11.非齐次线性方程组-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:58:38

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，进过回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。啊，这个刚才啊，这个系统稍微的卡住了，所以你可能会觉得这个刚才这个上面也没有这个画面啊，然后的话这个耽搁了一会儿啊，但是这个部分不影响我们今天这个部分的课程啊。好了，

那么接下来我们就正式开始吧，我们今天继续开始我们的线性代数的这个基础班部分内容。那么，在昨天过程当中啊，其实我们今天重点讲的这个方程组啊，其实我们这个部分内容还剩下最后一点点内容。所以最后一点东西啊，其实非常非常的重要，你不要觉得说这个部分的内容啊，后面的过程当中基本上就没了，还有一点非常非常啊重要，而且在考试过程当中啊，我们及其。考评非常高的一个板块，内容好了，

那么首先我们先来复习一下上次过程当中的核心知识点。那么，在上次过程当中啊，其实我们的重点讲了两个事情，一个事情是线性相关性的应用啊，所以下去过程当中不知道你有没有整理一下？你发现一个事情，那个线性相关性上节课过程当中，我讲了好多定理以及推论，但是那些定理和推论呢，其实核心重点其实就考了一件事儿。如果这个向量组的值，如果它等于它的向量组当中的个数，那这个时候它就是线性无关的，如果小于个数就是线性相关。

所以说所有部分的类型问题的核心考点就是把握住一个事情向量组的质跟向量的个数之间的关系，等于就是无关。小于就是相关，对吧？这样的一个重点的内容，这是第一件事情，然后这个向量组的值怎么去求解呢？转成矩阵的值。所以最后核心重点就变成了，如果这个矩阵的值跟这个向量组当中的向量个数之间的关系等于就是无关小于就是相关。非常关键，所以下去过程当中啊，好好进行去把相对应的这个问题啊，好好处理一下好，这是我们在上次过程当中讲的第一个问题，

不多说了，那么接下来我们重点来复习一下上次过程当中的黄金重点内容。其次，线性方程组。啊，其次线性方程组那么在其次线性方程组当中啊，我们讲了几个事情呢，那么重点内容啊呃，我把这个换成大的吧。那么，核心重点讲了以下几个问题，第一事情是方程组的形式。那么，请同学们告诉我一个齐次线性方程组有多少种形式啊？我们的核心重点有三种形式，

第一种一般形式。对吧，就是你普普通通见到这个方程组一般形式，那第二件事情还有矩阵形式，你从上次过程当中的这个内容啊，你可以看得到。啊，这个矩阵的魅力，你矩阵有什么魅力呢？那么这个系数组成了系数矩阵，然后这个向量组成成了未知数向量。然后这两个东西一乘，然后最后得到一个向量形成了这样的一个方程组，它的好处是什么呢？把已知的东西放到一起。

把未知的东西放到一起，哎，就说什么意思？把已知的东西用一个什么用一个矩阵把它括起来了，然后一个未知的东西用矩阵括起来了。啊，这是它非常大的好处，然后第三件事情就是我们的向量形式。那么，向量形式啊，可能对很多同学比较陌生一点，对吧？这个操作性啊，你要稍微进行注意一下，但是这个内容我们一会要用，

所以说接下来我们再来复习一下。那么，首先，我们先来观察一下这个齐次线性方程组。那么，其次线性方程组长什么样子呢？它其实就是as=0的样子。那么，其次线性方程组会没有解吗？不会的，它一定会有解，对吧？它必须有解，而且它一定有零解。所以说对于这个人而言，

他必有什么情况必有邻解。什么意思呢？如果这个向量当中的每个人都是零，那这个东西的齐次性方程组一乘肯定是零，所以说一个齐次线性方程组一定会有零解。对吧，绝对会有。那么然后在这里面当中，我们看看矩阵形式，矩阵形式这样写。如果把这个矩阵呢？矩阵当中哎，你发现第一列叫做阿尔法一，第二列叫阿尔法二，第三列叫阿尔法三，

第n列叫阿尔法n。然后把这个什么情况呢？把这个未知数未知数写成s1s2移植到SN，然后这个结果等于零。那这个时候你发现你看它一乘就变成多少就变成了s1乘上阿尔法一，然后这是s2乘以阿尔法二，然后最后一个事情就加上SN。乘以阿尔法n=0。那这也是一种齐次线性方程组。它也是齐次线性方程组，那这个齐次线方程组啊，它其实对应的谁呢？它跟这个东西对应，它就跟我们那个线性相关性对应。你发现这个向量是什么？

这个向量其实就是这个系数矩阵的每一列。系数矩阵的第一列叫阿尔法一，第二列叫阿尔法二，第n列叫阿尔法n。系数矩阵的每一列就是这个阿尔法。然后这个系数是谁呢？系数就是这个未知数，对吧？要解的这个未知数，所以你会发现它的解是多少？比如说我举个例子啊。你要看图进行呃，看到这个形式，你进行去看，如果我们说一个矩阵，

这个矩阵的第一列阿尔法二阿尔法三阿尔法四，你看我写成这样。然后我说这个齐次线性方程组有一个解是谁呢？有一个解是四五六七。好了，同学们，你告诉我个事情，能写出一个什么东西啊，我们刚才都讲了这个方程组也是这个人的列向量的线性关系吧。是吧，而且解就是线性关系，第一个解就是第一个系数，第二解就是第二系数，第三个解就是第三个系数，第四个解就是第四个系数。

能理解吗？你一下就把它写出来了。所以大家一定要听清楚，就是那个系数矩阵的每一列就是那个阿尔法，然后那个解就是那个x。它解是多少呢？就是那个列向量的线性关系的系数。所以说这我就明白了，你看解释这些人。那系数就是这些人。然后它的每一列对吧？每一列就是那个阿尔法啊，这个事情一定要想清楚，对吧？这在我们考试过程当中还比较重要的一个问题。

向量形式没问题吧？好了，这个内容我们就过去了。那么这些东西啊，掌握清楚给我回复一吧，我看大家这个下去的消化情况。还可以吧，好了，这是我们讲的这个第一个问题，然后第二个事情就是企业的判定。对吧，企业的判定，那么你要注意一个问题，就说我们在这里当中的其次线性方程组。它是一定有解的。

其次，线性方程组一定会有零解，所以说它讨论的这个方向就是只有零解还是有非零解。对吧，你只有零这个解吗？还是会有非零解就讨论是这个问题啊，只有零解还有非零解。啊，这两个点那么所以说我们就判断的方向是什么？第一事情用值。对吧，用至第二个事情，用什么用行列式？行历史。一个事情用质，

一个事情用行列式，那我想问一个事情，那么这里面当中用质是把这个系数矩阵的质跟谁比啊？你要注意一个问题，如果这是个其次线性方程组，而且这个a是一个m×n的矩阵，我想问一个事情，把这个系数矩阵的值跟n比还是跟m比啊？跟列数比吧，对，一定要注意跟列数比，不是跟那个行数比，一定要进行去把这东西跟n比。如果是等于n，那这时候我就说只有零解，

如果小于n，我们就说有非零解好这样的一个重点，如果是行列式啊，要注意一个问题，必须是方阵。对吧，必须是方的，没有任何疑问，你必须是方的，你不是方的都不行，所以这就是我们讲的这个第二个问题解的判定问题。啊，不难的哦，你将来会发现你去做真题的时候，我们考的那些东西啊，

有的时候经常会考一个什么三级的。有的时候会考一个二阶的，对吧？二阶这样的一个什么二阶的这样的一个方程组啊，都有可能性，所以说大家注意你把这些东西啊，你基础打好了，你将来再进行看的时候难度系数就不大了。好了，这是这个问题，然后第三个事情我们讲了一个非常非常重要的东西，叫什么东西啊？叫基础解析。基础解析。其次，

线性方程组的解是由基础解析构成的。对吧，是由基础解析构成的，知道了基础解析我就知道了，其次线性方程组的通解，所以基础解析你注意一个问题，那这个东西啊。它是个其次线性方程组的情况吧。那如果这个东西，比如说我们来看看这里面当中的可赛一。可赛二，然后一直到可赛s，假设这些是基础解析，请同学们告诉我个事情，基础解析必须要满足几条内容。

几条内容，三条内容吧，第一个事情呢，你必须是什么？其次的解。对吧，必须是其次的解啊，它一定是其次线性方程组的解好，这是第一个事情，第二个事情呢，你必须要满足个数要满足。你这个个数满足多少呢？这里面当中的s1定要等于n-ra。对吧，这个个数得满足这个n是什么呢？

n是a的列数，你个数要满足你有几个人呢？你有s个人s等于多少呢？等于n-ra。好了，这是这个问题，然后第三个事情呢，你还必须线性无关。对吧，你还必须是线性无关的。所以基础解析是我们在这种当中非常关键的内容。找到了基础解析，给基础解析加上任意常数的系数就是通解。所以这是一种非常非常重要的操作基础，解析基础解析是黄金重点内容，

哎，我记得这个。上次过程当中，讲义是不是还有个题我们？好像没有讲哎。是吧，这里面当中还有一个题来，我们来看看四点五这个题。啊，基础解析是不不唯一的，我们把这个题讲一下吧。来看看这个题。虽然这个题啊，是一道这个证明题，我们不考证明题，

但是你要注意这个题很重要，非常的重要，就是我们在这个考试过程当中啊，他经常让你去判断哎，这个人。是不是它的基础解析，所以接下来我们一起来看看这个事情来，先来操作，以后过程当中啊，我们还有几个重点的事情要进行复习。那么，首先我们先来看看第一个问题来走。他说了一个事情。呃，这个是敲多了啊，

我们把这个改一下，这是三个。他说了一个事情，他说阿尔法一阿尔法二阿尔法三是其次线性方程组的一个基础解析，大家注意啊，这句话很牛。人家说了，这三个人是基础解析。那如果是基础解析，立即蹦出三个事情，第一件事情，那么你发现它们必须都是谁的解？必须都是其次解。必须都是其次解，必须都是其次解好了，

这是第一件事情，第二件事情必须线性无关。好，这是第二件事情，第三件事情你的个数就是s来数个数，一个两个三个说明s等于几啊s=3。要注意啊，基础解析这个词非常关键，我知道这个人是基础解析，他的个数就是s。对吧，你有几个人s就是几个，这是要注意的问题啊，把它想清楚就说这个基础解析它比那个什么线性无关解要更重要。基础解析这几个字很重要，

你的个数就是s。然后说让我们去证明证明这几个人也是他的基础解析，那么同学们想想，如果要进行去证明一个东西是基础解析，必须要从几条内容上进行证明啊。如果让你进行去证明，那就必须要有从三个事情上证明。啊，必须从三个事情上证明，那么首先第一个事情你必须是它的解。对吧，你是它的基础解析，你必须是它的解，所以首先我们先看看第一个事情，我们验一下它是不是它的解？

怎么去验呢？你发现第一事情你a倍的阿尔法一加阿尔法二。是吧，它就等于a阿尔法一+a阿尔法二。而a阿尔法一=0。a阿尔法二=0，它就是零，然后再验第二个人。阿尔法二加上阿尔法三，那其实就是a倍的阿尔法二。然后是a倍的阿尔法三，那这都是零，然后继续最后一个事情是阿尔法三，加上阿尔法一，那这个结果就是a阿尔法三这个人。

加上a阿尔法一这个人等于零好了，这个时候啊，验证清楚了，这三个人就是它的解。已经是它的解了，然后第二事情再来看个数。那么，请同学们告诉我，这里面当中有几个向量，一个向量，两个向量，三个向量，三个向量，说明什么情况？说明s是三满足的。

你看是它的解又是什么个数，又满足我要找三个人对吧？我要找三个人哎，我确实找了三个人。而且他是什么都是他的姐，然后第三件事情，这三个人必须线性无关吧？必须线性无关，我怎么进行去证明这三个人线性无关呢？已经知道了这三个人线性无关，怎么去证明他？这个事情非常简单啊，这原来我们讲过的，你看见到什么情况，你这个人由我来表示，

你这个什么阿尔法二加上阿尔法三由它表示。阿尔法三加上阿尔法一由它表示，那这个时候怎么办？立即写成矩阵相乘的形式是不是啊？写成矩阵相乘的形式，我们先来看第一行第一列，那是多少幺幺零，然后是零幺幺幺零幺，是不是这个人？那这个时候你发现我只需要进行去看这个行列式为不为零就行了，所以我们来看看这个行列式，那就是幺零幺。然后这个时候减去上面，这是零减去上面，这是一减去上面是负一，

然后这是零幺幺，对吧？这个行列式，它的结果等于二它。它不为零。那这个行列式不为零，我就可以说明什么事情，我们就可以说明它们是线性什么东西啊，线性无关的。好了那么这三条都满足了，你告诉我个事情，它能不能做基础解析啊？能作为基础解析，所以说什么意思呢？就说找基础解析，

就是找一个团队。看看这个团队能不能表示我所有的解。对吧，找一个团队，你发现这个团队行不行呢？这个团队可以，这个团队具有的优良品德有三个，你是他的姐。第二事情，他们的个数得满足，他是三个人对吧？三个人，而且都是他的姐线性，无关具有这么良好的品德的时候，你就能作为他的基础解析。

你能理解我这句话吧，那这时候你看看这个团队，那这个团队行不行呢？我们再来看里面团队当中有几个人呢？我有三个人。对吧，我这个团队里面当中有三个人，而且我都是他的姐，我也线性无关，我们这个团队也能独挑大梁，然后来表示所有的甲。哇，这段话太棒了，你应该能理解了吧，所以大家注意一个事情，

我们找基础解析就是来找能不能进行去表示所有人。第一，事情个数得满足。第二，事情得线性无关。第三个，事情得是它的解，你满足了。这三个事情，你就能作为什么东西啊？基础解析去表示所有。哎，能理解我的意思吗？就是这个意思啊。好了，

这是这个问题，所以你发现这个基础解析啊，是非常非常关键的，对吧？相当重点的一个内容。那么接下来我要讲一个问题啊，讲一个点，大家好好听一下。那么，请同学们告诉我个声，我注意一条内容。其次，线性方程组。啊组最多勇大家注意，我说的是最多勇。

多少个线性无关的井？有多少个？大家注意啊，最多有多少个线性无关的解？不是说它有多少个线性无关节，我说的是最多有多少个线性无关的节。最多多少？其实你要理解清楚，它有很多解。对吧，它有好多解。那个基础解析其实是这些解的极大无关组。为什么呢？用这些人来表示所有，所以说最多有多少个，

最多有n-ra个。就是s等于多少n-ra个？这叫最多。对吧，最多比如说举个例子啊。我们在这个比如说一道这个齐一个齐次线性方程组，它的s=4。那说明基础解析里面当中有几个？有四个人，这四个人是线性无关的，那你告诉我会不会还有第五个人能让我们这个人线性无关？不会的，对吧？你的解里面最多只有四个线性，无关的不可能有五个人。

绝对不可能有第五个，再让它线性无关的。能理解我的意思吗？但是你想想有没有可能是三个线性无关的？有可能你想一二三四假设是线性无关的，那这个局部不也是线性无关的吗？整体无关。局部也无关。所以说我们说的是什么？我们说的是最多有多少个线性无关的人？对吧，最多有多少个线性无关的人？这是你要注意的，所以在这里面当中啊，我们来看两句话。

我看你的水平怎么样啊？这个操作性啊，比如说经常考试题当中会出现这件事情，你要注意啊，有可能继续去出题的。比如说他一个提战术。说a。这个a是多少呢？这个as=0。他说这个这样讲吧。第一句话，它说阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三。为as=0的。

基础解析，你看这句话。基础解析好这句话，那么请同学们告诉我这句话能突出什么？然后第二件事情他又说了，说阿尔法一阿尔法二阿尔法三。为什么情况为as=0的三个线性无关紧？线性无关紧好了，那么接下来我们来看看这两条内容，分别能突出什么事情？你先来看看第一条内容。他说这三个人是基础解析。那基础解析里面当中的向量个数不就是s吗？那s等于几啊？等于三。

能理解吧啊，这个没有问题对吧？基础解析是一个团队，这是一个非常优秀的团队，那么接下来我们再来看第二条。说这三个人是线性无关的解。那同学们告诉我，你能得到什么，那说明s什么，三大于等于三。你有三个线性，无关节。那我也有可能四个呀。我也可能有五个呀，我们应该说的是s大于等于三，

因为最多是s个。对吧，最多是s个，你不会超过s的，你现在是三个线性无关节，我最多的肯定是大于等于零。所以这两条内容你一定要稍微注意一下，对吧？上面这个东西说明了s=3，这个说明什么s大于等于三。要注意了，好了，这个问题我们就讲到这，这是其次线性方程组最多有多少个线性无关节好了，那么接下来我们再来看看下面一个问题。

上次作业做了吗？下去有没有电啊？是昨天讲的对吧？好了，我们再来看看第二条内容。一个齐次线性方程组的求解问题。组的求解方法。那这个求解方法，我们叫什么叫赋值法？啊，赋值法，那这个赋值法呀，其实你发现就是在来找基础解析。对吧，赋值法就是在找基础解析，

那么这里面当中的第一步怎么办？底部将系数矩阵。进行初等行变换，大家注意啊，只能进行初等行变换。化成什么东西呢？化成行阶t。再导行最简。对吧，也就说一定要把这个东西啊，化成行最简矩阵。行最简矩阵找到之后，第二件事情我们再来看，第二步我们再找什么再找。第二步，

我们要找自由未知数。未知数，那这个自由未知数的话，你发现一个事情是怎么找的呢？阶梯口对吧？这个阶梯口的话，你发现一个事，它其实就对应了自由未知数。所以说往往是阶梯空。其实你发现你不找阶梯口也行，我上节课讲过这个事儿，我说那个其实就是列向量的极大无关组对应的那个未知数叫独立未知数。除了独立未知数之外的叫自由未知数啊，所以说我们叫往往是什么东西啊？阶梯口。

对吧，往往是阶梯口叫做独立未知数，往往是什么？除了阶梯口。所以说大家要注意一个问题，那个阶梯口那个部分是什么呢？那个部分是我们的独立未知数。除了那个之外的这个东西叫自由未知数，然后接下来第三步。第三步干嘛呢？对自由位置数进行赋值。对自由未知数。进行赋值，然后一定要注意赋值赋一组。线性无关的值。

这个键盘太难用了。无关的事。好了，这是这个问题，所以说你进行负的就行了，所以我们往往负的是什么？一零零一对吧？如果是三个呢？一零零。零一零零零一对吧？所以说这个问题啊，你要想清楚这事好了，这是我们在上次过程当中啊，讲的这个问题赋值法。对吧，

复值法好了，那么接下来我们再来看一个题，讲讲这个四点七这个题，你这个必须会啊，这是一定会考的。你这想都不用想，他一定会出题的来，我们继续我们来看看这个人。来看一下四点七这个题。怎么做啊？拿出这个系数矩阵来走。截把这个系数矩阵拿出来，那拿出来之后的话就是一负一五负一。然后是多少一一负二，然后这是三，

然后这是三，这是负一，这是八，这是一，然后这是一，这是三，这是负九，然后这是七。拿出来，拿出来之后啊，然后只能进行行变换，不能列一列就飞，然后这是一负一五多少呢？五负一。减去上面零减去上面二减去上面负七减去上面，

这是四。然后继续那么这个时候的话，再减去三倍零，减去三倍呢，你看减去三倍的话，这个人又变成二。然后减去三倍呢。三倍的话，这是负七减去三倍呢，这是四，然后减去上面这是零，然后减去上面的话，这是四减去上面的话，这是负十四。减上面，

这是八。好，这个事情变成这样，变成这样了，之后的话，你看那么这两行跟上面这个东西成比例是不是自动都变成几了？变成零好了，这个题啊，第一下变成零。那变成这样了之后，我们再来看这个时候的行阶梯矩阵是不画出来了。哎行阶梯矩阵画出来了。那行阶梯矩阵画出来之后，我还要变成行最简。要想变成行最简，

你是不得把这个元素变成零啊。除此之外，还需要把这个元素变成一呀。是不是这个事情？你想想你把它上面这个东西一定要变成零，这是必须的，而且这个阶梯口这个位置要变成一，如果这个东西变成一的话，同学们想想。你是不得除一个二？你除一个二了之后，这个人变成二分之七，这是二是不出现了分式，你喜欢分式吗？你喜欢不喜欢我不喜欢。

我很不喜欢，所以大家注意一个事情，在这里面当中，我再给你教一个方法，不要看教材怎么写，那样写法非常的麻烦，我不喜欢分式。所以在这种当中，我们往往把它变成广义的行，最简就行。大家注意，广义的行最简矩阵就行，什么叫广义的行最简呢？这个广义的行最简就说我们这里面当中这个阶梯口。未必需要变成一。

就说我这个东西，我就是二怎么了？我不用变成一。所以接下来你看我怎么把它变成行最简单，你看我的操作这个手法非常重要，那立即把它扩展二倍。你看我把它扩展二倍，扩展二倍变成它，然后往上一加，这变成零往上一加，这变成三。往上一加，这变成二好了，我把这个东西啊，也称为行最简，

但是这种行最简叫广义的行最简。没有必要把这个阶梯口变成一。这叫广义的行最简的画法。所以一定要想清楚啊，就是什么意思呢？我不需要怎么了？把那个阶梯口变成变成一，我就这样变就行了，所以接下来你来听好了，你看我怎么做？如果你把这个第一行写出来。它是二倍的s1，加上三倍的s2，加上二倍的s3=0，然后这是二倍的s2，

减去七倍的s3，加上四倍的s4。等于零啊，这是s4=0。这是I3，这是s等于。那么同学们，你看我们接下来进行去找找什么东西呢？找这个自由未知数。好了，这就是自由未知数，那么找到这个自由未知数了之后，我是不是要给它赋值？那么，这里面当中你就要注意了，

它的手法就出来了。我就要给最后俩人进行赋值。对吧，一个人肯定负几呢，一定肯定负一个数，然后另外一个人负乘零，你看一个人负零。然后另外一个人负乘数，那同学们告诉我，你会发现一个事儿，你负几比较好？你想你负零的话，这两个人就没了。那这俩人没了之后的话，你还想让这个x1和x2被整除，

你告诉我这个x3负几比较好？负几负一，你如果这个x3是一的话，你看你用三进行除二是除不了的，你负几你负二比较好。如果我在这负二的话，你看如果你这个人是二，那这个人就是负三，你看x1就是负三。如果你这是二的话s2是几s2是七，你看这多完美。非常非常漂亮，好了，这是一种，然后另外一个事情，

一个人是零，一个是多少？你告诉我s负几？s负一就行，为什么你s负一的话，你看第一个人就被整除负一，然后第二个被整除负二？这个操作性的手法其实就非常好了。你看这个水平点啊，非常的强。所以你在负的时候的话，我们就给x3和x4赋值有两个自由未知数，我赋两组值对吧？我就赋两组值。我赋两组值的，

之后的话，你继续赋一个肯定是零，一个是个数，一个是个数，一个是零。反正接下来你看，如果这项是零的话，你看这个数负几，它能被整除。如果这个人是零的话，你看这个数负几，它能被整除这个操作性就非常强了。能理解吗？所以这样的话就避免了分式比教材过程当中啊，写的那些方法我觉得要好的很多很多很多。

啊，这叫广义的行最简，你不需要进行去变成那种普通的行最简，把那个阶梯口变成一你变成一的话，你发现就会出现分式非常的麻烦。能听懂吗？那所以将来过程当中啊，你遇到这些事情你也会做啊。好了，这是这个问题。需要我把那个作业当中的哪个需要讲一讲吗？嗯哪，一个。你看看需要我进行去给你们解哪个？哦，

五四六是吗？呵呵呵嗯。你是不是感觉它就不像个方程组？那怎么了？一行就不能不配叫方程组了吗？我一行也叫方程组。那这里面当中有几个未知数啊，来我们写系数矩阵系数矩阵怎么写？那x1这个人的话就是系数是零一零负一不就是这样吗？哎，是不是这个事情你不照样这样写吗？你管它长什么样子呢？你长什么样子的话你都这样写。你第一步不就写系数矩阵吗？你把那个s1s2s3s4的系数，

它只有一个呗。我先说一下啊，你要认为说只有两个未知数，你就说明你太不了解考研题了。那如果只有两个未知数，它应该写s1s2，它为什么写s2s4呢？它就说我愿意好，愿意就那就算了。如果是考试题，他肯定会给你说的。你这最起。我疯了啊。好，我标一下吧。

四元方程。好不好？你在前面标一下。好，你在前面标一下，标一个四元方程组。说让我们继续去解这个四元方程组。这样可以了吧？让我们进行去解这个四元方程组。好了没好，那说明什么事情？说明有四个未知数，你放心啊，我这个题啊，你发现就是让你去解一般情况，

题目过程当中，他会说这个事情的。好来解四元方程组，现在会了吧？我一行怎么了？我一行照样是一行来画行阶梯从哪开始画？你从这画。阶梯口是谁？阶梯口是它。对吧，那么这个东西之外的东西都是自由未知数。那自由未知数的话，那么接下来我们就有三个人。可赛一这一组。cos 2这一组我横着写可以吧，

然后是cos 3这一组。然后进行赋值，那这个方程的话，其实是多少s1减去这个人嘛，然后你去赋，你给谁赋啊？第一个人，你给第一个人负一，然后这俩人负零。可以吧呃，因为这个东西就是行最简，你注意一个问题啊，我再说一下。如果这个阶梯口处是一这种行最简的话，你就赋一零零零一零零零一，

如果这个阶梯口它不是一。那就是广义的行最简，你可以赋别的值。大家要理解我的意思啊，那这时候就是一零零零一零。零零一。哦，大家注意，你不要学的太死板，对吧？谁跟你讲行阶梯就一定是从第一个口开始画的，我们说首行首个非零圆拉竖线。首行首个非顶圆拉竖线。是不是啊？在第一行当中的首个非零圆拉竖线，

第一个是为零非零圆，不能够拉竖线。别别太死板，稍微调一下啊好了，这个人来看这个数。看这个人，那就是零×1+1×s二，后面都是零，那所以说这就是零。来再来看第二事情，一×s二+0×1，后面是零，那所以说还是零。再看第三个事情，一乘s二加上零乘，

它一乘负一，所以说它等于几一。好了，这个事情出来了。跟得上吗？因为你发现这个这个方程是s2-s四嘛。它等于零啊，这是s2-s四=0。如果这个s1是一的话呃，你发现这俩人都负零都负这个负零的时候它是零嘛？对吧，你下面这个东西也可以解啊，一样的会了没？好了，掌握清楚给我回复一吧。

没问题了吧？你不要看这种情况，长成这个样子，你也要会解，而我们的考题还挺喜欢考这种，你不要小看这种事情。来，继续。还有哪个题啊？还有没有？没有的话我们就讲新内容了。五四八是吧？好，来看看这个。再解一个啊，

解一个的话，我们就开始了。好，继续呃，这个我不想画行阶梯了，我来我来算了吧画吧来。第一是多少一负80，这是二，然后这是二，这是四，这是五，这是负一，然后这是三，这是八，这是六，

这是负二。那么，接下来我们来一起来看看，以第一行为基准，这是一负八，这是十，这是二，减去二倍零。减去二倍，这是20。减去二倍的话，这是负数。减去二倍的话，这是负。然后再看减去三倍零。

三八二十四四八三十二。然后减去三倍的话，这是负24。减去三倍的话，这是负几呢？负八。那么，约掉一个五那这是四。约掉个五，这是负三，约掉个五，这是负一。然后这个八倍刚刚好把这个东西消成零。所以这个人就变成了这个样子。那这个时候你看这个阶梯口就是这样。

那阶梯口是这样的话，同学们想想一个问题。你如果把这个什么把这个位置你变成一，那这个时候的话，这个后面会出现分式非常不好。所以把二倍先加上去，直接来。二倍加上去。加上去之后的话，这个人变成零二倍，加上去变成四二倍，加上去变成零好，我们就做成这样，用广义的就行了。那这个时候去找一下这个什么，

找一下这个自由未知数，自由未知数有几个呢？有两个就赋两组值。就负两组值。对吧，负两组值。那么这个时候你可以写一下，这是s1+4倍的x3=0。四倍的s2-3倍的s3-x四=0。那这时候我们来看看。你。一个人负几呢？一个人负他，一个人负零，你负零的时候不要看这个人，

你这个时候等于多少的时候他能被整除啊？那很明显，你看这个人四的时候才能被整除。对吧，你这个人是一他能被整除，但是公共的，所以我要负几我负四。我负四的话，你看看第一个人，如果这是四的话，这是四四一十六，那就是负16。然后再看第二人四倍的，它减去四那这人就等于三。好，

这是第一个人，然后这个时候这个人负零你负零的话，这个人就不堪了，那你告诉我s负几能被整除啊？负四吧，你负四的时候这个人s2刚好是几是1s一是几s1是零？好了，这就是基础解析，那基础解析找到了之后啊，给这两个可在前面加上k，那这东西就是通解。会了没啊？不难的啊，这个非非常好解，你多解一解，

就这一年的话，过程当中啊，没事干的话，解两个方程组啊，这个我觉得。这种运算能力啊，是必须要的。答案不唯一选择题咋整？哪个答案不唯一呀？哪个答案不一样？你不用想太多啊。你按照这种方式解出来这个东西啊，一般就是这个人。啊，一般就是这个人。

好了，这是这个问题，那么接下来我再说一下。你来观察一个特点，你看你as=0。你给这两边东西的过程当中啊，你同时乘个k。它还是零。啊，大家注意一个事情，你看你as=0。你给这个人乘个k，他也是零什么意思呢？就说如果这个x是其次线性方程组的解。那这个ks啊，

也是这个齐次线性方程组的解。啊，也是这个人的解，所以说有些同学说那我出现了分式，你可以乘个系数，你去看看。你给它乘个系数。那有的说那个原来过程当中，我进行乘这个分数啊，你给它乘上一个倍数，它还是这个等级。所以说一个其次线性方程组解扩展一个倍数，它也是的，你比如说有一个解它是多少四分之一零？四分之一一对吧？

那这个时候你给它乘个四倍就是一零一四，那这个解也是它的解。所以这里面当中要注意啊，如果你算出来是分数啊，你把它进行扩展一个倍数，仍然是这个人解。啊，这是要注意的。其实很简单，一个问题，你如果的话，这是出现分数，你还想想刚才的通解，通解前面是不是k呀？你把四分之一提出来，

你把四分之一倍的k写成新的k不就行了。这是一样的。好了，这个事情我们就讲到这跟得上我的意思吗？所以如果你算出分数，对其次线性方程组而言。扩展一个倍数仍然是它的解好了，这是五四八这个题。过去了，可以吗？好这个题啊，我们就说到这。所以说对这个方程组的求解啊，是非常关键的，你下去过程当中啊，

多做一下好了，那么接下来我们再来看一个题，下面这个题啊。你想听就听，不想听记结论。大家注意啊，这个东西你想听就听，不想听就记结论啊，这个题。那么这个东西啊，原来过程当中我给你讲过一个事情，你还记得质的公式吗？那吃的公式啊，当时过程当中啊，有两个东西，

我们没有真。有两个东西没有阵，一个东西是这个阵。还有一个东西是越乘越小，就这两个公式，我们没有真那么今天过程当中，我来给你证一下这个人。啊，这个基础班嘛，为了保证这个知识点的全面性，我还是给你证一下，所以说这个证明呢，你简单听一下就行。你如果不想听呢，那你就不听了，

你要这个结论，这个结论特别重要，一后我会总总结的，那么首先我们先看第一个事情。他说，已经知道a×b=0，然后进行去证明a这个认知，再加上b这个认知。小于等于n。这个n是什么呢？n是a的列数b的行数。呃，这个证明题啊。是我进进入这个两千一五年去这个新东方讲课的时候啊，然后的话，

这个面试题啊，然后让我进行去。现场讲一下这个啊，当时有一个老师年纪挺大的了啊，这应该八八十多岁了吧？啊叫尤成业老师啊，这个是一个北北京大学的一个数学系的一个教授，当时在北京新东方，然后的话面试题。来，我们来看看这个事情。来证明一下。他说，已经知道AB=0，对吧？

AB=0，然后让我们继续去证明a的值，加上b的值。小于等于n啊，怎么去证明呢？我们一起来看看。第一件事情我们是这样做的，我可以把这个b啊写成一个列分块阵的样子。对吧，把这个人写成列分块阵的样子，它有多少列呢？它有s列，所以我们去看看它的第一列是阿尔法一。它的第二列是阿尔法二，它的第s列是阿尔法s，

这是等于零。这没问题吧，来继续，我们再看那这个东西就可以分配进去啊，那就是a阿尔法1a阿尔法二，然后一直进去a阿尔法s。等于零对吧？分配进去，那分配进去了之后的话，这个东西等于零。哎，这个东西等于零，那这个东西等于零的话，你发现不就是a阿尔法一=0？a阿尔法二=0，

然后一直到多少a阿尔法s是不是都等于零诶？那这件事情你要注意，你看我马上得到一个重点，好好听啊，记下这个重点，你得知道。我就知道什么情况，我就知道阿尔法，一是as=0^2程组的解吧。是吧，你看阿尔法一满足as=0啊，阿尔法二也满足阿尔法三也满足阿尔法s也满足，而这些阿尔法是谁呢？这些阿尔法不就是b的列吗？所以说我们就得到一个事情b的列。

b的列向量。均为什么情况？均为这个齐次线性方程组的。且非常重要，把这东西给我标出来。只要见到AB=0，首先第一件事情我们就知道了，这个b的这个列向量均为as=0的方程组的解。对吧，你们怎么你好好听课行不行？你们怎么能那么皮呢？对吧？这节课大美妞是逃课了是吗？他比我还火啊，这个我看看他发的帖子。

这个啊，就昨天发了一个什么发了一个，这个我开始讲英语了是吗啊？来，我们继续啊，我们再来看。那你要注意一下第一个事情啊，第一个事儿就什么问题呢，就说这个b的这个列均为as=0^2程组的解。对吧，均为这个方程组的解啊，这是第一个事情，能听懂吧，哎，所以我们将来只要见到AB=0，

立即反应。b的列均为as=0^2程组的解。那么，同学们想想一个事情。你这个b的列均为它的方程组的解那列的质是不是就是它线性无关的解啊？所以这里面当中，我们就来看第一个事情，我就知道一个事，那阿尔法一阿尔法二一直到阿尔法s。你看这就是什么情况，这就是这个人的值。那这个质是什么东西呢？质就是它的线性无关的个数。能理解吧，哎，

这就是它线性无关的个数，也就说我为什么去求它的质呢？我就看看你这个列当中有多少是线性无关的。那我现在就知道了，这么多的线性无关的解，而你发现我最多有多少个线性无关解s个，你是不会超过我的。对吧，你是不会超过我的。你这些人的质就是我现在这个b的列当中的线性无关的个数，那也就说我知道的线性无关的解的个数。但是我最多有多少个线性无关解呢？我是s个s等于多少s=n-ra？对吧n- 2 an是a的列数，那么所以这个人呢？

列向量组的值就等于矩阵的值，然后就小于等于多少，小于等于n- 2a？所以说这个时候立即就出来了a的值加上b的值小于等于零。n是什么呢？n是a的列数b的行数，所以说这条内容也非常关键。这就是我们在考研过程当中啊，会进行去考AB=0的黄金重点内容。至于这个证明呐，我觉得也不是说特别难，我相信同学们应该能理解，你看你的b的列都是我方程组的解。你是我方程组的解，不代表你是我所有所有的解，

能理解吧，那接下来我去求你的质呢，我就看看你当中有多少线性无关的。对吧，我现在知道有这么多线性，无关的解，而我最多有s个线性，无关的解，你不会超过我的。那这样的话，我们就证明完了，当然我们在考研过程当中啊，我们是不会考这个证明的。对吧，这个证明呢，

是不会出题的。证明肯定不会出，但是这个AB=0黄金重点内容，把它给我记到笔记上来，我们一起来看看。考研重点黄金重点内容。定式思维。AB=0。就是如果我们在考研过程当中啊，见到AB=0这件事情，大家注意就说，如果我们考研当中只要见到AB=0。对吧，只要见到AB=0，我立即会反映两件事情，

好好听课啊，对吧？好好听课，上了我禁会言吧啊。所以说只要见到AB=0，立即反映两个事情，第一事情b这个人的列均为什么情况？均为as=0^2程组的解，这是要注意的，就是后面这个矩阵的列都是这个as=0^2程组的解。然后第二件事情我们就知道a的值加上b的值小于等于nn是什么呢？n是a的列。b的行。就是那个交叉的部分，对吧？

我们两个东西要想能相乘你的列得等于我的行，就是那个交叉的部分，就是那个n。所以只要见到AB=0，立即反映两个事情，把这个东西啊记成重点啊。考研中的黄金重点内容。只要见到AB=0，立即反映两个事情，第一事情b的列均为as=0^2程组的解。第二，事情a的值加上b的值小于等于nn是a的列数b的行数。听懂我的意思吗？好了，这个问题啊，

我们就讲到这，那么接下来我们一起来看看下面一个题啊，看一下四点九这个题。呃，你只记结论可以啊，没有任何问题。好吧，来我们一起来看看这个事。那么，接下来我们来看看这个方程组，它说这个线性方程组的系数矩阵为a。啊，就说这个系数矩阵呢，是a矩阵。然后有一个三阶非零矩阵。

不为零能听懂吧？哎，这个矩阵呢？是不为零的，那矩阵不为零什么意思啊？肯定有一个元素不为零。对吧，绝对有一个元素不为零。然后又说AB=0，让我们去求lambda。那拉姆达是谁呢？拉姆达应该在这个什么？在这个a这个零里面啊，在这个系数矩阵里面啊，这是一二三。

然后这是二负一，这是一，然后这是负二，这是拉姆达，这是负一。是不在这里面，那么接下来我们来看看这个题怎么操作呢？那么，这里面当中的一个事情。啊，你睡就睡了啊，你不要告诉我这个还广而告之。你偏要让我说你的啊。来，我们继续吧。

所以这里面当中啊，这个a这个人啊，就是这个系数矩阵呢，它就是啊，就是这个a那么这个系数矩阵里面当中啊，这个系数矩阵就是a里面当中含有兰姆达。那么这个题怎么进行处理呢？我们有两个方向性，你来看第一个事情，我要进行去求解拉姆达，我必须要知道a。对吧，我要知道a的情况，所以我们先来看看第一种方法，方法一。

我只要见到AB=0，立即反应什么，立即反应a的值，加上b的值小于等于a的列数b的行数是不三。这是不是定式思维？我只要见到AB=0，立即写它好，这是这个问题。为了知道a必须要看BB这个人什么情况呢？因为这个人不为零，立即反应b的质是大于等于一。对吧，矩阵不为零，大于等于一，那你想想一个事情，

你都大于等于一。我加上了一个比一大的，还比三小，你怎么那么菜？那就说明什么？你肯定是比二还小。对吧，我都大于等于一了，我再加上你还要比三小，那你非常菜啊，你肯定是小于等于二，你小于等于二，你肯定小于三。不满值不满值啊，行列式等于零。

一个行列式等于零，我们就把它解出来了，所以说接下来我们来看看这个行列式，那这个行列式的话就是一二负二。减去二倍零对吧，然后减去二倍，这是负五减去二倍呢？兰姆达加上四。然后再减去三倍零，减去三倍，这是负减去三倍，那这是负。然后再继续减去上面，这是零减去上面一减m的。所以说等于负五倍的一减拉姆达，

然后这个结果等于零拉姆达就等于一。能听懂吧？好，这个题不是特别难，但是你要有思维方式，你见到AB=0，你怎么去想？我只要见到AB=0，我立即反映两个事情。一个事情就是质的情况a的值加上b的值小于等于a的列数b的行数。是不出来了好，这是一种方法来继续，我们再来看。还有没有方法呢？我觉得还有再来看看方法二。

那么，这里面当中，我们看到AB=0，我只要见到AB=0，我还能想到什么事情？我还能想到。b的列。均为什么情况？均为as=0^2程组的解哦，你的列都是我的解。而我们都知道，这个b矩阵呢，是不会为零的。对吧，不为零，

如果这个矩阵不为零，肯定有一个元素不为零，你赞同吗？它肯定有一个元素不为零，这个元素至于在哪无所谓。你肯定有一个元素不为零，你肯定有一个元素不为零，那就说明这个元素的这一列不为零。能理解吗？好，这是这个事，所以说我们就说明什么事情。诶，因为这个人不为零，马上就说明as=0，

有什么解有非零解。没问题吧，有非零解，那既然有非零解，立即就说明系数矩阵的值小于列数。立即就可以说明a的行列式等于零结束。你看这两种方法就是走了两条路线，我只要见到AB=0，我立即反映了两个事情。一个事情是a的值加上b的值小于等于a的列数b的行数，这是第一件事情，第二件事情那就是什么？你这个人的列均为我这个方程组的解。你不是不为零吗？你不为零的话，

你看你肯定有个元素不为零，你这一列肯定不为零，你这一列不为零，就说明我有非零解。我有非零解，我系数矩阵小于我的列数行列式等于零。方阵嘛。好了，这两个方法都是非常棒的。能琢磨清楚吗？这非常关键啊，这个定时思维能力。好了，这是这个问题，过去了可以吗？

能学清楚吧，我相信应该没问题啊，来这个点过去了。那么，接下来我们继续，我们再来看看下面一个问题啊，这是刚才这个题。来再来看个题，四点一零。大家注意噢，这个题。你最好把它给我变成一道填空题来做，我知道这个题是个选择题，这个选项出的不好。啊，

这个题的话，是我把那个有一年的这个真题给你切进来了。但说实话，这个真题的这个选项出的非常差劲，由我出，我肯定不会那样出的啊，我们一块看看吧。来琢磨一下这个事情。它给了a。然后说a的值等于二。也就说那a的值等于二行列式等于零没问题，但是同学们，你发现没这行列式你求不了。你这里面当中有三个待定参数。其实你发现我可以把这个题出的更狠一点，

你比如说你再来一个，你在这写个d。也行啊，你看你这写个d，你有四个参数了。对吧，然后在这里面当中，你再写个f。啊，然后的话，你看这里面当中有五个参数了，这都行，这个题我这样改都行。所以大家一定注意一个问题，也就是说什么意思呢？

就是说这里面当中的待定参数是求不了的，你不要想方设法说哎，我这个值等于二，我就把a求出来。你把a求出来之后的话，你发现你把伴随求出来不可能。我绝对不可能让你做成这件事情，那这件事情就一件事情，一个问题就说什么，你就脱离了这个考研方向，你根本就没有理解这个题考什么？所以接下来我们一起来看看这个事。那么，像这种问题啊，大家注意。

这个东西是求不出来的，我们把这个方程组啊，叫抽象性的方程组。大家注意啊，抽象型的方程组。这是解不出来的。解不出来的，你不能进行，就按照那个什么，我说把这个系数矩阵拿出来进行行变换，把它解一下，解不出来。这种叫抽象型的方程组。我不知道你系数矩阵到底什么样子。所以说接下来过程当中，

我们去找通解，找通解的核心是找什么？找通解的核心是找基础解析。对吧，这才是我的核心，我要找基础解析，我要找基础解析，找什么东西呢？你就要注意，你就要找。几个？线性无关的。无关的。其次，线性方程组的解。

这是一个重点，所以你必须要知道s。你要找几个线性无关我的姐呢？你找几个线性无关的我的姐。就能作为我的基础解析，找几个呢？那这个几个是非常重要，那不就是s吗？那s的话，这人怎么求呢？s1定要把这个质进行求出来嘛，而我们都知道根据a的质是二，请告诉我伴随的质是多少？是多少？我们讲过，

你看你这个a这个人，你是三二一零，你伴随这个人呢？你是三，我是三，你是二，我是一，剩下是零，现在你是二，我肯定是一，所以说这是一，所以这里面当中的sa这个人等于多少？等于三减一，这就是二。所以说这个题的话，

你发现个事，对于这个题而言，它的s是二，那s是二，就说明我期初解析里面当中一定拥有两个向量。对吧，我基础解析里面当中必须要拥有两个向量。一定得有两个，有两个向量的话，你再来看看这个题，那这个题就出的非常的菜了。那猜的点在何处呢？你发现没发现只有d选项，它是可以的。所以说这个题出的不好，

你应该再出一个来进行干扰啊。但是你发现你没有出现一个人干扰，我直接进行去选d了。所以说这个题出的非常不好。你做到这一步就做完了。对吧，难度系数一点都没有。所以接下来过程当中，这个题非常典型，把它给我标成重点黄金重点题啊。来那么接下来我们继续，我们再看那怎么处理呢？我让你把它变成填空题做呢？或者我想知道你，你刚才那个选项的来龙去脉的，

你基础班嘛，你要学好一点，你怎么去做呢？来我们来看看，那我就知道我要找两个。我要找两个线性，无关它的解。那这个时候你看看我见到伴随矩阵，原来我就讲过，只要见到伴随矩阵是不立即会想到万能公式啊。a的伴随乘上a=a的行列式乘上一，而你这个人是不满质的，你不满质行列式不就是等于零吗？所以说是不是等于零？哦，

这个时候我明白了，我明白什么呢？我见到两人相乘等于零，马上就可以说a这个人的链。均为什么东西呢？均为a星乘上x=0^2程组的解明白了，明白什么事情呢？你这些列啊，你看你这一列我的解。你这一列我的解你这一列我的解。是不这个事情，你看看这三个人都是我的姐。这三个人都是我的姐，但是我要找姐找什么，我要找线性无关的姐，

我要找两个线性无关的，你来看看不成比例，线性无关不成比例，线性无关不成比例，也是线性无关。所以说对这个题而言，你发现一个事有几种写法，那这里面当中你可以阿尔法一阿尔法二阿尔法三，你选谁呢？你选k1阿尔法一。加上k2阿尔法二行不行？你也是可以k1阿尔法1k二阿尔法三行不行？你也可以是k1阿尔法二+k什么东西啊？k2阿尔法三行不行都是可以的。那这几个选项都是可以的，

所以说这题出的菜。要我出更不会这样，出了我一定会在里面当中出现一个什么呢？你想想它的质是二。它的质式二肯定有两个人是线性无关的，我就会怎么出啊？我出这一组是线性无关的，另外一个东西跟前面是线性相关的。你看多好，那这个时候这个题的结果只能选这一个答案，别的答案都不行啊，所以说我就简单说了下我的思路。你能听懂我就行了哎，能跟得上吗？基本点。

好了，这是这个事情。问一下，已知矩阵值求伴随矩阵。不不不，你不能这样啊。啊，好了，这是这个事情，你可不能这样啊。这么重点的嗯，怎么都能忘呢？这不能忘啊，这绝对不能忘。好了，

这是这个事情，这个题非常好吧。非常的好。非常方非常棒，这个题啊，你值得多做。你做上个十几遍。我将来知道抽象型的这个人，我就找基础解析，我要找几个线性无关它的解几个呢s个。对吧s是谁？你要把它s求出来好了，这是这个。不好吧，我的这个。

又不太想批评你啊。那下去得好好进行复习了，对吧？那个很重要，很重要的东西，你可不能这样啊。好了，这是这个事情，我们就讲到这过去了，可以吗？我们就说到这，那么接下来我们再来看看最后一个题。啊，最后一个问题，那就是方程组的综合题，

所以说最后一个题目啊，就是拔高题。哎，大家注意最后一个题目属于拔高题。像这个拔高题啊，我觉得通过这个题的话，你能进行去复习很多内容，你把很多知识点你都复习了。所以说这个题好好听一听，然后这个题目啊，也可以跟着我们一起来把这个齐次线性方程组的内容，然后做一个完整的一个闭环。啊，我们来看看这个八个OT。那么，

像这种问题啊，它设计了什么东西呢？设计了其次线性方程组。的判定。对吧的判定问题，还有求解问题。有其次线性方程组的判定问题。有其次线性方程组的求解问题。判定问题求解问题。那么，如果是判定问题的话，大家都知道我们可以走两个方向。一个方向走什么路方向呢？大家注意这个判定这个事情。一个事情可以进行去走知的方向。

一个可以走行列式的方向。哎，这是这个事情，然后求解呢，其实就是把系数矩阵进行初等变换，画到行阶梯，画成行最简，然后就出来了。所以这个题我觉得对我们三九六同学基础班做非常的完美啊，非常非常完美，到了这个强化班的过程当中啊，我们基本上都是这种。嗯。呃，强化班的过程当中啊，

有个别吧。但是这种非常少。就是几章下来的过程当中啊，只有一两个像这种题对吧？就是比如说这种解答题，我里面为什么加这种题呢？因为你是复习的同学。我只有一两道会这样，然后基本上全部都是像我们的考研真题当中的这种选择题，全部都是五个选项的，这种选择题。所以我觉得这个基础班的过程当中啊，做这种题非常非常好。这一道综合题下来，你能复习好多好多知识点来，

我们一起来看看，看一下这题来解吧。提问那么，他说给了一个齐次线性方程组。说ABC满足何种关系的时候，方程组仅有零解。同学们，想想这是解的判定吗？解的判定就是两个方向，你要不然用行列式，你要不然用什么东西呢？诶，要不是用行列式，要不是用值，我把这个系数矩阵写出来，

1 AA方1 BB方。ecc方。是不这个事情，那大家想想这个人用什么？你是用行列式简单，还是用质简单？这题很明显，一个事情我肯定用行列式啊。这不就是范德蒙吗？对吧，这是范德蒙啊，你第一列是a，第二列是b，第三列是c，那就是多少b-ac-a？

然后是c-b这会吧啊find吗？好了，这是我们讲的这个第一个事，那所以第一问就出来了。那什么时候仅有零解呢？大家都知道，如果行列式等于零，它是仅有零解的什么条件充要条件？哎，这个时候仅有零界。这充要条件行列式等于零，仅有零解，仅有零解行列式等于零充要条件，当然是方阵的时候。方阵的时候。

所以说这个时候你发现它行列式，如果不为零。我就能推出a不等于b也不等于c的时候，它就怎么了？它就仅有零解。仅有连接好了，这是我们讲的这个第一个事情来再来看第二问。第二问呢，它问什么时候有无穷多组件？无穷多解，不就是用非零解吗？非零解前面加k不就是无穷多解吗？是不这个事儿，所以这个问题啊呃。上面哦，

不为零。好了，这是这个事情，能跟得上我的意思吗？所以你要想清楚这个问题，然后接下来我们再看无穷多组解无穷多解的话，其实就是什么有非零解。一旦有非零解加个k，那就是无穷多解，那什么时候有非零解啊？当然是行列式等于零的时候，那么请同学们告诉我有几种情况？让这个人等于零，有几种情况。那么，

首先第一种a和b相等，但是不等于c行不行？可以啊啊，这种情况可以，还有什么a=c，但不等于b行不行也可以啊，这第二种可以。然后第三种是什么b=c，但是不等于a行不行？可以啊，难道仅仅只有这几种吗？大家注意一个问题，还有一种，还有一种就是a和b和c都相等。要注意一下这个事，

所以你一定要听清楚一个事情，它应该有四种情况。对吧，你俩等跟别人不等，你俩等跟别人不等，你俩等跟别人不等，你也可能是都相等，所以有四种情况。你所以说这个题啊，我觉得非常好，为什么给你们选进来呢？原来过程当中，我想过这个事情，第一个事情你发现能复习范德蒙，第二事情复习了解的判定，

第三个事情我们多做一下这个方程组的求解，所以通过这个题啊，能训练的很好。所以多做一做啊，这个基础班嘛。然后接下来我们来看，把这个系数矩阵写出来，那这个系数矩阵写出来就是1 AA方1 BB方，然后这是多少？那这个b跟a是相等的，所以说还是1 AA方，然后这是多少CC方没问题吧？来进行行变换。以第一行为基准，幺幺幺减去a倍零a倍零减去a倍c减a减去a方倍c方减a方。

那这时候我们再看，因为这个c和a不相等c和a不相等的话，我们就可以同除以这个人的分之一。或者是同乘上这个n分之一，同除以这个变成一，然后再把a方减c方倍加下来，它就变成了零。哎，注意啊，然后把它加下来变成零，然后再看把这个东西的负一倍加上去返销下变成零。好了，行，最简出来了。因此啊，

它就变成了这个样子，给这个赋值赋值的话，你看它这个基础解析里面当中只有一个人。你这个人肯定是一呀。对吧，那这个人就是负一啊，这人就是零，能不能看懂，所以通解就是k1倍的cos塞因，然后求k1为任意常数，我就不写了。能听懂吗？好听明白了给我回复一通解是k1贝塔基础解析嘛？好，这是这个人。

还可以吧。那所以你看这个题，它能帮助我们进行去训练一下这个方程组的求解能力。所以这个题很好很好，来我们再来一个再看第二个人。a这个人那么现在是1 AA方1 BB方1 AA方。是不这个人来，我们继续进行去变换，还是幺幺幺减去a倍零减去a倍b减a减去a倍零？零减去a方倍b方减a方，这是零。因为a和b不相等，然后一除以它变成一，然后a方减b方被加下来，它人变成零。

所以说这个时候啊，你发现就画成了行阶梯，然后把这个人的负一倍加上去变成零，然后怎么办呢？给这个人赋值。对吧，给这个人付你付多少？你发现负一吧负一，然后这是负一，然后这是解这是零。所以通解是k2可塞尔k2为任意常数，你看这个人。会了没？还可以啊，对吧？

这个题所以把它变成行阶梯，再变成行最简，然后一操作就出来了。行阶梯，行最简一操作就出来了。好，这是这个问题。好了吗？同学们哎，这个问题来我们再来看下一个事情，你多做几个，你还能进行去把方程组的求解多练练。来再看这个人，那就1 AA方1 BB方c和b是相等的，1 BB方。

好这个人，然后接下来我们进行去变换，幺幺幺减去a诶，我问一个事情。好告诉我事情，接下来你是销a还是销b啊？你会削谁？消a还是消b？那这时候的话，我们这里面当中出现这个人，你是把a消了还是把b消了？把谁消了？削谁啊？不会削b的。那同学们想有同学说那b有两个任务，

肯定需要b啊，你见过我们，我们原来说画行阶梯行阶梯。你难道有阶梯口是从这儿开始走的吗？大家注意，我们都是从第一列开始消。你不要说签两个相同，两个相同，咱们十个相同都没有关系，我都是从第一个人开始销，你注意啊，行阶梯行阶梯。你想是不是啊？所以我们减去a倍，这是0 b-ab-a-a^2倍b方减a方。

b方减a方。要注意一下这个事情。然后b和a不相等，同时除以它变成幺幺。a方减b方加下来，这人变成零零。所以说这个人变成这样，然后反加上去变成零变成零。能理解吧，然后就变成了这个样子，大家一定要灵活哦，给这个人负cos 3 cos 3负几负一。第一人是零，第二是负一。好了，

这是这个结果。能听懂吧？好，我们把这个东西写完了，然后最后一个事情再看最后一个人。最后一个人的话，我们继续看，这是1 AA方1 AA方1 AA方。是不做成这样，那做成这样了之后，我们继续看。呃，然后接下来。哦，你别列变换哦，

可不能列变换，然后这个时候的话，幺幺幺，然后一消变成零一消变成零，哎呀，做成这样。你做成这样了，之后的话，你看它只有一行是不给这俩人赋值啊，有俩人就赋几组值赋两组值。可赛四和可赛五一个负一，一个负零，一个负零，一个负一。如果你看一再加上一，

那这人就是负一。那这人也是负一。没问题吧？那这个通解就是k4克在四+k五克在五。好了，这些问题啊，都能听得明白，请给我回复个一，你觉得这个题怎么样？还不错吧？我觉得通过这个题的训练呢，你应该达标了一个事情，达标了一个什么问题呢，就说我们至少而言犯的蒙血了。对吧，

判定进行去考了，然后这个方程组的求解，我们还练了一堆，那我觉得通过这个题的训练呢，你是有提高的。好了，这是这个题，我们就讲到这。过去了，可以吗？哎，所以说你下课过程当中，你好好思考一下这个事情，行吧，我们稍微休息会，

一会我们继续啊。稍微休息会，一会我们再继续。休息会儿吧啊。

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