07.向量组的秩与极大无关组-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:56:58

那么，接下来我们继续吧，我们再来看看这个考点三啊呃，刚才这些公式有没有记清楚啊？记完了没有？有没有记完呢？应该没问题吧，我觉得这里面当中啊，这个前几个公式应该都没有问题，如果有些同学的话，这个里面当中容易忘的话，应该是这个。第五个，第六个，第七个啊，

这几个人呢？稍微的话会麻烦一点点啊，自己下去过程当中好好串一下。呃，这个a的值小于等于a-b的值，没有这个公式啊，没有的别别别乱来，没有这个公式啊，你你自己可以进行去试一下啊，它没有的。那么，接下来过程当中，我们就继续我们再来看看下面的题啊，我们来做几个题，先来看看这个二点三三这个题吧，

先看这个题目。那这里面当中啊，他说了一个事情，说a为四×3的矩阵。而且这个a呀，它的值等于二，然后这里面当中。给了个b，然后让我去求解AB的值，那这人怎么做？那这里面当中，我看到a×b啊，那a×b肯定小于等于a的值也小于等于b的值啊。那这里面当中已经给了这个b，我们可以稍微进行去看看。

那如果这个b是可逆的，那这个人的质应该等于a吧，所以我们先进行去检验，这个人可逆性，那检验这个人可逆性也非常简单，你就直接取行列式。取行列式的话，你发现就可以按照这个东西进行展开。如果进行展开了之后的话，刚好是二，然后这是三，再加上二，这东西不为零呐，行列式不为零，立即可以突出来这个矩阵是可逆的。

那如果这个矩阵是可逆的，我把一个可逆矩阵乘上，你这个质是不变的质就等于几啊，就等于二。没问题吧，就等于a的值，所以这个题啊，比较简单啊，来继续我们再来看看下面的题。看一下二点三四这个题，看这个题怎么做？来看看这个人。那这里面当中啊，给了一个啊，这个你们建建什么群啊？

这个下去再说吧，好好听课对吧？这个部分内容还比较重要，今天的部分东西啊，非常关键，好好听哦，好，我们先来看看这个第一个事情给的这个a矩阵。然后又给了一个b矩阵，然后让我们继续去求解什么b×a，再加上二倍的a的，这个人的值。怎么求解？有些同学做这个题非常疯狂，怎么做呢？

说b知道了a知道了来梁一辰。那再加上二倍的a，把这东西算出来，算出来之后啊，然后再进行操作啊，你发现这你要做完了之后不要说两分钟。我给你十分钟，你都未必能做完。那所以在这种当中啊，这个问题点就非常麻烦了，所以像这种题啊，我觉得很适合我们考。怎么去处理呢？我们先观察一下，你发现这种当中这个人是BA，

再加上2a，而且这个b这个矩阵呢，它是个上三角形矩阵。对吧，是一个上三角形矩阵。就这个人上三角形矩阵。而且这个人对角线元素啊，都不为零，那在这种当中，我可以怎么做呢？我一观察这人是b乘上a。二倍的a，你可以稍微进行去整理一下，它不就是b+2，然后这个a那肯定是2e啊。

那这个时候的话，我们再来看看这个b加二一b加二一就是这个对角线怎么办？对角线加个二加个23。加个25啊，这个是加个二，这个人是四，加个25，加个26，所以这个部分呢，它这个人不变。那这个时候这个矩阵不就是个上三角形矩阵吗？上三角形矩阵这个行列式啊，它是不为零的，那不为零这个矩阵不就可逆吗？很明显一个事情哦，

这个矩阵是可逆矩阵的，那可逆矩阵不变质漂亮，它就等于a的值。你看这个多好做，所以说在这个题当中非常精辟的一步，就是在这里面当中啊，做了一步转换，把这东西啊，我一看诶，真可逆，它就等于a的值。所以现在我们只需要进行去求解a的值了。怎么去求解a的值呢？把这人进行化成行阶梯，看它的非零行的行数好，

我们先看第一个事情，这是一二三四。减去二倍是零，减去二倍是负一，减去二倍是负二，减去二倍是负三，减去三倍啊，注意一下，把这变成零。减去三倍是零，减去三倍，这人是多少？二三得六负二，减去三倍，然后这是负四，

减去三倍，那这人是负六。然后再把这人变成零。变成零减去四倍，这是零减去四倍呢，这是负三减去四倍啊，这是四倍负六，然后这是负九。那这时候我们立即看看这个事情，你发现这是一二三四把这人变成零一二三。这几行都成比例，一消就是零，一消就是零，同学们能听得懂吗？所以在这本当中立即就可以看出来。

这个人的非零行行数是两行，所以说这人质啊，就等于二本题结束。很有意思啊，所以在这里面当中的这个操作啊，我觉得水平点还是有的好，二点三四这个题。过去了，可以吗？掌握清楚给我回复一啊，基本问题。那么，接下来过程当中啊，我们再来看看下面一个问题。能不能拆沉？

但是谁跟你讲的？有那个公式呢？哎呀，不要随便用。你千万不要随便用，你一随便用，我就有点慌啊。我们刚才讲的一个事情就说。你这里面当中，你这个人的值加上这个人的值小于等于这个人的值，加上这个人值。你所以在这个当中不要这样乱来，我发现每次我们我们进，你上了这么久的课程呢，每当我讲的这个问题一定是在上面刚讲的知识点，

怎么就不能用这个知识点呢？你偏要推翻这个知识点。不要这样乱来啊。而且刚才那个质的公式我也给你推过呀，就没有a+b的质等于a的质加b的质是小于等于a的质加b的质。不要乱来呀，行吧，这是我们讲的这个问题，那么接下来我们来看几个题，你们现在状态怎么样？现在状态怎么样？下面这几个题啊，比较重要一点。因为下面这几个题啊，是很多同学的软肋。

非常大的软肋好，那么接下来过程当中，我们先来看看二点三五啊，先看这里面当中的第一个题。要不这样吧，我们先来看看二点三六这个题。讲完二点三六，我们再继续去讲二点三五。可以吧，好先看第一个事情，它说已经知道a为m×n的矩阵。b是一个n×m的矩阵，然后这个e呀是m阶的单倍阵。你可以进去去看看这个a是一个什么呢？a是一个m×n的b是一个n×m的。

所以说这两个东西一乘呢，它就是个m×m的。所以AB这个矩阵呢，是m×m的矩阵，而且我们都知道一个事情e这个矩阵呢，是满质的。为什么呢？一这个矩阵的话，它的对角线都是一。既然都是一这个矩阵的行列式啊，肯定不为零单位矩阵一定是满值的，这没问题吧？你思考一下就出来了。所以说这人满的是谁的智呢？满的是m的智。

因此，在这个题当中啊，我们就只能得到第一个信息，他们去求a的值和b的值，我只得到第一个信息。AB这个人因为AB就是e，所以说AB的值就是e的值e是谁的值呢m值？注意啊，它的值等于m跟n没有关系，等于的是m。那么，现在这个题啊，已知条件，只知道AB的值等于m，那么现在这个题让我们继续求a的值和b的值，

你怎么做？那非常简单，你就进行去找a的质和AB的质之间的关系嘛，所谓越沉越小，是不是立即出来了？所以在这里当中AB这个人是小于等于a的值，而且AB这个人小于等于b的值。没问题吧，而且这半边这个结果是m这半边这个结果是m。那么，在这种当中，我们一起来看你都知道a的值啊，它不会超过行数，也不会超过列数，这个人不会超过列行数，

也不会超过列数。对吧，都不会超过行，也不会超过列，但是同学们想想一个事情，你这半边是m那这半边用什么？你肯定用m呀。他说那n怎么办？不是题目当中这个刚才记的公式是m和n之间的最小值，那到底谁最小关他什么事儿啊？你这样一想做题就做不好了，我现在这个题的话，你发现很明显，我大于等于m那现在这半边儿，如果再能小于等于m，

我一加。中间不就等于吗？是不是这个时间你大于等于m小于等于m，我一加中间不就是m，所以说跟这个n呐没有什么关系。因此，这个题的正确答案应该选择几啊，选择a选项。你看这个题非常有意思。所以核心重点都是在用我们刚才这个质的公式。那个质的公式啊，非常的重要。非常非常关键。所以在这种当中，已知条件知道了AB的值。

而我们要去求a的值和b的值，你就进行去找AB的值和a的值和b的值的关系，所谓越乘越小。那既然越乘越小的话，你发现这半边是m这半边用m就行，一加就行了。不要在那里面当中进行去想n跟n没有关系，像这种题贼简单。非常好做，大家注意核心重点用的都是什么？就是我们刚才讲的制度公式，所以说接下来过程当中处理问题啊，你听好了。我的思想非常的简单，什么事情呢？

就说每当见到什么东西去想对应的公式就行。你比如说这个题知道的是AB让你去求的a，你就进去想AB和a什么的质的关系。去想刚才的制度公式就行。来继续啊，再来看看上面这个题。呃，这个题啊，要难一点。啊，这个题要难一点。他说a是一个m×n的矩阵。b是一个n×m的矩阵，那么所以说同学们a×b是什么？a×b是m×m的矩阵。

要注意那么在这种当中，他说如果m大于n呢ABB可逆m大于n呢b不可逆小于n呢可逆小于n呢不可逆，就说现在这种题都疯了。一点思维方式都没有，等你看到这些题啊，你才会发现一个事情，原来那些难算的题啊，都不叫难了。什么叫难题呢？你见到这个题的话，你发现。你见到他没有任何感觉。一点思路都没有，所以说这种题的话才是很多同学都转的。不是原来过程当中那些运算量大点的题，

稍微有点运算量，有同学就喊了说啊，这个运算量好大。至少你能算呐，至少你能做啊，你像这种题。你一点思路都没有。所以接下来过程当中，我们一起来思考一下。你想想这个题，让我们进去去判断什么判断这个矩阵的可逆性？判断这个矩阵的可逆性，按理说应该是去取行列式啊。对吧，去取行列式啊，

去看行列式为零还是不为零？对吧，为不为零？那这个行列式为不为零的话，你发现这个人也不好看呐，难道等于a的行列式乘b的行列式啊？胡扯。因为这个AB都不是方阵，肯定不行。所以在这个题当中的话，你发现这个行列式等于零，根本做不了。那做不了怎么办？我稍微转一下。那判断行列式为不为零，

还有没有别的方法呢？我相信有判断行列式为不为零，不就是看这个矩阵满不满质吗？那我就来看质等不等于m不就行了吗？所以同学们记清楚这个题看的是AB的值跟谁的关系。一定要记住你的方向是什么？你的方向是看AB的值与谁的关系啊？与m的关系。跟n有半毛钱关系吗？没有跟n有什么关系啊？什么关系都没有，那所以说这个题啊，我们要进行去求解AB的值。但是你发现这个题啊，只告诉了a是m×NB是n×m，

我只知道a的值比m小比n小。比的是比n小，比m小，但是你发现个事儿，这个题还是没思路啊，你怎么办呢？你去琢磨下。知道的是AB，而我要求的是AB啊，知道是a和b，然后我去求AB，你怎么办？你可以用一下，越乘越小，这个公式不就行了吗？

所以说这个人呢，他是小于等于谁呢？a也行b也行，选一个就行了，你选a可以选b也行。任选其假设我们在这里当中，我们就选a吧，越乘越小，那么在这里当中我们都知道a这个人是比m小。a这个人也比n小，这没问题吧？来那么接下来过程当中，我们先来看看a选项和b选项。a选项和b选项已知了什么东西呢？已知这个m大于n。

如果这个m大于n，请你把上面这个式子利用不等式把它给我连起来，跟我一起讲AB这个人。小于等于a，然后的话，你发现谁大它比m小，它也比n小，但是m要比n大，所以说这块是小于等号，听得懂吗？没问题吧，你看你既小于等于m，又小于等于n，现在m要大一点，说明m这个人在前面。

而且m是绝对大，所以这里面当中你就会发现这个AB这个人跟m之间的关系确定了吗？确定了他完完全全的话是小于它。哦，小于它拨满枝行列式等于零，所以说这个人怎么办？不可逆漂亮答案选几？选b，你看这个题，然后接下来过程当中，我们再来看看CD。CD这个人呢？他说的什么？他说已知这个m怎么了？小月。

对吧m小于n那m小于n啊怎么了？咋了啊？好了，如果在这种当中啊，什么错了呀？别别别在那瞎喊的啊。那么，接下来过程当中，我们就继续我们再来看，如果这个m怎么办？小于n，如果这个m小于n的话，你发现现在谁大呢？现在是n档，所以说接下来过程当中把这个东西继续连一下，

连一下就是AB，然后小于a。小于a了之后的话，你发现谁大呢？是这个n大n大的话就小于等于m小于n。没问题吧，但是这个时候的话，你发现你去看看这个AB，这个人跟这个m之间关系确定了吗？确定了吗？确定不了。如果这里面当中是小于不满值行列式等于零，如果这个人等于m行列式等啊，这个什么不为零？对吧，

因为满之不为零，那这人又可疑了，所以说这件事情啊，就说不清楚了。因此啊，这题的正确答案选择b选项。所以说做这种题啊，真的特别有意思啊，好有意思，它的核心重点就是利用那个质的公式。所以你下去过程当中啊，把那个制度公式啊，好好记一记。能听得懂吗？那所以在这种当中说不清楚嘛，

它有可能是什么？如果AB的值小于m。那这人怎么了？这个人的行列式的话，他就等于零，那这人怎么办？他就不可逆，如果你这个人的质等于什么？等于m就满值满值的话，行列式有不为零，它不就可逆吗？所以在这种当中啊，核心重点的一个问题啊，这个内容啊，他就说不清楚你到底是可逆还是不可逆呢？

说不清。好，这个人行吧，那么这个问题啊，我们就想到这。所以说这个尤其这个这个阳春喜哥听了半天，听了个寂寞啊。我想了那么半天，我说这个题不要看n看n干嘛，我的核心重点是判断AB的质跟m的关系。你所以说你发现一个事情，有的时候我就知道这块儿东西是个重点，我几秒钟之前刚给你讲的问题，你转头的话，你就发现你就能忘啊。

我们说判断这个人跟m的关系，不是跟n的关系，跟n没有半毛钱关系，我就要看看你跟m。跟m之间就能看看这个东西啊，满不满值啊这个人？好了，这个问题啊，我们就讲到这。过去了，可以吗？好了没啊？这个题啊，和这个题下去得好好看看。这俩题啊，

非常的重要。然后接下来过程当中，我们再来看看下面的题。这个题啊，也有点难度啊，有点挑战性来再看这个题。那这个题啊，给了一个a。然后说这个b为三阶非零阵求质好了，同学们标一下，只要见到矩阵不为零。立即反应质大于等于一。能听懂吧，只要见到矩阵不为零，立即反应至大于等于一，

而这个题的话，你发现我知道的是谁呢？我知道a让我去求b。那怎么求啊？你只能根据这个式子去求吧。还是说那在这种当中说得到了一个信息rab就等于rb？那就说明这个a是一个什么可逆吗？那你可逆有啥用啊？你这把a求出来也没用啊，我让你求的是b。那所以说这个方向又错了，我让你去求b。所以在这本当中，一定要把b的东西先整理到一起。可你没啥用啊，

我要求b啊，我不是求a。而且这里面当中有三个未知数。这题很欠儿的，而且你发现一个事儿，这里面当中，我如果在这里面当中再出一个，比如说这来个一。再来个f也行。我来在这里面当中的话，你看我设置了几个未知数，我设置了五个未知数，你行列式等于零有啥用啊，我们就这样做。所以在这种当中，

它这个题啊，就不能这么办，要注意你的方向是什么，求b。那求b的话，就根据这个什么情况，根据这个AB=b把b整理到一起，整理到一起就是a-e乘上b=0。是不这个情况诶，我又见到一个什么情况，俩矩阵相乘等于零。两个矩阵相乘等于零，我立即就知道a的值加b的值小于等于n的列数啊，这个a的列数b的行数。那这类目当中不就是你，

然后乘上我等于零吗？我立即就会反应你，然后再怎么办？加上我的质。然后小于什么情况，小于你的列数，我的行数是三。是不这个问题啊，然后再来看看a- 1 a- 1，这人就变成了零，这人变成负二，这人是c- 1。大家来看看，现在我要去求b，我只需要控制住你。

我控制住你，我就能求出b，所以说现在过程当中啊，我重点来看看a- 1。而a- 1的话，你看一旦a- 1就变成了这个人。就变成了这个矩阵，我眼睛一瞅都会发现两行不成比例。是不是啊？两行不成比例，我就加这么多未知参数，你发现两行不成比例，两行不成比例质怎么了？质大于等于二。所以大家知道一个事情，

这个质啊，大于等于二。大家琢磨一下，我大于等于二，我加上你还比三小呢，你也忒菜了吧，说明什么事情？说明你这个人肯定不急。没问题吧，因为什么情况呢？我都大于等于二，我加上你还比三小，你肯定小于等于一，而你小于等于一，我又知道这个人怎么了，

大于等于一一加等于一。本题出来了，你看这题很有意思啊，所以说在做题的时候你要理解清楚这题到底用什么公式？因为这个题我的核心重点求什么？我的核心重点是求b，不是去求a，所以说在这种当中最重要问题，先把这个b分离出来。对吧，先把这个b分离出来，你分离出来之后的话，你这个事情就好办了，俩人相乘等于零。你的质加上我的质，

小于等于它的列数，我的行数。而你这个人大于等于二，我加上你还小于三，你这人肯定小于等于一。对吧，你这个人又大于等于一加就出来了。大家注意，如果你是一个啊，想考高分的同学。或者你是想考一个比较好成绩的一个同学，我觉得你见到这些事情，你一定要注意，你要有非常开心的感觉，为什么这是拉分点？

啊，这是拉分点，你像别的过程当中画一个行阶梯，你会别人也会谁都会稍微学习一点，线性代数都会。这才是拉分点。你发现有些同学的话，他未必能做出来啊，这是这个板块内容。好了，这个部分我们就讲到这儿，所以大家注意啊，这个矩阵呢啊，而且还没有到，非常非常难度，

系数非常大的一个部分。这个矩阵的质啊，是非常重要的。那所以说这节课的核心重点在干嘛呢？就是利用这个矩阵制的公式是非常关键的。过去了，可以吗？来那么接下来过程当中，我们来看看下面一个问题啊，再来讲下面一个事情。呃，这里面当中啊，二点三八这个公式啊，你不想真你就记。我在这种当中，

我肯定要证一下，因为这个部分的内容的证明呐，也会帮着你进行去把这个内容啊，学的会更好。所以接下来过程当中，我们先铺垫一个内容来吧，同学们一起来看一个事情。啊，不是补，是隐。我们来引一个内容。大家想想一个事情。伴随矩阵是怎么构成的？伴随矩阵。如果在这种当中的话，

你看我写个矩阵。这是a一一，a一二，a一三，a二一，a二二，a二三。a三一，a三二，a三三。大家想想。伴随矩阵，是不是由代数余子式构成的？比如说举个例子。你看第一个未知数的代数余子式。

我先不管前面的正负。这钱包我先不管。这个未知数的代数余子式就是正负这个人的行列式吧。这个行列式是不是一个二阶子式？是不是啊？是的吧，所以说你发现第一个未知数的代数余子式。就是一个什么东西呢？就是一个二阶姿势。你现在把这人划掉，如果你从二阶子式的角度上而言，其实就是在这块取。是不一样的，你把这个人给划掉，剩下的其实就是我取掉这个两行两列。

这是你要注意的，没问题吧？好，这是第一个点，然后接下来过程当中，我们再来看第二事情。你再来看这个人。这个位置处的代数余子式就是正负，然后的话你发现就是这个行列式，那这个行列式不也是个二阶子式吗？对吧，二阶子式就是取两行取两列，你看又是一个二阶子式。这第一行第二列第一行第三列第二行第一列第二行第二列第二行第三列第三行第一列。第三行第二列第三行第三列，

大家想想一个问题，比如说我随便的进行去取一个二阶子式。这个二阶子式其实就是这个位置处的余子式，没问题吧？再加上正负号就是代数余子式。所以大家一定要听清楚一个问题，你这个人呐，他是不是就包括了这个矩阵所有的n- 1阶次式啊？是不是啊？所以在这种当中啊，我们就注到这a中。含有a。所有的。n减。第一节此时。

但是这个东西啊，要取正负号。没问题吧，就说这个伴随矩阵里面有我这个a矩阵的所有的n- 1介词是。你现在这个人是三阶矩阵，他就包括了我所有的二阶姿势，只不过在这种当中啊，要加上个正负号罢了。有的位置加正号，有的位置加负号，这没问题吧？好，我希望同学们要听懂。可以了吧，一定要听清楚这个事情。

那么，同学们琢磨琢磨一个问题，那么接下来过程当中，我们来看看这个二点三八这个题，这个题你好好听一下，因为我觉得对你的提高啊，还是很大的。来，我们来看看，说已经知道a是一个n阶矩阵。然后让我们去求解这个伴随矩阵的值。伴随矩阵的值，这是考研喜欢考的，包括我们三九六同学很喜欢考这个人。那么，

首先我们先来看看，证明一下。如果这个人满值，这个人也满值，这个人的值等于n- 1，你等于一，你小于n- 1，他是零。那这里面当中比较好阵的是谁呢？比较好阵的是第一个人。和第三个人，所以说在这种当中啊，我们先来震一下第一个人。哎，说已知什么情况呢？

已知a的值等于n。如果这个人的质等员什么意思啊？不就是满质吗？满质不就说明行列式怎么了？不为零嘛。如果这个人满知，你想证明这个人也满知，那不就想证明这个人的行列式不为零吗？你证明这个行列式不为零怎么办？见到伴随矩阵想万能公式。想万能公式，我就可以给这个人的两边同取行列式。就变成了这个人，行列式乘上一他的行列式。所以说就变成了a的行列式，

乘以a的伴随的行列式。大家都知道这是一个树吧。这个数出去变成多少变成这个人的N次方，然后e的行列式是一。所以在这种当中a的伴随的行列式就等于a的行列式的n- 1次方，这是一。因为这个人不为零嘛，那不为零肯定可以约啊，还是不为零你不为零呢，马上知道这个人的智。它就等于几，它就等于。这个第一问的证明呢，就像特别像我们原来过程当中啊，推导的这个人。

推导的谁呢？推导这个a的伴随的行列式等于a的行列式的n- 1次方。非常像。好了，这一问是不是证明完了？听明白了，给我回复一。好了没？第一问证明完了就第一行证明完了，你满值我也满值。好，这是第一个人。然后接下来过程当中，我们再来看看第二行。第二行不好整，

我们先来证明第三行。第三行是什么？啊，我们写个第二个已知这个人的知。小于n- 1。大家注意一个事情，如果你的值小于n- 1，赶紧给我写。根据质的定义，推出什么来写？所有的。n- 1阶。子式全为零。是不是啊n- 1阶子式全为零？大家想想你所有的n- 1阶子式全为零。

不就说明你的所有的代数，余子式全被零吗？你的代数余子式就是你的n- 1阶子式，加上正负号。所以说所有的代数与此时都不一定啊。你任何一个位置的n- 1阶子式不就是这个人的代数余子式吗？那就余子式嘛，再加上正负号，你都等于零加正负号也是零。那既然你是零，我就知道伴随矩阵不就是零吗？因为我是由你构成的，那既然是个零矩阵，你的质肯定等于几啊，你的质肯定等于零哎，

第三条也很简单。也就说你的这个人的质啊，小于n- 1，我这个人就等于零。这条是不是也证明完了，非常非常简单啊，你要会看好了，这是我们讲的这个第二个人来继续，我们再来看看第三个人。第三个人呐，最麻烦。来看看最后一个人。来吧，证明这条。如果你的质等于n- 1，

我这个人质啊，等于一来看看第二事情已知什么情况，已知这个a的这个人的质。等于n- 1好了，同学们告诉我事情这东西能推出几条内容，两条内容，第一条内容。他什么情况a中？所有的n阶子式。对吧，所有的n阶子式，它只有一个n阶子式啊，就是它本身a的n阶子式。全为零，那n阶子式全为零，

不就是这个行列式等于零吗？是不是这个事情，然后在这种当中继续看a中？存在一个n- 1阶子时。波为零。是不是啊？有一个n间一阶子式不为零。有一个n- 1阶子式不为零，不就是有一个代数余子式不为零吗？那就有一个代数余子式不被定。那肯定的n- 1阶子式，再加上正负号，不就是代数余子式吗？你代数余子，式不为零，

而我伴随矩阵，就是由代数余子式构成。有一个位置不为零，你这个矩阵不就不为零吗？你这个矩阵不为零，你的质不就大于等于一吗？漂亮，你看这个事情好了，这是我们讲的第一步。我要证明等于一已经大于等于一了，还差小于等于一。因为这个行列式等于零，立即想到万能公式a×a的伴随等于a的行列式乘1a的行列式是零，那就是零。两矩阵相乘等于零，

你的质加上我的质小于等于你的列数，我的行数。是不这个事情下来看。因为已经知道这个a这个人呢，他已经等于n- 1，因为你已经等于n- 1，我把你减过来n-n- 1就是一。我又小于等于一，我又大于等于一。综上所述，我这个人的智就一定会等于一。好，这是这个问题，我这没完呢，所以说通过什么情况呢？

通过这个人的质等于n- 1，我就能推出两条内容。就是你所有的n阶n阶子式啊，全为零。你肯定有一个n- 1阶次式不为零，那么这两条内容我一加中间部分我就退出来了。能理解吗？好，我说一下，你要不想真，你就把它记住。这块内容啊，我们在这里面当中就是给同学们进行拓展的。因为这个公式的由来，我再给你推一下，

需要给同学们去推一下。但是在这种当中，如果你不想推，你就在这种当中，一定要把它给我记住。一定要记住，来吧，同学们补到前面的质的公式，这里面看看第八个公式。第八个人，我教你怎么记啊来看。那么，这里面当中伴随矩阵的值是非常重要的，它是个方阵啊，这个a必须是个方阵。

他这个人的智是这样，就说你满知我满知。你是n- 1，我是一。你小于n- 1，我是零。能听懂吧，就说你满我就满，你是n- 1，我是一你小于n- 1，我是零，就这样的一个对应的，你满我则满，你小于n- 1，我是一。

啊，这个你等于n- 1，我是一你小于n- 1，我是零，但是这个东西的记法我觉得也不好，我给你教一种方法。大家好好听啊，你把这个东西给我记到笔记上，大家听好了。如果在今年的考试过程当中出现伴随矩阵的字，解决方法是什么呢？举个例子。比如说这个题，它给的是这个矩阵是六×6的矩阵。对吧，

六×6的矩阵，你告诉我a的质有其中可能性啊。几种，它是不是有可能是满支，有可能是五，有可能是四，有可能是三，有可能是二，有可能是一，有可能是零。没问题吧？好了，它是有这几种可能性，但是大家注意伴随矩阵的值呢，它只有三种可能性。

它是什么？你满我就满，你是n- 1，我是一，你这个人呢？我都是零。所以在这种当中，他会这样来，就说伴随矩阵的值，他只有三种可能性，你买了呢，我就买。你是n- 1，我是一，你小于n- 1，

我是零，同学们知道怎么去出题吗？我给你教一下怎么出？比如说举个例子，一个考题过程当中啊，他很想给你a的质数。但是我又不想给你，我怎么说我就说伴随的质是一。你听懂了吗？如果说伴随的质是一，你就知道哦a的质就是五。能听懂吧诶，这两个东西对应，所以说它会反着出题。就说只要这个题，

他给的这个情况，你就这样做。对吧，给了这个人，你就立即这样处理。好了，这是这样的一个问题点啊，在这种当中啊，我们来做一个题试一下。你稍等我一下，我找一个题。找个题我们来看看。你比如说这个题吧。你看这个题怎么做？所以我觉得这节课你觉得简单，

它也非常简单，你要说难呢，那这里面当中你就觉得很麻烦啊，好他说一个事情，他说a和b均为三阶非零矩阵。对吧，三阶非零矩阵，那这里面当中的话，他给的什么你a的话情况就是三二一零那伴随的情况的话就是。你满我就满，你是二，我是一，你这我都是零，那现在给你是一不就给你是二吗？所以这里面当中其实就告诉了a的，

这个值是二。然后见到AB=0，怎么想见到AB=0就是a的值加b的值小于等于a的列数b的行数是三。是不是三呢？好，这个情况那这是三的话，你又会发现这个a的这个质是二对吧？这是二马上就说明b的质是小于等于一。然后又说明这个矩阵是非零矩阵，见到非零矩阵有大于等于一大于等于一小等于一就是一。好做吧啊，其实非常简单，你其实你发现一个事儿，你要学的这些东西啊，我已经给你总结了。

你可能会觉得哎呀，这个东西我觉得很简单啊，那是因为总结完了，我把那个东西都给你总结成定式思维的，尤其是两条。见到矩阵不为零，立即回答大于等一。见到两行不成比例大于等二。这两条内容很重要的。你要如果的话，觉得这个东西做题的简单，那是因为我们已经给你整理过了，你就直接用了，你已经把这个东西用起来了，你感觉这个东西就像你大脑里面的这个。

这个什么一下就能反应上来，那也很好，我们就要达到这个能力。所以在这种当中，这个操作性呢，你一定要注意一下，对吧？我见到这个人，他反着考，就这个里面当中的话，他很讨厌的话，就是这样的一个事情，但是我们要很喜欢。你又非常喜欢。对吧，

要喜欢炸了啊，这个人。所以在这里面当中啊，它的一个核心重点，它喜欢反着来。所以它出什么你就写什么就行了，万一有一天过程当中啊，它说我这个a是个什么，我这个a是一个n×n的。那n×n的话的话，你发现一个事情a的值呢，它有nn- 1 n- 2等等下去，你是n我是n你是它我是一你后面我都是零。那所以在这种当中对等一下就行。至于刚才这个东西的证明呢，

你不会证就算了。你要是真的不会震呐，那就算了。你不想震也可以不震，对我们三九六同学，你在这一块的学习过程当中，你就这样呃，我觉得这个操作性就在这儿。因为我们选择题，你像这个东西，你不想争，你别争了。你就把它给我记住，你会用就行了。对吧哎，

核心重点在这儿。那么，接下来过程当中啊，我们继续你还记得一个事情吗？我记得在之前部分的哪次课程呢？叫我来看看。我给你进行去证明，伴随矩阵。伴随矩阵哎，你看这个题二点八这个题你还记得吗？当时我给你去证明二点八这个题啊的时候，我说了一个事情，我说证明这个伴随矩阵的行列式啊。等于a的行列式的n- 1次方当时过程当中，这个行列式不为零的时候，

它是成立的，但是这个行列式等于零的时候，我说让你空两行。好了，那么今天过程当中啊，我们来把这两行稍微来补一下，来补一补，那么在这个当中一起来看看这个事情。不为零，肯定成立。如果等于零成立呢？等于零成立的话就说，如果a的行列式等于零，你想想如果a的行列式等于零。那是不是说明伴随矩阵的行列式也等于零啊？

对吧，你这个人等于零是不说明这个人也等于零。那如果我能证明出来，你这个前面这个人也等于零，不就证明成功了吗？怎么震呢？我用智。哎，我用质来整。大家想想一个问题，如果你这个行列式等于零，你这个人呢？肯定不满足。你不满制的话，你会有几种情况来，

我们来看看nn- 1 n- 2等等下去。你现在这个人呐，不可能是他，你不可能是他的话，那么接下来过程当中，我们看伴随伴随这个字啊，那就说明不可能是他。它只有可能，什么情况？你是一我后面都是零。所以在这种当中，我马上就可以推出来，什么情况你伴随矩阵的值，要不是一要不是零，你肯定会小于。

你小于n的话，你发现一个事情，你这个行列式呢？你这个行列式肯定等于零，你这行列式等于零，你看你等于零，我等于零，说明带进去啊。也是成立的。对吧，你把这人代成零，如果a的行列式等于零的时候一代诶，它等于零，那成立呀，那说明你等于零是我等于零推出来的。

所以这样一补，我们这个公式啊，就完美了，说明什么事情呢？a的伴随的行列式等于a的行列式的n- 1次方这个公式啊。无论a的行列式等于零还是不为零，这个公式一定都是成立的，这个公式永远都是成立的，你妥善的进行记就行了。对吧，你将来过程当中果断用你管它为不为零呢，我都能用好这个事情，我们就讲到这。来，继续回来。

那么，接下来过程当中，我们再来做一个题来看看，最后一个题。二点三九这个题。看一下这个题。那这个题啊，他让我们进行干嘛呢？他让我们进行去求解质，我再来强调几个事情，我们尤其是学习线性代数啊，对我们三九六同学。一定要养成非常强的定势思维能力，比如说举个例子，见到质的求解，

立即反映两个事情。一个事情划行阶梯。这是第一种方法，第二件事情就是用行列式。对吧，一种是变成行阶梯，一种是利用行列式，我就想问一个事情，你觉得这个题是用行列式简单还是画行阶梯简单啊？哪种人简单？很明显，行列式简单啊。你如果在这种当中划行阶梯，能恶心死你。你就算把第三行调上去，

你这个k一直在这里面当中，多恶心啊，而且这不就是我们非常喜欢的。行和相等型吗？列和相等型的行列式吗？这我多喜欢啊，所以在这个题当中啊，我就不会说我进行去化成行阶梯了。所以记住。做质的问题就两种方法，要不然画行阶梯，要不然利用行列式，那么在这种当中，我们就在这里面当怎么办？给它取一个行列式。

取一个行列式的话，怎么去取呢？就把这一列的1倍，这一列的1倍都加到第一列，都加到第一列，它有个公因子是多少k+3？都有一个公因子k+3，那k+3的话，你发现一个事情，我就立即把它提出去，那这人不就变成了幺幺幺吗？我有点懒了，但是你能听懂就行了。你要是写的没有，我直接写的快，

你下次再整理，然后这个东西啊，注意行列式中间是用的等号。区域阵中间用的是箭头行列式，用的是双竖线，必须是方的区域阵，这个东西用的是括号，未必是方的。所以在这种当中，我们一起来看，再用第一行为基准。那就减去上面k- 1减去上面k- 1减去上面k- 1，所以说最后的结果就等于k。k+3乘以多少k- 1的三次方对吧？这个结果那因此接下来过程当中我们来分析这个问题。

第一个事，若什么情况呢？如果这个k不等于负三。且这个k不等于几呢一的时候。都不相等，那都不相等的话，那这个时候行列式肯定不为零的满值，那所以说你是满值。我也满值，我俩都满值满的是四值。好，第一种情况，然后第二种情况继续看，如果这个k=1的时候。如果这个k=1所有人都是一所有人都是一，

你告诉我行变换这行这行这行都没了。它只有几行非零行，只有一行a的，这是一你是一，我这人是减，我这人是零。你不要说你是一，它是三，你别记反了啊。它是一，我是零。好基本内容，然后接下来再来看看第三个事情，如果这个k等于多少，它等于负三的时候。

对吧，它等于负三，如果这个k=- 3的话，那么接下来过程当中，我们一起来把这个矩阵弄下来。来看看。好，这是负三，这是负三，这是负三，是不是要画行阶梯啊？画行阶梯把最后一行调上去。幺幺幺负三幺负三幺幺幺负三幺，然后多少负三啊这三个一。然后接下来我们来画下，

减去上面的1倍变成零，然后变成负四，这人变成零。这人变成四减去上面一倍，变成零变成零，然后这人变成负四，他变成四。加下来三倍，这人变成零，这是四倍，加下来这个人变成二，加下来这个人变成负二。那么然后的话，再把第二行加下来，这人变成零第二行加下来，

这人变成二。诶，这是几呀？直接加下来，加下来这人变成零。诶，这怎么不对呢？叫我看看啊。哦，是这个人。三让我看看。这是这是原本是几啊，这是一是吧，减去它变成零，然后这是负四，

这是零，然后这是四。然后减去它，这是零这是零，然后这是负四。啊，然后这是四。对负四，这是四。然后再来三倍加下来，这是零三倍加下来，这是四三倍加下来，这是四三倍加下来呢。三倍加下来，这是负八啊，

不好意思。然后再把这个第二行加起来，这人是零。第二行加下来真是负四，然后这两行是成比例的，它这个结果就等于零。这个题啊，不需要画的行，最简画到行阶梯就可以了。所以说这个题就立即把它画成这样，我就知道哦a的质是三=n- 1，你这个人的质呢就等于一。跟得上我的意思吗？所以下去过程当中好好看一看这个事情，尤其而言呢，

我每次过程当中学习线性代数，这几次课程你要稍微的注意一下。我们的课程密度不是说那么的大，就是最后的还剩下两章了，所以我们学线性代数的时候一定注意。学一节好好复盘，一节学一节好好复盘一节，因为你发现一个事情，这节节都有联系，它不是独立的。他一直都在用你前面的知识点，我也要在用。啊，它不是散的东西，尤其你学到第三章，

第四章的时候，这个东西啊，会更加的明显一点，所以希望同学们注意啊，多穿多复盘。好了，这是这个事情，过去了可以吗？二点三九，但是注意啊，这个线性代数说实话不难，有些同学太懒了。你该记的公式你都记不住，你该记的性质你记不住，所以这个问题就很麻烦。

换了一下嘛。把这个第四行和第一行调换了嘛。第一行和第四行调换了吗？另外，事情上节课我给你布置的那八个初等行变换的题，有没有去做呀？就那个初等行变换的题，大家一定要有自信心啊。因为这个我给你稍微进行去看看。你等你到时候进行去做我们的真题，你都能笑得出来啊，比如说我举个例子，等你进行去看看二零二零年的话，我们的这个线性代数题，你比如说你看这个题。

它说，如果aig=2倍的这个b，它什么关系？我先不看这个题，你看看这个人。简简单单的一个三阶行列式，让它等于零，让我们去求根。然后接下来过程当中，你再看这个人。啊，它交换怎么样？交换怎么样？你或者你看这个题。这个题什么题？

你会发现个事儿，这是不是一个初等矩阵呢？这个初等矩阵的话，很明显是调和成吧，左行嘛，左行的话，你发现调换了一三行嘛？是吧，把一三行调换一下，然后这个人呢？只是右乘嘛，列列的话就是第一列，然后乘上k倍加到这个人。对吧，加到这个结果，

所以说你发现这题啊，包括后面的这题，这题都非常非常的好做，非常非常简单。所以说我们现在讲的这个线性代数啊，这个基础班没有办法，因为知识点你必须要理解清楚。知识点必须理解清楚，等你到时候进行再进行去看这些问题的时候，你就会发现非常非常容易，所以说希望同学们注意你好好来。到时候就是降维打击。你这块儿过程当中啊，你稍微在学的过程当中做扎实一点，你后面过程当中去处理那些问题啊，

难度系数都不大啊，慢慢来。好了，这个事情啊，我们就讲到这儿啊，慢慢做啊，把这个基本功啊，一定要学好了。好，那么接下来过程当中，我们一起来看看下面的事情怎么了？哪个流沙法呀？这个消俩零就行了嘛，你把这个第一个你看你把这个人的负一。你把这个人消成零，

你再把这个人消成零，就可以按照一进行展开了，这毫无难度，而且我们考的都是这种短接的。非常短期的，所以你先好好练啊，这个基础班过程当中，我们的要求还是比较高的啊。好了，这个事情我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们再来看看最后一个问题，补充一个内容。讲义上有啊呃，去看看我们讲义过程当中应该是多少页叫做矩阵等价。

多少页？这块学习不要懒呢，你下去过程当一定要整理该记的要记，你说你懒得记，你说你这里面当中怎么去学？好，这是125页。125页，我们来看看矩阵的值啊，矩阵等价。那么，首先我们先来看看第一个问题，矩阵等价的定义。先看第一个问题，矩阵等价的定义。

什么定义？什么叫做矩阵等价呢？它是这样说的，如一个矩阵a。经过什么东西呢？初等变换。变换到达b。则成矩阵。取证a和b。余b是等价的，这概念呢，我们也还要重点考这个东西，两个矩阵，它们是等价的。所以在这个当中，

它这个定义其实非常简单，就说如果我经过一个初等变换行变换行不行？可以列变换行不行？也可以。无论你是行变换还是列变换，只要你经过初等变换，跑到b我就说什么情况，这个矩阵a和b啊是等价的。只要你经过初等变换，到达b，我们俩人就是等价的，所以在这种当中，你就会发现一个问题，如果这个矩阵a。我经过一个初等变换，

跑到b。他俩等价吧，从这个进行继续进行初等变换，跑到c，他是不是也是等价再进行初等变换，跑到d，他们还不是等价吗？所以说，经过初等变换，到达了矩阵，它们彼此之间是等价的，怎么去记呢？这样记。a和b是等价的，就非常像我们初中过程当中啊，

学的那个东西叫什么叫全等三角形一样。a和b是等价的，那么接下来过程当中，我们再来看看下一个问题，那如果这两个东西是等价的，怎么进行判定呢？来看下面一个事情。看一下第二个问题，矩阵等价的判定。那么，这里面当中，我们先看看方法一。那么，在这种当中，怎么进行去把这东西进行判定呢？

我们先看第一种方法。你琢磨一下这个事情，如果a进行初等变换，跑到b。我既可以是行变换，我也可以是列变换。如果你发现个事儿，这是a。这是b，我给你组成一个可逆矩阵，就相当于进行若干次行变换。我又成一个可逆矩阵，就相当于进行若干次列变换。是不这个事情，所以在这里面当中就说，

如果存在什么东西？如果存在可逆证。可逆矩阵存在，可逆矩阵谁和谁呢？可逆矩阵p和q。然后使得什么情况，使得这个paq=b，我就称什么东西啊，则a和b。是等价的，如果你左边乘一个可逆矩阵行变换，右边乘上可逆矩阵列变换。那这样叨叨比啊，它两等价，但是你发现这个方法非常麻烦，

一般很难实现。我给你两个矩阵，你能找到两个可逆矩阵，一乘起来等于它吗？这很困难的，所以在这种当中，我们再来看看第二种方法。第二种方法才是重点。根据我们刚才过程当中讲过一个事情，初等变换怎么了？不变质吧？所以说大家注意一个事情，如果这两人等价，那你告诉我出这个什么这个充要条件是什么？充要条件不就是质向等吗？

是不是啊？如果这两个人等价不就质相等吗？那么，接下来过程当中，我给你举个例子。来，你给我看一个事情。如果这是一零零零一零零零。你再给我看看b这个人。一零零零一零，大家告诉我，这里面当中a的值和b的值是不是相等啊？两质是相等的呀，但是你告诉我等价吗？怎么可能会等价，

你告诉我这个人进行初等变换，能跑到他吗？难道变着变着一行没了？变着变着哎，你发现一行就没了，不可能我变换的话，你发现这样的一个形式不会变的。所以大家注意啊，学这个东西一定要学好了，它应该是什么情况？应该要要求同行质相等。同行质相等要注意。所以说两个矩阵等价的充要条件是什么？同形至相等。同行行是一样的，

你是三行两列，我也是三行两列，你是两行三列，我也是两行三列，同行只相等，但是你放心吧，这个东西啊。考研啊，考的少。期末考试考的多。期末考试喜欢扣这么细，但是你发现考研不是说扣不扣这么细，是因为这个图形也忒好看了，你比如说这个题。我眼睛漂一下，

我都知道这几个人通行，我眼睛漂一下，我都知道这个人通行，所以说在这种当中的核心重点还是志向等。你说这里面当中谁瞅不出来，这是童心呐。你瞅不出来吗？它肯定同形同形质相等，所以它的核心是什么？核心是质相等。好，那么接下来过程当中，我们来看看二点四零这个题。来看这个题。他说，

与这个矩阵等价的是。那这几个人都哈都是同形的，那就来看看质相不相等，那就看质呗，那看质的话，首先我们看第一个人。第一个人的话进行去变换了，之后的话就是幺二零零零九调换一下，之后就变成零零九零零零。质等于几啊，这个质等于二。哎，这个值等于二。没问题吧，质等于二。

那质等于二的话，接下来过程当中，我们再来看看下面这。这是一二三，这是三六九九八二十七那进行去变换了之后的话，这成比例啊。幺二三，这是零零零，这是零零零，这质是一，它肯定不对。再来看最后一个人，那这成比例呀，这幺幺幺这是零零零，这是零零零，

这零零零，这也不对呀。是不是这个事情，然后我们再来看看这个c选项，好看c选项的话，在这种当中，你进行去判断幺零幺减去上面减去上面负一。然后指零一一。然后再来进行消的话，这人变成零，这是二，这不用打点啊，你是行变换不会吗？我不相信啊。所以在这种当中，

你画这个情况的话，它是三它也不对，所以正确答案选几选b，你自己做这个b这个人的痣啊，肯定是算了，我做一下吧，不然的话，这个下课有同学有问题。然后再来看看下面这个人，你下面这个人的话，你可以进行去继续变换，把这个人负一负一二调上去。负一二负一调下来二负一负一调下来。然后接下来过程当中，我们继续变换是负一负一二，

减去上面减去上面减去上面，然后二倍加下来。二倍加下来，二倍加下来，所以说这两个东西啊，它就没了。对吧，没了，所以在这种当中啊，马上就看清楚了，这样的一个问题，它是它。它这个质等于几啊？质等于二选b啊？对称。

对称有什么用啊？你在检验这个矩阵的质对称有什么用啊？你对称的话，对称又怎么样呢？别别别，这样乱来哦。你能发现你这个你学东西的这个理论，你不能乱迁移啊，对吧？你这对称矩阵毫无作用啊，你哪知道它质是多少？我要进行去判断这个人质相不相等。来再来看看最后一个题。二点四一。看这个人那么这个题啊，

它又来了，它说。这俩人是等价的。那这两个等价的话，说明什么？说明这两个人的质是相等的。对吧，质相等，谁的质好求呢？第二人的质好求那第二人的质的话，你发现它就是幺幺零。零负一一减去上面是零减去上面负一一，那在这种当中一变，它就是零零。那这人的质等于几啊，

等于二，所以说这人的质等于几啊，等于二。啊，这个质啊，等于二。那这个值等于二的话，你发现a怎么去求呢？求值两种方法，要不然就是初等变宽，要不然就是行列式。那这个题用行列式做简单，还是用初等变换做简单？当然是行列式，因为这个人是行和相等型。

对吧，行和相等型。行和相等型。把它给我加到第一列，加到第一列时a- 2，大家能跟上吗？啊，这因为这是第一节当中比较基础的题，我写的快点啊。啊，这个人，然后再减去上面减去上面，然后这是a+1减去上面减去上面，这是a+1。所以在这种当中a- 2，

然后只是a+1^2=0。是吧，所以在这种当中马上推出来了，这个a要不然等于二，要不然等于多少负一？但是你要注意一个问题啊，你思考一下。我赤等于二。我一定能推出行列式等于零。但是行列式等于零一定是二吗？那未必你行列式等于零，比如说质为一行列式也等于零。质为零行列式，也等于零，所以说这件事情是未必的。

那么现在我求出两个结果，你就要进行去检验了，大家注意这个检验靠运气。我先提前先讲一下，你看你现在。是等于二你行列式肯定等于零，但是行列式等于零可不能立即推出等于二，所以说你现在是行列式等于零，你能推出都等于二吗？那不一定。我也有可能等于一啊。所需检验靠点运气。如果一个人不行，一个人肯定行。什么意思呢？

比如说我举个例子。当这个a=- 1的时候。很明显会发现，这都是负一，它的质等于几啊，它的质等于一。质等于一说明什么情况，说明这人不行。这个人不行，另外人必然行，为什么这件事情已经发生了？说明这个a1定是能求出来的，他现在求出两个结果，排除一个，另外一个人肯定是的。

但是大家注意一个问题，如果这个负一可以呢？二还得检验说明，说不定这个二也行。所以大家注意一个问题，就说你第一个排除了第二人，一定是你第一个人肯定了，第二人也有可能是。这所以在这种当中，这是靠点运气了，听懂吗？你要是比如说第一个是不对，那第二个肯定对你第一个对了，你第二个还得进行检验，所以在这种当中你得稍微进行怎么了，

你稍微进行去判断一下这个人。很多说那我行变换求a麻烦透了，这个题行列式是最简单的。所以你看看这题行列式多简单，不要在这里面当中，因为一点点东西啊，你浪费了一个非常好的方法，这是行和相等型。这个行和相等型，大家眼睛瞅都能瞅出来，这个行列式等于多少？然后这个负一回代进去，明显是等于一，所以说在这种当中a1定会等于二。这是这个问题，

听得懂吧诶，基本点。我发现这个好运来同学你，你是挺有意思的啊，我是不是发现我每次说的话你都听不懂吗？还是怎么了？那就是全部要钱。我讲了半天，你给我来了一个这样的一个结论啊。好了，这是这个事情，我再说一遍。如果第一个人。他是排除的第二人，一定就是他的结果。

如果第一个人是肯定的，第二个人还得再检验一下啊，就这样。好，这是这个事情吧，所以下去过程当中，你好好再看看，二点四一。可以了吗？同学们，我们就讲到这啊，这个今天呢？不好意思，稍微的拖了会儿啊，那么接下来过程当中我再来讲讲最后一个事情啊，

最后一个事情。属于一个常识的一个事情。那么，接下来过程当中啊，我来给你讲一个问题。你想想我们已经学了这么久的。质了对吧质？可能在这种当中啊，我们大学过程当中就学习矩阵的值。我们在上节课过程当中，已经嵌入到矩阵的值。那你发现一个事儿，你没有思考一下吗？为什么这个人起了一个名儿叫智呢？为什么叫质呢？

你不觉得这个这个字儿的话，你发现。很有意思吧，他说为什么求求质？对吧，我为什么叫质，为啥不叫别的呢？大家会发现一个事情，其实它是这样的一个意思。啊，我一直给你讲中文之华美，对吧？英文之土鳖，你大概发现一个事儿，这是a矩阵，

我经过一个变换，跑到b。我经过一个变换，跑到c，我经过一个变换，跑到一啊d，跑到一大家想想我在这个变换的过程当中。谁不变呢？质不变，这就是它在这个变换的过程当中需要维持的一种。秩序。所以说我们起名叫之。这就是他的秩序，就是我在这个变化的过程当中，有一个人是没有发生改变的，

那个人是谁呢？唉，我发现一个事儿，这就是他们维持的秩序，我起了个名儿叫知。很有意思啊，所以说这个把这些东西啊引入进来了之后，我们用中文的话进行去起名儿的时候起的真非常有意思。就是它维持的这样的一个秩序。好了，这是这个人，我们就讲到这听懂吧啊，对这个同学说的非常对，叫rank啊。啊，

为啥不叫续啊？你要是这门课程的创立者，有可能我们现在就叫续了啊。那你就问一下这个事情，你为什么不是这门学科的创立者？你若是这门课学科的创立者，那么将来过程当中，我们就叫序啊，今天过程当中啊，我们不叫质了，我们就叫序，是吧，求这个序好，这是这个事，我们就讲解到这，

所以你下去过程当中啊，好好进行，把这个相对问题啊，好好处理处理。能听懂我的意思吗？行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿。所以你下去过程当中，把这个相对问题啊，好好处理一下，第二章啊，我们就讲完了，但是这节课是有一点操作性的。有两个事情，

第一个事情矩阵制的求解，怎么去求解呢？一种是通过初等变换化成行阶梯求解。一种事情，如果这个人是方阵好求，行列式利用行列式求解。行列式求解有个好处，行列式可以拥有展开性的，定理的变换是没有展开定理的啊，这是它的好处。然后第二件事情就是记住这个啊，质的这个公式，这个质的公式是非常重要的，你下去过程当中啊，一定要把这个质的公式啊，

好好记忆一下。对吧，这个制的公式非常非常重要，那么接下来过程当中，我再补两个。行吧，不要着急啊，最后一句话补完我们就下课，我补两个公式。这俩人这俩人呐呃，我们考的这个几率啊，不是说特别大，但是是这两年数一数二数三同学。考的贼高的一个内容，非常喜欢考，

我们还没有嗯，这个难度系数应该还考不到这么大，但是呃，以防万一吧，希望同学们还是要会。那么，这个公式是这样。分块矩阵。对角分块阵。这个值等于多少？这个值啊，这个非常简单，你琢磨一下这个问题。如果a这个人进去去画行阶梯的话，画到这这块都是零啊。

画到这儿，假设你发现这块儿都是零，然后这块儿的行阶梯，同学们想想这两个行阶梯是不是接住了？能不能接得住，肯定能接得住啊，你如果这块是零的话，我把这个零调下去是吧？这两东西就接住了。接触了之后的话，它就等于a的值加b的值。就是，尤其要注意一个问题，这块是零。对吧，

所以说我们接住了。接住这个人。好，这是一个事情。当然，同学们在这种当中，如果是负对角线，它也是零。啊，一样的。它也会等于a的值加b的值。所以对角分块矩阵的值啊，就等于对角线元素的值。但是这里面当中有一个问题。这两人没问题的点，

那有一个问题点，那如果是上三角呢？对吧，如果是上三角呢？如果是上三角的话，你发现那这个人还会等于a的质加b的质吗？那就不相等了，你看我给你举个例子啊，非常有意思。如果在这种当中啊，我们出一个a。你看好a呀，我这样除一零。零零。好这个人，

然后这个人的话继续出零零零一。啊，这样除或者一。行不行？大家想想一个事情，这一块的痣是一下面这块痣也是一就说这两块的痣都是一。但是这块有个c，你看我怎么让它接起来啊？这个这个操作性很强，你看我让它接起来，我接起来，如果这个矩阵的话，你看这块来个一。我就在这儿又接了一坨，然后的话，

你发现你看你这块接头也就说什么意思呢？因为这个c的这个加入。让我这个行阶梯又一次升了一行，你看我这个值等于几了等于三了，所以大家注意这个未必相等。它有可能变啊，这个是变大的，它有可能相等，有可能变大，哎，注意下这个问题。就是这块加个c啊，有可能因为这个c的这个原因，让这个阶梯啊，它又变得更长了。

所以这里面当中补了三个公式。这三个公式啊呃，我们考研过程当中啊，可能在那里面考的，不是说应该啊这个。从这两年的考题角度上而言，它考的再难呐，这两个公式的话，考的这个几率也不是说特别高，但这两年数一数二数三，同学实在是太喜欢考了。你都知道有的时候这个出题人在之间呢，他会有一定的借鉴。对吧，会有一定的借鉴他，

比如说借鉴了一下这个这两年过程当中数一数二数三同学的考题，他不会借鉴那个题，他会借鉴那个思路。万一出上一刀，我们就赚了。所以这是希望同学们要注意的问题，就说我们最近这个几年过程当中出这个部分的东西啊，就是呃，还达不到这个难度系数。但是这两年过程当中，这个数一数二数三同学实在是非常喜欢考这个分块分块证。所以在这种当中，我就今天过程当中啊，把这个给你们补到这儿，其实也不费脑，

你就知道对角的情况就是相加。如果是上三角，下三角呢？反而变大，你知道就行了。如果在这种当中出这个问题啊，你也不会慌，对吧？你照样把它处理清楚。行吧，那么今天课程我们就讲到这来，把作业布置一下。上次我不知道哪了。我忘了，我上次不知道哪些题了，

那这节课的话就哎呀。做完呗。对不对？把517。一直做到529。然后这里面当中的话，这个。525题先不做。下节课我来讲啊，525题先不做。下节课我讲。别的铁都还挺好。嗯，真不错。行，

这节的题啊，我觉得。好啊，这一题。行下去过程当中好好处理一下吧，那么今天课程呢，我们就讲到这儿，然后这个525题，这个题你先不做嗯，下节课再做。行，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，自己下去过程当中，把这个相对应的问题啊，

好好处理一下呃，另外一个事情啊，我先提前说一下这个。你们你们自己多进行去关注一下那个APP里面那个刊物对吧？你经常而言的话去翻一翻，因为我们是实时进行去更新的这个。就这个刊物，因为今年过程当中啊，这一本毕竟的话没有，因为如果是正式出版物的话，会有三审三教，所以说这里面当中可能会有一些个别的那个排版的问题。啊，你自己稍微的话进行去对照一下，把有些部分呢，

你稍微改过来啊，好那么今天课程呢，我们就讲到这儿。然后的话，这个呃课程的这个时间呢，你不用着急啊，这个部分肯定是我们会进行去加的，然后这两天的话。下次课程什么时候？下次课是九号是吧？下次课程是九号，然后的话，这个我自己我一会儿跟那个去排一下吧，把那个课排一下，我们后面过程当中啊，

还有几次课程？然后的话，这个向量还有两次课程，然后这个方程组啊，也有两次课程，所以说后面过程当中应该还有四次课程，我们就能把这个部分呢全部结束了。所以在我们线性代数啊，很快就结束了啊，最后一点点东西了，希望同学们好好坚持下去，过程当中一定要整理。今天的痣下节课还会用，下下节课还会用。一直到下下下节课还能用，

所以像这个痣啊，一定把它好好处理行吧，那么今天课程我们就讲到这儿，下节课我们继续吧好。下节课见那个每日一题的话呃，等这个周年庆结束吧，然后让整理一下，把这个东西PDF再给你们发过去啊。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册