06.向量组的线性相关性-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:56:16

行，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个题目啊。呃，这个题有没有做完呢？不是特别难吧哦，我们先来看看，把这个矩阵呢变成行阶梯矩阵，一定进行行变换。然后进行怎么办呢？把这个什么先变成行阶梯，再变成行，最近好我们一起来看看这个事，那么在这个当中啊，你发现你看第一个事情。

这三个人对吧？这三个人那么这三个人你觉得用谁消比较简单？你用这个人，我用这个人都行嘛，那肯定要把零往下放嘛。所以在这里当中，我们首先看第一个事情，你先调一下，你调一下了之后的话，你把这个人放成多少，你把最后一行放上去吧。最后一行放上去，第二行的话，你发现就在这儿，然后第三行的话，

它就是这个结果，对吧幺三？这个人，然后接下来过程当中，我们就继续来看，以第一行为基准一零一一负一减去，上面是零，这是一，然后这是负一。减去上面，这是一减去上面，这是三，然后的话，这个时候的话，你发现这是零一负一一三哎，

那这两行不就一样吗？两行一样的话，继续用第二行消掉第三行，那第三行就自动的都变成几了，都变成零了，因此你会发现我现在化成什么矩阵了？不就化成了行阶梯矩阵了吗？这就是个行阶梯矩阵，那这个行阶梯矩阵告诉我事情，它是不是行最简啊？它是的，为什么阶梯口处都是一？阶梯口处都是一。而且在这一列的时候，这个人是一这俩人都是零在这一列的时候。

除了这个人是一之外，这俩人都是零，它是行最简。过去了，可以吗？好基本问题啊，你下去过程当中啊，你好好想想好了，那么接下来过程当中，我们正式来看今天的非常重要的内容。你不要看到了，今天这个课程呢，还剩下最后的这个20多分钟，但是最后的一个部分内容非常非常重要，我们至少能把这个矩阵的质的定义，

我们把它讲完。而这个质的定义啊，是最难的，是很多人在学习过程当中啊，你发现问题点最大的，但是没关系啊，由我来讲，好好听就行了。接下来过程内容非常重要，考研一定会出题，有可能会出一道，也有可能出两道，而且你会发现这个知识点是很多同学线性代数学习的分水岭。一定要认真听了，那么接下来过程当中，

我们一起来正式来开始。我们来看看这个人的名字。你先不用去管它为什么起了一个名叫之。对吧，你先不用心去去管它为什么起了个名叫是我后面会给你解释的，它为什么要起这样的一个名字啊，这个名字是有意义的。好，我们首先看看第一个事情，我们先来讲讲矩阵制的定义。在讲这个问题之前呢，我们先介绍一个内容，那这个内容叫什么叫k阶子式？我一直给你讲一个事情，我们说中文之华美。

啊，对吧？这个英文之土鳖，那什么叫做这个中文之华美呢？你发现一个事儿，我一直给你讲。只要我们在线性代数当中见到的是都是指行列式，听得懂我的意思吗？注意下这个事啊诶，都是指行列式。就是我们只要见到这个士啊，都是行列式，然后接下来过程当中，我们再来看，如果这个子呢？

哎，你发现一个事情比他少，就是儿子。呃，比如说我们原来这个数学当中啊，学的什么这个子数列对吧？你发现现在这个东西叫子式。k阶子式好，那么接下来过程当中，我们来看看什么东西叫k阶子式呢？你先读啊，读一遍，我们来看看他说。这个a矩阵是一个m×n的矩阵，在这个矩阵当中啊，

去任取k行k列，然后这k行k列交叉处的k方根元素不改变它位置。所得到k阶行列式，称之为矩阵的k阶次式。我不知道，你听懂了吗？对吧？哎，我不知道你听懂没？那么接下来过程当中，我估计大部分同学没听懂，没关系好。好，后来那么接下来过程当中，我们讲一个例子。

对吧，我们写个例子，比如说这里面当中，这是一二三四五六。然后接下来过程当中，这是零一三四一二，然后这是零零零。零三五，然后这是零零零。零零零。看到这个矩阵了吗？好，我们先来讲讲什么叫做k阶姿势呢？我们在这种当中啊，我们先来谈谈二阶姿势行不行？

啊，我们先来看二阶姿势。什么叫二阶姿势呢？就是你在这个矩阵当中啊，你随便取两行。当然，你随便取两行，你随便取，你爱咋取咋取，你想怎么取怎么取，无论怎么样，然后再取两列啊，你随便取两列。那么所以说的话，你发现这种情况很多啊，

只要你随便取两行取两列，那么同学们告诉我，我们先来看看第二第一个事情。二阶姿势。那么，这个时候的话，你发现会交叉出来几个数啊？交叉出来四个数二四零零是不是这个行列式啊？那这个行列式第一件事情，这四个数是不是它的儿子啊？比这个原来矩阵生出来的吧，比原来矩阵少，他的儿子，而且你会发现是行列式，它就叫做一个二阶子式。

而且你发现这个二二阶子式啊，这个行列式等于零，这就叫二阶的为零子式，听得懂吗？当然，在这里当中，你也可以取这两列啊，你取这两列的话，你发现一个事情就是二五零三要注意啊，这个位置不能改变啊。那这是六哎，这叫二阶的非零子式。能听懂吧诶，这就叫二阶的非零子式，那如果是三阶呢？

那三阶姿势呢？你随便取三行，你再来取，你比如取这三行，这三列行不行？那这时候对应的是二零零。三零零五三零。是不是这个情况？那这个行列式等于零，听懂了没？什么叫做k阶子式呢？比如说二阶子式就是在矩阵当中取两行取两列，这四个数所形成的行列式。如果是一个三阶姿势呢？取三行。

取三列，然后这个行列式啊，就叫三列字式，那什么叫四列字式呢？我们在这种当中取四行。取四列，然后这16个数不改变位置，这个行列式。那我想问你个事情，在这个矩阵当中，顶多能取几阶子时啊？告诉我最多能取几节子时。几节你发现最多是不是五节？诶，大致注意啊，

只能取五阶，能不能取六阶啊？不能的。大家注意啊，不能的绝对不能取六斤好了，那么接下来过程当中我再来给你讲讲什么叫质能。你要听完这个例题啊，你要知道这个例题很牛逼的，你看起来普通实则很牛逼的，你一会儿这个质的定义就理解了。好好听，那么怎么办呢？我们刚才都说了这个矩阵呢，顶多取五阶姿势，首先我们先来看看第一个事情。

五街四市。哎，就是你发现这是第一代啊，比如说他的曾祖曾曾曾祖父啊，内代这是他的第一代。第一代帧。第一代人的话，你发现一个事，我们先来看，请告诉个事。不管你怎么办，你取五行。只要你取五行，你一定得取到这一行。对吧，

你必须得取到这一行。也必须得取掉这一行。我不管你去几点，我管你去几点呢？它肯定有一行全为零。对不对？有一行全为零告诉我，如果一个行列式的一行全为零，那这个行列式等于多少？等于零。这个行列式必须等于零。如果有一行全部都为零，它就是零。所以同学们，你告诉我事情，

如果在这一带呢？哎，你发现五阶子式的是全为零的。全部都会等于零。对吧，你没有不为零，那所有人都等于零啊，你发现一个事情，比如说这一代的话，你发现不太行啊，不太行。那么，接下来过程当中，我们再来看。第二代继续，

我们再来看看四节。那如果是四阶子式呢，你继续来看。你四阶子式的话，别管你怎么取，你看你这有两行，全部都等于零嘛。你比如说你取你取你随便取，你取了这三行。你剩下两行随便取。你别管的话，你发现你是取了这一行还是取了这一行，你别管怎么取，你肯定有一行也全为零。你这个四阶子式，

你别管取哪些列，你有一行全部等于零，你一行全部等于零，你这个四阶子式也全部都为零哎，你这个第二代也不太行啊。对吧，第一代不行，第二代也不行，然后接下来过程当中，我们再来看看。三阶次式。三阶子式的话，我们可以取三行来继续，比如说我们取这三行。取这三行的话，

你发现个事儿哎，取这一点。对吧，取这一列那这一列的话，你发现是幺二三零幺三零零零诶。这一代当中啊，你发现也有不太行的，也是等于零的啊，也不太行，如果你发现一个事情，你这样取呢，你最后一行也是为零。也不太行，那如果我们取这个人呢？好，

我们再来看你发现一个事，我们写多少一二五零幺幺？零零三哎，这不是个上三角形矩阵吗？上三角形矩阵形成的三上三角形的行列式，那上三角形行列式，这个行列式怎么解三？不为零哎，扭了哎呀，这一集扭了。这一集出现了一个人注意，只需要出现一个人就行，不需要所有你发现这个人呐。他出现了。这简直就是家族之光啊。

对吧，这个家族之光啊，我们就称这个矩阵的智为三。你听懂我的意思吗？哎，你要注意啊，家族之光出现了，你发现我们就说这个矩阵的之等于三。我不知道同学们理解了吗？这就是质的定义。质就是这个点。也就是什么意思呢？就说你发现一个事，从第一代啊，你说所有人的这个子是等于零，

你下面也等于零，哎，在这一集当中出现一个就行了。这很难的。没有那么简单的，你要听懂了，那就非常好了，我觉得这节课就成功了。啊，这个质的定义有些同学你发现学一年都理解不了。注意从这一集出现了一个不需要所有，你发现看在这一代当中也有不太行的呀。对吧，也有不太行的，也有等于零的。

大家注意一个事情，也有等于零的。所以在这种当中，一定要出现一个事情，你要注意这个问题，质是什么东西呢？质是这个人的接触。啊质是这个人接触，所以说接下来过程当中，我们就来看看什么东西叫矩阵的质呢？他这样说的。若对于啊若a为什么东西m×n的矩阵？大家注意说了两件事情，说了这样一件事情，说什么东西呢说？

如果什么东西呢？第一句话。所有的。r+1阶子时。全为零，所有的比我高阶的这个姿势都会等于零。对吧你，比如说你发现你看刚才那个人超过三阶的之后都是零什么四阶五阶都是零。比我高的都等于零，当然的话，有可能的话，他没有比我高的，反正的话，你发现一个事情，我们就是最大的。

比我高，要不然就没有，要不然有有的话都为零，对吧？比我高的都等于零。然后呢，在我这一代。存在了一个r的子式。不为零，不为零。那么，在这种当中，你发现我这一代当中呢，有一个不为零的。那这个时候我们就成。

成矩阵的阵。这样a它的质。v什么vr。这个r指的是什么呢？不是指那个人，是指那一代。对吧，在第三代的时候的话，你发现一个事情。他有一个人不为零了。那这一代我们就把它叫做智，不是那个人啊，你要注意一下这个事情，所以你发现只要有一个不为零，不是说所有人都为啊，

都都怎么办？不是所有人都不为零，你看刚才在这个第三代的时候，有人等于零啊。有人等你。所以在这种当中，一定要注意，我们把这个接触称之为这个矩阵的值，然后即为什么东西呢？即为这样。记为ra。等于二能理解我的意思吗？就说比我高的这个阶数，因为比如说你会发现三代第四。这个什么四阶五阶全部都等于零。

我这个三阶呢，我有一个不为零的，我就说这个矩阵的质啊，它等于这个。这就是矩阵质的定义。所以在这种当中啊，这是我们一定会出题的，你要你要小心一点啊，这个出题点，所以大家一定要听清楚这个问题。我早知道我就不说什么几代了，几代了阶数啊阶数。你们怎么就不理解呢？它原本是个很复杂的一个概念，它是一个很难的概念，

我想通过这个通俗的方法给你去讲，我说这个代数阶数什么增祖父了，怎么样？我是希望你理解我，早知道我就不这样说了，好行吧，这样吧。注意比三阶高的这个子式都为零。我们这有一些姿势啊，它是啊，这个什么比我高的这些姿势，它全部都等于零。有我这一届，此时啊，它不为零。

所以说你会发现我把这个阶数称之为它的值。啊，早知道我就这里面当中，我不举这个例子了啊，行吧，同学们能理解吗？所以说你要理解这个问题啊。也就说什么意思呢？比如说这个矩阵里面当中，哎呀，六阶子时。取六×6的行列式都等于零。取五×5的行列式都等于零。取四×4的行列式都等于零，取三×3的行列式都等于零诶。

在这个二×2取二阶子式的时候，它出现了一个不为零，只要出现就行了。对吧，这个人叫做光啊，你发现一个事情，他出现了一个部位点，我立即说这个矩阵的值就等于二。能理解吗？那所以说你发现一个事，那到底什么是智能？我们能不能换一种事情进去去理解呢？你想你，你不要不要别别开玩笑。我这上课都没法没没法说话了，

对吧？然后就问什么是光啊？好了，那么接下来过程当中，大家想想你能不能这样进行理解呢？如果一个矩阵的质是r。不就是矩阵中。最高阶的。非邻子时。的结束吗？是不是？最高阶非邻子式的接触吗？看有几行元素，不为零就行。你不要胡扯对吧啊，

你千万不要在那胡扯。你这样胡扯的话，你发现一个事儿，你这是容易学不好的，你别乱来。所以说在这种当中a中最高阶的非零子式结束。什么意思呢？就说我在这个矩阵当中，你发现比如说刚才那个质等于三。比我高的时候四阶呢，都等于零五阶呢，都等于零我三阶的时候有一个不为零的，这就是最大的。不为零的行列式的一个结束，所以说我给你讲讲一个事儿，

到底什么叫智能，你可以这样理解。你不就是在这个矩阵当中去取行列式吗？对吧，比如说取三×3的行列式，四×4的行列式就在这个矩阵里面取行列式嘛，就是你在这个矩阵里面取得最大的。波为零的行列式，它的接触。对吧，就是取得最大波为零的行列式，它的阶数它阶数是多少？这就是多少？这你能理解吗？你想想我这是最大的不为零的，

比我再大一点，行列式都会等零，再大一点，行列式都会等零，而我这一届呢？行列式不为零，我是最大的，再比我大一点，比如说我是三×3，你再来个四×4都等于零五×5都等于零。只有我这个三×3哎，你发现我是最大的。能理解吧，唉，其实就是这个事情，

所以在这种当中什么叫做矩阵的制呢？就是矩阵当中最高阶的非零姿势的解说。就是最大的不为零的行列式的解除，再超过我，它就会等于零了。能理解我的意思吗？所以说你发现一个事，比如说我们举个例子。零假设一个矩阵是五×5的矩阵。那我问你个事情，同学们告诉我。假设前。且它的值等于几呢？它等于三。那我想问你个事，

这里面当中凸显出了几个意思？第一个事情请告诉我，在这个矩阵当中，你取五×5的行列式呢？它都会等于零。对吧，五×5的全部都会等于零。然后接下来过程当中，如果你去取四×4的行列式呢？你也全部都会为零。如果你在这种当中去取三阶姿势呢？三阶紫指南。你敢说三阶次是全部为零吗？那不行。我们刚才说了一个事情，

内在不是说所有人都行，有一个人行就行了。有一个人就行了，所以说你发现至少。存在一个波位点。哎，有一个就行了。最少有一个一定要注意一个事情，就说你不是说所有人都行。我只要有一个人就行了，那个人叫什么？那个人叫家族之光。啊哈，所以说你发现就是这个意思。那么，

接下来过程当中，你发现那如果是第四代呢？你再往下走呢，那不好说了。二阶次式呢。一阶次势能，这不知道。哎，这些东西都不知道。你发现一个事情，他的质为二内接不为零，那他的儿子子子孙孙呢？有可能败落了，有可能没落了，比如说我们举个例子，

你再来看看上面这。你看刚才这个矩阵的质等于几啊？这个矩阵的值等于三吧，来我们进行去看啊，你看我进行去取，如果我们去取二阶的，比如你取这个人。你看二阶子式，二阶子式啊，一三零零。它是不等于零，如果你去取二阶的话，你发现你取这个零。你取二三多少一三？那这人是不为零？

那是不是这个事情啊？能理解吧，你二阶的话有等于零的，也有不为零的，然后再来看一阶的。一阶的话就取一行一列嘛，你比如说取在这，那你发现这个一一肯定不为零。你比如说你发现你取到这儿，你看这个一阶的，它是零它等于零。你能理解我的意思吗？所以说哎呀，这个人生的意义就来了，对吧？

哲学的思想就来了，你会发现一个事儿，他这一代啊，他只要出现就行了，在这一代当中。出现了一个能理解吧诶，出现了一个很强的就行。但是你无法进行去判断，下面这一代它到底为零还是不为零？对吧，我不知道了，你发现你二级子时呢，你有等于零的，也有不为零的，有可能等于零的，

有可能不为零的，那我不知道。所以说我们这个东西的操作是从高往低来。要注意啊，从高往低来，这个概念很难的啊。听明白了吗？我们就讲到这。行吧，那么这个事我们就说到这，听得懂吧，就是从那一阶的之后的话，你就发现哎，五五阶呢为零。四阶呢，

全为零哎，三阶当中出现了一个不为零的好，我就说它的知识三。所以说它是最高阶的非零子式的结束。最大的波为零的行列式的结束啊，这个点。好了，这是这个事情，听明白我的意思吗？啊，这个概念呢？我们就讲到这，这就是矩阵制的概念。行吧，那么这个问题啊，

我们就说到这，那么接下来过程当中，我们来通过这个几个例题啊，来带着同学们进行去理解几个事情。好了，那么接下来过程当中啊，脑子转快一点好不好？哎，来一起来看看这个事。首先，我们先来看看这个二点二六这个题。这个东西啊。你要注意啊，我们先做吧。比如说它的质是r怎么说？

你要注意两件事情，第一件事情所有比我高阶的子时。如果存在的话啊，全为零。万一就没有比我高的呢诶，你要注意，如果有比我高的全为零，然后怎么办呢？存在一个。r2阶的子式。它不为零。这没问题吧啊，这是这个事。就说它最高阶的非零姿势。最高阶的非零次式就是最大的不为零的行列式，

它的解除。然后接下来过程当中，我们再来看看第二事情啊，那这个质如果小于r呢？小于r，什么意思？说明最大的不为零的那个行列式的接触要小小呃，这个什么小于二？那小于r的话，你就发现那你r那一节呢？你r那一节的话，子式不就等于零吗？所以说我们就说所有的r2子式。不就全北京吗？能理解吧，

所以说你发现个事儿，就说你那个牛逼的那一代的话，在你的下级那上面的那些级不是都等于零吗？然后我们再来看，如果值大于等于二呢？质大于等于二。那大于等于r的话，你发现一个事应该是什么？有一个r且此时不规定。那说明什么？你说明r这个子式就不给力。你这个不为零的，有可能比我大一点的，还会不为零？有可能比我大一点的，

也有可能不一定，所以在这种当中的话，你发现应该说存在一个什么？存在一个r结子时。不为零，如果你发现你看你r阶就不为零了，你至至少都是这样，因为你还能变得更大，也有可能。对吧，就说存在一个r- 4是不规定能听懂我的意思吗？好了，这个事听明白了，给我回复一呃，这就是我们经常看的一些书籍里面当中写的性质。

我为什么不按照性质来讲呢？因为你听性质，你觉得枯燥乏味，你喜欢做题吗？所以我就把它变成了例题，我相信你听起来更轻松一点啊。好，这个人来继续吧，我们再来看看下面的问题。二点二七。再来看这个。现在而言的话，你发现它是个什么？它是个方针。注意啊，

它是个方阵。能听懂吧，哎，方正。那么，这是个方针的话，你发现我们接下来继续看啊，再说那个r是个数嘛。你写成s也行，你写成t也行，你写成w吧。你就舒服了。你爱写谁就谁，那是个数。好了，

那么接下来过程当中，我们一起来看看，如果这个矩阵的质等于n什么意思？矩阵的质等圆。比我再大的行列式都会等于零，那有没有比我更更大呢？没有。那存在一个n阶子式，它只有一个n阶子式。他的n阶子式就是自己。他的n阶子式就是自己。所以说你发现一个事，就是自己这个行列式不为零。这就是我们经常传说中的什么东西呢？叫做矩阵的满支。

诶满值，如果一个矩阵满值行列式不为零。能理解吧，好了，那么介绍过程当中，我们再来看，如果这个质比n小呢？那说明的话，你发现最大的不为零的行列式是比这个n小的，那说明a这个行列式呢a的这个行列式是等于零的。这就是我们传说中的拨满制。诶，不满值对吧？一个人叫满值，一个人叫不满值，

如果你这个人满值了，行列式不为零。如果你这个人不满足了，行列式等于零。好，这是我们讲的这个二点二七这个问题。能理解吧，所以在这种当中，一旦转到这个行列式为不为零，我们就可以判断它的可逆性了，你不为零不就可逆吗？你等于零就不可逆吗？好基本点啊，这个内容得串起来。好，

这是我们讲的这个二点二七，那么接下来过程当中，我们继续来看，再来看一个问题，同学们想想。质我问你个事儿，质会为负数吗？质啊，你来告诉我个事情，一个质的范围是什么？啊，是啊。你比如说我举个例子，我是个六×7的矩阵。我的a这个a的痣有几种可能性？

我的智障有几种可能性？就是在这个矩阵当中的话，去取那个行列式的接触嘛。六种吗？有没有可能是零？有没有可能是零？有可能。比如说这个矩阵就是个零矩阵。对吧，你是个邻居，对你所有元素都是零，它就没有怎么办？非零的它可能是零，原则是一二。三四五六它既不可能是分数。

也不可能是负数。它也不会超过它的行或者列。你能超过超过六吗？你不能。你六×7的话，你怎么能去取七阶行列式呢？不可能。所以大家注意啊，既不超过行，也不超过列。就取行和列的最小值就行。然后另外一件事情的话，有可能等于零。能理解吧，哎，

有可能倒底。所以说接下来过程当中，这个问题就来了。大家想想这个事。你琢磨一个问题，如果这里面当中的一个矩阵。比如说我全部都是零矩阵。对吧，我全部都是零矩阵。我全部都是零的话，你发现这就是零矩阵。那零矩阵的话，这里面当中有没有个行列式？怎么办？有没有行列式大于零啊？

不不为零，不是大于零，有没有？没有啊。你哪有行列式？这个不为零啊，你全部都是为零的，所以在这种当中，这个时候我们就说这个矩阵的值。它等于零，所以在这种当中啊，一定要注意，那么将来过程当中，你发现如果这个矩阵不为零呢？矩阵不为零，

肯定有一个元素不为零。只要有一个元素不为零。他这个一阶，此时就不为零。一阶子是不为零的话，你发现这一阶就不为零，它不可能往下倒推。能理解吧，一阶则是就不为零，那二阶也有可能不为零，三阶也有可能不为零，这就大于等于一。你要注意啊，因为你发现你这一节就不为零了。我这应该是大于等于一。

能听懂我的意思吗？所以在这种当中一定要注意啊，矩阵为零，和质为零，它是充要条件。证明一个矩阵是零矩阵，可以证明这个矩阵的质等于零。那么，如果这个矩阵不为零，立即回答至大于等于一，这非常重要，把它给我记死。大于等于一，只要矩阵不为零，肯定有一个元素不为零，

有一个元素不为零，一阶子时不为零。你这一节都不为零的话，你发现它的质应该是大于等于一。同理，大家想想。如果一个矩阵两行不成比例。比如说这是一二三四，比如说这是一二四五。两行不成比例。你想想一个事情，我下面不看了。如果两行不成比例。它肯定有一个二阶行列式不为零，你赞同吗？

你两行不是成比例的吗？你绝对会有一个二阶行列式，不为零。你有一个二阶行列式，不为零。你这一级都不为零了。对吧，你一发现一个事情，它的质最少都是二对吧，你看这个大家都能转出来了，能理解吧，你的质怎么办？至少是也就是说，在这一带的话都不为零呢？他是至至少是。

到你这节，你这节不为零呢，有可能是他爹牛逼，有可能是他爷牛逼，有可能就是他牛逼，这应该是大于等于二。不可能再低了，那有没有可能质是一啊？不可能。为什么我二阶都不为零呢？你怎么可能支持一呢？所以说大家注意啊，如果在一个矩阵当中有一个一阶子时不为零至大于等于一。如果有个二阶子式不为零，是大于等于二，

如果有个三阶子式不为零，是大于等于三。所以如果一个事情，两行是不成比例的，这个质啊，肯定大于等于二。这个事儿一定要转清楚啊，这个挺难的。这块你觉得听起来呃，听懂了，那就非常好。啊，你要如果的话，你发现一个事儿，你听懂了，

那就非常棒了，有难度，有挑战性，这是线性代数当中的第一大难点。你想想我们从线性代数的整个内容学到今天，你前面的过程当中，顶多你可以说一个事情，你说哎呀，东西好多。知识很繁杂，错综繁杂，但是没有关系，下去过程当中记一记，把这东西背一背，你要把它掌握清楚了。

但是大家注意啊，你像这一块的题，有可能会导致什么情况，你要不会做，你连个解你都不想写，因为什么情况，我们都是选择题写什么解啊？你只能在那蒙了。所以这一块的题就是这样。因此我一直给你讲一个事情，有些部分的内容啊，你发现你宁可的话，你稍微的慢一点也行啊，慢一点都没问题。好了，

这是这个点吧，我们就讲到这儿啊，下去过程当中啊，你自己好好再看看。咳。二点一六。在说什么呀？二点一六。哪个题？这个人吗？这不跟刚才一样吗？好，我再说一遍。就说如果你在一个矩阵当中取这个二×2的不为零，你就质大于等于二。

你取了一个三×3的行列式，不为零，你就大于等于三，你取了一个四×4的，不为零，你就大于等于四。能理解吧诶，这是这个事儿。你下去再转一转吧啊，这个内容。我觉得你如果如果第二个没有听懂啊，我觉得你得把上面的东西啊，你再好好再转转啊。好，我再说一遍，

这个事情你听好了。我再说一下。如果这里面当中有一个二×2的不为零。你告诉我事情。它的质会比二小吗？会不会你有一个二×2的部位零，你的质就不会比二小？对吧，你不会比二小，你的质不就大于等于二吗？这样想能想懂吗？如果你有个三×3的行列式，不为零。你的智会比三小吗？你不会，

那你不就大于等于三吗？哎，是不是啊？你这样转能转清楚吗？那么，现在而言的话，你发现你的质大于等于它。那就说明肯定有个r阶的行列式不为零嘛。有一个r且子时不变，现在听懂了吗？哎，能转清楚吧？啊，就这个意思，所以大家注意把这个东西好好顺一下，

你记住我刚才讲的这个点啊，如果在一个矩阵当中有一个二×2的行列式不为零。你的智就大于德文。三×3的不为零就大于等于三。所以在这种当中，你转过来就行了啊，这个问题。磷矩阵的质不符合二点二六的一，你可真厉害。咋动不动的话就想推翻定理呢？啊，改变线性代数的这个课本的定理，动不动就上来了。你告诉我矩阵的质质为零，怎么不不满足啊？

它这里面当中有一句话叫做，如果存在的话嘛。这是特别地吗？这叫特别地嘛，什么叫特别地就是极其特殊的嘛。非常特殊的吗？最特殊的就是他们。它没有不为零的嘛。它所有人都是零，所有人都是零的话，我们就特别的把这东西啊，叫做什么东西呢？叫做如果这个人的话，这就是零。它没有不为零的嘛。

它所有人都是等于零。好，这个事儿我们就讲到这儿。能听懂我的意思吗？所以说先天过程的内容啊，你下去过程当中好好进行去把它想想啊，然后下面过程当中的内容，我们再下节课再来看，谢谢。行不行这个今天啊，你好好转转，有没有转清楚啊？一定要转清楚啊，今天没有多少作业，我们下去过程当中的内容核心重点就是干这个事情转。

好好把这个内容给我转清楚。一定要把这个质的这个定义转清楚。其实什么叫质呢？就是在这个矩阵当中去取行列式。最大的波为零行列式的结束，这东西挺难的。嗯。嗯。好，我回来了。我卡了，我卡了，不是你的。行，那么接下来过程当中，

我们来布置一下这个作业。好了，那么接下来过程当中，我们来看看这个作业。呃，作业是。800题的71页。啊71页，然后是512题。513题。然后这里面当中是。514题515题。然后516题好好的做，慢慢做啊，这个题慢慢做很重要，

就是把这个东西啊，你发现个事儿啊，进行变成行阶梯。啊，怎么了？没有啊，减肥呢，三月份就说减肥也没减下去，然后下周的话，那个今天是周几啊？今天是周五对吧啊？下周的话，那个周末周年庆哎呀。压力太大了。行吧。

啊啊，矩阵等价你不要着急，讲完了质我会回过头来进行讲矩阵等价的，你不用着急这个事儿啊。好了，这是这个事情，然后接下来过程当中啊呃，给同学们几个几个任务，你下去过程当中啊，你好好继续去想想。对吧，这里面当中。啊，怎么了？来，

我们来看看这几个事情呃，这里面当中啊，我们呃出几个点，你下去过程当中，你把它写一下。如果这个矩阵是一个五×5的矩阵，第一事情如果这个矩阵，它的值等于三。什么意思？然后第二事情，如果这个矩阵的质，它怎么办？小于三，它什么意思？去填哦，

然后第三个事情，如果这个矩阵的值大于等于三又是什么意思？然后第四个事情。如果在这个矩阵当中，我们取到了一个什么情况？我们取到了一个三×3的行列式不为零，又能推出什么东西？然后在这种当中，我们继续看，如果这个矩阵它是个零矩阵，能推出什么东西，然后第六个东西，如果这个矩阵不为零，能推出什么东西？然后第七个人，

如果这个a啊两行不成比例。又能推出什么东西？好了，这个非常重要。呃，下去过程当中把这个页面呢好好去填填对吧？如果这个矩阵的质等于三，我能推出什么？如果这个矩阵的质小于三，能推出什么？如果这个人大于等于三，能推出什么，然后在这里面当中的话，你就发现，如果这里面当中啊，

有个三阶的行列式不为零，推出什么？如果矩阵等于零，推出什么不为零，两行不成比例，把这个填一下啊，如果你把这个东西都能填通啊，我觉得应该是没问题的，那么下节课过程当中啊，我们再来重点讲。行吧，同学们好了，那么今天课程呢？我们就讲到这下去过程当中啊，好好处理呃，

你们不用去啊，那么你们今年考研嘛，对吧？啊，如果的话，这个明年大家考上了，然后有兴趣啊啊，可以大家过来一起啊，见个面啊。这个一起来聊聊都行，虽然我这个有点涉恐啊，好了，那么今天课程呢，我们就讲到这儿，自己下去过程当中好好处理吧。

把这个填一下啊，这七个点对吧？把这个东西填一下好，那么今天课程呢，我们就讲到这过去了，可以吗？行吧，那么下节课我们就继续截个图啊。把这东西啊，截个图好吧啊，好那么今天课程我们就讲到这好吧，好，下次课程继续。

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