来了，那所以说在这里面当中，这是fins。加个一，然后这里面当中啊，你发现是负x减个一，然后等于x好，我们接下来继续看。那这个题的话，你发现我们操作呢？唉，在这种当中把它找到。把这人找到之后的话，那么接下来过程当中，我们就看这是fx加个一，

然后是x倍的fx，然后再减去这个什么啊，这是再减去x。所以说这个时候你发现可以把这个fx解出来，解出来就是一+s比上多少x- 1。等你把这个fx出来之后，你就把这个东西怎么办扔上去进行积分，这不难了吧，所以接下来过程当中我们积的分就是x- 1。x+1 dx假分式吧，你假分式的话，你发现我就减个一，然后再加个一，这是二，然后dx。

所以说接下来过程当中就一，再加上x- 1，这是二，然后这个结果dx。好了，这是我们在这里当中介绍的问题，那么接下来你一记就行了，那这个第一个分呢？第一个分很明显是x，然后第二呢？加上二倍的ln x- 1的绝对值加上c。好，这是这个题，听清楚了吧？好，

掌握清楚给我回复一两百六十六题这个题。那么，接下来过程当中，我们再来看看267题，这个题，这个题啊，你可能昨天做稍微的难一点，你可能今天白天做稍微的难一点。但是我觉得现在再去做难度系数应该不大了啊，这个难度系数应该不大，所以接下来过程当中我们来看看这个事情来解吧。那么现在这个人的话，他说这个人是这个人的原函数，这是老爹啊，那所以说在这里面当中，

这个小fs不就等于多少，就等于这个lns加上根号下s方加一。这人的导函数这个题气势逼人，但是难度系数说实话不大，你这个人求导的话，你发现刚刚好是这个人，还记得吗？唉，这个人唉，我来问一下这个函数具有三个性质，还记得吗？奇函数，导函数等于后面的分之一。第三个事情趋向零的数是无穷小等价。无穷小x我都讲过啊，

所以你要注意那么，所以接下来过程当中让我们去求。求解这个人的积分，那这个积分的话，你发现可以把这个东西怎么办？塞到后面去，塞到后面去了之后啊，我们继续看。去补吧啊，你要是这个东西不知道你连这个导函数都不知道，那这个说明你这个前面的复习问题大了啊。你是班上同学吗？零基础都会，不要说基础了。我讲了好多遍了啊，

这人。到了今天过程当中，你给我来了个为什么？啊，你这这问题大了啊。你看导数表。好了，这是这个问题，那么接下来过程当中，我们就继续再来看。那所以说在这里面当中，我们去凑两项相乘，我再说一遍啊，你去听课的时候一定要保证知识的完整性。啊，

一定要保证知识的完整性，对于我们今年的三九六的全程班呢，我觉得你要是听跟着我进行去学习，你听我的课程。我建议同学们从这个零基础提前学，一直听过来你们的课时量真不大。哎，课时量真不大，所以对你们而言的话，我觉得这个东西中很快就补起来了，好了，那么接下来我们就继续，不要在这儿啊说哎呦，我这这个都听到这儿了，那前面的不补了，

那可不行。说什么这个成天都想去做题，老是花着时间的话进行去复盘去整理上，那非常麻烦。好了，那么接下来我们继续，我们再来看那这个fs在dx。那所以说你看这个人，他就乘上了一个根号下x方，加上一再来看，那这个人呢？那这人出来了，那这人的话，你发现不就求解它的原函数吗？它原函数谁？

它的原函数不是它吗？不是我说的，他说的呀。这就是它的原函数，这是它d啊，加个c啊。好了呃，这是我们讲的这个267题，这个题。好好听啊，怎么对我那个笔记那么的？那么的执着呢啊。这不光我三九六班这数一数二数三同学的班级呢，也是这样。这个笔记相当的执着啊，

那按理说上课你也得写一写好，这题我们就讲到这儿来，继续吧，我们再来看。继续往下来。呃，刚才过程当中我们讲的这个267题，还有哪个题吗？这题我不讲了，这题我们讲过的，然后再来看看269题这个题。好，再看这个题。看一下这个题，那么这个题的话，

你发现我觉得难度系数也不大。他让我们进行去求这个什么，给了一个复合函数，求这个人，那同学们，你要清楚一个事情，你当你知道了复合函数。你怎么去求出原来函数？这是高中内容吧？对吧，你就进行去换就行，所以在这种当中你就直接一步换，你就怎么办，你就直接令这个lns=t。然后这个s就等于e的t，

那这个时候的话，你发现这个结果不就变成了ft，然后是多少ln多少e，加上e的t，然后e的t。那最后一个事情函数的结果跟积分变量字母的选取无关，那所以说这fs的积分它不就是对谁积分？不就对这个esl n 1+es的积分吗？是因为这个后面的这个分不会记吗？如果你今天还不会啊，我觉得。有点对不起人吧。你有点对不起，我这几天过程当中啊，白天让你练，

晚上还给你讲。你说实话，有点对不起人呢？你这让人有点痛苦了。那你发现两类不同函数相同。那必考分布积分法，而且这个对数函数你发现个事情是非常什么是非常稳定的？这这几天过程当中做了不下四五个了吧？你一而再，再而三，三而四的啊四，然后四而五的，那这可不行了，那所以说把这个东西你就写成e的负x。把这个内容，

然后顺便的话进行凑到后面去，然后这是l 1+es，把它凑到后面补个符号，前面来个符号。所以接下来过程当中就是负的两项相乘。然后再减去变成加上两项调换位置，你跑后去求导你求导就是一+es。中间变量再求导es，然后接下来过程当中就做到这个分了，这个分我不想讲了。那么，同学们告诉我，这个分你用几种方法来做？几种方法，老朋友吧啊，

那么这里面当中我上面过程当中加一个减一个。对吧，我加一个减一个，这是一种方法。然后第二件事情的话，可以怎么办呢？这是第一种，第二种的话就是上下同乘，第三种上下同除，唉，这是可以的。所以同学们，我希望咱班同学都是这种思路。唉，我希望你们都是这种思路，

当然在这个题当中，有些同学还有一种方法说老师，我先第一步。我给你x做个换元。我还原了之后的话，你发现一个事情，这个人就变成了loin t，然后这个ds变成了loin t，而你发现这个题目当中的话，什么情况呢？这个题目当中给的这个人哦，那我就知道了，那这个lns就等于这个s分之它，那就是t分之ln一加上t。然后这个d它的话就是求导，

那就是t分之一dt，所以说在这里面当中就变成了t方，然后是ln一加上t。例题你做完了之后的话，再把这个东西换回去。哎，做完了之后把它换回去就行，那这个事情我觉得也是可以的，你这两种方法都可以做，那么然后的话，这个人的话，你看你往后面凑，这是l多少？一加上tdt分之一，然后接下来过程当中使用分步积分法，

等你做完了之后再把这个t换成多少？这个t换成我们的e的x就行了啊，可不可以啊？这种方法也行，两种操作性的方法都是可以的。你无论是什么，把这个原来函数找到，然后再去积分，这个思路很直接。我觉得这个直接的一点也非常好，你或者而言怎么办？你喜欢这个lone，你就把这个s换成long你换成long的话，你发现这个long就可以替进去了。你替进去了也可以，

所以是一样的好吧，同学们行这个题掌握清楚给我回复一啊。行吧，掌握清楚给我回复一，我们就讲到这儿，还有哪个题吗？然后有些同学可能说这个270题，这个题是吧？呃，这个题我再讲讲吧。我把这个题也说一下。好看看这个题。呃，这个题说实话，没有什么挑战性啊。

这就是。给了一个什么情况呢？给了一个简单题，穿了一件衣服。穿了件华丽的衣服。啊，你发现一个事情，穿了件华丽的衣服了之后啊，让很多同学就看不出来它了。那么这个题的话，你发现也没有说什么呀，他说这个人过这个点，那过这个点不就告诉你什么，不就说明f零等于负二分之一吗？然后说在任意一点处的切线斜率，

切线斜率什么你切线斜率不就是这点导函数吗？那不就说明导函数等于它，你说这考的啥呀？然后知道这个导函数去求，原来函数知道f撇s求出fs。知道这里面当中的话，你发现这个f撇儿框求出f框对x求导，我对x积分，所以说这个人是这样。那因此你发现这是x倍的ln 1，加上x方dx。是不这个事情，所以说在这里面当中啊，你发现就出来了。为啥不是点斜视角？

哎呀。你去补课去行不行啊？你去把前面的课好好再听听，你这个基础啊啊，你这这这有点不太好了吧？你在这个点处的切线斜率，你不知道是该点处的导函数啊？啊，这个人是切线斜率，不是切线方程。啊，我再说一遍，人家说的是切线斜率，这不是切线方程。你是不是把这个字读错了呀？

这个点很明显，它说的就是这个点呢，它都写了xy了嘛？哎呀，这。行行行，好了好了好了啊啊，你发现没？没理解你啊，那下去好好补一补啊，好了，那么接下来我们就继续，我们再来看。继续往下来。唉，

你发现一个事情看不懂题，说这个曲线有一个曲线。就是有一个曲线，它过了一个过了这个点，然后它在任何一个点处的切线斜率给的你。啊，你已经晕了啊，你下去过程当中啊，你好好再复习一下吧，你已经有点晕了。它说的是任何一个点处的斜率是什么？不是让你去求解过这个点处的切线方程啊。好了，这是这个事情嘛，我们就讲到这那么，

所以说在这里面当中，我们来看看这个题呃，这个积分呢，我觉得还是很重要的。啊，这个积分那么接下来过程当中，我们先来看。你看这人是ln多少，一加上x方，然后这个人往后面凑就是平方二分之一。对吧，往后面凑嘛，两类不同函数相碰必考分步积分法，对数函数非常的稳定。哎，

对数函数非常的稳定，你就把这个s凑到后面去，然后接下来过程当中，我们再来看看分布积分法。那就是这个东西和这个人相乘，两项相乘，然后再调换位置。调换位置了之后的话，你发现这个人怎么办？哎，这人跑到后面去，跑到后面去求导，求导是多少？一+x平方，然后中间变量再求导，

这是2x。dx是不是做成这样了？那么所以说接下来过程当中就是ln 1，加上x平方再乘上x方。那么这个时候你你要注意啊，我再强调一遍，有些同学这个求导的能力又没了，你这个人求导是对中间变量求导分之一，中间变量还要再求导了。所以这两东西一约就是一，加上x方分之三次方dx。好，做成这样，你做成这样了，之后的话怎么办呢？

我们接下来看看，真是个假分式吧，真假分式的话，这是一+x^2，这是平方，再见。好，这个人那这个假分式怎么变？你看这个人。那这个假分式的话，你可以把它写成s乘上它。然后接下来过程当中，我们继续，你再来听啊，这里面当中的手法比较多一点，

唉，手法比较多，你先听吧，对吧，接下来还有方法。那么，在正值当中，我加个一。我减个一，我减个一减x。所以说这个时候的话，你发现这个题就变成多少，我就除下去变成了x，然后是x方加一分之x好这个结果。因此，

在这个题当中啊，你发现这是二分之一ln一，加上s方乘上平方，这是二分之一s方。然后负负得正凑到后面去，二分之一ln多少x方加一这个人加上c好，这种方法能听懂吗？这第一种方法。就是我把它看成假分式，假分式了之后我再来进行拆分，这是一种方法，那还有没有方法呢？我们再来看。这个题我们好像特别熟悉。我们相当的熟悉。

这个题的话，你如果是前几天的话，同学的话，你发现你没有经验，今天有吧？这是个三次方，我就可以写成平方乘上x老朋友了吧？老朋友了。你发现老朋友了，把一个人怎么办？凑到后面去。把一个人凑到后面去，就变成了平方，然后是二分之一，然后接下来过程当中，

我就给你这个人，我加个一，我再减个一。然后这个结果变成了这样，那所以说这个人就变成了除下去一，然后是x方加一这个人dx方。那么，接下来过程当中，我们看第一个人。那对一进行积分呢？对平方积分的话，这人是s方，那第二人补个一呢？一+s^2同学们，我这个跳步能看得懂吗？

好，这些事情都能看明白，请给我回复个一。都能听明白的给我回复一，因为这已经是我们做了好几天的了。哎，我们做了好几天了。但同学们，我觉得不太好，我觉得我还有更好的方法。好，我们再来看。这个题啊，我再来介绍一种方法好，我们来看看方法三。

那么，在这个里面当中啊，你发现我们还有方法。唉，我进行琢磨一下这个事情，你要注意啊，这个能力相当的重要，好好听啊。刚才过程当中，我把这个人凑到后面去，非常显然。然后两项相乘调换位置的时候，你发现这个x方跑前面去了。然后这个后面这人求导是一+x^2分之一，怎么怎么怎么样？

哎，我刚才想了一个事情的话，你发现你看我这个x方跑过去，你是一+x^2怎么怎么样？那如果我在这里面当中，你看我补个一呢，大家注意这种手法呀。相当的牛。这个手法相当牛，如果我进行补一个一了之后的话，你看那这个时候我既看到了前面，我又看到了后面。然后接下来过程当中，当你这个x方加一跑前，你这人求导就是一+x^2分之一，

中间变量再求导漂亮。约掉了。那这个时候你发现个事情，接下来过程当中，我做这个题，那就简直是非常简单了，一步就出来了，何须那么麻烦，那这二分之一平方。加上四那这就是我们在这里面当中啊，做题的一种操作性。相当的强。补这个一啊，其实你会发现个事情，你这个手法就非常强了。

像这种类型问题，将来过程当中，我们还会遇到许许多多的。比如说我们将来过程当中做这个分。做这个分的话，你发现一个事情一般选手。就是直接分步积分法。然后再减去你跑前，我跑后，这是一般选手，这一般选手的话，你发现这个水平点还行，但是不够好。如果是我们班的同学，那在这里面当中，

你发现就巧妙了，我直接补个一，那这个时候你发现这是一+s两项相乘。我就直接你发现这是s+1，当你两换调换位置的时候就变成这样，咔咔的就没了，所以说ln 1+s。乘以x+1，然后再减去x+c。手法唉，这是手法，所以对于这个一般性选手，他的这个操作我们要比他强得多。唉，强的多的多的多好，

这个事情我们就介绍到这儿好了吗？同学们唉，这个事儿你下去过程当中好好想想。那么，接下来过程当中，我们再来看看最后一个题，271题，这个题呃，这个题啊，我觉得前半段你要重点听。后半段的积分呢？我们考研过程当中啊，三九六同学这个东西啊，已经叫拔高题了，那很明显拔高题，

你看我在这里面当中打了五颗星啊。八个问题好，我们一起看。那这个题的话，你发现让我们去求解谁求解fx？那求解fs首先你得知道fs的东西啊，那fs就在这儿。那所以说首先第一件事情，我先怎么办？我先就直接把这个东西先求出来。那这人等于多少呢？就等于这个人，然后对s求导呃，在这里面当中啊，我就直接把那个答案的粘过来行不行？

我就不求了行吗？这人求导，你自己求一下好不好？我觉得没有问题啊，你要觉得有问题，你下课来找我哎，让我帮你求都行啊，如果你不会求你下课过来找我。就说这个人求导你，不会求你下课来找我，你放心吧，你找我我也不理你啊，好了，这是这个事情，那么接下来过程当中，

我们来看看。所以首先第一件事情，你就把这人倒下。对吧，把这人倒下，倒下了之后的话，你发现个事情，你看这个部分的话，其实就是x三次方撇这个人。它就等于这个人的导函数结果。唉，这个结果那这个结果的话之后的话，你看我要求这个fs求这个fs的话，你把这个三次方除过去。除过去了之后不就知道导函数吗？

知道导函数求解，原来函数非常简单，所以接下来过程当中我们来看看这个步骤。呃，这个步骤非常显然吧，你看我们写这两个字，你告诉我事情，我有骗你吗？我没有骗你啊，就是显然呐，我们班每个同学看出来都是显然的。所以首先第一件事情，显然那这个人就等于这个导函数咔咔求出来，然后接下来把这个三次方除过去。除过去之后就得到这个人，

那你想你知道这个人，你去求解这个原来的函数，你不就直接需要对这个人怎么办？这是三次方。两倍的这个s in，然后再怎么办？积个分，然后接下来过程当中，这是平方二倍的cos ds积个分。然后接下来你发现x分之s in ds，大家注意哦，这里面当中的一些思想。是我们会考察的，有些同学在那叽呀叽呀叽，你不看看他？

大家注意，这是经典的，怎么办？不可及呀，那五大恶人呐。啊，是不是它我给你讲一个事情，你要是想把它记出来，你看不出来它不可记，那也不行。你要是能把它记出来，你就不要在这考研了。你都直接获得今年的菲尔兹奖了。你就在这个考研，不是考研史，

数学史当中有浓墨重彩的一笔啊。那你就非常强了，你还在那激他呢？你要把它提出来，你可太凶了。所以同学们，我敢保证一个事情，这人记不出来的。你记住一个问题。一个人不能急，那叫真不能急。但是两个人都不能记呢，就有可能能记了啊，你你发现一个事情，两个人都不能记，

他就有可能记了。所以接下来过程当中啊，我们来尝试一下。呃，我们先从第一个人开始看啊，先开始看大家注意这俩人把谁凑到后面去呢？如果你把s in凑到后面去，一会儿这个人x三次方跑到后面去求导，这个次方幂变高了。不信你试一下，你看你三次方的话，如果把这个人凑到后面去，然后这个时候两项相乘。然后再加上两项调换位置。这个人进行求导的时候负三次方，

求导是负四负四次方，那这个次方数次方数别管这个人啊，升高了。我不喜欢，我喜欢的是这个次方数应该往低降。对吧，应该往低交。所以啊啊，不要轴啊，不要轴，千万不要轴，我刚说过那个经验对吧？你看到抽象凑到后面去分步计分法嘛，但这个题的话明显是。知道这个人去求他吗？

啊，这不一样啊。所以在这里面当中，你发现一个事儿，这个次方数升高了，我不喜欢，那我肯定怎么办？我要把它凑到后面去，那同学们想想一个事情。这个x三次方分之一的积分，它是多少？操作后面过程当中啊，就是积分过程，那同学们想想一个事情，它的积分是多少？

它的积分就是负三次方，你负三次方要升高，那就负二次方，然后是负二分之一。加上c那所以说这个人凑微分的过程是这个人，那么接下来我们往后面凑吧，那要凑成这个人。那凑成这个人的话，你发现把这个负二包括一乘。对吧，刚刚好那所以我就知道了x三次方分之负二，它的积分结果刚好是平方分之一。没问题吧，所以接下来把这个人凑到后面去就是负的，然后这是s in把那个分之二都凑到后面去，

平方分之一。然后再减去二倍的，然后这是平方cosine ds，再减去s分之sin xd s。那这个时候你发现第一个事情来分步计分法，两项相乘。减去变式，加上两项调换位置s方跑前，然后这个s in跑后求导是cos ds哦，这来了一个。这来了一个，不就是这个人吗？那这来一个的话，你再减一个，那不就减一个好了，

这人减一个就行，然后是x分之s in dx哎，我发现有点意思了。那么，接下来该谁呢？该后面这个人，那这人就是s分之三这个人来继续把这个负的s平方，然后继续凑凑到后面就是s分之一。然后这是x分之s in sds，然后接下来是负的x分之s in诶巧了来两项相乘。然后再减去两项调换位置，调换位置，这个cos进行求导是负s in变成正的，唉。你看这个人，

这两者东西不就消掉了吗？漂亮一消，加上个c就行。所以在这种当中，你发现一个事情，那这个内容它就出来了。跟得上我的意思吗？所以下去过程当中，你好好想想这个事情。对吧，他就一步一步的做，对吧，就是第这个人反正记不了你，这记不了我，从前面看我往后面来，

往后面来，往后面来。哎，这个题啊，我觉得就是拔高题。对我们三九六同学而言，绝对的八高题啊，八高题，所以同学们下去过程当中，这个题好好去想想。对吧，多琢磨琢磨，多想一想，我觉得没什么坏处啊。好了，

这是我们讲的这个问题，你们累不累？啊，累不累？我补一个内容啊。呃，最后一个事情，我们来补一个这个。三角函数。相关的无定积分计算。唉，补一个内容呃，这里面当中的这个东西啊，有的时候你发现还挺难的啊，三角函数的不定积分。

三角函数的不定积分计算啊，在有的时候的话，你发现这个难度系数比较高一点啊，说实话还比较大一点。那么，在这里面当中啊，我们来跟同学们进行去介绍一下这个问题。像这种东西啊，往往过程当中我们都是这样。那么，在这里面当中啊，基本性的方法。第一种方法。那么，第一种方法的话就是利用三角函数的化简。

啊化简。利用三角函数的化简，你去化简一下，对吧？把这个化简化简化简。利用三角函数的化简，然后进行去处理。这是一种操作性方法。然后接下来过程当中，我们还有没有方法呢？我们还有方法二。那么，这里面当中还有一个套路。呃，这个部分的内容我明天会剪辑一个视频，

你可以去看看好吧，我明天会剪辑一个视频，那个视频呢比较多一点。呃，如果你有兴趣的话，你可以去看看里面的积分，里面的后面的题难度系数都挺大，你只要稍微的进行去看看前面部分的内容就行。我明天会有个视频啊，然后的话，后面过程当中你去看看，但今天过程当中我把核心方法论我都给你讲了。好了，那么这是第一个事情，三角函数的化简。

那这是一个事情，那么呃，至于后面那些题你可以不做，那我们考不到那么难啊，考不到那么难，明天的话我会呃。呃B站上我发一下吧好吧，然后另外的话，明天晚上公众号我也发一下好不好啊？一个事情就是三角函数的化简。然后另外一个事情的话，我们再来看。什么七分回回放，放到哪儿？我们的回放就放在课程里面。

啊，就是那就不不再往那个B站上上传了啊，这是我们嗯，内部的课程啊，好了，那么接下来我们再来看第二事情。它还有一种方法叫做万能公式。百万的模式。那么，在这里面当中啊，我们先来重点跟同学们去讲一下啊，我来给你讲讲这个事情。那么，在这个当中，我们来看看这个第一个问题，

有回放全程班，有回放别别闹啊，都有的啊。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看万能公式，唉，这里面当中啊，有个万能代换的方法。那这个万能公式是什么呢？它是这样，就是我来令这个t等于tan二分之s这个代换。这个代换就叫万能代换啊，这个代换型方法就叫万能代换，你看看通过这个代换呢？

我可以把这个积分里面当中的所有人都换出来，你看这个人的话，马上出来x就等于两倍的arctan TT这个。那所以说第一件事情des这个人，他就等于一+t^2分之2 dt，把它给我背过。好，这是这个事情，那么接下来过程当中，我们就继续，我们再看三一。翻译这个噢，你不用领那个课啊，就是你全程班同学呢，你不用领那个课里面也是有的。

如果我一会儿下课确认一下吧，应该是有的吧，你不用理那个课也有好了，我们再来看看三三可以写成二倍角公式啊。这个二倍角是不是可以除以个一呀？你除一个一，你可以把这个一写成多少？写成平方和。对吧，写成平方和写成平方和了之后，我给你上下同时除上一个cos in，同时除上cos in，这人变成一，然后这是tan二分之s的平方。上面整呢二倍的tan的二分之x，

所以同学们它就变成了二t一，加上t方把它给我记住。考研过程当中啊，直接用DNS直接到这，它直接到这。好了，那么接下来我们再来看看cos in。cos这个人是cos二分之x方减去s in二分之x方，我也可以给你怎么办？除一个一。除一个一的话，你发现是cos方，再加上s in方。是不是这个人唉，我们零基础提前学过程当中讲过这个事情，

上下同除的时候的话，你发现同时除上一个cos方。同时，除上的话，这是一减去tangent二分之x方，然后这是一加上tangent二分之x方，然后这人不止一加上t方。一，建提方法。等你把这个事情出来之后的话，这个tangents也出来了，tangents就是塞比空，塞比空就是二t比上一减t方。所以像这几个人的话，你发现就出来了，

你看将来过程当中，我如果见到这个人的话，你看我可以把ds换成。我也可以把这个什么s in换了，我可以把这个cos in换了，我也可以把这个tangent换了。我只要见到这些人，我就换那，所以说操作性啊，它就出来了。那么，接下来过程当中，我们来看看。我们来注意几个题，比如说啊，

有的时候你发现长相越简洁，题目越难。我讲的这几个题啊，是我们三九六同学，你必须要掌握的题，比如说一加cos in分之一怎么做？这些啊，我觉得对我们而言比较简单，因为我们在之前过程当中一直讲经验，只要cos in见到一。立即使用二倍角公式干掉你。是不是这个事情，所以同学们，你发现个事情，这里面当中的内容就出来了，

因此它就是二分之一second题，二分之x的方dx。把这个二分之一凑到后面去tangent二分之s加上c。呃，这是第一种。那么，接下来过程当中，我再来给你讲一种方法。在我们学习这个板块内容的时候啊，我们有一种非常好的一种经验。就是三角函数的不定积分，你记好了，有一种非常好的经验。那种非常好的经验叫做。头重脚轻原则。

头重脚轻。就说只要下面是一项。你记住啊，三角函数的固定积分，只要下面是一项。上面有好多项这种三角函数的积分结构必可及。一定可以记的，所以说明天过程当中我会检一下那个检完了之后的话，我建议大家进行去看一下啊，就是这个。嗯。怎么没有呢？没有就算了啊，明天你再看。只要你见到这个情况，

就说它只要下面变成一项，我就可以记那同学们，你琢磨一下有没有什么方法能把下面变成一项？有没有有没有方法？我看你的思维方式怎么样？有没有种方法能把下面变成一项，你看我的手法，我就给你上下同时乘上一减。我同时乘上一减一加一减，它就平方差一减方s in方问题结束。那这个时候你让下面直接等于t。别别别，乱来，啥都换你这这你怎怎么见题都换对吧啊？不要这样，

你看这手法。这手法可太重要，第一个人就变成了sins方分之一。第二呢，就变成了cos变，它那就是quantum t。s in分之一cos肯定。所以说这个结果就出来了，你看第一个人。第一个人，这个结果刚好是call second方。那因此积分结果就是负的quantum ts，然后这个人呢？负负得正costs+c。手法那这个手法的话，

你发现非常强，对吧？当然有些同学说那老师我在考试，我就是不会做，那不可能。你这也很简单，你可以万能代换，你直接令x这个什么令这个t。等于多少呢？t等于tangent二分之x。那这个时候的话，你发现你就直接来你塞一下，一塞的话，这个结果的话来直接跟我背，这是以什么东西呢？

一减t方，一加t方分之一，然后这个结果呢？是一加t方分之二dt。同学们，能记得吧？就这个人和这个人直接用刚才的这个结果直接带进去考研过程当中直接用啊，那这个时候你发现你一沉。一乘过去的话就是一+t^2。然后再加上一减t方。对吧，乘过去，然后这个结果这是二，然后这是第一题。那所以说这个结果的话，

你发现一除唉，这就是edt哦，积分就是t那t等于多少呢？t等于tan二分之s。加上c哎，你看这也很简单，对吧？那这个结果就跟第一个项的结果是一样的。对吧，跟我们方法一用的结果一模一样，所以这个万能代换的方法，它也很好用。我也可以这样做，就说你这里面当中这个次方数很简单的时候，我就这样处理。

对吧，我一换就行了，所以将来过程当中，我们再来看你，发现我继续来。如果你碰到什么一加上这个s in分之一呢？那我也可以。对吧，我也可以，但是你没法用二倍角了。那第一种方法的话，我就给你怎么办？我上下同城。一减它呢，就是cosine的方ds，

那cosine分之一的话是second，second方，然后这一除呢是tangent。然后是second，那这个人呢？他就可以记了。那么，这是第一种方法，然后在这种当中还有第二种方法，就是用万能代换的方法。对吧，万能带宽。你就可以在这里面当中直接令令，什么情况令这个t等于tangent二分之x，那这就可以换了。

一换的话，你发现这人呢？就变成了2t，然后这是一+t^2分之一，然后这是一+t^2分之多少分之二，然后dt。所以说接下来过程当中，你一×1乘就是一+t^2，然后再加上2t，然后这是二它dt。所以说这个东西你就可以乘过去了，你乘过去了之后的话，你发现唉，这下面不就是t+1^2分之1 dt吗？啊，

分之二嘛。那所以补一下就是负的t加一分之一，加上c。然后接下来过程当中，你把这个东西直接换回去，它就出来了。那这个方法也非常好，对吧？也非常的棒，所以说今天晚上你在睡觉前，如果你觉得你没有事了。你去把这个今天过程当中，我们的那个税前系列的那个题啊，你去看看好不好啊，今天晚上的税前系列去看看行不行？

好不好啊？是二是吗？啊，这个结果是二。呃，去晚上的过程当中啊，把这个税前系列这个题啊，你去看一下。呃，今天晚上这个题这题还记得吗？还记不记得这个题啊？记得这个题吧，唉，这题我们是记得的，那这个题的话，

你发现一个事情，我们可以怎么做那么这个人的话，首先第一件事情二倍角公式。把他给干掉，然后这个人呢？把他变成这样变成这样了，之后的话，你发现一个事情，我再怎么办？我用二倍角干掉你，干掉你变到后面这个方法，昨天讲过。然后接下来过程当中，你看我又讲了一种方法。我们现在是不是做到这儿？

我们现在做到这儿。做到这儿的话，你发现个事情，我可以怎么办呢？你这是s in。如果这是s in方的话，它就可以写成一减cos方。那这是三一的话，三一就可以凑cos所有人变成cos，所以我怎么办呢？我给你上下同时乘个s in。我同时乘个sine呢，之后的话，你发现这人就是sine这个sine的作用，就是为了进行去凑出cosine。

然后这个人是s in方就可以写成一减cos方，然后这是cos加上一诶。那这个时候的话，你发现所有人都变成cos in。所有人都变成cos，我就把cos换成t，变成了这个分，唉，这个方法也可以。那如果在这里面当中，你实在不好做呢，我们还有方法三。那这个方法三我可以怎么办？我可以万能代换，我把这个替换成它，

然后这个时候的话，这个sine cosine。tangent题都出来了，然后接下来过程当中把它代进去，代进去一化化简成，这样化简成这样诶，好记代进去问题出来。这三个方法都可以，所以说这个题啊，我在这里面当中啊，跟同学们介绍了三种方法，你晚上过程当中啊，你去看一看。好不好把这个题啊？你去重点进行去学习一下。

那为什么昨天过程当中我没有进行去讲，后面的呢？那原因点很简单。昨天没有进行去讲这个，后面两种方法，那是我就想放到今天晚上我去讲的这个方法，我再去看。所以昨天过程当中，我还跟你说，我说那个东西你不会，你可以原谅自己，你还记得吗？我说过这个事情当然。万能贷款不一定是万能的。你比如说举个例子，

如果你碰到一个题的话，你发现这是s in方，这是cos平方分之一，你看这个题。如果这个题的话，你发现个事儿，你进行去万能代换的时候就比较麻烦。如果你进行去万能代换的时候，大家注意一个事情啊，重复了是吧？啊，那你就去看B站上好不好？你去看B站上那那个那个东西就重复了，你去看B站上那么在这里面当中，大家注意一个事情。

如果这个东西重复了。这个成了这个高次方米了，你看这俩都是二次方，你这一换打个平方，打个平方，我这多恶心，我能恶心死了。我肯定不会这样想。那这时候我就会化简了，我把它合到一起，或者上下同时除上一个cosine的四次方也出来了。所以操作性啊，非常强啊，下去过程呢，唉，

你看说明大家学会了这种方法了。对吧，遇到sine和cosine的高次幂，你可以上下同时除上cosine的n次幂的问题，好这个题啊，我们就讲到这。行吧呃，那么今天课程呢？我们就讲到这儿了，那我们就把所有的这块内容涉及的问题啊，全部讲完了。所以希望同学们下去过程当中好好整理整理吧，那么今天部分的东西啊呃，说实话，没有过多的这个新内容。

最重要的问题就是跟同学们去讲一下这个每种类型问题的操纵，所以说这个部分的东西啊，还是非常简单的。对吧，这两天的过程当中啊呃，今天是我们打卡的最后一天啊，最后一天。今天是最后一天，你不要再点斜视了，你这个都问题都很大啊，你这个问题很大，我建议你把前面的课程呢，你好好补一补。你怎么还在纠结那个问题啊？你就没有理解人家什么意思，

人家给了条曲线，说这个曲线过了这个点。对吧，经过这个点，然后任何一个点处的切线斜率不就是它的导函数吗？等你把这个曲线方程求出来之后的话，再经过这个点就行啊。好，那么今天啊，是我们的这个最后一天啊，打卡的最后一天，所以说这个我相信通过了三天的课程的训练。包括这接近六天的课程的这个打卡训练，我相信这个不定积分呐，我们已经啊不定积分完成了第一个阶段。

阶段的训练。所以后续过程当中，我们还需要进行这个题目啊，还需要进行二刷啊，这个题必须要进行二刷，有些时候你发现二刷有可能还不行。我们还需要进行三刷，所以现在这个不定积分呢，我们这几天打卡，我们就正式结束了，所以这应该是个第一个阶段的训练。但是同学们没有关系，这个第一个阶段结束了之后，也基本上把这些内容啊，我们学的差不多。

那么，将来过程当中啊，我们再进行去复盘第二遍，第三遍，第四遍，暑期再进行强化讲，我相信这个不定积分不是难点。那么，在考研过程当中，这是一个非常重要的一个板块儿，一定要把它拿下来好，这是这个事情，然后另外一个事情啊呃，这个微博群。你可能进行去看到啊，

这个今天我专门建了一个这个三九六的，这个审核的群。啊，叫做。我给你看看。呃，这个群叫做周老师的自律上岸群。啊。自律上岸群。呃，这个群的话，这是今天新建的啊，我们新建的这个群，然后这个群呢？呃，

如果你是坚持打卡完了。明天吧，明天还要审核一天，明天的话会有助教进行去审核啊，会专门去审核这个东西去审核这个就是你的打卡情况。然后在这里面当中啊，你审核清楚了之后，我们会给你这个问题的，这个结果，然后的话，你继续去申请就行了。你先我们会给你这个问题答案，有同学说那别人的话，有答案的话，我也我不就有答案了吗？

然后的话，你把这个答案输入进去了之后，然后我们有专门的这个助教进行去审核。啊，所以说没有任何问题的，不要着急，这个事儿，所以这是我们后续过程当中啊，会跟同学们呃。我觉得就是尽可能的话，增加一点在里面当中的互动吧，对吧？也可以找一些这个助教在里面当中啊，跟同学们进行去啊，这个高分助教跟你们进行去互动互动。

包括我也经常过去当中跟同学们去啊，解解惑也都可以的，毕竟这个群呢，我觉得呃，不像那个数学不脱发。数学不脱发那个群的话，就是每个人都能进来啊，每个人都能进来，那么在那里面当中的话，这个我们现在的话，今天那个数学不脱发群的话，应该是十级群了。14去哪？14群呢？那14群的话，

里面的人特别多，包括里面当中啊，好多是这个数一数二数三的，你们就进进行去进这个群就行啊，这是我们这一次过程。然后下次过程当中啊，还有呃，还有这个机会，然后后面过程当中啊呃，等下节课开始了，我们下章进行这个定积分，我们的新的部分内容。我再跟同学们去讲一下哎，你也可以进行去打卡，然后再进行审核，

我喜欢这个感觉，为什么呢？你自己完成了学习任务，我可以给你更多的帮助，我很喜欢这个事情。唉，我很喜欢这个事情，所以我觉得这就是两方面的了，对吧？你既进行去增加了很多这个部分内容。对吧，另外一个事情的话就是你还把学习学上来了。我们的终极目标不是说这个别的怎么样？我们的终极目标就是你能考高分，你能把每个部分的东西做到位。

这就是我的目标。所以今天这个今天部分内容我们就说到这儿好，同学们唉，这是这次部分内容呃，这次啊，你自己明天过程当中啊，还有审核好吧？呃，然后之后的话，下个周啊，应该下节课，下节课我再给你们讲吧，再去讲一下怎么进行去申请这个事情好吧，同学们啊，我觉得把内容学到位，

把东西学到手，这才是我们主要的。好，那么今天课程呢？我们就讲到这呃，这个是今天。额，不讲了，马上11点了啊，今天是我们这个不定积分的，这个打卡训练的最后一天，唉，不定积分打卡训练的最后一天了。然后的话，这个今天的话也恭喜大家完成了这个接近于九天的这个时间的，

这个不定积分的训练。那这段时间呢，我相信很多同学既有这个什么啊，真的是有些部分有些填的过程当中做题啊，那确实这样一杯酒，一根烟，一道积分算一天，确实这种感觉。尤其是后面几天难度系数比较大，但是我相信同学们，无论你这个做的过程当中多么的磕磕绊绊。但是你敢写下去，这就是一种成功，然后通过这个答案的订正，你把它完成到位的意思，

这就是成功。然后上课过程当中，你把这个东西再训练一次，也是一种成功。那么，后续过程当中再进行去完成第二遍，第三遍的时候，我相信这些东西啊，已经不是能拦得住你了。所以说今天过程当中啊，我希望同学们下去好好进行去复习一下好不？同学们唉，这是我们今天的课程。然后明天是周几啊？明天。

哎，明天是正课内容吗？我忘了啊，然后的话，下节课过程当中，我们就正式的进入到新的板块内容了，我们就进入到定积分了，所以说这个明天我不知道，我忘了这个唉呀，这个最近课比较多。上的脑瓜子疼，尤其是我们这几天课程啊，每天的话呃，晚上都是有七点钟的课。然后拖堂拖到这个九点九点二十多，

有一次过程当中拖到九点二十八分无缝衔接，然后上我们的课程啊，我觉得。这个这两天过程当中啊，你们强度大啊，大家我们都一起努力，所以说这个今天部分内容我们算法不定，积分就正式结束了。那么，下节课我们就正式的正课内容，所以从下节课过程当中，我们就进入到定积分的学习了，那定积分可能会显得会。会更加的重要一点，所以这两个板块的东西啊，

是比较重要的好了，那么今天课程呢，我们就讲到这儿啊。呃，那个答案不一样，没有关系啊，你放心吧，考研过程当中啊，更多喜欢考定积分的东西，就是你算完了之后再带个值。啊改也好改，然后另外一个事情，这个呃自己做的时候考察的东西啊也比较多一点好了，那么今天课程呢，我们就讲到这吧啊，

这个今天啊，也恭喜同学们。完成了这个不定积分的打卡训练，如果你是这个不定积分训练营同学啊，也恭喜大家，然后把这个部分的内容完成到位的，那后续过程当中啊呃，如果你继续跟着我们的学习。啊，当然我们非常欢迎，当然如果是说自己进行备考啊，当然希望同学们朝着一个正确的方向，然后再进行。呃，我们全程班同学的话，

明天晚上我们就继续开始我们的新课内容了，好吧，同学们好，那么今天课程啊，我们就讲到这儿，明天见吧啊。

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