09.向量组的极大无关组与向量组的秩-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:57:35

那我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。好，可以听到声音吗？好的好的好，那么接下来我们就继续开始吧，那么今天我们就继续开始，我们三九六精宗数学的这个线性代数的基础班部分内容。那么，上次过程当中啊，

我们刚好讲到这个，第三章讲到这个向量部分内容，那么今天啊，我们就继续开始呃，还是来把这个上次过程当中的核心知识点做一个重点的复盘。因为上次过程内容啊，还比较重要一点，所以希望同学们跟着我一起来把这个东西啊，好好进行复习一下呃，空旷嘛。因为我这个今天在公司啊，然后的话，这个这个直播。啊。还可以是吧？

好，那我们就准备开始了，那么首先我们先来看看这个第一个事情。因为他这个这个这个房间有点确实有点空旷啊。影响大吗？好，不影响我们就准备开始了，好不好？嗯，好，那么接下来我们就继续开始，那么在上次过程当中啊，其实你发现我们讲的这个第一个问题啊，我们讲了一些。向量的基本概念。

对吧，什么叫做向量，这里面当中这个基本概念呢，也比较重要一点，你要注意一个问题，向量分为行向量。还有这个什么列向量？对吧，所以说在这里面当中遇到的行向量这个东西其实就是一个行矩阵。列项呢，其实就是一个列矩阵，对吧？其实向量就是一个特殊的矩阵。横向的，竖向的，

单行单列的这个问题，所以说对于这个向量的运算，其实就是我们在这种当中讲解的这个矩阵的运算。你比如说向量相加，你相加必须怎么了？必须是同型才能相加，对吧？如果说这个向量怎么了？数乘一定给每个数乘上这个数。所以像这种基本运算的类型问题啊，必须要掌握清楚好了，这里面当中出现的第二个概念叫什么东西呢？叫向量组。那什么叫向量组呢？学习这个向量组之前呢？

你要注意一个问题，向量有一个概念叫做尾数。对吧，为数什么叫做向量的为数呢？那非常简单，那么通常我们都知道这个向量可以用什么来表示呢啊，比如说这个阿尔法啦，贝塔啦，伽马，你比如说我举个例子。我写个三四五好了，同学们告诉我这是个几维向量。那这个向量当中有三个数，这叫做一个三维向量，而且是个三维的列向量，

没问题吧？这是向量的维数。然后第二个事情就是向量组，什么叫向量组呢？向量组这些东西啊，必须拥有一个什么特征，叫做同维的。同位数，当然这里面当中还有一个问题，你同位数还不行，你是列的都得是列的，你是行的都得是行的，所以说他们才能称之为。向量组能理解我的意思吗？好，

这是第一个问题，然后第二个事情我们又讲了概念，叫做向量的线性表述。线性表述对吧？我们讲了第二概念，向量的线性表述，什么叫线性表述呢？那就是给了一个向量。能不能把这个向量写成它的线性组合，比如说k1阿尔法1k二阿尔法二，然后一直加到多少加到kn阿尔法n的形式？能不能把这个向量写成它的线性组合？如果能够把这个向量写成它的线性组合，那就可以说明这个向量能够被这个向量组线性表除。那这里面当中啊，

有一个问题，这里面当中对这个k1k2到kn有要求吗？没有要求，只要存在就行，我只要能把这个向量写成它的线性组合，我就说明这个向量能够被它线性标出。所以这里面当中，它讲究的一个问题就是你存不存在？那是不是要求不全为零呢？全为零呢，还是什么有为零的，有没有为零的呢？没有要求无所谓，只要你能把它给我写成这个样子，我就说你能被我线性标出。

好了，这就是一个重点问题，然后接下来我们再来看看第三个事情叫做信息相关性。对吧，线性相关性那么线性相关性里面当中啊，有两个人，一个事情叫什么叫做线性相关？哎，线性相管，还有一个东西呢，哎，叫做线性无管。线性无管。那么，这个人的定义啊，

我们上次过程当中应该是达到了这个至高理解，你回想一下是不是？你如果下去过程做题的时候，你再回想我上课讲的这个问题，你会发现秒懂他在研究什么呢？他在研究这样一个问题。研究什么东西？研究这个k1阿尔法一。k2阿尔法二，然后一直加到多少kn阿尔法n=0的情况？对吧，我们在研究这个问题。当所有系数都为零，它当然是零。但是我们研究的问题是，

当你所有系数等于零啊，都是零，你等于零，无可厚非。但是我想研究的问题不是这个，我想研究的是你还有没有别的情况呢？对吧，除了全部系数都为零的时候，你能等于零还有没有别的情况，如果还有别的情况，你就要线性相关。没有别的情况，就叫先行无关，不要打点，赶紧给我去掉。

这有什么打点呢？这是上节课内容啊，对吧？你还有没有别的情况呢？所以在这里面当中，我们先看第一个事情，他说如果存在。哎，存在这个事情就说了，有对吧？我还有我还有什么东西呢？我还有不让你全部为零不全为零的数。k1一直到kn，我使得你等于零，你就叫线性相关。

是不是这个事情，然后在这种当中，我们看看第二个事情，那如果没有呢？没有这个事情就叫信息无关，那怎么说就说当且仅当。对吧，当且仅当k1k2，一直到kn=0的时候，你才能等于零，只有这种情况，没有第二种情况。只有所有系数都为零，你才是零，再来第二种情况不可能对吧？

没有第二种情况能让我这么零，你看这个理解相当的牛。就达到了这个事情的一个巅峰好了，这是我们讲的第一个题，然后再来看看第二个题，那么线性相关还有没有定义呢？他说存在不全为零的系数，让它等于零。那肯定有一个系数是不为零的。如果那个系数不为零，就把那一项移过去，那就说明肯定有一个人能够被其余人表出。一定会存在一个人被其余人先行标注，这是要注意的，如果是这个人呢，

绝对不会有一个人能够被其余人先行标注。这是它的定义，对吧？然后接下来我们又讲了一个事情，如果是一个向量呢？为不为零决定了它线性相关还是线性无关？两个向量呢，看看成不成比例，决定了它线性相关还是线性无关，三个人呢，看共不共面决定它线性相关还是线性无关？所以这就是我们上次过程当中讲的第二个问题，然后第三件事情呢，我们又讲了个重点内容，我们说整体。

和局部。我先说一下，什么叫整体和局部，因为一会儿过程当中，我还会讲一个叫伸长组和缩短组啊，这个不一样。大家想想，这是一个向量。这是一个向量，这是一个向量，这是一个向量，这是一个向量，五个人吧，对吧？唉，

你发现一个事儿，这就是五个人。那这五个人的话，如果在这种当中，我们来看看这四个人。这就叫鞠躬。对吧，这是一个局部，所以你要理解清楚整体，这就是整体，那这就是个局部。所以他们会在一个数量上的增加，听得懂我的意思吗？数量上增加。好，

这是这个问题。呃，不了解存在和任意吗？存在就是有一组就行了。你找到一个不全为零的，让它等于零，这就可以了，任意是随随便便一组都能让你等于零。这是叫任意，或者是随便一组，都让你不为零，随便一组让你等于零啊，能理解吧？不，不要把它刻意的进行，

想成一个数学问题，你可以把它当做成一个逻辑的问题进行想，或者你把它当做成一个语文问题去想。啊，这都可以存在嘛，有就行了。对吧，你说这个人存在哦，这个人就是有就行了。对吧，比如说我们班有一个非常呃红的人啊，比如说大美妞，对吧，你看我们班存在一个就行了。如果说我们班任何人都很牛逼，

那这个时候的话，你发现任意就行，对吧？随便挑一个人都很行啊，都很牛。就这个意思，能理解我的意思吧，非常简单。好了，这是这个问题，我们就讲到这儿，那么这节课非常非常的关键，我希望同学们好好听，因为这节课部分的内容啊。可能在我们接下来的学习过程当中，

是一个主要片段，而且它的档次感相当的高，难度系数又非常的大。但是没关系啊，这不是由我们来讲的吗？你一会儿听完了之后，你会发现一个事情，曾经你感觉到说实话，它很难。有点难度，但是你好好听，难度系数不是说特别大，那么接下来我们一起来看看第一个问题，向量组的值和极大无关组。我们先进行去讲这个问题，

向量组的质和极大无关，组这个概念呢，你发现没有？呃，这个今天他确实空荡啊，昨天我在那个办公室。昨天晚上的话，回音特别重，到这个还是有一点嘛。好了是吧啊，来我们继续。那么，今天我们来看看第一个问题，极大无关注。我们先讲讲极大无关注。

这个概念呢，特别的抽象，但是啊，我不想直接讲，你如果听完我接下来讲的两个例子啊。你马上就秒懂了，什么叫七大无关处，我先来给你讲讲第一个例子。你听就行了。第一个例子啊，我更想把它当做成一个什么，这个实际问题来讲，第二个东西啊，我再来给你讲讲数学问题好不好？假设举个例子。

我们班现在所有的同学，大家注意啊，是所有的同学。所有的同学呢，都只来自三个地方，你不要再说，你有别的地方了好不好，假设有来自西安的啊啊，我老家是西安的。然后或者是什么这个长沙的，比如说这个丝丝是长沙的，然后还有南京的啊，推荐是南京的。好了，我们都来自这三个地方，

好了，不要说别的了，你听就行了，好不好？就这三个地方。假设嘛，偏要这样，那我写不完，你听我的例子，那么接下来同学们，你想想一个事情。西安的，长沙的，南京的这三个地方是不是相互独立？对吧，

相互是独立的嘛，对吧，不交叉，然后接下来过程当中，你想想一个事情，这三个地方就是线性无关，没问题吧？而且你发现我们全班的所有同学都能用这三个人来表示。比如说你发现这是我，对吧？这是思思啊，这是推荐啊，好这三个同学那接下来过程当中，你看任何一个同学都能用，我们来表示举个例子。

比如说你发现啊，这是大美妞同学，假设她也是西安的，那就是一乘上五。加上凌晨上思思，再加上凌晨上推荐，你能听得懂我的意思吗？是不是这个意思啊？好了，我再举个例子，比如说你看这个同学叫做，反正总有人能考上，假设你是长沙的，对吧？反正所嗯，

总总有人能考上。那这时候就是零乘上我，再加上一乘上40，再加上零乘上推进，能理解我的意思吗？啊，再比如说随便来一个同学，比如说这个一小派同学，你看这个同学就是零乘上五+0乘上四四，再加上多少一乘上？推荐你能理解我的意思吗？大家想想我在讲什么东西？这个内容很重要，很重要。大家想想我们这三个人是不是线性无关呢？

而且用我们能来表示所有吗？有没有发现一个事情，你看我们三个人是线性无关的。我能表示我们这个整体当中的所有人。那我们就被叫做什么东西呢？其实就叫做我们这样的一个啊，整体的极大无关组。这就叫做极大无关组。大家注意啊，你不要光听这个，你要听内容啊，你在学数学课呢啊？这就叫做极大无关组，那么接下来我们通过这个事情，我们就回想一下那极大无关组在这个整体里面，

比如说有一个人，两个人，三个人，四个人，五个人，比如说有。2000人，那这2000个人当中，我们叫极大无关组，我们具有几个特征呢？来，大家来给我捋第一个特征叫什么？我们是。线性无关的。对吧，

我们仨人现行无关第二件事情，大家注意，我们能怎么了？表示所有。我们能表示，这个整体里面的任何一个人具备的这两个特征，你们都就能叫做极大无关组。大家听好了你，你发现你看这个概念很重要，很重要。他们线性无关，他能表示什么东西啊？所有人。对吧，我们线性无关，

我们能表示所有就没有关系，对吧？哎，相对而言，每个部分每个板块当中。不交叉，然后接下来我们再来看看第二个问题，继续来听我们来讲讲数学例子了。好，再来看第二个例子。那么，如果我们在这个平面当中。对吧，比如说这是个二维平面，这个二维平面当中有第一个向量。

有第二个向量，有第三个向量。然后有第四个向量。然后有第五个向量。然后有第六个向量，然后有七个向量好了，我们这个平面的过程当中啊，我们有七个向量。大家听好了，我们有七个向量。那我们这里面当中有七个向量。那如果我用八个九个十个呢？我有好多向量，那你想想一个事情，我喜欢把这些人都写出来吗？

我不喜欢。都写出来太麻烦了，那我做一件什么事情呢？我们知道了一个点。两个不贡献的向量能够表示平面当中的任何一个向量，这是高中所学习过的一个定理吧。对吧，两个不贡献的向量能表示平面当中的所有向量，我就来进行去挑选，这个向量和这个向量行不行？行还是不行？可以啊，那大家想想一个事情，这两个向量贡献吗？不贡献这两个向量不贡献，

那我们来看看这两个向量的特征不？不贡献是不是就是线性无关呢？第二件事情你发现是不是能进行去表示所有啊？啊，是不是啊？线性无关表示所有，那我能不能把这两个向量叫做这一组向量的极大无关组啊？可以，只要你能具备这两个特征，你们是线性无关的，你们能表示所有你就能称之为这个向量组的极大无关组。那么，同学们想想，这是一个人，那我能不能选这俩人呢？

比如说你看我选这个人和选这个人行不行呢？可不可以呢？哎，也可以，他们两个人怎么办？不贡献现行无关，他们能够怎么办？表示所有，那这两人是不是也能称之为其他无关组？那这俩人是不是也能称之极大无关组？那说明一个事情极大无关组是不唯一的。对吧，它不唯一。它不是说一个固定的，你选一个人能表示所有他们信息无关，

他就能叫其大无关注。所以这就是我们在这节课过程当中，我们要学习的第一个重点问题，大家注意这个概念极其的抽象，但是我觉得这一段呢，我相信你一定是理解了。对吧，我相信你是理解了，你不可能不理解，不信我们来看定义来，他这样说已知向量组。对吧，已知一个向量组，这个向量组当中有第一个向量，第二向量，

第三个向量，然后一直画第n个向量。这个向量组当中啊，有n个向量。然后接下来我们来看看第一件事情，他说对于什么东西呢？对于向量组的一组向量，对于什么呢？比如说这里面当中有一组向量。这一组向量的话，你发现个事儿，比如说我随便取啊，我也不知道是第几个，我把那个这一组向量当中的那个第一个向量叫做阿尔法j1。行不行？

然后第二任叫做阿尔法g2。然后的话，你发现这叫阿尔法gr。对不对？如果这两个东西，这一组向量能满足什么东西呢？如果能满足两个特征，第一个特征同学们来跟我写一下。怎么去说它必须要具备第一个特征是线性什么观，没有观线性无关。对吧，必须是线性无关的，不能相关第二个特征呢，它还有一个特征叫做表示所有。对不对？

表示这个向量组当中的所有向量。线性无关表示，所有我们就称什么呢？我们就称这一组向量。这组向量为一个极大无关组。大家注意，我们就把它称之为叫做一个极大无关组，能理解吗？你看这个定义啊，其实挺难的，因为它非常抽象，就很多人特别不喜欢这个概念。什么叫几大无关组呢？第一事情你必须线性无关，就是我们在这一组向量当中挑一组线性无关的。

而且能表示所有，那我就把你称之为极大无关组。极大无关组是这个向量组当中最多的线性，无关向量的个数。这是你要注意的，就其他无关组当中有多少个向量是这个整体当中最多的线性，无关的向量个数。那比如说举个例子，你看看这个这个概念，刚才我说我们班同学都来自西安，长沙或者南京，对吧？这三个地方，那同学们告诉我，我们最多的线性无关的个数有几个？

是不是三个？有没有第四个？那你想想，比如说我吸烟挑一个。南京挑一个，长沙再挑一个，你再挑一个，比如说你再挑的话，你发现还是这几个人当中的一个人，比如说我又挑了个西安，你发现这个事儿是不是现行相关的？对吧，它最多有三个先行无关的，当然两个也有可能先行无关的。能听得懂我的意思吗？

就是这个概念。所以我相信你现在终于明白我上节课过程当中我讲的那个向量当中的引力，你还记得吗？我说坐标系的诞生。还记不记得哎？就是这样的一个问题，注意啊，这组向量一定要满足两个事情，你必须线性无关，你必须能表示所有。只要你满足这个事情，你就叫做一个极大无关组，所以接下来我们来看看第一个事情来做一个题吧，看一下三点六。来看这个题。

那么这个题啊，他这样说的，说向量组阿尔法一阿尔法二阿尔法三阿尔法四让我去求它的极大无关组。那求吉他无关组的话，那么接下来我们来看看。来解首先我眼睛漂一下，我发现这是一零，我发现这是零一。那这两个东西就不成比例啊。而且我会发现，阿尔法三这个意义。它不就是一倍的一零+1倍的零一吗？哎，我发现这个阿尔法三被表示。对不对？

然后我们再来看看最后一个人，那这是二二那二二这个人的话不就是二倍的一零。对吧，然后再加上二倍的零一。哎，你发现一个事儿，这个东西也能被表示。那这个时候我来看看这个人，你就会发现这个阿尔法一这个人是一零。阿尔法二这个人是零一，那这两个人的特征呢？第一个特征线性无关，第二事情表示所有。那线性无关表示，所有那同学们告诉我，

这是不是一个极大无关组？就是的嘛，信息无关表示所有，他们就是个极大的关注。所以你会发现一个事儿，它就是一个极大的灌注。当然，同学们，我们再来看一个事情。我不选这两个人行不行？比如说我就去选这两人行不行？对吧，你发现开始是第一组好，我们再来看，我们再选一组，

那如果选这两组呢，你就来看看这个人，那这个人是多少一零？然后这个结果是多少零一，然后这个人是多少一？那要想这两个东西加起来，这个上面部分是一，你肯定得在这配一。你配音下面部分是零的话，你看这是一那，所以说这块得来负号。这没问题吧，然后我们再来看看二二。二二二这个人的话，他这是零一，

然后这是一一。因为上面这个部分是零，这上面还要是二，那这个前面肯定是二。然后这已经是两倍的，这是一那前面肯定是负的，哎，我发现一个事情，你这个人和这个人也能被我表述。而且我们发现一个事情，这个阿尔法二这个人是零一。阿尔法三这个人是一乙，这俩人呢？线性无关表示所有。线性无关表示，

所有它还不是一个极大的关注吗？啊，哪个人？第几个人？第几个？哦，这是吧哦，这是二啊，不好意思。啊，这是二，所以你会发现一个事情，那这个东西啊，它也是个极大的关注。所以你要听清楚一个问题，

只要他们信行无关，只要他们能表示所有，他们就能叫做一个极大无关。你看这个概念，大家注意啊，这个概念其实你发现稍微的还是难一点。啊，难一点，但是我相信你学到现在难度系数应该不大了。对吧，线性无关表示作用。但是我有一个问题，你想想这个题目，因为很简单，我们看起来都是二维的。

那如果将来过程当中，我们做一个什么？比如说做一个N维的呢？你举个简单例子，你比如说我想继续去找这个人的极大无关组，你怎么找？那这就很麻烦了，你刚才二维的话，我很容易进行看出线性无关，我很容易就知道怎么办，表示所有。那这是很容易的，但是你发现你看现在是什么？现在很多维的，我举个简单例子，

比如说你看幺幺幺。幺二三四。一三四五。六七八九。然后这是十一二三。那这个时候的话，同学们，你能给我找吗？你能找出他的极大无关组吗？那我先问你个事情，第一个面临的问题是什么？如果我想去找齐大夫班组，你首先第一件事情，你会想什么？我看看你这个同学的这个啊，

创新性怎么样啊？我再给你引这个事情。大家想想，如果让你继续去找其他无关组，你会先干嘛？啊，你出现干嘛？我会干这个事情。第一个问题，我要找几个呀？对吧，第一个事情。我要找几个呀？几个向量啊，对吧？

这是第一个问题。你要找几个人呢？而且。一定要线性无关。难道不是吗？你想想这个事情就第一个问题，你总得知道我要找几个人呐。你比如说这个题，如果你想找诶，这俩人就先行无关。不成比例线性无关，但是你能说这是几大无关组吗？不是的，你得知道我吉大无关组里面当中要有找几个向量你，就比如说刚才我知道我们班同学都是西安，

长沙或者南京。对吧，我们知道一个事情，我们知道是三个，所以说我要找三个人。当然不一定说我思思和推荐，你可以怎么办？你随便找，比如说找这个什么这个小白同学。对吧啊，这个worker同学对吧？还有这个什么大美妞同学对吧？你比如说这三个同学也行。那么，只要你们是三个地方的，

所以大家注意一个事情，它不唯一的，它的核心重点一个问题就是我要找几个人呢？对吧，你到底要找几个人？你找到几个人表示所有才行，所以这是一个非常非常重要的问题，那这件事情有没有方法进行解决呢？有接下来过程当中，我们来看看。第二个事情，大家注意。第二个概念就非常重要了，叫做什么呢？叫做向量组的值。

好了，大家注意这概念呢，很重要，那这个向量组的质是什么意思呢？向量组的质是这样定义的。叫做极大无关组。极大无关组中。向量的个数。我们就把这东西叫做向量组的值。哎，向量组的值。所以在这里面当中，你会发现一个事儿，它就是这样定义的。什么叫做向量组的质呢？

向量组的质啊，它的意思就是你这个极大无关组当中有多少个向量呢？那么，接下来我们来看看这个人的值，你告诉我现在这个极大无关组当中有几个人好好听课啊，对吧一个人？两个人r个人哦r个人，那说明这个向量组的极大无关组的质是多少啊？这个向量组的质是多少？来走阿尔法一逗号。阿尔法二逗号。阿尔法三一直到阿尔法n，这要写什么意思啊？给我读一下。这个人的读作向量组的值。

是这个向量组，他们的值它的值等于多少呢？它就等于极大无关组当中的向量个数是几个r个？对吧，you are。所以我一旦知道这个智，我将来就怎么办？我就知道了，我要找几个人，只要那几个人是线性无关的，他就是极大无关组织。能听得懂我的意思吗？好，这是这个问题，那么接下来比如说我们看三点六这个题，

那这个向量组的质是多少呢？很明显是二极大无关组当中有两个向量。一旦我知道质是二，我就找两个线性无关的，它就是极大无关组。大家能理解吗？你看这个思维方式，它就是一个非常好的研究的一个方向，你就是这样的一个思路啊。那再比如说举个例子，你看这个，那么我们这个班集体，比如说2000多人，那现在而言的话，你发现一个事情，

我们的极大无关组当啊，我们这个向量组的质是多少？我们这个制很明显是三个是三，所以我就找三个线性无关的，它就是极大无关组。你再比如说你看这个人。这个向量组的质是多少呢？质是二，我就找两个线性无关的，它就是极他无关组。是不是啊？所以我只要知道了向量组的值，我不就知道我要找几个线性无关的，作为极大无关组吗？这就是我们要学习的问题。

所以这个秩啊，又回到这个问题了，你看这个秩多重要秩秩序是你在这个运行过程当中要满足的秩序。是你在运算过程当中满足的秩序秩序啊，这个字儿起的真好，中文之华美。好画眉啊。好了，这是这个那那么接下来过程当中，我们来看看啊，下面一个问题，三者相等。但是接下来我有个问题点，对吧？我有个问题点。

那向量组的质怎么求啊？对吧，那你想想一个事情，那这个质怎么求啊？有些同学这个问题又回到前面去了，那要求质不就得求出极大无关组，看它的个数吗？但是你好像这个方向又不对呀，你方向不应该是我知道了，质我去找几个线性无关的，作为极大无关组吗？那你这个问题不就撞回去了吗？我要知道了，极大无关组，我当然知道知，

但是我现在的方向不是这样，我现在的方向是我知道了，知我去找几个线性无关的，作为极大无关组。所以说这就非常有问题了。大家注意一个事情，你听好了，我们今天学过了两个字了。一个叫矩阵的值，一个叫向量组的值好，我把这个东西敲出来，你好好理解啊。一会儿我再给你整理，不要混啊好，我们来看看分析。

区分一组概念。那么，这里面当中，我们已经学过了两个概念，第一个事情叫做矩阵的值。第二，事情叫做向量组的值。两个概念。矩阵的值和向量组的值。这俩东西一样不一样。不区分一组概念。一样不一样，当然不一样，告诉我什么叫矩阵的值？矩阵的值是矩阵中最高阶非零次式，

它的基数。对吧，它的阶数矩阵当中最高阶非零子式的阶数就是在这个矩阵当中干嘛呢？我去找行列式，我挑出什么东西呢？挑出最大的不为零行列式的接数这个事情，所以说叫做矩阵当中最高阶非零子式的接数。我能取得最大的波维林行列式的接触。这是矩阵的值，但是你发现什么叫相当组的值呢？它不是那样定义的，它说的是向量组。的极大无关组。无关组中向量个数。对吧，

其实就可以这样来，就是极大无关组当中的向量个数。极大无关组当中有多少个向量？你的向量组的值就是多少？所以说它叫做极大无关组当中的向量个数。所以说你发现这就是要区分的一组概念。不一样吧。定义都不一样，所以说你发现个事情定义完全不一样。大家注意这个定义完全不一样，一个是怎么办？在这个矩阵当中找最大的不为零的行列式，你看看这个人的接触一个人干嘛呢？来找极大无关组，什么叫极大无关组？

他们信息无关表示，所有你当中有几个向量，你的值是多少，这完全不一样的两个概念。所以这两个概念是不一样的。但同学们，我们接下来再来看你喜欢求哪个？你喜欢谁？你喜欢矩阵的值，还是向量组的值？啊，同学们，你告诉我你喜欢哪个？你不要跟我说，都不喜欢你喜欢谁，

很明显喜欢矩阵的值。为什么？因为矩阵的值好求啊。矩阵正值，我怎么去求呢？我去把这个矩阵进行初等变换，化成行阶梯有多少非零行，我的质就是多少。那这多简单，但是你发现向量组的质多恶心啊，你还要找极大无关组，看看得有多少向量，本来极大无关组就不好找。所以大家注意唉，你赢了对吧？

我最喜欢的是谁呢？矩阵的值。那我喜欢矩阵的矩，那大家再想一个问题，两个人是不是都叫质啊？两个人既然都叫智，有没有某种共同性呢？俩人的名儿都叫智，都叫智，只不过一个是矩阵的矩，一个是向量组的质，有没有某种联系呢？当然有。那么接下来我们来看看今天的黄金重点内容。这是我们在考研过程当中非常重要的三制相等，

但是大家注意你听好了。这东西啊，我现在没法跟你争。你现在也震不了，所以说你先把这个概念给我接受了好不好？先把这个概念接受了，等一会儿我讲完了回过来我再给你震行不行？当然，其实对于我们三九六同学，你能把它记住就可以了。好，那么接下来我们来看看三值相等黄金重点，好好听啊。没有这个事情，我们的第二章和第三章就联系不起来。

第四章很多结论就没法用。这概念特别重要。什么叫三制相等呢？他这样说的，他叫做如果一个矩阵的值是多少？那就等于它的列值。也会等于它的行值。有些同学你会发现一个事儿，这概念呢，就没听懂什么叫劣质。什么叫行制劣质？不是那个劣质产品的劣质劣质。对吧，什么叫列指，什么叫行指呢？

我给你讲讲这个问题，大家好好听。认真听这个事情来操作一下。那么，首先我们先看第一个问题，大家都知道，如果这是一个矩阵。对吧，这是个矩阵。那么，这个矩阵呢？我们可以怎么办呢？我们可以把它划是分成一列一列的。一列一列的。一列一列的假设我就划分这几列。

第一列叫什么呢？第一列叫阿尔法一。大家想想一个事情。这一列你看这一列。行列式是方，你怎么学到今天还能问出这种问题啊？啊，你怎么能问出这种问题？他肯定是方的呀。那行列是必须释放的呀。都今天了啊，这句话我已经在这个上课过程当中重复了无数多遍了啊。好了，我们再来看你，发现这是第一列。

第一列，它就是一个向量吧。也是个列举证嘛。然后这是第二点。这是第三列。这是第四点。这是第五例。那么，同学们想想一个事情来看看。那我能不能把这个矩阵写成呢？阿尔法一阿尔法二阿尔法三阿尔法四阿尔法五。行不行？然后用括号括起来。当然，中间过程当中啊，

你写不写逗号都无所谓，那这个东西叫什么？这叫裂缝块针。列分块帧对吧？列分块帧那这是一个列向量，这是一个列向量，这是个列向量，这是个列向量，这都是个列向量。我们得到了一个非常重要的结论，就是如果我进行去求解这个矩阵的值。就等于多少呢？第一个列向量，第二个列向量，第三个列向量，

第四个列向量。第五个类型呢，这个向量组的值。所以在这里面当中啊，你就会发现一个事情，这个矩阵的值啊，就会等于这个向量组的值。啊，矩阵的值等于向量组的值，所以说希望同学们注意啊，这就是我们讲的第一个问题。什么向量组的值呢？列向量组的值，所以说叫做列值，记住啊，

矩阵的值等于列向量组的值。所以叫做劣质。听懂我的意思吗？好，这是我们讲的这个第一个问题，你听懂了吧？大家再给我回复一遍，你在屏幕前给我敲出来。这个东西叫什么？这不是这个分块矩阵的值啊，它读作列向量组的值。这个向量，这个向量，这个向量，这个向量，

这个向量，它们是个向量组，叫做向量组的值听好了列向量组的值。好了，那么接下来我们继续来看我，看看大家的水平到底怎么样？看我们的第二个人。那如果在这种当中，我们继续看一个矩阵。你都知道一个矩阵呢，它既可以怎么办？横着画，它也可以竖着画啊，刚才用这个颜色，我现在也用这个颜色。

好，我继续用这个颜色。我把它划分成这样。那第一个向量是不是个行向量？第二个向量是不是也是个行向量？第三个向量是不是也行向量？第四个向量也是个行向量，如果把这个矩阵你发现一个事情，我就可以写成什么？写成北大一，北大二，北大三，北大四。是不是写成这样了？好了，

这个东西啊，就立即把它写成这样了，那么同学们注意一个问题，我们一起来看。那这个时候又得到了一个重点哦，这个矩阵的值就等于什么？这是个行向量行向量行向量行向量行向量组。我问你个事情啊。那个字怎么去写啊？是横着写还是竖着写？矩阵的值等于这个行向量组的值怎么写？横着写还是竖着写？大家注意，如果你竖着写，这跟前面这个东西就没有什么区别。

你如果是竖着写，这就跟这个东西是一模一样的。这是一模一样的。大家注意啊，你一定要区分开，如这个东西就是诶，那你就没有变。他这个人叫做什么呢？这个矩阵的值等于。这个向量，这个向量，这个向量，这个向量。这个向量的极大无关组的值啊，这个什么向量组的值等于它们极大无关组当中的向量个数就这样写。

所以一定要听清楚，不要转职，没有转职，你看吧，如果你加转职的，你说明的话，这个你要理解，对吧？这是一个向量，这是一个向量，这是一个向量，这是一个向量，你要深刻的进行去理解什么东西叫向量组的值。你听清楚，比如说我再给你举个例子，

你看如果我的阿尔法一是一零。我的阿尔法二是零一。我的阿尔法三是一一，请告诉我他们的极大无关组是谁啊？它们的极大无关组是不是阿尔法一和阿尔法二？对不对？阿尔法一阿尔法二线性无关表示，所有所以说这个时候你就可以说阿尔法一阿尔法二阿尔法三这个向量组。他们的智商。他说老师那不对吧，你这样一写的话是不是一零零一一一？你这是什么玩意儿？大家注意你读错了。它不是那个矩阵的值，它叫做这个向量组，

这个这个向量，这个向量，它们三个行向量形成的向量组，他们的值。它的概念是极大无关组当中的向量个数。不要绕哦，吃鸡一点都不绕，很简单的一个问题。能听懂吗？哎，这是这个事情，所以他说的是如果你竖着写，你竖着写这个人跟这个人没有区别吗？你这俩是一样的吗？对吧，

你这俩就是一样的呀。那所以说你这样写的话，就跟这个a是一样的嘛，它叫矩阵。所以一定听清楚这个叫做这个向量，这个向量，这个向量，这个向量，它们向量组的值。好，这就是我们经典的三质相同。就是一个矩阵的值，它会等于它们列向量组的值。它们也会等于它们行向量组的值。矩阵的值等于列向量组的值等于行向量组的值。

听得懂吧，要明白，别管你是行向量，你是横着走的人，你还是竖着走的人，那我去求你的向量组的值都会等于你们矩阵的值。这就是著名的三制相等。好了，同学们听懂了吧？那么接下来我们来看看经典问题。第一个事儿那么，所以说通过这个事情你就会发现一个问题来考点一就来了。如何求解一个向量组的值呢？对吧，我怎么去求解一个向量组它的值，

这第一个概念。怎么求解呢？非常简单，转成矩阵对吧？所以说第一步。将向量组。案例。顺排。形成矩阵。大家注意啊，这是我们所学习的这个第一步。第一步非常简单，先把它给我形成矩阵。这里面当中，我想着重点提示一个事情。

别管你是行向量，你还是列向量，你都给我按照列这里面当中有个重点的字儿，按照列。把这个向量组按照列形成矩阵，别管你是行向量还是列向量。能听懂吧，别管你是行向的还是列向的？那么，这里面当中给了一个阿尔法，一给了一个阿尔法，二给了一个阿尔法，三给了一个阿尔法n。我们都一律怎么了？按照列形成矩阵，

这是第一列，这是第二列，然后这是第n列。按照列形成矩阵，然后怎么办呢？我们去求解这个矩阵的值。那么，这个矩阵的值怎么求呢？矩阵的值非常简单，我可以通过什么东西啊？通过初等变换，所以说接下来我们看看第二个。对矩阵。矩阵进行初等变换，化成行阶梯。

化成行间t矩阵。行阶梯矩阵的值是多少？非零行的行数就是多少？那矩阵的值就是多少？矩阵的值是多少？那说明这个列向量组的值不就是多少吗？因为矩阵的值就等于它每一列形成的向量组的值。那这个时候多简单啊，矩阵的值就等于什么东西啊，就等于它们形成的列向量组，他们的值。你看这个问题点是不出来了，所以你会发现你看这个概念，立即把它串清楚。所以我今天过程当中，

我想着重点提示一个问题，最后一句段话，我给你敲出来了。总结。这句话你听清楚啊。虽然虽然矩阵的值。与向量组的值。定义不同。但是，根据三制相等。相等计算结果。是一样的。哎，是一样的。所以从考试角度上而言，

我这句话我专门给你敲出，我以前从来没给你敲过任何班级，我都没敲，我都是口述的。我希望你注意一下，对吧？你着重点注意一下，所以从考试角度上。以后。就认为。两者。一致即可。听懂我的意思吗？所以注意啊，从考试。

计算题的角度上而言。虽然这两个东西的话，你发现它的定义不一样。但是你就会发现，根据三质相等这个矩阵的值不就等于列向量组的值不就等于行向量组的值吗？当你去求这个向量组的值不就是求这也是个矩阵的值吗？那矩阵的值不就等于向量组的值吗？所以说从计算角度上而言，两者就是一样的，你从定义上肯定不一样。所以你看我专门加了这个词儿，所以你下去过程当中有些同学说周老师讲矩阵的制就是向量组的制。胡扯，我说从考试计算题的角度上，我给你敲出来了，

对吧？你要说这个问题，我就立即把这个发给你啊。好了，这是这个事，所以一定要听清楚这个问题。好了，这个事儿我们就说到这儿，所以以后过程当中啊，你说哎我去求向量组的质怎么求非常简单，把向量形成矩阵，求解矩阵的值。那就可以了，好那么接下来我们一起来看看这个事情。比如说我们来看这个题，

那这个题大家来看看。这是个什么？这是一个向量组吧？这个向量这个题特别好。这个向量，这个向量，这个向量，这个向量，这是不是向量组的质量？哎，这是这个向量组的值。那向量组的值不好求啊，我知道就等于你们形成矩阵的值，就把每一个人按照列排成矩阵。矩阵的值就等于这个列向量组的值。

所以在这种当中，我们一起来看看这个事。对吧，第一步怎么了？第一步来解。要注意这个向量组的值就等于行成矩阵的值，第一列a三一第二列。2b二第三列幺二一第四列二三一好，我问一下大家啊。求解矩阵的值，怎么求你可以用行列式的方式做，或者初等变换？但同学们，你想想一个问题。你如果是这个题啊。

二比三，如果是这个题的话。大家好好看，你怎么去做呀？是不初等变换呢？同学们，想想。那这题怎么做？我是不是把这个东西进行初等变换呢？我如果把这东西进行初等变换的话，你发现从第一列的角度上而言，我怎么做呢？三阶行列式等于零可以。对吧，所以说这里面当中的方法很多，

因为你的质是二，所以说这里面当中的三阶行列式等于零，因此啊，我们来看看方法一。这同学非常好，非常非常好，那你想想这两列是不为零的吧？然后这一列呢，刚好有个a，所以说我们就求一下a三一幺二一。二三一这个行列式，它等于零，然后第二个事情的话，继续幺二一二三一，然后再加上一个2b三。

你等于零，因为他的知识二所有的三阶姿势都被零学的真好啊，对吧？这个水平点一下上来了。那么，接下来我们来看看这个最后一个点怎么去求呢？要注意啊，行列式啊，比这个矩阵制的初等变换要强的地方在哪？它有行列式的展开性定理。这是我们初等变换办不到的事情，所以接下来我们来看看这个人，你会怎么做？按照谁做，我就会按照第三列来做。

对吧，我以这个幺二一为例，我先负一倍加过去，这是零，这是一，然后这是多少？这是一。我再把这个负一倍加过去，是它这是一，然后这是a- 1就变成它，然后就是这个了。那这人就是负的，然后是a- 1，然后在这个这就是a- 2=0，所以说立即推出来a=2。

好，这是第一个人，然后我们再来看下面一个事情，你继续做，我们还可以怎么办？我用这个二三一这个人来。负一倍加过去，负一倍加过去，负一倍加过去。然后的话，这个减去三倍，减去三倍，减去九，减去三倍呢，二三得六，

这是负四。所以做成这样，因此你就会发现是这样的一个人，那这样的话，他就是四，然后再加上个多少b- 9=0憋出来了。好了，这是我们在这种当中啊，处理这个问题能跟得上我的意思吧？所以说这个题啊，立即出来了啊，基本信息点要会看的。好了，这是我们讲的这个第一种方法。能学会吗？

行列式来，接下来我们再来看第二种方法。那第二种方法怎么做呢？来继续看啊，刚才这种事情很好做，行列式最突出的特点就是有行列式的展开定理，这是它很强的地方。那再看第二点，你还能怎么做？那触动变换吗？那触动变换的话，你会发现一个事儿。如果这个题进行去初等变换，你进行做的时候，你是不是会把这个第三行调上去啊？

就是幺三幺幺。然后这是3b二三，然后这是a二一二做成这样，然后用第一行进行取消。你消完了之后的话，你看这是第一行幺三幺幺减去三倍，这是零减去三倍减去九，然后减去三倍呢，这是负一减去三倍，这是零。然后下面呢，又减去a倍，你减去a倍的话，你发现这是零减去a倍，这是二减三a一减a。

二姐妹疯了。我这样一做的话，你发现我瞬间疯了，你可以做到这儿之后，你会说这两行成比例也可以。但是会稍微的麻烦一点。其实也可以做，因为你的知识二这两行必须是成比例，那必须是成比例的话，其实也能做。那你想想这两行，如果能够成比例，我赶紧说一个事情，你这块是零跟这个人成比例，我赶紧说这个最后一个二减a肯定是零。

对吧，这肯定是零，所以说a等于几a=2。a等于二，然后是多少呢？是b减九比上二减三a就等于负一比上多少呢？一减a。b就出来了，那这个时候的话，你发现它这个东西啊，也能处理。但是我觉得这个题啊，你还能更巧一点。来再看方法三。好，

我们再看方法三同学们，你想想这个事情。这个矩阵的值等于二，你喜欢求这个人吗？我不喜欢为什么第一列放了一个a，太恶心了，你喜欢谁在前面，我肯定希望前面的话你看。这一列我希望在第一列。这一列我希望在第二列，你这两个东西我希望在第三列啊，在后面，所以大家注意一个事情，我们上节课过程当中，我记得给你讲过一个问题。

那你发现你把三四放到前面去，你告诉我它的质是不是还是二？是不是二那这就相当于初等裂变换了嘛？裂变换也不变质啊，那所以在这里面当中我就会形成一个矩阵，这个矩阵是谁呢？这就很强很强了，这就是你的观察能力，所以我在这里面当中，我会把它两个放前面去来，你到后面去。绝了这个水平点相当的高，然后你再进行去变换的时候，你来看看一二a二。减去二倍，

减去二倍，减去二倍，这是三减二a，减去二倍b减四，然后减去上面，减去上面负一，减去上面一减a。减去上百多升呢啊，这是一。所以说这个时候他的质是二，这两个东西也成比例成比例的话，就说明这俩相等，这俩相等，这俩相等的话，说明b=5。

然后这两个相等，那这两个相等的话，说明三减二a等于一减AA给出来。是不是这个事情那所以这个题啊，你发现就非常简单了。所以因此这个题的操作方法呀，我觉得还挺多。你要理解，但是这节课最重要的问题，你必须要知道一个事情，你求解的这个矩阵的值就会等于它的列向量组的值。也会等于它的行向量组的值。能想清楚吗？要注意一下这个问题啊。跟上了吗？

好，我们就说到这，那么同学们如果在这种当中，我稍微把它变化一下。那么，如果我在这个题当中啊，我把它做一个改编。对吧，我把这个标了。我把这个不要了，我把这个不要了，那么同学们想想这个题结果一样不一样。那这个人就给了一个行向量，行向量行向量行向量行向量的值。他说，

行向量组的质等于二，那又怎么了？我照样把它按照列排，你要注意啊，我排的东西是一样的，仍然是a三一，仍然是2b三。仍然是幺二幺，仍然是二三幺。对吧，这个矩阵的值就会等于这个向量，这个向量，这个向量，这个向量。这几个向量，

它们形成的向量组的值。能听得懂我的意思吗？我照样可以得出来这个矩阵的，值它等于二。这个矩阵的值等于二，就等于它的每一个列向量形成的向量组，那个列向量列向量列向量对应的这个向量不就它它它的值吗？方式是一样的，所以说最后啊，我们把它总结一下方法，就是这样，一定要把这个向量组按照列。顺排行程举证。按照列顺排对吧，然后进行触动变换。

好，这是我们讲的第一考点，然后接下来我们再看第二考点，大家注意啊。呃，第二考点呢？我还是先怎么了？我先把方法讲给你。你要注意啊，你是没办法进行，怎么了？这个现在你没办法知道它的来龙去脉。所以我现在把这个什么东西呢？我先把这个方法给你行不行？可不可以一会儿我会解释的？

一会我们在下课前，我刚好讲到那个知识点，之前我一定会给你解释的。所以接下来我们来看看下一个问题。考点二，如何求一个向量组的极大无关组？对吧，我怎么去求解它的极大不关注。好，这是我们非常重点的内容，怎么求极大无关组呢？来看第一件事情。要进行去求解，极大无关组两件事情，第一件事情对吧？

它的核心核心其实就是两件事情。找几个人呢？几个向量啊？第二，事情必须线性无关。对吧，这两件事情就它的核心方向，其实就是这个人啊，不应该叫核心，应该叫方向。其实就是两个问题，第一事情你要找几个向量？第二事情你们必须线性围观。找几个人呢？必须先行无关，

找几个人是由谁决定的，是由向量组织的，这个什么的致敬性决定的，所以我仍然把它按照列排成矩阵。排成矩阵了之后，然后给它进行初等变换，化成行阶梯，请注意第三步。阶梯口。t矩阵。阶梯口。对应向量。即为极大不关注。哎，注意啊，

就是这个阶梯口所对应的向量即为g大不关速，但是这里面当中要注意一个非常重点的问题。你琢磨一个事情。比如说我们按照什么东西呢？把它形成矩阵。这是第一列，这是第二列，这是第三列，这是第四列，对吧？我们求质的时候，大家想想就是。求质的时候能不能进行列变换？能不能求质？能不能进行列表啊？

当然可以啊。初等行变换不变值，初等列变换也不变值。我如果进行去求质你行列变换都行，你行变换可以列变换也可以，但是同学们。求极大无关组的时候，你能不能进行列变换？绝对不行。你琢磨一个问题啊，一会儿我会把这个人画成行阶梯。对吧，我把你画成行阶梯。那我把你画成行阶梯的话，这个阶梯口这个阶梯口这个阶梯口阶梯口对应的是谁？

那它的极大无关组就是谁？但是如果你在这里面当中，你听好了，比如说我把这个人叫做小绿，这个人呢？叫做。小这个啊，小紫，这是小黄，那你想一个事情，如果你把小绿和小黄换了。对吧，你换了，你换了之后的话，你把这两列调换了之后一换，

你说呃，或者是你你换到后面去了。对吧，然后的话，你比如说你你假假设举个例子啊，这个位置那这个位置还是原来的那个人吗？不是了呀。你或或者怎么办这个呃，这个假设就这俩换吧，或者我我这样换。我最后的话，极大无关组是第一列和第二列。第一列和第二列，那第一列，第二列应该是阿尔法一和阿尔法二啊。

你阿尔法一和阿尔法二啊，但是你现在这时这俩人就变了呀。我相信同学们应该理解我的意思吧。你最后按照这个阶梯口去找那个人，但是你把这两列调换了，他还是他吗？他就不是他了。所以同学们一定注意一个事情，就说什么问题呢，就说你这个人只能进行什么变换，你行变换可以。你行变换的话，这个人的位置变了吗？你看这个人就是第一列，他永远都是第一个人，

你这个人是第二列，你永远都是第二列。你你一直行变换的话，你那个位置是没有变的，你横着一变，我从这个阶梯口找你，我还能找到你吗？我就找不到你了。所以同学们一定注意，你看你从这个人就找不到他了，所以他只能进行什么初等行变换。这是你一定要注意的事情，按照列排只能进行行变换。对吧，你只能进行。

你绝对不能进行列变换，你一进行列变换，这题就废了，所以说这就是我们做题方法。你看他这个人的阶梯口划成行阶梯有多少非零行，他的质就是多少。知识多少就有多少，阶梯口那阶梯口有多少个，那就是极大无关组。这件事情我一会儿会做解释的，当然的话，其实三九六同学有些同学的话你发现啊，其实就没有怎么进行去理理，原来过程当中也不理解，不理解的话，

你把它背过了。你背过了之后的话，你也能做。你看这个同学说那我按照行排呢，你见过行排吗？那航排就裂变化吗？你学到今天呢，你还理解不了我的良苦用心吗？对吧哎，你发现一个事情学到今天了。你还记得一个事情，原来学习行列式。行列式的时候我就说行变换可以列变换也行。你还记得吗？行，

变换可以列变换不是也行吗？也可以啊。行列变换都行，行列变换都行，当时我们进行高斯消元法的时候，我怎么说的？如果是用高斯消元法，你就好好的进行，怎么你就好好的把它进行去变成一直在行变换？然后紧接着进行求矩阵的值。画成行阶梯的时候，我说行变换可以列变换也行，行变换可以列变换也行，我给你怎么说的，我说你就用行变换，

当时有人说那我就想用列变换。你到今天你的话，你你你可能还会有一点儿，等你学到方程组，你就马上能理解我为什么一直在讲这个事儿？然后的话，你看到了，今天我们求解向量组的值。向量组。对吧，向量组的值。这个东西行变换可以列变换也行。对吧，这个人。这是行变换，

可以列变换也行，只不过怎么办？虽然都可以，我就是行变换罢了。然后的话，你发现极大无关组。他这个人呢？只能考。按照列排，按照行列排，等你将来去解方程组。只能抗并。所以这就是我们学习的所有的，如果进行去求解，这个什么行列式可行可列质呢？

行列都行，极大无关组呢，按照列排只能行变换方程组呢，只能行变换。那这些事情的话，有些同学说那老师我哪些行变化，哪些列变化，我就非常麻烦。你统一用行不就行了吗？对吧，除了行列式而言，有的时候我们喜欢用列，但是剩下这些部分你都用行不就行了吗？哪有那么多的这样的一个问题点了呢？那所以在这种当中，

你只要进行的行变换，我一直给你这样的要求吧。你有没有发现一个事儿？我原来学习行这个，你还记得这个学习行列式的时候吗？在第一章的学习过程当中，我说教你把它怎么办画成上三角矩阵还行吗？还记得吗？划成上三角。你画成上三角了之后的话，你再来看看这个，后面的话，这个矩阵的阵矩阵的阵，我们画成行阶梯。有没有发现操作思路都一样？

先把下面消成零吧。再把下面消成零吧，再把下面消成零吧，对吧？你这下面消成零，这边下车消成零消成零。这不都叫高次消元法吗？你虽然知识点不一样，但是你有没有发现这个运算能力的体系是一样的？所以我原来在第一章的过程当中，那当时你你回想一下是不是有好多同学问说我如果列呢？我说你如果做那种纯运算的题，你就行变换。你还记得吗？划成上三角，

等你学习到第二章的时候，初等变化成行阶梯的时候，你想想上上节课是不还有同学在问，那我如果进行列变换呢？你发现统一都是在进行行变换操作吧，那么将来我讲的方程组你就更加明白我为什么一直跟你说你一定要进行行变换划行阶梯了。因为我希望你整个东西的运算是一个体系的。好了，这事情我们就讲到这儿，所以这里面当中啊，就体现出了一个问题，怎么进行去求解？一个向量组的极大无关组。来做一个题可以吗？我来找一个题吧，

我们来做做。呃，找一个啊，找一个找一个来做一下不难啊，来找一个。我来找一个题，你们不要抄题啊，上课的做就行。这个同学。你听课。我这么大的一堆东西，你看不懂吗？行列式，你一会儿行，一会儿列矩阵的置向量组的置，

你一会儿行，一会儿列行可以。那你行，一块儿列一块儿，那你就行，一块儿列一块儿呗，我拦不住你，对吧啊？好吧，你今天一定要行，一会儿列一会儿以后不准全部用行，你听懂我的意思吗？好吧，你以后一定要行，一会儿列一会儿。

好不好啊？一会儿行，一会儿利。听懂了吧，你以后一定要这样做啊，来我们来看看三七七这个题。那么，接下来我们来看看三七七这个题。那这题说什么呢？他说，一个向量。一个向量。一个向量，一个向量，一个向量。

他说让我们择这个向量组的极大无关组是谁？那么在这种当中，我们先来看一个事情怎么做？把这个人。按照列排。列排的话就是一负一二四，这是第一列。然后第二列是零三一二，这是第二列。然后第三列是三零七十四啊，这是第三列。然后继续是一负二，然后这是二，这是四，这是第四列，

然后最后一个事情是二幺50，这是第五列。那么，在这种当中，我们就可以来做了，把它进行怎么列变换啊？这个什么按列排只能进行行变换，一旦列变换，这题本一定会错。所以这里面当中只能进行行变换。好没换操作一下吧，等于一一零。三幺二。加下来三三加下来，这是负一加下来是三，

然后减去二倍零，这是一减去二倍呢，这是一减去二倍呢，这是零减去二倍，这是一。然后继续来减去四倍，这是零减去四倍，这是二减去四倍，这是二减去四倍，这是零减去四倍，这是二。好了，这是这个问题，然后这里面当中，你看你这一行和这一行的话，

这个部分的内容，它立即就变成了这个人了。零零零。然后这个时候的话，它就变成我们可以调一下吧，行变换嘛，把这个调上去调上去了之后的话减去三倍，这是零。减去三倍，这是零减去三倍，这是零，然后负一，这变成一。好了，这个人就做成这样来吧，

一起来划行解题，我用绿色画啊画完。画在这儿，画在这儿，画在这儿。是不是啊？我们就画成这样，那画成这样了之后，我们继续看有没有发现它对应的是谁啊？这一点。这一列和这一列，所以说就是第一列，第二列，第四列一二。四所以说就是一二四正确答案选几选b。

好会求了吗？对吧啊，一定要会求极大无关组的问题，等会我还会讲。那么，还有一些别的方法啊，还还可以进行去找到好多好多的几大无关组，一会我再来讲啊，这个部分内容你会做了吗？你今天终于明白这个运算的体系，你不会觉得再繁杂了吧？你可能第一遍第一天的过程当中啊，什么别的夜市啊？所以说这个部分内容一定要会做，以后我还会再讲的。

对吧，一会儿我还会再讲啊，就是这个阶梯口对应的这个人呐，就是吉大五官组。呃，这个部分的内容一会儿会带着你进行去理解，你不要着急，这个事儿我一会儿会拉回来，继续给你讲这个问题。所以说这个极大无关组的这个求解啊，这是一个非常非常重要的能力。你到了今天过程当中啊，你就会发现一个事儿，这个吉大无关组这个东西啊，我为什么是一定要把它进行列变换啊，

这个按列排行变换这个原因，我们刚才已经讲过了。而且这个运算能力是我们一直来强调的吧，你在第一章第二章到了第三章依然用的就是这个内法。你不要着急啊，我一会儿会给你做重点解释的。行吧呃，要不这样吧，我们稍微休息会儿，因为一会儿内容太重要了，它需要有点儿反应，要不这样吧。我讲完那个知识点，你下课好好想想，然后我们再来进行去练题。

那这样再休息行不行？五分钟等我五分钟好，我们来看看下面考点看一下下面一个问题，线性相关性。的判定二。我可以明确讲，这是今天。黄金重点。啊，非常重要，相当的重要，你能听懂我的意思吗？非常非常的重要，黄金重点。如果想强调，

哎，太重要了。这个部分内容太重要了，你这个部分没有通，那今天的后面过程当中就不用学了啊，所以我明确给你讲这个部分内容特别特别的重要。好了，那么接下来我们一起来看看下面的事情怎么进行去求解线啊？这个线性相关性呢？这种方法用之。用谁的值呢？用极大无关组的值啊，用用向量组的值，那么在这种当中我们来看看一个事情，蒂米怎么说的呢？

他这样说的。这是第一个向量，第二个向量。然后一直到后面去，这是第n个向量。对吧，这有n个向量。我把向量组的质跟谁比呢？请你在笔记上把这个个数两个字给我标重点。跟谁比？不是跟行比，也不是跟列比，是跟向量的个数比。怎么去数几个向量呢？一个两个三个n个跟向量的个数比。

我再说一遍啊，不是跟别人比，是跟向量的个数比。将向量组的质跟这个向量组当中的向量个数来比。那这里面当中会出现两种情况。会不会大于。大家告诉我会不会大雨？绝对不会向量组的质，其实对应的就是矩阵的，值你矩阵怎么会超过这个人的个数呢？对吧，矩阵的值小于行数，小于列数不会的。那么，在这种当中有两个问题，

第一个事情，如果是相等的。如果是相等，那就说明什么，就说明这个向量组是线性相关还是线性无关？相关还是无关？如果是相等啊。我来给你理解。你看这个东西是什么呢？向量组的值。向量组的质的意思其实就是极大无关组当中的向量个数。你总共有几个向量？你总共有n个向量？而你极大无关组当中就是恩格型的，说明什么事情说明你自己就是你的极大无关组。

对吧，你自己就是极大无关组，而极大无关组一定是线性无关。这没问题吧，对吧你你只有n个向量，你极大无关组当中n个向量，你自己不就极大无关组好，我们再看第二个事情，那如果是小于呢？小于这个事情更简单。那说明你极大无关组当中的向量个数比总体的这个向量个数要少。那就说明肯定有向量，能被其余人表除。存在向量被其余人表出，那不就说明这些人是线性相关吗？

这是它的充要条件。所以说这里面当中的第二个问题就来了，他们是线性什么管线性相关。线性相关。对吧，你其他无关组当中向量个数，你比我总的这个向量个数要少啊。对吧，你要少，所以说我就可以判定，肯定有校长能被我表出，我们就说明息息相关，因此。即使下课的过程当中给我反反复复的进行去想这句话，念念不忘，

必有回响，下课一定要把它给我记住。两句话听好了。向量组的值等于个数，那就说明这个向量组线性无关小于个数，是相关等于个数是无关。小于个数是相关等于个数是无关，记住这个问题，所以一定要听清楚跟谁比，跟个数比。对吧，跟个数比。所以一定要听清楚一个事情是跟什么跟这个啊？不要被被打岔了，对吧？

发现你你们下去都不复习的吗啊？你你会发现上节课才讲的内容都不复习嘛，这方法方法一是用定义法嘛。你怎怎么讲过的东西一点都不记得，而且是上节课的内容啊。这距离多近呐啊。好了，我再说一遍。如果向量组的值等于个数是无关小于个数是相关，而这个向量组的值就等于它形成矩阵的值。小于个数是无关等于个数是相关。对吧，小于个数是相关等于个数是无关项量组的质就可以用矩阵的值来求跟谁比跟个数比？我再强调一遍，跟向量的个数比数一个两个n个好，

这个问题下去我想。好不好？下课给我好好想你，今天下课你不用做别的事情，你就好好跟我想这段话。等于个数说明这个向量组是线性，无关小于这个个数说明这个向量组线性相关。好了，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续吧，下课就给我讲这句话，听懂吗？啊，注意啊，好好想把它给我记死。

你一会儿你就会发现做题就非常容易了，好稍微休息会儿，一会儿继续。

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