02.行列式的展开与计算-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:53:57

行，那么接下来过程当中，我们继续吧，做完了没有？好，这个题做完了没有？啊，这个题啊，我觉得呃，你稍微注意一下对吧？它考的这个内容啊，就是什么东西是范德蒙航历史。大家注意一个事情啊，范德蒙行列式竖着写跟横着写，没什么区别，

因为行列式这个东西啊，你都知道转制这个人是等于本身的。所以这个东西啊，不是个最重要的问题，那这件事情最重要的问题是在何处呢？这不是范德蒙。什么是范德蒙呢？范德蒙这个事情一定要注意一个问题，对于这个题而言，它必须是什么？从零次方开始。然后一直到几次方，一直到这个人的n- 1次方。所以说对于这个题而言呢，应该是从零次方，

然后到达这个人的三次方。所以你看这个第一个人就不对，那这人不对怎么办呢？你发现你看我可以操作一下。我给这个第一行的过程当中，同时提一个a。提一个a了之后的话，你发现你看这个人就变成了零次方，然后这一次方二次方三次方。是吧，你再来看第二行，第二行我就可以同取一个b。提一个b了之后的话，你发现这是1b的一次方b的二次方b的三次方。然后再来同时提一个CC的话，

你发现1c的一次方c的二次方c的三次方，你再来同时提一个d，然后。然后1d的一次，方d的二次，方d的三次方好这个。所以这是你要稍微注意的点，那么然后接下来过程当中，我们就可以写了，那这是AB多少CD，你看第一行。第一行关于谁的a的？第二行关于谁的b的？然后这关于谁的c的？然后这关于谁的d的？

然后接下来过程当中我们选一下。先选ab-ac-ad-a。好，这人没了，然后再来选bc-bd-b，然后这个b就没了，然后再选c。d-c就结束了。好，这是这个题啊，你要注意一个事情，范德蒙行列式是什么？所以说范德蒙行列式的过程当中啊，考点过程当中啊，其实就两个事情。

第一个事情，它是什么？第二，事情怎么算就行啊，基本点。过去了，可以吗？所以说你发现第一章的核心知识点，我们就讲完了。啊，讲的这个内容啊，就这么多，所以说接下来过程当中，我们稍微的进行去捋一下，那么在第一章过程当中啊，

到底有多少核心知识点呢？那这个核心知识点的话，你发现一个事情，其实就是三个内容，对吧？第一个事情行列式的定义。对吧，行列式的定义，然后接下来过程当中就是行列式的性质。然后接下来过程当中就是行列式的展开定义。所以你发现第一章的过程当中啊的三个事情啊，就是这个内容对吧？只有这三个内容。所以你就会发现一个事情，对吧？

第一个事情叫第一。第二，事情叫性质。第三个事情叫展开定理。那么，在这个定义的过程当中啊，可能会出题。性质当中，可能会出题展开。定理当中，也可能会出题。但是你要注意一个事情，你像这两个知识点。那这两个知识点的核心功能是干嘛呢？就是来求行列式的。

所以我们在考研过程当中啊，一定要注意一个事情，就是我们的核心重点就是来利用这两个人继续去求解行列式。求解行列式。但是这个内容难度系数不大。第一事情，要不然进行高斯消元。对吧，你可以进行去高斯消元第二事情，你可以利用行列式的展开定理来做。所以在考研过程当中，你发现性质这个内容还有展开定理这个内容，这两件事情的核心方向就是来进行去求解行列式的。能理解吧好，这是这个问题，

那么接下来过程当中，我们就继续吧，我们来看看第二节行列式的综合计算啊。综合计算，那么如果我们要进行去综合计算呢？你要注意有两大基础。哪两大基础呢？第一个基础的话就是行列式的性质。第二，事情就是行列式的，展开性的定理，那这两个内容你必须要知道。只有你知道了这两个内容的之后，你才可以进行去做行列式的综合性计算。能理解我的意思吗？

所以说这两个问题啊，必须要掌握清楚，那么接下来过程当中我们来看一些非常特殊的行列式的计算问题。啊，非常特殊的好，我们先来看看第一种行和相等型列和相等型啊，你放现你学轻松一点，贼好贼好学，非常的简单。呃，在这里面当中啊，我们先来看看一个题，这里面当中啊，可能会给了一个n阶行列式，我们先不看n阶行列式，

我们先学一个短阶行列式。比如说这里面当中啊，我们先来看看一个人。就看我能不能截一下。解不了，解不了算了呃，我们可以先求一个三级行列式。三阶行列式是不是太少了？也行吧，我们来求一个三阶行列式。你稍微品一下。对吧，你评评这个人。好了，那么接下来过程当中，

我们一起来看看这个行列式。例题让我求解这个行列式，那这个行列式怎么做呢？你当然可以用什么流沙法呀。你也可以，怎么办？高斯消元呢？但是这个高斯消元就非常的麻烦了。那么，首先我们先来看看第一个事情，大家来观察一下这个人的特点，哎，他特点这个行列式的特点是什么呢？这个行列式的特点的话，你发现每行。

对吧，每行。之和。是一样的诶，有没有发现它的每一行之和都是一样的？那既然每一行之和都是一样的，那么同学们告诉我，我可以怎么做？我就想把这一行给加起来。我怎么样才能把这一行给加起来呢？你想想一个事情，我这个a想加这个b想加这个b，你怎么办？那非常简单，就加到第一列。

加至第一列。为什么加之第一列就行了呢？你看我在这种当中给你一倍过去。我给你一倍过去。如果我把这个人的1倍加过去，这个一倍加过去，你看这个一倍加过去就给你了个b，这个一倍加过去又给你个b，那这个时候你发现个事情是不是就可以加起来了？所以说同学们注意啊，我们的做题方法是一定要注意每行之和相等，我们就加到第一列。把剩下的东西都加到第一列，你都加到第一列的话，你发现一个事情，

你看加过去这一列，加过去的话就是a加个b，再加个B2B。那这个b它不变，然后再来看这个加过去呢，又是a+2 b，这是a这是b不变，然后这是b这是a，然后又加过去a+2 b加过去。那么，加过去了之后的话，你发现你看这个公因子是不是就可以提出去了？那么既然有公因子，我就把这个a+2 b提出来。那这个时候你发现第一列就变成了幺幺幺，

然后这是多少a+2 b？对吧，我就提出去了，那么提出去了之后的话，然后怎么办呢？你再来看诶，这个人是一，这个人是一，这个人是一，我就非常的好消了。我就想把这个人削成零，我就想把这个人削成零。对吧，然后接下来过程当中，你发现一个事情，

我们再按照第一行来做。那么，继续按照第一行来做的话，你发现一个事儿，你看减去上面，然后这是零减去上面，这是零，然后再减去上面是零，再减去上面是零，只有这是a-b。哦，最后这个结果就变成了什么？就变成了一个上三角形的行列式，所以说这个结果就等于a+2 b。再乘上多少，

再乘上a-b^2。你看这个做题方式啊，非常的简单。所以说大家注意一个事情，操作性啊，非常非常的简单，套路简直就是套路。啊，这就是一种套路，这不是爪形行列式啊，你怎么就那么喜欢爪形行列式呢？你不要学过一个东西的话，你发现每个题都拿来用，这可不是爪形好律师啊，不要乱来。

你发现一个事情，你这都没有腿，你哪来的爪形好像是啊？这叫行和相等型，或者列和相等型，所以记住了，如果是每一行相等，我们都把它加到第一列。加到第一列了之后啊，你发现个事情，你在这种当中，你就提供因子。哎，提供因子。提出公因子了之后，

再按照第一行来写。再按照第一行来做。好，这就是它的操作性方式。所以同学们一定要注意这个事情，你发现如果这个人呢，每一行是相等的，我想把这一行加起来，就把第二列加过去，第三列加过去，第四列加过去。你把这每一列加过去，不就把这一行加起来了吗？所以注意啊，行和相等型，

如果每一行加起来相等，都把它加到第一列，然后就可以把公因子提出来。提出来之后呢，然后这一列都变成一了，就可以再按照第一行来消。听懂了吗？套路啊，这个东西完全套路，这个套路性太明显了。能想清楚吧，好了，我们继续啊，我们再来做几个题来看看这个题。来看这个人。

我们快一点，可以吗？那么这个题的话，你发现你看你一观察每一行加起来相等，每一行加起来，每一行加起来，每一行加起来相等。那既然每一行加起来相等，你就把这个一倍加过去，一倍加过去，一倍加过去，把每一列加过去。每一列加过去的话，你发现看a加过去a加过去a加过去那加过去变成多少？加过去就变成了x+4 a。

x+4 ax+4 ax+4 a。是不是这个事情，然后接下来过程当中，你而且还知道这后面这个东西啊，它就不变。后面这个内容它就没有变。注意下后面这个内容，它就没有变。这些玩意没有变，然后你发现看这个系数就可以提出去，提出去就变成多少就变成了x+4 a。然后这人变成了一一一好，这个好类是。那么，这个行列式了之后的话，

你发现你再看第一列，第一列都是一就可以用高斯消元法了，你看这个一这个一。这个一就非常好消了，那这个都好消的话，你发现个事情，我们再按第一行进行消。然后继续你看负一倍加下去，那就是第一行不变1 aaa来负一倍减上去零。减上去x减上去零减上去零，然后再负一倍加下去零零x。然后再负一倍加下去，这都是零，这是x，所以说留下了多少呢？

x+4 ax的多少三次方？能理解吧，你要注意一个问题啊，这种结果不要背答案。有些书籍当中啊，让你把这种结论给记住，不需要。理解就行了，注意啊，如果是行和相等。每一行向导就加到什么东西啊，就把它加到第一列去，把公因式给我提出来。把公因子提出来之后的话，你发现第一列就非常简单了，

再按照第一行来写啊。能学会吗？非常简单啊，就是这种题，如果考了，你发现啊，就非常容易了，那么接下来过程当中，我们来看看我们考题过程当中。你发现这个。也出过一些非常贱的一些题，你比如说上节课这个题，你看这个题。你比如说你看这个题。来你看这个人。

那这个人的话，你发现一个事情，他的特点是什么？就是你这一行加起来，你这一行加起来，这一行加起来是相等的。对吧，这一行加起来相等的。那这一行加起来相等的话，你发现我都把它加到这儿，我都把它加到这儿，所以说你就把jm。w这个加和提出去了，然后变成了一一，然后这是m这是wwj。

jm.对吧好，这是这个事情，然后接下来过程当中你再消一下，那这是j+m+w。然后这是e mw来消它，然后就是w-mg-w。然后再教它，然后就是j-mm-w好这个人，你发现个事情，然后这俩人是不是都是零？那这俩人都是零的话，你发现一个事情，我就可以按照这个一进行展开了，展开就是这两个人再乘上这俩人。

能听懂我的意思吗？你看所以说这个题啊，我觉得考的不好。考的不好的原因是什么呢？考的不好的原因是因为他这个答案给的非常的差劲。答案给的非常差劲，你不要觉得这个人怎么样？我要是出这个题的人呢，我就不会这样出。我就会出一个这个题的答案。除以个什么呢j+m+w。然后这是多少呢？这是。m-w这个人的平方负的，然后再减去g-m。

j-w。我就会把答案出给这个人。你要注意一下这个事情啊，我就把答案出成这样。如果这个题你用流沙法，你如果用流沙法，就算你做出了c选项，但是你也不会因式分解。你看吧，就说如果在真正的考研的过程当中，他想考出这个水平呐，他应该这样出。出成这样子，如果你用流沙法流沙法，你做成这样，

你做成这样的话，你发现你不会因式分解，你因式分解不到答案，你还是选不出来。你也不知道哪个答案是对的。你看吧，这就很尴尬了，你所以说你会发现上次过程当中这个流沙法他考不出来水平，因为这个东西纯靠背的。而你发现一个事情，如果这样考，那这样考的话，你发现他就有思维方式了呀。它具有操作性了呀，你看这个人。

你能理解我的意思吗？你看这个人，所以说这样出啊，他才能出出这个水平。你要是这个流沙法的话，你发现你肯定你选不出来我这个答案。啊，这是你要注意的事情。好了，我们继续再回来。能理解吗？诶，这是这个人。啊，怎么了？

两分体啊。这不也是两分题吗？这这两分题咋了？哎，你们是不是对两分题有什么误解？两分题就要眼睛漂一下就出来了，那也不是啊。你不要对两分题有什么误解啊，这两分题怎么了？我不就加了第一列，这是常规操作吗？然后把这两消消成零，不是常规操作吗？然后消沉，这样不是常规操作吗？

你这一做不是常规操作吗？这两分题。这一分题的话，你发现也能出。你不要对两分题有什么误解啊，这不就是常规操作，这不是我们刚才学的吗？如果这一行相等加的第一列提出公因子变成一，然后把这两个消成零。不就出来了吗？你不要对它有什么误解哦，好了，接下来过程当中，我们继续，我们再来看看这个题。

走那么接下来过程当中，我们一起来看看这个人，你发现这是个n阶行列式。那这个n阶行列式的话，你发现你看又是行和相等行和相等行和相等行和相等。每一行都相等的话，你发现怎么办呢？我都把它加到第一列去，所以说在这里面当中啊，你发现个事情，我们就把它加到第一列去。好，那么接下来过程当中，我们就把它加到第一点。那么，

在这种当中啊，常规操作加过去。加过去。加过去对吧？都加到第一列。都加到第一列，这个人变成多少呢？变成了a+n- 1个b。a+n- 1个b，所有人都是n+n啊，这什么a+n- 1个b，把那个数提出去，这人都变成几了。都变成了一。所以说在这种当中啊，

是a+n- 1个b提出去好这个人。那么然后再怎么办呢？再按第一行来修。那么所以说这是a+n- 1个b。然后再按照第一行来写1 BB，一直都是b，所以你看这块内容啊，都是在学套路，对吧？然后负一倍加下去，负一倍加下去的话，你发现零零零只有这是多少a-b？然后再负一倍加下去零零啊，这下后面都是零，只有这是a-b。

然后依次下去，只有这是a-b，所以最后啊，就做成这样了。那做成这样了，之后的话，你发现一个事儿，它就变成多少a+n- 1倍的b，然后这是a-b的n- 1次方。能理解吗啊，这个操作性啊，你发现完全都是套路，如果这一行加起来相等，我就加到第一列。提供因子，

再按第一行做。那么，同学们注意，如果是每一列加起来相等的。你怎么办？如果这每一列加起来都是相等，每一列都加起来相等的，都把它加到第一行提供因子。再按什么东西呢？再按照第一列来做。啊，所以说你发现这个操作性的方式啊，是一模一样的，你要会做啊，这种题考起来就非常简单了，

为什么它就完全在我们的套路当中？完全都是套路题好了，那么接下来过程当中，我们继续吧，我们再来看看下一个问题，爪形行列式啊。来那么接下来过程当中，我们一起来看看爪形好的是。什么东西叫爪形行列式呢？爪形行列式是这样，你发现看这条爪子这条爪子。这条爪子啊，三条腿。那么，在这个当中啊，

你发现一个事情，第一条腿，第二条腿，第三条腿。那这个方法就叫什么叫去腿法？你可以把第一条腿去掉，变成上三角，你可以把第三条腿去掉，变成下三角啊，就是这样的做题方式。所以在这种当中啊，你可以把这条腿给干掉。那这个时候你发现就变成了上三角形行列式。所以说在这种当中啊，做题方式是怎么做的呢？

也更简单，那么接下来过程当中啊，它的方式叫什么？叫做一一对应。一一攻击要注意啊，一一攻击，所以接下来过程当中，我们一起来看看这个问题。诶，注意哦，一一攻击。比如说我们现在要怎么办？我现在要攻击完这条腿。谁能进行去攻击这条腿呢？他应该是这样。

你看这俩元素都是零毫无攻击效果。毫无攻击效果的话，我们就让这个元素进行去攻击这个人。你听好了，用这个元素攻击一。所以你的使命是把这个一给攻击掉。那给它乘上多少乘上负的a四分之一？因为a1，a2，a3，a4的乘积都不为零，所以说每一个人都不为零，给这个人乘上它的分之一，那加过去。加过去了之后的话，

你发现零加过去呢，零加过去纹丝不动，只是谁改变呢？只是这个元素改变。没问题吧？好了，那么接下来过程当中，我们继续，我们再来看，然后接下来过程当中，我们要继续怎么了？再把这个人攻击成你。那工期成零怎么办呢？你继续给这个人过去。正过去乘上多少呢？

乘上负的a三分之一。零加过去没有效应，零加过去没有效应，这个人是负一加过去，它变成零，然后最后一个事情，你再把这个人变成零。你这个人变成零怎么办？你再给这个人加过去负的多少a二分之一？那么你看这两个零加过去没有效应，这变成负一加过去变成零，然后这人可能会变了，所以说这个时候那这一条腿就没了。所以说这个题啊，我们一起来写出这个结果。

先来看这个结果，那么上面这个结果变成多少呢？这一列要乘上负的a四分之一，那这个人要乘上负的a四分之一加过去，那就有个a四分之一，然后让这个人变成零。然后给这一行这一列乘上负的a三分之一，那这个人就有个负的a三分之一加过去，让这个人变成零。然后这一列要乘上负的a二分之一，那这有个负的a二分之一加过去是它，然后这个人变成零。所以说这个结果啊，这是幺幺幺，然后这是a2，

这是a3，这是a4，大家注意啊，考试过程当中零的部分就不要写就行，而且我们都是选择题，你不会纠结的吧？所以这时候就变成了上三角，上三角形行列式就变成了这个人，然后这是a三分之一，这是a四分之一。我们再乘上a2a3a4。哎，会做了吗？就一个一个的攻击，你发现你看这俩人没有什么攻击效应，

你就给这人乘上负的a四分之一这个元素攻击他。这个元素攻击他，这个元素攻击他，一个一个的攻击，把这条腿直到攻击没位置，攻击没了之后的话，这个人就变成了一个上三角形行列式。啊，这就是它的一个特点，所以你发现这个操作性的方法，它叫什么东西呢？它叫你别闹啊，你别闹。这个特性叫什么呢？这个东西叫爪形行列式。

哎呀，你别闹腾了啊。好了，这是这个事情，那么在这种当中啊，你要注意一个事情，这个爪形行列式有什么它有以下几种对吧？你比如说这种。你还有这种。哎，你会这种，然后的话，接下来过程还有这种，你发现一个事情还有这种。所以在这里面当中啊，

你发现一个事情，这个爪形行列式啊，有以下几种呢，有以下四种。这几种啊，都是一个什么情况，都是个爪形行列式，所以在这种当中啊，这是个爪形啊，这也算爪形，那这人呢？也算爪形。对吧，就说你这个爪子，你可以往下抓，

对吧，你可以这个往这块抓，你可以往上抓啊，都一样，然后的话，你发现一个事情也可以是这样。你所以在这种当中啊，它这个方法就是什么呢啊，去掉它的小腿就行啊，把它变成什么变成爪形行列式。能理解我的意思吗？好，这是这个问题。行吧，那么这是我们的爪型航列式很简单吧？

你需要干嘛呢？你又不需要总结，你就需要学方法就行了，所以对于你们而言的学习啊，应该是非常非常的简单。你就只需要怎么了？把这个方法学会就行了，遇到这种情况怎么干掉？他遇到这种情况怎么干掉他？你要把这种特殊的行列式啊，把它给我学清楚。好，这是这个问题，过去了可以吗？来我们继续啊，

我们再来看一种典型行列式。什么叫点斜行列式呢？来我们来看看这种。大家有可能会觉得，哎呀，这种东西啊，非常非常的恶心，我给你讲讲这种行列式是最简单的，因为它的套路啊，我马上就会总结给你。你只要有这个套路的话，你做这种题非常简单，这个还常考。那你会发现一个事情，你看这条线上有人。

这条线上有人，然后就是这个点上有人。对吧，你看这有一条线，这有一条线，然后这有个点，这叫点斜行列式。所以什么样的行列式叫典型行列式呢？我把这个东西啊给你总结一下，它就这样。哎，这种情况什么情况呢？你看你这有一条主对角线，然后这块有条对角线，然后这块来个点啊，

这叫点斜行列式。当然的话，同学们注意，你也可能是什么？你可能是这样，你比如说这有一条主对角线，然后这条线在这这个点。当然，也有可能是负对角线。你可能在这。然后的话，你发现也有可能负对角线，你这条线在这，然后这个点在这。好，

这是这个情况，所以同学们注意这种行列式怎么做呢？这种行列式的做题方法就是跟点走。啊根点走。跟着点走点在哪就按照哪进行展开。所以像这种题是最简单的，你可以怎么办呢？你可以按照第一列展开。你也可以按照最后一行展开，两者都行，按照第一列展开，也可以按照最后一行展开。反正点在哪就按照谁展开，那么接下来过程当中你告诉我你选谁啊，我们就选第一列吧都行啊，

无所谓。来按照第一列展开吧，第一列展开的话，你发现一个事情，我们来写一下a这个人乘上第一行的第一个代数余子式。然后是凌晨上什么东西呢？凌晨上这个人代数余子式，凌晨上这个人凌晨上这个人，然后直至最后一个人。b加上多少第n行的第一个要注意啊，最后一行都是零。能理解吧，最后一列啊，这个是最后一个人的，就是中间这个人都是零，

只有第一个人和最后一个人有效率好这个问题。那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个问题来走。先来看第一个人，那这人就是负一的一+1，其实都可以不写了。那谁呢？就是这个人的代数余子式，现在只需要余子式就行。它的余子式是不是就是这个行列式啊？这个行列式什么行列式？这个行列式不就是一个上三角形行列式？我问你个事情，你现在。

你今天听这个课，你的旁边应该有一支铅笔吧？是不是有支铅笔啊？你要在上面稍微的画一画，你不要用眼睛瞅。对吧，你动动手进行画一画，非常清楚，你画轻一点对吧，你不要用油笔画油笔一画，这个东西就看不清了。好了，那么这个人就变成多少就变成了a的n- 1次方。然后接下来过程当中，我们继续，

我们再看BB这个人呢，是负一的n+1次方，然后再来看那这个人的话，你发现就是这个人。去掉这一行，然后再去掉这一列。去掉这一行，去掉这一列，它就变成什么？它就变成了一个这样的一个下三角形行列式了。啊，这个人那么下三角形行列式呢，它就变成了b的n- 1次方。好，这个人呢？

b的n- 1次方。所以说这个题啊，我们就写出来了，正确结果等于多少a的N次方加上负一的n-n+1次方。然后再乘上b的N次方。但是你要注意一个问题啊，有些同学把这个题啊写成了这个人。对不对？你写成这个答案就错了。你要注意啊，正确答案就是这个答案。这是正确答案。负一的n+1次方就是负一的n+1次方。负一的n+1次方不是负一的2 n+1次方2 n+1是奇数，它才是负的。

这些你要注意到，你比如说举个例子。你给n取零。那这是负一的一次方是负的。你给n取一，这是负一的二次方，它又变成正的了，你取二，它是负一的三次方，又是负的了。所以你发现一个事情，这个东西不知道哎，就是这个结果。好做吧，典型行列式好做。

点斜行列式非常好，做它的做题方法是什么？跟着点走点在哪？我就按照哪展开。点在哪个位置？按照哪个位置展开？简不简单？所以说这节课过程当中，我觉得好学就几个点呢，你发现你看你前面过程当中学习这个范德蒙行列式。什么样子的形式叫范德蒙呢？范德蒙行列式怎么计算呢？非常简单。行和相等型的行列式怎么算呢？有什么特点呢？

爪形行列式具有什么特点呢？怎么算呢？你发现你掌握住了这些常规类型问题的方式不就行了吗？我都在给你总结，又不需要你总结。你也不需要总结，你需要消化就行了，你知道怎么处理就行，好了，我们继续啊，我们再来看一种题呃，这种题啊。可能在这里面当中应该是最难的。但是这种最难的题啊，我们考的几率啊，

不会说特别的高。啊，反而这种考题的几率啊是最低的。你要注意啊，这种东西啊，它是可能是我们这几种行列式当中最难的。但是考的几率是最低的。大家好好听，我们来看看三线行列式。什么叫三线行列式呢？你来看看这种。哎，这种。这种情况，它就叫做一个三线行列式。

你比如说你看这是一条线。然后这是一条线。这是一条线。尤其是这种平行的三线行列式。对吧，平行的三线行列式，你这三条线都是平行的。平行的三线行列式。那么，像这种类型问题怎么做呢？当然的话，有的时候三线行列式呢？这种情况。它也酸。你当然爪形行列式也是三星行列式。

但是因为爪形行列式的特点非常的简单，所以说我们就把这个东西啊单独抽出来了，独成一派。那么，三线行列式当中啊，最重要的一种就是平行的三线行列式。那这种类型问题怎么做呢？我们也可以这样办，我们可以去掉它的一条腿。你来把这条腿给去掉。你把这条腿给去掉，然后它就变成了下三角行列式。所以说这里面当中就有第一种方法，叫什么方法呢？叫逐行相消法。

竹行。香消法。呃，你听一下就行了，逐行相消法，大家来听，我们怎么做的？它有点麻烦啊。我们是用这个数消这个数。你消这个数的话，就给这一行乘以一个负的二分之一次方加上去，那这个人呢？就变成零了。对吧，你发现一个事情，

你负的二分之一次方加上去，你这个元素就变成零了。但是你要注意，这个元素已经变了。这个元素变了，不再是二了，然后用变了之后的元素，再是复制到多少倍加上去，把这变成零，但是你发现这个一上去，这个元素变了。然后接下来过程当中，我们就继续我们再来看你，发现一个事情变了之后的这个元素上去，把这人变成零变成零了之后的话，

因为一这个元素变了。然后再来看把这人多少倍加上去了之后，这人变成零，但是你发现这个人这个元素又变了，所以之后啊，这几个元素是变的。你发现是不是麻烦？你不要在那扯。你是不是之前听过那个课程呢？在干啥呀？啥对应肖林成比例？你是用错方法了，对吧？你这容易走火入魔呀。啊，

是不是啊？你想想那个事情，你看过的一些，比如说那个金庸的那种武侠小说。你知道了这个这个招式，但是你发现你胡乱用，对吧？你胡乱用这个容易走火入魔呀啊，你不要乱用，你知道这个方法你就乱用。你就跟在在那个高等数学过程当中一样，你只要拉格朗日的话，你发现你随便用啊，不要这样。好了，

这是这个事情，所以你看这是一种方法。对吧，逐行向销我多少倍上去，我多少倍上去，我多少倍上去，但是有没有发现个事情，这个方法有点麻烦。诶，说实话，这个方法有点麻烦。哎，有一丢丢麻烦啊，这是这个人那么，所以说在这种当中啊，

我们现在讲的过程当中，我们先来看看下一个问题。那这个题到底应该怎么做呢？我们有一种非常好的方式，那就什么东西呢？哎，就是递归法啊，递归法。呃，我们在考研过程当中啊，我们只需要做一些短接的递归法就行。大家注意啊，我们只需要做一些短接的，你不需要做高阶的，你像那种n阶的话，

他出生一到两分题啊，有点残忍了。所以说你做一些短接的就行诶，方法递归法。递归法，什么叫递归法呢？就是找到递推公式，往后面推。你就掌握住这些就行了。所以在这里面当中啊，一定要注意啊，我们只需要做一些短节的，你像课本的过程当中呃。我的书呢？行吧，

找不到算了。然后这里面当中啊嗯，我说一下啊。呃，课本当中啊，有一些这个。好，我们来看看这个人。你像这种。啊，这种你就不要做了。对吧，这种就不要做了，两分钟内肯定做不出来的。也不可能考成这样的。

还有像这种。对吧，你像这种你都不用去做了，你所以在这种当中啊，我们要做一些短接的。你像我们的考试题啊，你要注意一下，你一定要知道我们是怎么去考的，我们核心重点呢，喜欢进行去考的什么问题呢？都是一些短阶的，比如说三阶的，四阶的，五阶的都很少。如果我们考研考一个n阶，

这个n阶必须非常具有特殊性。非常具有特殊性，所以说在这里面当中，我给你举个例子啊，你比如说你看我们考研过程当中可以考这个题。那这个题的话，你发现一个事情，它是一个n阶行列式，但这个n阶行列式极其具有特点规律性，我们考一下。你比如说像这个人呢，你也可以把他写成n级对吧？做题方式是一样的。那么像这里面当中你比如说这个人，这个恩杰，

他非常的具有规律性，他出成一道两分啊两分的考题，两分钟内做出来的题，那是可能性的。但是在这种当中，一定要注意啊，你像这种啊，非常麻烦的，这种题有些没有规律性的题，你像这种你做一个短截就行。啊，基本上都是四节。四阶，四阶及其以下，你像这种稍微有规律一点，

你做一个五阶，六阶都还行了，反正你要注意啊，你像这一旦遇到n阶，这我们出题的这种几率都不高了。你要尊敬我们的考研的这种出题的，这种方式能理解吧，好了，我们一起来看看这种类型问题怎么做呢？递归法，所以首先第一件事情，我们就是按行展开，或者按照列展开第一步。展开这个展开啊，你可以怎么办呢？

按照行展开，你也可以按照列展开。那么，首先第一件事情展开，我们得到什么东西啊？得到递推公式。啊，这是第一件事情，我们先展开展开之后啊，得到这个人的递推公式。那至于这个东西，你是按照第一行展开，还是第一列展开都行，你怎么都行啊？这个人。

去年不讲武德，也是在高等数学不讲武德，跟这个线性代数有什么关系啊？而且那个内容点呢，也不是那样，等将来过程当中，你再回看去年那个真题啊，你其实你发现也没有说那那么怎么样啊？好，这是第一件事情，然后第二件事情啊，你发现根据。递推公式。再找。首相解。

出结果，结果。所以说在这里面当中啊，一定要注意一个事情，第一件事情展开得到递推公式。对吧，把这个行列式啊，我们按照行展开，或者按照列展开，利用行列式的展开定理，把它给我展开，得到递推公式。那么，接下来过程当中啊，我们通过一个题啊，

我们来讲讲哎，我们来讲讲这个事情。大家注意，我们一起来看看这个问题。那么，对于这个题而言呢？首先，第一件事情，我把这个人叫做第五行不行？你要注意啊，这一列是一，这一列是二，这一列是一。长成这个样子，我把它叫做什么叫做第五？

要注意，长成了这个样子，我把它叫做第五五行五列。那怎么办呢？我可以按照第一行展开，也可以按照第一列展开。对吧，按照首行或者首列展开都行，你选什么你随便吧，我就选择首列首行行不行？一样的啊来。二倍的第一行第一列。第一行第一列代数余子式，然后二这个是一倍的，第一行第二列。

那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个人。好，我们先看第一个人，那第一个人呢？我就去掉这一行。然后再去掉这一列。这是负一的一+1。去掉这一行，去掉这一列，那么接下来过程当中，我只需要算这样的一个行列式。那么，同学们告诉我，

这个行列式是什么？这个行列式的话，你发现一个事儿，它这条线二这条线是一这条是它。有没有发现一个事情，这个人长得跟原来是一样的呀。长得是一样。只不过少掉了第一行，少掉了第一列，我能不能把它叫做第四啊？大家注意一个事情，这个第五和第四这叫什么样的递推呢？这叫样子上的递推。也就说，每当我展了一下，

哎，结果你发现一个事情，我就会少掉什么，大家注意啊，它应该是什么少第几行？少掉第一行。少掉它的第一列。把这个人的第一行和第一列给去掉。把这个人的第一行第一列去掉，哎，剩下这个人，我把他叫做第四。那你同理而言的话，你发现第四这个人再少掉一行少掉一列呢，叫第三。

能理解吧好，这是这个事情，然后接下来过程当中，我们再来看一，然后这是负一的一+2负一的一+2的话就是这个行列式。去掉了这一行。去掉了这一列。是吧，所以说接下来过程当中，我们就来进行去计算什么，我就来计算这个行列式了。哎，你发现一个事情，接下来过程当中，我们就要计算这个行列式。

那这个行列式的话，你发现它就是我们的这个余子式嘛，我要计算这个行列式，哎，这个行列式的话，你发现个事儿啊。大家注意一下这个问题，这个行列式有没有发现现在是几阶行列式啊？这是个四阶行列式吧？哎，这个四阶行列式。这个四阶行列式的话，有没有发现它的第一列只有一个一呀？所以说接下来过程当中，我又可以按照什么东西啊，

按照第一列展开了。那我想问你个事情，这个时候的话，这个展开这是第一行第一列还是第二行第一列啊？大家告诉我是第一行，第一点是一乘上第一行，第一点还是一乘上第二行，第一点。啊，是谁啊？是第一行第一列。要注意啊，不再是第二行第二列啊，不不是第二行第一列，这是你要想清楚的一个问题，

有同学说老师我记得这个元素应该是在原来的过程当中，那个第一行第二行第一列啊，不是的。是什么情况呢？我这个人的余子式就是剩下来的行列式。你能听懂我的意思吗？哎，注意一下这个事情是生下来这个行列式，所以说你发现个事，这是生下来这个行列式对这个同学说的非常好，他可以自立门门户了。就是我们来计算这个行列式。能听懂我的意思吗？所以说大家一定要想清楚啊，我们就可以怎么办？

继续按照这个一进行展开了。在这个行列式当中，按照这个一进行展开，那么这个时候的话，你发现我再去掉这一行，去掉这一点。那剩下这个行列式是什么？不就是相当于原来这个人去掉几行，去掉两行两列吗？那么请告诉我个事情，这人叫什么？这个人叫做第三。哎，就是第三，其实你发现就是在第四的这个基础上又少掉第一行，

又少掉第一列。能理解吧，你要是慢，你就多写一行。你要是做的慢，你就多写一行啊，我建议你要注意一下，如果你做的慢，你就多写一行，你就在这里面当中啊，你发现个事情，你就把剩下那个行列式，你把它给我写出来。那是谁呢？就是这里面当中的一零零零一零零二幺零幺二幺零幺二。

能理解吧，你要是慢，你就不要懒，我们接下来过程当中求解这个行列式，那这个行列式的话，你发现一个事情它。他不就是第一列当中只有这个人不为零吗？按照这个人在第一列当中进行展开，只有这个一。乘上它的代数余子式就行了，因为下面三个人都是零，能理解吧，所以说你发现一个事，其实就是剩下那个行列式第三。能理解吧，

哎，注意啊，你只用去求解，剩下的这个行列式。剩下的行列式的话，我继续再做一下，就是第三，所以说在这种当中，我马上就知道了啊，这个第五。就等于二倍的d4，然后再减去d3。大家注意，这叫两项递推式。你要注意下这个问题啊，

这叫两项递推式。你比如说这是一向递推式。你像这种两向递推式。这种情况叫一项递退式，这种情况叫两项递退式，两项递退式需要两个首要条件。一向递退时，只需要一个首要条件。能理解吧，你需要两个首要条件，两个首要条件当然是第一和第二啊。那么，同学们告诉我，什么叫第一呢？去掉前四行。

去掉前四列这个元素就叫第一。什么叫第二呢？去掉前三行，去掉前三列，那这人就叫第二啊，就这个行列式，第二的话就是这个行列式。二二得四减一就是三。大家注意这个问题啊，就是你少掉一行第一行第一列，那叫第四少掉前两行前两列叫做第三。少掉三行三列呢，就叫第二。要注意啊，这种叫样子上的递推形式上的递推。

形式上地推它的意思就什么意思呢？就说我这个五阶行列式啊，每当我进行展开了一下了之后，那这个人就会等于二倍的少掉一行的。然后再减去少掉两行两列的。就说我每当展开一次的话之后，你发现就等于二倍的少，第一行第一列二倍的再减去少的前两行前两列，这叫样子上的递推。所以接下来过程当中，我们就可以递推了。来吧，一起来看看。第五。它等于二倍的d4-d三。

d5=2倍的d4-d三那d4不就等于二倍的d3-d二吗？所以我们就写一下，这等于二倍的d3再减d2好，再减d3，所以说这个结果就等于。三倍的d3-2倍的d2。那d3就等于多少呢？d3就等于二倍的d2-d一好够了，所以说你发现一个事情就等于二倍的d2。再减第一。所以说再减去二倍的d2，因此你发现就等于四倍的d2-3倍的d1。所以说这个时候啊，你发现一个事情，第二等于几呢？

第二=3，第一等于几呢？第一=2啊，所以说你发现一个事情，这个结果等于二。因此就等于六。好了，这是这个问题吧，我们就讲清楚了。所以说你在这个操作的过程当中啊，一定要注意这个问题啊。它是怎么来的？就是我们只要展开了之后，我们一定要得到一个递推式，这有件事情非常重要，

你再强调一遍啊。如果是一向递推式。我们只需要怎么办？我们只需要知道一个条件。一个首要条件，如果是两项递推式，我们必须要知道两个首要条件。这个事情很重要，一旦得到这个短阶的递推式，你就往下推两阶就出来了。你这个做题速度啊，它就会很快，所以你发现这是一种非常特殊的方法。对吧，它跟我们原来的这种操作性的方式不一样，

很特殊，有一点操作性水平有一定的难度。但是我觉得这个题啊，你发现一个事最重要的这个难度系数在哪呢？哎，最重要的难度系数啊，在这个展递推式。你要觉得第一种方法更简单，那纯属胡扯。这个方法要比那种方法简单的多。这种方法的话，你发现无论是这种短阶段，你再高阶，你再高阶，这种题都会做啊，

这个题啊，你下去过程当中，你再看看。所以说在这种当中啊，一定要进行进行处理清楚这个事情，你像这种这种递推法，这个方法是非常非常好的。哎，大家下去过程当中一定要好好练啊。哦，难度系数啊，倒不是说特别大，你像我们这个做的，只用进行去解短接的行列式，这没有什么难度的。

你像这里面当中的话，你发现如果进去去求一些什么n阶行列式去解这个递推式啊，难度系数就有点大了。好了，这是这个问题，所以你发现看一旦做到这，这就是一个初衷问题了。对吧，一旦做到这，这就是个初衷问题了。这就是一个初衷问题。所以在这里面当中的话，你发现你知道这个人知道这个人知道这个人，然后往下进行去做啊，这个人就很简单。

能理解吧好，我再强调一遍，就说你展开了之后，你去找递推式，找到递推式了之后，你往下来就行啊，这个基本问题。不会的，用最基本的一点点消耗可以啊。啊啊。这一步看不懂吗？还有我说几个问题啊呃，你不要钻到自己的这个思想范围内当中啊，我考研过程当中，我可以考一个四阶的呀。

对吧，考一个四阶的，你是一个基础班的同学。现在就把这个最重要的方法给放弃掉了。这不是一个好的学习方式吧，我们在这一年过程当中，学习过程当中会遇到很多很多难度系数大的点呢。你不能说它稍微的难一点，你就把它放弃掉了，你这你觉得这是一个很好的学习方式吗？不是吧？只有难一点的东西，它才具有区分度。你要是像刚才这些题啊，你会别人也会的啊，

这都会的啊，都会的，所以说我觉得你是个基础班的同学。所以说这个这个部分的内容，你一定要好好进行，把它拿下来，越是这种东西才重要，而且况且它也不难呐。啊，还有一个事情，你不要钻进去了，他说啊，这个一两分钟能做出来吗？你发现个事情，这这本来就能做出来的。

这三分钟范围内本来就做出来的。那另外事情我来说一下啊，刚才有个同学问这个问题啊。好，我们来看看这个人。来，我们来看看这个人呃，这个东西怎么进行去推呢？就是这个递推式应该是n。n- 1，n- 2的关系，你如果把这个人少一阶，不就变成四了吗？你这个人少一下，不就是三吗？

你这少一下，不就是二吗？你再扫一下，这人不就是三，你再扫一下，这人不就是二，再扫一下，这人不是一吗？能理解吧啊，这个。这为什么稍微有一点点难度？这个这个词嗯，没事儿，你下去过程当中好好看一看啊。好，

这个问题过去了可以吗？不是说特别特别难啊，你所以下去过程当中，你好好想想这个事，我再来强调一遍。如果像遇到这种平行的三线行列式啊，你可以怎么办？选一个人进行展开，你可以在这种当中啊，你选第一行展开。或者选择第一列展开，你展开了之后的话，你进行去把这个递推式找到。一定要注意啊，但是我强调一个问题，

你看。你像这个题的话，它是这样的一个特点。这个平行三线行列式，那这个平行三线行列式啊，你把第一行去掉，第一列去掉，你剩下的这个东西啊。你剩下这个人呐，跟原来这个东西是一样的。对吧，你剩下的这个东西跟原来一样，只不过他怎么办？他是少掉第一行，少掉第一列，

他得到这个人。一定要注意啊，样子是一样的，只不过怎么办？比它小一点点。对你说的很好，小于号啊，小于号。这题非常重要，这是我们今天最重要的内容。难度系数最大，对吧？操作性也最强的一个点好，这是这个事情。行吧，

那么这个问题啊，我们就讲到这儿，那么今天的部分内容啊，我们也就讲到这儿，然后还有留下了最后一个人啊，最后一个人呢，我们下节课我们再来讲啊。这个最后一个事情。所以说这个第一章啊，我们就基本上讲完了。那么，在第一章的过程当中啊，其实你发现知识点其实很少的。知识点真不多，那么下节课过程当中，

我们就来讲矩阵了。那么，在第一章的过程当中，我们来稍微捋一下核心重点，还是就是三个事情，第一事情你要知道行列式的这个定义。你要知道上三角行列式，下三角行列式，它是怎么算的？然后第二事情你要知道行列式的五大性质。然后你还要知道什么叫余子式，什么叫代数余子式，你要知道余子式和代数余子式跟该行该列的元素没有关系。你要知道行列式的展开定理是什么意思？对吧，

是什么意思？然后你还要知道某一行或者某一列代数余子式的线性和是怎么做的？那么在这节课过程当中，我觉得还有一个事情比较重要。那比较重要的是什么呢？像这里面当中啊，这种非常简单的，这种四阶行列式是怎么做？纯数的这种四阶行列式怎么做？你可以一条路走到黑，永远画上三角。你也可以怎么办？把上三角还有这个什么东西呢？行列式展开定理融合到一起，打一套组合拳。

对吧，这两件事情都可以，那么所以说在这种当中要灵活应用，一定要灵活一点，所以说我建议一个事情，你下去过程当中，你可以把这几个题啊，怎么你都算一下？你可以怎么办？一条路走到黑，对吧？你把这个人削成零了之后，然后这几个人再削，当然你会发现你把这人削成零了之后，你可以按照这个人展开，

然后去求剩下的这个行列式。所以我们在这个第一章的过程当中啊，考的这个内容不是说特别特别的难。哎，不是说特别难，一定要注意啊，把我们上课讲的知识点一定要吃透。所以我就觉得一个简单的一个问题，你想去处理我们考研过程当中第一章的题啊，你就把我们习题集上的这几个题。还有什么情况呢？还有我们这个讲义上的这几个题，你牢牢这个东西啊，自己独立自主，能把它算出来就可以了。

就可以了，你能把我上课讲义上这几个题，还有我们习题集这几个题啊，你能做出来，我相信你去做别的。涉及我们考研相关的这个问题都没有什么难度。所以这是你要注意的。那么，这节课的过程当中，我觉得更加重要的几个点就是我们介绍了几种比较特殊的行列式嘛，比如说范德蒙行列式。它很特殊啊，还有行和相等型列和相等型爪型，还有这个典型行列式，还有这种三线行列式怎么做？

对吧，像这种人怎么做，当然还有最后一种情况，那就是你需要观察了。那这种话说起来，你发现跟没有说是一样，但是我就是说了。但是它而且还很有用，就是这个东西给了你之后的话，你发现你得会进行去观察。对吧，你去观察一下这个事情，你去观察出来，每个这个东西之间的一个什么这样的一个关系，你去观察。

你去消那，所以说在这里面当中这件事情其实还很喜欢考啊，这个人。好了，这是这个问题吧，那么接下来过程当中，我们来布置一下这个今天的这个作业。你所以说在这种当中啊，你要喜欢算对吧？一定要喜欢算你下去过程当中啊，多算一算好了，那么接下来过程当中。过程当中，我们把这个这节课的作业我们布置一下。呃，

做一下这个题吧。你可以把这个题下去再做一下啊，这个人。你可以下去过程当中啊，把这个题再做一下，就这个题这个题的话，你发现一个事，你还可以继续怎么办你看？你可以怎么做呢？你可以用这个一你把这个一消掉，你再把这个二消掉，能理解吧？用这个一。把这两个人消掉，然后接下来过程当中啊，

这几个人肯定是变了嘛，然后用这个人展开进行去求解这个行列式。那这个行列式的话，你发现里面当中有谁再需要两个，我们再进行去展开能理解吧，所以说下去过程当中利用方法二，你再把这个题再做一做。啊，说的话要听啊，这个事情。然后接下来过程四点七这个题四点七这个题的话，你当你换了之后的话，这个人怎么做？你要进行看看四点七啊这个题。还有这个题。

这几个题。呃，这个题先放到这吧。对吧，这题先放到这。我觉得这个方法二不需要讲啊啊，你自己做吧，对吧？不需要讲我删掉这个消掉这两个零了之后，你这题也有答案，你做的不是这个答案，你肯定做错了。你也可以进去去检验一下自己的这个做题的一个情况啊，这个。好了，

这是这个题，然后这个题啊，作为这节课的拔高题。四八二这个题作为这节课的拔高题，你去观察一下啊，这个题啊，这个题我下节课可以讲一下，因为这个题的话，你发现一个事。呃，他很有意思。很有意思的一个题啊，这是四八二这个题，然后这个题啊留到下节课过程当中，我再来讲讲。

啊，我下节课过程当中啊，我会讲一下这种题四八三这种题这种题啊，就是拓展题了。对我们三九六的同学就是拓展题了啊。呃，四八二这个题啊，你自己下去过程当中，你好好想想，四八二四八三你可以放到这。啊，这个题。行吧，别的题我觉得你做起来应该这都是我们在考研过程当中啊，我们觉得我们能够处理的一些题。

你像这几个题啊，你要如果的话，你发现四八一四八零四七九四七八还有四七七，你做不出来？你做不出来怎么办？不是你学习的问题，是你学习方法的问题，你赶紧去把讲义上的例题你再做一遍，你再回过头来再做。如果还做不出来，你再反反复复，再把讲义上的那几个题消没到位，你再来做，你绝对能处理清楚。你要注意这几个题，

你没做出来啊，你这个学习方法，这个就会出现一些问题，好好调整一下好了，那么今天课程呢，我们就讲到这儿。可以了吧好，这是我们今天部分内容，所以说今天过程当中啊，讲完了之后我们第一章的行列式就基本差不多了。然后到了这个呃，下节课过程当中。下节课过程当中，我们的核心重点我们就来讲矩阵了。对吧，

就讲矩阵了。呃，另外一个事情啊，明天晚上有一个那个每日一期的课程，你想听呐也可以去听。啊，你可以去听，因为里面的过程当中啊，有几个呃东西啊，是帮着做题的速度的啊，你可以去听。你想听的话，明天过程当中，你可以去听一下，因为那个东西的操作性啊，

很强很强，当然的话，可能比我们考研过程当中的题目的难度系数啊要大一点。但是你能把那些方法学会啊，我觉得也是非常好的啊。好，那么今天课程呢？我们就讲到这呃是明天的这个九点半啊。你可以去那个APP上就有。APP上有那个。其实也是个免费课啊，就是一个零点一元的，一个拼团的课程。就在APP上，你可以去看看。

啊，零点一元拼团啊。好了，这是这个课程行吧？那么这个事我们就说到这呃，你想你想看的话你就看，如果你没有时间的话，你可以不看。都没有关系啊，不会影响的，反正我们强化班过程当中啊，我们该讲的这个东西啊，我们都会去讲。好，那么今天课程呢？

我们就讲到这吧，过去了可以吗？好，那么这是我们在今天过程当中啊，讲的这个问题，所以你要注意啊，这个今天过程当中可能最难的这个点呢，是最后这个人。你下去过程当中，你再把它演习一遍好吧？好，那么今天课程呢？我们就讲到这呃，应该是下节课是周几啊？这个我最近我也不太记得了，

好，我们下节课再见吧，好，下节课继续。

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