03.396经综数学不定积分百题带刷day3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 10:00:09

行，那么接下来我们就准备开始我们今天的课程了，首先我们先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一啊，那么今天我们就继续开始我们的不定积分百题大刷的这个第三天的习题讲解。呃，那么今天啊呃，其实我们这两天第一天第二天第三天我们这三天的难度系数啊，都不是说特别大啊，我觉得这个今天过程当中啊，大家做的应该还挺好的。呃，根据着这个今天过程当中啊，

看了很多同学的打卡情况，完成的还是挺到位的呃，尤其是很多同学啊，昨天晚上过程当中啊，我说了一些这个学习方法上的问题。那么，今天过程当中啊，做了一些非常大的改善，我觉得非常棒的，所以说这个就是这样子，一天比一天好。哎，一点一点的比这一点一点的强好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个今天部分的题目。

来看看这个今天题目当中有哪些题需要讲的。来看一下吧。哪些题需要讲，我们把它进行去做一下这个重点的精讲。223。二二三谁问的二二三呢？你这上课没听课吗？你这咋又来了？刚想夸奖一下大家。对吧，刚刚还说这个很多同学这个看了一下打卡的情况，然后变得非常的好。啊二幺六。二幺三。二幺七。

哎呀，这谁犯的二幺七啊？二幺二。这谁问的二幺二啊？哎呀，你这是这节课又来了，又开始了这二二零，这谁问的题啊？哎呀，这。呃。不太好吧。对吧，不太好吧。是不是有点不好意思啊？

还有这个题。这题可以把这个补一个二，把它扔到后面去，但是你发现一个事情扔到后面去啊呃，没有直接做比较简单。对吧，直接做比较简单。这题是不是讲义上的原题啊？讲义上的原题。对吧，在这里面当中把这个一次方直接凑到后面去，然后在后面补一下这题出来了。那么，接下来过程当中，我们再来看看二幺三二幺三这个题，

我们是不是在昨天过程当中说过这个类似的题啊？那么，接下来过程当中，我把这个题啊，我们来讲一下，看看这个题怎么做？啊，这个题。呃，这个题的话，你发现意识也非常明显是吧？我觉得对于大家而言呢，你要学习这个最好的这种方式，这才最重要。那么，

首先，我们先观察一下，你看这是二次方，这三次方嗯，三次方可以写成二次方，再乘上一次方。然后这个一次方呢，你就可以直接怎么办？把它凑到后面去，所以说在这里面当中啊，我们先来看看第一种方法，先看方法一。那方法一的话，你发现你就先凑一凑的话，这个人就变成了平方，

然后这是根号下x方加上一，然后dx方，然后补上二分之一。那么，同学们想想一个事情，那接下来怎么做？也就说把平方换成t可以，但是这里面当中还有更直接的，你可以怎么处理啊？我一观察的话，你发现这是x方加上一，然后这里面当中是x方，你就加个一减个一，然后这是dx方。那么，

接下来过程当中啊，就除下去，一旦除下去的话，第一个人一除是根号下x方加一，然后是dx方补一个一。然后接下来过程当中就是二分之一，然后又是根号下x方加一d多少x方继续补个一。那么，接下来过程当中，看第一个人对吧框的二分之一次方二分之一二分之三三分之二，所以说就是x方加一的二分之三次方。然后接下来过程当中，这个二借你用二倍的根号，一个东西分之一的积分，那就是根号它，

所以说在这里面当中啊，立即出来了。好了，这是我们在这里面当中啊，解释的这个问题啊，这是第一种方法，那么接下来过程当中，我们再来看第二事情。你就算分部积分法做出来，我也不支持你。你听懂我的意思吗？你就算这个题用分布积分法把它做完了，我也不支持你，我都不知道你在考场过程当中哪一个感官认识能让你想到分布积分法？我想半天我都想不到分步计分法，

你不要这样好了，那么接下来我们再来看看第二种方法继续。呃，这个题啊，那首先第一件事情你当然得想到把这个一次方凑到后面去啊，这个事情非常重要，那么接下来过程当中这个题除此之外还有什么方法呢？我们再来看是不含有根号，下一+x^2啊，所以在这种当中你可以做一个什么三角代换。0 x=tant t移换了之后的话，你发现上面这里呢，其实就是tant t的三次方，然后接下来再看。一+tan的方式second方方方开方是second t，

那么然后继续注意啊，这个东西要换。一换的话，求导一求导是的什么平方，然后dt好做成这样，一旦做成这样了，之后的话，你发现你约一下约一下了，之后的话就是tan的t的三次方。然后这是second dt dt。那这个时候你发现不好做，不好做没关系，我把这个东西写一下，你看这个人其实是塞鼻孔。然后接下来过程当中，

再来看下面这个人，那下面这个人的话，你发现是cos 3t的三次方。那么，在这种当中，我们再看这个人，那么这个人的话，你发现一个事情。嗯，有些同学太疯狂了。你不要在那里面胡来啊，对吧？你要尊重数学，它是一种规则，你不要在那胡用规则好了，

那么接下来我们就继续约掉它，约掉它之后的话，你发现一个事情，这人就变成多少？cosine t，然后这个人dt你就变成了这个人，然后这人其实就变成了sint的三次方比上个cosine t的四次方，然后dt。对吧，做成这样，那么做成这样了之后，接下来怎么做？你怎么去处理呢？你发现一个事情，其实你把它改成了s in和cos，

反而变得稍微的麻烦了。那你可能会想着说，我把一个s in凑的后去变成cos in，然后上面这个人写成一减cos in方可以。但是麻烦了，其实同学们注意啊，我原来给你讲过这个事情，你在三角函数当中啊，你要注意一个问题，有的时候这个second call second你得很喜欢。大家有没有发现一个事情，你这类当中出现了second题，然后出现了tangent题，这个人的积分结果是不是就是second题？所以在这种当中，

你就直接把这人凑合去变成second题，然后前面过程当中啊，就剩下那个tan的方。看这个方写成多少，写成三肯定方再减去一哎，把这个写成这样，你写成这个样子了之后，这个题就很简单了，那第一个人呢，他就是三分之一。second dt的三次方，第二呢？second dt+c，但是注意啊，最后一件事情你得换回去，

你换回去了之后你就画一个三角形。把这个夹角命成t，那这个时候你发现这个tan这个t这个人呢，其实就是s比上1s比上一，这是多少根号下x方加上一。所以在这种当中，我们就可以看出来，那second t等于多少？等于cos是零比斜，那这人呢？就是斜比零就是这个结果，所以这里面当中啊，就直接带带进去的话，就是说就是I次方加上一，然后是二分之三次方。

根号下x方加一+c。所以说这个题啊，你发现这两种操作性的方式都是可以的啊，我觉得呃，我是比较赞同的话，大家。选取这两种方式，无论是选择第一种方式，还是选择第二种方式，这两种方法都很好。那么，在这种当中，你再进行去遐想别的方法呃，比如说刚才有分布积分法，你就算做对了，

我觉得这些方法你也得学学。因为大家注意啊，我们要养成一个非常好的一个做题的方式，对吧？这个思想很重要，好，这是我们讲的这个二幺三这个题。呃，讲到这个题的话，这个昨天过程当中啊，有一个题。有一个题。哦，就是这个题。嗯，

就是这个题，估计就是这个题啊。好了，这是我们在这里面当中介绍这个题，还有哪个题吗？呃，除了这个二幺二这个题诶，这个是二幺三这个题还有哪个题需要讲吗？好，再来看还有哪个题，我觉得今天还挺好，今天比昨天好，我觉得大部分同学今天比昨天好。因为今天过程当中，我专门去看了一下，

很多人打卡那个小红书的情况，有人觉得说呃，这个很明显反馈一个感觉对吧？觉得这个自己复习方法出现了问题。及时的做了调整啊，二幺六我们来讲讲二幺六这个题。呃，其实这个题的题型呢，我是讲过的。就这个题的题型，我讲过，那么接下来过程当中啊，我们再来看看下面的事情。好，来看看下面一个问题。

那么，在这个当中啊，我们来看看这个事情，你十字交叉法了之后令成t，我觉得非常麻烦啊，那么这个题其实是指模型。你还记得吗？我们在上课过程当中啊，讲过这个事情，我们说如果下面这东西是二四。然后上面是依次怎么做呢？完全使用配方的方式来做。如果这个下面这个东西是个二四。然后上面这个东西是个一次怎么做呢？哎，

这种题啊，把上面这东西写成下面的导函数形式。大家注意，一旦你会了，上面这个人就算这里面当中给他来了个开方，注意他的做题方式仍然是一样。这两栋东西啊，做题方法一样，都是配方，然后如果是这种情况，你发现这是es+f。下面过程当中多了一个as方，加上BS+d的开方，那这种情况也依然是把上面这个东西写成下面的导函数情况。所以同学们注意啊，

这两种做题的思维方式是一模一样的，你可以随便来，那么接下来过程当中，我们来看看这个题，比如说我们解。你看这个题，那这个题的话，你发现下面是二次，上面这东西什么上面这东西常数，因此在这种当中，我们就选择配方项。那这个配方的话，你发现它不就是三，然后再加上多少再减去减去一个x方，然后再减去2x。

那这个时候你发现我在里面当中加个一，我就减个一，减个一负负得正，其实就变成了四，减去多少x- 1^2？然后接下来过程当中，把这个人改成多少，把这个人改成二的平方，然后接下来过程当中，在这儿补一个一。因此这个题啊，立即就变成了这个积分，变成谁呢？根号下a方减去x方，然后这个积分。

那这积分结果等于多少？等于阿克塞因，所以说结果等于阿克塞因a分之s，然后加上c，大家注意啊，这种类型问题啊，方法是通用的。你可以随便做，只要你碰到这种题啊，你就按照这两种操作性的方式处理就行，你记住了，无论是ax方加上bx加d分之一。还是根号下它分之一，这两种做题方法一律是把这人配方了，如果这人下面是二次，

上面是一次，都是把上面这东西写成下面导函数。那这个人依然是把这个人写成这个根号里面，这个人的导函数形式做题套路是一样的。好，过去了可以吗？希望下次会做，我再强调一遍，一个积极的学习方法，应该是就算这个题我做错了。但是我敢保证一个事情，下次过程当中见到这题，我一定会处理，包括今年过程当中我遇到这道题，我一定会处理达到这个水平就行。

倘若今年考研过程当中出现这个题，你会不会做？你会做就行，我不希望同学们注意啊，我一直给你强调一个事情。你零基础都没关系。你从来的话，这个高等数学以前过程当中学习的不是特别好，也没关系。就算后面过程当中，比如说我们将会学习的定积分，我们学习的多元微分，什么线性代数概率统计这个部分内容，你原来过程当中学的很差，没关系。

我们都可以把同学们给这个把这个东西给你讲起来，但是有一个问题我忍不了。就是你的学习态度，你原来过程当中做错的题，你下次过程当中见到这个题，你认都不认识。你原来过程当中见到这个题，你发现你做过还做对了，下次过程当中见到这题不会了。那这件事情是我很害怕的，所以大家注意啊，讲义上的例题，讲义上的知识点，作业上的这些题一定要进行去二刷。对吧，

错题一定要二爽好了，我们继续吧，再来看还有哪个题？除了这个。二幺六二幺七我不讲。对吧，二幺七我不讲这个题的话，你发现你要做错了，你好好进行去反思一下，对吧啊，好好反思一下。你不要好好反思一下，你得深刻的反思一下啊。好，还有哪个题？

二二三是吧？你这个题你不觉得你更应该好好反思一下吗？这上课讲的原题哎。求你下次过程当中会做了，行不行啊？你要会做，我求你都行，好不好啊？可以吗？好了，这是这个事情，你像这里面当中好几个题啊，都是我们上课讲的原题啊。下次能别错了吗啊。二二三。

上下同乘个cos。刚好凑出一个second题。可以啊，可以你这个方法很好，这个同学想了一个方法非常好，就在这里面当中啊，你发现一个事情，他给这里面当中啊，上下同时乘上一个多少？同时，乘上个cosine，同时乘上cosine，这人就是cosine方，然后这是三又分之一罗音tan。然后这个东西啊是ds，

然后这个部分你一乘的话，上面还有一个cosine。那这个时候你发现一个事情，我们这个题就变成了ln tangent题，然后把这个cosine除下去就是tangent题，然后这是second，这是什么cosine平方分之一，这是second方。然后这是dt啊，这个是second点x的方，然后把这个东西你发现往后面凑，看整体把这个东西往后面凑，看整体。t啊，这个是罗音探针题，

然后这个同学就出来了嗯，非常好非常好哎，你发现很好的一种方式。就上下过程当中啊，同时乘上cos in，然后这个里面当中补出了一个什么cos in平方分之一，就是second立方往后面凑tan。好了呃，这是我们讲的这个题，还有哪个题吗？今天过程当中啊，题目的原题比较多一点。那所以说在这种当中啊，你一定要保证好自己的这个运算，但是同学们你放心吧，

就算这两天过程当中啊，你做的不是说特别好。你发现我们经过这两三天的训练，你也比你两三天之前强得多，等我们这六天刷完了之后，就算这六天过程当中你做的不是特别好。你也比六天之前你强得多得多。而且你敢算了好多问题的过程当中，你会处理的，所以同学们注意啊，第一遍不行，有些过程当中这个不定积分做一遍是不够的。你像这些不定积分题，你最起码有些部分我们还可以进行去做第二遍。还得进行第二遍，

大家注意，今天才是3月24号。对吧？3月24号。呃，等到四月份过程当中啊，我们课不多的时候，我们再刷一遍。对吧，你到了这个五月份六月份的时候再刷一遍，刷它个五六遍，你看看这些事情，你将来过程当中，你见到这个题都会做吗？你见到这个题你都知道怎么处理，

怎么处理了？好，这是这个事情，二二四。我先问一个事情，你为什么要那样想呢？是我的方法不好吗？还是那个方法没经脑子？你见到这个偶数次方就建密，偶数次方就建密，然后这个奇数次方怎么办？你奇数次方的话，你进行去凑分呐。嗯，这上课又讲的原题啊，

你你我都忍不了，这节课过程当中啊呃，我再强调一遍。你看问这个题的同学，问这个题的同学，还有问这个题的同学，还有问这个题的同学，尤其是这些同学啊。还有这里面当中问。还有问这个题的同学，你要知道你问这几个题的同学，我不批评你了，但是你自己下去过程当中得反思。这些题都是做过的原题，而且是我上课讲的书上的例题。

你想想讲义上的例题都不会做。那我们这一年过程当中，在学什么呀？讲义上的知识点，讲义上的例题优先级排第100。对吧，就排第一位，然后第二位才是你的作业题，第三位才是你的，其他的题。讲义上的知识点和例题，这是一定要会做的。我们上课过程当带着你进行去完成，带着你进行去学，你像这些内容，

你下去过程当中好好做一做。好了没有了吗？那行吧，好了，那么今天的这个部分内容我们就说到这。我再强调遍213题，我不会想无理根式还原。行，我也不建议你将来过程当中这样想，你听懂我的意思吗？如果碰到as+b的一次方的时候，你想无力根式换元，我鼓励你，如果一+x^2你都能想到第二类换元法，你为什么想不到三角代换呢？

你这个问题点就非常的大哎，你要注意一个事情不这这都不是跟着我的思维方式走了，你得按照出题人的思维方式走。你都出现根号一+x^2，你都能想到换元法，那为什么想不到三角代换呢？是很不喜欢那个人吗？你偏偏喜欢无理根式，见根式就换元，这非常不好。我建议你进行去调整一下自己的学习方法啊，好了，这个内容我们说到这呃，明天的题啊，做一个预告。

明天的题目的难度系数会稍微的会大一点点，对吧？比这前几天过程当中的题啊，难度系数要会高一点点，所以说希望同学们注意明天过程当中啊，好好进行去处理。啊，明天到这个题啊，操作性也比较强一点，我估计明天过程当中啊，问问题的会比较多一点。啊，问题点会比较多点，所以说大家注意哦，明天好好算哦，

明天的运算量应该是比这个今天啊要。要大上个两三杯都不止啊，所以说大家这个明天过程当中啊，你挑好时间好好进行去算，这里面当中的这些题啊。有些题估计是呃，之前就跟你讲过啊，真的是这样，一杯酒，一根烟，一道积分算一天，真有那种感觉。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，

所以下去过程当中啊，好好练。但是我想讲一个事情，你要注意一个问题啊。凑微分法，能凑就凑，如果遇到根号下一+s^2啊as方a方加s方s方减a方a方减s方。那这些东西啊，我想三者代换，如果遇到无立根式什么as+b开方，我想什么情况，我就想无立根式还原。如果到了后面过程当中，两类不同函数相同，我会想分步积分法，

然后如果是有理分式，我去想有理分式，大家注意不要把思维方式太跑偏。你不要在那天马行空的去找方法，你这样进行去做题的话，虽然把这题做出来，我觉得对你的提高不大。你考试过程当中怎么办？所以大家注意啊，你要注意你的体系，你的体系就是这四种方法的切换。对吧，要不然就是这个东西的变形，所以凑微分法是最难的。对吧，

怎么去凑难度系数比较高，然后到了后面过程当中第二类换元法分布积分法有理分式啊，虽然有些东西难算，但是它的操作性思路还是比较直接的。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，所以说明天过程当中好好处理哎，你要注意啊，就算它难也不是难到什么位置。都是在我们的可控范围内，那么明天过程当中啊，可能我提前说一下230题，这个题真不好做。你先记到这儿230题，

明天的这个难度系数啊，会上升的很大，所以明天过程当中好好做吧，好了，那么今天课程呢，我们就讲到这儿吧，明天晚上我们继续吧。好吧好，明天见。

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