05.矩阵的秩-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:55:31

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题啊，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始，我们三九六的金棕数学的线性代数的课程呃，上次过程当中啊，我们应该是讲了一些非常重点的内容。尤其是我们上次过程当中啊，讲的伴随矩阵，还有这里面当中的逆矩阵的求解性问题呃，

那么今天过程当中啊呃，这个上次过程当中我是不是发了一个这个？我把这个东西啊发给你们了，填空版的对吧？就是这个填空的记忆的，我看了一下，这个填的还挺好的，对吧啊？这个尤其是我稍微的话进行看到有些同学，我估计没有看到啊，这个有点不好意思。我看到了，这个有俩同学啊，填的还真非常好，字儿也写的非常的工整啊，

里面当中内容啊，写的也非常的完善。呃，这俩同学啊。你下去可以私信一下我，可以吧啊，这俩同学后面过程当中啊，你看看你是要那个必胜套装呢，还是后面的过程当中新出版那个书的啊这个？签名版的一个书，到时候我们再给你寄过去好了，那么接下来过程当中啊，我们就继续来看后面过程当中啊，我可以把这两个同学写的这个东西啊，作为一个模板。

然后给同学们传到那个APP上，然后你们可以进行去对照一下，好吧好了，那么接下来过程当中，我们就直接开始，我们先来看看上次过程当中的核心内容。好了，我们先来看看第一个问题，稍微回顾一下呃，之前部分的内容。我们就不看了，我们的重点，我们从那个什么从这个伴随矩阵开始。伴随矩阵呢，这个内容的问题啊，

是一个非常重要的内容，那么在这个当中有几个事情呢？第一个事情就是定义。对吧，定义其实就是计算。你知道这个人的定义，你就要会算他们，所以说在这里面当中的第一件事情必须要会进行去计算，伴随矩阵。那这样，这个东西就是什么耐心一点就行了，你慢慢算就行，但是如果是一个二阶的情况呢？主对角线调换位置，副对角线加符号，

你把这东西啊，就算出来了。但是如果是个三阶的，你稍微慢慢算对吧？一点点的把它算清楚就行好了，这是个基本问题啊，肯定不卡啊，你们稍微的调整一下那个。昨天晚上。原本是有那个什么那个美日记啊，昨天晚上应该是数一数二数三同学的课程结束了之后，我们还有个那个美日记，昨天那个网速特别的卡。把我都卡慌了啊，然后今天过程当中，

我专门看了一下这个网速，问题不大好了，那么这是这样的一个第一个事情，然后接下来过程当中，我们再来看看第二个问题。万能公式是重点。对吧，万能公式那么在这里面当中啊，你要注意几个问题呢，就说这个万能公式啊，第一个事情公式肯定要记住。a乘上a的伴随就等于a的伴随，乘上a就等于a的行列式，乘上一那这个东西也有个非常好的一个事情。什么事情呢？

一旦这个东西和这个东西相碰。你发现一个事情，它就立即变成了一个数，再乘上单位整，所以说这件事情啊，非常的简单，想干掉这个伴随用a。想干掉这个a用伴随啊，这是一个非常好的一个操纵，然后接下来过程当中，我们还讲了一个非常重要的事情，一个经验。你还记得有一个题吗？那个题非常好，就说我们告诉了什么情况，

每个点处的代数，余子式会等于该点处的值。那这个时候你发现就推出什么这个东西组成伴随吧，这个东西组成a吧，但是两者之间呈转置关系。啊，这是一个非常重要的一种，你下去过程当中啊，好好想想好，这是我们在上次过程当中啊，讲的第一件事情，然后再来看看第二事情逆矩阵。啊逆矩阵首先第一件事情，逆矩阵必须是方阵。如果这个东西不是方阵，

我们就不谈逆矩阵，必须是个方阵，所以说首先第一个问题，这个人的定义是不是很重要？对吧，定义那定义怎么说的呢？就说如果两个方阵，两个方阵相乘，是等于单位阵。那彼此之间，互为逆矩阵，那这时候就可以说a的逆矩阵是b，也可以说b的逆矩阵就是a。对吧，互为逆矩阵，

当这两个东西的话，你发现互逆的时候呢？互逆的时候我们都知道a×a逆就等于a逆乘上a。然后就等于单位帧，如果这个人和他的一个逆矩阵，他这两者之间就可以交换。一定要注意啊，如果这个东西是它的逆矩阵，两者之间就可以交换好了，这是我们讲的这个第一个问题，然后紧接着过程当中，我们又讲了第二事情。那就是什么判例？可逆性的判定。一个矩阵到底可不可逆呢？

怎么进行判定呢？它的核心判断方法是，如果这个矩阵是可逆的，它的充要条件当然是这个行列式啊，不为零。如果这个行列式等于零，那这个人呢？就不可逆，一定要注意啊，判断可逆性的第一标准就是看行列式为不为零。那还有一个问题，如果一个矩阵不为零，能推出这个行列式不为零吗？能不能哎，这件事情是不行的，

矩阵不为零的意思，就说它的所有的元素不全为零。只要你不全为零，你就不为零，但是行列式呢，你要算出来这个人结果啊，这是要注意的问题，好了，这是我们讲的这个第二点。然后接下来过程当中，我们再来看看第三个点，第三个点就是一些性质啊，这个性质比较多一点，你比如说在这里面当中，我们说什么腻了再腻。

是本身吧k倍的a的逆呢，那就是k分之一a的逆，然后这是a乘b的逆呢，就等于b的逆乘上a的逆。然后在这里面当中还有a的逆的行列式呢，就等于行列式分之一没问题吧，另外事情啊，就是这个伴随矩阵呢，你要来来回回进行去。这个万能公式啊，来来回回回转那，所以说第三个事情就是计算方法。计算方法的话，在这里面当中，我们上节课讲了一个东西，

叫做公式法。对吧，公式法你还记得吗？那公式法这个内容它怎么算的呢？它这样算，如果计算逆矩阵就等于行列式分之1a的伴随。那它的核心就是计算两个人，一个事情是计算它的行列式，一个事情就是计算它的伴随矩阵，所以说这两个问题啊，都非常重要。好了，这是我们的计算方法，当然在这里面当中啊，我们还讲了几个什么几组对照的公式。

还记得吗啊，就说那个东西，比如说两者之间a×b的转置，伴随逆矩阵等等一些问题。或者是什么？两个人相相加，只有这个转置才能把它拆开，然后这里面当中啊，还有第三个事情怎么了？啊嗯。什么看不到人呢？呃，在这里面当中啊，还有第三个事情，第三个事情呢，

就是那个心，还有那个逆，还有那个转置三者之间呢，可以互相交换。对吧，这都是我们在上次过程当中讲的一些重点内容，那么接下来过程当中啊，我们再来看几个问题好了，同学们要注意啊。几个注意点。啊，几个注意点，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个问题。啊，

怎么了？没有问题吧？好了，我们就直接开始啊，是看不到我吗？啊，没问题是吧？好了，我们接下来过程当中，我们继续看，那么今天过程当中，我们再看。矩阵无三大类。哎，注意啊，

矩阵之间呢，是没有三大律的，那么这个当中我们先来看看第一个事情矩阵，没有什么东西呢。好，我们先复习一下第一个人矩阵，无什么东西啊，无交换。然后接下来过程当中，我们再看这个事情，区域帧无什么东西呢？零音字律。对吧，零因子。然后接下来过程当中，

我们再来看看第三个事情，区域阵没有什么东西呢，无这个什么哎，这个消去率。所以说在这个矩阵当中啊，它没有这三大律，那么接下来过程当中，我们一起来重点来看看啊，今天过程当中啊。稍微调整一下呢，它就有了。那么，首先第一个问题啊，那当然是这样。就说在这种当中，

一般情况下AB是不会等于BA的啊，这个没有任何问题。他一直都没有交换律。只有一些特殊的，你发现一个事情啊，这个里面当中啊，有些特殊的，它是天然可交换的。对吧，有些特殊的，它是天然科学化，你比如说这里面当中啊，我们讲过这个事情a什么东西啊，与这个伴随。a什么东西啊，

与这个a逆还有什么东西啊？a与这个damage。那这是天然可交换的，那么接下来过程当中，我们再来看看磷因子。零子律是什么问题呢？他就这样说说，如果在这里面当中啊，你发现AB=0。而且你会发现一个事情a也不等于零，请告诉我事情能推出来b=0吗？能不能你自己想想一个事情，我们在讲义当中有一种题。两个矩阵都不是为零的矩阵，两个矩阵都是非零矩阵，

但是一乘呢，最后结果等于零，你还记得那个事情吗？俩人都不为零，但是俩人一乘，最后等于零。能理解吧，这件事情绝对不行，但是同学们，你看啊，我改一下，你稍微细心一点，有的时候考试过程当中，他可能这样考。我稍微改一下，

如果AB=0。且什么情况a的行列式不为零呢？能不能推出b等礼？能不能啊？这跟曲同取行列式没有关系啊，别别别胡扯啊，千万别胡扯。好了，我们再来看看那这个行列式不为零可不可以啊？为什么可以呢？告诉我一件事情，为什么可以啊？那怎么行列式不为零，这个人就可以了？有人说，

那给这个人同取行列式。所以说等于a的行列式乘上b的行列式。注意不是这个意思，不是这个意思，别别别，胡来啊。那告诉我事情，如果这个行列式不为零，那请告诉我一声，这个东西啊，可以还是不可以？可不可以啊？可以这东西啊，没有问题。那为什么是可以的呢？

大家注意一个问题，可以走什么路线？这个时候就能推出a是可逆的了。如果这个行列式不为0a，这个矩阵就可逆，那既然的话，你发现个事情a这个矩阵可逆。我给这个矩阵两边同时怎么了？左乘上逆矩阵。左乘上逆矩阵的话，你发现零乘逆矩阵还是它，那这个时候这两者一消就变成了BB=0。你看这件事情就可以了。所以说大家注意一下这个问题啊，基本点，

然后再来看看第三件事情，继续来看。原来上课过程当中，我们讲过这事情，如果AB=AC，而且你发现这个a不为零。请告诉我能不能推出b=c啊？能不能也是不行的，你回想下我们上课给的那个例子。那这个a是不为零的，然后BC也不相等，但是咔的一沉，最后相等，所以说这件事情是绝对不行的。但是这里面当中，

你说如果把这东西改一下，我AB=AC，我切什么东西啊，我切这个行列式不为零呢。那可不可以呢？哎，这件事情就可以了，为什么如果这个行列式不为零就可以说明这个东西是可逆？如果这人可逆，两边左成个逆矩阵，左成个逆矩阵，那这东西就没了，因此这个b啊就。就等于c你发现是不是就可以了？所以说大家注意这个问题啊，

他走的是可逆的路线。如果行列式不为零，那这个矩阵一定是可逆，所以说在这个点当中一定要区分开，你要区分开一个事情就是。矩阵不为零和这个什么东西呢？行列式不为零还真不一样。行列式不为零的时候，那这个矩阵就可逆了。对吧，矩阵不为零呢，那说不清楚，一定要想清楚啊，这个基本点好了，那么这个事儿我们就讲到这儿，

所以说你今天过程当中再回看这个矩阵的三大律啊，我相信你会更加的清楚一点。好，那么这个题啊，我们就讲到这儿呃，上次过程当中是不是还预留了一个题，二点一五这个题啊，那么接下来过程当中我们来把这个题啊，我们来讲讲。来看看这个人。那么，在这里当中，他说了一个事情，给了一个矩阵a，我先说一下啊，

这个题的运算量是超过我们考研过程当中考的，这个事情的。我们考研过程当中考那个运算量不会达到这个能力。但是你要注意啊，也就说比这个东西要小一点点。那我们练这个题呢，其实就是增加自己的运算能力，这是在我们基础班过程当中啊，是非常重要的。那么等你到了这个强化班的过程当中，你看到那些题啊，基本上就跟我们的考题的形式啊，都很像，所以说我一而再再而三的给你讲一个事情。就是我们这本基础讲义啊。

就这边基础讲义。你会发现一个事情，这个讲义里面当中有好多你会发现一个事情，比如说填空题，比如说解答题。对吧，你见过好多这种题，这是因为我们在基础阶段的学习过程当中最重要的问题，就是要把基本知识点学清楚。但是我们考研过程当中都是选择题，但是在这个基础阶段呢，一定要打好基础，那么接下来过程当中我们来练习一下这个点。来看看这个题吧。好，

先看这个题。那么，在这种当中啊，它给的a。你要注意啊，给的a，然后说这个x啊，满足了这样的一个式子。然后这里面当中给了一个伴随，让我们去求解x。啊，像这种东西啊，就叫解矩阵方程，我们非常喜欢考解这种矩阵方程。我们考的这些矩矩阵方程，

其实我们很喜欢考二阶就考的，不是说那么的难啊，非常的基础，那么做这个题啊，我相信也不过分啊。来看一下这个题，那么有些同学你发现走这样一条路线，他怎么做呢？他说我知道a就可以求出这个人了。我知道这个a就可以求这个人呢？你发现一个事情，你看我们就把这个人求出来。我们就把这个人可以求出来，这俩人都求出来，然后再进行去减s，

那疯了对吧？声音小不小？声音很小吗？声音应该没有问题吧啊，因为我下午才上了一节课啊。好了，这是这个问题，所以说在这个题当中啊，你发现如果在这种当中，你求这个人，你再求这个人，你把这两个人都求出来，这题你也别做了。这时间太你发现花费的太长了，我们怎么做呢？

大家一定要注意，我们在这个题当中啊，你喜欢的是a。你并不会喜欢这个伴随你，也不会喜欢这个逆的。所以说在这里面当中，我们怎么操作呢？首先第一件事情，我想干掉他。怎么干掉他呢？我可以这样办这个东西，可以通过什么东西啊？可以通过a干掉他这两个东西，一乘就变成单位整。是吧，

首先第一件事情，两边组成个a，组成个a的话，你发现还有一个好处呢，这个伴随也干掉了，就变成了a的行列式乘上一。所以首先第一件事情给他两边，同时左乘上他，左乘个a，左乘个a了之后的话，他就变成了这个人。然后再加上二倍的ax。那么，做成这个情况了之后的话，你就发现这个人就是a的行列式乘上一，

因为有矩阵不用写一，然后这两个东西一乘就变成了一二倍的多少ax？是不写成这个情况，然后接下来过程当中，我们再来看看这个a的这个行列式，把a的行列式我们求一下。a的行列式，我们以第一行为基准，我们加下来加下来是零，加下来是二，加下来是零，然后的话你发现减去上面。减去上面是负二，减去上面的话，你发现变成是二，

所以说这个行列式啊，就等于四四这个人是不为零啊。那因此你发现这个矩阵呢，它是可逆的啊，当然的话，在这里面当中写的逆矩阵，它肯定可逆的，所以说这个结果是四倍的，它等于一。然后再是2a倍的x，那么接下来怎么办呢？你就把这个人提过去对吧？减过去2 as=1。那么，接下来怎么办呢？

把这里面当中二提出来，二提出来就是2s，再减去多少as？那这时候怎么办？再把s提出去s提出去了之后的话，你发现这个人就是减这人就是二，然后再减a2，怎么能减a呢？来工具人就来了。能想清楚吗？基本问题啊，都是这样操作，就说我们这个人当中不喜欢这个人，也不喜欢这个人，我们就想干掉这个人。

通过乘上a啊，就能把它干掉。好了，那么接下来过程当中，我们就继续，我们再来看，那然后怎么做呢？你可以把这个二先怎么办？除过去那这个除过去了之后的话，这不是2 e-a乘上s等于多少？等于二分之一e嘛。那么，接下来再怎么办？你再把这个人逆过去吧，所以说这个s等于多少s就等于二分之一，

然后是二e减a。逆矩阵只要你能算出来，这个人的逆矩阵，那这题啊，我们就正式结束了。所以你看，这就是我们这个题，对吧？基本点。那这个题的话，你发现你这样做，我是有点别扭，有一点点问题，我就想很想问一个事情，你说你把这个东西逆过去。

大家注意啊，你把这个东西逆过去，这个矩阵到底可逆还是不可逆呢？你不是说把这个人逆过去吗？你这个矩阵到底可逆还是不可逆呢？对吧，你到底可逆还是不可逆呢？那这就是一个问题啊。所以说我们是不是要求行列式啊，不用大家注意啊，不用这样来。如果你在这种当中啊，求行列式这个东西就做麻烦了，大家注意啊，非常的简单，

你会发现这不就告诉了两个方阵吗？两个方阵相乘等于一，那这两针的之间呢？彼此互为逆矩阵呢？本来就可逆，所以说同学们注意啊，不用记心算，眼睛一漂就出来了。好了，这是这个问题，那么接下来过程当中，我们的核心重点干嘛？核心重点就是来计算这人的逆矩阵。那么，首先第一件事情，

先把这个矩阵先写出来。那这个矩阵是多少呢？那2e呢？就是对角线都是二对角线都是二减它，那就变成了一一一。然后再减去这个人呢，变成相反数负一一负一，然后这个人变成相反数，这是幺幺，然后这是负一。好，这是这个问题，那么接下来过程当中，我们再使用这个公式法，把这个东西的逆矩阵呢，

求解一下就行，所以说在这种当中，马上把这个人的行列式先求一下。那么，在这种当中。哎呀，我都觉得这个大家问的这个问题啊，你说这都不叫问题。说这个东西为什么要把二提出去，把二提出去不就是好算吗？你这种提供因子，你去问问对吧？你这个学小学的这个表弟，你问问他这这不是个基本数学素养吗？那么，

这个有公因子，你为啥不提啊？你偏要放到里面算。那比如说有一天过程当中，你算100再减去200，它你还要硬着杠吗？对吧，没有必要吧，你肯定要把100提出去嘛，就非常简单了好了，那么接下来过程当中我们就继续，我们再来看那这个行列式是多少一负一一。减去上面是零，减去上面二，减去上面负二，

然后加下来零，加下来零，加下来二，那这人等于四。所以说在这种当中啊，这个行列式出来了，然后接下来过程当中，我们再来看那这个东西的伴随矩阵等于多少呢？来，我们继续来算一下。伴随矩阵，首先这里面当中啊，去掉这行这列，然后算一下帧是多少帧是二？然后再来算算这个人。

对吧，这个人那这个人是多少？这是一这是一那这是零。那么再来算一下第三个人，第三个人的话，你发现这是一那这人是二。这有什么打点的，你别打了对吧？这是我在计算呢，然后再来看看这个人，这是负一再减它，这是负二负二的话，你发现因为这是负的，那就是正二。然后再来看看中间这个人，

那中间这个人的话，你发现这一减呢，他是二。然后再来看看最后一个人，这个人的话，你发现这是零。对吧，基本点，然后再看这个人，那这人是几呢？真是零。然后再来看看这个中间这个人，中间这个人的话，你发现这是负二负负得正，这是二，

然后再看最后一个人啊，最后一个人也是二。好了吧，这是这个问题，因此你会发现这是二分之一，那这个人呢？那这人的伴随矩阵呢？是他行列式是他来看逆矩阵。行列式分之一，然后再来看看这个人二二零零二二，然后是二零二。好，这个结果跟得上我的意思吗？所以你下去过程当中啊，你再看看很多同学有问一个问题啊，

说这个东西需不需要写进去啊？不用关心这个事情。我们考的都是选择题，那个选择题如果是沉进去就沉进去，如果不沉进去就不沉进去，所以这不是你纠结的点啊。好了，这个题啊，我们就讲解到这二点一五这个题。过去了，可以吗？所以说大家注意，这叫解矩阵方程。矩阵方程的求解。所以说将来过程当中啊，

我们考研的时候啊，如果见到这种矩阵方程的求解，一定要稍微注意一下这个考点叫做。矩阵矩阵方程的求解型问题，你像这种类型问题啊。大家注意一个事情，不要硬着干啊，所以说第一件事情一定要是先化简。先利用。矩阵的运算。进行化解。对吧，先利用矩阵的运算，先进行化简，然后再来进行求解，

那后续过程当中的内容不就是一个计算性的内容吗？所以说这个点呢，我们就说到这啊，第二件事情，那就是计算。计算结果就行。哎，键盘。这么调皮吗啊？好了，这是这个点吧，我们就讲到这儿，所以说大家注意啊，这种矩阵方程的求解啊，是非常重要的。

对吧，第一件事情利用矩阵运算进行化简，然后第二件事情你再求出这个人，结果这在我们三九六同学的考题当中考的还是比较多的。啊，这是你要注意的，好了，这个事情我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们正式来看看今天的重点内容，第二节。方块矩阵。那么，其实我们在这两天过程当中啊，所上课的部分的内容其实都是在干一个事情，

都是在干什么事情呢？学习什么叫矩阵？学习一些特殊矩阵，学习矩阵的运算，其实我们学了好多运算呐，你比如说你思考一下，你回忆一下这里面当中有多少？我们可以说矩阵相等，怎么算？矩阵的加法怎么来？矩阵的速乘怎么来？矩阵的乘法怎么来？恩次幂怎么来转置怎么来？伴随怎么来？逆矩阵怎么来？

是不是啊？在这里面当中还有这个矩阵的行列式，怎么来？学了好多类型问题。所以下去过程当中啊，把它整理一下这个内容，该记的要记啊。可能记忆的东西啊，比较多一点，你就每天过程当中把我们上次给你发的这个PDF文档，你把它填了之后啊，你每天多复习，我相信问题点就不大。好了，那么接下来过程当中，

我们来看看第二节分块矩阵。啊，分块矩阵，那么接下来过程当中，在正式讲之前呢？我先来讲讲什么叫做分块矩阵。啊，什么叫分块矩阵？那么同学们想想一个事情，什么叫矩阵呢？矩阵是什么？矩阵是个数表吧？你比如说举个例子，我们在这里面当中写了个一二三四五。然后这是一二零一二。

然后这是五六七八九。四一二二一哦，我随便写的，我胡乱写的。那这是个数表。我们研究的时候的话，你发现这就是一个整体。对吧，这是个整体，那我想问你个事情，同学们，我原来过程当中讲过这个事情，我通过一个括号把这个矩阵括起来。这个括号具有运算价值吗？他不具有。

你这个括号拥有什么运算价值啊？没有什么运算价值，这个括号就想说明你们就是一个整体。对吧，你们是一个整体。所以说在这种当中，这就是一个完整的一个整体。那么，这个整体的话，你发现我可以把它切割呀。这是一个大大的班集体，你可以把这个大的班集体再分成一些小的小组啊。对吧，在这种当中，你发现一个事，

我可以这样来。哎，我这样进行去分享。我就把这个班集体啊，分成了四个小组。这就是第一个，这个什么数表，那同学们想想一个问题，你看这个东西也是个数表吧？对吧，是数是表是数表，那这是个数表的话，同学们想想这是不是也是个矩阵呐？没问题吧？哎，

这也是个矩阵，然后这也是个数表，这也是个矩阵，然后这也是个数表，这也是个矩阵。然后这是个数表，这也是个矩阵。所以说在这种当中，你发现一个事情，你就把这个什么情况把这个大的这个班集体分成了四个小块，这是第一个矩阵。第二矩阵，第三个矩阵，第四个矩阵。有没有问题啊？

这个非常简单啊。那接下来过程当中，我问你个事情，这个虚线有价值吗？有没有价值？就这点，当中我们画的这个虚线呢。虚线没有价值。注意哦，这个虚线不画行不行？就说这个虚线我不画行不行？可以啊。这个虚线就是为了给你看的，我画就是为了给你看的，你画给你自己看，

还是给这个？啊，改卷老师看那都无所谓。所以在这种当中，如果你做题的时候，你知道这是这一块，你就不用画能理解吧，哎，这个虚线是没有任何作用的。那么，接下来过程当中，你这是这样写。那这里面当中，我还可以换着切啊，你看这是一个矩阵，

你这是第一种切法。那这里面当中我有无数多种缺乏，我还可以怎么写？我还可以这样写。我这样切行不行？也可以啊，那么在这种当中，你发现这也是个数表，这是个矩阵啊，那么这里面当中我们换一下吧，假设你发现这是个数表，这是个矩阵。这是个数表，这也是个矩阵，这是个数表，

这是矩阵，这是个数表，这也是矩阵，所以说在这种当中，你就会发现一个事情，我也可以把它切成多少。a2B2C2d2的这种形式啊。是不是这种情况，所以你看看就做成这样了。没问题吧，当然在这种当中的话，你还可以怎么切？大家注意，这里面当中啊，有两种切法是最重要的。

怎么切呢？最重要的进行去切法就是如果在这种当中的话，你去看，我可以看一列一列一列的。那怎么切呢？我这样切。哎，这样就行。我喜欢看他的裂。对不对？我可以看它的列，我就把这个矩阵呢分成了好多列，那这种列啊，就叫列分块阵。裂缝块矩阵是考研当中的重点，

裂缝块阵那这个裂缝块阵的话，你发现一个事情，这每一列是不是个列矩阵呢？大家注意，这就是个列矩阵，把这一列的这个矩阵叫阿尔法一行不行？这一列的这个矩阵叫阿尔法二，这一列这个矩阵叫阿尔法三，这一列矩阵阿尔法四，这个矩阵叫阿尔法五，所以说你发现一个事情。这个人是不是可以写成阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，阿尔法四，

阿尔法五啊？没问题吧，我把这一列这个矩阵就叫阿尔法五嘛，我把这个矩阵叫阿尔法四有没有问题啊？没问题吧，你要注意，当你看到了阿尔法一，就相当于看到了这一列，当你看到了阿尔法二，就相当于看到这一列。当然，这里面当中还有一种切分方法，你们上课记笔记，你这块听就行了，你来不及记的，

你没有我这块写的快的吧？好了，我们再来看看这个人还可以，怎么切呢？还可以这样切。横着亲。对吧，你可以横着写。横着切，然后在这种当中啊，你怎么办呢？你把这一列叫贝塔一。这个矩阵叫杯大二，这个矩阵叫杯大三，这个矩阵叫杯大四，

所以说这个时候的话，你发现你可以把这个矩阵写成什么样子？写成北大一，北大二，北大三，北大四。每当在这种当中啊，我看到了背大衣，看到背大衣就看到了第一行。看到北大二，就相当于看到第二行，看到北大三，就相当于第三行，看到北大四，就相当于第四行。

没问题吧？好了，所以说在这种当中啊，马上出来，这个东西叫什么叫行分块帧？啊行，分块站。上面这个东西啊，叫做裂缝挂针，下面这个东西啊，叫行缝挂针好了，这是这个事情，能听懂我的意思吗啊？好了，这是我们在这里当中啊，

讲的这个几个事情，就说你的这个切分方法是非常多的。对吧，你想怎么切就怎么切，就是我一切分。你小的这个部分，你还不是一个矩阵吗？你是个表对吧？而且的话，你是个数表，你还不是个矩阵嘛，但是有一个问题哦。你不要胡切对吧？有些同学这个思维方式比较发散，说老师那我如果怎么办呢？

你看我这样切呢？行不行？你胡来。你这切的是一个什么鬼啊？那你告诉我个事情，你这个部分是矩阵吗？这是矩阵吗？大家注意，矩阵必须是一个什么？必须是个矩形。能听懂我的意思吗？你这是个矩阵吗？你这不是矩阵呐，你这什么鬼呀，你把它给我写下来，

一二一二五六七四。四一二这啥玩意儿？不要乱来，所以说在这里面当中啊，一定要注意啊，每一块必须是个矩形。对吧，每一块必须是个矩形，你这切你就胡切了好，这是这个问题，理论很简单吧，为什么这样呢？因为我们都知道。矩阵是一个数表，那个整体那个括号其实作用是什么呢？

就是说它们是一个整体。能理解吧，哎，这个基本问题。那么，接下来过程当中，我们来看一个第一个事情就是分块矩阵的这个运算好，我们先来看看第一个考点分块矩阵呢。怎么运算？先看第一个信息。加减法啊，加减法那么首先我们先来看看第一个问题，你告诉我个事儿，如果这里面当中的话，你发现看这个a和这个b能相加。

a和这个b能进可进行相加，这两个东西必须同行吧？你不同行，怎么相加？所以说这两个东西啊，必须同行。然后接下来过程当中，把这个a切分成这样b切分成这样。然后相加呢？相加就是对应相加。相加就是对应相加。那大家想想一个问题，原本这两个矩阵相加，就是每一个元素相加，你这个子块相加呢？

子块相加，就是每一块相加。此块相加，就是每块相加，这合起来不就是所有人相加吗？所以这就是这样的一个问题，但是这里面当中啊，你要注意一个事情。注意一个什么事情呢，就这样的一个问题，我举个简单例子。就说如果这里面当中a，比如说举个例子是这个人。好，我们来写一下，

比如说这是一二四。二一五。一二三。四幺二这辆东西能不能相加？可以相加吧？那这辆东西可以相加，但是有个同学说，哎，我这个人是这样分。我这个人是这样分你这样分的话，你发现这是a1，然后这是多少？你这是a1，这是b1。然后这个部分是多少？

这是a2b2，但是同学们注意你这样东西还能相加吗？你这个a 1+a 2b。a+b二，这还能做吗？这就做错了。为什么你这个小的这个部分也得能相加？能听懂我的意思吗？所以说采用的这种分块的形式啊，是一样的，但是同学们，你不用纠结这个事情。你听好了，你不用纠结这个事情，为什么你是个做题人？

大家知道你是个做题的人，你不是个出题人。这件事情是出题人去想的事情。就是我在出题的过程当中，我一定要保证一个事情，你分的这个子块也得能相加。对吧，但是我们是做题人，我们做题人怎么办呢？你拿到这个题你做就行了，他说能加你就加。对吧，他说能成你就成，他说能干什么你就干什么，你听得懂我的意思吗？

他都会把这个东西啊，设置好的。你听清楚我的意思吗？所以说这不是你去纠结的问题，好了，这是我们讲的这个第一件事情，所以说你只需要明白一个问题。如果这两个矩阵相加减，就是它们的此块对应相加减。这个内容跟我们原来一样不一样一样的，你可以把这个子块就当做成原来的，就是对应相加减就行。跟原来是一样的，然后再来看看速成。速成这个东西啊，

它也是一样的。你看这个速成。如果在这里面当中啊，这个矩阵乘上个数就给这每一个子块都乘上个数，每一个子块乘上个数就是给每一个人都乘上数。综合起来就是给每一个人乘上个数。所以这个东西啊，也是一样的，跟原来一模一样的好了，那么接下来过程当中，我们再来看看乘法。好先看乘法，那乘法这里面当中啊，我稍微的写一个，比如说我举个例子a跟b相乘。

大家琢磨一个问题啊，如果这个a能跟b相乘，一定是a的列数，跟b的行数是一样的吧？你前面这个人的列跟后面的行是一样的。它必须要保证一样。那么，接下来过程当中，我们来看看第一个事情，你去切分了。你切分了之后的话，这是a1a2a3，然后这是a4，这是a5。这是a6好，

你切分了，你把这个人切成这样，大家注意，如果你进行这样切，你从大体上必须也得成。如果我从大体上看，这个人只有三列。原本我应该有很多列，但是我通过这样的分法把它分成了三列，从大体上看，它就是三列。如果你要想进行沉从大体上，你必须要有三行。能听懂我的意思吗？你必须这个东西啊，

跟我是相互呼应的。哎，这是b5，然后这是b6，这两者必须相互互因，所以说从大体上角度上而言，你这两者必须要能相乘。然后接下来过程当中，我们再来看看怎么去乘呢？好去乘一下，那就是第一行第一列。第一行第一列a1b1，但是要注意了a1b1就是a1b1，千万不要把这个东西写成多少呢？把这东西写成b1a1。

这不行，一定是aeb。一定是a1b，因为这个乘法没有交换律，然后再加上多少，再加上a2b3，然后再加上a3b5。然后接下来过程当中，我们继续看第一行第二列，那就是a1b2。a2b4。然后是a3b6。能理解我的意思吗？好，这是这个问题，

但是这里面当中啊，还得进行去注意一个信息点。大家想想一个事情，你这是一个小块矩阵吧？你这也是个矩阵相乘呐，你这也是个矩阵相乘，你是不是得保证这个人的列等于这个人的行啊？然后的话，你发现你得保证这个人的列等于这人行，这人的列等于这人行，这人列，这人列，这人列都等于后面的行。你是不是也得保证，但是你发现这件事情就稍不得麻烦了。

你想想是不是啊？有点麻烦了，所以我们在做题的过程当中，这件事情如果我们去分，当然麻烦，还是那件事情，你是个做题人。就贼简单了。如果你是进行去出题的时候，你要进行面面俱到，你要保证一个事情大体上这个东西啊，分开的这个东西能成。小的这个部分呢，也能成，但是你是个做题人，

你就不用纠结这个事情了。所以说大家你去学习啊，就贼简单。怎么办呢？拿到这个题的时候，他说能沉你就沉，他说能干什么你就干什么啊，这个事情就非常非常的简单了。好了，那么接下来过程当中，我们把剩下的写下来，第二行第一列a4b1，然后这是a5b3。然后再来a6b5。然后最后一个事情，

那就是第二行第二列a4b2，然后这是a5b4，然后这是a6b6。好，这个人能听得懂我的意思吗？所以说这个结果啊，他就一定把它做成了这个样子。你看吧，两个矩阵相乘，所以说在这里面当中啊，就是几个事情呢，第一事情大体你得符合条件。局部也得符合条件。而做乘法的思路呢，跟原来过程当中是一模一样。

所以你可以看出来这三件事情跟原来学的一样不一样，一模一样。加减法对应相加减。然后这个数乘就是每个人都乘上这个数，如果是乘法呢，前面这个列等于后面的行第一行第一列第一行第二列第二行第一列第二行第二列一样的，所以你学起来轻松一点。对吧，你一定要学的轻松一点，那么接下来过程当中，我们来看看矩阵乘法当中啊，有一个非常重要的内容。我标一下吧，不然你显现不出来这个东西的重要性，我们看。

考点一个常用的。方块矩阵乘法形式。那这个内容啊，在我们考试过程当中啊，用的是非常非常多的，你就给我重点看这个人就行。啊，这个用的是非常多。那么，在这种当中啊，我们来看一个事情。什么样的一个事情呢？就说如果一个a×b。a×b怎么样进行区分呢？他喜欢这样分。

你看这个人不动。这个人不动的话，你发现一个事情就是一×1的。一×1的话，你发现一个事情，你看从大体上它就是个一×1的。所以说这个人必须只有一行一行，怎么办呢？列分块帧，这是第一列，对吧？你可以把这人写成第一列。第二列，第三列一直到多少？第n列。

好，这是这个问题，能听懂吧？那你想想一个事情，从大体上这是一×1大体上这是一×n。结果不就是一×n吗？所以说在这种当中，第一行第一列a杯大一，第一行第二列a杯大二。然后最后一个人AA答案。是不是这个事情，大家想想一个问题，这个东西像不像把它沉进去了？像不像把它分配进去了，特别像大家注意把这个内容要记住，

我们将来过程当中用的很多。就是列分块阵的形式，在第二章的时候啊，基本用不到。基本上都是第三章用。就说如果这个人去乘上裂缝块阵，就是给每个人都分配上这个人。哎，你分配一个这个人，我分配这个人，每个人都分配好基本点啊，来那么接下来过程当中，我们继续，我们再来看专制。看看下面这个问题。

转置这个那转置这个东西啊，那么接下来过程当中，我们就继续看。如果这里面当中，你把这人分配。对吧，分块分成a1a2a3，然后这是a4，这是a5，这是a6。那这个时候你发现一个事儿，这个东西进行去转置，你怎么转？是把行再写成列的哎，你发现这就是第一列。

然后这就是第二列。是不是啊？把这个横的写成列的。把这个横的写成列的，就是这个情况。那这个时候的话，你发现一个事，我们从这个大题上是不把它转过去了？但这样做对吗？不对。你想想一个事情，你只把你比如说举个例子，就这个位置，你这个位置是不是没有动？其实这个位置的那个矩阵呢，

它是动了的。所以说这个局部也得进行转。对吧，也得进行转，这是你要注意的事情，所以说这个内容叫做大体转。然后局部也得转。哎，大体要转，局部也得转。你如果不转的话，你发现这个a你比如说这个a1就在这，你其实a1它也转了，你如果没有动的话，你发现这个人就不动。

所以一定要注意大体转局部也得转。那么，在这种当中啊，我们看一种非常特殊的情况，比如说这个a啊，它写的是列分块阵的样子。对吧，列分块帧，那就把这一行写成了这一列。没问题吧，但是这个局部也得进行去转置。我把第一列叫阿尔法一，第二列叫阿尔法二，第三列叫阿尔法三，把这东西转过去了之后，

每个部分还得转。这叫大体转局部也得转。好，注意一下大体转局部也得转，如果这个矩阵进行转的时候，把这个整体线转过去，局部也得转。好了，这就是我们的转制的问题，能学会吗？其实你发现这些是相当好学的。为什么呢？因为这个部分内容跟我们原来的那个什么，你就举个简单例子，你就把这个分块就看成一个数。

你比如说这个块儿是一×1的。如果这一块是一×1的，你这每一块都是一×1，一×1是不是一个矩阵？一×1也是矩阵呐。那这就是你，比如说原来过程当中。我写的一二三四。我也可以分呐。你把这个人看成a1，这是a2，这是a3a4，这不是也是一个此块儿矩阵吗？所以在这种当中，这个东西的操作，

就说你把这人看成一×1的，一×1的，他怎么算就原来怎么算，我们现在就怎么算。你加法相加数乘，每个都乘，然后这个东西的话，你说如果乘法前面的列等于后面的行，这是一样的。对吧，这要转置的话，你就发现大体转局部也得转，跟得上我的意思吗？如果从运算上，你可以把它什么东西呢看？

看成一个东西进行去推广。对吧，一个东西的推广好了，这个问题啊，我们就讲到这，那么接下来我们来看看今天的黄金重点内容。先来看第一个问题叫做分块矩阵的行列式。分块矩阵的行列式，那这个内容是我们考研中的重点内容。这个会考的啊。就这个问题呃，预计一下这个今年过程当中啊，出这个题我觉得几率还是挺大的，就这个第一个知识点。出的几率应该是非常高的，

拉普拉斯行列式，那这个东西是什么呢？哎，你要注意，它可以是上三角，就是这有一块，这有一块。然后怎么办呢？你只要有这一块是零就行了。能理解吧哎，所以说在GEM当中你要稍微注意一下这个问题啊。我只要有一块是零就行。然后接下来过程当中，我们再来看看下面这个人，你只要在这是什么？

这有一块。这有一块，然后你这个部分是零，你这块不管也行。你今天看是不是会更加的清楚一点？比那天的过程当中学的清楚吧，你再也不会有那些问题了，然后再来看你可以什么情况呢？你这一块是a，这块是b，你这两块都是零。它也行，那这个结果就等于多少就等于a的行列式乘上b的行列式。你今天理解了吧，为什么要保证这个人是方的呀？

那是因为这两个东西要取行列式。我正是要因为要给这个人进行取行列式，所以说这个东西必须要保证它是方的。它是一个方形矩阵。所以说像这个拉普拉斯的上三角，拉普拉斯的下三角，拉普拉斯的对角就等于主对角线元素的这个什么这个。主对角线这个矩阵的行列式的成积。对吧，这个方阵的乘积，然后再来看看下面的事情，再来看看负对角线的。那负对角线的话，你发现可以是这是a，然后这是b，

然后这是无所谓，这块是零。你也可以，这是a这是b，这无所谓，这块是零也可以是这是a这是b，两边都是零。那这个时候这个结果等于多少呢？它这个结果它等于这个负对角线上的这个方阵的行列式的乘积。然后前面还有个系数。这个系数是谁呢？你想想一个问题，你这个矩阵得是方阵吧？你方阵肯定有阶数啊，比如说你是方的，

你是三行三列，那就是三，比如你这是方的的话，你发现两行两列，那这里就是二。能理解吧，所以说这个东西啊，一定是m×n这个系数。好了，这个拉普拉斯行列式啊，我们就讲解到这。那这个东西的最大的特点是什么呢？最大的特点就是拐角凑零。大家注意啊，这个方法的话，

其实非常简单。就说如果你进行去计算行列式，你的方向就是非常的简单。就是拐角。凑零。就什么意思呢？就说你一定要在一个拐角当中，你凑出全部都是零。你有一个拐角，全部都是零，我就可以使用拉普拉斯行列式了。对吧，我们就可以使用拉普拉斯行列式了。但是你一定要注意啊，这个拐角是零，

你可以在这个拐角可以在这个拐角，你可以在这个拐角，你可以在哪个拐角都行，反正就是拐角凑零。所以接下来过程当中，我们一起来看看一个题，你看这个题这一题啊，我觉得这个考的几率很大哦，对吧？这个二点一六这个题。来稍微观察一下，先给我看一下这个四阶行列式吧。那这题怎么做？你要硬生生的在这里面当中进行展开啊，稍不得麻烦。

你要硬生生进行去展开这个部分呢，稍微的会麻烦很多。然后我稍微的观察一下，我观察了什么东西呢？我一看的话，你发现个事儿，什么事情呢？我觉得你看看这块林。怎么那么的工整呢？公正不谁说流沙法呢？四阶有流沙法吗？四阶不叫流沙法，叫流血法啊，别乱来。千万别乱来，

你看零非常的工整，我就把这个零怎么办放到一起。所以说在这种当中，我可以利用行列式的性质。行列式的话，你发现个事情，这两行可以交换一下，两行交换的话，你发现这个行列式可以加符号，那这时候的话，你发现这是a1，这是零零。这是b1，然后交换了之后的话，这是b4，

然后这是零零，这是a4。那么，接下来过程当中，我们再来看下面一个事情，这是零，然后这是b3a3，这是零，然后最后一个事情的话就是零。a2b2这是零。哎，那这个时候的话，你发现这个鳞呐，非常的工整，跑到一起了。

跑到一起了之后的话，我们再来看行列式，有行的性质，也有列的性质啊，你再把这两列交换你这两列一交换的话，你发现这前面就变成了正口。你变成了正号了之后的话，你发现这一列对吧？你看这一列我们就可以跑到第几列？就可以保到第二列，算我写了，这是b4，这是零零，这是b1，这是a4，

这是零，这是零。然后这是零零a三，这是b2，然后最后是零零。b3a2。那这个时候的话，你发现一个事，他就立即可以分块了。对吧，我就可以分块了，分一下。发现没这两个位置都是零吧，然后这是a这是b吧拉普拉斯行列式，那这个人就可以做了呀。

就等于a的行列式，那a的行列式等于多少主对角线元素乘积减去b啊？这个负对角线元素乘积。然后再来看看b的行列式，就是a3a2先去b3b2。好，这个结果听得懂我的意思吗？所以说这题的正确答案应该是多少？这是a1a4b1b4a3a2b3b2那这题正确答案选几？选d呃，我就很喜欢这个题。为什么呢？因为这个题啊，它就只有一个方向。很喜欢这种题。

我从来不喜欢这种什么条条大路通罗马，我一直跟你讲这个事。对吧，我不喜欢你从这个地到这个东西，你有这样走可以，你这样做也行，你这样做也行，这样做也行，我就喜欢把别的路线给你堵死。或者是当你走别的路线的时候，你发现会非常的麻烦。大家想想一个事情，刚才这个题啊，你也可以通过什么东西呢？你也可以通过行列式的展开再做啊。

你在这里面当中可以怎么办？你就把这个东西进行展开，按照第一行展开，或者按照第一列展开，因为零比较多嘛。但是你发现一个事情，如果你进行去展开，就算你把这个式子做出来了，我不相信你一定可以会因式分解。你想想一个事情，我不相信你会把这个东西因式分解出来。你能因式分解出来吗？你打开这个式子，你能把这个东西给我因式分解成这样子吗？所以说这里面当中啊，

这个题目考的就非常好。他就非常的卡死的一个事情，你必须要这样做，对吧？你不这样做，我让你做不出来。你看吧，这个事情就非常的好。好了，这是二点一六这个题能听懂我的意思吗？基本点啊，你下去过程当中一定要好好看看。行吧，这是二点一六这个题，所以你看看你这个部分的内容，

一定要摆成这样。你不这样做的话，你发现虽然有别的方法，但是那个别的方法未必能做得出来啊，基本点。过去了，可以吗？好，我们就讲到这过去了，可以吧？哎，这是第一个问题，然后接下来过程当中，我们再来看看第二个事情叫做对角分块矩阵的逆。对角分块阵的逆。

在讲这个问题之前呢，我们先来看看第一个问题。好，那么接下来过程当中，我们来看一个事。我们还是住吧。注那么在这里面当中，我们先看第一个事情，如果这里面当中给你一个矩阵。这是a1。对吧，这是a1a2a3。好，是这样的一个情况，那么同学们想想，

如果你可逆你的行列式是a1a2a3，肯定不为零。没问题吧，行列式肯定不为零。反正你这三个人肯定不为零，有一个人等于零，我乘起来就等于零，那这个人的逆矩阵等于多少呢？上节课我是不是推过？我推过这个事情，我说你这个a1a2a3，你乘以一个什么矩阵会等于幺幺幺呢？那这里面当中就是这个人的分之一。哎，就是这个人的分之一，

能听得懂我的意思吗？这是这个事情，那么所以说在这种当中啊，你就可以推了。那这里面当中，如果这是a这是b两边都是零，那你告诉我这个逆矩阵将会等于多少？等于多少哎，你发现一样的就是a逆b逆嘛。这两个东西类似吧，我刚才就说过这个事情，你可以把这个a啊看作成一阶阵。如果这是个一阶阵，这是个一阶阵，它就退化成了a1a2了。

没问题吧？好，这是这样的事情，然后接下来过程当中，我们再来看看下面一个问题。如果你这个行列，这个矩阵呢？是a1a2a3是这样子。大家想想，如果可逆它的行列式等于多少？它的行列式等于负一的二分之n乘n减一。它这个a1，a2，a3反正不为零。不管，

反正就是这三个元素相乘不为零。对吧，这三个元素相乘，它不为零，那么接下来过程当中，我们来看看这个a1等于多少？哎呀，这个东西的操作非常非常的好，你来看看这个事情，就说我要做的事情是什么呢？我要做的是你这个人成一个谁？会等于一个单位帧。你乘一个谁会等于单位阵？好，我们一起来看看这个事情，

大家琢磨一下。第一行第一列吧。第一行第一列这块要是个一，我就在这块送你一个a一分之一。第二行第二列这块要是一，我就在这块配一个a二分之一。然后这个第三行这块呢，我就要在这配个a三分之一，剩下的部分都是零，不信你去乘一下。这俩矩阵相乘，就是这个结果，另外的零都碰不到。你不信你试一下，你看第一个。

第一行第一列第一行第二列呢？第一行第二列就不行了，第一行第三列呢？也不行。所以说这个时候它这个矩阵就变成这样，有没有发现一个事情你看？这个位置跑到这儿来了，这个位置还在这儿，这个位置在这儿，所以说就是三个人都进行去取倒数，但是你要注意把位置要调一下。哎，这个位置要调一下，所以说这个东西就变成这样，你看啊，

如果这里面当中是a1这个人，他就跑到这来了。如果a2这个人跑到这来了a3是这个人，你要注意啊，反着写。每个人都取这个分之一，然后反着写，为什么反着写呢？一定要跟那个人再碰得到，你看这个人这第一行一定要跟这个人碰到。所以说他就反着写，把这要记住啊，这考试过程当中会考的。这是两个常见的这个逆矩阵的求解，这是会考的。

这是要注意的，一定会考。哎，我们考试当中非常重要的板块。所以在这种当中，你就可以模仿一下，模仿一下，如果这是a，这是b呢？这个逆矩阵，那这个结果变成多少？那这个结果就是你这个人跑到这儿，你这人跑到这儿，然后这样注意啊，要调一下。

你听得懂我的意思吗？你看你这是a，你a反而跑这来了。你这是逼。你b反而跑到这儿来了。一定要进行去调下，调下这个位置。这是非常重要的，所以在这种当中啊，我们讲的这个内容是什么？大家注意，它必须是对角分块阵。对角分块针，上三角和下三角都不行，一定是对角，

必须是对角。对角分块震荡逆矩阵的问题。跟得上吗？同学们好了，这个事情我们就讲到这。那么，接下来过程当中啊，我们可以来看几个问题啊？来做几个题吧。先来看这个题。看一下这个题，这个题啊，有可能会考给我们。这个题不光是别的事情，运算速度必须要快。

运算速度必须要快，那么接下来过程当中怎么做？如果你按照上节课的公式法，那就疯了。如果你按照公式法来走，每一个位置的代数，余子式都是一个三阶行列式，我不是疯了吗？所以说在这个题当中，你要有超强的敏感程度，你得看出来，看出来什么东西呢？你看出来这就是个行啊，这个什么分块的问题。然后这里面当中，

你把这块看成b，这块看成c。一定要看得准，所以说在这种当中啊，你发现一个事儿，这人的逆矩阵，他就变成了这个人的逆矩阵。真人的拟制者。能理解吧，然后这是一个二阶阵二阶阵的逆矩阵呢，贼简单。啊，我的真爱粉啊。你下去过程当中啊，你把这给我抄个五遍啊。

对吧，这是你上课过程当中胡说八道的这个惩罚。啥流沙法，流沙法强强强，这个求行列式对吧？你别别别乱来呀。好，我们来看看这个事情，那这个东西等于多少呢？就等于行列式，然后这是伴随。能理解吧，那这个行列式等于多少呢？行列式等于主减负，那主动化乘积是五，

这个是六，那就是负一。所以说这个结果它就是负的，那告诉我个事情，这个伴随等于多少伴随等于主调换位置？负加负号，你看这多快呀。一定要注意啊，这个贼快，你发现你看进去二进去三进去负一。啊，这个非常快，然后再来看看下面一个事情，你再来进去求c的这个人。就是c的行列式分支c的伴随你上课给你教的这个方法，

一定要会啊，这是六这是它，然后这是一一就不写了。然后再来主调换位置副对角线加符号，加符号是一，这是五。好了，这是这个问题，所以说这件事情啊，就求出来这个人，你求出这个人了之后的话，然后你把它拼一下就行了。然后把这个b拼到这儿，这是负这是二这是三这是负一拼一下，这是三一五二，

然后这是零零零。能听懂吗？好这个东西啊，立即做成这样了。能想清楚吧，这个伴随。你一定注意一个问题，作为一个三九六同学。我们三九六同学去求一个什么东西呢？一个二阶矩阵的逆矩阵是非常快的。而且考试会贼会考，尤其是这种题，你说这个题两分钟题怎么样？这两分钟怎么了？这两分钟你算不完吗？

你算不完的话，你发现你这个运算能力没达标。你又说它运算量大，你这是很明显没达标，这两分钟算的完吗？绝对能算的完啊，你发现调换一下一个二阶嘛，行列式眼睛漂一下。然后这个伴随主对角线调换位置，副对角加负号。不要说两分钟也就一分多钟就算完了。那所以说像这种题啊，你一定要会做对吧？而且你要做的快，尤其是我上节课过程当中啊，

给你总结的那些东西。你必须要把它给我记住。对吧，尤其是这个东西的伴随矩阵啊，伴随矩阵二阶矩阵的伴随矩阵好，那么接下来过程当中我再来给你来一个题。这个题啊，比如说这就是今年二零二四年的考研真题。好了，我们一起来看看这个事情，你看我来写一个人。然后的话，这是。a1，a2。

a3 an- 1 an。零零零啊，这都是零，然后这都是下去。下去啊，这是零下去，这是零啊，下去这是零。来看这个题。这个题啊，我们去求解它的逆矩阵。这题贼好啊，你看这个题。怎么做啊？怎么做？

你不要再敲香菜了，你敲这么长的字儿，人家题都做完了啊。来看这个人。怎么做诶？你发现你看这个题这个题的特点是什么？这个题的特点是你这块有人，你这块还有个人。加到底不是我再强调一遍，大家你知道你在干嘛吗？啊，大家告诉我你在干嘛？你不要串场了，我今天再去求逆矩阵呐，不是求行列式，

不要串场了。你听懂我的意思吗？有人说啊，这个什么点点什么写好律师啊？不要串场了。能理解吧，我们再进行求解，逆矩阵不是去求行列式，不要乱来哦，怎么做哎？你发现一个事儿。很容易看我就这样分。这是am对吧，我这样分。我这样一分的话，

你发现个事，马上这个东西就清楚了。我一分上面这个人是什么？这是一个b。然后这块是c两边都是零。所以说在这里面当中啊，我们就可以解了。那这个人的逆矩阵呢？这个a矩阵的这个逆矩阵，它就等于多少？这是负对角线吧，把这人跑到这儿来，把这人跑到这儿来。然后接下来过程当中，我来给你看看b。

b这个人是什么情况？首先我们先看CC这个人非常简单，一个数嘛，一个数就是an分之一，然后这里面当中啊，把你的零给我补齐。对吧，把你的邻国补齐，把你的邻国补齐。好这个人，然后接下来过程当中，我们再来看看这个b这个人b这个人是谁呢？b这个人又是一个主对角线的。主对角线这个逆矩阵就是等于分之一a一，分之一a二，

分之一，然后一直下去变成了an减一分之一，好了，这个题啊，我们结束了。好题吧，所以说像这个东西的这个分块，你发现很有我们三九六同学的感觉。你你想想一个事情，你发现一个事儿，这题有没有我们的感觉？两分钟内绰绰有余，又考量了你的基本知识点，又考察了你的观察能力，又考察了你的随机应变的能力。

这不就是我们三九六同学要考察的东西吗？所以说在这里面当中啊，一定要注意你做的慢呢，你看了半天没看出来呢，你这个题肯定做的慢，你做不出来。你只有在这种当中朝着这个方向做，你才能把这个东西做出来。对吧，你发现这个事情你下去过程当中啊，你好好看看。过去了，各位来我们继续，我们再来看看下面这个题这个题啊，先不做。

二点一八先放到这，我们下这个讲完了，下半节课程我们再来讲。好了，这是这个问题。可以了吗？同学们哎，这是这个事。不是哎呀，我都讲了好长好长时间了，怎么还是听不懂？就是这个公式里面，你只要保证这俩人是方的就行了。只有方阵才能进行求逆矩阵。不是让每个人都是方的。

你只要保证这个a和这个b是方的就行了。不是要求每个人都是方的。啊，这是你要注意的问题，不是要求每个人，我只需要要求什么，你这个a和这个b是方的就行了。对吧，你这两块的话，你发现一个事情不一定要放的。好，那么这个事我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们来拓展。好了，

下面一个事情啊，属于拓展内容。哎，拓展内容呃，下面这个部分呢呃，也是我们今年过程当中啊，作为一个加强的内容进行考的。作为一个加强。所以说像这个部分问题啊，它未必会出题，出题的几率啊不大。啊，就这个东西，所以我们作为一个拓展内容。那么，

接下来过程当中，我们一起来看看下面这个事情什么内容呢？那如果是一个什么东西呢？如果是一个上三角呢？上下三角。方块聚成。求逆怎么办呢？求逆矩阵怎么办呢？所以说在这种当中，你发现刚才过程当中，我们求的是什么？我们求的是主对角，副对角，对角矩阵肯定会考那个东西比较重要，但是如果是上下三角去求。

逆矩阵怎么办呢？这个东西啊，属于拓展内容。对吧，所以说在这种当中属于拔高那种。像这件事情啊，我们接下来过程当中，我们来重点讲讲，以防万一啊。为什么呢？因为去年过程当中啊，这个数一数二数三同学考过这种问题。但是其实我们上课过程当中，我们都讲了，你像考这个也不难，

但是大家注意啊，这个东西不要记不要记啊。你记的话，你发现一个事费那么多，脑子那么接下来过程当中，我们一起来看看这个事来看二点一九这个题。不会浪费特别多时间的，先来看这个点。如果在这种当中啊，你发现一个事情，它是一个上下三角，你想背也可以背啊，一会过程呢，我们来讲。看这个结果，

它让我们干嘛呢？他说a和b都是一个n阶和m阶的可逆矩阵AB都是可逆的。它让我们证明h可逆怎么整？证明这个人可逆，不就是证明这个行列式不为零吗？这个行列式等于多少行列式等于a的行列式乘上b的行列式？你可逆行列式不为零，你可逆行列式不为零，所以说你不不为零肯定可逆啊，这太简单了。证明可逆性的第一判定呢，就是行列式不规定，接下来过程当中，我的重点是什么？我的重点是求解它的逆矩阵。

接下来过程当中，我来说一下。一般情况下，99%的概率都会进行去考，主对角线的对角，副对角线的对角。那如果考研过程当中考的上三角怎么办？或者下三角怎么办？非常的简单，你就把它设出来。你听好了，你就把它设出来，什么意思呢？就是在这种当中，你不是要求解这个人吗？

我就要进去去看你。乘一个谁，你乘一个xyzw，你乘上谁？你会等于什么东西呢？你会等于一个单位帧，那么同学们想想一个事情，这是个单位帧。假设是这样。我问你个事情，二乘二二×2肯定要分成二×2，那二×2的话，你发现你把这一分一分的话，你告诉我这是不是还是个单位阵？这是不是还是个单位阵，

两边都是零？所以说大家注意一个事情，一个单位矩阵进行去切，两边还是零对角，还是单位阵。所以说你就想看看这个东西乘上谁，它最后等于单位值。是不是这个意思？你乘以一个谁呢？你最后能等于单位帧。你乘上谁等于单位帧，这就是你的逆矩阵，所以在这么当中，我们稍微的乘一下来乘一下吧，第一行第一列。

as第二行啊，这个什么第一行第二列ay？第二行第一列cx+bz第二行第二列cy+bw。跟得上吗？同学们好了，这是ee零零。好了，没那么接下来过程当中，我们就可以写了。很明显as这个人就会等于一。很明显ay这个人就要等于零。很明显CS这人加上bz就等于零，很明显cy+bw就等于一。先来看看这里面当中的第一个人。因为这个a矩阵是可逆的，

两边组成逆矩阵，它就是a逆的。然后接下来过程当中，我们再来看，因为a是可逆的，两边组成逆矩阵，它是零。然后接下来过程当中，我们再看这个人，这是bz这个人，他就等于多少负的cx是a1。所以说这里面当中的这个z是多少？两边组成逆矩阵b逆CA逆。然后再看y=0，所以说这个w等于多少w=b一。

因此，你发现一个事儿，那这个人的逆矩阵就出来了。x是谁呢？x就是a逆，然后这个y是谁呢？就是零。然后这个z是多少呢？负的b逆CA逆，然后最后一个事情是谁呢？最后一个事情是b逆。这就是这个矩阵的逆矩阵。他的逆矩阵呢，就是这个人。所以在这种当中，

你放心吧，这个点呢，考的这个几率不大，我为什么讲呢，以防万一。我们一定要做到这个什么准备的，非常的全。我为什么讲这个内容很简单，一个事情就是以防万一。以防万一他会考考的几率根本不大。所以考到这儿，你发现一个事情考的有点狠了。当然有些的话你可能看到一些书籍当中啊，他让你去背。对吧，

可能让你继续去背这个东西。把这内容给背过了，你想背也可以。啊，当然的话，你要有这个记忆力啊，你把这个东西背过也行，你背背你吧，这个逆这个逆，然后这是负的b逆CA逆。反正有点不好背啊。你想背你就背啊，你要是不想背，你知道这个思路就行了，一般不考考的过程当中啊，

现场把这个东西啊操作出来就行。很快啊，非常的快，好了，这个基本问题能想清楚吗？过去了，可以吗？好，我们接下来过程当中，我们来看看下面一个题，下面这个题啊，我们考的几率非常的高。这个题啊，我们考的几率非常非常的高。重点题。

重点题。那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个事情。黄金重点题。那么，接下来过程当中，我们来看看这个人。但这个题啊。我没有改哦。这个题我没有改。因为这个题我是把那个呃我根据的话，那个往年考的那个真题题库里面的题。我觉得非常好的，我才把它筛选到这个基础讲义上。

这题我没有改，那这个题出的不好。你发现你这里面当中就应该再加个选项。加个这个人。加个这个人的话，你发现一个事情，有些同学就来了。对吧，你发现很多就来了，他说哎，根据知识的迁移。刚才老师讲过一个事情，如果的话，这是负对角线的逆矩阵，我们知道翻一下再逆，

那这人的伴随呢？那不就是翻一下再伴随吗？所以说这题很容易就进行选移。是不是啊？是不是就选一？啊，你发现一个事情，那就丰满了，胡来呀。纯属胡来一做的话，你发现选一疯了。那为什么这个题出的不好呢？原因点非常简单。就是你发现等你这样做完了之后，你学的不好，

学错了，结果你发现没有答案，这怎么能没有答案呢？对吧，你要让这个没有做对的同学应该选这个答案呢？出的不好，这是这个题当中的败笔。你要注意哦，这是这个题的败笔。应该在这里面当中啊，你发现没有？没有用的选项，你比如说这里面当中哪个没有用，你稍微改一下呀。你对吧，

你这这稍微改改你这个选项出的不好。那么，接下来过程当中，我们来看看这个题啊，看看怎么做？大家想想，伴随有这个公式吗？没有，我们都知道主对角和副对角的分块阵，只有行列式，还有这个逆矩阵的性质。对吧，只有行列式和逆矩阵的形式。那么，同学们想想伴随矩阵是没有这个性质的呀。

哎，琢磨一个问题。伴随。行列式。逆矩阵哎，同学们，想想你会想到什么？我会想到万能公式。万能公式当中的话，你发现就这几个人，所以说在这种当中a×a的伴随就等于多少a的行列式乘上一。那么，在这种当中，我们就可以做了，你就把这个东西怎么办？

你可以把它推广，就是你乘上你的伴随。就等于你的行列式乘上一。是变成这样，因此接下来过程当中，我们就可以写了。那么，写什么东西呢？而且你发现这个伴随矩阵呢？这个伴随矩阵，它不就等于这个行列式，然后这人的逆矩阵吗？所以在这种当中赶紧写0 AB 0。伴随就等于这个人的行列式。然后再把这个东西逆过来，

0 AB 0它的逆矩阵，你说老师万一不可逆呢，你先做。你一块再检验。对吧，一会再检验，那么就做成这样了，然后接下来过程当中，我们就可以看这个人呢，他等于负一的，你看负对角线的拉普拉斯。你是个二阶，你也是个二阶二×2a的行列式，乘b的行列式。而你发现a的行列式b的行列式，

一个是二，一个是三，所以说这个行列式不为零，本来就可以。所以这个矩阵本来就可逆的，然后这个逆矩阵呢来调换位置再来逆。那这个时候怎么办呢？因为前面这个人是一这是个数吧？一个数就可以塞进去，塞进去了之后的话，你发现零还是零就是a这个人乘上b这个人。乘上这个人，然后再来呢啊，你发现把它进去进去是a这个人b这个人，然后这是多少a逆这个人这是零。

因为这是个数吧，你数乘数的话，你可以把它交换一下，对吧？你跑前面去来，我跑后面去。然后在这里面当中，你都知道，根据万能公式，这两个东西一结合呢。你这行列式乘上这个逆就是什么？就是伴随，所以说这个结果就出来了。这是0b的行列式，等于多少b的行列式等于三。

所以说这是3b的什么伴随？这是a的伴随。然后接下来过程当中，我们再来看这个人a的这个行列式等于二，这是二倍的b的伴随，然后等于零啊。这是你会了吧？这个不难的哦，对吧？就是你理解清楚一个事情，玩的还是谁呀？玩的还是万能模式？就是你的万能公式的话，来回转呗。你给我倒倒倒来回的倒。

对吧，来回转你就把这个万能公式就是来回回转就行了，好这个题非常重要。如果进行去求主对角。负对角的这个人的伴随，我们就用万能公式进行去倒下。因为我们会行列式。因为我们会什么东西呢？我们而且在这种当中，我们会它的逆矩阵。所以说我们就会伴随举证。好，这个基本问题啊，我们就过去了，选几啊？

这是2b。3a选b啊。好，这个答案选b。过去了，可以吗？基本问题啊，所以说你下去过程当中啊，你好好进行看看。这个棋非常重要。就是我要求这个伴随就等于行列式，再乘上这个逆矩阵。行列式会算，逆矩阵也会算，把它塞进去一个数，

乘上矩阵就等于每个人乘上矩阵，然后一换就行了。好，这是这个问题，能听懂我的意思吗啊？嗯，大家这个上课听课一定要认真，你一定要仔细，对吧？我我不相信，就是这这这样记忆力呀，对吧？这不刚讲的吗？那刚刚讲的这个拉普拉斯行列式。主对角的话才是直接沉默。

你负对角，前面还有一个负一的m×n呢。你不要忘了这个事情了，你不要把这个东西给丢了啊。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这儿，注意啊，这个题先放在这儿，二点一八这个题。行吧，我们下课休息会儿，然后你在休息的过程当中，你把这个题做一下。这个题啊，

拔高题。啊，你下课休息的过程当中啊，你把这个题做一下。拔膏体。这个题啊，我们三九六同学啊，你大致做一做就行了啊。我们三九六等八高体。看看这个题，我们上面那个题啊，会更重要一点啊，这个题啊就是稍微的会难一点点，你去想想这东西怎么推的啊？行吧好，

我们稍微休息会儿吧，一会儿我们继续，你去把我刚才那两个东西结合一下，这个东西就出来了。好，我们稍微休息会吧，一会我们继续。

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