06.向量组的线性相关性-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:56:06

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。好，那么今天我们就继续开始我们的三九六精综数学的啊，这个基础班的课程，那么在今天过程当中啊，我们继续开始我们的线性代数，那么上次过程当中啊，我们已经进入到线性代数当中。

比较重点的板块内容了，那么今天的内容啊，会更重要，所以说今天下午过程当中啊，一定要拿出这个最好的状态认真来听，因为今天的东西啊，应该是很多同学这个线性代数的一个部分当中的基础知识点的一个。分水岭，所以希望同学们好好来一下好了，那么接下来过程当中，我们还是来照常进行去回顾一下上次过程当中的核心知识点。那么，在上次过程当中啊，你发现一个事情核心重点应该是讲了什么？其实就是讲了这个初等矩阵，

还有在上面过程当中啊，我们可能把这里面当中的剩下的一些基本知识点，我们把它讲一讲。好了，那么接下来过程当中，我们一起来回顾一下这里面当中内容，那么上次过程当中的第一个事情，其实是分块矩阵。那分块矩阵呢，比较重要一点，那么首先第一件事情，这个分块矩阵呢，怎么分都行，对吧？无论你怎么分都行，

但是你要注意一个事情。你必须什么啊，一横一列吧，对吧，或者一横多列吧，你不能是什么情况呢？你发现一个事儿，这个矩阵你这样分。啊，这是不行的，所以说一定要注意这个事情，你分完了之后啊，它仍然是一个矩阵，对吧？仍然是一个啊，

这个不一定是方形的，但是它是一个矩形的。好了，这是我们在这里当中说的第一个事情，第二个事情我们来谈谈它的运算，比如说这里面当中啊，你发现加减法。对吧，加减法那么加减法的运算其实就是对应相加减，但是对应相加减这个子块也得能相加减。所以说这种分法我一直给你强调一个事情，我们是做题人，所以比较简单，那出题人呢，得去想这个事情好了，

我们再来看看第二个事情速成。如果是一个数乘上这个分块矩阵，应该是每一个子块都要乘上这个数，然后第三个事情就是乘法。如果两个矩阵信息相乘，大体上要能乘，而且局部也得能乘，那么这里面当中啊，我们还讲了一个非常重要的内容，我不知道同学们还记得吗？我说这个分块矩阵当中啊，有一个非常重要，你比如说这是阿尔法一，这是阿尔法二，这是阿尔法三列分块阵。

那这个列分块阵的话，你发现怎么乘呢？就相当于分配进去，分配进去，分配进去，还记得吧？好，这是这个问题，然后再来看看下面一个事情，其实就是转置。啊，转置那么转置这个东西啊，必须要要求两个点，一个事情是大体能转，第二事情局部也能能转。

对吧，你从大体上角度上而言，这个东西能转第二事情局部上呢，也得能转好了，这是我们讲的这个第一个问题。然后接下来过程当中，我们再来看看第二事情，我们又讲了一个东西，叫做拉普拉斯行列式重点吗？哎拉普拉斯行列式，大家注意啊，这个类型问题啊，它有上三角，也有下三角，而且有主对角线，

也有副对角线。那么，在这本当中，我们先来看看第一个事情。先看主对角线，比如说这是AB，然后的话，你发现一块这一块是零就行，然后在这种当中，这是a和b，然后这块是零，这块无所谓。或者什么情况呢？这是a这是b两边都是零对吧？都是这个情况，

那这个时候你发现它就等于a的行列式乘以b的行列式。好，这是第一个问题，如果是负对角线呢？是负一的m×na的行列式，乘以b的行列式啊，这个不难哦。然后接下来过程当中，我们再来看看第三个事情叫做分块儿对角阵。的逆矩阵啊，这个类型问题啊，比较重要点，因为我们在考试过程当中啊，基本上而言都是分块对角阵的问题。对吧，

这两块都是对角针，然后这个逆矩阵呢，主对角线就是你的逆，我的逆，然后这两边都是零。如果在这种当中的话，你发现这是a这是b两边都是零呢，两边都是零的话，你发现一个事儿，其实就是a逆跑到这儿b逆跑到这儿，然后这是零零。要注意一下这个问题，这是我们讲的这个第三个点，然后接下来过程当中，我们再来看看第四个点啊，

这是分块对角阵。那么，在这种当中啊，我们补充了一个内容，如果是什么上三角呢？下三角呢？像这种问题呢，我们要会推，但是基本上考研过程当中啊，很少会出这种题，所以说像这个补充啊，应该是个冷门考点。啊，对，我们三九六同学啊，

应该是个冷门考点，只要在考研过程当中考，我们立即把它设出来。好了，这是我们讲的这个第一个问题，然后接下来过程当中，我们再来看看第二事情，初等变换，那么首先我们先来看看第一个事情。初等变换有几种啊？其实从大体上而言，应该有行变换。对吧，也有列变换初等行变换初等列变换，那么在这里面当中，

初等变换有几种呢？有三种，第一种叫做互换。对吧，你可以进行去调换，某两行你也可以进行去调换某两列，但是同学们一定要注意一个事情，这个初等变换中间是用的箭头吧？一定要听清楚啊，这个东西中间用的是箭头，不要写错了，一定是箭头，所以说它叫变换嘛。哎，变换我可以进行去调换，

那这个时候进行去调换，还用加负号吗？不需要了，换了就换了，对吧？换了就可以了，好了，那么接下来过程当中，我们再来看第二事情对称。给某一行乘上一个倍数，或者给某一列乘上个倍数，大家注意啊，乘了就乘了。对吧，我成了就成了，

我还会在这里面当中管它那个这个系数之间的关系吗？不用管，成了就成了。然后再来看看第三个事情，那就是贝加。那倍加的话，把某一行乘上k倍加到另外一行，或者把某一列乘上k倍加到另外一列，这叫倍加。加了就加了啊，这个基本问题一定要分析清楚，那这个内容跟我们的那个行列式的变换不一样。你要注意一个问题，如果是行列式呢？如果是行列式，

它中间用的是等号链接。而且调换两行一定要加符号，如果进行去被乘，一定只能单行单列，乘单行单列有公因子可以提出来。某一行乘上k倍，加到另外一行，它不变，所以你要注意啊，这个中间用的是等号，这个中间用的是箭头。能理解我的意思吗？好了，这是我们讲的这个第二个问题，然后接下来过程当中，

我们来看一个重点，它叫做初等矩阵啊，这个人呢，非常的重要。对吧，初等矩阵，那么首先我们先来看看第一种初等矩阵有几种啊，要注意啊，也有三种初等矩阵在这里面，当中也有三种。什么叫初等矩阵呢？它是由单位矩阵。单位矩阵经过依次初等变换得到。呃，注意啊，

经过一次初等变换，得到的矩阵，大家一定要听清楚一个问题，这是一个矩阵吧？初等矩阵是个矩阵。这个矩阵是一个数表，你一定要听清楚这个初等矩阵，它是个矩阵，那矩阵有作用吗？矩阵没有作用。矩阵就是一个数表，矩阵是没有作用的。只有把这个矩阵呢呈给别人的时候，才会发挥那个人的作用。一定要注意啊，

我再说一遍，矩阵就是个数表，它本无作用。只有把这个矩阵乘给别人的时候，才会发挥相对应的作用啊，这是一个非常重要的问题，那么接下来过程当中，我们先看第一种互换的情况。对吧，互换那么在这种当中，你会发现互换是这样写的eig。对吧？eig 1定要会缩写哦，把一个矩阵初等矩阵缩写成这个样子，一定要会写缩写。

然后再来看看第二事情，贝乘那贝乘怎么写呢？贝乘这个东西是这样写的，叫做e ik。然后接下来过程当中，我们再来看看第三个事情，贝加那贝加怎么写的呢？他这样写的。ei j，然后这个k大家一定要听清楚，你发现第一个人如果是这个人呢？可以看作成单位矩阵。交换ij行得到也可以是交换ij列得到好，这个人那么这个人呢？可以看作成单位矩阵的第I行乘以k倍。

也可以看作成它的第I列成长k倍，但是你要注意的事情，这个东西不一样。如果这个东西看成行呢，行是就近应该是这样读的，叫做DJ行，乘上k倍加到di行。如果是列呢？列就远叫做di列，乘上k倍加到DJ列。一定要注意啊，行就近列就远，那么接下来过程当中啊，我们一起来看几个问题啊，我们来看几个点。

我在这里面当中啊嗯，我来进行曲。写几个啊？我写几个，然后同学们你跟我一起来把它缩写好吧，我们来看看这个事情。将什么情况？将矩阵缩写。将初等矩阵。矩阵进行简写好吧，同学们，我们一起来看，如果在这种当中啊，给你一个初等矩阵怎么进行简写？那么，

接下来过程当中，我们一起来看看这个事情，比如说这里面当中啊，我出一个矩阵，然后这是一一一。然后的话，这是啊，这是五零零零，这是个初等矩阵吧，好了，那么接下来过程当中啊，我先说一下。呃，在这里面当中同学啊，比如说这个页面的同学。

啊，你截个图，这个页面的同学，你用行进行简写，听懂我的意思吗？用行的方式简写。然后的话，这一页的同学按照列进行简写。行不行？然后的话呃，如果是别的同学的话，你发现我刚才没有截住，我随便挑的啊，对吧？没有截住的同学无所谓，

这个呃随便来。如果的话，你发现接下来没有截住的同学，如果你是按照列简写的，你就按照列写，如果按照行进行简写的，你就按照行写。好，我们一起来看看，赶紧写一下，叫我看看这个结果啊，注意哦，这个这个不重要啊。啊不不不，这个结不结无所谓，

我就想给你做个时间。好，你起来看看。如果你是按照行进行简写的，你就写个行，如果按照列进行简写的，你就写个列。你在前面写个字啊行，进行简写的列进行简写的。好了没有？写完了给我回复一。不用给我回复一啊，你就给我回复那个内容。把那个内容给我回复一下。诶，

这行怎么会出现不同的答案呢？嗯哦，好的好的好的，那么接下过程当中，我们一起来看看这个事情。好，大家跟我来瞅一下，如果在这种当中啊，你发现一个事情，我按照行进行剪辑。那其实就是第二行乘以五倍加到第三行，注意啊，是第二行。乘以五倍。加到第三行，

那么同学们想想怎么去写呢？那非常简单，第二行乘以五倍加到第三行。是不是这样写啊，然后接下来过程当中，我们如果按照列进行简写呢？列进行简写其实就是第三列。乘以二啊五倍第三列。乘以五倍加到什么情况？加到第二列，那么同学们怎么写呢？列就远第三列。乘以五倍加到第二列，那么同学们想想一个事情，你发现这两个东西一样不一样一样的。

当然是一样的呀，那么同学们，你发现一个事儿，这个东西是一样的，说明什么问题？大家注意说明什么问题很简单，一个事，这是一个矩阵吧。矩阵是唯一的吧。对吧，你这个矩阵是唯一的呀，你就是这个矩阵呐。你就是这种矩阵，你矩阵是唯一的，比如说举个例子，

你也是唯一的，对吧？你的爸爸妈妈进行去教你。跟你什么情况呢？你比如说你的爷爷奶奶进行教，你那不是差不多吗？都会叫你的名字，叫的都是你。所以在这里当中，你要注意一个事情，你用行进行去叫这个人用列进行叫这个人，你叫的人是一样的。所以说大家注意一个事情，把它进行简写，它是唯一的。

如果将来过程当中，我们去把初等矩阵进行简写，无论是按照行进行简写列进行简写，矩阵就是这个矩阵。东西就是这个东西，你用这个人去叫它，是它用那个人去叫，还是它它必须是唯一的，所以在这种当中啊，一定要注意这个事情。好写到这。注意。矩阵的简写啊，应该是初等矩阵的简写。简写是唯一的。

无论按照行。进行简写。还是按照。列进行简写。结果一样。大家注意这个东西啊，是一样的，所以说将来过程当中，如果进行去把一个初等矩阵进行简写。这个结果它是唯一的，它不会改变的。你又按照行进行简写，你按照列进行简写，它的结果都是同一个人。哎，

都是同一个人，那什么时候会有发生改变呢？应该是这样。就是把这个初等矩阵左乘给别人，还是右乘上别人发挥的效应不一样。能理解我的意思吗？左乘给别人，右乘给别人，它是不一样的，所以在这种当中啊，这是我们要注的第一条内容。对吧，初等矩阵，无论你是按照行进行简写，还是按照列进行简写，

你简写的这个结果是一样的。那么，接下来过程当中，我们再来注意下第二条。第二条，但是。将什么情况初等矩阵。但是将初等矩阵。左乘还是右乘？u乘给别的矩阵。发挥的意义不同。什么意呢？就是我们经典讲的那个东西叫什么叫做左行右邻？当你把这个初等矩阵左乘给别人呢，就相当于让这个矩阵进行了一次行变换。

当你进行去，又乘给别人呢，就相当于让这个矩阵进行了一次裂变化。大家注意能听得懂吧，这个事儿非常重要哎，就是我们经常讲的左行右列，这个结果好了，那么接下来过程当中我们再来演练几个题吧。来操作一下这个事情，比如说这里面当中啊，我们再来看个例题。比如说这里面当中，你发现一个事，我们出一个，比如说这是二三四五一一。

好这个人，然后接下来过程当中，我们一起看，这是一零。一一零零零好了，同学们，这个结果等于多少？你发现这就是我们喜欢考的考题啊，等于多少那很明显一个事情，你这个矩阵呢，这是怎么乘又乘？那又乘的话，就相当于让这个矩阵进行一次列变换，什么样的列变换呢？列变换呢？

就是交换二三列，你就交换二三列就行。所以说最后的这个结果就变成了二五四一三一，这个人能听懂吧？就相当于让这个人进行了一次裂变化。是左乘的话进行行变换，右乘进行列变换好了，那么接下来过程当中，比如说我们再来看。如果这里面当中，我们继续除。你继续出一个矩阵的话，你发现还是这个零二三四五一一，然后这个矩阵呢去乘，这是一三。

三一这个结果好了，那这个结果等于多少？来看这个结果，那这个结果是不是一个初等矩阵呢？是一个初等矩阵左边乘。左边乘发挥了行变换作用，什么行变换呢？就是第一行乘以三倍加到第二行。也就是让这个人的第一行乘以三倍加到第二行就是二三四乘上三倍，三倍的话一+11。三倍的话，这是13倍的话，这13结果是不出来了。所以这个东西啊，非常好用哦。

基本点就是你一定要注意一个事情，把这个矩阵进行简写，按照行进行简写，按照列进行简写，结果都是这个人。说的人都是同一个人，但是你要注意个事情，当把这个矩阵组成给别人的时候，让这个人进行的是一次行变换。把这个人呈给另另外一个人的时候，又呈给别人的时候，让这个人进行了一次列变换。能理解吧，所以说一句话，初等矩阵本无意义。

只有把这个矩阵呈给别人的时候，才会发挥它的意义。能理解吧，你放到这儿有什么意义啊，它就是个数表，但是一旦把这个矩阵呈给别人的时候，就会发挥它的意义。这就是初等矩阵的一个功效，能理解吗？所以接下来过程当中啊，我们一起来继续来看这个问题，我们为了把这个知识点呢进行非常重要的升华。那么，接下来过程当中，我要给你一张非常非常重要的表，

大家注意啊，这张表非常的牛，所以说在这种当中啊，我们把这个东西叫做。哎，这黄金重点把这个表叫做牛逼表。大家知道这张表非常非常的重要，你把这张表一定要记住，只有你知道了这张表，那么在这里面当中，我们所有的题你基本上都会处理。啊，没有说你什么不会做的，像这种初等矩阵的问题啊，它都在这张表里面。

都在这张表里，无论你出的多么的难，我处理这个问题啊，难度系数一点都不大好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个事儿。那么，在这个当中啊，首先我们先来看看第一个问题。啊，先看第一个点，那初等矩阵有几种呢？有三种，第一种是ei j，第二种呢e ik。

第三种呢ei JK。好了，这里面当中啊，有这三种，然后接下来过程当中，我们一起来看看这张表里面当中啊，我们要讲多少内容呢？好，我们先来看看第一个问题。稍等，我想啊，我们先来看看第一个问题，我们先要进行去讲的是，如果进行去佐乘。发挥了什么样的行变换作用？

如果是右乘，发挥了什么样的列变换作用，那么接下来同学们，你思考一下。既然这个人是一个矩阵。对吧，你不要以为这个东西是什么，这个东西是行变换，不要这样想，它是个矩阵。它本来就没有意义，当你呈给别人的时候，才会有意义。所以说这是个矩阵，那这个矩阵的话，

你发现它有没有转置啊？那这个矩阵的话，你发现是方阵，它有没有行列式啊？那这个矩阵有没有逆矩阵呢？你看所有需要的内容，我们都放到这张表里面，只要你能把这张表掌握清楚，我相信问题点都不大了。好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看你，稍微等我一下啊，我这个有点强迫症，我得把这个表画完。

啊，接下来过程当中，我带着你来填一下这张表，得记住啊。非常的关键，这是我们考研必考的内容。稍等，我想。好了，那么接下来过程当中，我们一起来看，再来一条嘛，这个不好看。好，就这样吧，

我们先来看看第一个事情。先看第一个人，如果把这个人怎么了？把这个人是佐成给别人发挥的行变换，让别人进行了一次什么样的变行变换呢？一定是交换ID行。大家注意，是交换了ij行好，这个点如果进行取右乘呢，右乘让这个矩阵进行的一次列变换。什么样的列变换呢？就是交换ij列。add那如果是这个人呢？进行一座城呢？让别人进行了一次行变换，

什么样的行变换呢？就是di行。乘以一个多少kv？如果进行去列变化呢，你发现就是di列乘上k倍。那么，在这个当中，我们继续看，如果是下面这个人呢？你再看这个人。那这个人就不一样了啊，这是这里面当中啊，最特殊的两个人。你发现一个事，如果是左晨就近让这个人的什么情况，

应该是DJ行。长ek倍加到di行。没问题吧，如果是列呢列就就远列就远的话，就是di列乘以k倍加到什么东西啊加？加到DJ里。能理解吧好，这是这个问题，所以你发现行就近列就远哎，行就近列就远。那么，接下来过程当中，我们再来看看转之。那么，如果是第一个人的转职呢？

我举个简单例子。你比如说你看原本的话，这是一一一。我交换这两行的话，你发现它就变成这样。那如果转置一下呢？转置一下，这个东西是不变的，所以你发现第一个人转置是不变的，然后再来看看。原本是一乘上个k倍呢，你再转置一下呢，它还是不变的。对吧，这个东西啊，

还是不变的。但是如果是第三个人呢？比如说这是一一一，你这来个三杯。你转置一下了之后的话，这个三就跑到这来了，所以说ei JK就变成了ejik。好注意啊ei JK就变成了ejik。好，这是这个问题，那么接下来过程当中，我们再来看行列式。原本呢，单位矩阵的行列式是一。交换两行了之后啊，

行列式要加负号，那就是负号。原本单位矩阵的行列式是一，你给某一行乘上k倍k可以提出来，它就是k。原本单位矩阵的行列式等于一，那这个时候你发现把某一行乘上k倍加到另外一行呢？行列式的结果是不变的，仍然是一。能听懂吧，那么再来看看最后一个人，这个人的逆矩阵呢，还是eig这个人的逆逆矩阵呢？是e ik。k分之一，

然后这个逆矩阵呢是ei负k。啊，是父亲。那么，接下来过程你想不想推一下？就是最后三个人了。我可以给你推一个，对吧？我们来推一推，非常简单。你发现一个事情，比如说举个例子，你看我原本是什么？单位去整嘛？对吧，

我原本是单位矩阵，我单位矩阵的话，你发现一个事，比如说第一个人eig啊，算了，我都推吧。我写到旁边去，行不行啊？这个不重要，你听一下，非常有意思，很有意思的，其实就是干一件什么事儿复原。好，我们先来看看第一个人eag的逆矩阵等于多少？

好，我们先看第一个人。这个人呢？非常有意思，他是这样子，原本是什么东西呢？原本一个单位矩阵。进行交换了ij行就得到了你。对吧，我交换了ij行，我就跑到你，所以你发现一个事情，这是你啊。是单位矩阵交换了ij行得到的，我问你个事情怎么复原呢？

啊，怎么复原了？你交换了ij行，跑到它，我怎么复原呢？你再交换I这行不就行了吗？啊，能听懂我的意思吗？你注意一下这个事情，原本一二行交换，你再交换一下不就行了，所以说大家注意一个事情，我是不是要给这个矩阵进行一次交换ij行的行变换？那怎么办呢？我给你组成一个这个矩阵。

左乘个这个矩阵，不就相当于让这个矩阵交换了ij好吗？回去了。两个矩阵相乘等于一，那你发现一个事情，彼此互为逆矩阵，不就是它吗？很简单吧，很有意思，非常非常简单啊，然后再来看看第二个人。如果你发现这是e ik。它的逆矩阵等于多少呢？你再看这个人。那这个是什么意思呢？

它是这样，就说原本我是单位矩阵。对吧，你怎么跑到了这个ei这个k呢？其实就是给它的di行乘上了kv。对吧？di行乘上了kv，同学们告诉我个事情，你发现我怎么复原呢？我给di行乘上了k倍，它就变成了k你，比如说举个例子，幺幺幺，我给这行乘上k倍变成k，你怎么办？

你再给这一行乘上k分之一不就行了吗？非常好，我再给这一行行是左乘给这一行乘上k分之一。你看左乘个这个矩阵，不就相当于让这个矩阵做这个什么进行的di行，乘上k分之一吗？然后这东西不就复原了吗？两个方阵相乘等于单位阵，彼此互为逆矩阵，你的逆矩阵不就是它吗？非常简单吧好，所以说这个人呢，就是ei多少k分之一啊，这个很简单啊，很有意思，

你发现我们再来看看第三个人。然后这是e ik JK。逆矩阵等于多少？那么，接下来过程当中，我们再来看你发现，如果这是个单位矩阵。它怎么到达ei JK的呀？怎么到达呢？其实就是DJ行乘上k倍加到di行。我举个简单例子啊，比如说你原本是幺幺幺，你跑到了幺幺，这是多少？这是k。

我们怎么再把这个东西再进行复原呢？你给第一行乘上了k倍，加到第三行，你怎么再复原呢？你再给第一行乘上这个负k倍加下来不就行了吗？你再给这行乘上负k倍加下来，这人不就没了吗？所以在这种当中啊，你发现非常好，复原就什么意思呢？就说这是ei JK。我再给它怎么办？我再给它左乘左乘个多少eig负k？那这个时候的话，你发现不就复原了吗？

你原本是DJ行乘上k倍加的di行，我再让你的DJ行乘上负k倍加的di行，你这两个一乘不就单位整吗？所以说你发现这不就逆矩阵吗？所以它的逆矩阵就是eag负k。很简单吧，这跟跟这个消消乐一样啊，就是你要注意一个问题，如果让这个人进行行变换。就给他组成，如果让这个人进行列变换，就给他又成触动矩阵，能理解吧，让他行变换，让他组成。

让它列变换，就让它又产啊，就这么简单。所以在这种当中啊，这个页面一定要记住啊，没有任何商量余地，所以希望同学们注意啊，一定要把这个页面牢记于心。虽然我们在考题过程当中啊，有可能只有一套两分的考题，但是你也得好好把这个分儿啊拿下来啊，也得把这个分儿一定要拿下来。好了，这个题啊，我们就讲到这，

那么接下来过程当中，我们来做些题吧，来看一下这个题。好，先看这个。那么这个题啊，他说了一个事情，他说a是一个三阶方阵。然后将a的这个什么第一列和第二列交换得到b好了，同学们，我们来看看这个a怎么到达b的？他这样到达的，他说我交换了多少呢？我交换了一二列。好了，

同学们怎么写啊？不就是让这个a矩阵进行了裂变化吗？你进行了列变换，就是又乘让它又乘了一个多少e一二，是不是等于b？又成了这样的一个初等矩阵，到达b不就是让这个人进行了一次列变换吗？然后接下来过程当中，我们继续看。他又说，将第二列夹到这个道字啊，神来之笔。对吧，道非常重要，你不要说第二列加第三列，

你这出题就不严谨了，你第二列加第三列到底是把第二列的1倍加到第三列还是第三列的1倍加到第二列呢？你出题不严谨？人家说的非常严谨，人家说的是第二列乘上个一倍加到第三列。对吧，你们还学逻辑，我想这些内容啊，很重要，对吧？这个字儿，然后得到谁呢？得到c那所以说在这种当中，我们一起来看看这个事儿。赶紧来，

那就是把这个b继续进行什么变换列变换左行右列啊列变换。列变换的话，你发现这就是就远原则好，我们一起来写第二列，乘以一倍加到第三列等于c。会写了吧，就给它左乘或者右乘一个初等矩阵嘛，你要注意啊，这也是一种矩阵呐，但是这种矩阵呢，很牛啊。好了，所以说在这种当中，我们把它整理一下。则那你想想这个b等于多少b就等于这个人好，

把它带进去，带进去就是a。一一二，然后是一二三一，然后等于c是不是这个情况好做成这样了？所以你会发现一个事，最后得到的矩阵就是这个样子，那它说aq=c那q等于多少呢？那这就是q。对吧，这就是q。所以在这种当中，马上出来了，那q等于多少呢？q等于一一二再乘上一二三一。

没问题吧？好了，那么接下来过程当中，我们把这个初等矩阵写开。这个初等矩阵什么意思啊？可以使单位矩阵交换一二行得到，也可以使单位矩阵交换一二列得到，都是一样交换一二行。所以说这个人呢，就变成了这个人。好，这是一个触动矩阵，然后也能把这个矩阵呢卸开，但同学们需要写吗？有的说，

那我把两个矩阵都写开一乘就行了，太慢了。你想想一个事情，写一个不就行了吗？写一个的话，你发现这个人什么臣，这不又臣吗？又臣就相当于让他进行了列变换。什么样列变换呢？列就原第几列，第二列乘以一倍加到第几列，第三列。所以说在这种当中就是第二列乘上一倍，加到第三列直接往上来来加过去幺幺零幺零零。零零幺出来了。

能理解吧，不要写两个要喜欢初等真。初等矩阵乘上别人，这是我非常开心的事情。我一个初等矩阵乘上你，我就让你进行了变换，我左乘上你进行行变换，我右乘你，我让你进行列变换。所以这是一个非常强的一个内容啊。诶哦，第三列是吧？不好意思，看差了。加过来，

这是一。好了吧？好了，这是一个基本问题，所以说在这种当中啊，你要注意一下，你知道这个题目到底它在操作一些什么内容就行。要注意啊，要喜欢初等生。初等矩阵呢，是一个非常有意思的一个点，就是我这个矩阵呢，平凡无奇，但是当我这个矩阵乘上别人的时候，就会发生。

啊发发挥出重大的能量啊，应该叫巨大的能量，怎么能用重大的能量呢啊？好了，这个事儿我们就讲到这儿。好了，这是我们讲的二点二二这个题选几啊？应该是选择d选项吧，零幺零幺零零幺零幺答案选d。那么，接下来过程当中，我们继续我们再来看看下面一个题。来再来看二点二三这个题。啊，注意啊，

这种题啊，你一定要做的非常好，怎么出你都会，我先说一个事情，你这个题啊，你能把这几个题做做出来，我觉得考研我们考研的那个难度啊。也就到这就差不多了，他不会说更难了啊。好了，我们继续，我们再来看看二点二三这个题。解他说了一个事情，他说设a为三阶矩阵。说第二列加到第一列。

啊，第二列加到第一列，那所以说在这种当中就是第二列乘以一倍加到第三列。啊，加到第一点。对吧，加到d一点，然后得到b，那么接下来过程当中，我们来写一下，你看就是让这个人进行列变换，那就又乘。又乘的话，那么接下来过程当中，我们一起来看就是第二列乘以一倍加到第一列等于b。

好这个人，然后接下来过程当中，我们继续看，他说将b这个人呢？他要把第二行，第三行进行交换。交换了，这里面当中的二三行。交换二三行会得到单位证好，我们继续来看，也就说这个人进行行行是什么臣呢？行，要组成。对吧，给你进行组成组成一个谁呢？

一二三等于单位证，那么接下来过程当中把这两者结合一下。结合一下了之后的话，你发现这个b等于多少呢？b等于这个人，所以说就是一二三a一二一，然后的话，这是一。啊一二一，然后这是一，它就等于单位正好得到这个点。跟得上吗？那么接下来过程当中，他说则这个a等于多少？对吧，

这个a等于多少？那a能等于多少呢？初等矩阵一定可逆吧？对不对？初等矩阵是不是一定可逆啊？当然了，初等矩阵的话，你发现你看你这个人逆矩阵是它，你这个逆矩阵是它，你这个逆矩阵是它。初等矩阵，当然可逆，而且它的逆矩阵还是同种类型的初等矩阵。啊，注意一下它。

好，我们继续，我们来看看这个问题，那就把它什么东西呢逆过去，把这个逆过去变成多少一二三。然后他的泥。然后接下来过程当中，我们再把这个逆过去一二一一这个逆矩阵。好了，写成这样了，但是这里面当中啊，一定要注意一个问题，你还得知道这个p1是谁p2是谁吧？所以在这种当中，就是要把这个矩阵进行简写。

对吧，把这个p1和p2简写怎么进行简写呢？行，进行简写列进行简写是一样的，你发现这个人不就是交换二三行吗？你再看这个人不就是第一行乘上一倍，加到第二行吗？来第一行乘上一倍，加到第二行吗？行，就近，所以说p其实就是一二一一p二是谁一二三，所以在这种当中你发现一个事，你看这个人。其实就是p2逆，

然后这是谁呀？这是p1。啊，它的逆，所以在这种当中，我们选答案，我们一看p2逆p1逆诶，没有答案呐，但是没有关系，根据刚才的牛逼表，你都知道。像这个一二三的逆啊，其实也是一二三。对吧，一二三，

然后这是一啊，这个是一的，这个什么逆矩阵？所以在这种当中啊，它也等于p2，然后再乘上p1。所以在这种当中啊，它正确答案应该是P2P1正确答案选几啊选d。哎，这个题出的太简单了。这个题啊，你应该稍微的多出一点的嘛。你发现一个事情，你得把这个逆矩阵也写出来。考下大家呗，

考下这个一二一的逆矩阵是一二一负一多好。那所以在这种当中就不要出一应该出负一啊，这样一出的话，你发现这个题目就考的更多一点了，对吧？操作性也会更强一点了。好了，这个题啊，我们就说到这。跟得上吧，哎，基本点。可以了吗？不难吧？非常非常简单。

难度系数不是说特别大，要会操作这个人。过去了，可以吗？好，我们就讲到这，那么接下来过程当中啊，我们就继续，我们再来看看今天的重点内容。那么，在讲今天的重点内容之前呢？我们先来看看一个定理啊，我们先来看一个定理，那这个定理啊，首先我们在讲之前呢，

我们先跟同学们继续去看。看一个例题。好，首先跟着我一起来瞅一下。我们先来看看例一这个例题。那这个例题啊，它是这样，比如说你发现这是幺幺幺。然后这是幺二三。然后的话，这是幺三，这是四。好吧，是这个人。那么，

首先我们先来看看这个矩阵，这个矩阵呢？我们先看看它的行列式，幺幺幺减去上面一倍零一。而减去一倍零，这是二，然后减去一倍，这是三，所以说这个行列式展开一下，它等于几啊就是。就是三减四，这是负一不为零，这个矩阵是不是一定可逆啊？对吧，这个矩阵是可逆的，

那么接下来过程当中，我们来看看这个矩阵具有什么特点。来后，同学们跟着我一起来走。幺幺幺二三幺三四。跟我进行曲一起来做一种矩阵好，我们接下来过程当中啊来把它进行变换。好注意啊，我们来把它进行去变换，要注意我们来进行去初等行变换。那么，进行行变换的话，你发现一个事情，第一步我可以怎么办？跟我们原来学习的第一章是一样的，

注意变换啊。以第一行为基准。负一倍加下来，这人就是零。负一被加下来，这是一负一被加下来，这是二。再把第一行的负一倍加下来。然后这是二，这是三，没问题吧？然后接下来过程当中，我们继续再来看幺幺幺。在以第二行为基准幺啊零幺二，然后它负二倍加下来，

减去上面二倍零，减去上面二倍，这是负一。好了，这个初等矩阵就变成了这样啊，不是初等矩阵就是这个可逆矩阵就变成这样。所以大家注意啊，我们进行了一次行变换。我们进行了一次行变换，能听懂我的意思吗？行变换有三种嘛，我进行这三种就叫进行了它的变换。然后接下来怎么办呢？我就把这个矩阵呢画成了这个样子。哎，

注意啊，我把这个矩阵画成了这个样子，一会儿我就会讲这种样子叫做行阶梯矩阵。呃，一会我会讲啊，不要着急，我们先进行初等行变换，然后把这个矩阵画成了这个样子，这叫行阶梯矩阵，一会我会讲。然后接下来过程当中再怎么办呢？哎，你发现我还可以继续，怎么继续来？第一步，

先往下销。第二步，再往上销来返销。返销什么意思呢？以最后一行为基准。来把它的2倍加上去，二倍加上去，这人变成零，然后再来一倍加上去，这人变成零，这是幺幺。没问题吧，然后接下来过程当中，我们继续，你再来看，

继续用这个一你看再来进行反求。好继续返销，返销了之后的话，你发现这个结果就是幺啊，这是幺零零幺零，然后这是零零负一。再把这个人的负一倍加上去，这人变成零，然后这个结果呢？这结果的话再给这一行乘上一个负一。乘上负一变成一，有没有发现个事情？这个矩阵变成什么矩阵呢？单位矩阵嘛。是不是这个事情？

如果你是一个可逆矩阵，你可以往下小。往下小变成了一个行阶梯，再往上小，然后把这个人怎么上面也变成零，然后第三件事情再把这条对角线。都变成几都变成一。他永远都能干成这件事情。永远都可以，我们先把下面这些人消成零，再把上面这些人消成零，只有对角线这一条线。然后把这条对角线上的东西啊，都变成一可以用被乘吗？对吧，

变成这样的一个情况，所以说你会发现一个事情，一个可逆矩阵呢，它永远都能这样做。如果你发现个事，这个a矩阵是个可逆矩阵，那我就先把这个下面消乘零。然后接下来过程当中，再把上面消成零。第三步，再把这条对角线可以变成幺幺幺。对吧，能理解我的意思吗？所以在这种当中啊，我们就得到了一条非常非常重要的定理，

把这条定理啊给我记到笔记上。啊，这个定理啊，我们将来过程当中用的很多啊，住在这儿。应该是个定理。一个可逆矩阵任意一个。可逆矩阵。都可以经过若干次。初等行变换。到达单位矩阵，注意下这个特性啊。任意一个可逆矩阵都可以经过若干次的初等行变换到达单位矩阵，这是一定都可以的。若干次我也不知道是多少次，

反正这个东西啊，肯定经过好多次的初等行变换，它一定可以过去的。把这个定理记住。对吧，任何一个可逆矩阵都可以经过若干次的初等行变换，到达单位矩阵，所以在这种当中啊，我们就一起来看看。那你想想一个事情，你这是一个什么？你这是一个可逆矩阵吧？你这个可逆矩阵，当你进行一次行变换，我们就给你怎么办？

一次行变换，就给你组成一个初等矩阵。能理解吧。给这行倍乘嘛，乘上负一不就行了吗？初等变换有三种嘛，给那一行乘上一个什么东西啊，乘上一个倍数不就行了。啊，好了，那么接下来过程当中，我们看进行了一次行变换，组成一个初等证，再进行一次行变换，组成一个初等证。

再进行一次行变换，组成一个初等阵进行了n次行变换，组成n个初等阵，能理解吧？进行了n次变换了之后，它一定会到达什么？到达单位的。好了，这是这个事情，所以在这里当中啊，你发现一个事情，那这个a等于多少呢？好，我们先来看第一个事情，两边组成一个pn的这个逆矩阵好了，

这是pn的逆矩阵。然后接下来过程当中，两边再组成一个pn- 1，那应该是在这个人左边吧。然后接下来过程当中，我们一直乘一直乘，然后两边组成一个p2的逆矩阵。然后p2没了，两边再做成一个p1的逆矩阵p1又没了，所以说你会发现一个事情，一个初等矩阵的逆矩阵还不是初等矩阵吗？逆矩阵还不是个初等矩阵吗？还不是个初等矩阵吗？所以我们得到了一条非常重要的定理，什么定理呢？

其实就是这样子，一个可逆矩阵。都可以写成若干个初等矩阵的乘积。大家注意哦，任何一个可逆矩阵永远都可以写成若干个初等矩阵的乘积。所以说你就要想清楚一个可逆矩阵，就相当于若干个初等矩阵。好再说明一个可逆矩阵，就相当于若干个初等矩阵。只要你是一个可逆矩阵，你就相当于若干个初等矩阵。啊，这个事情要理解清楚好了，这个事儿掌握清楚就行。所以在这门当中啊，

一定要听清楚啊，这不刚刚讲的嘛。初等矩阵的逆矩阵，还是初等矩阵，而且是同种类型的初等矩阵。一定要想清楚一个可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积啊，这个事情一定要把它把握清楚。所以接下来过程当中，我们来看看。下一个问题。好，我们再来抽。那么，同学们想想一个问题，如果这里面当中啊，

你发现这是个a矩阵。它是个可逆的。a是一个可逆矩阵，那么同学们告诉我，我这是啥意思？啊，回答我这什么意思？你比如说这个a矩阵，这一二三四五六七八九，这什么意思啊？分块矩阵吧，把这个单位矩阵怎么办？放到了一起。是不是啊？放到了一起，

这叫分块矩阵嘛，把这个a和这个单位矩阵摆到一起，形成了一个分块矩阵。那我想问你个事情，这个逗号有没有作用啊？有没有作用？啊，有没有作用？你发现有些人学这个东西啊，他就没学到骨髓里面，没有学到精髓，他一直就在乎这个，这里面当中说这是逗号还是？还是虚线有没有作用？没有任何作用，

这个逗号什么意思呢？它想说前面是a，后面是e，你不写都行。你不写都行，你在这种当中写虚线都行。无所谓，你就在这种当中，我就不写怎么了？一样的。要注意一个事情，他写这个东西的目的是什么？他想说你前面是a，后面是一，他就想说这个事情，

你就算不写也行。你就在这种当中，你不画虚线也行，你画了也可以啊，这无所谓的，好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个事情。能不能给这个分块矩阵左边乘上一个a逆呢？因为a是可逆的嘛。可不可以如果这样一乘的话，你发现一个事儿是不是就相当于分配进去了？那分配进去不就是a逆a，然后这是a逆吗？那么，

在这个当中，你就会发现一个事情，你看你这个a逆，不就相当于怎么办？你乘上了这个人，他就等于多少呢？这个。这是e，然后这不是a逆吗？诶，我明白了一个事情，你再来看这个可逆矩阵，相当于若干个初等矩阵吧，而且这个初等矩阵是什么程？左晨左晨什么意思啊？

左晨就相当于让这个a和e进行了若干次的初等什么变换。行，变换我给你进行若干次初等行变换，你就一定会到达这个站。你看这个事情就说我给这个东西进行若干，次初等行变换，一定可以跑到这个人，我终于明白了。这不又是一种求解逆矩阵的方法吗？当我去求解a的逆矩阵的时候，我怎么办呢？把这个a和e摆到一起。我给这个东西进行初等行变换，把这个第一个位置变成e第二个位置，就变成了逆矩阵。

所以同学们一定要注意啊，我再来强调一遍，把这个a和这个e放到一起进行初等行变换。然后的话，接下来过程当中一定注意第一个位置变成了单位帧，第二个位置就是逆矩阵，但是切记切记一个事情。这里面当中啊，只能进行行变换。对吧，只能进行行变换。咳。比如说这里面当中啊，我们来出一个题，你来瞅一下。

比如看第一个题。那么，在这个当中，我们可以怎么做呢啊？比如说我来出一个题吧。你发现一个事，这是a。这是一。二，一零一零零。啊，这是一零呃，这不这不能是一这一这是零。好了，这是这个事情，

我让你进行求解什么，我让你去求解这个逆矩阵。怎么求解？非常简单，我可以根据刚才的初等变换法。那么，这个初等变换法，我们可以把这个a和这个e放到一起。放在一起什么意思呢？其实就是形成了一个分块帧幺零零零二幺。幺零幺写成这样，然后这半边写了一个单倍矩阵。对吧，这是个单位矩阵。然后接下来过程当中，

我们一起来看。我一定要怎么办呢？我一定要把这个人变成一，我先说一下怎么去画。一定注意把一个人变成通过行变换变成一个单位矩阵，是这样画的，你想下第一张啊。我们先往下画。把这下面都变成零。然后接下来过程当中再往上滑，把上面的也变成零。上下都变成零，然后对角线变成一就行了。好，那么接下来过程当中，

我们一起来看看这个事情，先往下消，那么先往下消的话，你放先看第一列，第一列的时候的话，你发现很明显，这个人还没有到零。没有到零的话，我们接下来过程当中，我们经过行变换幺零零幺零零零二幺。然后零幺零。减去上面的1倍就是负一倍，加下来零负一倍，加下来负一倍，加下来负一倍，

加下来零，这是有。好，先把它做成这样的，那么做成这样的，之后的话，你发现看你先把这下面的都变成零。对吧，然后接下来返销返销怎么办呢？把这一行的负一倍加上去，这人变成零负一倍加上去，这人变成一。负一被加上去，这人变成负一。好了，

做成这样，但是这条对角线还不都是一啊，不都是一的话，你发现非常简单，给这人除一个二，这是一。除根儿，这是二分之一，除根儿，这是二分之一，除根儿，这是负二分之一，能理解我的意思吗？所以说你发现就是这样做的。只能进行行变换，

你不能进行列变换，因为这个方法只能行变换。对吧，先往下小把，下面变成零，再往上小把，上面变成零，所以说这个时候你发现第一个位置就变成了单位帧。第二个位置啊，其实就是逆矩阵啊。能理解吧，第二个位置就是逆矩阵，所以往下小再往上小，我再强调一遍，你只能进行三种变换。

第一种变换的话，你可以进行去调换某两行。第二事情你可以给某一行进行去乘上个倍数，第三个事情你可以把某一行的k倍加到另外一行，你可以进行这三种变换。这三种变换都是初等变换。能理解吧啊，就是第一步往下小，第二步再往上小，然后再把对角线变成几呢，变成一它就可以了。好，这是这个问题。呃，这个题啊，

我觉得我们考试可能会更加喜欢考，这样对吧啊，考的这个样子，但我接下来过程当中，我下面放的讲义上这个题啊，极其的恶心。啊，算起来非常的恶心，所以接下来过程当中第一件事情，我还是先来总结一下，我们来看看考研中逆矩阵的处理方法。总结。嗯。椭圆中逆矩阵。的求解方法，

那么在这种当中，我们一起来看看啊，所有的求解方法都在这。那么，首先我们先来看看第一种问题。大家注意拿到一个考研当中的逆矩阵的求解，第一件事情干嘛？第一件事情你先看看这个东西是一个什么？抽象型还是数值型？如果这是什么抽象型矩阵？诶，抽象性矩阵，求逆矩阵问题呢，大家注意我们的方法就是定义法。对吧，

我们的方法就是定义法，如果在这种当中是抽象型进行求解，那就是定义法，定义法干什么呢？定义法做的事情就是这样，就说你这个矩阵，你乘以谁等于单位帧呢？两方阵相乘等于单位阵，然后接下来过程当中，我们再来看看第二事情，那如果考验过程当中是什么情况，是竖直型的。啊数值。竖直型。那数值性矩阵的话，

什么情况呢？那这里面当中的方法，我们就稍微的话，有就是会多一点，对吧？第一种方法，你可以公式法。那么，接下来过程当中第二事情还可以初等行变换法，我先说一下，你可能在这个市面过程当中，你还见过初等裂变换法。也有也有列变换，就是把a和e落起来进行列变换，列变换第一个是e，

第二个是a1啊，但是你掌握住一种就行了。行变换足矣，好这个人，然后接下来过程当中，我们再来看。第三种呢，就是分块对角帧。对角针方块对角针去求解逆矩阵，那在这种当中我们就有相对应的这样的一个处理性的公式了，对吧？那么，在这种当中，我们稍微的进行去看看。第一件事情。

如果这里面当中是公式法，求解逆真就等于多少等于a的行列式，分之a的伴随。如果是行变换法的话，就把a和e摆到一起，只能进行行变换，把第一个人变成e，第二人就是a0。那么，在这种当中，分块对角阵呢？如果这是a，这是b，这是零零，它的逆矩阵就等于多少？

就等于a逆，然后这是b逆？如果这里面当中的话，你就发现这是a这是b呢，这是零零它的逆矩阵要调换位置，那这人变成a逆，这人变成b逆。他跑到这个位置。可以了吧诶，就这几个事情，所以说学到今天啊，所有的这个方法我们就全了。那么，接下来过程当中，我们来看看这几个方法的筛选方法啊，

选择性的方式。那么，如果这个题啊，你发现一个事情是分块阵就选分块阵。请注意。小于等于三阶的矩阵。选公式法，尤其是二阶，二阶矩阵，用公式法是最简单的，因为行列式非常简单。伴随矩阵呢主对角线调换位置，副对角线加负号依然很简单。如果这里面当中超过了三节呢，请你用初等行变换的法。

为什么？比如说举个例子，这是个四阶四阶求这个位置处的代数，余子式就是个三阶行列式，你就要求16个三阶行列式，那不是疯了吗？它当然行变换法简单，所以一定要注意啊，小于等于三阶用公式法，大于等于三阶用行变换法。那等于三阶呢？等于三阶这个事情那就不好说了，你得看题，如果这个题目当中的话，你发现零比较多。

那零比较多的时候，你发现一个事，那很明显行变换法简单。因为它非常容易变成单位矩阵，它简单，但是如果的话，你发现一个事儿，这里面当中零不多呢，其实公式法简单。那么，接下来过程当中，我们来看看这个题吧，你比如说这个题呢？你觉得这个题用什么方法简单？就这个题啊。

大家注意啊，这个题啊，我觉得其实用我们的公式法简单。为什么呢？因为很明显一个事情，你发现你看你这里面当中零基本上就没有。你把这个东西变成一个单位矩阵是很困难的。这个题原来我们算过，这个事情是吧？所以今天过程当中，我再带着同学们用第二种方法再来求一下，你来看看。所以说要对照你，再比如说举个例子，你像刚才这个题，

这个题用什么方法简单肯定是行变换法简单，因为这里面当中的零非常的多。非常好，变成单位证，所以一定要注意这个事情好，我们来走一下，操作一下这个题吧。啊，这个题非常恶心啊，把这个a和这个单位矩阵摆到一起。摆到一起的话，你发现第一个人呢？他就是二二负一一负二四，然后这是五八二。那这里面当中，

这是幺幺幺。好，我们一起来看看这个事情。把这个人要变成单位证。先往下小。先来看看这三个数。这三个数的话，你发现用谁进行去消简单一点啊？用谁呀？那很明显是用一进行消简单一点，所以说把一这个人调上去，但是你要注意啊，调上去就调上去了。对吧，调了就调了，

不用加负号，然后这是一零零，然后这是多少五八二，这是零零一。那么，接下来过程当中，我们用这个一进行消它来吧，走向减去上面的2倍，这是零减去上面二倍，这是六。减去上面二倍，只是负九减去上面的2倍，只是负二。然后再来减去这个人五倍，这是零减去这个人的5倍，

那这是18减去这个人五倍，这是负18。减去阵容五倍，这是负。减去这五倍，这是一所以说这人呢，就立即变成了这样。对吧，先往下敲，先往下敲的话，你发现你看你已经能变成这样了。再往下求，再把这个位置继续变成零，然后继续减去上面三倍，这是零。

三九，27，那这是刚好是九。然后再减去多少咦，我这个脑子。减去多少三倍啊？三倍这是零，然后这是三倍，这是九减去三倍的话，这是负三减去这是三倍。三倍的话，你发现这是六加下来，这是一减去三倍，这是一好了，这个事情立即变成了这样。

能理解吧，也就说我先主推的是往下小。哎，我先往下来，往下来了之后的话，你还得继续往上来，往上来的话，你继续往上加，往上加了之后的话，我们继续看。往上一加，这是零往上一加的话，这是负二往上一加，这是负一往上一加，这是一。

对吧，往上讲。你看，发现了，接下来就有个问题了。你会发现个事儿，这九霄寺可不好消呢。所以在这种当中啊，你就能除上个九给这行除一个九除个九，这是一除个九的话，这是负三分之一。除个九的话，这是九分之一，除一个九的话，这又是九分之一。

然后怎么办呢？把四倍负四倍加上去，零减去四倍，然后这是三分之四减去四倍，这是九分之五。减去四倍呢，这是负的九分之四。好，做成这样，然后再给这一行，同时除一个六除个六，这是一除个六，这是负三分之一。除个六，这是负六分之一，

除个六，这是六分之一。能理解吧，然后再来二倍加上去，这就变成零了。那二倍加上去的话，你发现你看你这个二倍加上去，它刚好是三分之二。然后九分之五二倍加上去的话，再减去一个多少三分之一，三分之一，九分之三，那就是九分之二。然后继续二倍加上去负的九分之四，再加上多少三分之一九分之三负的九分之一好了出来了。

所以在这种当中啊，你就会发现一个事，那对于这个题而言，你自己对照一下。对吧，那这个时候你发现这人变成单位帧，这不就是a的逆矩阵吗？就这个位置。不好算吧。哎，非常麻烦。所以说对于这个题目而言，你要在考试过程当中选择正确的方法是非常重要的。对吧，选择正确的方法，

所以在这个题啊，你要注意一个事情，像这个东西，你要用什么方法，简单公式法简单。哎，这个题啊，用公式法简单一点。一定要注意啊，这个题肯定用公式法简单点，我们前面过程当中用公式法算过这个事件。好了吗？同学们。这个事情啊，你下去过程当中啊，

你自己坐下。好，那么接下来过程当中，我们继续，我们再来看一个题。我记得应该是上上节课。我们有一个题没有讲。我说让你进行去预留一下，你还记得吗？好，我们来看看。有一个题，二点一八你不要说你喜欢公式法，你不要把这话说的太早了，来我们再来看个题。

看看这个题。啊，我们来操作一下这个题。那么，首先我们先来看看第一个事。他说a的伴随矩阵是它。注意啊，这个题给的是伴随矩阵，你喜欢谁呀？我喜欢伴随你喜欢a吗？我不喜欢有些同学相当的疯狂说想通过伴随去求a。你这多恶心啊。我们喜欢的是伴随矩阵，我不喜欢这个a。所以在这种当中啊，

在这个题目当中，你像这个a和a的伴随都是我不喜欢的。那我们要进行去求解销掉这个b的时候的话，你发现第一件事是干嘛？我先看第一件事，你这是a逆a逆我两边怎么办？两边进行去，又乘上一个a。又乘上a，你没了，又乘上a，你没了，又乘个a变成它。但是要注意一个事情，在这个题目当中，

我不喜欢a，我喜欢的是a的伴随怎么进行用伴随干掉a啊，只要碰到一起就能干掉。碰到一起就能产生火花，产生的行列式等于一。所以在这里当中，给他的两边什么情况，两边进行去右乘上伴随右啊，这个左乘上伴随。左承上伴随就变成这样。变成伴随了之后的话，你看这是a的行列式，有矩阵不写一，然后这是伴随矩阵乘上b。然后的话，

你发现这是行列式，每矩阵必写一。有了就不写了，没有必须写上好，做成这样了，做成这样了之后的话，你发现这里面当中有个问题啊，你这行列式等于多少？你这个a的行列式等于多少？你怎么做？没有关系嘛，我不是知道伴随的行列式吗？你想想是不是啊？我们都知道a的伴随的行列式，不就等于a的行列式的n- 1次方吗？

所以在这种当中，你可以算出伴随矩阵的行列式。伴随矩阵的话，它是一个什么？它是一个下三角啊，那这是个下三角的话，你发现一乘的话，刚好是几是八呀？等于a的行列是多少？四减一次方。所以在这种当中a的行列式立即出来了，就等于二。那等于二的话，这个人就简单了，你发现这是二倍的BA心比，

然后再加上六倍的一。是吧，做成这样了，你做成这样了，之后的话，你发现我要进行求谁求b，把它整理到一起二倍的b。减去a星b等于六一。所以说在这种当中啊，提出来这个b提出来之后的话，不可能是二减，它只能是2e减它。哎，等于六一。那么，

接下来过程当中，我们来看看则这个b等于多少？是不是可以把这个东西逆过去啊？那可不可逆呢？两人相乘等于k倍的e当然可逆啊，所以说就把它逆过去，六倍的2 e-a心。它的逆矩阵。能理解吧，好这个题啊，就做成这样了，所以说接下来过程当中我们的核心重点必须要进行去解出2 e-a星。那二e减去a星呢？二e是什么对角线都是二对角线，被二减二减二减被二减，

这是负六。其余人变成相反数，这是负一，这是零，然后这是零，这是三，这是零，上面都是零。就是这样的一个矩阵，那么接下来同学们，你来发现一个事情，你来看看那这个矩阵进行去求解什么东西呢？逆矩阵怎么求啊？你怎么求解呢？难道你要用公式法吗？

你要用公式法这个题就疯了。肯定不想用公式法，公式法每个位置的伴随矩阵，对吧伴呃呃，那个伴随矩阵每个位置的代数余子式都是三阶行列式。所以就非常麻烦了，我怎么做呢？非常的容易，我只能进行行变换，行变换的话，我就把这个人和什么情况和这个单位矩阵放到一起。啊，我们迅速来做，那么接下来过程当中，你看把这一行的1倍加下来，

零一倍加下来，这是一。把这第二行的负三倍加下来，这是零。负三倍加下来，这是零负三倍加下来啊，这是这个人。然后最后一行再同时乘上一个多少负六分之一负六分之一，这是它负六分之一，这是二分之一。负六分之一负的六分之一，所以说这个结果就变成了这个样子。你看这题多简单。所以说立即出来了，你发现前面这人变成单倍阵，

这不就是a1吗？所以在这个题当中啊，它就是六倍的幺零零零幺零零幺零幺零。零二分之一零负六分之一，你可以把六乘进去，你也可以不乘。很香吧，那这个方法又很好了。啊，有同学说那我将来过程当中，我就用行变换，你不要这样对吧？你不要你发现一个事情在短短的几分钟内，你你发现你来回的进行去变换你的这个想法。所以在这里面当中啊，

我还是那件事情，一定要注意啊，在具体题目当中啊，具体看。怎么去看呢？你就看看那里面当中的磷多不多？对吧，零多不多？如果零多的话，你发现你眼睛瞅一下它好变成单位帧，我就用它。它不好变成单位阵，我就用公式法就这么简单。那所以在这种当中的话，你很明显，

你看刚才这个题，这个题它很明显非常不好，变成单位帧。你零不多，你不好变呐。所以说像这个题的话，我就不喜欢这样用。而反而这个题的话，你发现看我只要轻轻松松把这两个数变成零，然后把这人变成一，他就变成单位整了。那非常简单，我就用行变换法。能听懂吧，好掌握清楚给我回复一。

啊，基本内容啊，这个非常重要。行吧嗯，会考呀。会考四级啊。四阶的话嗯，它是如果考了四阶啊，它都是非常巧妙的那种。我们考的那些题啊，都很巧妙。就是技巧性很强。你去看看我们的那些考题啊，它它有时候考到这种高阶的时候，它这个运算技巧性很强，

你就像刚才这个题。你像这个题的话，其实呃，这个题超过了我们考题的难度，但是我觉得这个题啊，我们在平时的运算过程当中去做呀，还是非常好的。你比如说我举个简单例子，我们考验过程当中就让你去求这个逆矩阵呢，你发现看你只需要把这两个元素变成零。那就非常非常容易了。啊，一定要注意啊，平时复习过程当中还是要大扎实啊。好，

那么接下来过程当中，我们再来看看下面这个题。好，再来看看下面这个题，那么下面这个题叫什么呢？下面这个题啊，叫解矩阵方程。对吧，如果这是as=b。我们要进行减s。当什么情况呢？它这个是如果这个a可逆的时候。那这个x就等于多少呢？那这个s不就等于左右两边啊，那个什么啊，

两边左乘上逆矩阵不就是a逆b吗？x就等于a逆b。这没问题吧，就说如果你这个a是可逆的时候，两边左成逆矩阵，那s就等于a逆b，我就把你逆过来了。那么，现在而言的话，你就发现这种东西怎么去算呢？我们的方向性很简单。第一，建筑方法硬算。怎么运算呢？把这个a逆算出来。

把b再两个相乘一下，是不是啊？哎，我当场就疯了。我就有点难受。那在这种当中的话，你发现有没有更好的方法呢？接下来过程当中，我们来讲一个小技巧性，唉，我们来看看一个小技巧。好同学们，你好好听一下。那么，在这种当中，

我们继续来推。如果我把a和b摆到一起。这叫什么？这叫分块矩阵吧。那这个分块矩阵的话，你发现我给它的两边左成个这个人。所乘个这个人的话，你就发。就相当于分配进去，哎，变成了这个人。变成这个人了，之后的话，你发现这是a逆，然后这是AB哎，

你第一个位置不就是e吗？你第二个位置不是吗？你要解的是什么？你要解的不就是a逆b吗？所以在这种当中，我们就得到了一个重点，你看这是a和b摆在一起。这是个逆矩阵。一个逆矩阵相当于若干个初等矩阵。而且是左臣，左臣就相当于让他进行了一次行若干次行变换。也就说什么意思呢？我这个人进行若干次行变换，只要第一个位置变成了e，第二个位置不就是a逆b吗？

所以你发现不就求出来了。所以像这种矩阵方程的求解，一定要稍微注意下。如果这个a是可逆的as=BA是可逆的s就等于a逆b，我怎么做呢？我就把a和b摆到一起，我进行行变换。我把第一个人变成单位帧，第二个位置就是a你b，那这个操作性你发现就非常的省时又省力。原本去求解这个逆矩阵，你就需要进行行变换，把那个人变成单位阵，你而且还要乘法，我现在怎么办？

我现在一起做了。我就把这个a和b摆在一起，摆在一起了之后的话，我进行行变换，我只要第一个位置是单位帧，那这人就是a你b。能理解吧，所以同学们注意我们刚才过程当中讲的那个性质是不是非常重要，非常非常重要，一个可逆矩阵。相当于若干个初等矩阵，那这个内容你一定要理解。对吧，我再强调一遍，这个基础班呢，

还是好好打牢这个基础。那么，在基础班的过程当中，最重要问题还是要学通。有人说啊，老师，我这个我我觉得好多东西我都给忘了，最近一段时间呢，这个复盘我也没有跟上。啊，因为这个课程的内容比较多一点，学校里面有很多事我没有跟上，那怎么办呢？我其实这个基础班呢，我不太想说这个事。

这样容易让很多同学是个负向。呃，其实我们到了强化班，我先说一下，强化班我怎么讲？我强化班过程当中最重要讲提醒。我强化班过程当中就是来带着同学们去刷题型。但是刷题型之前要不要复习基础知识点当然要，所以说我们在期强化班的时候的话，你发现第一个部分。啊，就是第一个板块，第一个板块的话，你发现我就会带着同学们进行去串知识点，这第一个部分，

然后第二个部分我再带着同学们去做。总结每种题型的做题方法，带着同学们进行去刷题，这是强化班内容。所以还会带着同学们再走一遍啊，还会再走一遍，其实你发现到了这个冲刺阶段。冲刺阶段，我们还能再走一遍，所以后面过程当中啊，我们还有两遍。啊，当然到了，做这个最后做模拟题的时候，今年的话，

我们三九六同学，我们到了后期的模拟题啊，这个量肯定是得多做一点。这是肯定的，所以这也是我们今年过程当中，我为什么这边出了十套卷子？啊，这十套卷子，所以到了那个模拟卷的时候还能有些重点的知识点，还能跟同学们再总结一下，所以后面还有好几篇。但是我每次我其实不太想说这个事，为什么我不说很多同学就以为我到了强化班过程当中直接讲题型，不复习这个知识点，不串这个知识点。

他在这个基础阶段的时候的话，他就把这个东西又复盘的很好了，然后到了这个强化班的过程当中，我再带着你复盘的时候，你会发现你会更好。我很喜欢这个，但是你发现这两天啊，很多同学这个这比较紧张，对吧啊？比较焦虑一点啊，所以说你们不用着急这个事儿。但是你不能懈怠，听懂我的意思吗？啊，你不能懈怠。

你强化班之前呢？我建议同学们，你还得再复习一遍啊。你最好能复盘一遍，我希望大家的话，这个最后啊，你能更好啊。好了，这是这个事吧，我们就说到这来，接下来继续，我们再来看。呃，我们的强化的时间是。7月5号到十号的那个样子，

我这两天正在跟那个数一数二数三的呃，他们的这个时间也差不多。这两天过程当中啊，我一直呃再统计一下这个，因为有些同学可能放假的早，有些学校放假的晚啊，到时候我们找一个综合的时间。找一个中和的时间的话，刚好是你们你们暑期的这个放假时间，你们不要着急，也不用继续去催这个强化班的，这样的一个时间。我先明确讲，我们的基础班非常的重要。你如果是数学复习的足够好，

你先进行复习逻辑和写作，能听懂我的意思吗？你不是没有事情干。啊，你不是没有事情干，我们这个基础班的东西讲的非常的多，你有没有把它消化到位，这是一个非常重要，所以说大家不要着急这个事情。你听懂我的意思吗啊，你要如果的话，你发现你觉得数学复习的很好，你还有一个逻辑和写作啊，逻辑应该是不是得先开始了啊？好了，

那么接下来过程当中，我们来看看这个题啊，来继续吧，看一下二点二五这个题。继续吧，来看这个题。七月中旬才放假吗？哦，这个今年都放这么晚吗？我发现这个今年的话。是因为那个啊，去年放的早，去年疫情期间的话确实放的早。今年的话，这个。

啊，正常时间的是吗？好吧，这两天我们正在统计，你也不用继续去着急这个事情。而且我们的强化班过程当中，重点在刷题型，它还是要依赖这些基本知识点，所以说把这个基础啊，好好打牢一点。好了，我们继续，我们再来看看二点二五这个题。来操作一下吧，来请。

怎么进行求解这个人呢？他让我们进行去求解矩阵方程as=b。那么，在这种当中，求解这个as等b啊，你可以进行去验一下，这个a是可逆的。啊，你可以进行检验一下，那这个a是可逆的。那么，进行区如果这个可逆的话，你发现s就等于a逆b。x=a逆b的话，难道要把a的逆矩阵求出来再相乘吗？

我觉得非常麻烦，我们可以怎么做呢？你把这个a和b摆在一起。摆在一起就是二幺负三。幺二负二，然后是负一三，然后这是二一负一，然后这是二零。这是负二，这是五。好，这个点那么接下来干嘛呢？我要把第一个位置变成单位阵。对吧，要把第一个位置变成单位矩阵。

那怎么把这人变成单位矩阵呢？哎，我们进行行变换。对吧，利用初等行变换，把它变成单位帧，这是一个非常重要的能力哦。那怎么做呢？你发现一个事情，第一列用谁消比较简单？是不是用第二行稍微简单，所以说把第二行换上去？然后把第一行换下来，换了就换了，掉换了就换了。

好了，这是这个事情。然后接下来过程当中，我们继续走。再往下来，然后接下来你看我就以第一行为基准。我负二倍加下来。减去上面二倍零，减去上面二倍负三，减去上面二倍呢，那这样变成一减去上面二倍呢，负三减上面二倍呢，负一。加下来零加下来五加下来零加下来零加下来五。好变成这样，

那么同学们想想，我可以把最后一行怎么办？同时乘上五分之一，同时除上个五就变成了一。是不是这个人，然后再来看这两人谁好消啊，很明显是下面这行好消用一进行去干负三简单用负三干一啊，非常麻烦，我就把它调上去。调上去了之后三倍加下来零三倍加下来，然后这人变成二。好，做成这样了，那么同学们想想现在这个人呢，已经画下来了。

现在就是往上干，往上干的话，你发现二倍加上去变成零二倍，加上去变成负四二倍，加上去，然后变成四。然后再来负二倍，加上去变成零负二倍，加上去，然后变成二，所以在这种当中你发现。前面这人变成单位阵，那这是谁呀？这就是我们要的a逆b。是不是这个事情，

所以在这种当中啊，你要注意这个问题啊，这种矩阵方程当a是可逆的时候s就等于a逆b。s=a逆b的话，你就发现只要把第一个位置变成单位帧，这样就变成了。这个运算量的话，你发现这个技巧应该是帮助大家进行去处理这种问题啊，省时省力，省了很多时间。因为我只需要把第一个位置变成单位帧，然后这个第二个位置就是一个什么，其实就是这个a逆b，你总不需要进行去求解逆矩阵了。然后再进行相乘了啊，

省时又省力，一定要注意这种方法。行吧，那么这个事儿我们就讲到这儿过去了，可以吗？那肯定不行的呀。哎，不要拿来主义。不要拿赖主义。我发现这个。你学啊，你有的时候你的问题啊，你原理学会了之后，你自己稍微的推一下，你都知道了。

你如果是这个样子呢，你s就等于BA逆了。是不这个事情，你这不是a逆b了？那所以说你要稍微的话，自己去推一下，你不信你试一下，你把a和b摆在一起，有人说那我在这边儿沉上逆矩阵，这能沉吗？你这个大体上是二二乘几呢，对吧？你看你这是一×2的，这是一×1的，你这乘不了嘛。

你从总体上看的话，这是一行两列，你这是一行一列，这咋能沉呢？这沉不了。你不要说把这个东西分配进去了，不要乱来哦。而且你发现个事儿，我讲这个东西我不说，我把这个东西直接给你，我这里面当中不是给了你原理吗？它只能进行航空变换。只能把a和b摆在一起进行行变换，能听懂吧诶这个事情。你乘以b逆的，

你要求的是BA逆，你乘b逆的话不就不是那个人了吗？啊，听听不太明白吗？不要乱创造。他说那我在这乘个b你，你乘b你也可以啊，你平移你b你a，然后的话，这是一。但是你你要去首先第一个事情。第一个问题的话是我要求的是这个人，不是这个人。这第一个问题，第二事情b都不是一个方阵，

怎么可能可逆啊？这不胡来吗？必不可逆的。b是一个三行两列的，所以大家注意不要胡乱创造。你发现我们已有的这些知识点，一定要把它灵活的应用。拥有了这些内容了之后啊，你发现你进行处理问题的时候就非常简单了。不要乱创造，千万不要乱来。好了，这个事情我们就讲到这。能听懂我的意思吗？下去过程当中，

你好好想想，不要乱创造，你看这个东西我都给你推过了嘛。对吧，推导都在这儿，稍微的推一下就行好，那么接下来过程当中稍微等会好吗啊，接下来的内容非常有意思。相当有意思，好，我们来看看线性代数当中的第一大基础运算能力。代数。中第一。基础运算能力好了，那么接下来过程当中，

我把这个东西讲完，对吧？你稍微等一会，我把这个东西讲完，一会过程当中，我们再继续。那就是利用。初等行变换法。将矩阵化为行阶梯矩阵。就是什么情况呢？就说我利用初等行变换注意啊，你最好用行变换。当然，一会我们讲的一些东西当中啊，它可以进行列变换，

但是你记清楚，我今天让你进行去利用行变换。我是有原因的。哎，我是有重要原因的。因为这个行变换跟将来我们学习的方程组是一个非常重要的体系。所以说，利用初等行变换法，将矩阵化为行阶梯矩阵，这是一个非常重要的能力，所以接下来过程当中啊，我们一起来看看这个事。好不好同学们呃，在这种当中啊？我来找一个矩阵吧，

找一个。叫我看看啊。找一个人来画一下。诶，比如说这个人。二点三零吧啊，先做这个。好，先来看看这个。呃，这个人非常有意思，我先来说一下我们的行变换有哪三种啊？注意下你进行的行变换有三种。第一事情调换两行，换了就换了。

第二，事情被乘。给某一行乘上倍数，乘了就乘了。第三个事情，贝加给某一行乘上k倍，加到另外一行。注意啊，你可以调换某两行。给某一行乘上一个数，你给某一行乘上个k倍加到另外一行。所以说有这三种，那么接下来过程当中怎么进行去划行阶梯呢？好，我们先来看看第一个事情，

大家注意。先来进行去看看这个矩阵。好，我们拿出这个矩阵。拿出矩阵呢，我们先来看看第一列。第一列谁最简单。用谁进行消减呢？用一消减呢？一消二一消三很简单，所以说一是我很喜欢的。一我喜欢，所以大家注意啊，它的第一步是这样，在首行选第一个非零元。

就说你这个人作为首行，在第一行当中找第一个非零元谁呀你？首航的第一个飞行员画竖线。注意啊，首行的第一个非零圆画竖线，不要背这个内容，我觉得没有什么意思，你听懂就行，首行的第一个非零圆画竖线。一旦画竖线，必须画横线。一旦画竖线，必须画横线。所以说，这个竖线的下面必须要变成零。

那么所以说在这种当中，我们就要把这个下面变成零。好负一，然后减去二倍零，减去二倍零，减去二倍负一，减去二倍，这是三，然后减去三倍零零，减去三倍，这是负二，减去三倍，这是六。那么，接下来过程当中，

我们一起来看。首行首个非零元化数型。首行首个非零圆画竖线，然后必须画横线，这个横线一直延长到第二个首个非零圆为止。来延长第二行，二行的首个飞行员就是这个人来画竖线。一旦画竖线，必须画横线，一定要把下面这人变成零来减去上面二倍零减去上面二倍变成零。好了，继续来看。走必须画横线，横线一直延长到什么？延长到第三行的首个飞行员，

结果第三行没有飞行员，一直画横线。能听得懂吗？好注意下这个事情，我再来说一遍。第一行的首个飞行员画竖线。首个非零圆画竖线，竖线必须画横线，横线下面都是零。横线下面都必须要变成零，然后这个横线一直延长到第二行的首个非零圆为止就行了。诶，这是这个问题。能理解吧呃，这个不难的哦，

这个基本内容。这个矩阵叫什么？这个矩阵叫行阶梯矩阵。所以我们在第二章的学习过程当中啊，基本上到这都行了，为了跟我们将来过程当中学习啊，形成一个体系，我们再讲一个矩阵。还有一个矩阵叫行最简矩阵好继续来。什么叫行最简矩阵呢？它是这样子的。找到阶梯口。找到阶梯口，阶梯口的人必须是一。阶梯口这一列只有我不为零，

别人都是零，我不知道同学们听懂了吗？好，我们先来看看，你看第一个人。这个阶梯口是一满足，而且阶梯口这一列只有我是一，别人都是零，满足好，我们先来看看这个人。阶梯口处必须是一好，我们一会儿要把它变成一第二事情这一列当中，只有我不为零，这个人必须，我们也要把它变成零，

所以你现在要做的工作就是要把这个人变成零。对吧，把这变成零的话非常简单，这是零零零多少负一三就是我们刚才讲的返销嘛，二倍加上去变成零。二倍加上去变成五一零。然后给这一行同时乘上负一乘上一个倍数，变成它，所以接下来过程呢，我们来画画一下，行阶梯变成这个人。所以你就会发现一个事情，你看阶梯口处，这是一这一列都是零阶梯口处，这是一这一列都是零，

所以说你发现一个事儿，这个东西叫。行最简震。行最简，行最简矩阵呢？我们需要需要拥有两个性质。第一性质阶梯口处的必须是一该列当中只有阶梯口处是一，其余全是零。所以大家注意啊，这个能力非常重要。我们的考研过程当中啊，一定会考方程组。必须出方程组，那既然一定会出方程组的话，你发现就一定会出这种类型问题。

这是你要注意的。利用初等行变换法，将矩阵变成行阶梯矩阵啊，这个非常重要。过去了，可以吗？好下去过程当中啊，好好想想这个事啊。行吧，那么这是我们在这里当中啊，出题的这个问题啊，下去好好琢磨琢磨。呃，然后你下课有时间呢，我们再来做一个题，

我来找一个。啊，可以去了，我再找一个题。你们来做一下。呃，找一个这个什么？找一个。这个题吧。好找一个这个题做一下。下课过程当中去做一下这个事情。把这个矩阵变成行阶梯以及行最简。好，我们稍微休息会儿吧，一会儿我们继续可以吗？

今天的麦听起来有点闷吗？跟平时过程当中不一样吗？啊，你们下次这个这个话筒的时候，你一定要告诉我。啊。好的好的啊，因为有可能因为昨天晚上上课就是。啊，有可能的话，你发现一个事儿，就是有可能用了那个电脑的那个麦啊。好，我们稍微休息会儿吧，一会儿我们继续啊。

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