08.非齐次线性方程组-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:57:23

行，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个考点三啊呃七项这个部分内容还比较重要一点啊，所以说希望同学们好好听啊。啊，好好听课啊，好好听课。那么，刚才过程当中啊，我们讲了一个东西，叫做线性表初。对吧，线性表出什么叫线性表出呢？它表示了这样的一个问题，就是一个向量组。

与一个别的向量。之间的关系。是吧诶，它们之间的关系。那么，这里面当中他说的这个问题说了什么？你们别这样啊呃，好好听课好吧啊，听课。它这个东西啊，说的一个事情，说它说的是一个向量组，对吧？我这个向量组和一个什么和一个别的向量之间的关系。对不？

我这个向量组跟别人之间的关系啊，这叫线性表出，也叫线性表示啊，这是这个问题，那么接下来我们要谈论什么东西呢？我们要谈论线性相关性。线性相关性讨论是什么？讨论的是这个向量组内部的关系。啊，就是这个向量组的内部关系。所以在刚才过程当中啊，他说的这个问题是这个叫做我这个向量组跟别人之间的关系，我这个向量组能不能表示你别人呢？啊，这个问题，

然后现在说的事情是我们现在要描述的是这个向量组的内部关系。所以刚才过程当中啊，它试的是这里面当中的这个阿尔法一啦，阿尔法二啦，阿尔法n啦，对吧？我这个人。跟别人的关系，我能不能表出你那么现在呢？我要研究的问题是你这个向量组，你内部之间是什么关系？说这个向量组是线性相关还是线性无关呢？好同学们，好好听我一下，给你上至高这节对吧？

就一下子把这个水平点拉满。那么，这里面当中，我们先进去去讲什么问题呢？我们来研究一下这个人。大家好好听一下，我们研究什么呢？比如说我们研究的这个向量组是阿尔法一一直到阿尔法n，这个向量组。好听好了，我研究的是这个向量组。那研究这个向量组的什么呢？研究这个向量组的线性组合。我们来研究一下这个向量组的线性组合。大家注意啊，

我们研究这个线性组合什么意思呢？研究这个人研究k1倍的，它k2倍的它。kn倍的它，我们来研究这个线性组合。对吧，我们研究这个人研究这个线性组合等不等于零，它的一个情况。哎，我们就在研究这个问题。大家想想一个事情，我们先来看看，如果让这个线性组合等于零。这就是我们研究的问题点，要注意啊，

我们在研究研究什么呢？就研究这个人。大家琢磨一下。如果在这里面当中，你的k1k2 kn都等于零。大家注意当。k1k2一直到kn你都等于零的时候，上面成不成立？那肯定成立啊。如果我系数都为零的时候，你肯定等于零。你绝对等于零。对吧，这是这种情况。我现在研究的问题是什么呢？

我现在研究的是你还有没有别的情况，让我等于零哇，这个水平点呢，这句话非常的重要。多少这个以前过程学习这个内容学不透哎，所以说大家注意啊，我们说的是如果所有系数都为零的时候。它当然等于零，我们研究的是什么？我们研究的是还有没有别的情况，大家注意啊，把这句话给我记得住。还有没有别的情况？你到底还有没有别的情况，让我等于零呢哎，

他研究的是这个问题，通过这个指标，我们进行怎么办？把这个线性相关性给定义出来了。这句话特别重要，你还有没有别的情况呢？如果有你就是线性相关，如果没有你就是线性什么关无关。所以接下来我们一起来看看你，凭借着这样的一个东西的理解，我们再看那个线性相关性的定义就绝了。大家注意啊，你都为零的时候肯定为零，还有没有别的情况呢？我们先看线性相关性的点。

他这样说的。我不说那些人是向量组的啊，我们就直接写他说。算了吧，还是写一下。呃，不写了吧？如果什么情况呢？它这样说，若存在诶，它的意思就是说我如果有。你刚才说全为零，我说什么如果存在？不全为零。的k1。

k2一直到kn。使得什么情况呢？使得这个k1阿尔法一。k2阿尔法一直加到kn阿尔法n，我让你等于零，我就称什么东西呢？我就称。这个向量组是线性什么的相关的哇，这句话非常重要，不信你再看，尤其往年过程当中有些同学。学过这个问题的啊，你发现一个事儿，这个内容一理解什么东西都出来了，就是刚才那个巅峰理解。

当所有系数都为零的时候，我肯定是零啊，你到底还有没有别的情况呢？如果有有不全为零的k，让我等于零呢，对吧？你都为零的时候，你肯定等于零。如果存在不全为零的时候，还能让我等于零，我就称这个是人，怎么线性相关？我估计很多同学到了今天啊，才第一次理解为什么这样进行去定义线性相关性。你可能以前过程当中有些这个直接上来就讲说什么，

如果存在不全为零的数，让它等于它，它就是现息相关好，我记住了。对吧好，我记住了。但是你注重一个问题，你把这个事要理解清楚。什么叫线性相关来，我们再看线性无关，那什么叫线性无关呢？没有了，只有所有系数等于零的时候，我才能等于零。哎，

你可以这样写，说什么没有别的情况，再让它等于零了，它就叫线性无关，所以说这叫至高理解。但数学当中它怎么写呢？它这样说。若k1阿尔法一。k2阿尔法二。kn阿尔法n。你想等于零。对吧，你想等于零，然后怎么了？当且仅当。

什么叫当且仅当呢？只有这种情况，只有什么情况呢？只有所有系数都为零的时候。对吧，它才能等于零，那这个时候我们就称。称阿尔法一，阿尔法二一直到阿尔法n。线性无关。大家注意哦，他理解的这个问题是不是说当所有系数等于零的时候，他等于零不是这样问的。我记得有一年考题是这样说的，说若。

零倍阿尔法一零倍阿尔法二零倍阿尔法三=0则它们线性无关，对不对？对不对？若零被阿尔法一零被阿尔法二零被阿尔法三=0。则线性无关，对不对？大家想想。你就算是线性相关，你所有系数等于零的时候，你也是等于零。对不对？就是无论你是线性相关还是线性无关？你是乡官。你零贝塔加上零贝塔，加上零贝塔，

你还不是等于零吗？你线性无关，你零被它加零被它加零被它，你还不是等于零吗？你别管你相关还是无关，你所有系数等于零的时候，当然等于零，人家就不是这样问的，人家问的是什么，所以这句话肯定有问题。人家问的是。还有没有别的情况呢？对吧，还有没有别的情况呢？如果你还有别的情况，

还能让我等于零，你就是线性相关，你没有别的情况了，让我等于零，你需要线性无关。你到底还有没有别的情况？所以这样的一个问题啊，就是驴唇不对马嘴的。好了，我相信同学们应该是理解了。这就是线性相关性的定义。所以这个定义啊，非常非常的好，定义的很好。所以你看看，

如果你想理解这个数学语言，你必须要怎么办呢？你必须要把这些事情你知道它到底在干嘛？那这样的话，我们进行学习的时候，它就非常简单了，所以你要知道什么东西叫做线性相关，什么东西叫线性无关。人家问的不是说你所有系数等于零的时候等于零，无关无论相关还是无关所有系数等于零，肯定等于零，人家问的是。你到底还有没有别的情况？对吧，你还有没有别的情况？

你还有没有别的情况，让我再等于零呢？如果你还有那这时候的话，我就说你是线性相关。如果你没有，我就说你先行无关。能理解吧好，这是这个事情。比如说我们来看一个例题。来看这个人。在这种当中，我出一个例题一零。零一。意义。那这个人是线性相关还是线性无关呢？

相关还是无关？那很明显啊，我在这里面当中看，当所有系数等于零的时候，肯定等于零，我看看有没有别的情况，你这个人。跟你这个人，跟你这个人。那这时候我怎么办呢？我把这个一加我一减，你也能等于零。对吧，那这个时候它的系数就是幺幺负幺哎，我存在一一负一这种系数也能让你等零。

我存在了别的情况，让你还等于零，那你不就是相关吗？所以这个东西啊，它是线性相关。对吧，你到底还有没有别的情况？如果你还有别的情况，你就是线性相关。对吧，这是它的一个定义，所以你要理解清楚这个事，那么接下来我们再来看看下一个问题，大家注意啊，我们继续写。

我们来看看等价条件。跟我一起来写一下，如果阿尔法一阿尔法二阿尔法三一直到阿尔法n，它们线性相关。那这个人的第一个定义是什么呢？来跟我再写一遍啊，我都不嫌麻烦，你就跟着我一起再来写一下，他说什么若？存在不需要任意啊，不是任意，只要有就行了，如果存在什么样的系数啊，不全为零，同学们，

什么叫不全为零？就说所有人不能同时为零。你可以有些为零，有些不为零，这都行不全为零的k1k2一直到kn。使得什么情况呢？使得这个k1阿尔法1k二阿尔法二，然后一直加到kn阿尔法n=0。如果你存在不全为零的这个系数，让它等于零，它就要线性什么关？线性相关来同学们，你再来想。那既然这里面当中不全为零。肯定有不为零的吧。

假设这个人不为零。你是不就可以把这一项给我移过去了？你不为零就把这项移过去，把这个系数除过来。那你是不是能被其余人线性表出啊？能理解我的意思吗？因为你发现一个事，你这个系数怎么办？不为零嘛，你不为零，我把你移过去，我咔的一下系数除过来，你不就能被我表除吗？那么就说你只要系数有不为零的，那说明这一项肯定能被其余人表出，

那这怎么说呢？你肯定有不为零的，所以说。肯定存在。存在向量。可由什么东西呢？可由其余向量表出。大家注意啊。你可以由其余的向量来表出。你肯定有向量，能被我其余人来表述。这是这个问题，大家能听得懂吗？我相信应该没问题啊，来再来看看线性无关。

第二，事情再来看看线性无关。哎，无关那么，这是我们讲的这个第一波内容。然后再看看武馆，武馆怎么说？无贯错说只有。当k1k2一直到kn。等于零的时候，只有它们都等于零，这一种情况。对吧，只有这种情况。才可使。

k1阿尔法一一是叫大加到kn阿尔法n=0。只有这种情况，才能使得这个人登你看我换成非常通俗的语言，我没有写，当且仅当当且仅当就是这个意思。只有它们都为零的时候，你才会等于零，没有别的情况了，大家想想一个事情，你既然这所有系数都是零。那说明什么情况？你这系数是零，你能被表齐云表示吗？不行，应该说什么对于任意。

想聊均不可。由其余人表出。对吧，任何一个向量都不能被区域表出。无论是谁你都不行，你别管是谁，你都不能由其有人表述好了，这是这个问题，大家听懂了吗？我这波内容你发现简不简单简单吧。这就是别人的痛点，我们的简单点啊，打着别人的痛点走。好了，这是这个事情，

能想清楚吗？好了，这是这个问题，那么接下来我们再来讲一段内容。大家再听来继续来看，如果这里面当中我们这样说。说如果阿尔法一阿尔法二阿尔法三。如果这个东西呢？你是线性。相关。哎，注意啊，你线性相关，那么同学们告诉我能否进行去推出阿尔法一阿尔法二？阿尔法三阿尔法四也相关呢。

你看看能不能？就说你这个人是我的局部。对吧，你是我的局部，你是我的一个部分。你都相关了，能不能再加一个人也相关呢啊？肯定可以，为什么呢？你想想你相关了之后的话。就说什么什么，你存在波全为零的人，让它等于零，现在这些系数不全为零。对吧，

不全为零，那不全为零，让它已经等于零了，那么在这种当中，我们自己再想想一个事情，你这是k3倍的阿尔法三。我再加上零倍的阿尔法四，它是不是也是零？那这个时候这个系数还不是不全为零吗？对吧，不全为零，你这个系数不全不不是全部都为零的，你再来一个人还不是不全部为零嘛，所以说这条内容是。是没有问题的，

这件事情叫什么呢？这件事情就叫著名的局部相关可推整体相关。重点。第一个局部相关。可以推整体相关。对吧，局部是相关的，整体呢，也是相关的啊，你这个局部啊，你你能相关你这个整体啊，你肯定也是相关的。对吧，这个人。整体也相关。

那么，它的内容呢？就是这个内容。所以说大家好好进行去理解这个问题。那局部相关肯定能推整体相关，我现在的问题点是什么？能回去吗？那整体相关能不能推局部相关呢？我给你讲一个贼牛逼的例子。啊，牛逼到炸的例子，但是在讲这个例子之前呢，我要再讲一波内容，可不可以啊？不要乱啊，

不要乱，一定要稳住，一点都不乱。那么，接下来我们再来看看，继续来一个重点。不行，黄金重点。那么，在这个当中，我们再来一个重点，不要乱，千万不要乱来，我们来看看这个事情，我再来讲一个事情。

我们刚才过程当中不是讲线性相关性吗？对不对？那这里面当中的话，你发现一个向量是什么什么样子？对吧？你线性相关线性无关什么？那两个向量之间呢？两个向量是什么样子？然后第三个事情，三个向量又是什么样子？好，我们来看看，那么如果是一个向量。线性相关是什么样？一个向量线性无关又是什么样？

稍等一下，我这个强迫症来了。噢，线性相关什么呀？线性无关又是什么样？来看看这个人。这颜色不一致啊啊，这样。好好看啊，好了，我们来看看这个事情，如果一个想到。只有一个向量，我这个向量组里面只有一个人。对吧，

求一个人。你这一个人如果是线性相关，大家想想一个事情，一个人研究线性，相关性就是研究。线性组合等于零。对吧，线性组合等于零，我核心重点问的是你还有没有别的情况，让我再等于零呢？有没有呢？大家注意，只有一种情况，就是当这个向量等于零的时候。所以一个人呢，

就是这个向量为零向量。如果你这个向量是零向量，你发现一×0也会等于零，二×0也会等于零，这个时候我就会存在别的情况，让你等零。那倘若是什么情况呢？如果这个向量不为零呢？如果这个向量不为零，你这个人敢等于零，你这个人敢等于零，必须是这个系数为零。能理解吗？你不为零的时候只有系数为零的时候才能为零，所以说一个向量，

不管是这个向量是一维向量，二维向量，三维向量，四维向量，五维向量都行。只要这个向量组当中只有一个人，唉，你这很孤单，就你一个人，你一个人不为零了，你线性无关。你一个人等于零了，你就息息相关。如果从图形角度上而言呢，一个向量，

如果为零向量就是一个点。如果它不为零，就是一个线。不为零，它就无关等于零一个点，是线性相关，那如果是俩人呢？我们继续看。如果是线性，相关是什么样子啊？线性相关的话就是k1f1k2f2=0。肯定有一个不为零吧。你肯定有一个不为零，假设这个人不为零行不行？你这个人不为零，

把阿尔法移过去就负的阿尔法二倍的阿尔法一。那这个系数设为k，那就说明什么情况，如果这里面当中贝塔与阿尔法，那这两者之间一定会怎么办成比例？如果你们两者之间是成比例的，我们就线性相关。第二，事情如果你两者之间不成比例，你就限行无关，这能听懂吧？在这个我们如果把它放到什么情况放到这个图形上呢？其实就是这样。如果这两个线平行，或者叫共线。

它就叫什么？它叫线性相关，如果这两个不成比例，就是不贡献，就叫线性无关。这能听懂吧，那大家想想推导一下呢，推三个人呢，三个人的话，这里面当中就不要用这个人了啊，你现在就看不明白，因为我们不考向量空间解析几何，就是高等数学当中。所以你推导一下就行，推一下类比。

你这个人说，如果两个人之间是贡献不贡献贡啊，这个什么贡不贡献，那三个人呢？就是共面不共面。如果这三个人是共面的，它叫相关。波共面它，就叫无管。就是共不共面，那大家想想一个事儿。以我们这个坐标系为例，假设这个向量和这个向量和这个向量，这三个向量肯定是相关，因为共共什么了，

共这个共面了。如果是这三个向量呢，不共面不共面三个向量线性，无关大家能听得懂吗？就这个事情，所以将来过程当中，我们去判断的时候就非常非常非常的简单。一个向量看为不为零，两个向量看什么东西呢？两个向量看是不是线性什么啊？是不是成比例？三个向量看共不共面？来回到刚才的重点。我们刚才说局部是相关，就说这个一坨是相关的，

你再来多一点也是相关的。能不能回去呢？能回去还是不能回去呢？这件事情是不行的。为什么呢？我举个贼牛逼的例子，把这个例子给我记到脑子里面。一零。零一。意义。大家想想，刚才已经做过了，这些人之间是线性相关的吧？是不线性相关。而你会发现这俩人呢，

是不线性无关不成比例吗？你是一，我是零，我是零，我是一不成比例嘛。那不就线性无关吗？我们仨人是相关，但是这个局部呢？是无关，这不就是个经典例子吗？你们整体是相关，但是你局部呢？你是无关的。这个例子非常好，贼有用啊，

贼好用，好了我们再来看看下面一个问题，继续哦。再来看下面一个事情。我们又说了一个事。如果阿尔法一阿尔法二阿尔法三阿尔法四。线性武馆。请问能否推出来阿尔法一？阿尔法二？阿尔法三也无关呢？如果这个多的整体是线性无关，能不能说这个局部也是线性无关呢？来，我们来看看这个事非常简单，如果你们线性无关。

如果你们线性无关。当这个线性组合一旦等于零的时候。你这所有系数其实都是零。这没问题吧？只有所有系数等于零的时候，你们才会等于零，所以现在这个式子成立的条件下，你这个系数都是零。你这系数是零的话，你发现我少一个有影响还是没有影响？只要那个线性关系等于零的时候，它的系数都会是零，你少一个影不影响你不影响啊？那不就说当这个人等于零的时候，所有系数都等于零吗？

那还不是线性无关，所以说这个内容立即可以推，这叫什么呢？这叫整体是无关局部呢？也是无关。不要记差了。好，来看看第二个人。第二，整体是无关对吧？我们局部呢？也是无关。整体是无关局部，也是无关好了，不要去想那个什么逆复命题了，

所以在这种当中你就想清楚了。那这件事能不能推？可以推。能回来吗？不行。局部是无关，能不能推整体是无关呢？来我继续举我那个例子，我那个例子真的非常厉害啊。来，继续看。零一。一零是不是无关局部无关，但是你发现再加过来相关。你看他们相关，

你局部是无关的，你这俩人无关，但我们三个人呢相关。你不是说错了吗？你不是说局部无关，整体也无关吗？我们这个例子很好用，相当好用，非常非常好用。好了，这是这个事情，听懂我的意思吗？好了，这是这个事情。来那么接下来我们来看一个题。

来做一个题。这个题啊呃，先把这个什么先把这个三点三这个题灭了吧？把这个题做完之后，我们再去做上面那个题啊，来看这个题。选几啊？好，做完了给我回复一下，选几啊？看看这个题选几？应该出来了，这题贼简单。嗯，可以可以可以好做吧诶，

非常好做，你看你这是s你这就是局部。然后你这个东西就是个整体。第一事情局部是无关整体无关吗？胡扯。局部是无关整体相关更胡扯。整体相关局部相关不是的。应该是整体无关推局部无关答案选d。对吧哎，这个题非常简单。然后接下来我们再来看个题，因为这块题啊，概念的题非常非常的多，我把这所有要进行去。讨论的这些概念呢，

我全给你放在这。哎，我全部都放在这，然后接下来我们来一起来做一下。好，先看看第一个人啊，先看第一条对不对？他说如果这个人线性相关。则存在全部为零的数，让它等于零。对不对？全部为零的数，让它等于零。全部得怎么了？得这个呃，

这个东西啊，它得不为零。对不对？大家注意，这不对，不是一定要全部为零。是不全为零。有些同学绕不过来这个事情，因为这个原来我讲那个数一数二数三的那个也讲过这个事情，我今天多讲点啊。我把它讲完。我应该是不是说让每个人都得不为零？我们说的是可以，有些人等于零。但是这所有的系数不能同时为零。

有的说那老师不对呀，那我全部都不为零。我不也就是不全为零吗？大家想想一个事情，这个对不对？有同学说那我所有系数都不为零。那我我不也是一个什么不全为零吗？这不一定。呃，你说的那个问题是对的，但是不一定它一定存在你，比如说这个事情一零。零一。意义。二二你比如说像这个人。

对吧，你让它们一起等于零。让他们一起嗯，这个。你叫我想想。有没有一些不存在的，它必须有一些有一个项等于零。对吧，有这种例子，但是我我我先琢磨琢磨吧，有这种例子就说你必须要让我这个有一个人的系数等于零，他最后才能等于零。你必须要有一项等于零。啊，然后组织成的这个不全为零，

让它等于零。所以这个例子我想想啊，我想想这个事行吧，这个这个先放在这，我一会给你找一个例子，所以大家想想一个事情一定是。不全被定。对吧，不用全不一定。不是说要全部未定，是不全部未定？有那种例子就说你必须要有一项对吧，或者两项系数一定要等于零。你这你这得对，就跟这个同学说的一样，

我为什么现在这个这个得去试，对吧？你能听懂我的意思吗？你得去试。所以说你在这里面当中，你要进行去得进行设置那个数，所以这里面当中就相当于出一个题一样的啊，好，你不要着急。所以这里面当中啊，你就要琢磨这个事了。呃，比如说我举个例子吧，你看我给你看一个人，我想起来一个例子，

比如说一零零。零一零。零零一。然后幺幺零。你看这个人，大家注意，这些人肯定是线性相关，为什么？一零零。零一零。我减去幺幺零，这个人就等于零。对吧，这一减的话，它就等于零，

但是你看你这第三个人，你一定得给这个系数配上零。我最后才能等于零。为什么？因为这个人和这个人的第三个位置全部都是零。全部都是零，你要想让这个系数等于零，你必须给这个系数配上零，你没有别的情况，那大家想想一个事情。你存在不全为零吗？你必须要让这个人登记，你就不会存在不全为零呃不呃呃全部为零。一定是不全部为零吗？我有一项必须为零。

所以我们说的是什么不全为零就行了，不是全部为零，你你好好绕绕，而且你们学逻辑，你肯定学这个东西肯定很轻松。哎，我这个例子怎么样？还可以吧，还行啊，所以你下去试一下，所以一定要注意啊。它不一定说我一定会存在全部为零。我有一些项等于零。对吧，然后的话，

这个不全部为零都行。好，这个事错了。然后第二条稍微的恶心一点，等会我们再说，我们先看第三条。第三条对不对？先看第三条。赶紧判断第三条对不对？他说，如果线性无关，则有这个东西可以推出，这个人全部为零。对不对？那当然对呀，

因为你线性无关，一旦这个式子等于零的时候，必须是所有系数全部为零，那当然对呀。来再来看第四条。继续吧，看第四条。第四条说，如果你们线性相关任意不全，被顶的数是任意不全，被顶数吗？你只要有一个不全，被顶的数就行了，不是任意。对吧，

不是说任意的不全为零，只要你不全为零都能让不不是这样，你只要有一种情况不全为零，让我等于零就行。好，再来看第五个人。第五个对不对？再看第五个。对不对？慢慢看。对不对？说这是什么？这是局部。局部无关推，整体无关，

对不对？那当然不对，比如说一零。零一它们无关，但是再加上幺幺呢，变得相关，所以它不对。你看我这个例子多好，来再来看第六个对不对？再看第六个。好，继续看第六个。对不对？如果它们线性无关，其中每一个向量都不是其他的向量的线性组合，

那对呀，这不是刚才讲的吗？任何一个向量都不能由其余人表出，这是没问题的。这定义啊。再来看第七个人。看第七个对不对？继续看第七个。对不对？说这些人线性相关任意m- 1个人也线性相关。那不是啊，我的例子又来了一零零一一一。我这些人是线性相关，但是这个m- 1个人呢，反而线性无关，

你看我这个例子多好。哎，很好用。再来看第八条。继续看第八条。再看第八条。说这些人线性相关的充要条件，说至少有一个向量由其余现象表示，这对着吧，这不就刚才的原话吗？肯定有一个人能被其余人线性标出。再看第九个人。第九个对不对？如果你们线性无关任何一个向量，不能由其原表述诶，

这也对称。好了，这两条都没有问题，那么接下来我们来看看第二条，大家慢慢判断啊，因为第二条。需要有点逻辑感啊，来判断一下这条。任意不全为零。它都不为零。对不对啊？对不对？好这个题啊，我来慢慢讲讲。大家好好听。

你想想当。所有的系数。都等于零的时候。你k1阿尔法一一直加到kn阿尔法n，你肯定是零。对吧，当所有系数都为零的时候，你肯定是零。然后他说一旦这些系数不全为零。我全为零的时候，我肯定等于零。一旦这些系数不全为零，你就绝对不能等于零。那什么意思啊？不就说明意思就说只有这种情况才能让我等于零吗？

是不是啊？只有这种情况才能让我等于零，我不就线性无关吗？漂亮，这话说的非常好，对吧？是不是我们都知道，当所有系数都等于零的时候，你肯定会等于零。你肯定会等于零。一旦你的系数不全部为零，不是这种情况之外的别的情况的时候，你都不可能等于零。那所以能等于零的情况，不就只有所有系数等于零都等于零，

这一种情况吗？所以啊，这没有任何问题。能听懂吧，所以你看第二条它是对的。你看这个事情啊，非常非常有意思啊，所以我觉得这个东西啊，你要会绕。对吧，我觉得回到最后而言的话，这个线性相关线性无关最最重要的一件事情还是什么？所有系数等于零的时候，它当然等于零，你到底还有没有别的情况，

再让我等于零呢？如果你有，我就是线性相关，如果你没有，我就是线性无关。所以在这里面当中，大家注意啊，这个这个板块内容其实是很多同学的痛点，不是痛点，是痛中之痛的痛点。我希望同学们注意，我们今天一上来就上职高理解。对吧，一下子就把这个东西拉满了。我相信你在这里面当中进行去理解的时候就非常的简单了啊。

好了没？所以说希望同学们好好来好，那么接下来我们再来看看下面一个问题，再来讲讲线性相关性的判定方法的第一种方法。大家注意，这叫方法，一定义法。这是第一种方法。那怎么进行去判断线性相关性呢？判谁射谁。你要进行去判断什么东西呢？阿尔法一阿尔法二阿尔法n的线性相关性，你就设它们的线性组合等于零。对吧，你就设这个线性组合的目的。

我见谁我就射谁，我判断谁我就进去射谁，我就射这个线性组合等于零。大家想想。如果我推出。k1k2一直到kn都等于零，只有这种情况，那是不是线性无关呢？当然呢，他的意思就是说当你这些人等于零的时候，只有所有系数都等于零的时候，他这种情况。那么，大家想存在什么东西呢？波全为零呢。

就如果解出不全为零的系数呢，那这人就线性相关。对吧，这个事情就非常简单，就是我见谁我就射谁。啊，我箭谁？我箭射谁来？那么接下来过程当中，我们来看一个题，为什么这个题啊？我前面这个东西都没给你去。这个是2007年数一数二数三同学的考研真题，我给你看一下啊。大家有没有发现一个事情？

你看那个真题。那个真题跟这个真题像不像呢？这是我们二零二一年我们的考研数学真题。你看跟这个题。像还是不像？这是我们二一年的考题。这是我们二零二一年的考题。像不像非常像吧。太像了，你看就说他们是线性无关，他说这个线性相关的是。非常像这哪有什么异曲同工，现在一模一样啊，这一模一样。所以说这个题很重要，

来我们一起来看看这个事。他说，设这个向量组线性相关，则下列向量组当中也线性相关的，是我先说一个问题啊。我拿出其中的一个，你来给我判断一下。比如说举个例子，同学们，你告诉我。这是不是一个向量啊？啊，这是不是啊？这是不是也是一个向量？哎，

能听懂吗？这是一个向量，那么同学们想这是不是也是个向量？那这是不是也是个向量？能理解吗？你看这是一个向量。对吧，这是一个向量。这是一个向量，它是不是向量哎？这也是个向量，所以说这是个新的，比如说叫杯大一杯，大二杯，大三向量。

这新的向量好，我们来看看，像这种题怎么做呢？大家注意，你听好了，我先教一种素描的方法。像这个题，它让我们继续去判断线性相关第一种方法，严筹法。我没跟你开玩笑，严丑法。怎么进行眼瞅呢？你就进行去看看，比如说第一个人，这是阿尔法一减阿尔法二，

这是阿尔法二减阿尔法三，这是阿尔法三减阿尔法一。同学们，注意一个事情，你看这是一个向量，这是一个向量，这是一个向量，我怎么办呢？我就看看你有没有什么东西呢？不全为零的系数让它等于零，结果我发现这一加我，结果发现这一加诶等于零，那不就说明什么事情？说明存在了什么东西啊？不全为零的系数让它等于零吗？

那就说明什么事情，说明这个题线性相关答案选a。这种方法对我们三九六同学非常非常的重要。我们要喜欢这种方法，为什么很多人说做不完呢？你再比如说看这个题，那这个题说他们是线性无关的，线性相关的是你有没有发现这个人不就是他吗？对吧哎，这人不是他，你加一下哎，约掉了，你加一下哎，约掉了，你加一下等于零，

所以说这题秒选b。十秒钟范围内做完。所以像这种题啊，一定要注意，这是第一种方法，严处罚就是用眼睛进去去漂。去漂下，看看有没有一组不全为零的系数，让它等于零，如果你存在不全为零的系数，让它等于零，那这就是线性相关。那这就太简单了。好，我们再看看第二个人，

那第二个人肯定不行，也就是说那这个人减这个人呢？你减这个人的话，你就发现变成这个，这是负的，然后再加呢，这个人没了，但是这是二倍，这不行。所以接下来我们来看看这个b选项，我再来做一个bcd是一样的，我们用定义法做。判谁射谁，你只能进行射。设k1倍的多少？

阿尔法一加阿尔法二。然后加上k2倍的阿尔法二加阿尔法三，然后加上k3倍的阿尔法三加阿尔法一。设这个人等于零，设这个人等于零了之后的话，我们来把这个阿尔法一。把这个阿尔法二。把这个阿尔法三，然后怎么办哎？把它合起来那么合起来之后的话就是k1加上多少k3？它然后这是k 1+k二它，然后这是阿尔法三，这是k 2+k三它。没问题吧，合一下为什么要合呢？

因为题目说清楚了，说这些人是线性无关的。也就是什么意思呢？说你这个人当中的，你这个人，你这个人，你这个人，你们是线性无关的，大家都知道，如果这个人是线性无关的，当线性关系等于零的时候。只有一种情况，什么情况呢？只有这个系数都为零的时候。对吧，

只有你这个系数都为零的时候，那这个时候的话，你发现你才会等于零。所以在这种当中，我们解一下啊，也不要进行学过方程组说行变换，不要装逼对吧？你这一减就行了，你比如第一个减第二个。k3-k二=0。是不这个事情，然后第二人呢是k 3+k二=0。是吧，好了，这里面当中的话，

马上一解说明k1k2k3都等于零。好了，这是这个事情，所以当这个线性组合等于零的时候，只解出了所有系数等于零这种情况。也就说明，只有所有系数都为零的时候，你才会等于零，那这就是线性无关的表现，同理。c选项d选项一样的做。对吧，一样的做，但是你想想一个事情，你要是如果考试题啊。

它很尖。我们有五个选项。我把那个选项我放到了e选项。你要是不知道严惩罚你一个一个的做，你一个一个做，你做四个一个下来，最起码。最起码得50秒钟时间，40秒到50秒肯定得用吧，有可能你用了一分钟。你写这个方程组还需要时间，一分钟很短的。60秒钟时间，所以你想想你一个的话，有可能你就要用到一分钟。

那四个你就要用到四分钟，然后这里面当中再做到第五个，有可能还用到第五分钟，五分钟做这一个，你就吃亏了。你三九六的话，你发现你这个考试你肯定吃亏的。所以大家注意，你将来遇到这种题怎么办？你得去登，你怎么登呢？你去看看有没有不全为零的系数，让它等于零有没有不全为零系数等于零。所以像刚才这个题，你看第一个不行，

你就赶紧看第二个，第二不行，赶紧看第三个，第三个不行，赶紧看第四个，第四个不行，赶紧看第五个，然后再来判。能听懂吧，所以说大家注意你先进行蹬蹬出来，这个东西就出来了。所以像这个题，因此它考的时候啊，对吧？它考的时候的话，

你你想想我们三九六同学的考题，他非常他出于这种技巧性。所以你们的这个技巧性一定要非常注意。对吧，它非常考验大家的这种技巧性好了，这个事我们就讲到这。干嘛呢？是吧？又不是让你真的在那等，让你静心去瞅一瞅嘛，眼瞅法嘛。咋那么好玩呢？怎么啊？好，这是这个事情，

我们就讲到这啊。那行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，所以下去过程当中把这个相对应问题啊，好好进行处理一下。那么，今天的核心重点讲了几个事情呢？第一事情讲了什么叫向量？第二事情我们讲了线性。这个什么组合的问题，或者叫线性表出的问题，然后第三个事情我们又讲了一个东西，叫线性相关性的问题。对吧，

我们讲了这三个事情，讲完了这三个事情呢呃，下去过程当中，我们又做了些题，然后下节课非常的重要，因为我们要讲两个概念，一个叫极大无关组。一个叫向量组的质，那个东西啊，非常的重要啊，怎么了？我唱歌啊，我只能我只会唱歌，而且这歌还没练好。呵呵，

我不像他们那么多才多艺的嘛啊，我有的有这个好像思思和推姐她们还有这个。呃，他们好像都有舞蹈对吧啊，然后我这个。我这个啊，这个四肢不全啊，这个。我发现啊，不发达啊，这不叫不全，这叫不发达，这不不全啊，四肢还是全的，所以这个没没没法弄。

好吧，这个内容我们就讲到这行吧，你下去过程当中好好看看。呃，下去过程当中啊，把这个相对应的问题啊，好好处理处理行不行？哎，这几个点。所以下去把这个几个点呢几个问题啊呃，一定要好好进行处理，尤其是线性相关性的判定。对吧，线性相关性判定，所以下节课是比较关键的，

因为我们要讲这个向量组的质的问题啊，它是比较重要的。好了，那么接下来我们来把这个作业布置一下。啊，你怎么了？你别过分啊。来，我们继续。看一下这个作业。作业的话，看一下这个叫我看看啊。我记得上次还有一个题没布置，对吧？就这个题，

你下去把它做了啊，这个五二五这个题啊，我相信你就会了啊。把这些做一下。呃，然后我再来看看这个。五三零五三一。五三二。嗯，然后把这几个题做了吧？好，就做这几个题吧。坐下这个人好不好？哎，下去把它好好进行看看。

呃，所以下去把这个五三零五三一五三二啊五三二这几个东西把它好好看看。好，那么今天课程呢？我们就讲到这吧，然后的话，这个下次课程的话，因为明天的话没法排，我就给你排到这个11号行不行？啊，11号啊，这个唯一的，我这个第一一天啊，没有课啊，然后这个十十一号。

11号的话，应该是在下午啊，所以说你稍微注意一下这个时间。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这呃五二五，然后这三个题行不行啊？下去把这个相对问题啊，好好处理处理。那行吧呃，我们应该还有这个，后面的话。三次课到四次课吧啊，差不多是三四四课，然后我们就结束了，

然后的话这个周日一节，下周啊，我们应该能把我们所有的这个基础班的工作我们全部结束了。对吧，所有的这个基础班，我们就全部结束了，所以下去过程当中把相对问题啊，好好处理处理行吧，好，那么今天课程呢，我们就讲到这。哼，别彩排了吧啊，你让我去练练啊，好那么今天课程呢，

我们就讲到这儿啊，从来这个感觉上课都没有这么焦虑感呐。行，那么今天啊，我们就说到这再讲一下刚才判断的。你再去听一下吧，我觉得刚才肯定是问题，应该不大了，对吧？不是任意不全被定，是存在不全被定啊，存在好，那么今天课程呢，我们就讲到这下去过程当中，把相对问题啊，

好好处理处理吧。行下去呃，尤其线性相关性一定要整理不整理啊，下节课过程当中两节课的衔接性啊，就会出现问题。所以明天你们好好做作业，对吧？好好整理行，那么今天课程呢？我们就讲到这儿好不？同学们好，下节课见吧。

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