12.矩阵方程与向量组表出、强化前备考规划-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:58:59

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测查声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。那么今天啊，是我们这个所有的三九六的这个全程班基础阶段的最后一次课程，也是我们线性代数的最后一次课程。那么，接下来我们就正式开始吧啊，那么接下来我们首先第一件事情先来回顾复习一下上次过程当中的核心知识点呃，上的时间比较长了，

但是。但是你要注意啊，你稍微稳住对吧？最后一次课程呢，还比较重要一点，因为今天过程当中，我们会把这个方程组的一些东西啊，我们做最后的梳理。包括这里面当中还要讲一个问题，叫做矩阵方程，另外还有一个事情就是向量的线性表出问题，还有这个向量组的线性表出问题，所以我希望同学们注意最后一次课程呢，好好听。好了，

首先我们先来看看上次过程当中讲解的核心知识点呃，这样吧，我们把这个方程组这章所有的内容我们统筹来复习一下。因为在这章过程当中啊，考研的时候是非常非常关键的，那么在这章的时候啊，我们核心重点讲了两个事情，一个叫做其次线性方程组。对吧，这是第一个事情，另外事情啊，叫做非齐次线性方程组，我们的重点就是来讲这两个事情，那么首先我们先看看第一个问题啊。啊，

怎么了？你不要着急啊，一会我会给你做一下，最近段时间的这个课程安排我们的这个强化班的这个时间呢，是7月15号。所以你不用着急这个事情，然后我们强化班的这个那个时间点的这个分配啊，你可以去看你的课表啊，你可以去看课表。那么然后的话，那个课表上已经给你排好了，七月份和八月份所有事情的部分的内容，你不要着急这个事情啊。呃，因为这些天呢，

你不会很闲啊，我们都会有这样的一个事情，一会儿我会给你做一个完整的规划，你不要进行去着急，这个事情一会儿我们再来说好吧？然后从这几天的时间一直到这个啊，就是暑期强化班开班之前呢，我们所有的事情你都会有事情来做的。然后另外一个事情，我们这个强化班结束的这个时间是8月20号左右，然后基本上强化班结束，我们这一年过程当中。所有大纲要求的知识点，所有要求的题型方法，我们全部都能讲完，

所以说呃，你只需要跟着这个课程走就行，你把这个部分的内容消化到位就行。所以我希望同学们最重要的问题就一个事情，就是你的核心，重点就是把知识点消化一会儿，过程当中啊，我会给你重点来讲。我们这一段时间需要做的一些事情，另外事情，然后在这个中间过程当中，我会穿插两次这个基础阶段结束的部分的考试。所以希望同学们注意你一会要啊，好好进行去听一下最后的规划，你不要着急，

这个事情慢慢来，看好了我们先来看看七次线方程组。啊，怎么了？啊，这这上课喝什么酒啊？这晚上。好了，那么接下来我们来看看这个其次线性方程组，那么在其次线方程组啊，那么首先我们先看看第一个事情形式。对吧，他的形式是什么？然后第二事情解的判定对吧？解的判定是什么？

然后第三个事情其实就是我们方程组的求解，但是在这个求解之前呢，我们会有一个东西叫做基础解析。大家注意一个事情，基础解析指的是谁的？是其次线性方程组的东西，大家注意啊，是其次线性方程组的东西。然后再来看看第四个事情，就是求解方法。所以我们在这个其次线性方程组当中，我们的核心重点就学了这几件事情，然后到了这个非其次线性方程组，你发现学习的这个体系啊是。是一样的，

我们也学这个形式，我们也学解的判定，当然它没有什么基础解析，基础解析指的是其次线性方程组。我们也可以说非前方程组的基础解析，那指的也是对应的其次性现行方程组的基础解析好了，这个事情我们一会再说。不要着急，这个事情好，我们先来看看这两波问题，那么首先从形式角度上而言，我们一个方程组啊，会有三种情况。一种叫做一般形式。一般形式还有一个事情叫矩阵形式。

对吧，矩阵形式，然后第三个问题其实就叫向量形式。啊向量形式，所以我们的核心重点，你发现其实就这几个事情，第一事情一般形式矩阵形式向量形式。所以我们在考研过程当中，你发现这个一般的出题点呢，要不然就是一般形式，要不然就是向量形，要不然就是矩阵形式等等。对吧，这两种考的是比较多的，所以给的这个东西啊，

你要辨认出来它是什么好，这是第一件事情，然后再来看第二件事情，记得判定。那么解的判定呢？它核心方向应该有两个东西，一个东西叫做用智，一个东西叫什么东西呢？用行列式。对吧，一个事情叫用智，一个事情叫用行列式，那么接下来把这个知识点呢，我们先来进行做一个复盘啊，因为这个内容考研考的非常多。

对吧，基本上给你一个方程组说它的一个解的情况是一个什么样的情况啊，优化过程当中，我们来重点来谈，那么首先我们先把这个知识点先复习一下吧。如果这里面当中给了一个其次线性方程组。它是一个m行n列的一个矩阵。那么，这个矩阵呢？如果用矩阵的这个值，然后进行去判定，就是系数矩阵的值怎么判定呢？两个事情，第一事情，如果这个值啊。

你发现它等于这个列数，这叫什么东西啊？这叫只有什么东西啊？连接。大家注意，其次线性方程组一定有零解，然后第二件事情，如果这个系数矩阵的值小于它的列数呢？大家注意，此时啊，有非临界。非顶点好，我们再来看你都知道，如果这个矩阵的质啊，等于它的列数，

那这个时候还能推出什么情况？好，继续走，如果矩阵的质等于它的列数列是什么关呢？那这个东西的列一定是无关。列向量组一定是线性无关，好了，我们再看第二件事情再来看，如果矩阵的质小于它的列数呢？那这个人的列一定是线性相关。没问题吧？好了，这几波内容啊，非常的简单，你发现那个作业题当中有一个题，

有一个题就考了，这个事情说这个人只有林姐的时候列是什么列？就是线性无关的。你包括这样的一个东西啊，我们就可以出一道题对吧啊，非常简单，一个内容来再来看看第二件事情行列式那行列式如果对一个其次线性方程组而言。那这个系数矩阵呢？你是个方阵。那这个时候我们可以用行列式来做那第一件事情，如果这个行列式不为零，那不为零的时候当然是满质啊。满制的时候，这个齐次线性方程组呢，叫做只有什么东西啊，

只有零解好了，这是这个情况，然后再看第二件事情，如果这个行列式等于零啊。等于零其实就是不满值，那这个齐次线性方程组一定怎么办？有非零解。有非顶解。所以像这些内容，你下去反反复复串对吧？这些知识点一定要把它给我串清楚好了，这是这个部分内容。然后接下来我们再来看看第三个事情基础解析啊，再来看基础解析基础解析啊，非常非常的关键。

那么，什么叫基础解析呢？基础解析是构成其次线性方程组，他解的一个非常重要的一个什么每一个啊这个板块。其实就是他解的极大无关组。这是我所有的解。我找到一组向量表示，我所有的解其实就是解的极大，无关组那么接下来我们看看这是基础解析。可再一可再二移植到可再s那同学们，想想你能作为我的基础解析，你必须要满足几条内容。首先第一件事情基础解析不唯一。对吧，不唯一它不是唯一的，

我可以用这些人呢来表示我所有的解，那满足几条内容，第一件事情你必须是什么？你必须都是其次线性方程组的解好了，这是第一件事情，第二件事情你们必须都线性无关。好了，这是第二件事情，第三件事情，你们这个人的个数呢？哎，这个向量的个数，一个两个s个个数，满足什么满足n- 2a。n是什么？

n是a的列数。能听懂我的意思吗？好了，这是这个人，所以我可以怎么办？通过这个方法进行去找基础解析，我找到我的基础解析，我就相当于干嘛就。就找到了这个人的通解，所以说求解方法，我们用的赋值法下去有没有进行训练啊？疯狂训练对吧？使劲进行训练。所以说这个求解方法是非常关键的，那这个求解方法我们是怎么做呢？

把这个系数矩阵拿出来。然后只能进行初等行变换，画的什么东西呢？画的行阶梯对吧？行阶梯。然后再画到行最简。行最简真，我说一下这个事情啊。如果你这个行最简矩阵就是我们所讲的那个一般的行最简矩阵，那这时候我就付的就是一零零零一零零零一啊，就像这种。两个人呢？就一零零一是不是这个情况？当然还有广义的行最简，如果是广义的行最简的话，

你发现这个阶梯口啊。它未必是几啊，未必是一，未必一是一的话，你这个时候负的就是谁零零谁，你听得懂我的意思吗？如果这个阶梯口就是一你负的就是一零零零一零零零啊零零一，能听懂吗？如果那个阶梯口它不是一你负的就是。谁临临，谁能能听懂吗？它未必是一啊，这是你要注意的，好了，做题方法就是这样，

然后我们再来看看非限方程组。那非用方程组啊，它的一个形式也有三种，第一种情况一般表达式，然后这是矩阵表达式，第三个情况呢，其实你发现就是我们的向量表达式。这是我们一会儿过程当中会讲的内容，一会儿后半程的部分东西啊，它的操作性比较强，一点难度系数可能会大一点，你好好听，这是最后一个版块内容。好，我们来看看g的判定。

那么，从这个解的判定呢？我们也可以走几条路线呢？我们也可以走两条路线，那么这里面当中的第一条路线，我们可以怎么办？用之。对吧，第二件事情我们可以怎么办？用行列式来进行判定。行列式来判定，所以它的判定方法还是两种，一种情况就是用知，一种情况是用行列式，那么首先我们先来看看第一件事情，

我们先用知。用质怎么判定呢？那其实就是这是一个非其次线性方程组。对吧，然后这个矩阵呢，如果它是一个m×n型的矩阵，我怎么进行去判断它的一个解的情况呢？一个非其次线性方程组也会有三种情况，要不然没有。要不然只有一个，要不然是无穷多个，你像上节课过程当中，他说有两个对吧？两个不同的解。那要不然没有，

要不然唯一一个你说两个其实就是无穷多个。对吧，是你只知道两个，还有些人你不知道他是无穷多个，这是要注意的，来我们来看看这几种情况，第一件事情我们怎么办？用这个增广矩阵的值跟什么呢？系数矩阵的值来进行比较。如果这个东西是相等的，那这时候才有解，如果这东西不相等，那说明非线方程组没有解。好了，我们再看第二件事情，

如果这个增广矩阵的值它等于系数矩阵的值，我们再来看看跟列数关系。如果这个人等于列数等于列数，什么解唯一解？然后第三件事情，如果增广矩阵的值它等于这个系数矩阵的值，然后它小于这个列数，这个人就无穷多解。大家来看看这些情况，都是充要条件吧。都是充要的，你满足了这个情况，它就是唯一解满足了，唯一解一定是这个情况，这是充要条件。

能理解吧好，这是这个问题，这是冲腰，然后接下来我们再来看看下一个问题啊，再来看那用行列式呢？行列式一定要保证一个事情，这个非前方程组啊，他的系数矩阵必须是方针。那方阵的话，我们就可以来列，比如说第一个情况，我们说如果这个系数矩阵的行列式是不为零的。它一定是唯一解吧，唯一解一定不为零，不为零，

一定唯一解，这是充要条件，然后我们再看第二条。如果行列式等于零呢？行列式等于零，大家注意它的充要条件是无解或者什么无穷多解。这才是重要条件。所以说这个时候的话，你要注意一个问题，我等于零的时候有可能是无解，也有可能是无穷多解。如果这个题说了无解，行列式一定等于零，你先用行列式等于零，但是你行列式等于零，

求出来的结果都一定是无解吗？不一定，还有可能是无穷多解。所以说这个时候需要进行检验，这是一定要注意的，只有这种情况需要检验，那比如说其次线性方程组呢？你切方程组的话，行列式等于零，那就是g啊，这个什么有非零解，你有非零解就等于零，那这时候是充要的。充要的就不需要检验，充分的需要检验。

就说你没有解的时候，你行列式等于零。然后你用了行列式等于零，一定都是无解吗？那不一定，我还有可能是无穷多解，所以说这种情况它可能需要检验，这是要注意的。好了，另外一个事情，我们这里面当中啊，讲了一个克拉默法则东西，我很有感觉啊，这个今年出这种克拉默法则的题啊，这个几率还是非常高的。

啊出这个克拉莫法则，你要稍微进行注意一下，那么这里面当中我们来看看，如果这个行列式它不为零。这时候的唯一解是多少？它第一个未知数的解就等于系数矩阵的行列式。分之第一。然后这个时候的d2，它就等于a的行列式分之d2。然后的话，最后一个未知数呢，就等于a的行列式分之dn，大家都知道这个d1d2 dn是什么情况，那就是什么用那个尾椎。去替换那个系数矩阵的每一列替换第一列，

那就得到了第一替换，第二点就得到第二替换，最后一点叫做点。啊，这是要注意的，替换完了，求下行列式好，这个问题用行列式的进行计算好，这是我们上上次过程当中讲的这个重点来。来，我们来，再来做一个题吧，先来看看这个题。他说了一个事情，他说其次线性方程组有非零解。

大家注意，这是个其次还是非其次啊？其次其次，这个人有非零解系数矩阵的，值小于列数三。可以对吧，由非零解或者什么系数矩阵的行列式等于零，也可以同学们告诉我，这两个人都是什么情况？这俩人都是充要条件吧。这是个充要条件，这也是个充要条件。这俩人都是个充要条件。都是充要条件，你用质小于三，

只要质小于三，都是它只要行列式等于零，都是它那这时候我们来看看，把这个人写出来。拉姆达，这是一，这是拉姆达方，然后这是一拉姆达，然后这是二，然后这是一一拉姆达。好，这个情况。然后得到这个人，你告诉我你是用质呢还是用行列式啊？用哪个简单？

那当然是用行列式简单。这时候不用讨论。不需要讨论。大家注意啊，行列式比初等变换优越的点在何处啊？它有行列式的展开性定理。对吧，它有行列式的，展开性的定义，这是你要注意的，我直接用行列式等于零。行列式等于零的解都是非零解，非零解都是行列式等于零对吧？所以接下来我们来看看这个行列式啊，这个行列式怎么解呢？

这是一个三级行列式。大家注意一个三级行列式，如果你用流沙法师是不好做的，有的说我流沙法三条主。进去三条副对角线啊，疯掉了，我的心都有了。你用一下这个流沙法，你发现一个事，你虽然能把它写出来，不信你试一下这个三次方程，你不一定会因式分解。不信你试一下，你看。三次方，

然后这个人是多少三，然后这是多少拉姆达方，然后接下继续这是多少减去三次方？啊，然后这个人哎还挺好说。那这个题还行啊，这题还行。可以可以可以啊，其实这题还挺简单，那我们试一下吧啊，可以做。这个题还挺简单。因为你发现这个三次被被消掉了啊，那我们试一下吧啊来。那这题流血不了了啊，

来我们试一下，那走一下吧，三条主那是拉姆达三次方，然后这个人是多少加上二？然后再怎么办？加上拉姆达方。好了，这是一个人，然后接下来继续哎，你看这个人那减去多少三次方这题特殊啊？你别说这题太特殊了。你一般不敢这样尝试，你试完了之后，我我早就做完了。你注意一下这事儿，

这太特殊了，这三次方给约掉了。你你你没发现吗？你这个你这个三次方约掉了，你约掉了之后的话，你发现变成了一个二次方程，那二次方程我肯定会因式分解，我不会因式分解的是三次。是吧，虽然我们高数里面当中讲了一个什么叫做试根法，但是有的时候的话，你发现你真试不出来。所以这是要注意的，然后我们再看这个人。然后再看这个人减去个多少二拉姆达，

哎，这个还可以。这个题说实话比较啊。比较可爱了，对吧啊？你看这个人约掉约掉了之后的话，就是兰姆达方减去个三兰姆达，加上二=0，然后。然后一二得二减二，然后减一等于零行吧？拉姆达一等于一拉姆达二等于二。啊一或者二这两个东西啊，都可以。这个题是一道真题啊，

这是一道真题。这是一道真题，我出啊，我肯定不会让你这样能干的产能啊。来那么接下来我们继续，我们再来看那这题还有没有方法呀？好，继续，我们再来看看方法二。还有一个方法好，我们继续看。对于一个三阶行列式而言，大家注意一个问题，一个三阶行列式。你只要把一行当中或者一列当中。

消除两个零。你消除两个零，我就可以进行展开了。因为大家都知道你比较擅长的是二阶行列式。对吧，二阶方列式，所以说这个时候我怎么进行处理呢？你看你用上面这个一把这个一消成零。把这个拉姆达消成零，你把这两个位置都消成零，那这一列当中就可以按照这个东西进行展开。能听懂不能呀，当然用一进行消减的呀，你如果这里面当中你用第三行去消就非常麻烦了。所以说这是这种情况，

一定要注意。那么接下来我再给你浇筑几年。那这里面当中还有一种比较特殊的情况。哎，有一种非常好的经验，就说你想想。我如果在一行当中，我把一个人削成零。另外，两人还能成比例。那这个时候的话，我就可以用另外一个人进行去干掉一个人。那这个时候在某一行或者某一列当中就一定会出现两个零。这种经验叫做对应萧零成比例。大家注意，

这种经验叫做对应消零。成比例。对吧，这是一种经验，你可以去试。我把一个人削成零，另外两人还能成比例，那就非常棒了，你看我把这个一干掉，这个一。那这个时候这人就是零。那这个时候就是一减拉姆达，拉姆达减一那这样做有什么好处呢？你看这是拉姆达减一一减拉姆达，这是零。

好，大家想想，你看这个时候，我把一个人削成零。这俩元素成比例，那这俩元素成比例的话，大家都知道行列式啊，行可以列也可以。那这时候我把这个一倍加过去。哎，你注意，我把这个人的1倍加过去，加过去了之后，这个元素立即变成零。那这个时候变成零了之后，

它就出来了，那拉姆达减一一拉姆达方加过去，零拉姆达加一拉姆达方加二。然后这是零一。呃，这种情况是比较特殊的，你得去尝试，所以我只能是说这种东西是一种经验，你可以去练。对吧，对于一个三阶行列式而言，我们考研很喜欢考三阶行列式去求解，一个三阶行列式是比较容易的。哪怕我在这个做题过程当中，我硬生生干，

我把这人干成零，把这人干成零，俩人是零，我都永远能做出来。所以说不存在说一个三级行列式做不出来，永远都可以用一个人把另外俩人削成零削成零，一展就变成了一个二级行列，这是最简单的。好了，我们接下来看，如果某一行或者某一列出现两个零，我就可以按照这个元素进行展开了。拉姆达减一。对吧，然后乘上它的什么代数余子式。

代数依次式是第一行第一列，那其实就是这个部分，那这个部分呢？我们来做一下，那就是这条线已成。拉姆达方加上拉姆达减去什么？减去拉姆达方减去二，所以说这个结果就是拉姆达减一。拉姆达减二=0。好，这是这个情况，你看这个题就出来了，因此这个结果怎么填？填一或者二俩人都行。对吧，

第一任可以，第二任可以。好了，这是我们在这里面当中啊，讲的一个非常重要的经验，注意啊，行列式啊行进行运算列进行运算无所谓。行列式中间用的是等号连接，它利用的是行列式的性质，我行进行做列进行做这个行列式永远都是相等的。大家能听懂我的意思吗？好，这是这个题，四点一五。好了，

这是这种情况，就说我们做题的时候，你看俩人一削削成零。另外俩元素还能成比例。那成比例的话，我又可以用这个人干掉另外一个人，我就能出现两个零了，只要出现两个零，那这题就出来了。所以说，对应相邻成比例，行一下列一下就出来了。当然，这种题啊，比较特殊了，

你下去慢慢试一下。好了，这个题我们就讲到这可以了吗？来继续吧，我们再来看看第四个事情。非向方程组啊，它的解的性质，但这条内容我不希望你背，有的人喜欢背什么什么，非其次见非其次其次。非其次，加其次。非其次，非其次。加非其次，

除以二。非其次，不要背理解。大家想想一个事。如果是一个其次线性方程组，它是这样写的。如果是一个非线方程组，他这样写的。是不是这个情况来，我们一起来看看，你想如果有一个人。它满足了as=0，那说明这个东西是不是其次方程组的解，如果有一个人他满足了a他等于b，那这个人是不是非线方程组的解？

所以说大家想它的核心重点就是a什么等于零还是a什么等于b，你就要看看这个部分。能理解吧，哎，就是一个七次方程组解还是非其次，那么接下来我们就来正式来看看啊，第一件事。怎么做呢？利用运算就行，大家来看看，比如说我们看第一种情况。如果这是一个。其次，线性方程组的解。对吧，

其次的解，然后我们再看，这也是个其次的解。那么，先看第一件事情，一个齐次线性方程组的解，我给你乘上一个系数，你告诉我是谁的解？是不还是其次，减两边同时乘上k1，这仍然是零说明k倍的，它仍然是其次减。这是要注意的，然后继续看，如果你发现这是个其次解，

我再给你扩展一个倍数，谁的解还是其次解？那么，同学们想我把这两个东西加起来呢？我把这个加起来，它是不是仍然是七字节？没问题吧，所以说其次线性方程组的解它的线性关系仍然是其次解。其次，线性方程组的解。它的线性关系仍然是其次解。这件事情能听懂吗？所以说，这是第一条内容。哎，

就说如果这是阿尔法一，阿尔法二均为谁的解均为其次解？那这个时候它的线性关系k1阿尔法一。k2阿尔法仍然是谁的解？仍然是七次解。好了，这是我们讲的这个第一条内容来继续，我们再看，如果这个阿尔法一是其自己的。如果这个阿尔法二是非七次解，那这个时候你看两人一加呢？俩人一加的话就是阿尔法一加阿尔法二。这块东西是不是还是b那谁的解非其次解，所以说第二条内容。呃，

一个七次解。加上一个非七次解。非其次解，那这个人是谁的解？真是非其次的解。这是要注意的。一个其次解，再加上一个非其次解，那这个结果是非其次解没问题吧？来再来看第三条内容。那第三条内容我们继续看，如果这个阿尔法一是非七次解阿尔法，二是非七次解，不要背哦。你悲求啥呢？

你脑子去转你想你看你这两个东西一减。如果这俩东西一减，你看那前面部分这块是零吧，那说明非其次解减非其次解谁的解？非其次解减，非其次解它，是其次解。好，这个问题，所以不要背，能听懂吗？你不要背，只要a这个东西的话，你发现它等于零，它就是其自己。

a这个东西等于b，它就是非极子集合。能听懂吗？所以说你看我们上次过程当中讲，如果有一个人是齐思杰，我给你扩展一个倍数，是不是还是齐思杰？但是有一个问题。如果你发现阿尔法是非西斯解，那你告诉我k倍的阿尔法还是非西斯解吗？它就是KB了，它就不是了。所以同学们一定要想清楚我再说一遍，如果你发现阿尔法是非奇的解，那如果这个东西k倍呢，

那这东西就不是原来的非奇的解了。就不是原来的非奇迹了，你这样一加的话，后面是2b嘛，我要的是a什么等于b嘛？是这个飞行方程组的解嘛，你如果加起来是ax=2 b，这个飞行的解。注意啊，方程的对象不一样了嘛。如果两个一加的话，它就是as=2 b这个方程组的解了。我不要这个，我要的是as=b这个方程组的解嘛。所以一定要听清楚啊，

要想清楚一个事，要注意，如果阿尔法是其次的解。其次，解扩展个倍数还是其次，解如果这是非其次，解扩展个倍数就不是非其次解了。就不是了，这是要注意的，听得懂我的意思吗？哎，注意，所以说非其次解可不能随便的进去就扩展倍数。其次也可以。你其次解的话，

我给你扩展一个倍数，你发现比如说一二分之一零，你是其次解我把你扩展二倍就是二一零，你还是其次解？但是如果这是非其次解你扩展个二倍，可不一定是了，所以非其次不能随便的扩展好注意一下这个事情。但是讲了这么多，我其实还是不想你背，对吧？说什么其次解的线性关系是其次解其次，加上非其次非其次。非其次减，非其次是其次，不要背大家注意，

不要背。你要理解，如果它是其次解，就是a什么等于零，如果是非其次解a什么等于b。只要a什么等于b非其次，解a什么等于零其次，解就是看这个人的。你要尽心去看这个人呐，所以说这个东西啊，你要把它掌握清楚。好了没基本问题啊，这是第一件事情，那么接下来我们来做一个题吧，你看这种题啊，

我们考研还容易考来看看这个人。看一下这个题嗯。哎呀，怎么就不能理解呢？我要看你是不是你你看完这个题你就知道了，你看他说阿尔法一阿尔法二都是这个方程组的，解人家问仍然是这个方程组的解的式。你比如说这个部分的话，你看如果x=2 b，那它就是ax=2 b的解了，我不是这个方程组的解了。我们题目问呐，就说你这个人是他的姐，我想问什么情况呢？我想问你还是这个人的姐？

方程两边，同时乘商。就是这个东西很难理解吗？我再说一遍，我要的是as=b这个方程组的解。你两边同时乘个倍数，这变成KB了嘛，你就不是那个方程的解了。它还是一个非线性方程组的解，但它不是我问的，这个非线性方程组的解嘛，这多简单的一个东西啊。好理解对吧，人家问你是这个方程组的解，那这个方程组的解的话，

你这块一定要是b呀。对吧，你得看题啊，来我们来看看这个事。说阿尔法一，阿尔法二都是这个非全方程组的解，所以说这个题啊，它就是这个情况，那就是说a阿尔法一，它等于b。af 2它等于b是这个人。然后接下来我们看看第一个人，那第一个人是什么呢？第一个人是a，如果这两个东西一减呢，

这块是零，那很明显是个齐次线性方程组的解。对吧，所以说这人不是。然后再看第二事情，那如果是三倍的呢？你三倍的阿尔法一减二倍的阿尔法二三倍减二b，那这个人是b。那说明它还是这个飞行方程组的解没问题，对吧？是as=b的解，因为你满足as=b嘛。你再看第三个事情，那第三个事情的话就是三分之一阿尔法e。三分之二倍的阿尔法。

三分之一啊，这半边诶，这是b。然后再来看，那这个时候你看，如果这是三分之一的话，这个人是三分之一，如果是三分之二的话，这是三分之二，两个一加是解是b。没问题吧，来再看最后一个人，最后一个人是二分之阿尔法一加上二分之阿尔法二好这个人，那这个时候你看你二分之b加二分之b，那这个结果呢？

还是b还不是非其次嘛，所以这两个都是非其次，有几个有三个。很简单吧，就是如果你是齐次性方程组解，你要满足as=0，你要是我这个。我以后说话的话，我得我得把这句话加上，对吧？其实我不说这件事情你都能理解好，我现在加上是我这个飞行方程组的解，一定要满足as=b。我这个人对吧？我这个方程组的解。

你ax=2 b，当然也是个分项方程组，但是你不是我这个人的解了吗？能听懂吗？好，这是这个事情，行吧，你能听懂就好啊，其实非常险，不要背，千万不要背。啊，理解多转一转好了，那么接下来我们来看看下一个问题，非其次线性方程组写的结构。

好，我们来看看这个事情。那一个非线方程组，它的通解结构长什么样子呢？这个里面当中啊，有一句非常非常重点的话，也是一种非常非常经典的话，我把这个事儿我们来敲出来。那么有一句什么话呢？叫做。叫做非其次通勤。等于其次，通解就是其通，再加上非其次。特写这个特写啊，

每次讲完了之后，有些同学就疯了，我就不说特写了，我改成这个事情，加上一个。非其次得体。加上一个非其次的解，我就不说特解了。任何一个非其次线性方程组的这个什么这个解都可以。任何一个非全方程组的解都是可以的，所以说这句话叫做齐通，对吧？非齐思通解等于齐通。加上菲奇特，加上一个菲奇斯特节。

这句话非常重要，他就奠定了我们在这节课过程当中解非其次线性方程组的一个基础。什么样的一个内容呢？我来把它串一下。那你想想你会不会解这个齐次线性方程组啊？你会吧，这是as=b。你会解其次啊。其次，这个线性方程组的话as=0，它的通解是多少？它的通解不就是k1可赛一？然后一直加到ks coss。他的核心是干嘛？找基础解析，

把基础解析写到k的后面就是他的通解，然后呢，再去找一个as=b的解。请注意啊，再找一个就行了，所以我们在这里面当中，再加上一个非其次的解。也就是说什么意思呢？这个可塞芯，它必须满足非其次线性微分方程。对吧，你这个可塞芯必须是非西斯特解。那这样的话，就是我非起子的通情。加一个就行了，

注意这前面没有系数。加一个就行了，很多说那随便加一个对，就是随便加一个，你想加谁就加谁。所以说，比如说举个例子，我们看这个题。你看这个题，我们要解这个非线性线性微分方程。对吧，我们要解这个方程组不是微分方程，是方程组，我们要解这个非行方程组。对吧，

这个这两个东西啊，很像我们要解这个分解方程组，那怎么解呢？你把这都看成零。你会不会解其次？我会解，其次我先把其次解出来。能解出来吗？能解出来好，我把这个其次解出来，我把这个其次解出来之后怎么办？如果你用你的眼神。你突然间进去去漂到了一个姐。你漂了一个x1x2x3x4，你漂出了一个符合这个方程组的解好，

恭喜你，你加到这就行了。你加到这里就行了，就是你眼神飘出来一个解，你加到这儿好，这就是通解。就是奇通加上非奇特。你只要眼神能漂出来一个解，对吧？你漂出有个解满足这个东西，只要你能漂出来，你加到后面，这就是通解，但是。关键点的一个问题，

你能漂的出来吗？对吧，关键点的一个问题就是你漂不出来呀。所以说这就是这点当中的问题，那么接下来我们来看看非其次线性微分方程它的啊，这个方程组啊的求解方法，我怎么老说微分方程呢？非其次线性方程组的求解方法。好了，那么接下来我们一起来看看这个非其次线性方程组怎么去求解？那么，首先第一件事情，这个方程组啊，太麻烦了。对吧，

这个方程组太麻烦了，所以说我需要对这个方程组进行简化。那么简化的过程，其实就是高斯消元的过程。比如说把第一行的多少倍加下来，把这个消掉，把这个消掉，你看方程组在逐渐的做简化。但是大家注意，我们现在是一个非其次线性v啊，这个方程组。非其次线性方程组啊，你要注意进行去变换的过程当中，这个尾缀是不是也在变？是不是啊？

尾椎是不是也在变？因为你想想，如果你把这个人扩展二倍，这个人也在变，他不像原来的其次其次，后面永远都是零。所以说这个时候啊，我们就需要把增广矩阵拿出来了。注意把增广矩阵拿出来，那增广矩阵我们先来写，那这个s1的系数s2系数s3的系数，这是s4的系数。但是大家注意，这还有一个尾缀呢。然后这是四，

这是二，这是负二，这是一，这还有个二，然后二一负一。负一，这是一。是不是这个情况，所以大家注意，有的时候你去看一些参考书，他这是不是有个虚线？啊，就这样的一个虚线，这个虚线想说什么呢？这虚线想说啊，

你这个前面是a的部分，你这个是尾缀部分啊，你这个是前面的，这是后面的来同学们。我们根据这个东西，我们来读一下可以吗？好一起来啊。二倍的s1+1倍的s2-s三+s=1。注意四倍s1+2倍s2-2倍s3+1倍s=2注意这块东西啊，有个等号。那么，接下来我们就需要进行高斯消元了，只能进行行变换，对吧？解方程组的这样的一个通法来我们操作。

以第一行为基准，二幺负幺幺幺。然后减去这个人的几倍，减去二倍零二倍零，减去二倍零，减去二倍负一，减去二倍零，减去它，减去它，减去它，然后减去它，这是负二减去它，这是零。然后用它把它消掉，然后这个人没了。

这没问题吧，这个变化都能看懂，给那行乘上了个负一，所以说这个时候就做成这样好，我们一起来画一下行阶梯矩阵。好行阶梯矩阵画完了之后，要变成行最简，把这人削成零好了，这块有个虚线。是不做成这样了，那么这里面当中你要稍微注意一下。哎，稍微注意一点。那需要把这个东西变成一吗？也不需要了，

因为一旦变成一这块东西就出现分式了，我们用广义的这个什么？广义的这样的一个行最简形式就行。那么大家想想一个事，刚才说了非其次通解等于什么？等于其通，加上非其次的解，所以首先第一件事情，我们先求谁啊？我们先进行去求其次通解。那其次同学的话，这个时候你就把后面看成零就行了。你把后面看成零，这就是其次的这样的一个情况，那么这个时候我们来怎么办？

赋值不就行了吗？来赋。你给这个人付，你给这个人付，那这个情况是二倍的s一加上s二减去s三。等于零是不是这个事情，然后再来看x4=0，这是其次，我给谁付啊，我给二和三付。对吧，给这俩人付那付多少呢？我们来找基础解析，可赛一可赛二复习比较好。那么，

首先，如果你发现你付多少，我付零。对吧，你付多少我付零。我负零的话，你看这个人乘上多少，就说这个x2这个部分呢？对吧，什么叫广义的，你是不是之前没有听课呀？我都有点想让你把前面的部分给我抄两遍了啊。来这个人负几比较好，负二比较好嘛，你这个负二的话，

你发现这人就是负一。然后再来看第二个事情，这个一倍的它等于零，那这个人就等于零，是不是这个情况来再来看？那第二个事情负什么？你负零他负几呢？那是不是给这个人负二比较好？你这个人负二的话，你看如果这是零的话，这人是二，那这人就是一，那这人还是零？其次，部分呢，

非常的简单啊，这是其次部分，然后接下来我们再干嘛，我们再继续去找一个非其次解。只需要找一个非起始键就行。大家想想原来过程当中，我们讲过为什么叫做自由未知数呢？因为原本这里面当中有四个未知数，但是只有两个有效方程，只能解两个未知数。只能解两个未知数，说明还有两个未知数没有解出来，我把它叫做自由未知数。那么，接下来我们看再来看，

非其次，非其次方程呢？这个人等于一，然后这个人等于零，这是非其次方程。那怎么才能找到它的一个解呢？注意，我只要找到一个解就行。你只要找到一个解，那这样就可以了，我还是给自由未知数赋值，让自由未知数不自由，那这人就解出来了，比如说我举个例子。你给s2负十行不行？

你给I3这个I3负六行不行？对吧，或者负五行不行？你想想一个事情，你负十我负5s一出来了s4出来了，那这人不就行了吗？但是大家注意，这不是最简单的。最简单的是什么？你就直接让这个自由未知数为零不就行了，如果这俩人都是零都是零的话，你看x一就出来了，这二分之一x也出来，这是零。那这不就是他的一个解吗？

你看满不满足满足啊？满足这个方程就是他的一个解。你只要能满足我，你就是我的一个解我要这一个解就行了，我只要找到一个解决的，你管我找到什么解呢？这无所谓。只要找到一个解，当然你可以不付零，你付100，你付1000s一和s1也能出来，你付一万，你付一个亿s1s也出来，它也是它的一个解，同学们注意，

这是无所谓的。只要找到一个就行，那找什么时候最简单，当然负零呢？负零最简单，所以说这个时候最后的通解就是多少？最后的通解就是k1可塞1k二可塞二，这是其次通解，再加上这个非奇次特解就行了，不要带k。就出来了，能理解吧。所以你发现学好其次线性微分方程啊，这个什么学好其次线性方程组？我这节课怎么老是说微分方程呢？

因为这个部分的一些东西啊，它很向往。好了，那么接下来我们再看。啊，什么变负号啊？好了，那么接下来我们继续。所以说在这里面当中啊，你就会发现一个事解非其次微分方啊，解非其次方程组。非析式方程组。好了，这个是这两天上这个微分方程上多了啊，因为这两个东西具有共性啊，

具有共性，所以接下来我们把这个东西总结一下。来一起看看。分析式。啊线性方程组。求解方法。对吧，这东西怎么进行求解？你发现个事情啊，解非其次线性方程组，它的核心主体应该是其次线性方程组。你只要把其次这个东西学好了，你解这个非其次将会非常简单，所以它的核心主体还是在进行求其次，那么接下来我们先来看看第一步。

对吧，第一步第一步干嘛呢？将增广矩阵不是系数矩阵，一定将增广矩阵。知道什么叫增光矩阵吧。增广矩阵就是系数矩阵，后面要摆成这个列。那么，这里面当中将这个增广矩阵进行初等行变换。注意啊，进行初等行变换化成。行集体。哎，化成行阶梯矩阵，这是这个情况。

那么，接下来第二种。给自由未知数赋值。求其次。方程啊，线性。方程组。基础解析。这没问题吧，所以我们接下来给这个自由未知数赋值，我去求其自线性方程组，它的基础解析。我赋予组线性无关的值解析数解析，然后就是在上节课的这个基础上增加一步就行了。啊，

增加一步。将什么东西呢？将这个自由位置处。赋值为零。求出。对应特解。非其次。解就可以了。好了，这是这个问题啊，当然需要行之间行吧。怎么能不需要呢？这个。灵活一点啊，灵活一点好了，

这是这个事情，所以我们的这个做题核心呢，其实就是三步，第一步将这个增广矩阵呢。一起进行行变换，化成了行最简好，这是第一件事情，第二件事情给自由未知数赋值求那个其次部分。求其次的时候，就需要把后面看成零听懂吧，然后再给自由未知数啊，赋成零，然后求出对应的非其次解。其通加上非其自己，然后这个时候就是通解，

所以这节课的这个做题啊，难度系数不高，它没有我们之前部分讲的那个东西难。我们之前讲那个东西啊，稍微的难度系数会大一点啊，这个操作性也会强一点，你看这个部分的东西啊，难度系数就好小很多了。好了，这个事我们就讲到这。再来练几个吧。好了，我们再来练几个。呃，变换我就不讲了，

我们来找几个来进行去练一下啊。呃，不变换了，变换我就不变换了，来它变换。这没有解，怎么能没有解呢啊？好这个人，他怎么变得这么烂？它变换的变得很不好，比如说有一个非，这是其次还是非其次，这是非其次。他变得很不好，我们来比他变得更好，

来看这个人。假设这是个增广矩阵。好不好哎？这是个中国。他他确实变得不好，这那没有啊，你看他变成分式了，这这长得多丑啊，对吧啊？来，我们继续。这是一个增广矩阵。这后面是尾椎，这是尾椎，这是个增广矩阵，

接下来我们把它变成行阶梯，再化成行最简来一起操作。那这时候我们就可以走了，这个时候的话就是一一负三负一，这是一，然后接下来继续这是零。负四，然后这是六。这是七，这是一，然后下面直接是零零零。好，做成这样了，那做成这样了之后，行阶梯式出来了，

但是你发现行最简还没有出来。那我怎么办呢？我需要把这个人变成零变成零，给上面这个人扩展四倍，扩展四倍，四倍的话是12。扩展四倍，扩展四倍。好，做成这样，那这个时候加上去就变成零，加上去变成负六，加上去变成三，加上去变成五。这个情况，

那接下来这个人就变成了广义的行最简。那么，首先，我们先进行去求解。其次啊，这个线性方程组。求解其次线性方程组的基础解析，就不要看这个部分了。对吧，不要看这个部分，那这个时候它就是四倍的s1-6倍的s2，加上三倍的s4=0。负四倍的s2+6倍的s3+7倍的s4=0，给谁付呢？给这俩人付。

给这两人进行赋值，那所以说就是两人，一个是可赛一，一个是可赛二，那么同学们想你负极比较好。这是一三啊，你负七比较好，你给这两人进行赋值，那肯定是一个赋多少一个人赋零嘛。那你负几比较好呢？你如果这是零，你告诉我它为多少的时候能整除啊？当然是进行负四。负四的时候刚刚好进行整除，那这时候我们来看看，

那就是四倍的它，然后加上四那这个人就是几，这人就是六。哎，这是六，然后继续我们再看。呃，不用负四是吧？负二就行了啊，那所以说负二。负二更简单，那二的话的话，这个人就是解三。二×12，这是三。

然后负二的话，这人是减那这人也是三啊，负二减单，然后接下来继续，我们再看给另外一个负。你真人复零，你复零的话就不要看这个人了，那这个时候复习比较简单。那这个时候你还只能负四了。对吧，你负四你负四的时候的话，这个时候三四一十二，那这是负三，然后这时候多少四七那这是七。你看这样就简单了很多。

啊，非常容易，然后接下来我们再进行去求解这个人的特解，特解怎么办？特解就要看尾椎了。特解这个时候，他后面等于五，这后面等于一，那怎么办呢？给这个自由未知数赋成解赋成零。好了，这俩人都是零。那既然都是零的话，这人等于几它等于四分之五。那如果这两人都等于零，

等于多少负的四分之一？好了，这是这个情况，因此啊，你发现它的通解就是k1倍的三三二零。加上k2倍的负三七零四，我问一个事情，这个东西能不能扩展四倍？非其次，能不能扩展四倍？不能非其次，扩展四倍就不是非其次，解了。不是这个废弃它的，解了这是要注意的，

所以说它不能其次可以啊，因此这个结果你还只能填四分之五。负的四分之一零零。你看这个结果，我们这个结果要比他这个最后的结果肯定要优秀很多，我们来看看吧。你对照一下这两个答案。这个答案的话，你看这个第一个部分是个其次解扩展二倍，扩展二倍，扩展二倍把二。二倍的这个什么二分之一倍的，它写成新的c。扩展四倍负三，扩展四倍，

扩展四倍，这仍然是其次解，其次解可以扩展，非其次解不能扩展。所以说这个答案你去看看三三二零，然后这是多少负三七零四没有问题，然后最后四分之五负四分之一。零零比他这个要快很多。其次解你要注意，如果你是我的，其次解我扩展个k倍还是我的，其次解。但是如果你是非奇的解扩展个k倍，就不是非奇的解了。能听懂我的意思吗？

好了，这是这个事啊，你要注意他这个。写的有点丑啊，这个不好看。看起来也对啊，你看那分数多恶心啊。好了，这个事情我们就讲到这跟得上吗？所以说这节课的解这个非极子线性方程组，它的核心主体还是去解其次线性方程组。你只要把其次线性方程组解好了，那这节课就给那个自由未知数负零得到了一个解往，后面一加就出来了。好，

这是这个问题，能听得懂吗？来那么接下来我们来看一句话。怎么了？来看看总结。那么，上次过程当中，我记得我们讲过一句话。那么，这句话我们把它拉回来。讲过这样一句话。来拉回来。这句话还记得吗？就说一个其次线性方啊，这个什么其次线性方程组，

它最多有多少个线性啊？无关的解呢？这叫最多有多少个线性无关的解，那么到了今天我们又会学习什么，我们又还会学习，非其次呢？那请问非其次线性方程组最多有多少个线性无关的解呢？这是我们这个内容，我们说的是最多有多少个？第一个事情最多有多少个？最多有s个。s=n-ra个最多有s个那分析式最多有多少个呢？最多有s+1个。啊，最多有s+1个，

那为什么多了一个呢？我们来看看，那这是k1k三一，这是k2k三二。然后一直加到ks coss，它后面是不是加了一个，所以说多了一个，对不对呀？你看可塞一可塞二可塞s可塞星，那是不是多了一个，所以说是s+1个是不是啊？是不是啊？纯属胡说八道啊，纯属胡来呢？你要是这样理解啊，

你可能把这个结论记住了，但是纯属胡扯啊，你发现这水平点呢，基本上就没有够格。你一定要注意一个问题，你看刚才这句话说法就有问题。你说非其次，最多有多少个解一个两个s个加一，所以说是s+1。但大家注意一个问题，刚才说了很多遍了，这是谁的解啊？这就不是非其次解，这是其次解啊。这是其次的解。

它就不是非起始解，你怎么能说这是一个两个s个s+1个非起始解呢？我问的是最多有多少个非奇次的解。你这是其次解，你怎么能归成非其次解呢？你纯属胡扯，大家注意它是这样子的。但是那个结论确实是对的，它是这样子的。它是可塞一加上可塞型。齐家非，这是非。可塞二加上可塞西尔齐加非是非。可塞s加上可塞西尔，这是非和这个人构成了最多拥有s+1个线性无关的结。

注意是这样子的，所以学东西一定要学好哦，对吧？它是这样子的，是一个废弃词。一个飞起词s个飞起词，自己这个飞起词你可以去证明这件事情，可以证明你可以证明这些人是线性无关的。所以说它拥有s+1个最多有s+1个线性无关的解，这是要注意的。当然，你不知道也行，但是你要知道这个结论。你要注意这个，知道这个结论。

一个非其次，最多有x+1个线性无关的解，这叫最多有这件事情很重要。不行，这个标题名我得改了。总结勾不起啊，勾不起很多同学的这个注意力。黄金重点。对吧，五星级。重点啊，联名款来再加个绿色。漂亮好，注意啊，是最多有。

对吧，最多有多少个线性无关的节是最多有不是说它有多少是最多有多少个？这是要注意的分析式最多有s+1个线性无关的解好了，这是这个事情，过去了可以吗？学清楚啊，要掌握清楚好了，这个问题啊，我们就讲到这，那么接下来我们把接下来这个问题啊，做最后一波总结。那么，在考研过程当中。呃，我们的考试啊，

其实比这个部分考的要简单。考的要简单一点，他不会说既进行去判定，又进行求解，但是我们在这个基础阶段的这个复习过程当中，必须要做扎实。所以接下来我们来看看，非其词。线性方程组。对吧，方程组。的考题形式。那么，通常而言，会考两个问题，

第一个事情，企业的判定。你有几个姐啊？有解吗？还是没有解啊，有唯一的解还是无穷多解呢，所以这是第一个事情写的判定问题，第二件事情那如果我有无穷多解来给我解一下。我的通解是多少？所以说是求解问题。所以两件事情，第一件事情，企业的判定的问题，第二件事情，求解的问题，

请告诉我，企业的判定问题有几个路线？第一个事情用之。第二个事情用行列式。一个事情叫用至一个事情，用行列式求解呢画行阶梯。矩阵再画行最简矩阵，所以说我们直接写吧，行最简矩阵。化成行税前矩阵，然后利用赋值法进行求解，好这个内容。这就是我们非其次线性方程组啊，它的核心考题两个事情，一个事情解的判定，

第二事情求解的问题。所以接下来我们来做一些综合性的题，当然的话，这个综合性的题啊，一问就能出成我们的一个题，有可能比我们的一个题啊，出的还要难一点点。啊，但是我找到这两个题啊，符合我们三九六的这样的一个考纲的标准啊，我觉得做起来对大家的这个提高还是非常快的。因为这两个题啊，不是特别难啊，我觉得也是能锻炼大家的这个能力好，我们先来看第一个问题。

他说，已知线性方程组非其次，线性方程组存在两个不同的解标出来。两个不同的解，这哪是两个不同的解啊？要不然是唯一的解，要不然就是没有解两个不同的解，这其实就是什么？这就是无穷多解啊。你要注意，这就是无穷多个解啊。所以接下来我们继续去求解这个人。无穷多解，它是这样的一个问题。如果你是无穷多解。

从质的角度上而言，这是充要条件，增广矩阵的值系数。矩阵的值小于列数是三。那如果从什么呢？从这个行列式角度单箭头，它一定能推出行列式等于零，但是行列式等于零，未必能推出它，所以说这个时候啊，你得进行检验。那对于这个题而言，你觉得这个系数矩阵用行列式简单还是用质简单？当然是行列式，为什么？

因为这个行列式多容易啊。因为你看你这个行列式，求解这个行列式直接按照这个人展开，非常非常简单了，所以说这个时候我们来看看。第一问，直接上行列式，行列式按照这个东西进行展开，就是拉姆达减一，然后是是拉姆达方减一。等于零那这时候有两个结果，拉姆达等于一或者多少负一？对吧，一或者负一，但是你要注意行列式等于零，

它的结果是一和负一，难道都会能推出无穷多解吗？这是不一定的。因为行列式等于零对吧？拉姆达等于一或负一，他还能推出无解的情况呢，所以要检验，那么接下来我们就识别。这时候要靠运气了，你先检验谁啊？我们先看一吧，当拉姆达等于几一的时候。移的时候我要看看增光矩阵，把这个什么a和这个b放在一起增光矩阵。那这时候看看他的质的情况，

到底是什么情况，然后这是幺幺幺零零零幺幺幺。然后这是a一一。那进行变换的时候就是一一一a零零零一，然后减去上面减去上面减去第一行，这是一减a。再把这个a- 1倍加下来。那这人就变成零，所以系数矩阵的质是一。增广矩阵制再长一点，那就变成二。系数矩阵只能到这儿增广，矩阵继续，那这个时候就是啊，系数矩阵的值跟增广矩阵值不一样，

没有解。哦，没有减，那说明你不行，你不行他就行，因此拉姆达等于负一对吧？等于负一的时候as等于多少呢b？怎么了呢？他这个人呢？有什么东西啊？有无穷多情？好了，注意下这个问题。你这个人不行，你这个人一定行，

所以说拉姆达等于负一一定会拥有无穷多解，那你拥有无穷多解此时。此时系数矩阵的值一定会等于增广矩阵的值一定会小于列数，因此我们把这个什么增广矩阵。拿出来拿出来就是负一，那是负一零一。一负二一，然后是一零负一。然后是a幺幺。能听懂吗？来继续我们进行去变换。以第一行为基准，幺幺这是a0负二零一加到第三行里，这是二加到第三行里。加到第三行，

这是a+1。再加下来，这是零再加下来，这是a+2，那么这个时候你看系数矩阵的值，他是等于二。增广矩阵的值，你必须也等于二，这个人等于零，因此a就等于多少负二。跟得上吗？所以说像这个判定的问题啊，非常的简单，就说你见到这个是无穷多解。它的系数矩阵制等于增黄矩阵制，

小于它的列数行列式还等等于零，但是行列式等于零呢，你未必能推出无穷多解，你这个时候还得检验。好了，这是第一问，能听得懂吗？第二问呢？让我们继续去求解这个通解那求这个通解就非常简单了。来看第二问，第二问就是放水的。那么，求这个通解，那这个时候你看这个增光矩阵的话，他都已经变换完了，

那变换不就变换到这了吗？来那么接下来就是负一一一负二零负二零一零零零。那这个时候我们再来看把这东西啊，我们就可以化成行阶梯。再变成行最减，不要把这人变成一给上面扩展二倍，扩展二倍，扩展二倍，然后变成负四。加上去变成零，加上去变成负三好了，这个结果就做成这样。那这个时候你要注意，这是非其次。自由未知数是谁呀？

自由未知数是这个人只有一个自由未知数，我们先看看其次。那么，其次的话，不要看这个人。那么这个时候你就要给这个人付谁呀？对吧，给这个第三个人负负几比较好，你负一就行了。你负一的话，你看负二倍的s1+2乘上几一=0，它就是一。第二行，那这个人呢？他就负零啊，

他直接就是零，不是负零啊，他是零。然后再看非起词。非其次，这个时候你要看尾锥这块有个等号。给自由未知数复习啊。负零负零，这人就不看了。负二倍的s一等于负三，那它就等于二分之三。负二倍的s二等于一，它就等于负二分之一，好这个人就出来了。因此，

最后的通解就是k倍的可塞，加上可塞性k为任意常数。能学会吗？注意啊，这个特解不能扩展哦，特解是不能扩展的，其次解是可以扩展的，非其次解不行，非其次特解不能扩展。好了，掌握清楚给我回复一吧，这就是以前的话，这个。数学三的考题，以前这个数学三考这种题啊，

就是一道大题啊，11分儿就这样的道题。这难度系数其实也不大，你发现操作性就是怎么判定的呀？怎么求解啊？两个事情掌握清楚就行，来再来一道试一下。再看看这个题。要不这样吧。呃，我们休息会可以吗？你们就别休息了啊，我休息会儿，然后你下课休息过程当中，你把这题做了。

这两题异曲同工之妙，你把这题做了。好了，这是这个。先看只有一个自由未知数的时候都负一。你能问出这个问题，说明你这个其次线性方程组，你学的不是特别好，你这个求解没有做到位啊，对吧这个？啊，他是有几个人负几组值？比如两组值的话，就一零零一或者是谁零零谁啊，如果三组是一零零零一零零零一。

你这这这几天过程当中是不是没有进行去处理这个呀啊？得好好看啊。好了，这是这个事吧，我们就讲到这。哦，没有问题啊，这个你自己再看看那个变换的问题好吧，你自己再看看好了，我们稍微休息会儿吧，然后我们休息完了之后我们再来讲讲这个事情。把这个东西讲完呢，然后后面还有几个问题，一个是非其次线性啊，方程组和这个什么线性表处之间的关系，

那后面过程当中还有一个矩阵方程。啊，矩阵方程好了，我们稍后休息会儿，一会儿我们继续吧，下课把这个题完成了，好稍后休息会儿，一会儿继续啊。

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