07.二维随机变量（仅离散型）-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:52:43

我们再来看看这个题做完了没有？有没有做出来啊？你们选几啊？呃，这个题可能会稍微的会难一点对吧啊？但是你要注意这个类型问题啊，它是一样的，那这个题说s服从指数分布。如果你是服从指数分布，不就告诉了x的概率密度函数吗？你这个人的概率密度函数多少？你这个概率密度函数如果比零大的时候，你发现一个事就是lambda倍的e的负的lambdas s大于等于零。如果s小于零的时候，你会发现一个事就是零，

你这个等号无所谓啊，你都说你看你挂在这，你挂在下面都是一样，这无所谓的。然后接下来过程当中，你再来看y跟x之间是不是函数关系啊？这个y跟s之间什么函数关系啊？这个函数关系就是s跟二之间的大小关系。如果s比二大的时候最小值是谁？是它如果s比它小的时候的话，你看x小那是不是它？所以这是这个情况，反正无所谓y跟x之间就是一个函数关系。那因此，接下来过程当中，

求它的分布函数我们都知道，用分布函数法吧，先写y的分布函数的定义就是大y。小于等于小y，然后接下来过程当中就可以看到，那这个人怎么办呢？其实就是y这个人就是s的函数，小于等于小y。你在研究什么呢？你在研究的就是这个人。这个人其实就是js。对吧，你在研究这个函数，在这个小y下方的部分，那么接下来过程当中，

我们来看看这个事。我们要研究这个人的下方的部分是不是要画图啊？来看一下这个人大y这是零这是多少呢？这是大S。那这个时候你看，如果x比二大好，我们来看看比二大比二大的时候的话，你发现都是二。这个人如果这个s比二小，它是多少？它是x不就是这条线吗？呦啊。啊，就这条线。能理解吧，

所以你看这人就是二。那么，接下来过程当中，我们要用线进行去解啊。你截的话，你发现投下去的部分要对谁几分要对这个人几分很明显大于零和小于零不一样。对吧，大于零小于零不一样，然后的话你发现一个事，这就是一个分节点。但是你要注意的事情，还有一种分界点，还有一种分界点就是你比二大的时候。你的最高点，最低点还有那个什么概率密度函数的分界点都算分界点啊，

所以这个时候你就会发现一个事情应该有几个分界点啊。有几个是不是有三个分节点？那这里面当中的话，你发现一个事情，我们先看第一种情况。就说如果你会发现个事儿，如果你比二高。你看这个人。好，我们先看第一个事情。当什么情况呢？当这个小y你比二高。比二高的时候的话，这个时候你会发现个事儿，所有人都在你下方。

对吧，所有人都在你下方，那所有人都在你下方的话，你发现个事情，那这个人是几啊人就是一。第二事情我们再来看。那还有谁啊？还有个零。对吧，因为你要注意投下去的部分，一定要对这个概率密度函数积分。你大于零，对它积小于零，对零积它不一样，所以接下来过程当中，

我们再来看，如果你会发现个事儿，它比零小呢。这是第一段小y比二大，这是第二段小y比零小。比零小的话，你发现一个事情有没有人呢？有是这个人，那就是负无穷到这儿，但是你发现你负无穷到这儿都是对零积分呐。我的有效区域是零到正无穷啊，你这是没有用的，所以说这个时候的话，你发现一个事，它就是零能理解吧。

虽然你有，但是你会发现个事儿，你没有意义嘛，那这个时候你发现他的这个人，他就等于几零。然后接下来过程当中，我们再来看看第三个事情，如果这个小y大于等于零小于二的时候，这才是这个事情当中比较重要的。那零到二中间呢？零到二中间的时候的话，那么记下过程当中，你来看看我就在这种当中拉条横线。那这个人的下方呢？那这个人的下方的话，

你发现个事儿，你把这个点对应下去，这是小y啊，那这点就是小y。那这个时候你发现，你看你就是这么多，你应该是从负无穷级到小白，但是真正有效的段呢，有效段其实只有零到y。你所以说在这种当中，我们就可以看了，这个人其实就是多少零到y对拉姆达倍的e的负拉姆达s。进行积分能理解吧，好把lambda放后面去负的e的负lambdas就是积分结果。零代进去的话，

这是一一减去一的负的lamb day好，这个人是不是做出来了？所以说在这种当中啊，如果你做这个题啊，你发现一个事儿，你这个画图定点截线投影积分的话，你发现你一点都不清楚啊，我觉得你下去得好好看看。我再强调一遍，你只要能问出来一些啊，你会发现很惊人的一些问题，我建议你把这个东西你得重新梳理一下。非常简单嘛，你看我做了好几个题了。这是顶难的题。

就是我们三九六同学的话，你发现遇到这种类型问题当中的顶难的题也就这个套路。就是你在研究什么，那这个时候的话，那么接下来过程当中，我们来看看这人的分布函数，那分布函数变成了是多少呢？那这人是如果y比二大。对吧，这个分布函数那这个时候是多少呢？那这人是一如果这个y怎么办呢？它比零大比二小是一减去一的负lamb day。如果这个y怎么办？比零小，那真是零。

是不是这个情况，然后接下来过程当中，我们一起来看看它有几个什么间断点啊？啊，这个函数有几个间断点？你间断点的研究的话，你发现主要研究分段点上吧。你看，首先我们研究二重。二处的右极限是一。然后再来看看二处的左极限。二处的左极限一定对这个人求极限。二处的左极限，你放心吧，你这个人绝对比一小。

为什么你这个人是大于零的呀？你要不然就等于零了，你比如说你无穷大，你一的负无穷是零。你要不然就等于零，你就是e的负数是零，你顶多等于零，你极限有可能是零。但一般情况大于零，你这个人不可能等于一的。你不可能的，你所以说你发现你看这就是个分段点。对吧，那么接下来过程当中，我们再来看看第二事情，

再看零零的话，这半边极限。limits这个什么y趋向零正。一减去e的负的lamb day。一的零是一一减一是零，而这半边的极限也是零，该点处的值也是零，哎呀，这个y等于零是连续的。y=20间断的那，所以说在这种当中的话，它应该有几个间断点，恰好有一个。好奇啊。这个题啊，

值得下去，过程当中好好看看。那你发现一个事儿，他就是个骗子，对吧？它偏在哪呢？你发现一个事情，它说y是等于这个人，你这个人的话，你发现也不是s和二之间的函数嘛。所以我们在这节课过程当中嗯，大家注意一个事情啊，我先说一下啊。如果我们在这个三九六同学当中啊，对吧？

我们进行去处理这类问题，就是刚才过程当中处理我们这几个题，我们在考研过程当中的难度系数啊，在这里面当中啊，档次感会高一点。啊，这是这个人。阶梯函数是什么？哎呀，就有些同学你。你问的问题啊，我是你让我真的有点儿哭笑不得啊。然而呢，你又是我带过，一直带到这儿的一些学生，

你让我真的是我都觉得我都不知道怎么去说了，对吧？我都不知道你为什么能问出阶梯函数是什么？啊，我没有讲过阶梯函数吗？啊，我没有想过吗？阶梯状的函数吧。谁的分布函数是阶梯状的函数啊？你要注意啊。是离散型随机变量的分布函数，是阶梯状的。能理解吧，哎，注意啊，

是解题中的。能听懂我的意思吗？所以说这件事情你要想清楚。行吧，你们下去过程当再自己看看吧，我觉得这个题啊，我讲了好多了，我讲了好几个题了，你自己下去过程当中要注意一下。你要注意，如果是离散型。它的分布函数。是阶梯的。怎么看阶梯的每一段都是常数？然后连续型的随机变量的分布函数。

是连续的。但是大家注意一个事情，我昨天我应该是上课讲过的一点点，我不知道同学们还有没有点儿印象？我是这样讲的。我如果知道了x的分布，我去求y是x的函数的分布。我们说如果你是离散的，我说他一定是离散的。我说你是连续的，它的函数的分布呢，未必是连续的，我昨天是不是有一点儿点儿讲过这个东西啊，我不知道你还记得吗？我稍微在这块停留了一点点，

我说我害怕你听不懂，我就没有多讲。我说它的结果呢，有可能是连续的，也有可能是既非离散。也非连续的。既非离散，也非连续的。它有可能是连续的，也有可能是既非离散，也非连续的。那如果是连续的话，我就让你去求概率密度函数，如果这个东西不一定是连续的，我就不让你去求概率密度函数了。

我就让你求到分布函数。大家注意啊，分布函数是每个人都有的。我先提前说一下。只要你是个随机变量，你听好了。只要你是个随机变量。你就一定会有分布函数。你只要是个随机变量，你就一定会是个分布函数。如果你在这里面当中，你是离散型随机变量，你的分布函数。是阶梯状的。阶梯中每一段都是常数，

如果是你是连续型随机变量。你的分布函数。是连续的。那么，第三个事情，那么除此之外，那还有西翼飞。离散。离散。也非。连续的那这种情况呢？就是第三种。什么意思呢？就说你如果是阶梯状，你就是离散性随机变量分布函数。

如果你这个分布函数是连续的，你就是连续性随机变量分布函数。如果你发现不是阶梯状，也不是连续，你就是既非离散也非连续的分布函数，大家注意啊，只要你是随机变量，都会拥有分布函数。那么，在这种当中，我们再讲讲。我们怎么进行去评判？你是离散型随机变量呢？我们考察的是，你是有分布率。

这是有分布率，我怎么进行去检验？你是连续型随机变量呢？你的核心重点是概率密度函数。这是你专有的。这件事情是你专有的。分布函数是任何随机变量都会有分布函数。只要你是随机变量，你都会有分布函数，但是只有离散型随机变量才会有分布率，只有连续型随机变量才会有概率密度函数。所以说你像这种刚才这种题啊，你比如说举个例子，你看这种题。我只让你去求到分布函数，

那说明它有可能没有概率幂的函数，它有可能不是连续性随机变量。如果这个题让你去求概率密度函数，那就说明这个东西肯定是个连续性随机变量。能理解吧。如果这个题的话，你发现一个事儿，他让你去看看这个分布函是什么情况，他就有可能不是连续性随机变量。你像刚才这个题，它让你去求概率密度函数，就说明它肯定是连续性随机变量，这件事情就不是你操心的事儿了，那是出题人操心的事儿。你才能操心什么呢？

所以如果它是一个离散性随呃连续性随机变量，你求出分布函数，你再去求概率密度函数。你如果既非离散，也非连续，那你就求到分布函数，人家就让你结束了，让你让你求什么呀，不会有第二问的，就不会说来，你把概率密度函数再给我求一下，那就没有了。这是你要注意的问题。能听懂吧，想清楚啊，

这个事儿。呃，这个考点呢，是相当重要的。考研当中的重点内容好好去品。日只要是随机变量，它都会有分布函数。那这个时候你就要继续去看每个人的分布函数长什么样子？但是分布率是离散型随机变量独有的特征。概率密度函数是。连续性随机变量独立的特征。这是要注意的，然后另外一个事情，你像刚才过程当中有些同学可能是死记的。啊，

画图定点截线投影积分，你可能是死记的。如果是到了这个强化班呢，你把它这个硬性的练成了肌肉记忆，那是我们强化班做的事情，但是我觉得这个基础班你还是要稍微理解一下，你为啥要画图啊？你为啥通过那个点进行区分呢？你像刚才过程当中，我为什么要在这个按零来分呢？那是因为那个零的两边你投下去积分的，这个人不一样吗？如果二这个人的话，你两边一边是对这个人急，一边是对那个人急，

所以它不一样嘛。那刚才我们做这个题的时候，为什么要用二分呢？你比二大的时候，你发现就占满了所有人嘛，你二的下面的话进行去截又不一样嘛。一定要进行去，知道这个东西到底是在干嘛？你投下去的部分要对x的概率密度函数去积分。你要看看有几种分类的情况，我先说一下啊，这个部分对我们在考研过程当中稍微的会难一点。如果这个知识点掌握清楚了，恭喜你，概率论我们所有当中啊，

知识点当中最难的一个知识点，你解决了。而且难。但是这个东西的考研的几率啊，这两年都没有考啊，这两年。不知道咋回事儿，这个东西很好的一个问题啊，它也没怎么考啊，可能的话是因为这样的一个题的话，你发现出起来啊。不适合出两分题。啊，所以说他温柔了一把。但这两年过程当中的话，

你发现它又不好说。你说如果出啊，你会发现他就会稍微的话出简单一点点也行，但是我们在基础班的复习，你还是要做到位。啊，它是一个重点内容。那么，接下来过程当中，我们就正式的开始了，我们先来看看下面的问题啊。呃，快下课了，不定积分线性代数。呃线性代数可以听。

对吧，线性代数可以听。呃线性代数可以跟着那个高等数学直接听，没有什么关系，但是概率论有关系啊，线性代数跟高等数学就没什么关系了。好了，那么接下来过程当中，我们来看看第六节叫做二维离散型随机变量。我们来看看这一节。那这一节啊，其实是如果在那个概率论当中，应该算第三章，你发现一个事情，我们就要进入到几微随机变量呢？

二维，我们原来学的那些东西啊，都是一维随机变量。全部都是一维随机变量。那按理说的话，你发现这个二维随机变量。我们考研应该不要求啊。但是你发现每年一刀。你说这里面当中的出题点，所以我们那个大纲啊，真的是有点骗人的嘛。你说实话，你发现一个事情真的很没有意思，你要不然就说清楚，你让我们继续去猜你会这个考哪些部分的内容，

大概什么方向，这很没有意思的吧。他不说清楚，每年过程当中来一刀二维的离散性，大家注意一个事情，我先说一下啊，连续性不学了。连续性不学，为什么二维的连续？二维的连续需要用到二重积分，我们的考研是不要求二重积分的。很多老师，那万一考二重积分超纲，怎么还有这样超纲的？这些年都没有超过纲，

他说原来过程上不是超过纲吗？那不是超纲，那是你没有复习到位。要注意啊，所以说在这里面当中一定要注意的事情，二维连续不用学，稳稳当当不用学，你不要在这胡来对吧？而且的话，你发现我们这个。呃，之前过程当中我就给你讲过这个事情，我们这个正因为大纲模糊那，所以说你会发现有些不研究这个不研究这个考研数学的这个部分的同学啊，也在这里面当中。

你包括的话，他有可能才考上研。你在那里面当中就胡乱说。你说的那句话，让别的同学一看就会引起了很多同学的话，在这你就耽误了人家的复习。那所以在这种当中就很有问题，不是原来过程当中，我跟你说那个秋胡长的问题。不是考了苦场吗？有些的话，可能这个不太懂啊，一听的话哦，是数学一同学学习的第一型曲线积分才考弧长。还要让你去学习曲线曲面积分，

你不胡来吗？你所在这里当中，你要注意一下这个事情啊，你不要在这见风就是雨的好了，那么接下来过程当中，我们就继续我们来看看下面的问题。所以有的时候啊，你要注意呃，这个方向一定要摆正，对吧？这个有些同学的话，根本就就是这个胡来啊。这简直的话，你发现一个事儿，这个一点都不太懂，

也不研究。好了，这是这个事情，那么接下来过程当中，我们来看看下面的问题，大家都是成人的，你要有点辩证的，这样的一个看待的眼光好了，那么接下来过程当中，我们看看二维的离散型。啊二维离散型呃，这个部分内容难度系数不高啊，你好好听吧，很简单。什么叫二维离散型呢？

它是这样的一个东西，就说你看这是一个随机变量吗？这个随机变量的话，你发现一个事情是一个离散型。然后这个随机变量呢，你也是个离散型。你这两个离散型随机变量放到一起，就是一个二维离散型。就这么简单。什么叫随机变量？具有随机性。又是个变量，你就是个随机变量。这个s可以取一些什么？比如说我能取一二三四五。

y这个人呢？也能取一二三四五哦，这两个东西摆一起就是个二维离散型。那么，这里面当中大家都知道，离散型随机变量的重点是求什么？是求分布率。试去求我的取值是哪些？我的概率又是多少？这叫分布率，但是你会发现现在有几个人呐？大家注意，现在有两个人。如果是两个人的事情。两个人的事情，

那就是个联合分布率。你要注意啊，两个人的事情就是个联合分布律。那什么叫联合分布率呢？大家是这样子的，你看联合分布率就说你大S。你要娶一个人呢？你大y这个人也要娶一个人呐。你看x是个离散型吗？你能取一些点，比如说你能取一二三四五，完了这个人呢？二四六八十哎，你能取一些点。那么，

什么叫联合分布率呢？就是你发现你等于他，他等于他这中间什么关系啊？且的关系。就什么意思呢？就说你等于他。且我等于它的概率。啊，就要两个人共同发生的概率，我把它叫做pit。我们两个人共同发生的概率。所以做题怎么做呢？非常简单，第一步。我要知道x的所有可能取值。

你看我要知道s所有取值s可以取s1s可以取s2s可以取xn。我要知道s，所以取值。我还要知道什么y这个人所有可能取值，因为你是个随机变量嘛，你是离散级嘛，你能取y1你能取y2你也能取ym。所以同学们注意我们做题的话，你发现看我先要知道x的所有可能取值，我还要知道y的所有可能取值。然后接下来过程当中去求什么，求我们共同发生的概率，那比如说第一个人的话，你去求什么，你去去求。

大x=x一，大y=y一的概率，我把它叫做p1。然后这时候的话，你发现你等于s1，我等于y2，我们的共同概率，包括的话，你等于s1，我等于ym的概率。大家知道我说一个事情，这东西你可以认为成矩阵，但是跟我们那个矩阵那个东西啊呃不太一样，你要注意啊，它是有实际意义的，

这个p1什么意思呢？就是大S等于它。且你等于它共同发生的概率。能理解吧好，这是这个人，然后第二个呢，你等于他你等于他你等于他你等于他你等于他你等于他你等于他共同发生概率。然后这时候的话，你发你等于它，然后这时候你等于它，你等于它最后一个人，你等于n我等于ym的概率。这个表盘呢，大家注意，它就是一个二维随机变量的联合分布率，

它是个表盘。你要注意，它是个表盘。这就叫二维离散型。你能娶这些人，我能娶这些人，我们要去求你们共同发生的概率，联合分布率，你听得懂吗？啊，就是这个事情，你等于这个人，我等于这个人，我们共同发生的概率就行。这个难度系数不是说特别大，

不是特别难。好了，那么接下来过程当中，我们来看看这个联合分布率具有什么性质呢？它是这个性质。那么，首先第一件事，你每个点出的概率，你至少得大于等于零，小于等于一吧。诶，这是一个要求，你第二个事情，你整个表盘应该是两个双sigma。整个表盘相加的概率应该是一啊，

你把这所有人加起来概率应该是一。对吧，你不会超过一的，你所有最后的话，这个结果就是一，这是这样的一个问题，就两个事情，你发现跟原来像不像？一模一样。简直非常像。好了，那么接下来过程当中，我们来做两个题吧啊。呃，我先说一下啊，

这两个题啊，简直就是练一练。呃，对我们的考了这个几率啊，不是说特别大，我为什么放在这呢？一个事情是希望同学们去了解一下这个，这个联合分布率。第二事情呢，我希望同学们注意对这个摸球的东西啊，你再看看你说这个考的这个几率，不是说特别大，你先听一下吧，来我们看看这个人。要摸球了啊。

好，我们先来看第一个事情，他说随机变量大S。他是在一二三当中取一个人。随机变量大y是在一到x之间取一个人。他让我们去求s和y的概率分布，注意啊，概率分布不是分布函数啊，概率分布。离散型就是求分布率。连续型就是求概率密度函数，这叫概率分布，你的分布是什么？你离散型的分布不就是概分布率吗？你连续型的分布不就是概率密度函数吗？

好，我们来看看第一步。第一步干嘛呢？先进行去确定所有可能取值，你告诉我s有可能取几个，你可能取的是一二三。那y有可能几个取值呢？y啊，一到s啊，万1s取得三呢，你也可能取一二三。是吧，都是一二三，那这个时候的话，你发现你们两个人是二维离散吧，

你是离散，我是离散，那这就是个表盘来赶紧画表盘。一二三赶紧画表盘，一二三。那这个时候的话，你发现个事儿，我们就可以去求共同发生概率了，那么首先我们先看第一个事情，如果x=1。且y=1的概率是多少？好，那么这时候我们来看看这个事儿，你发现一个事儿，这是什么情况？

你这个人的话，你就发现个事儿，这是一个沉积的概率吧。我问你个事情，这个乘积的概率好算吗？啊，你发生且我发生的概率好算吗？不好算哎，说实话，不好算什么时候好算呢？应该是这样子，在你发生的条件下，我发生的概率好算。对吧，在你发生的条件下，

我发生的概率好算，其实这个东西可以直接做的，你看你取s的概率是多少呢？你取s的概率的话，你发现取一的概率是三分之一。然后接下来过程当中，你发现y就是一到一。你然后一到一当中进行去取到一的概率呢，你共同发生吗？你这人的概率是一。你所以说这个结果是三分之一，这能听得懂吗？这没有问题啊。然后接下来过程当中，我们就继续看，

你再来看，如果s取1y取二的概率，怎么可能呢？你这是三分之一，没问题，你怎么可能呢？这两个都不可能。你s顶多是一呀。你还想取二，你还想取三，那不可能的。然后接下来过程当中，我们再来看，如果这个s是二，然后这个y取一呢？

你取二的概率是三分之一。然后在一到二当中取到一的概率呢，又是二分之一，所以说这人是六分之一。然后接下来过程当中，我们就继续看，如果s二y是二呢，你前面取到二的概率呢，是三分之一。一到二当中，取个二的概率呢？二分之一又是六分之一，那不可能取到三呢？然后再看第三个人，如果这个x是取几呢三，

然后y取到一的概率是多少，第一人取到三的概率是三分之一。一到三当中，取到一的概率呢，又是三分之一，不就九分之一吗？那这个人呢？也是九分之一，这人也是九分之一，你自己算啊。你取了三的概率三分之一嘛，你在一到三当中取到二的概率又三分之一，你取到三的概率也是三分之一，一乘是九分之一，好，

这是这个事情，不信你加一下你看。你这一家三分之一，你这一家三分之一，你这一家三分之一，你一家就是一。那这就没问题啊，这个东西啊，就叫做二维离散型随机变量的联合分布率。简单吧。不就是确定你的取值吗？然后再确定我的取值吗？然后去求我们共同发生的概率吗？这就叫做双离散的分布。每年一到啊，

你要注意一下。呃，有的时候他会出两刀，这都有可能性。然后接下来过程当中，我们继续，我们再来看看下面一个问题。好，继续看。刚才那个题听懂了，给我回复二吧。听明白了，给我回分好，我们再来看看下面一个题来解。那么这个题啊，

他又说了，他说我们箱子里面当中啊有六个球。好，六个球。然后这里面当中的红球是一个。白球是两个，黑球是三个，你要喜欢摸球啊，然后说现在在箱子当中取出两个球。y表示，红色球啊，这个s表红色球y表示白色球，然后让我们去求解你我的分布。那你取s的话，你发现红球有可能是有几个？

你自己摸两个红球，要不然没有，要不然只有一个。y呢？你发现一个白球，一共有两个，有可能是零个，一个也有可能是两个。你是离散，我也是离散双离散双离散的概率分布，就是联合分布率，所以说这个时候的话，你发现个事儿，我们就来求什么？我们就来进行去画表，

你是可以取零取一，你这是零一二。那么，接下来过程当中，我们就来求了首先第一个事情，如果x是0y也是零的，概率是多少？那就是零个红球，零个白球，我们说在六个球里面取两个。你这俩人都是零个，不就说明俩黑球吗？俩黑球的话不就是三个里面取俩就行了吗？是吧，那这个结果呢？

五六三十除个二呢15啊，这就是十五分之三五分之一。没问题吧？好了，我们再看第二事情，如果s是0y是一呢？六个里面取两个。那说明一个白球。零个红球就是一个黑球，一个白球取一个，一个黑球取一个，十五分之六。十五分之六的话，你发现约一下三五分之二。然后接下来过程当中，

我们再来看s=0 y=2。你继续看，在六个里面取两个。两个白球，那就是两个白球，取两个十五分之一。跟得上吧，然后接下来过程当中，我们继续看，如果在这里当中零个什么呢？这个一个。这个什么红球，然后的话，这个y=0。六个里面取两。

一个红球，零个白球，就是一个黑球，红球里面取一个黑球，里面取一个。十五分之三五分之一。好，然后我们再来看第二事情，如果s是1y也是一呢，那就是六个里面取两个。然后是一个红球，一个什么球白球，那就是红球里面取一个白球，里面取一个。十五分之二。

然后说一个红球，两个白球，可能吗？那不是摸出三个球了，那不可能的，那这是零。我只摸两个球嘛，你说一个红球，两个白球，那不可能的。然后你可以把这东西加一下，你看这是十五分之九十五分之十。然后这是十五分之五十五分之十五，一加表盘是一。听懂了吗？

同学们啊，这就是这个人，那所以说像这种类型问题啊，你要会做，我觉得第一个事情吧，它会帮着你之前的部分的知识点呢，做一个复习。另外，事情你就更加的清楚，什么叫做二维离散型随机变量。那什么意思呢？你是个离散的，你有些曲直。你是一个离散的，你也有一些取值，

我们要看你们的共同的取值啊，这就叫双啊，这个什么双离散的联合分布率。听懂我的意思吧，好了，这是这个问题了，过去了可以吧？好这个事儿。那么，接下来过程当中，我们就来看看下一个问题。那么，因为我们都知道，二维的离散，因为有两个人。

两个人。两个人的话就会出现两种问题。第一种问题，我们共同去干一件事情。还有呢，单独去干一件事情。我们两个人分别单独的干一件事情。那所以在这里面当中，我们还有个事情叫做边缘，什么叫边缘呢？你要注意，边缘就是一个人的事情。两个人的事情就是联合。如果是一个人的事情，它就叫边缘。

你一个人怎么样？就叫边缘。那所以在这种当中，我们来看看这个事，你发现看什么叫边缘呢？边缘的话就是我x=xi的概率。啊，就这个人，我把他叫做什么叫做pi点？跟这个y有关系吗？没有关系。对吧，就跟你这个人没有关系，我只看x。无论你y等于多少的话，

你都是我x等于这个，我只看x。你像这种东西怎么做呢？非常非常的容易，大家来好好看看。只要你知道了联合分布律进行去求边缘分布律，这是非常非常的简单的。你怎么做呢？好，我们先来看看这个事。这个时候啊，你就在这里面当中，你再拉条线。再拉条线。我想问你个事情，

如果我进去去看x=x一的概率怎么看？你怎么看我问你个事情，你看这个人是不是x1这个人是不是也是x1这些人是不是都是x1啊？我把这人加起来放到这。这一行都是对应的x1，我一加就是它。如果我继续去看x2呢诶，我发现这一行都是x2。我把它进行去加起来。我要进行看xn呢，这一行都是xn哦，这个人加起来就是他。非常的简单。这个时候的话，你发现我就能确定s=s一的概率，

s=s二概率，s=SN概率，所以同学们注意，你看我给你讲讲啊。非常好理解，你不看中间。如果你不看中间这个事情，不就变成了s取s1的时候的概率s取s2的时候概率s取SN的时候概率吗？你看你缺s1的概率，你缺s2概率，你缺SN概率。你就横着一看，横着一看，横着一看，是不变成了我们原来讲的那个东西了？

啊，你就不看这个人，我就横着看。那这不就变成了我们原来学那个东西吗？我们原来学什么东西啊？我们原来学这个东西说is啊，你这人能取x1能取到xn。我就要看你的概率，要看你的概率。这变成这个人吗？那么，同理而言的话，你发现个事，我们再来看。如果要看y的边缘呢？

那就是yj。我只管y我不管x那x这个部分呢，写个点，然后是g。那么，接下来过程当中，我们再来看，那请告诉我一个事情y=y一的时候概率是多少？你发现看你这些人都是y1。哦，这是你的概率。你这些人都是y2哦，这些人的概率，你这些人都是yn哦，是你这些人的概率。

所以说当你怎么办呢？你发现个事，你这样。你这些都不看了。你这些都不看的话，你发现个事情y这个人不就能取y1哎，对应的概率y能取ym哦，对应的概率。这是不是就叫边缘呢？同学们，你想想一个事情，我问你个事儿啊，这是什么时候学的？这是不是叫一维离散型随机变量？能理解吧。

它不就是一维离散型随机变量吗？对吧，所以说在这种当中，我们原来过程当中啊，你发现个事儿就是讲的一维离散型。好，这是这个事情嗯，我失败，不知道你这个大脑是怎么去想的？你从哪件事情能想到全概率啊？你不要张口就来呀，对吧啊？我从哪件事情能想到全概率呢？你哪个信息点？你能告诉我，

你能想到全概率啊？全概率是啥呀？什么叫全概率啊？我都想不到你让我头皮的话，这个想那我都想不到，我都不知道这个哪一点能让我进去去，想到全概率。你这是别别别乱来的吧，你这不能不能张口就来啊。我实在想不到你告诉我什么叫全概率啊？啊，什么叫全概率？你不能不能天马行空的去想，你要说我们说知识的迁移，你不能乱迁移啊那。

好，这个问题啊，我们就讲到这啊。所以说这个东西的话，你就发现就是边缘分布。能理解吧，边缘分布，所以大家想想一个事，你看你竖着一家，你横着一家，哎，这个问题。所以说这个边缘分布率就很简单了。再把边缘分布率，所以对于这个人呢，

只要你在联合分布率的旁边再加两列就行了。对吧，再加两列，然后的话，你发现一个事，这就是一。你这竖向一加是一横向一加是一整个表盘加起来都是一。哎，这个内容啊，都是个一好基本问题，能听懂我的意思吗？啊，你想清楚就行，好，这是这个问题，

那么接下来过程当中，我们再来看。这叫边缘分布率。然后接下来过程当中，我们再来看看离散型随机变量的独立性。诶，我们再来看看它的独立性。随机变量独立。我们要重点讲讲了。好，我们来看看什么东西叫随机变量独立。什么叫独立啊？独立，我们讲的是乘积的概率等于概率的乘积，你还记得吗？

我们在第一章就讲过。乘积的概率等于概率的乘积不就叫概啊独立吗？是不这个事情。而你都知道一个事情。那么，在这里面当中，我们现在是两个人。你s可以取xi。你y可以取yz。你这取一个人的话，就叫a你取一个人就叫b那这个时候你必须得保证你乘积的概率等于概率的乘积啊。所以说在这里面当中，你乘积的概率就应该等于概率的乘积。对吧，你这个时候的话，

你发现这是a这是b。你乘积的概率等于概率的乘积，它就叫什么东西呢？就叫独立。你这个时候就叫独立。但是同学们注意一个事儿，你要琢磨想你这个xi你能取多少人呢？你能取好多个人？所以说大家注意一个事情，它应该得保证一个事儿，你得保证表盘上的每一个点都得这样。啊，每个点什么意思呢？你看你比如说这个点。这个点就是共同发生的，

就叫联合。而你发现看这个时候的话，它只是多少y1，这个时候只是多少x1，所以中间的这个绿色部分。应该要等于红色的沉积。是不是啊？绿色部分要等于红色乘积。如果你比如说举个例子，你看这个点。你这个点的话，你发现这是共同发生的，你要等于什么情况，你要等于这个人和这个人的成绩。你同类而言的话，

比如说你举个例子，你看这个人。你这个人是共同发生的，你要等于他独立发生和什么，他独立发生的一个情况。那所以在这种当中，它的一个情况什么呢？就是你这个表盘上的每一个点呐，你都得怎么办？你都得等于这个边缘的沉积就行了。每一个点，我问你个事情，比如说我有16个点。我15个点都是联合等于边缘成绩就一个点，不行他行不行？

啊，同学们，你给我想想。我们有16个点。我15个点都行了。我15个点都怎么了？都等于什么联合，等于边缘成绩，但是你会发现只有一个点不行，行不行？不行，一个点不行都不行。所以在这里面当中注意啊，必须要保证每个点能听懂吗？好，

这是这个事儿，那么接下来过程当中，我们来看一个题。非常有意思，相当有意思，这块的题贼好做啊，就说考研过程当中你要做这些块题啊，就是送分的题。你给我记住了，大家注意，只要你在考研过程当中，你见到两个人的事情，你得想什么？你得想联合。如果这是一个人的事情，

你跟我继续去想什么，想边缘听懂我的意思吗？两个人的事情，想联合一个人的事情，想边缘。好，我们先来看看这个事情，你看x这个一个人是离散型好，你是一个离散型。y这一个人是一个什么型离散型？你是个离散，我也是个离散，我们要继续去求什么？我们要去求二维离散的分布，二维离散的分布是什么？

联合分布率嘛？离散的分布就是分布率嘛，连续的分布是概率密度函数嘛，那就是联合分布率。所以首先第一件事情什么都不干，把表盘给我画下，什么都不干，把表盘给我画下，先进去去画表盘就行了。然后接下来过程当中，我们都知道这个一加是三分之一，这加是三分之一，这加三分之一，然后这加是三分之一，这加是三分之二，

同学们注意好，这些事情都听懂，给我回复一。我啥都没干啊。你是离散，我是离散，两个离散摆在一起的分布就是联合分布率。对吧，就这个人。然后接下来过程当中好好听了，这里面当中有一句非常重要的事情给我标出来。他说，如果x方等于y方的时候的概率是一回答我几个人的事情。标上去两个人的事情。啊，

两个人的事情，如果是两个人的事情，得从什么上面看，你得从联合上面看。好同学们，我们就要进行去标一下了，有哪些人的x方会等于y方啊，你看这个x方是零。只有y方是零可以，所以说这个点是没有问题的。可以，如果这个x方的话，你发现是一负一的平方也是一一的平方也是一，所以同学们注意啊，你看这三个点。

就满足了这个事情。这三个点都满足x方等于y方，他说，只要满足x方等于y方的时候，他们的概率是一说明什么情况。这三个点相加是一。而同学们，想想你整个表盘才加起来是一样。你这三个人都是一，而且我们每个人都是大于零。每个人都大于零，恭喜你，你只能是零。你要注意啊，你只能是零。

如果在这个当中的话，你发现你只能是零的话，你看这个人就出来了，你竖着一加三分之一，你竖着一加三分之一，你竖着一加三分之一。所以这个题就结束了，好做吧。非常简单啊，相当的简单。就这个问题，所以这个题就这块的题，特别有意思啊，就是你转一转就行了啊，非常非常有意思。

啊，好做吧，你记住啊，两个人的事情找联合一个人的事情找边缘啊，就这样的一个问题。所以这块内容难度系数真不大啊，你好好做一做来继续吧，我们再来看一个人。继续啊，再看这个人。他说了一个事情。它说xi。那si这里面当中有俩人呢，一个是x1，一个是s2。

x1这个随机变量是离散的s2，这个人随机变量是离散的。同学们告诉我，他让我们去求的是几个人的时间。是两个人的事情。只要是两个人的事情，必须从联合分布率上求，联合分布率上求，赶紧跟我画表格，两个人的事情啊，来画表格。画校表格的话就是负一零一。然后接下来过程当中，我们继续来就是负一零一，再是负一零一，

然后这时候的话，你发现这是四分之一。二分之一四分之一，然后这是四分之一二分之一四分之一。把这个画出来，然后接下来过程当中，他又说了，你看他说了这样的一个事情，请问这是几个人的事情啊？两个人的事情。两个人的事情得找联合，只要s1×s二=0就行来同学们看看，那这个时候你发现s1×s二你负一只能乘零才是零啊。你这凌晨它是零凌晨，它是零凌晨，

它是零。然后一直又乘零才是零呢。对吧，这些位置的x1×s二都是零。而只要s1×s二是零，它的概率就是一，而我整个表盘腔加起来才是一啊，你这些人都是一说明剩下人不都是零吗？因为我们的概率是大于零的。你只能是零，你们都占满一了，你剩下都大于零，你只能是一，所以横向一加四分之一，横向一加四分之一。

纵向一加四分之一，纵向一加四分之一，竖向一加，这是零。好了，这个时候你发现一个事情，我把联合分布率求出来了。联合分布率求出来之后啊，我们再来看下面一个事情，它说x 1=x二，我们就来看看哪些位置的x 1=x二。这个位置是s 1=s二，这个位置是s 1=s二，这个位置是s 1=s二。而只有这些人才是s 1=s二，

那这时候概率相加等于几零。啊，你看这个题有意思吧？我觉得是好做的啊，你下去过程当中看看好，这是这个事情，然后接下来过程当中我们再来填个表啊。非常有意思的题啊，你要好好进行处理，然后接下来过程当中，我们再来看看这个人。他说了一个事情，他说随机变量sy相互独立标出来。两人相互独立。相互独立，

联合分布率等于边缘分布率的乘积，它给了一个什么二维离散型随机变量的。联合分布率和边缘分布率，然后让我们在这个空里面填值。呃，你要注意一下这个事情，这是边缘的吧？你这是边缘，你上面的话，那个东西中间的话，部分是概率的部分啊。中间是概率部分，那我们怎么填？你先填哪个空啊？啊，

比如说你发现看这是一二。啊，一二三四五六七八九先填谁啊？先填第几个空对先填第一个空，为什么这俩一加是六分之一？六分之一是多少呢？六分之一是啊，这三六一十八这这这二十四吧，二十四的话，你发现这是四减去二十四分之三就等于二十四分之一，这是第一个空。对吧，先填第一个人。然后再填谁呀？鸡向天使一样。

啊赛天晴。再填六。啊六可以。六可以啊，但是填哪个字？二你不是胡来二填不出来哦。二填不出来啊。再填谁啊九？你怎么这样的嘛？我还不知道填九吗？九这是一吗？这这有啥填的对吧？这个人啊。你怎么没话说了，对吧啊？

啊，再填谁啊？对，填三啊。那么这个三这个人的话，你要注意它好填，为什么呢？因为我们知道这是联合。它要等于这个边缘的乘积。嗯，所以在这里面当中的话，你发现一个事，这必须填四分之一。四分之一六分之一才是这个人好，只要把这两个空填完了，

接下来就结束了，好剩下的部分没有什么难度了。那么，剩下部分的话，你可以随便填，然后你看这个人，他就等于四分之一乘二分之一。是不是这个事情，然后的话，你纵向一减的话，这人是多少八分之三？然后这个人的话，你发现看你这个人又等于多少，你又等于二分之一乘上多少乘以四分之三。这是一啊。

然后这个横向一减就出来了，然后这是多少？这是二十四分之多少？六二十四分之三，二十四分之一。呃，这是二十四分之四，那二十四分之二十二分之一。如果这是十二分之一的话，你发现这个人就等于四分之一乘三分之一。然后这是多少十二分之四十二分之一十二分之三，那就是四分之一。出来了，能理解吧？好，

这个基本问题，所以说这个人呐，你发现就很好填了，就是你最重要问题是两空。一个是这个孔。一个是这个孔。只要你能把这两空填完，剩下东西就非常简单了。好了，同学们掌握清楚给我回复一吧，这个。很有意思啊，对吧？就是你要掌握清楚他到底说什么？就是第一个事情，

这个联合和边缘之间的关系。第二个事情啊，就是这里面当中，它说双离散的这个随机变量是独立的，这个独立到底什么意思？你把它想清楚就行。好，我们继续吧，我们再来看。再看这个点。那么这个题啊，他说了一个事情，他说这俩人相互独立，非常重要的话。你是一个离散型吧。

你是一个离散型吧，好同学们告诉我这是几个人的事情，两人的事情，恭喜你，你必须要求联合分布率。所以要求联合分布率赶紧把表盘画下。画下表盘，画下表盘的话，你就发现这是零一二减三，然后这是多少负一零一？然后在这里面当中的话，你发现这个边缘都知道这个边缘是多少，边缘是三分之一，边缘是三分之一，边缘是三分之一。

然后这是多少二分之一，四分之一，八分之一，八分之一啊，这个人。那么，接下来过程当中，我们就继续看，我们再来看看下面一个问题。哎，这是这个人。我们继续瞅，你要知道哪些位置是可以的。你不要全算哦，你当然可以全算你，

比如说这个点，你这个点等于多少，你就等于三分之一乘二分之一，为什么？因为它相互独立嘛。你相互独立的话，你可以把这个人算出来六分之一二分之一，乘它六分之一二分之一，乘它六分之一，你可以都算，但是没有必要都算。你要看看你要哪几点？他说我只要x+y=2的x+y=2，如果你x是零得加二一+1可以好，这个空可以。

二+0可以。三+-1可以好，这三个空可以。我只要这三个空，所以说这个时候的话，你发现第一空是多少十二分之一，这个空等于多少二十四分之一，然后这个空等于多少二十四分之一。这三个人一家十二分之一十二分之一六分之一本题结束啊。能想清楚吧好，这是这个题目。行吧，那么接下来过程当中，我们再来看看最后一个题。好，

讲完这个题啊，这个内容就讲完了，继续啊。他又说了，那么告诉了一个什么情况呢？告诉了一个联合分布率。那么，首先他说了一个事情，他说这个事件和这个事件相互独立。同学们，想想一个事情，你这是a事件，这是b事件独立，我想问你个事情，事件独立什么意思啊？

事件独立的话，就是共同发生的概率。pab.就会等于PA×PB。没问题吧？PA×PB乘积的概率等于概率的乘积，那这个时候的话，你发现一个事，它就相互独立。然后接下来过程当中，我们先来看看。那这第一个人的话，你发现一个事，他不就是你x=0。且x+y=1，

那你告诉我y必须等于几啊y必须等于一。你共同发生嘛，你x=0的时候x+y还想等于一，你y只能等于一。所以说这个时候的话，你发现一个事，它就等于这个。加y=1好了，我们先来看看第一个事情，你要注意这个第一个人是几个人的事情，两个人的事情s=0 y=1，只能是这个人啊，所以说你是a。然后接下来过程当中，他说s=0 s，

等于零等于这个人，这两人都是零点四+a。然后再来看x+y=1。x+y=1是两个人的事情，你这个一+11。你这个人一加也是一，所以说它是a+b。好这个人，然后接下来过程当中，但是你这不不行啊。你这一个条件不行啊，你做不出来呀。哎，非常好，注意一下，

就这个整个表盘相加是几啊？也不是一嘛，所以说a+b这个人你要注意这一加是1 a+b只能等于多少零点五？你注意啊，只能是零点五，如果你是零点五的话，你发现你把它带到这。你这是零点五，你把它弄过去，那是2a。那2a减去它呢？那a就等于零点四。等于这是零点五嘛，你说二a一减零点四，那这个b等于多少呢？

零点一。啊，就出来了a是零点四b是零点一那正确答案选几选b？好做吧诶，基本问题啊。呃，所以说这个东西的操作性呢，你要想清楚，对吧？它是怎么处理的啊？不是说特别难的啊，这个部分问题，所以它在呃操作的过程当中啊，你要注意它这个这个问题点是什么？你这个二维离散型，

如果今年去考，你能不能拿下来？我相信应该是可以的，你再去看看去年那道那个题目啊，就非常的简单了。你说如果在去年过程当中，你把这个二维离散性这种题啊，我们把它做错了，我觉得不应该啊，这种题比较简单啊。容易吧，相对比较简单一点啊，就是就是玩儿玩儿那个之间那个关系就行，但是你要注意啊，我把该给你讲的这个破题的思维都教给你了。

两个人事情找联合一个人事情找边缘，只要见到两个人事情，立即想联合。这个意识非常的重要。那所以在这里面当中的话，你要具备这个意识啊，反正我们这个内容啊，都给你说清楚了。行吧，那么今天这个问题啊，我们就讲到这。那么还剩下下次课程的最后一次课程，那么最后一次课程呢？我们再把期望和方差讲完。讲完期望怎么算？

方差怎么算？我们就把这个概率论部分呢？全部结束了。那所以说下去过程当中啊，你好好进行看看。二点三零的答案啊，这个。那所以说这个概率论呢，考的这几个题啊，我希望同学们还是要把它好好拿捏一下啊，这个难度系数不是特别高，可能有些同学一直还没有建立起来，这个分布函数啦。概率密度函数啦，然后他们之间怎么去求解？

你好好把上课讲义上的东西好好吃透吃，透完了再做作业。你要是真的把那个讲义上的东西好好吃透了之后啊，你再进行处理的时候，我相信难度都不大了，好了，那么接下来过程当中，我们来布置一下这个今天的作业啊。好，今天的作业的话，下去过程当中做做四四九。四五零。四五一。四五二四五三好了，同学们注意啊，

我再说一遍这几个题啊，我建议你是把上课部分的内容消化了。例题都会做了，再做你要例题都会做了，你再做这些题非常的简单，画图定点这个什么接线投影积分。画图进定点界限，投影细分马上用分步函数法写写写你如果再怎么我再说一遍啊，这个学习方法就是你把上课的知识点复习一下。上课的例题，把它复现一下，就是自己要把它复现一下，你都会做了，哎，具备能力的，

然后再用作业题把这个能力进行强化训练。武器就非常好了，好这几个人，然后就是二维离散型四五四四五五四五六四五七好吧，做到这儿。把四五七之前的题把它做完了就行了。好不好哎？这是这个事情，但是注意啊，做作业啊，一定要是保证这个基本知识点掌握清楚，你看这个题你怎么去做？一定要去看看啊，好好听啊，好了呃，

这个事情我们就讲到这儿吧，好吧，同学们，下次过程当中还有最后一次课程呢，就是期望和方差的求解了。我们学过了离散型随机变量，我们学过了连续型随机变量，我们学习了它的函数的一个分布，那么下次过程当中我们去看看它的数字特征。期望怎么去求方差怎么去求啊？这是我们下节课最后一次课程的核心知识点，讲完了之后啊，我们概率论部分的内容就结束了。然后正式的进入到线性代数篇了。所以说这个周啊，

我们就要进行线性代数了呃，时间应该是。我忘了是周几了，你自己看看吧，应该是好像是周四还是周五啊？周四还是周五的话，我们就开始线性代数了，所以说大家注意这个内容点。呃，不是特别多了，然后还有最最后一个版块内容，到了这个六月初啊，我们的这个所有部分内容就结束了。大家注意啊，对于我们三九六同学，

我们这个基础班非常的关键，好好来啊好，那么今天课程呢，我们就讲到这儿吧，还是好好梳理一下，因为这两天呢。我看到很多同学的这样的一个反馈，对吧？觉得这个概率论的做题啊，自己稍微的会吃力一点点，所以说在这里面当中啊，我就把这些东西啊。今天你看我干了两个事情，第一件事情，我把这个第二章带着你进行去梳理了一遍，

我建议你自己下去，过程当中自己再梳理一遍。然后这节课过程当中有两个重点的问题，一个重点问题就是一维连续型随机变量函数的分布，稍微的会难一点点。要注意，然后第二件事情就是我们在这里面当中的重中之重的那种二维离散型随机变量。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，注意啊，这一节我讲的例题也比较难一点。哎，我讲的例题比较难一点，我在这里面当中讲了好几个拔高的题，

二点二七稍微的难一点，然后这里面当中的话，你发现一个事儿，二点二八二点二九对吧？这个东西啊，都稍微的会难一点，你下去过程当好好操作一下。好，那么今天课程呢？我们就讲到这吧，好吧，同学们好，下节课见啊。行，我现在去导吧，

好不好啊？

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