09.向量组的极大无关组与向量组的秩-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:58:03

呃，下课过程当中有没有把它想清楚啊？记清楚啊，如果这个向量组的值等于它的个数，那这个时候我就可以说明这个向量组啊，它是线性无关的。小于个数是相关等于个数是无关，把它给我记死啊啊，我们还是稍微我有点不放心，我还是写几个我们来看看。那么，接下来我们来写几个例题啊，你稍微进行去瞅一瞅啊，这个内容非常重要。比如说这里面当中，

我们先看第一个事情。如果一个题啊，它说阿尔法一阿尔法二阿尔法三阿尔法四。对吧，它的值等于三。说明什么东西啊，然后再看，如果阿尔法一阿尔法二。阿尔法三阿尔法五，它等于四，这又说明什么东西啊？好，先看第一个事情，那么这里面当中第一个事儿，它的向量组的质等于三，

而它的个数是谁呢？它的个数是四个。对吧，我有四个人，你们的制裁是三，那说明什么？说明是相关。好，继续再来看。这个向量组的值等于四，而你发现它的个数呢？它的个数也是四，那这人是相等，那相等什么关？相等不就是武馆吗？

所以说小于个数是相关等于个数是无关。小于这个个数，你们就是相关等于这个个数，你们就是无关好这个问题啊，非常非常的重要。行，都听懂了吧，掌握清楚给我回复一。刚一个同学洗鱼去了是吗？洗鱼同洗鱼的那个同学你理解了吗？应该是小杨同学是吧？来，我们来看个题啊。看一下三点七这个题。那么，

首先大家注意啊，今天从今天开始之后，你把这个事情给我想清楚，把它给我记到脑海里面。我把这个东西啊，先给你写到上面。来看看定时思维。确实是。好，我们先来看看定式思维。啊，注意，只要见到信息相关性。立即想到。用定义。

用之啊，用之使用。能听懂吧，哎，只要见到信息相关性，立即想到用定义用之。注意这个东西啊，一定要把它想清楚，用定义或者用智能用智就用智。只要我们见到线性相关性，立即想到用定义或者用质能用质就用质，能用质就用质，用谁的质呢？用向量组的质其实就是矩阵的质。向量组的质等于个数是无关小于个数是相关大家能听清楚吗？

来再看上节课的这个题。这个题还记得吗？我们上次过程当中是讲过这个题的，当然我们有一种非常好的方法，就是粘稠法可以漂亮，然后再用定义法。那么，今天我们再讲一个非常好的方式来，首先来他已经说了，说这个向量组它是线性无关的。来赶紧写，见到无关，立即说明这个向量组的质等于个数。小于个数是相关等于个数是无关，他说则下列当中是线性相关的是。

那么，首先我们在讲这个问题，之前呢？我要介绍一个内容，这个内容非常的关键，我希望同学们好好听。这个东西啊，叫做我把它称之为线性代数的第一定式思维能力。第一定是思维能力。你可想而知，我给他定位非常的高，这叫第一定式思维能力，那么接下来我们来看看这个事情。什么叫做线性代数当中的第一定式思维能力这块好好听啊。我来写一下这个事情。

如果这是北大一，这个向量。贝塔一这个向量，它能被阿尔法一阿尔法二阿尔法三表出。然后这个贝塔二向量，它也能被阿尔法一阿尔法二阿尔法三表出。如果贝塔三向量，它也能被阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三表出。然后我们来看看系数。假设这是ABC。假设这是xyz。这是lmn好了，它能被这个表示。

如果这个向量被这个向量所表示，这个向量被这个向量所表示，这个向量被这个向量所表示。如果一个向量组当中的每个向量都能被这个向量组表示，我就称这个向量组能被这个向量组表示。其实没有关系，就说你就这样看吧，如果你见到一个向量组当中的每个人都能由这个向量组表述。大家注意，我就立即怎么办？写成矩阵相乘形式，不要多想，赶紧写，立即写成矩阵相乘。把这个人顺排形成矩阵。

把这个人顺排的话，这就是阿尔法一，这是阿尔法二，这是阿尔法三来形成矩阵。我再说一遍，只要见到一个向量组中的，每个向量都能被这个向量组表出，立即把这个向量进行顺排。它就会等于这个向量组来数一下，一起写。第一行第一列，你看。第一列就第一个人嘛，第一行第一列谁乘阿尔法一呀？a乘阿尔法一。

谁乘阿尔法二啊b乘阿尔法二谁乘阿尔法三呢c乘阿尔法三。这会写了吧，来继续再来看。那就是贝塔二，那就是第一行第二列，那第二列的话就是x乘上你y乘上你。z乘上一。是不是这个事情，然后我们再来看看第三个人，那第三个人的话就是这一行第三列，第三列就是l这个人。m这个人n这个人，所以啊，就写成了这样的情况。会做吧，

非常容易啊，就说我只要这见到这个向量组能够被这个向量组表出，我立即把这个人顺排。形成矩阵，它就等于这个人乘上这个人。会写了吗？啊，一定要会写啊，比如说我们再来练两个。比如说离。能听懂吧，要会写，那我们继续，我们再来看看啊，这个在写量。

比如说这个贝塔，一是等于三倍阿尔法，一+4倍阿尔法，二。贝塔二=5倍的阿尔法一+6倍的阿尔法二。好，就这样，我见到这个向量组被这个向量组表示，我立即怎么办？把这个人按列顺排。形成矩阵，那这人就是阿尔法一。阿尔法二立即写成矩阵相乘第一行，第一列三倍塔。四倍塔贝塔二呢？

五倍塔六倍塔好了，都会了，给我回复二。好，这是我们讲的这个例一这个题。能听懂吧？好，我们讲到这个人来继续再来看例二。好，我们再写一个，比如说这里面当中，我们写阿尔法一+3倍的阿尔法二。四倍的阿尔法一+5倍的阿尔法，三六倍的阿尔法一+7倍的阿尔法，三。

阿尔法，阿尔法三。来看这个，这个怎么写呢？你看看第一个向量。这是一个向量吧。你这个向量不就是由阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三表示吗？你这个人不也是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三表示吗？你这个人不也是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三表示吗？

你这几个人都是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三表示啊，你看这这是一个向量。一二三表示，然后这是一个向量，一二三表示这是一个向量，一二三表示。对不对？那这个向量的话，能够被这个向量组表示？每个人都是被他表示立即写成矩阵相乘来看第一个人。是一倍它。三倍的啊，三倍塔。

然后第二人呢是四倍的塔，五倍的塔，第三个人呢是六倍的塔，七倍塔。会写了吧？要注意啊，这个向量是由一二三表示的，这个向量是由阿尔法一二三表示的。这个向量也是用阿尔法一二三表示的，就可以写成零。你看这个能力操作性非常强啊。好了，如果你把这个事情掌握清楚了，我们就可以看这个题了。来继续过来吧，

会做了吧？啊，你马上就会发现这个水平点相当的高。好，我们先来看看，给了一个向量组，说它是线性无关。如果线性无关，这个向量组的质就会等于它的个数。对吧，向量组的质等于它的个数，说明这个人的质等于三，然后说则下列向量组当中线性相关的是。我们昨天都知道这个第一个人是线性无关吧，这是我们上节课做的题，

我们先做b选项吧，我把这个题我们都讲讲先做b啊。那怎么进行去判断这个人线性相关系呢？方法一当然是第一。对吧，但是我们还有第二个方法用智。怎么办呢？看这个向量组的值跟谁比？跟它的个数比。它的个数是谁呀？一个向量，两个向量，三个向量跟三比。对吧，就是看这个向量组的质跟三比那，

所以我在这里面当中就一定会想着进行去求解什么。求解这个向量组的值。求解这个值，而我立即可以看出来，这每个向量都是由阿尔法一二三表示的，立即把它写成矩阵相乘的形式。阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三写成矩阵相乘第一行，第一列幺幺零，第一行，第二列零幺幺，第三行幺零幺。这没问题吧？就是看这个质跟三比嘛。

你等于35关小于30相关，而我又看到你每个人都是用阿尔法一二三表示立即写成矩阵相乘形式。来吧，同学们，我们一起来看看。这个题目已经知道了，一二三这个人是线性，无关他的质，等于他的个数是三。对吧，你这个矩阵的知识三我想看这个矩阵的值等于三还是小于三，你怎么办呢？他是不是要依赖于后面这个人？我会看什么东西呢？因为后面这是个方针，

我先看你的可逆性，如果你可逆的话就不便知，所以在这种当中我就把幺幺零。零幺幺幺零幺，我把它写出来。写出来之后的话，我来计算一下行列式，那就是一零一减去上面减去上面减去上面好，这是这个点。然后这是零一一这个行列式很明显不为零，你不为零的话就说明这个矩阵可逆。如果这个矩阵可逆，我碰一下，你给这个矩阵乘上个可逆矩阵不变值，说明这个人的智也是三。

而你发现这个矩阵的知识三这个向量组的值等于它的个数不就是无关吗？所以说这个人呢，是线性无关。是不是出来了，所以你看这个题非常容易，就说我只要见到这个东西，我立即写成矩阵相乘的形式。那我这个知识三，我就想看看你的可逆性，如果你可逆的话，你发现这人也是三。向量组的质等于它的个数不就是五官吗？你看串起来了。对吧，一堆内容，

只要向量组的质等于个数是无关小于个数是相关。好不好？同学们掌握清楚给我回复一。能听懂吗？来再来看一个题。那么上次我们都知道这个CAD也是一个线性无关的，我们就不判断了，我再来给你判断一个线性相关的，我把第一个题我也判断一下。我要看这个人的线性相关性，我不就是看看这个矩阵的值跟三比吗？跟个数比跟个数比的话，我看看这个人。你发现第一个人是有一二三表示，第二是一二三表示，

第三个人也是一二三表示，立即写成矩阵相乘的形式。对吧，矩阵相乘，那么写一下第一个人一负一零，第二人零一负一。第三个人负一零一写成了这样。能听懂吗？好，我们写成这样子，写成这样子了之后，我们再来看你，发现这个人的志是不是散了？那这个人的质是三，我现在想看前面这个矩阵的质不就依赖于后面这个人吗？

我们要用到矩阵的质的关啊，这个公式啊。我们看后面这个人来，我给大家来一个行列式，一负一零零一负一，然后这是负一零一。它的行列式等于多少呢？算一下一零负一加下去，加下去加下去，然后这是多少零负一这行列式怎么办？等于零。哎，你不是可逆的呀，你是不可逆的。那我想问你个事情，

如果这个人是不可逆的，前面这个人一定线性相关，还是不一定线性相关？一定不还是不一定啊。一定线性相关还是不一定线性相关呢？是什么东西？一定不还是不一定。大家注意啊是。一定线性相关还是不一定，一定线性相关啊一定。大家注意啊，我们来看看这个事儿，有人说那这个人我就不知道了，那所以说这个人应该是小于等于三，大家注意啊，

一定的。为什么你听好了？因为这个行列式等于零。说明什么情况？说明这个只是小比赛。对吧，你说明这个矩阵至小于三。而且我们都知道越沉越小吧。对吧，你是三我小于三，我们咔的一沉比三小比小于三的这个人还要小，所以说。这个人小于三。对吧，这个人小于三，

不要说还是一人抽罚抽的快，那么有些题你就瞅不出来，你说你怎么办呢？这方法不学了吗？这这方法特别重要。我再说一遍啊，这个这节课非常非常关键。你可不要这样啊。所以大家听好了一个事情，你看如果这个行列式等于零。那这个人的智不就小于三，你等于三，现在两个议程不是靠你了，而是靠我了，我小于三，

那这个人肯定比小于三，那个人还要小。那这个部分呢？它肯定小于三。那去正的值等于向量组的值小于它的个数呢？小于个数是相关，所以选a。所以这种类型问题啊，我希望同学们要会做总结，对吧？而且一会儿我会给你总结一下，我们有请我们三九六同学一定要快准狠，对吧？啊，这种当然，

如果这个方法跟第一法相比呢？你想想我现在判断这种题，我已经讲了三种方法，第一种方法对吧，你想想一个事情跟定义法相比呢？我觉得是比定义法更胜一筹。对吧，定义法肯定比定义法强啊，第二件事情用智，第三个是严处法。当然，最强的方法当然是颜丑法，但颜丑法你得丑的出来，你丑不出来就拉倒，所以这个东西啊，

你得先看看，不出来就算了。那用智和用定义，你觉得哪个强肯定是用智啊？用之多简单。用这就非常简单了，我来做一个总结，大家来好好进行去听，把这东西啊给我记到笔记上。什么样的一个问题呢说？如果一个向量组。对吧，如果一个向量组可由什么东西呢？可有一个。线性无关。

的向量组。阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三表出。如果一个向量组能够被一个线性无关的向量组标出，那这个时候呢，我就可以立即把它写成。矩阵相乘的形式。你这个向量当中的每个人都能由我来表出。我立即可以把你写成矩阵相乘的形式。这个时候前面这人的线性相关性完全取决于后面的行列式。如果后面的行列式，它不为零。那这人就可逆你线性，无关你的质，

等于个数是三，那你可逆的话，你这个人的质也是三。那你等于个数不就是无管吗？第二，事情如果你这个行列式的话，你发现等于零。等于零的话，这个人其实就是相关的。好了，这就是我们在这里当中串讲的一个非常非常重要的内容，把它给我记到笔记上。就说如果一个向量组能够被一个线性无关的向量组表出。那这个时候他这个前面这个人的现行相关性，他就完全依赖于后面这个矩阵的行列式。

你这行列式如果不为零，你就无关，如果你等于零，你就相关。所以说同学们，你想想，如果是你下一次再遇到这种题，比如说我们二零二四年这个考研出题人，他又出了这道题。同学们告诉我，你会怎么做？我第一步，我会严处罚。我先眼睛去瞅，瞅出来就出来了。

如果瞅不出来呢，我就直接用用智了，但是我现在的水平点特别的高。因为你是线性无关的。你这个人，这个人，这个人都是由这个人进行表示，那这个时候怎么办？我就直接写，你看一负一零。一零呃，这个什么啊？零一负一。然后第三个是负一零一，我就直接把这个矩阵写出来了。

写出来之后，我直接去看行列式，不为零就线性无关等为零就线性相关。你就不用把那一排写出来了，因为你做第一个题，你用了五分钟，你做第二题，你发现你用了三分钟，第三个题，你用两分钟再做第四个题，用一分钟，这就是提高。所以直接把这个矩阵写出来，估计有些看不懂的同学，他都不知道我们写啥，

你看这个人怎么写幺幺零零幺幺幺零幺，直接看这个行列式。对吧，你看第三个人的话就是一负二零零一负二，然后这是多少负二零一行列式写出来？这个矩阵写出来，然后第三个人，最后一个人呢？一二零零一二，然后这是多少二零一？你直接做你的行列式，不为零就可能这个什么线性无关你等于零就线性相关。但是注意一个事情，必须要满足条件。就是你这个人一定要被一个线性无关的进行去表述。

你看你这个人就是由阿尔法一二三表出，你这人用一二三表出，你这个人被一二三表出啊，所以说这个问题。好了，这是我们在这个当中啊的一个基本问题，某一个向量可以有，其余向量。哎呀，你你这个这个同学你学糊涂了啊，你就是学学的，你学你学你学糊涂了啊，这个。不是那个东西。你说的那个东西是我这个向量组当中，

如果有一个向量能够被其余人表出。那叫什么东西呢？那叫线性，这个什么线性相关，我这个人说是这个人能被别人表示。你认为一个自己的人。有点把搞混了。好了，这是这个事儿，我们就过去了。可以了吧？好，这个问题把它掌握清楚就行。嗯哦，那那个可以可以。

好了，这是这个问题哦，我知道你说的这个问题了。来我把这个同学说的这个方法我来讲讲。这同学说的很好，那我就理解你的意思了，我把这个同学说的方法给你讲讲，这个同学说的是另外的第三种方法。什么方法呢？就是我们上节课第一个开始进行讲的这个问题，它我们现在而言的话不就是求解这个矩阵的值吗？不就是求解这个矩阵的值吗？不就是求解这个矩阵的值吗？对吧哎，矩阵的值你听好求解这个矩阵的值啊，

我们在这种当中，我可以进行什么变换，我可以进行列变换。对吧，我可以进行列变换，我怎么做呢？我首先通过这个人干掉他。对吧，我把这个什么东西呢？这个阿尔法一减阿尔法二，我把一倍加过来，加过来就是阿尔法一减阿尔法三，然后这是阿尔法三减阿尔法一。然后这个时候的话，你再进行列变换，

这阿尔法一减阿尔法二，这阿尔法一减阿尔法三，你把这个加过去，这是零。那这个时候这个质呢，肯定比三小。大家能听懂我的意思吗？哎，这个方法也很好。我进行裂变换，我不就求质吗？你初等裂变换不变质啊，你这个部分是零，你这个质啊，你肯定小于三。

所以这个方法很好啊，大家能听懂吧，那我们再来看看b选项，那b选项是阿尔法一加阿尔法二。然后这是阿尔法二加阿尔法三阿尔法三减阿尔法一。我把它进行列表完。列变化了之后的话，这个阿尔法一加阿尔法二负一倍加过去负一倍加过去的话就是他检查，那是阿尔法三减阿尔法一。然后这是阿尔法，这是阿尔法三加加阿尔法一。那这个时候我们就继续，你发现来再来一遍，换阿尔法一加阿尔法二，然后把这个人加过来，

加过去的话就是阿尔法三减阿尔法一。你加过去呢？你加过去的话就是两倍的阿尔法三。两倍阿尔法三如果给这一列乘上二分之一不变值。把这个东西的负一倍加过去，它不变值。把这个东西的负直接加过去，不变值给这个人乘上负一倍不变值，然后把这两列调换，它还不变值，所以说等于一二三。而这个人的智等于几？大家能听懂吧，所以说正确答案选a。那这个方法也很好，

对吧？我可以通过什么东西呢？这个求解这个矩阵的质嘛，就是进行裂变换，那这个裂变换的话，它其实也不变质。所以这个操作性方法也好啊，这个同学下课可以私信一下，你可以去领个必胜套装好不好啊？好了，这是这个。操作清楚。所以这里面当中的这个问题点，一定要把它想清楚，你的核心方向是什么？

我就是来求解这个向量组的值的。如果这个向量组的质等于个数是无关小于个数是相关。好不好哎？等于个数是无关，小于个数是相关。啊，把握清楚这个事儿就行了，好了，这个问题啊，我们就讲到这儿。过去了吧，来再来看看下面一个问题，我们来讲讲这个专题内容，专题图谱。所以接下来我们的核心思想来把这个东西啊放清楚。

如果将来过程当中，我只要见到线性，相关性的，判定性的问题，我们用什么方法呀？其实如果将来只要见到信息相关性的判定，我的核心方法就是两个好，我们先来看看方法一。就是什么用定义？但是其实对我们三九六同学而言，考研如果你用定义啊，一般情况下做题都会很超时。啊，用地一般都会很潮湿，所以我们很少在这用地，

其实就两种方法，用地和用质。还有一种方法就是用值用什么东西呢？用矩阵的值或者叫向量组的值，因为向量组的值和矩阵的值定义不同，但计算一样。注意与个数。与向量。个数进行比较对吧？一定跟这个向量的个数，然后进行去比较。等于个数是无关，小于个数是相关，所以一定要记清楚，你看刚才这个题的把控方向也是我只要看你的线性相关性，

我就看你的质跟个数比。至于怎么去求质呢？就用质的方法去做就行了。用第一，用智用第一，用智把它给我记清楚，能用智就用智。哎，我们可以用智，我们就用智。好了，这是我们在这里面当中讲解的，这个第一个问题来，再把一个题秒了吧，看看这个题。

他说如果这个向量组线性相关，立即说什么？都不用去想，赶紧把它给我勾出来，只要见到线性相关性能用定义啊，用定义用智能用智就用智线性相关说明质怎么了？小于个数一二三。是小于三还是小于四啊？不是行数和列数的问题，是个数的问题。听懂吧哎，注意一下，一定是小于三。不是四啊个数嘛。不要不要看别的东西，

就看个数。所以接下来我们就可以操作了来解。那这个时候我们把它写出来，一三四负二，然后这是二一三题。然后这是三负一二零。它等于三，我们可以进行初等变换吧。数量变换的话就是一二三减去三倍，减去三倍，减去三倍，这是负十，然后这个时候的话，这一行的话就变成多少一二。然后减去四倍，

减去四倍呢，这是负五减去四倍呢，这是负十，然后最后加上二倍，加上二倍t加四。加上二倍，那这是六。好，这个人做成这样，然后这两个人成比例，它就变成变成零，然后这个质小于三，这个质小于三的话，这两行必须怎么了成比例？而这个不成比例。

所以呃，这个就必须成比例，那只有成比例了之后的话，这个人等于零，那这一行画过来，如果这不为零的话，还能消一下，再继续往下画成比例，那说明。t+4比上一就等于六比二，因此啊，这个t等于多少t=- 1？好了，这是这个题，能会做吗？

最重要的问题就是你你有没有发现一个事儿，这个线性相关性的判定问题，最后又落脚点到谁了智了？所以求质的功力重不重要？今天学向量组的值又回到了一个问题，就是矩阵的值。治这个事情很重要。要不是初等变换求值，要不是用行列式求值，反正求值的这个方法一定要掌握清楚。好了，这是这个事儿，小于三吗？你想想，如果不成比例，

我举个最简单例子啊，如果这两行不成比例的话，你看你把这个人的负一倍加过去，你把这个人给消掉了之后，这个元素是不是消不掉？你消不掉的话，你画行阶梯式表，再继续往下画一行。对吧，你再往下画一行，它不就等于三了吗？质一定要小于三的。你如果这两个不成比例的话，你看你你用一把t+4干掉，那这个二肯定干不掉六啊，

你干不掉六的话，你这条横线划过来。你如果调一下的话，这下面还有一个人，这不就等于三了吗？好了，这个非常简单。好，这是我们讲的这样一个基本问题，这是三点八这个题来继续再看下面的问题。智是不是很重要？你犯法那玩梗。爱就一个字。来看三点九这个题。他说，

已知这个向量组啊，线性无关。这个东西啊，线性无关，那么同学们想想，只要我们看到线性相关性，立即反应用之用第一，那说明什么事情说明？说明这个质啊，等于三。对吧，用第一用之说明这个质啊，等于三，然后他说下列向量组当中也是线性无关的事。那这里面当中，

我们可以先进行怎么办？用烟抽发抽几个你，比如说这个人。这个人能瞅吗？就是比如说这个人俩一减俩一减的话，这个人就是一减三。然后再加上三减一哦，这刚好等于零。所以说这个人是线性相关排除。再来看第二人，这俩一加刚好跟第三个相等，那说明就是这个人加这个人。再减这个人哦，它等于零，那说明这人也相关。

然后再看第三个人，如果减掉呢，那这人是他，那再加上呢，那这是不行，对吧，然后最后一个人呢？如果是。这个人加这个人减这个人呢？那这个人就约掉了。然后的话，这是二减它，那这不行，这也看不出来，所以说CD选项是看不出来的。

那这时候我们可以怎么做？怎么处理呢？判断线性无关，我们都说了，你这个人能有线性无关的表示，立即写成矩阵相乘的形式吧。所以我赶紧把那个矩阵写一下幺二零，但是必须要被线性无关的表示啊，来写幺二零。零多少呢？零三啊，这个零二三。然后这是一零多少三还是这个部分快一点啊，你直接把这个矩阵写出来，你就看行列式就行了，

一零一减去上面二倍。减去上面二倍，减去上面二倍，然后这多少零三负三那这个时候它很明显是不为零的。如果不为零，那这就是无关所以选c，这也很快嘛。你就会发现把这个东西掌握清楚，真非常快。然后再看d选项。你这个人被线性无关的表示，立即写成矩阵相乘幺幺幺。二多少负三二十二，然后这是三五负五来，我们可以写那么来进行去计算一下行列式。

那这个行列式的话，就是一二三减去它，减去它，减去它，然后减去它，减去它，减去它负八，那这个人很明显等不零。那行列式等于零的话，你就发现它不就是线性相关吗？所以也不对。是不是也很快？所以你要越学越快，越学越快，水平点越来越高啊，

这个事情。好了没？同学们记清楚一个问题，只要向量组的质等于个数是无关小于个数是相关。好，这种题掌握清楚，给我回复一吧，这种可以秒了，你将来这种题一定要做稳一点啊，只要见到一定会处理。好，这个事儿我们就讲到这儿来，我们来看一道这个，我们三九六同学的一道拔高题啊。我们来做一道拔高性的题。

好，我们来看看这个题。其实拔啥高啊，这难度系数也不大啊，来看这个题。他给了一个说这个向量组线性无关。这个向量组线性无关，有没有发现北大一是不是有阿尔法一二三四五六七八到s来表示的？当然是啊，只不过后面是零嘛，贝塔二是不是也有这些人表示的贝塔s- 1是不是有这些人表示贝塔s是不是也有他表示啊？让我们去讨论这个人的线性相关性。那这种题怎么做？怎么处理呢？这不就是我们刚才那个结论吗？

你不要又犯这种问题啊，我们写三个人，你就会我写s个，你就不会了。这有啥区别？如果这个题只有三个人的话，如果三个人的话，就就变成了三个人了，你三个人会你这个人肯定也会。那怎么办？讨论这个人线性相关性就是你这个人。被什么东西啊，被线性无关的，这些人表示。我可以立即写成矩阵相乘的形式，

然后前面的线性相关性就靠后面这个矩阵的行列式了。那我们谢写第一行第一列a被它b被它下面都是零。第二个呢a倍的阿尔法，2b倍的阿尔法三。然后一直到下面去啊，你看这个人呢，这是a倍的。往下走，往下走。a倍的它，b倍的它。然后最后一个人呢，是a倍的阿尔法SB倍的阿尔法1b在这儿。所以说这个人呢，就立即写成这样了，

现在我们所有的方向都靠这个行列式了，我把它叫做p。那么，这里面当中，我们去求解一下这个p的行列式，那这行列式怎么做点斜行列式吧？跟点走按照什么东西啊？第一行展开。就是a倍的。a幺幺。再加上必备的第一行第s个。那么，这个第一个人呢？我们一起看，把这一行这一列去掉，

它就是一个什么是一个下三啊，这个下三角那是a的x- 1次方。然后是b的负一的一+s，然后我们继续用这个人展开。那展开了之后的话，我们继续看这个人，那这个人的话就是必备的多少s- 1，所以说后面是必备的s- 1。它就会等于a的s+- 1的s+1，然后是b的s。哎，就等于这个人。会做吧好，我们就写成这样。那么写成这样了之后啊，

我们就可以处理了，这会做吗？写到这一步，应该没有任何问题来继续，我们看最后的结果，看这个行列式为不为零？那为不为零的话，我们其实这里面当中你要注意s+1这个人呢，他可不知道他的奇偶性。因为你如果是一的话，这是偶数二的时候，这个人又是奇数。所以说这题啊，一定要分几种，第一件事情当s为什么？

为偶数的时候。如果为偶数。我们来看看这个行列式等于零。a的s那这就是奇数减去b的s=0=0的话就是a的s=b的s。那这个时候我们就要写了，如果这个a等于正负b的时候。那这个行列式是不是等于零它就线性相关？如果这个a不等于正负b的时候，说明这个行列式不为零，不就是无关吗？我们一直在用那个结论呢。这个事情听懂了吧？来再看第20题，如果当sv什么东西呢？奇数。

如果这个题当中为奇数为奇数的话，这个行列式其实就变成了a的s，然后再加上b的s=0，那说明a的s就等于负的b的s。这是个奇数，那说明a的s=-b倍的s。那就可以写了。奇数嘛，奇数就可以直接进去，你比如三次方那个负号在里面，在外面无所谓的，如果这个人等于多少等于负b？那等于负b的时候，它是什么？它是相关。

如果这个a不等于负b的时候呢，它是无关的。好，这个人会做了吧？其实也不难。这个题就更像我们原来过程当中对讲了100个球，那个题就是当时说有100个球，有60个什么？啊红球40个白球，然后又变成什么？我这里面当中有a+b个球，有a个红球b个白球一样。就是把那个个数变多了，但是难度系数一点都不大，就说你这个人，

你每一个人都能有我这个向量组表示，我就立即可以把它写成矩阵相乘。因为我这个前面这个东西已经是无关了。对吧，我是无关那前面这个人的线性相关性，不就靠后面这个人行列式吗？我就计算他的行列式典型行列式，所以说这个题是个综合题啊。把第一章的复习了，把我们现在这个知识点复习了，对吧？重点。好，掌握清楚给我回复一。好不好，

同学们？掌握清楚吧，基本问题点来到了最后啊，剩下部分内容我明天再说啊，我们下节课再讲，然后后面过程当中我们线性代数啊还会。呃，今天是一次让我数一下啊。一个是方程组，其次一节非其次一节，然后最后是一个总结的一节，我们还有三节课，然后我们线性我们这个三九六的课程就全部结束了。我再强调一遍。你们的复习的这个操作不要像数一数二数三同学一样，

我们的基础班是非常非常关键的内容。你一定要注意一个事情，我们的基础班非常非常的重要。如果你是数一数二数三强化班，其实如果是数三和三九六，最大的一个区别点，其实强化班的课程。因为数一数二数三同学的强化班会在基础阶段当中会有个非常非常大的继续往上提升。但是我们这个板块的内容，你要注意我们这个基础班是非常重要的，我以前就跟你讲过，你要是基础班消化的非常非常好。你都能继续去做，二一年之前的所有的真题了。所以暑假的过程当中，

我们最重要的一个事情其实进行去刷题，我会带着你去刷题型，所以在暑假的过程当中啊，我们不会在三九六过程当中让你们进行去大量的时间投入在这个。上课的过程当中啊，我们当然的话，这个当然，我们的课程会充斥在你的整个这个暑假过程当中，但不会说那个密度非常非常的大。所以大家注意，暑假的过程当中，我们最重要做的事情是什么呢？我上课会带着你刷题型。刷题，然后增加自己的做题速度，

增加对知识点的熟练程度，然后的话，这个今年过程当中，我说一下我们的课程。因此啊，一定要记清楚这个问题，我们到了这个暑期过程当中啊，怎么了？哎呀，别这样，呵呵，我觉得还是上课好啊。好，我来说一下这个事儿啊，我们今年的话这个。

三九六后续的课程体系。那么，接下来我们先来看看第一个事情啊，就是我们的基础阶段。这是全大纲。当然有修修补补啊，有几个修补内容？然后的话，今年的话，暑期过程当中，我们再来看这个今年的暑期过程当中的强化。阶段，我们最重要的事情的话就是全题型。我会带着你刷题型。对吧，

继续去处理每个题型，然后包括做题速度。啊，速度熟练程度。程度必须要进行加强，然后第三个阶段就是今年过程当中的，这是我们七月份和八月份。等把这个东西进行做清楚了之后啊，我们下去过程当中，你就可以进行去好好进行，把这些内容复盘了。一定要好好进行复盘了，我来说一下，下面一个问题，你注意啊，

暑期阶段我们三九六同学，你们不一样吗？你不会像数一数二数三同学一样，我们这门课程是70分，那暑期过程当中，你至少还得开逻辑和写作的课程吧。你还得开始了呀，你自己得学起来了。所以大家注意一个事情，我会在一直给你们进行去调整，你们的这样的一个事情，我之前前段时间我看过一个同学啊，他可能太不了解我的课程体系了。他在那里面当中说一个问题，说啊，

这个我们的三九六的这个课程只有70分啊，这个朱老师这个前面的课程怎么那么的多？那他太不了解我们了。所以你到了这个强化阶段的话，你要是把基础真的是学的非常的啊，到位了，我们到了这个强化的过程当中，你就会非常的轻松。然后的话，你就会发现我们在训练这个做题速度训练这样的一个水平能力。包括到了这个强化阶段呢呃，我们里面当中有一些做题的这个技巧性，我们会训练的。所以这是强化阶段。等到这个阶段完成了之后，

也就是我们这应该是到了九月份了，我们一直讲你可能是二战同学，你太能了解了。我今年的话，这个所有的三九六课程一直在为你的整个这个阶段的课程在给你进行调整，因为一直都说我们三九六同学考的这个金综数学，这叫什么东西呢？这叫。叫什么铁人三项啊？这叫铁人三项，你发现这个我们不光有这个数学，我们还有逻辑和写作，我们还有政治英语。还有这个什么专业课？你你有好几门课程，

你其实有六门课程。你对吧你你是铁，你还有你还有别的课程呢，你要是到了九月份的话，你发现一个事儿，你还进行去大量的进行你你的数学的话，你还没有进行到位的话，你会发现你别的课程也没有多少时间。那所以一定要听清楚，我们今年到了这个强化阶段，你要达到什么至少知识点和题型都把它刷到位，我们应该是八月中旬就结束。八月中旬，一直到这个九月中下旬，就是大纲发布的时候啊，

大纲发布了之后的话，呃，这个我们的冲刺这个。应该是今天叫做冲刺满分十套卷也出来了，那个时候大家注意，我们叫做后续课程。后续课程有三个阶段，第一个阶段你是全程班同学，你要注意一个叫做冲刺救命班课程。这个课程呢，对于你们。全程班的同学。啊，全程班的同学。选角。

什么叫选学呢？你要听清楚啊，这个强化结束了之后，我还会组织你们的复盘的。对吧，我会组织你们复盘的，因为很重要，我们这个时间呢，你你自己感受一下这个时间基本上是到了这个。九月份的。20多号了。去年应该是十月一之后。9月20多号，你自己思考一下，9月20多号了之后啊，

你会有很多事情的。因为你到了后面过程当中，你有那个呃逻辑写作，你还有你的这个英语政治也得背吧。对吧，你还得背政治，你还有背专业课，有些同学你考的那个专业课还挺多好几本书呢。所以这门课程大家注意，你们选学就行了，因为我一直觉得你如果是全真班同学，今年把强化阶段结束，已经满足了大纲要求的所有核心考点和题型的能力。所以一定注意到了这个部分呢，你就进行去选学就行了。

就是我举个简单例子啊，比如说有同学说那老师我方程的根和不等式做的不好不好怎么办？你去看看冲刺救命班那个课程，今年的那个冲刺救命班课程我会给你调整的非常好。就那个标题，你就直接找。你就直接对准找那个标题，我会有题型一题型二题型三，你就找那个题型，你听懂我的意思吧，直接找那个题型，找到那个题型。精准打击，这就可以了，你要注意这个部分的内容，

就是全题型，能听懂我的意思吗？你所以说一定要注意注意一个事情啊，你不能说这个，你为了这个70分的话，你把别的设置课程全给丢掉了。好，这个部分，然后的话，第二事情如果你你觉得你有充足的时间，你可以全听，因为这个时间呢，比较短，也就是20个小时。这是个20小时课程，

然后今年过程当中我加大了啊，这个预测卷这是冲刺满分。十套全。十套卷，因为对你们而言呢，我们三九六同学的模拟卷非常的重要。因为对我们真题有用价值的真题太少了，所以说我们这个十套卷呢，是非常重要的，所以到时候的模拟卷我会给你在。每个周的这个周末给你们进行模考一次。你能听懂吧，你们不用买，你都不需要的，就是你这个所有的部分的东西都在其中，

你们不需要买的，能听懂吧？然后我这个时间点的话，我会给你分配好，所以我在进行冲刺救命班的这个课程的这个过程当中，我就会给你进行这个冲刺满分试到卷。我会是一个周，每个周的，这个周六或者周日我会在那个B站上给你们开一个直播间，估计去年过程当中很多同学去参与过。我会给你开这个直播间，我们考数学顶多规范啊，这个规定是一个半小时。所以你们过来进行去考就行了，然后你考了之后啊，

第二天我会给你对这个卷子进行去，全部给你进行精讲。所以说这个卷子里面当中的每个题我都会给你讲，这是我觉得这个第二个阶段，然后最后一个事情就是我们最后的一个这个点睛阶段。点睛课程，这是必须听的，这两个部分呢，也是必须听的。这两个部分呢点金课程的话，基本上就是四个小时啊，去年我可能因为因为去年不一样，去年的话，很多同学是冲刺，然后进来的。

很多这个前面过程当中给你串的，我又串的很细，我加大了八个小时，其实四个小时差不多，我把所有的这个内容带着你进行回顾，复盘一遍。当然，今年过程当中还会有这个考前21g。就考前的话，这个该背的这些公式啦，该进行注意的东西，我还会给你进行整理这个文档，当然今年过程当中我肯定会更新的啊，到时候我看看吧。如果能一块儿给你们寄送过去就行啊，

好了，这是个点睛课程，然后最后一个事情啊，其实就是差不多就可以考试了。啊，那最最后的话就是考前一晚的英语。这就是我们这一年的所有的课程，我觉得今年而言，你们我觉得应该这个全程班呢，我相信吧，你们应该是能在这里面当中，你只要好好把这些东西真消化到位，你肯定是能取得。非常非常好的成绩呢。这都不说，

一般的成绩，我觉得你能学到这个这样的位置，真的是做的非常非常到位，我觉得就是最起码应该是一个64分以上。你顶多只能错上一个两个，那这样的话，我觉得我也把我该做的东西啊，我也做到位了，那剩下的东西啊还。还是一个问题，不是课听完了就结束了。你得下去进行去复盘。你得消化整理，我记得昨天晚上就有同学的话进行去说这个事儿，说老师我上课听懂了，

转头怎么怎么样，但是你注意上课听筒是非常重要的一排，但是不是结束，你下去得赶紧进行整理。对吧，你自己想想一个事儿，我刚讲完的题，你下去过程当中，你转头你自己都不能独立自主做出来，这叫什么学会呀，所以我们该做的这些东西啊，做到这儿了。你下去过程当中，你要进行去练啊，所以说这个卷子到时候看吧，

如果你们觉得十套卷不够，我到时候可以再看看，到时候时间还可以给你们再出几套密卷啊。这个部分行吧，这个三九六啊，我说到这诶，我刚才不是要讲这个一个部分内容来再看看最后一个东西啊。我再讲一个知识点，我们下课。那么，接下来我们来看看一个重要经验。重要经验。好，继续开始吧，我们来看看重要经验。

这个经验特别特别的重要，我希望大家好好听。来吧，我们一起来看看这个事儿，如果这个矩阵。对吧，这个矩阵。差点出去了，我想那些东西不重要吗？有人一听我讲这些东西。啊。是我，我刚才给你梳理的这个课程体系不重要吗？完了，重点的东西来了。

来，我们一起来看看。这有个矩阵。对吧，这个矩阵如果将来我在这个矩阵当中挑了一个行列式。对吧，挑了一个行列式，如果它不为零，但是你要注意啊，这个行列式未必就是挨着的，有可能是比如说第二列，我取了一点。我第四列取了一点，第六列取了一点，我取了一些，

好比如说取了一个行列式不为零。假设的话，这是这个行列式，如果这个行列式不为零，那对应的这些列一定会线性无关的。哎，对应的这些列一定会先行无关的。你要听清楚，我再说一遍，如果你取了这个行列式不为零，那这一整列这些列就会先行无关。比如说你发现这些列这些列这些列，它们就会线性无关。为什么呢？我来给你讲解一下这个事情，

大家好好听啊，如果这个矩这个什么这个矩阵当中，我单独把这四列。我抽出来。那你想想这四列是不是一个矩阵呢？这四列不就是一个新的矩阵吗？那这个就是一个矩阵呐。那这也是个矩阵，这个矩阵的话，这个行列式不为零。请告诉我个事情，这个行列式是不是这个矩阵当中最大的不位点的行列式？不能再大了，再大的话没法再大了，这就是这个矩阵当中最高级的非零子式。

是吧，这就是这个矩阵当中最高级的，最大的不为零的行列式，那所以你告诉我个事情，这个矩阵的制等于多少？等于几最大的，它是几乘几是不是四啊？对吧，你比如说这是四那这个区域正的值，我们又知道一个事情就等于什么就等于这个列向量组，你假设你把这个人叫做什么？比如说我们把它叫做阿尔法一。阿尔法二，阿尔法三，阿尔法四，

那这个矩阵的值它不就等于这个列向量组的值吗？而这个四又是它的个数。那也就说矩阵的值等于列向量啊，这个什么列向量组的值，如果向量组的值等于它的个数，那这几个人不就是线性什么官？不就线性武馆吗？对吧，那它就是线性无关，所以说大家一定要听清楚。我只要在一个矩阵当中挑了一个行列式不为零，只要这个行列式不为零，对应的列一定是线性无关。记住这个经验，但等于零就不行了，

你说如果这个行列式等于零，万一人家下面这个部分不为零呢？那人家仍然是无关。所以大家注意啊，你如果是光不为零不行，你说这个什么等于零不行不为零是可以的。能记清楚吗？如果一个矩阵当中有个行列式，不为零对应的列一定线性无关好，那么接下来我为什么要讲这个内容呢？因为我希望把知识点给你画一个完整的圆。回到刚才部分的内容，还记得这一段吗？还记得吗？这个题还记得吧？

这件事情我们说去求解一个向量组的极大无关组。那么，当时过程当中，我们说把它按照列排行变换，划成行阶梯，阶梯口所对应的人就是极大无关组。刚才有些同学说，那老师为什么我刚才说了，我为了画完整圆，我只能讲完后面这个部分。我才能进行讲，因此啊，接下来我们就可以看了，来看看这个人。继续过来，

那为什么呢？大家好好听。那么，首先这里面当中的第一件事情。我把它按照列排。进行行变换，这件事情没问题吧？因为如果列变换的话，位置就变换了好，我们只能进行行变换。机械行变换化成行阶梯。我们都知道。你的行阶梯的非零行是多少质就是多少。那质是多少极大无关组当中就有几个向量。这没问题吧，

那现在我的质等于几呢？我质等于三。我只要找到三个线性无关的就行了。而你会发现，我如果就取阶梯口有个什么样的好处呢？取阶梯口它都是非零的。阶梯口的下面都是为零的。上面这东西无所谓，这个行列式必须不为零。你想想阶梯口是什么呢？这个阶梯口的话，它就是这个情况，你看这阶梯口。那阶梯口的这个部分的话，它肯定不为零，

你下面肯定是等于零，所以说这个行列式肯定不为零，你这个行列式不为零。你对应的列一二，然后这是几这是四，那这个人肯定线性无关你这一列，你这一列，你这一列，你本来就线性无关。那大家想想一个事儿，我要找三个，那刚好三个阶梯口。那这个时候你这行列式不为零，你不就限行，我找三个限行，

无关其他无关组出来了呀，一二四。能理解吧好，这是狭义的，我给你讲讲广义的啊。这是最简单的，找七大无关组的方法。那其他无关组到底唯一吗？它不唯一，我还有一种广义的方法。广义的方法是什么呢？每一个台阶上。每一个台阶上取非零元就行了。你看我在第一个台阶上取一我这个台阶上取它，取它行不行？

你再来看第一列是它，这是它，这是它，下面都是零。这还是不为零。那这不为零的话，这个这一列这一列这一列不就线性无关，它也能作为极大无关组，所以说这个极大无关组不光是一二四。它也可以是多少一三四？是不是这个问题？那么同学们再给我去想一个事情，那如果这里面当中我这样选，你选一选一，能不能选这个人？

可不可以不行？你选这个人的之后的话，你看这个是幺幺，这是零，你下面都是零。你这不行，所以说这叫广义的选法，广义的选法是什么呢？就是每一个台阶上。去取一个飞行员。每一个台阶上去取一个非零元，它就能作为极大无关组。这是广义。听懂吗？就每一个台阶上，

我找一个非礼员。这是广义的。那么，接下来我们再来看我，还有更广义的。啊哈，大家注意，我还有更广一点。你其实掌握到这，其实你咱三九六同学就可以了。我就害怕出一个题的话，就比如说说下列能作为其他无关组的个数，有几个出这个人这个人这个人，然后你去选有几个？你就可以这样做，

那么接下来我们再来看看更广义的。更广义的是什么呢？因为台阶好看的，你可以怎么办？直接去取。哎，我就在这里面当中，我直接取。我直接取，怎么了？你看我直接调。你看这个行列式。这个行列式的话，它就是用三进行展开，然后的话，

这个一乘一零×0，这个行列式就不为零。那这个行列式不为零，我这个二三四也行啊。你这个不为零，你的列不就线性无关吗？我要三个，三个线性无关就能做极大无关轴，那也可以啊。所以你看这个人，我找到这个东西，他就没有在没有在什么东西呢，你看这俩人还在同一个台阶呢，你看这个人。所以我们其实的核心主旨是什么呢？

为什么说每一个台阶上挑一个飞行员呢？因为那个东西特别好看。如果更广义的话，你就怎么办？就直接在里面取个行列式，不为零。取一个三阶行列式，不为零对应的列线性无关，它就是极大的关系，这是超广义的。大家能理解吗？为什么？因为我知识三我只要找到三个线性无关的，就是g大无关组，我就在这个里面当中挑一个三阶行列式，

不为零对应的列线型无关。那这个时候他就不是说这样的一个问题点了。大家能听懂吗？我取一个三阶行列式，不为零对应的列线性无关极大无关错，这叫超广义的选法。但是其实啊，我们能达到刚才那个水平，我们三九六同学已经足矣了。第一种方法，你看还有什么更广的，那那就是最核心的方法了。大家注意基本方法就是每一个台阶上取非零元。第二个方法就是每一个就是取阶梯口，这是第一种方法，

第二事情每一个台阶上取非零元。第三个事情就是直接去取一个行列式质式三取三阶行列式质式四取四阶行列式四阶行列式，不为零对应的列线性无关极大无关。能理解吧，现在能听懂吗？其实啊，你能做到这个水平就可以。每一个阶梯上取非零元对应的列，就是极大的关注。好了，这就是我们在这里面当中啊，讲解的这个考点二的内容。听懂吧，这个部分东西。好不好？

同学们下去过程当中好好跟我想想这个事儿啊，跟上这个事情。好了吗？同学们好，那么这个点我们就讲到这今天部分的东西啊，我们也就说到这儿，然后给你们个任务，你在下课时啊，下节课上课之前呢？我希望大家能够把这个页面先提前去看一看。好不好把这个东西提前先看一下，然后下节课过程当中，我还会讲后面还有内容，那是经验一吗？那后面还有经验二经验三呢？

好，不要着急啊，所以说下节课的任务啊，有两个事情，第一个事情我们会把这章收官，然后第二事情我们就进入到下章，我们去学习这个什么？学习这个方程组啊，因为我们考研过程当中，方程组非常的重要。行吧，我现在去导笔记吧，因为这个这两天已经好多同学催了好久了啊，上节课的那个笔记我还没发，然后我现在去导一下。

好不好，同学们？呃，一会儿我就去排课啊，刚好的话，这个上午过程这个没有忘了进行去排，我一会儿把课也给你们排一下，不要着急这个事儿。应该是。后天或者大后天吧啊。好，那么今天课程呢？我们讲到这来，把作业布置一下。五三三五三四。

五三五这个题非常好，你下去要注意一个矩阵乘向量是向量。你自己注意一下啊，有同学说什么意思，你自己看看。五三六。五三七。五三八的前两个。五三八的前两个五三九五四零五四一。五四二。嗯，可以了。好不好？同学们行吧，五三八的第三问先不做就行，

然后把这个考点六和考点七把它做完。好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，所以下去啊，把这个问题点还得好好进行处理处理行不行？好，那么我们下次课程当中，我们再继续吧。呃，然后的话，这个一会儿你进行去看看课表，这周能结束，这周我们就把这个部分呢，全部结束了。

五三零。啊，这五五三零有什么问题啊？借我看看。如果它们是线性无关。我说一下。来看这个人。均为不为零，均为不为零的向量线性无关。它说，充分条件均为不为零的向量，一定线性无关吗？那也不一定呐，你比如说一二二。均不为零呢，

它是线性什么？这个相关的，但是要充分条件就说哪个人能推它，哪个人能推它，这叫充分条件。所以它不行，然后再看任意两个向量分量不成比例。这个事儿我原来过程当中，我说过这个问题。任意两人不成比例，就能说明他线性无关吗？你看我给你出一个。好，你看这个人。那么，

这里面当中任意两个人都不成比例啊。任意两个人都不成比例，但是你进去去看看支一二三零一二，你把它减下去对吧？零零零你自己变换了。那这个时候这个部分就出来了。那你想想这个人的智等于几啊？质等于二小于三线性相关吧。所以大家注意，如果任意两个人都是不成比例的，并不能推出，他就是什么？啊，就是我们原来讲的两个不成比这个什么两行不成比例大于等于二三行不成比例，不能说大于等于三。

如果任意两个人不成比例。那这个时候的话，你看这个质是小于三的，反而线性相关了，这是要注意的，所以它也不对这个是非常好的一个选项，这是最好的，得整理出来啊。把它给我整理到笔记上。然后再看下面一个任意一个向量，均不能由其余向量表示，这不是我们上课讲的吗？而且这是个充要条件，我知道有些同学啊。掌握不清楚这个问题，

说不是选充分条件吗？什么叫充分条件？你只要这个东西能推出我，它就是个充分条件，管不管回去不管？你只要能推出我，你就是我的充分条件，他说那个充要你管他呢，能过来就行啊。然后再看部分向量线性无关。应该是整体无关，局部无关，这不对。然后说部分信息相关，这胡扯。

把b选项整理出来了。对吧，这个东西你得整理到错题本上b选项非常非常好。任意三两个人不成比例大于等于二，任意三个人不成比例不能说大于等于三，不能说的。行不行哎？不能说五三一的d选项，其实我上课讲过你自己，你再看看这个事儿。你自己想想一个事情。就算它是线性，什么管呢？你就算是线性相关零贝塔，零贝塔，

零贝塔也是零。你想想是不是你是线性相关的，你只要配上零，它也是零啊。就无论你这个阿尔法一，阿尔法二到阿尔法m，你是相关还是无关？你这配零的系数，它都会是零的。我们问线性无关，应该说是不是只有所有系数是零，它才是零。是不是只有是零这种情况，不是说你给我取出了一个零，你相关无关配零都是它都会是零，

人家问的是是不是只有这块这一种情况？能理解吧，哎，这个问题。行吧，那么今天课程我们就讲到这儿下去，过程当中好好看看好不好好？那么今天我们就讲到这儿，然后大家下去把这个笔记啊。还有这个作业好好进行去整理整理完成一下啊，我们下节课过程当中，我们再看好下节课继续吧。

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