08.非齐次线性方程组-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:57:10

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，清空后复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始，我们今天的这个线性代数的这个基础班课程呃，好像这个课表当中啊，今天是最后一次课程，我们后面过程当中还会加上一个。呃，应该是三到四次课程，

所以说同学们注意这个，不用担心这个事儿，对吧？这个课表啊呃，我刚好一会儿过程当中去公司，然后我跟他说一下，然后把这个课表给大家排下来。好了，那么接下来过程当中啊，我们就正式开始吧，我们来首先第一个事情先来复习一下，昨天过程当中的核心重点。呃，这应该不是昨天了，应该是上节课，

上节课的话好像过上这个应该是两三天的时间了，不知道同学们还记得吗？那么首先我们先来看看上次过程当中的核心知识点。那么，上节课过程当中啊，其实核心重点讲了两个问题，第一个事情我们讲了矩阵的值。对吧，这是我们在上次过程当中的核心专题，部分内容矩阵的值，这在我们今年的考研过程当中啊，依然是重点，而且啊，考研过程当中啊，一定会出。

所以接下来过程当中，我们先来看看核心重点，学了几个问题呢？第一，事情矩阵制的定义。对吧，矩阵制的定义啊，这个定义就很重要，然后第二事情矩阵制的性质。啊，这是第二个问题，然后第三个事情我们又讲了矩阵的值。的计算对吧的计算，然后最后一个事情，我们又讲了什么，

讲了矩阵制的重点公式。所以在这种当中，我们的核心重点讲了这四个问题，那这四个事情必须要把它掌握到脑子里面，那么首先我们先来看看第一个事情是。什么叫做矩阵的制啊？那矩阵制的定义到底是怎么说的呢？那么接下来我带着同学们进行复习一下啊，因为这个复习啊，就相当于给同学们再复盘了一遍啊。好了，那么接下来我们一起来看看这个事情，什么东西叫矩阵的质呢？那这里面当中，比如说我们在这里当中说这个矩阵的质等于n。

什么意思啊？它里面当中啊，凸显出了两个意思。第一事情，它第一句话叫做所有的。对吧，你只要超过n，因此就说超过n就是n+1减。这个姿势啊，全为零。对吧，你比我高的都为零，你n+1阶都为零，那n+2阶更为零，但是同学们这里面当中要注意一个问题，

那万一我这个人没有n+1阶的。所以说这句话我们就不写了。对吧，如果有比我高的时候，比我高的这些人的接数啊，它都等于零，然后第二件事情又说了一个事情叫做存在。存在什么东西呢？存在一个n阶子式不为零。诶，存在一个部位里。不为零，那同学们想想是需要让所有人都不为零吗？不是的。对吧，

我只要有一个人不为零就行，这是它所凸显出的意思，那比如说我们这个矩阵的话，你发现是六×6的矩阵。啊六×6或者是六×7的矩阵。那么，在这种当中，他说，如果我的质等于四，什么意思啊？第一件事情，它只有几节，对吧？在这里面当中，最大取几节，

最大取六节，所以说不能取七节了。六阶子式呢唉，全部等于零，然后五阶子式呢，五阶子式也是全部为零，但是注意一个事情，在四阶子式当中。出现了一个不为零。不是要要求所有人不为零，只要出现一个人不为零就行。能理解吧，只要出现一个不为零。只要出现一个不为零，我们就说什么情况，

我就说这个人的质等于几啊，等于四。那么，在这种当中，你就要体现出来一个事情，你想想这个四阶子式是不是在这个矩阵里面当中能取得到最？最大的不为零的行列式的结束啊。是吧，所以我们在这种当中质也可以怎么定义啊？它这样说叫做a中的最高阶。最大的最高阶的非离子式结束。对吧，最高阶的非零子式结束。它就是这个矩阵里面当中最大的不为零的行列式的结束。那这里面当中，

我这两天正在编这个模拟卷啊，编这个我们今年过程呢，因为我们今年的话，这个呃，我们是叫做冲刺满分实套卷。啊，估计很多同学在那个高等教育出版社的这个官网上已经看到了啊，这是我们今年过程当中会跟我们三九六的经济类联考，这个综合能力的这个大纲同时发布的。包括今年过程当中呃，也是由我这边写的这个三九六金宗数学的这个啊大纲的这个解析，这是教育部专属的，这个部分也是同批，然后进行发的。然后这两天过程当中啊，

我刚好出这个题理论当中啊，我出了个这样的题，你琢磨一下这个事情，如果这里面当中啊，他说这个事情。说这个矩阵是一个六×6的矩阵。对吧，是个六×6的矩阵，然后在这种当中，我们说一个事情，比如说它的质是四。你看我先说第一句话。我说一个问题，叫做所有的。五阶姿势。

均为零，这句话对不对？然后第二句话叫做所有的四阶子式。均为零对不对？然后第三个事情。对吧，然后又来一个事情。呃，存在。或者是所有的二阶子时。对吧，均为零对不对？好，我就说这句话，那么同学们下面还可以再写，

那你想想一个事情，第一个人对不对啊？你们不用买啊，因为你是全程班同学都会给你配的，你不需要进行去买。额外的这些啊，就是我们所配套的这个资料书啊，好了，那么就像你们不用买，你不用关心这个事儿，等到我们去讲的那个部分，我们肯定会给你发的啊。你们是最不用担心的，好了，我们先看第一个事情，

所有的五阶子式等于零，对不对？当然对，然后第二个事情。所有的四阶子式均为零，对不对啊？这句话不对我们说，存在一个人怎么了？存在一个。不为零就行，对吧？是存在的，不是说所有人都不为零，存在一个就行，然后再来看看二阶资质。

那二阶子是我们原来讲过你这一级的话，你发现出来一个什么不为零的，但是你的下面的子子孙这个什么你的儿子，你的孙子呢他？他有可能是什么？他有可能是等于零，也有可能是什么不为零，就是他的儿子或者孙子有可能牛逼，也有可能不牛逼了。是不这个事情，所以说这说不清楚。因此，在这里面当中，我们的正确的第一个人是对的，你像这种概念性的问题啊，

你一定要把它理解的非常清楚好了吗？同学们掌握清楚了吧？好，这是我们讲的第一个事情。然后再来看看矩阵制的性质，那么首先我们先看第一条内容。如果你是个零矩阵，你的质是多少？你的质肯定是一。对吧，在这里面当中，这是第一个问题，然后第二件事情大家注意。我们来看看，这是一个特性。

如果在这个矩阵里面当中，我取得了一个二×2的行列式，不为零，我的质怎么办？大于等于二。我取了一个三×3的行列式，不为零，我大于等于三。对吧哎，大于等于三，我取了一个四×4的行列式，不为零，我就大于等于四，这没问题吧？所以说大家注意一个事情，

你想。如果有个四×4的行列式不为零，我的质啊，肯定不会小于四。对吧，我绝对不会小于四，因为四界自治已经有一个不为零了，能理解吧，已经有一个不为零了，所以在这种当中一定要注意这个问题。如果这一级的话，已经不为零了，我肯定大于等于四，所以这里面当中啊，一定要注意这个问题，

能理解吧？就说我取个二×2的不为零，我大于等于二。我取个三×3的不为零，我大于等于三，我取个四×4的不为零，大于等于四，记住这个经验，这个经验非常好用。对吧，你取了一个什么东西呢？你取了一个k×k的不为零，我就可以说这个人的值大于等于k。那大家想想一个问题，第三件事情，

如果这个矩阵不为零呢？如果你矩阵不为零，你在这个矩阵里面当中肯定有一个元素不为零。你有一个元素不为零的话，你发现肯定有个一阶子式不为零，如果这里面当中有个一阶子式不为零，我这个人呢质肯定是大于等于一。然后接下来过程当中再来看，如果a当中两行不成比例。两行不成比例，那两行不成比例的话，比如说这一行和这一行不成比例，你肯定能取个二阶子时不为零。所以在这里面当中，我的质肯定怎么办？

大于等于二，所以说像这些内容啊，它其实都是我们什么都是我们刚才讲的这个经验。它所推导出来的。对吧，这个性质啊，非常的重要，好这个事我们就讲到这。然后接下来我们再来看看矩阵制的计算有几种计算方法，有两种那么第一种方法走什么东西呢？走变换的路线。我们利用什么？利用初等变换。利用初等变换，那么同学们想我进行行变换行不行？

可以我进行列变换行不行？也可以，只不过怎么办都可以。我只不过我用行变换罢了。能理解吗？行列变换都是可以的，只不过我用行变换罢了，这是你要注意的，就是把这个矩阵。然后进行变换，化成什么东西啊？化成行阶梯矩阵。行阶梯矩阵有多少？非零行，它的质就是多少？

好，这是第一种方法，然后再来看看第二种方法。用什么东西啊，用行列式。我用行列式那行列式前提得保证一个事情，你这个矩阵必须是方的。那么，在这种当中，我们一起来把它推一下第一事情，如果这个行列式不为零。这叫什么？这叫满志，满志的话，这个人呢？

他这个人的志，他就等于n。对吧a的这个人的质就等于n第二件事情再来看，如果这个行列式等于零，那这人呢？就叫不满质，你的质呢？小院，而且我们在这种当中还能进行看行列式，不为0a是什么a是可逆的，如果这个行列式等于0a是什么a是不可逆的？好，这些基本问题啊，都要装到脑子里面。能理解吗？

哎，非常重要的一些事情，你把它给我记到脑子里面，所以将来过程当中只要见到质的求解，你就记住两件事情，我要不然把它进行行变换。变成行阶梯矩阵，那行阶梯矩阵有多少？非零行支持多少？那或者怎么办？如果你是方阵咔的，一下取个行列式。行列式不为零，你满值那行列式等于零呢？我知道你是不满值，

不满值到底是多少呢？我们再来看。能听懂吗？好基本问题，然后再来看看质的公式呃，为什么今天我一定要把这个内容复盘一下呢？因为这个东西太重要了，所以你看十来分钟我们都在讲这个内容。来在屏幕前跟着我一起来写一遍，可不可以我带着你写一遍不就记一遍吗？来走了，首先我们先看第一个事情。如果这里面当中不说它是个m×n的矩阵。第一世纪一个矩阵的制啊，它其实就是在这个矩阵里面当中取行列式记清楚啊。

我就是在这个矩阵里面取行列式。你有可能是第一列，第三列，第四列这种行列式都行，就是在这个矩阵里面取行列式取得的什么东西呢？最大的不为零的行列式。最大的不为零的行列式，它的阶数就是指能理解吗？就是这个人的阶数，你比如说你是k×k阶。最大的不能再大了，最大的不为零的行列式的基数就是这个矩阵的值，那大家想想你这个矩阵的值。你会超过行数吗？不会的，

你再大不会超过这个行，你会超过这个列数吗？也不会的，最大也不会超过这个列。所以说这个讲义当中怎么写呢？写的是小于m和n之间的最小值，我已经讲过这个事情，你想想我们上节课过程当中做题的时候。是真的进行去考虑这两个人谁小吗？不是的。你要那样继续去学习的话，你就纠结死了，拿到这个题的时候你就去想，哎呀，到底是m小还是n小m小还是n小，

到底是个什么情况，你管他呢？用m就用m，用n就用n，对吧？想用谁就用谁好了，这是我们讲的这个第一个点来再来看第二个事情转制变质吗？转制不会变质的。然后第二件事情再来看，乘上个不为零的系数会变质吗？也不会的，但是这个k啊得不为零。然后再来看看第三个事情，继续来那么这里面当中，我们喜欢考对吧？

我们非常喜欢考，就是如果这个矩阵呢？可逆对吧？可逆如果这个人可逆，我们就知道，如果给这个矩阵乘上可逆矩阵不变值。如果给这个矩阵左乘也不变质，反正就是乘上个可逆矩阵不变质，然后再来看看第四个点。那第四点呢？我们讲了一个什么情况，分块矩阵这件事情要记死啊，我们经常用，如果遇到分块阵。它的痣是比每一个子块都要大，

比每一个子块都要大。比你大也比他大，所以讲义上怎么写呢？就是大于等于什么情况？他们的最大值，但是注意一个事情。不要那样进行背，你就记住比它大也比它大就行，用第一个就用第一个，用第二个就用第二个，哎，注意一下，然后怎么了，它比这两个东西相加要小一点。好了，

这是我们讲的这个第四个人，然后再来看看第五个人，第五个人很重要，就是a加减b的值。小于等于谁呢a的值，然后再加上b的值。哎，它加减上b的值，然后要小于等于a的值，加上b的值，然后再来看看第六个人，第六个人叫做越乘越小，你看你乘了你就变小。对吧，你成了你就变小，

所谓越沉越小，你沉的越多，你就变得越小，所以它比每一个子块都要小一点。啊，这就叫做越沉越小，能理解吧，好这个人。所以说这个AB这个人呢，他要比单个的这个部分呢，都要小一点。能听懂我的意思吗？好了，这是第六个人来继续，我们再来看第七个人，

那第七个人呢？更重要哎，我来重点想一下。它叫什么？如果这个AB=0。那AB=0，一定要注意一个事情，如果这是m×n的，这是n×p的，那这个时候的话，我们就可以说了，则在这里当中a的值。加上b的值，然后要小于等于n。这个n呢，

一定是a的列数b的行数，我要用谁我就用谁。好了，这是第七个人，然后再来看看第八个重点，第八个重点，我觉得今年过程当中一定会考这个事情啊，伴随矩阵一定会出题的。所以在这里面当中，你就去想象一个伴随矩阵，只要在考研过程当中见到这个人，我去想两个事情。如果想质的问题呢，就用质的公式，如果不是别的呃，

这个别的东西我不知道呢，我就想万能公式，这两个公式非常重要。来，我们一起来看看伴随矩阵的质的公式走，那么第一个人你满我就满。然后第二事情再来看，如果你这是n- 1，我这个人是一，如果第三个事情，你这个人小于n- 1，我是零。我只有三种结果，我要不满，我要不是一，

我要不是零，我只有这三种结果。那么，当然在上次过程当中，我还加了几个人，我不知道同学们还记得吗？啊，这个公式比较多了啊，如果这是分块儿对角阵呢？主对角线，副对角线都一样，都是a的值加b的值，但是你要注意，如果在这里面当中，这是a，

这是b。对吧，在这里面当中，如果在这写个c呢？或者下面写个c呢，变成上三角或下三角呢，它反而变大了，不是变小了，是变大了，这是你要记住的。好了，这是我们在这门当中啊，讲的这个制度公式，所以大家思考一个问题。你想想一个事。

我们在这个质的公式当中啊，除了什么情况呢？除了这个人和这个人。还有这个人。除了这三个人是等式以外。它们是等式以外，大部分都是什么式啊？大部分都是不等式。注意啊，大部分都是不等式，那如果是不等式，我在考研过程当中，如果让你进行去看那个答案，答案的过程当中说的是a的值等于多少？a的值等于多少？

那这个时候的话，我就会立即想一个事情，我去加。什么意思呢？我先证明你小于等于它，我再证明你大于等它，你就是它。哎，这种方式的话非常的重要，就说你如果去看那个选项，因为我们都是选择题，对吧？我看选择题的话，那个选项当中都是等于。那这时候啊，

我具体去想想，我能不能夹得住？对吧，一件事情是小于等，一件事情是大于等。另外，事情我们上节课啊，讲的那几个题啊，可能有些同学觉得难一点，我不知道你下去过程当中有没有再看一看，对吧？题目当中给的是a和b的情况。然后让我们去求解AB的情况，那你就去看AB的质跟a的质或者b的质的关系，不就是越沉越小吗？

所以说那几个题啊，我相信你再看一看也就那样了，你想想上节课，如果你说难，那是第一遍，你肯定会觉得难，因为这个东西本来就难。然后的话，等你再进行去复盘了之后啊，你会想清楚一个问题，上次过程当中的那些题啊，都是什么情况？当我看到这个题的时候。它有什么公式，我就用什么公式。

如果这个题当中出现了AB=0。我就想这个人。如果去看到AB和a，我就想到越乘越小。那万一有一天过程当中，我看的是a+b呢，那这人想的这个公式就遇到什么东西啊，想什么公式就行好了，这是我们在上次过程当中啊，讲的第一个非常重要的问题。质的问题，第二事情我们又讲了矩阵的等价。那矩阵的等价，因为我们的考研啊，在这个考研过程当中会比较简单一点，

为什么我们不考相似，我们也不考合同？什么意思呢？我来给你大家说一下这个问题。我给你看看。就是我们的考研过程当中啊，它不会出这种题。哎，它不会出这种题，你比如说像这种题。他给你一个矩阵对吧？或者给你两个矩阵，我说这两个矩阵怎么办？等不等价相不相似？合不合同？

尤其而言的话，每年这个到了最后啊，我出这个模拟卷的时候呃，这里面当你比如说看这个题，这数一数二数三的。你想这里面当中给了一个矩阵，说跟这个a矩阵等价相合同，但不相似，但是你发现个事，我们的考研呢？我们的考研只考等价，所以说将会相当的简单。这是你们要非常自信的一个点。所以我们在这种当中，你要注意一下这个事，

我们的这个考研过程当中啊，他只进行去考什么考等价你就记清楚就。就是同形质相等就行。同形质相等就行，能听懂吧？哎，同形质相等。好了，这个问题啊，我们就说到这，所以说上次过程当中核心内容我们就复盘到这，那么接下来我们再来看看一个重点内容，我把这个重点内容啊，我讲完了之后啊，我们就继续开始。

来我来出两个例题。首先，第一个例题啊，让同学们进行去认识一个事情。比如说你发现这是个矩阵。对吧，这是个矩阵。那这个矩阵的话，如果我把它的第一列叫阿尔法一。第二列叫阿尔法二，第三列叫阿尔法三，第四列叫阿尔法四，第五列叫阿尔法五，那这个矩阵是不是可以写成阿尔法一？阿尔法二，

阿尔法三，阿尔法四，阿尔法五。能理解吗？这种情况叫什么叫列分块针？列分括针。它的每一列啊，对吧？每一列也是一个矩阵。那这就是一个子矩阵，这是个子矩阵，这是个子矩阵，只不过这个子矩阵只有一列，能听懂吗？这没问题吧，

要想清楚，我来问你个事儿。如果进行去把阿尔法一和阿尔法二调换了。它是不是相当于把这两列调换了？这太简单了，你把这两个人调换了，他不就相当于把两列调换了吗？你把这俩人调换了，不就相当于把两列调换了吗？你把这两列加起来，对吧？这两列加起来不就是两列加起来吗？所以说这里面当中，你必须要认识一下这个问题，能听懂吗？

好在这里面当中，我们继续看，如果这里面当中又出了一个b矩阵。b矩阵是什么情况呢？是这个里面当中的这个阿尔法二，阿尔法一，阿尔法四，阿尔法三。阿尔法五。好，这是这个人，然后这个c矩阵呢？它是什么呢？它是阿尔法一加上多少？这是阿尔法一。

然后这是阿尔法二，加上阿尔法一。然后这是阿尔法二，加上阿尔法三，然后这是阿尔法三，加阿尔法四，这是阿尔法五。且这里面当中，我们知道a的值等于三。让我们继续去求解b的值是多少？c的值是多少？你像这种题啊，比较简单啊，很容易进行去考给我们。那么，

这里面当中，我们来迅速看看。首先，我们先看第一个问题来解。请告诉我b的这个人呢？b这个人变质吗？它不会变的。为什么呢？b这个人相当于第一个人交换两列。那么你想想一个问题b这个人的话，他是阿尔法二阿尔法一阿尔法四阿尔法三。阿尔法五。那么，这里面当中，我们就相当于给它进行什么？

我是不相当于给它进行初等列变换呐。那么大家想想，我把这俩人调换了。是不是就相当于把这两列调换了？我把这两人调换了，我不就相当于把两列调换了吗？所以在这种当中调换完了之后，就是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，阿尔法四，阿尔法五。而同学们，你要注意，这是一个什么变换列变换。

初等变换变不变质啊？不变质。对吧，我进行初等变换，我是不会变质的。我这个质是不会变的，你初等列变换呢，也不变质行变换呢，也不变质，这是同学们一定要听清楚的。你无论是行变换还是列变换，都不会变质的，以前过程当中，为了划行阶梯，我只进行行变换，

不是说列变换不行，列变换也行。所以大家想想，既然这两个东西变换过去，那这个a矩阵的值跟这个b矩阵的值是不是一样都是三？这第一问，然后接下来我们再来看看第二件事情，我们再来看看这个c这个情况。对吧，再来看看这个c。那c这个人怎么去求呢？大家继续看，这是第二个人。那么，这里面当中啊，

我也可以给它进行变换。我怎么办呢？我一看这个是阿尔法一。你这个阿尔法一啊，你这有阿尔法一，我怎么办呢？我把这个人乘上一个负一倍加过去。这个人乘个负一被加加加过去，不就相当于进行了一次列变换吗？那这时候他就没了。大家注意，这个时候就不叫等号了，这叫箭头了。然后再来看，然后我又看到这是阿尔法二加阿尔法三，

我再把它的负一倍加过去诶，那这里面当中这个人又没了。然后再把这个人的负一倍加过去哎，你看的话，你看这个人又没了哦，这个人呐，我进行列变换，一定到达它。那这个时候进行初等裂变换变质吗？不变质c的质就会等于阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三。阿尔法四，阿尔法五的值，这不就是a这个矩阵的值吗？

等于几啊三？能理解吗？好了，这两个问题啊，我相信你掌握清楚了之后，上节课过程当中啊，有一个题目没有布置，你就可以做了。对吧，有一个题没布置，你现在就可以完成那个题了。好，这是我们讲的这个例一这个题。会做了吗？你看这个操作性啊，

这个水平点。好了，这是我们讲的这个例一这个题过去了，可以吗？我们就讲到这可以了吧？好，第二章我们就正式结束，那么接下来我们就来正式来看看下一章内容。如果说第二章啊呃，我们总结一下，其实你发现就是三个问题，第一波问题就是记公式的问题。矩阵之间的加法乘法对吧？数乘或者是这个转置行列式，伴随还有这个逆矩阵。

对吧，这个逆矩阵所有的这个问题啊，我们都讲清楚了。然后这是第一件事情，你下去过程当中把该记的公式记住就行，然后接下来过程当中就是第二个问题，初等变换。那初等变换是一个重点啊。对吧，初等变换，那么初等变换在这里面当中有一个非常重要的一个事情，就是我们里面当中对应的一个初等矩阵。把这个初等矩阵左乘给别人，就相当于让他进行了一次行变换。右乘给别人，

就相当于让他进行了一次列变换。那最后一个事情是最难的，就是这个矩阵的值，如果你了解清楚了，我相信这个线性代数的第二章不在话下啊，难度系数不是说特别大。好了，那么接下来我们就继续开始，我们再来看看第三章的内容，我们来讲讲向量的问题。好，我们来讲讲香料。那么，接下来我们在这个正式上课之前呢？我们来讲讲这个项料，

我先不讲这个定义，我先来给你讲几个引力。对吧，我来给你讲几个引力，你通过这几个引引力的学习啊。你就会明白，到底什么叫向量？而且我们第三章到底在干嘛？如果你现在不知道，你将来肯定会知道。尤其是如果你了解过一点点知识点的同学，你会发现啊，你马上就顿悟了，你到底在干嘛？因为这个第三章，

其实你发现难度系数挺大。这是很多同学学的最不好的一章，但是你注意啊，你要有非常强的信心，这章不难哎，至少的话你发现由我们来讲。对吧，由我们来讲不难哦，难度系数不大，你要好好听，这是很多同学的痛点，如果丢分呐，都丢在这个向量里面。那么，接下来我们先来看看什么叫向量？

那么，向量这个东西啊，你有没有在这个高中学过呀？你学过吧，你也学过香料，你高中就学过香料，你包括有些同学，初中可能接触过香料。向量或者是叫做矢量。学过这个问题吧，那么在这种当中啊，我们先不讲别的，我们就来讲一个二维平面上的一个什么二维平面上的一个向量。二维平面那二维平面的话，怎么进行去定义这个向量呢？

他这样说的，如果你发现这是一个什么，这是一个量。有大小有方向，它就叫做一个向量。有大小有方向，我们就把它叫做向量。对吧，这就是一个向量，那么通常怎么表示呢？比如说这是阿尔法向量，它会打了一个箭头。对吧，打了个箭头，但是注意在线性代数当中不用打，

为什么呢？将来过程当中啊，你只要在考试当中见到这个人，他就是说向量。你不用打。其实吧，应该要打，但是我们学的是线性代数，所以说不用打，你去看看你，比如说讲义当中。有没有发现一个事情，你看这个向量，这个向量再怎么办？这是不是加粗的呀？

是吧，这是加粗的，它必须是个加粗体。所以说它代表了向量，所以这是这是印刷体，你不能说我们去写的时候的话，我们也在这加粗。你这加了个什么啊？这个老师只会认为说什么情况，你是不是写错了，对吧？你在这里面当中啊，加加加错了啊。只要我们在线性代数当中，你遇到这个人呐，

我们自然而然就是小鸟。但是如果是高等数学当中，你必须要打箭头，所以我们现在学的线性代数，而且你的高等数学还不学这个人，所以考研的过程当中啊，你就直接这样写就行了，这是个向量。那么，这个向量的话，这是一种表示，对吧？哎，有大小有方向，它的大小呢？

就是这个。线的这个长度，然后方向呢？就是指引这个方向，当然你在高中过程当中啊，你还学过一种表示。比如说这个中啊，这个人的末点，这个末点的话，你发现真是a真是b。对吧，他的末点是a还是b啊？也是b我就可以怎么写呢？我们就说这个向量就等于a倍的a向量，加上b倍的j向量，

还记得吗？这个I向量是这个x轴上的单位向量就是这个向量长度。对吧，就是这个向量长度，你看你长度是a再乘上这个人就是这个向量，然后b再乘上这个向量是这个向量，根据矢量三角形的叠加原则就得到这个向量。能理解吗？诶，就是这个问题，所以你看你这里面当中不记得了。有一点印象就行了，有没有让你要多少印象啊？一点点就行，所以说这是一个什么x轴上的单位向量。

对吧x轴上单位向量，你这个人乘上这个长度就是这个向量，你这个b好了好了，不要再说自己记不得现在讲了，你是不记得了？现在知道就行了，好不好？现在知道就是就可以了。我来讲讲吧。它的意思就是。什么叫单位向量呢？这个长度是一。哎，这是个长度是一。你就记住，

沿着s的正方向，长度是一，就叫做I向量。是吧，沿着y轴正方向长度为一的向量就叫j向量。这没问题吧，所以说接下来你看那这个长度是a你a的话，如果再进行去乘上这个向量是不这个向量？然后的话，你再看一看，你发现一个事儿，这是b。对吧，这是BB再乘上这个向量的话，它是不是这个向量？

然后这两个东西一叠加，不就是这个向量吗？矢量三角形的叠加原则。有有一点高中基础都行呐，我又没让让你太多啊，一点点，所以说在这种当中他就写成了这个样子。是不是写成这样了，但是同学们，你发现高中的时候还有一种写法，就是把它写成了a和b的坐标。那这个a和b的坐标到底是什么呢？大家想想它这个东西不就是这个意思吗？我用的一个括号，把这个a和b括起来了。

我赋予了第一个人一定的意义，如果你这是a，你将来就要乘上a向量，你这是b，你将来就要乘上g向量。是不这个问题，你是a你就要乘上a向量，你是b你就要乘上这个什么b向量，当然同学们这个向量能不能这样写？这样写是不是也行？那这样写的话，你看我赋予，如果我看到了，比如说我看到是一二，我就知道一要乘上a向量，

二要乘上j向量。那这是什么a？要乘上a向量b，要乘上g向量，这就是矩阵的伟大之处啊。它就是个数表啊，它就有伟大之处，它伟大之处在什么？我如果附你，比如说这是一个表，对吧？这个表你放在这哎，你第一个元素是谁？我让你乘上a向量，你第二是谁？

我让你乘上这一向量。那这样一加就是这个项目。大家想想一个事，只不过你现在衍生的是什么呢？我写成这个括号了，我们原来讲过这个括号和这个括号是一样的吧？那你想想，我如果把它写成这个括号，熟悉了吗？这是不是一个数表啊？啊，那么在这个当中，你这样一括熟不熟悉了？熟悉了，这是不是个数表？

为什么有个逗号呢？逗号不具有价值。它还不是个矩阵吗？所以大家想想一个事情，你发现向量本来就是个矩阵，如果这样想写，叫做行向量。所以叫行矩阵，如果这样写，就叫列向量列矩阵。听懂我的意思吗？哎，你发现横着写就叫横横，这个不是不叫横矩阵，叫行矩阵竖着写就叫列矩阵，

那就是行向量和列向量。能理解吧，所以说向量本来就是一种特殊的矩阵，它就是个数表。它是个数表，它是个特殊的一个矩阵。所以我们怎么进行去定义它呢？就这样定义，你想想这个向量，我怎么去写我这个向量，如果我写成什么，我写成AB可以。或者怎么办？我写成这个AB也行，老师说老师两个人都行，

到底写哪个看题？题说什么向量你就什么向量，比如说题说行向量那就行，向量题说列向量就列向量，他说什么就什么，他爱说什么我们就做什么。能理解吗？所以说要注意啊，所以向量本来就是一个什么本来就是一个数表。对吧，本来就是个数表好，这是第一件事情，再来看第二件事情，引力二。第二件事情啊，

有可能你现在不了解，不理解，你将来就知道了，因为我们在这一章过程当中有一个非常难的概念，叫做极大无关组。还有向量组的值，这是一个非常难的概念。尤其是很多同学往年学习过程当中，这个东西啊，永远在这卡死。说这个向量很难很难，那么接下来我讲完这一波，你就理解到底在干嘛了，因为这个数学书啊，如果直接去写，

不讲人话，我们来看看他到底在干嘛，你才能了解信息来说。来看一个事情，请问整个平面上有多少个向量？啊，整个平面你比如说你看这有个向量。这个向量，这个向量对吧？你发现看这个向量。你整个平面有多少个向量？你有无数个向量？而且你同一条线上还有更长的，还有更长的，还有更长的有无数个向量。

那你想想，如果你站在研究的角度上而言。这有无数个向量哎。你这无数个向量，你怎么表示啊？对吧，你这无数个向量的话，你难道要把它写出来吗？我写不出来的。所以这有无数个向量，我写不出来，所以不利于数学的研究。那我怎么办呢？那在这里面当中，我们就会想一个事情诶，

那我怎么了？我去找代表。我找代表。我可以在这里面当中找一个代表，代表我是能找到的。来另外一个事情，大家都知道一个事儿。高中学过一个事情叫做什么？平面当中任意两个不共线的向量。可以表示，平面当中的任何一个向量。就是平面当中两个不共线的向量，可以表示平面当中的任何一个向量，比如说这个向量。你高中学过吧，

你怎么办呢？你画一个矢量三角形。你画一个矢量三角形的话，你就知道诶，是这个向量。给你来个倍数，然后是这个向量，给你来个倍数，我就能表示这个向量。所以在这种当中我就明白了一个事情，那对于平面当中的这些向量，我不需要把所有人都写出来呀，我只需要怎么办？我只需要找到两个，比如说我找这个人。

和这个人这两个东西不贡献，我就可以用这两人表示平面当中的所有向量。那这俩人是不能表示所有，当我怎么了？当我知道了这俩人的时候，不就相当于知道了所有的向量吗？对吧，我就知道所有向量，你给我一个向量，我可以用它表示成它，比如说等于三倍的，它加上四倍，它如果再来一个向量，比如说五倍，它六倍，

它。再来一个向量六倍七倍塔八倍塔诶，我用这俩人我就能表示平面当中的所有向量，这是代表。将来我们会给它一个非常好听的名字，它叫什么呢？它叫极大无关组，那么如果在这个向量空间当中呢？它叫做积。基基础的基好了，你先听到这，你先不要管这个事情。来再来看，但是我又发现一个事，你听好了。

你这俩向量。你看你如果这是阿尔法向量，这是贝塔向量。你这两向量，如果进行去表示别人的时候。大家想想一个事，比如说这有个向量。我用这个向量，如果用这两向量表示这个向量的时候，我觉得非常恶心，他恶心的点在何处呢？你看看这个向量，那这个向量的话，你看到底是多少倍的阿尔法向量呢？你多少倍的阿尔法向量，

你多少倍的贝塔向量呢？很难写。我非常难写，你这个系数不好找。对吧，所以在这种当中我就不喜欢这两人。我不喜欢它，我喜欢什么？我喜欢垂直的。比如说这个长度是二，这个长度是三，那你想想，如果这个时候给一个向量，你看你投下来诶，这个非常完美。

对吧，你只需要什么分解高中学过叫正交分解。是不是啊？哎，我只需要正交分解，那这时候我就知道这个向量长度，这向量长这多完美啊，这比刚才过程当中的话，你发现有用多了。对吧，比刚才的东西有用多了。所以在这种当中，我们就需要什么？我们就想正交分解，所以我就不喜欢这两人。

不喜欢这俩人，你不要说没有什么用，线性代数是这三门课程当中最有用的一门课程。你要真的用的好，尤其是话这个呃，你们都是学这个呃经济类的，你们上的这个研究生过程当中可能有些同学本科生就接触过。啊，接触过这个R语言，尤其是你们需要用到这个东西，对吧？你们需要用到R语言。而且这里面当中啊呃，有些R语言进行去编程的时候，你就会发现这个线性代数是非常非常有用的东西。

你将来过程还还会用的，你迟早有一天过程当中，你为了后面过程当中向量空间没有学，你还得想来补这个内容呢。好，所以说在这种当中慢慢来。所以我们就不喜欢这两人，我们喜欢什么？我们喜欢垂直的。对吧，假设这里面当中，我们就找这俩垂直的。找这俩垂直的话，你发现我就可以正交分解了，但是又有一个问题。

你比如说举个例子，我如果在这里面投影下来的话，你看。假设你发现个事，你投影下来这个长度。比如说这个长度是五。你这个长度是五的话，你就要写成多少，你就要写成二分之五倍，你这多恶心啊，你还要写二分之五倍，这我很不喜欢。我特别喜欢的一件事情是什么呢？就说我这个点落下来是多少，你就是多少倍。

所以在这里面当中，我就不喜欢这个二，我喜欢什么，我喜欢长度为一。对吧，然后怎么办呢？我把这个东西再缩短，缩短成一叫做单位向量，因此你发现我不喜欢这俩人，我喜欢什么，我喜欢这个a向量。和什么东西呢？这一向量。我喜欢这个一那你想想，如果这个长度是一。

对吧，这是j向量，这是I向量，这长度是一，比如说这个坐标是五和四，你投下来是五五倍塔投过去四四倍塔这多简单。你落点是多少？我就得这个坐标是多少？这我太喜欢了哎，你发现一个事情，这不就是笛卡尔坐标系吗？所以在这里面当中，我们就可以怎么办呢？我就可以在这里面当中，我就可以建立一个坐标系了，

这个坐标系就叫做笛卡尔坐标系。这就是我们最喜欢的那个坐标系啊。你看看这个事情。是不这这事哎，这就是x坐标系y坐标系，然后这个坐标系上的单位向量就叫I向量和j向量。所以这个时候你发现它的内容点就上来了。对吧，我们平时建立的坐标系，为什么是正交的呢？为什么是单位的表示那个单位向量呢？这就是它的原因。这样做的一个好处是什么呢？就是这个落点，你看你这个点坐标是多少？

你这个东西的话，你发现这个向量就怎么写这多简单，你这个坐标是五和四，你这个向量就是五倍的I向量加上四倍的j向量。你这个坐标是三负二，你就是三倍的a向量，加上负二倍的g向量，你要是七和八就是七倍的a向量，加上八倍的g向量太完美了。你发现这样一波内容，你就明白到底在干什么了，所以我们刚才过程当中，在众多向量当中，第一件事情。我们要找什么找？

代表表示所有。第二件事情，我们还希望它是垂直的，这就是将来学的正交化。我还希望这个人是单位的，就是将来学习的单位化。哎，这就是我们在这里面当中啊，要学习的基本内容，能听懂吗？我相信啊，通过这一波内容，你一定要稍微的进行去理解一下。你有一点高中基础都能听啊。那这样的话，

你发现这个线性代数啊，就跟这个高中所学习的那个向量就串起来了。好，那么接下来我们将正式开始刚才那波内容，尤其是第二波内容，如果你没有听懂都没关系，你先在大脑当中温存一段时间。那么，将来过程当中，我们会用好，那么接下来正式的看我们先来看看第一个问题，先讲讲向量的概念。什么叫向量呢？向量也是个矩阵。大家注意向量也是个矩阵，

向量只不过是单行单列的矩阵。对吧，单行单列的矩阵。你不要说人家好离谱。要是没有这些东西，哪有后面的过程当中，你发现没有这个高等数学微积分的这样的一个支撑，哪有后面的过程当中的各种经典的力学。哪有各种经典的，这个什么包括现在的话，这个现代力学哪有现在的这种量子力学，哪有你现在玩的这个手机，哪有我们现在在这里面当中听网课呀？所以在这种当中，大家注意不要局限了，

对吧？不要局限了，好了，我们一起来看看下面一个问题。先来看第一个事情向量的定义。对吧，向量a1。那么，这个向量定义啊，首先第一个事情你要注意，这个向量他也是个矩阵。对吧，它也是个矩阵。它只不过是单行或者单列的句中。那所以说它说由n个数所构成的有序数组不就是一个数表吗？

对吧，不就是个数表吗？如果在这种当中，我们怎么办？我横着写。注意啊，我横着写，我就把它叫做什么哎，叫做行向量。比如说这是a1a2a3，一直到an。这叫行向量，大家注意一个问题，这个逗号写不写？在不在乎不在乎没有什么用的，

他就想说，哎，你这是他，这是他。你想写就写上，你不想写就不写，这都无所谓了，好了，这是第一个事情，然后如果你在这种当中列着写。列着写，列着写，就叫北大向量。那北大向量的话，这是a1a2，

然后一直到多少an？注意向量也是个矩阵，那么既然是个矩阵的话，它就满足矩阵的运算呢，你也可以怎么写？你写成横的。然后打个转置。你横着转置一下，不就是列的吗？所以说这样写其实也是列的，也是个列向量。所以在这里面当中，你就要明白什么叫做向量。对吧，向量那么接下来有一个重点的概念。

有一个重点概念。这个概念叫什么呢？这个概念叫做向量组。诶，有一个重点概念叫做向量组。什么叫向量组呢？这里面当中我们先说一个事情，你来听好了，你看比如说我举个例子，你告诉我这是个几维向量。比如说这个中点的坐标是多少呃，改一下不是a的a和b，比如说改成。三四那这个坐标就是三四三四，这是几维空间下的向量？

二维空间下的向量，所以叫做二维向量，那这个维数是怎么来的呢？这个为数就是这个个数。能听懂吧，你有你有几个人，一个人两个人，那二维那同学们想想这是个几维啊，一个两个三个四个n个，所以它叫做什么？那这个人就叫N维的什么东西啊，横向量，那这人叫什么N维的什么列向量？n为行向量，n为列向量。

对吧，它们都是一个N维向量。好，这是要注意的。所以接下来我们来看看一个非常重要的一个概念，叫做向量组。什么叫向量组呢？就是一组向量。但是这种向量的话，必须怎么同为？就是一组同为的向量，它们就叫做一个向量组。你要注意，不是说随随便便的一些人，他成为向量组。

它必须是什么同为的向量？为数是相同的。你比如说举个例子，我们来看看一个事。举例子一零。零一。一二。五六这是四个向量，这是不是一个向量组？当然是我们都是什么一个世界的人？我们可以在一起玩，所以我们叫做一个向量组。然后再来看幺幺幺，这是三倍向量。一二一这是三维向量，

然后这是一四五，这是三维向量五六七，三维向量啊。所以说这些人都是三维向量，他是不是个向量组是的？但是如果我们再来写，如果这是零一。这是一一。然后这是一二三，这是个向量组吗？它就不是了，为什么呢？你是个二维，你是个三维，你是三维，

你不是同维的呀？我们必须是什么同一个世界的人放在一起，我们才叫一个象征性。我们要成为一个组合的话，你发现我们必须是同位的。所以这里面当中啊，这个人呢，就没法跟他一起玩诶，不同为所以要注意什么叫做向量组。那么，接下来我们再来看一个重点的概念，这个事情很重要，叫做线性运算。向量的线性运算。什么叫做向量的线性运算呢？

呃，这里面大爽，你要注意啊。如果是什么呢？一一。一二这就不叫了。这就不叫向量组了。你们呃，我先讲讲吧，我把下面这个事情讲完了，你再来理解你什么东西都清楚了。来，我们一起来看看这个向量的线性运算。那么，向量的线性运算呢？

那么，什么叫向量线性运算呢？我们先看第一个事情，假设我们就写三位向量可以吧？a1a2a3。然后这里面当中，我们再写个个大向量b，大向量是b1B2B3。好，这两人那么什么叫线性运算呢？同为的向量才能线性运算。这为什么要这个进行去定义一个事情，叫做向量组呢，因为他们要进行线性运算，什么叫线性运算，

我们学线性代数必须要知道线性运算。线性运算第一事情叫做数乘。那树乘的话，就是给每个人都乘上它，每个人都乘上它，每个人都乘上它。是不这事情第二事情加减，那这个加减的话，你发现这俩人必须同为吧？我问你个事情，这俩人能加吗？它就加不了。对吧，这个就加不了，所以说你俩不是一个向量组。

你想想你这俩人能加吗？我们学习第二章矩阵的时候，我们都知道，同为对应相加减。是不这个事情，所以在这种当中要理解清楚这个问题。来看吧，这是a 1+b一。a 2+b二。a 3+b三，然后这是加减。这是这个事情，那如果写的是列的呢？列的也是一样。对吧，

写列的都写列的。所以这里面当中一定要听清楚，就说这是一组同为的向量，而且如果都是行都叫行，如果都是列就叫列。对吧，你不能说有些人是行，有些人列虽然同为它，也不叫向量组，我相信你能理解啊，这就叫线性运算。好了，这是我们讲的这个第一个问题，你比如说我们来算一个人。五倍的一二。

六倍的零一。怎么算那么这两人的话，你就进行去对应相来呗，也就五倍的，它加上零那这是五。然后这就是16会做了吧，他们必须要能进行去线性运算，也就是我们之间必须我们得能运算，你都不能运算，你放在这干嘛？那就没什么用了，要注意啊，这是个基本问题，过去了，那么接下来我们来看看第一个非常重要的概念，

叫做向量的。线性表出。呃，我先提前先讲一下。这一波问这一波题啊，就是这个向量的这个部分的题啊，你如果买的有别的参考书。它有可能是这个设置的不同。我们今天过程当中这个部分呢，所有的东西有一个部分，比如说我能被你表出系数是多少，这个部分没法讲，只能把方程组讲了之后才能讲。所以如果你买了一些书籍啊，你一定要注意，

等到我把第四章讲完了之后，你再去做那些题。如果碰到有些题的话，你比如说这个表达的问题啊，你再来去做好了，我们先来看看这里面当中的第一个问题，线性组合。啊，信息组。那么，首先我们看看什么叫线性组合呢？线性组合，它必须是这样说的，它说已知。已知一个向量组。

大家注意，如果将来过程当中，我们说向量组了，说明什么问题啊？说明这个向量，这个向量。这个向量，然后的话，你发现这个向量。这些向量都是同为的嘛。要是行都是行，要是列都是列啊，这就是同为的，这是个向量组。没问题吧？

好，这是个向量组，那什么叫做线性组合呢？线性组合是这样说的，我们称。称这个阿尔法一阿尔法二阿尔法三阿尔法n。什么叫线性组合就是这样，我给你乘k1。我给你乘k2。我给你乘k3，然后一直乘到kn，我乘这个东西啊，为什么呢？为这个向量组的一个。线性组合一个。

线性组合。其实这个概念非常的简单，为什么要这样定义呢？因为大家都知道一个事情，我们刚才过程当，比如说我们选了一个什么这个向量等于几倍的，它加上几倍的，它其实这个东西就叫线性组合。是给这个向量组的，前面配上系数，然后再相加，有同学说那减呢，如果你这个k2取负的不就是减吗？好，这是这个问题，

跟得上吗？线性组合知道什么是线性组合，然后接下来我们再来看看线性表述。那什么叫线性表除呢？我们继续看。然后已知。已知两个东西，已知有一个向量组。这个向量组是阿尔法一，阿尔法二移植到阿尔法n。而且这里面当中还有个向量，还有个向量是a的。对吧，一个向量组，一个贝塔，

如果在这种当中若。贝塔可以写成什么？写成你的线性组合的样子。我就说你能被我线性表除。我就称。称什么东西呢？北大可由什么阿尔法一移植到阿尔法n，注意这种表示叫。线性表出或者叫线性表示都行，表示表出都行，所以什么叫线性表出呢？就是你这个向量能写成我的线性组合。对吧，你这个向量能够写成我的线性组合，比如说我们来看看一个事情。

那么，这里面当中，我出一个问题。比如这里面当中有一个一零。有一个零一。这是二三。大家想想。前面这个人是个向量组，后面是这个向量吧？那么，这里面当中，我们就可以写了。二二三这个向量。能不能写成这个人的线性组合呢？你可以写一下，

那很明显都知道这个人要乘个二。你这人成个三这一家就是他。那这个时候就说你就等于两倍的，它加上三倍的，它不就能写成它的线性组合吗？能理解吧，来我们再来看，还有一个什么情况零零。零零能不能写成它的线性组合呢？哎，我觉得零零也行啊。琳琳，这个人不就是琳贝的他。加上零倍的他吗？是不是也能写成它的线性组合，

所以大家注意，只要能表示成它的线性组合的样子，你就能被我线性表出。你就是被我线性表除，请注意一个问题，在这件事情当中k1k2 kn没有要求。什么都为零呐，什么都不为零呐，什么不全为零，没有要求注意这个事情啊，你把它给我标出来。这里面当中的k没有要求，只要你能写成我的线性组合，我管你系数为不为零呢？那么，

这里面当中你都叫做我的线性表达。都是我的线性表达的形式。就我不会在乎那个东西到底为不为例。所以他们对这个k1k2到kn没有要求。对这个系数是没有要求的，这是要注意的。能想清楚吗？好听明白的给我回复一。所以你能不能被我线性表出呢？我就看的是你能不能写成我的线性组合，你能写成我的线性组合，你就能被我线性表出。好，这是这个问题。那么，

接下来我们来看个题吧。来同学们，我们来做一个题，这个题啊，有一点点意思哦。有点意思，大家好好听一听。他这样说，他说北大这个人呐。然后它能被阿尔法一到阿尔法m线性标注。他能被这些人线性标出。但是却不能被阿尔法一到，阿尔法m- 1这些人先行标出。然后又记第二个向量组是阿尔法，一到阿尔法m- 1，

然后还有个贝塔，然后问阿尔法m能不能用一表示能不能用二表示这个题看起来？稍微的复杂一点好什么这什么玩意儿，但是你要注意啊，这个题啊，难度不大，你听啊，你听我来讲。节哎，迅速把它秒了。首先第一件事情，他说这个北大能够被这个人线性表示什么意思啊，就说明北大这个人能够写成这个人的线性组合。能够写成这个人的线性组合。能够写成这个人的线性组合。

这没问题吧，你能写成我的线性组合，你就能被我线性表出。这是第一句话告诉我们的事情。然后他又说他说贝塔不能由这些人先行标出。那就敢保证一个事情，你这个系数啊，肯定不为零。你这个系数绝对不能为零，你这个系数如果等于零呢，那就完蛋了，你要等于零的话诶，没了。那北大就能被它先行标注了。所以这里面当中，

我立即得到了信息点，是你这个系数肯定不为零，你为零就完蛋了。诶，不为零那不为零好办呢，那不为零的话，大家想想，然后我们又说阿尔法一到阿尔法m- 1，这些人是一个向量组吧。它是个二向量组，这是一个向量组，那我怎么做呢？我就可以这样办，我把这个人。移过去对吧诶，

移过去或者是把这些人移过去，把这个km怎么办除过去，或者是我移过去。所以这里面当中，我们来写下阿尔法m。那就是负的km分之k一阿尔法一，然后是km分之k二。然后这是阿尔法二。那么，一直减减减到什么呢？减到这个km分之km减一。阿尔法m- 1。是不这个事情，然后这个贝塔移过来了，那就变成了正的km分之一，

贝塔是不得到这个人。大家注意啊，这件事情不能胡做，因为这个系数不为零，它才能这么办。对吧，正是因为这个系数不为零，它才能这么办，所以得到了一个重点，阿尔法m能够被阿尔法一阿尔法二阿尔法m- 1和贝塔。表出，所以这里面当中啊，第一件事情他是能够被这个第二个人表出的，他说不能被表出错了。他说，

在这种地方不能被表出错，他能。那么，接下来我们再来看看第二个问题。那有一个问题点，你这个阿尔法m能不能被前面这些人线性表出呢？大家注意，这是万万不可的。为什么呢？大家听完我讲完了之后啊，你瞬间秒懂，你不要着急啊，这个第一遍那么在这种当中，我们来看看。那这里面当中，

你可以怎么办？也可以假设。那么说，如果说什么呢？如果这个阿尔法m能够被这个阿尔法一阿尔法二一直到多少呢？阿尔法m- 1表出。比如说这是l1，这是l2，然后这是lm- 1，假设你能被我表出，你如果能被我表出，我就能把这个人带进去了。带进去了之后就会得到一个非常重点的东西，北大这个人你看在这个世界里面，阿尔法m就没了，

出现了阿尔法一到阿尔法m- 1。把这个阿尔法一提出来，那就是k1，再加上多少km×l一倍的阿尔法一。移植加到多少？加到km- 1，然后再加上km这个人乘上lm- 1。这是阿尔法m- 1。哎，你这个问题点很大呀，你这个时候就得到了北大这个人不就能被这些人标出吗？而你题目说什么？你说北大不能由这些人标出。你这不矛盾了吗？所以在这里面当中啊，

他就立即有一个事情矛盾了。对吧，所以则什么情况则不可。一定不行，因此这个题啊，正确答案选b好题哦。有点意思，所以大家将来的过程当中，你再看到这个题就简单了，那么接下来我给你捋一下。那么，这里面当中说北大能由它表示，但不能由它表示，说明这个系数肯定不为零。正是因为这个系数不为零，

我就可以把这项移过去，把这个人移过来，说明这个阿尔法m能被他们来表出。对吧，这是第一个事情，第二件事情，北大这个人能不能用前面这些人表出呢？如果能，那说明你被干成了他们，那说明北大就能被他们表出来啊，那不对。所以在这里面当中，你会发现正确答案，选b听懂了吗？好，

这是这个事情，有点意思吧，有点意思啊。很有意思的东西。好了，这就是我们在这门当中啊，你思考的一个问题点，你就想清楚，如果这个人。对吧，你如果这个人能被这些人表出。这这没有多难呐，你去扔给一个初中生，他都能听得懂。这这是不牵扯大学内容。

呃，一点都不前途。这还绕啊，来我给你写少一点。哎，我给你写少一点。那么，它大家说一个事情，比如说北大能由这三个人表出。好吧，能用这三个人标注。这个人能由这三个人表出。但是不能用这俩人标出，你告诉我这个人敢不敢不为零，他当然不敢，

他就不为零。因为它不为零的话，你发现k三这个人不就等于负的多少k三分之k一阿尔法一。然后是多少k三分之k二阿尔法二，然后加上多少k三分之一贝塔能听得懂吗？那这时候不就说明什么，这是阿尔法三，那不就说明什么，说明阿尔法三能由一二倍大，这个向量组表出吗？这会了吧？好，这是第一个事情，然后第二件事情我们再来看，又出现一个问题，

说你这个人能不能被前两个表示呢？如果阿尔法三能被前面表示。能被前面表示，那这个时候的话，你发现这个贝塔就等于多少呢？贝塔不就等于k1，然后加上k3l1阿尔法一。然后是k 2+k 3l二阿尔法二，那你不就说明贝塔能由这俩人表示了吗？你题目说它不能被这俩人表示，那不是矛盾了吗？那说明什么情况？你这个人不对吧？好，这个事情你看吧。

这没有说我什么呀，你说出两三个，你会我写m个怎么了？那不可能说考试题的话，它一定得有限个呀，我可以写m个呀。啊，我写m个你就不会了。我写什么东西呢？我写这里面当中的话，你发现我写成这个有限个，你就回答。就跟有一个题一样。因为这两天我正在讲这个事儿。我深深的还记得这样的一个问题。

当时我们进行去讲这个概率论部分，我讲过这个题。那么，这里面当中啊呃，你来看看这个问题。你看看一点一七这个题。对吧，一点一七这个题那么这个题的话，你发现一个事，它跟这个一点一六这个题。叫我看看啊，好一点一六这个题你比如说这有100个产品，60件正品。40件次品，我从中取三件，

问你三件均为次品，那我就知道是在一一百当中取三件。然后三件都是次品，我就在40里面进行去取三件。是不是啊？你会了，结果你发现个事出到一点一七这个题啊，有些同学就疯了。那这个题的话，你发现他说有这个什么总共有a个白球b个黑球对吧？a个白球b个黑球一样不一样。不就是刚才就是60件正品，40件次品嘛，现在改成a个白球b个黑球，说我在里面当中取m+n个球，

有m个白球n个黑球。诶，你发现一样不一样一样啊，为什么不会呢？如果有一天过程当中，我把它改成四五，这是一一一你就会了。我改成这样的话诶，你看你就会了，那我改成什么情况？我改成a到a和b呢，你就不会了，这换了一件衣服。一样不一样呢，那一样的呀，

就换了一件衣服，这衣服的话，你你发现这个这个换了一个什么换了一个同款的。这个衣服你就不认识了。所以在这种当中，大家一定听清你如果改成这样，比如说我有四个白球，五个黑球，我去摸俩球，一个白球，一个黑球，你就知道。九个里面取两，然后是四个里面取一个，五个里面取一个诶，

你瞬间会了。然后这个题的话，你发现出现了a和bm和n有的疯了，对吧？这题就不会做了。那你想想这个题有什么区别呢？它没什么区别啊，你五个四个就是九个里面取两个，四个里面取一个，五个里面取一个，你会了。哎，你你瞬间又会了，那不能这样子吧，哎，

这里面当中一定要听清楚啊。不要怕对吧？哎，不要怕。好了，这是这个问题，所以说大家下去过程当中好好想想这个问题能听懂吗？你说不不要说这个，遇到这个字母你就不会了，你也得会对吧？你也得会进行操作好，我们继续，我们再来看看下面一个问题，我们来讲讲几条认知。大家把这几条你跟着我去理解一下就行了，

来看第一个事情。他说，第一个问题，他说零向量可以由任何一个向量组表出。这没问题吧？那当然呢，零向量可以写成零贝塔，零贝塔，零贝塔嘛。这没问题啊，好第一件事情。非常简单。再来看第二件事情。他说，阿尔法一到阿尔法x中任何一个向量均可由什么东西呢？

由该向量组来表出。什么意思呢？我来给你解释一下为什么呢？因为这个题你看又出现s个有同学不喜欢了，我来给你解解释一下。如果这是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，阿尔法四，阿尔法五。这是个向量组。行不行？好，你是个向量组。你是一个向量组，

那这个时候我向量当中，比如说我们是一个组合，行不行？我们五个人是个组合，那五个组合的话，比如说我举个例子啊。你假设呃，这个比如说这个是举个例子啊，比如说这个啊，这个番番茄同学对吧？啊，还有这个小宋同学。啊，还有我，我们是个组合，

那这个番茄同学的话，你发现怎么表示呢？就是一倍的番茄加上零倍的小松。再加上临杯的我。哎，能听懂我的意思吗？那不就是这个事情吗？你看这个番茄同学就是一倍的番茄，零倍的小松，零倍的我，那不就是这个意思吗？你出现谁就可以谁乘上一剩下乘零呗，那如果是阿尔法一这个人呢？就一倍的阿尔法一倍零倍的阿尔法二倍零倍的阿尔法三倍。零倍的阿尔法四倍，

我写那么多干嘛？就写这些呢？可以吧，难写死了来，如果是第二个人呢？那零倍的阿尔法，一倍一倍的阿尔法，二倍零倍的阿尔法，三倍零倍的阿尔法四，这有什么难的？听懂了吧好，这是这个事情。所以说这是我们讲的这个问题，那你想他说他中间的任何一个向量都能由这个向量组表示，如果这是阿尔法I呢，

你看这配零配零。只有阿尔法a这个系数配减，只有这个人配一。只有这个人配一，剩下人配零，这没问题吧？好，这是这个事，所以说你要注意啊，就说我这个向量当中的这个人呐，肯定能有我这个组合表示。来再看这个人。他说，北大能由这个向量组当中的部分向量表示，则这个北大一定能由这个向量组表示，

哎呀，这个。我再来改一下，我还是出成这个简短一点的嘛。比如说这里面当中是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，阿尔法四，阿尔法五这个向量组。那万一有一天这个背搭。它能被k1阿尔法1k二阿尔法二表示。那这个时候我就可以立即说什么事情，我就可以说，你不就能有我这个，你有这俩人表示，

你就能被我所所。所有人表示，为什么我配零呗，我配零嘛，我配零嘛。是不是这个事情，所以你能被这俩人表示，你就能被所有表示我齐云佩林嘛，所以他就说这句话，你能被部分人表示，你就能被全部人表示。会了吧，所以大家想想一个事情，你听好了，他能不能被这个人表示就是你能不能写成我的线性组合？

我要能表示你，你就能被我表示。你听懂我的意思吗？你能不能写成我们的组合？诶，这就是这个问题。能想清楚吧。琢磨清楚这个问题。好了，这个事情我们就讲到这，自己下去过程当中啊，好好琢磨琢磨，要不这样吧，我们稍微休息会儿可以吧啊，休息会儿。

呃，我们一会儿过程当中，我们来看看今天比较重要的这个线性相关性。这个线性表出啊，你还是呃，现在而言不是说特别难。但是这里面当中还有一个问题，那如果你能被我表出。比如说你能被我表出k1倍的，我k2倍的它那这个系数是多少呢？只有我们讲完了这个方程组啊，我们才能进行讲这个事情。能理解吧，好这个事儿。你们不要关注这个问题啊，

我真有点受苦。每年的过程当中，这个我觉得我讲课吧，你让我讲什么课，你让我讲这个几千人呐，对吧？这个很多人的课我都没有什么问题，我都感觉这个每年。这周年庆，我能焦虑死啊。好了，这是这个事情。原本这个下午他们说去排练嗯，这个但是我们要如果调课的话就。得把课程调到后天了啊，

我觉得又耽误了两三天，大家的这个复习时间啊，所以说今天的话，这个课程呢，我们还是得继续上啊。好了，那么这个部分我们就先说到这行吧，稍微休息会吧，一会我们继续。行，休息会儿吧啊。

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