08.期望与方差-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:52:54

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先起来点声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题啊，我们就准备开始了。好，我可以听到声音吗？好问题点不大啊啊，这个下午的过程当中啊，我讲了讲了一会儿啊，结果没有声音啊。

呃，好了，那么接下来过程当中，我们就正式开始吧，我们继续开始我们的三九六精宗数学的这个课程呃，今天应该是概率论部分内容当中啊，最后一次课程。啊，所有部分内容啊，最后一个知识点了，那么今天讲完我们所有的这个概率论，部分内容就全部结束了呃，然后的话到了这个。后天的课程应该是什么时候？好像是五二零那天是吧？

那天我们刚好进行的这个线性代数啊，好了，那么接下来过程当中，我们先来看看这个上次过程当中的核心知识点。那么，首先我们先把这个上次过程当中的内容先跟同学们做一个重点的复盘，在上次过程当中啊，其实你发现我们重点讲了几个问题，两个问题。一个事情叫做一维随机变量。的函数的分布。哎，函数分布。大家注意，因为随机变量的函数，

还是因为随机变量啊，这个没问题吧，所以在这种当中一会过程当中，我们要用这个知识点啊，所以我们先提一下。你发现如果这个s是一个一维随机变量，那这个时候的话，你发现一个事情，它的函数分布是什么？对吧？这个基本问题。然后接下来过程当中，我们就继续我们再来看看下面的事情，在这种当中啊，讲了两个事情，

第一事情如果是离散型。离散型离散型的问题，我们怎么处理啊？这是第一事情，然后第二事情我们又讲了连续性。啊，第二种问题，那如果是离散型怎么做？我们相当于对应的部分呢？把这个y求出来，然后接下来过程当中，我们再把什么东西啊？把这个对应的概率啊合并一下就行了。所以这里面当中最重要问题啊，就是分布率的问题了。

哎，分布率，所以这个东西啊，难度系数不是说特别大，我们来讲讲吧，把这个事情我们稍微回顾复习一下，因为一会儿过程当中啊，会重点的应用。如果这里面当中的话，你发现一个事情，我告诉了s分布率，这是s1，这是s2，然后一直到SN。那这个时候你发现它的概率呢？

是p1p2一直到pn那这时候你想想一个事情，我们要进行求出y这个值。他服从什么分布第一事情，我们把对应的话，这个人的y进行求出来，把这个对应的这个y进行求出来。然后接下来过程当中，把对应的y求出来，哎，这就是对应的y，然后你发现一个事情概率呢是一样的。好，就是这样的结果。那么，在这种当中啊，

如果遇到相同的，你再把它进行合并就行，这个东西啊，难度系数不大，就是你要知道x怎么操作？然后这个时候对应的y是谁，然后接下来过程当中，你把这个概率的部分内容你抄下来就行，如果遇到相同的，把它合并一下就行好，这是个基本问题。那么，上次过程当中的核心重点当然是在连续性随机变量当中。那这个内容怎么操作的呢？那么接下来过程当中，

我们重点回顾一下使用了什么方法呀？我们的万能方法是分布函数法。诶，分布函数法就是无论你怎么样，你先把那个y的分布函数写出来。把VI的分布函数写出来之后啊，然后是画图定点极限投影积分。啊，我先问一下你下去过程当中有没有把讲义这几道题再做一下？要注意啊，一定要把讲义上那几个题啊，答案要进行复现一下，你自己要独立自主的完成出来，然后第二件事情，那就是我们习题当中的题。

你把那个东西做完了之后，你再进行做习题，那个题啊，简直就是非常简单的降维打击，你像这个内容难度系数不高啊，因为在这种当中啊，我们有万能的方法。非常简单，就是画图定点接线投影积分啊。好了，这个内容我们就简单讲到这吧，然后接下来过程当中，我们再来看看下一个事情，我们又讲了一个问题，叫做二维随机变量。

那么，在这里面当中啊，二维随机变量的分布，那么接下来过程当中，我们重点来看看，那么在二维随机变量当中啊，你要注意一个问题，这一点当中有几个重点，第一个事情叫做联合分布率的问题。哎，联合分布率这两天我过程当中，我其实看了很多同学的话，这个呃，在学习过程当中的一些私心。包括有些同学在处理一些问题当中啊，

我看了一些同学们这个自己的打卡的一些情况，那很明显一个问题啊，就是进入到这个概率论的学习啊。我发现很多同学的一个问题，点的非常非常大的点在哪呢？就是那个摸球的问题。啊，就那个摸球的问题，你发现一个事情，那个摸球那个东西不会摸了，他又会觉得说，哎呀，这个部分的课程是不适合我。你自己近期去看任何一本书，对吧？

任何一个板块的内容，你发现摸球也都是那样。你自己一定要注意一个事情，当你遇到一个问题的时候，你要好好把这个东西啊，好好解决一下，我觉得几个点呢，就是摸球的理论就那么多。你说排列组合怎么做呢？排列数怎么算？组合数怎么算？排列数什么意思？组合数什么意思？然后进行去摸球的话，你发现一个事情有加法原理，

有乘法原理。你怎么样的话，你发现一个事情都是这样，但是到了最后呢，一个事情是读题的能力。那读题能力重不重要？重要读题能力非常重要。你自己想想一个事情，你读不懂题，你包括上节课那个题说什么东西呢？说一到三当中取一个人。是s，然后再从一到s当中取一个人是y，你说这种题你读不懂，你都不知道它什么意思，

这个内容我觉得跟你的大学学习好坏无关。跟你高中学习好坏好像也没什么关系。你说一到三当中取一个人是x1到s当中取一个人是y，然后问你s有几种可能性y有几种可能性？你说这个东西题目得读懂，你要知道什么意思，所以在这里面当中啊，一定要注意啊，联合分布率，这是我们讲二维离散线，我专门想讲的一个事情，对吧？二为离散型。我刚刚讲的这个事情，我想提一下，

因为你发现一旦遇到离散线就离不开排列组合。因为这个东西要确定分布率，像这个内容啊，有两件事情，第一件事情确定xy的所有可能取值，第二件事情再确定共同发生。哎，你发现一个事情，这是两个人的事情。那么，再进行确定共同发生的概率好，这个是那么接下来过程当中我们再看第二事情边缘。哎，边缘分布图。要求概率密度函数。

就是对分布函数求导。但是分布函数的导数。啊，分段点外不就是点序吗？分段点外是连续的。所以说分段点外就直接求了嘛。分段点上概率密度函数一个点处的概率密度函数没有意义嘛，你好好把那个东西你再看看啊，那边缘这个东西呢是一个人的事情。所以联合啊，两个人的事情边缘这个东西啊，是一个人的事情边缘分布率，然后这个地方当中，然后又讲了一个事情，第三个事情那就是。

独立性的问题。独立性那么这个独立性的话，你发现一个事情什么操作呢？那也非常简单，那就是每个点处的联合分布率都要等于边缘分布率乘积。这个东西啊，一定要确定是每个点。对吧，把这个事情想清楚，所以我觉得这个二维离散型随机变量，我们在考验过程当中啊，像这个题啊，每年过程当中出一刀。那么，这道两分题啊，

这道两分题啊，我觉得非常容易把它拿下来啊，这个基本点好了，那么这个知识点呢，我们就讲到这儿。求离散型概率分布化。你要问出这个问题啊，你就说明你你没有学太通，对吧啊，这个内容。不是说人家画什么东西都行，你要注意场景呐，你要知道这个问题在考什么，怎么这个下去过程当中？嗯，

我觉得啊，很多同学的这个学习方法，你自己要好好进行调整一下，你一定要注意一个事情，你要把上课的内容好好消化一下。对吧，不然的话，你发现你如果能问出这个问题啊，你就说明你把这个东西的消化程度还是不够高好了，那么接下来过程当中我们就正式开始吧，我们再来看看。最后一章随机变量哎，这个东西敲错了对吧？我们来看看第四章好像你们那个是不是对的？叫做随机变量的数字特征，

希望与方差。我们在考研过程当中啊，只会进行去学习，这两个问题啊，期望和方差。那么，其实这个部分内容属于什么内容呢？属于数字特征的内容。你们的是对的吧？啊，也不对吗？把它给我改过来，期望和放趴你们的那个东西是不是叫做数字特征啊？啊，你们那个东西是数字特征是吧？

是不是啊？数字特征是吧？数字特征是对的。好了没？第三张是吧？啊，随机变量的期望和方差行行行就是个标题。数字特征可以期望和方差就行啊，好了好了，都一样了，对吧？那么，接下来过程当中，我们就继续吧，我们来看看下一个问题啊，

你们这个叫的是对的，为什么老是我这个，我这个是没有叫板之前的吗？我这怎么？啊行，那么接下来过程当中，我们就继续开始，那么首先我们先来看看这里面当中的问题啊，那么在这章过程当中啊，我们考研会考一到两道题。你要注意啊，有可能出一个题，有可能会出两个题。那么，在往年的过程当中的情况是，

期望出一个题方，差出一个题。对吧，当然的话，你发现考方差就要考期望，所以有的时候出一个题，哎，只要知道这个事情，那么在这个当中我们来看看要学哪些内容呢？其实你发现就是三个问题，第一事情期望的求解。诶，就是定义与性质。核心重点就是计算，你会算计吗？

给你一个随机变量，你要知道他的期望是怎么算的，大家注意啊，我们其实学习概率论呢，你发现这个方向性非常明显。我们在第一章学什么？第一章学随机事件。随机事件把它进行去变量化。对吧，变量化，然后接下来过程当中，我们就来看看随机变量了，这是第二种。那么，随机变量当中啊，

你发现一个事情有离散性的。有连续性的，所以说我们就要进行去学习离散型，连续性的随机变量，对吧？有离散型的，有连续性的。然后这里面当中，其实你发现离散型随机变量，它的分布是什么？大家注意啊，什么叫分布啊？分布这个东西的意思就是你是一个离散型，随机变量，你的分布我要考察的是分布率。

如果你是连续型随机变量，你的分布是什么意思啊？你的概率密度函数，所以这是我们第二章学习的内容，你要注意啊，随机变量。然后第三件事情的话，你发现我们学习了一些随机变量，我们要看看他的数字特征。你有什么特征啊？你这个东西具有随机性，你是个变量，你有什么特征呢？比如说我可以求你的期望啊，可以去求你的方差呀。

你要注意一个问题啊，有些同学大学过程当中学一个内容说平均数就是方差啊，是期望那胡扯对吧？其实发现一个事，这个其实我们学到现在啊，我们学没办法讲到那，那是数理统计的内容。我们为什么叫概率论与数理统计呢？那概率论的部分呢？研究的是随机变量，它的分布的问题，然后到了这个后面的过程当中学习那个什么叫做啊？这个统计学。或者是我们在这里面当中的数理统计部分，数理统计部分只有那些东西啊，

才会有这个什么平均数啦。对吧，那个东西也有个方差，我们学不到哪那块内容不是我们学的，那其实你发现我给你稍微的进去去看一个点。呃，两个东西啊，不是一个内容。那个内容学的是什么问题呢？学的是。学的是数理统计的这个部分问题。你所以在这种当中啊，我们就不可能会考到这个点，但你要注意啊，那两个东西不一样，

你可能在计算上，那应该是根据大数据里，它近似是那个人啊，行吧，我们不扯了。扯的有点远，回到我们这上面那么，所以说在这里面当中，你看第一章学随机时间变量化了之后就是随机变量。然后学习了随机变量，有离散性，随机变量，有连续性，随机变量，离散性告诉了分布率，

连续性告诉了概率，密度函数，那这些随机变量我能不能去求解你的期望呢？我能不能去求解你的方差呢？这两个东西都叫做它的数字特征。对吧，我们就核心重点学这个内容。当然的话，其实这里面当中还有几个事情，一个东西叫斜方差和相关系数，但那两个东西啊，我们不学，我们只学期望和方差，所以这件事情对我们而言就太简单了。所以我接下来过程当中，

我先说一下这节课极其简单。相当简单，你要知道它怎么算就行了，你知道期望怎么算，你知道方差怎么算就行了，好，这是这个问题，所以你好好听啊，这个四分呢，你一定要把它给我拿下来。啊，这节课就拿四分，其实也划算对吧？总共70分，这节课拿四分，

我觉得相对而言还比较容易。好了，那么接下来过程当中，我们再来看第二个事情，那是方差。的定义与性质。那么这个内容啊，主要考计算，你要会进行去计算这个人，然后第三个事情要注意常见分布。的期望与方差。这是个重点。我再来强调一遍，大家听好了，期望和方差是什么都是随机变量的数字特征。

在第一章的时候，我们学习过随机事件。什么叫随机事件？具有随机性。然后到第二章的过程当中，把随机事件变量化变成随机变量。随机变量可以求概率离散性，知道分布率去求概率连续性，知道概率密度函数去求概率。然后在这种当中学习了一些常见的分布，那这些分布它们的数字特征，期望和方差是什么呢？这是我们的重点。所以接下来过程当中，我们来看看下一个问题，

大家理解清楚了这几章的脉络线了吧？就第一章随机事件变量化，随机变量，随机变量，我要学习它的数字特征。那么，首先我们先来看看第一个事情，数学期望。大家注意，这是个重点黄金，重点就在这。要注意啊，这一章的核心就在这。重中之重的内容就在这。你要注意，

期望是根本。会算期望呢，我们才会算方差，不会算期望方差就是白搭。当然的话，你发现如果将来你你有些同学学统计学里面当中还有什么斜方差相关系数，核心也是它。所以说在这个今天的学习过程当中，你最重要的一波内容就是这个页面，把这个页面先拿下来好了，那么接下来过程当中，我们先看第一个事情。那么，数字这个什么希望期望怎么写呢？首先第一件事情期望啊是对一维随机变量而言。

你比如说举个例子，这是个一维随机变量吧？好，这是个一为随机变量，然后前面来个一。啊，你发现一个事情，英文当中是叫expect是吧？期望嘛。啊，你发现一个事情，那个英文单词的首字母就是一，所以叫期望。对吧，一所以这里面当中有的时候的话，

你发现也可以这样写诶，这个人。这个人读作什么东西呢？读作这个随机变量的期望啊，随机变量的期望好这个人。那么，接下来过程当中，我们一起来看啊，注意啊，只有一维随机变量才有期望。那同学们想想一个事情，你学了多少种一维随机变量？就是我们学习第二章，你要注意啊，只有随机变量才有期望，

有多少人？是一维随机变量，有几种情况好，我们先看看第一种情况，一维本身。一维随机变量的本身，它就是一维随机变量，那是什么玩意？就是这个人。你要注意一下这个事情，就这个人。对吧，就是这个人，这个东西叫一维随机变量的本身，它叫一维随机变量。

能理解吧好，这是这个人就是x那么这个x的话，你发现有两种情况，一种是离散型的情况。离散性，然后还有第二种。连续性。好，这是一种问题，然后第二种情况的话，你发现还有没有？有一维的函数。那一维的函数也是一维啊啊，就什么情况呢？你看这个y这个随机变量，

它也是一维的，然后是什么情况？x对吧一维的函数还是一维，所以说这个y这个随机变量也能求期望，那这里面当中的话，你发现一个事情有几件事呢？我们先看第一个人。哎，注意下，我把这个拖上去啊。不要了吧对吧，因为的话，这个数字就混淆了啊，你只要定义就行了，那么在这里面当中还有什么情况叫做离散型？

那么，这里面当中第二件事情还有连续性。所以在这章过程当中啊，我们的学习问题啊的第一个板块内容，数学期望就这几个人。当然，还有二维离散的函数。二维离散的函数啊，也是一维那个东西啊，一会我们补充讲解我们的核心，重点是学这几个人。那个内容就属于边边角角知识点了，那未必会考对吧？那么在这种当中，核心重点就这几个人。

所以说接下来过程当中，你要注意一个事情，拿到一个题的时候，你要判断它是一维的本身还是一维的函数。是一为离散的本身啊，一为离散的本身还是一为离散的函数？是一为连续的本身还是一为连续的函数？能听懂我的意思吗？好，这是这一章过程当中，你要学习的框架，那么接下来过程当中，我们就来看看每一种情况是怎么算的？好，我们先看看第一种情况。

好，先看第一个人一为离散，那同学们想想，如果你是一个一为离散型，它会告诉你什么？它就会告诉你分布率。而且你发现我们的考研过程当中啊，我们只学有限格。对吧，然后对应的这个概率。这叫分布率，那他的期望怎么求解呢？你发现一个事情是这样子的，他这样算，就说第一个人乘上他取值的概率。

然后第二人乘上它取值的概率，然后一直加到取到这个人，他取值的概率。这个东西啊，类似于加权平均数，他很像你要注意啊，期望他很像那个人，但他不是。那这个东西非常简单，就是对应相乘再相加嘛。对吧，非常简单，然后第二个事情，如果你是连续性呢，我就会告诉你的概率密度函数。

我告诉这个x这个人的概率密度函数。告诉你这个概率密度函数的话，你发现一个事情，你的期望怎么求解呢？那非常简单，就是从负无穷到正无穷。你看用这个x再乘上什么情况，再乘上这个概率密度函数再积分。那这个概率密度函数再乘上这个ds啊，其实是那个v圆部分的概率s再乘上这个概率啊，其实就是这个部分的乘积，然后的话你怎么办你再？你再记个分就行，其实跟上面是一样，也是x乘上这个人对吧？

x乘上这个人，然后接下来过程当中，你要加和呢，你就记个分就行。你知道怎么算就行，你看一维离散讲完了吧，一维连续讲完了吧，好了我们再来看看一维离散的函数。那因为零散的函数怎么办呢？你发现一个事情，它告诉的是谁呢？它告诉的还是x。它告诉的是s的分布率，然后的话，这是p1一直到多少pn，

他告诉这个人，那告诉这个人的话，你发现一个事情，我怎么去求y呢？那当然可以这样做，第一步我先把y的分布率求出来。然后再去求y的期望可以，但是同学们想想一个事情，你发现一个事儿，这个y对应过来的话，你也不用进行合并了，那这个人不就是j se？这不就是gs嘛，然后对应的概率是不是一样的，这还不是一个离散型嘛，

所以说这个人的话怎么去算呢，你看你要算y这个人。就是把第一个人对应的小y求出来，乘以概率一直加到什么，把最后一个人对应的小y求出来。再乘上它的概率。好，这个情况能听懂吧？哎，其实你发现这非常简单，就是通过你相当于把它的一个什么情况，把它的分布率进行求出来，理论上应该合并的，但是不用了，你就对应相乘，

再相加就行。好，我们再来看看下面这张。如果知道x的概率密度函数呢？我要求解的是什么？求解这个y求解的是x的函数。那么，求解的s函数的话，同学们想想你要注意一个问题啊，那就是从负无穷到正无穷。那既然是x函数，你也相对于把它改成x吧，你看这个人是一样的嘛，他相加，那我就怎么办？

把这个人呢改成g小x。谁的这个人的期望就是谁的概率密度函数？s这人的概率密度函数，然后再怎么办？再记个分就行。能理解吧啊，就说要求这个函数就把s改成这个函数。然后谁的这个人的期望呢？x对应的函数期望就乘上x的概率密度函数。能理解我的意思吗？就这四种算法，你把这四种算法把它掌握清楚了，我觉得这就差不多了，所以说注意啊，这是一个重点内容。

这黄金重点内容。一维的本身是怎么算的？一维的函数是怎么算的？一维的本身当中有离散性，有连续性，一维的函数当中有离散性，有连续性。所以你发现怎么去学套公式呗，那还能怎么样？你要注意啊，我们这节课的大部分的时间啊，都在讲这个内容。把这个东西通关过去了，本节课就结束了，好那么接下来过程当中，

我们来做些题吧，来先看这个第一个题。先给我看这个。那么，首先第一件事情先给我判断一下，你发现这是哪种情况？一维的本身吧，你看一维本身的期望。一为本身的期望，所以接下来过程当中，我们来看看第一个人怎么算。对应相乘再相加，负一乘上零点一。再加上零×0点二。再加上一×0点三，

然后再加上二×0点四，把它一算就行了，所以说这个时候的话，你发现一算这个结果是多少？这是零点几零点二，然后的话，这是一点零。会算吧，你写一就行了，对吧？你选择题嘛，你不要问我说该写这个分数还是写什么数啊？一就行好做吗？你发现我们考试考啊。然后再来看看第二人继续，

你看这个人呢？这是哪个情况？这是离散型吧？这是不离散型的函数啊，一为离散的函数。一为离散的函数怎么做呢？你发现一个事情，把每个位置对应的这个人求出来。对吧，把这个人带进去，你看这就是y嘛，这是那个gs嘛，然后负一带进去的是多少呢？这是三。三再乘上零点一。

你再加上零零代进去是二二乘上零点二，你再加一一的话，这是三乘上零点三，然后再来，那这是六六乘上零点四。自己算行不行？好，这个人非常简单，你这有什么好打点的呢？这绝对不配上打点啊，怎么这个再简单的问题的话，你发现一个事儿不用啊，不用不用不需要不需要。能判断吧，你这是离散的函数嘛，

对吧？这个事情离散的本身嘛，这个人。好，那么接下来过程当中，我们再来一个来继续，我再来找一个题。比如说看看这个题。嗯，自己算啊，我不给你算了，你要是这个东西啊，你不会算你下课来找我，找我也没用，找我也不给你算啊，

好了，那么接下来过程当中我们就继续，我们再来看。我让你去求es。还有什么东西呢？es方。好，来看看这个人。那么，首先我们先来看看这个人，他说x的概率密度函数是它离散型还是连续型？连续型一维连续的函数吧啊，一维连续的本身吧。一为连续的本身的话，你发现这个人怎么算走负无穷到正无穷，

求的是s就是s。再乘以它的概率密度函数取积分。哎，就这个人，然后这个概率密度函数的话，你发现一个事，它只有一些段是有效的，那哪些段呢？是从负一到零的时候的话，你发现是一+s。零到一的时候是一减s，两边都是零，所以说在这种当中啊，你发现有效段只有哪一段只有负一到零。你用这个s去乘上谁乘以一个一加sds，

然后再来多少零到一，你用这个s乘上多少一减sds？是不这个事情，所以你就做成这样了。两边的数的话都是零，你所出这个结果就没了好了，那么接下来过程当中我们算一下吧，你先看第一个人。那这个人呢？你发现一个事儿，这个结果是多少？那这是二分之一x方零代去零负一代去平方负的二分之一，然后这是多少三分之一x三次方把负一和零代去？零带于零负，一带于负一，

所以说这是三分之一。然后继续来看，那这人呢？二分之一减去呢？三分之一，所以说这个结果等于几啊等于零。好，这是这个值。其实这个题的话很简单哦，你发现你看这是x。然后这也是s，那就相当于s是从负一到一嘛，对称区间奇函数等于一。这是s平方。诶，

这个结果不对吧？这是三分之一，你叫我看看啊，这是前面是多少？前面是三分之一s三次方把负一和零带去。三分之一零代取。哦，这个没了。对值是吧哦，这是减号，对减号就没了。好了，这是我们讲的这个第一个人，你自己算啊，然后接下来过程当中，

我们再来看看平方啊，这后面是减号，然后再来看看平方。大家想想一个事情连续性吧，一维连续的函数。这是不是连续的函数啊？是的，所以说在这种当中赶紧写公式，负无穷到正无穷。设是函数，就把它改成了函数。然后再乘上谁的呢x对应的函数，那就是乘上x这个人的概率密度函数积分。所以说在这种当中啊，马上就出来了，

因此你发现有效段呢，还是只有这一段负一到零的时候是用x方乘上一+x。然后接下来过程当中是零到一，用什么东西呢？用I次方乘上一减s dx。是不是这个情况好了，那么接下来过程当中，我们再来算一下，你看第一个人，这是三分之一多少三次方，那这个人就是他。然后这个人呢，是四分之一x四次方上限是零，下面是一，然后再加上多少，

这是三分之一。你再减去多少？你再减去四分之一x四次方好，这个人没了，所以说这两项都约掉了，因此等于多少三分之二？会算了吧，哎，非常简单的一个事情，就说离散型求的是它自己吗？还是求它的函数啊？求它自己就是对应相乘再相加，求它的函数的话，就把每个点的取值换成它的一个函数的结果，再乘上概率就行。

如果是连续型，是本身吗？本身就是自己乘上概率密度函数的积分，如果它的函数呢？你发现一个事情，就把这个自己改成什么，再改成它的函数，再积分就行。所以在这种当中啊，你发现个事啊，非常简单哦，这个约不掉是吧，再减去二分之一。好自己算。那么，

这就是我们在这种当中啊，基本的点。能理解吧，这是这个人。呃，这是三点七这个题过去了，可以吗？你应该没有问题啊，我觉得这是非常普通的一些积分的内容，这题啊就过去了。所以说大家注意啊，这节课的核心重点就在这个页面上。这个页面呢，是我们这节课的核心重点。那么，

接下来过程当中，我们再来看看第二事情，我们再来讲讲期望的性质。哎，期望那么期望的话，你发现注意啊，不是平均数，类似于平均数。因为这如果因为我们如果再往后面学啊，有个东西叫大数定理，对吧？大数定理当中当这个n非常多的时候，那么然后什么这个样本的这个均值啊，就一概率收敛于它。所以说在这里面当中啊，

你们进行学怎么学呢？对于我们三九六同学的话，你就知道它不是平均数，类似于平均数就行。好了，我们先来看看第一个事情。如果是一个常数。一个常数的期望是多少？注意一个常数的期望是本身。哎，常数的期望是本身，你比如说一个常数进行去求，这个平均值啊，就是本身。然后再来看第二事情，

如果在这里面当中的话，你发现一个常数乘上随机变量的期望呢？一个常数乘一个随机变量，那这个时候啊，这个数啊，就出去变成这个人气包。我再说一遍啊，求解这个期望你这个人括号写不写都无所谓，你把这几条性质给我记住。啊，其实你发现一个事儿，类似于平均数，你要是比如说举个例子啊，咱们班每个同学的成绩啊，都扩展二倍。

最后的平均值啊，也就扩展二倍啊，就大致是这个意思，但是你要注意啊，不是完全一样，是类似的好，再来看第三个事情。如果这里面当中你发现x加减y呢？那么，这个随机变量加减上这个随机变量，那这个人的这个期望呢？他的结果就等于es这个人加减上ey。啊，所以说加减法直接拆有系数提出去常数呢，就是本身，

然后这里面当中啊，我们再来看一个重点。那这个重点呢？其实就是乘法怎么办呢？乘法这里面当中，你要注意，只有当什么情况x与y。相互独立的时候。只有独立的时候，那这个时候你发现一个事情乘法的，这个人的期望才等于第一个期望再乘以第二期望。哎，注意哦，只有独立的时候，你们这两个才能拆。

其实这个东西啊，这个要求就太特别严了，这个条件可以再弱一点，不相关就行，但我们不学那个内容，所以说考研我们考只会考这个，所以你。对我们三级路进行出题的时候，你们在复习的时候就非常开心。因为你发现有些再能进去就抠的点呢，我们不会考，因为那个内容的话，我们不学，我们只会考到这儿。就是如果我们想考乘法，

它必须要告诉独立性，你说这多开心的事情，我们就知道了，只有独立的时候就能拆。你就这样记，你就这样学，你不用去学到什么不相关，你就学只有独立的时候才可以。能理解吧，这个证明不好证。啊，这个证明不好证。可能说这个到到底怎么证呢？其实你发现不相关就行，独立能推不相关不相关，

推不了独立，所以我们又不用证明。对吧，你在这里面当中记住这几条内容就行，相当的简单。嗯，所以在这种当中啊，你要注意啊，如果这个人呢，有系数提出去常数呢，你发现一个事情是自己。加减法一定拆。加减法直接拆对吧？哎，加减法直接拆独立的时候乘积才能拆开，

所以接下来过程当中我们再来看看这个题。哎，你比如说我们来这个题啊，我们来进行去修改一下。你再看这个题。你比如说像这个题目的话，你发现一个事，比如说第二。对吧，你发现你看第二个人的话，你又可以做了，像这个里面当中x方加上二呢函数吧，那么加减法可以拆开你这个人呢？再加上二这个人的期望。而二这个人的期望的话，

你发现一个事情啊，你要注意啊，这个东西跟我们上节课学习的那个什么那个指数分布啊，你要分开啊，那不一样。那这个结果就是这个。然后这里呢本身。那所以在这种当中，只需要算它就行，来继续看。离散吧函数的分布，离散函数的分布的话，你发现就是把每个人变成它来吧，第一个人它的平方呢是一×0点一。第二呢，

零×0点二，然后再加上呢，你发现一乘上零点三平方呢，四×0点四好，这个结果你再最后啊，你再加个二就行。你听懂我的意思吗？好，这样做你可能会更简单一点，好基本点，要想清楚。过去了，可以吗？能想清楚吧，要知道怎么去处理啊，

这个基本问题。那么，接下来过程当中，我们再来看几个题吧。好，我们来继续看几个例题。零那么在这个当中啊，我们说一个事情，如果这个s啊。你发现一个事情，他是服从什么呃，比如说像泊松分布，我们做不了啊，泊松分布做不了这个几何分布，我们也做不了，

因为我们不学无穷级数。然后零一分布又考的太简单啊，然后的话，这个这个二项分布啊，就是N维的n重的那，所以说那些事情我们一会儿再说，我们来看连续性的。比如说举个例子，我服从uab。那么，这个时候的话，你就发现他的期望等于多少？来看这个人吧。所以我们考的这个东西啊，它有的时候进行出题出这块内容非常简单，

你要今年过程当中把这题分儿给我失了，你真对不起人。好了，我们来看看这个题怎么做来解？那这个东西什么分布均匀分布吧，告诉了均匀分布就告诉了它的概率密度函数，它的概率密度函数是多少呢？是长度分之一，当这个什么情况x大于a小于b的时候。然后接下来过程当中，我们再来看其他未知数呢，都是零那，所以说在这里当中，我们去求解，期望怎么算呀？

那就是从负无穷到正无穷上，对吧？把这人改成小S，然后再乘上它的概率密度函数积分。就s乘上概率密度函数积分就行，你发现有效段只有在哪？只有a到b的时候，所以说这是s概率密度函数是多少b减a分之一ds？所以说这里面当中啊，它就是b减a分之一。然后这个s积分呢？二分之一s方上限方减去下限方，所以说这结果等于二分之a加b。其实就是终点。对吧，

这个内容就很好记了，如果它是一个什么分布啊，它是一个几何啊，这个什么它是一个均匀分布，均匀分布就相当于在a到b上投石子儿嘛。投石子的话，你发现一个事情，平均状态下投在哪？应该投在这儿。平均状态下头在中点处。对吧，你发现一个事情往上投资者两边是对称的了，基本上平均处啊，应该投在终点处。你要注意哦，

我再强调一遍，类似于平均数，不是平均数。好，这个问题跟得上吗？好，基本问题来再来一个吧。零如果说。s这个人是服从什么分布呢？如果是服从指数分布。我问你个事情。你这个人读作什么？有人说求lambda的期望，胡扯。说了服从就是服从的指数分布。

求解的那个人呢？他会说求解期望，所以题目不会让你进行混淆的题目，会说的非常清楚它是什么就是什么。那么，接下来过程当中，我们来看看吧，指数分布，然后我们去求什么，然后我们去求你看期望。你要注意啊，这是服从于指数分布，求解它的期望，我们把它不要混淆了啊，虽然都是一。

然后接下来过程当中，我们来看看这几个人，先看第一个人，那么告诉了指数分布，就相当于告诉了概率密度函数。那概率密度函数多少？它是lambda倍的e的负lambdas当s大于零的时候当s小于等于零的时候的话，你发现就是零。好，这个人那么所以说在这里面当中求解，期望怎么求来走那么所以说在这里面当中负无穷到正无穷。求解它就是s求谁乘上谁的概率密度函数ds。跟得上吧，哎，这个点，

然后接下来过程当中，你发现一个事情负无穷到正无穷。那么，在这个当中，有效段只有零到正无穷啊，因为负无穷到零是零嘛，所以说这时候s再乘上拉姆达e的负的拉姆达s。然后这是dx。能理解吧，好这个结果，那么接下来过程当中怎么去计算它呀？怎么算它？告诉我怎么算？怎么计算它？你要注意啊，

一般选手啊，他都是分步积分法。啊，一般选手都是分步计分法。你要做一个高手。高手用什么东西呢？高手用伽马函数来做。那么，这个伽马函数啊，我们再来进行去复习一下，零到正无穷x的N次方e的负sds，这个人的积分等于n的阶乘。对吧，这是这个人，但是你要注意一个事情，

你这里面当中没有共同的呀，你得进行把它这个东西啊，你给我换那么这个人的话，应该是零到正无穷。你把这个lambdas看成个整体。然后这是负的多少lambdas，然后在这种当中补一个lambda，前面乘上lambda分之一。那这个时候的话，你发现水平点就非常的高了，那所以说你看你如果把这个人换成t，你自己思考一下，你不换也行。你要想换成t，你发现看这是t1亿的负t，

然后这是dt那零还是零吗？你正无穷还是正无穷吗？你换成这样了。所以说这是一一的阶乘，就是拉姆达分之一。这就是高手。高手的话，你发现眼神漂着租。一般选手的话，在这分布积分法，你分布积分法下，我早都做完了，你一分布积分法花上了几十秒时间，我们一道题啊，我们只需要两分钟。

那所以在这种当中一定要注意啊，这内容就出来了，拉姆达分之一。好基本点了。伽马函数的推论啊，所以说你发现一个指数分布它的期望等于多少呢？就等于这个参数分之一。好，我再说一遍啊，如果你是一个指数分布你这个人的期望，就等于这个参数分之一。能跟得上吗？好基本点啊。行吧，这是这样的一个事情，

所以说这个部分的内容倒不是说特别难来，那么接下来过程当中，我们继续吧，我们再来看看这个题。你看这题怎么做？那么，在这种当中，他说了一个事情，他说因为这个随机变量，服从参数，唯一的指数分布，让我们去求解它的期望，你们不要着急啊。一会儿过程当中，我们会有一张表。

啊，一会会有张表，他的每个人的期望是多少方差是多少，我们有一张专门的表，你不要着急这个事情。能理解吧，哎，这张表一会是我们要背的。哎，这张表你不要着急，一会都在这张表上，而且的话，你发现这张图片你要吗？这样投票的话，一会儿也可以导给你啊，

这个人。行吧，你自己下去过程当中，你自己填一下啊，这个人就在这张表上。你不要着急啊，你别着急，你跟着我的思维方式走，我们是基础班的同学。那么，在这个当中怎么做呢？你发现你可以把这个人拆开。对吧，你拆成第一个人，再加上第二个人嗯，

所以在这种当中的话，你发现一个事情，你要求解这个人的期望哎，你发现一个事情，这是这个人。那所以说在这种当中的话，就是求解你的期望，然后再加上你的期望一的负的2倍的它。打括号不打括号都行。那么，接下来过程当中，我们就继续我们再来看。那么，在这种当中，你要注意一个事情，

我们都知道，如果这个s服从参数为拉姆达的指数分布，它的期望等于多少？这个人的期望就等于参数分之一，所以说第一个人的话，你发现直接出来了，因为这个题的话，你发现他是服从什么？x这人服从参数为一的指数分布，因此你发现他这人的期望就是一，而且我们还知道它的概率，密度，函数等于多少？它的概率，密度，

函数等于一倍的e的负一×ss大于零，然后这是小于零=0的时候都是零。对吧，你把概率密度函数能写出来，服从指数分布，然后这个人的期望出来了，而且这个人的概率密度函数也出来了，好第一个人就是一，然后第二个人怎么做？告诉我套哪个公式？第几个？很明显一个事情，它不就是函数的分布吗？连续性随机变量，它的函数分布连续性随机变量的函数分布来走。

负无穷到正，你发现我再说一遍啊，你这有什么打点呢？我这节课就讲了四个公式，这四个公式你都转不过来啊，我觉得有点不好意思了，我讲一节课有可能就这四个公式。那么，在这种当中，我们来看，把这个函数改成小的。再乘上谁的函数呢？s函数再乘上它的概率密度函数。所以说接下来过程当中，我们一起来看看这个事情，

你发现啊，对于这个人的概率密度函数只有大于零才有用，所以说这个人是零到正无穷。零到正无穷的话，你发现这是e的负s，然后再乘上多少e的负s啊？这是负2 sds，所以说这个结果的话立即变成了零到正无穷。一亿的负的多少？三倍的sds。那这个细分结果就出来了，你就直接积就行了，也不用去凑干嘛，补一个负三，所以说前面乘一个负三分之一，

然后是e的负的三s。把这个零和正无穷带进去，那因此这个结果的话就出来了，然后这是负的三分之一，你发现。一的负穷是零，一的零是一，所以说这些果等于三分之四。出来了吧呃，非常简单啊，这是三分之四。好了，这是我们在这本当中啊，讲的这个题，三点二十题啊，

我们讲一个，你做一个，讲一个，做一个就行，好这个题啊，稍微放一会儿，稍微的会难一点，稍微放一下。等会我们再来做。然后这个题啊，你也稍微的等一会啊，三点三三点四先放一会，一会我们做加强，我们先来看看三点五这个题怎么做？那么这个题的话，

那么接下来过程当中，我们来看看他说随机变量x和y相互独立。记住一个结论，记到笔记上，如果sy独立s的函数和y的函数也独立，这个东西你证明不了。贼难挣。你包括数学三同学学习概率论与数理统计，那么在这种当中啊，都很难证这个结论。你在这里面当中啊，它会用到一些非常繁杂的一些内容啊，你发现一个事儿都很难整，你记到笔记上，这是一个重点内容。

如果x和y相互独立x的函数与y的函数也独立。s和y相互独立s的函数与y的函数显也独立。怎么了？我说话很快吗？听到这个概率论的最后一节课，你给我来了句这句话，让我有点无法理解啊。s和函，数和y的函数独立啊s与y相互独立s的函数与y的函数也相互独立。那你让我怎么去说呀？对吧啊？你这个上课的注意力一定要集中一点啊。x与y。独立那么这时候的话，你发现一个事情s的函数。

与这个我换一个字母吧y的函数也独立。啊，它也是独立，所以你要注意一下这个事情，你两人相互独立，它的函数与它的函数也是相互独立的。我们来看看下面这个问题，三点五这个题，你看这个题怎么做？他说x和y相互独立，然后这两个期望都是存在的。然后说u是最大值v是最小值，哎呀，这个敲错了啊。改一下啊，

改成最小值。这题怎么能出现这种情况呢？这是最小值。我很难受啊，你把这个改一下v是最小值。u是这俩人最大值v是这俩最小值，让我们去求解两者沉积起来的期望等于多少？那这题怎么做？你去看看一些这个书籍，里面写是这样写的。我们先来看看方法一。你听一下啊，听完了之后把它给我抛弃掉，不要这样学，因为这样学啊，

有点low，你发现一个事情，我们其实在数学当中啊，你都知道。如果两个人的最大值，你可以怎么写？大家注意，最大值可以这样写。怎么去写呢？那么这里面当中啊，你可以这样写，这是x+y，然后再加上x-y的绝对值。你告诉我对不对？那当然对啊，

那这绝对没有问题啊，你想如果x比y大，那这个结果就等于x-yx-y的话，上面就是2s一除就是s。如果y大的话，这个人呢？就等于y-sy-s的话，你发现上面是2y一除是y，你发现不就是这样吗？哎，它出来了，然后接下来过程当中，我们再来看v。v这个人的话，你发现一个事，

我们继续看，那这人等于多少呢？他就等于x+y，你再减去个x-y。你想想一个事情，如果这是什么情况x比y大？s比y大的话，你发现这个人就是s-y，那这一减呢2y它的结果是y，如果s比y小。那这个部分就是y-sy-s，最后结果是x，你看谁小去谁吧诶，就是这样的一个东西。就是你会把这个最大值最小值啊，

转换成这个等式，那么同学们你告诉我事情，马上来请告诉我u×v。u乘v是不是这两个相乘呢？那这两个相乘是多少呢？它就是四分之一。那这个四分之一的话，你发现个事，这有什么惊讶的？普普通通吧，这不掀不起内心一丝波澜的，对吧？好了，那么接下来看四分之一用平方差公式，那就是谁呢？

就是x加y的这个人的平方，然后再减去多少，你再减去这个x减y这个绝对值。它的平方是不是这个事情？所以说接下来过程当中的话，你会发现有个绝对值，平方无所谓，这ix方加上2 xy。加上个y方，然后再减去减去什么情况呢？那就是s方减去2 sy+y^2。是不是这个事情那么最后的话，你就发现一个事诶，这x和y都没有了，就4 sy 4 sy这个结果不就等于sy吗？

你去看一下嗯，在大部分的这个书籍当中啊，都是这样写的。搂炸了。为什么我眼睛漂一下，我都能漂出来，我何需要这样做，这样做的话，你发现就非常的浪费时间了。不要这样做来，你看我怎么做？哎，不需要你掌这个意识，为什么你这个结论我只需要眼神一撇？我延伸漂向，

我就知道这个结论了。大家琢磨一个问题啊，你听好了。请告诉我事情。u是什么东西呢？最大值v是最小值。那你想一个事情，这两个人的最大值和最小值。最大值是u，最小值是v。对吧，你这两人的最大值是u，最小值是v，我问你个事情。你听好了，

比如说。我们两人比大小，对吧？你注意啊，你和我比较的大小。如果你是最大的，我是不是就是最小的？你是最小的，我是不是就是最大的很多人那两个相等的那一个是最大一个也是呃，最大也是最小嘛。你想是不是？我们俩比大小。最大的是你那最小的就是我那最小的是我那最大的是你，你说我们两个人永远都是我们两个人，那你想想一个事情哎。

也就说这个最大值，如果你是最大的，你就是最小的，如果你最小的，你最大的，那你想一个问题，那你这x×y这个人不就是等于u×v这有啥啊？你需要进行一句那样写的了，你眼神漂一下不就出来了，非常简单。那同理而言的话，你发现你s+y这个人还等于u+v呢？对吧，有一天过程当中，你发现你考这个人的话，

你更简单，我也可以做啊，我们两个人嘛。那你是最大的，我就是最小的嘛，你最小我最大的嘛，那你俩加不就我俩加嘛，那这有什么区别呢？所以在这个题当中啊，你发现个事情，你直接怎么办？你直接把它给我秒了。对吧，你眼睛一撇就知道哦u×v=x×y。那所以说这个随机变量u×v的这个人的期望，

两人是一样的吗？不就是这个人的期望？而你发现一个事情，他说俩人相互独立，那相互独立乘积的期望等于期望的乘积。选b所以在这种当中啊，你发现一个事情立即出来了。对吧，立即出来了。如果你这个事情想不通啊，你去问一下你初中的表弟，他都能想得通。啊，你可以去问一下他都能想得通。你无论什么样的特殊情况，

你要还在那继续去想特殊情况，你发现你怎么想他都会。或者你去问一个你学前班的表弟，他说不定都会。啊，是这个人就是两人进行去比较，有个大一个小一个小一个大，你两个加不就我两个加吗？哎，这个人。好了，这是这个事情，我们就讲到这，这是方法二这个点啊。行吧，

那么这个题我们就讲到这。所以说啊，这里面当中，而且还有一条内容，你自己要把它给我记清楚，对吧？就这个问题，把它想清楚。好，过去了。那么，接下来过程当中，我们就继续吧，这是期望的问题，注意啊，

还有两个题给我放下，一会我们会讲。哎，还有两个题，那么接下来过程当中，我们再来看看下面一个问题，注意啊，那还有两个题放在那，那两个题比较重要，我们讲完第三个知识点才能讲。好了，那么接下来过程当中，我们再来看看方差。方差，这个圆。

那首先第一件事情方差，有什么定义啊？那么，在这种当中，你发现一个事情，你小学的时候也学过方差吧，你初中也学过方差吧，你初中的话，你发现一个事情，你怎么学方差的？你是不是先算了一个平均数啊？你算了一个平均数的，之后的话，你发现让第一个人减去平均数平方，第二人减去平均数的平方。

是吧，然后一直加到多少呢？底n个人减去平均数的平方，然后再除以个n吧。啊，是不是这样子？你忘了吗？这是你初中学的那个方差，你要注意啊，其实跟这个方差不一样。它其实你发现初中学的那个东西属于数理统计的问题。我们现在所学习的是概率论的部分问题。是数理统计的问题，其实你你想看一下吗？我给你看看啊，

其实你发现我们学习的那个方差应该是这个方差。我们学习的那个东西啊，应该是这个人。啊，是这个人。是数理统计的部分问题，但是对于我们三九六同学进行去考试呢，你在这里面当中啊，你稍微了解一下就行，你包括的话，你发现你高中学的那个平均值呢？你高中学的平均值是这个人。所以在这种当中，你看这才是你高中学的平均数，这才是你高中学的那个方差。

它是样本的问题，我们现在学习的，其实你发现跟总体有关。不说了吧，说多的话，你发现一个事情，你还绕我不说，反而简单，反正刚才那句话，你给我在大脑当中把它给我抹掉。你要想了解，等考完研再说。对吧，有的说老师，我对于数理统计非常有兴趣，

考完研再说，考完研再对后面有兴趣啊，行吧，那么现在而言，你先把分给我拿上来。啊，其实你发现我也不信你考完研了之后，你会有兴趣啊，要是在这里面当中的话，你发现一个事儿啊，就是如果我们考研，你发现不考这个，你会学这个内容啊。你才不会学这个内容呢，也不就是考试过程中考，

你发现一个事，你来。有没有同学的话，你发现是希望增加自己的数学素养，我才不信呢。好了，这个事情吧，我们就讲到这儿，所以接下来过程当中，我们一起来看看下面一个问题，方差这个人怎么定义的呢？你可以根据这个东西啊，类似的进行定义。那么，这里面当中有一个随机变量，

怎么去写呢？这样写。你这样写可以，这叫随机变量的方差，你这样写也行。哎，前面写个d叫做这个随机变量的方差。哎，求解它的方差怎么进行定义的呢？定义是这样定义的。你来观察一下，不就是每一个人吗？这个平均数类似于期望，不是期蒙。只能是类似。

你看是不是这个人s减去这个人嘛？然后接下来过程当中，你还要给它打个平方。你打了个平方了之后的话，你发现再来求个均值，类似于期望值。所以说它的这个定义啊，就这样定义的。啊，这就是它的定义。那这个定义是什么呢？你要注意就是求解x这个人，再减去他的期望平方，他的期望有同学觉得很绕。没有什么绕的，

我先说一个事情，期望是个什么？期望的结果是个数吧。你想想一个事情，你看刚才过程当中，你算这个期望等于零。你算这个期望等于这个人期望是不是个数啊，所以你要注意啊，一个随机变量的期望是个数。希望是个数，所以说这集叫数字特征嘛。那么，在这种当中，你想想用这个随机变量减一个数的平方，同学们告诉我，

这是哪个知识点？哪个知识点不就是这个随机变量函数的期望吗？这个随机变量的函数的启蒙，不就是我们刚才过程当中讲的那个第二波内容吗？你减一个数平方，你再求期望不是函数的期望。所以接下来过程当中，我们来推一下这个东西也不重要。你要注意啊，这东西也不重要，重要的是什么呢？来那么接下来过程当中，我们来推一下，你想听就听，你不想听就记结论。

我提前先说了，那么在这个推导的过程当中，其实也行吧，也可以帮着你进行把知识点加固一下，好，我们一起来看。这个人可不可以完全平方向？可以吧，来我们去求谁的期望呢？来我们再看看。那么，这个人平方下来之后的话，你发现第一个人呢是s平方，第二呢是二倍的，这个数再乘上随机变量。

第三个人呢？就是这个树。它的平方。没问题吧，那么接下来过程当中，我们根据刚才期望的性质。期望性质都知道，加减法可以拆开，就是你的期望再减去多少一二倍的es，再乘以s的期望。第三个事情一，然后是es平方这种情况。好有同学看到这个东西疯了，你要注意啊，你慢慢来，

我想问你一个事情，这是es方，请告诉我这是什么？那么，这个东西是什么呢？这东西是个数，别跟我扯什么单位矩阵，你别别别乱来哦，这跟单位矩阵有什么关系？跟单位矩阵有关系，就是写了个一。别乱来好不好？千万不要来，一点关系都没有。如果的话，

你跟单位矩阵有关系，它就是个一都叫一，那我还觉得它跟英文字母一有关系呢，不要这样来，不要跟我瞎想。听懂我的意思吗？这不叫迁移能力。那么然后的话，你发现这是个数那数怎么办？数就抛出去了。然后剩下这人的气泡。然后接下来过程当中，我们再来看看下面一个问题，你看这是一个什么，这是一个书，

听懂我的意思吗？哎，这是一个书。一个数的期望是什么？一个数的期望就是本身。你看这个人，所以说在这种当中马上就得到我写慢一点，因此你发现这是二倍的，这个期望这个数的平方。再加上这个期望，这个人的平方，所以说就得到了这个人。这句话读作什么呢？读作平方的期望减去期望的平方，这就是重点的计算方法。

这内容不重要，真正重要的是计算法。我们的计算怎么算呢？一个人的方差是这样算的，我们要计算平方的期望，还要计算。期望的平方哎，这句话读作平方的期望，减去期望的平方就是这样算的，这必考内容啊。这必考内容，你听懂我的意思吗？如果你说这个定义不想学，算了，这个这个东西不想推算了，

但是我建议你推一下，你推一下不就把知识点复习了一下吗？但是注意，无论怎么样，这个公式是最重要的，要注意啊，方差怎么算？要算平方的期望。要算期望的平方，所以大家想想一个事情，你要进行去计算这个人的方差，你其实核心主体只需要计算两个人。第一事情大家告诉我，这是啥呀？这叫一维的本身吧，

这叫一维的函数吧，所以你发现一个事情，你看一维本身会算吗？你会算。一亿倍的函数，你会算吗？你会算。你这不是还是在套刚才的公式吗？所以我一直跟你讲，我说这节课的过程当中啊，你发现无论怎么样都离不开这四个公式。这四个公式就是我们这节课的主体。你要算这个什么一维的，这个人的本身呢？一维的本身呢？

还有一维的函数，你会套公式就行。你说这节课的能力什么能力啊？套公式。对吧，你知道了之后的话，你把这个东西给我用清楚就行，所以在这种当中啊，你算一下平方的期望，你再算一下，期望你给这个数打个平方一减就行了。所以叫平方的期望减去期望的平方跟得上吗？同学们好，这是这个事情来，我们来算一个题吧，

来看这个人。呃，那么接下来过程当中，我们还是这样吧。利用一下前面这个题吧。用一下这个人。好用一下，前面这个题，然后接下来过程当中帮助我们进行去。把这个公式顺一下。上跟上啊，这节课拿四分，我觉得还是比较容易的啊，然后我们一起来看看这个人。然后去求方差。

怎么求啊？来走吧，要求两个事情，第一事情要求平方的期望，还有自己的期望。好算这两人，那自己的话，你发现就是负一乘上它零点一零乘上它，这是零一乘上它零点三。然后再乘二乘上它零点八，所以这个结果等于几一。然后再算平方的期望，那平方期望怎么办？来平方下一×0点一平方下零×0点二。那所以说就是零，

然后这平方下一×0点三平方下四四四一十六一点六。所以说这个结果就变成多少就变成了二。因此，你会发现一个事情方差，这人等于多少走平方的期望，减去期望的平方。那平方期望等于多少？它期望呢？一的平方是它等于一。为啥又打点呢？你这块打脸让我很难受啊。你不需要把这个东西，你说哎呀，我要做做一个注意注意力，我下去过程当中再看看你发现没发现你这节课一直在干嘛？

你一直在套公式。对吧，你一直在看公式，你就这里面当中的话，你要知道这人咋算，你说这个东西你不会，你不就前面那个东西不会吗？是吧，就刚才这个期望怎么算的？这节课就学了四个公式，你告诉我就学了四个公式，你不要说这个东西你不会啊。你这可有点对不起人了，这个是最简单的一节好了，我们继续吧，

我们再来看。再看这个题。好继续，他说x这个人的概率分布等于它。同学们想概率分布。同学们，想想这个事情x=- 2的时候一的时候三的时候，这什么分布啊？离散型随机变量的分布。是不是就告诉了分布率啊？就告诉了负二一三取这人是二分之一，取这人是a。取证人的手势b。离线扇形随机变量的分布，然后这个题告诉你，

期望等于零来，我们可以算一为离散的期望，对应相乘负一。对应相乘诶，对应相乘3 b=0诶，这不行啊，你发现一个事情，两个未知数解两个啊，两个方程解两个未知数啊。所以这里面当中还有一个方程，很明显这三个一加是一嘛，那这里面当中还有一个a加b等于几二分之一的。所以在这里面当中，马上出来了a等于多少？b等于多少？

那么这里面当中的话，你会发现一个事情a+3 b就等于一，所以这两个东西一加啊一减。一减的话，你发现一个事情，那刚好是四分之一。那这四分之一的话，这人也是四分之一出来了。好，这个人就出来了。第一点，所以说这个人的话，你发现一个事，那这个a等于多少呢？a等于四分之一，

那这人呢？等于四分之一。那么，既然这两个东西都是四分之一，我们来算这个方差，那方差还算啥？期望都出来了，还算平方的期望。来平方下四乘，以二分之一平方下一乘四分之一平方下九乘上四分之一。那么，这个时候的话，你发现这个结果是多少？这个结果是四分之十二分之五二分之五的话就是二加二分之五。因此，

你发现等于二分之九，因此这个方差等于多少呢？就等于平方的期望再减去。期望的平方，平方的期望二分之九，这是零的平方，是它二分之九本题结束好做吧。啊，非常简单啊，你看这个内容，所以说你要会处理这个问题，过去了可以吗？好，这是这个事情来，那么接下来过程当中，

我们继续，我们再来看看下面一个题，你再看这个题。那这个题是什么呢？一维的连续。对吧，一维的列，你只要把框架给我列出来，这个内容非常的简单。其实你发现我一直都在，怎么用刚才的四个公式好，我们再看一维的连续那要算方差，要算本身的期望。要算平方的期望。好，

我们先算本身一维的，连续负无穷到正无穷，用自己乘上你的概率密度函数再积分。你的函数负无穷，到正无穷，要是谁的函数把它改成谁谁的函数呢？s函数那乘上你的概率密度函数。所以接下来过程当中，我们就可以做了有效段呢负一到零。那就是s进行乘上一+s积分。第二段零到一用is乘上多少一减s积分，把它给我算一下，然后再看这一段，那就是负一到零有效段。平方乘上一+s的积分。

然后再加上零到一平方乘上多少一减s的积分好这个样子，那么像这两个东西，我们刚才算没算过，我们算过哎，所以说在前面过程当中啊。我稍微把这个题啊，用了一下，你看不就是。这个题吗？一个是零，一个是多少？这是六分之四，六分之三，六分之一，一个是减，

一个是零，一个是六分之一，我就不算了啊，你自己去算啊。算这个积分零六分之一，所以说这个方差等于多少走平方的期望再减去期望的平方。因此就是六分之一减零的平方，六分之一。这咋又打点呢？哎，我就很想知道，这等会啊，就看看这谁打的。看不出来，你打这个点的方向性在何处呢？

你告诉我，如果你打这个点，你的问题点在何处？你说这个不会算，那不是刚才讲的吗？你要说这个公式背不过，你怎么可能会背不过？那我就觉得这个有有点理解不了。你要注意一下这个事啊，你看你要是这两个东西的话，你发现你不会，那应该停止啊，你这是刚才讲的原模原样的内容。然后接下来过程当中，你再来看第二事情，

你要说这个公式记不住，那刚刚才讲的这个内容好了，这是这个事情好，我们继续再来看。好了吧，不难哦，一点都不难来，继续再往下走。再看这个题，那么这个题啊，他告诉了一个事情，他说这个人的概率密度函数给了你。然后我们去求期望，求方差。那么，

同学们告诉我事情，这叫什么？一维连续吧好一维连续一维连续的本身求解，期望就是负无穷到正无穷。用s乘上它的概率密度函数是PS，它的积分，所以说这里面当中就是负无穷到正无穷，用s进行乘解二分之一e的负的s绝对值。ds好了，同学们，你发现一个事，那这个人是个奇函数，这个人是个偶函数，积乘偶就是个奇函数。这是个奇函数对称区间下奇函数等于零。

你不要看是一个反常积分，就算这个东西是个反常积分，在概率论当中，你要注意一个事情，在概率论当中啊，奇函数就是零偶函数二倍。对吧，对称曲线下无论是不是反常积分啊，高等数学你要稍微的注意一点，然后接下来过程当为什么呢？因为概率论当中的概率密度函数等等，它具有一定的几何意义，不会发散的。好了，我们再来看看第二事情ds。

那DNS这个人呢？你要怎么算呢？你还要算平方这个人的期望来走负无穷到正无穷。它的函数改成小的，再乘上它的概率密度函数的积分，所以说这就是负无穷到正无穷。s方负无穷，到正无穷概。率密度函数都是这个人一亿的负的s绝对值ds怎么做？那很明显呢，那这个部分的话，你看偶函数乘偶函数偶函数偶函数二倍二倍的话，就是零到正无穷。s方一的负的s绝对值ds，然后这个二倍跟这个二分之一就约掉了，

然后接下来过程当中，我们继续再来看。那么，接下来过程当中，我们就继续。呃，你下去啊？把高数的那个讲的那个奇偶性反常积分的奇偶性给我抄个30遍，听懂了。印象立即深刻啊。去把那块给我抄一下，你印象绝对深刻，你很明显没复盘呐，对吧？好了，

那么接下来过程当中，我们继续，你发现这是零到正无穷。因为这里面当中的话，你发现这个s什么大于零，那既然大于零的话，你发现一个事情绝对值就等于本身就变成了这个人。所以说这个结果啊，等于多少呢？伽马函数二的阶乘啊。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这，你发现没？这题是个很好的题。

哎，这个题很好的题不是四啊，是二的阶乘，二的阶乘是二×1是二。哎，要注意下这个事情啊，这个题非常非常的好，就这种东西。呃，中间可能不跟狭点也没关系。你再去看看吧啊。我我忘了我我是说了那个问题，还是没有说那个问题？哦，我没有说那个问题，

那就不好意思了，那你就先别瞅了。好吧，你先别吵了，我没有讲那个事儿，那应该是强化班在说的，你放在那吧。那就不好意思了，你去领个必胜套装吧啊，有点误解你了啊。好了，这是这个事情嘛啊，那个东西啊，我强化完再说。好了，

这是这个事情，三点八这题会做了吧？要会处理啊这个事情。所以你会发现一个事情，你这样看在这节课过程当中，我们的核心重点其实就是两个事情，一个事情是期望怎么算？一个事情是方差，怎么算？对吧，期望怎么算方差怎么算，所以你记住一个事情，只要在概率论与呃，这个概率论部分当中。只要在对称区间下，

即便是反常积分，奇函数也是零，偶函数是二倍，你这个事情你掌握清楚就行，好这个内容我们就讲到这。过去了，可以吗？嗯，这是这个事儿呃，你们稍微等我一下啊，因为接下来过程当中这一波内容啊，非常的重要，需要记忆，所以说我把它讲完了之后啊，你下课过程当中你就可以记一下了。

行不行好了？那么接下来过程当中，我们再来看看下面一个问题。常见分布的数学期望。哎，你发现和方差。这个页面你一定要把它给我记住。因为你发现一个事情，前面这个板块。就前面这个板块。前面这些东西是我们原来过程当中本来就记住的。那么现在呢？我们就把所有内容都放在这张表上。你让我看看啊。我把它保存一下。

放到桌面上。呃，稍等一下啊，这个是常见分布。好常见分布，稍等一下，我看看能不能发过去？常见分布。好，自己去下吧啊。啊，怎么了？行，那么这是这个事情，那么接下来过程当中，

我们一起来看看常见分布的数学期望和这个方差。那么，接下来过程当中，我们一起来看看下面的问题是吧？来操作一下这个人，这个页面一定要记住好，我们先来看看第一个事情。零一分布。那么，如果是零一分布，你发现看离散性的，一定要知道什么离散性这个东西，必须要知道它的分布率。所以接下来过程当中，我们先来看看第一个事情不能保存吗？

哎，不能保存的话，那个下课过程当中，我导到这个讲义里面吧，可以吧？哎，导到这个讲义里面好了，那么接下来过程当中，我们先来看看第一个事情，你就不要不用不用不用去看了好吧？好，我们先看第一个事情。那么，这里面当中啊，你发现零一分布，

如果是零一分布，它的分布率是多少s？服从零一。一教成功，临教失败。成功的概率是p，失败的概率是一减p，那这样的期望是多少呢？你看对应相乘再相加，那这很明显的话就是p。方差是多少呢？是p倍的一减p。啊p倍的一减p，我们把这个东西看看。然后接下来过程当中，

我们再看二项分布，二项分布的话，你发现它会这样说，服从b它主要两个参数进行了多少次？每次是相互独立的，每次成功的概率是p问你成功了多少次呢？s=k的时候的话，你会发现这个结果是。n次里面取k次p的k次方，然后是一减p的n减k次方，那这个k从几开始呢零？一二顶多成功n次。那这个人的期望是多少呢？大家注意，它是n重波努力。

它是n重不努力。哪个东西不一样啊？这q不就是一减p吗？这p+q不是一吗？你按我哎呀，灵活一点啊。你说哪一天过程当中讲课的话，你变成了一个AI讲对吧？你发现他讲什么的，这个很固定的啊。那我是个灵活的人，我就没有点灵活性嘛，就跟原来过程当中，我讲两个班，两个班的时候的话，

你发现我在一个班当中啊，举了个例子。我在讲矩阵，我突发奇想，我解讲了一个矩阵的话，我发现我举例子是一二三三二几几几，反正几几，然后下节课的过程当中有个同学就问说老师，你这个例子跟怎么跟那个班里不一样呢？我还能记住这个东西装。啊，好了，那么接下来过程当中，我们再来看看二项分布，二项分布啊，

是n重波努力哎，就是这个人的n重。所以说你发现一个事情，期望就是n倍的，它方差就是np倍的一减p。那么，接下来过程当中，我们再看几何分布？几何分布？叫什么s服从je，然后兰姆达它叫dk次才成功。那dk才成功的话，你发现如果等于k呢，那前k- 1次都失败了，然后最后一次啊是成功的。

那这个k等于多少呢？可能是第一次成功，第二次成功，第三次成功，第四次有可能一直成功不了了，大家注意啊，这个题你不会算的。因为这个内容是无穷级数内容，你把它给我记住就行了，那这个内容啊，你发现一个事所有最难记的，你把它给我标出来，就是这俩人。这俩没办法，你只能硬背啊，

别的东西呢，我还能给你教方法，这俩东西你把它标出来，你只能硬背。那么，在这里当中，你发现它是p分之一，然后这是p方分之一，减p只有这两个，你把它给我标出来，就这两个。这让人比较难记一点。你也推不了，你要想推的话，你得学无穷级数，

然后再来看看坡松分布is坡松坡松分布的话，它参数是兰姆达。那坡松分布的话，你发现这个人呢？他的分布率也知道他等于k的时候概率呢？等于k的阶乘lambda k次方e的负拉姆达。这k从几开始啊？注意从零开始，一二三一直下去。那么，这里面当中，我们接下来继续看你发现它的期望呢？是兰姆达方差呢？兰姆达这个特别好记。这个人呢？

非常非常好记，就是这个人，这个人，这几个人，这都很好背，就这个人非常恶心。好，这是离散型的。那么，接下来过程当中，我们再来看看连续性的，连续性的话，首先第一件事情，我们先看均匀分布。uab那均匀分布的话，

我就立即知道了概率密度函数，那概率密度函数等于多少呢？如果在这个区间段内。它就等于长度分之一，如果不在这个区间段内，它就是零刚才过程当中，我们已经知道了它的期望在多少。希望在中点二分之a加b它方差呢，方差这个东西你得算啊啊，比较麻烦，你其实也不麻烦，你直接算就行了。你再算一下平方的期望，你一减就行了，等于十二分之b减a的平方，

这是能算的啊，你要有兴趣，你下去算算也非常简单。然后再来看看指数分布。指数分布的话，服从e拉姆达那这个人的话，就立即知道了概率密度函数，当然分布函数也知道拉姆达倍的e的负拉姆达s。s大于零，如果s小于零的话，你就发现一个事情就是零，他的期望刚才算过，等于拉姆达分之一，如果这个人呢，你看就这里面当中我说一下啊。

就这个人看到这个人了吗？你要有兴趣，你可以算一下，你看这个人这刚才这两个这这这个东西我没有讲过，但是我讲到这个人和这个人嘛。你看刚才过程当中，我给你拉回去。就这个人还记得吗？例一的时候我说这人的期望怎么算？还记得吧？他期望的话，你发现知道这人概率密度函数从负无穷到正无穷，用s乘上它的积分就行了嘛。你再算一下平方的期望，你算一个平方的期望，

你再用平方期望减去期望平方一整理就是它。你看刚才过程当中，我们说指数分布给了这个概率密度函数是不出来的，你算期望的话也能算，你要算平方的期望也能算。也非常简单，然后一减就行了哎，七平方的期望减去期望的平方，所以这里面当中啊呃，考试过程当中，你把它给我记住就行。重点是用，用是重点。推出了一个重点的结论，这个结论怎么用非常重要。

好，我们再来看看最后一个事情，正态分布。第一个参数是缪，第二个参数sigma方，那这人非常重要，他的概率密度函数呢？他等于根号下二派复习一下这个内容，必须要记住一会有重点的应用。一的负的2倍的sigma方x进行去减缪的平方，然后这个s呢属于r。好，这个人的概率密度函数一定要记得，然后他的一个期望是多少？记住第一个参数就是期望第二个参数就是方差。

所以说，对于正态分布而言，第一个位置填期望，第二个位置填方差好，这几个内容我们就讲到这，我觉得。呃，比较难记住的内容，可能是这个几何分布。几何分布的期望和这个方差，这个东西稍微的会恶心一点点啊，另外事情的话就是这个均匀分布的这个方差。你下课过程当中啊，你在大脑当中啊，稍微的梳理一下好不好？

同学们哎，这个基本点。呃，然后回头我倒笔记的时候啊，我就把这个页面。哎，注意啊，我把这个页面导成一页上，然后接下来过程当中这个底色就是这个空白部分。这空白部分的话，到时候过程当中我再给你把这个呃，这张图片给你们上传到那个APP里面行吧，上传到APP里面，你自己下一下。自己把这个页面填一下，

填了之后啊，把这个页面贴到你的床头，它特别重要这个内容。这页面特别重要，你所以说这个东西啊，你是必须要把它给我记住的，没有任何商量余地，这个页面是我们概率论当中啊，你发现最重要的一个针页。好了吧，这个事情我们就讲到这行吧，稍微休息会吧，在下课休息的过程当中，把这个东西啊给温习一下。哎，

把这个内容稍微的温习一下，一定要把这个期望和方差记住，然后一会儿过程当中啊，我们去用它好不好好稍微休息一会儿吧，一会儿继续啊？你们稍微调整一下音量啊，对吧？因为这个课间会有那个啊，这个声音可能会变大啊。

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