03.396经综数学不定积分百题带刷day2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:59:54

好同学们，行，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看今天部分的内容啊，我们首先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，我们就。准备开始了，那么今天是我们这个不定积分呐，百题代刷的这个训练的这个第二天我们今天啊，针对于这个今天的这个题目啊，我们来跟同学们进行去。做一下这个金角。呃，

今天的这个题目啊，我们是从这个184题。184题，然后做到203题啊，那么接下来我们先看看呃，今天过程当中啊，有哪些题需要讲的呀？好，我们先来看看这个呃，今天的难度系数啊，也不是说特别大，也都是一些基本题啊。幺八九对吧？189。啊，

你慢一点啊，慢一点，189。199。然后是196。194谁问的？194。你你你得自己我我一会罚抄你啊。202。200题。195这题能问得出来啊。197这上课讲的题啊。嘿。是还这么多人问197题。我我必须给你翻的，

让你看看啊。你这样学习到后面的话，你发现你会怎么办呢啊？来，你看看。这上课讲的题。你上课讲的原模原样的题，再一次出现了之后，你发现跟新题一样，你还是不会做。你这个下去过程当中得怎么办呢啊？好，那么不多说了，等会我们再看吧，193题好。

203题。191题。好，这个题我一会说一下行吧？那么接下来我们就准备开始吧。啊，可以了吧？应该问的差不多了啊，我们就准备开始了，我们先来看看这里面当中的189题啊。其实这个今天这个题啊，说实话呃，也体现出来了很多同学的这个复习问题。你自己下去过程当中啊，明显我们上课讲的东西啊，

你先得消化到位。你发现上课讲的原模原样题型你都不会做，你这听课的效率，你或者不是听课效率问题，我觉得就是你下去过程当中啊，你就没有自己进行好好复习。你先把上课讲义上的内容整理到位了，再去做题嘛，你着啥急，你做那么多题的话，你发现你回过头来还是训练那些内容。好，我们先来看看189题。那么这个题啊，你发现一个事情，

这个东西是个二倍角，然后这个东西是个单倍角，那二倍角单倍角我肯定会想到画到同倍角。那化成同倍角的话，你发现这个cos 2s的2倍角公式啊，有三个人，一个是cos方减去s in方。那还有一个人是二倍的cos方减去一，还有一个是一减二倍的s in方，那么同学们告诉我你选谁啊？那这里面当中，你发现我肯定会选这个人的。因为这两人做差不就平方差分母这个东西刚好是一样，所以在这种当中啊，我就立即把他进行去换了，

我就把这个人换成这个人。换成这个人呢？之后的话，用一下平方差公式，那就减一下，然后这个东西再加一下，那么这个时候你发现就变成了cos，再减去s in。然后ds其实这个题啊，不应该有问题哦。那如果有问题的话，你发现这个类型的这个操作你还是没有理解，那这是coss+s in，然后ds。第一积分呢，

是s in第二积分呢，负的cos+c。啊，但没关系啊，我我觉得一个事情就是你下次碰到这个题，你必须要会做另外事情，如果是上课讲的这个题目，你在做这个题的时候，你发现你还是不会做。或者而言，你都不知道我们讲过，那这说明上课的内容没有消化到位。你要注意什么是主，什么是次，你要分析清楚，

你学一年过程当中，无论是基础强化真题，还是到了最后。你每个阶段的这个学习，主要目的是什么？不就是学会大纲要求的内容吗？上课在讲大纲要求内容，你不去复习，你偏偏叫人家，我说刷题进行总结，那上课总结的好东西，学会了之后运用不像吗？好，这个题我们就说到这来，继续再来看看，

下面一个191题吧。呃，这个题说没有答案，我们把这个题讲一下啊，191题。好来看一下这个题。呃，那么这个题的话，你发现很简单，一个事情对吧？我看到这个人。我就非常喜欢second的，因为你发现个事情，这个second方的积分不就是tangent吗？所以说本题就结束了三分之一tangent x三次方，

加上c好本题结束呃，这破题啊。就算没有答案，你也有的这种自信心，对吧？好，我们再来看看193题这个题。好，再看这个题。继续啊呃，这个题时至今日你还不会啊，这是我们在那个我记得讲第二次课程，讲完凑微分。我给你布置的作业里面当中的题。你想想是不是？

对吧，这是地铁。我讲完那个凑微分了之后给你布置的那个同济七版教材上的题。你还留到今天过程当中啊，你还不会做你这个问题点有点大了好了，那么接下来我们先来看看这个事情。你发现塞因这个人的积分的。这个人的积分结果就是cos对吧，因为我们知道s in这个人抽分。就能凑出cos in，然后配符号好，这是这个样子，所以说在这种当中你发现s in框对框进行凑分。那因此就变成了cos in框。而你发现，

这是欧米伽t加分，欧米伽t加分也就说这是coso米伽t加上分，它的平方。那这个人的话，你发现他是欧米伽t+y，那么在这种当中我就补一个系数呗，补一个系数乘以系数分之一。然后再加上一个常数。那因此你发现一个事情，你把这个东西啊，你就可以凑到后面去，这coso米伽t+y它的一个平方d多少cos欧米伽t+y？然后配上符号。那这个时候你发现一个事情，那这题就出来了，

那这人是三次啊，这个平方是三分之一cos oo meg at。加上fa，它的三次方加上c。你注意一下这个事情，下去过程当中啊，大家好好进行复盘，眼熟，你怎么能眼熟呢？你就得知道你做过哪些，你不要做了，忘做了，忘做了，忘那做了再多，其实也效果也不大。

好了，这是这个事情。你想想一个事情，有同学说能不能降密，你不要在那天马行空的想。首先第一件事情你看不出来，把这个sine凑到后面去变成cosine，把它析出来，这就是能力没达到，我先说这第一个事情。第二，事情如果你把这个东西进行去降密，对吧？有些同学说我把这个人写成一减三方，一减三方的话，

然后就变成三，然后三的三次方积分。太麻烦了。太麻烦了，我只能想说一个事情，你没有看出来s in凑到后面去变成cos，然后把这个东西积出来，这就是能力没达到。如果能力没达到，不是说哎，我这样做也行，不是这样学习的，你应该怎么办？你应该要保证下次过程当中一定能见到。一定能想到，

这是最简单的。哎，所以说我觉得大家这个学习意识，有的时候你发现学习意识让很多同学你发现最后的结果出现了很大的不同啊。好了，这个题我们就讲到这来，继续再来看下面一个题，194题这个题啊，我刚才忘了是哪个题，问哪个同学问的？问这个题的同学，我真恨不得让你去把之前的这个讲义上的题给我抄上个20遍。你发现就不复盘。上课讲了这个题，下去过程当中说会做了，

结果你发现又一次碰到这个题的时候，你发现还是不会啊。你这样复习到最后的话，你就算你曾经会了也没用，因为你到了最后而言的话，你啥东西都不记得了。考场当中，就算碰到原题，你也不认识它，你看这个题我讲没讲过，而且当时过程当中，我们做到这一步的时候，我说大家下次再见到这个时候，你一定会做。为什么这个东西是个假分式，

加个九减个九，当时有些同学发烧哦，是那样啊，精辟，你看到了，今天呢，啥都不记得了。好了，我们继续，我们再来看看。然后接下来看195题，195题这个题啊。呃，我指出一下，刚才凡是这些题出现问题的同学，

你下去过程当中必须要把讲义上的例题二刷。你必须的，不然的话，你发现后面问题点很大问题点非常大啊，好了，那么接下来我们再来看看195题这个题。这题怎么能问得出口呢？你能问得出口吗？你问出口的话，你觉得今天过程当中，你让我多难受啊。你说到了最后而言的话，这是什么问题呢？你说到了最后什么问题呢？都讲了上课，

你也拍案叫绝过上课，你也说我一定会做你下去过程当中就是不整理，以为上课听懂了之后我讲完了之后你就会了。你下去过程当中，你还是不会。那这题怎么做？第一种方法，你可以列项吧，第二种方法模型题吧，两种方法都行。你在这里面列一下不就行了吗？下面小的反而大。下面大的反而小，不会裂项，我上次课的过程当中，

我还给你讲过这个事情，有个同学问怎么列项，我单独把它拎过来，我给你讲了怎么去列项，到了今天又不会列项了。你要是个会学习的同学，我再把那个部分找到，我再听一下，又过去了，哎呀，学习方法太有问题了。你我跟你讲这个事情，有的这个时间长了之后的话，他就会觉得说我是笨，我数学学不好，

啥学不好，你这学习方法出现了大的问题了。学习方法出现问题，我见过那么多有些同学，可能是本科院校，不是说特别好的，或者是高中基础不是特别好的，人家都能这个数一数二数三能考到一百三一百四十加的成绩。你说这什么问题呢？好，我们继续啊，我们再看。那这时候你进行去拆，那这是x加一，这是x减二，

然后你发现哥配一的时候的话，这人刚好多了个三，前面配上三分之一。好了，这个时候它就出来了，三分之一，那这人呢？补一个二x减二的绝对值，然后再减去多少x加一的绝对值？然后再怎么办？你最后一个人，你再给他加个c好，这是第一个事情，然后接下来过程当中，我们再看第二个事情。

那第二事情的话，你还可以一种方法打开平方，然后减去x减去二分之一ds吧，怎么去做这个题呢？那这里面当中，我们有万能方法配方吧，你看上课的过程当中，大家还拍案叫绝，说哇，万能哎，万能个鬼，到了现在而言，看不出来万能万能个鬼啊。那有什么万能的呢？万能是站立在你任何情况下都做出来，

结果稍微变成这样，你发现初一你都会做。你是下去过程，当不复习，你这咋行啊？你就着着急急的把那个作业做完。我如果是你是这样的情况，我恨不得不做作者也也行，我去把讲义上的东西好好吃透。好了，那么接下来我们继续，我们再来看，那这人就是多少减二分之一的平方？那这个时候你发现你得加上个四分之一，你加四分之一的话，

这是四分之八，所以说在这里面当中啊，就减去四分之九，不是二分之三的平方嘛？你在这里面当中补一个x- 1。啊，减二分之一，因此你发现前面这个人是二a分之一，那二a就是二倍的它分之一嘛，然后是ln你减它，你减它这个人的话，不就是减减。减二分之它，那就是二，然后的话你再加它，

你加它的话不就是x+1吗？再加上c，你把这个东西的除法写成减法，不就是上面这个人吗？好幺九五这个题问这个题的同学，你要下去过程当中非常好的调整自己的学习方法，因为你的学习方法出现了大问题了。今天过程当中啊，还好我给你点出来了，今天是3月23号。哎，3月23号呃，如果时间长了一点，你如果到了九月份，到了七月份一直都没有给你说这个事情，

那我跟你讲到后面过程当中，哪怕你一直在投入投入投入最后的这个成绩效果不好。这是多划不来的事情，好好调整啊，好，我们继续，我们再来看。幺九六这个题。来继续再来看幺九六这个题。来看看这个题。呃，这个题啊，能问出这个题的同学，你说明上课的内容还是没消化，讲了好几次了，

我们先来看第一个事情，这人凑一分法好不好做？不好做，有人说我补钙s行不行？补钙s这人是s这人是平方，凑到后面去其实可以，但是也不好做。那这个不好做的原因是什么呢？因为有根号，那因为有根号的话，你发现一个事情，因为有这个人，难道你现在还立即想不出来把它变成a倍的second t吗？如果你想不到，你去把上课的讲义的东西，

你得再看看。那这是太基础内容，所以接下来过程当中，我们就直接来0s等于多少a倍的second t？啊，second题。那second t的话，你发现一个事情，我们继续看，那往里面带呗，那这是a倍的second t。然后这里面当中啊，你发现这个a是几呢a是三？所以说这人的话其实就是多少九倍的second t的平方，然后再减去几减去九，

大家注意啊，很多同学做错的原因是这个人。没有把它dd一下，就是求导三倍的second dt，然后是tangent dt，然后dt哎，这是这个人。所以在这种当中啊，你发现一个事情是三倍的second t，然后上面这里呢，九开方是3 second方减，一是tangent t。所以说这个人三倍的三分之ttanent dt，那这个时候你发现约掉约掉约掉留下多少三倍的t an ENT？参正dt的平方dt这题我没讲过吗？

我们在积分里面当中，你发现一个事情，你喜欢摊正题吗？我不喜欢，我立即把它写成多少second方减去一。讲过这个事情吧，所以说这个时候的话，你发现就积出来了，这积分是tangent t，然后减去个t，然后再怎么办？加上个c。啊，有的同学又来了，说老师我怎么想不起来积分表还是不熟练，

这是第几天了？这是距离我们积分表讲完的，这个应该是第五六天了吧？五六天了，那这五六天在干嘛？每天记一遍，记两遍，就那几个积分，你记单词，你还5500个单词呢，那都能记得住。然后记这些东西，这才几个破公式啊，你都记不住。你这咋写好了，

那么接下来我们继续，我们再把它换回去。那么然后在这里面当中，你发现一个事情，这是second，那么这个人的话，你发现一个事情second，second这个人等于多少x比三？有些同学就来了，说老师那这个人就等于阿克塞肯提三分之x，我就想问你啊，你见过阿克塞肯提了吗？啊，你见过吧？我就很想问你个事情，

我在第一节课过程当中，我们来看看零基础提前学课程。我们在零基础提前学过程当中，你发现个事情，零基础提前学的时候，我们讲反三角函数，我讲过阿克塞因。我想过arccos ing，我想过arctan ENT，我想arccos tent你，你见过arcsecond econd题吗？你见过吗？没有那个破玩意儿，你不要在这里面当中创造了一个人，那这些事情更完蛋啊，

不要这样，没有这个人。所以像这个人呢，请你给我换成cosine，它就等于三比x。因此你发现个事情，这个人是t，然后这人是3 BS，这个对边就是x方减九。大家注意这个事情啊，因此你发现个事，这个人最后啊，就是三倍的，这tan就是对边x方减九比上这个三。然后再减去三倍的t，

一定要写成arccosine x分之三加上c，这是一定要注意的，没有arcsec跟t。但是我觉得你要通过这个题啊，你发现你复习的这个知识点，我觉得这个题我也没白讲。我觉得你问的就非常的好。如果你通过这个知识点这个题啊，我能通过这个讲解你获得了这个信息，我觉得也非常好。对吧，我理解的非常好，那么接下来我们继续，我们再来看看下面一个题问197题这个同啊，这个题的同学。

你下去好好自驱一点。这个自驱是指这个自驱不是这个自驱啊，我不需要你这个自驱，我让你自己自驱一下好这个人。我就很想知道一个事情，就这个东西写成cos是非常自然的。我为什么会想到阿克塞，你能告诉我一下吗？不是我们，我们今天我们去做题，我们我们的目的到底是什么？你给我好好想想这个事情，我们做题的目的到底是什么？不就是为了把这个方法练到位吗？我就很很不理解一个事情，

我怎么会想到把这个人写成阿克塞因，当然可以写成阿克塞因。为什么呢？因为我们知道arccosine+arccosine=2分之派，那你就把这个arccosine写成多少二分之派减arccosine。但是我为什么要会想到这个事情呢？哎呀，这个今天晚上这个题啊，讲的我是相当的难受啊，来我们继续吧，我们再来看。呃，一百九十七七题这个题啊，我不讲了，你这个题啊，

呃，问这个题的这个同学，你下去过程当中好好自取一点。你上课的内容肯定是没有消化到位，你就着急着做题，那这不是我们的目的。就包括我让你去打卡，你还不如不打。这不是我的目的，我让你打卡的目的是我为了督促你进行去把上课的东西整理了一遍。我为什么前面过程当中，我让你进去去整理那个什么东西呢？我让你进去去整理，我说前三天过程当中要把上课的课堂笔记发下，我为什么让你发那个东西啊？

我发那个东西，目的性不就是让你把上课及这个东西，我看你自己有没有把它整理一遍？然后后面这个部分内容，我为什么让你打这个题目的卡呢？我就想督促你进行去做每天的题啊，好了，我们接下来继续吧，我们再来看看下面事情，幺九九这个题。啊来继续再看下面这个题。那么这个题的话，你发现他的做题思维方式呢？我虽然不知道这个人怎么做，但是我上课过程当中知道这个人怎么做吧？

我知道是直接分布计分法，如果进行去类比一下，我肯定会怎么办？那就直接分布呗，我就把这人看成a，这人看成b，那就直接来两项相乘。再减去两项调换位置，然后d多少dlns平方？所以说接下来过程当中就变成了lns平方乘s，然后这是s那同学们想d它是什么求导啊，那求导就是两倍的lns中间变量，再求导这是它。那这个时候你发现是不是就约掉了？那么因此你发现这个lns平方乘上x再减去二倍的lns。

ds是不是它了？那这个太简单了，我们就继续分步积分法一下，那是多少呢？来继续这俩人相乘。然后减去变成加上两人调换位置s，跑前ln跑后就求导是这个人，所以说这个时候你发现就是lns方乘上它。减去二倍的ln x×s，再加上多少，这是s对吧？加上c好这题。好了，这是我们在这里当中啊，讲的这个问题，

有同学又来了，说我可以练lns=t啊。可以，但是你发现一个事情，我不会这样想。我不会这样想。我觉得我比较直接的思维方式就是直接分步计分法。所以大家注意啊，你的练习到底在练习什么？我不知道我们三九六同学的话，在这个学习过程当中，你到底在练什么？你在平时过程当中见到一个题的操作，你发现你想十来分钟20分钟才想到你下次过程当中你没有第一反应去想这个东西。我觉得这个东西也没用，

因为我们考的这个东西啊，很多是速度。对吧，速度啊，第一反应分不清啊，非常好，非常好。好了，这是这个事情，我们接下来过程当中啊，我们继续。198题。呃，问，198题的同学，

我建议你把我讲义上的例题一定要二刷，不然的话问题非常大。啊，非常大，你这个题你都看不出来的话，这这跟分部积分法没有学，这是没有两样的啊。所以你发现到了这个最后，那为什么同一个班级？听同一套课。同一个老师讲。然后平时做的事情也是同样的，那最后的话，为什么有些这个差异那么大呢？远一点在何处呢？

所以大家要听话，对吧？你还好的话，这个这两天我天天晚上给你直播，我还给你讲这个事情，有些同学一年到头都到了11月份，12月份都不知道自己学习方法出现问题。最终就得到一个结论啊，我很菜，我不适合学数学，我脑子比较笨，谁要你这个结论呢？对吧，你要这个结论的话，你发现那还不如不学这个数学。

你学这个的话，你发现学数学之前还知道我做事情非常有自信的，对吧？好了，我们去看看这个事情，你看直接凑到后面去分步计分法嘛。那么，接下来过程当中就两项相乘，然后再减去两项调换位置，然后这人是2 sds。那么，接下来过程当中，我们就继续再来一次分步积分法不就出来了吗？那然后你发现把这个东西继续凑到后面去，你凑到后面去的话，

这是2 SD多少coss，然后变成加号，那么接下来过程当中的话，你发现你再来分步积分法一下就行。这两项相乘，然后再减去两项调换位置，你调换位置了之后的话，你发现cosine跑前。然后这人跑后跑后去求导，这是二所以说这个结果是不是出来了？所以说这个东西啊，立即出来了。你能告诉我，我没有讲吗？我原来呃，

就是后几节课很重要，我前几课几节课我在玩耍嘛。啊，我在玩耍吗？我在干嘛呀？你你让我有点怀疑自我了，对吧？这今天晚上这题讲的。你发现一个事情，我上课没有讲过这个事情吗？好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看下面一个事情来继续再来看。呃，200题是吧？

来我们继续看看200题这个题。来操作一下这个200题。那么，接下来过程当中，我们就继续我们再来看看下面的事情。啊，再看这个人。那么，这个人的话，你发现一个事情也是两类不同函数相同。而我们有非常大的经验，你像这个s in和cosine碰到一起，我立即用二倍角的公式呗。那所以说这个题我只要用一下二倍角公式，变成二分之一，

然后这是s in二x，那这个题就变成了这个题了。这个题会做，那这个题就会做，那么在这种当中啊，反对幂三值把这个什么三角函数往后面凑那么，但是你发现一个事情。你这个s in二s去凑分，你必须是对于二s积分，所以再补个二变成四分之一，所以同学们注意你接下来凑分应该是这样凑。你凑这个人。你去凑这个人的之后的话，你发现这个结果就变成多少四分之一，然后是SD多少cos二s配符号。

那么，接下来过程当中啊，分布及分法两项相乘。对吧，然后再加上两项调换位置cos二sds，然后再补个二吧，你再补个二的话，前面变成几分之一变成八分之一。然后这个积分就出来了，所以说是负四分之一s倍的cos二s补个二，前面八分之一s in多少二s？加上c好，这是这个事情，听懂我的意思吗？哎，

这个问题。还有哪个题吗？来继续吧，我们再来看，还有200多少零二题，这个题来继续哦，再看这个题。呃，这个题。没有做出来的同学啊，你发现个事情啊，就是。有点懒啊，那有点懒，你要是有这种懒呢，

这种感觉呃，一个事情我先讲一个几个问题啊。通过这几天训练，你要敢算。你一定要敢写你的试错成本是零。你最终决定这个情况的话，是我们最后一场考试。所以同学们，你要敢算，你使劲算就行了，你怕什么呀？然后另外一个事情的话呃，碰到一个题啊，你有什么想法的话，你去试对非常好。

如果数学你不敢动笔，这是非常啊，这个非常恶心的事情，所以接下来过程当中，我们再看这个题，你看这一题不就是这个人吗？对吧，我再把它减去个这个人，为什么会想到减呢？那这个分式出来的呀？对吧，那这个分式出来的呀，那所以说接下来过程当中你就直接分布积分法呗。所以接下来过程当中，你发现你把这凑到后面去呗，

你凑到后面去的话，这是x方首先第一件事情变成cos 2x吗？不是这样子的。先在后面补二前面二分之一配负号，然后这人补二，然后这是二分之一二分之一cos二s，这是负的。那这个事情能不能听懂我的意思啊，所以下去过程当中得想想啊，这个基本问题，然后接下来过程当中啊，再来看那就是两项相乘。然后再减去两项调换位置cos二s，然后这人求导，这人求导是二sds，

然后再加上二分之一cos二s。那么，接下来过程当中，这个人再来一遍，这题就出来了。这cos 2s，然后再来呗。那再来的话，你发现一个事情，我们就继续往往下来，那这人再往后面来，往后面来再补个二分之一，他的积分结果是多少？他的积分结果是三。对吧，

不要嫌麻烦，你这这种运算量，它不叫运算量好，我们就继续，我们再来看负二分之一x方cos二x。然后再加上多少四分之一两项相乘。然后再减去两项调换位置，那s in多少二x，然后d它d它就是二倍的ds，加上二分之一cos二s不降了行不行？你把这个二往后面一凑一凑，这个分就出来了。或者你在后面补个二，前面乘二分之一，那这题结束了。

所以大家注意啊，要自信一点，果敢一点。哎，果敢一点，你不要怕，对吧？你慌啥？不要怕，你使劲算就行了。大家一定注意这个数学这个题啊，运算量大不叫难题。什么叫难题呢？你看到这个题的话，你发现你一笔都动不下去。

啊，一笔都动不下去，那是有难题的呀。好了，这是这个事情，我们就说到这能听懂我的意思吗？来，我们接下来继续啊，我们再来看。呃，还有个203题，这个题我把这个题我们讲讲哎，这个题啊，我觉得还挺有意思啊，这个题倒值得一讲，

来看看这个题。这题啊，就是个骗子啊，就是个骗子，说实话就是个骗子题好，我们来看看这个事情来写。那么，在这里面当中啊，我们先看第一个人，尤其第一个人。这个题考什么呢？就考了幂函数的性质。同底数幂相乘指数相加。所以在这里面当中啊，你先看这个人，

你看这个人就是s乘上s二分之一。那这个is乘上is二分之一再开个方呢？再开个方就是这个人的二分之一。然后这个二分之一前面再乘个谁呢？再乘个x。那乘个s之后呢？在外面再来个二分之一，就这个人。你发现就是个骗子，初中题啊，初中题，所以接下来过程当中，你发现同底数幂相乘指数相加二分之三。那二分之三的话，你发现就是四分之三，

然后二分之一继续同底数幂相乘，指数相加四分之七，那所以说这人就是八分之七。因此，这里面当中啊，第一事情s的八分之七次方，然后后面这里呢，我们会算的是a的s，所以把它合起来。合起来就变成了这个人，因此你发现第一个人伸一下八分之十五，翻一下十五分之八，然后第二个事情a的x。然后前面是多少lna分之一，加上c。

好了，这个题听明白了吧啊，听完了之后啊，你发现有的恍然大悟啊。好，这个题啊，我们就讲到这。呃，所以说下去过程当中啊呃，其实我觉得。直播还是可以哦，对吧？幸好在这里面当中啊，没有进行去录这个，我觉得这个咱们幺九九同学，

我觉得原来我想了一下这个事情，原来我想说把这个东西录一下。啊，录一下那么在这里面当中，我觉得讲一下这个直播，我觉得还挺好的，发现了很多同学的这个学习问题。啊，这个学习问题的话，我觉得还很重要。可不可以分母变成根号x方，整体变成？啊，啥意思？幺196题。

啊，没有必要啊，没有必要。没必要对吧？没必要你把这个人变成平方。然后把分母变成。哎，没没必要，没必要，那就太恶心了。整体变成根号下。一，减。哦，我知道你的意思了，

你的意思的话就是把这个东西变成了多少变成根号x方，其实这个东西是不行的。这俩东西不相等的啊，不相等。因为根号s方这个人呢，他等于s的绝对值啊，这是有问题的。如果是里面是正的，就不用加绝对值了，如果不知道正负性，就加上绝对值，这有啥问题啊，这都不叫问题啊。200题你也可以这样做，200题的话，

你发现一个事情，有同学说我把这个人凑到后面去s in，再把s in凑到后面去。sin x的平方也可以啊，然后接下来过程当中分布积分法两项相乘，然后再减去两项调换位置可以啊。非常好啊，然后给这个东西怎么办？这东西进行降个密非常好啊，这个同学非常好，非常好。嗯，这个小吴同学啊。啊，非常好，

这个方法很好，你把这个cosine凑到后面去sins in，再凑到后面去的话就是s in方，然后再分步积分法可以啊。好，这是这个题。还有方法吗？还有问题吗？不是还有方法吗？还有问题吗？没问题的话，我们今天就讲到这啊。今天的话，我觉得这个呃体现出来很多同学的这个学习问题啊，你自己下去过程当中啊，

你得自驱一点。你下去得自取一点，我觉得这个今天呃，还好是讲直播课程，你还好的话，这个来听这个课程，有人给你说这个学习方法。但是我觉得你不要光听一下就行了，你下去得调整一下自己的学习方法呢，你不然的话，我们现在才学到这个不定积分。你后面学到这个定积分，那么学到多元微分学学的东西很多的时候的话，你发现这个问题点就会变得更大了啊。好了，

这是这个事情吧，那么今天部分内容我们就讲到这儿，然后接下来呃，明天过程当中啊，我们是上次我说了吧？然后明天的打卡题是204题哎，200。204题开始，然后一直到这个223题嗯，这才开始啊。你后面的话，这个题目会越来越难一点了，所以说你要稍微的注意一下行吧，那么今天课程呢，我们就讲到这儿，

然后你下去过程当中。呃，尤其是有问题的同学，你好好自取一点啊，一定要调整自己的学习方法，哎，大家就我觉得呃，大家都是能把这个东西学得很好的。你只要方法得当，你要知道什么是主，先把上课的内容能独立自主消化，你再来做这个题啊，非常的轻松。好，那么今天课程呢？

我们就讲到这下去过程当中好好处理吧，然后这本呃，今天有些同学估计看到这个有这个考点全刷你们就。你们不用买啊，不用买这个事情，这个考点全刷是不用买的呃，我们是有那个必刷的800题，你们不用买。然后的话，这个。我们暑期是有这个暑期的，这个强化讲义，我们强化讲义的话，今年也是在这个高等教育出版社出版的，那么大概的话，

呃，上市的时间是六月份。啊，刚好我们是六月底的那个样子，然后开始强化班，所以说我们六月份这这本书会上市，我们在第二批的话会给同学们进行去寄送一下啊。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这儿好，同学们唉，这是我们今天部分的重点问题，所以下去过程当中啊，好好进行去把相对应的问题啊，好好处理处理。

行吧，同学们好，那么今天课程呢？我们就讲到这好，明天见吧。我希望同学们明天过程当中啊，你不会要再犯这种问题了，一定把上课讲的东西消化到位，再进行去做题，我相信你一定可以把这个不定积分突破的。好，那么今天课程呢？我们就说到这好，明天见吧啊。

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