03.396经综数学不定积分百题带刷day1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:59:39

好，接下来我们就准备开始今天的课程吧，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一呃，那么接下来的这六天时间我们都是针对于这个不定积分的百题带刷的训练，我们做这个。呃，当天的这个作业的这个讲解呃，每天过程当中啊，可能前两天过程当中这个训练难度系数不是说特别大啊。我刚下课，其实这个每天的话，九点半上课的话，

感觉那个班就不够讲啊，我这个。有点习惯的拖堂，对吧？讲着讲着就讲忘了，有的时候不注意时间呢，这个时间就给忘掉了，好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个第一天的习题。那么，这个第一天的过程当中啊呃，你来看看吧，哪些题需要讲啊，然后我们再针对性的来讲，

第一天不难。但是你不要飘啊，那后面这几天过程当中啊，它这个难度系数是循序渐进的啊，好了，那么接下来我们来看看吧，哪个题需要讲？幺八零是不是啊，好幺八零可以讲还有哪个题？幺七三。好幺七三幺八一。嗯，好，那么接下来我们看，首先我们第一个事情，

我们先来看看这个幺七三这个题。呃，这个题啊，慢慢来啊，不要着急，我们把这个题啊呃，所以说你当天最好来听这个直播课程，对吧？只要你有问题啊，你最好来听。贪的话，我每天过程当中讲我不是挨排讲，挨排讲的话，我觉得对很多同学而言的话，我觉得这个时间利用的效率是不是不够高啊？

有些题就不需要讲，本来看答案就能过去，我硬生生要等到你讲这个题，我觉得稍微的麻烦一点，所以我尽可能的呃，你当天过程当中啊，你来听这个直播课程，你有问题你来问。你不然错到第二天呢，我这个第一天的过程内容，我们就过去了，好了，我们先来看看这个题呃，这个题啊，完全就是经验。

大家注意个事情，对于三角函数而言。对吧，三角函数而言，尤其是出现平方向，你是不是更加喜欢second题和call second题啊？这件事情当然是这样，因为我们在积分表里面当中啊，你发现这个second方式可以记的，然后也就代表着cos的方式可以记的。然后接下来过程当中，我们再来看cos方式，可以记得也就代表着什么s in方式可以记得。对吧，这是第一个事情，

所以说如果在这个平方当中出现的时候，我应该更加喜欢什么second题和call second题，这是第一个信息点。然后第二信息点，我再教你，当你进行去看一个题的时候你发现。你看一个，如果是as+b的，这个人能不能挤？大家注意啊，就说一个题的话，你发现里面的复合结果是as+b，能不能记你就只用进去去看？这个人能不能进？什么意思呢？

只要这个人能及as+b的东西，一定能及为什么呢？因为在一个东西后面补一个一次项式非常的容易。补系数乘以系数分之一补偿数，这东西不变，所以掌握住这个经验，比如说我举个简单例子啊，我再给你看几个。比如说其而言的话，比如说我们在这个做题过程当中，你看第一个事情。你看到一个什么？这是4s减一一次项式吧，你看这个人能不能记出来，你就进去去看这个人能不能记出来哦，

这人能记他就可以记。然后在这里面当中，比如说我们再来看，比如说例二，我再给你换一下，比如说这是4 s+6。它的五次方dx。哎，你看这是一次项式，你看这人能不能积，你就看这个人能不能积，这人能积，他就能积好。有同学说，老师这也太简单了吧？

好，我给你换个难的。那么，前两天过程当中做过一个题吧，你做过这样的一个题是根号下一减二s开三次方分之一ds吧？见到这样题了吗？你发现有些同学就观察不出来了。所以这种经验的话，简单的慢慢进行延伸，有些东西就变复杂了，你看这个人能不能记，你就看什么，你就看这个人能不能记？这个人能积他就能积，那很明显一个事情，

这个人是x的多少负的三分之一次方当然可以积啊，那这个人可以积他就可以积。所以同学们注意，经验会越来越熟练，那么在这个题当中，前面两个题我就不讲了，你看这个最后一个题，你最后一个题的话，很明显一个事情，你就把它写成一减二x的负三分之一次方。然后在这里面当中先补个负二，前面来个负二分之一，然后加个一就补啊，这个不变，因此这是负二分之一，

你再来。这个头顶上加个一，先让它升一级就变成了三分之二，然后再翻一下就是二分之三不定积分加c。是不这个事情啊，所以这个内容啊，就出来了，那么将来过程当中，我们再来看你看这个题啊，完全就经验。对吧，经验我看到这个人的平方向，我更加喜欢second题和call second题。然后在这种当中，你看这个人能不能记，

你就看这个人能不能记？那这人能不能记呢？那这人不就是second form嘛，他当然可以记，所以说这个题啊，我就立即怎么办？补一下这题就结束了。所以首先第一件事情立即把它写成了second，然后是2 x- 4分之派它的平方。然后接下来过程当中啊，在后面补一下就行，补个二乘以二分之一，然后再来补上这个系数呢，它就不变。所以说这个结果就立即出来了，

你像塞克利方的积分是多少是tan，所以说就是tan 2s，然后减去四分之派。加上c好本题结束。好了，这是我们讲的这个173题，这个题掌握清楚了吗？听明白了给我回复一啊。呃，这两天过程当中啊，我建议你来听一下。因为有些题的话，你发现虽然这个题呢，你也会做，但是有些题我会延展的啊，

注意一下这个事情。还有哪个棋吗？好，接下来继续啊，我们再来看还有哪个题吗？那你想想一个事情，如果这个题你会了，你像174题这个题就贼简单了。对吧，你发现刚才那个题你会了，你将来碰到这个题简直就是什么砍瓜切菜了。那首先这个第一个事情的话，你发现如果看到平方向，我更加喜欢什么，我更加喜欢second，

我马上把这人写成second的方本题结束了。是吧，然后接下来过程当中，你发现个事情，你把这个人凑到后面去，你凑未分的过程是积分过程，一积分不就是他吗？然后接下来过程当中，这是多少tangents+1。那这个时候的话，你发现这个内容不就想清楚了一个问题，想清楚什么问题啊，然后这里面当中的话就变成了。根号框d框，我就在这补个二吧，

补个二再来个二倍，因为我们知道二倍的根号框分之一的积分是根号框。对吧，加上c所以在这种当中补一个二，然后再来一个二，然后在后面补个一。那因此，这个结果立即出来了二倍的根号，一个东西分之一的积分，其实就是根号，它加上四。好了，这是这个事情，我们就讲到这能听明白吗？呃，

我不喜欢你问的这种问题。哪有这样问问题的，还有一个事情啊呃，我提前先讲一下，你如果进兴趣呃，有些同学我们都知道，我们全程班是有答疑的。呃，最近的话，这个答疑量非常大，但是有些同学你问的问题，你不会问问题，你一个事情是给助教了很多压力。不是不是，这种压力是一些非常无效的压力，

另外事情给你们彼此之间的沟通啊，哎，也是制造了很多这种哎，浪费了很多时间。有些人上来就是这个题，怎么做？难道一点思考都没有吗？如果一点思考都没有，你就说这个题一点都没有思考，你看看这个题应该怎么去切入？那么，如果这个题你会做，你就指出来是哪一步会做，然后另外一个事情，有些同学，

尤其是不定积分这块。不定积分之后甩一个题过去，对吧？你发现甩了一个题过去。直接甩一个题过去就是哎，我这一步呃，我这个题当中哪儿错了？我说这个这个问题点，你这问问题吧，对吧？你不是有效沟通，我觉得会更加的有效率一点啊，这是这个事情，然后另外一个事情。你问问题的时候，

哪有那样问的？这一题还有什么方法？这问的是啥问题？还有动不动上来说我这个题这个方法怎么做？你那个方法未必能用啊？对吧，你这个方法未必能用啊，所以同学们大家注意啊，调动自己的主观能动性，这是非常重要的，要积极的去思考。我记得之前过程当中啊，我还跟你们说过这个事呃，今年在这个。春季，

这就是今年的话，这个开年的第一课啊，第一课的时候我还专门的话进行去讲了一个事情，就讲学习方法的问题啊，这是开年的第一课，有些同学估计都去听过。有些同学可能没有听过，我就讲这个事情，有些东西你发现一个事情不喜欢思考。不下思索的提问题。哎，不喜欢这个思考，反正这题不会，然后怎么办？有各种群嘛，

有各种的话，这种呃微博啦，或者说自媒体啦。反正你发现只要不会上来就问，只要你稍微动点脑思考一下这个东西就过去了。其实你要是每当碰一个问题，你就想问，每当碰一个问题，就想问，每当碰到一题不会做，就想查答案，你最后考试的时候，你会非常心慌的。你可以思考一下啊，这是这个事情。

好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看啊。平方。这个arctan的平方是这样写，就是你要注意，一个是写法，你比如说这个sin x的平方。它是可以这样写，就这样写ll ns这个人的平方，它就可以这样写啊，这是一样的。好，这个题啊，我不说了，

那么接下来我们继续，我们再来看看181题是吧？先讲180题吧啊，这有很多同学问180题。好，我们再来看看这个题啊，看这个题怎么做？那么这个题的话，首先我们观察一下，你发现这题凑微分好做吗？你看很多同学意识还是没有建立起来。错位分法好做吗？不好走吧。不好做的原因在何处呢？不好做的原因不就是因为有一个这个人吗？

你这题也太直接了，所以说直接进行三角代换，我就立即怎么办？立即令x=sint。你没有想到这都是有问题的。你这没上课的，这个基本内容你就没有消化到位。对吧，没有消化到位，因为你很明显会发现难做的原因就在这儿，我一换就行了，那这题结束了，那走呗，那上面是多少？sint的平方一减s in方是cos方，

开方是cost，有些同学没有做出来的原因，有可能是因为这个东西没有换。你要注意这个东西有换d，它就是求导，就是cost dt，这是你要注意的，然后接下来这个题啊，就立即变成了多少。sint的平方dt同学们告诉我，这个分怎么记非常简单吧？那这人的话，你发现就降幂一减cos二tdt吧。好，这人进行交密了之后的话，

你发现这个结果就变成了二分之一dt，然后再减去二分之一多少cos二tdt？然后这个第一个人的话，你发现积分是二分之一t，然后再补个二，然后是四分之一，然后多少s in二t加上c？是不是这个事情立即做完了，那做完了之后的话，是不是还得换回去啊？我们上节课讲过三段论吧，对吧？怎么换怎么积，然后再怎么办？换回去。

换回去了之后的话，你发现把这个对角幂整体你观察一下，因为这个sint是多少是x比一对边比上斜边。邻边就是一减x方，所以接下来过程当中啊，在这个人里面你像什么sine cosine？它正正体了，都是知道了，但是都知道是一倍角，你这里面当中出现了二倍角，先把二倍角先给我换成一倍角一，立即变成二倍的s in TT，所以前面四分之一变成二分之一。那么，接下来过程当中啊，

我们就继续做。然后把这个东西啊，我们就继续换回去，换回去了之后呢，这个什么sint=s，然后这个t就等于多少阿克sin EX？然后减去二分之一，然后这个sint是s，这cost是多少根号？下一减x方加上c。好，这个题啊，立即出来了。嗯，你问的这问题，

我感觉这两天都不知道咋回事。比如说令s=cosine t，我上课讲过，肯定是一样的呀。有可能这个结果不一样，但是那个答案都可以，我说过了，不定积分的答案未必是一样的。它可以有这个什么差异？这个差异是因为有这个常数c。你当然可以令s=cost啊，但是我不会喜欢它。我肯定不会喜欢令s=cosin t的，如果你做这个题啊，你令s=cosin t，

你就没有好好听课。我都说过了，一定要喜欢用正弦，你偏要喜欢用余弦。你偏要走一些这个非常规路线吗？不要这样对吧？你说你这叫创新性嘛，你这就不叫创新性，你在这呃把基本方法这个掌握清楚了，这个东西不就出来了吗？然后另外一个事情，你另根号下一减x方等于t，你告诉个事情，你作何感想？你为什么要这样想？

那我另我碰到一减x方，我就会做三角代换，如果碰到这个东西，你当然可以另成题。但是同学们注意练成题，它麻烦呀。哎呀，这个你这些想法我就觉得不是说你这个方法不行，是我不会想的这个方法。那如果有这个方法，我昨天过程当中，我为什么不去讲，我就直接定成t呢？我碰到这个东西，直接令我在那讲三角代换干嘛呢？

哎，你发现你这样学习可学不好啊，你这样学习可学不好，好了，这个一幺八零这个题啊，我们就讲到这。来继续吧，我们再来看你，要想发挥你把常规方法先学会了再发挥。啊，好了，我们继续，我们再来看看下面一个题啊，幺八幺这个题是吧？来继续。

好，再来看这个题。呃，这个题就不会做了。来看看这个题，那这题标志是什么？两类不同函数相碰必考分布积分法吗？那分步积分法反对幂三指，肯定是把这个三角函数凑到后面去了。但是你要注意一个事情，凑微分的过程是积分过程，这个人只能对谁积，只能对2s积分吧。所以首先第一件事情我给你写慢一点，这是s in二s，

你先在后面补个二吧，然后前面乘上二分之一吧。然后接下来过程当中，再把这人凑到后面去凑微分的过程是积分过程s in的积分是多少是？cos 2s配符号，因此接下来过程当中啊，你就可以分步积分了，两项相乘减就变成加。两项调换位置cos二sds，所以说这个结果就是二分之一这个人，然后接下来补个二吧。补个二前面来个二分之一，然后这个cos in积分就是sins in二s加上四。好了，这个问题啊，

我们就讲到这呃，我一直给你讲一个事情，你们一定要养成一些非常好的定势思维能力，如果有些同学碰到这个题，他毫无想法，他想不出来用。分布积分法证明，昨天上课的内容你根本就没有消化，你就进行做作业，你着啥急啊，还有这个题你想不到，在这里面当中用三角代换。那说明在上课部分的知识点还是没有消化到位。所以昨天过程当中，我们讲过，

我们有凑微分法，我们有第二类换元法，我们有分部积分法，我们有有理分式积分。如果他就是个有理分式积分，当然去想有理分式积分呐，没有问题，如果这个东西好凑分，我就进行凑位分。如果这个题的话，是因为什么有一些根号？如果这些根号可以通过三角代换的代换呢？可以干掉它，或者有些根号的话，直接变成t代换成它。

如果是这样，我就直接把它定成题。对吧，如果碰到两类不同函数相碰，我会想分步积分法，你根本想不到这里面当中出现大问题了。但是同学们，我们今天通过这个呃讲解的部分呢，是把它进行消化，能消化就行了，好我们再来看。幺七八这个题是吧？来继续。好，再看这个题。

呃，这个题啊，我最害怕很多同学这题目当中啊，你把它拆了对吧啊？这这不好拆哦，我们来观察一下，你看我们在这个积分结构里面，我们是喜欢这种什么喜欢x方加a方分之一吧。喜欢什么x方减a方分之一吧，你看我喜欢的是平方。对吧，我喜欢平方，但是这里面当中出现了六次方，而三次方的凑分就是三次方的积分就是二次方的积分就是三次方。诶，

如果是三次方，这个人不就变成平方吗？意识意识非常重要。对吧，我喜欢平方，我三次方的凑分，三次方的积分就是三啊，这个二次方的积分就是三次方，所以说这里面当中啊。就非常简单了来看，第一个事情凑微分的过程是积分过程，你看这人积分结果是多少？脑子立即转。来三次方，然后配三分之一d，

因此你发现这是三分之一，然后后面是三次方，后面既然是三次方，你就把这个六次方写成三次方的平方。写成二的平方。那这个东西你发现立即出来了，那来背一下吧，这个结果对吧？x方加上a方就等于a分之一阿克塔正体a分之x。加上c好，这是这个事情，你不会再继续去啊，我相信通过这个这几天的做题啊，你就会发现一个事情，你再也不会去说啊，

这个老师上课过程当中怎么让我去背一些东西啊？怎么让我去背一些东西，你这个东西你如果记得不熟练，你反应的不熟练，你做题会相当的慢的。有些同学依然就瞅过去噢，我这个东西一凑噢出来了。就是你发现一个熟练，对吧？这个同学说的非常好，主打的就是一个熟练。我往这个东西一凑，我就知道哎，这个东西是变成了平方，这题出来了。

但是你发现有些同学在那看了半天啊，真的吗？对，真的真的是显然。所以大家注意啊，熟练程度非常的重要。好了呃，这个题啊，我们就讲到这儿，还有哪个题吗？还有没有？啊，还有没有今天的题比较简单哦？如果176题，你在那里面当中啊？

看了半天你都没有看出来，想了一些稀奇古怪的方法，我觉得也不行。哦，我觉得也不行。这个题的话，你发现非常容易，这es往后面一凑，你发现你上课的内容，你说明就没有消化，你能在那天马行空的去想，有些东西做题啊，恨不得都想到自己的幼儿园了。对吧，把自己幼儿园学的那个功力都恨不得用上来了。

你把这个东西你发现，如果在这里面当中啊，你没有想到这个事情，你证明上课这个讲的内容都出现问题了。我就讲过es类的积分的做题套路，就是让ds身边有es，这上面就有，你就把它凑到后面去呗。然后就套个公式不就出来了吗？哎，你注意下个问题啊，这个事。好了，这个题我们就讲到这。对吧ds身边有es，

我就希望有我说这旁边有你，怎么还不凑你还在那想各种各种类型问题，有那个功夫，我早就做完了。啊，这是这个事情。三分之二。不对吧啊，你写的不对啊。你肯定是记错了，你这个整体的话是什么呢？这个整体是负二分之一。对吧，是负二分之一，你负二分之一，

加个一的话，你发现一个事情，你负二分之一，直接加个一加个一的话，这个结果的话是。呃，是二分之一，所以一翻前面是二，你把这个积分是不是背错了啊？你注意啊，你把这个整体写的是多少？写的是负二分之一，你负二分之一加个一的话，你发现是二分之一，你一翻是二啊，

注意下这个问题。是二倍的你，你把积分表背过，背错了啊，积分表背错了。好了，这是这个事情，还有哪个题吗？还有哪个题没？啊，没有的话，我们今天就速战速决啊，今天的话，我觉得。呃，

应该是没有多少这个类型问题，因为这个今天这个题目啊，难度系数稍微的会小一点啊，小一点。睡前系列，我不是讲了方法吗？我又不是没有讲方法，我这不是讲了这个题型嘛。你下去过程当中一练不就行了好，这是这个啊，今天内容不用导笔记，这有啥导请不要过分的依赖我的笔记对吧啊？我下面过程中不是讲了方法吗？如果这是sine cosine上面也是sine cosine都是线性关系，就把上面这个东西。

写成下面的和下面的导函数的线性关系，你去看一下这个方法不就行。啊好，这个人呃，在接下来的过程当中啊，我们还会碰到这个题的。在接下来过程当中啊，还有哪一天呢？呃，叫我看看啊。我们在这个233题的时候，我们还会碰到这个题的。诶，马上我们还会碰到这个题的，这个题的话，

我希望同学们这个今天的睡前系列，建议你去听一下啊。今天的睡前系列，建议去听一下48题呃，这个睡前系列，你可以在这个微博这块听也行。啊，微博的话，现在没有发这个三九六的，你就选两个，一个是公众号里面，一个是B站啊，要不是B站B站跟我的微博是同名叫考研，数学重要性。要不然就是公众号，

有的同学不喜欢的话，进行去下一些软件，你就进行去看公众号就行，我的公众号就是周扬欣啊，就是我的名儿。呃，公众号的话，我觉得呃是呃会相对而言的话，东西提供的会更加丰富一点，你也不会受到更多的外界的干扰啊，也是可以的。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，你自己下去过程当中好好进行练习一下吧，

那么今天我们就说到这好吧，同学们第一天哦，难度系数不大。然后明天呃，再接再厉吧好吧，那么今天课程我们就讲到这儿好吧，同学们行吧，明天继续吧。

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