08.期望与方差-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:53:06

那么，接下来我们继续吧，有没有记住啊？这个东西啊。这几个人呢啊，应该差不多了，我觉得这些东西的期望呢，这些东西的方差啊，你应该是能记得非常清楚。你下去过程当中啊，如果没有记住，你下去再记好了，那么接下来过程当中，我们先来用一下呃，先来看一个题吧，

先看这个题。那么，在讲这个题之前呢？我们刚才过程当中讲这个方差，还留下了一个部分内容，把这东西讲完，然后这个部分内容我们就可以做了。你还记得期望吗？期望我们讲完了，知道怎么算，然后期望有什么性质方差，我们知道怎么算方差，也有个性质，把这个最后一个内容补完，我们就可以做最后的训练了。

把最后一个内容，我们就可以结束了，好，我们先来看看这几个性质。第一条呃，首先在讲之前呢，你需要进行去了解一下什么叫方差呀？既然叫这个名字，虽然这个东西啊，跟我们高中计算的那个东西不一样，但是都叫这个名字啊，所表达的意义是一样的。什么意呢？表示了波动状态。你在这个小学的时候，

你去算这个东西，或者是你那个初中，你算这个东西，你发现方差越大越好，还是越少越小？越大还是越小。当然是越小越好越大，说明它的波动越大。对吧，越小越好，所以说在这里面当中啊，你要注意，如果是一个常数呢？一个常数方差等于几等于零。然后接下来过程当中，

我们再来看第二事情，如果在这种当中啊，一个随机变量，后面跟一个常数的方差呢，还是等于这个本身？你要注意一下这个事情啊，你加上一个常数呢，其实你发现方差跟这个人是一样的，然后再来看看第三个事情，如果是个系数呢？CS呢，大家注意一下，这个系数出去变成了平方ds。好，这是这个问题，

怎么进行推呢？都可以通过刚才的定义进行推导。那么你想进进去推这个人的话也非常容易，你看dcs这个人，你还记得他是怎么定义的吗？他是这样定义的。是CS这个人减去CS这个人的期望，然后它的平方再来期望，然后接下来过程当中，你发现这里面。里面这个东西的话就是CS这个人，然后这个c就出去变成es，你就可以把这个c提出去变成了这个人，它的平方。然后这个平方呢？

之后的话，你其实就变成了它的平方，它的平方。然后这个平方的话，这个数又出去期望嘛数就可以出去s-s的这个平方，所以就等于c方倍的它。其实你不用推，你把它记住就行。对吧，根据这个定义推，然后接下来过程当中，我们再看第四条内容，注意啊，这个东西的要求非常的苛刻。那么，

这里面当中必须要要求什么？只有当x与什么与y独立的时候。那么，这里面当中的dx加减没？加减完它才可以拆开，而且你发现一个事情，这个拆开等于多少呢？无论你是加还是减，这永远都是加。你要注意一下这个事情，别管你前面是加还是减，这永远都是加，因为这个内容啊，其实你发现呃，我们学的这个东西其实不完整。

但是我们考试就考到这儿，我们也很开心，其实这个重点的公式应该是这样s加减y这个公式啊，应该等于ds。加上dy再加减上二倍的斜方差。哎，切，放差。如果这人独立的时候的话，你发现斜方差这个部分等于零，所以说它就等于dx+dy，但是你要注意啊，我们学起来非常的简单。就是什么事情呢？就是这里面当中，

你要注意一个问题，对吧？后面不考。为什么不考斜方差呢？斜方差是二维的问题。哎，是二维问题，所以在这种当中，你们要注意的事情ds加减y就等于ds+dy就行，别管这是加减这个东西啊，永远都是加。我们在讲第一节课的过程当中，我就已经讲过我们大纲在这件事情上说的还是挺明确的。这是我觉得大纲说的最好的一个点，就是你发现一个事别的。

都是有点那个什么含糊不清，但是你发现我们的大纲啊，只有在做一件事情的时候，它确实。把这个事说的还很完整啊，就是在这你看。就概率论部分最后一个点，这很难得啊，对吧？期望和方差。说的很清楚，其实期望和方差到这就结束了啊，别的东西就没有了。好了，这是这个事情，

所以说无论你是加还是减，只有当他们独立的时候才能拆，这是你要区分开的。希望的加减，随便拆。但是方差只有独立的时候加减才能拆开，无论是加还是减，一律拆成加。但是你要注意乘法呢。乘法呢诶，这个东西啊，可不一定等于这个人。无论什么条件下，它都不能拆。你要注意啊，

乘法的时候什么条件下都不能拆，当然有一些特殊情况，你不要拿到那个特殊情况，你来找我说哎，你看老师你看人家这个题。能拆吧，你总能取出一个dsd什么s×y的这个方差等于ds×dy的情况嘛，你总能取出一个人。我想说的是，一般情况下，无论独立还是不独立，这个东西啊，一般都不成立。能听懂吗？无论独立还是不独立d sy，

都不会等于ds dy的。一般情况下，好这个性质，我们就讲到这。然后接下来过程当中，我们可以用一下吧，来看看三点一零这个题。那么这个题啊，他说的非常清楚，他说这三个人相互独立。哎，他们相互独立，第一人服从什么分布啊？这叫均匀分布法，这叫正态分布法，

这叫波松分布法。你只要认识啊，均匀的，这是什么正态的泊松分布，然后说y等于这个人，然后我们去求解什么，然后我们去求解这个人的方差。那正正的方差的话就是s1-2倍的s2+3倍的s3好，我们继续看，大家想想一个事情，你发现我刚才说了。你们三个人独立，你的函数也独立吧，你你你们三人都独立，刚才说过了，

只要独立他。他们在这个方差才能拆，但是这个时候拆的话，一律都变成加法。一律都变成加法，还记得吗？注意下，只有这个人独立的时候，加减法才能拆，拆出来之后一律变成加法，这是ds，然后这个系数出去呢，变成四倍的它。系数出去呢，变成九倍的，

它没问题吧？好，那么接下来过程当中，我们来算一下第一个人。那这个人的方差等于多少？刚才算过十二分之b减a的平方三十六。然后这个方差等于多少第二位置填方差四，然后这个方差等于多少泊松分布泊松分布的方差就是这个参数。所以说你一算就行了。好，这个会算吧？那这个人是三嘛，然后你自己算吧，行吧？这个你要不会算的话，

这可没办法，这是三九二十七这是。四四一十六四十六啊。好了，这是我们讲的这个三点一零这种题，如果出这种题啊，你一定要会处理对吧啊？七分点来，那么接下来过程当中，我们再来看看第二题。继续走，那他又说了，他说如果这个东西服从二项分布。对吧，服从二项分布，

期望给你方差给你，让我们去求这个参数，大家想想一个事情，如果你是服从。bnp你的期望等于多少？你的期望等于npnp等于多少？等于二点四。那方差等于多少等于np倍的一减p？那这人等于多少呢？一点四四这题也太简单了，你直接列就行了，那说明什么事情呢？说明这个部分呢？它等于二点四。那这个部分等于多少不就等于零点六吗？

那刚好啊，四六二十四二六一十二刚好一点，它那所以说这个p等于多少，因此这个p的结果就等于零点四。那p这个结果等于零点四n就等于六是不出来了。好，这个一算就出来了，你发现这个题这个很简单，就是告诉你是什么分布，期望方差给的，你直接套公式就行。来继续再来看看下面一个问题。那么，接下来过程当中啊，我们再来说一个事情，

大家好好听啊。你比如说我出一个题。我说如果这个x。他服从。服从这个四的这样的一个指数分布。那你告诉我个事情es方怎么算？怎么算那有的说那告诉了指数分布不就告诉了概率密度函数吗？告诉了概率密度函数一积分不就出来吗？太傻，这就很傻了。大家想想一个事情，如果你这个人是服从指数分布。你这个人的期望是不是很好？算你这人的方差是不是很好？算你期望等于它分之一啊，

你方差等于它的平方分之一啊。四四一十六。那这个东西怎么做呢？我们可以用反算公式，大家注意啊，一定要听清楚，我们可以用反算公式。什么叫反算公式呢？我方差这个人等于平方的期望，减去期望的平方。当一旦什么情况呢？当这个期望好算。方差好算的时候，平方的期望就等于方差，加上这个期望的平方利用反算公式来算。

所以说这个时候的话，你发现一个事马上出来了，平方这个期望就等于多少就等于方差，加上期望的平方。所以说这人就等于十六分之一，加上十六分之一就等于八分之一，要注意一下这个人呢，要会操作这个问题。好了没基本点啊，这个事情非常的重要。过去了，可以吗？好了，这个题掌握清楚了之后，我们再来看上面是不是还有一个题啊？

再来看三点九。你跟上思路哦。好，再来看看这个题，那这个题啊，他说了一个事情，他说随机变量的概率分布是它。哎k的阶乘，这是小k。对吧哎s=k的时候的概率等于k的阶乘它k从零一二三四五六一七八九十一直到后面去。你发现没这东西像谁呀？啊，像谁啊？很明显，像泊松分布。

所以在这种当中啊，你发现一个事，我就把这个东西啊，马上进行对照着看。泊松分布的话，你发现你看k的阶乘拉姆达的k次方e的负拉姆达，然后这个k从零一二三。三一直下去，那同学们想想，既然像泊松分布上面是个常数吧？那上面是个常数，就不能跟k有关，那你告诉我兰布达等于几？等于一你只能取一啊，说明这人跟k没有关系，

因此在这种当中马上就知道哦，这个人是s等k。然后这个结果等于k的阶乘，然后这是个常数，然后这个k从减零一二三一直下去。而且你发现一个事情，现在它等于几等于一，因此是负一次方。那我知道了s这里呢，服从参数为几呢？参数为一的泊松分。那如果让我们进行去计算平方的期望，怎么算非常简单？它的期望不就是它吗？它的方差不也是它吗？

那所以说平方的期望就可以用反算公式啊。方差加上什么期望的平方啊？所以说就等于一+1这个结果不就等于二吗？所以这个题啊，立即出来了。你看非常简单啊，你知道这个分布就知道期望和方差，要想算平方的期望，利用反算公式来算。这就非常简单了。过去了，可以吗？所以说这件事儿你要想清楚哎，这个问题。那过去了吗？

好了，这个事我们就讲到这，那么接下来过程当中啊，你们现在状态怎么样？啊，状态怎么样？非常好吧。诶，状态一定要摆成，非常好，拿出今天最好的状态来听，最后几道题。讲完这个东西啊，概率论就结束了。所以说我觉得这个大家今年过程当中啊，

应该非常有信心啊，就这个板块的东西啊，分应该要拿中，那么接下来过程当中我们讲几个题。接下来这几个题啊，可能会比较重要一点，对吧？操作性也会稍微的会强一点点，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个题。还有啊，前面还有两个题，其实你发现剩下三个题，如果你翻讲义，我觉得是最爽的。

因为你发现一个事情，你翻到这一页，这是最后一个题，你看没了讲义，后面没了，但是中间还有个线性代数啊。对吧，这个部分的内容啊，就结束了，好，那么接下来过程当中，我们来看看这个人。他说了一个事情，他说s这人的概率，密度，

函数等于它。然后这人是es，然后让我去求解这个人。你这怎么做？大家注意这个事情。尤其是在我们考研过程当中，见到什么，见到这种一负的什么平方，你要记住啊。e的。负的什么平方？无论是给的这个概率密度函数，还是给的积分，你要注意这个东西的啊，第一想法是什么？

第一想法。是凑正太。一定要注意啊，凑正台要好好去想，见到这种情况，首先想到凑正台这个东西不是标准平台。不是的，那么接下来过程当中，我们先来看看正态分布长什么样子。正态分布的概率密度函数就说，如果这个s服从第一个是MU，这是sigma方。它的概率密度函数应该长的是这样子。长的是根号下二拍，然后这是sigma e的负的两倍的sigma方。

x进去去减MU的平方要往这上面凑，所以接下来过程当中我们来看看这个题。解给的这个概率密度函数第一步。第一步先干嘛呢？第一步先把这个方配到负的多少x- 1^2？已经有了雏形了，但是你发现这个东西还不行好，我们继续往下写，那么继续往下写的话，你发现你看你下面这东西得要什么？你下面这东西得要二倍的，一个人的平方啊。你这二倍平方我没有二啊，那你就补二分之一，那二分之一可以怎么写？

写成根号二分之一的平方。一旦写成这样了，之后的话，你发现一个事儿，这是根号下二派，然后这个sigma是不是要写到个写一个到这儿，你想这就是sigma嘛？你要写一个到这诶，你在这补一个里面补一个诶，刚刚好漂亮。那这人就出来了，根号二派sigma分之一一亿的负的2倍的sigma方，然后它那这时候我就知道这个s立即服从什么。缪是谁？缪是这个人？

唉，缪是一，然后这个sigma方是多少？不是sigma，是sigma方，这是sigma。那平方是多少二分之一？那这是sigma，sigma方，那这样就出来了，所以说这里面当中马上知道第一个位置填期望。第二位置填方差。那所以说接下来过程当中，期望等于几就等于一方差等于几就等于根二分之一。像这种东西啊，

经常我们会进行去凑正太，这是一个非常重要的。凑正态分布非常关键啊，凑正态。好，这是这个事情。能理解吧，哎，凑正态分布。那么，接下来过程当中，我们再讲一波内容吧，把这个最后一点东西啊，我们稍微给同学们进行去捋一下，摆一下，

哎，大家好好进行去听一下。那么，在这种当中，我们就知道一个问题，我们来讲几个积分，大家好好听啊，我们先来看第一个分。那第一个分的话，如果在这种当中，我们写一个负无穷到正无穷。然后接下来过程当中，用x进去就乘上根号下二派e的负的二分之x方。ds同学们告诉我等于几啊？呃，

这个人非常简单。啊，说实话，这个东西非常非常的简单。等于几啊，这个结果就等于零。为什么奇函数乘上偶函数，那这个结果也等于零，还有没有方法继续去看呢？我们再换种方法来看。大家告诉我事情，这是谁的概率密度函数？那很明显一个事情，这是n零一的概率密度函数啊。这是标准正态分布的概率密度函数啊。

你乘上标准正态分布的概率密度函数，从负无穷到正无穷，不就是标准正态分布这个人的。期望吧，它的期望是几零？没问题吧诶，就说你发现一个事情，你是n零一的概率密度函数用x进行乘以，其实就是求解x这里的期望。能理解吗？你要会看哦，然后这里面当中我们继续看再来看。如果这人改成平方呢？e的负的二分之x方ds等于几啊？你看这节课，

我们一直都在转这个问题，你要会做啊？真等几啊？那很明显啊，你这人使n零一的概率密度函数。我们都知道，负无穷到正无穷，用x方再乘上你的概率密度函数的积分，就等于你的平方的期望。那平方期望等于多少，就等于方差再加期望的平方等于一。你要注意啊，这个内容其实是什么？这是期望，这是平方的期望。

要注意下这个反算公式，这个内容一定要会看。那当然的话，同学们注意，我可以把它改成什么一般形式，你要会。那就是考试过程当中的话，你发现一个事，它比如说给了一个负无穷到正无穷。对吧，如果用x再乘上多少根号下二派sigma e的负的二分之x减去MU的这个人的平方DC个d？ds呢，等于几啊？那你想想一个事情，这是谁呀？

缪sigma方这人的分布吧，它的概率密度函数，那就是它的期望就是缪啊。你不要在那硬坐对吧？好，这是这个问题，所以我们虽然这个第四个点第五个点，我们可能考不到这么难。然后最后一个人的话，你发现这是x方，然后根号下二派sigma一亿的负的二分之c二倍的sigma方。二倍的sigma方s-mu的这个平方ds。那么，这里面当中的话，你发现一个事，

这个人谁呀？那这个人就是n MU sigma方，他的这个人。那这个时候的话，你发现个事马上出来诶，这个人是期望他平方的期望呢，就等于方差。加上期望的平方。所以说这个结果啊，就等于sigma方加MU方。好了，这是这个事情吧，能理解吧？sigma方加上缪方哎，等于方差，

再加上一个期望的平方。所以你会发现一个事情，这个内容在干嘛呢？就是把刚才的公式啊，用来反转。我乘上你的概率密度函数的负无穷到正无穷积分，就是你这个人的期望。平方乘呢，就是平方的期望，谁乘就是谁的期望，能掌握清楚吧。好，这是这个内容好了没？同学们。基本点啊，

所以说见到e的负什么平方，首先想到凑正态啊，这是第一个事情。然后接下过程当中，我们就来看看前面还剩下两个题啊，前面这两个题啊，稍微的话你会发现啊，有一个东西啊，会稍微的会难一点啊，这是你要稍微注意一下。那么，先来进行去看看这个第一个人吧。这两个题啊，有点难啊，这个档次感呢，

我们作为拔高进行去进行去训练好，先看看第一个人。那第一个人，他说这个人的分布函数是他。而且这是谁呢？这是标准正态分布的分布函数。大家都知道，标准正态分布的分布函数求导就得到了标准正态分布的概率密度函数。这没问题吧，这是标准正态分布的概率密度函数。好，这个人那么，然后让我们去求解这个人的期望。有同学就来了说说，负无穷到正无穷，

用is乘上这个人的积分，你胡来？大家注意，这是谁啊这是分布函数吧？我们在那里面当中的话，你发现一个事情is应该乘上的是概率密度函数，第一件事情一定要注意，在在这里面当中，你要先求个导。那这个分布函数给了你，然后这里面当中我们求个导。对吧，求个导你求个导得到什么东西啊，概率密度函数，所以第一个人等于零点三倍的，

这个人求导呢？啊，这是fi这个人的岛。然后再加上零点七倍的这个，先对中间变量求导。中间变量求导是二分之一，然后接下来过程当中就得到了零点三倍的标准，正态分布的概率密度函数。再加上零点三五倍的，你都知道phi撇s等于它phi撇这一坨呢，就等于标准正态分布的概率密度函数。在二分之x减一处置。能理解吧，好这个问题听明白了给我回复一。没干嘛，

标准正态分布的概率密度函数得到了什么情况？标准正态分布的分布函数求导肯定标准正态分布的概率密度函数嘛？好，得到这个点，所以说你发现一个事要进行去求，期望就能求了，负无穷到正无穷。用s乘以它的概率密度函数的积分。因此，这里面当中啊，我们就要分成两个人了，对吧？敌人是零点三倍的，负无穷到正无穷。x乘上这个人的积分。

对吧，这个结果，然后接下来过程当中，我们就继续，我们再来看，然后是多少呢？这是零点三五倍的。然后这是负无穷到正无穷，然后用s再去乘上多少翻二分之多少x- 1，然后这个dx。对吧，做成这样了，所以说你发现最后的结果算成这样，那么接下来过程当中，你告诉我第一个人等于几？

第一个结果等级。第一个人呢？你用s你乘上谁的，这是标准正态分布的概率密度函数。那不就是标准正态分布这个人的期望吗？那所以说是零啊，因此第一项就是零。然后接下来过程当中，我们再看第二项，但是第二项的话，你发现有这一坨呀，不好做，我们做个换元，我就立什么。零二分之x- 1=t。

那换个圆了之后的话，这是零点三五。你负无穷代进去，你把负无穷减个一，这还是负无穷。然后正无穷代进去t还是正无穷。然后这个s就变成多少变成2 t+1，然后这是p hit。ds呢d2倍的t加一二倍的dt，所以说这个时候的话，你发现一个事，我们继续看，把这个二往上一乘，这是零点七。负无穷到正无穷，

继续啊函数的结果跟积啊这个什么积分的结果跟变量字母选取无关2 x+1倍的。fx dx.好，这个人因此你发现一个事情就出来了。第一项就是两倍的负无穷到正无穷，用s乘上概率密度函数的积分。然后再加上负无穷到正无穷，对概率密度函数的积分好，我们来看看这两个人。你发现这是谁的？这是n零一这个人的概率密度函数，你一乘其实就是n零一的期望是零。所以说这里面当中啊，零点七这个第一项是二×0。再来告诉我，

第二项等于多少？你想想一个事情，这是概率密度函数吧，概率密度函数具有归一性。所以说这个结果就等于零点七。哎呀，这个题非常好。所以你想想一个事情，一个题目当中啊，这个题当中的核心重点啊选c。啊，这个题非常好，它的一个重点在何处呢？就说人家应该是x去乘上概率密度函数。但是这个题却是给了一个什么分布函数，

所以说先通过分布函数去求出概率密度函数。这是第一个事情，然后接下来过程当中再怎么办？你再进行去把这个分进行记一下，这个非常重要啊，这个题很好。非常巧妙，就是那个期磅公式的一个反用哎，反着用好，我们再来看看最后一个题。好概率论的最后一个题。他说了一个事情，说is这个人呢，服从标准，正态分布，

让我们去求解这个题目，这也算一个拔高题。那么，这个人的话，你发现一个事，既然服从这个人，他的概率，密度，函数等于多少？他的概率，密度，函数应该等于根号下二派e的负的。二分之x方。那么，记下过程当中，

我们再来看看最后一个事情。他让我们求的是谁？这个人再乘上二倍的他的期望。同学们告诉我这什么情况？一维连续的函数吧。一维连续的函数，那一维连续的函数的话，你发现一个事，我们怎么做呢？就是在负无穷到正无穷。把这人改成小的，然后是二倍的小的，再乘上它的概率密度函数根号下二派e的负的二分之x方。dx是不是这个情况好了，那么接下来过程当中我们继续算，

你发现负无穷到正无穷。然后这是x。根号下二派。诶，这两个e的这个东西是不是可以结合一下e的负的多少，然后这是二分之x方？那这个部分的话，刚好就是多少减去个多少4x？是吧，就可以做成这样了，因为你把这个地方同底数幂相乘指数相加嘛ds同学们告诉我怎么操作，是不凑正太啊？所以说在这种当中，我的核心方法论就是凑正太，我先把这个人怎么办？

先把这个人配一下。e的负的二分之。你在后面加个四加个四就是x- 2^2，你再减个四，你减个四负负得正，然后这块就加个二。ds是不是这个事情能听得懂吗？你在后面加个四减个四嘛，你减个四的话，你就发现这就是二。诶同底数幂相乘，指数相加，那这人又变成多少一亿的平方？因此接下来过程当中，把一亿的平方给我抽出去。

负无穷到正无穷，s乘上那这时候的话，你发现你看你看后面我们来写了一的负的。然后这是x-mu^2二倍的sigma方，你可以写一啊，然后这个前面呢是根号下二派sigma是一啊。然后这个人呢dx。那这个时候的话就立即出来了，那这人呢？这人就是服从n缪是2c个马方是这个人。所以说这个时候的话，你发现个事马上出来了。用x这个人去乘上他的概率密度函数的积分，不就是他的期望吗？期望是几？

期望是二。好，这个题啊，立即结束，你看这个题其实非常巧妙的一个题。对吧，来来回回转的东西就是我们刚才讲的。就是刚才那个部分问题。能想清楚吧，哎，一定要注意一下这个事情，给了这个人是服从标准，正态分布就知道了，它的概率密度函数。然后就进去去套公式就行。

所以你会发现个事儿，这节课的核心重点都在干嘛？这节课的核心重点都是在套公式。哎，这节课的核心重点都是在套公式，然后最后啊，我再补一个内容，哎，这个内容啊。考的概率不大。考的概率不大，稍微听一下就行。补一下。好，我们再来看看最后一个人。

再补一个内容，但是最后一个东西啊，说实话，我们在考研过程当中，如果进去就出啊，这概率不是说特别大。好，我们再来看看最后一个人。呃，这个东西啊，了解就行。那么，同学们想想。二维离散型。大家注意一个二维离散型。

它的函数。一个二维离散型，它的函数是几维啊？这是你要先想清楚的。哎，它是个几维？是gv啊，你比如说举个例子，你看。这个xy。sy那么xy的函数呢？sy的函数是这样。是几倍啊你？比如说我举个例子啊，我们出一个题你就知道了。

离比如说我们说二维的离散，肯定知道它的一个分布率呗。然后这是零一。这是一二。然后这个概率是零点三，这概率是零点四，这概率是零点五啊，这这不能是零点五，这是零点一。然后支持零点二。那么，在这种当中，我们说一个事情z=x+y。你告诉我它有几种可能取值。如果在这个点的时候x+y是几一？

如果在这个点的时候x+y是几？三如果在这个点的时候x+y是几r？然后再看最后一个点呢诶，这个是啥？这点是一。然后这个点的话x+y是二，这个点的话也是二，然后这个点呢是三，是不是有这三种可能性？所以说大家注意一个事情，你想想一个事儿。它取的这个值啊。是一个单组值，还是两个单组值啊？是一阻值还是两阻值，

你很明显只能取一取二取三，这不是一维随机变量吗？所以说二维的函数还是一维。你是离散离散，你摆在一起是二维离散，然后这个z是二维离散的函数，那还不是一维嘛？你所以说在这种当中，我们怎么做的通常是这样做的？要进行去确定z看遍表盘，每个点就行了。呃，非常简单啊，这个点的时候x+y是一。你们只有你取零，

我取一的时候概率是零点三，那我对应的你取一的话概率不就是它吗？你取零，我取二的话，我的概率这个什么，我的结果是二对应的概率是零点四可能性嘛。你取这个什么情况？你看这个点，这个点一加是二，然后对应可能性是它，你再看这个点。你取一的可能性对吧？你取一取二的可能性是零点五，我就相当于取三的可能性不就是零点二吗？然后再合并一下，

合并一下，这人就是一二三零点三零点五零点二。那你就进行去看遍表盘，每个点就行。对吧，把表盘每个点都看出来，把这个人的分布率求出来，然后再算这个人期望就可以了。所以说这个时候的话，你发现ez就等于零点三+2×0点五，再加上三×0点二。我们只用掌握这种方法。我们只要会这种方法就行了，而且这东西是冷门性考点啊，你要掌握住就行了，

那二维连续呢，不可能会考。对吧，二维连续的函数不可能会考，所以说在这种当中，我们就把这个公式啊，你发现一个事你就换了。如果这个题当中你发现一个事情。告诉了一个二维，比如说这s1一直到xn，如果这是y1一直到yn。告诉了它的联合分布率，我怎么去求z的分布率呢？我就进行去看遍表盘每个点。把z的分布率求出来。

z的分布率求出来，然后就出来了。非常非常的简单。能理解吧，所以说在这里面当中啊，你要想清楚就说这是一个二维离散。这是贼简单的。你不要以为说哎呀，写了一个补字，是不是就特别难贼简单？就这个内容。你发现一个事情，只不过是我们在大纲的过程当中啊，不怎么要求这个问题，所以说我补一下非常简单的内容。

所以在这种当中的话，你发现这是一个二维离散型。那二维离散的话，你就进行看遍表盘你，比如说这个点你s取0y取一的可能性是零点三。那这个时候x+y的时候，结果不就是一吗？它的可能性是零点三。那这个时候你看，比如说这个点，你取零我取二的可能性是零点四，所以说我两者一加的结果就是二。它的可能性零点四，所以就是把表盘每个点都看明白，看遍表盘上每个点每个点都能有个z对应的概率超强。

z的分布率出来，求解他的期望相当的简单。好了，同学们好，这个问题啊，我们就讲到这刚刚好九点。好了，这是这个事情吧，我们就讲到这儿，所以说下去过程当中啊，这是离散型，不是连续型，把它改一下离散型。离散型最后一个内容行吧，我们的概率论呢，

我们就正式的结束了，所以说在这里面当中啊，也恭喜大家啊这个。学习的时间呢，也稍不多花这个概率论的部分内容，我觉得啊，倒不是说啊，时间的话那么的长。所以说恭喜大家。我们的概率论。基础部分。全部结束。啊，全部结束，所以说我们这个时间呢，

应该是讲了这个差不多呃，应该是比这个高等数学在这个板块内中讲的这个时间呢，要短一些。所以我觉得这个概率论呢，到了最后还是一个重点内容，你必须有些部分的问题啊，你要注意。多复盘。重点公式。多复习，所以说在这里面当中啊，不光是公式和题型。多复习，就这个内容的话，你发现学到最后的话，

你说难有多难呢？他比高等数学少太多了，在第一章我数都能数的过来，第一件事情求解概率。对吧，这是核心第二事情，求解这个部分的概型。两个事儿，求概率，求概型，好两个两个板块儿内容。呃，所以说我觉得这个有些同学的话，你发现你学内容都永远都是这样，哎呀，

好难好难，你学到这个问题的话，你自己下去过程中好好串串。你到底有没有下去过程当中，我不说别的。你有没有把上课讲义上的例题都能复现出来呢？这是三门课程当中最简单的一门。啊，这是最简单一门。第一章就两个考题，然后到了第二章当中分布函数怎么去判定分布函数的定义是什么？还有分布函数跟概率之间有什么关系？然后紧接着离散型随机变量，怎么去求分布率？它的分布函数什么样子？

然后是连续型随机变量概率密度函数有什么性质？怎么判定？然后紧接着就是怎么通过概率密度函数求概率？然后紧接着下的过程当中，又是一个问题，那就是常见分布，那常见分布的话，其实就是我们刚才那一大版块内容。包括他的期望和方差到了最后啊，其实就是一维的离散，一维的连续，然后是二维离散比较简单，到了今天。期望和方差数都能数的过来不超过12个核心考点。所以总共下来的话，

你发现核心题型不会超过12个，你每天的过程当中，你把这个什么这个部分的题型你好好进行去翻阅一下，这个部分都过去了。呃，上次过程的题型呢？这节作业啊，我们这节课不讲了。昨天的话，那个作业难度不大，对吧啊？上次作业你自己下去过程当中，你好好再看看啊，下次过程再再说吧，但是下次是线性代数啊。

呃，过两天过程当中，我们看看哪节课过程当中可以讲一下这个习题啊。所以下去过程当中，我觉得一个问题啊，你多复习啊，重点的公式和题型多进行记忆，另外一个事情我觉得比较重要的一个点。你自己一定要注意一下这个事情，可能很多同学啊，老师来这个事不要老是在那共情。这种共情啊，可没有任何作用。有人说，哎呀，

概率论我觉得好难哎，我也觉得好难，原来我不是一个人，这有什么用呢？你还是得把这个东西好好复习下去。这里面当中的14分，你得把它给我操作下来啊，这是一个重点，然后另外事情呢，有的时候你要注意一个问题。很明显，我们在这个复习过程当中啊，尤其是概率论，很多东西，其实你的复习方法都出现问题的。

你认你看更多的书，你看更多的课，也没有任何的作用。你想想你上课认认真真听的东西，你下去你都完全都装不到脑子里面，另外事情你下去过程当中做作业，你提前过程当中上课讲义上的题你还不会做。你做的再多也没什么作用，所以说啊，学习方法最后决定了最后的复习效果，所以说我觉得在这种当中大家下去过程当中，有的时候你得把相对的东西啊，你好好进行看看。呃，那个每日一记的话是下周啊，

下周三。你们去听呐，你想听也可以。但是吧呃，大部分的话，其实有些东西可能会稍微的难一点啊，你想听的话，你可以下周去听。你可以停，对于我们而言呢，你把已有的这些东西好好消化，效果就非常的好了。但是我觉得一个问题啊，听完课不是结束最重要问题啊，就是你有没有把这个基本的知识点呢，

一消化到位。好了，这是这个事情吧，我们就讲到这呃，这两天呢，我可能睡前系列更不了，因为这两天过程当中我有两本书稿得进行去交稿。所以说在这里面当中啊，催的比较紧一点啊，最近写写稿子时间比较长一点啊，所以说到了这个下次过程当中再说啊。下周三啊。我去讲这个课，我还能不知道时间吗啊？好了，

这是这个事情，所以说你下去过程当中啊，把这个基本的问题啊，好好去串一下，尤其是概率论这门课程注意。档次感没那么高，是三门课程学到最后啊，你发现最简单一个部分。你要是真的是在这里面当中啊，把这个基本的点呢，你把它给浪费过去了，很多同学就在这里面当中啊，拉开你的差距的分儿了。好吧，那这个事情我们就讲到这。

唱歌吗？我最近。没有准备啊啊。嗯。这今年。上课啊，还得准备歌曲啊。呃，我找一个吧。呃，找一个去年的话，那个杰克刚好唱的一个。呃，要不唱一个那个？这世间那么多人吧啊。

但是这个歌我唱的不好啊，呵呵。只是只有你这个调。等我想我找找。却有那么多人。人群里。唱着一扇门。啊，这个吊耳机起滴了。我能换一个吗？我觉得这个叫我换一个，换一个这个这个它它这个有点高啊。街有那么多人？人群里。唱着一扇门。

我迷蒙的眼睛里常存初见你。蓝色清晨。这世界有那么多人。多幸运。我有个我们。这悠长命运中的沉昏，常让我。望远方出生。灰树叶飘转在池塘。看飞机轰的一声去，远向光阴的长廊。脚步声叫嚷灯已亮，无人的空荡。晚风钟声。几阵从前呢？

飞驰中旋转，已不见了吗？月光中走来，你一身轻柔。身旁那么多人，可世界不声不响。行吧，这首歌就唱这。都跟你说，没准备啊，好了，那么今天我们就讲到这吧。噢，这个。掉我又上吧，

上不去对吧哈呵呵呵，好那么今天课程呢，我们就讲到这儿，刚好是最后一节课呃，下去过程当中啊，把相对的问题啊，好好处理处理吧。行吧呃，还是那个问题，如果你这个板块内容学的不是特别好，我觉得只有一个问题啊，就是古典概型那个部分。你下去过程当中啊，把那个我们上课讲的那个排列组合那个东西啊，你好好看看，

尤其是那个摸球的问题多进行，就是把它瞅一瞅。然后另外一个事情呢，我觉得这门课程三门课程当中啊，最简单的一门，希望同学们还是要把这个东西啊，完完全全拿下来。无论这个纪念过程当中啊，你高等数学当中，它可能会出现难题，但是这个部分的东西和线性代数部分内容两个板块内容难度系数都不会特别大。啊，作为我们三九六的同学，这两个部分是你高分的一个基础。你要想在这个三九六啊，

我们在这个复习过程当中，你要想取得高分一定是这样复习的。就是你的线性代数。和概率论这两个部分呢，这两门课程拿到满分的前提条件下，然后高等数学尽可能拿到满分。这是我们的复习策略。那所以在这种当中，如果是去年过程当中，你去看看呃，最近几年的真题，你像二一年二二年还有这个二三年二三年可能难度系数大一点。大大也在大在高等数学。那所以说这几个部分的东西啊，一定要注意我们的高分策略一定是线性代数概率论，

这两个部分尽可能满分的前提条件下。然后高等数学尽可能拿到满分，这才是我们的高分策略，所以说像这个板块内容多进行看看，好好进行，把这个内容好好处理清楚。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这好吧，同学们呃，然后的话下节课我们就正式开始线性代数了。线性代数开始课程了呃，那天。时间也很有意思，对吧？

五二零那天那我们那天过程当中啊，我们在进行线性代数的基础办法好，我们五二零再见吧好。好，下期再见啊。

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