01.行列式的定义与性质-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:53:33

继续吧啊，这个我看了一下，这个评论区当中的一些问题啊呃，很明显的话，这个上课听课也要注意力集中一点啊。好了，我们来看看这个事情吧啊，刚才这个人。我解决一下吧。你要是不知道，我刚才都讲到这个位置，你不知道这个东西三是怎么出来的，那我感觉这个半天的话，你发现你。你再零基础，

我觉得这个东西啊，也不重要啊，好了，我来说一下这个事情吧，我再来强调一遍。那这个行列式的话，你发现会算出很多结果，对吧？你这里面当中会算出好多好多结果，对吧？你这里面当中算一个结果。然后的话，你看这还有一项，然后这还有一项，反正的话，

你发现一个事情，这里面当中有好多好多项，对吧？好多好多项。诶，这个人。对吧，有好些箱好些箱的话，你发现一个事情，我在这里面当中的话，你发现都是好多箱好多箱哎，你发现好多箱。但是这一项的话，你发现个事情，我们要什么东西呢？

我们只要常数项。对吧，我们只要常数项，我们要既然要常数项的话，你发现一个事情，刚才我们说这样去乘它可以是常数项。对吧，你这乘出来是常数项，你这乘出来结果是多少？乘出来是负六，而你的系数是多少呢？你的系数是一？你的系数是一的话，你发现一个事情，你系数是一，

说明这里面当中有一项是减，有一项是负六。然后再来看看，如果这是常数项的话，你发现这个人，那这些人相乘的话，他是多少呢？是负九。而前面的这个逆序数的话，你发现让我配的是负一的这个负号，所以说在这种当中，这一项不就是九吗？刚才有个同学非常在那纠结，说为什么不能取零好，你就取零吧取呗，

假设你发现第一行取零。对吧，取零剩下的别管你怎么取，最后乘出来是不是零，假设你发现这有一项是零。零有什么用呢？你零的话，你发现一个事情，你加起来之后还不是三吗？所以说大家注意一个事情，你要理解你在干什么？能听懂我的意思吗？你取了零的话，你发现个事情，你最后把这些常数项加起来，

这有什么用呢？你凌驾这些人的话，没有任何作用啊。所以说在这种当中，最后的结果是谁？就是a啊。这个人能听懂我的意思吗？啊，这个非常简单啊，我再强调一遍，这跟你零基础可没有关系，我刚才就说了，你只要具备什么东西呢？你只要具备初一的水平就能学。那所以说在这种当中，

你不信你扔给一个小学生，他也会做啊，这个人好了，这是这个问题吧，来我们继续再来看看这个人。那么，这里面当中，我们继续看啊，再看这个人，我们现在要什么？我们现在要三次方。对吧，我们现在有三次方，你为什么不取？你自己去画一画对吧？

你不不要老是自己这个老喜欢拿来主义啊。好了，那么接下来过程当中，我们继续，我们再来看看三次方。啊，再看这个人。那么，只要三次方倍，那就是三个s相乘。那么，同学们想想一个问题啊，我们在这种当中操作下。我如果在第一行当中取了x。第一行当中取s，

我要三次方，我是不是还得取两个s？你还要取两个s的话，你比如说你随便取这两个。你只要取了这两个s，你一定会取这个s。对吧，你取了这个s，你就一定得取这个s。为什么我们分布于不同行，不同列？你随便的去掉is必须要去掉第三个人，所以说在这里面当中，这个人不行。绝对不行，

然后接下来过程当中，我们再看这个人。如果这里面当中有个s哎，你看有一个s了，我现在要三次方，我必须要再取两个s诶，剩下还有两个s取满。剩下的一个人在这儿，哎呀，非常好，可以的，所以说这个时候的话，你发现有第一种情况，那这种情况是多少第一行的第二个？第二行的第一个，

第三行的第三个，第四行的第四个能理解吧，这是可以的，然后这个时候的话，你发现你这个人是x你这个人是一你这个人是s。这是s，但是要注意一个事情，前面有正负号吧？你不是说x三次方，你前面还有个正负号呢，你正负号的话，行顺排就是列的逆序数二一三四。逆序数是几啊？那这人前面是零个，然后第二个前面是一个，

第三个人前面是零个，第四个人前面呢？哎，你发现一个事情三的前面呢？没用，然后这个人呢？调换一次就行了啊，这个直接看了对吧？一次一次的话，你发现一个事情就是负一的一次方。那所以说最后的而言的话，你发现这一项的结果是负的I三次方好，这个人第一种情况可以来继续。然后接下来过程当中，我们再来看，

如果第一项当中取一呢？取一绝对不行，为什么取一的话，你发现剩下的这个空白当中都没有三个s？那这是不行的，所以绝对不行，只能是最后一个人。最后一个人，我们再看一下。那这个时候你发现取了一个s，还必须要再取两个s，把这两个取完诶，漂亮，你发现剩下的这个人刚好位于不同行不同列。所以这个人是可以来第一行的，

第四个第二行的，第二个第三行的，第三个第四行的第一个。是不是这个人呐？所以说你发现一个事情，这人是2s，然后这是s这是s这是二好这个结果。然后接下来过程当中还要看逆序数，对吧？一二三四排着了，然后四二三一看这个人。前面有几个零个，然后前面有几个一个，前面有几个一个，前面有几个三个，

那这里是几五？那既然是五的话，你发现就是负一的五次方，所以说最后结果得到了多少负四倍的s三次方？因此，这个结果等于多少负五倍的x三次方系数是多少是负五。是不是出来了？好了，这是这种题啊，不要进行去抱着手在那看你，在你笔上进行去画一画，你在你讲义上画一画，你才能看得出来。不要眼神就这样抱着，听你抱着听，

没有任何作用的，那这些东西你不上手，你根本看不出来。你就眼睛在那盯，你在那盯怎么了？你好像呢，你动手了之后你就输了一样，它不是这样的啊，基本点好了，这个题啊，我们就讲到这儿。好了，这是我们讲的这个问题，一定要动手啊，下节课过程当中准备一支铅笔，

听懂吗？啊，要准备一支铅笔。在那个上面画一画。你在这里面当中，你看我还经常给你画一画呢。好了，这是这个事情，过去了可以吗？来我们继续再来看看下面一个问题，我们来看看一点四这个题。呃，如果刚才这个东西你还没有听懂啊，为啥不是复印你没有听懂啊？你得重重看啊，

你得重看一遍，我觉得这个部分内容已经没有办法再往下讲了啊，好了，这是这个事情嘛，我们就讲到这儿来，继续再来看看一点四这个题。那么这个题的话，你发现一个事情，我们又讲几种特殊的行列式。这两种特殊的行列式啊，非常的关键，那么首先我们先来看看第一个事情，这叫主对角线行列式。诶主对角线，主对角线行列式的话，

你发现一个事情，你看上面是有人的，下面全是零。下面全是零，我们把这个东西叫主对角线的上三角形行列式。好这个人，然后接下来过程当中，我们就继续我们再来看下面一个问题，你再看这个人，那这个人的话，你看这也是主对角线的。主对角线的话，但是你发现下面有人，上面全是零，这叫主对角线的下三角形行列式。

然后再来看看第三个人，那第三个人的话，你发现只有这条线，这叫主对角线的对角线行列式。诶，对焦行列式。好，这三种行列式，这三种行列式啊，你要知道它那么接下来过程当中，我们来看看这个东西怎么算吧，我知道有些同学可能大学有一点基础，你们老师都讲过。主对角线的对吧？主对角线的上三角，

主对角线的萨线，下三角，主对角线的对角行列式都会等于对角线元素的乘积。为什么呢？今天总得学通吧？虽然这个学通对你的这个考研好像没什么帮助，但是帮助了你理解好，我们来看看吧，随便选一个人啊。假设你发现一个事情，我们来看谁呢？呃，我们就来看这个人吧。我们就来看看这个人。盯着来啊。

看这个人看看这个行列式等于多少好，首先我们先来看看第一行，告诉我第一行只能取集。第一行只能取你。为什么第一行剩下的人的话都是零？那都是零的话，你发现你你没有用啊，你零乘任何数都是零，最后加上的结果是零。所以在这种当中，第一行只能取你。第一行去逆了之后的话，第二行就不能再去了。好，我们再来看这个人，

那第二行只能娶谁啊？第二行还只能娶你。为什么你后面这些人又是零，所以说第二行只能取你。那这样下去了之后的话，第三行只能取对角线，第四行只能取对角线，最后一个人只能取它，因此你发现这个式子的结果只有一项a一一。a二二ann。是不是这个问题啊？那么同学们想想一个事情，而且行是顺排的，列是顺排的，所以说这是负一的，

多少零+0次方？行是顺排的嘛，逆序数是零列是顺排的，逆序数是零，所以都是零，所以这个结果就是这个人。所以这个主对角线，它的上三角，下三角，还有这个对角行列式，它的这个行列式的结果都等于多少？就等于对角线元素的乘积。诶，就等于这些人的成绩。能理解吧好，

这是这个问题，就等于对角线元素乘积，然后接下来过程当中，我们再来看看负对角线。好，继续看。再来看看第二个人负对角线。好，继续来看看这个人。那什么叫负对角线呢？那这个人的话，你发现看你是这条对角线，这叫负对角线。那负对角线的话，你看这个人是它的上三角。

上三角行列式。然后这是负对角线的下三角行列式，这两个东西得记住啊，这非常重要，这是负对角线的对角行列式。所以是负对角线的上三角。负对角线的下三角，负对角线的对角行列式。那么，接下来过程当中，我们来看看这个人到底等于多少呢？我们继续来再瞅瞅。啊，这个东西估计很多同学也背过，结果吧，

等于负一的二分之n乘n减一负，对角线元素乘积好，我们再来推一下吧。那么，接下来过程当中，我们一起来看看，比如说我们来看这个人。别人都是一样啊，你选一个都行，好看这个。那么，请同学们告诉我，第一行只能娶谁？第一行只能娶这个人？对吧，

第一行只能取它，你不能取零嘛，你取零的话，你乘起来是零，没有任何意义了。只能取这个人那么，然后到了第二行呢，第二行你是不是只能取这个什么哎，这个对角线元素，你只能取它。依次下去的话，你发现你只能取它，所以说这个时候的话，你来写一下，第一行是第n个，

第二行是n- 1个。第三行是n- 2个，然后一直到多少？第n行是第一个。那这个时候你发现我把行顺排了，只有这种情况，没有别的第二种情况了。行顺排呢，就是列的逆序数nn- 1，一直到二到一，同学们告诉我这个逆序数做过吗？有没有做过？你不要给我来一个这个东西都不记得，这刚才讲的讲的第一个例题，第一个例题的话，

你发现是不是负一的二分之多少n×n- 1？就这个人，所以你看是负一的，这个人的逆序数，所以说这个东西啊，马上出来了。你要知道我上课的那个讲一下那个例题啊，不是随便给你来的，我后面肯定要用啊，好了，这是这个人吧，因为逆叙述那个东西比较简单。那所以在这个当中举的这个例子啊，这块刚好要用那么这个结果是多少？它就是负一的二分之n乘n减一。

然后什么呢？负对角线元素的乘积，一直乘到多少an？要注意负对角线元素乘积，然后这个前面还有一个负一到二分之n乘n减一的序数。好，这个问题啊，我们就讲到这儿跟得上吗？同学们。基本点啊，像这两种行列式啊，是我们在考研过程当中必须要把它记住的。因为它是用我们用的模板行列式。因为这两种行列式啊，它的结果是好算的，

上三角下三角对角行列式的计算结果非常简单。主对角线呢，就是对角线元素乘积，然后这个负对角线的话，你发现就是多少呢？哎，就是这个负一的二分之n乘n减一。你说吧，这个。你这听力。你说这节课听那个啥呢？重听啊，重听回去，重听对吧？不是这个，

这个为什么有负一我解释过呀？不是说不要问为什么你这个东西我不是解释过吗？啊哎呀，这个这这这节课的话，你讲了这么半天就讲了这一个内容。对吧，这个行列式的结果是由什么构成的？有多少项？每一项是怎么构成的？这个系数是什么？这做了这么多道题了啊？行吧，那么这个问题啊，我们就讲到这儿，那么接下来过程当中，

我们来看看这节课的黄金重点内容。相当重点的东西，行列式的性质，哎，行列式的性质，这是考研中的黄金重点。那么，接下来过程当中，我们一起来看看这几个问题。我们先来看看这里面当中的第一个性质，我再来说一下啊，这些性质一定要把它接受了，一会儿过程当中我们要用这些性质进行去处理问题。这是我们在考研过程当中啊，容易进行出题的点好，

我们先来看看第一个事情转制之后的行列式值是不变的。我先说一下这块内容，我的讲法你可能看的很多书啊，都是n阶行列式n阶行列式对吧？动不动讲n阶行列式非常的恶心。在这种当中啊，你要注意一个事情。你不是好奇，你还是得重听啊。不不，你不是不是你是的你你得重听对吧？你一定得重听。好了，这是这个问题吧，那么接下来过程当中，

我们一起来看看它的几个性质，把这几个性质啊，你要好好进行来。因为这几个性质，一会儿过程当中，我们要重点用，不要老是进行去举例子，举n阶行列式。你就举个两阶行列式，三阶行列式就行了。好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个问题。好，先看第一个事情转置之后的行列式值是不变的，

那么先来看看第一个问题，什么叫转置呢？你比如说你看我把这人写成a1a2a3，这是三个数，我把这人写成b1B2B3，这是三个数。我把它写成c1C2C3，又是三个数。那么，在这种当中啊，我们一起来看看这个问题。那什么叫转制呢？转制是这样，有的人说转制就是沿着对角线翻折，不要这样学。

那个东西没有什么意义，它最重要问题的话，什么叫转置呢？你把这个行的你给我写成列的。然后接下来过程当中，你再把这个行的你给我写成列的。对吧，然后第三个事情你再把这个行的。换个颜色换这个，把这个行的写成这个列的。c1，c2，c3。把这个行当的话，你发现一个事情，

你发现一个事儿，把这个行当写成列等，那这个东西啊，它就叫做转值。哎，注意啊，这个东西啊，就叫做转置，能理解我的意思吗？哎，这就叫转置。那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个问题，大家注意一个事情诶，

你发现这两个东西是不是相等的？哎，没有关系啊嗯，这个上课啊，这个我可以调侃你们，你们互帮互助行吧啊，对同学互帮互助。有的时候我调侃的，大家还还挺开心的，对吧啊，你们就不要调侃了，对吧？好了，这是这个事情啊。啊，

这个我觉得呃，其实同班同学吧，都也没有什么恶意，对吧？大家这个上课的气氛呐，尤其是这个之前过程当中嗯。我可能的话，今年过程当中是三九六开的，这个第一波的这个全程班啊，去年过程当中有些同学可能听过这个数一数二数三同学的这个部分的课程。啊，班上有好几个同学上课的，有的时候你发现呃也很有意思，我也老是调侃他啊，后来关系也特别特别的好。

我相信有一个同学的话，你们应该特别熟，我说了好几次了，那个叫不刻意同学对吧？你应该是非常非常熟悉。比我还有名啊，比我还有名好了，这是这个事情，那么接下来过程当中，我们就继续吧，我们再来看。那么，这里面当中啊，你发现一个事情，这三个人大家注意啊，

这个东西的话，你发现一个事情，它是不变的，对吧？这东西是不变的。那么，在这个当中，我们来看看这个事情，大家有没有发现一个事儿？你来看啊，这个东西的行是不是跑到这个列了？然后接下来过程当中的话，你发现这个行是不跑到这个列了，然后再来看看这个事情，你发现一个事情这个行是不跑到这个列了？

好了，那么接下来过程当中啊，你发现一个事情，这个行变成列了，我问你一个事情啊，这个性质很重要。如果我在这个部分当中调换了一二行。你看我把这两行交换呢，在这件事情当中是不是相当于交换了一二列？我如果在这个第二行当中乘上k倍，是不相当于给这个第二列乘上k倍？是不是如果你在这种当中交换了一三行，我是不是就相当于交换一三列？而且你发现这两东西是相等的。对吧，

这两东西是相等的。俩东西是一样的。所以说在这里面当中啊，第一个性质就告诉了我们什么东西呢，以后行列式行有什么性质列就有什么性质。因为转置之后它是不变的，如果你说第一行乘上二倍，我就相当于给第一列乘上二倍。行，有什么性质列就有什么性质，能掌握清楚吧，所以说接下来过程当中我讲的所有的性质行，有什么东西列就有什么东西。你比如说一会儿我们讲互换交换两行加富豪，那交换两列呢，

也是加富豪的，能听懂我的意思吗？所以说你发现这条内容就交代给我们的这件事情。好，这是第一个性质啊，必须要把它记住，行列式转置了之后是不变的好，我们再来看看第二事情。互换那么行列式的互换当中啊，这是一个重点性质，就是交换行列式的两行，这个行列式呢，一定要变化。好，我把这个复制下来。

好，再来看这个人，那如果在这种当中，你发现一个事情，我来调换这两行，调换这两行，什么意思呢？我就是把这个什么a1a2a3这个东西呢？你发现一个事情，我把它写到第二行去了。能理解吧，把这个b1B2B3这个东西呢，我写到第一行去了，好这人跑到第一行去了，然后这个人呢，

他不编。c1，c2，c3那么同学们注意一个事情，我是不是交换了两行交换了这两行行列式啊？要加符号。要注意啊，调换两行行列式要加符号。呃，你不要说老混，你将来过程当中一定不会混的啊，所以在这种当中一定要注意交换两行行列式，要加符号。那同理呢，交换两列行列式也要加符号。

好，这是互换的性质，能理解吗？好了，那么接下来过程当中，我们再来看一个事情，你再来做模型。那如果在这里面当中的话，你发现个事儿，我把这个人改一下，我把这个人写成多少a1a2a3。行不行a1a2a3那么这个东西了，你发现是这个人好，这有两行是相等的。那这个时候你发现个事儿，

我把这个行列式怎么办？我进行交换，我交换什么东西呢？我把这一行我写到第一行。能听懂吧，我把这一行呢，我写到第二行。也是什么意思呢？把这人写到第一行去了。把这人写到第二行去了，是不再交换两行来，你告诉我事情交换两行行列式要怎么办？加负号。是不这个事情，但是你会发现一个事情，

你交换的跟没有交换是不一样的。而且你发现一个事情，行列式是一个数诶。比如说这个数是x。那就等于负的这个数诶。那所以说你发现一个事情，这个数等于几啊？就等于零啊，所以说在这里面当中啊，你要注意一个事情，对吧？你移过去就二倍的这个数等于零嘛，那你就等于零，所以说我们就得到了一个重点的推论。如果行列式当中啊，

有两行或者两列完全的相同行列式等于零。能跟得上吗？好，这是这个问题，所以说你看这个推论就非常简单了。跟得上吧，好了，那么接下来过程当中，我们再来看下面一个性质，魏晨。那被乘这个性质是个什么性质呢？来，我们继续来看。再来看好，继续看。

被乘，我们可以给行列式怎么了？给行列式乘上一个数啊。对不对？我可以给这个行列式乘上一个数啊，大家注意一个事情，如果你给行列式乘一个数，那么我们在行列式当中可以选一个单行单列。都成这个数，要注意啊，这是单行单列。单行列行列式进行乘个数只能单行单列乘，比如说举个例子，我能不能选第一行？我选第一行进行乘行，

不行可以啊，你给这个第一行当中的话，你发现你乘个k，你乘个k，你乘k没有问题啊，这是相等的。对吧，那么在这么当中的话，你发现一个事情，你能不能选第二行？也可以啊，你可以在这种当中，你也可以选第二行。注意你也可以在这种当中选第二行。我们选这一行，

我们选这一行的话，你发现一个事情又是k倍的，它k倍的，它k倍的，它反正你就记住一个事情。一个行列式乘上一个数，我指的是单行单列乘。你也可以乘给第三行，你也可以乘给第一列啊，你也可以乘给第二列啊，反正你要注意我这个行列式乘一个数，我只能是单行单列乘。能理解吧，单行单列程。能理解啊，

一定要注意，只能呈给一行，或者呈给一列，你不能呈给两行，三行也不行，那么接下来过程当中，我们再来看一个事情。诶，这是正着看那么同学们想想一个事情，如果这个内容反着看呢？你再看这个人。如果在这里面当中反着看，不就是这个东西吗？大家琢磨一下这一行是不是有公因子啊？这一行有公因子，

我是不是就把这个公因子怎么了？提出去的呀。是不是这个问题？你是不是可以这样看你反着看的话，你发现一个事情单行有公因子可以提出去。这就是我们在这里当中啊，讲解的被乘对吧？你单行有公因子可以提出去，如果行列式乘个数啊，只能是单行单列乘这个数。好了，这是我们讲的这个问题，然后接下来过程当中，我们再来看一个事情，你继续啊，

如果在这种当中，我们继续写这个行列式。好，如果这个行列式的话，你发现一个事情是k倍的a1k倍的a2k倍的a3。那么，接下来同学们，我们来看看这个事情，我们刚才都讲了，如果这个行列式的话，你发现单行有公因子是不可以提出去啊？第一行是不变的，最后一行是不变的，你只需要怎么办呢？把这个中间的这一行写成多少？

写成a1a2a3。是不是这个事情，而又发现一个事情，两行成比例，两行怎么办？相等行列式是不是等于零啊？所以结果就出来了。因此，我们就得到了一个重点，什么重点呢？如果两行成比例。两行乘比例行列式等于零。对吧，两行成比例行列式等于零，两行相等行列式也等于零，

这是一个非常重要的推论呐，讲义上有吧，你把那个东西勾一下就行。好，这是我们讲的这个第三条性质，过去了可以吗？注意这三条我们已经学了三条了，总共只有五条性质。第一条是什么？转置不变，第二条什么交换的就要加负号，第三条什么如果行列式乘个数是单行单列乘，把它给我记到脑子，你接受它。一会儿就要用它，

你注意啊，一会儿我们就要用这些工具，就用这些人，一定要把它给我接收了，然后接下来过程当中，我们再来看看第四条性质。再看这个。他说了一个事情，倍加性质，这是我们在这里面当中最重要的一条性质。哎，最重要的。那么，在这个当中，他说了一个事情，

如果行列式的某一行的歌元素乘以同一个数。加到另外一行的元素上去，行列式不变。什么意思呢？这样讲稍微的会麻烦一点，那么接下来过程当中我们还是来进行举例子。好，我们来看看这个行列式。比如说这里面当中啊，你发现我选第一行。我再选最后一行。可以吧，这两行什么意思呢？它的意思是这样。我比如说举个例子，

我在这里面当中选第一行，我乘一个k倍加到第三行去，行不行？我再说一遍，第一行乘一个k倍加到第三行，你乘一个k倍加到第三行的话，第三行就变成c1。ka 1，c2，ka 2。c3 ka 3。这就是倍加的性质。把这行乘上k倍加到第三行。那这时候你发现第一行变不变，第一行不变，

变的是第三行。大家能理解我的意思吗？变的这个东西啊，是第三行，而且你发现这个行列式是相等的。这是非常著名的性质啊，就是你永远在做倍加的时候，这个行列式的这个结果它是不变的。就是永远选这个人，你把这一行的k倍加到另外一行，这个行列是不变的。列也一样，所以说这个性质啊，叫做倍加的性质，这是一条非常非常重要的东西。

倍加的性质，那么在这里当中啊，我们来看一个题吧，利用倍加使用高斯消元法化简行列式，这是非常重要的。那么，在这种当中，我们来出一个题，一会我们再来总结啊，不要着急，好，我们先来写一个行列式。比如说这是一一二。然后这是二多少呢呃，这个？

比如说这是五。对吧，然后的话你你发现一个事情减去二倍，比如说这是十。然后在这里面当中是三，然后的话，这是呃，这是六，这是12。行吧，看这个人。那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个事情，你看我怎么做这个行列式？

我们考研很喜欢考这种行列式啊。我们采用方法是什么？画上三角行列式。注意把这个东西啊画成上三角方式。所以说你要注意一个事情，我的方向非常简单。我利用什么东西呢？利用贝加。的性质，我下面是不是有个题？唉，算了吧，我先做一个，再做一个利用贝加的性质。画上三角。

行列式注意啊，化成上三角行列式这步操作。不管是现在还是将来过程当中，我们继续去学习线性代数。当中的矩阵的初等变换，还是继续学习线性代数当中的方程组，这都是相当重要的内容。那为什么是这样做呢？原因点非常简单。因为上三角行列式的这样的一个行列式的结果是简单的吧，那么接下来过程当中我们来看看怎么进行画上三角呢？首先第一个事情，上三角行列式的特点是这个人。你这有个元素，你下面必须都是零。

你这有一个元素，你下面都是零，你这有个元素好，这就是上三角行列式的画法，上面不管了。这叫上三角行列式，所以说接下来过程当中，我们就要操作了。永远用倍加的性质，倍加的性质的话，你发现一个事情，它是不会改变行列式的结果的，所以我怎么办？我以第一行为基准，我们先看第一列嘛。

第一列的话，同学们谁消谁比较简单，用一消二一消三比较简单吧，用一进行消比较简单，所以说选第一行为基准行。那七种行干嘛呢？我要进行干掉这个元素。干掉这个元素，怎么干掉这个元素呢？给第一行乘以一个负二倍加下来。给第一行乘以个负二倍加下来。不就相当于下面这人减去上面的2倍吗？这能转过来吗？你乘负二倍加下来不就是我减你二倍吗？我减你二倍是零，

我减你二倍是三，我减你二倍呢，你发现个事情减这个人二倍，那这人是六。然后接下来过程当中，我们再来看你，继续你是不还要把这人攻击成零啊？工期成零的话，我们继续，我们减去上面三倍负三倍加下来。这一行的负三倍加下来，你发现一个事情就相当于减去三倍零，减去三倍三，减去三倍呢，这是六。

好，这个结果，所以说这个时候你发现一个事情哦，这两行列式两行相等啊，行列式等于零。对吧，行列式等于零，要不然我改一下吧。改成13吧。改成13啊，这个题出的太特殊了啊，改成13改成13了之后的话，你发现一减呢减去三倍，这是17。好，

做成这样了，做成这样了还不行，你发现两人变成零了，还剩下一个人。还得继续，那你想想一个事情，现在而言，我是不是要继续选一个基准行了，我选这一行。前面是零不管的，其实你发现这个基准行只用画到这儿。然后在这种当中怎么办呢？我在负一倍加下去，我负一倍加下去了，之后的话，

你发现这是零三六。负一倍加下来，就相当于减去上面的1倍，减去上面的1倍，这是零，然后这是一。是不是这个结果啊？所以说这个时候啊，你发现我就做成了这样的一个事情，你已经把它变成了上三角行列式，它的结果等于几啊等于三。能理解吧，这个方法其实就叫高斯消元法。哎，注意啊，

这个方法就叫高斯消元法。高斯消元法。消元法。这是个非常著名的方法，也是我们在线性代数当中啊，最重要的方法。应该是最重要的基础方法，不是那个叫最重要的方法，最重要的基础方法，无论是将来过程当中，我们去学习，求解什么极大无关组。去求解方程组去进行划行，阶梯矩阵都是使用了高斯消元法这波操作，一定要学会。

这是一定要会的，那么捋一下吧，什么样的一个做题顺序呢？是这样做的，我们先看第一列。用谁消谁比较简单，很明显一乘上负二倍，干掉二简单一乘上负三倍，干掉三简单。所以说在第一列当中选一个最简单的，放到第一个人。能理解吧，然后把这两个干成零了之后再来第二行看看这两个元素，谁消谁简单，三消三简单。

所以接下来过程当中，我们再来练一下吧，来再来看这个题。捋一下，首先我们在这里面当中啊，第一步。大家注意，第一波第一波的过程当中，你先看这个第一列。先看这个第一列，那这个第一列当中的话，你发现一个事情谁简单？用二进行消一简单吗？如果用二进行消一，你得乘上负二分之一倍，

贼恶心。非常的恶心，所以说我们往往喜欢什么，喜欢振幅仪，喜欢公因子。那所以说在这种当中很明显一个事情，谁喜欢很明显这个一简单，我喜欢把一放上去，然后这是二三啊，这是二负三二。然后这是负二，这是四，这是三用一消减的，然后接下来过程当中，我们就以第一行为基准一负一，

这是一。然后接下来过程怎么办？我要进行干掉这个人，我要进行干掉这个人。然后把第一行的负二倍加下来，第一行的负二倍加下来，第一行不变，但第二行变了，那负二倍加下来就相当于减去上面二倍零。减去上面二倍，这是负一减去上面二倍，这是零。然后接下来过程当中，继续把第一行的什么情况，第一行的这个人的2倍加下来，

第一行的2倍加下来，这是零。第一行二倍加下来，这是二第一行的2倍加下来，这是五然后接下来过程当中前面有个符号。因为调换两行当中啊，一定要加错啊，不要着急，别急别急啊，别急别急啊。所以在这种当中啊，你发现一个事情一定要注意这个点对吧？那么在这种当中，我们就操作到这儿了，然后接下来过程当中，

我们就继续，我们再来看看第二行。那这两个元素谁简单呢？那还没先用负一简单，那负一简单的话，你发现一个事情，你再把二倍加下去。那二倍加下去了之后的话，这个结果是零二倍加下的，这个结果就是这个人，所以说你会发现一个事情，那这个结果就会等于什么东西呢？就会得到了一个十。上三角形行列式，那这个上三角形行列式结果等于多少呢？

那么这个人的话，他就等于负五前面有个结果，这是五。能理解吧哎，这是这个问题，所以你会发现一个事情，这个东西的这个操作还是比较基础的一个内容。这就是经典的高斯消元法画上三角形行列式的计算方法。高斯消元法，你发现没？我们一直都在，怎么办？一直都在这里面当中选一个基准行销，选一个基准行销。好了，

那么接下来过程当中，我们再来看这个题，这个题对我们很重要啊，一点六这个题。所以你会发现啊，有些人算这个这种东西啊。小学运算能力发现危机了。你想是不是啊？小学的运算能力出现危机了，你这里面当中的话，什么几减几几减负几，尤其是几减负几？有点崩溃，你要知道你慢着算，我说老师我算的很慢，

我做一个题得做半天没有关系。对吧，我们现在不是才小学二年级嘛。注意啊，我们今天的这个水平呢，是小学二年级水平，能理解吧，等我们想到这个下一章过程当中啊，我们应该是到了三年级。啊，后面过程当中，我们再来慢慢说这个事情啊，好了，那么接下来过程当中，我们来看看这个人。

那么，接下来过程当中，我们来运算这个东西对吧？来解。那么，运算这个东西的话，首先我们先来看看第一列，告诉我在第一列当中谁消谁简单。用一消减的嘛，所以说我会选一作为基准行，因此在这里当中一负三。负三，然后这是负一多少呢？负一三负四，然后这是二零一负一。

然后把这个什么三一负一二把它放下去，好这个行列式。调换两行，你把这东西加个符号，那么接下来过程当中，我们继续，我们再来看。对吧，继续看，那这个时候你发现个事情，你选谁啊？你就选第一个人为矩阵行，你要干掉这个人吧，你还要干掉这个人吧。你还要干掉这个人。

我就用被加的性质干掉你，所以说以第一行为基准行。然后是多少五倍，加下来是零。五倍加下来，这是负二十四五倍加下来，这是十八五倍加下来呢！三五一十五这是负19。然后再来看，减去二倍是零，听得懂吧？你这一行的负二倍加下来呃，我说一下这个事情一般会怎么写？你比如说一般参考书啊，它会这样写。

你听啊，它会这样写。比如说你做的第一个操作是什么？第一行乘以五倍加到第二行，是不会写这个人呢？那这个r是什么呢？你英文单词当中的r嘛行嘛？对吧，行，这个这如果是列呢，就用c第一列c表示了列啊，就这样写那么，然后在这种当中，你发现一个事情，你再来看。

继续，然后把第一行乘上多少乘上负二倍加到第三行。那这一行乘上负二倍，加到第三行就是第三行，减去第一行的2倍，减去二倍是是零，减去二倍是事实。减去二倍呢，这是负五减去二倍呢，这是五。能理解吧，然后接下来过程当中再干掉最后一个人就是第一行乘上多少负三加到第四行。然后接下来过程当中，你看这一行乘上这个人加下去，就相当于最后一行减去三倍零，

减去三倍，这是十多少这是？这是16。对吧，三五一十五嘛，然后这十六减去三倍呢，这是负十减去三倍呢，那这是十一。好了，这个东西啊，我们就做成这样了，那么注意一个事情，我们来说一个问题，这个内容需要写吗？不用写。

不需要写，再纠结你发现一个试题，你考的是选择题，更不要写。就算考大题，也不需要写。那为什么的话，你发现一个事情，人家这个书籍当中写的一点都不复杂。对吧，为什么书籍当中会写呢？书籍给你写的这个原因点非常简单，他是希望你怎么了？当你拿到这个书籍的时候，自己进行阅读，

你都能看得懂。这是他的一个事情，他想把这个东西教给你，包括你去看看那个。呃，书籍当中有些部分的写的他都会引起，他让你看清楚，但是你注意你需要给别人看清楚吗？你也不需要对吧？如果我去写书，我希望你能看得懂，但是你只需要怎么办？你只要拿分儿就行了嘛。那所以在这里面当中，你理解清楚就行，

能理解吧，好了，这个事儿我们就把它擦掉了。这是这个事情来，那么接下来继续走。那么，在这里面当中，我们继续看，哎，你发现这一行是不是有公因子啊？你可以把这一行的公因子提出去五提出去，然后就变成多少二幺幺？好这个人，然后接下来过程当中，我们就继续看，

你再来看这个人，这三个人接下来我们就要看这三个人，你觉得这三个人当中谁简单？用谁干谁比较简单，用二干16乘上负八倍，二干成它乘上多少12倍，所以说在这种当中，我就需要把这一行怎么办？调上去，然后这个人呢？调下来继续调，调了之后叫加负号。然后接下来过程当中，我们快想12倍加下来，12倍加下来，

这是零十二倍加下来，这是多少？这是六。然后12倍加下来的话，你发现这是负七，所以说这个人呢，做成了这样，然后接下来继续负八倍加下来。负八倍加下来，减去八倍，这是零。负八倍，你发现一个事情一减呢，一减的话，这是负二那负八倍的话，

减去它那这个人是几减去八倍，这人是三。所以做成这样了，然后接下来过程当中，我们继续看，你再来看这两个元素，谁简单这两个元素的话，你发现一个事情很明显，一个事情是。是这个人简单，你得调上去继续怎么办？再加个符号。然后怎么办呢？三倍加下来，这变成零三倍加下来，

这变成二，所以说这个时候立即把它做成了一个。上三角形的行列式的问题。好，做成这样，那么因此这个结果变成多少？那么这个对角线就是负八，结果就等于40。能理解我的意思问题吧，好，这是我们在这里当中啊，讲解的第一个事情啊，基本内容。这就是我们利用高斯消元法画上三角。会了没？

你下去过程当中啊，一定要好好做啊，我知道有些同学问的说，那我能不能那样做？能不能那样做？你要什么都不太理解，后面过程当中我们的应用。你就听话。你就听话，这个事情。能理解我的意思吗？要注意啊，你要不知道你就听话。因为这一波内容可能有些同学二战同学肯定理解，因为这一波内容跟我们将来过程当中画行阶梯矩阵简直是一模一样的。

将来过程当中去，求极大无关组，简直是一模一样的。去解方程组也是一模一样的，你不要小看这个操作。那么，将来过程当中，我们的方程组的求解也需要经常做这个事情，你都需要进行去划行阶梯，然后把这个划成行，最简也就是这个操作。你要注意啊，一定是用行变换，把这个部分的内容操作清楚啊。能理解吧啊，

基本问题啊，这个难度系数都不大。你就会发现个事儿，这一点都不饶。啊，这一点都不绕。你要注意一个问题啊，这个内容如果有问题，你下去得自驱一点，我今天在我们三九六这个班级啊，我讲的很慢了。我一般是数一数二数三同学的课程的，我第一节课我应该能讲到例一点一一。大致是这样的一个位置。你所以在这里面当中啊，

一定要注意一个事情，你算慢一点能理解吧，你算慢一点，你知道怎么算就行了。你知道哎，这个人五倍加下来，你知道这个人负二倍加下来，你知道这个人的负三倍加下来，你知道就行了，然后你算慢一点。啊，你多算一点，这东西就会了，为什么呢？因为都是小学运算能力。

你发现里面当中有函数吗？你发现里面当中都是一些很简单的加减乘除啊，这个基本问题你知道怎么算就行了，你下去多练练啊。好了，这是这个事情，我们就说到这，那么接下来过程当中，我们来讲完最后一个性质，叫做拆分。啊，拆分的性质。那么，这个拆分的性质是什么东西呢？其实你发现也叫加和。

那么，在这种当中，我们可以按列写一个啊，无所谓，你比如说举个例子，这是a1，这是a2，这是a3。b1b2，这是b3，然后这里面当中的话，你发现这是x 1+y 1x二+y二。x 3+y三。好，这个人。

那么，接下来过程当中，我们要干嘛呢？我们想把这个东西的话，你发现个事情，把它给我拆开。我想把你裂开。对吧，我想把你裂开，裂开的话怎么样才能裂开呢？一定要注意，别的列都得不变。别的行或者列都得不变，你只能在这里面当中怎么办？按照单行单例列。

哎呀，注意一下这个事情，你你不要不要不要开玩笑啊，好了，这是这个事情，它只能怎么办？单行列进行列。单行单列，我只能按照一行一列进行，把它列开。能理解我的意思吗？也就是说裂开的话，这个事情的话，只有这一列把它裂了。别人的话都是不变的。

这是它的一个特点，就是你别的行列，它是不变的，你只能按照单行单列，把它列开行呢，也是一样的。你要按行把它裂开呢，必须是别的行都不变，然后这个东西把它裂开。那同学们想想这个事情，反着看不就是加和吗？你这样看，不就是加和吗？什么样的行列式才能相加呢？必须是别的列都一样，

或者别的行都一样。你这些东西必须怎么办？你这必须是一样的。你这两个东西是一样的，然后按照单行单列，把它相加减。能理解吧，那这个时候你发现一个事情，你看别的这个东西是一样的，那这里面当中这两个东西才能相加减一加加成什么加成这个人？大家听得懂吗？啊，这个非常基础了啊，所以说这就是拆分的定义。啊，

这就是拆分好了，这个事情我们就介绍到这儿，所以说你要理解清楚什么叫做拆分，什么叫做加和。反着看不就江河吗？顺着看叫拆分吗？对吧，这样看叫加那叫拆好了，这是我们讲的五个性质，你在屏幕前跟着我一起来复习一下吧，第一个性质转置是不变的。第二，事情单行有公因子提出来。单列有公因子提出来。第三个，

事情互换了之后，一定要加符号。第四个事情，某一行乘上k倍加到另外一行，不变某一列乘上k倍加到另外一列也不变。然后最后一个事情，你发现是拆开的问题，对吧？拆分的问题一定只能按照单行单列把它拆开。啊，基本点。好了呃，那么这个事情我们就讲到这儿，那么接下来过程当中，我们来看个题吧，

来看看这个题。我先说一下啊，这题啊，颇有我们的考题的风采啊。相当有我们的考题的感觉。你发现这个前些年过程当中考的那个题啊？你比如说这个里面当中，你看。要考这种破题啊。对吧，好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个事情诶，很有我们的出题的风采。那么，

在这里当中的话，你发现一个事情，第一件事。你如果用高斯消元法，你把这个人的2倍加下来可以，但是倘若你在这里面当中，你把这个人的203倍加下来疯了。我当场就疯了。所以说在这里面当中啊，你一定要注意到你看这个题应该怎么做，稍微有点技巧。那么，这个技巧的话，你发现我们有两种方法，我们先看第一种方法。

因为这个东西太大了。我再观察下。这个数是负二三一。负两百三百一百。诶，你这两行的话，你发现个事情对吧？直接流杀。啊，你发现一个事情，你这直接这叫流血啊，这不叫流沙。你还有流沙法呢？那我稍微观察了一下这个事情，你发现你看。

这一行。哎，和这一行，你发现一个事情。这是二这三，这是一刚好相差多少相差100倍啊？所以说在这种当中怎么办呢？我们可以这样来，你发现一个事情，这是他他他。对吧，我可以怎么做呢？我可以这样做。呃，你稍微进行观察一下，

100倍100倍的话，我可以把它写成负200。我再减个三。我把它写成100倍，300加个零。我把这些100杯100加个五。我然后干嘛呢？你发现个事情，我就可以把它裂开了。对吧，我就可以把这个东西立即把它进行去裂开，立即把这个东西进行裂开。能理解吧，你把这东西列开了之后的话，你看你别的行列不变，

然后把这个列开，这有什么样的好处呢？好处非常大。你发现一个事情，你看这是负200，这是300，这是100诶，这不成比例吗？成比例这人等于零啊。是不是这个事情，然后剩下的一个人是多少？这是负三，这是零，这是五，舒服了吧？

相当舒服了呀。因为我创造了一下两行成比例，两行成比例，这人等于零啊。那么，接下来过程当中就可以高次消元了。来走以第一行为基准。两倍加下来是零，两倍加下来是负三，两倍加下来，这是五。三倍加下来，这是零三倍加下来，这是负九三倍加下来的，你发现这是11。

然后接下来过程当中，继续这人的负三倍，加下来减去上面三倍是零，减去上面三倍的话，你发现这是负四。是不是这事情，所以说最后结果等于多少等于12？能理解我的意思吗？你看这个题啊，立即出来了。所以这种考题很有我们的出题的风采。难也不难。对吧，难也不难。你看你看看看哎呀，

来了啊来了。你下去重听吧啊。啊，这个一定要重听。把哪块儿重听呢？把性质重听一下好不好？啊，超级无敌敌大美妞啊，这个同学把这个重听。性质重提你这是。是讲着忘对吧？那是刚讲就忘。你在这里面当中的话，你发现个事情，我又不是又不是上节课讲的，

上节课讲的也不能忘。好，这个人过去了可以吗？诶，那么在这个题当中啊，你发现还有方法啊？呃，这个同学下去你再看看啊，因为前面过程当中我讲的这个性质啊，在哪呢？在这个第三条。对吧，两行成比例它等于零啊，两行成比例去看看啊，把它看看。

好了，那么接下来过程当中，我们继续，我们再来看，那这题还有没有方法呢？还有。还有来看这个，你们这节课怎么那么开心呢啊？哼，来那么接下来过程当中，我们就继续，我们再来看看这个人。你看这个部分。对吧，我可以进行消掉，

我们说这一行和这一行刚好相差100倍呀。我们可以怎么办？我们就直接给这个人来上负100倍，加下来不就行了吗？是不是这事情，所以说在这种当中的话，你发现一个事情一负三二，然后这是负二三一，你直接负100下去不就行了。所以说这个时候你发现减去上面100倍，这不是零吗？哦，这是负三嘛？100倍，然后这里面当中减去它的100倍，

这不是零吗？减去它100倍，这不是五吗？所以说你发现一个事情，我这样做也行啊。我也可以做到刚才的效果。那么，做成刚才这个效果的话，你发现一个事情，那么这里面当中我又一次可以做到这了呀。对吧，跟这个东西是一样的呀，所以说这里面当中的内容不就是这样吗？是不一样的，你也可以这样做，

我也不用进行拆，那么在这种当中，我直接把这个人的负100倍加下来。那这个数啊，也会非常非常的小，那非常小了之后的话，我也可以做一下就出来了。能理解吧，好基本点啊，过去了来那么接下来过程当中，我们继续我们再来看一个题一点八这个题。好，再来看看这个题。那么这个题的话，你发现个事儿，

我们怎么处理呀？来再看这个题。那么这个题的话，你发现我给了一个行列式。然后接下来过程当中，你发现一个事情，你看看下面这个人啊，这就长得非常恶心了。对吧，就长得非常恶心了，我要通过这个人求解这个人。那怎么做？来那么接下来过程当中，我们一起来看，如果拆的话就太麻烦了，

拆就非常麻烦了，那么在这种当中我们先观察一下。你发现啊，这原本是什么？这是应该是这个人。它这是三一。第三行第一个。第二行第一个第三行第一个我可以怎么做呢？我可以这样做。你发现个事情，这是三一二一一一。三一二一一一有没有发现一个事情，这两个东西相差一个多少负三倍，我可以怎么办呢？我把这个人的负三倍加过来。

我负三倍加过来之后的话，你发现个事情，这个元素就没了。对吧，这个元素也没了。这个元素也没了。这叫背家的性质。然后接下来过程当中，我们再来看有没有发现一个事情，这个人跟这个人很像啊。那这人刚好是一倍，把这个一倍加过去，一倍加过去了之后的话，你发现诶这个人又没了。这个人又没了，

这个人又没了。是不是这个事情，然后接下来过程当中，我们继续看，你再来抽。然后我发现这一行有一个什么东西啊，公因子。这个公因子多少负三，我把单行的公因子提出去负三，那负三的话，你看这人就没了。提一个负三，那这个人留下多少？提一个负三，这人留下负二。

然后提一个负三的话，这人多少呢？变成四。所以说这个人呢，又变成了这个情况。然后接下来过程当中，我又看到这个。这一列有公因子哦，这一列有公因子，我再把负二提出去。负二提出去了之后的话，你看这个人又没了，然后这个人又没了，然后这个人又没了。那么，

然后接下来过程当中，你看这个也有公因子，再把四提出去。所以说再乘个四。然后接下来过程当中，我们继续看，但是要注意还不行，原本应该是这一行在第几行，这在第一行。这在第二行，这第三行你还要怎么办？你还要把这两行调换一下。两行调换一下之后，前面要加个符号。所以这个结果就是我们原来这个问题，

那么接下来过程当中，我们来看看这个事情，这是多少？那这很明显的话，你发现这是。这是我们的这个什么？这是六这24负24那负24呢？那么乘上这个原来的这个行列式。那这个行列式等于多少六分之一？那这个结果就等于负四？能理解吗？所以你发现你看这个题的这个思维方式啊，很重要很重要，跟得上我的意思吗啊，很有意思的一个东西。

好，这个问题啊，过去了。好了，这是这个题呃，但是我们的考研过程当中，我们可能考的也有也可能有这么复杂。对吧，但是一般情况下，它会稍微的再少一点点，对吧？再少一点点。呃，我再强调一遍，不要不要老是说这个，

好容易算错呀，对吧？好麻烦呐，你不要不要老是这样。你首先第一个事情，你碰到一个陌生的东西，一定要有自信。你都不相信你自己能算对你发现一个事情，你觉得这个东西你能算对吗？所以我觉得这个里面当中的这个东西啊，一定要稍微的注意一下，对吧？呃，我们的考研过程当中啊，还挺喜欢出这种问题啊。

一定要注意，要有自信心一点，做什么事儿先有自信心一点，你都会把一个事情你至少做之前的话，你发现你的态度，你的状态是积极的。不要永远做一个事情是消极的，这个状态去面对。那首先还没有做一个事情的话，你发现状态大打折扣。对吧，一定要有自信心，一点一定要这个状态好一点，对吧，更积极一点。

好了，这个事情我们就讲到这儿过去的可以吗？其实你发现这节课啊呃，尤其是刚才的运算。难也不难，原因点是很多同学觉得稍微的麻烦一点的原因点在何处呢？你上课肯定是跟不上我算的。为什么呢？因为我这一年就过来了，对吧啊？一年就过来了，你这个可能没有我这个速度，你下去过程当中，你慢慢进行去操作。然后这里面当中，

你知道怎么做就行。对吧，你知道怎么做就行，就是我这一行要乘上几倍，我这一行要乘上几倍，我这一行乘上几倍去消这个人就行。对吧，这个人乘上几倍去削他，这个人乘上几倍去削他，你下去过程当中，你自己进行去练练这个人就行了。你知道怎么做，然后进行小学运算吗？这个问题点都不难。行吧，

那么今天课程呢？我们就讲到这好不好？同学们，然后下去过程当中啊，你得做一些训练了。把我们的这个。习题拿出来。好把我们的习题拿出来。好，我们来看看行列式这几个题。呃，下去过程当中啊。四三七。四四呃呃呃不四七三四七四。四七五四七六。

呃，把这些题做了，能理解吧？哎，把这些题做了，然后的话这个。嗯，题目倒不多。是不是有点少，对吧？那你再做几个啊？稍等我一下啊，等我一下。呃，再把这几个题做了。

好把这几个题做了。这里面当中的话。这是有特点的了。把这几个题做这个题。你稍微等一下吧，我翻的有有答案的，然后的话，这样的话，你也有答案。行不行？不然的话，这个没有答案。好呃，这里面当中，我来找一下啊，

找几个。计算。这怎么没有答案呢？它这个上面不写答案吗？好，我们来看看这个。啊，怎么了哦？你你们就正常听课就行了，那个补课计划不是留给你们的。你们都是一直跟着课的话，你就跟着课就行了。好了呃，把这个题做一下。这个题。

例一点一，然后说这个。平方的系数是二。三次方系数是负一。这是二，这是负一截个图啊，大家截个图。好，截个图。能理解吧，把这个图切一下。啊，截个图。好了，然后的话。

呃，你要是没有截上的话，你下去看回放。再布置几个吧，然后这里面当中的话。好把这四个题做了。这四个题啊，就很有我们考题的感觉。啊，这个题。什么叫对角线法则呢？对角线法则就是流沙流沙法三条主的减去三条副的。啊，注意下这个东西可以用流沙法来做。好，

这个人截个图吧。截完了没啊？好了，我们继续，我们再来看。然后的话。第四题。的第一个和第二个。第一个，第二个和第三个。一二三。一二三多做一点啊呃，你们这节课多溜多练一点，你下节课就衔接度就非常高了，你不然的话，

你发现你下节课的话又很吃力。呃，这节课是个基础。一二三。然后我们来把这个答案，这是答案一二三的答案。呃，他这个答案的话，你应该能看清楚，对吧？你发现一个事情，这是第一行和第二行调换，这是第二行减去四倍的第一行。第三行减去十倍的第一行啊，这个内容。

行吧，好，这是这个问题呃，800题的话做四七三到四七六。四七三到四七六好，这是这个问题呃，有些同学可能是后面的话，这个中间的话跟着过来继续去听课。这个线性代数啊，你完全可以跟直播课啊，没有任何的问题，就是你之前的话，比如说你这个线这个什么高等数学了，你高等数学你没有改完。那么，

在这种当中啊，这个线性代数啊，你可以直接听直播，因为这两门课程没有任何关联，你要注意一下这个事情，但是如果你高等数学没有听完。不用去听概率论。哎，不用听概率论，就说如果你的线性高等数学没有听完概率论，没有听完，你可以进行去听这个线性代数直播课程没有问题。但是这里面当中注意一个事情，就是呃，如果是这个概率论，

这个线性代高等数学没有听完你概率论呢，你先不要听，因为高高等数学的基础啊，会用到这个。概率论当中嗯，注意下这个事情就行好吧呃，另外一个事情你们也不用着急，我们差不多是六月初的时间，我们就会讲完了。六月初。我们的这个应该是六月的第二个周吧诶，第二个周还是到第三个周，我们是七月初。然后开始强化班。所以你们的时间啊，

非常来得及啊，我觉得这个时间呢是非常足的，你只要听到这个七月初把这个课程听完了就行。能理解吗？哎，把这个课程听完了就可以了。好，这是这个问题吧，我们就讲到这儿可以了吗？所以在这种当中啊，你下去过程当中啊，一定要好好进行去，把相对应的东西啊，好好整理整理。呃，

不要太过于进行去赶进度。对吧，你一直在进行去赶进度，你反而把每个部分东西啊，消化的不是说特别到位，那我觉得这也不行。好，那么这个事情我们就讲到这儿呃，后面我们可以安排啊，是这样子的，我的安排是这样，你们不用着急啊，我我无数次跟你们强调这个事情。我们的基础班是非常重要的。等我们的这个基础班呢。

基础班进行结束了之后，对于我们而言，我们一直要进行复盘计划，我们的复盘计划应该是维持到了这个强化班之前。所以说要注意一个事情，我们的复盘计划。所以要注意一个事情，你要理理解清楚，就算这个数学没有课程，不是代表停止了。对吧，在这里面当中复盘计划，我会一直更新到这个强化班之前，我们必须要在强化班之前，然后再把这个东西啊，

再复盘一遍。然后再进行强化完的复习。然后在这个复盘计划的中间呢，我们可以组织几次考试，也没有问题。对吧，可以考，我觉得这个东西啊，也是可以的，就是基础班的结束的大模考呗，对吧？哎，这个事情我觉得可以。行吧呃，所以说大家注意切勿着急，

注重这个东西的质量，把东西学到位，我觉得这个事情啊，才是最重要的。能理解吧呃，这个是复盘几遍呢？这个你看自己吧，学会了就行了啊，会了就可以了。这个课后题吗？呃，这个课本儿，我一会儿给你们发到这个群里面吧。啊，不是群里面发到那个APP里面行不行？

啊，就是这个课本，我给你发到这个啊，发到那个APP里面。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这呃，所以说下去过程当中啊，把这个相对应问题啊，好好进行处理一下吧，因为这个五月份呢呃，我觉得还是比较重要。对吧，最后的这样的一个点时间了，最后这点时间的话，

你发现我们把这个线性代数一定要稳扎稳打的复习完。那这样的话，我们所有的这个大纲要求的核心考点都结束了，行吧？好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿呃，下次课应该是周几啊？好像是明天没有课程吧，明天没有课的话呃，应该是下周一还是周二的课程，所以你们好好进行，把这个相对的东西啊，好好整理整理。一定要在下节课之前呢，

把这个相对的东西啊，好好练一下，就是一些小学运算题不就是这样吗？好，那么今天课程呢？我们就讲到这好吧，同学们好，下节课见吧。啊，过什么节啊？行吧，好下节课见吧。

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