03.396经综数学不定积分百题带刷day5

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:00:41

那么，接下来我们就准备开始今天的课程吧，首先我们先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题啊，我们就准备开始了。噢，今天是第五天啊呃，刚下课，然后我们就无缝衔接，我们就继续吧呃，今天过程当中啊，已经是我们训练的这个。

倒数第二天了，然后明天部分的内容啊，我提前先说一下呃，明天是最后的一个板块的综合题，哎，明天是综合题。综合题的话，这个263题大家注意啊，我先说一下，263题一直到这个。271题，这是你明天要做的。明天先做这些题。然后明天晚上我会加一节课程，但是明天晚上这节课应该是个正课。

哎，明天是一个正课内容，所以明天的话，时间的话应该是一个小时，我首先第一件事情，我会把那个呃，就是我们讲义当中啊。还有一个部分的综合题，把那个东西讲一下对吧？就是我们讲义当中，最后不是还剩下两三道题吗？那两个综合题啊，还没有讲把那个东西讲一下。讲完了之后，你明天过程当中就做到271题就行，

听懂我的意思吗？就做到271题，然后这个部分的内容啊，它是一个题型。啊，所以说今天啊，应该是我们达到了，我们做这个运算题当中的一个巅峰了啊，这个难度系数应该是这几天过程当中啊，我们做这个题当中最难的一个板块内容。好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下面一个问题啊呃，先来看看这个今天题目吧，等会我们再说吧啊，

先看今天的题目。昨天讲到243题好告诉我哪个题需要讲？呃，先来看看这后面的题吧。看看哪几个题需要讲？一个一个来啊。从这个250题之前吧。先看250题，之前哪个题需要讲？好，先不敲前面的啊，250题之前好248。没听课啊，这个同学肯定没听课，249。

247啊，说明的话，这个意识没有建立起来。没有同学问246吧，你问我就当场就疯了啊。好了，还有哪个题吗？245。245题，这个题叫难吗？那就是算呗，对吧？你就一一算就行了，你这到了这个今天还没有这个这个能力还没练出来吗？啊，

245题。行吧，再问的话，完了哦，来我们一个个看吧，我们先来看看245题。我觉得如果到了这个今天。你说别的题，我觉得都还好了，你像这种题。这考试如果考这种题，跟个送分题一样。达到这个能力的话，这一般学校的期末考试水平对吧？这都不是考研水平。

那么，接下来我们来看看这个题，那就正常的分布积分法呗，可能有些同学看过一些这个表格法，对吧啊？这个表格一个求导一个积分对角线，这个乘一下。然后东西出来了啊，在这里面当中啊，我们就顺着做就行了啊，我一直说那个问题，你可能有些题用那个方法简单，但是有些的话你碰到那个题啊，又遇到bug。所以说我们就稳稳当当算就行，

你其实在考研过程当中啊，根本不会影响你多少好，我们先看看这个题，那怎么做啊？两类不同函数相碰，那必考分布积分法呗，你就首先第一件事情把它凑到后面去呗。你把这人凑到后面去，首先在后面补个负二吧，补个负二前面来个负二分之一，我明确讲啊，如果这几天过程当中这个题你都还不会啊。这问题很大，你说明这几天过程当中，你这个训练没有达标啊，

好了，我们一起来看看，那这个人呢？往后面凑一凑的话，你发现这人是多少de的负2x？那么，接下来就分步积分法两项相乘。然后减减就变成加，加上二分之一两项调换位置一的负二x跑前，那这人呢？跑后跑后就求导二sds。你再来一次分步积分法，本题不就结束了吗？所以说这结果继续来。继续把这个东西往后面来。

往后面来，后面需要怎么办啊？需要补一个负二，所以说在这里面当中啊，你先把这个二补到后面去负二，然后前面呢来一个负二分之一。那所以说现在过程当中啊，你就可以凑了，是s倍的de的负二s，那么接下来过程当中是负二分之一s方e的负二s。然后是两项相乘，然后减去变成加上两项调换位置，变成它那所以说最后一个人一击就出来了，那这是I次方。一亿的负二s减去二分之s倍的e的负二s补一个负二乘上负二分之一负四分之一一亿的负二s加上c。

所以说这个这个题啊，难度系数不大啊，当然的话，有些同学可能学了一下表格法，你学了你就用啊，学了就用，但是在这里面当中啊，我对咱们班同学的要求非常简单。那个方法有的时候会遇到bug，所以在这种当中你稳稳当当算就行，根本不会影响你考研过程当中的做题时间。好，这个题啊，我们就讲到这儿245呃，说实话，

你问这个题的同学，你下去过程当中得好好自取一点，说明我这两天过程当中说的话你都不听。把上课讲义上的题啊，先消化到位的再去做啊，好了，这是这个事情，我们继续吧，我们再来看呃，下面还有哪个题，247题这个题。来继续那这个题就非常简单了，你看这个题。好看看247题。那这个题你发现两类不同函数相碰两类不同函数相碰，

那首先想分步积分法，而我们都知道对数函数非常稳定。对数函数非常稳定，你就想到把这个东西凑到后面去。把这个东西凑到后面去，不就考了这个凑分吗？二倍的根号s分之一凑出根号s。那就考了这个凑分呐，所以接下来过程当中，你给这补杆儿前面来杆儿，所以说接下来过程当中，它就变成多少两倍的，然后只是ln 1+SD根号s这多简单。所以接下来过程当中，继续两项相乘。

然后再来减去两项调换位置，调换位置根号s跑前lin跑后就求导，不就变成这样吗？那么再来看这个分，那这个分好不好做呢？烟抽过去不太好办，不好办的原因在何处呢？因为有这个根号。所以接下来过程当中怎么办？赶紧令一下做一下无力根式换元，那无力根式换元了之后的话，我们来看看那这二倍的ln 1+s跟这个前面没有关系。来减去二倍的，那在这种当中赶紧来，那这个is就等于t方是不是这个事情，

然后把这个上面改成t，然后这是t方加上一。那么然后再来那这个x这个人呢？x这个人你看ds ds是2 tdt做了十啊，这个应该是距离我们做这个题应该有九天时间了吧？有没有九天啊？从我们讲这个不定积分的第一天到了今天过程当中，今天是打卡的第五天嘛，我们讲课还有三天呢，中间还空了两天呢。差不多有这么多天时间，那所以说你发现这么多天进行去训练。你连这个凑微分还没有练出来。我觉得这个问题点就非常大了，好，

这是这个事情，那么接下来过程当中啊，再来看那就2t那你再补一下，那这个人四倍的dt。那么然后做到这儿呢？你做到这儿就非常简单了，你怎么办？你加个一你减个一不就行了，那这个人的话甲分是减个一加个一，那这个东西非常顺手。所以说这个人的东西就变成这样，然后除下去第一人除下去就是一的积分负负得正，然后只是t方加一分之一的积分。然后接下来过程当中是两倍的，ln 1+s根号s- 4t，

然后加上四倍的，这个arctangent t+c。然后最后一个事情呢，你再把这个什么把这个t换回去，把这t换回去，本题结束，那这个题的话难度系数不大，对吧？你得一眼瞅过去。对吧，你得一眼瞅过去，把这东西凑到后面去，而不是说第一眼瞅过去，把这个东西换远了。我再强调一遍，

如果你第一下想到的是把这个换元了，你的方法论的东西还是没有练熟，两类不同函数相碰，那应该首先想什么，想分步积分法。就跟我们今天的话，那个税前系列的那个题一样。今天那个税前系列的那个题啊，操作性是非常类似的，你比如说这个题。那这题也是一样，我眼睛一瞅的话，我发现唉，你看。我眼睛一瞅，

我就发现两类不同函数相碰，两类不同函数相碰，那必考分步积分法，而这个对数函数的话，你发现一个事儿，这个东西非常稳定，你就把这个给凑到后面去呗。那还想什么？你跟这个题的操作性思维方式是一样的，一模一样的好，这个题啊，我们就说到这儿来继续啊，再来回来。呃，这是247题，

这个题，然后我们再来看看248题，这个题，这个题啊，如果你还不会做证明，你就没有把上课的内容消化到位。呃，这个同学，你的学习方法肯定出现了问题，你下去得调整啊，调整一下自己学习方法，那么在这个题当中啊，你发现一个事情，你看。这是cos方法。

啊cos方两项两类不同函数相碰，首先想分步积分法。而我们都知道，反对幂三值肯定把三往后面走。你就要把这个人往后面走。而我们都知道，凑微分的过程是积分过程，怎么去凑它就去想怎么去积它，怎么积它呢？不就降个密嘛，一怎么办？加上个cos 2 sds。所以说在这里面当中，你发现一个问题点，这就是二分之s方ds，

然后加上二分之一x方cos二s。dx是不是这个事情哎？注意啊，这是基本运算能力啊，不要再说运算量大了，我看了一天了。我今天都看了一天了，很多同学都发这个运算量大，我承认运算量是大。每个题啊，都得稳稳当当算，但是也不是说离奇到哪个地步，离谱到哪个地步，不就是稳稳当当算吗？有些人做的不好，

你做的不好，得自驱啊。有些同学在这里面当中就是什么情况呢？你做的不好，然后就在这里面当中找共勤的人呢？对吧，找共情的人，这都是基本运算能力啊。都是基础运算能力，你像这个题你都不会，你找谁共情呢？一看做的不好，你像这题都没做出来，这题也没做出来，做的不好，

然后就赶紧去各种这种群里面，唉呀，这个今天运算量好大，好难呐。发一个帖子，发个帖子，唉呀，好难呐，有的同学来了一下，确实难哦，心里舒服了，原来我不是一个人，好像在那一刻，你两个人共情了一样。就感觉跟别人共情了哦，

原来我不是一个人，我就妥协了，你要是这种复习状态啊，我就觉得同学们这不太好。这不是一个好的复习状态。我觉得如果像这种题做的不好，你应该下去过程当中，你得自驱一点，你得找到自己的原因呐。是不是上课的内容没有消化到位？这上课讲的原模原样的内容啊。啊，这上课讲的东西啊，你这两项两类不同函数相碰，那考分布积分法呀？

你在这里面当中，你得想到降命啊，你想不到这个事情，你想不到这个事情，你还得跟别人共情去，你下去不应该自驱一点。把上课的内容一定要消化到位，你看的不是你此时此刻共情的那个人。你要比较的是那个70分的总分，我一直给你讲一个事情，我们三九六同学不是说在每一步当中去妥协。不是要求大家达到一个80%的分数。你像如果是数一数二数三同学达到一个80%的分数，120分，那可以。

但是我们是要冲满分的。我们是要去冲满分的。考到60分，对有些同学我觉得都不太行。我要尽可能的考得更高一点。那所以说同学们注意你的目标性不一样唉，所以说希望同学们注意不要这样啊。呃，如果有些题啊，我再强调一遍，大家注意啊，什么叫做积极的复习方式？一定要做一个积极的人，有自信的人，积极的人，

我如果是你，我做到这个题我没做出来，我下去就想，唉呀，是不是上课东西没消化到位？噢，消化到位了，但是这个题没想出来，没有关系，改过来我心里有杆秤，我下次过程当中见到这个题，我一定会处理。好，可以了。而不是说有些同学这题没做出来，

然后这找一个人那找唉，是不是很难啊噢很难？对吧，这个很难吧，就跟每年考完研一样，考完研的话，有些同学问，唉呀，是不是很难一难好像舒服了，但是你发现最后出现高分的一大票一大票的人。所以大家注意啊，如果这个东西出现问题了，不是说下去过程，唉呀，我好笨，

我数学学的不好，不是这样，是不是自己的学习方法出现问题了？调整一下，下次更好就行，如果这个题出错了，看着答案把它改过来，下次过程当中会做就行了。如果这个题出错了，你发现还是不会做，看答案也不会上课过程当中听我来讲，把它学会的去模仿着我来做。首先学东西的话，进行去模仿，模仿我做下次过程当中会做就行，

你看这才是个积极的复习方向，做什么事情都是这样？哎，所以同学们注意一定要做个积极的人，好了，不多说了，唠多了，今天应该是这几天过程当中啊，聊这个事情聊的最多的。因为我发现有些同学不是一而再。再而三是三而四了，你这不太好吧，你是个成年人了啊。你有些问题的话，你发现我一而再再而三的跟你说，

我跟你讲，你在这个考研过程当中，由我来跟你说，你自己啊，我觉得还是一件比较稍微会庆幸一点事情嘛。至于往年过程当中，有些同学一直以来复习方法都有问题，从来都没人谈这个事情。到了这个十月份，完蛋了。等你十月份的话，进行去做模拟卷的时候，一做做一塌糊涂，哎，你发现你想调整都没时间了，

那所以大家注意啊，今天是。3月26号唉，三月份马上结束，所以希望同学们好好调整一下你这个学习方法，你出现问题，你得调整好了，不多说了，来继续回来。那么这个时候你看第一个人就可以记了，那这你几分呢？那就六分之一s三次方，然后再看这个人。那这人就继续啊，两类不同函数相碰，

那必考分布及分法，他就可以凑了，先补二乘二分之一。然后这人往后面凑s inr 2x。然后接下来过程当中继续，你发现这个人那就再来呗，两项相乘。然后再减去两项调换位置s in 2s跑前，然后这人跑后跑后求导是2s。是不是做成这样了？你做成这样了，之后的话，你看你再把这个人塞到后面去呗，然后这个结果就是六分之x三次方。四分之一x平方，

然后是s in二x。你把这什么情况，你把这个二都补到后面去，补到后面去的话，你发现你看你就可以凑了，然后这人凑分的话是负的cos in。负负得正变成它，到了今天过程当中，我不用说那么细了嘛。你看这个基本的错位分，然后接下来过程当中啊，你再来分步积分法一下，本题就结束了，这平方是s in 2s。然后是四分之一两项相乘，

然后再减去两项调换位置cos二sds本题结束了吧？好，这个题啊，我不讲了，你最后一步啊，这要不会做啊，同学。这一步不会做啊，下课不要来找我，唉，重学听懂我的意思吗？重新学一遍，这都不要再做题了，去把那个第一节课，第二节课，

第三节课重新学一遍。哎，这个分不会做，这问题大了好了，这是248题，这个题来我们继续哦。然后我们再来看看249题，这个题来继续吧，再来看看这个题目啊，看看这个题怎么做？看这个题额，这个题的话，你发现一个事情，第一眼瞅过去可能不太好做，我先说一下人家这个人叫做s in和ln的复合函数。

我今天收到一个同学的私信。然后这个同学说啊，老师这是不是印错了，是塞印乘上lowing吧？不要这样，你不要在这里面当中，你不会做就改题，你还有这样的。你千万别这样啊，你别给我乱来，你看这个题，人家叫复合函数，那这个不会的话，同学们想想诶，这个里面当中出现loin，

我好像见过loin的分布积分呐。那所以说在这种当中啊，我就直接分步计算。我就直接来，所以在这里面当中就是两项相乘。对吧，然后再减去两项调换位置s跑前s跑前了之后啊，这人就跑后跑后其实就是d塔d塔就是它的求导。它求导是多少？它求导是cos lns。cosine lns，然后在这个lns再求导呢，是s分之一点s哦，漂亮，然后这个题就做成这样了。

这个结果啊，这个打不打括号无所谓啊，然后接下来过程当中是cosines BS诶，没做出来呀，没做出来没关系，再来一次。你再来一次，这个人就可以了，那再来一次的话就是is乘上cos and lns减就变成加加的话，你发现s跑前。你跑后。跑后去求导cosine，求导是负的这个三。然后这个中间被量求导是x分之一ds，非常漂亮，

你看这个人是不是又一次出现了，如果这个东西它又一次出现了怎么办？又一次出现，我就可以把它移过去，移过去之后啊，就可以循环相消了，因此原式这个结果就等于二分之一x倍的。sin el ns减去二分之一s倍的cosine lns。然后加上c就行好，这个人是不立即出来了好，这是一种方法。呃，就是在这个题当中啊，你发现你实在是没有办法了，你可以这样做对吧？

这是一种方法，那么接下来过程当中，我们再来看。那这个题还有没有方法呢？好，我们再看方法二。我们再来看。诶，这个题的话，我觉得有点麻烦呀，看起来有点麻烦，我们喜欢的是sins，那这是lns，那我在这种当中能不能把lns换成t呢？我一换的话，

你发现一个事情，这人就变成多少，那这人就变成sint，然后这个x就是e的t。那x是e的t的，之后的话，你发现一个事情，那看这个人。那这个人是多少呢？那就de的TD e的t就是e的t的导函数的题。好这个人呢？他就做成这样了，对吧？就做成了这个结果，哎，

做成了这个东西的样子。那么这个东西我在上课过程当中讲过吧，循环相消啊，把这个es凑到后面去，分步积分法一下。再分布几分法项，循环想效是不是这个事情？但同学们注意啊，我再给你教一个大招信的方法，你好好听哦。那么，这个部分内容啊唉，其实你发现就是一个结论。哎，这里面当中啊，

有个结论，有人说老师你又让我记一些东西，我跟你讲我不会轻易让你背东西的。我让你记的东西啊，绝对都是重点，一会儿我们再来谈好，那么接下来我们看看这里面当中有个方法。那么，在这里面当中，大家发现一个事情啊，你看这个人。jdm当中有e的as，然后是sine BS，是不是这个积分？那这个积分怎么做呢？

这个积分的话，我可以循环相消。我把这个es先凑到后面去补一个a凑到后面去，分步积分法一下再来分步积分法一下是不是循环消消？其实你发现这个结果非常好背，这个结果等于多少呢？它这个结果等于你看这个系数是a吧？这个系数是b吧？你看这个系数是a这个系数b，所以说这个结果等于多少呢？它就等于a方加b方分之一，后面有个行列式。那么，接下来过程当中，我来简介绍一下什么叫做行列式，

你记住就行。今天啊，我们还没有学线性代数。假设你是一个线性代数的零基础的同学，或者是负基础的同学，那么接下来看这个行列式的话，你发现这个人假设是a，这是b，这是c，这是d。那这个行列式怎么算呢？那二阶行列式的话就是主对角线减负对角线。唉，这条黑色线再减去红色线，黑色线相乘，

减去红色线相乘，就是这个点能听懂我的意思吗？唉，就这个结果。然后接下来过程当中，我们来看看后面那后面是多少呢？后面这个人大家注意，第一个人写e的。前面这个人先写啊，就这个abcd。那其实就是ad-bc。啊，就这两个相乘，能听懂我的意思吗？啊，

就是这条线减这条线，那么接下来过程当中，我们再来看，那这个结果是多少呢？这个结果非常好背。那这个结果的话，你发现前面是指数倒了，然后不倒，然后是多少是s in倒了，然后不倒。哎，是这个结果。就这个问题，加上c。好了，

这是这样的一个重点的一个结论，你可以把它记住，这个非常非常好记，那么这个部分的内容啊，我可以给你进行去看看。在我们这个同济版七版教材当中啊，大家注意啊，有些没有让你记的，你不要在那胡来啊，这个你要想记一份呢，有些同学说老师。我记得我见过有些这个书商让我进行去背这个人的，哎，不用背那些基本的积分就行，这你再背，

你咋不把加法也背了呢？对吧，那么就像我给你看看，你要想背啊，贼多，这个同济七版教材后面有接近100多个积分，我给你看看。诶，这块总共啊有147个积分。难道你都想背吗？比如说举个例子，你看看这些人你都记一记来，你背啊。你去背，你看这些人你都想记吗？

你看这些人难道每一个人都要背吗？不是这样子的。你注意，刚才我让你记的这个东西啊，考研的几率啊比较大一点。考研是高频考点，所以这是积分表，那么接下来过程当中我给你看看。呃，刚才这个人呢？做的是在哪呢？做的这个结果的话，他是在。在这儿嗯。哎，

哪去了？我来找找啊es乘上一个这个结果。es乘以这个结果。好在这哎呀，翻过去了。那么，绩效的过程当中，我们来看看这个事情，我们先来看看这个128这个人，你看看这个结果，这个结果是不是我们刚才那个结果来，我们一起来写一下？你看前面这个系数是多少呢？前面这个系数是a方，这是b方，

对吧？这个系数a，这是b。然后接下来过程当中啊，我们来看看这个事情，我刚才让你记的第一人倒a倍的e的as，然后第二人倒呢b倍的cos BS。然后这是e的as，然后这是sin BS，那么同学们，我们来看看这个事情，你发现我就让这条对角线。所以是a方加b方，然后这个结果的话就是多少a倍的e的as乘上sin BS。减去多少b倍的e的as乘上cosine BS？

同学们，你给我看看是不是上面这个结果？你看这个人是不是啊？就是的呀，这就是我们上面这个结果。所以说大家注意这个问题，你看这个内容其实就是这个行列式贼好背。相当的好记，你把它给我记住，记住有一大好处，那么将来过程当中啊，我们会进行去，比如说我举个例子啊，我们来看一个题。呃，

比如说将来过程当中，我们去做这个有些部分的题啊。你比如说将来过程当中，我们会做这个308题这个题。如果你会，你会做的贼快，我曾经有些同学的话，你发现这个我去讲这个事情，有些同学不理解，说我这个两下分布积分法不就出来了吗？我有你那个功夫，我做了十几个题了。那么，比如说你看看这个308题，这个题。

这题求这个极限，那么在这种当中，我给你看一下这个308题这个答案。我给你看看这个人。哎，308。那么这个题的话，你发现一个事情，如果你做的非常慢。我们来看看。那么这个题的话，你发现一个事儿，它就分步积分法一下，再分步积分法一下，然后最后循环相消，

做到这儿。我有这个东西啊，我一步就下来了。高手一步就下来了，然后再求个极限就出来了。所以大家注意一个事情，你要慢慢的学的，一定要越来越快，这俩东西特别喜欢考，就是反对幂三纸当中的三指相旁。哎，三指。三指相碰的时候循环相交，唉，循环相交，

所以接下来过程当中除了这个人呢，还有一个是e的as cosine BS也是这样。它的结果也是这个a方加b方，然后这个人呢？前面这个人呢？你发现指数给他求导，这人不倒。然后后面呢cos BS求导，后面不导。贼好记。非常好背，你把这东西记住啊，你将来过程当中做这个题啊，就非常容易了，来我们直接写，

结果一起来吧。那么，首先你看这个系数是一，这个系数是一来一的平方+1^2，然后接下来过程当中上面求导是它。然后这人求导是它，然后不求导是它，不求导是它，所以说这个结果再加上c，因此就等于二分之一对角线e的t再乘上sint。再减去e的t乘上cost+c。哎，别的任务我就不让你记了，因为这个东西实在是考得多，所以说你把它记住，

然后接下来过程当中啊，这个t等于多少呢？t=lns那ln约掉了不就是x嘛，然后这是s in多少lns，然后s cosine多少lns+c。那么，这个问题点我们就做的非常快了，一下就出来了，好，这是249题，这个题能听懂我的意思吗？注意啊。前几天呢，有些同学可能没有听这个课程，觉得今天啊，

觉得当天做的还挺好，但是今天的课程啊，一定要听啊，因为这里面当中有些重点的内容。你得下去看看好这个题啊，我们就讲到这啊。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看下面一个题。这是200多少哎，这个题。然后下面一个是252题，这个题唉，我把这个题重点讲一下，252题这个题啊，

其实你发现一个事情是一个什么是？是一个模型题。因为我在上课过程当中，我经常给你讲过一个结论，我不知道同学们还记得吗？这是252题，这个题。呃，有回放啊，然后的话，回头我把这个回放给你们，那个我不知道全真班同学的话，这个你的课表里面是有这个课吧？是有的吧啊，回头我给你再，

如果没有的话，我再给你冲一下啊。好了，那么接下来我们再看看这个题，原来过程当中啊，我们讲过这个事情，我们讲过个经验，我们说只要这个一和cos相相。一和cosine方怎么办？马上用二倍角。这是这个事情，如果这个一和这个三相碰呢，把这个一用二倍角，然后把这个一写成平方和把这个人用二倍角，这人用平方和写成完全平方。

这个经验应该是有的，所以在这里面当中啊，马上来出来那么这个结果就等于等于二倍的cos二分之x次方。然后这是一的x同学们总问一下。那这个人变成半倍角，那这人应该也变成半倍角，所以说变成了二倍的s in二分之s cos二分之s，这个东西应该是个定值思维。当你拥有了这个定式思维能力了之后啊，我就把它除下去再来看第一人，除下去就是二分之一cos，三分之一是second，那就二分之一啊，这个是。second，

二分之s的平方，然后接下来过程当中，我们再看第二个人，你看这个二除一下cosine，除一下c除cos，这是tangent。所以说这个结果就做成了这样。那做成这样，有些同学的眼神非常的准，都吧嫖的非常准，说a我看到这个是a哦，我看到这是什么，你发现一个事情，这是a岛，我又看到这是b哦，

这个人不就b岛。a到BB到a，所以说我立即可以写成什么，我就写成tangent二分之s乘以es的导函数，所以说这个积分结果由。继续就是这个人，就等于他加上c。就是我们乘法求导公式的逆用啊，有些同学的话，你发现练出水平了，这上课讲过吧，上课讲过这个事情，如果你看到是a导BB导a，我立即写成AB导。当然有同学说那老师我没有看出来怎么办？

没有看出来我们继续那么在这里面当中，你发现这是e的s二分之一second题二分之x方，然后dx。然后加上es，再乘上tangent二分之sds。那么，先看前面这个。那么，这是两类不同函数相碰必考分步积分法，谁好积分谁凑谁吧，那second题的话，我方我太喜欢积分了。所以在这种当中，首先第一个事情，二分之一到后面去second地方的积分是tangent二分之x。

然后这个结果就变成了这个人。那么，接下来这个人的话，就是两项相乘，两项相乘，再减去两项调换位置，调换位置es再求导师他诶。你发现一个事情，这不巧了吗？这后面这个结果不就是它两项约掉一约的话，你发现这个结果就立即就是这个人，但是注意啊，两个不定积分相交。它结果是一个常数好这个题啊，立即出来了252题这个题。

上课讲的类似的考题吧，一定要注意啊，这题非常好，要有意识，另外事情你得把这个操作性你得掌握清楚。好，这个题啊，我们就说到这啊。呃，刚才有个同学说那把251题再说一下呗，谁给你说251题？251题呃，这个同学你下去把我上课讲的那个题啊，给我抄个50遍啊。50遍太多了，

超过十遍吧啊。去抄个十遍，你学习方法出现了非常大的问题啊。这是我们讲过的题。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看。好，再来看看下面的事情。254题，这个题啊，再来看看下面一个题，254题呃，这个题其实我觉得方向非常的好。对吧，

就这个题。因为这个题的话，你得嗯，有点意识。有些同学有这个假分式的意识，我就加个一减个一。我加个一减个一，那有些同学也有意识。当我看到了阿克坦正体。我就想后面是arctangent题。那阿尔塔n导函数是一+s^2分之一。那这时候一+s^2分之一的积分就是它，你看这个意识就很好。所以有些同学的话，这个不同的方向下的意识都是非常新的，

同学们，我一直给你讲掌握住了基本的方法了之后。然后再进行去刻意练习，你这个运算能力会长得非常快的。你放心吧，等我们上到这个强化班，我相信你们的这个不定积分的运算能力一定不会有问题，这才是第一遍第一遍不够的。你还需要第二遍，你还需要第三遍，有些同学估计还需要第四遍。这个不定积分训练，但是你放心啊，你得有信心一点，最终而言，

这些运算能力都不是个问题点。不是个问题点。那根据往年的情况呃，比如说数一数二数三的那些考的140分，考的150分，考满分的同学。他们也是走过了这个过程，第一遍都很痛苦，都是这个痛苦，但是你发现痛并快乐着。所以我们还需要第二遍，有可能你做第二遍的时候，你发现你曾经做对的题，你有可能做错了，有些同学你你曾经做错的题，

你发现你还不会做，这很正常。再做第三遍。对吧，所以说同学们注意这些东西啊，都不是问题点，这种纯运算的能力啊，当你把基本的知识点掌握清楚了之后，再进行训练。但是注意啊，注意这个顺序，有知识再训练，没有知识别训练，没有知识在那训练，再咋训练也训练不上来啊。

好了，那么接下来我们再来看看这个题，那这个题的话，你发现你看我就来呗，我就加个一减个一。那加个一减个一了之后的话，我把它除下去，那这个人不就是一，然后这是多少一+s^2分之一，这是arctangent sds。然后这个题就变成了arc tangents的积分，然后再减去一+s^2分之1 arc tangents的积分。好这个人，然后接下来过程当中，你再看第一个人，

第一个人阿尔克他那积分，我们说对数函数的直接积分。反三角函数的直接积分，那就直接分步积分法呗，拿arctan减去两项调换位置s跑前。阿克探着你跑后去求导，所以你发现这个跳步能跳过来吗？对吧，调换位置跑到后面去求导，这个思维方式做了好多遍了，然后接下来这是arctangent题，一+x^2分之一的积分就是arctangent题。把它往后面一凑，就是阿克坦整体。那所以说这个结果就是s倍的arctangent，

把这s往后面凑二分之一平方补个一ln一加s方是正的，不用加绝对值。然后这里呢是二分之一arctangent x的平方，加上c。好了，这个题啊，我们立即出来了。所以说它的难度系数不是说特别大啊，这里面当中我觉得训练到今天了，对吧？你这应该是经过了好几天的训练了。有没有同学记分表还没记过的？我估计有，我估计还有同学，你发现积分表还没记过。

你到了今天的话，你发现还没技术，你得训练啊，好了，那么接下来我们继续，我们再来看还有哪个题吗？好，再来看。还有哪个题吗？呃，下面还有哪个题需要讲吗？再来看255哎呀，挨排问呐。55那你就让我挨排讲呗，是这个意思吗？

那行，我们来看看下面这题。呃，下面这个题的意识啊，也非常简单。那同学们想想这题考什么？两类不同函数相碰必考分步积分法。反三角是非常稳定的。反三角那么的稳定，你就把这个人凑到后面去呗。你看这个意识得有，你要还是看不出来的话，你得慢慢练啊，那说老师那这个人我怎么去凑到后面去啊？大家想，

这人不就是e的负sds吗？那这人就可以到后面去了。你到后面去的话，你发现一个事情，这是arctangent es。你在后面补个负号，前面来个负号，然后往后面凑，就是它那接下来就分布积分呗，这arctangent es乘以这个人。两项相乘，两项调换位置，调换位置e的负s跑前。然后这个人跑后跑后去求导，求导是多少一加上这个人的平方是e到2s。

有些同学不会求导了，一加上这个人的平方分之一，中间变量，再求导又是个es，它是这个结果。你看这个题做成这样，那做成这样了之后的话，你发现这是arctangent es×1的负s，然后这个结果又变成了这个人分之1 ds。那么，接下来看看这个题，那这题你会做吗？这题我有好多种方法来做。在我曾经过程当中上课的时候，我做过这个题。

这个题的经验告诉我这个题啊，应该有三种方法来做。对吧，有三种方法来做，你要换元换元就聋了，你如果换元的话，你发现上课内容又没消化到位。那这里面当中我有三种方法，对吧？我们先看第一种方法。如果在这种当中列es等题不好，虽然做出来，但不好。你说明的话，把这个东西给忘了，

那说明做的题啊，你在脑子里面没有印象。这个题当中做的最快的是什么？就是加个一到2s。减个一到2s。这是最快的。当你加个一到2s，减个一二s，这人是一，然后这是这是x。然后再减去多少再减去，这是e到2s一，加上e到2 sds。然后接下来过程当中，在后面补个二，

前面来个二分之一，往后面一凑，这是多少？一到二s，然后分之一，那么所以说这积分是x，这是二分之一，补个一ln多少？一+1到2s，不用加绝对值，因为是真的。你看这个结果，然后接下来过程当中，我们再看第二种方法，上下同乘，

但同乘那个方法比较low，同乘比较麻烦。我觉得同除比较简单，上下同时除上e的2s就变成这样。你下次能记得吗？我先问一下，下次能记得吗？能记得吧？哎，同除比较简单，那这样的话，你发现这是一的负2 x+1。先补个负二，前面来个负二分之一e的负二x加上一，所以说本题结束就是ln它，

那这里是正的，不用加绝对值。好，结束了。那这个人的话写成分之一，然后最后一整理，其实就跟上面这个东西啊是一样的好了，这个东西啊，马上出来。可以了吧？好，255题这个题。呃，这题我们就讲到这，然后接下来过程当中，

我们再来看，继续啊，再看下面一个题。还有哪个题啊？然后再来看看256题这个题吧，我觉得现在而言，256题这个题同学们。你还能想清楚怎么做吗？这题有意识了吧，然后继续啊，怎么了？啊，等会再说。那这个题现在有意识吧，你看两类不同函数相碰必考分步计分法对数函数非常稳定，

把它凑统计，你看。这节课来了三四遍了，你要还不会啊，我觉得这个真说不过去啊，所以在这种当中真是lin多少？science.然后这个东西是call second ds的平方，然后ds。对吧，就做成这样，那么做成这样了之后的话，同学们，你这个人就可以凑分了，平方是非常好积分的，

它一积是多少？一积是quantity？所以说负的quantity x。那这个时候的话，你发现就是两项相乘ln多少sins再乘上quantity s？两项相乘，然后再加上两项调换位置quality，这个人呢？跑到前面去。库腾提这个人跑前，然后这人跑后求导，先对中间变量求导，中间变量再求导是它。那所以说这个题就变成多少啊，这是ln sins，

你再乘上s，然后再加上那这是cos in方比上s in方。是不这个人那做成这样了之后怎么做呢？诶，这是cos in，我发现它不纯呢。不纯的话，我可以把它写成多少，我就可以把你写成s in，如果把这里写成一减s in方的时候，这所有人都是s in。那所有人都是s in 1除的话，是cos in的x的平方，第二一除是一好，这人就变成了它。

对吧，这是一种方式，或者而言的话，同学们想想这个东西不就是quantity的方吗？对吧，这两件事情都可以。就是第一件事情的话，你发现你就把它写成了这个样子，我觉得它不纯，我把它写成一减三一方诶，这一除下去了。可以或者而言的话，你发现你把这人写成quan TT quant t地方，那同学们想想你quant t方不会集，你还不记得tangent方吗？

它这地方就写成了second方减一，那你就写成call second方减一呗。那所以说这积分结果是多少？这积分结果是负的quantum dt，这是x所以说结束了。一样的吧。所以两种思路都一样，你或者而言，直接把这里写成cosin t，它平方写成cos方减一。你或者把它写成这样的，之后的话，你改成一减s in方，这就纯了，都变成s in往下一除就行。

好，这题我就讲到这行不行？256题这个题得慢慢练啊，我觉得这个呃今年过程当中啊，这个三九六同学，我们的不定积分做的是非常扎实的。这块做的是比较扎实的。嗯，所以下去过程当中啊，你得多进行去练习练习啊，很扎实的一个板块了，那么接下来过程当中我们就继续，我们再来看。没有必要，我都不知道哪个部分能想到那个分布积分，

我反正想不到，不要乱用啊，千万不要乱用。好了，那么接下来我们继续，我们再来看这个人。另外，事情你觉得行不行你就自己上。唉，你就自己先把它写出来，你不要老是的话，你有一个想法，你有个idea，你就觉得唉，行不行啊？

试一下，试一下就行了，方法都教给你了。得动手啊，得去练啊，好来看看这个题。那这个题啊，首先来看。那既然是真分式假分式啊，那这是个真分式，那既然是个真分式的话，你发现一个事儿，你就把它拆了呗，那这题很简单啊，说实话，

这个题很简单。这题很有去年的真题的韵味，说老师这太难了吧，我们不会考，结果你发现去年的真题呢，里面就有这个样子的题。那么所以说在这里面当中先来看。这个人是绝对不能再因式分解了。没法再变成两人相乘了，那所以说在这里面当中，你看第一个人括号外决定它的项数，所以它是两项。括号外决定项数，它是两项。然后这个部分的东西啊，

你发现下面是一次，上面是零次，下面是一次，上面是零次，下面是一次，上面是零次。什么东西叫做用abd算法很麻烦，本来就用这个方法，那有什么麻烦呢？你得接受它。你看去年我觉得呃，有些同学二战同学，我觉得是最了解的。如果你是一战的同学的话，你要注意一个事情。

我们作为三九六同学，一定要经验过程当中杜绝这样的一个问题，杜绝这个问题，你看去年过程当中啊。我记得做到那个讲到冲刺课程对吧？或者讲到那个模拟卷的时候稍微出难一点，很多人觉得说啊，我们不会考到这吧？这也太麻烦了，我们三九六同学的话，不是两三分钟做一道吗？这也太麻烦了，你要老是有这个意识，你看去年。当头一棒，

那所以今年过程当中，我们从这个基础班就给同学们把这个东西的档次感往上拉，我希望今年过程当中你得降维打击。对吧，你得降维打击，所以啊，就看你自己的要求有多高了，我可以明确讲今年的这个基础班的结束。你都可以进行去做往年的所有的真题，基本上90%的真题你都能做。然后今年过程当中暑期，我们是进行题型训练，如果再加上今年的暑期的题型训练，我相信今年的这个能力简直就达到巅峰了。所以慢慢来，

就看你每节课消化到什么样子，不是在于说什么，我这节课听完了之后，唉呀，我下去过程，我还要做什么题呀，我还去练什么东西呢？你最重要问题啊，先把上课内容消化到位再说好，我们继续看再往下走。那么，接下来过程当中啊，你把这个东西乘一下，那这is+1^2，这是is- 1。

所以接下来过程当中，先看第一个人，那这个人的话，其实就是s+1，然后就是s- 1，然后第二呢x- 1。然后这个人呢？这是x+1^2，那么在这里面当中，我们都知道一个事情，你像这个人这个红色部分的两个东西是相等的吧？俩红色部分相等，我只看红色部分。那么，这两红色部分相等，

同学们告诉我，赋值法选谁来赋啊？贼简单，你选分母为零的点赋啊，你先赋谁？你先赋一啊。当这个s为一的时候。对吧，这个唯一的时候，那这个唯一的时候怎么了？哪个b写少了？啊，哪个b写少了？你觉得写谁呀？这个同学。

啊，你觉得这个b选谁啊？你看吧，上课内容不消化下去就要进行去做题，然后你觉得在这里面当中写个BS+d。你上课的部分东西简直就没有怎么消化到位。你这下去过程当中得好好复盘了。啊括号外决定项数，括号内决定次方数。你根本给忘掉了，好了，那么接下来我们看那这个左半边是谁？左半边是二，然后接下来过程当中，我们就继续这是零吧。

所以说在这里面当中，我们继续看。那么，这个人的话是多少呢？唉呀，你你下去再复习一下你这个你这个内容忘完了啊，忘完了你说这块儿还少了一个x+1吗？还是怎么了？好了，那么接下来我们就继续，我们再来看啊，再来往继续往下来好再看吧啊，好，别管了，别管了。

好了，那么接下来我们就继续，我们再来看那这个人一负的话，你发现看这是几这是四这是4d。所以说这个d就出来了d就等于二分之一，然后接下来过程当中，我们再来负一下负这个v负一。负这个负一的时候的话，你发现这边也是二，然后接下来过程当中啊，这个负一没了，这个负一也没了，然后这是负二，所以说这是负2b。然后你发现这个b等于多少负一，

你看这多简单，然后接下来过程当中没有了，你就负零呗，零多简单呀。你负零的话，这是一，然后这人呢？第一个人是负a，第二个人呢？减b第三个人呢？加d那这时候你发现一个事情a不就出来了吗？那这abd都出来了，等a出来之后的话，你告诉我这个分会记吗？这个分不就是a倍的ln塔吗？

这个分会记吗？在后面补个一平方分之一的积分不是负的它分之一吗？这个积分不是lowing它吗？本题结束了，你说这个题你做了几分钟？如果你真的是熟练，两三分钟就出来了。两三分钟就出来了，这速战速决赋值法得会呀。对吧，一定要会复制法。好了，还有另外一个事情不要再，还有稀奇古怪的别的方法了，你在这里面当中把这个方向性掌握清楚就行好了，

这个题啊，我们就讲到这儿258题这个题。这是每一个同。呃，这是每个同学啊，你必须都要会的好这个题啊，我们就讲到这儿来，继续吧，再来看还有哪个题啊？好，我们再来看看259题是吧？那么这个题我再来说一下。呃，这个题的话，你发现一个事情。

你看这俩人是两类不同函数，这俩人还是两类不同函数。258不是讲了吗？啊，那这两人都是两类不同函数，你就把它分开就行，那所以说第一个人的话就是阿克多少？s in根号s根号sds，然后第二人呢是lns根号sds。你像这个反三角，还有这个对数函数非常稳定，你就把这人凑到后面去补杆儿，然后补杆儿，然后这个时候你发现个事情，你就直接往下来。

这是arcs in根号SD根号s，然后这是lnsd根号s，然后再分步积分法是不是就出来了？好，这题不讲了，行不行？你接下来过程当中给这个人分布积分法一下，给这个人分布积分法一下，这人就出来了。好，后面我们就不说了，你自己下去过程当中，你再看看259题这个题。那么，接下来过程当中，

我们再来看下面一个题，再来看看260题，这个题260题，这个题啊，我觉得就是意识。经验和意识到。那首先你观察一下，你看这个题是个单倍角，这个题是个二倍角，我不用去想二倍角化成同倍角。这个意识要有吧，所以说第一个人呢，他就立即变成了二倍的sine cosine，然后这是二倍的sine分之一ds。然后接下来过程当中，

你继续看，马上就把这个二倍的s in拆出来，就变成了cos，加上一同学们继续来刚讲的吧。你像cos，无论是加一还是减一，我立即用二倍角公式干掉这个一。那这个人就写成了二倍的多少二倍的cos二分之x方减一加一就没了，然后这人变成半倍角，前面继续变成半倍角。四倍的这个s in塔cos塔好，这个人呢？就写到这儿了。等你信息写到这了之后的话，你发现这就是八分之一，

然后这是多少是s in二分之s cos二分之s的多少？三次方分之1 dx，你看这个题。那这个题就变成了这样，那变成了这样的话，接下来怎么做？就这个结果。呃，这个题啊，接下来过程当中啊，可能需要有点操作性了，唉，有点操作性，有些同学的水平点比较高，对吧？

有些同学的水平点。稍微的话没有达到这个水平，那么接下来过程当中啊，我来讲讲这个事情。有一种非常好的一种操作性的方法，那么接下来过程当中啊，我们来先写一个题。啊，今天晚上多讲一会儿，不好意思啊，这个拖了这个都十点半了啊，好了，我们就继续吧，我们再来看。那么，

在这种当中，你下去过程当中，你看看这个题。哎，这个题你怎么做？那么，在这种当中啊，你发现一个事情，你像这种题怎么做？就是我们在做这个，这叫三角有理式的积分。啊三角有理式积分，大家如果有兴趣啊，你可以进行去看一下呃，当然的话你你先不用去看我，

后面的话会针对于三九六同学，我们的内容我们去讲。啊，针对我们的东西，我们去讲，所以你不要着急这个事情，那么下节课我会给你多进行去补充一下这个内容啊，这个三角函数。三角函数的不定积分其实挺难，非常难，难度系数最大的就是这种三角函数的不定积分。那么，在这里面当中，你看你像这个题怎么做？这就经典的。

你看下面这个人是s in的，这个分你下面这是cos的分。你像遇到这种sine和cosine的这种分，大家注意啊，有一种尝试性的方法就是上下同时除上一个cosine的最大次方项。那什么意思呢？就说这个题的话，你看我上下给你，同时除上一个cos cos平方，我一除这人就变成了second立方，为什么呢？你想cos 1除就没了。然后这个s in除上cos变成tangent t，然后一除上cos变成second t，second t凑成tangent t，

那这题就绝了。那这里你看这tan的方，然后这是b。呃，这个题目的难度系数比较大，唉，有点高，所以你下去过程当中有些同学没做出来，原谅自己，因为你没有经验。下节课过程当中，我会重点说这个事情，然后接下来过程当中啊，你发现你看这个题往后面一凑就是弹整题。然后接下来过程当中把它写成根号a倍的tan的平方，

加上根号b的平方。然后接下来过程当中啊，你在这一补它就出来了。所以同学们，你记住这个问题，你像如果我们遇到一个什么情况，遇到像这种s in和cos。对吧，sine和cosine的高次幂sine和cosine的高次幂的这种积分不妨可以给它上下，同时除上什么？除上最大磁方向。你想想这个题，如果是这个题的话，我就给它上下同除以多少？同除以cos in这个人的四次方难度系数稍微的大哎，

注意一下这一步太难了，这一步对我们三九六同学注意啊，后面过程当中我会加强的，你不要着急啊。不要急，这个事情稳稳当当来，今天晚上这一步你没有做出来，原谅自己那么上下过程当中，我同时除上多少？同时，除上一个cos in四次方，就是second这个人的四次方，然后这个cos in没了，然后是tan二分之s。dx，

好了，这是这个人，所以同学们注意，你看这还有一次方，这还有三次方，所以同时除上这个组合的最大次方数。四次方所以在这种当中同除一个这个人的之后啊，你发现一个事情我就可以处理了。然后接下来过程当中啊，你在这里面当中啊，在这块儿补一个二分之一。然后前面来个二变成四分之一，那么所以说这是四分之一凑一个平方，到后面去变成了tan二分之x。然后剩下的一个多少呢？

剩下的一个second方second方啊，你就把它写成了一加上。看真题的方案本题结束。第一个人处下去。它分之一的积分d它多为它第二，除下去就是它，它的积分是二分之一，它的平方。所以大家注意啊，这个东西难度系数有点大。唉，我在后面过程当中会给你有一次课程专门进行去加强下三角函数的积分问题。三角函数积分呢，不光是我们，其实非常难，

难度系数比较大，所以同学们注意啊，今天晚上如果这件事情你没有做下去。原谅自己，因为后面过程当中啊，我们会有一个专题进行去讲这个内容，哎，有一个专题讲这个内容好不好，同学们？不要急啊，不要急，稳稳当当来呃，但是我觉得做完这一个题啊，你有可能下次过程再改一个题呢。唉，

改一个题怎么办呢？所以说这个题啊，有点难啊，有点难好了，这个题啊，我们就讲到这儿啊，你先原谅自己。对吧，就这个题，你可以原谅自己啊，别的题的话，你得自己好好处理一下，那么接下来过程当中啊，我们再来看看261题这个题。好，

再看这个题。呃，这个题啊，有些同学可能有些比较好的意识。对吧，有些比较好的意识。他说把这个根号这个东西凑到后面去，你先听啊，有些同学这样做。那我都知道这是AR cq。arccos in的导函数就是负的它平方啊，它分之一，然后往后面一凑就是arccos in配符号，听得懂吗？arccosine的导函数是这个根号的负的，

它分之一。那所以说凑到后面去，凑到后面去了之后的话，你发现然后这个人又把这个人继续凑，只是arccosine这个人的平方。唉，凑到这个人凑到这个人之后的话，你发现一个事情，结果二分之一两项，这个是cos这个人平方相乘。然后减去，然后这是arc cos ion这个人的平方d，它求导2s dx。结果你发现一个事情，你做到这儿了。

对吧，这个题就做到这儿了。做不动了，那接下来怎么做呢？接下来你发现两类不同函数相碰必考分布积分法。那反三角比较稳定，比较稳定，继续把它凑到后面去，唉，你咔的一凑后面去回来了。哎，你看看这个事情，你坐这儿就坐不动了。你做的时候你发现一个事情，你这两人相乘的时候的话，

你发现这个东西非常稳定，你又要把这个东西凑到后面就咔的一下回来了，你在干嘛呢？你在游戏呢？啊，你在玩耍？坐过来坐回去，再坐过来坐回去，你在干嘛呢？不好做，所以说这件事情啊，就出现了问题了。那这个题啊，我觉得比较重要，把它给我记到这儿啊，

非常重要，勾起来这个题比较难，比较重要。那怎么做呢？我再来观察一下。诶，这个题当中含有一减x方，原来上课当中我们就讲过我可以做三角代换。原来过程当中，我还说过，不光可以做这个三角代换，也可以做这个三角代换，那同学们，你想想你选哪个？选这俩人都可以把这个人开导。

但是GM当中我遇到谁arccos in啊？那oracle cos in如果再cos in诶，那这里不就没了吗？反了再反不就没了吗？哦，漂亮，所以说在这个题当中我会怎么办？我就令xncosint。0 s=cosine t之后的话，你发现下面这个人好继续看，上面就是cosine t的平方。那么然后arc co cosine再cosine，那这人是t？一减cos方，那是s in对吧？

开方是它，然后d这个人呢？d这人进行求导就是负的这个s in。dt好，这个人那么所以说这个人呢，等于负的t倍的cost的平方dt。好，做成这样。那么，一旦做成这样，接下来这个题会不会我先来问一下同学们这个题怎么做？你要这一步不会啊，我跟你真没完啊啊，会不会怎么做？然后在这里面当中，

是不是把这个东西怎么办？唉，把这个东西啊，立即进行去二倍角，把它拆一下，一拆这个东西就出来了。能想清楚吧好，这是这个问题。这个同学说我凑x比上这个人是不是更溜不溜，你去试一下吧，你那凑不行啊，你别在那扯啊。哪溜啊，不溜好了，那么这个时候你发现就给这个人降密，

你降密了之后的话，这个人就可以做了。一+cos 2 tdt。然后这个东西啊，除下去除下去就可以记了，不讲了可以吧？好下去你可以自己做好了这个题啊，所以你要注意啊。不要在这里面当中啊，你用这个你用这个东西做不出来。这个题有点难，也有点难啊，所以说今天的话，后面这几个题啊，运算量难度系数是比较大的，

我先讲一下。这几个题的运算量是超过我们的考研的，这个难度系数的。唉，超过的，但是这个难度系数又很重要。我觉得很重要，你发现你如果说它难到哪去呢？我觉得也没用。你一直在那里面当中给自己一点儿妥协的机会，给自己妥协机会，说什么呢？唉呀，不会有这么难度吧？怎么怎么样？

你要注意一个事情哎，注意这后面这几个题啊，我先来说一下哪几个题呢？就这个题。这个题。啊，就这俩题这俩题啊，稍微的会难一点。就这俩题，别的题我觉得还好。好了，这是这个内容呃，所以说你下去过程当中，你好好看一看。能听懂我的意思吗？

呃，所以说我们叫降维打击呃，今年的话，这个基础班对大家的要求，大家都看到了。我不说别的，有些同学按照你比如说你是二战同学。有的二战同学，你去年的话，你发现到了冲刺科，你都没达到这个要求呃，所以说我觉得今年过程当中啊。呃，尤其而言，三九六同学，

我今年呃给你们开班的第一次课程，我就给你们讲过这个问题。我为什么今年过程当中给你们开这个三九六这个全程班呢啊？这是我在这个三九六同学，我们开的第一届的全程班。以前过程当中啊，都是给同学们进行去开这个呃，就是最后的冲刺就明白。今天原因很简单，就说这很多同学到了这个后面过程当中，你发现到了冲刺啊，他这个能力点根本没练上来。不要给自己妥协啊，这个习题课我不发笔记啊，不要问我们要笔记，

你习题课你自己都做了一遍，你上课也能跟得上，把它记一下。你自己写一遍比什么都好，所以习题课啊，不要再问了啊。好了吧，这个部分内容啊，我们就讲到这儿好了，今天的话，这个题目应该就没有了，这个题你不会做啊，你去看看刚才这个题跟跟这个题啊是一样的。好了，这是这个事情，

我们就讲到这。听懂我的意思吗？好了，这是今天的课程呢呃，今天部分内容我们就说到这儿，自己下去过程当中好好自己去整理一下，好同学们。那么，今天这个题目啊，没有了吧？还有哪个题需要讲吗？今天的比较难啊，今天是最难的一天，然后另外一个明天，我觉得还好啊，

明天的题目都还好。明天这里面当中可能哪个题呢？可能这个题比较难。啊，所以说我打了一个这什么五星级的题啊。啊，剩下的都还好啊，所以说明天的题你好好做一做。好了，这是这个部分内容呃，明天都还好了，今天是应该是这几天过程当中啊，最难的一天啊，最难的一天难度系数，我觉得最大的一天你下去过程当中好好进行去处理。

呃，另外一个事情啊，我来说一个事啊，就是做明天的题，之前去把我们上的第一次课程的那个就是不定积分的第一次课那个定义的那个题，好好进行去看看。好吧，把那个题好好看，看好了这个事情，我们就说到这。呃，全程班同学没有回放是吧？嗯，我明天会让把这个回放给你们冲到这个全程班的课程里面好吧？啊，

明天刚好是周一，让他们给进行去加进去好了，这是这个事情，然后呃，上次过程当我说了。上最后一次课程呢，之前我们会有一个专题的课程，所以说明天应该是一次加餐课程，它应该是一个正课内容，听懂我的意思吗？明天是正课内容。呃，但是明天的这个时间呢，我还只能到九点半再讲，所以明天讲课的时间是一个小时，

所以明天还是九点半到十点半。啊，这个因为我七点钟都有课，实在是插不进去了，所以明天的话，这个七点钟到这个九点钟还是有课，如果你实在是。这个没法听，你就听回放就行了，好不好啊？基本上习题课，我今天也是这几天都是。原本的话，这个习题的话，你们自己进行去做一下，

我讲些重点点呃，每天呢，反正这几天吧，今天是已经第五天了。每天都是七点钟，直接刚到十点多，而且中间无缝衔接，而且我喜欢拖堂，基本上就讲到九点二十多分啊，然后就继续，然后来讲这个啊。好吧呃，那么今天课程呢？我们就讲到这儿啊，明天反正是最后一天啊，

就把这个内容我们就结束掉了，所以下去过程当中啊，好好进行去把相对应的问题啊，好好处理一下吧。行不行同学们呃，我再强调一遍，今天的难度系数比较大，所以下去过程当中好好进行去整理一下。那么，再进行二刷，包括前几天的题，如果有问题的题啊，你都进行去整理一下，再进行二刷，我相信下次过程当中再做这个题啊，

可能就会更好了。你注意啊，你的目标是12月24号的那场考试，不是今天的3月26号的，这天的训练。把目标放的长远一点。第一遍都会这样，都是很痛苦的，不是你很痛苦，谁学第一遍不定积分刷这些都很痛苦，你再来第二遍。第三遍啊，像这些问题啊，都不是问题好了，那么今天课程呢，

我们就讲到这儿吧呃，大家也不要辛苦了，你下去过程当中好好进行去把这个东西整理一下，晚上早点休息吧。好同学们，行吧，那么今天课程我们就讲到这儿好，明天见吧啊。

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